Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат наук Сое Минн Тху

• Сое Минн Тху
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Сое Минн Тху

1.3. Метод комплексной арифметики

1.4. Метод комплексной задержки

1.5. Сравнение методов по числу арифметических операций

1.6. Цифровые комплексные фильтры, перестраиваемые по частоте, на базе комплексных задержек

Выводы по главе

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ ФНЧ И ФВЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КООРДИНАТ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ НЧ-ПРОТОТИПА

2.1. Последовательная структурная схема

2.2. Параллельная структурная схема

Выводы по главе

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛОСОВЫХ И РЕЖЕКТОРНЫХ ФИЛЬТРОВ ПО КООРДИНАТАМ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ НЧ-ПРОТОТИПА

3.1. Последовательная структурная схема

3.2. Параллельная структурная схема

3.3. Перестройка комплексных фильтров по частоте

3.4. Реализации комплексной задержки с использованием алгоритма ОДЕЛЮ

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ЦИФРОВЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ФИЛЬТРЫ С ЛИНЕЙНЫМИ ФЧХ

4.2. Линеаризация ФЧХ КИХ фильтров

4.2.1. КИХ фильтры нижних частот с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу

4.2.2. Полосовые КИХ-фильтры с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу

4.3. Цифровые БИХ-КИХ фильтры с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу

4.3.1. Цифровые БИХ-КИХ фильтры нижних частот с линейными ФЧХ

4.3.2. Цифровые комплексные полосовые БИХ-КИХ фильтры с линейными ФЧХ

Выводы по главе

ГЛАВА 5. ДЕТЕКТОРЫ УРОВНЯ И ЧАСТОТНЫЕ ДИСКРИМИНАТОРЫ НА БАЗЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

5.1. Цифровые детекторы уровня комплексного сигнала

5.2. Частотные дискриминаторы на базе комплексных цифровых БИХ-фильтров, рассчитанных по НЧ-прототипам

5.3. Частотные дискриминаторы на базе комплексных цифровых БИХ-фильтров, рассчитанных с использованием координат нулей и полюсов по НЧ-прототипам

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Список сокращений

АД - амплитудный детектор

АЧХ - амплитудно-частотная характеристика

БИХ - бесконечная импульсная характеристика

ГВЗ - групповое время запаздывания

ДХ - дискриминационные характеристики

КДФ - комплексный дискретный фильтр

КИХ - конечная импульсная характеристика

НЧ - низкая частота

ОБП - обобщенное билинейное преобразование

ПФ - полосовой фильтр

РФ - режекторный фильтр

ФВЧ - фильтр верхних частот

ФНЧ - фильтр нижних частот

ФЧХ - фазочастотная характеристика

ЧАД - частотно-амплитудного дискриминатора

CORDIC - Coordinate Rotation Digital Computer

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам»

ВВЕДЕНИЕ

Квадратурные сигналы, которые также называют комплексными сигналами, используются во многих применениях цифровой обработки сигналов, таких как системы связи, радиолокационные системы, системы измерения разности времен прихода сигналов в радионавигации и др:[30].

Задачи обработки комплексных сигналов, в частности, задачи цифровой фильтрации, рассматриваются в технической литературе уже насколько последних десятилетий. Среди достоинств комплексных полосовых и режекторных фильтров отмечаются следующие: симметричная относительно центральной частоты АЧХ, характеристики таких фильтров в наибольшей степени приближаются по форме к характеристикам аналоговых НЧ-прототипов, наличие дополнительных степеней свободы открывает перспективу создания перестраиваемых фильтров: [74].

Цифровые комплексные фильтры широко используются в цифровых устройствах формирования и обработки радиосигналов. Разработкой методов расчета цифровых комплексных фильтров для формирования и обработки сигналов в течение последних десятилетий занимались многие ученые, в том числе: Гребенко Ю.А. [1-23], Гадзиковский В.И. [40-44], Акар Мьо. [14], Кью Мьят Со. [15], Тамбовцев А.В. [48], Митра С. [37, 55], Регалия П.А. [37], Milos D. E. [50], Ochi H. [63, 65], Zhang X. [61,64,66], Chit N. N., Mason J. S. [67], Georgi Iliev. [68], Toma Miyata. [69] , X. Chen., T. Parks. [72,73], и многие другие.

Наибольшее распространение при расчете цифровых комплексных фильтров получил метод смещения частотных характеристик, который позволяет преобразовывать передаточные функции цифровых фильтров нижних частот (ФНЧ) и фильтров верхних частот (ФВЧ) в передаточные функции цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров.

расчет, используя обширный материал по низкочастотным прототипам (НЧ-прототипам) разработанным для расчета аналоговых фильтров.

Следует отметить предложенный Гребенко Ю.А. и Акар Мьо метод комплексной задержки [14], который позволяет без дополнительных расчетов получать структурные схемы комплексных полосовых или режекторных фильтров, реализуя смещение частотных характеристик вещественных ФНЧ или ФВЧ за счет использования комплексных задержек. При таком подходе можно также достаточно просто реализовать перестройку центральных частот цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров без изменения формы частотных характеристик.

При расчете вещественных цифровых БИХ-фильтров по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа широко используется последовательная схема, состоящая из звеньев первого и второго порядка с вещественными коэффициентами, При этом звенья второго порядка реализуют пару комплексно-сопряженных полюсов. В комплексных цифровых фильтрах используется комплексная арифметика, что позволяет реализовывать полюсы НЧ-прототипы раздельно. Последовательные структурные схемы, построенные на базе комплексных звеньев, реализующих один комплексный полюс, исследовались в работах Гадзиковского В.И., но использовался эвристический метод подбора расположения полюсов.

Разработка методов расчета комплексных полосовых и режекторных фильтров с последовательной и параллельной структурой по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа - это актуальная задача для теории цифровой фильтрации.

Цифровые вещественные фильтры с конечными импульсными

характеристиками (КИХ-фильтры), имеющие линейные фазочастотные

характеристики (ФЧХ) в большинстве случаев реализуются с помощью

нерекурсивных структурных схем, поэтому имеют высокий порядок.

Цифровые вещественные БИХ-фильтры с формой ФЧХ в полосе

пропускания, близкой к линейной, рассчитываются с использованием НЧ-

7

прототипов на основе полиномов Бесселя, но форма амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) таких фильтров далека от прямоугольной.

Задача уменьшения порядка цифровых вещественных и комплексных фильтров с линейной ФЧХ и формой АЧХ, близкой к прямоугольной, является актуальной.

Тема диссертационной работы отражает класс исследуемых устройств (цифровые комплексные фильтры) и изучаемый метод расчета (расчет по НЧ-прототипу).

Объектами исследования являются: структурные схемы цифровых комплексных фильтров, рассчитанные по НЧ-прототипу.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета структурных схем цифровых комплексных фильтров по НЧ-прототипу, имеющих ФЧХ в полосе пропускания близкие к линейным, а АЧХ, близкие к прямоугольным и реализуемых при использовании минимального числа математических операции.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Сравнительный анализ методик расчета цифровых комплексных БИХ-фильтров с использованием последовательных и параллельных структурированных НЧ-прототипов по количеству необходимых математических операции.

2. Разработка методики расчета по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа цифровых комплексных БИХ-фильтров с последовательной и параллельной структурой.

3. Разработка методик расчета комплексных БИХ-КИХ фильтров с линейными ФЧХ по НЧ-прототипам.

4. Разработка методик расчета комплексных КИХ фильтров с линейными ФЧХ по НЧ-прототипам.

5. Исследование возможности реализации перестраиваемых частотных дискриминаторов на базе комплексных цифровых полосовых фильтров.

Методы исследования. Применительно к объектам исследования для решения поставленных задач используются методы теории функций комплексного переменного, методы теории графов, метод алгоритма СОЯВЮ, методы линейной алгебры, методы математического и схемотехнического моделирования.

Научная новизна работы. В диссертации рассмотрена и решена задача, имеющая существенное значение для радиотехники - синтез и анализ новых структурных схем полосовых и режекторных комплексных цифровых фильтров, ориентированных на использование в устройствах формирования и обработки радиосигналов.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработана методика расчета цифровых комплексных фильтров по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа, позволяющая реализовывать последовательные и параллельные структурные схемы на базе звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами.

2. Предложен способ преобразования КИХ-фильтра с произвольными вещественными коэффициентами, имеющего определенную АЧХ и, в общем случае, нелинейную ФЧХ, в КИХ-фильтр удвоенного порядка, имеющий АЧХ, равную квадрату исходной, и линейную ФЧХ.

3. Предложен способ расчета комбинированного вещественного БИХ-КИХ фильтра с почти линейной в полосе пропускания формой ФЧХ по НЧ-прототипу.

4. Предложен способ расчета вещественного КИХ-фильтра с линейной ФЧХ по НЧ-прототипу.

5. Предложено использовать метод комплексной задержки для

построения структурных схем комплексных цифровых полосовых и

режекторных фильтров с линейными в полосе пропускания ФЧХ

9

путем преобразования структурных схем ФНЧ и ФВЧ с линейными в полосе пропускания ФЧХ.

6. Разработаны структурные схемы цифровых перестраиваемых по частоте частотных дискриминаторов на основе комплексных цифровых полосовых фильтров.

Достоверность разработанных в диссертационной работе методик синтеза подтверждается результатами схемотехнического моделирования, апробацией основных результатов на международных и российских научно-технических конференциях, публикацией основных результатов в научно-технических журналах и сборниках.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Последовательная и параллельная структурные схемы комплексных цифровых фильтров могут быть рассчитаны по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа и реализованы на базе звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами.

2. Цифровые вещественные и комплексные КИХ-фильтры с линейными ФЧХ можно рассчитывать на основе аналоговых НЧ-прототипов.

3. Используя цифровые комбинированные БИХ-КИХ фильтры с почти линейной ФЧХ, можно обеспечить число умножений и сложений при реализации практически в два раза меньше, чем при КИХ реализации.

4. В комплексных фильтрах, построенных с использованием комплексных задержек, можно перестраивать центральную частоту, путем изменения всего двух вещественных коэффициентов, что позволяет создать на их основе следящие частотные дискриминаторы. Практическая значимость работы обусловлена разработкой

удобных для использования в инженерной практике методик расчета

комплексных цифровых фильтров. Результаты моделирования позволяют

говорить о возможности реализации комплексных цифровых фильтров с

линейными ФЧХ при уменьшенном количестве операции умножения и

сложения. Составлена таблица НЧ-прототипов в виде суммы передаточных

10

функции первого порядка с комплексными коэффициентами. Эти НЧ-прототипы позволят проводить расчета параллельных структурных схем на базе звеньев первого порядка. Результаты работы используются в курсе лекций по дисциплине «Методы и устройства цифровой обработки сигналов», а также при курсовом и дипломном проектировании на кафедре «Формирования и обработки радиосигналов» (ФОРС) НИУ «МЭИ».

Апробация результатов работы. По основным результатам работы сделано 7 докладов на международных научно-технических конференциях.

Публикации по теме диссертационной работы. Основные результаты диссертации изложены в 10 печатных работах, среди которых 3 статьи опубликованы в научно-технических журналах, входящих в список ВАК (1 статья в журнале « Радиотехника» и 2 статьи в журнале «Вестник МЭИ»).

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛОСОВЫХ И РЕЖЕКТОРНЫХ ФИЛЬТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СМЕЩЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ФНЧ И ФВЧ

В настоящее время основным методом проектирования цифровых БИХ-фильтров по НЧ-прототипам можно считать метод обобщенного билинейного преобразования (ОБП) [1,53]. Используя метод ОБП, передаточную функцию цифрового БИХ-фильтра Т^) можно получить, сделав соответствующую замену переменной s(z) в дробно-рациональной функции НЧ-прототипа Т^). Передаточная функция Т^) может быть приведена к дробно-рациональному виду и реализована в виде канонической структурной схемы. Пусть, например,

-1 -2 -3 -4 -5

а0 + а12 + а2 2 + а3 2 + а4 2 + а5 2

Г(2) = . и -1 и - 2 и -3 и -4 и -5 . (1Л)

1 + 612 1 +Ь 2 2 2 + Ь3 2 3 + Ь4 2 4 + Ь5 2 5 Тогда каноническая структурная схема будет иметь следующий вид:

Рис. 1.1. Каноническая структурная схема Передаточные функции НЧ-прототипов Т^) можно представить в виде произведения или суммы звеньев первого и второго порядка, что позволяет получить последовательную и параллельную структурные схемы цифровых фильтров, осуществив замену переменной s(z) в функциях НЧ-прототипов звеньев первого и второго порядков. Рассмотрим процедуру расчета структурных схем цифровых звеньев по прототипам первого и второго порядков.

Обобщенные передаточные функции НЧ-прототипов первого и второго порядков имеют вид:

2

Т (5) _ а10 + а115 т ( ч _ а20 + а215 + а225

1 V ' 7 7 ' 2 V / 7 7 2'

ь20 + ь215 + ь22 5

Формулы замены переменных для ФНЧ и ФВЧ приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Формулы замены переменных

Тип фильтра Формула замены Параметры замены

ФНЧ 5 = у*1 - z) 5 = (1 + z -) у = ctg(mvn)

ФВЧ 5 = у(1 + z-' ) 5 = (1 - z -) У = g (nW)

Для описания цифровых фильтров, в работе используются различные частоты: циклическую частоту f в Гц, круговую частоту а в рад/с, цифровую частоту ф в рад и безразмерную нормированную частоту w. Эти частоты связаны между собой следующим соотношение,

ф _ 2ш _ wT,

где Т - период дискретизации, w - нормированная цифровая часта.

w _ с _ f

сд /д'

где сс и /д - соответствующее частоты дискретизации.

После замены переменной, соответствующей ФНЧ,

(1 - z"1)

5 = у •---р- , где у = ctg (nw п ), получим

(1 + z _1)

T( z)

аю + auz 1 _ Я10 + Äuz 1

ß + ßnz- 1 + Suz-1

—1 —2 — 1 —2 T ( z) = a20 + a21z + a22z = Я20 + ^21z + Я22z 12 \z) ~ -1 IT_ -1 -2 '

ß20 + ß21Z+ ß22 Z"2 1 + ¿21Z+ ¿22 Z "2

«10 = (а10 + апУ1«п = (а10 -аиУ1 Рю = (Ь10 + b1l/),Ри = (Ь10 -b1l/),

«20 = («20 + «21/ + а22У2Х «21 = (2«20 + «22 = («20 - «21^ + «УХ

Р20 = (Ь20 + Ь2\У + Ь2272 \ Р21 = (2Ь20 + 2Ь22Г'),Р22 = (Ь20 - Ь2^ +

_ «10 2 А10 _ г, 'А11

«

11

Р

10

Р

,8

10

Р

10

2 = «20 1 = «21 2 = «22 £ = Р21 £ = Р22

20 р ' Л21 Р ' 22 Р ' 21 Р ' 22 Р •

20 20 20 20 20

Структурная схема, реализующая передаточную функцию Т1(2) показана на рис. 1.2.

- £11

Рис.1.2. Звено первого порядка ФНЧ Структурная схема, реализующая передаточную функцию Т2(2) показана на рис.1.3.

- 8-

Рис.1.3. Звено второго порядка ФНЧ

После замены переменной, соответствующей ФВЧ, (1 + 2")

5 = / •

Т1( 2 )

(1 - 2Ч)

, где / = tan( ^ П ), получим

«10 «112

Р10 - Р112 1

^10 - Л12-

1 - 81124

-1 -2 «20 - «212 + «222

Я20 - 2212 1 + Я22 2

Р20 - Р212^ + Р222'2 1 - 8212 ^ + 8

2

2

«10 = («10 + ацГ),«ц = К + «пГХ 010 = (Ь10 + ЬпГХ Ри = (Ь10 + ЬпГХ «20 = («20 + «21/ + «22/2),«21 = (2«20 + ^Г^« = («20 - «Т.Г + ОзГ^

020 = (Ь20 + КГ + КГ^ 021 = (2Ь20 + 2Ь22Г'),Р22 = (Ь20 - К/ +

2

«10 ^ = «11 £ = Р11

0

010

01

2 = «20 1 = «21 2 = «22 X = Р21 X = 022

20 0 ' Л21 0 ' 22 0 ' 21 0 ' 22 0 •

20 20 20 20 20

Структурная схема, реализующая передаточную функцию Т показана на рис. 1.4.

*п

Рис.1.4. Звено первого порядка ФВЧ Структурная схема, реализующая передаточную функцию Т2^) показана на рис.1.5.

2

Вход

I

- 2.

7-1 7-1

2

I

Выход

- Х 22

Рис.1.5. Звено второго порядка ФВЧ Отметим, что вид структурных схем ФНЧ и ФВЧ будет одинаковым. Они отличаются только параметрами связей, которые надо рассчитывать по приведенным выше формулам.

1.1.Метод смещения частотных характеристик

частотных характеристик дискретного ФНЧ (ФВЧ) по частоте путем замены переменной о на (о-у) [1,2]. Будем считать, что смещение у -положительное число. Тогда для смещения в область отрицательных частот о надо заменить на (о + у). При смещении форма частотной характеристики сохраняется. При этом полоса пропускания полосового (режекторного) фильтра будет равна удвоенному значению граничной частоты полосы пропускания ФНЧ (ФВЧ).

Если передаточная функция исходного дискретного ФНЧ (ФВЧ) дробно-рациональная с вещественными коэффициентами

.-1 , , _ _-" X«2

-п

. а + «^ +... + а 2" ,,

Т(2)= 1° , -1-= -, (1.2)

Ь + Ь2 + ... + Ьп2 УЬ1-П

п

п=0

то после замены переменной г 1 на е]2луг~1, получим передаточную функцию с комплексными коэффициентами, соответствующую смещенным в область положительных частот частотным характеристикам:

X апв]пуТ2-п X [«„ 0С8(пуТ) + ]ап 8т(пуТЖ"

Т (2) = ^-= ^-. (1.3)

N

X Ьпв]пуТ2-п X [Ьп со^пуТ) + А зт( пуТ Ж

- е ,

пп

п=0

Полученная передаточная функция с комплексными коэффициентами может быть реализована в виде структурной схемы путем использования либо метода преобразования передаточной функции, либо метода комплексной арифметики.

1.2. Метод преобразования передаточной функции

Преобразуем функцию Т(г)(1.3):

N N N

X апепуТ2 п X «п сов(пуТ)2-п + 7■X «п яп(пуТ)2-п ^ ( ) + .

Т( _) = п=0_ = п=0_п=0_ = А1 (2) + (2)

N N N

XЬпе]пуТ 2-п XЬп соъ(пуТ)2-п + ■ XЬп зт(пуТ)2-п 2) + ^2)

п=0 п=0 п=0

Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

= [4(z) + jA2(z)].[д1(z) - ]В2(z)] В12( z) + УВ22( z)

_ 4( z) В1( z ) + А2( z ) В2( z ) + .Аг( z) В1( z) - 4( z ) В2( z ) = Т (z) + (z)

В12( z) + В22( z)

В12( z) + В22( z)

где Т1(г) и Т2(г) _ дробно-рациональные функции 2^го порядка с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим пример построения структурной схемы, реализующей КДФ, на основе ФНЧ второго порядка. Тогда функции Т1(г)и Т2(г) будут

иметь четвертый порядок:

Т1( г ) =

Тг( г)

-1 -2 -3 -4

а10 + а11 г + а12 г + а13 г + а14г

1 + Ьг -1 +Ь ^ 2 + Ыг 3 + Ьлг 4

-1 -2 -3 ^

а20 + «21г + «22 г + «23 г + «24 г

1 + Ь1г - +Ь2 г" 2 + Ь3 г "3 + Ь4 г "4

, (1.4)

. (1.5)

Структурная схема рекурсивного комплексного цифрового фильтра, преобразующего вещественный сигнал в комплексный, показана на рис.1.6.

Рис.1.6. Преобразование вещественного сигнала рекурсивным комплексным

цифровым фильтром

Рис.1.7. Преобразование комплексного сигнала рекурсивным комплексным

цифровым фильтром Отметим, что описанный метод при изменении центральной частоты фильтра требует пересчета большого числа параметров структурной схемы, что приводит к существенному увеличению объема памяти при реализации перестраиваемых по частоте комплексных фильтров.

1.3. Метод комплексной арифметики

Используя метод смещения частотной характеристики цифрового ФНЧ (ФВЧ) второго порядка, мы получим передаточную функцию полосового комплексного фильтра Т(2), которая будет содержать комплексные коэффициенты

1-/Т -1 /2уТ -2 -1 -2 . а0 + алеп 2 + ае ' 2 а0 + а'2 + а22 _ Т(2) = —-^-;-2 .п т-тт = —-- ,, . (1.6)

ь0+ье 2-1+ъ2ез 2-2 1+ь12- + Ь22-2

, где а 0 = а1 = е/уТ, «2 = «2 е2уТ, Ь1 = Ъ е/уТ, Ь2 = - е/2уТ Ь0 Ь0 Ь0 Ь0 Ь0

а0 = а01 + /«02 , «1 = а11 + / «12 , а2 = а21 + /«22 , Ь1 = Ь11 + /Ь12 , Ь2 = Ь21 + /Ь22

= «Чт/Т, Ь11 = —cosгT , Ь12 = bЬ-sinгT, Ь21 = —cosгT, Ь22 = —sm гТ. Ь0 Ь0 Ь0 Ь0 Ь0

Операция умножения комплексного сигнала на комплексный

коэффициент реализуется с помощью четырех перемножителей и двух

сумматоров, что отражено на рис.1.8.

(а1 + ja2)*(xl + jx2) = (а1 Х1 - а2 Х2) + j (а1 Х2 - а2 Х1)

Рис.1.8. Структурная схема комплексной арифметики Реализуем каноническую схему с комплексными коэффициентами. Она будет содержать четыре сумматора для суммирования вещественных и мнимых составляющих сигналов.

Используя граф операции умножения на комплексный коэффициент, получим структурную схему комплексного фильтра, содержащую арифметические операции с вещественными числами. Она показана на рис.1.9.

Отметим, что описанный метод при изменении центральной частоты фильтра требует пересчета большого числа параметров структурной схемы, что приводит к существенному увеличению объема памяти при реализации перестраиваемых по частоте комплексных фильтров.

1.4. Метод комплексной задержки

Метод комплексной задержки предполагает непосредственное преобразование структурной схемы ФНЧ (ФВЧ) в структурную схему комплексного фильтра путем замены задержек на комплексные задержки и введении дополнительных сумматоров для обеспечения суммирования вещественных и мнимых составляющих сигналов [14]. При этом значения прямых и обратных связей сохраняются. После замены переменной г 1 на е]ф° г -1 получим передаточную функцию комплексной задержки:

К (г) = г(м?)-

К (г) = (ео8ф0 + у'8тф0) г , где е] Фо = соф + у'8тф0, ф0 = 2яи>0.

Структурная схема комплексной задержки показана на рис. 1.10.

Рис.1.10. Структурная схема комплексной задержки

Каноническая структурная схема ФНЧ (ФВЧ), соответствующая

-1 -2

-л т( \ а0+ а12 + а22 111

передаточной функции: Т (г) = —--, показана на рис. 1.11.

1 + Ь г + Ь2 г

Структурная схема комплексного полосового (режекторного) фильтра, реализованная методом комплексной задержки, показана на рис. 1.12.

-ъ2 ао

- а!

1 V г«08 ф0 ста ф0 7"1 а2 Выход 1

Вход 1

Вход 2

С

X

^йг

-ъ,

- 8111 ф 81П (

сОв ф0

X

г-1

С08 ф0

X

г-1

а2

а!

ао

Выход 2

Рис.1.12. Структурная схема комплексного полосового (режекторного) фильтра, реализованная методом комплексной задержки

Отметим, что изменяя два коэффициента в комплексных задержках, можно обеспечить перестройку комплексного фильтра по частоте без изменения формы АЧХ.

Пример 1. Расчёт цифрового комплексного полосового фильтра третьего порядка с последовательной структурной схемой

В нашем случае используем такие исходные данные: 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде произведения сомножителей:

1 82 + 5,97635763

Т («)

-х

(8 +1,134319) (82 + 0,933378 +1,05874074 ) 2. Параметры комплексного полосового фильтра:

Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса А W= 0,2. Методика расчета.

АW

2. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФНЧ с последовательной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида (1 - z_1)

S = / , где у = ctg(жсоп) = 3,07768354.

В результате подстановки получим произведение передаточных

функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

_ ч 0,23741676 + 0,23741676z1

T(z) =----

1 - 0,46138731z1

1,15257211 - 0,52162194z 1 + 1,15257211z- 2 " 1 - 1,25540327z 1 + 0,57136289z-2 "

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему

Рис.1.13. Структурная схема цифрового ФНЧ АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис. 1.14.

Рис.1.14. АЧХ ФНЧ Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте

полосового фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимо

заменить переменную г 1 на в]Фо z \ Мы получим передаточную функцию с

комплексными коэффициентами:

ч 0,23741676 + 0,23741676е:^ 1

Т( Г ) =-:-:--

1 - 0,46138731е:^ 1

1,15257211 - 0,52162194е^ 1 + 1,15257211е:2^ 2 ' 1 - 1,25540327е^-1 + 0,57136289е:2^-2 .

Мы смещаем вправо на частоту w0 =0,25, тогда

Л* Я ]ф0

ф0 = а е = ] .

В результате мы получим следующую передаточную функцию,

Т( г) =

0,23741676 + ] 0,23741676z 1 1 - ] 0,4613873к 1

1,15257211-y0,52162194z 1 - 1,152572Ш 2 ' 1 - у1,25540327г 1 - 0,57136289г 2 .

Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплексной арифметики. Структурная схема полосового комплексного фильтра показана на рис.1.15.

Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

= ч 0,23741676 + ] 0,34695784/ 1 - 0,10954108г-2

Т( 2 ) = —---^--

1 + 0/-1 + 0,21287825/-2

1,15257211 + ]0,92532086/-1 -1,15626315/-2 - ;1,14890738г-3 + 0,65853693/4

' 1 + 0/-1 + 0,43331159/-2 + 0/-3 + 0,32645555/-4 .

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему.

Рис.1.16. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций) Ранее мы получили передаточную функцию ФНЧ в виде произведения передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в

соответствие структурную схему ФНЧ, (рис.1.13). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного полосового фильтра на базе комплексных задержек. Такая схема для сдвига на четверть частоты дискретизации будет иметь следующий вид (рис.1.17).

Рис.1.17. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка

(метод комплексной задержки) АЧХ таких схемах, полученная путем схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис. 1.18.

Пример 2. Расчёт цифрового комплексного режекторного фильтра третьего порядка с последовательной структурной схемой

В нашем случае используем следующие исходные данные: 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде произведения сомножителей:

1 s2 + 5,97635763

Т («)

■ х

^ +1,134319) + 0,93337s +1,05874074)

2. Параметры комплексного режекторного фильтра:

Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса А W= 0,2. Методика расчета.

АЖ

1. Определяем параметры ФВЧ: Т0 = 1 , Wп=^- = 0,1.

3. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФВЧ с последовательной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида

5 = х(1 + 2 1) , где х = tan(ж(on) = 0,3249197. (1 - 2 ) "

В результате подстановки получим произведение передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

вд=-

0,68528884 - 0,685288842-1 4,14417919 - 8,000612492-1 + 4,144179192-

1 - 0,554672312-

1 -1,298962152-1 + 0,586708052- 2

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему

2

АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.20.

Рис.1.20. АЧХ ФВЧ

Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых

смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте

режекторного фильтра. Для этого в передаточной функции Т(ъ) необходимо

заменить переменную 2 1 на е]Ф° г \ Получим передаточную функцию с

комплексными коэффициентами:

- . 0,68528884 - 0,68528884е№ ъ 1 Т(2) = —

-1

1 - 0,55467231е№ъ 4,14417919 - 8,00061249етъ 1 + 4,14417919е^0ъ 2 ' 1 - 1,29896215етъ 1 + 0,58670805е^0ъ 2 '

Смещаем частотные характеристики вправо на частоту w0 =0,25, тогда ф0 = ^ а е'ф° = У .

В результате получим следующую передаточную функцию:

Т(ъ) =

0,68528884- у0,68528884ъ 1 - у0,55467231ъ 1

4,14417919 - у8,00061249ъ 1 - 4,14417919ъ

.-2

1 - у1,29896215ъ 1 - 0,58670805ъ Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплексной арифметики. Структурная схема режекторного комплексного фильтра показана на рис.1.21. АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.22.

2

Рис.1.21. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод комплексной арифметики)

язп дттнмрттг. рдмпятпр Лл/грпс*;1! пир

Рис. 1.22. АЧХ РФ для метода комплексной арифметики

Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

Т( 2) =

0,68528884- ./0,30517805/ 1 + 0,38011074ъ2 1 + 0ъ-1 + 0,30766137ъ-2

4,14417919- /2,617480571ъ- + 3,81689032ъ-2 -/0,68910816ъ'3 + 2,43142329ъ 4 ' 1 + 0ъ-1 + 0,51388657ъ-2 + 0ъ-3 + 0,34422634ъ-4 .

Такой передаточной функции можно поставить, в соответствие

следующую структурную схему.

Рис.1.23. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций)

АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результате

схемотехнического моделирования совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.22.

29

Ранее мы получили передаточную функцию ФВЧ в виде произведения передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему ФВЧ, (рис.1.19). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного режекторного фильтра на базе комплексных задержек. Для сдвига на четверть частоты дискретизации, такая схема будет иметь следующий вид (рис.1.24).

Рис.1.24. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка

(метод комплексной задержки)

АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результате схемотехнического моделирования совпадает с показанной на рис. 1.22.

Пример 3. Расчёт цифрового комплексного полосового фильтра третьего порядка с параллельной структурной схемой

1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде суммы передаточной функции:

T ( 5 )

5.6447847

+

-4.70399155 s

(s +1.134319) (s2 + 0.93337s +1.05874074) 2. Параметры комплексного полосового фильтра:

Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса А W= 0,2. Методика расчета.

AW

1. Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1 , Wn=^- = 0,1.

2. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФНЧ с параллельной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сое Минн Тху, 2017 год

- а!

1 V г«08 ф0 ста ф0 7"1 а2 Выход 1

Вход 1

Вход 2

С

X

^йг

-ъ,

- 8111 ф 81П (

сОв ф0

X

г-1

С08 ф0

X

г-1

а2

а!

ао

Выход 2

Рис.1.12. Структурная схема комплексного полосового (режекторного) фильтра, реализованная методом комплексной задержки

Отметим, что изменяя два коэффициента в комплексных задержках, можно обеспечить перестройку комплексного фильтра по частоте без изменения формы АЧХ.

Пример 1. Расчёт цифрового комплексного полосового фильтра третьего порядка с последовательной структурной схемой

В нашем случае используем такие исходные данные: 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде произведения сомножителей:

1 82 + 5,97635763

Т («)

-х

(8 +1,134319) (82 + 0,933378 +1,05874074 ) 2. Параметры комплексного полосового фильтра:

Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса А W= 0,2. Методика расчета.

АW

2. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФНЧ с последовательной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида (1 - z_1)

S = / , где у = ctg(жсоп) = 3,07768354.

В результате подстановки получим произведение передаточных

функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

_ ч 0,23741676 + 0,23741676z1

T(z) =----

1 - 0,46138731z1

1,15257211 - 0,52162194z 1 + 1,15257211z- 2 " 1 - 1,25540327z 1 + 0,57136289z-2 "

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему

Рис.1.13. Структурная схема цифрового ФНЧ АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис. 1.14.

Рис.1.14. АЧХ ФНЧ Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте

полосового фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимо

заменить переменную г 1 на в]Фо z \ Мы получим передаточную функцию с

комплексными коэффициентами:

ч 0,23741676 + 0,23741676е:^ 1

Т( Г ) =-:-:--

1 - 0,46138731е:^ 1

1,15257211 - 0,52162194е^ 1 + 1,15257211е:2^ 2 ' 1 - 1,25540327е^-1 + 0,57136289е:2^-2 .

Мы смещаем вправо на частоту w0 =0,25, тогда

Л* Я ]ф0

ф0 = а е = ] .

В результате мы получим следующую передаточную функцию,

Т( г) =

0,23741676 + ] 0,23741676z 1 1 - ] 0,4613873к 1

1,15257211-y0,52162194z 1 - 1,152572Ш 2 ' 1 - у1,25540327г 1 - 0,57136289г 2 .

Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплексной арифметики. Структурная схема полосового комплексного фильтра показана на рис.1.15.

Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

= ч 0,23741676 + ] 0,34695784/ 1 - 0,10954108г-2

Т( 2 ) = —---^--

1 + 0/-1 + 0,21287825/-2

1,15257211 + ]0,92532086/-1 -1,15626315/-2 - ;1,14890738г-3 + 0,65853693/4

' 1 + 0/-1 + 0,43331159/-2 + 0/-3 + 0,32645555/-4 .

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему.

Рис.1.16. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций) Ранее мы получили передаточную функцию ФНЧ в виде произведения передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в

соответствие структурную схему ФНЧ, (рис.1.13). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного полосового фильтра на базе комплексных задержек. Такая схема для сдвига на четверть частоты дискретизации будет иметь следующий вид (рис.1.17).

Рис.1.17. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка

(метод комплексной задержки) АЧХ таких схемах, полученная путем схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис. 1.18.

Пример 2. Расчёт цифрового комплексного режекторного фильтра третьего порядка с последовательной структурной схемой

В нашем случае используем следующие исходные данные: 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде произведения сомножителей:

1 s2 + 5,97635763

Т («)

■ х

^ +1,134319) + 0,93337s +1,05874074)

2. Параметры комплексного режекторного фильтра:

Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса А W= 0,2. Методика расчета.

АЖ

1. Определяем параметры ФВЧ: Т0 = 1 , Wп=^- = 0,1.

3. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФВЧ с последовательной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида

5 = х(1 + 2 1) , где х = tan(ж(on) = 0,3249197. (1 - 2 ) "

В результате подстановки получим произведение передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

вд=-

0,68528884 - 0,685288842-1 4,14417919 - 8,000612492-1 + 4,144179192-

1 - 0,554672312-

1 -1,298962152-1 + 0,586708052- 2

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему

2

АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.20.

Рис.1.20. АЧХ ФВЧ

Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых

смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте

режекторного фильтра. Для этого в передаточной функции Т(ъ) необходимо

заменить переменную 2 1 на е]Ф° г \ Получим передаточную функцию с

комплексными коэффициентами:

- . 0,68528884 - 0,68528884е№ ъ 1 Т(2) = —

-1

1 - 0,55467231е№ъ 4,14417919 - 8,00061249етъ 1 + 4,14417919е^0ъ 2 ' 1 - 1,29896215етъ 1 + 0,58670805е^0ъ 2 '

Смещаем частотные характеристики вправо на частоту w0 =0,25, тогда ф0 = ^ а е'ф° = У .

В результате получим следующую передаточную функцию:

Т(ъ) =

0,68528884- у0,68528884ъ 1 - у0,55467231ъ 1

4,14417919 - у8,00061249ъ 1 - 4,14417919ъ

.-2

1 - у1,29896215ъ 1 - 0,58670805ъ Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплексной арифметики. Структурная схема режекторного комплексного фильтра показана на рис.1.21. АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.22.

2

Рис.1.21. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод комплексной арифметики)

язп дттнмрттг. рдмпятпр Лл/грпс*;1! пир

Рис. 1.22. АЧХ РФ для метода комплексной арифметики

Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

Т( 2) =

0,68528884- ./0,30517805/ 1 + 0,38011074ъ2 1 + 0ъ-1 + 0,30766137ъ-2

4,14417919- /2,617480571ъ- + 3,81689032ъ-2 -/0,68910816ъ'3 + 2,43142329ъ 4 ' 1 + 0ъ-1 + 0,51388657ъ-2 + 0ъ-3 + 0,34422634ъ-4 .

Такой передаточной функции можно поставить, в соответствие

следующую структурную схему.

Рис.1.23. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций)

АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результате

схемотехнического моделирования совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.22.

29

Ранее мы получили передаточную функцию ФВЧ в виде произведения передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему ФВЧ, (рис.1.19). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного режекторного фильтра на базе комплексных задержек. Для сдвига на четверть частоты дискретизации, такая схема будет иметь следующий вид (рис.1.24).

Рис.1.24. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка

(метод комплексной задержки)

АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результате схемотехнического моделирования совпадает с показанной на рис. 1.22.

Пример 3. Расчёт цифрового комплексного полосового фильтра третьего порядка с параллельной структурной схемой

1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде суммы передаточной функции:

T ( 5 )

5.6447847

+

-4.70399155 s

(s +1.134319) (s2 + 0.93337s +1.05874074) 2. Параметры комплексного полосового фильтра:

Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса А W= 0,2. Методика расчета.

AW

1. Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1 , Wn=^- = 0,1.

2. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФНЧ с параллельной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида

(1 - z _1)

S = А-^ , где х = ctg(с) = 3,07768354.

(1 + z )

В результате подстановки получим сумму передаточных функций

первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

^ ч 1,3401665 + 1,3401665z-1 -1,08012114 + 1,08012114z 2 T(z) =-:-+ ■

1 - 0,46138731ъ 1 1 - 1,25540327ъ 1 + 0,57136289ъ 2 Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему (рис.1.25).

АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис. 1.26.

Рис.1.26. АЧХ ФНЧ

Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых

смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте

полосового фильтра. Для этого в передаточной функции Т(2) необходимо

заменить переменную 2 1 на взФ* 7 \ Мы получим передаточную функцию с

комплексными коэффициентами

- ч 1,3401665 + 1,3401665ет2 1

Т(2) = -:-:-+

1 - 0,46138731ет2 1

-1,°8°12114 +1,08012114е^02- 2 +-------

1 - 1,25540327ет2 1 + 0,57136289е^02 2 Мы смещаем вправо на частоту w° =0,25, тогда

ф° =а у = у.

В результате мы получим следующую передаточную функцию,

- ч 1,3401665 + /1,340166521 -1,08012114 -1,080121142 2 т(2) = —:—-1— + ■

1 - у0,461387312 1 1 - у1,255403272 1 - 0,571362892- 2

-1.08012114

Рис.1.27. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка (метод комплексной арифметики)

Рис. 1.28. АЧХ ПФ для метода комплексной арифметики

Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

= ч 1,3401665+ /1,95850232т1 - 0,61833582ъ-2

Т(г) = ---—2-+

1 + 0ъ-1 + 0,21287825ъ-2

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему, показанную на рис.1.29.

Рис.1.29. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций)

АЧХ комплексного полосового фильтра, полученная в результате схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.28.

Ранее мы получили передаточную функцию ФНЧ в виде сумму передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему ФНЧ, (Рис.1.25). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного полосового фильтра на базе

комплексных задержек. Такая схема, рассчитанная для сдвига на четверть частоты дискретизации, будет иметь следующий вид (рис. 1.30).

Рис.1.30. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка

(метод комплексной задержки) АЧХ представленной схемы, полученная путем схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.28. Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета.

Пример 4. Расчёт цифрового комплексного ржекторного фильтра третьего порядка с параллельной структурной схемой

В нашем случае используем следующие исходные данные:

1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде

суммы передаточной функции:

5.6447847 -4.70399155 s

Т (^) =-+ —-

^ +1.134319) + 0.93337 s +1.05874074 )

Методика расчета.

АЖ

1. Определяем параметры ФВЧ: Т0 = 1 , Wп=^— = 0,1.

2. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФВЧ с параллельной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида

5 = у , где у = tan(n(o ) = 0,3249197.

(1 - * ) "

В результате подстановки получим сумму передаточных функций

первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.

^ ч 3,86830798- 3,86830798-1 -1,04145294 + 1,04145294 2 т(г) =-:-+

1 - 0,554672317-1 1 -1,298962157-1 + 0,586708057 2

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему

Рис.1.31. Структурная схема цифрового ФВЧ АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.32.

Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых

смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте

режекторного фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимо

заменить переменную г 1 на в]Фо z \ Мы получим передаточную функцию с

комплексными коэффициентами

- 3,86830798 -3,86830798ет2 Т(Х) =-:-:-+

+ -

1 - 0,55467231ет2 -1 -1,04145294 + 1,04145294е^°2 - 2

1 -1,29896215ет2 1 + 0,58670805е^"2-

Мы смещаем вправо на частоту w0 =0,25, тогда

п

ф0 = а е

] .

В результате мы получим следующую передаточную функцию,

- . 3,86830798 - /3,868307982-1 -1,04145294 -1,041452942-

Т(г) =---:-+

1 - /0,554672312 1

1 - /1,298962152-1 - 0,586708052-

Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплексной арифметики. Структурная схема режекторного комплексного фильтра показана на рис.1.33.

2

2

АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис. 1.34.

Рис. 1.34. АЧХ РФ для метода комплексной арифметики

Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами.

= ч 3,86830798 - /1,722664652 1 + 2,145643322 2

т(г) = --^-Ч-+

+

1 + 02 1 + 0,307661372-2 -1,04145294- /1,352807952 1 - 0,430424122 2 -у1,352807952"3 + 0,611028822-

1 + 02 1 + 0,513886572-2 + 02-3 + 0,344226342-4

Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему (рис.1.35).

4

Рис.1.35. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций)

АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результате схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.34.

Ранее мы получили передаточную функцию ФВЧ в виде сумму передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему ФВЧ, (Рис.1.31). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного режекторного фильтра на базе комплексных задержек. Такая схема для сдвига на четверть частоты дискретизации будет иметь следующий вид (рис. 1.36).

Рис.1.36. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка

(метод комплексной задержки)

АЧХ такой схемы, полученная путем схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.34. Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета.

1.5. Сравнение методов по числу арифметических операций

В работе рассмотрены варианты реализации передаточной функции комплексного полосового и режекторного фильтров инверсного Чебышева с НЧ-прототипами от второго до пятого порядков методом преобразования передаточной функции, методом комплексной арифметики и методом комплексной задержки. Проведено сравнение вариантов реализации по числу операций сложения и умножения, а также по числу операций задержки на такт. Три структурные схемы сравнивались по количеству сумматоров с двумя входами, умножителей на вещественное число и элементов задержки. Результаты подсчета сведены в таблицы.

Табл.1.2. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом второго порядка

с последовательной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 8 4 4

Количество сумматоров 24 12 16

Количество усилителей 26 18 18

Табл.1.3. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом третьего порядка

с последовательной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 12 6 6

Количество сумматоров 36 18 24

Количество усилителей 40 28 28

Табл.1.4. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом четвертого порядка

с последовательной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 16 8 8

Количество сумматоров 48 24 32

Количество усилителей 52 36 36

Табл.1.5. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом пятого порядка

с последовательной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 20 10 10

Количество сумматоров 60 30 40

Количество усилителей 66 46 46

Табл.1.6. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом второго порядка

с параллельной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 8 4 4

Количество сумматоров 24 12 16

Количество усилителей 26 18 18

Табл.1.7. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом третьего порядка

с параллельной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 12 6 6

Количество сумматоров 38 20 26

Количество усилителей 40 28 28

Табл.1.8. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом четвертого порядка

с параллельной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 16 8 8

Количество сумматоров 50 26 34

Количество усилителей 52 36 36

Табл.1.9. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом пятого порядка

с параллельной структурной схемой

Методы Элементы Комплексная передаточная функция Комплексная задержка Комплексная арифметика

Количество задержек 20 10 10

Количество сумматоров 64 34 44

Количество усилителей 66 46 46

Анализ приведенных таблиц показывает, что метод преобразования передаточной функции приводит к структурным схемам, для реализации которых требуется примерно в 2 раза больше элементов задержки (объем памяти), двухвходовых сумматоров и умножителей, чем при реализации структурных схем, полученных с использованием метода комплексной арифметики и метода комплексной задержки. При этом в структурных схемах комплексных фильтров, полученных методом комплексной задержки, возможна перестройка центральной частоты полосового или режекторного фильтра путем изменения всего двух параметров.

1.6. Цифровые комплексные фильтры, перестраиваемые по частоте, на

базе комплексных задержек

Необходимость перестройки центральной частоты полосового или режекторного фильтра возникает достаточно часто. Перестройка центральной частоты осуществляется путем изменения коэффициентов цифровых фильтров [69,80]. Перспективным вариантом реализации перестраиваемых по частоте фильтров является вариант на базе комплексных задержек, который позволяет осуществлять перестройку частоты путем изменения всего двух коэффициентов [14].

Рассмотрим перестройку центральной частоты полосового и режекторного фильтров путем изменения параметров комплексной задержки. Первый параметр равен cos^0, а второй равен sin Рассмотрение рис.1.16, рис.1.22, рис.1.28 и рис.1.34 показывает, что центральная частота стала равной четверти частоты дискретизации, а форма АЧХ сохранилась. Результаты моделирования при четырех различных значениях W показаны на рис. 1.37, рис. 1.38.

ц(40)-Н*ц(44) v(95)+¡*v(99) v(150)+¡*v(154) v(205)+j*v(209)

F(Tn)

Рис.1.37. АЧХ цифровых комплексных полосовых фильтров с последовательной (параллельной) структурой, при различных значениях W0

Рис. 1.38. АЧХ цифровых комплексных режекторных фильтров с последовательной (параллельной) структурой, при различных значениях

Анализ рис. 1.37, рис.1.38, показывает, что при используемом способе перестройки центральной частоты форма АЧХ практически не изменяется.

Выводы по главе 1

1. Метод комплексной задержки и метод комплексной арифметики требуют существенно меньшего числа математических операций при реализации по сравнению с методом преобразования передаточной функции.

2. Метод комплексной задержки позволяет реализовать перестройку центральной частоты комплексного цифрового фильтра путем изменения всего двух коэффициентов в комплексных задержках, поэтому его можно считать предпочтительным.

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ ФНЧ И ФВЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КООРДИНАТ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ НЧ-ПРОТОТИПА

2.1. Последовательная структурная схема

Цифровые фильтры широко используются в цифровой обработке сигнала. Методы их расчета и реализации весьма разнообразны [27-38,45-57]. Наибольшее распространение получила последовательная структурная схема, состоящая из цифровых звеньев второго и четвертого порядков.

В диссертации предлагается способ расчета цифровых ФНЧ и ФВЧ по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа. При таком подходе можно использовать последовательную структурную схему, состоящую из звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами.

2.1.1. Расчет цифровых фильтров по значениям полюсов НЧ-

прототипа

Передаточная функция НЧ-прототипа может быть представлена в виде рациональной дроби [1]:

N

к

Н (?) = ^-. (2.1)

^ к

к=0

N

Корни уравнения = 0 называются нулями передаточной

к=0

функции.

N

Корни уравнения ^Ъ^ = 0 называются полюсами передаточной

к=0

T(s) = T0--—-Ц--—, (2.2)

(s - pJO - p2)(s - p. где p. - координаты полюсов на плоскости комплексной переменной s.

Координаты полюсов в большинстве случаев имеют комплексные значения. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно найти передаточную функцию ФНЧ (ФВЧ).

Пусть передаточная функция НЧ-прототипа ФНЧ (ФВЧ) звена первого порядка имеет следующий вид:

T (s) = —Ц, где p, = Ра + JPf2. (s - P t)

После замены переменной (ФНЧ):

s = у- ——, где - = ctg(nwu ), получим (1 + z~)

TV л 1 + z- г 1 + z'

T (z) =-г = Kt---, где

. (У - Р,) - (У + Р,)z- . 1 - Pz-

к,. =— = к ,1 + jKt 2 , р = = Pi + P.

У - Pt - - Pt

Такой передаточной функции Tj(z) можно поставить в соответствие следующую структурную схему (рис.2.1).

После замены переменной (ФВЧ):

(1 + , / ч

^ = -где / = ^(^п), получим

(1 - 2 )

Т ( 2 ) =

к

1 - 21

(/ - р ,) +(/ + р ,) 2 -

к 1 - 2 1 = к ■ , где

1 кл + }К2, Р = = Р + }Р2.

г! J г2 ? г „ г1 г2

/ - Рг

Рг

Такой передаточной функции Т¡(х) можно поставить в соответствие следующую структурную схему (рис.2.2).

Вход1 К

Выход1

Выход2

Рис.2.2. Структурная схема комплексного звена первого порядка

для ФВЧ

Отметим, что структурные схемы комплексных звеньев первого порядка для ФНЧ и ФВЧ одинаковые и отличаются только значениями коэф фициентов.

Схема фильтра будет состоять из последовательного соединения комплексных звеньев первого порядка, тогда можно ввести общий коэффициент равный произведению частных коэффициентов

К0 = К1 ' К2 ' К3...Кг...КМ

К г

1

(/ - р г У

Если р - вещественный полюс, тогда

К1 = -,—1—г = К1 , где К1 - вещественное число. V + Р1)

Если имеется пара комплексно-сопряженных полюсов, тогда

К • К =_1___1_=_1_= К

~2 _3 (V + Р21 - 7р22 ) (V + Р21 + 7р22 ) (V + Р21+ (Р22 ^ ^ '

где К23 - вещественное число

Если передаточная функция содержит вещественные полюсы и комплексно-сопряженные пары полюсов, то произведение коэффициентов К будет вещественным числом.

Рассмотрим примеры расчета цифровых ФНЧ и ФВЧ, подтверждающие работоспособность предложенного подхода.

Пример 1. Расчет цифрового ФНЧ с последовательной структурой по значениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка

Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета цифрового ФНЧ с использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка. Исходные данные.

1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде произведения сомножителей: 1 1 1

Т (=

-А) -Р2) -Рз) НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов [24]: р! = -1, р2 = -0^0.866025, р3 = -0.5^0.866025.

2. Параметры цифрового ФНЧ: Т0 = 1, нормированная полоса ЛЖ = 0,2. Методика расчета.

В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФНЧ с последовательной структурой. Сделаем в НЧ-прототипе замену переменных следующего вида:

(1 - 2 _1)

* = У 71—, где У = ctg(rnvu) = 3,077683 .

(1 + 2 )

Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получим произведение передаточных функций первого порядка с комплексными коэффициентами, определяющее передаточную функцию ФНЧ:

T(z) = 0,01809856 х

1 + z-1

1 + z1

1 - 0,50952545 z- 1 - (0,62525822 + j0,39341515 )z-1 1 + z1

1 - (0,62525822 - j0,39341515 )z-

Этой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему, показанную на рис.2.3.

Рис.2.3. Структурная схема ФНЧ с комплексными коэффициентами

X

X

1

Рис.2.4. АЧХ ФНЧ

Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета.

Пример 2. Расчет цифрового ФВЧ с последовательной структурой по значениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка

Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексного цифрового ФВЧ с использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка.

Исходные данные:

1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде

произведения сомножителей 1 1 1

Т (-) =

- Р1) - Р2) - Рз) НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов [24]: р1 = -1, р2 = -0.5+]0.866025, рз = -0.5-]0.866025.

2. Параметры цифрового ФВЧ: Т = 1, нормированная полоса ЛЖ = 0,2. Методика расчета.

В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФВЧ с последовательной структурой. Сделаем замену переменных следующего вида: (1 + 2 ^

^ = У--ц-, где у = (ям>п) = 0,3249197.

(1 - 2 )

Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получим произведение передаточных функций первого порядка с комплексными коэффициентами, определяющее передаточную функцию ФВЧ:

T(z) = 0,52742616 х

1 - z ~

1 -1 1-z

1 - 0,50952545z- 1 + (-0,62525822 + j0,39341515)z~

1

-z

1 + (-0,62525822 - j0,39341515)z-

Этой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему, показанную на рис.2.5.

Рис.2.5. Структурная схема ФВЧ с комплексными коэффициентами

X

X

Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета.

2.1.2. Расчет цифровых фильтров по значениям нулей и полюсов