Вычислительная аэродинамика сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Кудрявцев, Алексей Николаевич

• Кудрявцев, Алексей Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кудрявцев, Алексей Николаевич

Оглавление

Введение

1 Схемы сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики

1.1 Основные уравнения динамики сжимаемого газа и некоторые их математические свойства

1.1.1 Гипотеза сплошной среды и законы сохранения

1.1.2 Уравнения Эйлера

1.1.3 Уравнения Навье—Стокса

1.2 ТУБ схемы на структурированных и неструктурированных сетках

1.2.1 Общая характеристика ТУБ схем

1.2.2 Консервативная пространственная дискретизация и реконструкция переменных на структурированных сетках

1.2.3 Консервативная пространственная дискретизация и реконструкция переменных на неструктурированных сетках

1.2.4 Вычисление численных потоков

1.3 ЕШ и \VENO схемы

1.3.1 Принципы построения ЕЖ) и \VENO схем

1.3.2 Обобщение на более сложные уравнения и системы уравнений

1.4 Вычислительные программы для расчета плоских, осесим-метричных и трехмерных течений

1.4.1 Аппроксимация вязких членов уравнений Навье-Стокса

1.4.2 Численная реализация граничных условий

1.4.3 Интегрирование уравнений по времени

1.4.4 Стационарный маршевый код

Л

1.4.5 Параллелизация расчетных программ

1.4.6 Способы визуализации расчетных данных

1.5 Верификация расчетных программ

2 Переход между регулярным и маховским отражениями сильных ударных волн

2.1 Предшествующие исследования

2.2 Постановка задачи и ее теоретический анализ

2.3 Гистерезис в течении между двумя клиньями

2.3.1 Существование двух стационарных решений при одинаковых параметрах потока

2.3.2 Гистерезис при изменении угла клина

2.3.3 Экспериментальное подтверждение существования гистерезиса

2.3.4 Влияние возмущений набегающего потока

2.3.5 Гистерезис при изменении числа Маха набегающего потока

2.3.6 Гистерезис при изменении расстояния между клиньями

2.3.7 Особенности несимметричного взаимодействия ударных волн

2.4 Гистерезис в других сверхзвуковых течениях

2.4.1 Гистерезис при обтекании сверхзвуковым потоком системы цилиндров

2.4.2 Гистерезис при смене типа отражения в плоской перерасширенной струе

2.4.3 Взаимодействие косых гидравлических прыжков на мелкой воде

3 Трехмерные взаимодействия ударных волн

3.1 Трехмерные стационарные ударно-волновые конфигурации

3.1.1 Качественный анализ влияния трехмерных эффектов

3.1.2 Численное моделирование трехмерного регулярного и маховского отражения

3.1.3 Гистерезис в трехмерных течениях

3.1.4 Экспериментальные исследования трехмерных ударно-волновых конфигураций

3.1.5 Комбинированное отражение

3.2 Попытки управления переходом между различными конфигурациям путем импульсного энергоподвода

3.3 Трехмерные взаимодействия ударных волн при обтекании двугранного угла

3.3.1 Метод численного моделирования

3.3.2 Переход от регулярного к нерегулярному отражению скачков, взаимодействующих в угловых течениях

3.3.3 Типы угловых течений с нерегулярными отражениями скачков

3.3.4 Типы сверхзвуковых течений, формирующиеся в угловых конфигурациях с различной V-образностью и стреловидностью

4 Взаимодействие ударных волн с пограничными слоями с учетом эффектов разреженности

4.1 Учет начальных эффектов разреженности с помощью граничных условий скольжения

4.2 Ламинарный отрыв гиперзвукового пограничного слоя

4.2.1 Параметры течения

4.2.2 Численный метод

4.2.3 Результаты моделирования

4.3 Распространение ударной волны в микроканале

4.3.1 Постановка задачи и численный метод

4.3.2 Сравнение результатов континуальных и кинетических расчетов

4.3.3 Параметрическое исследование распространения ударной волны

4.3.4 Численное моделирование эксперимента Даффа

5 Возникновение и развитие неустойчивости в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях

5.1 Неустойчивость свободного слоя сдвига

5.1.1 Основные определения

5.1.2 Результаты линейного анализа устойчивости

5.1.3 Временное развитие слоя смешения

5.1.4 Пространственное развитие слоя смешения

5.2 Неустойчивость плоской струи, истекающей в спутный поток277

5.2.1 Линейный анализ устойчивости плоской струи

5.2.2 Нелинейные стадии развития плоской струи

5.3 Моделирование турбулентной недорасширенной струи

5.4 Восприимчивость и развитие возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое

5.4.1 Постановка задачи и параметры течения

5.4.2 Результаты расчетов среднего течения

5.4.3 Развитие возмущений при возбуждении ударного слоя внешним акустическим полем

5.4.4 Возбуждение ударного слоя периодическим вду-вом и отсосом и управление развитием возмущений

в ударном слое

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вычислительная аэродинамика сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами»

Введение

Настоящая диссертация посвящена использованию современных методов сквозного счета для численного моделированию сверхзвуковых течений газа. Рассматриваемые течения включают сложные системы ударных волн, взаимодействующих как между собой, так и с пограничными и свободными сдвиговыми слоями, вихрями, волнами гидродинамической неустойчивости. Таким образом, предмет данной работы можно кратко охарактеризовать как вычислительную аэродинамику сверхзвуковых течений.

Нет, наверное, особой нужды доказывать актуальность и важность дальнейшего развития численных подходов к решению уравнений механики сплошной среды и их применения к исследованию конкретных течений жидкостей и газов. В свое время знаменитый американский математик Г. Биркгоф заметил в предисловии к своей книге «Гидродинамика» [1], что «гидромеханика включает в себя физику двух из трех самых общих состояний материи — жидкого и газообразного», поэтому «излишне объяснять, почему еще одну или даже несколько книг следует посвятить этому предмету». Эти слова полностью сохраняют свою актуальность и сегодня, более чем через полвека после того, как они были написаны. В какой-то мере они даже стали более справедливыми, так как за прошедшие годы в физике появилось новое, четвертое, состояние вещества — плазма, которое, как оказалось, также допускает гидродинамическое описание. В современной науке проблемы, включающие течения жидкостей, газов и плазмы встречаются в самых различных областях — от космологии и астрофизики до биологии. Механика текучих сред составляет также основу многих отраслях современной техники.

Уравнения гидродинамики нелинейны, и это приводит к тому, что получить их точные аналитические решения удается лишь в самых простейших случаях. Поэтому уже очень давно, еще в «домашинную» эру, были предприняты попытки численного решения задач гидродинамики, так что при определенном желании датой рождения вычислительной гидродина-

мики можно считать 1919 год, когда английский метеоролог Л.Ф. Ричардсон попытался использовать численный подход для целей прогноза погоды. После создания в 1940-х годах первых ЭВМ они были практически немедленно использованы для моделирования течений жидкостей и газов.

Если обратиться к сверхзвуковым течениям, то они отличаются важной особенностью, делающей их численное моделирование весьма нетривиальной задачей. Неотъемлемым элементом сверхзвуковых течений являются газодинамические разрывы, и речь, таким образом, должна идти о приближенном нахождении слабых (содержащих разрывы первого рода) решений уравнений в частных производных. Существует два основных класса методов нахождения решений с разрывами — методы выделения разрывов и методы сквозного счета (соответственно, shock fitting и shock capturing в английской терминологии). В первых поверхности разрыва выделяются и образуют внутренние границы, разделяющие расчетную область на подобласти, в каждой из которых решение является гладким. Дифференциальные уравнения решаются отдельно в каждой из подобластей, а на внутренних границах задаются граничные условия, вытекающие из соотношений Рэнкина-Гюгонио на разрыве. Движение самих разрывов также определяется в процессе счета, как часть решения задачи. Такого рода алгоритмы становятся очень сложными в тех случаях, когда в ходе расчета происходит слияние или, наоборот, разветвление разрывов; в наибольшей степени это относится к многомерным задачам. По этой причине в современной вычислительной аэродинамике методы выделения особенностей находят лишь очень ограниченное применение.

Второй класс методов, методы сквозного счета, предполагает проведение расчета в всей вычислительной области по единому однородному алгоритму. Разрывы решения при этом «размазываются» на несколько расчетных ячеек, сводясь, таким образом, к узким зонам, где градиенты решения велики, но конечны. Подобное сглаживание разрывов происходит под действием искусственной вязкости, либо явной, представленной вводимыми в уравнения дополнительными членами, либо так называемой схемной (численной), возникающей из-за выбранного способа аппроксимации уравнений.

История методов сквозного счета начинается с основополагающей работы Дж. фон Неймана и Р. Рихтмайера [2], в которой они предложили использовать для расчета течений с ударными волнами явную искусственную вязкость, пропорциональную абсолютной величине градиента решения. Заметными этапами в развитии метода стали схемы, предложен-

ные П. Лаксом [3], П. Лаксом и Б. Вендроффом [4], В.В. Русановым [5], Р. Маккормаком [6]. Однако, событием, оказавшим наибольшее влияние на всю вычислительную аэродинамику, стало появление знаменитой статьи С.К. Годунова [7], в которой была предложена схема сквозного счета, основанная на вычислении численных потоков из решения задачи о распаде разрыва (об истории создания схемы Годунова см. [8]).

В течение последующих десятилетий было предложено значительное количество других, подчас весьма остроумных и успешно применявшихся на практике, подходов к моделированию сверхзвуковых течений. Здесь можно, в частности, назвать полностью консервативные схемы [9], методы частиц в ячейках и крупных частиц [10], алгоритмы переноса с антидиффузионной коррекцией потоков (flux-corrected transport, FCT) [И], кинетически согласованные разностные схемы [12]. Тем не менее, именно схема Годунова оказалась наиболее популярной среди вычислителей и была использована при решении огромного числа научных и прикладных задач. Она также стала основой для развития многих новых схем сквозного счета, предложенных в последние годы. Важной итоговой публикацией, обобщившей многолетний опыт практического применения схемы Годунова в ее оригинальной форме, стала книга [13].

Схема Годунова в своем первоначальном варианте является методом первого порядка аппроксимации и достаточно сильно (на 8-10 ячеек) размазывает газодинамические разрывы. Поэтому достаточно давно, начиная примерно с середины 1970-х годов, начинают предлагаться различные ее модификации, которые могли бы улучшить достигаемое разрешение. С этой целью используемое в схеме Годунова постоянное распределение газодинамических величин в каждой расчетной ячейке заменяется на линейное [14, 15] или параболическое [16]. Чтобы избежать при этом возникновения нефизических осцилляций, в процедуру построения таких кусочно-полиномиальных распределений приходится вводить нелинейные функции-ограничители (limiters). Подобные подходы были поставлены на более твердую математическую основу с появлением статьи А. Харте-на [17], введшего понятие схем с уменьшением полной вариации (или, как их стали называть даже в русской литературе, TVD, total variation diminishing, схем). В последние два десятилетия TVD схемы постепенно стали основным рабочим инструментом вычислителей, работающих в области сверхзвуковой аэродинамики. Они же лежат в основе и большинства современных коммерческих кодов для решения подобных задач. Подробное описание TVD схем на русском языке можно найти в книге [18].

Стандартные TVD схемы, имеющие второй порядок точности вдали от разрывов и экстремумов решения, хорошо подходят для расчета сверхзвуковых течений с небольшим числом изолированных разрывов (ударных волн и контактных поверхностей). Однако, достигнутый к настоящему времени уровень развития вычислительной техники позволяет рассчитывать на решение гораздо более сложных задач сверхзвуковой аэродинамики. Среди наиболее актуальных направлений развития перечислим прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation, DNS) и моделирование методом крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) высокоскоростных переходных и турбулентных течений, моделирование отрывных и струйных течений, задачи вычислительной аэроакустики, течения со сверхзвуковым горением и детонацией. Для решения такого рода задач, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с вязкими слоями, вихрями, акустическими волнами, волнами гидродинамической неустойчивости и турбулентными пульсациями, необходимы вычислительные инструменты, позволяющие не только надежно рассчитывать газодинамических разрывы, но и способные с высокой точностью моделировать гладкую часть решения. TVD схемы для этой цели не очень подходят, поскольку их порядок аппроксимации уменьшается до первого на любом гладком экстремуме решения. В результате структуры, подобные распространяющимся волнам или вихрям, быстро затухают под действием численной вязкости.

Все это привело к тому, что в последние годы достаточно активно ведутся поиски более точных и эффективных численных алгоритмов для решения задач сверхзвуковой аэродинамики. Одним из наиболее перспективных кандидатов на роль базового инструмента в вычислительных программах нового поколения являются так называемые ENO (essentially non-oscillatory) и, особенно, WENO (weighted ENO) схемы [19]-[24].

Целями настоящей диссертации являются

1. Разработка, на основе современных алгоритмов сквозного счета, вычислительных программ, способных надежно проводить расчет сильных ударных волн и, одновременно, с высокой точностью моделировать гладкую часть сверхзвуковых течений, включающих сложные взаимодействия ударных волн между собой, с пограничными и свободными сдвиговыми слоями, вихрями, акустическими волнами и волнами гидродинамической неустойчивости.

2. Применение разработанных программ к численному решению ряда

актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, в частности к исследованию ударно-волновых взаимодействий в двумерных и трехмерных течениях, моделированию распространения нестационарных ударных волн, расчету взаимодействия ударных волн с пограничными слоями во внешних и внутренних течениях, включающих эффекты разреженности, прямому численному моделированию развития неустойчивости в высокоскоростных слоях смешения и струях, восприимчивости гиперзвукового ударного слоя.

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

1. На основе современных алгоритмов сквозного счета (ТУБ и \VENO схем высоких порядков) разработан комплекс программ для численного моделирования сверхзвуковых течений газа. Комплекс включает программы для решения двумерных, осесимметричных и трехмерных нестационарных уравнений Эйлера и Навье-Стокса, маршевый код для расчета чисто сверхзвуковых невязких течений. Для моделирования задач со сложной геометрией применяется как многоблочный подход, так и неструктурированные сетки. Все программы распараллелены для расчетов на многопроцессорных ЭВМ и снабжены средствами обработки расчетных данных.

2. Разработанные программы использованы для решения большого количества актуальных задач сверхзвуковой аэродинамики, включающих сильные ударные волны. Опыт их применения свидетельствует о высокой точности и эффективности данных программ при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений.

3. Подробно исследовано явление гистерезиса при взаимодействии сильных скачков уплотнения. Впервые показано, что неединственность стационарного решения и гистерезис при переходе от одного решения к другому являются общим свойством многих физических систем с взаимодействующими разрывами. Установлено, что размер кольца гистерезиса может зависеть от уровня пульсаций в набегающем потоке. Получено экспериментальное подтверждение существования гистерезиса и его зависимости от уровня пульсаций в экспериментальной установке.

4. Изучены трехмерные конфигурации ударных волн, возникающие при обтекании симметричных клиньев конечного размаха. Обнару-

жены новые типы и неизвестные ранее особенности таких конфигураций. Исследована возможность управления переходом между различными конфигурациями с помощью локализованного подвода энергии. Установлено, что трехмерное взаимодействие скачков уплотнения над двугранным углом характеризуется большим разнообразием возможных типов нерегулярного отражения.

5. Исследована роль эффектов разреженности при взаимодействии ударных волн с пограничным слоем. При моделировании отрыва ламинарного гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой показано, что расчет на основе уравнений Навье-Стокса предсказывает несколько больший размер отрывной зоны, чем наблюдается в эксперименте. Моделирование распространения ударной волны в ударной трубе малого диаметра показало, что взаимодействие с пограничным слоем приводят к быстрому уменьшению скорости волны. Установлено, что на больших расстояниях от диафрагмы ударная волна и контактная поверхность распространяются с одинаковой скоростью.

6. Выполнено численное моделирование начальных стадий развития неустойчивости в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях. Исследованы процессы восприимчивости и развития возмущений в гиперзвуковом вязком ударном слое на плоской пластине при числе Маха Мое = 21. Установлено, что при таких числах Маха в ударном слое формируются главным вихревые возмущения. Показано, что возмущения, возбуждаемые внешним акустическим полем могут быть эффективно подавлены с помощью интерференции с возмущениями, искусственно вводимыми путем периодического вдува и отсоса. Показано, что в слоях смешения и плоских струях характер неустойчивости существенно меняется с изменением конвективного числа Маха — на смену неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при сверхзвуковых Мс приходит т. н. сверхзвуковая неустойчивость.

На защиту выносятся:

1. Методика применения современных схем сквозного счета высоких порядков для решения уравнений движения сжимаемого газа и обоснование их высокой точности и эффективности при численном моделировании сложных сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами.

2. Результаты численного исследования задачи об отражении сильных скачков уплотнения, в том числе обнаружение неединственности стационарного решения и гистерезиса при переходе от одной ударно-волновой конфигурации к другой в ряде физических систем с взаимодействующими разрывами.

3. Обнаружение зависимости существования гистерезиса от уровня возмущений в набегающем потоке и возможности инициировать с помощью возмущений ранний переход к маховскому отражению.

4. Результаты численного исследования пространственного взаимодействия скачков уплотнения, в том числе обнаружение новых типов и особенностей возникающих трехмерных ударно-волновых конфигураций.

5. Результаты численного моделирования отрыва ламинарного гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой, данные о роли эффектов разреженности.

6. Результаты численного моделирования распространения ударной волны в ударной трубе малого диаметра, данные о влиянии вязкой диссипации и разреженности и поведении ударной волны на больших пройденных расстояниях.

7. Результаты численного моделирования развития возмущений в свободных и пристенных сверхзвуковых течениях, в том числе данные о нелинейной стадии развития сверхзвуковых слоев смешения и струй, процессах восприимчивости в гиперзвуковом вязком ударном слое, обнаружение в последней задаче возможности управления развитием неустойчивости с помощью периодического вдува и отсоса.

Полученные результаты способствуют лучшему пониманию особенностей сложных сверхзвуковых течений с сильными ударными волнами и разработке методики их высокоточного и эффективного численного моделирования. Результаты исследований могут иметь значение для широкого круга приложений, в которых встречаются сверхзвуковые течения, в частности для аэрокосмической техники.

Результаты, полученные в диссертации обсуждались на семинарах ИТ-ПМ СО РАН, объединенном семинаре ИТПМ СО РАН и ЦАГИ, семи-

нарах в ИММ РАН, ИМ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН, Сибирском суперкомпьютерном центре, в ряде зарубежных научных центров — Лаборатории ударных волн (Ахен, Германия), Лаборатории численной механики жидкостей (Руан, Франция), Китайской академии аэрокосмической аэродинамики (Пекин, КНР), Институте горения и аэротермодинамики (Орлеан, Франция), Институте индустриальных тепловых систем (Марсель, Франция), Лаборатории механики жидкостей и акустики (Лион, Франция), университетах Хартсфордшира (Англия), Эври-Валь д'Эссон (Эври, Франция), Конкук (Сеул, Юж. Корея),

Они также были представлены на многих ведущих российских и международных научных конференциях, в частности на X Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XXI Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Польша, 2004), Европейских конгрессах по вычислительным методам в прикладных науках и технике (Франция, 1996, Испания, 2000, Финляндия, 2004), Международных симпозиумах по ударным волнам (Англия, 1999, США, 2001, Китай, 2004, Германия, 2007, Россия, 2009), Международных симпозиумах по динамике разреженного газа (Франция, 1998, Россия, 2006), Международных конференциях по методам аэрофизических исследований (Россия, 1996-2010), Международных конференциях «Запад-Восток» по высокоскоростным течениям (Франция, 2003, Россия, 2007), Международной конференции по вычислительной гидродинамике (Бельгия, 2006), Международной конференции по вычислительной физике (Россия, 2013) и ряде других. За исследования отражения ударных волн, составляющие часть настоящей диссертации, ее автору, вместе с двумя другими сотрудниками ИТПМ СО РАН, в 2007 г. была присуждена премия им. А.Н. Крылова Российской Академии наук.

Результаты, полученные при выполнении диссертации опубликованы в 40 статьях в научных журналах, входящих в список ВАК [25]—[64], а также в большом количестве других работ (главы в коллективных монографиях, труды конференций).

Диссертационная работа состоит из Введения, пяти глав и списка литературы из 275 наименований. Заключения сформулированы по каждой главе отдельно. Общий объем диссертации 336 страниц, включая 176 рисунков и 7 таблиц.

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, кратко рассказывается история развития схем сквозного счета, предназначенных для моделирования сверхзвуковых течений, формулируются цели диссер-

тационной работы, перечисляются полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, описывается структура диссертации.

Глава 1 посвящена обсуждению применяемых в диссертации схем сквозного счета высоких порядков точности. Формулируются основные уравнения динамики вязкого газа, подробно рассматриваются так называемые ТУБ и Е1ЧО/\УЕ1ЧО схемы для расчета течений с газодинамическими разрывами. Описываются разработанные на их основе расчетные программы для моделирования сверхзвуковых течений с использованием структурированных и неструктурированных сеток, обсуждаются вопросы их применения на многопроцессорных компьютерах и обработки получаемых с их помощью численных данных. Приводятся многочисленные примеры расчетов, проведенных для верификации и тестирования созданных вычислительных программ.

В Глава 2 проводится численное исследование перехода отражения сильных ударных волн. Устанавливается, что при определенных параметрах такая система является бистабильной, с двумя различными стационарными состояниями — регулярной и маховской ударно-волновыми конфигурациями. Переход между ними сопровождается гистерезисом, причем гистерезис реализуется в самых различных физических систем со взаимодействующими разрывами. Показывается, что с помощью возмущений можно инициировать переход между регулярной и маховской конфигурациями. Существование гистерезиса подтверждается экспериментами, выполненными в аэродинамических трубах.

Глава 3 посвящена исследованию трехмерных ударно-волновых конфигураций. Моделируются регулярное и маховское отражение ударных волн, генерируемых клиньями конечного размаха. Показывается, что даже когда в центре отражение регулярное, на периферии существует наклонный к потоку маховский скачок. При полностью маховском отражении высота маховской ножки меняется по размаху немонотонно. Численно обнаружен новый тип ударно-волновой конфигурации — комбинированное отражение, при котором волны в центре отражаются маховским образом, ближе к периферии — регулярным, а на самой периферии — снова маховским. Все эти численные результаты подтверждены экспериментально. Исследуется возможность управления сменой типов отражения путем локализованного подвода энергии вверх по потоку от взаимодействующих ударных волн. Показано, что таким образом можно инициировать переход от регулярной конфигурации к маховской, но не обратно. Изучается

взаимодействие ударных волн при обтекании двугранного угла. Показано, что здесь возникает широкий спектр возможных ударно-волновых конфигураций, часть их которых не была ранее идентифицирована.

В Глава 4 решаются две задачи, связанные со взаимодействием ударных волн с пограничными слоями при наличии эффектов разреженности. В первом случае численно моделируется ламинарный отрыв гиперзвукового пограничного слоя на полом цилиндре с юбкой. Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными. Во второй задаче исследуется распространение ударной волны в узком канале, изучается влияние вязкости и теплообмена, воспроизводится наблюдавшийся экспериментально в очень длинных каналах эффект распространения ударной волны и следующей за ней контактной поверхности с одинаковой скоростью.

Глава 5 посвящена исследованию возникновения и развития неустойчивости в сдвиговых течениях. Выполняется прямое численное моделирование роста возмущений в сверхзвуковых слоях смешения и струях, моделируется турбулентная плоская недорасширенная струя. Исследуется восприимчивость гиперзвукового вязкого ударного слоя к внешним акустическим возмущениям. Обнаружена численно подтвержденная затем экспериментально возможность управления развитием возмущений в ударном слое с помощью локализованного вдува и отсоса с поверхности.

Основная часть используемых вычислительных программ разработана автором, в создании некоторых программ принимали участие Д.В. Хо-тяновский, Р.Д. Рахимов и Д.Б. Эпштейн, научным руководителем которых был автор. Часть представленных в диссертации расчетов проведена Д.В. Хотяновским, Р.Д. Рахимовым, Ю.П. Гунько, Т.В. Поплавской, Д.Б. Эпштейном (ИТПМ СО РАН), А.-С. Муронваль (Франция). Всем им автор искренне благодарен.

Глава 1

Схемы сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики

1.1 Основные уравнения динамики сжимаемого газа и некоторые их математические свойства

1.1.1 Гипотеза сплошной среды и законы сохранения

Согласно молекулярно-кинетической теории газ состоит из огромного числа быстро движущихся и непрерывно взаимодействующих между собой микроскопических частиц — молекул. Статистическое описание такой системы дается функцией распределения молекул по их скоростям и положениям в пространстве. Если газ достаточно разрежен, то можно ограничиться рассмотрением только бинарных столкновений между молекулами и не учитывать возможность одновременного столкновения трех или большего числа частиц. В этом случае эволюция функции распределения описывается, как известно, уравнением, полученным впервые Л. Больцманом и носящим его имя [65].

Уравнение переноса Больцмана представляет собой сложное интегро-дифференциальное уравнение от семи независимых переменных (трех координат, трех компонент скорости и времени), решение которого даже в простейших случаях является весьма непростой задачей. При изуче-

нии макроскопических движений газа часто, однако, можно пренебречь его молекулярной структурой и рассматривать газ как сплошную среду, т.е. материальный континуум, непрерывно заполняющий некоторую область трехмерного пространства М3(х), х = {ха} = = (х,у,г). Условием справедливости такого подхода является малость числа Кнуд-сена Кп = £/Ь — безразмерного параметра, определяемого как отношение средней длины свободного пробега молекул между последовательными столкновениями I к характерному пространственному размеру Ь, встречающемуся в данной задаче.

При континуальном описании состояние сплошной среды в любой момент времени г определяется заданием в каждой точке пространства х вектора скорости среды и(х,/), и = {иа} = (и1,М2>мз) — и тер-

модинамических величин, таких как плотность р(х,?), давление температура Г(х,г), удельная внутренняя энергия е(х,г) и т. п. Известно, что газы являются двухпараметрическими средами, т.е. все описывающие их термодинамические переменные могут быть определены, если известны две из них.

Уравнения, описывающие изменение во времени состояния сплошной среды, могут быть получены из уравнения Больцмана с помощью процедуры, включающей разложение по малому параметру Кп <С 1 и известной как метод Чепмена—Энскога [66]. В то же время, их можно вывести и другим, феноменологическим путем, применяя к некоторому объему сплошной среды общие законы сохранения массы, импульса и энергии [67, 68]. Для занимающего фиксированное положение в пространстве объема £2 С К3, ограниченного замкнутой поверхностью дО. с единичным вектором внешней нормали п, при отсутствии внешних сил, эти законы записываются как

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кудрявцев, Алексей Николаевич, 2014 год

Литература

[1] Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. —184 с.

[2] Von Neumann J., Richtmyer R. A method for numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Phys. — 1950. — V. 21.

— P. 232-237.

[3] Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. — 1954. — V. 7. — P. 159-193.

[4] Lax P.D., Wendroff B. Systems of conservation laws. Ill // Comm. Pure Appl. Math. — 1960. — V. 13, No. 2. — P. 217-237.

[5] Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями // Журн. выч. матем. и матем. физики. — 1961. — Т. 1, №2. — С. 267-279.

[6] McCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper No. 69-354. — 1969.

[7] Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидромеханики // Мат. сборник. — 1959. — Т. 47(89), № 3.

— С. 271-306.

[8] Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах — Новосибирск: Научная книга, 1997. — 40 с.

[9] Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Изд. 3-е — М.: Наука, 1992. — 424 с.

[10] Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. — М: Наука, 1982. — 392 с.

[11] Boris J., Book D.L. Solution of the continuity equations by the method of flux-corrected transport // Methods in Computational Physics. — 1976. — V. 16. — P. 85-129.

[12] Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. — М: Изд-во МГУ, 1999. — 232 с.

[13] Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М: Наука, 1976. — 400 с.

[14] Колган В.П. Конечно-разностная схема для расчета разрывных решений нестационарной газовой динамики // Ученые зап. ЦАГИ — 1975. — Т. 6, № 1. — С. 9-14.

[15] van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel of to Godunov's method // J. Comput. Phys. — 1979. — V. 32, No. 1. — P. 101-136.

[16] Colella P., Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Comput. Phys. — 1984. — V. 54, No. 1. —P. 174-201.

[17] Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. — 1983. — V. 49, No. 3. — P. 357-393.

[18] Куликовский А.Г., Погорелов H.B., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М: Физматлит, 2001. — 608 с.

[19] Harten A., Engquist В., Osher S, Chakravarthy S. Uniformly high order essentially non-oscillatory schemes, III // J. Comput. Phys. — 1987. — V. 71. - P. 231-303.

[20] Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, II // J. Comput. Phys. — 1989. — V. 83, No. 1. —P. 32-78.

[21] Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // J. Comput. Phys. — 1994. — Vol. 115. — P. 202-212.

[22] Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes // J. Comput. Phys. — 1996. — Vol. 126. — P. 202-228.

[23] Shu C.-W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws // NASA/CR-97-206253, ICASE Report No. 97-65. — 1997.

[24] Пинчуков В.И., Шу Ч.-В.. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики. — Новосибирск: Изд-во СО РАН,

2000. —232 с.

[25] Иванов М.С., Клеменков Г.П., Кудрявцев а.Н., Фомин в.м., харитонов a.m. Экспериментальное исследование перехода к маховскому отражению стационарных ударных волн // Доклады Академии наук. — 1997. — Т. 357, № 5. — С. 623-627.

[26] Ivanov M.S., Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., Gimelshein S.F. Numerical analysis of shock wave reflection transition in steady flows // AIAA Journal. — 1998. — V. 36, No. 11. -P. 2079-2086.

[27] Иванов M.C., Кудрявцев A.H., Хотяновский Д.В. Численное моделирование перехода между регулярным и маховским отражением ударных волн под действием локальных возмущений // Доклады Академии наук. — 2000. — Т. 373, № 3. — С. 332-336.

[28] Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Continuum and kinetic simulation of laminar separated flow at hypersonic speeds // Journal of Spacecraft and Rockets. — 2000. — V. 37, No. 4. — P. 499506.

[29] Гунько Ю.П., Кудрявцев A.H., Мажуль И.И., Рахимов Р.Д., Харитонов A.M. О газодинамике конвергентного воздухозаборника, интегрированного с носовой поверхностью сжатия // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2001. — № 2. — С. 157-169.

[30] Гунько Ю.П., Кудрявцев А.Н., Мажуль И.И., Рахимов Р.Д. Некоторые особенности обтекания двумерного плоского и трехмерного конвергентного воздухозаборников в системе гиперзвукового летательного аппарата // Теплофизика и аэромеханика. —

2001. — Т. 8, № 1. — С. 27-40.

[31] ivanov M.S., vandromme D., fomin V.M., kudryavtsev A.N., Hadjadj A., Khotyanovsky d.v. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results // Shock Waves. — 2001. — V. 11, No. 3. — P. 197-207.

[32] Ivanov M.S., Ben-Dor G., Elperin Т., Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V. Flow-Mach-number-variation-induced hysteresis in steady flow shock wave reflections // AIAA Journal.

— 2001. — V. 39, No. 5. — P. 972-974.

[33] Иванов M.C., Кудрявцев А.Н., Никифоров С.Б., Хотянов-ский Д.В. Переход между регулярным и маховским отражением ударных волн: новые численные и экспериментальные результаты // Аэромеханика и газовая динамика. — 2002. — №3. — С. 3-12.

[34] Ivanov M.S., Ben-Dor G., Elperin Т., Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V. The reflection of asymmetric shock waves in steady flows: a numerical investigation // Journal of Fluid Mechanics.

— 2002. — V. 469. — P. 71-87.

[35] Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V., Ivanov M.S., Hadjadj A., Vandromme D. Numerical investigation of transition between regular and Mach reflections caused by free-stream disturbances // Shock Waves. — 2002. — V. 12, No. 2. — P. 157-165.

[36] Mouronval A.-S., Hadjadj A., Kudryavtsev A.N., Vandromme D. Numerical investigation of transient nozzle flow // Shock Waves. — 2003. - V. 12, No. 5. - P. 403-411.

[37] Ivanov M.S., Kudryavtsev A.N., Nikiforov S.B., Khotyanovsky D.V., Pavlov A.A. Experiments on shock wave reflection transition and hysteresis in low-noise wind tunnel // Physics of Fluids. — 2003. — V. 15, No. 6. — P. 1807-1810.

[38] Гунько Ю.П., Кудрявцев A.H., Рахимов Р.Д. Сверхзвуковые невязкие течения с регулярным и нерегулярным взаимодействием скачков уплотнения в угловых конфигурациях // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2004. — № 2. — С. 152-169.

[39] Hadjadj A., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Numerical investigation of shock-reflection phenomena in overexpanded

supersonic jets // AIAA Journal. — 2004. — Vol. 42, No. 3. — P. 570-577.

[40] Hadjadj A., Kudryavtsev A.N. Computation and flow visualization in high-speed aerodynamics // Journal of Turbulence. — 2005. —V. 6. —P. 1-25.

[41] Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V. Numerical investigation of high speed free shear flow instability and Mach wave radiation // International Journal of Aeroacoustics. — 2005. — V. 4, No. 3 & 4. -P. 267-286.

[42] Кудрявцев A.H., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., Цырюль-ников И.С. Экспериментальное исследование и прямое численное моделирование развития возмущений в вязком ударном слое на плоской пластине // Прикладная механика и техническая физика.

— 2006. — Т. 47, №5. — С. 43-52.

[43] Кудрявцев А.Н., Маслов А.А., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Прямое численное моделирование восприимчивости гиперзвукового ударного слоя к естественным и искусственным возмущениям И Вычислительные технологии.

— 2006. — Т. И, спец. вып., Ч. 1. — С. 108-116.

[44] Троцюк А.В., Кудрявцев А.Н., Иванов М.С. Численное исследование стационарных детонационных волн // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, спец. вып., Ч. 2. — С. 37-44.

[45] Kudryavtsev A.N., Khotyanovsky D.V., Ivanov M.S. Effects of a single-pulse energy deposition on steady shock wave reflection // Shock Waves. — 2006. — V. 15, No. 5. —P. 353-362.

[46] Гунько Ю.П., Кудрявцев A.H. Численное моделирование свободного взаимодействия скачков уплотнения при обтекании двугранных углов // Теплофизика и аэромеханика. — 2006. — Т. 13, №2. —С. 239-256.

[47] Фомин В.М., Кудрявцев А.Н., Маслов А.А., Миронов С.Г., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Активное управление возмущениями в гиперзвуковом ударном слое // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 414, №2. — С. 1-4.

[48] Маслов A.A., Кудрявцев А.Н., Миронов С.Г., Поплав-ская Т.В., Цырюльников И.С. Численное моделирование восприимчивости гиперзвукового ударного слоя к акустическим возмущениям // Прикладная механика и техническая физика. — 2007.

— Т. 48, №3. — С. 84-91.

[49] Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Хотяновский Д.В. Применение схем высокого порядка точности при моделировании нестационарных сверхзвуковых течений // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, №7. — С. 39-55.

[50] Миронов С.Г., Маслов A.A., Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Активное управление возмущениями в гиперзвуковом ударном слое И Вестник НГУ. Серия: Физика. — 2008. — Т. 3, вып. 2. — С. 15-20.

[51] Поплавская Т.В., Кудрявцев А.Н., Миронов С.Г., Цырюльников И.С. Исследование распределенной и локализованной восприимчивости гиперзвукового ударного слоя на пластине // Вестник НГУ. Серия: Физика. — 2008. — Т. 3, вып. 2. — С. 21-27.

[52] Маслов A.A., Миронов С.Г., Кудрявцев А.Н., Поплавская Т.В., Цырюльников И.С. Управление возмущениями в гиперзвуковом ударном слое на пластине нестационарным воздействием с поверхности И Известия РАН. Механика жидкости и газа.

— 2008. — №3. — С. 152-161.

[53] Zeiton D.E., Burtchell Y., Graur I.A., Ivanov M.S., Kudryavtsev A.N., Bondar Ye.A. Numerical simulation of shock wave propagation in microchannels using continuum and kinetic approaches. Shock Waves. — 2009. — V. 19, No. 4. — P. 307-316.

[54] Khotyanovsky D.V., Bondar Ye.A., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V., Ivanov M.S. Viscous effects in stead reflection of strong shock waves // AIAA Journal. — 2009. — V. 47, No. 5. — P. 1263-1269.

[55] Кудрявцев А.Н., Поплавская T.B. Подавление пульсаций, генерируемых в гиперзвуковом ударном слое внешними акустическими волнами // Ученые запискиЦАГИ. — 2010. — Т. 41, №2. — С. 3136.

[56] Кудрявцев А.Н., Овсянников А.Ю. Численное исследование взаимодействия акустических волн со скачком уплотнения // Ученые запискиЦАГИ. — 2010. — Т. 41, №1. — С. 37-43.

[57] Maslov А.А., Mironov S.G., Kudryavtsev A.N., poplavskaya T.V., Tsyryulnikov I.S. Wave processes in a viscous shock layer and control of fluctuations // Journal of Fluid Mechanics. — 2010. — V. 650. — P. 81-118.

[58] Ivanov M.S., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V. Viscosity effects on weak irregular reflection of shock waves in steady flows // Progress in Aerospace Sciences. — 2010. — V. 46, No. 2-3. — P. 89-105.

[59] Шершнев А.А., Кудрявцев A.H., Бондарь E.A. Численное моделирование сверхзвукового течения газа около плоской пластины на основе кинетических и континуальных моделей // Вычислительные технологии. — 2011. — Т. 16, №6. — С. 93-104.

[60] Иванов М.С., Хотяновский Д.В., Шершнев А.А., Кудрявцев А.Н., Шевырин А.А., Ёнемура С., Бондарь Е.А. Эффекты разреженности при обтекании затупленной передней кромки сверхзвуковым потоком // Теплофизика и аэромеханика. — 2011. — Т. 18, №4. —С. 543-554.

[61] Шоев Г.В., Бондарь Е.А., Хотяновский Д.В., Кудрявцев А.Н., Мару та К., Иванов М.С. Численное исследование входа и распространения ударной волны в микроканале И Теплофизика и аэромеханика. — 2012. — Т. 19, №1. — С. 19-34.

[62] Кудрявцев А.Н., Эпштейн Д.Б. Явление гистерезиса при обтекании системы цилиндров сверхзвуковым потоком // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2012, №3. — С. 122-131.

[63] Kudryavtsev A.N., Epstein D.B. Hysteresis phenomenon at interaction of shock waves generated by a cylinder array // Shock Waves. — 2012. — V. 22, No. 4. — P. 341-349.

[64] Kudryavtsev A.N., Shershnev A.A. Numerical simulation of microflows using direct solving of kinetic equations with WENO

schemes I I Journal of Scientific Computing. — 2013. — V. 57. — P. 4273.

[65] Паттерсон Г.Н. Молекулярное течение газов. — М.: ГИФМЛ, I960. —272 с.

[66] Бонд Дж., Уотсон К., Уэлч Дж. Физическая теория газовой динамики. — М.: Мир, 1968. — 556 с.

[67] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Изд. 4-ое — М.: Наука, 1988. — 736 с.

[68] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6-ое — М.: Наука, 1987. — 840 с.

[69] Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. Изд. 2-ое — М.: Наука, 1977. — 556 с.

[70] рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М: Наука, 1978.

— 668 с.

[71] Smoller J. Shock waves and reaction-diffusion equations. — New York-Berlin: Springer-Verlag, 1983. — 581 p.

[72] vlnokur M. Conservation equations of gasdynamics in curvilinear coordinate systems // Journal of Computational Physics. — 1974. — Vol. 14, No. 2. —P. 105-125.

[73] LeVeque R.J. Numerical Methods for Conservation Laws. — Basel et al.: Birkhauser Verlag, 1992. — 214 p.

[74] Иванов М.Я., Крайко A.H. Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счета И Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1978. — Т. 18, №3. — С. 780-783.

[75] Остапенко В.В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

— 1997. — Т. 37, №10. — С. 1201-1212.

[76] Chakravarthy C.S., Shema K.-Y. Euler solver for three-dimensional supersonic flows with subsonic pockets // Journal of Aircraft. — 1987. — V. 24, No.2. — P. 73-83.

[77] Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws // J. Comput. Phys. — 1989. — V. 81, No. 1. —P. 1-52.

[78] Anderson W.K., Thomas J.L., van Leer B. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equations // AIAA Journal.

— 1986. —V. 24, No. 9. — P. 1453-1460.

[79] SWEEBY P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conser vation laws // SIAMJ. Numer. Anal. — 1984. - V. 21.

— P. 995-1011.

[80] Yamamoto S., Daiguji H. Higher-order-accurate upwind schemes for solving the compressible Euler and Navier-Stokes equations // Computers and Fluids. — 1993. — V. 22. — P. 259-270.

[81] Liseikin V.D. Grid Generation Methods. — Dordrecht et al.: SpringerVerlag, 2010. —390 p.

[82] Shewchuk J.R. Triangle. A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator. http://www.cs.cmu.edu/ quake/triangle.html

[83] HANG Si. A Quality Tetrahedral Mesh Generator and a 3D Delaunay Triangulator. http://tetgen.berlios.de

[84] NETGEN — Automatic Mesh Generator. http://www.hpfem.jku.at/netgen/

[85] Lin S.-Y., Wu T.-M., Chin Y.-S. Upwind finite-volume method with a triangular mesh for conservation laws. // J. Comput. Phys. — 1993. — V. 107. —P. 324-337.

[86] TORO E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics.

— Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1999. — 656 p.

[87] Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // J. Comput. Phys. — 1981. — V. 43, No. 2. — P. 357-372.

[88] Yee H.C., Warming R.F., Harten A. Implicit total variation diminishing (TVD) schemes for steady-state calculations // J. Comput. Phys. — 1985. — V. 57, No. 2. — P. 327-360.

[89] Einfeldt В., Munz C.D., Roe P.L., Sjogreen B. On Godunov-type methods near low densities // J. Comput. Phys. — 1991. — V. 92, No. 2. —P. 273-295.

[90] Steger J., Warming R.F. Flux vector splitting of the inviscid gas dynamics equations with application to finite difference methods // J. Comput. Phys. — 1981. — V. 40, No. 2. — P. 263-293.

[91] van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations // Lecture Notes in Physics. — 1982. — V. 170. — P. 507-512.

[92] Liou M.-S., Steffen C.J. A new flux splitting scheme // J. Comput. Phys. — 1993. — V. 107, No. 1. — P.23-39.

[93] radespiel r., kroll N. Accurate flux vector splitting for shocks and shear layers // J. Comput Phys. — 1995. — V. 121, No. 1. — P. 66-78.

[94] Casper J., Shu C.-W., Atkins H. Comparison ot two formulations for high-order accurate essentially non-oscillatory schemes // AIAA Journal. — 1994. — V. 32. — P. 1970-1977.

[95] хотяновский д.в. Численный анализ сверхзвуковых течений со

сложными ударно-волновыми структурами: Дисс____канд. физ.-мат

наук. — Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2007.

[96] Рахимов Р.Д. Численное и экспериментальное моделирование обтекания гиперзвуковых конфигураций с конвергентными поверхностями сжатия: Дисс. ...канд. физ.-мат наук. — Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2001.

[97] ЭпштеЙН Д.Б. Моделирование взаимодействий ударных волн с использованием неструктурированных расчетных сеток: Дисс. ... канд. физ.-мат наук. — Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2013.

[98] Thompson К. W. Time dependent boundary conditions for hyperbolic systems // J. Comput. Phys. - 1987. -V. 68. - P. 1-24.

[99] Poinsot T.J., Lele S.K Boundary conditions for direct simulations of compressible viscous flows // J. Comput. Physics. -1992. - V. 101. -P. 104-129.

[100] SHU C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes // J.Comput. Phys. — 1988. — V. 77.— P. 439-471.

[101] ХаЙРЕР Э., НЁРСЕТТ С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990. — 510 с.

[102] Swanson R.C., Turkel Е. Multistage schemes with multigrid for Euler and Navier-Stokes equations. — NASA Tech. Paper 3631, Hampton, VA, 1997. — 84 p.

[103] Glaz H.M., Wardlaw A.B. A high-order Godunov scheme for steady supersonic gas dynamics // Journal of Computational Physics. — 1985. — V. 58, No. 2. — P. 157-187.

[104] MPI: A message passing interface standard. University of Tennessee, Knoxville, Tennessee: 1994. — 228 p.

[105] METIS — Serial Graph Partitioning and Fill-reducing Matrix Ordering. http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/metis/overview

[106] Yates L.A. Images constructed from computed flowfields III AIAA Journal. — 1993. — V. 31. — P. 1877-1884.

[107] Havener G. Computational flow imaging: fundamentals and history // AIAA Paper No. 2615. — 1994.

[108] Quirk J.J. A contribution to the great Riemann solver debate // Int. J. Numer. Meth. Fluids. — 1994. — V. 18. P. 555-574.

[109] Sod G.A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws II J. Comput. Phys. - 1978. -V.27.-P. 1-31.

[110] Lax P. D. Weak solutions of non-linear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. - 1954. - V. VII. -P. 159-193.

[111] ХЕЙЗ У .Д. Основы теории газодинамических разрывов. - В кн.: Основы газовой динамики / под ред. Г. Эммонса, пер. с англ. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 702 с.

[112] Адрианов А.Л., Усков В.Н., Старых А.Л. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. — Новосибирск: Наука, 1995. —180 с.

[113] SCHARDIN Н. High frequency cinematography in the shock tube // Journal of Photographic Science. — 1957. — V. 5. — P. 19-26.

[114] Bah Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. — М: Мир, 1986. —184 с.

[115] Amann Н.О. Experimental study of the starting process in a reflection nozzle // Phys. Fluids. — 1969. — V. 12. — P. 1-150-1-153.

[116] Jiang z., Onodera O., Takayama K. Evolution of shock waves and the primary vortex loop discharged from a square cross-sectional tube // Shock Waves. — 1990. — V. 9. — P. 1-10.

[117] von Neumann J. Oblique reflection of shock waves // Explosive Research Report No. 12. — Navy Dept. Bureau of Ordonance, Washington DC.: US Dept. Comm. Off. Tech. Serv. No. PB37079. — 1943 (воспроизведено в Collected Works of J. von Neumann. — Pergamon Press, 1963. — V. 6. — P. 238-299).

[118] Баженова T.B., Гвоздева Л.Г., Лагутов Ю.П., Ляхов В.Н., Фаресов Ю.М., Фокеев В.П. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. — М.: Наука, 1986. — 208 с.

[119] Ben-DOR G. Shock wave reflection phenomena. — Berlin et al.: Springer-Verlag, 1992. — 308 p.

[120] Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. 2nd edition. — Berlin et al.: Springer-Verlag, 2007. — 342 p.

[121] ГРИФФИТС У. Ударные волны // В кн.: Современная гидродинамика. Успехи и проблемы / под ред. Дж. Бэтчелора, Г. Моффата. — М.: Мир, 1984. — С. 120-146.

[122] hornung h.g. Regular and Mach reflection of shock waves // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1986. — V. 18. — P. 33-58.

[123] Hornung H.G., Oertel H., Sandeman R.J. Transition to Mach reflexion of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation // J. Fluid Mech. — 1979. — V. 90. — P. 541-560.

[124] Hornung H.G., Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock wave. Part 2. The steady-flow criterion // J. Fluid Mech. — 1982. — V. 123. — P. 155-164.

[125] Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Beylich A.E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves // Phys. Fluids. — 1995. — V. 7. — P. 685-687.

[126] Chpoun A., Passerel D., Li H., Ben-Dor G. Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 1. Experimental investigation // J. Fluid Mech. — 1995. — V. 301. — P. 19-35.

[127] Passerel D. Etude de la transition entre réflexion régulière et réflexion de Mach. — Thèse de doctorat de l'Université Pierre et Marie Curie. — Paris, 1996.

[128] Курант P., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. — М.: ИИЛ, 1950. — 428 с.

[129] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. — М.: Наука, 1981. — 368 с.

[130] Черный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.

[131] крайко а.н. Теоретическая газовая динамика: классика и современность. — М.: Торус Пресс, 2010. — 440 с.

[132] Ivanov M.S., Gimelshein S.F, Kudryavtsev A.N., Markelov G.N. Numerical study of the transition from regular to Mach reflection in steady supersonic flows // Proceedings of 15th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics (Monterey, С A, USA, 24-28 June 1996). — Springer: Lecture Notes in Physics. — 1997. — V 490. — P. 394-399.

[133] Chpoun A., Ben-Dor G. Numerical confirmation of the hysteresis phenomenon in the regular to the Mach reflection transition in steady flows // Shock Waves. — 1995. — V. 5, No. 4. — P. 199-203.

[134] Khotyanovsky D.V. , Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Numerical study of transition between steady regular and Mach reflection caused by free-stream perturbations // Proceedings of 22nd

International Symposium on Shock Waves / Eds.: G.J. Ball, R. Hillier, G.T. Roberts (Imperial College, London, UK, July 18-23, 1999). — P. 1261-1266.

[135] ivanov M.S., klemenkov G.P., kudryavtsev A.N., Nikiforov S.B., Pavlov A.A, Fomin V.M., Kharitonov A.M, Khotyanovsky D.V, Hornung H.G. Experimental and numerical study of the transition between regular and Mach reflections of shock waves in steady flows // Proceedings of 21st International Symposium on Shock Waves (Great Keppel, Australia, 20-25 July 1997). —Fyshwick: Panther Publishing, 1998. — V. 2. — P 819-824.

[136] ivanov M.S., klemenkov G.P., kudryavtsev A.N., Nikiforov S.B., Pavlov A.A., Kharitonov A.M., Fomin V.M. Wind tunnel experiments on shock wave reflection transition and hysteresis // Proceedings of the 22nd Symposium on Shock Waves, (Imperial College, London, UK, July 18-23, 1999) / Eds.: G.J.Bali, R.Hillier, G.T.Roberts. — P .1191-1196.

[137] Sudani N., Sato M., Karasawa Т., Nöda J., Tate A., Watanabe M. Irregular effects on the transition from regular to Mach reflection of shock waves in wind tunnel flows II J. Fluid Mech. - 2002.

— v. 459. — P. 167-185.

[138] Тешуков B.M. Об устойчивости регулярного отражения ударных волн // ПМТФ.- 1989.- №2.- С.26-33.

[139] ivanov M.S., kudryavtsev a.n., Markelov G.n., Gimelshein S.F. Transition between regular and Mach reflection of shock waves in steady flows // AI A A Paper 97-2511. — 1997.

[140] Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Markelov G.N. Statistical simulation of the transition between regular and Mach reflection in steady flows // Computers and Mathematics with Applications. - 1998.

- V. 35. - N. 1-2. - P. 113-126.

[141] Onofri M., Nasuti F. Theoretical considerations on shock reflections and their implications on the evaluation of air intake performance. // Shock Waves. — 2001. — V. 11.— P. 151-156.

[142] Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S., Chanetz В., Durand A., Chernyshev M.V., Omelchenko A.V, Uskov V.N. Analytical, numerical, and experimental investigation of shock wave reflection transition induced by variation of distance between wedges. In: West East High Speed Flow Fields. Aerospace applications from high subsonic to hypersonic regime / Zeitoun D.E., Pénaux J., Désidéri J.A., Marini M. (ed.) — Barcelona: CIMNE., 2003. — P. 274-281.

[143] Li H., Ben-Dor G. Oblique-shock/expansion-fan interaction -analytical solution // AIAA Journ.- 1996.- V. 34, No. 2. - P. 418-421.

[144] Мешков В.P., Омельченко A.B., Усков B.H. Взаимодействие скачка уплотнения со встречной волной разрежения // Вестник СПб. ун-та. Сер. 1. - 2002. Вып. 2, № 9. - С. 99-106.

[145] durand a. Phénomènes d'hystérésis dans les interférences de choc, en écoulements stationnaires supersonique et hypersonique // Thèse de doctorat de l'Université d'Orléans, Orleans, 2002. — 199p.

[146] Ll H., chpoun A., ben-dor G. Analytical and experimental investigations of the reflection of asymmetric shock waves in steady flows // J. Fluid Mech. - 1999. - V. 390. — P. 25.

[147] Chpoun A., Lengrand J. C. Confirmation experimentale d'un phenomene d'hysteresis lors de l'interaction de deux chocs obliques de familles différentes // C. R. Acad. Sci. Paris. - 1997.- V. 304. —P. 1.

[148] Hornung H.G. On the stability of steady-flow regular and Mach reflection // Shock Waves. — 1997. — V. 7, No. 2. — P. 123-125.

[149] Salas M.D., Morgan B.D. Stability of shock waves attached to wedges and cones // AIAA Journ. — 1983. — V. 21, No. 12. — P. 16111617.

[150] MÔLDER S.M., TlMOFEEV E.V., DUNHAM C.G., MCKINLEY S., VOINOVICH P.A. On stability of strong and weak reflected shocks // Shock Waves. — 2000. — V. 10, No. 5. — P. 389-393.

[151] Бойко В.M., Клинков К.В., Поплавский C.B. Коллективный головной скачок перед поперечной системой сфер в сверхзвуковом

потоке за проходящей ударной волной. // Изв. РАН. МЖГ. — 2004. №2. —С. 183-192.

[152] ivanov M.S., Kashkovsky a.v. Statistical simulation of space debris cloud aerodynamics in the free-molecular and transitional regimes // Proceedings of XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics (Oxford, UK, 1994) / Ed. by Harvey J., Lord G.— Oxford: Oxford Univ. Press. — 1995. — P. 1401-1407.

[153] Naiman H., Knight D.D. The effect of porosity on shock interaction with a rigid, porous barrier // Shock Waves. — 2007. — V. 16. — P. 321337.

[154] Дмитриев A.JI., Дубровина И.А., Ждан И.А., Кузнецов О.М.,Стулов В.П. Аэродинамическое взаимодействие тел в стационарном сверхзвуковом потоке // Сб. XVIII Гагаринские научные чтения / под ред. B.C. Авдуевского. М.: Наука. — 1989. — С. 45-56.

[155] Дубровина И.А., Стулов В.П. Определение наибольшего расстояния аэродинамического взаимодействия пары сфер и цилиндров в сверхзвуковом потоке. // Вестник МГУ, Математика и Механика. — 1989. — № 5. — С. 46-49.

[156] Лягушин Е.Е., стулов В.П., Юшков А.Ю. Экспериментальное исследование взаимодействия ударных волн при обтекании двух цилиндров // Сб. Исследование газодинамики и теплообмена сложных течений однородных и многофазных сред / под ред. В.П. Стулова. М.: МГУ. — 1990. — с. 26-29.

[157] Ждан И.А., Стулов В.П., Стулов П.В. Аэродинамическое взаимодействие двух тел в сверхзвуковом потоке. // Докл. РАН. — 2004. — Т. 396, № 2. — С. 191-193.

[158] Тугазаков Р.Я. Теория нестационарного отрыва сверхзвукового потока газа при обтекании выпуклого угла. // Изв. РАН. МЖГ. — 2007. — № 3. — С. 169-179.

[159] РЫЛОВ А.И. К вопросу о невозможности регулярного отражения стационарной ударной волны от оси симметрии // Приклад, математ и механ. — 1990. — Т. 54, Вып. 2. — С. 245-249.

[160] molder S., gulamhussein A., tlmofeev e.v., voinovich P.A. Focusing of conical shocks at the center-line of symmetry // 21st Int. Symp. on Shock Waves, Great Keppel, Australia, 1997.

[161] Teshima K. Structure of supersonic free-jets issuing from a rectangular orifice // Progress in Astronautics and Aeronautics. — 1994.

— Vol. 158. — P. 375—380.

[162] Welsh F.P. Shock Reflection Hysteresis in Low Density Under-expanded Jets. — Defense Evaluation and Research Agency Farnborough, DRA TR DRA/DWSAVX9/CR97361. — Farnborough, UK. — 1997.

[163] Gribben B.J., Badcock K.J., Richards B.E. Numerical study of shock-reflection hysteresis in an underexpanded jet // AIAA Journal. — 2000. — Vol. 38, No. 2. — P. 275-283.

[164] Rudy D., Strikwerda J. A non-reflecting outflow boundary condition for subsonic Navier-Stokes calculations // Journal of Computational Physics. — 1980. — Vol. 36, No. 1. — P. 55-70.

[165] Chow W.L., Chang I.L. Mach reflection associated with over-expanded nozzle free jet flows // AIAA Journal. — 1975. — Vol. 13, No. 6. —P. 762-766.

[166] Li H., Ben-Dor G. Mach reflection wave configuration in two-dimensional supersonic jets of overexpanded nozzles // AIAA Journal.

— 1997. — Vol. 36, No. 3. — P. 488-491.

[167] wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD. — La Canada, CA, USA: DCW Industries., 1994. — 460 pp.

[168] Einstein H.A., Baird E.G. Progress report on the analogy between surface shock waves on liquds and shocks in compressible gases. — Calif. Inst. Technol. Hydrodynamic Lab., Sept. 1946, July 1947.

[169] Perroud P.H. The solitary wave reflection along a straight vertical wall at oblique incidence // IER Technical Report. — No. 99-3. — University of California, Berkeley, USA. — 1957.

[170] Wiegel R.L. Water wave equivalent of Mach reflection // Proceedings of 9th Conference on Coastal Engineering. — 1964. — ASCE. — Chapter 6, P. 82-102.

[171] Toro E.F., Olim M., Takayama K. Unusual increase in tsunami wave amplitude at the Okushiri island: Mach reflection of shallow water waves // Proceedings of 22nd International Symposium on Shock Waves (London, UK, July 18-23,1999). — 1999. — P. 1207-1212.

[172] Стокер Дж. Дж. Волны на воде. — М: Изд. ИЛ, 1959. — 620 с.

[173] Ippen A., Dawson J. Design of channel contractions // Transactions of ASCE. — 1951. — V. 116. — P. 326-346.

[174] Causon D.M., Mingham C.G., Ingram D.M. Numerical modelling of steady and non-steady bore wave phenomena // Proceedings of 22nd International Symposium on Shock Waves (London, UK, July 18-23,1999). — 1999. — P. 629-634.

[175] Skews B.W. Aspect ratio effects in wind tunnel studies of shock wave reflection transition // Shock Waves. — 1997. — V. 8. — P. 373-383.

[176] Azevedo D.J., Liu C.S. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows // AIAA Journal. — 1993. — V. 31, No. 1. —P. 83-90.

[177] Li H., Ben-Dor G. A parametric study of Mach reflection in steady flows // Journal of Fluid Mechanics. — 1997. — V. 341. — P. 101-125.

[178] Медведев A.E., Фомин B.M. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded high-speed flows // Прикладная механика и техническая физика. — 1998. — Т. 39,№. 3. — С. 52-58.

[179] skews В. W. Three-dimensional effects in wind tunnel studies of shock wave reflection // J. Fluid Mech. — 2000. — V. 407. — P. 85-104.

[180] Sudani N., Sato M., Watanabe M., Nöda J., Tate A., karasawa T. Three-dimensional effects on shock wave reflections in steady flows .AIAA Paper 99-148. — 1999.

[181] Yan H., Adelgren R., Elliott G., Knight D., Beutner Т., ivanov m. Laser energy deposition in intersecting shocks. AIAA Paper Ж 2002-2729. — 2002.

[182] Yan H., Adelgren R., Elliott G., Knight D., Beutner T. Effect of energy addition on MR —> RR transition // Shock Waves. — 2003. —Vol. 13, P. 113-121.

[183] Yan H., Adelgren R., Boguszko M., Elliott G., Knight D. Laser energy deposition in quiescent air // AIAA Journal. — 2003. — V. 41. — P. 1988-1995.

[184] Adelgren R., Yan H., Elliott G., Knight D., Beutner Т., Zheltovodov A., Ivanov M., Khotyanovsky D. Localized flow control by laser energy deposition applied to Edney IV shock impingement and intersecting shocks // AIAA paper 2003-0031. — 2003.

[185] CHARWAT A.F., REDEKEOPP L.G. Supersonic interference flow along the corner of intersecting wedges // AIAA Journal. — 1967. — V. 5. — P. 480-488.

[186] Creschi R.J., Rubin S.G., Nardo C.T., Lin T.C. Hypersonic interaction along a rectangular corner // AIAA Journal. — 1969. — V. 7, No. 12. —P. 2241-2247.

[187] Watson R.D., Weinstein L.M. A study of hypersonic corner flow interactions // AIAA Journal. — 1971. — V. 9. — P. 1280-1286.

[188] Михайлов B.H., Тамилов B.C. Supersonic flow in a corner formed by intersecting plates // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1972. — № 2. — С. 162-166.

[189] West J.E., Korkegi R. Н. Interaction in the corner of intersecting wedges at high Reynolds numbers // AIAA Journal. — 1972. — V. 10. — P. 652-656.

[190] Демьяненко B.C. Экспериментальное исследование пространственных сверхзвуковых течений газа в области интерференции пересекающихся поверхностей // Дисс____канд. физ.-мат. наук. — ИТ-

ПМ СО РАН, Новосибирск, 1973.

[191] Kutler P. Supersonic flow in the corner formed by two intersecting wedges // AIAA Journal. — 1974. — V. 12. — P. 577-578.

[192] Shankar V., Anderson D., Kutler P. Numerical solutions for supersonic corner flow // Journal of Computational Physics. — 1975.

— V. 17.—P. 160-168.

[193] Майкапар Г.И. Supersonic corner flow with a system of plane shocks // Ученые записки ЦАГИ. — 1976. — Т. 7. — С. 106-110.

[194] Shang J.S., Hankey W.L. Three-dimensional supersonic interacting turbulent flow along a corner // AIAA Journal. — 1979. — V. 17, No. 7.

— P. 706-713.

[195] Marconi F. Supersonic, inviscid, conical corner flowfields // AIAA Journal. — 1980. — V. 18. — P. 78-84.

[196] Макаров B.E. Discontinuity surface fitting in numerical simulation of supersonic conical flows // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1982. — Т. 22. — С. 1218-1226.

[197] Marsilio R. Vortical solutions in supersonic corner flows // AIAA Journal. — 1993. — V. 31. — P. 1651-1658.

[198] Borelli S., Grasso F., Marini M., Periaux J. (Eds). Proc. 1st Europe-US High Speed Flow Field Database Workshop. Pt 2. T4-97: Corner Flow. — Naples, Italy, 1997. Publ. Italian Aerospace Research Center in association with GAMNI, INRIA, University of Houston, 1997. —P. 265-308.

[199] Швец А.И. Аэродинамика сверхзвуковых форм. — М: Изд-во МГУ, 1987. — 208 с.

[200] Майкапар Г.И. О волновом сопротивлении неосесимметричных тел в сверхзвуковом потоке // Приклад, матем. и механ.. — 1959. — Т. 23, Вып. 2. — С. 376-378.

[201] Nonweiler T.R.F. Aerodynamic problems of manned space vehicles // J. Roy. Aeronaut. Soc. — 1959. — V. 63, No. 585. — P. 521-528.

[202] лапыгин В.И. Расчет сверхзвукового обтекания V-образных крыльев методом установления // Изв. АН СССР. МЖГ. —1971.—№ 3.

— С. 180-185.

[203] ЛАПЫГИН В.И. О решении задачи обтекания V-образного крыла с сильной ударной волной на передней кромке // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1973. — № 3. — С. 114-119.

[204] Гвоздева Л.Г. Отражения ударных волн от плоского клина // Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах / под ред. В.П. Коробейникова. М.: Наука, 1986. С. 59-74.

[205] гунько Ю.П., маркелов г.Н. Применение соотношений косого скачка уплотнения в плоском течении для решения задач с плоскими скачками общего пространственного положения // Препринт № 15-89. — Новосибирск: итпм АН СССР, 1989.— 24 с.

[206] гунько Ю.П., маркелов Г.Н., Шашкин А.П. Газодинамическое конструирование волнолетов с конвергентными поверхностями сжатия и воздухозаборниками // Сиб. физ.-техн. ж. — 1993. — Вып. 4. — С. 47-55.

[207] colella P., Henderson L.F. The von Neumann paradox for the diffraction of weak shock wave // J. Fluid Mech. — 1990. — V. 213, P. 71-94.

[208] Olim M., Devey J.M A revised three-shock solution for the Mach reflection of weak shocks (1.1 < M; < 1.5)) // Shock Waves. — 1992. — V.2,No. 3, —P. 167-176.

[209] Васильев Е.И., Крайко А.H. Численное моделирование дифракции слабых скачков на клине в условиях парадокса Неймана ,// Журн. выч. матем. и матем. физ. — 1999. — Т. 39, №8. — С. 13931404.

[210] sandeman R.J. A simple physical theory of weak Mach reflection over plane surface // Shock Waves. — 2000. — V. 2, No. 2. — P. 103112.

[211] DEHNA A., SUSIN F.M., VlERO D.P. Numerical study of the Guderley and Vasilev reflections in steady two-dimensional shallow water flow // Phys. Fluids. — 2008. — V. 20. — 097102.

[212] Kudryavtsev A.N., Rakhimov R.D. a marching procedure of numerical solution of two-dimensional and three-dimensional steady

Euler equations using shock-capturing schemes // Proc. Intern. Conf. Methods of Aerophys. Research (ICMAR-98). — Novosibirsk, 1998.

— Ptl.—P. 117-122.

[213] Goonko Yu.P., Kharitonov A.M., Kudryavtsev A.N., et al. Euler simulations of the flow over a hypersonic convergent inlet integrated with a forebody compression surface // CD-proceedings of European Congress on Computational Methods in Applied Science and Engineering, Barcelona, 2000.

[214] Dolling D.S. Fifty years of shock-wave/boundary-layer interaction research: what next? // AIAA Journal. — 2001. — V. 39, No. 8. — P. 1517-1531.

[215] Боровой В.Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. — М: Машиностроение, 1983.

— 144 с.

[216] КОГАН М.Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967. — 440 с.

[217] Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Наука, 1978. —496 с.

[218] borelli S., mariniМ., Grasso F., Periaux J. (Eds. Proceedings of the First Europe-U.S. High Speed Flow Field Database Workshop, Part II. — AIAA, Reston, VA. — 1998.

[219] chanetz B. Study of axisymmetric shock wave/boundary layer interaction in hypersonic laminar flow // ONERA, TR RT 42/4362 AN. —1995.

[220] Gorchakova N.G., Chanetz В., Kuznetsov L.I., Pigache D., Pot Т., Taran J.P., Yarygin V.N. Electron-beam-excited X-ray method for density measurements of rarefied gas flows near model // Proceedings of the XXI International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. — CEPADUES-Editions: Marseille, France. — 1999. — P. 591-598.

[221] Walpot L. Development and application of a hypersonic flow solver.

— PhD Thesis. — Delft University of Technology, Netherlands. — 2001.

\ J

k

[222] Duff R.E. Shock-tube performance at low initial pressure // Physics of Fluids. — 1959. — V. 2. — P. 207-216.

[223] ROSHKO, A. On flow duration in low pressure shock tube // Physics of Fluids. — 1960. — V. 3. — P. 835-842.

[224] MlRELS H. Test time in low pressure shock tube // Physics of Fluids. — 1963. — V. 6. — P. 1201-1214.

[225] Sun M., Ogawa Т., Takayama K. Shock propagation in narrow channel // In: 23rd Int. Symposium on Shock Waves (July 22-27, 2002, Fort Worth, Texas, USA).

[226] Brouillette M. Shock waves at microscales // Shock Waves. — 2004. —V. 13. —P. 3-12.

[227] Zeitoun D.E., Burtschell Y. Navier-Stokes computations in microshock tubes // Shock Waves. — 2006. — V. 15. — P. 241-246.

[228] Kashkovsky A.V., Markelov G.N., Ivanov M.S. An object-oriented software design for the direct simulation Monte Carlo method // AIAA Paper No. 2001-2895. — 2001.

[229] Шахов E.M. Метод исследования движений разреженного газа. — М: Наука. — 1974. — 208 с.

[230] Lesieur М. Turbulence in fluids, 3rd edition. — Dordrecht, Netherlands: Kluwer Acsdemic Publ., 1997. — 520 p.

[231] Sagault P. Large Eddy Simulation for incompressible flows. An introduction, 3rd edition. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. — 558 p..

[232] Canuto P., Quarteroni A., Hussaini M.Y., Zang T.A. Spectral methods, V. 1,2. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.

[233] Толстых A.H. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. — М: Наука, 1990. — 230 с.

[234] Lele S. Compact finite-difference schemes with spectral-like resolution // Journal of Computational Physics. — 1992. - Vol. 103, No. 1. — P. 16-42.

[235] Jackson T.L., Grosch C.E. Inviscid spatial stability of a compressible mixing layer // Journal of Fluid Mechanics. — 1989. — V. 208.-P. 609-637.

[236] Balsa T.F., Goldstein M.E. On the instabilities of supersonic mixing layers: a high-Mach-number asymptotic theory // Journal of Fluid Mechanics. — 1990. — V. 216. - P. 585-611.

[237] Кудрявцев A.H., Соловьев А.С. Устойчивость слоя сдига сжимаемого газа // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1989. — №4. — С. 88-95.

[238] Кудрявцев А.Н., Соловьев А.С. Устойчивость вязкого сжимаемого слоя сдига с перепадом температур // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1991. — №6. — С. 119-127.

[239] Gathmann R.J., Si-Ameuer М., Mathey F. Numerical simulation of three-dimensional natural transition in the compressible confined shear layer // Physics of Fluids A. — 1993. — V. 5. — P. 2946-2968.

[240] Basset G.M., Woodward P.R. Numerical simulation of nonlinear kink instabilities on supersonic shear layers // Journal of Fluid Mechanics. — 1995. — V. 284. — P. 323-340.

[241] Kourta A., Sauvage R. Computation of supersonic mixing layers // Physics of Fluids. — 2002. — V. 14. — P. 3790-3797.

[242] By лис JI. А., Кашкаров В.П. Теория струй вязкой жидкости. — М.: Наука, 1965. —432 с.

[243] Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. — М.: Мир, 1971. — 350 с.

[244] Но С.М., huerre P. Perturbed free shear layers И Annual Reviews of Fluid Mechanics. — 1984. — V. 16. — P. 365^24.

[245] Kelly R.E. On the stability of an inviscid shear layer which is periodic in space and time // Journal of Fluid Mechanics. — 1967. — V. 27., P. 657-689.

[246] GILL A.E. Instabilities of top-hat jets and wakes in compressible fluids // Physics of Fluids. — 1965. — V. 8. — P. 1428-430.

J *

[247] Watanabe D., Maekawa H. Transition of supersonic plane jet due to symmetric/antisymmetric unstable modes // Journal of Turbulence.

— 2002. — V. 3. — P. 1-17.

[248] Freund JB, Lele SK, Moin P. Numerical simulation of a Mach 1.92 turbulent jet and its sound field // AIAA Journal. — 2000. — V. 38, No. 11. —P. 2023-2031.

[249] ghosal S. An analysis of numerical errors in large eddy simulations of turbulence // Journal of Computational Physics. — 1996. — V. 125.

— P. 187-206.

[250] Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M.Kh. Noise prediction for increasingly complex jets. Part I. Methods and tests // International Journal ofAeroacoustics. — 2005. — V. 4, No. 3&4. — P. 213-246.

[251] Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M.Kh. Noise prediction for increasingly complex jets. Part II. Applications // International Journal ofAeroacoustics. — 2005. — V. 4, No. 3&4. — P. 247-266.

[252] Шур M.JI., Спаларт П.Р., Стрелец M.X. Расчет шума сложных струй на основе первых принципов // Математическое моделирование. — 2001. — Т. 27, № 7. — Р. 5-26.

[253] Viswanathan К., Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M.Kh. Comparison between experiment and large eddy simulation for jet noise // AIAA Journal. — 2007. — V. 45, No. 8. — P. 1952-1966.

[254] Boris J.P., Grinstein F.F., Oran E.S., Kolbe R.J. New insights into large eddy simulation // Fluid Dynamics Research. — 1992. — V. 10. —P. 199—227.

[255] Knight D., Zhou G. Okong'o N., Shukla V. Compressible large eddy simulation using unstructured grids // AIAA Paper. — 1998. — No. 98-0535. —19 p.

[256] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. — 712 с.

[257] Mack L.M. Linear stability theory and the problem of supersonic boundary layer transition // AIAA Journal. — 1975. — V. 13, No.3. — P. 278-289.

[258] Petrov G.V. Stability of a thin viscous shock layer on a wedge in hypersonic flow of a perfect gas // Proceedings of 2nd IUTAM Symposium on Laminar-Turbulent Transition (Novosibirsk, 1984). Ed. by V. Kozlov. — Springer: Berlin et al. — 1985. — P. 487-490.

[259] Chang C.L., Malik M.R., Hussaini M.Y. Effect of shock on the stability of hypersonic boundary layers // AIAA Paper. — 1990. — No. 90-1448.

[260] Malik M.F., Anderson A.D. Real gas effects on hypersonic shear-layers // Physics of Fluids A. — 1991. — V. 3, No. 5. — P. 803-821.

[261] Mironov S.G., maslov A.A. Experimental study of secondary instability in a hypersonic shock layer on a flat plate // Journal of Fluid Mechanics. — 2000. — V. 412. — P. 259-277.

[262] MIRONOV S.G., MASLOV A.A. An experimental study of density waves in hypersonic shock layer on a flat plate // Physics of Fluids A. — 2000. — V. 12, No. 6. — P. 1544-1553.

[263] Дьяков С.П. Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. 1,11 И Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1957. — Т. 33, вып. 4(10). — С. 948-974.

[264] McKenzie J.F., Westphal К.О. Interaction of linear waves with oblique shock waves // Physics of Fluids. — 1968. — V. 11. — P. 23502362.

[265] zhong X. Leading-edge receptivity to free-stream disturbances waves for hypersonic flow over a parabola // Journal of Fluid Mechanics. — 2001. — V. 41. — P. 315-367.

[266] Ma Y., Zhong X. Receptivity of a supersonic boundary layer over a flat plate. Part 1. Wave structures and interactions // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — V. 488. — P. 31-78.

[267] Ma Y., Zhong X. Receptivity of a supersonic boundary layer over a flat plate. Part 2. Receptivity to free-stream sound // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — V. 488. — P. 79-121.

[268] Егоров И.В., Судаков В.Г., Федоров А.В. Численное моделирование распространения возмущений в сверхзвуковом пограничном слое // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2004. — №6. —С. 33^4.

[269] Егоров И.В., Судаков В.Г., Федоров А.В. Численное моделирование восприимчивости сверхзвукового пограничного слоя к акустическим возмущениям // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2006 — №2. — С. 43-52.

[270] Laufer J. Some statistical properties of the pressure field radiated by a turbulent boundary layer // Physics of Fluids. — 1964. — V. 7, No. 8. — P. 1191-1197.

[271] blrlngen s. Active control of transition by periodic suction-blowing // Physics of Fluids. — 1984. — V. 26, No. 10. — P. 2807-2815.

[272] Fedorov A.V., Shiplyuk A.N., Maslov A.A., Burov E.V., Malmuth N.M. Stabilisation of a hypersonic boundary layer using an ultrasonically absorbtive coating // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — V. 479. — P. 99-124.

[273] Фомин B.M., Федоров A.B., Козлов В.Ф., Маслов А.А., Шиплюк А.Н., Буров Е.В. Стабилизация гиперзвукового пограничного слоя поглощающими покрытиями с регулярной пористостью. Доклады РАН. - 2004. Т. 399, № 5. — С. 1-5.

[274] Егоров И.В., Судаков В.Г., Федоров А.В. Численное моделирование стабилизации сверхзвукового пограничного слоя на плоской пластине пористым покрытием // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2006, № 3. — С. 39-49.

[275] Егоров И.В., Новиков А.В., Федоров А.В. Численное моделирование стабилизации сверхзвукового отрывного пограничного слоя пористым покрытием И Прикладная механика и техническая физика. — 2007. — Т.48, № 2. — С. 29-39.