Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Балусов, Игорь Леонидович

• Балусов, Игорь Леонидович
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Балусов, Игорь Леонидович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ДВУМЕРНЫЙ РЕКУРСИВНЫЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР ВТОРОГО ПОРЯДКА. УСТОЙЧИВОСТЬ.

1.1. Математическое описание двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка.

1.2. Основные теоремы для определения устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров.

1.3. Проверка устойчивости и стабилизация двумерных рекурсивных цифровых фильтров с использованием спектрального разложения на множители.

1.4. Проверка устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров табличным методом.

1.5. Стабилизация двумерных рекурсивных цифровых фильтров табличным методом.

1.6. Проверка устойчивости двумерных рекурсивных цифровых фильтров с использованием матриц Шура-Кона.

1.7. Сравнительный анализ табличного метода определения устойчивости и метода Шура-Кона.

1.8. Краткие выводы.

2. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка.

2.1.1. Методика исследований.

2.1.2. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с монотонными АЧХ.

2.1.3. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот с пульсациями в области подавления.

2.1.4. Определение линии среза для двумерных рекурсивных фильтров верхних и нижних частот.

2.1.5. Лопастной фильтр.

2.1.6. Диагональный режекторный фильтр.

2.1.7. Осевой режекторный фильтр.

2.1.8. Диагональный полосовой фильтр.

2.1.9. Подавление высокочастотных или низкочастотных составляющих спектра.

2.1.10. Синтез фильтров с заданными частотными свойствами.

2.2. Примеры обработки изображений полученными типами двумерных рекурсивных цифровых фильтров.

2.2.1. Оценка восстановленных изображений на основе универсального индекса качества.

2.2.2. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры нижних и верхних частот.

2.2.3. Двумерный рекурсивный диагональный полосовой фильтр.

2.2.4. Двумерный рекурсивный осевой режекторный фильтр.

2.2.5. Двумерный диагональный режекторный фильтр.

2.3. Краткие выводы.

3. ЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ДВУМЕРНЫХ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С

СИММЕТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

3.1. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Вариант симметрии №1.

3.1.1. Двумерные рекурсивные цифровые ФНЧ и ФВЧ второго порядка.

3.1.2. Диагональный режекторный фильтр.

3.1.3. Осевой режекторный фильтр.

3.1.4. Диагональный полосовой фильтр.

3.2. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Варианты симметрии №2 и №3.

3.3. Исследование частотных свойств двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с симметричными коэффициентами. Вариант симметрии №4.

3.4. Краткие выводы.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО РЕКУРСИВНОГО

ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА ВТОРОГО ПОРЯДКА В

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ.

4.1. Вводные замечания.

4.2. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в общем виде.

4.3. Предельные случаи импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка.

4.4. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами.

4.5. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с тремя независимыми коэффициентами.

4.6. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного разделимого цифрового фильтра второго порядка.

4.7. Краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка»

Актуальность темы

В различных областях науки и техники существуют задачи, которые предусматривают цифровую обработку многомерных массивов данных. Это, например, анализ и обработка аэрофото- и космических снимков, геофизические исследования земной коры, компьютерная томография, анализ оптических, тепловых, рентгеновских, радиографических изображений в медицине, промышленной дефектоскопии, системы технического зрения и множество других важных научно-практических задач [1—5]. Кроме очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с флуктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре, дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, в цифровой обработке изображений и видеопоследовательностей.

Возрастающая сложность задач, увеличение объемов данных стимулирует активное развитие теории многомерной цифровой обработки сигналов. Значительный вклад в развитие теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли труды Гоулда и Рейдера, Гольденберга [6-7]. Дальнейшее развитие цифровой обработки сигналов нашло отражение в трудах Рабинера, Даджиона, Мерсеро, Ярославского, Оппенгейма, Шафера, Антонью, Хэмминга, Претта, Карташева, Гольденберга, Витязева [1-3, 8-15].

Обработка многомерных сигналов имеет некоторые особенности, иногда весьма существенные, которые отличают ее от одномерной обработки. Во-первых, многомерная обработка оперирует со значительно б большими объемами данных, что увеличивает затраты на их обработку, хранение и анализ. Во-вторых, математические методы описания многомерных систем не отличаются той завершенностью и законченностью, которая характерна для одномерных систем. В-третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы, в результате чего проектирование с одной стороны приобретает гибкость, а с другой стороны большую сложность, несвойственную одномерным системам. В общем случае одномерные методы обработки [6, 8-10, 13-14, 16] не обобщаются до многомерных, что приводит к необходимости разработки новых и модификации существующих алгоритмов. Поэтому развитие теории многомерных цифровых систем невозможно без применения современного математического аппарата [17—26] и мощных вычислительных средств [27] (ЭВМ общего назначения и специализированных сигнальных процессоров).

Быстрое развитие цифровой обработки сигналов привело к появлению большого количества новых терминов, большинство из которых англоязычные. В публикациях на русском языке часто используется калька с английского, при этом написание слов бывает самым разнообразным. Поэтому прилагаются усилия по некоторой унификации терминологии [28, 29]

Для обработки двумерных сигналов можно использовать как фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), так и фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). В настоящее время широкое распространение получили методы цифровой обработки сигналов, использующие в своей работе методы вейвлет-обработки, основанные на КИХ-фильтрах. Опубликовано множество работ, отличающихся различными подходами к теме вейвлетов [30-33]. В то же время вейвлет-фильтры могут быть построены и на основе БИХ-фильтров. Исследованию свойств и методов синтеза БИХ вейвлет-фильтров посвящена практически только одна статья Ваттерли [34], что обусловлено меньшей изученностью свойств и большей сложностью БИХ-фильтров.

БИХ-фильтры обладают существенным преимуществом относительно КИХ-фильтров — для достижения тех же частотных свойств, они требуют меньшего объема вычислений. При равных вычислительных затратах БИХ-фильтры в частотной области обладают более узкими переходными полосами от области пропускания до области подавления. При этом, чем ближе к нулю полином в знаменателе частотной характеристики, тем более динамично изменяется частотная характеристика. В связи с этим очень важна проблема устойчивости БИХ-фильтров. Первыми работами по исследованию устойчивости двумерных рекурсивных систем были работы Шэнкса, обобщающие одномерные теоремы на двумерный случай [35, 36]. Более удобные для практического применения результаты приведены в работах Хуанга, Бауэра, Янга и др. [37-42].

Частотные свойства системы во многом определяют возможность ее применения для решения конкретной задачи обработки сигналов и изображений. В задачах синтеза одними из основных условий являются ограничения на свойства фильтра в частотной области. В первую очередь интерес представляют такие параметры указанных фильтров, как полоса пропускания по каждой из частот, линия среза, количество и амплитуды пульсаций амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). В процессе исследования системы возникает также и обратная задача — определить влияние параметров системы на частотную избирательность.

Частотные свойства одномерных рекурсивных систем второго порядка хорошо изучены [16]. В зависимости от коэффициентов, эти системы могут быть фильтрами верхних или нижних частот, полосовыми или режекторными фильтрами. Методика, впервые использованная для исследования двумерного фильтра первого порядка [43-46], может быть применена и для исследования двумерных рекурсивных фильтров второго порядка. Визуальное представление решения задачи для двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в общем случае для восьми независимых коэффициентов затруднено, поэтому при исследовании также могут применяться дополнительные ограничения на параметры фильтра, например, различные виды симметрии коэффициентов [50, 56, 58, 62, 64, 65].

Исследование двумерных цифровых фильтров в пространственной области необходимо для изучения динамики цифровых систем. Любой входной сигнал можно представить в виде суперпозиции двумерных единичных импульсов, и тогда для случая линейной фильтрации выходной сигнал будет являться суперпозицией импульсных характеристик. Таким образом, результат воздействия цифрового фильтра на сигнал можно оценивать, анализируя его импульсную характеристику.

В двумерном случае, по сравнению с одномерным, нахождение импульсной и переходной характеристик является более сложной задачей. Во-первых, это связано с тем, что не существует общего алгоритма решения двумерных разностных уравнений, во-вторых - даже двумерное z-преобразование не является столь эффективным, как в одномерном случае. В пространственной области двумерные цифровые фильтры первого порядка исследовались в работах [66-71]. Повышение порядка цифрового фильтра сильно усложняет получение и анализ пространственных характеристик в аналитическом виде, в связи с этим для более наглядного представления результатов имеет смысл использовать ограничения на коэффициенты фильтра, не понижающие его порядок [72, 82].

В соответствии с вышеперечисленным, исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях является сложной и актуальной задачей цифровой обработки сигналов.

Целью работы является аналитическое получение и анализ характеристик двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях.

Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

- анализ методов определения устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка и выбор наиболее эффективного;

- изучение возможности стабилизации параметров неустойчивого рекурсивного фильтра;

- анализ амплитудно-частотной характеристики фильтра второго порядка, классификация типов фильтров данной системы, нахождение ограничений на коэффициенты фильтра для существования полученных типов фильтров;

- получение импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в аналитическом виде и ее анализ.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались современные методы цифровой обработки двумерных сигналов и изображений, методы математического анализа, теории функций комплексной переменной, дифференциальной геометрии в пространстве, теории матриц. Широко использовалось также компьютерное моделирование.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных в работе результатов подтверждается неоднократной проверкой методами математического моделирования, а также сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы. Результаты работы нашли применение в исследовании эффектов квантования в двумерном рекурсивном цифровом фильтре второго порядка [83-101].

Научная новизна. В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

- в результате анализа амплитудно-частотной характеристики двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка проведена классификация типов фильтров: монотонных и немонотонных ФНЧ и ФВЧ, полосовых, режекторных, лопастных;

- получены аппроксимация линии среза, выражение для расчета амплитуды и координаты пульсаций, резонансных частот;

- получено 2 возможных варианта диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений, проведена классификация типов фильтров;

- найден аналитический вид импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами;

- в результате анализа импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка получены условия существования модулированных колебаний вдоль осей, условия для обеспечения сходимости ИХ.

Практическая значимость.

1. Получены удобные в использования выражения для тестирования устойчивости двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка. Предложен алгоритм стабилизации коэффициентов фильтра.

2. Аналитические выражения на коэффициенты двумерного фильтра позволяют определять тип, линию среза, амплитуду пульсаций фильтра не переходя в частотную область.

3. Импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов таких фильтров при исследовании явлений, обусловленных эффектами квантования, а также анализировать рассеивающую способность двумерных фильтров в цифровой обработке изображений.

Основные положения, выносимые на защиту:

- аналитические выражения для классификации типов фильтров двумерного цифрового фильтра второго порядка: монотонных и немонотонных ФНЧ и ФВЧ, полосовых, режекторных, лопастных;

- аппроксимация линии среза, выражение для расчета амплитуды и координаты пульсаций, резонансных частот;

- возможные варианты диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений, классификация типов фильтров;

- аналитический вид импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка, результаты анализа импульсных характеристик такого фильтра с ограничениями на его коэффициенты.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на следующих научно-технических семинарах и конференциях:

1-й, 2-й, 3-й, 5-ой, 6-ой, 11-й международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применения", DSPA, г. Москва, 1998 г., 1999 г., 2000 г., 2003 г., 2004 г., 2009 г.

2-й, 3-й, 4-й, 5-й международной конференции "Теория и техника передачи, приема и обработки информации", ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1996 г.,1997 г., 1998 г., 1999 г.

3-й, 4-й, 5-й международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь". Воронеж., 1997 г., 1998 г., 1999 г.

LXIII научной сессии, посвященной Дню Радио. Москва, 2008 г. 2-й, 3-й Всероссийской научно-технической конференции "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем", Чебоксары, 1997 г., 1999 г. Международной научно-технической конференции

Современные методы цифровой обработки сигналов в системах измерений, контроля, диагностики и управления" "ОС-98", Минск, 1998 г., 1999 г.

Областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Современные проблемы естествознания. Физика", Ярославль, 1997 г., 1999 г.

Межвузовской региональной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов, Государственный технический университет, Ярославль, 1997 г. Региональной научно-технической конференции, посвященной 55-летию Ярославского государственного технического университета, 1999 г.

Межвузовской научно-технической конференции "Современные научно-технические проблемы совершенствования и направления развития вооружения ПВО", Ярославский зенитный ракетный институт ПВО, Ярослаль, 1999 г.

13

- Юбилейной научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук на пороге XXI века», посвященной 30-летию ЯрГУ., Ярославль, 2000 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 60 научных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК («Радиотехника», «Цифровая обработка сигналов»), 2 статьи в рецензируемом журнале «Моделирование и анализ информационных систем», 1 статья в рецензируемом журнале Вестник ЯрГУ Серия «Физика. Радиотехника. Связь», 1 статья в сборнике научных трудов ЯрГУ «Современные проблемы радиофизики и электроники», 4 статьи в сборнике научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов ЯрГУ «Актуальные проблемы физики» и 50 докладов на научных конференциях российского и международного уровней.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников, содержащего 120 наименований, и 1 приложения. Она изложена на 171 странице машинописного текста, содержит 65 рисунков и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Балусов, Игорь Леонидович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве основных можно выделить следующие результаты:

1. Используя табличный метод, получены условия устойчивости для двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка в виде 4-х неравенств, 2-х полиномов второй степени и 2-х полиномов четвертой степени. Рассмотрен алгоритм коэффициентов фильтра для достижения устойчивости при сохранении заданных в условиях синтеза параметров.

2. В результате проведения сравнительного анализа трудоемкости выполнения тестов устойчивости для фильтров второго порядка, получено, что общее количество условий в табличном методе больше, чем количество условий, полученных в результате применения метода Шура-Кона, но при этом, наибольшая степень полинома равна 4, в то время как, в методе Шура-Кона она равна 8, что является решающим фактором в выборе метода для тестирования устойчивости.

3. В результате исследования АЧХ двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка с 8-ю независимыми коэффициентами определены области параметров для получения монотонных ФЕЯ и ФВЧ, а также ФНЧ и ФВЧ с пульсациями. Получены уравнения линий среза и определена величина подавление входного сигнала.

4. Найдены ограничения на параметры, позволяющие получить лопастные фильтры, ориентированные по осям coj и со2. Проведена классификации и определены области параметров полосовых и режекторных фильтров, определены резонансные частоты.

5. Разработан алгоритм синтеза двумерных цифровых фильтров второго порядка, учитывающий полученные в работе ограничения на коэффициенты фильтра и позволяющий получить фильтр с заданными свойствами, а именно: положение экстремумов, линия среза, подавление высоких (для ФНЧ и ПФ) и низких (для ФВЧ) частот, тип симметрии коэффициентов.

6. В результате исследования получены 2 возможных варианта выбора диагональной симметрии коэффициентов двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка для получения стабильных фильтров, пригодных для обработки изображений.

7. С практической точки зрения более приемлемым для обработки изображений является вариант симметрии №1. В этом случае возможно получение не только осевых РФ, но и диагональных РФ и диагональных ПФ фильтров.

8. Области параметров фильтров различных типов приведены в графическом виде, что дает возможность выбора коэффициентов внутри области устойчивости и на достаточном удалении от ее границ и позволяет не использовать процедуры стабилизации.

9. Получено аналитическое выражение для импульсной характеристики двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка. Подробно рассмотрены частные случаи ИХ двумерного цифрового фильтра второго порядка, выделены области, в которых ИХ имеет колебательный характер, получены условия сходимости, а также указаны параметры, от которых зависит знакопеременность ИХ.

10. Полученная импульсная характеристика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка позволяет проводить анализ статистических характеристик шумов двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка при исследование явлений, обусловленных эффектами квантования.

Таким образом, достигнута цель работы - аналитически получены и проанализированы характеристики двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной и пространственной областях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Балусов, Игорь Леонидович, 2009 год

1. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988.-488 с.

2. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. -М.: Сов. радио, 1979. 312 с.

3. ПрэттУ. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. Т. 1, -312 с.

4. ГонсалесР., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. - 1072 с.

5. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений / Под ред. Ю.Б. Зубарева и В.П. Дворковича. М.: Международный центр научно-технической информации, 1997. - 212 с.

6. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

7. Гольденберг Л.М. Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры М.: Связь, 1974.-160 с.

8. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978. 848 с.

9. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

10. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. -М.: Высшая школа, 1982. 109 с.

11. Гольденберг Л.М. Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985. — 323 с.

12. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993.-240 с.

13. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

14. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980.-224 с.

15. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

16. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: учеб. пособ. / 2-е изд., перераб. и доп. — Ярославль. ЯрГУ, 2005. 154 с.

17. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Пер. с англ. М.: Мир, 1965. -276 с.

18. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982. 256 с.

19. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1969. - 176 с.

20. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. - 294 с.

21. Воеводин В.В. Линейная алгебра. -М.: Наука, 1980.-400 с.

22. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. - 266 с.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, М.: Наука, 1988. - 548 с.

24. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел // Пер. с нем. М.: Наука, 1978. - 430 с.

25. Потемкин В.Г. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений на основе разложения сингулярного пучка матриц // Вестник Российской транспьютерной ассоциации. 1994. № 2 (13). С. 5-18.

26. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. - 832 с.

27. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. — СПб.: Питер, 2002. 608 с.

28. Грибунин В.Г. Глоссарий по цифровой обработке сигналов.- СПб. 28 с.

29. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2, С. 133-158.

30. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 464 с.

31. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. - 280 с.

32. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. - 671 с.

33. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. -М.: ДМК, 2005. 304 с.

34. Herley С., Vetterli М. Wavelets and recursive filter banks // IEEE Trans. Image Processing. 1993. V. 41, № 8. P. 2536-2556.

35. Shanks J.L., Treital S., Justice J.H. Stability and synthesis of two dimensional recursive filters // IEEE Trans. Audio Electroacoust. 1972. V. 20, P. 115-208.

36. Justice J.H., Shanks J.L. Stability criterion for N-dimensional digital filters // IEEE Trans. Automatic control. 1973. AC-18, No. 3, P. 284-286.

37. Huang T.S. Stability of 2-D recursive filters // IEEE Trans. Audio Electroacoust. 1972. No 6. P. 158-163.

38. Bauer P. A simple stability criterion for nonlinear multi-dimensional (M-D) direct form digital filters // ISCAS'89. IEEE. 1989. V. 2, P. 1091-1094.

39. Yang X., Unbehauen R. New stability test algorithm for two-dimensional digital filters // IEEE Transaction on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications. 1998. No. 7. P. 739-741.

40. Изотова И.В. Об устойчивость решений простейших пространственно-распределенных дискретных уравнений // Моделирование и анализ информационных систем: Сб. науч. тр. Вып. 2. ЯрГУ. Ярославль. 1994. С. 134-147.

41. Изотова И.В. Об устойчивости решений линейных разностных пространственно-распределенных уравнений второго порядка // Моделирование и анализ информационных систем: Сб. науч. тр. Вып. 3. ЯрГУ. Ярославль. 1996. С. 86-100.

42. O'Connor В.Т., Huang Th.S. Stability of general two-dimensional recursive filters // ШЕЕ Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1978. ASSP-26, No. 6. P. 550-560.

43. Брюханов Ю.А., Приоров A.JI., Мясников E.A., Калинин С.А. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем первого порядка // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1995. № 4. С. 26-30.

44. Приоров А.Л., Тарасов В.Л., Балусов И.Л., Мясников Е.А. Исследование модели двумерного цифрового фильтра первого порядка // Моделирование и анализ информационных систем. 1997. Т. 4, С. 73-76.

45. Калинин С.А., Мясников Е.А., Приоров А.Л. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка // Направления развития систем и средств радиосвязи. Воронеж. 1996. Т.3, С. 1114-1117.

46. Тарасов В.Л., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Частотная избирательность двумерного цифрового фильтра первого порядка // Тез. докл. 3-й межд. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации», ХТУРЭ, Харьков-Туапсе, 1997. С. 86-87.

47. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Автономный двумерный рекурсивный цифровой фильтр второго порядка с несимметричными коэффициентами // Тр. LVIII науч. сессии, посвященной Дню Радио. Москва. 2003. Т. 1, С. 239-241.

48. Лебедев М.В., Рудых Д.В. , Балусов И.Л. Исследование двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка // Сб. науч. тр.молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 4. Ярославль, 2003.1. С. 141-148.

49. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Малкова Т.В., Балусов И.Л. Нелинейныесвойства автономного двумерного рекурсивного цифрового фильтравторого порядка // Матер. V всерос. науч.-техн. конф. «Динамиканелинейных дискретных электротехнических и электронных систем».

50. Чебоксары, 2003. С. 217-218.

51. Балусов И.Л., Приоров А.Л., Хрящев В.В. Частотные свойствадвумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка ссимметричными коэффициентами // Цифровая обработка сигналов.2008. №3. С. 49-55.

52. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Классификация типов фильтров,получаемых на базе двумерной рекурсивной цифровой системывторого порядка // Сб. науч. тр. ЯрГУ: Современные проблемырадиофизики и электроники. 1998. С. 148-154.

53. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Исследование двумерных рекурсивныхцифровых фильтров второго порядка в частотной области // Матер.первой межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение»

54. DSPA'98). 1998. Т. 3, С. 213-220.

55. Лебедев М.В., Балусов И.Л., Рудых Д.В. Динамика двумерногорекурсивного цифрового фильтра второго порядка при бинарномквантовании // Докл. 5-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов иеё применение». (DSPA'03). Москва, 2003. Т. 1, С. 65-67.

56. Калинин С.А., Балусов И.Л. Исследование частотных свойствдвумерной нерекурсивной цифровой системы второго порядка // Юб.сб. тр. каф. радиофизики ЯрГУ. 1998. С. 155-160.

57. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Динамика двумерногорекурсивного цифрового фильтра второго порядка при бинарномквантовании // Докл. 6-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов иее применение» (DSPA'04). Москва, 2004. Т. 2, С. 7-9.153

58. Приоров АЛ., Тарасов В.Л. Исследование двумерных рекурсивных цифровых ФНЧ и ФВЧ второго порядка // Докл. науч.-техн. конф. «Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация». Воронеж. 1997. С. 1006-1011.

59. Балусов И.Л., Приоров А.Л., Елагин А.А. Анализ некоторых типов двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка // Актуальные проблемы физики: сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ. 1997. С. 149-155.

60. Балусов И.Л., Михальченков С.М., Приоров A.JL, Дрязжин В.Н.

61. Частотные свойства двумерных цифровых систем второго порядка ссимметричными коэффициентами // Сб. тез. обл. науч. конф.студентов, аспирантов и молодых ученых, ЯрГУ, 1997. С.43-44.

62. Балусов И.Л., Михальченков С.М., Приоров А.Л. Частотные свойствадвумерных цифровых систем второго порядка с симметричнымикоэффициентами // Тез. докл. 2-й межд. конф. «Теория и техникапередачи, приема и обработки информации». ХТУРЭ. Харьков

63. Туапсе. 1996. Ч. 1.С. 42-43.

64. Богословский А.В., Загузова Н.Д., Пахольчак З.Д. Двумернаярежекторная однопараметрическая (3x3) и (4х4)-фильтрация сосвойствами осевой симметрии // Радиотехника. 2008. № 1. С. 3—11.

65. Балусов И.Д., Приоров А. Л., Елагин А.А., Судаков А.А.

66. Пространственные переходные процессы в двумерных цифровыхфильтрах первого порядка // Моделирование и анализинформационных систем. 1999. Т. 6, № 1. С. 51-53.

67. Елагин А.А., Судаков А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Исследованиепереходных процессов в двумерных цифровых БИХ-фильтрах первогопорядка // Докл. 2-й межд. конф. и выставки «Цифровая обработкасигналов и ее применения». Москва. 1999. Т. 3, С. 637-641.

68. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Переходная характеристикадвумерного цифрового фильтра первого порядка для обработкидвумерных сигналов // Тр. V межд. науч.-техн. конф. «Радиолокация,навигация, связь». Воронеж. 1999. С. 402-407.

69. Елагин А.А., Судаков А.А., Балусов И.Л., Приоров А.Л. Реакциядвумерного рекурсивного цифрового фильтра первого порядка наединичный скачок // Сб. тез. обл. науч. конф. студентов, аспирантов имолодых ученых «Современные проблемы естествознания. Физика».

70. Ярославль. 1999. С. 44-45.

71. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Функция рассеяния точкидвумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка ссимметричными коэффициентами // Тез. докл. 4-й межд. конф.

72. Теория и техника передачи, приема и обработки информации».

73. ХТУРЭ. Харьков. 1998. С. 536-537.

74. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Анализ импульсныххарактеристик некоторых типов двумерных рекурсивных цифровыхфильтров для обработки изображения // Тр. IV межд. науч.-техн. конф.

75. Радиолокация, навигация, связь». Воронеж. Изд-во "Истоки" НИИ

76. Связи, 1998. T-II, С. 624-631.

77. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Характеристики двумерныхрекурсивных цифровых фильтров второго порядка впространственной области // Матер, межд. науч.-техн. конф.

78. Современные методы цифровой обработки сигналов в системахизмерения, контроля, диагностики и управления» «ОС-98». Минск.1998. С. 231-235.156

79. Балусов И.Л., Елагин А.А., Судаков А.А. Исследование импульсной характеристики двумерных цифровых рекурсивных фильтров второго порядка // Докл. 2-й межд. конф. и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применения». Москва. 1999. Т. 3, С. 630-634.

80. Балусов И.Л. Использование двумерных нерекурсивных систем второго порядка в обработке изображений и двумерных сигналов // Докл. 11-й междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA-2009). Москва. 2009. Т. 2, С. 601-604.

81. Балусов И.Л. Динамика двумерной рекурсивной цифровой системы второго порядка // Сб. тез. юбилейной науч. конф. «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук на пороге XXI века», поев. 30-летию ЯрГУ. 2000. Ярославль. ЯрГУ. С. 35.

82. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Импульсная характеристика двумерногорекурсивного фильтра второго порядка // Тр. LXIII науч. сессии,посвященной Дню Радио. Москва. 2008. С. 146-147.

83. Балусов ИЛ. Некоторые частные случаи импульсной характеристикидвумерного цифрового рекурсивного фильтра второго порядка // Докл.11.й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение»

84. DSPA-2009). М. 2009. Т. 2, С. 598-601.

85. Лебедев М.В. Исследование эффектов квантования и переполнения вдвумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка ссимметричными коэффициентами // Дис. канд. техн. наук М., 2007.- 169 с.

86. Приоров АЛ., Елагин А.А., Балусов И.Л. Динамика двумернойцифровой системы первого порядка с нелинейным сумматором // Тез.докл. V межд. конф. «Нелинейные колебания механических систем».

87. Нижний Новгород. 1999. С. 190-191.

88. Балусов И.Л., Елагин А.А., Приоров А.Л. Свойства двумерногоцифрового фильтра второго порядка с симметрией коэффициентов и схарактеристикой сумматора типа насыщения // Докл. 3-й межд. конф.

89. Цифровая обработка сигналов и ее применения» (DSPA'2000). М.2000. Т. 2, С. 293-296.

90. Рудых Д.В., Балусов И.Л., Приоров А.Л. Динамика двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка при трехуровневом квантовании // Сб. науч. труд, молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. Ярославль. 2001. С. 101-106.

91. Елагин А.А., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Системы обработки двумерных сигналов с учетом эффектов квантования // Докл. межд. конф. по телекоммуникациям (ICC2001). СПб. 2001. С. 19-23.

92. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров А.Л., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры первого и второго порядка с нелинейным сумматором // Тр. 8-й межд. науч.-техн. конф. «Радиолокация, навигация и связь». Воронеж. 2002. Т. 1, С. 387-398.

93. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Колебания в автономных двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с двумя уровнями квантования // Тр. LX науч. сессии, посвященной Дню Радио. Москва. 2005. Т. 2, С. 216-218.

94. Лебедев М.В., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка с постоянным внешним воздействием // Тр. межд. науч.-практ. конф. «Информационные средства и технологии». Москва, 2005. Т. 1, С. 123-126.

95. Балусов И.Л. Обработка изображений двумерными цифровыми фильтрами второго порядка // Вестник ЯрГУ. Серия «Физика. Радиотехника. Связь». 2008. С. 119-121.

96. Приоров А.Л., Балусов И.Л., Хрящев В.В. Оценка восстановленных изображений на основе универсального индекса качества // Радиотехника. 2008. № 12. С. 23-28.

97. Балусов И.Л., Лукашевич Ю.А., Пачкунов А.В. Анализ качества обработки изображений двумерными цифровыми КИХ-фильтрами // Тез. докл. per. науч.-техн. конф., посвящ. 55-летию Яросл. гос. техн. ун-та. 1999. С. 107.

98. Ekstrom М.; Woods J. Two dimensional spectral factorization with applications in recursive digital filtering // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. April 1976. No. 2. P. 115-128.

99. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука. 1978.-299 с.

100. Ш.Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука. М.: Техносфера, 2004. 365 с.

101. Арляпов С.А., Бухтояров С.С., Саутов Е.Ю., Хрящев В.В.

102. Модифицированный критерий оценки качества восстановленныхизображений. Докл. 8-й межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва. 2006. Т. 2, С. 413-416.

103. Recommendation ITU-R ВТ.500-11, Methodology for the subjective assessment of the quality of television pictures. ITU-T. 2002.

104. Приоров АЛ., Апальков И.В., Хрящев В.В. Цифровая обработка изображений: уч. пособ. Ярославль: ЯрГУ, 2007. - 235 с.

105. Wang Z, Bovik A. A universal image quality index // ШЕЕ Signal Processing Letters. 2002. V. 9, № 3. P. 81-84.

106. Пб.Арляпов C.A., Приоров A.JI., Хрящев B.B. Модифицированный критерий оценки качества восстановленных изображений // Цифровая обработка сигналов. 2006. № 2. С. 27-33.

107. Taubman D., Marcellin М. JPEG 2000: image compression fundamentals, standards and practice. Boston: Kluwer, 2002. 773 p.

108. Приоров A.JI. Двумерные цифровые сигналы и системы: уч. пособ. Ярославль: ЯрГУ, 2000. - 168 с.

109. Приоров A.JI., Ганин А.Н., Хрящёв В.В. Цифровая обработка изображений: уч. пособ. Ярославль: ЯрГУ, 2001. - 218 с.

110. Брюханов Ю.А., Приоров А.Л. Цифровые фильтры: уч. пособ. -Ярославль: ЯрГУ, 2002. 288 с.