Разработка проблемно-моделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов в микроустройствах на основе решения уравнения Больцмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Клосс, Юрий Юрьевич

• Клосс, Юрий Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Клосс, Юрий Юрьевич

Введение

Глава 1. Математический аппарат и численные методы

1.1. Описание процессов в разреженном газе на основе кинетического уравнения

1.2. Взаимодействие молекул со стенками

1.3. Переход к безразмерным переменным

1.4. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений

1.5. Уравнение Больцмана для смеси газов и его дискретная аппроксимация

1.6. Смеси газов с большим отношением масс. Многоточечный

проекционный метод

1.7. Конечно-разностные схемы первого и второго порядков точности

Глава 2. Алгоритмы, программные системы и их реализация

2.1. Проблемно-моделирующая среда. Структура. Модули

2.2. Солвер вычисления интеграла столкновений

2.3. Солвер на прямоугольных сетках

2.4. Солвер на тетраэдрических сетках

2.5. Методы построения и оптимизации тетраэдрических сеток

2.6. Технологии и методы организации параллельных вычислений на кластерах

2.7. Методика и особенности построения солвера на вР-ОРи

2.8. Графическая оболочка ВКУ1елу

2.9. Применение и особенности системы Paraview и МХ

Глава 3. Моделирование и анализ прикладных физических систем и

явлений

3.1. Проверка сходимости решения по параметрам дискретизации

3.2. Физические основы распространения ударных волн

3.3. Ударные волны в микроканалах

3.4. Течение разреженного газа через периодические системы микроканалов

3.5. Многоступенчатый микронасос Кнудсена в 2Б-геометрии

3.6. ЗО-модели микронасоса Кнудсена

3.7. Классический эксперимент Кнудсена 1910г

3.8. Термомолекулярные микронасосы различного типа

3.9. Анализ насоса Холвека в переходном режиме

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка проблемно-моделирующих сред для анализа неравновесных газокинетических процессов в микроустройствах на основе решения уравнения Больцмана»

Введение

Исследования, связанные с изучением физических основ неравновесных газокинетических процессов течений разреженного газа в макро-, микро- и наносистемах, крайне актуальны с точки зрения как развития фундаментальных основ кинетической теории газов, так и практического применения в высокотехнологических промышленных областях. Перечислим некоторые прикладные области, где находят применение результаты исследований, связанных с физикой течений разреженного газа.

Микроэлектроника. GAS in MEMS (NEMS)

С развитием микротехнологий появилась возможность создания технических систем нового поколения, основанных на эффекте термотранспирации, или эффекте теплового скольжения газа вдоль неравномерно нагретых поверхностей, открытом Кнудсеном в 1910г. Развитие микроэлектромеханических систем (MEMS) требует правильного прогнозирования течений разреженного газа во многих видах миниатюрных устройств, таких, как микронасосы и микродатчики.

Разделение газов. Трековые мембраны. Вакуумные микронасосы

Каскадные вакуумные микронасосы, микро- и наномембраны, аэрогели, молекулярные сита, ядерные фильтры на основе трековых мембран, способные разделять смеси разных молекул и изотопов, и др. — устройства, которые находят широкое применение в таких областях, как водородная энергетика, разделение газов, газоанализаторы для экспресс-анализа состава газовых смесей. Важным является создание портативных газоанализаторов для обнаружения ничтожно малых вредных или неизвестных примесей (медицина, экология, безопасность).

Турбомолекулярные насосы

Турбомолекулярные механические насосы для получения сверхвысокого вакуума имеют широкое практическое применение как в промышленности, так и в фундаментальных исследованиях CERN, DESY. Получение высокого вакуума имеет

прямое отношение к экспериментальным исследованиям процессов в ближнем космосе.

Микродвигатели и микроманипуляторы

Эти устройства основаны на использовании радиометрических сил, действующих в разреженном газе на нагретые поверхности тела. Поверхности могут нагреваться бесконтактно, например, лазером, что позволяет создавать двигатели-роторы микромасштаба.

Туннельный микроскоп

Другим важным примером является туннельный микроскоп, чувствительный элемент которого работает в режиме разреженного газа. Он применяется для исследования поля поверхностей и манипуляции отдельными атомами.

Для численного моделирования течений разреженного газа во второй половине XX века были разработаны два основных подхода: прямое статистическое моделирование и конечно-разностное решение кинетического уравнения Больцмана. В первом подходе моделируются процессы случайных столкновений и перемещений большого числа шестимерных векторов в фазовом пространстве, обозначающих молекулы газа [1]. На их основе вычисляются среднестатистические значения физических величин, отождествляемых с макроскопическими параметрами газа. Этот метод успешно применяется при расчете сверхзвуковых течений разреженного газа, но для медленных течений он может давать недостоверные результаты из-за присущего методам Монте-Карло статистического шума. В настоящих исследованиях развивается второй подход, который не содержит статистических флуктуаций в решении и позволяет разрешать ничтожно малые изменения параметров течения газа. Последнее важно для разработки компьютерных моделей, которые с высокой точностью описывают медленные течения разреженного газа, характерные для микро- и наноустройств.

Следует отметить, что большая размерность задачи, для которой требуется значительный объем оперативной памяти и вычислительной мощности, варьирование геометрических параметров микроустройств, физических характеристик газа требуют современных суперкомпьютерных систем с различной архитектурой. В связи с этим крайне важно иметь надежные прикладные проблемно-моделирующие среды. Проблемно-моделирующая среда позволяют проводить полномасштабные вычислительные эксперименты указанных явлений и устройств в реальном масштабе времени, которые ранее было невозможно изучать и теоретически, и экспериментально. В основе проблемно-моделирующих сред лежат те или иные математические методы решения уравнений математической физики, описывающих определенную область явлений, методы вычислительной математики, необходимые для получения надежных численных решений уравнений, так как аналитические решения невозможны для актуальных приложений. В свою очередь для компьютерной реализации таких систем необходима разработка алгоритмических подходов, связанных с архитектурой вычислительных систем, поскольку компьютерное моделирование физических явлений требует значительных вычислительных ресурсов, а также применения современных методов построения проблемно-моделирующих систем, которые дают компьютерные науки и информационные технологии. В основе этих методов лежат такие хорошо известные подходы, как объектно-ориентированные технологии и стандарты: MPI, CUDA, OpenGL. Они позволяют создавать эффективные прикладные проблемно-моделирующие системы, реализующие различные математические подходы в плане численных схем, типов сеток, методов организации параллельных вычислений, интерактивной визуализации моделирования и анализа изучаемых физических процессов и технических систем.

Развитие кинетической теории Людвига Больцмана

Основателями кинетической теории газов следует считать Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана. Максвеллу принадлежит рассмотрение состояния газа на основе функции распределения молекулярных скоростей. В 1859

г. он открыл закон распределения молекулярных скоростей в однородном газе, находящемся в равновесном состоянии, а также установил принцип равнораспределения средней молекулярной энергии для молекул с разной массой. Строгий математический подход к описанию течений неравновесных газов был сформулирован в 1866 г. в статье, где было выведено уравнение для изменения любого среднего значения молекулярной величины, обусловленного движением молекул, их взаимными столкновениями и действием внешних сил. В работе Максвелла впервые было дано строгое теоретическое определение коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии.

Больцман в 1872 г. установил Н-теорему и показал, что молекулярные столкновения приводят газ к равновесному максвелловскому распределению независимо от начального состояния. В этой же работе было выведено известное интегродифференциальное уравнение для функции распределения (уравнение Больцмана) и получено его решение для частного случая «максвелловских» молекул, сила взаимодействия которых обратно пропорциональна 5-й степени расстояния. Он показал, что для таких молекул формулы Максвелла для вязкости, теплопроводности и диффузии могут быть выведены непосредственно из полученного им решения. Дальнейшие исследования и сравнение с экспериментом показали, что модель «максвелловских» молекул является нереалистичной, но для других молекулярных моделей получить приближенное решение своего уравнения не удалось.

В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки улучшить метод решения кинетического уравнения путем разложения в степенной ряд. Важные математические результаты были получены Давидом Гильбертом, но и они не дали решения из-за расходимости последовательности приближений. Метод Гильберта был усовершенствован в 1916-1917 гг. Энскогом и Чепменом, что в итоге позволило получить коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии для произвольного молекулярного потенциала. В докомпьютерную эпоху ввиду сложности уравнения Больцмана вопрос о нахождении функции распределения

молекулярных скоростей при произвольном отклонении состояния газа от термодинамического равновесия не возникал. Искались и уточнялись приближенные решения в предположении слабой неравновесности газа.

Развитие аэрокосмической техники поставило задачу изучения течений газов в далеком от термодинамического равновесия режиме. Такие течения возникают при значительном разрежении газа, когда недостаточно столкновений, чтобы перейти к равновесному состоянию. Предпринимались поиски приближенных методов решения уравнения Больцмана, не основанных на разложении в ряды. Наиболее известным является метод Тамма-Мотт-Смита, в котором функция распределения находится как композиция двух максвелловских функций с разными параметрами. Этим методом была рассчитана структуры ударной волны (работа И.Е. Тамма была связана с атомной проблемой и засекречена). Аналогичные приближения использовались и в аэрокосмических исследованиях, но оказались грубыми.

Развивались также методы построения модельных кинетических уравнений, в которых сложный для вычислений нелинейный по функции распределения интеграл столкновений Больцмана заменяется более простым выражением, например, релаксационной формой, имеющей разумный физический смысл. Другим направлением создания кинетических моделей являлась разработка оказываемых моделей дискретных скоростей, в которых молекулы газа могли иметь только небольшое число таких скоростей, чтобы интеграл столкновений сводился к сумме небольшого числа слагаемых.

С появлением компьютеров были разработаны методы имитационного

моделирования течений разреженного газа. В начале 1960-х годов В. Перепуховым

(ЦАГИ им. Жуковского) [2; 3] и Хевилендом [4] был разработан метод пробных

частиц, аналогичный статистическому методу расчета переноса нейтронов.

Немного позже Г. Бердом [1] был предложен более эффективный метод прямого

статистического моделирования. В нем огромное число молекул газа заменяется

сравнительно небольшим числом модельных молекул большего диаметра так,

чтобы длина свободного пробега сохранялась. Затем прослеживается перемещение

8

и столкновение модельных молекул, причем столкновения рассчитываются статистически с учетом близости положения этих молекул.

Первое численное решение уравнения Больцмана для простейших течений газа было получено в штате Иллинойс (США), на параллельном компьютере Иллиак (США) и опубликовано в 1967 г. Нордсиком, Хиксом и Йеном [4]. В 1969 г. были опубликованы первые результаты решения уравнения Больцмана, выполненные Ф.Г. Черемисиным другим методом в Вычислительном центре АН СССР [5; 6].

Значительным недостатком методов решения уравнения Больцмана было отсутствие строгого сохранения законов массы, импульса и энергии при вычислении интеграла столкновений. Авторы понимали этот недостаток, но не могли найти решения проблемы. В качестве вспомогательных мер применялись специальные коррекции решения, которые немного повышали эффективность метода, но не являлись кардинальным решением проблемы. В отличие от названных, метод Берда обладал свойством консервативности, и это позволяло при малых вычислительных затратах и даже на не совсем физически корректных моделях столкновения молекул получать разумные результаты расчета течений газа. С течением времени метод Берда совершенствовался, были созданы пакеты прикладных программ для расчета достаточно сложных задач аэродинамики, и он стал рассматриваться как универсальное и единственное средство расчета течений разреженных газов. Однако выявились и существенные недостатки такого подхода, в первую очередь, связанные со статистическими флуктуациями решения, обусловленными небольшим числом модельных молекул. Эти флуктуации не столь существенны при сверх- и гиперзвуковых течениях газа, когда происходит сильное возмущение потока, но и здесь они проявляются в областях плавного течения, например, в застойных зонах за обтекаемыми телами. Трудности обозначились и в режиме слаборазреженного течения при малых числах Кнудсена (число Кнудсена есть отношение длины свободного пробега молекул к некоторому характерному размеру течения, например, обтекаемого тела). Особенно явно недостатки метода проявились при расчете медленных дозвуковых течений, например, течений в

микроканалах. Здесь во многих случаях не удается выделить действительное решение из статистического шума. Эта проблема хорошо известна и признана сторонниками метода статистического моделирования.

Значительное улучшение метода прямого решения уравнения Больцмана было достигнуто Ф.Г. Черемисиным в 1996 г., когда был разработан проекционный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана, строго сохраняющий массу, импульс и энергию в процессе молекулярных столкновений [7]. Тем самым был устранен основной недостаток метода прямого решения уравнения Больцмана по сравнению с методом Берда. В дальнейшем консервативный проекционный метод был обобщен на смеси газов и газы с внутренними степенями свободы молекул. Этот метод позволяет экономично рассчитывать сверх- и гиперзвуковые течения, но особенно эффективен при расчете медленных и слабовозмущенных течений, к которым относятся типичные течения в микроканалах.

Фундаментальные и прикладные проблемы микро- и нанотехнологий являются одним из новых и актуальных направлений исследований, где требуется развитие и применение описанных методик. Распространение суперкомпьютерных систем и технологий их программирования дает возможность проводить полномасштабный вычислительный эксперимент в области фундаментальной физики, инженерных науках и прикладных технологиях. Органическое объединение математических методов, физических моделей и современных достижений компьютерных наук позволяет создавать надежные проблемно-моделирующие среды (Problem-Solving Environments). Проблемно-моделирующие среды включают численные «солверы» для суперкомпьютерных систем с кластерной организацией, средства ввода данных и интерактивной визуализации результатов моделирования физических процессов. Проблемно-моделирующие среды должны давать простую и удобную возможность интеграции программных разработок других авторов в структуру. Разработка проблемно-моделирующих сред в различных областях широко проводится в ведущих лабораториях США (LANL, LLNL, LBNL, BNL и др.) и многих

компаниях в области высоких технологий, которые берут свое начало из ведущих университетов США (UC Berkeley, MIT, CALTECH и др.).

Это направление органическим образом включает инструментальные средства разработки, как коммерческого характера, так и на основе систем с открытым кодом необходимые для качественной и надежной разработки прикладного кода, технологии и стандарты программирования суперкомпьютерных систем с кластерной организацией (MPI) и графических процессоров общего назначения (CUDA)

Настоящая работа представляет результаты разработок программно-моделирующих сред на суперкомпьютерных системах различных архитектур и создания на их основе методов компьютерного моделирования и анализа неравновесных газокинетических процессов в сложных структурах.

Глава 1. Математический аппарат и численные методы

В настоящей главе дано описание математических методов, которые лежат в основе газокинетических процессов переноса разреженного газа в сложных структурах. В основе применяемого подхода лежит кинетическое уравнение Больцмана. Кратко описаны модели взаимодействия молекул газа со стенками. Ключевым для данной главы является проекционный метод вычисления интеграла столкновений, который позволяет учесть проблему строгого сохранения массы, импульса и энергии в процессе молекулярных столкновений. Описан обобщенный проекционный метод для смесей газов. В конце главы изложены особенности применения численных схем первого и второго порядка для решения кинетического уравнения.

1.1. Описание процессов в разреженном газе на основе кинетического

уравнения

В настоящем параграфе дано описание классического кинетического уравнения Больцмана. Применение такого подхода дает наиболее последовательный метод описания физических процессов течений разреженного газа в сложных системах. Подобный подход требует разработки сложных методов решения интегродифференциальных уравнений, вычисления интеграла столкновений, суперкомпьютерных вычислительных систем, эффективных вычислительных алгоритмов, сложных программных систем, реализующих эти методы.

Кинетическое уравнение Больцмана может представлено в следующем виде:

I 00 ^ Л" Ьт

§■=1! И (///•-/,/)*„"»*«*,. (1Л1>

Iл гп ил 7 _оо о О

где/=/(/,х,р,); /7 =/(г,х,р7); /у ' = /(/, х, ру ■); /' = /(Г, х, р,') - функции распределения газов; г - время; р- импульс молекул; т - масса частиц; g -относительная скорость при столкновении; Ь, е - параметры столкновения; р;, р;, ру', р,' - импульсы частиц до и после столкновения.

Уравнение описывает поведение смеси газов без внутренних степеней свободы со сферически-симметричным потенциалом взаимодействия. Уравнение решается в шестимерном пространстве координат и импульсов молекул газа.

Левая часть уравнения описывает движение частиц в пространстве без столкновения между собой. Интеграл в правой части называется интегралом столкновений Больцмана и обозначается следующим образом:

Макроскопические параметры газа вычисляются на основе функции распределения по формуле

У -00 О О

С учетом введенного обозначения уравнение (1.1.1) переписывается в виде

п = \/А р.

Вектор средней скорости

Компоненты тензора давления газа в данной точке

Температура как мера средней кинетической энергии

при этом учитывается только хаотическая составляющая скоростей молекул Р* =(Рх>Ру>Рг) = Р-Рс> где Р, - средний импульс молекул.

Вектор потока энергии определяется по формуле

В большинстве расчетов для описания взаимодействия молекул использовался потенциал Леннарда-Джонса:

и(г) = 4&[(о/г)п-(о/г)6],

где итт = 8.

Также возможно описание взаимодействия частиц как твердых сфер диаметром с, степенным потенциалом вида U(r) = cv / г", где 4<и<12, или любым другим сферически-симметричным потенциалом взаимодействия.

1.2. Взаимодействие молекул со стенками

В настоящем параграфе представлены наиболее распространенные модели взаимодействия молекул со стенками. Считается, что при ударе одна часть молекул 1 - а, отражается от стенки зеркально, другая а, -диффузно с максвелловским распределением:

3 ,3

/,(',*„£) = ( 1-«,)/ -2({гк)к) + а,пг(^-УеП1'Г ■

2 кТг7г

Здесь /1 -функция распределения падающих на поверхность молекул; ат,пг,Тг — свободные параметры. Параметр а, характеризует долю тангенциального импульса, передаваемого падающими молекулами стенке. При полностью зеркальном отражении а, = 0, при полностью диффузном — а1 = 1. Параметр Тг определяет температуру стенки. Параметр пг можно найти из условия, что количество падающих и отраженных молекул одинаково, т.е.

4к< О ^<0

Подставив значение /г из формулы (2.9.1), получим:

пг = 2

]/ 2кТгл я

В некоторых задачах рассматриваются граничные условия с движущейся стенкой. Примером является задача об индуцированном течении в каверне [8]. В таких случаях используется следующая форма функции распределения отраженных молекул (приводится запись для полностью диффузного отражения):

2 кТя

Новый свободный параметр иг задает скорость движения стенки.

1.3. Переход к безразмерным переменным

Для удобства расчеты можно проводить в безразмерных переменных, что позволяет к результатам применять теорию подобия. Для перехода от размерных переменных к безразмерным используются четыре нормирующие постоянные: температура Т0, плотность т%, масса т, диаметр а- . Переход осуществляется по формулам

» р *1.*Ь,хг*гтъ . т

Р =-, ( =—,Ь =—,х =-,/ =/-з-,ю =—. (1.3.1)

т0у0 т0 о- А п0у0 т0

Символом * обозначены безразмерные переменные. Здесь введены следующие обозначения:

- характерная скорость,

Я = —т=----длина свободного пробега,

л/о(2'2) - эффективное

сечение,

т,

= Я/ Ас

- характерное время.

Под эффективным сечением понимается молекулярный диаметр молекул такого газа из твердых сфер, вязкость которого равна вязкости газа с данным молекулярным потенциалом. Коэффициент П(2,2) задает отличие эффективного сечения от молекулярного диаметра. Очевидно, что для потенциала твердых сфер С2(2'2) = 1. Вязкость газа из твердых сфер задается формулой [9; 10]

(1.3.2)

Потенциал Леннарда-Джонса [11] рассчитывается по формуле

и(г) = -[(\/г)12-(\/г)6],

Ав

о

где е — глубина потенциальной ямы; Та — нормировочная температура.

Вязкость газа с потенциалом Леннарда-Джонса определяется формулой

(1.3.3)

где Т* = Т0! е . Значения 0(2,2) приведены в [9; 10].

Из этого следует, что

а,,=о"

и

Так, для аргона (при глубине потенциальной ямы 120К) приЗООЛТ поправочный коэффициент равен 1.093.

После подстановки формул (1.3.1) в уравнение Больцмана получим

по д/, , уо"о р' д/' "о "о „ з зГ [[(<*,

тотоуо д{ Ятоуо щ дх, 1 тсЛ

Подставив тп = Л/ и поделив на 3 3 :

Ао / Ят у0

ш 171 дх )

Подставляем Я = ]/ г- 2 в коэффициент при интеграле, получим / ^2тгп0аэфф

"рУо3Уо4о-2Я = п 2д = = по<72 = 1

^о 0 а\фф у[2лп0а2П(2-2) ЛпО.™'

Уравнение Больцмана принимает вид

Символ * в дальнейшем будем опускать. В безразмерном виде уравнение Больцмана принимает вид

3/ т' дх

1.4. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений

В настоящем параграфе изложен консервативный метод вычисления интеграла столкновений, который является ключевым для корректного описания газокинетических процессов в переходной, но очень важной для многих прикладных задач области по числу Кнудсена 0.01 < Кп <10.

Интеграл столкновений обладает свойством консервативности по веществу, импульсу и энергии. Проинтегрируем интеграл столкновений с какой-либо весовой функцией <р(£) от скорости:

Он равен интегралу (всего лишь переобозначены переменные)

Воспользовавшись соотношениями

£ = = Ке' = еъ

получаем Сложив, имеем

Интеграл симметричен относительно £ и , поэтому И, наконец, получаем

Именно из этого соотношения можно заключить, что интеграл столкновений обладает консервативностью по веществу, импульсу и энергии. Действительно,

«ц==-(Р'-фжж

Теперь, приняв за <р(<%) = получаем искомые соотношения

41/^ = 0,4/^=0,41^4=0.

Однако при непосредственном численном интегрировании консервативность нарушается. Это требовало разработки другого метода, что и было сделано [7; 12]. Опишем этот метод.

В скоростном пространстве выбирается область объема V, в которой

строится сетка из равноотстоящих скоростных узлов Н = . В качестве области

£1 в большинстве задач разумнее выбирать шар радиусом, который определяется тем, чтобы функция распределения вне шара была пренебрежимо мала.

На введенной скоростной сетке функция распределения и интеграл столкновений определяются следующим образом:

/еа

Воспользовавшись свойством симметрии интеграла столкновений, получаем

Интеграл (1.4.1) является 8- мерным, что усложняет его численное вычисление. Одним из подходов интегрирования является метод Монте-Карло. Но этот метод обладает плохой сходимостью при увеличении числа интегрирующих узлов -

о( 1/

В связи с этим, применяется метод интегрирования основанный

регулярных сетках Коробова [13]. Ошибка интегрирования при их применении в среднем снижается как .

В данном случае интегрирующая сетка Коробова строится для , , еи из Л^ узлов в области П х П х [0,2л] х [0, Ът ] так, что ^ , ^ совпадают с узлами скоростной сетки 5.

В системе центра инерции относительная скорость сталкивающихся молекул поворачивается в плоскости столкновения на угол рассеяния 9. Таким образом, зная угол рассеяния, нетрудно найти скорость молекул после столкновения. Угол рассеяния в, в свою очередь, зависит от потенциала парного взаимодействия молекул

Скорость после столкновения ^, £,'р не лежит в узлах скоростной сетки, поэтому две последние 5 -функции в выражении (1.4.1) требуют преобразования:

Рис. 1.4.1: Схема аппроксимации скоростей на сетке.

где узлы ^ , ^ +8 , , ^ _8 и коэффициент гу выбираются так, чтобы выполнялись закон сохранения импульса и энергии (закон сохранения вещества при данной замене уже выполняется). Коэффициент находится из сохранения энергии -

Откуда

г - £о Е2 -Ех

гДе Е0 \ Ех=%\ \Ег=%\ + ^ . Выбор узлов должен

обеспечивать выполнение 0 < г¥ < 1. Сохранение импульса обеспечивается симметричным выбором аппроксимационных узлов.

Для вычисления /а /д предпочтительнее использовать интерполяцию

/а, Д, = ( Д Д ) ' ( Д + > Д ) ' >

которая обеспечивает равенство нулю интеграла столкновений для максвелловского распределения. Максвелловская функция распределения является равновесной, что означает отсутствие эволюции функции распределения за счет релаксации, т.е. отличие от нуля интеграла столкновений противоречило бы физическому смыслу.

Окончательно оператор интеграла столкновений приобретает вид

^^М-'Ж + + -ЧА)]\, (1.4.2)

У7гЬ2Ие

где В = ^ ; /V = (Д Д - (Д Д ^ (Д Д _ )< >*„ •

Далее применяется схема «непрерывного счета». Сведем данное уравнение к интегральному уравнению

Подставляя его в интеграл, получаем

(1.4.3)

где Д^-^-й член суммы.

Способ вычисления оптимальных коэффициентов сеток Коробова основан на следующей теореме [13].

Теорема 1. Пусть для целых г функция Н{г) определена равенством

где р — простое число, большее ^.

Если при г = а достигается минимум функции Н{г) на интервале 1< г < р -1, то целые а,=1 ,а2= = будут оптимальными коэффициентами по модулю р..

Минимум функции Н(г) можно установить путем сравнения ее значений при г = \,2,...,р-1. Так как сумма согласно уравнению содержит р-1 слагаемых, то для вычисления Н(г) при заданном г необходимо провести О(р) операций. Общее число операций будет равно 0(р2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Клосс, Юрий Юрьевич, 2013 год

Список использованных источников.

1. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М. : Мир, 1981. с. 319.

2. Перепухов В.А. О сопротивлении плоской пластины в потоке сильно разреженного газа // ЖВМ и МФ. 1961, Т. 1, № 4, с. 680-686.

3. Перепухов В.А. Обтекание плоской пластины под нулевым углом атаки потоком разреженного газа // ЖВМ и МФ. 1963, Т. 3, 3, с. 581-583.

4. Monte Carlo evaluation of the Boltzmann collision integral. Nordsieck A., Hiks B.L. N.Y.-L. б.м. : PlenumPress, 1967. Rarefied Gas Dynamics, C.L. Brundin. V. 1, c. 695-710.

5. Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в простом одноатомном газе // ДАН СССР. 1969, Т. 184. № 4. С. 790-793.

6. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных движений газа // ЖВМ и МФ. 1970, Т. 10, 3, с. 654665.

7. Черемисин Ф.Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана// Доклады РАН. 1997, Т. 357, 1, стр. 53-56.

8. Dalton, Bozeman. Numerical Study of viscous flow in a cavity // Journal of Computational Physics. 1973, T. 12, c. 348-363.

9. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М. : Иностранная литература, 1960.

10. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М. : Иностранная литература, 1961. 929 с.

11. Lennard-Jones J. On the Determination of Molecular Fields // Proc. Roy. Soc. 1924, Т. A 106, c. 463-477.

12. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана для высокоскоростных течений // ЖВМ и МФ. 2006, Т. 46, 2, стр. 329-343.

13. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

14. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

15. С. К. Годунов, «Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики», Матем. сб., 47(89): 3 (1959), 271-306

16. Тихонов A.M., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах // ЖВМ и МФ. 1961, Т. 1, 1, стр. 5-63.

17. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computation Physics, 1983, № 3, pp. 357-393.

18. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM Journal on Numerical Analysis Vol. 21, No. 5,(1984), pp. 995-1011

19. Lax P., Wendroff B. Systems of conservation laws. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1960, V. 13, pp. 217-237.

20. Roe P.L. Some contributions to the modeling of discontinuous flows, in Lectures in Applied Mathematics, 1985, pp. 163-193, AMS, Providence, RI.

21. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes // SIAM Journal Numer. Anal., 1987, № 2, pp. 279-309.

22. Shu C.W. TVB uniformly high-order schemes for conservation laws. //Mathematical Computations, 1987, № 179, pp. 105-121.

23. Harten A. Preliminary results on the extension of ENO schemes to two-dimensional problems, in Nonlinear Hyperbolic Problems (St. Etienne, 1986), C.

Carasso, P.-A. Raviart and D. Serre (Eds.), Lect. Notes in Math., pp. 23-40, Springer, Berlin, 1987.

24. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes, //Journal of Computation Physics, 1994, №1, pp.200-212.

25. Клосс Ю.Ю., Хохлов Н.И., Черемисин Ф.Г., Шурыгин Б.А. Проблемно-моделирующая среда для исследования течений газа в микро- и наноструктурах на основе решения уравнение Болъцмана // Атомная энергия — М., 2008. - Т. 105, -№ 4,- С. 211-217.

26. Anikin Yu., Dodulad О. I., Kloss Yu., Martynov D. V., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Development of applied software for analysis of gas flows in vacuum devices//Vacuum-ELSEVIER, 2012. - V. 86, -I. 11,-P. 1770-1777.

27. Клосс Ю.Ю., Хохлов Н.И., Шувалов П.В., Шурыгин Б.А., Черемисин Ф.Г. Моделирование и анализ газокинетических процессов в микро- и наноструктурах. - М.: ИздА Т, 2008 - 76 с. - 22 ил.

28. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ№

2010613639 Российская Федерация. Программный комплекс для моделирования газокинетических процессов на основе численного решения уравнения Болъцмана Rogsolv /Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Рогозин О.А., Дербакова Е.П., Шувалов П.В. - №2010613639, заявл. 15.04.10; опубл. 02.06.10.

29. http://www.nvidia.com/object/cuda_home.html

30. http://www.ncl.ucar.edu/

31. www.paraview.org/

32. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №

2010613640 Российская Федерация. Программный комплекс для визуализации результатов моделирования явлений в разреженном газе BKViewer / Клосс

Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Хохлов Н.И., Дербакова Е.П., Аникин Ю.А., Рогозин О.А., Шувалов П.В, - №2010613640, заявл. 15.04.10; опубл. 02.06.10.

33. http://geuz.org/gmsh/

34. Делоне Б.Н. О пустом шаре // Известия АН СССР. 1934, Т. 6, стр. 793-800.

35. Bhatnagar P., Gross Е., Krook М.. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems // Phys. Rev. 1954, 94, c. 211-225.

36. Shock wave boundary layer interaction. A. Hadjadj, J.-P. Dussauge. 6, 2009, Shock Waves, T. 19, стр. 449-452.

37. Valougeorgis D., Vauritis S., Sharipov F. Application of the integro-moment method to steady-state two-dimensional rerafeied gas flows subject to boundary-induced discontinuities // J. Comput. Phys. 2008, 227, стр. 6272-6287.

38. Mirshekari G., Brouillette M. One-dimensional model for microscale shock tube flow // Shock Waves. 2009, T. 19, 1, стр. 25-38.

39. An evaluation of a multiple stage micromechanical Knudsen compressor and vacuum pump. S. E. Vargo, E. P. Muntz. [ред.] С. Shen. б.м. : Peking University Press, 1997. Rarefied Gas Dynamics, стр. 995-1000.

40. Bird G. Approach to translational equilibrium in a rigid sphere gas // Phys. Fluids. 10, 1963, V. 6, pp. 1518-1519.

41. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613223 Российская Федерация. Программный комплекс для моделирования газокинетических процессов на основе численного решения кинетического обобщенного уравнения Больцмана (kesolver) /Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Мартынов Д.В., Рябченков В.В. — № 2011613223, заявл. 01.03.11; опубл. 25.04.11.

42. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011614291 Российская Федерация. Программа для вычисления интеграла столкновений /Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И., Рябченков В.В. -№2011614291, заявл. 07.04.11; опубл. 31.05.11.

43. Свидетельство о государственной регистрации № 2012616146 Российская Федерация. Программный солвер вычисления интеграла столкновений для смеси газов на основе проекционного метода /Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И. - № 2012616146, заявл. 15.05.12; опубл. 05.07.12.

44. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика, Том 10, Физическая кинетика. М. : ФизМатЛит, 2007.

45. Аникин Ю.А., Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г.

Компьютерное моделирование и анализ эксперимента Кнудсена 1910 года // Нано- и микросистемная техника - М., 2010. — № 8(121), - С. 6-14.

46. Клосс Ю.Ю., Рогозин O.A., Черемисин Ф.Г. Компьютерное моделирование многоступенчатого микронасоса Кнудсена в плоской геометрии //Нано- и микросистемная техника- М., 2010. —№ 6(119), -С. 24-31.

47. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Падение ударной волны на плоскую преграду, содержащую микрощели // Физико-химическая кинетика в газовой динамике — М., 2010. - Т. 10, - С. 1-18.

48. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Рогозин O.A., Рябченков В.В., Шувалов П.В., Черемисин Ф.Г. Проблемно-моделирующая среда для расчетов и анализа газокинетических процессов //Нано- и микросистемная техника — М., 2011. -№ 2. -С. 12-17.

49. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана. Доклады АН СССР. 1976, Т. 231, 1, с. 49-52.

50. Клосс Ю.Ю., Хохлов Н.И., Черемисин Ф.Г., Шурыгин Б.А. Разработка численных схем решения кинетического уравнения в кластерных средах на основе технологии MPI//Информационные процессы -М., 2007. -Т.7, -№ 4, -С. 425-431.

51. Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В. Решение кинетического уравнения Болъцмана с помощью тетраэдрических сеток на кластерной архитектуре // Вычислительные методы и программирование - М., 2012, — ТАЗ, - С. 90-96.

52. Свидетельство о государственной регистрации № 2012616560 Российская Федерация. Проблемно-моделирующая среда MHSF для моделирования и анализа газокинетических процессов в микро- и наноструктурах / Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Додулад О.И., Мартынов Д.В., Иванова ИД. - №2012616560, заявл. 22.05.12; опубл. 20.07.12.

53. Марчук, Г. И. Методы расщепления и переменных направлений, б.м. : АН СССР, Отд. вычисл. математики, 1986. с. 333.

54. http://www.vtk.org/

55. Hirschfelder J.O., Curtiss Ch. F., Bird R.B. Molecular theory of gases and liquids. London : J. Wiley and Sons, Inc., 1954.

56. Лифшиц E.M. и Питаевский Л.П.. Теоретическая физика под редакцией Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица в 10 томах, том 10. М. : Физматлит, 2002.

57. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М. : Иностр. лит-ра, 1960. 510 с.

58. Сивухин Д.В.. Общий курс физики.Том 1. М. : б.н., 1979.

59. Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Разработка методов компьютерного моделирования и анализа микро насоса Кнудсена // Информационные технологии - М., 2010. -№ 10(170), - С. 30-35.

60. Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Компьютерное моделирование и анализ технических характеристик термомолекулярных микронасосов //Журнал технической физики - М., 2011. - Т. 81, - №7, - С. 141 - 149.

61. Tcheremissine F. G., Agarwal R.K. A conservative numerical method for solving the generalized Boltzmann equation for an inert mixture of diatomic gases. — IAA Paper 1581, Orlando. 2009.

62. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Ван Чанг - Уленбека // Доклады АН. 2002, Т. 387, 4, с. 1-4.

63. Черемисин Ф.Г. Моделирование вращательно-поступательных и колебательно-поступательных переходов в молекулярном разреженном газе. Материалы XXXII Академических чтений по космонавтике. 2008, с. 157.

64. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Сакмаров А.В., Татауров А.Л., Остапов Е.Л. Моделирование течений смеси газов под действием градиента температур // Материалы IXмеждународной по неравновесным процессам в соплах и струях. (NPNJ'2012), -Алушта, 2012, - С. 215-217.

65. AnikinYu.A., Dodulad O.I., KlossYu.Yu., Martynov D.V., Shuvalov P.V, Tcheremissine F.G. Simulation of Gas Flows in Micro Devices by Solving the Boltzmann Kinetic Equation // Nanotech 2012 Conference Proceedings — NSTI-Nanotech 2012, - V. 2, -P. 617-620.

66. Dodulad О. I., Ivanova I. D., Kloss Yu. Yu., Shuvalov P.V., Tchremis sine F.G. Study of gas separation in micro devices by solving the Boltzmann equation // 28TH INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON RAREFIED GAS DYNAMICS 2012, -Zaragoza, Spain, 2012, AIP Conference Proceedings. 1501, - P. 816-823

67. Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Разработка программного солвера для решения задач динамики разреженного газа в кластерной

архитектуре //Вестник компьютерных и информационных технологий — М., 2011. -№>5, -С. 21-26

68. Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Численный метод анализа

I

свойств микронасосов Кнудсена //Вычислительные методы и программирование - М., 2011. - Т. 12, -№1, - С. 20-31.

69. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Рябченков В.В. Система программных модулей для вычисления интеграла столкновений Больцмана // Вычислительные методы и программирование - М., 2011. - Т. 12, № 1, стр. 44-51.

70. Гришина В.Г., Клосс Ю.Ю., Сакмаров А.В., Хохлов Н.И., Черемисин Ф.Г. Реализация консервативной схемы первого порядка в распределенной вычислительной среде на основе стандарта MPI // Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня — 1 июля 2006, Санкт-Петербург. — М. .Вузовская книга, 2006., - С. 146-149.

71. Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Решение уравнения Больцмана на графических процессорах // Вычислительные методы и программирование. Раздел 1-М., 2010. -T.il- С. 144-152.

72. Kloss Yu.Yu., Shuvalov P. V., Tcheremissine F.G. Solving Boltzmann

equation on GPU//Procedia Computer Science ICCS 2010, ISSN 1877-0509, DOI: 10.1016/).procs.2010.04.120, 2010, - V. 1,-I. 1, -P. 1077-1085.

73. Molnar Jr., Szakaly Т., Meszaros R., Lagzi I. Air pollution modelling using a Graphics Processing Unit with CUDA. — Computer Phys. Communications. 2010, T. 180, 12, c. 105-112.

74. Anderson J.A., Lorenz C.D., Travesset A. General purpose molecular dynamics simulations fully implemented on graphics processing units. — J. Comput. Phys, 2008, V. 227, 10, c. 5342-5359.

75. Acceleration of a 3D Euler solver using commodity graphics hardware. T. Brandvik, G. Pullan. In: 46th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 2008

76. Aldo Frezzotti, Gian Pietro Ghiroldi, Livio Gibelli. Solving Kinetic Equations on GPUs I: Model Kinetic Equations. arXiv:0903.4044vl [physics.comp-ph], 2009.

77. Corrigan A., Camelli F., Lohner R., Wallin J. Running Unstructured Grid CFD Solvers on Modern Graphics Hardware. — In: 19th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, 2009.

78. Sharipov F. Rarefied gas flow through a long rectangular channel. — J. of Vacuum Science & Technology A., 1999, T. 17, 5.

79. Khokhlov N. I., Kloss Y. Y., Shurygin B. A., Tcheremissine F. G. Application of MPI technology for solving the Boltzmann equation // in: 20-th International Conference on Transport Theory, Book of Abstracts, Obninsk. — M., 2007, — P. 189.

80. Khoklov N.I., Kloss Yu.Yu., Shurigin B.A., Tcheremissine F.G. Simulation of the temperature driven micro pump by solving the Boltzmann equation // In: 26-th Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, - Kyoto University, Japan 2008, - P. 1039-1044.

81. http://www.gnuplot.info/.

82. http://matplotlib.sourceforge.net/.

83. http://qt.nokia.com/products.

84. http://www.opengl.org/.

85. http://www.kdevelop.org/.

86. Головач, В. В. Дизайн пользовательского интерфейса vl.l / В. В. Головач. -www.uibook.ru, 2002. - 146 е.: ил.

87. Мандел, Тео. Дизайн интерфейсов. ДМК Пресс, 2005, стр. 410.

88. Galitz, Wilbert О. The Essential Guide to User Interface Design: an Introduction to GUI Design Principles and Techniques.: Wiley, 2007

89. Naris S., Valougeorgis D. The driven cavity flow over the whole range of the Knudsen number // Phys. Fluids. 2005, T. 17, 9.

90. Varoutis S., Valougeorgis D., Sharipov F. Simulation of gas flow through tubes of finite length over the whole range of rarefaction for various pressure drop ratios // J. Vac. Sci. Technol. A 27(6), Nov/Dec 2009, pp. 1377-1391

91. Sazhin, O. Rarefied gas flow through a channel of finite length into a vacuum. J. of Experimental and Theoretical Physics Vol. 109, No. 4, 2009, pp. 700-706

92. F. Sharipov, D. Kozar. Rarefied gas flow through a thin slit into vacuum simulated by the Monte Carlo method over the whole range of the Knudsen number. Journal of Vacuum Science & Technology A: Vacuum, Surfaces,and Films. 2009, T. 27, 3, CTp. 479 - 484.

93. Sharipov, F. Numerical simulation of rarefied gas flow through a thin orifice // J. Fluid Mech. 2004, T. 518, c. 35-60.

94. Molecular gas dynamics: theory, techniques, and applications Birkhauser 2007

95. Sone Y., Takata S., Ohwada T. Numerical analysis of the plane Couette flow of a rarefied gas on the basis of the linearized Boltzmann equation for hard-sphere molecules // European Journal of Mechanics B Fluids. 1990, T. 9, c. 273_L-288.

96. Cercignani C., Daneri A. Flow of a Rarefied Gas between Two Parallel Plates. // J. of Applied Physics. 1963, T. 34, 12, c. 3509-3513.

97. Cercignani C., Tironi G. Some applications of a linearized kinetic model with correct Prandtl number —*// Nuovo Cimento B. 1966, T. 43, 1, c. 64-78.

98. Sharipov F. Non-isothermal gas flow through rectangular microchannels // J. of Micromechanics and Microengineering. 1999, T. 9, c. 394.

99. Ohwada T., Sone Y., Aoki K. Numerical analysis of the Poiseuille and thermal transpiration flows between two parallel plates on the basis of the Boltzmann

equation for hard-sphere molecules // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. 1989, T. 1, 12, стр. 2042-2049.

100. Fan J., Shen C. Statistical Simulation of Low-Speed Rarefied Gas Flows // Journal of Computational Physics. 2001, T. 167, 2, стр. 393-412.

101. Porodnov В. T. Experimental investigation of rarefied gas flow in different channels. J. // Fluid Mechanics. 1974, T. 64, 3, стр. 417-438.

102. Ewart T. Mass flow rate measurements in a microchannel, from hydrodynamic to near free molecular regimes. ~V/ Ibit., 2007, T. 584, 1, c. 337-356.

103. Chapman S., Cowling T. G. The Mathematical Theory of Non-uniform Gases. 3rd Ed. Cambridge : Cambridge University Press, 1991.

104. Pekeris C., Alterman Z. Solution of the Boltzmann-Hilbert integral equation II. The coefficients of viscosity and heat conduction. — In: Proc. of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1957, T. 43, 11, стр. 9981007.

105. Maxwell J. C. On Stresses in Rarified Gases Arising from Inequalities of Temperature // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1879, T. 170, c. 231-256.

106. Cercignani C. Plane Poiseuille flow according to the method of elementary solutions //Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1965, T. 12, 2, c. 254-262.

107. Sone Y., Itakura E., Handa M. SOFTWARE PACKAGES of the Poiseuille flow and the thermal transpiration for rarefied gases. 1998 r. http://www.mfd.me.ky oto-u.ac.jp/Sone/database-e.html.

108. Holway Jr. L. Approximation Procedures for Kinetic Theory. PhD thesis. Harvard : 1963.

109. Holway Jr. L. New Statistical Models for Kinetic Theory: Methods of Construction // Physics of Fluids. 1966, V. 9, 9, стр. 1658-1673.

110. Shakhov E. M. Generalization of the Krook kinetic relaxation equation // Fluid Dynamics. 1968, V. 3, 5, стр. 95-96.

111. Ohwada Т., Sone Y., Aoki K. Numerical analysis of the shear and thermal creep flows of a rarefied gas over a plane wall on the basis of the linearized Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. 1989, V. 1, N 9, c. 1588-1599.

112. Cercignani C., Lorenzani S. Variational derivation of second-order slip coeffients on the basis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Physics of Fluids. T. 22, N. 6, P. 062004.

113. Kestin J. et al. Equilibrium and transport properties of the noble gases and their mixtures at low density // J. Phys. Chem. 1984, T. 13, N. 1, P. 229-303.

114. Гидродинамика. Изд. 3-е, перераб. M.: Наука1986 - Л.Д. Ландау и Е.М.Лифшиц

115. Thompson, P. A. Compressible Fluid Dynamics. New York, NY: McGraw-Hill, 1972.

116. Тамм И.Е. Труды Физического института им. Лебедева АН СССР. 1965.

117. Mott-Smith, Н. М. The Solution of the Boltzmann Equation for a Shock Wave, Phys. Rev. Vol. 82, p. 885-892, 1951

118. Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Решение уравнения Болъцмана для нестационарных течений с ударными волнами в узких каналах //Журнал вычислительной математики и математической физики - М, 2010. - Т. 50, — № 6, - С. 1148-1158.

119. Денисенко А.Н., Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Сазыкина Т.А., Федотов В.Ю.

Расчеты структуры ударной волны в газе // Материалы XVII международной

336

конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), -Алушта, 2011, - С. 535-537.

120. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Моделирование распространения ударной волны в микроканале на основе решения уравнения Болъцмана // Математическое моделирование — М., 2010. — Т. 22, — № 6, - С. 99110.

121. Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г., Шувалов П.В. Взаимодействие ударной волны с пограничным слоем в узком канале // Математическое моделирование -М, 2011. - Т. 23, -No 4,- С. 131-140.

122. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Сакмаров А.В., Федотов В.Ю., Шувалов П.В. Изучение структуры ударных волн и скорости их затухания в узких каналах в разреженном газе // Материалы VIII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010), -Алушта, 2010., — С. 269-271.

123. Grishina V.G., Dodulad O.I, Kloss Yu.Yu., Tcheremissine F.G. Interaction between a Shock wave and a Grid Barrier in the Transitional Gas Flow Regime // Proceedings of 19th International Shock Interaction Symposium. — Moscow, Russia, August 31 - September 3. - 2010. - CD. -P. 7-4.

124. Kloss Yu.Yu., Kolyadko G.S., Shuvalov P. V, Tcheremissine F.G. Shock wave -Boundary Layer Interaction inside a Micro Channel //Proceedings of 19th International Shock Interaction Symposium. - Moscow, Russia, August 31 -September 3. - 2010. - CD. -P. 1-4.

125. Development of Ultra Small Shock Tube for High Energy Molecular Beam Source. Nobuya Miyoshi, et al. — In: 2009. 26th Int. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics. 10 84. P. 557-562.

126. Micromechanical knudsen compressor. 1995. Pham-Van-Diep G., Keeley P., Muntz E. P., Weaver D. A. Ibid., P. 715-721.

127. Sugimoto H., Takata S., Kosuge S. Gas separation effect of the pump driven by the thermal edge flow. Novosibirsk : б.н., 2007. International Conference on Rarefied Gas Dynamics, стр. 1158-1163.

128. Han Y. L., Alexeenko A., Young M., Muntz P. E. Experimental and computational studies of temperature gradient driven molecular transport in gas flows through nano/micro-scale channels // Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering. 2007, Т. 11, № 1, P. 151-175.

129. Гришина В.Г., Клосс Ю.Ю., Федотов В.Ю., Черемисин Ф.Г. Компьютерная оптимизация параметров форвакуумного микронасоса // Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, (ВМСППС"2009), — Алушта, 2009, - С.242-244.

130. Патент 2462615 Российская Федерация МПКF04B 37/06, F04B 19/24. Газовый микронасос /Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Е.; заявитель и патентообладатель ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет). - № 2011115343/06; заявл. 19.04.11; опубл. 27.09.12, Бюл. №27. -16с.: ил.

131. Шахов Е.М. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука — 1968. С. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968, — № 5. стр. 142-145.

132. Sone Y., Sato К. Demonstration of a one-way flow of a rarefied gas induced through a pipe without average pressure and temperature gradients // Physics of Fluids. 2000, T. 12, 7, c. 1864-1868.

133. Tcheremissine, F.G. Solution of the Boltzmann Kinetic Equation for Low Speed Flows // Transport Theory and Statistical Physics. 2008, T. 37, 5, стр. 564-575.

134. Черемисин., Ф.Г. Двухуровневая кинетическая модель вращательно-поступательных переходов в разреженном газе // Физико-химическая кинетика в газовой динамике, http://www.chemphys.edu.ru/pdf/2007-10-22-001.pdf.

135. Simulation of Shock Wave Structure in Nitrogen with Realistic Rotational Spectrum and Molecular Interaction Potential. F.G. Tcheremissine, V.I.Kolobov, and R.R.Arslanbekov. In: 2007, 25-th Intern. Symp. on RGD. P. 203-208.

136. Tcheremissine F.G. Conservative discrete ordinates method for solving Boltzmann kinetic equation. Изд-во ВЦРАН, 1996. стр. 50.

137. Богданов A.B., Дубровский Г.В., Осипов А.И. Вращательная релаксация в плазме и газах. М. : Энергоатомиздат, 1991.

138. Vargo S. Е., Muntz Е.Р. Shiflett G. R., Tang W.C. The Knudsen Compressor as a Micro and Macro Scale Vacuum Pump without Moving Parts or Fluids // J. Vac. Sci. Technol. 1999, стр. 2308-2313.

139. Knudsen M. Eine Revision der Gleichgewichtsbedingung der Gase. Thermische Molekularstromung // der Phys. 1910, V. 31, № 9, P. 205-229.

140. Knudsen, M. Thermischer Molekulardruck der Gase in Rohren // Ann. Phys. 1910, стр. 1435.

141. Aoki K., Degond P., and Mieussens L. Numerical simulations of rarefied gases in curved channels: Thermal creep, circulating flow, and pumping effect // J. Comput. Phys. 2009.

142. Aoki K., Degond P., and Mieussens L., Nishioka M., and Takata S. Numerical simulation of a Knudsen pump using the effect of curvature of the channel, [ред.] M. S. Ivanov and A. K. Rebrov. Novosibirsk, Russia : б.н., 2007. Rarefied Gas Dynamics, стр. 1079-1084.

143. Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Компьютерное моделирование и анализ насоса Холвека в переходном режиме //Журнал технической физики - М., 2012. - Т. 82, - № 4, — С. 25-30.

144. Anikin Yu. A., Dodulad О. I., Kloss Yu. Yu., Martynov D. V., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Numerical modeling of Knudsen's thermal creep experiment // 1st European Conference on Gas Micro Flows (GasMems 2012), - Greece, 2012, Journal of Physics: Conference Series - 362(2012) 012037, — P. 1-7.

145. Hwang Y-K, Heo J-S. Molecular transition and slip flows in the pumping channels of drag pumps // AIP Conf. Proc. 2001. 585.

146. Skovorodko P.A. Free molecular flow in the Holweck pump. 2001. Rarefied Gas Dynamics: 22 International Symposium.

147. Клосс Ю.Ю., Мартынов Д.В., Черемисин Ф.Г. Проблемно-моделирующая среда для решения кинетического уравнения Болъцмана на тетраэдрических сетках. //Вычислительные методы и программирование - М., 2011, - Т. 12, -№ 1, - С. 220-234.

148. http://www.mpi-forum.org/.

149. http://www.hpfem.jku.at/netgen/.

150. Kinetic Solution of Shock Structure in a Non-Reactive Gas Mixture. Josyula Eswar, Vedula Prakash, Bailey William F. 2010. 48th AIAA Aerospace Sciences Meeting.

151. Taku, Ohwada. Structure of normal shock waves: Direct numerical analysis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Phys. Fluids A. 1993, T. 5, 1, стр. 217-234.

152. Alsmeyer. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam // J. Fluid. Mech. 1976, T. 74, 497-513.

153. http://code.enthought.com/projects/mayavi/.

154. http://www.eclipse.org/.

155. Tetgen: A quality tetrahedron mesh generator and three-dimensional Delaunay triangulator. http://tetgen.berlios.de/.

156. Hendrickson В., Leland R. The Chaco user's guide. Version 2.0. [В Интернете] http://www.sandia.gov/~bahendr/chaco.html.

157. Architecture aware partitioning algorithms. Moulitsas I., Karypis G.. Proc. of the 8th Int. Conf. on Algorithms and Architectures for Parallel Processing, 2008

158. NVIDIA CUDA 2.3 Programming Guide, http ://www. nvidia. com/obj ect/cuda_develop .html.

159. Anikin Yu.A., Derbakova E.P., Dodulad O.I., Kloss Yu.Yu., Martynov D.V., Rogozin O.A., Shuvalov P. V., Tcheremissine F.G. Computing of gas flows in micro-and nanoscale channels on the base of the Boltzmann Kinetic equation // Procedia Computer Science ICCS 2010, ISSN 1877-0509, DOI: 10.1016/j.procs.2010.04.079, 2010, - V. 1,-1. 1, -P. 735-744.

160. Kloss Yu. Yu., Shuvalov P. V., Tcheremissine F. G. Numerical simulation of shock wavespropogation in micro channels //Book of Proceedings of 27 Intern. Symp. on Shock Waves (ISSW27), - St. Petersburg, Russia, 2009, -P. 363.

161. Modeling of Backward Facing Step Gas Flow in Transition Regime. Kursun U., Kapat J. S. Barga, Italy : б.н., 2006. Proc. Second International Conference on Transport Phenomena in Micro and Nanodevices. стр. 662-669.

162. Reynolds O. On Certain Dimensional Properties of Matter in the Gaseous State. Phil. Trans. Royal Soc. 1879, T. 170, стр. 727-845.

163. Maxwell J.C. On Stresses in Rarefied Gases arising from Inequalities of Temperature. Phil. Trans. Royal Soc, 1879, V. 170, P. 231-256.

164. Initial results from the first MEMS fabricated thermal transpiration driven vacuum pump. Vargo S.E., Muntz E.P. el T.J. New York, Melville, 2001. Rarefied Gas Dynamics, стр. 502-509.

165. Novel functionality using micro-gaseous devices. Nathanson H.C., Liberman I., Freidhoff C. 1995. Proceedings of IEEE Int. Conf. on MEMS. стр. 72-76.

166. A silicon microsystem-miniaturised infrared spectrometer. Blomberg M., Rusanen O., Keranen K., Lehto A. 1997. Proceedings of IEEE Int. Conf. on SolidState Sensors and Actuators. T. 2, стр. 1257-1258.

167. Terry S.C., Jerman J.H., Angell J.B. A gas chromatographic air analyzer fabricated on a silicon wafer. IEEE Trans, on Electron Devices. 1979, T. 26, 12, стр. 1880-1886.

168. Holway L.H. New Statistical Models for Kinetic Theory: Methods of Construction // Phys. Fluids. 1966, T. 9, 9, стр. 1658-1673.

169. Sone Y., Waniguchi Y., Aoki K. One-way flow of a rarefied gas induced in a channel with a periodic temperature distribution // Phys. Fluids. 1996, T. 8, 8, стр. 2227-2235.

170. One-way flow of a rarefied gas induced in a circular pipe with a periodic temperature distribution. Aoki K., Sone Y., Takata S., Takahashi K., Bird G.A. New York, Melville; 2001. Rarefied Gas Dynamics, стр. 940-947.

171. Diffusion Approximation for the Knudsen Compressor Composed of Circular Tubes. Aoki K., Takata S., Kugimoto K. New York, Melville : б.н., 2009. Rarefied Gas Dynamics, стр. 953-958.

172. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Исследование частоты высокоэнергетических столкновений во фронте ударной волны в смеси газов на основе решения уравнения Больцмана// Труды 27 Академических чтений по космонавтике — М. 2013, - С. 198-200.

173. Додулад О.И., Клосс Ю.Ю., Черемисин Ф.Г. Расчеты структуры ударной волны в смеси газов на основе решения уравнения Больцмана // Физико-химическая кинетика в газовой динамике - М., 2013. - Т. 14, —С. 1-17.

174. MUller J.-D., Roe, P. L., Deconinck, H. A frontal approach for internal node generation in Delaunay triangulations. —Intern. J. for Numerical Methods in Fluids, 1993, V. 17, №3, P. 241-255.

175. Conservative method of evaluation of Boltzmann collision integrals for cylindrical symmetry. Raines, A.A. 1999. Rarefied Gas Dynamics Dynamics. T. 2, стр. 173-179.

176. Boulon O., Mathes R. Flow modeling of a Holweck pump stage in the viscous regime. — Vacuum, 2001, V. 60, P. 73-83.

177. Boulon O., Mathes R., Thibault JP. Direct simulation Monte-Carlo method for molecular and transitional flow regimes in vacuum components with static and moving surfaces. —J Vac Sci Technol. 1999, V. 17, № 4, P. 2080 - 2085.

178. M.D. Haviland, J.K. Lavin. Application of the Monte-Karlo Method to Heat Hauster in Rarefied of Gases. — Phis. Fluids. 1962, №11.

179. Dodulad O.I., Kloss Yu.Yu., Martynov D.V., Rogozin O.A., Shuvalov P.V., Tcheremissine F. G. VISUALIZA TION OF RAREFIED GAS FLOWS, // PROCEEDINGS The 8th Pacific Symposium on Flow Visualization and Image Processing, - Moscow, Russia, August 21 st-25th. -2011. — CD. — P. 1-3.

180. Аникин Ю.А., Клосс Ю.Ю., Рогозин О.А., Сазыкина Т.А., Черемисин Ф.Г. Введение в численные методы в динамике разреженного газа: Учебное пособие. - М.: МФТИ, 2011. -80с. /1