Блочные элементы в моделях горных массивов сейсмоактивных территорий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Шишкин, Алексей Александрович

• Шишкин, Алексей Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Шишкин, Алексей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Факторизационный метод решения некоторых граничных задач

1.2. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях

1.3. Исследование граничных задач двойной факторизацией

1.4. Применение к блочным структурам

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ СРЕД С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ

2.1. Разложение решений задач о напряженно-деформированном состоянии с помощью дивергентной составляющей и составляющей кручения

2.2. Полуограниченный блочный элемент

2.3. Построения трехмерного блочного элемента в форме прямоугольного параллелепипеда

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОРНЫХ МАССИВОВ ,

3.1. Представление различных подходов, используемых при построении цифровых моделей рельефа

3.1.1. Сглаживание пространственной функции в пространственной области

3.1.2. Сглаживание пространственной функции в волночисловой области

3.1.3. Аппроксимация пространственных функций с помощью прямоугольных параллелепипедов

3.2.1. Решение волнового уравнения. Уравнение Гельмгольца

3.2.2. Метод Столта в частотно-волночисловой области в случае 2Б

3.2.3. ЗБ-миграция по алгоритму Столта

Заключение

Список используемой литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Блочные элементы в моделях горных массивов сейсмоактивных территорий»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Проблема оценки сейсмичности в сейсмоопасных районах не решена и по сей день. Постоянно с некоторой нефиксированной периодичностью в различных районах Земли происходят сильные землетрясения [13, 20, 56, 85, 92, 96, 105], уносящие человеческие жизни и наносящие большой материальный ущерб. В Кубанском государственном университете для анализа напряженно-деформированного состояния блочных структур, какими являются кора Земли и литосферные плиты [3], разработан новый, удобный для анализа подобных задач метод блочного элемента. Он основан на топологических и факторизационных методах, что позволяет анализировать блочные структуры любых форм и размеров - от ограниченных до неограниченных. Вклад в развитие этого метода внесли ученые Кубанского государственного университета и Южного научного центра Российской академии наук.

В России к районам повышенной сейсмичности относятся восточное побережье страны, Прибайкалье, Алтай, Черноморское побережье, где исторически случались землетрясения силой 9 и более баллов. Последний регион особенно важен для оценки сейсмичности, так как более 6 миллионов граждан страны в течение года посещают эту территорию, там пройдут зимние Олимпийские игры 2014 г. Наряду с традиционным подходом оценки сейсмичности, применяемым Геофизической службой РАН, в Кубанском госуниверситете развивается метод оценки сейсмичности, опирающийся на определение напряженно-деформированного состояния среды и концентрацию напряжений в литосферных плитах [19, 25, 59].

Исследованиями в области прочности и разрушения материалов, оценки их напряженно-деформированного состояния в разных направлениях занимались Б.Д. Аннин, В.М. Александров, В.А. Бабешко, А.О. Ватульян, Н.Х. Е.В. Глушков, Арутюнян, В.Г. Баженов, И.В. Глушкова, A.B. Белоконь, А.К. Беляев, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, А.Н. Гузь, В.И. Дунаев, В.И. Ерофеев, М.В. Зарецкая, JI.M. Зубов, JI.A. Игумнов,

M.А. Ильгамов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, Д.М. Климов, В.И. Колесников, Л.Ю. Коссович, A.M. Кривцов, В.А. Крысько, Е.В. Ломакин, С.А. Лурье, A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, A.B. Наседкин,

A.B. Павлова, В.В. Панасюк, В.Е. Панин, Ю.В. Петров, Б.Е. Победря, »

А.Д. Полянин, О.Д. Пряхина, А.Ф. Резчиков, М.В. Сильников, B.C. Саркисян, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, A.B. Смирнова, Л.А. Филыитинский, Ю.А. Устинов, М.И. Чебаков, Ю.К. Чернов, Е.И. Шемякин, Ю.Г. Яновский, J. Achenbach, В. Baker, F. Bazi, Т. Blacker, В. Brickstad, P. Challande, L. Charles, W. Chen, Y. Cheung, L. Gray, W. Koiter, R. Low, M. Lowengrub, E. Smith, C. Wang и

др.

Несмотря на большой объем исследований в этой области, остается ещё много нерешенных задач. Поскольку практически все сейсмоопасные территории расположены в зоне молодых гор, где тектонические подвижки продолжаются, требует решения проблема моделирования горных массивов блочной структурой. Важно, чтобы она адекватно, с некоторым приближением, не только описывала горный массив, но и позволяла адаптировать подход к моделированию горного рельефа в любой сейсмоопасной зоне мира. Для решения некоторых задач, связанных с оценкой сейсмичности в зонах с горным рельефом, выполнен ряд исследований.

Целью диссертационного исследования является:

- проведение моделирования горных массивов блочной структурой для последующей оценки их напряженно-деформированного состояния;

- выбор модели рельефа, достаточно адекватно описывающего структуру горных массивов параллелепипедами и применимой для расчетов;

- построение некоторых моделей распространения акустических волн в однородных средах.

Задачи, решаемые для достижения поставленной цели:

- разработка метода достаточно точного описания сложных геометрических объектов горных массивов в виде комбинации блочных элементов, применимого в любой сейсмоопасной зоне с горным рельефом;

- разработка способа оценки напряженно-деформированного состояния блочной структуры, сформированной блочными элементами, моделирующей горные массивы;

- моделирование прохождения сигналов в акустической среде.

Методы исследования. Задачи, поставленные в работе, решались на основе исследований по теории блочного элемента с применением топологических методов, методов математического моделирования, проведение компьютерных расчетов.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы обеспечивались корректностью физической и математической постановок задач, применением развитой теории блочного элемента, топологических методов, методов факторизации. Исследования проводились с использованием методов строгого математического анализа и опирались на уже апробированные методы изучения напряженно-деформированного состояния тел, описывающих их граничные задачи.

Научная новизна работы

1. Развит метод моделирования блочными элементами сложных трехмерных объектов реально существующих горных массивов, описываемых ГИС-картой.

2. Разработан способ исследования методом блочного элемента напряженно-деформированного состояния сложных трехмерных объектов, основанный на применении собственных векторных функций и топологических методов, метода блочного элемента.

3. Найден способ изучения крутильной компоненты напряженно-деформированного состояния блочной структуры, опирающийся на описание этой компоненты акустическим уравнением.

4. Построено описание прохождения акустического сигнала в блочной структуре крутильной компоненты напряженно-деформированного состояния среды.

5. Дано описание способа получения основных параметров напряженно-деформированного состояния трехмерной блочной структуры.

Практическая ценность и реализация результатов.

Методов исследования уровня сейсмичности территорий, имеющих горные массивы, практически нет. В то же время большинство сейсмоопасных территорий располагается в регионах, имеющих молодые горы. Результаты диссертационного исследования могут быть применимы при решении проблемы оценки уровня сейсмичности таких территорий, к числу которых относится Черноморское побережье Краснодарского края.

Предлагаемый автором метод оценки сейсмической обстановки использовался при строительстве олимпийских объектов в г. Сочи и пос. Красная Поляна. Он также послужит решению более сложной задачи оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит с горными рельефами. Данный метод апробировался при выполнении научного проекта «Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах» по Соглашению между Минобрнаукой и КубГУ № 14.В37.21.0646 от 20 августа 2012 г. [53, 55, 58]. Отдельные этапы научного исследования проходили при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 10-08-00289, 11-08-96506_р-юг-а, 12-01-00332_а, 13-01-00132_а, 13-01-96504_р-юг-а), Совета Президента РФ по грантам по поддержке научных школ (проекты НШ-914.2012.1, НШ-3765.2010.1), [80,81,118,119].

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Модели горного рельефа территории олимпийского строительства г. Сочи и пос. Красная Поляна как блочной структуры, описываемой разнотипными

блоками и правильно в этом приближении отражающими качественные и количественные ее параметры с представлением на ГИС-карте.

2. Способ оценки напряженно-деформированного состояния горного трехмерного рельефа, основанный на методе блочного элемента и свойствах собственных векторных функций для уравнений Ламе.

3. Результаты исследования блочных элементов для крутильной составляющей напряженно-деформированного состояния, действующей на границы блока.

4. Результаты изучения прохождения акустического сигнала в блочной структуре.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы.

1. МЕТОДЫ ФАКТОРИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРОВАННОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. Факторизационный метод решения некоторых граничных задач

Существует огромное количество различных методов исследования граничных задач для систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред, созданных отечественными и зарубежными учеными [62, 65-68]. Они применимы для анализа материалов, обладающих широким спектром механических и физических свойств, что позволяет использовать их в разных целях. В сейсмологии в связи со сложностью получения информации с больших

глубин традиционно используется модель изотропной теории упругости.

«

Одним из успешных является подход, основанный на идее факторизации [11, 14, 16, 17, 21, 22, 29, 34, 41-43, 46, 50, 51, 54, 76-78]. Он предполагает исследование граничных задач в соответствии с носителями функций [10,12].

Открывается возможность более наглядно изучать состояние внутренних областей деформируемого тела и включать в рассмотрение неоднородности и включения в литосферные плиты [6,49, 70].

Достоинство метода заключается в унификации представления решения не только для случая, когда имеются односвязные ограниченные области, но и в случае не ограниченных многосвязных областей [10, 12].

К этому типу граничных задач относятся граничные задачи механики сплошных сред для анизотропных предварительно напряженных материалов когда учитывается ряд физических параметров, а также свойств, сопутствующих средам земной коры, задачи экологии [16,24, 98].

Далее рассматривается пространственная задача для выпуклых областей с гладкими границами.

1. В ограниченной выпуклой области О с границей Г, имеющей гладкую границу, рассматривается граничная задача, описываемая системой

дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами:

О(дх„,дхк)(р = 0, х еП(я3)1 Я(дхк}р = /, х еГ (1.1)

Здесь принято обозначение для <2

(}{дхп,дхк) = \атткдхпдхк + Ътгкдхк + стг ||. Также обозначено

К(а**) = II Кгк дХк + Ртг II' дх = д/дх, кшк = ктгк (Г).

<р = {<р\ г = \,2,...,М, т = 1,2,..., Л/.

п,к = 1,2,3. = &&атткапсск ф 0, \а\ > 0.

Считаем, что граничная задача поставлена корректно.

Граничная задача сводится к псевдодифференциальному оператору (ПДУ), символом которого является матрица

Исследование ведется [62, 63] в пространстве медленно растущих

обобщенных функций Н5 (о) и ПДУ ограничен из нДо) в НЛ_2 (о) для любого

>

где

—00

\а\2 = а\ +а22 (1а = с1ахс1агс1аъ, с!х = (ЬсхсЬс2(Ьсъ (1*2)

Р<Рг = ]Ц<Рг(хУа-х) ^ <Рг = тЛг ИЫ е-{а'х)с1сс ,,

-00 [¿X) -00

(а, х > = аххх + а2х2 + аъх3 Применим тройное преобразование Фурье к системе дифференциальных уравнений (1.1). Осуществив требуемые преобразования, приходим к соотношениям вида

= 11 N{a,^)ei^dY, г

= (1-3)

Матрицы Т{<Ц,а), в(¿;,а) - известные, учитывающие соотношения между осями выбранной системы координат и нормалями к поверхности; в нашем случае ¿Г — элемент ориентируемой поверхности.

В соотношении (1.3) справа стоят все 2М допустимых граничной задачей операторов на границе. '

Так в случае граничной задачи для уравнения Лапласа здесь имеется и граничный оператор, который встречается в задаче Дирихле, и граничный оператор задачи Неймана.

Отсюда, правая часть соотношения (1.3) содержит граничные операторы, количество которых превышает требуемое, необходимое для корректной постановки граничной задачи. Обратив систему уравнений относительно вектора р(х), имеем

<р(х) = {сс)\\Ща,^{а^с[Гс1а. (1.4)

—00 Г

Подставим в правую часть соотношения (1.4) значения заданных граничных условий, т. е. вектор-функцию f. Остается неопределенным вектор g, порождаемый оставшимися, не задающимися М граничными условиями.

Следовательно, чтобы получить вектор-функцию <р рассматриваемой граничной задачи, требуется найти вектор g.

Соотношения, требуемые для его нахождения, можно получить применением факторизации - выделения класса функций, имеющих общий носитель в О..

Факторизация приводит к получению граничных условий рассматриваемой граничной задачи, причем в случае размерности больше 1 необходимо исследование топологических многообразий.

2. Так как область О взята ограниченной, она является компактифицированной. Введем в ней топологию — покрытие открытыми (не замкнутыми) шарами пространства Евклида щ. Произведя построение карты и

введя систему локальных координат, совокупность их дает атлас. Системы координат, отображающие покрытия на стандартный куб, должны иметь определитель Якоби при переходе от одной системы координат к другой одного знака (1.7, 1.8). В каждой точке, которая попадает на пересечение с шаром, лежащей на границе Г, индуцируются ее покрытие Гя и система координат. Осуществим ее выбор так, чтобы оси были направлены по геодезическим линиям, но одна из осей шла бы по внешней нормали, а вся система должна быть ортогональной. Тогда поверхность Г будет ориентируемой, имеющей открытые покрытия, причем якобиан перехода от локальной системы координат одной области к системе координат другой области будет положительным. -

Можно осуществить представление интегрального соотношения (1.4) с использованием аппарата внешнего исчисления в виде внешней формы

<р(х)= ¿з- ¡\\д-\сс)'Ъ(а)- (1.5)

Здесь Т>(а) - матрица с полиномиальными элементами алгебраических дополнений элементов матрицы <3(аг). Порядок полиномов, являющихся ее элементами, не превышает 2(М-1); а - компактифицированный цикл; б(а)-имеет порядок 2М, и является полиномом трех комплексных переменных ак

Так как порядок элементов матрицы ГЧ(а, £) не более единицы, сделаем вывод, что матрица

В(а)м(а>Й = рт„Ы]\ = Р(«,Й (1.6)

в качестве элементов имеет полиномы параметров ак порядка не выше 2М-\.

Выполним требование, чтобы вектор-функция обращалась бы в ноль вне П, и осуществим ее факторизацию относительно этого носителя.

Это приводит к необходимости исследования следующих из свойств элементов матрицы Р(а,£) интегралов по трем комплексным переменным следующего вида от мероморфных внешних форм:

(р(х) = ^У , х г П. (1.7)

Определение форм-вычетов Лере при Хз>0 порождает ряд выражений, из которых в силу линейной независимости экспонент получаем равенства

\\Аа\гр>аггр><х1гЛаЛ%Уа'*)<1Г-0> -°0<аг1/г'а2/г<0°5 г = \,2,...М (1.8)

г

В результате возникла совокупность аналитических функций двух комплексных переменных, являющихся интегральными уравнениями граничной задачи.

Для выделения главных операторов систем интегральных уравнений используем разбиение единицы. В итоге получим интегралы типа (1.8) в виде Я {<хЛ%¥а'4)с1Г ~ Е Яе?\а\гр'<Хггр>а-ггр = О

г 1 г,

г = \,2,...,М .

]

Возьмем элемент, который соответствует разбиению ет ив локальной системе координат tm,am, представим последние соотношения в форме

а т

Г„

х X Я [Go(^^J^2j^lm,a2m)gQlj,^2J)+ T0(ZlJ,g2J,aím,a2m)fQlJ,Z2J)]eJ х

1 ГJ

х ехр у/, (£,., , ссХт, а2т = 0. Ые у/1 <0, аХт, а2т -> ±со. (1.9) Здесь функции учитывающие переход от локальных

координат одной системы к локальным координатам другой и зависят от аХт, а2т. Штрих, как всегда в таких случаях, означает, что в сумме отсутствует элемент )=т. Вектор-функции g(£l^,#2./) = g( ^у.&у»0) зависят только от двух первых

координат локальных систем координат.

Множество вектор-функций на носителях разбиения е] являются

элементами пространства Н5+,(г), т. е. прямой суммой пространств Н>+1 с нормой

Здесь gj б H^(I\), если носитель принадлежит Гу.

Обратим соотношениям (1.6) Фурье-обращением в локальных системах координат (<flffl,<f2m), (аш,а2т).

В итоге получим соотношения, которые можно представить в виде

g+Ag = Bf. (1.10)

Учитывая свойства матриц-функций G0, которые входят в представление (1.9), получаем, что оператор А в указанных пространствах является вполне непрерывным, а система уравнений - вполне непрерывным оператором.

1.2. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях

Метод факторизации в исследованиях разнообразных граничных задач, применяющийся для дифференциальных уравнений в частных производных, изложенный в [2, 7, 18], может быть использован для исследования граничных задач в неограниченных областях [2, 7, 18]. Покажем это. Неограниченные области всегда трудны при изучении граничных задач, связанных с условиями решения на бесконечности. Далее показано, что метод факторизации возможен для исследования и в таких областях, т. е. доказывается его универсальность. Метод факторизации позволяет составлять регуляризуемые системы интегральных уравнений граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, когда есть области с переменной границей, в которых коэффициенты данных уравнений кусочно-переменны. Также данный подход унифицированн независимо от характера области задания граничной задачи для данного метода.

Выделение единственного решения в такой области, неограниченной или полуограниченной, вызванной требованиями излучения или убывания решения в зависимости от типа задачи, в методе факторизации осуществляется очень просто.

С помощью метода факторизации многие граничные задачи механики деформируемого твердого тела и других направлений исследований, могут исследоваться в областях с рельефными границами, полостями, внутренними неоднородностями и включениями.

Метод факторизации в произвольных областях обеспечивает не только вычислительную, но и исследовательскую функцию по аналогии с методом систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих постоянные коэффициенты в одномерном случае.

Удается построить формулы для решений граничных задач в неограниченных и в полуограниченных областях с рельефными границами и произвольными внутренними полостями.

1. Рассмотрим два разных типа областей с гладкими границами. Области должны быть неограниченны. Первый тип таких областей — это все пространство, из которого исключены ограниченные полости, имеющие гладкие границы. Такие области называют неограниченными. Другой тип рассматриваемых областей, у которых граница - рельефна. Эти множества должны вкладываться в цилиндры, конусы, слои или в полупространство -любой из перечисленных видов областей. Одна-из границ подобных областей будет неограниченно простирающейся, а внутренние зоны такой области могут включать в себя описанные полости. Такие области называются полуограниченными. Таким образом, неограниченная область Г2 имеет гладкую составную границу Г, которая состоит из частей Г, у которых кривизна неотрицательна и Г2 - у которых хотя бы одна главная кривизна отрицательна.

Когда область неограниченна, для применения основанного на использовании методов геометрии многообразий подхода, нужно неограниченную область превратить в компакт. Это выполняется известными приемами. Например, с помощью гомеоморфизма пространства в трехмерной сфере. К данной сфере присоединена бесконечно удаленная точка. В результате такого гомеоморфизма неограниченная область отображается в ограниченную.

Так же, это может быть достигнуто путем введения окрестности бесконечно удаленной точки. Для прикладных целей удобнее второй вариант, когда мы вводим окрестность бесконечно удаленной точки, описываемую внешностями сфер, радиусы которых стремятся к бесконечности. При сделанных построениях, индуцируется топология, порождаемая евклидовым пространством, и рассматривается область как ориентированная цепь с ориентированной границей.

Неограниченность области задания граничной задачи определяет способ использования факторизационного метода в данных областях.

Вначале рассмотрим именно тот класс задач, в которых у определителя @(а) имеются только комплексные нули а%. Для упрощения будем считать, что у £)(а) в верхней и нижней полуплоскостях одинаковое количество нулей Для задачи, поставленной таким образом, будем искать решение из пространства медленно растущих обобщенных функций НДО), которые на бесконечности убывают. Появления среди а* вещественных нулей свойственных задачам об установившихся колебаниях в неограниченных средах, приведет к другому подходу, который будет рассмотрен отдельно. Для детального исследования граничной задачи, когда имеются области первого типа, введем векторную внешнюю форму а(а,х), где сот - компоненты формы, имеющие вид

сот (а, х) = Ятс1ххМхг + QmdxxAdxг + Рт£Ьс2Аскг, Рт =^е'<а'Х>\-ашп(дхх<Рг -Щ(рг)-атги1а2<рг + атгидх3<рг + ЬтЛ<р,\

г

Яш = -^е'<а'Х> [атг22(дХ2Фг ~ ¡^г) ~ "тП^Фг +атг\гдхХ(Рг +Ътг2<Рг\

г

К = Xе'<а,дг> кзз (дх3(рг - 1аъ(рг) - атгхъгах(рг - атг2Ъ1а2(рг + ЬтгЪ(рг} (1.11)

г

Введем отсекаемые сферой или цилиндром большого радиуса окрестности бесконечно удаленной точки, уходящие на бесконечность части области О. Применим формулу Стокса в ограниченной области и устремим радиус сферы в бесконечность, на частях которой граница исчезает, а решения убывают.

Следует иметь в виду, что внешняя форма содержит нуждающиеся в определении функции или их нормальные производные со значениями на границе и соотношения, описывающие заданные граничные условия. Предполагая, что система дифференциальных уравнений (1.11) обращается в тождество вектор-функцией <р, придем к представлению следующего вида

- ——т ¡¡¡Я'1 , (1.12)

* * т*

а I

где

О"'(«) = 0ГХ(а)Ъ(а), Б(ог) = ,а2,а3); со(а,£) = а>(ах,а2, а3 > 6»&») •

Используем для определения классов функций с носителем в П обобщенную факторизацию, принимая во внимание, что О занимает внешнюю по отношению к замкнутой поверхности Г область. В результате имеем

Ц3>)=О , (из)

г

г = 1,2,...,Л/; к = 0,1,2.....ЛГ;

Уз = У\г (П ,У2)> 1т Гз+г (/рГ2)>0-

а = а(у); Г = # = #07); = };

/з = &(У1>Гг)> Уг = ПЛУ^У2) - нулевые множества функции &(ух,Гг,Гз)&(Г»Гг ~Уг) в локальных координатах.

В соответствии со способом применения обобщенной факторизации здесь обозначено

1 °°+f° ei<a(r)'^Tl)>

i'-VZ^T'

2nJ+io Уз-Уз

, , Im/3+ > 0. (1.14)

^ -00+/0 lili Jfc

Рассмотрим подробней случай гармонических колебаний неограниченной среды. В этом случае для обеспечения единственности решение обязано удовлетворять условию излучения хотя бы в одной из следующих форм: Зоммерфельда, где от решения требуется выполнение предельного

дифференциального соотношения на бесконечности; состоящего в переходе к системе без поглощения через систему с внутренним трением принципа предельного поглощения; предельной амплитуды, когда предполагается рассмотрение установившихся, как предельного во времени решения задачи Коши, колебаний; или излучения энергии Мандельштама. Имеется доказательство, что при всех аномальных ситуациях, связанных с физикой распространения волн в сложных средах и областях, будут эквивалентными принцип предельного поглощения и принцип Мандельштама. Доказательство излагается на примере динамических смешанных задач для неоднородной полосы в [66, 67]. В силу этого, применяя метод факторизации, мы можем отобрать единственные решения достаточно просто. Причем и на вещественной оси нули определителя ()(а) обнаруживаются также. Произведя по принадлежности к верхней полуплоскости а^к размежевание этих нулей, если

Яе > 0; 1ш«3+к >0, -со <ах,сс2 <оо

и к нижней для а'ък

Ые <23~к < 0; Iша3"к < О, удовлетворим автоматически условиям излучения. Для случая многозначных функций, при вычислении нулей дисперсионного (характеристического) уравнения, необходим выбор нужных ветвей. Поскольку в некоторых задачах могут появиться аномальные ситуации, когда вещественные и мнимые части имеют противоположные знаки, и эти ситуации будут физически оправданными, необходимо внести возмущение малыми членами, несущими внутреннее трение в исходную систему дифференциальных уравнений. В результате чего все нули займут строго свои полуплоскости, из-за чего будет выполнен правильно метод факторизации и вывод систем интегральных уравнений будет верно осуществлен, а в пределе достигнуто выполнение условий излучения на бесконечности.

1.3. Исследование граничных задач двойной факторизацией

Ниже приводится метод двойной факторизации матриц-функций, который упрощает использование подхода, изложенного при исследовании граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, а именно установленных в [4] формул факторизации мероморфных матриц-функций.

Для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в произвольных областях с гладкими или кусочно-гладкими границами, используя этот подход, можно исследовать граничные задачи. Схема, применяемая для систем дифференциальных уравнений не намного сложнее, чем в случае одного уравнения.

Для исследования систем интегральных уравнений, в частности уравнений Винера - Хопфа, в [97] вводятся стандартная правосторонняя и левосторонняя факторизации матриц-функций. Для систем дифференциальных уравнений, при решении граничных задач, приходится вводить двойную факторизацию. Она дает возможность свести проблему к системе псевдодифференциальных уравнений меньшей размерности, допускающих, если надо, дискретизацию. Также оказывается возможным получить в явном виде решение граничных задач для указанных систем дифференциальных уравнений. Отметим, что в отличие от методов граничного и конечного элемента, метода фундаментальных решений, разностных методов, если проблемы являются результатом линеаризации нелинейных граничных задач, то тогда создаваемый метод факторизации предоставляет возможность обнаруживать биффуркационные многомерные множества граничных задач.

Рассмотрим граничную задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в ограниченной области О в случае, когда граница 5С1 гладкая или кусочно-гладкая. Считаем, что область односвязная, выпуклая.

Введя новые неизвестные, граничную задачу можно представить в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с постоянными коэффициентами в следующем виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шишкин, Алексей Александрович, 2013 год

Список используемой литературы

1. Абрамов С. А., Зима Е. В. Начала информатики. - М.: Наука, 1989. - 256 с.

2. Айзенберг Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. - Новосибирск: Наука, 1979. — 368 с.

3. Аллисон А., Палмер Д. Геология. - М.: Мир, 1984. - 568 с.

4. Арутюнян Н. X., Манжиров А. В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. - М.: Наука, 1991. - 176 с.

5. Архангельский А. Я. Программирование С++ВшШег 5. - М.: Бином, 2000. -1152 с.

6. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. -1994. - Спецвыпуск. -№1. - С. 90-91.

7. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 306, № 6. - С. 1328-1333.

8. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел //ДАН СССР. - 1989. - Т. 304, №2. - С. 318-321.

9. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. - М.: Наука, 1984. - 265с.

10. Бабешко В.А. О неединственности решений динамических смешанных задач для систем штампов // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 310, № 6. - С. 13271330.

11. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // ДАН. - 2005. - Т.403, №6. - С. 26-28.

12. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Исследование краевых задач двойной факторизацией // ДАН. - 2005. - Т. 403, №1. - С. 20-24.

13. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию краевых задач сейсмологии // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2004. - №3. - С. 5-10.

14. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. - 2003. - Т. 392, №6. - С. 767-770.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. - 2003. - Т. 393, № 4. - С.473-477.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. - 2003. - Т. 389, №2. - С. 184-188.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // ДАН. - 2004. - Т. 399, №3. - С. 315-318.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестн. Юж. науч. центра РАН. - 2004. - №1. - С. 17-23.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одной модели расчета концентрации напряжений в литосферных плитах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2005. - №2. - С. 16-22.

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одном новом подходе в проблеме прогноза сейсмичности. Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. // 2005.

. -№4.-С. 69-74.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. - 2003. - Т. 392, №2. - С. 185-189.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2005. - №1. -С. 5-9.

23. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых меромофных матриц-функций // ДАН. - 2004. - Т. 399, №1. - С.163-167.

24. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Метод факторизации решения некоторых неоднородных краевых задач // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2003. - Спец. вып. - С. 10-12.

25. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Проблема исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2004. - Спец. вып. - С. 10-12.

26. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Выполнение граничных условий в дифференциальном методе факторизации // ДАН. - 2007. - Т. 412, №5. _с. 600-603.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред // ДАН. - 2009. -Т. 426,№4.-С. 471-475.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента // ДАН. - 2009. - Т. 427, №2. - С. 183-186.

29. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. - 2009. - Т. 410, №2. -С. 168-172.

30. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О блочном элементе в форме произвольной треугольной пирамиды // ДАН. - 2009. - Т. 429, №6. -С. 758-761.

31. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О многогранных и выпуклых блочных элементах // ДАН. - 2010. - Т.-432, №5. - С. 620-623.

32. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О пирамидальном блочном элементе // ДАН. - 2009. - Т. 428, №1. - С. 30-34.

33. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.А. Садовского // ДАН - 2009. - Т. 427, №4. - С. 480^85.

34. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2008. - № 2. — С. 5-12.

35. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Мухин A.C., Федоренко А.Г., Шестопалов B.JI. К проблеме медленных сейсмических волн // Механика твердого тела. - 2012. - № 6. - С. 37-43.

36. Бабешко В. А. Математическое моделирование экологических процессов распространения загрязняющих веществ / В. А. Бабешко,

О.М. Бабешко, O.B. Евдокимова, A.B. Павлова // Краснодар: Кубанский гос. ун-т. -2009.-138 с.

37. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Федоренко А.Г. О трехмерных блочных элементах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. - №2. - С. 5- 10.

38. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. - М.: Наука, 1989. - 344 с.

39. Бабешко О.М., Горшкова Е.М., Гладской И.Б., Плужник A.B., Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. Исследование динамических и сейсмических процессов в блочных структурах, моделирующих горные массивы // Наука Кубани. - 2009. - №2. - С. 10-17.

40. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапин О.Н. Особенность напряжений в окрестности вершины упругого трехгранника // Докл. АН СССР. -1991. - Т. 318, №5. - С. 1113-1116.

41. Бабешко В.А., Горшкова Е.М., Лозовой В.В., Мухин A.C., Гладской И.Б., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для неклассических линейно деформируемых тел // Наука Кубани. - 2009. -№2.-С 4-9.

42. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и наноструктурах // ДАН. - 2007. - Т. 415, №5.-С. 596-599.

43. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в статических задачах // ДАН. - 2008. - Т. 423, №6. - С. 748-752.

44. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Некоторые общие свойства блочных элементов // ДАН. - 2012. - Т. 442, № 1. - С. 37-40.

45. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О вариациях границ блочных элементов // ДАН. - 2012. - Т. 2, № 2. - С. 380-384.

46. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О дифференциальном методе факторизации в задачах для сплошных сред. // ДАН. - 2008. - Т. 421, №1.-С. 37-40.

47. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента // ДАН. — 2011. - Т. 438, №5. - С. 623-625.

48. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Собственные векторные функции в блочных элементах // ДАН. - 2012. - Т. 446, №6. - С. 279-282.

49. Бабешко В.А. К проблеме оценки напряженно-деформированного состояния территорий с разломами / О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, Е.М. Горшкова, Е.В. Кашков, A.B. Плужник, А.Г. Федоренко, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2010. - №3. - С. 5-11.

50. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Евдокимов С.М. К решению краевых задач, связанных с факторизацией матриц-функций // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2006. - № 3. - С. 7-13.

51. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // ДАН. - 2009. - Т. 424, № 1. - С. 36-39.

52. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. О приложениях теории блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, материаловедении // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2008. -№4.-С. 30-37.

53. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Иванов П.Б., Шестопалов В.Л., Шишкин A.A., Плужник A.B., Мухин A.C. К проблеме построения глобальных моделей // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2012. — №1. —С. 20-24.

54. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. К решению краевых задач с применением факторизации матриц-функций // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2004. - №2. - С. 5-7.

55. Бабешко В.А. Развитие новых наукоемких методов мониторинга и прогноза состояния территорий в сейсмоопасных и оползнеопасных зонах / О.В. Евдокимова, И.В. Рядчиков, В.В. Лозовой, М.Н. Колесников, И.С. Телятников, Д.В. Грищенко, A.A. Шишкин, С.Б. Уафа, М.С. Власова, М.В. Смирнова. //Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2013. -№3. - С. 814.

56. Бабешко В.А., Зарецкая М.В., Рядчиков И.В. К вопросу моделирования процессов переноса в экологии, сейсмологии и их приложения // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2008. - № 3. - С. 20-25.

57. Бабешко В.А. О поведении и резонансах 'некоторых блочных структур сейсмологии и материаловедения / Е.В. Кириллова, М.Н. Колесников, О.В. Евдокимова, О.М. Бабешко, И.С. Телятников, Д.В. Грищенко, В.В. Лозовой, A.B. Плужник, A.A. Шишкин // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2013.-№1.-С. 6-12.

58. Бабешко В.А. Метод блочного элемента для гладких границ / М.Н. Колесников, Е.В. Кашков, В.В. Лозовой, И.С. Телятников, В.Л. Шестопалов, A.A. Шишкин. //Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2012. -№4. -С. 5-9.

59. Бабешко В.А., Ратнер C.B., Лозовой В.В., Сыромятников П.В. Комплексные геофизические методы в изучении глубинного строения Земли для построения модели напряженно-деформированного состояния земной коры // Вестник ЮНЦ РАН. - 2007. - №2. - С. 46-49.

60. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

61. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

62. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979.-320 с.

63. Волевич JI.P., Егорова Ю.В., Панеях Б.П. Псевдодифференциальные операторы. - М.: Мир. 1967. - 366 с.

64. Волевич JI.P., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи математических наук. - 1965. - Т. 20, Вып.1. - С. 374.

65. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // ДАН СССР. - 1979. - Т. 245, №4. - С. 817-820.

66. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

67. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. — М.: Наука, 1979. - 320 с.

68. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. - М.: Научный мир, 1999. - 248с.

69. Гельфанд И.М., Минлос З.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. - М.: Физматлит, 1958. - 368 с.

70. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга H.A., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Динамика упругих тел. - Киев: Наукова думка, 1986. - Т. 5 - 288 с.

71. Гольдин C.B. Интерпретация данных сейсмического метода отраженных волн. - М.: Недра, 1979. - 344 с.

72. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Равновесие упругих тел канонической формы. - Киев: Наукова думка, 1985. - 280 с.

73. Грунд Ф. Программирование на языке ФОРТРАН IV / Ф.Грунд. - М.: Мир, 1976.-183 с.

74. Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. - М.: Недра, 1970. - 552 с.

75. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. - М.: Мир, 1969. -423 с.

76. Евдокимова O.B. Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2006. - № 4. - С. 32-42.

77. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2007.-№2.-С. 51-55.

78. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А. О дифференциальном методе факторизации в неоднородных задачах // ДАН. - 2008. - Т. 418, № 3. — С. 321-323.

79. Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Бабешко О.М., Лозовой В.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г. О Полуограниченных блочных элементах // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. - №4. - С. 14-19.

80. Евдокимова О.В., Шишкин A.A., Ломакина Л.В. Оценка блочной скоростной функции по временам пробега прямой сейсмической волны между источником и приемником: Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616553. Зарегистрировано 1 октября 2010 г.

81. Евдокимова О. В., Шишкин А. А., Ломакина Л. В. Расчет времени пробега прямой сейсмической волны между источником и приемником в среде, которая задается скоростной функцией: Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616554. Зарегистрировано 1 октября 2010 г.

82. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы / Н. В. Ефимов. - М.: Наука, 1964.-160 с.

83. Жданов М.С. Сейсмическая и электромагнитная миграция / М.С. Жданов, В.Ю.Матусевич, М.А.Френкель. - М.: Наука, 1988. - 375 с.

84. Карус Е. В. Межскважинное прозвучивание / О. Л. Кузнецов, И. С. Файзуллин, Е. В. Карус. - М.: Наука, 2004. - 197 с. <

85. Касахара К. Механика землетрясений / Под ред. В.Н. Николаевского. -М.: Мир, 1985.-264 с.

86. Кири П. Введение в геофизическую разведку / М. Брукс. - М.: Мир, 1988. -373 с.

87. Клаербоут Д. Ф. Сейсмическое изображение земных недр / Д. Ф. Клаербоут. -М.: Наука, 1989.-239 с.

88. Клаербоут Д. Ф. Теоретические основы обработки геофизической информации / Д. Ф. Клаербоут. - М.: Недра, 1981. - 303 с.

89. Козлов Е.А. Миграционные преобразования в сейсморазведке. - М.: Недра, 1986.-248 с.

90. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965.-426 с.

91. Крауфорд Ф. Волны. - М.: Наука, 1984. - 512 с.

92. Линьков Е.М. Сейсмические явления. — Лениград: Издательство Ленинградского университета, 1987. - 248 с.

93. Ляховицкий Ф. М. Инженерная геофизика / В. К. Хмелевской, 3. Г. Ященко. -М.: Недра, 1989.-252 с.

94. Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование на фортране / У. Дорн. - М.: Мир, 1977. - 584 с.

95. Мак-Куиллин Р., Бекон М., Барклай У. Введение в сейсмическую интерпретацию. - М.: Недра, 1985. - 308 с.

96. Мухин A.C., Чмыхалов С.П. Исследование сейсмических данных, регистрируемых сейсмологической лабораторией Кубанского государственного университета. // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2005. — Приложение №1. - С. 56-63.

97. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: Изд. иностр. лит. 1962. - 279 с. ;

98. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. - М.: Мир, 1970. -256 с.

99. Нолет Г. Сейсмическая томография / Г. Нолет. - М.: Наука, 1990. - 318 с.

100. Сван Т. Освоение Borland С++ 4.5. Практический курс. - Киев: Диалектика, 1996.-544 с.

101. Сван Т. Освоение Borland С++ 4.5. Энциклопедия функций. — Киев: Диалектика, 1996. - 320 с. í

102. Пиппард А. Физика колебаний. - М.: Высшая школа, 1985. - 456 с.

103. Прэтт У. Цифровая обработка изображений 1 / У. Прэтт. - М.: Мир, 1982. -312 с.

104. Прэтт У. Цифровая обработка изображений 2 / У. Прэтт. - М.: Мир, 1982. — 480 с.

105. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. — М.: Наука, 1985. - 408 с.

106. Робинсон Э. А. Метод миграции в сейсморазведке / Э. А. Робинсон. - М.: Недра, 1988.-111 с.

107. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука, 1970. - 304 с.

108. Сейсморазведка // под ред. Номоконова. - М.: Недра, 1990. - 336 с.

109. Сильвиа М. Т. Обратная фильтрация геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ / М. Т. Сильвиа, Э. А. Робинсон. - М.: Недра, 1983. -243 с.

110. Смирнов В.И. Курс высшей математики том второй / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1965. - 656 с.

111. Тимошин Ю.В. Сейсмическая голография сложнопостроенных сред / Ю.В. Тимошин, С.А. Бирдус, В.В. Мерщий. - М.: Недра, 1989. - 256 с.

112. Тихонов А.Н. Математические задачи компьютерной томографии / В.Я. Арсенин, A.A. Тимонов, А.Н. Тихонов - М.: Физматлит, 1996. - 363 с.

113. Троян В.Н. Статистические методы обработки сейсмической информации при исследовании сложных сред / В.Н. Троян. — М.: Недра, 1982. - 184 с.

114. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1979. - 262 с.

115. Уэйт М. Язык Си / М. Уэйт, С. Прата, Д. Мартин. - М.: Мир, 1988. - 512 с.

116. Хаттон JI. Обработка сейсмических данных теория и практика / М. Уэрдингтон, Дж. Мейкин. - М.: Наука, 1989. - 255 с.

117. Шерифф Р. Сейсморазведка / Л. Гелдарт. - М.: Мир, 1987. - 400 с.

118. Шишкин, А.А. Об одном методе применения сейсмической томографии в инженерно-геологических изысканиях / А.А. Шишкин // Тез. докл. VII ежегодной науч. конф. студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН. - Ростов н/Д: Изд-во ЮНЦ РАН, 2011. - С. 204-205.

119. Шишкин, А.А. Применение метода сопряженных градиентов для решения задачи сейсмической томографии на модельных примерах / А.А. Шишкин // Современные информационные технологии и ИТ-образование: тез. докл. IV Междунар. науч.-практ. конф. - М.: Изд-во МГУ, 2009. Электронный ресурс: http://2009.it-edu.ru/pages/Conference-works

120. Baysal Е. Reverse time migration / Е. Baysal, D.D. Kosloff, J.W.C. Sherwood // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 452-462 p.

121. Berkhout A.J. Wave field extrapolation techniques in seismic migration, a tutorial / A.J. Berkhout // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. -414-432 p.

122. Berryhill J.R. Wave-equation datuming / J.R. Berryhill // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 331-346 p.

123. Claerbout J.F. Extrapolation of Time-Dependent Waveforms along their Path of Propagation / J.F. Claerbout, G. Johnson Angel // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 102-111 p.

124. Claerbout J. F., Donerty Stephen M. Downward continuation of moveout-corrected seismograms / Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. -112-139 p.

125. Claerbout J.F. Coarse grid calculations of waves in inhomogeneous media with application to delineation of complicated seismic structure / J.F. Claerbout // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 90-101 p.

126. French W.S. Two-dimensional and three-dimensional migration of modelexperiment reflection profiles / W.S. French // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 142-154 p.

127. French W.S. Computer migration of oblique seismic reflection profiles / W.S. French // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 170-189 p.

128. Gardner G.H., French W.S., Matzuk T. Elements of migration and velocity analysis / G.H. Gardner, W.S. French, T. Matzuk // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 155-169 p.

129. Gazdag J. Wave equation migration with the phase-shift method / J. Gazdag // Migration of seismic date. - 1985. - Geophysics reprint series - 302-311 p.

130. Gazdag J. Wave equation migration with the accurate space derivative method / J. Gazdag // Migration of seismic date. - 1985. - Geophysics reprint series - 312322 p.

131. Gazdag J., Sguazzero P. Migration of seismic data by phase shift plus interpolation / J. Gazdag, P. Sguazzero // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 323-330 p. *

132. Hatton L., Larner K., Gibson B.S. Migration of seismic data from inhomogeneous media / L. Hatton, K. Larner, B.S. Gibson // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. -1985.-397-413 p.

133. Hubral P. Time migration-some ray theoretical aspects / P. Hubral // Migration of seismic date. - 1985. - Geophysics reprint series - 200-207 p.

134. Johnson C.H. Locating and detailing fault formations by means of the geo-sonograph / C.H. Johnson // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. -31-49 p.

135. Joong H.Ch. Fundamentals of frequency domain migration / H.Ch. Joong, Ch.A. Jacewittz Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. — 1985. - 257-273 p.

136. Judson D.R. Depth migration after stack / D.R. Judson, J. Lin, P.S. Schultz, J.W.C. Sherwood // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 347361 p.

137. Kosloff D.D. Migration with the full acoustic Wave equation / D.D. Kosloff, E. Baysal // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 433-443 p.

138. Larner K.L. Depth migration of imaged time sections / K.L. Larner, L. Hatton, B.S. Gibson, I-Ch. Hsu // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. -380-396 p.

139. Loewenthal D. The wave equation applied to migration / D. Loewenthal, L. Lu, R. Roberson, J. Sherwood // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. -208-227 p.

140. McMechan G.A. Migration by extrapolation of time-dependent boundary values / G.A. McMechan // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 444451 p.

141. Rieber F. Complex reflection patterns and their geologic sources / F. Rieber // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 2-30 p.

142. Schneider W.A. Integral formulation for migration in two and three dimensions / W.A. Schneider // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 274-301 p.

143. Schultz Ph.S., Sherwood J.W.C. Depth migration before stack / Ph.S. Schultz, J.W.C. Sherwood // Migration of seismic date. - Tulsa, Oklahoma. - 1985. - 361379 p.

144. Stolt R.H. Migration by Fourier transform / R.H. Stolt // Migration of seismic date. - 1985. - Geophysics reprint series - 231-256 p~

145. Timoshin Yu.V. New possibilities for imagery / Yu.V. Timoshin // Reprinted with permission from Soviet Physics-Acoustics. - American Institute of Physics. - Vol. 15, No. 3.-1970.-360-367 p.

146. Weston Mikulich and Dave Hale. Steep-dip V(z) imaging from an ensemble of Stolt-like migrations. - Geophysics. - Vol. 57. - 1992.