Метод блочного элемента в теории сейсмических трасс тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Мухин, Алексей Сергеевич

• Мухин, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мухин, Алексей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Метод блочного элемента в теории сейсмических трасс.

§ 1. Паспортизация сейсмических трасс.

§ 2. Проблема модели медленных сейсмических волн.

§ 3. Метод блочного элемента.

3.1. Краткий алгоритм метода блочного элемента.

3.2. Блочный элемент - прямоугольный параллелепипед.

3.3. Блочный элемент - прямоугольная пирамида.

3.4. Блочный элемент - произвольная треугольная пирамида.

3.5. Блочные элементы - многогранные и выпуклые тела.

3.6. Резонансы сопряженных блочных элементов.

ГЛАВА 2. Экспериментальные исследования сейсмических трасс с использованием мощного передвижного вибросейсмического источника.

§ 1. Цели эксперимента по исследованию сейсмических трасс.

§ 2. Методы обнаружения зон сопряжения блоков (дилатансных зон).

§ 3. Комплексный метод активного вибросейсмического мониторинга с использованием двух типов сигналов: с линейной частотной модуляцией и гармонический.

3.1. Описание эксперимента.

3.2. Обработка данных эксперимента с использованием сигнала с линейной частотной модуляцией. Корреляционный метод обработки данных.

3.3. Обработка данных эксперимента с использованием гармонического сигнала. Спектральный метод обработки данных.

ГЛАВА 3. Экспериментальные исследования сейсмических трасс с использованием наклономера.

§ 1. Цель эксперимента.

§ 2. Описание измерительной установки.

§ 3. Результаты эксперимента по измерению наклона поверхности земли.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод блочного элемента в теории сейсмических трасс»

Механический подход все в большей мере применяется для решения проблемы прогноза сильных землетрясений, что является важной задачей, способной сохранить тысячи человеческих жизней, предотвратить экологические катастрофы. В данной области ведутся теоретические и экспериментальные исследования. Но и в первом и во втором случае из-за ограниченности данных о структуре земной коры и детализации процессов, в ней происходящих, приходится пользоваться моделями, представляющими некую идеализацию. В связи с этим требуется постоянная верификация как теоретических знаний, так и знаний, полученных в результате эксперимента.

Исследованию процессов в коре Земли, связанных с оценкой напряженно-деформируемого состояния посвящено много работ, в том числе и работы по построению моделей поведения различных блочных структур, описываемых граничными задачами механики сплошных сред.

Различные методы исследования граничных задач для дифференциальных уравнений, которые описывают поведение деформируемых тел и свойства самих материалов, рассматривали И.Н. Векуа, М.И. Вишик, B.C. Владимиров, И.И. Ворович, J1.B. Канторович, М.Г. Крейн, В.Д. Купрадзе, О.Н. Ладыженская, В.П. Маслов, В.П. Матвиенко, С.Г. Михлин, Н.Ф. Морозов, C.J1. Соболев, Е. Hopf, L. Hörmander, С. Morrey, М. Nagumo, L. Nirenberg, J. Schaunder [120,121,125-128] и др.

Различные вопросы решения контактных задач для твердых деформируемых тел рассматривали в своих работах В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.Г. Баженов, A.B. Белоконь,

A.К. Беляев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, И.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, А.Н. Гузь, И.М. Дунаев, В.И. Ерофеева, Е.И. Шемякин, М.В. Зарецкая, JI.M. Зубов, JI.A. Игумнов, М.А. Ильгамов, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, Д.М. Климов,

B.И. Колесников, A.M. Кривцов, В.А. Крысько, С.А. Лурье, Е.В. Ломакин,

A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян,

A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, A.B. Павлова,

B.В. Панасюк, В.Е. Панин, Ю.В. Петров, Б.Е. Победря, А.Д. Полянин, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, B.C. Саркисян, М.В. Сильников, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, А.Ф. Резчиков, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, JI.A. Фильштинский, М.И. Чебаков, Ю.Г. Яновский, J. Achenbach, В. Baker, F. Bazi, Т. Blacker, В. Brickstad, P. Challande, L. Charles, W. Chen, Y. Cheung, L. Gray, W. Koiter, R. Low, M. Lowengrub, E. Smith, C. Wang [109-118,122-124,129,130] и др.

Интенсивное развитие средств глобальной спутниковой системы GPS/ГЛОНАСС позволило получать новые данные и выявлять новые предвестники землетрясений на основе глобальных наблюдений за деформациями территории. Новые экспериментальные методы позволили подтвердить не только уже существующие модели, например, модель блоковой структуры литосферной плиты, но и обнаружить новые явления. Экспериментальные исследования поведения напряженно-деформированного состояния коры Земли в сейсмоопасных районах, осуществляемые с помощью приборов, отслеживающих уровни изолированных вод в гидрогеологических скважинах, данные измерений с помощью высокоточных GPS/ГЛОНАСС-приемников, наклономеров позволяют предполагать существование медленных сейсмических волн, распространяющихся в коре Земли [30,48].

Проявление этих волн наблюдается спустя некоторое достаточно продолжительное время в зонах, удаленных от эпицентра произошедшего землетрясения. Медленные сейсмические волны являются также, по-видимому, главными причинами так называемого сейсмического дальнодействия, состоящего в реагировании сейсмических приборов на изменение сейсмической обстановки перед событием даже в зонах, значительно удаленных от мест сейсмических событий.

Выяснение этих вопросов требует максимально полной геофизической информации с обширной территории и, возможно, со всей поверхности Земли [99], а также развития математических средств, позволяющих на достаточно адекватных математических моделях строго имитировать протекающие в коре Земли механические процессы.

В диссертационной работе на основе подходов механики деформируемого твердого тела, метода блочного элемента развивается задача обоснования существования медленных сейсмических волн. Для этих целей уже построены модели блочных элементов наиболее часто встречающиеся в литосфеных плитах. В диссертации описана модель сопряжения блоков в блочной структуре с возникновением в этой структуре резонансных явлений, что является теоретическим основанием для предположения о возможности существования в блочной структуре медленных сейсмических волн.

Экспериментальная часть работы посвящена описанию экспериментальных методов, а также анализу геофизических данных, полученных в результате использования этих методов, с целью исследования параметров блочных структур в коре Земли, что необходимо для создания модели медленных сейсмических волн с учетом реальных условий.

Актуальность проведенных исследований определяется необходимостью решения важной проблемы прогноза сильных землетрясений, часто несущих огромный материальный ущерб и человеческие жертвы. Экспериментальные данные, полученные с помощью высокоточных приемников ОР8/ГЛОНАСС, и данные исследования гидрогеологического поля позволили сделать вывод о том, что медленные сейсмические волны несут в себе энергию, позволяющую вызвать слабые землетрясения. А в случае, когда накопившаяся потенциальная энергия способна вызвать сильное землетрясение, эти волны могут сыграть роль спускового механизма. Поэтому исследование медленных сейсмических волн является необходимым звеном в выявлении новых предвестников землетрясений.

Цель исследования

С учетом вышесказанного, целью исследования является теоретическое обоснование возможности существования медленных сейсмических волн в блочной структуре коры Земли, исследование сейсмических трасс и описание экспериментальных данных по исследованию блоковой структуры коры Земли для построения модели возникновения медленных сейсмических волн для реальных условий.

Таким образом, первая задача, поставленная в диссертации, заключается в использовании метода блочных элементов для оценки сейсмических трасс и теоретическом обосновании возможности возникновения медленных сейсмических волн в блочных структурах.

Однако эта задача будет носить чисто абстрактный характер до тех пор, пока не будут установлены истинные параметры блоковой структуры, то есть ее физико-механические свойства и размеры. Последняя задача может быть решена только экспериментально.

Отсюда вторая задача, поставленная в диссертации, - разработка метода определения типов сопряжения блоков, влияющих на распространение медленных сейсмических волн, разработка экспериментальных методов обнаружения сейсмических характеристик, свидетельствующих о существовании медленных сейсмических волн и исследование процессов изменений в блоковой структуре коры Земли с помощью наклономера.

И третья задача - выявление новых предвестников землетрясений на основе экспериментальных исследований с использованием модели блочной структуры коры Земли.

Научная новизна результатов работы

В теоретической части научная новизна диссертационной работы состоит в том, что метод блочного элемента, разработанный в Южном научном центре РАН и Кубанском государственном университете, дал ряд новых результатов в области прогноза землетрясений. В диссертационной работе на основе метода блочного элемента изложена теоретическая основа поддерживающая предположение о возможности существования медленных сейсмических волн, уточнены исследования, связанные с сейсмическими трассами, что получило также экспериментальное подтверждение.

С помощью комплексного метода активного вибросейсмического мониторинга предложено измерение скоростных характеристик среды с высокой точностью, что позволяет использовать этот метод для отслеживания изменений в напряженно-деформированном состоянии участков литосферной плиты блочной структуры. Экспериментальные исследования в области наклонометрии указали на возможность использования этих данных для оценки состояния земной коры блочной структуры в дальней зоне, что согласуется с моделью медленных сейсмических волн в блочной структуре.

Научное и практическое значение работы

В диссертационной работе определено направление исследования, связанное с изучением резонансных свойств блочных структур, которое позволяет целенаправленно исследовать медленные сейсмические волны от разных источников, пересечение трасс которых может являться зоной возможных сейсмических событий.

Практическое значение экспериментальных работ комплексным методом активного вибросейсмического мониторинга состоит в решении важной проблемы оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит блоковой структуры с целью обнаружения зон сопряжения блоков (дилатансных зон), способных влиять на распространение медленных сейсмических волн. Решение этой задачи позволит строить модель возникновения медленных сейсмических волн для реальных условий и оценивать сейсмическую ситуацию в краткосрочном и среднесрочном плане.

Экспериментальные работы в области наклонометрии открыли возможность использовать наклономеры для прогноза землетрясений не только в зоне регистрации дилатансной области, но и в дальней зоне на расстояниях превышающих размеры отдельных блоков земной коры.

Диссертационные исследования проводились в Кубанском государственном университете в рамках ряда федеральных и краевых научно-технических программ: проектов краевой целевой программы «Сейсмомониторинг и прогнозирование землетрясений на территории Краснодарского края на период 2000-2004 гг.» (Постановление Законодательного Собрания Краснодарского края от 24 мая 2000 г. № 532-П), краевой целевой программы «Прогнозирование, снижение рисков и смягчение последствий чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера в Краснодарском крае на 2003-2006 годы» (Постановление Законодательного Собрания Краснодарского края от 18 сентября 2002 г., № 1649-П); проектов федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы» (государственные контракты от 10 февраля 2006 г. №02.451.11.7042, от 8 мая 2007 г. № 02.552.11.7013, от 25 июня 2007 г. № 02.515.11.5048, от 15 августа 2008 г. №02.515.11.0005, от 19 июня 2008 г. №02.552.11.7049); проекта федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013» (государственный контракт от 1 сентября 2010 г. № 16.740.11.0135).

Отдельные результаты получены при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 1.1259.2011, выполняемый в рамках государственного задания на оказание услуг (выполнение работ)).

Научные исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований: грант РФФИ, выполняемый под руководством диссертанта - 11-08-96505-рюгц; гранты с участием в качестве исполнителя: 03-01-96653-р2003юга, 03-01-96662-р2003юга, 06

01 -96634-рюга, 06-01-96803-рюгофи, 06-08-00671-а, 06-08-9663 5-рюга,

07-01-12028-офи, 07-05-00858-а, 08-01-99013-рофи, 09-01-96503-рюга, 09

08-00171-а, 09-08-00294-а, 09-08-96522-рюга, 11-08-96503-рюгц, 12-01-00332-а; гранты Президента РФ по поддержке научных школ (проекты НШ-2107.2003.1, НШ-2298.2008.1, НШ-3765.2010.1).

Достоверность результатов

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются использованием строгих математических методов и сравнением результатов, полученных автором, с уже известными, полученными другими методами. Достоверность полученных и представленных в диссертации результатов на основе экспериментальных данных подтверждается заданной точностью измерения используемых приборов, расчетом погрешностей измерений с соблюдением критериев статистических испытаний и обеспечивается использованием современных средств и методик проведения исследований.

На защиту выносятся

1. Теоретическое и экспериментальное обоснование возможности возникновения медленных сейсмических волн в блочных структурах.

2. Результаты экспериментальных исследований характеристик сейсмических трасс при помощи комплекса методов активного вибросейсмического мониторинга.

3. Результаты экспериментальных исследований, позволяющие определить типы сопряжения блоков, влияющие на распространение медленных сейсмических волн.

4. Результаты экспериментальных исследований характеристик медленных сейсмических волн с использованием измерения наклона участков литосферных плит и оценки сейсмической трассы с точки зрения прогноза землетрясений.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на всероссийских конференциях грантодержателей РФФИ в 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 гг. (Краснодар), на семинарах отдела проблем математики и механики ЮНЦ РАН, Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических катастроф при ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», на заседаниях кафедры математического моделирования ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Публикации

Результаты исследований достаточно полно опубликованы в 10 работах [29,30,38,44,45,48,50,74,76,90] и содержат основные положения диссертации, выносимые на защиту. Шесть работ [29,30,44,45,48,74] опубликованы в изданиях рекомендуемых ВАК.

Структура, содержание и объем работы

Работа состоит из 3-х глав и заключения.

Первая глава посвящена теоретическим исследованиям поведения блочной структуры земной коры и возникновению в ней сейсмических волн, распространяющихся по сейсмическим трассам.

В первом параграфе обсуждаются вопросы сейсмических трасс и паспортизации сейсмических трасс.

Во втором параграфе теоретически обосновывается возможность возникновения в блочных структурах медленных сейсмических волн, которые отличаются от быстрых общеизвестных сейсмических волн, распространяющихся в упругой среде. Медленные сейсмические волны распространяются в земной коре за счет взаимодействия блоков между собой. Скорость медленных сейсмических волн, связанная с взаимодействием блоков земной коры, на несколько порядков меньше быстрых сейсмических волн. Доказывается, что блочная структура может быть исследована методом блочного элемента с применением векторных собственных функций, что в результате позволяет исследовать медленные сейсмические волны. Таким образом, изложена теоретическая основа, поддерживающая предположение о существовании медленных сейсмических волн.

Формулируется краевая задача для блочной структуры. Считается, что область блочной структуры О состоит из областей занимаемых блоками Ь-\,2,.,В с границами дО.^. Если часть границы блока является общей с границей другого блока, ее называют контактирующей. Остальная не контактирующая часть может быть свободной или подверженной внешним воздействиям. Предполагается, что в каждой области 0.ь ставится краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными своими в каждой области коэффициентами.

На общей, контактирующей, границе д0.ь п дС1е] задаются граничные условия сопряжения.

Краевая задача исследуется в пространствах медленно растущих обобщенных функций НДП). Граничные условия в общем виде описывают случай контакта блоков, когда на общих границах принимается условия совпадения необходимых компонент физических полей, продиктованные соответствующими физическими законами. В частности, граничные условия могут быть намного проще - не иметь на границе внешних воздействий и представлять лишь требование равенства на общей границе решений и их производных.

Следуя дифференциальному методу факторизации, краевая задача после сводится к системе функциональных уравнений. Каждая область £1Ь рассматривается в отдельности.

Если блок вырождается в полупространство или слоистую среду, псевдодифференциальные уравнения, появляющиеся в процессе решения краевой задачи, вырождаются в алгебраические, после обращения которых решение строится в конечном виде. В том случае, если рассматриваемый блок не является выпуклым телом, для исследования краевой задачи применяется метод обобщенной факторизации.

Процесс «сшивания» решений, получаемых в каждом блоке, в методе факторизации осуществляется автоматически при удовлетворении граничных условий. При наличии трещин, разломов или включений меньших размерностей последние рассматриваются как границы блоков. В результате получается однотипный алгоритм исследования блочных структур с указанными неоднородностями.

Ниже излагается применение собственных векторных функций в методе блочного элемента.

Вводится в рассмотрение отдельный изотропный линейно-упругий блок блочной структуры, находящийся в условиях динамического воздействия, представляющий собой произвольное выпуклое тело, занимающее область ^ с границей д£1. Его напряженно-деформированное состояние описывается граничной задачей для уравнений Ламе с применением затем преобразований Лапласа. Считается, что коэффициенты уравнения Ламе являются постоянными, а начальные условия - нулевыми. В методе блочного элемента граничные условия используются на этапе вывода псевдодифференциальных уравнений. Используя собственные векторные функции в дифференциальном методе факторизации, система уравнений приводится к функциональным уравнениям.

Далее предполагается, что для каждого блока системы осуществлено касательное расслоение границы и введены локальные системы координат. Выделив малые окрестности границы в окрестностях начал локальных координат, применяется к произвольному выпуклому телу метод собственных векторных функций. Тогда, с учетом принятых обозначений, решение получается в виде перемещений.

Изложенная схема метода блочного элемента для одного блока переносится на блочную структуру для каждого его блока.

В третьем параграфе дается краткий алгоритм метода блочного элемента. Приводятся наиболее часто встречающиеся в литосферных плитах блочные элементы в виде прямоугольного параллелепипеда, прямоугольной пирамиды, произвольной треугольной пирамиды, многогранных и выпуклых тел.

При рассмотрении блочных элементов различных типов используется метод блочного элемента. Для области, состоящей из вышеперечисленных типов блочных элементов, формулируется краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными, своими для каждого типа блока, коэффициентами. Указываются граничные условия на границах блоков. После применения интегрального преобразования Фурье краевая задача сводится к системе функциональных уравнений. В этом случае каждый блочный элемент рассматривается отдельно. После удовлетворения граничным условиям функциональные уравнения сводятся к системе псевдодифференциальных уравнений для данного блочного элемента. Систему псевдодифференциальных уравнений после внесения граничных условий также можно свести к системам интегральных уравнений смешанных задач на границе области. Последние решаются интегральным методом факторизации.

Также приведен пример сопряженных блочных элементов и доказывается возникновение в такой структуре резонансных явлений, что является теоретическим основанием для предположения о существовании медленных сейсмических волн.

Результат этой главы затем проверяется экспериментально.

Во второй главе описаны экспериментальные исследования сейсмических трасс.

В первом параграфе указываются цели экспериментальных работ. Они делятся на общие цели и цели конкретного эксперимента с использованием мощного передвижного вибросейсмоисточника У-3000 (30 тонн силы на максимальной амплитуде). Для более глубокого исследования какой-либо структуры необходимо иметь представление об этой структуре и тех ее особенностях, которые отвечают конечной задаче исследования. В нашем случае конечной целью являются две задачи. Во-первых, определить параметры сопряжения блоков, влияющих на распространение медленных сейсмических волн и, во-вторых, оценить степень сейсмической опасности в исследуемом регионе. И первая и вторая задачи состоят в исследовании одной и той же области.

Описываются основные модели изменения структуры земной коры при подготовке землетрясений в зоне сопряжения блоков: модель лавинно-неустойчивого трещинообразования (ЛНТ), модель дилатантно-диффузионная (ДД-модель). На основании общих целей по выявлению зон сопряжения блоков сформулированы цели эксперимента с использованием комплексного метода вибросейсмического мониторинга: 1) измерение скорости продольной волны вдоль трассы с использованием в качестве излучаемого сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ); определение характеристик среды трассы; 2) определение фазы и амплитуды сигналов на входе и выходе сейсмической трассы на основе спектрального метода при работе с гармоническим сигналом; определение переходной характеристики среды; определение изменения скоростной характеристики сейсмической трассы по результатам изменения фазовой характеристики; 3) оценка чувствительности комплексного метода к изменению скорости продольной волны в исследуемой среде с использованием в качестве излучаемых сигналов гармонического и ЛЧМ-сигнала; 4) обоснование вывода о возможности обнаружения комплексным методом зон сопряжения блоков, влияющих на распространение медленных волн.

Во втором параграфе описываются методы обнаружения зон сопряжения блоков (дилатансных зон) и проблемы, с которыми приходится сталкиваться при исследовании структур земной коры в области формирования будущего землетрясения. Основное внимание уделяется геофизическим методам исследования изменения напряженно-деформированного состояния.

В третьем параграфе описывается эксперимент по исследованию сейсмических трасс проводимый в Кубанском государственном университете с использованием комплексного метода, когда в качестве излучаемого сигнала для одной трассы используются два типа сигнала: сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) и гармонический сигнал. В качестве излучателя использовался мощный передвижной вибратор Y-3000, а в качестве приемной аппаратуры - регистратор сейсмических сигналов РСС-01, оснащенный приемником GPS. Использование приемника GPS позволило определять временные характеристики сигнала с большой точностью (точность синхронизации от GPS-приемника - 10 мкс).

В результате эксперимента подтверждена возможность использования комплексного метода для обнаружения зон сопряжения блоков (дилатансных зон), способных влиять на распространение медленных сейсмических волн.

В третьей главе описаны экспериментальные исследования сейсмических трасс медленных сейсмических волн с использованием наклономера.

В первом параграфе описана цель эксперимента. Цель эксперимента заключается в измерении наклона поверхности земли и нахождении закономерности, связывающей наклон отдельных участков земной поверхности с изменением структуры коры Земли в дальней зоне, т.е. на расстояниях превышающих размеры отдельных блоков. Зоны изменения структуры определяется по координатам землетрясений, произошедших на границах блока в дальней зоне от месторасположения наклономера. Исходя из этого, ставится вторая цель эксперимента - использование данных наклономера для прогноза землетрясений в дальней зоне.

Во втором параграфе описывается измерительная установка. Указаны характеристики наклономера и регистрирующей аппаратуры сейсмостанции Кубанского государственного университета. Рассчитана погрешность измерения наклона поверхности земли.

В третьем параграфе описаны результаты эксперимента по измерению наклона поверхности земли за период с 24 января 2003 г по 28 февраля 2007 г., а затем за период с 26 марта по 5 октября 2010 г.

При анализе данных наклономера найдена закономерность: замедление скорости изменения наклона поверхности земли сопровождается землетрясениями. Кроме этого анализ показал, что за период с 2003 по 2004 г. ни одно землетрясение во время своей подготовки не имело зоны регистрации дилатансной зоны радиусом превышающим расстояние от эпицентра землетрясения до места расположения наклономера. Отсюда следует, что найденная новая закономерность, проявляющаяся в затишье перед землетрясением, требует построения новой модели.

Так как расстояние между пунктом регистрации наклона поверхности земли и эпицентрами землетрясений превышает зону регистрации дилатансной области, то закономерно будет сказать о том, что наклономер реагирует на медленные волны, которые возникают в результате передачи кинетической и потенциальной энергии на расстояния превышающие размеры отдельных блоков земной коры.

Одна из моделей проявления этой закономерности может быть представлена таким образом: усилие, действующее на совокупность блоков земной коры, расходуется на разрушение зоны сопряжения блоков (области будущего магистрального разрыва). В результате наклон участка литосферной плиты в дальней зоне изменяется незначительно, а энергия, затраченная на разрушение (разуплотнение) кристаллической породы, приводит с течением некоторого времени к магистральному разрыву в зоне разрушения породы, то есть к землетрясению. После землетрясения прочность породы восстанавливается, и скорость изменения наклона поверхности земли возвращается к прежним значениям.

Также в третьем параграфе описана компьютерная программа (язык МАТЬАВ), определяющая на основании данных наклономера уровень сейсмической опасности в дальней зоне. Программа измеряет скорость изменения наклона поверхности Земли. В случае замедления скорости ниже некоторого предельного уровня (предельный уровень определен экспериментально по данным наклона поверхности Земли за период с 2003 по 2007 г. и 2010 г.), программа выдает прогностическое предупреждение.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Мухин, Алексей Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию возможности существования, ранее не отмечавшегося явления, медленных сейсмических волн и свойств сейсмических трасс. В диссертации описаны экспериментальные исследования сейсмических трасс на основе комплексного метода с целью обнаружения зон сопряжения блоков, что позволит создавать модели возникновения и распространения различных типов волн по трассам в реальных условиях. Проведены работы и анализ данных по измерению наклона поверхности земли.

1. Метод блочного элемента применен для построения наиболее часто встречающихся блоков блочной структуры литосферных плит. На этой основе установлено существование резонансных процессов в случае сопряжения блоков. Таким образом, изложена теоретическая основа, поддерживающая предположение о существовании медленных сейсмических волн.

2. Разработан комплексный экспериментальный метод исследования сейсмических трасс с использованием тяжелого передвижного вибросейсмоисточника.

3. Проведены экспериментальные исследования сейсмической трассы с использованием тяжелого передвижного вибросейсмоисточника У-ЗООО. Получена характеристика среды трассы, скоростная характеристика трассы, переходная характеристика трассы. Оценена чувствительность комплексного метода и подтверждена возможность его использования для обнаружения зон сопряжения блоков (дилатансных зон), способных влиять на распространение медленных сейсмических волн. Решение этой задачи позволит построить модель возникновения медленных сейсмических волн для реальных условий.

4. Проведены экспериментальные исследования сейсмических трасс с использованием наклономера за период с 2003 по 2007 г. и 2010 г.

5. На основании данных наклона поверхности Земли за период с 2003 по 2007 г. и 2010 г. выявлена закономерность, связанная с возможностью прогноза возникновения землетрясений в дальней зоне. Закономерность заключается в следующем: уменьшение скорости изменения наклона поверхности Земли в дальней зоне от сейсмоопасных районов сопровождается увеличением вероятности возникновения землетрясения в этих районах.

6. На основании выявленной закономерности предложена геофизическая модель изменений в блочной структуре коры Земли, связывающая подготовку землетрясения с изменением наклона участка литосферной плиты в дальней зоне. Это проявляется в том, что наклономер, находясь в дальней зоне от границ блока, способен реагировать на изменение напряженно-деформируемого состояния на его границах. Если принять во внимание модель медленных сейсмических волн, как взаимодействие сопряженных блоков, то, таким образом, наклономер способен регистрировать возникающие при взаимодействии блоков медленные сейсмические волны.

7. На основании изученного материала написана программа на языке МАТЬАВ, определяющая уровень сейсмической опасности в дальней зоне. Программа измеряет скорость изменения наклона поверхности Земли. В случае замедления скорости ниже некоторого предельного уровня (предельный уровень определен экспериментально по данным наклона поверхности Земли за период с 2003 по 2007 г. и 2010 г.) программа выдает прогностическое предупреждение.

116

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мухин, Алексей Сергеевич, 2012 год

1. Акбаров С.Д., Гузь А.Н., Мовсумов Э.А., Мустафаев С.М. Механика материалов с искривленными структурами. Киев: Наук, думка, 1995. 320 с.

2. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван. HAH. 1999. 320 с.

3. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. М.: Наука, 1991. 176 с.

4. Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 304, №2. С. 318-321.

5. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 1994. Спецвыпуск. №1. С. 90-91.

6. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 265с.

7. Бабешко В.А., Александров Б.Л., Гортинская В.В., Мухин A.C. Патент на изобретение № 2184842. Способ разработки нефтяной залежи. Приоритет от 08.06.2000 г.

8. Бабешко В.А., Бабенко Г.В., Мухин A.C. Патент на изобретение №2118806. Вибростенд. Приоритет от 24.07.1996 г.

9. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Формулы факторизации некоторых меромофных матриц-функций // ДАН. 2004. Т. 399, №1. С. 163-167.

10. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Интегральные преобразования и метод факторизации в краевых задачах // ДАН. 2005. Т.403, №6. С. 26-28.

11. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Исследование краевых задач двойной факторизацией // ДАН. 2005. Т. 403, №1. С. 20-24.

12. Бабешко В. А., Бабешко О.М. К исследованию краевых задач сейсмологии // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №3. С. 5-10.

13. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. 2003. Т. 392, №6. С. 767-770.

14. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393, № 4. С.473-477.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389, №2. С. 184-188.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред // ДАН. 2004. Т. 399, №3. С. 315-318.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О некоторых проблемах в сейсмологии // Вестн. Юж. науч. центра РАН. 2004. №1. С. 17-23.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Об одном новом подходе в проблеме прогноза сейсмичности. Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. // 2005. №4. С. 69-74.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392, №2. С. 185-189.

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Вильяме Р. Метод факторизации решения некоторых неоднородных краевых задач // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Спец. вып. С. 10-12.

21. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Выполнение граничных условий в дифференциальном методе факторизации. // ДАН. 2007. Т. 412, №5. С. 600-603.

22. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Интегральный метод факторизации в смешанных задачах для анизотропных сред // ДАН. Т. 426, №4. 2009. С. 471^75

23. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К теории блочного элемента ДАН. Т. 427, №2, 2009, С. 183-186.

24. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации // ДАН. Т. 410, №2. 2009, С. 168-172.

25. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О блочном элементе в форме произвольной треугольной пирамиды ДАН. Т. 429, №6, 2009, С. 758-761.

26. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О пирамидальном блочном элементе // ДАН. 2009. Т. 428, №1. С. 30-34.

27. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О проблеме блочных структур академика М.А.Садовского ДАН. Т. 427, №4, 2009, С. 480485.

28. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации в приложениях // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 5-12.

29. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Лозовой В.В., Мухин A.C., Чмыхалов С.П. К проблеме паспортизации сейсмических трасс // Экологиеский вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. №4. С. 8-15.

30. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Мухин A.C., Федоренко А.Г., Шестопстов В.Я. К проблеме медленных сейсмических волн // Механика твердого тела. 2012. № 6. С. 37-43.

31. Бабешко В.А, Бабешко О.М., Евдокимова О.В. Федоренко А.Г. О трехмерных блочных элементах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С. 5-10.

32. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Ломакина Л.В., Мухин A.C., Сыромятников П.В. Патент на полезную модель № 72334. Комплекс для оценки сейсмической опасности и снижения ее негативных последствий. Приоритет от 11.12.2007 г.

33. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Собисевич А.Л. Исследование поведения вязкой жидкости при вибровоздействии // ДАН СССР. 1994. Т. 336, №6. С. 760-762.

34. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. №3. С.74-83.

35. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

36. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапинп О.Н. Особенность напряжений в окрестности вершины упругого трехгранника // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, №5. С. 1113-1116.

37. Бабешко В.А., Горшкова Е.М., Лозовой В.В., Мухин A.C., Гладекой И.Б., Федоренко А.Г. Дифференциальный метод факторизации в смешанных задачах для неклассических линейно деформируемых тел // Наука Кубани. 2009 №2. С 4-9.

38. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в блочных структурах и нано структурах // ДАН. Т. 415, №5. 2007. С. 596-599.

39. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Дифференциальный метод факторизации в статических задачах // ДАН. 2008. Т. 423, №6. С. 748-752

40. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. О дифференциальном методе факторизации в задачах для сплошных сред. ДАН. 2008. Т. 421, №1. С. 37-40.

41. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Об автоморфизме и псевдодифференциальных уравнениях в методе блочного элемента // ДАН. 2011. Т. 438, №5. С. 623-625.

42. Бабешко В.А,. Евдокимова О.В,. Бабешко О.M Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // ДАН. 2009. Т. 424, № 1. С. 36-39.

43. Бабешко В.А., Зарецкая М.В., Рядчиков И.В. К вопросу моделирования процессов переноса в экологии, сейсмологии и их приложения // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 3. С. 20-25.

44. Бабешко В.А., Лозовой В.В., Ратнер C.B., Сыромятников П.В., Федоренко А.Г. Теоретические и экспериментальный исследования глубинного строения Земли в аридных зонах // Вестник Южного научного центра РАН. Т. 2, №2. 2006. С. 42-45.

45. Бабешко В.А., Мухин A.C., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Грищенко Д.В., Шестопалов В.Л. О некоторых свойствах сейсмических трасс // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2012. №3. С. 12 17.

46. Бабешко В.А., Ратнер C.B., Лозовой В.В., Сыромятников П.В. Комплексные геофизические методы в изучении глубинного строения Земли для построения модели напряженно-деформированного состояния земной коры // Вестник ЮНЦ РАН. 2007. №2. С. 46^19.

47. Бабешко О.М., Горшкова Е.М., Гладской И.Б., Плужник А.В, Мухин A.C., Лозовой В.В., Федоренко А.Г. Исследование динамических и сейсмических процессов в блочных структурах, моделирующих горные массивы // Наука Кубани. 2009. №2. С. 10-17.

48. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988. 488 с.

49. Белоконъ A.B., Еремеев В.А., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акусто-электроупругости // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, №3. С. 381-393.

50. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Магнитотеллурическое зондирование горизонтально однородных сред. М.: Недра. 1991. 250с.

51. Вартанян Г.С. Некоторые деформационные механизмы функционирования эндодренажной системы Земли и сейсмичность // Отечественная геология. 2008. №2. С. 18-27.

52. Ватулъян А.О., Соловьев А.Н. Новая формулировка граничных интегральных уравнений первого рода в электроупругости // Прикладная математика и механика. 1999. Т. 63, Вып.6. С. 1035-1043.

53. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979. 320 с.

54. Волевич Л.Р., Егорова Ю.В., Панеях Б.П. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир. 1967. 366 с.

55. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи математических наук. 1965. Т. 20, Вып.1. С. 3-74.

56. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. Т.245, №5. С. 1076-1079.

57. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. Т. 245, №4. С. 817-820.

58. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

59. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

60. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 248с.

61. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых упругих волноводах // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62, Вып.2. С. 297-303.

62. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на поверхность // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №5. С. 146-153.

63. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шулъга Н.А., Гузъ А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Динамика упругих тел. Киев: Наукова думка, Т. 5. 1986. 288 с.

64. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Равновесие упругих тел канонической формы. Киев: Наук, думка, 1985. 280 с.

65. Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. М.: Недра, 1970. 552 с.

66. Добровольский И.П. О модели подготовки землетрясения // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1980. №11. С. 23-31.

67. Добровольский И.П. Теория подготовки тектонического землетрясения. М.:ИФЗ АН СССР. 1991. 224 с.

68. Евдокимова О.В. Дифференциальный метод факторизации в механике разрушения, материаловедении и сейсмологии // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2006. № 4. С. 32-42.

69. Евдокимова О. В. Дифференциальный метод факторизации в неоднородных и нестационарных задачах // Экологический вестникнаучных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №2. С. 51-55.

70. Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Бабешко В.А. О дифференциальном методе факторизации в неоднородных задачах ДАН. Т. 418, № 3. 2008. С. 321-323.

71. Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B., Бабешко О.М., Лозовой В.В., Бабешко В.А., Федоренко А.Г. О Полуограниченных блочных элементах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №4. С 14-19.

72. Евдокимова О.В., Федоренко А.Г., Плужник A.B., Горшкова Е.М., Лозовой В.В., Мухин A.C. Разработка теории материалов с управляемыми компонентами // Наука Кубани. 2009. №3. С 10-15.

73. Завьялов А.Д. Среднесрочный прогноз землетрясений: основа, методика, реализация. М.: Наука, 2006. 254 с.

74. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.- М.: Наука, 1974. 400 с.

75. Зубков С.И., Гвоздев A.A., Костров Б.В. Обзор теории подготовки землетрясения. Физические процессы в очагах землетрясений. М.: Наука, 1980. С. 114-118.

76. Изменение окружающей среды и климата: природные и связанные с ними техногенные катастрофы: В 8 т. / Пред. Ред. Кол.: Н.П. Лаверов. РАН. Т.1. Сейсмические процессы и катастрофы / Отв. Ред. А. О. Глико.- М.: ИФЗ РАН. 2008. 372 с.

77. Илюхин С.Р., Шестопалов B.JI. Исследование геодинамики региона Крым Западный Кавказ методами GPS-измерений // Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. 2007. № 3. С. 9-17.

78. Касахара К Механика землетрясений / Под ред. В.Н. Николаевского.- М.: Мир, 1985. 264 с.

79. Ковалевский В.В, Пушной Б.М., Салаватов P.M. Оценка погрешности измерения вибросейсмических сигналов // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Мат. Модел. В геофизике. 1996. - Вып. 4. С. 80-93.

80. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука, 1975. 176 с.

81. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.- М. Наука, 1965, 426 С.

82. Кушнер Ф.В. Электрорадиоизмерения: Учебное пособие для вузов. Д.: Энергоатомиздат, 1983. 320 с.

83. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1989. 656 с.

84. Липанов A.M. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях // Математическое моделирование. Т. 18, №12, 2006. С. 3-18.

85. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

86. Мячкин В.И., Костров Б.В., Соболев Г.А., Шамина О.Г. Основы физики очага и предвестники землетрясений. Физика очага землетрясений.- М.: Наука, 1975. С 6-29.

87. Никонов A.A. Землетрясения. Прошлое, современность, прогноз. М.: Знание, 1984. 192 с.

88. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

89. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978.400 с.

90. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1989. -638 с.

91. Пономарев A.B. Динамика физических полей при моделировании очага землетрясений: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 2003. 64 с.

92. Попков В. И. Чешуйчато-надвиговое строение Северо-Западного Кавказа // ДАН. Т. 411, №2. С. 223-225.

93. Притчетт У. Получение надежных данных сейсморазведки.- М.: Мир, 1999. 450 с.

94. Ризниченко Ю.В. Проблемы сейсмологии. М.: Наука, 1985. 408 с.

95. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. 1979. Т. 247, №4. С. 829-831.

96. Садовский М.А. О распределении размеров твердых отдельностей // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, №1. С. 69-72.

97. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987. 104 с.

98. Садовский М.А., Красный Л.И. Блоковая тектоника литосферы // ДАН СССР. 1986. Т. 287, №6. С. 1451-1454.

99. Сейсморазведка. Справочник геофизика / Под ред. И.И. Гурвича, В.П. Номоконова. М.: Недра, 1981. 464 с.

100. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. М.: Наука, 2003. 270 с.

101. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. 262 с.

102. Эйби Дж. А. Землетрясения / Под ред. И.С. Комарова. М.: Недра, 1982. 264 с.

103. Achenbach J.D., Кио М.К. Conditions for crack kinking under stress-wave loaning // Eng. Fract. Mech., 1985. Vol. 22. N2. P. 165-180.

104. Baker B.R. Dynamic stresses created by moving crack // Trans. ASME. J. Appl. Math., 1962, 29. N3. P. 449^58.

105. Bricks tad В., Nils son F. Numerical evaluation by FEM of crack propagation experiments // Int. J. Fract., 1980, 16. N1. P. 71-84.

106. Blacker T.D., Meyers R. Seams and wedges in plastering: A 3-d hexahedral mesh generation algorithm // Engineering with Computers. 1993. Vol.2. P. 83-93.

107. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavities study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // J. Mec. Theor. et Appl. 1988. Vol. 7. №4. P. 461-477.

108. Charles L. Law son. Software for CI Surface Interpolation // Mathematical Software III / ed. J.R. Rice. N.Y.: Acad, press, 1977. P. 161-194.

109. Chen W., Lynch C.S. Finite element analysis of cracks in ferroelectric ceramic materials // Eng. Fract. Mech. 1999. Vol.64 (5). P. 539-562.

110. Cheung Y.K., Jin W.G., Zienkewicz O.C. Solution of Helmholtz equation by Trefftz method // Intern. J. Numer. Methods Eng. 1991. Vol.32. P. 53-68.

111. Gray L.J., Kaplan Т., Richardson J.D., Paulino G.H. Green's functions and boundary integral analysis for exponentionally graded materials // Trans. ASME. J. 2003. №4. P. 543-549.

112. Hunt J.T., Knittel M.R., Barach D. Finite element approach to acoustic radiation from elastic structures // J. Acoust. Soc. Amer. 1974. Vol.55. №2. P. 269-280.

113. Koiter W.T. Solution of some elasticite problems by asymptotic methods. В сб. «Приложение теории функций в механике сплошной среды», Т. 1, «Наука», 1965.

114. Low R.D. On a Double mixed boundary value problem for an elastic Layer. Quart. Appl. Math., 1964, v. 22, № 2.

115. Lowengrub M.A. A two-dimensional crack problem Int. I. Engng. Sci., 1966, v. 4, № 3.

116. Morrey C.B. Elliptic differential equation with Holder continuous coefficients, Amer. Math. Soc. Notices, 5 (1958), 466.

117. Nagumo M. On principally linear elliptic differential equation of the second order. Osaka Math. J., 6 (2) (1954), 207-229.

118. Nirenberg L. Remarkson strongly elliptic partial differential equation. Comm. Pure Appl. Math., 8 (1955), 649-675.

119. Schaunder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichugen zweiter Ordnung. Math. Z., 38 (1934), 257-282.

120. Smith E.R. On a flat punch indending on elastic Layer in plane strain. Quart J. Math., 1964, v. 15, №59.

121. Wang C.F. Elastic contact of a strip pressed between two cylinders. Trans ASME, 1968, Ev. 35, №№ 2, 5.