Банки комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Кью Мьят Со

• Кью Мьят Со
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кью Мьят Со

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ФИЛЬТРЫ

1.1. Вещественные дискретные фильтры нижних частот

1.2. Вещественные дискретные фильтры верхних частот

1.3. Метод смещения

1.3.1. Метод комплексной задержки

1.3.2. Комплексные полосовые фильтры

1.3.3. Комплексные режекторные фильтры

1.4. Аналитические цифровые фильтры

1.4.1. Способ реализации

1.4.2. Пример расчета

Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. БАНКИ ЦИФРОВЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛОСОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНОЙ ВЫБОРКИ

2.1. Комплексные фильтры на основе частотной выборки

2.2. Многосекционные комплексные ФОЧВ

2.3. Каскадирование ФОЧВ

2.4. ФОЧВ с перестройкой по частоте

2.5. Нерекурсивные комплексные фильтры, рассчитанные с использованием обратного дискретного преобразования Фурье

2.6. Полный банк ФОЧВ

Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. БАНКИ ФИЛЬТРОВ С ЛИНЕЙНОЙ ФЧХ

3.1. Фильтры Баттерворта с линейной фазочастотной характеристикой

3.2. Фильтры Бесселя с линейной фазочастотной характеристикой

3.3. Комплексный полосовой фильтр с линейной ФЧХ

Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМА CORDIC ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

4.1. Общие сведения

4.2. Применение алгоритма CORDIC

4.3. Метод CORDIC при реализации банков комплексных БИХ и КИХ

фильтров

Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

а

Список сокращений

АЧХ - амплитудно-частотнная характеристика

БИХ - бесконечная импульсная характеристика

ГВЗ - групповое время запаздывания

ДПФ - дискретное преобразование Фурье

КИХ - конечная импульсная характеристика

ОБП - обобщенное билинейное преобразование

ПЛИС - программируемая логическая интегральная схема

ПФ - полосовой фильтр

РФ - режекторный фильтр

ФВЧ - фильтр верхних частот

ФНЧ - фильтр нижних частот

ФОЧВ - фильтр на основе частотной выборки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Банки комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений»

Введение

В последние десятилетия банки комплексных цифровых фильтров стали широко применяться в цифровых устройствах формирования и обработки многочастотных радиосигналов. Эти банки состоят из однотипных комплексных полосовых фильтров с различными центральными частотами и количество фильтров в них может быть весьма значительным. В такой ситуации актуальной становится проблема уменьшения числа арифметических операций при реализации комплексных фильтров. Особенно важно уменьшить количество операций умножения Уменьшение количества умножений позволяет улучшить оперативную скорость, снизить стоимость и упростить реализацию цифровых фильтров в интегральном исполнении. Ограничение на количество умножений существуют и при реализации банков фильтров на базе ПЛИС.

Методы расчета банков цифровых фильтров для формирования и обработки многочастотных сигналов интенсивно разрабатывали в течение последних десятилетий Каплун Д. [24], Азаренков Л. [25, 26], Канатов И., Бу-дилов А. [27], Чобану М. [45], Vaidyanathan P.P. [55, 57], Fliege N.J. [58, 59], Cherubini G. [60], и многие другие.

Можно выделить отдельное направление исследований банков фильтров, связанное с использованием цифровых комплексных фильтров без операции умножения. Цифровые вещественные фильтры без операции умножения рассматривались в работах Р. Лайонса [23], Гольденберга Л.М., Матюш-кина Б.Д., Поляка М.Н., [33], Витязева В.В. [34, 36, 41-43], Степашкина В.В. [36, 42, 43], Рабинера Л., Шафера А. [37], Голда Б. [38, 39], Мизина И.А. [44], Митры С. [50, 56], и многих других. Передаточные функции полосовых комплексных фильтров могут быть получены из передаточной функции ФНЧ с помощью замены переменной, обеспечивающей сдвиг его частотной характеристики. Банки цифровых комплексных фильтров предлагается реализовы-вать на основе комплексных полосовых КИХ и БИХ фильтров.

Методы расчета комплексных полосовых и режекторных фильтров рассматривались в работах Гребенко Ю.А.[1-6, 15-18, 19-21], Акар Мью [7], Гад-зиковского В.И. [22], Валуева А.А [31], Митры С. [50, 56], Регалия П.А. [50], и др. Следует отметить предложенный Гребенко Ю.А. и Акар Мью метод комплексной задержки, который позволяет достаточно просто реализовать перестройку центральной частоты цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров.

Тема диссертационной работы отражает класс исследуемых устройств (банки комплексных полосовых фильтров) и цель работы (уменьшение количества умножений).

Актуальность темы диссертации обусловлена следующим:

• широким применением банков комплексных цифровых фильтров в устройствах приема и передачи информации;

• развитием методов фильтрации, при которых может потребоваться перестройка параметров цифрового комплексного фильтра при сохранении формы АЧХ;

• необходимостью создания комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений для использования в банках фильтров.

Объектами исследования являются: структурные схемы НЧ-прототипов и структурные схемы комплексных цифровых фильтров.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета и реализации банков комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработка методики проектирования перестраиваемых по частоте цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров с малым количеством умножений.

2. Разработка методики расчета комплексных полосовых фильтров на основе метода частотной выборки.

3. Разработка методики расчета цифровых комплексных полосовых комбинированных БИХ-КИХ фильтров с линейной ФЧХ.

4. Разработка методики реализации комплексной задержки при использовании алгоритма С(Ж01С.

Методы исследования. Применительно к объектам исследования для решения поставленных задач используются методы теории функций комплексного переменного, методы теории графов, метод алгоритма СО!Ш1С, методы линейной алгебры, методы математического и схемотехнического моделирования.

Научная новизна работы. В диссертации рассмотрена и в значительной степени решена задача, имеющая существенное значение для радиотехники — синтез и анализ новых структурных схем полосовых и режекторных комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений, ориентированных на использование в банках комплексных фильтров для устройств формирования и обработки многочастотных радиосигналов. Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработана методика расчета банков комплексных фильтров с использованием комплексных задержек.

2. Разработан способ реализации аналитического цифрового фильтра в виде последовательного соединения полосового вещественного цифрового фильтра с центральной частотой равной четверти частоты дискретизации и блока подавления отрицательных (положительных) частот.

3. Разработана методика расчета банков комплексных фильтров на основе частотной выборки (ФОЧВ).

4. Разработан способ построения банков комплексных комбинированных БИХ-КИХ фильтров с линейной ФЧХ.

5. Показана возможность уменьшения числа умножений при реализации комплексных полосовых фильтров с использованием метода алгоритма ССЖБТС.

Достоверность разработанных в диссертационной работе методик синтеза подтверждается результатами схемотехнического моделирования, апробацией основных результатов на научно-технических конференциях, публикацией основных результатов в научно-технических журналах и сборниках.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Цифровые комплексные фильтры с малым количеством операций умножения целесообразно разрабатывать на базе однородных фильтров и ФОЧВ, используя метод комплексной задержки.

2. Аналитический цифровой фильтр можно реализовать в виде последовательного соединения полосового вещественного цифрового фильтра с центральной частотой равной четверти частоты дискретизации и блока подавления отрицательных (положительных) частот.

3. Комплексные цифровые фильтры с линейной ФЧХ можно реализовать, используя комбинацию БИХ и КИХ фильтров.

4. Количество умножений в цифровом комплексном фильтре уменьшается в два раза, если использовать алгоритм ССЖОГС при реализации комплексных задержек.

Практическая значимость работы обусловлена разработкой удобных для использования в инженерной практике методик проектирования комплексных банков фильтров методом комплексной задержки. Результаты моделирования позволяют говорить о возможности реализации банков фильтров при уменьшенном количестве операции умножения. Результаты работы используются в курсе лекций по дисциплине «Методы и устройства цифровой обработки сигналов», а также при курсовом и дипломном проектировании на радиотехническом факультете МЭИ.

Апробация результатов работы. По основным результатам работы сделано 3 доклада на международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов.

Публикации по теме диссертационной работы. Основные результаты диссертации изложены в 7 печатных работах, среди которых 2 статьи в журнале «Вестник МЭИ», входящем в список ВАК.

ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Цифровые фильтры широко применяются при цифровой обработке сигналов. Обычные аппаратные реализации цифровых фильтров используют основные функциональные компоненты: задержки, перемножители и сумматоры. Среди этих основных функциональных компонентов, перемножители наиболее сложны для реализации, что увеличивает стоимость фильтра. С точки зрения реализации ЦФ в интегральном исполнении, площадь занимаемой перемножителем на кристалле является весьма существенной. Оперативная скорость фильтрации является еще более значимым фактором в различных приложениях, например, обработка видео и других высокоскоростных цифровых сигналов в режиме реального времени. В обычных цифровых фильтрах, значительная задержка времени объясняется наличием перемножителей, которые снижают скорость фильтрации. Поэтому, чтобы улучшить оперативную скорость, снизить стоимость и упростить реализацию в интегральном исполнении, желательно, исключить перемножители из цифровых фильтров.

Примеры вещественных фильтров с малым количеством умножений известны и описаны, например, в [24],[33],[39]. Комплексные фильтры с малым количеством умножений в известной нам технической литературе не описаны.

В разделе рассматриваются способы построения вещественных и комплексных фильтров без операции умножения. За основу выбран фильтр скользящего среднего, на базе которого с помощью каскадирования реализуется ФНЧ с заданной полосой пропускания и уровнем подавления в полосе задерживания.

Показывается, как с помощью определенных преобразований передаточной функции ФНЧ получить передаточные функции вещественных фильтров верхних частот. Передаточные функции комплексных полосовых и режекторных фильтров предлагается реализовывать, используя метод смещения частотных характеристик ФНЧ или ФВЧ.

1.1. Вещественные дискретные фильтры нижних частот

Цифровые фильтры нижних частот без операции умножения реализуются путем каскадирования однородных фильтров (фильтров скользящего среднего) [2]. Однородные фильтры относятся к классу цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой и могут быть реализованы в нерекурсивной и рекурсивной формах. Передаточные функции цифровых ФНЧ в этом случае получают перемножением передаточных функций однородных фильтров. Передаточная функция однородного фильтра имеет следующий вид:

Н(г) = —П + г'1 +г~2 + + .. N

. + г

-(М-1)

) =

1 1

-Дг

(1.1)

N 1-

где N - число отсчетов в импульсной характеристике или порядок рекурсивной формы реализации.

Если N выбрать равным 2Р, то операция деления на N может выть выполнена путем сдвига вправо на р разрядов, и однородный фильтр можно реализовать без использования операции умножения [1]. Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра описывается формулой.

_1_ и

БшЛ^ЯН'

(1.2)

где м>=///л -нормированная цифровая частота,Уд- частота дискретизации.

Структурные схемы однородных фильтров при рекурсивной и нерекурсивной форме показаны на рис. 1.1.

(а)

(б)

Рис. 1.1. Структурные схемы однородного фильтра при (а) рекурсивной (б)

нерекурсивной форме

На рис. 1.2 показана АЧХ однородных фильтров с порядками 7У=4, 8,16,32.

Рис. 1.2. АЧХ однородных фильтров различных порядков

Вид АЧХ полностью определяется значением N. В частности, количество нулей АЧХ в диапазоне частот и> от 0 до 1 равно (N-1) и они располагаются равномерно, т.е. значение частоты первого нулевого значения АЧХ равно \V\-UN, второго — м?2 = 2/Nи т.д. При увеличении N уменьшается ширина главного лепестка АЧХ, однако уровень боковых лепестков уменьшается незначительно (до 0,216 от уровня главного лепестка при больших значениях АО- Фазочастотные характеристики однородных фильтров линейные.

Однородные фильтры можно использовать как фильтры нижних частот, обеспечивая требуемую полосу пропускания выбором N. Однако при этом требования по уровню затухания в полосе задерживания часто не удается обеспечить из-за значительного уровня боковых лепестков АЧХ. Соединяя однородные фильтры последовательно, можно снизить уровень боковых лепестков АЧХ до необходимого значения. Обычно последовательно соединяют небольшое число однородных фильтров. Передаточные функции ФНЧ при числе каскадов равном М имеют вид [2]:

где А^- число отсчетов в импульсной характеристике или порядок рекурсивной формы реализации , а М- число блоков.

При этом ширина полосы пропускания ФНЧ будет определяться порядком однородного фильтра (Щ, а уровень затухания в полосе задерживания количеством соединяемых последовательно блоков (М). Структурная схема ФНЧ при каскадном соединении двух блоков (М) показана на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Структурная схема ФНЧ в каскадном виде (М= 2) АЧХ ФНЧ при соединении М блоков с Ы-8 показана на рис. 1.4.

АЧХ(ДБ)

Рис. 1.4. АЧХ ФНЧ при каскадном соединении блоков (7У=8)

При увеличении количества блоков уровень боковых лепестков существенно снижается.

Значения нормированных граничных частот полосы пропускания по уровню 0,707 узкополосных ФНЧ приведены в таблице. 1.1.

Таблица. 1.1. Значения нормированных граничных частот по уровню 0,707 узкополосных ФНЧ (и>п) при разных порядках исходного однородного

фильтра (N) и различном числе каскадов (М)

м 1 2 3 4

4 0,114 0,082 0,068 0,059

8 0,056 0,040 0,033 0,028

16 0,028 0,019 0,016 0,014

32 0,014 0,009 0,008 0,007

Анализ таблицы (1.1) показывает, что значение нормированной граничной частоты полосы пропускания узкополосных ФНЧ по уровню 0,707 уменьшается с увеличением числа обрабатываемых входных отсчетов (ТУ) и с увеличением количества каскадов {М).

Уровень первого бокового лепестка АЧХ узкополосных ФНЧ в полосе задерживания при разных порядках (Ы) и различном числе каскадов (М) приведены в таблице. 1.2.

Таблица. 1.2. Уровень первого бокового лепестка АЧХ ФНЧ при разных порядках {К) и различном числе каскадов (М)

1 2 3 4

4 0,272 0,074 0,020 0,005

8 0,229 0,053 0,012 0,003

16 0,220 0,048 0,011 0,002

32 0,218 0,048 0,010 0,001

Анализ таблицы (1.2) показывает, что неравномерность АЧХ узкополосных ФНЧ в полосе задерживания при увеличении порядка (АО уменьшается незначительно, а при увеличении числа каскадов(М) уменьшается существенно.

1.2. Вещественные дискретные фильтры верхних частот

Передаточная функция фильтра верхних частот ФВЧ без операции умножения получаются при следующем изменении передаточной функции ФНЧ.

N

1 1 г-н С1-4)

N 1-

-1

где И- число отсчетов в импульсной характеристике или порядок рекурсивной формы реализации.

Структурные схемы ФВЧ при рекурсивной и нерекурсивной форме показаны на рис. 1.5.

(а)

(б)

Рис. 1.5. Структурные схемы ФВЧ при (а) рекурсивной (б) нерекурсивной

форме

АЧХ ФВЧ при использовании однородных фильтров с 7У=4,8,16,32 показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6. АЧХ ФВЧ при различных порядках (N=4,8,16,32)

При этом ширина полосы пропускания ФВЧ будет определяться порядком фильтра (АО- Неравномерность АЧХ ФВЧ в полосе пропускания будет определяться количеством соединяемых последовательно блоков ФНЧ (М). Передаточная функция ФВЧ при числе каскадов равном М имеет вид:

(N-1 )М

M(N-\)

1 N-1 ^ 1 = 0

1 \-2

М

м

N

Структурная схема ФВЧ при М= 2 показана на рис.1.7.

МЫ

Вх

о-

-ы

-1

©—•©

-1

•©-Ч±>

-1

(1.5)

\>/Вых

Рис. 1.7. Структурная схема ФВЧ при М= 2

АЧХ ФВЧ при каскадном соединении М блоков ФНЧ с //=8 показана на рис. 1.8.

АЧХ(ДБ)

Рис. 1.8. АЧХ ФВЧ при каскадном соединении А/блоков (УУ=8)

Видно, что с помощью каскадного соединения блоков ФНЧ неравномерность АЧХ ФВЧ в полосе пропускания существенно снижается.

Значения нормированной ширины полосы пропускания по уровню 0,707 ФВЧ (Ди>) приведены в таблице. 1.3.

Таблица. 1.3. Значения нормированной ширины полосы пропускания ФВЧ (Дм>) при разных порядках исходного однородного фильтра (А7) и

различном числе каскадов ФНЧ (М)

м 1 2 3 4

4 0,192 0,147 0,123 0,108

8 0,095 0,072 0,060 0,053

16 0,047 0,036 0,029 0,026

32 0,024 0,018 0,015 0,013

Анализ таблицы (1.3) показывает, что значение нормированной ширины полосы пропускания ФВЧ по уровню 0,707 уменьшается с увеличением числа обрабатываемых входных отсчетов (АО и с увеличением количества каскадов ФНЧ (М).

Значения неравномерности АЧХ ФВЧ в полосе пропускания (<5) при разных порядках {Щ и различном числе каскадов ФНЧ (М) приведены в таблице. 1.4.

Таблица. 1.4. Значения неравномерности АЧХ ФВЧ в полосе пропускания при

разных порядках (IV) и различном числе каскадов ФНЧ (М)

м 1 2 3 4

4 0,272 0,074 0,020 0,005

8 0,229 0,053 0,012 0,003

16 0,220 0,048 0,011 0,002

32 0,218 0,048 0,010 0,001

Анализ таблицы (1.4) показывает, что неравномерность АЧХ ФВЧ в полосе пропускания (<5) при увеличении порядка (IV) уменьшается незначительно, а при увеличении числа каскадов (М) уменьшается существенно.

1.3. Метод смещения

Одним из вариантов конструирования передаточных функций комплексных фильтров является метод смещения частотных характеристик ФНЧ или ФВЧ по частоте путем замены переменной г~](м?) на ¿.(и>). При этом

¿¡_ = еИ™>ог-1 (16а)

-г""1 (и7) = (сО5(2яУУ0 ) + 7 БШ^^о)^"1^) , (1.66)

где м?=///д , -и>о- нормированная частота смещения.

При смещении форма частотной характеристики сохраняется. При этом полоса пропускания полосового фильтра будет равна удвоенному значению граничной частоты полосы пропускания ФНЧ.

Для реализации банков фильтров предлагается использовать вариант метода смещения, называемый методом комплексной задержки [7].

1.3.1. Метод комплексной задержки

Рассмотрим метод комплексной задержки, с помощью которого можем построить комплексные полосовые и режекторные фильтры. При смещении частотной характеристики ФНЧ получаются комплексные полосовые фильтры, а при смещении частотной характеристики ФВЧ получаются комплексные режекторные фильтры. На рис. 1.9 показана структурная схема комплексной задержки [7].

Рис. 1.9. Структурная схема комплексной задержки

Построение комплексных фильтров с помощью метода комплексной задержки рассмотрим в следующих разделах.

1.3.2. Комплексные полосовые фильтры

Цифровые комплексные полосовые фильтры можно построить путем преобразования структурной схемы цифрового фильтра нижних частот с использованием метода комплексной задержки. После замены переменной г'] на , получим передаточную функцию ПФ с комплексными коэффи-

циентами:

1 1-е К(2) = —

У 2

(1.7)

Структурная схема рекурсивной реализации при замене вещественной задержки на комплексную задержку показана на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Комплексный ПФ при рекурсивной форме

Полная структурная схема комплексного ПФ показана на рис. 1.11.

©

Вых 1 — —*■

МЫ

Вх 1

чСОЗ(2л;А^о)

-зш(2ЛМФ'О) зт(2л:М4'о)

Вх 2

С08(27ГИ>о)

-ЗШ(27Шо)

зт(2тгууоУ

соз(2л:Л^о)

Вых 2

Рис. 1.11. Структурная схема комплексного полосового фильтра

При проектировании преобразователей вещественного сигнала в аналитический целесообразно смещение ^о выбирать равным 0,25, чему соответствует частота смещения равная четверти частоты дискретизации. Тогда передаточная функция комплексного ПФ следующая:

1 1 (1 •

" п=О

N -Ы 2

" о-;-4)

(1.8) 21

а его структурная схема, показана на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Структурная схема комплексного ПФ (и>0=0,25)

АЧХ ПФ с комплексной задержкой показана на рис. 1.13.

COMPLEX BPF1N-4 8 16 32) CIR

I

I

Рис. 1.13. АЧХ комплексного ПФ при смещении (w0=0,25)

При увеличении количества блоков (М) комплексных ПФ передаточная функция имеет следующий вид:

( 1^-1

\М

1 (l-jNz~N)

N (1 -jz~l)

м

(1.9)

АЧХ комплексного полосового фильтра при различном количестве блоков Мс 7У=8 показаны на рис. 1.14.

COMPLEX BPFJN-8 М 2 4) CIR

1 !

Рис. 1.14. АЧХ ПФ при различном M{w0=0,25)

АЧХ комплексных полосовых фильтров при использовании метода комплексной задержки со смещениями w0 (0,125, 0,1875, 0,25, 0,3125) при N=32, М= 4 показаны на рис. 1.15. (^0=/о//д- нормированная частота смещения)

COMPLEX BPF CIR

lili i ! I

I 1

1 200

Рис. 1.15. АЧХ комплексных полосовых фильтров со смещениями частотных характеристик ФНЧ (частота дискретизации/^! 00Гц)

1.3.3. Комплексные режекторные фильтры

При замене переменной г"1 на е-'2™0г 1 уравнении (1.4), получим передаточную функцию режекторного фильтра с комплексной задержкой:

(1 N~l

jn27TWQ -п

\

-(N-1)

_e-j(N-\)7cw oz 2

/

(1.10)

Структурная схема комплексного цифрового РФ показана на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Комплексный режекторный фильтр

Полная структурная схема комплексного цифрового РФ показана на рис. 1.17. При проектировании преобразователей вещественного сигнала в аналитический целесообразно смещение Wo выбирать равным 0,25, чему соответствует частота смещения равная четверти частоты дискретизации. Тогда

т=

( .N _дЛ N-1

1 \[-J 2 ) c-KN-l)w0z 2

N (1 ~jz~l)

(1.11)

а его структурная схема при N= 8 представляется на рис.1.18.

Рис.1.18. Структурная схема комплексного РФ (N= 8) при смещении w0~0,25

АЧХ комплексного РФ при различных порядках ФНЧ (N=4,8,16,32) показаны на рис.1.19.

Рис. 1.19. АЧХ комплексного РФ (^0=0,25)

При увеличении количества блоков (М) в исходном ФНЧ уровень боковых лепестков его АЧХ снижается. Тогда

кШ=

1

N (\-jz~

м

г

-{И-1) \м

V

(1.12)

У

АЧХ комплексного РФ при увеличении количества блоков М (2,4) порядка N=8 показаны на рис. 1.20. АЧХ комплексных режекторных фильтров при использовании метода комплексной задержки со смещениями >у0 (0,125, 0,1875, 0,25, 0,3125) при 7У=32, М= 4 показаны на рис. 1.21. (н'о^о//д- нормированная частота смещения)

1 250

СОМР1ЕХ В$Р(Ы 4 М 2 4)С1Р

Рис.1.20. АЧХ РФ при каскадном соединении блоков (-^0=0,25)

СОМР1.ЕХ ВЭР С1Р

1 3

Рис. 1.21. АЧХ комплексных режекторных фильтров со смещениями частотных характеристик ФВЧ (частота дискретизации100Гц)

Можно констатировать, что цифровые комплексные полосовые фильтры можно построить путем преобразования структурной схемы цифрового фильтра нижних частот, а комплексные режекторные фильтры можно построить путем преобразования структурной схемы цифрового ФВЧ с исполь-

зованием комплексных задержек. При этом частотные характеристики можно смещать на произвольную частоту.

1.4. Аналитические цифровые фильтры

Рассмотрим комплексные дискретные фильтры, частотные характеристики которых не равны нулю либо в области положительных частот, либо в области отрицательных частот. По аналогии с сигналами будем называть такие фильтры называют аналитическими [1],[17]. Аналитический фильтр одновременно реализует фильтрацию и преобразование 'Гильберта. Такой фильтр можно использовать для преобразования вещественного сигнала в аналитический, а также для формирования ортогональных сигналов.

Передаточная функция цифрового комплексного фильтра может быть представлена в следующем виде: Т(г) = Тх(г) + ]Т2(г), где и Т2(г) - передаточные функции с вещественными коэффициентами. Для идеального цифрового аналитического фильтра справедливы следующие соотношения

Для оценки степени близости комплексного цифрового полосового фильтра к аналитическому цифровому фильтру можно ввести различные показатели [2]. Будем использовать показатель ¡л, который характеризует отношение площади под АЧХ в области отрицательных частот к полной площади под АЧХ в основной полосе частот:

Чем меньше значение показателя ¡л, тем фильтр ближе по свойствам к аналитическому.

Тх{е]2™) = Т2{еп™), агё Т2{^2™)=90, где и>=со/ю

'д •

(1.13)

1.4.1. Способ реализации

Предлагается реализовывать аналитический цифровой фильтр в виде последовательного соединения вещественного полосового фильтра с центральной частотой равной четверти от частоты дискретизации и блока подавления отрицательных (положительных) частот.

Рис. 1.22. Структурная схема аналитического фильтра

Вещественный полосовой фильтр (ПФ) с центральной частотой равной четверти частоты дискретизации предлагается рассчитывать в следующим образом:

1. Находим передаточную функцию ФНЧ, полоса пропускания которого равна половине полосы пропускания полосового фильтра с центральной частотой равной четверти частоты дискретизации.

2. Находим передаточную функцию ФВЧ путем замены переменой

в передаточной функции ФНЧ на {-гл ).

3. Находим передаточную функцию ПФ путем замены переменой (г"1) в передаточной функции ФВЧ на (г ).

1.4.2. Пример расчета

Проиллюстрируем предлагаемый метод примером. Найдем передаточную функцию вещественного ФНЧ Баттерворта четвертого порядка с граничной частотой ("и>п=0,05) по методу обобщенного билинейного преобразования (ОБП).

тнч(2) =

0.022 + 0.0442"' + 0.022г~2 1 -1.701г~' + 0.788г~2

0.019 + 0.38г-1 +0.0192

1 - 1.48г + 0.5566г

-2

(1.14)

АЧХ такого ФНЧ показана на рис. 1.23.

|7//</0)|<Н

05"

0 5 М>

Рис. 1.23. АЧХ ФНЧ Баттерворта

При замене переменой (г"1) в передаточной функции ФНЧ на (-г"1) получается передаточная функция ФВЧ следующего вида:

твч(г) =

0.022-0.0447"' +0.022г"2

1 + 1.70ЬГ' +0.7882"2

0.019-0.382"' +0.019^

-2

1 +1 А8г~ + 0.5566г

-2

(1.15)

АЧХ ФВЧ показана на рис. 1.24.

Рис. 1.24. АЧХ ФВЧ Баттерворта 1 2

При замене переменной (z~ ) на (z" ) в передаточной функции ФВЧ (1.15) получается передаточная функция ПФ с центральной частотой равной четверти от частоты дискретизации.

Тп 0{z) =

0.022 - 0.044z~2 + 0.022z l + 1.701z"2 +0.788z"4

-4

0.019 - 0.38z"2 +0.019Z"4

1 +1.48z~2 + 0.5566z-4

(1.16)

На рис. 1.25 показана АЧХ полосового фильтра.

|7/74>(W)|

п

п

JA.

1±

Рис. 1.25. АЧХ вещественного полосового фильтра

Блок подавления отрицательных частот предлагается реализовывать в виде каскадного соединения звеньев первого порядка комплексного однородного фильтра. Передаточная функция такого блока имеет вид:

К(г) =

м

(1.17)

где М- количество звеньев.

АЧХ блока состоящего из М звеньев показана на рис.1.26.

Рис.1.26. АЧХ блока подавления отрицательных частот при различном М

Блок подавления положительных частот будет иметь передаточную

функцию следующего вида: К(г) = показаны на рис. 1.27.

м

, а его АЧХ при различных М

Рис.1.27. АЧХ блока подавления положительных частот при различном М

Оценим как изменяется АЧХ полосового фильтра при каскадном соединении вещественного полосового фильтра и блока подавления отрицательных частот при различных М. Соответствующие АЧХ показаны на рис.1.28.

Рис. 1.28. АЧХ комплексного ПФ при различном М

Видно, что при увеличении количества звеньев в блоке подавления уровень АЧХ на отрицательных частотах значительно снижается. Можно отметить, что степень подавления АЧХ на отрицательных частотах зависит от порядка фильтра и полосы пропусканиями^). На следующих рисунках показаны АЧХ комплексного фильтра при изменении порядка и полосы пропускания.

Рис.1.29. АЧХ ПФ четвертого порядка с Д>у=0,2 при различном М

Рис. 1.30. АЧХ ПФ второго порядка с Ди>=0,1 при различном М

В таблице 1.5 представлены значения уровней показателя /л при соединении ПФ Баттерворта и блока подавления с различным числом звеньев М.

Таблица. 1.5. Значение показателей (л при соединении ПФ Баттерворта и бло-

ка подавления с различным числом звеньев М

Количество звеньев в блоке подавления (.М) Фильтр Баттерворта четвертого порядка Фильтр Баттерворта второго порядка

¡л (Ди>=0,1) ¡л (Ди>=0,2) /л (Ди>=0,1) ц (Д>у=0,2)

1 0,052 0,095 0,088 0,129

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кью Мьят Со, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гребенко Ю.А. Методы цифровой обработки сигналов в радиоприемных устройствах -М.: Издательский дом МЭИ, 2006. - 48 с.

2. Гребенко Ю.А. Однородные устройства обработки сигналов - М.: Издательский дом МЭИ, 2009. - 184 е.: ил.

3. Гребенко Ю.А. Оценка степени аналитичности комплексных полосно-пропускющих фильтров. / Гребенко Ю.А., А.В Ермаков // Вестник МЭИ. 2003. № 2. - С.70 -74.

4. Гребенко Ю.А., Кудряшов Т.В. Цифровые ФНЧ без операции умножения. // Радиотехнические тетради. - 2002. -№.25 - С.26-28.

5. Гребенко Ю.А. Расчет цифровых, фильтров на основе билинейного преобразования. // Радиотехника. - 1987. - № 3. - С.21-23.

6. Гребенко Ю.А., Киреев К.А. Комплексные цифровые фильтры без операции умножения. //Радиотехнические тетради - 2004. - № 29. - С.26-29.

7. Гребенко Ю.А., Акар Мьо. Проектирование цифровых комплексных фильтров методом комплексной задержки. / Гребенко Ю.А., Акар Мьо // Вестник МЭИ.2009. № 1. - С.70-72 .

8. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Комплексные фильтры на основе частотной выборки. //Радиотехнические тетради - 2012. - № 48. - С.32-35.

9. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Комплексные дискретные фильтры без операции умножения. //Радиотехнические тетради - 2012. - № 48. - С.36-42.

10. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Способ реализации аналитических цифровых фильтров. / Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со // Вестник МЭИ.2013. № 3. - С.72-75.

11. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Расчет цифровых комплексных полосовых фильтров на основе частотной выборки и с использованием дискретного преобразования Фурье. / Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со // Вестник МЭИ.2013. № 3. - С.120-123.

12. Ко Ко Хтве, Кью Мьят Со, Гребенко Ю.А. Использование обратных КИХ-фильтров для линеаризации ФЧХ БИХ-фильтров. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. XV МНТК студентов и аспирантов. В 3-х т. Т.1. М.: Издательство МЭИ, 2009.- С.64.

13. Кью Мьят Со, Гребенко Ю.А. Цифровые фильтры без операции умножения. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. XVI МНТК студентов и аспирантов. В 3-х т. T.l. М.: Издательство МЭИ, 2010. -С.77.

14. Кью Мьят Со, Гребенко Ю.А. Способ реализации аналитических цифровых фильтров. // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. XIX МНТК студентов и аспирантов. В 4-х т. T.l. М.: Издательство МЭИ, 2013.-С.62.

15. Гребенко Ю.А., Сидоров С. А. Синтез цифровых полосно-пропускающих фильтров с комплексными коэффициентами. // Радиотехнические тетради. -2000. - №.20. - С.26-29.

16. Гребенко Ю.А. Новый метод расчета цифровых рекурсивных фильтров // Вестник МЭИ . -2000. - № - С.77-80.

17. Гребенко Ю.А. Цифровые аналитические фильтры. // Международный форум информатизации - 2002: Доклады международной конференции «Информационные средства и технологии», 15-18 октября 2002 г., в 3-х т.т. Т1-М.: Янус-К. -2002. - С.142-144.

18. Гребенко Ю.А. Цифровые фильтрующие преобразователи Гильберта. // Международный форум информатизации - 2002: Доклады международной конференции «Информационные средства и технологии», 15-18 октября 2002 г., в 3-х т.т. Т1- М.: Янус-К, 2002. - С.197-198.

19. Гребенко Ю.А., Семкин A.A. Цифровые фильтры высокого порядка с перестраиваемыми параметрами. // Сб. "Элементы и узлы радиоаппаратуры". М. 1984.-C.il.

20. Гребенко Ю.А., Семкин A.A. Цифровые фильтры с перестраиваемыми параметрами. // Радиотехника. - 1984. - № 4. - С.92-93.

21. Гребенко Ю.А., Семкин A.A. К расчету цифровых полосовых фильтров. // Сб. "Элементы и узлы радиоаппаратуры". М. 1983. - СЛ.

22. Гадзиковский В. П., Калмыков A.A. Теория и проектирование устройств цифровой фильтрации: Учебное пособие. // Екатеринбург. - 2006 г. -432 с.

23. Ричард Лайонс. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. - М.: ООО « Бином-Пресс », 2006 г. - 656 с.:ил.

24. Каплун Д. Цифровые фильтры без умножения. // Компоненты и технологии. - 2007. - №.2 - С.132-135.

25. Азаренков Л., Канатов И., Каплун Д. Банк цифровых фильтров. // Компоненты и технологии. - 2007. -№.10 - С. 156-161.

26. Азаренков Л., Канатов И., Каплун Д. Методы построения банка цифровых фильтров: конвейерное частотное преобразование и взвешенное перекрывающееся сложение // Современная электроника. -2008. - №.3 - С.48-51.

27. Канатов И., Каплун Д., Будилов А. Особенности реализации банка цифровых фильтров. // Компоненты и технологии - 2007. -№.10 - С.150-154.

28. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы, 2-е издание -М.: Высш. шк, 1988.-462 с.

29. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с анг. / Под ред. И. Б. Фоменко. -М.: Связь, 1980. -248 е., ил.

30. Баевой H.H., Гордиенко В.Н., Курицын С.А. и др. Многоканальные системы передачи: Учебник для вузов / Под ред. Баевой H.H., Гордиенко В.Н. -М.: Радио и связь, 1996. -555 е.: ил.

31. Валуев A.A. Комплексные цифровые фильтры. // Радиотехника. - 1985. -№.8.-С. 19-22.

32. Побережский Е.С. Цифровые радиоприемные устройства. -М.: Радио и связь, 1987.- 183 с.

33. Гольденберг JI.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.П. Цифровая обработка сигналов: Справочник, -М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

34. Витязев В. В., Муравьев С. И. Модификации метода частотной выборки на основе структуры с квадратурной модуляцией. // Радиотехника. -1984.-№2.-С. 19-23.

35. Каппелини В., Константпнидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение: Пер. с англ. -М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

36. Витязев В.В., Муравьев С.И., Степашкин А.И. Метод синтеза цифровых узкополосных КИХ фильтров. // Изв. вузов. Радиоэлектроника. -1981. — Т. 24, №.7. - С.55-59.

37. Рабинер Л., Шафер Р. Цифровая обработка речевых сигналов. -М.: Радио и связь, 1981, - 496 с.

38. Голд Б., Рейдер И. Цифровая обработка сигналов. - М.: Сов. Радио, 1973. - 367 с.

39. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер с англ. - М.: Мир, 1976. - 848 с.

40. Тамбовцев A.B. Цифровая коррекция частотной характеристики рекурсивного полосового фильтра. // Радиотехника. - 2001, № 12 - С.16-18.

41. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. -М.: Радио и связь, 1993.-240 с.

42. Витязев В.В., Колядко Д. И., Степашкин А.И. Вопросы реализации нерекурсивных узкополосных цифровых фильтров. // Радиотехника. - 1980. -Т. 35, №.5. - С.47-50.

43. Витязев В.В., Степашкин А.И. Метод синтеза цифровых узкополосных фильтров с усеченной импульсной характеристикой. // Изв. вузов. Приборостроение. - 1977. -Т. 20, №.6. - С.25-29.

44. Мизин И.А., Матвеев A.A. Цифровые фильтры- М.: Связь, 1979. -240 с.

45. Чобану М. Многомерные многоскоростные системы обработки сигналов // Техносфера РИЦ ЗАО. - 2009 г. - 477 с.

46. Захаров А.В., Хачумов В.М. Алгоритмы CORDIC: Современное еостаяние и перспективы. Программные системы: теория и приложения, Переславль-залесский, 2004. - С.353-372.

47. Bellanger M.G., Bonnerot G. Premultiplication scheme for digital FIR filter with application to multirate filtering. // IEEE Trans. - 1978, Feb. -Vol. ASSP-26 - P.50-55.

48. Mintzer F., Liu B. The design of optimal multirate band pass and band-stop filters. // IEEE Trans. - 1978, Dec. -Vol. ASSP-26. - P.534-543.

49. Lawrence V.B., Salazar A.C. Finite precision design of linear-phase FIR filters. // The Bell System Technical Journal. -1980. -Vol. 59. - №.9. - P.1575-1598.

50. Regalia P. A., Mitra S. K., Fadavi-Ardekani J. Implementation of real coefficient digital filters using complex arithmetic. // IEEE Trans. - 1987. - Vol. C-34. - №.4. - P.345 - 352.

51. Neuvo J. Design of narrow- band-FIR bandpass digital filters with reduced arithmetic complexity / J. Neuvo, an G. Raj, S.K. Mitra // IEEE Trans. - 1988. -Vol. CAS-34.

52. Vetterli M., Herlay C. Wavelets and Filter Banks: Theory and Design. // IEEE Trans. -1992, Sept. - Vol. 40. - P.2207-2232.

53. Kovacevic J., Vetterli M. Perfect reconstruction filter banks with rational sampling factors. // IEEE Trans. Signal Processing - 1993, Jun. - Vol. 41(6). -P. 2047-2066.

54. Lebrun J., Vetterli M. Balanced multiwavelets theory and design. // IEEE Trans. Signal Processing - 1998, Apr. -Vol. 46(4). - P. 1119-1125.

55. Vaidyanathan P.P., Lin Y.P., Akkarakaran S., Phoong S.M. Discrete multitone modulation with principal component filter banks. // IEEE Trans. Inform. Theory - 2002, Oct. - Vol. 49(10). - P. 1397-1412.

56. Neuvo J., Rajan G., Mitra S. K. Design of narrowband FIR bandpass digital filters with reduced arithmetic complexity. // IEEE Trans. - 1987, Apr. -Vol. CAS-34.-P. 409-419.

57. Vaidyanathan P.P. Multirate systems and filter banks. // Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. - 1993. - 91 Op.

58. Fliege N.J. Multirate Digital Signal Processing: Multirate, filter bank, wavelets. // Chichester: John Wiley & Sons Ltd. - 2004. - 340p.

59. Fliege N.J. Orthogonal multiple carrier data transmission. // European Transactions on Telecommunications ETT. -1992, May-June. - Vol. 3. -P.255-264.

60. Cherubini G., Eleftheriou E., Olcer S., Cioffi J.M. Filter bank modulation techniques for very high speed digital subscriber lines. // IEEE Comm. Mag., -2000, May. -P.98-104.

61. Giannakis G.B. Filter banks for blind channel identification and equalization. // IEEE Signal Processing Letters. - 1997, Jun. - Vol. 4(6). - P. 184-187.

62. Strang G., Nguyen T. Wavelets and filter banks. // Wellesley-Cambridge Press. - 1996.-485p.

63. Nayebi K., Barnwell T., Smith, M. Time domain filter bank analysis: A new design theory. // IEEE Trans, on Signal Processing. - 1992, Jun. - Vol. 40(6). -P.1412-1429.

64. Vetterli M., Strang G. Time-varying filter banks and multiwavelets. // Sixth Digital Signal Processing Workshop, IEEE. -1994. -P.223-226.

65. Alfred Mertins. Signal Analysis: Wavelets, filter banks, time-frequency fransforms and applications. // John Wiley & Sons Ltd. -1999. - 310p.

66. Cvetkovic G., Vetterli M. Oversampled filter banks. // IEEE Trans. Signal Processing. -1998, May. Vol. 46(5). - P. 1245-1255.

67. Yonina C. Eldar, Alan V. Oppenheim. Orthogonal matched filter detection. // IEEE Acoustics, Speech, and Signal Processing. - 2001. - Vol. 5. - P.2837-2840.

68. Jianping Zhou, Minh N. Do, Jelena Kovacevic. Multidimensional Orthogonal Filter Bank Characterization and Design Using the Cayley Transform. // IEEE Transactions on image processing. -2005, June. -Vol. 14(6). - P.760-769.

69. Koushik Maharatna, Swapna Banerjee, Eckhard Grass, Milos Krstic, Al-fonsa Troya. Modified virtually scaling-free adaptive CORDIC rotator algorithm and architecture. // IEEE Transactions on circuits and systems for video technology. -2005, Nov. - Vol. 15. - №.11. - P. 1463-1473.

70. Milos D. Ercegovac, Tomas Lang. Digital arithmetic. // Elsevier, 2003. -P.649-648. - 709 p.

Линеаризация ФЧХ ФНЧ Баттерворта и Бесселя Фильтры Баттерворта

БИХ 2-го порядка м>п=0,05

л _ 0,0201 + 0,0402,'* + 0,0201г'2 °'05(2)~ 1-1,56^4 0,6414,"2

N=65

{^0,05(")}={2.9Е-07, 3.7Е-07, 4.6Е-07, 5.4Е-07, 6.0Е-07, 6.1Е-07, 5.5Е-07, 4.0Е-07, 9.8Е-08, -3.8Е-07, -1.1Е-06, -2.0Е-06, -3.2Е-06, -4.7Е-06, -6.5Е-06, -8.4Е-06, -1.0Е-05, -1.2Е-05, -1.3Е-05, -1.3Е-05, -1.2Е-05, -8.2Е-06, -1.4Е-06, 9.4Е-06, 2.5Е-05, 4.6Е-05, 7.4Е-05, 1.1Е-04, 1.5Е-04, 1.9Е-04, 2.3Е-04, 2.7Е-04, 2.9Е-04, 2.9Е-04, 2.6Е-04, 1.7Е-04, 1.4Е-05, -2.3Е-04, -5.9Е-04, -1.1Е-03, -1.7Е-03, -2.4Е-03, -З.ЗЕ-ОЗ, -4.2Е-03, -5.1Е-03, -5.9Е-03, -6.4Е-03, -6.4Е-03, -5.5Е-03, -3.5Е-03, 9.9Е-05, 5.7Е-03, 1.4Е-02, 2.5Е-02, 3.8Е-02, 5.5Е-02, 7.4Е-02, 9.5Е-02, 1.1Е-01, 1.3Е-01, 1.4Е-01, 1.4Е-01, 1.2Е-01, 7.2Е-02, 2.0Е-02}

^=0,1

л _ 0,067 + 0,135г"' + 0,067г~2 °Л2)= 1-1,143,-4 0,413г-2

ДГ=38

{/20,1(и)}={-7.0Е-08, -1.1Е-07, -1.2Е-07, -8.5Е-08, 6.3Е-08, 3.8Е-07, 9.0Е-07, 1.6Е-06, 2.2Е-06, 2.2Е-06, 8.4Е-07, -3.0Е-06, -1.0Е-05, -2.1Е-05, -3.4Е-05, -4.3Е-05, -3.6Е-05, 5.0Е-06, 1.0Е-04, 2.7Е-04, 4.9Е-04, 7.2Е-04, 8.0Е-04, 4.7Е-04, -6.3Е-04, -2.9Е-03, -6.5Е-03, -1.1Е-02, -1.5Е-02, -1.4Е-02, -3.1Е-03, 2.5Е-02, 7.7Е-02, 1.5Е-01, 2.3Е-01, 2.8Е-01, 2.1Е-01, 6.7Е-02}

м^п=0,2

^ /ч 0,2066 4- 0,413 \г + 0,2066г

Г02(г) =-:-=-

1 - 0,3695г + 0,1958г

N=18

{/г0,2(»}={8.0Е-08, -3.5Е-06, -7.0Е-06, 4.6Е-06, 4.4Е-05, 6.0Е-05, -1.1Е-04, -5.2Е-04, -4.1Е-04,1.9Е-03, 5.7Е-03, 9.8Е-04, -2.7Е-02, -5.6Е-02, 3.2Е-02, 3.5Е-01, 4.9Е-01, 2.1Е-01}

wn=0,25

^ 0,2929 + 0,5858z-1 + 0,2929z-2

h 25 =-ó-

1 +0,1716z"2

N= 16

{h25(n)}={-5.5E-0e, 2.0E-05, -8.9E-06, -8.3E-05, 2.0E-04, 4.2E-05, -1.1E-03, 1.9E-03, 2.1E-03, -1.4E-02, 1.5E-02, 4.1E-02, -1.5E-01, 7.9E-02, 6.4E-01, 3.9E-01}

wn=0,3

/ 4 0,3913 + 0,7827z"1 + 0,3913z"2

^o 3 \z)=-]-ó-

1 + 0,3695z"1 + 0,1958z"2

N= 18

{йо,3(л)}={1.7Е-06, -1.8E-06, -5.5E-06, 2.0E-05, -8.9E-06, -8.3E-05, 2.0E-04, 4.2E-05, -1.1E-03, 1.9E-03, 2.1E-03, -1.4E-02, 1.5E-02, 4.1E-02, -1.5E-01, 7.9E-02, 6.4E-01, 3.9E-01}

БИХ 3-го порядка wn=0,05

^ /4 0,1367 + 0,1367z"1 0,0212 +0,0424z"1 + 0,0212z"2

у / 2 J — _ _

°'°5 1-0,7265z"1 ' 1 - 1,6476z"1 + 0,7323z"2

iV=91

{hm(n)}={-2.9E-01, -3.4E-07, -3.5E-07, -3.4E-07, -2.8E-07, -1.6E-07, 1.4E-08, 2.5E-07, 5.5É-07, 8.9E-07, 1.3E-06, 1.6E-06, 1.9E-06, 2.1E-06, 2.1E-06, 1.9E-06, 1.3E-06, 4.4E-07, -8.2E-07, -2.4E-06, -4.4E-06, -6.5E-06, -8.7E-06, -1.1E-05, -1.2E-05, -1.3E-05, -1.2E-05, -9.6E-06, -5.3E-06, 1.2E-06, 9.9E-06, 2.1E-05, 3.3E-05, 4.6E-05, 5.8E-05, 6.8E-05, 7.4E-05, 7.4E-05, 6.5E-05, 4.4E-05, 1.2E-05, -3.4E-05, -9.2E-05, -1.6E-04, -2.4E-04, -3.1E-04, -3.8E-04, -4.3E-04, -4.5E-04, -4.2E-04, -3.3E-04, -1.7E-04, 7.0E-05, 3.9E-04, 7.7E-04, 1.2E-03, 1.7E-03, 2.1E-03, 2.5E-03, 2.7E-03, 2.6E-03, 2.3E-03, 1.5E-03, 3.5E-04, -1.3E-03, -3.4E-03, -5.8E-03, -8.5E-03, -1.1E-02, -1.3E-02, -1.5E-02, -1.5E-02, -1.4E-02, -9.8E-03, -3.3E-03, 6.0E-03, 1.8E-02, 3.4E-02, 5.1E-02, 7.0E-02, 8.9E-02, 1.1E-01, 1.2E-01, 1.3E-01, 1.3E-01, 1.2E-01, 9.6E-02, 7.0E-02, 4.0E-02, 1.6E-02, 2.9E-03}

w„=0,l

^ . ч 0,2452 + 0,2452z'1 0,0738 + 0,1476z-1 + 0,0738z-2

£ i ^ J — _____

0,1 1-0,5095z"1 ' 1 - 1,2505z-1 + 0,5457z-2

N=49

{A0,i(«)}={2.2E-07, 6.0E-08, -2.7E-07, -7.2E-07, -1.2E-06, -1.3E-06, -9.5E-07, 2.8E-07, 2.4E-

06, 5.0E-06, 7.0E-06, 6.9E-06, 3.0E-06, -5.7E-06, -1.9E-05, -3.2E-05, -4.0E-05, -3.2E-05, -5.4E-

07, 5.7E-05, 1.3E-04, 2.0E-04, 2.1E-04, 1.2E-04, -1.1E-04, -4.7E-04, -8.8E-04, -1.2E-03, -1.0E-03, -2.5E-04, 1.3E-03, 3.5E-03, 5.6E-03, 6.4E-03, 4.5E-03, -1.5E-03, -1.2E-02, -2.4E-02, -3.3E-02, -3.1E-02, -1.0E-02, 3.5E-02, 1.0E-01, 1.8E-01, 2.4E-01, 2.5E-01, 1.8E-01, 8.6E-02, 1.8E-02}

wn-0,2

^ / 4 0,4208 +0,4208z-1 0,2341 + 0,4683z-1 + 0,2341z-2 j02(z) =-:-.-¡--—

1-0,1584z-1 1 - 0,4198z-1 + 0,3554z"2

N=29

{h0y2(n)}={5.8E-07, -9.7E-08, -1.7E-06, -1.8E-06, 2.8E-06, 8.3E-06, 1.9E-06, -2.1E-05, -3.0E-05, 2.4E-05, 1.1E-04, 6.6E-05, -2.4E-04, -4.7E-04, 1.2E-04, 1.5E-03, 1.4E-03, -2.5E-03, -6.8E-03, -1.0E-03, 1.8E-02, 2.4E-02, -2.2E-02, -9.4E-02, -4.6E-02, 2.2E-01, 4.6E-01, 3.5E-01, 9.9E-02}

wn=0,25

T ^ л n < n с -1 °>3333 + 0,6667z-1 + 0,3333z-2

h 25 У2) = + ü'5z •-5-

1 +0,3333z-2

N=21

{425(^)}={8.4E-07, -9.0E-21, -2.5E-06, 2.5E-20, 7.5E-06, -6.7E-20, -2.3E-05, 1.8E-19, 6.8E-05, -4.8E-19, -2.0E-04, 1.3E-18, 6.1E-04, -3.3E-18, -1.8E-03, 8.2E-18, 5.5E-03, -2.0E-17, -1.6E-02, 4.5E-17, 4.9E-02, -9.0E-17, -1.5E-01, 1.4E-16, 4.4E-01, 5.0E-01, 1.7E-01}

vt'n=0,3

0,5792 + 0,5792z-1 0,4436 + 0,8872z-1 + 0,4436z"

rp \ _

°'3 Z ~ 1 + 0,1584z-1 ' 1 + 0,4198z-1 + 0,3554z-2

N=29

{/70,зО?)}={5.8Е-07, 9.7Е-08, -1.7Е-06, 1.8Е-06, 2.8Е-06, -8.3Е-06, 1.9Е-06, 2.1Е-05, -З.ОЕ-05, -2.4Е-05, 1.1Е-04, -6.6Е-05, -2.4Е-04, 4.7Е-04, 1.2Е-04, -1.5Е-03, 1.4Е-03, 2.5Е-03, -6.8Е-03, 1.0Е-03, 1.8Е-02, -2.4Е-02, -2.2Е-02, 9.4Е-02, -5.0Е-02, -2.0Е-01, 3.0Е-01, 6.2Е-01, 2.6Е-01}

БИХ 4-го порядка ivn=0,05

Т (z) = Q>Q219 + Q'Q438z"1 +0,0219z~2 0,019 +0,0381z"1 + 0,019z"2 °'05 1 -1,70 lz"1 + 0,7885z"2 ' 1 - 1,4797z"1 + 0,5558z"2

iV=100

{^0s05(")}={2.4E-06, 2.7E-06, 2.8E-06, 2.7E-06, 2.2E-06, 1.3E-06, 3.7E-08, -1.6E-06, -3.4E-06,'-5.4E-06, -7.3E-06, -8.9E-06, -9.9E-06, -1.0E-05, -9.3E-06, -7.2E-06, -3.7E-06, 1.1E-06, 7.1E-06, 1.4E-05, 2.1E-05, 2.8E-05, 3.3E-05, 3.6E-05, 3.6E-05, 3.2E-05, 2.4E-05, 9.9E-06, -8.4E-06, -3.1E-05, -5.6E-05, -8.1E-05, -1.0E-04, -1.2E-04, -1.3E-04, -1.3E-04, -1.1E-04, -7.5E-05, -2.2E-05, 4.7E-05, 1.3E-04, 2.2E-04, 3.1E-04, 3.9E-04, 4.5E-04, 4.7E-04, 4.5E-04, 3.7E-04, 2.3E-04, 2.8E-05, -2.3E-04, -5.4E-04, -8.7E-04, -1.2E-03, -1.5E-03, -1.7E-03, -1.7E-03, -1.6E-03, -1.3E-03, -6.9E-04, 9.0E-05, 1.1E-03, 2.2E-03, 3.4E-03, 4.5E-03, 5.4E-03, 6.0E-03, 6.0E-03, 5.4E-03, 4.0E-03, 1.8E-03, -1.2E-03, -4.9E-03, -9.1E-03, -1.3E-02, -1.7E-02, -2.0E-02, -2.2E-02, -2.1E-02, -1.8E-02, -1.2E-02, -2.6E-03, 1.0E-02, 2.6E-02, 4.3E-02, 6.2E-02, 8.0E-02, 9.7E-02, 1.1E-01, 1.2E-01, 1.2E-01, 1.1E-01, 1.0E-01, 8.5E-02, 6.4E-02, 4.3E-02, 2.4E-02, 1.0E-02, 3.0E-03, 4.2E-04}

wn=0,l

, _ 0,078 + 0,1559z"1 + 0,078z~2 0,0619 +0,1238z"1 + 0,0619z"2 ол Z ~ i _ 1,3209z"1 + 0,6327z"2 ' 1 - 1,0486z"1 + 0,296 lz"2

N=66

{/z0,iO)}={-2.0E-07, -2.5E-07, -2.0E-07, -2.5E-08, 2.6E-07, 5.9E-07, 8.2E-07, 7.7E-07, 3.2E-07, -5.5E-07, -1.7E-06, -2.6E-06, -2.8E-06, -1.7E-06, 8.1E-07, 4.4E-06, 7.9E-06, 9.6E-06, 7.5E-06, 4.5E-07, -1.1E-05, -2.3E-05, -3.2E-05, -2.9E-05, -1.1E-05, 2.4E-05, 6.6E-05, 1.0E-04, 1.1E-04, 6.2E-05, -3.8E-05, -1.8E-04, -3.1E-04, -3.7E-04, -2.8E-04, 3.9E-06, 4.4E-04, 9.2E-04, 1.2E-03, 1.1E-03, 3.5E-04, -9.9E-04, -2.6E-03, -3.9E-03, -4.0E-03, -2.2E-03, 1.7E-03, 7.1E-03, 1.2E-02, 1.4E-02, 1.0E-02, -1.3E-03, -1.9E-02, -3.7E-02, -4.8E-02, -4.1E-02, -8.5E-03, 5.0E-02, 1.2E-01, 1.9E-01, 2.3E-01, 2.2E-01, 1.7E-01, 9.1E-02, 3.1E-02, 4.8E-03}

т (z) - 0,2533 + °'5066z'1 + °>2533z~2 ОД 839 +0,3678z"1 + 0,1839z"2 °'2 Z ~ 1 - 0,453 lz"1 + 0,4663z"2 ' 1 - 0,329z"1 + 0,06461z"2

N=40

{/z0,2(«)}={3.4E-07, 3.0E-07, -4.3E-07, -1.1E-06, -1.2E-07, 2.2E-06, 2.4E-06, -2.4E-06, -7.4E-06, -2.1E-06, 1.4E-05, 1.8E-05, -1.2E-05, -5.0E-05, -2.3E-05, 8.6E-05, 1.3E-04, -5.6E-05, -3.4E-04, -2.1E-04, 5.2E-04, 9.5E-04, -1.9E-04, -2.2E-03, -1.8E-03, 3.1E-03, 6.8E-03, -4.1E-05, -1.5E-02, -1.4E-02, 1.8E-02, 4.7E-02, 8.1E-03, -9.4E-02, -1.1E-01, 9.1E-02, 3.7E-01, 4.2E-01, 2.2E-01, 4.7E-02}

wn=0,25

„ / 4 0,3616 + 0,7232z"1 + 0,3616z"2 0,2599 + 0,5198z"1 +0,2599z"2

¿O 25 \z/ =-9-•-5-

1 + 0,4464z"2 1 +0,03961z"2

N= 37

{^O,25(«)}={-3.8E-07, 5.7E-07, 8.5E-07, -1.3E-06, -1.9E-06, 2.9E-06, 4.3E-06, -6.4E-06, -9.6E-06, 1.4E-05, 2.1E-05, -3.2E-05, -4.8E-05, 7.2E-05, 1.1E-04, -1.6E-04, -2.4E-04, 3.6E-04, 5.4E-04, -8.1E-04, -1.2E-03, 1.8E-03, 2.7E-03, -4.0E-03, -6.1E-03, 9.1E-03, 1.4E-02, -2.0E-02, -3.0E-02,4.5E-02, 6.8E-02, -1.0E-01, -1.6E-01, 1.9E-01, 5.2E-01, 3.8E-01, 9.4E-02}

wn=0,3

_ 0,4799 + 0,9597z"1 + 0,4799z"2 0,3484 + 0,6968z"1 + 0,3484z"2 °'3 Z ~ 1 + 0,453 lz_1+ 0,4663z"2 ' 1 + 0,329z"1 + 0,0646z"2

N= 39

{ЛО,З(«)}={4.2Е-07, -6.2E-07, -2.9E-07, 1.6E-06, -9.5E-07, -2.6E-06, 4.5E-06, 1.1E-06, -1.1E-05, 8.1E-06, 1.5E-05, -3.2E-05, -1.3E-06, 7.0E-05, -6.5E-05, -8.7E-05, 2.2E-04, -3.2E-05, -4.5E-04, 5.1E-04, 4.7E-04, -1.5E-03, 4.9E-04, 2.8E-03, -3.8E-03, -2.4E-03, 1.0E-02, -5.0E-03, -1.8E-02, 2.8E-02, 1.1E-02, -7.0E-02, 4.5E-02, 1.0E-01, -1.8E-01, -9.4E-02, 4.7E-01, 5.4E-01, 1.7E-01}

БИХ 5-го порядка wn=0,05

_ 0,1367 + 0,1367z~1 0,0196 +0,0392Z"1 + 0,0196z~2 0,05 ^ ~ 1 - 0,7265z_1 ' 1 - l,5217z_1 + 0,6z-2 0,0223 + 0,0447z"1 + 0,0223z~2 l-l,7363z4 +0,8257z~2

A^lOO

{ЛО,05(и)}={2.1Е-05, 2.3E-05, 2.3E-05, 2.0E-05, 1.5E-05, 6.7E-06, -3.8E-06, -1.6E-05, -2.9E-05, -4.2E-05, -5.3E-05, -6.1E-05, -6.3E-05, -5.9E-05, -4.8E-05, -3.0E-05, -4.2E-06, 2.7E-05, 6.3E-05, 9.9E-05, 1.3E-04, 1.6E-04, 1.7E-04, 1.7E-04, 1.5E-04, 1.1E-04, 4.8E-05, -3.1E-05, -1.2E-04, -2.2E-04, -3.2E-04, -4.0E-04, -4.5E-04, -4.7E-04, -4.4E-04, -3.6E-04, -2.2E-04, -2.4E-05, 2.1E-04, 4.8E-04, 7.4E-04, 9.9E-04, 1.2E-03, 1.3E-03, 1.3E-03, 1.1E-03, 8.0E-04, 3.4E-04, -2.6E-04, -9.5E-04, -1.7E-03, -2.4E-03, -3.0E-03, -3.4E-03, -3.5E-03, -3.3E-03, -2.6E-03, -1.6E-03, -9.8E-05, 1.7E-03, 3.6E-03, 5.6E-03, 7.4E-03, 8.8E-03, 9.5E-03, 9.3E-03, 8.0E-03, 5.6E-03, 2.1E-03, -2.4E-03, -7.7E-03, -1.3E-02, -1.9E-02, -2.3E-02, -2.6E-02, -2.7E-02, -2.5E-02, -2.0E-02, -1.1E-02, 7.0E-04, 1.6E-02, З.ЗЕ-02, 5.1E-02, 7.0E-02, 8.7E-02, 1.0E-01, 1.1E-01, 1.1E-01, 1.1E-01, 1.1E-01, 9.4E-02, 7.8E-02, 6.1E-02, 4.3E-02, 2.7E-02, 1.5E-02, 6.8E-03, 2.4E-03, 5.4E-04, 6.0E-05}

w„=0,l

T0.M =

0,2452 + 0,2452z_1 0,0647 + 0,1294z_1 + 0,0647z-2

0,1 ~ l-0,5095z-1 ' 1 - l,0966z_1 + 0,3555z~2 0,0808+ 0,1616z~1 +0,0808z~2 1 - l,3693z4 + 0,6926z~2

N=81

{hOAn)}={2.2E-07, 2.1E-07, 9.4E-08, -1.2E-07, -3.7E-07, -5.6E-07, -5.7E-07, -3.2E-07, 1.8E-07, 8.3E-07, 1.4E-06, 1.5E-06, 1.0E-06, -1.7E-07, -1.8E-06, -3.3E-06, -4.0E-06, -3.1E-06, -2.8E-07, 3.9E-06, 8.0E-06, 1.0E-05, 8.8E-06, 2.5E-06, -7.8E-06, -1.9E-05, -2.6E-05, -2.5E-05, -1.1E-05, 1.4E-05, 4.4E-05, 6.6E-05, 6.7E-05, 3.7E-05, -2.3E-05, -9.9E-05, -1.6E-04, -1.8E-04, -1.2E-04, 2.4E-05, 2.2E-04, 4.0E-04, 4.7E-04, 3.6E-04, 2.4E-05, -4.7E-04, -9.6E-04, -1.2E-03, -1.0E-03, -2.7E-04, 9.5E-04, 2.3E-03, 3.1E-03, 2.9E-03, 1.2E-03, -1.8E-03, -5.3E-03, -7.8E-03, -7.9E-03, -4.2E-03, З.ОЕ-ОЗ, 1.2E-02, 1.9E-02, 2.1E-02, 1.4E-02, -3.9E-03, -2.8E-02, -4.9E-02, -5.8E-02, -4.4E-02, -1.8E-03, 6.4E-02, 1.4E-01, 2.0E-01, 2.0E-01, 2.1E-01, 1.6E-01, 9.1E-02, 3.8E-02, 1.0E-02, 1.3E-03}

0,4208 + 0,4208z"1 0,267 + 0,534z"1 + 0,267z'2 °'2 Z ~ 1-0,1584z"1 1-0,4777z"1 +0,5457z"2 0,1953 + 0,3905z"1 + 0,1953z"2 1 - 0,3493z"1 + 0,1303z"2

N=51

{42)}={l-4E-07, 3.0E-07, 2.7E-09, -5.5E-07, -4.9E-07, 5.9E-07, 1.4E-06, 1.6E-07, -2.4E-06, -2.4È-06, 2.4E-06, 6.5E-06, 1.4E-06, -1.1E-05, -1.2E-05, 9.2E-06, 3.0E-05, 9.4E-06, -4.7E-05, -5.8E-05, 3.5E-05, 1.4E-04, 5.6E-05, -2.0E-04, -2.8E-04, 1.3E-04, 6.2E-04, 3.1E-04, -8.6E-04, -1.3E-03, 4.2E-04, 2.8E-03, 1.7E-03, -3.7E-03, -6.3E-03, 1.2E-03, 1.3E-02, 8.8E-03, -1.5E-02, -3.0E-02, 2.2E-03, 5.6E-02, 4.6E-02, -6.3E-02, -1.5E-01, -2.6E-02, 2.6E-01, 4.2E-01, 3.3E-01, 1.3E-01, 2.2E-02}

wn=0,25

r0 25(z) = 0,5 + q,5z-.0.3S2 +0,7639z-+0,382^

1 +0,5279z"2

0,2764 + 0,5528z"1 + 0,2764z"2 1 + 0,1056z"2

N=48

{/*0,25)}={2.8E-07, 1.7E-11, -5.4E-07, -3.3E-11, 1.0E-06, 6.3E-11, -1.9E-06, -1.2E-10, 3.7E-06, 2.2É-10, -6.9E-06, -4.3E-10, 1.3E-05, 8.1E-10, -2.5E-05, -1.5E-09, 4.7E-05, 2.9E-09, -8.9E-05, -5.5E-09, 1.7E-04, 1.0E-08, -3.2E-04, -2.0E-08, 6.1E-04, 3.7E-08, -1.1E-03, -7.1E-08, 2.2E-03, 1.4E-07, -4.1E-03, -3.3E-07, 7.8E-03, 1.2E-06, -1.5E-02, -7.4E-06, 2.8E-02, 6.3E-05, -5.3E-02, -5.9E-04, 1.0E-01, 5.5E-03, -1.9E-01, -5.2E-02, 3.6E-01, 4.9E-01, 2.6E-01, 5.3E-02}

wn=0,3

N=51

T (z) - °>5792 + 0>5792z~] 0,5059+ 1,0117z"1 +0,5059z"2 °'3 Z ~ 1 +0,1584z"1 ' 1 + 0,4777z"1 + 0,5457z"2

0,3699 + 0,7398z"1 + 0,3699z-2

1 + 0,3493z"1 + 0,1303z

-2

{Ао,з}={-1.4Е-07, 3.0E-07, -2.6E-09, -5.5E-07, 4.9E-07, 5.9E-07, -1.4E-06,1.6E-07, 2.4Ê-06, -2.4E-06, -2.4E-06, 6.5E-06, -1.4E-06, -l.lE-05, 1.2E-05, 9.2E-06, -3.0E-05, 9.4E-06, 4.7E-05, -5.8E-05, -3.5E-05, 1.4E-04, -5.6E-05, -2.0E-04, 2.8E-04, 1.3E-04, -6.2E-04, 3.1E-04,

8.6Е-04, -1.3Е-03, -4.2Е-04, 2.8Е-03, -1.7Е-03, -3.7Е-03, 6.3Е-03, 1.2Е-03, -1.3Е-02, 8.8Е-03, 1.5Е-02, -3.0Е-02, -2.2Е-03, 5.6Е-02, -4.4Е-02, -6.3Е-02, 1.3Е-01, 1.7Е-02, -2.5Е-01, 7.7Е-02, 5.5Е-01, 4.4Е-01, 1.1Е-01}

Фильтры Бесселя

БИХ 2-го порядка ™п=0,05

^ __ 0,0292 + 0,05848г"1 + 0,0292г'2

°>05(г)~ г-ивь^+оАЯть-2

N=41

{/70,05<Л)}={6.7Е-07, 1.0Е-06, 1.4Е-06, 2.0Е-06, 2.6Е-06, З.ЗЕ-06, 3.8Е-06, 4.0Е-06, 3.5Е-06, 1.6Е-06, -2.6Е-06, -1.0Е-05, -2.4Е-05, -4.5Е-05, -7.7Е-05, -1.2Е-04, -1.9Е-04, -2.7Е-04, -3.8Е-04, -5.0Е-04, -6.3Е-04, -7.5Е-04, -8.0Е-04, -7.3Е-04, -4.1Е-04, 3.2Е-04, 1.7Е-03,4.1Е-03, 8.0Е-03, 1.4Е-02, 2.2Е-02, 3.4Е-02, 5.0Е-02, 7.1Е-02, 9.5Е-02, 1.2Е-01, 1.4Е-01, 1.6Е-01, 1.5Е-01, 9.9Е-02, 2.9Е-02}

м>п=0,1

^ , ч 0,0904 + 0,1809г-1 + 0,09042"2

Ч1 и) =-1-5—

1 - 0,8797г + 0,24148г

N=20

{к0,](п)}={\.Ш-06, 4.7Е-06, 1.0Е-05, 1.7Е-05, 2.0Е-05, 2.0Е-06, -7.4Е-05, -2.8Е-04, -7.0Е-04,-1.4Е-03, -2.2Е-03, -2.3Е-03, 8.4Е-04, 1.3Е-02, 4.3Е-02, 1.0Е-01, 2.0Е-01, 3.0Е-01, 2.6Е-01, 9.0Е-02}

м>п=0,2

^ , . 0,2472+ 0,49442~1+0,24722~2 тол(2) =

1 - 0,0846г + 0,0733г

N=12

{}=(2.0Е-06, 5.2Е-06, -2.1Е-05, -9.5Е-05, 1.8Е-04, 1.5Е-03, -7.2Е-04, -2.1Е-02, -1.5Е-02, 2.7Е-01, 5.2Е-01, 2.5Е-01}

м>„=0,25

0,3354 + 0,6707+ 0,3354г"2

То,25(2) =

1 + 0,25552-1 + 0,0859г-2

N= 12

{^o,25(/0}~{4.6E-06, -1.1E-06, -5.0E-05, 1.6E-04, 1.0E-04, -2.2E-03, 5.3E-03, 9.6E-03, -9.0E-

02, 1.6E-01, 5.9E-01, 3.4E-01}

wn=0,3

^ , л 0,4318 + 0,8637z"1 + 0,4318z"2

з (z)=-î-5-

1 + 0,5819z"1 + 0,1455z"2

N=15

{/г0,з(п)}={2.9Е-06, -9.3E-06, 1.7E-05, -5.1E-06, -9.8E-05, 4.3E-04, -1.0E-03, 1.2E-03, 2.3E-

03, -1.8E-02, 5.4E-02, -9.6E-02, 1.3E-02, 6.1E-01}

БИХ 3-го порядка wn=0,05

T л 0,1732+ 0,1732z"1 0,038 + 0,0759z"1+0,038z~2 0,05 Z ~ 1-0,6537z"1 ' 1- 1,3689z"1 +0,5208z"2

JV=41

{4o5(«)}={-1-5E-06, -2.4E-06, -3.4E-06, -4.3E-06, -4.8E-06, -4.2E-06, -1.9E-06, 3.2E-06, 1.2È-05, 2.6E-05, 4.5E-05, 6.9E-05, 9.6E-05, 1.2E-04, 1.3E-04, 1.2E-04, 6.5E-05, -5.5E-05, -2.6E-04, -5.7E-04, -9.8E-04, -1.5E-03, -1.9E-03, -2.1E-03, -1.9E-03, -6.6E-04, 2.1E-03, 7.1E-03, 1.5E-02, 2.7E-02, 4.3E-02, 6.4E-02, 8.7E-02, 1.1E-01, 1.3E-01, 1.4E-01, 1.4E-01, 1.2E-01, 7.7E-02, 3.3E-02, 6.6E-03}

wn=0,l

_ 0,3006 + 0,3006z"1 0,1163 + 0,2326z"1 + 0,1163z"2 0,1 Z ~ 1-0,3988z"1 ' 1-0,8189z"1+0,2842z"2

iV=24

{/z0,iO?)}={8.5E-07, 1.6E-06, 1.5E-06, -1.1E-06, -8.5E-06, -2.1E-05, -2.9E-05, -1.2E-05, 7.0E-05, 2.5E-04, 4.7E-04, 4.9E-04, -1.9E-04, -2.2E-03, -5.4E-03, -7.4E-03, -9.1E-04, 2.7E-02, 8.9E-02, 1.8E-01, 2.7E-01, 2.6E-01, 1.5E-01, 3.5E-02}

wn=0,2

0,4901 + 0,4901z"1 0,3049 + 0,6098z""1 + 0,3049z"2

1-0,0199z"1 ' 1 + 0,0586z"1 + 0,161z"2

N=16

{Кл{п)}={-\.5Е-06, 6.8Е-06, 6.5Е-06, -4.5Е-05, -2.4Е-05, 2.9Е-04, 4.7Е-05, -1.8Е-03, 3.6Е-04, l.lE-02, -6.3Е-03, -6.6Е-02, 6.3Е-02, 4.1Е-01, 4.4Е-01, 1.5Е-01}

wn=0,25

T (z) - °¿695 +0,5695z"1 0,4037 + 0,8075z"1 + 0,4037z"2 0,25 Z ~ 1 + 0,1389z"1 ' 1 + 0,422lz4+0,1928z'2

N=18

{ÄO,25(«)}={1.9E-06, -3.0E-06, -3.4E-06, 2.3E-05, -3.2E-05, -4.8E-05, 2.7E-04, -3.5E-04, -6.5É-04, 3.2E-03, -3.7E-03, -8.7E-03, 3.9E-02, -4.1E-02, -9.5E-02, 3.2E-01, 5.6E-01, 2.3E-01}

wn=0,3

N=22

0,6452 + 0,6452z"1 0,5052 + 1,0105z"1 + 0,5052z"2

T (z) -

0,3 1 + 0,2905z"1 ' 1 + 0,7555z"1 + 0,2655z"2

{/г0,зОО}={-7.5Е-07, 3.0E-06, -5.7E-06, 4.9E-06, 7.4E-06, -3.9E-05, 8.5E-05, -9.2E-05, -5.7E-05, 5.1E-04, -1.2E-03, 1.6E-03, 1.6E-04, -6.5E-03, 1.8E-02, -2.8E-02, 1.5E-02, 5.3E-02, -1.7E-01, 1.5E-01, 6.4E-01, 3.3E-01}

БИХ 4-ro порядка wn=0,05

_ 0,0345 + 0,0691z"1 + 0,0345z"2 0,0467 + 0,0934z"1 + 0,0467z"2 0,057 ~ 1-1,2776z"1+0,4157z"2- ' 1-1,3562z"1 + 0,5431z"2

N=49

{^0,05(")}={-ЗЛЕ-07, -2.9E-07, -1.5E-07, 1.5E-07, 6.5E-07, 1.4E-06, 2.2E-06, 2.9E-06, 3.3E-06, 2.9E-06, 1.1E-06, -2.7E-06, -8.7E-06, -1.7E-05, -2.6E-05, -3.5E-05, -3.9E-05, -3.3E-05, -1.2E-05, 3.1E-05, 9.7E-05, 1.8E-04, 2.8E-04, 3.5E-04, 3.7E-04, 2.7E-04, -3.2E-07, -5.0E-04, -1.2E-03, -2.1E-03, -2.9E-03, -3.2E-03, -2.4E-03, 2.5E-04, 5.9E-03, 1.5E-02, 3.0E-02, 4.9E-02, 7.2E-02, 9.7E-02, 1.2E-01, 1.4E-01, 1.4E-01, 1.3E-01, 1.0E-01, 6.8E-02, 3.4E-02, 1.1E-02, 1.6E-03}

w„=0,l

_ 0,1024 + 0,2Q48z~1 + 0,1024z~2 0,1413 + 0,2826z"1 + 0,1413z~2 °Л 2 ~ 1 - 0,7454z"1 + 0,1549z"2 ' 1 - 0,7607z"1 + 0,3259z"2

N=25

{Â0,i(«)}={-2.2E-06, -3.1E-06, -4.2E-07, 8.5E-06, 2.1E-05, 2.3E-05, -1.1E-05, -9.7E-05, -1.9E-04, -1.6E-04, 2.2E-04, 9.8E-04, 1.6E-03, 6.3E-04, -3.4E-03, -9.8E-03, -1.2E-02, 6.6E-03, 6.2E-02, 1.5E-01, 2.5E-01, 2.7E-01, 1.9E-01, 8.0E-02, 1.4E-02}

wn=0,2

T (z) - 0,265 + Q'53017"1 + 0,265z~2 0,3566 + 0,713 lz"1 +0,3566z~2 °'2 Z 1 + 0,0384z"1 +0,0218z"2 ' 1 +0,1868z"1 + 0,2394z"2

N=21

{hoj(n)}={6.7E-07, -2.4E-06, -8.8E-07, 1.1E-05, -4.9E-06, -4.2E-05, 5.3E-05, 1.3E-04, -3.2E-04, -3.0E-04, 1.6E-03, 2.4E-05, -6.7E-03, 5.1E-03, 2.4E-02, -3.9E-02, -7.4E-02, 1.8E-01, 4.6E-01, 3.6E-01, 9.5E-02}

wn=0,25

0,3535 + 0,7069z"1 + 0,3535z"2 0,4622 + 0,9244z"1 + 0,4622z"2

0,25 1 + 0,3612z"1 + 0,0527z"2 ' 1 + 0,5646z"1+0,284 lz~

N=24

{h0¿5(n)}={9.2E-07, -1.1E-06, -1.1E-06, 6.0E-06, -7.9E-06, -5.4E-06, 3.9E-05, -5.7E-05, -2.2È-05, 2.4E-04, -4.1E-04, -4.5E-05, 1.5E-03, -2.9E-03, 3.7E-04, 9.4E-03, -2.0E-02, 7.1E-03, 5.1E-02, -1 .OE-01, -3. 5E-02, 4.3E-01, 5.OE-01,1.6E-01}

wn=0,3

0,4479 +0,8958z"1+0,4479z"2 0,5654 + 1,1308z"1 + 0,5654z"2 0,3 * ~ 1 + 0,6643z"1 + 0,1274z"2 ' 1 + 0,8983z"1 + 0,3634z"2

N=29

{/20,з(гс)}={8.4Е-07, -1.6E-06, 1.6E-06, 3.7E-07, -5.4E-06, 1.2E-05, -1.6E-05, 4.7E-06, 3.1E-05, -9.1E-05, 1.4E-04, -9.0E-05, -1.6E-04, б.ЗЕ-04, -l.lE-03, 1.1E-03, 4.7E-04, -4.1E-03, 9.0E-03, -1.1 E-02, 3.4E-03, 2.0E-02, -5.2E-02, 6.2E-02, 7.3E-03, -1.9E-01, 2.8E-01, 6.2E-01, 2.5E-01}

БИХ 5-го порядка ™п=0,05

0,1921 + 0,1921,"' 0,0405 + 0,081 1,"' + 0,0405,"

у (,) =__

0,05 1-0,6 1 57,4 ' 1-1,2541,"'+0,4162,"2

0,0559+ 0,1119,4 +0,0559, 1-1,3369,+ 0,5607,~2

-2

N=52

{йо,05(и)}={2.9Е-07, 2.9Е-07, 1.7Е-07, -9.9Е-08, -5.5Е-07, -1.1Е-06, -1.7Е-06, -2.1Е-06, -1.9Е-06, -7.9Е-07, 1.5Е-06, 5.0Е-06, 9.2Е-06, 1.3Е-05, 1.5Е-05, 1.2Е-05, 2.9Е-06, -1.5Е-05, -4.1Е-05, -7.1Е-05, -9.5Е-05, -1.0Е-04, -7.3Е-05, 5.7Е-06, 1.4Е-04, 3.2Е-04, 5.1Е-04, 6.3Е-04, 5.7Е-04, 2.4Е-04, -4.7Е-04, -1.5Е-03, -2.8Е-03, -3.8Е-03, -3.7Е-03, -1.6Е-03, 3.9Е-03, 1.4Е-02, 2.9Е-02, 5.0Е-02, 7.5Е-02, 1.0Е-01, 1.2Е-01, 1.4Е-01, 1.4Е-01, 1.2Е-01, 9.8Е-02, 6.6Е-02, 3.5Е-02, 1.4Е-02, 3.6Е-03, 4.4Е-04}

™п=од

Т (2) - °>3277 +0,3277,"' ОД 186 + 0,2371,"' + ОД 186,"2 0,1 2 ~ 1 - 0,3446,"' ' 1 - 0,6926,4 + ОД 668,"2

ОД 667 + 0,3335,"' + ОД 667,~2 1-0,6943,"'+0,3612,~2

N=29

{Л0,1 («)}={-б.7Е-07, 1.8Е-07, 2.2Е-06, 3.7Е-06, 1.1Е-06, -8.2Е-06, -1.9Е-05, -1.3Е-05, 2.6Е-05, 8.8Е-05, 9.6Е-05, -5.7Е-05, -3.7Е-04, -5.5Е-04, -2.9Е-05, 1.5Е-03, 2.8Е-03, 1.2Е-03, -6.0Е-03, -1.5Е-02, -1.2Е-02, 2.7Е-02, 1.1Е-01, 2.1Е-01, 2.7Е-01, 2.3Е-01, 1.3Е-01, 4.4Е-02, 6.5Е-03}

^п=0,2

0,522 + 0,522,"' 0,2985 + 0,5969,"' + 0,2985,~2

1 + 0,0439,"' ' 1 + 0Д304,"1+0,0635,~2 0,4049 + 0,8098,-' + 0,4049,~2 1 + 0,3123,"'+0,3074,"2

N= 24

1.2E-06, -3.6E-06, -2.6E-07, 1.2E-05, -l.lE-05, -2.8E-05, 6.5E-05, 2.4E-05, -2.4E-04, 1.6E-04, 6.0E-04, -1.1E-03, -8.0E-04, 4.5E-03, -1.9E-03, -1.3E-02, 1.9E-02, 2.4E-02, -7.8E-02, -4.3E-02, 2.8E-01, 4.7E-01, 2.8E-01, 6.3E-02}

wn=0,25

T = °^003 +0,6003z"1 0,3916 + 0,7832z"1 + 0,3916z~2 °'25 Z ~ 1 +0,2006z"1 ' 1 + 0,4597z"1 +0,1068z"2 0,5138 + 0,8098z"1 +0,5138z"2

1 +0,6939z"1+0,3611z"2

N=28

{¿0,25(«)}={-l-3E-06, 2.2E-06, -6.7E-07, -4.9E-06, 1.1E-05, -8.1E-06, -1.6E-05, 5.3E-05, -5.8Ê-05, -3.5E-05, 2.3E-04, -3.4E-04, 2.3E-05, 8.9E-04, -1.8E-03, 9.5E-04, 3.1E-03, -8.4E-03, 7.7E-03, 8.2E-03, -3.4E-02, 3.6E-02, 3.5E-02, -1.5E-01, 5.0E-02, 4.9E-01, 4.4E-01, 1.2E-01}

wn=0,3

_ 0,674 + 0,674z"1 0,4887 + 0,9774z"1 + 0,4887z"2 0,3 Z ~ 1 +0,3481z"1 ' 1 + 0,7645z"1 + 0,1904z~2 0,6162 +1,2324z"1 +0,6162 z"2 1 +1,0213z"1 + 0,4435z"2

N= 36

{/г0>3(/2)}={-5.1Е-07, 9.3E-08, 9.4E-07, -2.4E-06, 3.4E-06, -2.4E-06, -2.1E-06, 1.0E-05, -1.9E-05, 2.0E-05, -4.1E-06, -3.6E-05, 9.2E-05, -1.3E-04, 9.4E-05, 7.9E-05, -3.9E-04, 7.3E-04, -7.9E-04, 1.9E-04, 1.3E-03, -3.5E-03, 5.1E-03, -3.9E-03, -2.3E-03, 1.3E-02, -2.4E-02, 2.2E-02, 3.7E-03, -5.5E-02, 9.8E-02, -5.2E-02, -1.6E-01, 3.8E-01, 5.8E-01,2.0E-01}

АКТ

об использовании результатов диссертационной работы Кью Мьят Со «Банки комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений» в учебном процессе

Настоящим актом «Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт» подтверждает,

радиосигналов», при проведении лекционных и практических занятий со студентами по курсу «Методы и устройства цифровой обработки сигналов», изучаются разработанные Кью Мьят Со методики расчета банков цифровых комплексных фильтров с малым количеством умножений, которые относятся к научно-техническим результатам, полученным в его диссертации.

Разработанные Кью Мьят Со методики расчета банков цифровых комплексных фильтров с малым количеством умножений использовались в двух магистерских диссертациях при разработке и исследовании цифровых устройств передачи данных.

что на кафедре « Формирования

и обработки

Директор ИРЭ д.т.н., проф.

Заведующий кафедрой РПУ д.т.н.,лроф.

Ю.А. Гребенко