Асимптотики решений задач обтекания несжимаемой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Гайдуков Роман Константинович

• Гайдуков Роман Константинович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Гайдуков Роман Константинович

Оглавление

Введение

§ 1. Общая характеристика работы

§ 2. Основные типы решений уравнений Навье–Стокса в

задачах обтекания полубесконечных поверхностей

Глава 1. Задача обтекания пластины с малыми

периодическими неровностями

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Существование, единственность и устойчивость

решения уравнения типа Рэлея в области позади

передней кромки

§ 3. Исследование уравнения типа Рэлея в области

передней кромки пластины

§ 4. Алгоритм численного решения и результаты его

использования

4.1. Алгоритм численного решения системы

уравнений тонкого пограничного слоя

4.2. Алгоритм численного решения уравнения типа Рэлея

Глава 2. Задача обтекания малой локализованной

неровности на пластине

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Формальное асимптотическое решение

§ 3. Алгоритм численного решения и результаты его

использования

3.1. Алгоритм численного решения системы

уравнений тонкого пограничного слоя

3.2. Результаты численного моделирования течения в

тонком пограничном слое

3

Глава 3. Задачи о течении жидкости внутри трубы

и двумерного канала с малыми

периодическими неровностями на стенках

§ 1. Постановка задачи о течении в трубе с малыми

периодическими неровностями на стенке

§ 2. Формальное асимптотическое решение задачи о

течении в трубе

§ 3. Алгоритм численного решения и результаты его

использования

3.1. Течение в тонком пограничном слое

3.2. Течение в толстом пограничном слое

§ 4. Задача о течении жидкости внутри двумерного

канала с малыми периодическими неровностями на

стенках

Заключение

Список литературы

4

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики решений задач обтекания несжимаемой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при больших числах Рейнольдса»

§ 1. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования и степень ее

разработанности

В диссертационной работе исследуется задача обтекания вяз-

кой несжимаемой жидкостью различных поверхностей с малыми

неровностями при больших числах Рейнольдса Re. В качестве об-

текаемых поверхностей рассматриваются:

1. полубесконечная пластина с малыми периодическими неров-

ностями на ней;

2. полубесконечная пластина с малой локализованной неровно-

стью типа горбика, ступеньки или излома в виде угла;

3. аксиально-симметричная труба и двумерный канал с малыми

периодическими неровностями на стенках.

Исследуемые задачи описываются уравнениями Навье–Стокса

и неразрывности (см., например, [19]):



 U, ∇ U = −∇p + ε2 4U,

(1)

 ∇, U = 0,

где U — двумерный или трехмерный вектор скорости, p — давление,

а ε = Re−1/2 — малый параметр. Система уравнений (1) дополняет-

ся граничными условиями прилипания к поверхности S:

U S

= 0, (2)

а также некоторыми другими краевыми условиями — условиями со-

гласования с внешним потоком, различными для каждой из рас-

сматриваемых задач, которые будут приведены в соответствующих

главах.

 5

В основе решения подобных задач лежит теория пограничного

слоя, которая впервые была предложена Л. Прандтлем [72] более

века назад. В рамках этой теории в тонкой пристеночной области

(которая и называется пограничным слоем) при большом значении

числа Рейнольдса можно перейти от уравнений Навье–Стокса, ко-

торые содержат малый параметр при старших производных, к урав-

нениям, не содержащим малого параметра, которые носят название

уравнений пограничного слоя Прандтля.

Вообще говоря, задачи обтекания поверхностей исследуются

достаточно давно, и в литературе широко известна трехпалубная

структура пограничного слоя, например, см. работы Ф.Т. Смита [79],

К. Стюартсона [89], В. Я. Нейланда [25], О. С. Рыжова [40], В. В. Сы-

чева [2] и другие, подробный обзор литературы приведен ниже в § 2

данного Введения.

В рамках трехпалубной структуры пограничный слой имеет

три разномасштабные области: «нижняя палуба» — тонкий при-

стеночный пограничный слой , «средняя палуба» — область клас-

сического пограничного слоя Прандтля, «верхняя палуба» — об-

ласть взаимодействия течения пограничного слоя с внешним по-

током. Взаимодействие устроено следующим образом. Возмущение

вязкого течения в нижней палубе, проходя через среднюю палубу

приводит к возмущению давления в верхней палубе, которое инду-

цирует градиент давления в нижней палубе. В пристеночной области

(т.е. в нижней палубе) течение описывается уравнениями Прандт-

ля, но с индуцированным давлением, т.е. градиент давления в них

не является заранее заданной величиной, как в теории Прандтля, а

определяется в процессе решения задачи во всей области.

Однако, наряду с классической трехпалубной структурой, су-

ществует еще и двухпалубная, впервые открытая в работе В. Г. Да-

нилова и М. В. Макаровой [49], но при масштабах неровностей, от-

личных от тех, которые приводят к трехпалубной структуре. Воз-

можность существования такой структуры была впоследствии под-

тверждена в работе Ж. Мосса [61]. В двухпалубной структуре отсут-

 6

ствует верхняя палуба, находящаяся над погранслоем Прандтля, ха-

рактерная для трехпалубной структуры, а все взаимодействие про-

исходит внутри классического пограничного слоя, не оказывая вли-

яние на внешний поток. В нижней палубе — тонком пристеночном

слое — течение так же, как и в трехпалубной структуре, описывается

уравнениями пограничного слоя Прандтля с самоиндуцированным

давлением. Однако, в средней палубе, т.е. области классического по-

граничного слоя, возмущение течения, возникающее из-за неровно-

стей на поверхности (точнее — из-за возмущения течения в нижней

палубе), описывается уравнением типа Рэлея, которое мало исследо-

вано в литературе, в частности, остается открытым вопрос о суще-

ствовании его решения. Отметим, что исследованию двухпалубной

структуры, помимо работ [49; 61], посвящены еще работы [85; 95;

96], которые будут подробно рассмотрены в § 2 данного Введения.

Цели и задачи диссертации

Целью данной диссертационной работы является исследование

условий существования двухпалубной структуры пограничного слоя

в задачах обтекания несжимаемой вязкой жидкостью поверхностей

с малыми неровностями при больших значениях числа Рейнольдса.

Задачи диссертационного исследования следующие.

1. Определение геометрических параметров неровностей на по-

верхности, приводящих к двухпалубной структуре погранич-

ного слоя в задачах о течении в трубах и каналах.

2. Построение формального асимптотического решения, имею-

щего двухпалубную структуру, для задачи обтекания пласти-

ны с малой локализованной неровностью и для задач о тече-

нии жидкости в аксиально-симметричной трубе и двумерном

канале с малыми периодическими неровностями на стенке при

больших числах Рейнольдса.

3. Определение условий существования стационарного решения и

исследование устойчивости этого решения для уравнения ти-

 7

па Рэлея, возникающего в области классического погранично-

го слоя Прандтля (на «верхней палубе» пограничного слоя c

двухпалубной структурой).

Отметим, что целью диссертационного исследования являет-

ся построение формальных асимптотических решений рассматри-

ваемых задач, а не обоснование асимптотики. Задача обоснования

асимптотики эквивалентна (или даже сложнее) доказательству су-

ществования и гладкости решения уравнений Навье–Стокса в неогра-

ниченной области, входящей в список нерешенных «Задач тысяче-

летия».

Также отметим, что при асимптотическом анализе задача с ма-

лым параметром всегда сводится к какой-то серии задач, не содер-

жащих малого параметра, и задачи из этой серии могут либо иметь

явное аналитическое решение, либо могут допускать только ком-

бинацию аналитического и численного исследований. В.П. Маслов

неоднократно подчеркивал, что второй класс задач не менее важен,

чем первый, и именно с такой ситуацией мы имеем дело в этой ра-

боте.

Научная новизна

В диссертационной работе представлены новые методы иссле-

дования математической задачи, описывающей обтекание несжима-

емой вязкой жидкостью поверхностей с малыми неровностями при

больших числах Рейнольдса.

Положения, выносимые на защиту

1. Определены характерные масштабы (степени малого парамет-

ра, входящие в решение), приводящие к двухпалубной струк-

туре, и получено формальное асимптотическое решение задачи

о течении жидкости в аксиально-симметричной трубе и дву-

мерном канале с малыми периодическими неровностями на

стенке, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.

 8

2. Доказано существование стационарного решения и его устой-

чивость для уравнения типа Рэлея, описывающего осцилля-

ции течения на «верхней палубе» пограничного слоя c двухпа-

лубной структурой (т.е. в области классического пограничного

слоя Прандтля) для задачи обтекания пластины с малыми пе-

риодическими неровностями.

3. Получено формальное асимптотическое решение задачи обте-

кания жидкостью пластины с малой локализованной (уединен-

ной) неровностью типа горбика, ступеньки или излома в виде

угла, имеющее двухпалубную структуру пограничного слоя.

4. Построен алгоритм для численного решения уравнений на

функции, описывающие течение жидкости в пограничном слое

с двухпалубной структурой, основанный на разностных схе-

мах, удовлетворяющих принципу максимума, и приведены ре-

зультаты его применения.

Заметим, что в построенных формальных асимптотиках значимым

результатом также являются найденные нецелые степени малого па-

раметра, по которому строится асимптотическое разложение, что

является нетривиальным моментом, т.к. малый параметр входит в

уравнения Навье-Стокса в целой степени, и асимптотика решения

обычно строится только по целым или полуцелым его степеням.

Методология и методы диссертационного исследования

Научное исследование, результаты которого изложены в дан-

ной диссертационной работе, проводится при помощи математиче-

ских методов. В частности, используются следующие математиче-

ские методы: методы функционального анализа и теории линей-

ных дифференциальных операторов; асимптотические методы; ме-

тод осреднения; теория разностных схем.

 9

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссерта-

ционной работе теоретические результаты вносят вклад в математи-

ческую теорию пограничного слоя. Показано, что исследованная в

данной работе двухпалубная структура пограничного слоя является

также неотъемлемым свойством модели Навье–Стокса, равно как и

общеизвестная трехпалубная структура. Полученные в диссертации

теоретические результаты можно применять для дальнейших иссле-

дований течений вдоль поверхностей с малыми шероховатостями.

Степень достоверности результатов диссертации

Основные результаты диссертации оформлены в виде матема-

тических утверждений и строго доказаны.

Личный вклад автора

Все представленные результаты получены автором самостоя-

тельно. Постановка задачи принадлежит научному руководителю

В. Г. Данилову.

Апробация результатов диссертационного исследования

Результаты диссертационной работы были представлены авто-

ром лично на следующих российских и международных научных

конференциях и семинарах:

1. Days on Diffraction 2013 (DD 2013) (Санкт-Петербург, ПОМИ

РАН, 2013).

2. VII Отраслевая научно-техническая конференция «Техноло-

гии информационного общества» (Москва, МТУСИ, 2013).

3. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и мо-

лодых специалистов НИУ ВШЭ (Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ,

2014).

 10

4. Международная научная конференция «Современные пробле-

мы вычислительной математики и математической физики»,

посвященная памяти академика А.А.Самарского в связи с 95-

летием со дня его рождения (Москва, МГУ, 2014).

5. The Seventh International Conference on Differential and Func-

tional Differential Equations (DFDE 2014) (Москва, РУДН, 2014).

6. 5-ая международная научная школа молодых ученых «Волны

и вихри в сложных средах» (Москва, ИПМех РАН, 2014).

7. Семинар «Методы суперкомпьютерного моделирования» (Та-

руса, «Интеркосмос» ИКИ РАН, 2015).

8. Научно–исследовательский семинар «Асимптотические мето-

ды в математической физике» (Москва, ИПМех РАН, 2015).

9. Общегородской семинар им. А.М. Ильина по дифференциаль-

ным уравнениям математической физики (Уфа, Институт ма-

тематики с ВЦ УНЦ РАН, 2016).

10. Семинар кафедры математики физического факультета МГУ

(Москва, МГУ, 2016).

Тезисы докладов опубликованы в [9–12; 55].

Публикации

Основные результаты диссертации были опубликованы совмест-

но с научным руководителем в 4 работах [13; 53–55], 3 из которых

([13; 53; 54]) опубликованы в журналах, входящих в утвержденный

ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых

должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций.

В указанных публикациях содержатся все основные результаты дис-

сертации.

 11

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и

списка литературы, содержащего 96 наименований. Объем диссер-

тации 154 страницы.

В первой главе проводится исследование уравнения типа Рэлея,

описывающего течение во второй палубе двухпалубной структуры

пограничного слоя в задаче обтекания пластины с малыми периоди-

ческими неровностями при больших значениях числа Рейнольдса,

а также построение алгоритма его численного решения. Основные

результаты, представленные в первой главе, изложены в работе [54],

см. также [55].

Во второй главе производится построение формального асимп-

тотического решения (имеющего двухпалубную структуру погра-

ничного слоя) задачи обтекания полубесконечной пластины с лока-

лизованными на ней малыми неровностями типа горбика, ступень-

ки и излома в виде вогнутого угла при больших значениях числа

Рейнольдса, а также построение алгоритма численного решения по-

лученных уравнений и результаты его использования. Основные ре-

зультаты, изложенные во второй главе, опубликованы в работе [53].

Во третьей главе производится построение формального асимп-

тотического решения (имеющего двухпалубную структуру погра-

ничного слоя) задач о течение вязкой несжимаемой жидкости внут-

ри аксиально–симметричной трубы и двумерного канала с малыми

периодическими неровностями на стенках при больших значениях

числа Рейнольдса, а также построение алгоритма численного реше-

ния полученных уравнений и результаты его использования. Резуль-

таты, представленные в третьей главе, опубликованы в работе [13].

 12

§ 2. Основные типы решений уравнений

Навье–Стокса в задачах обтекания

полубесконечных поверхностей

Исследование задач обтекания жидкостью различных поверх-

ностей является одной из наиболее интересных математических за-

дач гидродинамики. При движении вдоль поверхности вязкая жид-

кость не скользит по ней, а прилипает. Переход от нулевой скорости

на поверхности к скорости внешнего течения происходит в очень

тонком слое, который называется пограничным слоем. Вне этого

слоя вязкость не играет существенной роли.

Теория пограничного слоя была сформулирована Л. Прандтлем

более 110 лет назад. Впервые понятие пограничного слоя появилось

в его работе [72]. Он исследовал задачу обтекания вязкой несжи-

маемой жидкостью полубесконечной пластинки при больших зна-

чениях числа Рейнольдса и получил, что вязкость оказывает влия-

ние только в тонком слое вблизи поверхности пластины, который он

назвал пограничным слоем, см. рис. 1. Исходные уравнения Навье–

Стокса (1) (U = (u, v)) в области пограничного слоя упрощаются:



∂uB ∂uB ∂p ∂ 2 uB

uB + vB =− + ,





2









 ∂x ∂τ ∂x ∂τ

∂p



= 0, (3)





 ∂τ



 ∂u ∂v

 B + B = 0,





∂x ∂τ

где τ = y/ε, см. также [18; 21; 22; 44]. Эта система уравнений но-

сит название системы уравнений пограничного слоя Прандтля. За-

метим, что уравнения (3) не содержат вязкость, т.е. не зависят от

числа Рейнольдса Re = LV /ν (L — характерная длина, V — ха-

рактерная скорость, ν = η/ρ — кинематическая вязкость жидкости,

η — динамическая вязкость жидкости, ρ — плотность жидкости),

 13

которое входит в уравнения только как параметр масштаба по вер-

тикальной, т.е. нормальной к поверхности, переменной τ ).

Рисунок 1 – Обтекание полубесконечной пластины: I — погранинчый слой

Прандтля, II — внешний поток

Решение системы уравнений (3) с граничным условием (2) для

случая обтекания полубесконечной плоской пластины было найде-

но Г. Блазиусом, см. [45]. Он свел систему уравнений (3) к краевой

задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на функ-

цию тока f (γ):

2f 000 + f · f 00 = 0, f (0) = f 0 (0) = 0, f γ→∞

→ 1. (4)

Решение исходной системы (3), если принять что внешний поток

u0 = 1, см. рис. 1 (а это всегда можно сделать с помощью обезра-

меривания), выражается через функцию f (γ), которая называется

функцией Блазиуса, следующим образом:

1

uB = f 0 (γ), vB = √ γf 0 (γ) − f (γ) ,

(5)

2 x

y

где γ = √ , более подробно см. в [19; 21; 44].

ε x

Теория пограничного слоя Прандтля была большим шагом в

исследовании задач обтекания различных тел и внесла огромный

вклад в развитие аэродинамики, а также оказалась чрезвычайно по-

лезным и практическим инструментом в инженерных приложениях.

Математически эта теория была строго формализована значитель-

но позже с помощью метода сращивания (или согласования) асимп-

тотических разложений, см. [6; 17], который был развит и строго

обоснован позднее М.А. Ильиным, см. [16].

 14

Вопросы существования, единственности и устойчивости реше-

ний системы уравнений пограничного слоя Прандтля были рассмот-

рены в работах Г. Вейля [94], Н.С. Пискунова [31], О.А. Олейник [26;

27] и др. Позже все полученные результаты были обобщены в мо-

нографии О.А. Олейник и В.Н. Самохина [28], в которой наряду с

вопросами существования, единственности и устойчивости решений

также представлены их качественные свойства и асимптотическое

поведение.

Отметим, что пограничный слой возникает не только в задачах

обтекания поверхности, но и в других задачах течения жидкости, на-

пример, в задаче о стационарном истечении осесимметричной струи

вязкой несжимаемой жидкости из трубы круглого сечения в свобод-

ное пространство, см. работу В.В. Пухначева и В.С. Белоносова [33].

После появления теории пограничного слоя было предприня-

то много попыток решения различных задач обтекания, однако не

все они увенчались успехом. Трудность заключалось в том, что при

неблагоприятном градиенте давления величина трения жидкости о

стенку уменьшалась и становилась равной нулю, и в этой точке ну-

левого трения xs решение имеет особенность. С. Гольдштейн пока-

зал (см. [56]), что, если в точке xs производная скорости на стен-

ке равна нулю, то решение уравнений пограничного слоя Прандтля

имеет неустранимую особенность и не может быть непрерывно про-

должено на область ниже по потоку от точки xs . Л.Д. Ландау уста-

новил, что при приближении к точке нулевого трения нормальная

составляющая вектора скорости (т.е. компонента v в наших обозна-

чениях) неограниченно возрастает, а производная тангенциальной

составляющей вектора скорости (т.е. компоненты u в наших обозна-

чениях) ∂u/∂y на поверхности обтекаемого тела в точке xs равна

нулю, см. [19]. В точке нулевого трения наблюдается отрыв лами-

нарного пограничного слоя от поверхности обтекаемой пластины,

а за ней образуется турбулентная (вихревая) область возвратного

течения, см. рис. 2 и [19].

 15

Рисунок 2 – Схематичное изображение отрыва пограничного слоя, xs — точка

нулевого трения

Однако, при отрыве пограничного слоя происходит его вытес-

нение в область внешнего потока, и возникает задача о взаимодей-

ствии пограничного слоя с внешним потоком. Эта задача исследу-

ется в работах Дж. Лайтхилла, см. [59; 60]. Он изучал эффекты,

оказывающие влияние на внешнее течение и эффект отрыва по-

граничного слоя в задачах обтекания тел сверхзвуковым потоком.

Задача заключается в исследовании влияния малых возмущений на

пограничный слой, когда внешний поток является сверхзвуковым.

Он рассматривал взаимодействие (с математической точки зрения)

с помощью малых возмущений плоскопараллельного потока и лине-

аризации уравнений Навье–Стокса вокруг него. В результате своих

исследований он пришел к гипотезе о том, что область, в которой

происходит взаимодействие, разделяется на 3 части: область невяз-

кого течения, лежащая вне пограничного слоя, в которой возмуще-

ния описываются линеаризованными уравнения невязкого сверхзву-

кового течения; область соответствующая классическому погранич-

ному слою; и область около поверхности обтекаемого тела, в которой

проявляются эффекты вязкости. Важным результатом в работе [60]

является найденный там масштаб ширины области в которой про-

исходит взаимодействие: она порядка O(ε3/4 ).

Работа Дж. Лайтхилла [60] была основой для появившейся поз-

же в работе К. Стюартсона и П.Г. Вилльямса [91] и работе В.Я. Ней-

ланда [25] трехпалубной теории пограничного слоя. В работе [91]

рассмотрена задача обтекания полубесконечной пластины сверхзву-

ковым потоком и, используя метод сращивания асимптотик (см. [6]),

 16

построено асимптотическое решение уравнений Навье–Стокса (1)

при Re → ∞. В этих работах обнаружено, что пограничный слой

имеет трехпалубную структуру, состоящую из: «нижней палубы» —

области пристеночного течения, «средней палубы» — области клас-

сического пограничного слоя и «верхней палубы» — области вытес-

нения, находящейся во внешнем потоке, см. рис. 3. В рамках этой

теории результаты Лайтхилла [60] являются ее линеаризацией. Вза-

имодействие устроено следующим образом. Возмущение вязкого те-

чения в нижней палубе, проходя через среднюю палубу приводит к

возмущению давления в верхней палубе, которое индуцирует гра-

диент давления в нижней палубе. В пристеночной области (т.е. в

нижней палубе) течение описывается уравнениями Прандтля, но с

индуцированным давлением, т.е. градиент давления в них не яв-

ляется заранее заданной величиной, как в теории Л. Прандтя [72],

а определяется в процессе решения задачи во всей области. В сред-

ней палубе компоненты скорости потока выражаются через скорость

Блазиуса (5). Более подробно это будет описано ниже. Теория трех-

палубного пограничного слоя нашла отражение во множестве работ

Ф.Т. Смита [76; 79–84; 87; 88], К. Стюартсона [89–91], О.С. Рыжо-

ва [37–41; 74], А.И. Рубана [34; 35], В.В. Сычева [2; 36], В.Я. Ней-

ланда [5; 23—25] и многих других [66–69].

Одной из первых работ по изучению задач обтекания тел с

малыми неровностями на поверхности является работа Ф.Т. Сми-

та [79]. Он рассматривал задачу обтекания полубесконечной плоской

пластины с локализованной неровностью на ней — малым горбиком

цилиндрической формы, находящимся на некотором расстоянии L

от ее края, см. рис. 3, имеющий следующий вид (в обозначениях,

которые используются в диссертационной работе, ε = Re−1/2 ):

ys = ε5/4 µ x/ε3/4 ,

(6)

где µ(ξ) — функция солитонного типа: µ ξ→−∞ = µ ξ→∞ = 0. До

этой работы такую задачу рассматривал Дж. Хант [57], однако по-

 17

лученная им модель верна только для горбиков очень малой высоты

и ширины, а сами эти результаты являются частным случаем ре-

шения, полученного в [79], имеющего трехпалубную структуру, по-

добную [91]: пограничный слой разделяется на 3 области: «нижняя

палуба», «среднюю палуба» и «верхняя палуба», см. рис. 3.

Рисунок 3 – Трехпалубная структура в задаче обтекании локализованного

горбика: I — нижняя палуба (пристеночный слой); II — средняя палуба; III —

верхняя палуба; IV — область внешнего потока; u0 = 1, uB — профиль течения

Блазиуса, см. (5)

Полученное в [79] асимптотическое решение описанной выше

задачи имеет следующий вид (ниже используются следующее обо-

значение: верхний индекс над функцией обозначает номер палубы

согласно рис. 3, в которой эта функция определена).

• На верхней палубе (III):

u = 1 + ε1/2 uIII

1 (ξ, ρ) + . . . ,

v = ε1/2 v1III (ξ, ρ) + . . . , (7)

p = ε1/2 pIII

1 (ξ, ρ) + . . . ,

где ξ = x/ε3/4 , ρ = y/ε3/4 , а функции uIII III III

1 , v1 , p1 являются реше-

нием следующей системы уравнений:



 ∂uIII1 ∂v1III



 + = 0,







 ∂ξ ∂ρ



 III

∂u1 ∂pIII

+ 1 = 0, (8)





 ∂ξ ∂ξ

∂v1III ∂pIII





+ 1 = 0.







∂ξ ∂ρ



 18

• В средней палубе (II):

u = uB (τ ) + ε1/4 uII

1 (ξ, τ ) + . . . ,

v = ε1/2 v1II (ξ, τ ) + . . . , (9)

p = ε1/2 pII

1 (ξ, τ ) + . . . ,

где ξ = x/ε3/4 , τ = y/ε, uB — профиль течения Блазиуса (см. (5)), а

функции uII II II

1 , v1 , p1 являются решением следующей системы урав-

нений:  II

∂u1 ∂v1II

+ = 0,





∂ξ ∂τ











∂uII II ∂uB



1 (10)

u B + v 1 = 0,





 ∂ξ ∂τ

 II

 ∂p1 = 0.







∂τ

• На нижней палубе (I):

u = ε1/4 uI1 (ξ, θ) + . . . ,

v = ε3/4 v1I (ξ, θ) + . . . , (11)

p = ε1/2 pI1 (ξ, θ) + . . . ,

где ξ = x/ε3/4 , θ = y/ε5/4 , а функции uI1 , v1I , pI1 являются решением

системы уравнений Прандтля с индуцированным давлением:



 ∂uI1 ∂v1I



 + = 0,

∂ξ ∂θ







I I

I ∂u1 I ∂u1 ∂pI1 ∂ 2 uI1



u1 + v1 =− + , (12)

 ∂ξ ∂θ ∂ξ ∂θ 2



∂pI





 1 = 0.





∂θ

Система уравнений на функции, описывающие течение в сред-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гайдуков Роман Константинович, 2016 год

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Математические методы классической механи-

ки / В. И. Арнольд. — 5-е изд., стереот. — М.: Едиториал УРСС,

2003. — 416 с.

2. Асимптотическая теория отрывных течений / В. В. Сычев

[и др.]. — М.: Наука, 1987. — 256 с.

3. Березин, Ф. А. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин,

М. А. Шубин. — М.: Издательство Московского университета,

1983. — 392 с.

4. Блохин, А. М. Линейная асимптотическая неустойчивость ста-

ционарного течения полимерной среды в плоском канале в слу-

чае периодических возмущений / А. М. Блохин, Д. Л. Ткачев //

Сибирский журнал индустриальной математики.— 2014.—T. 17,

вып. 3. — C. 13—25.

5. Боголепов, В. В. Исследование локальных возмущений вязких

сверхзвуковых течений / В. В. Боголепов, В. Я. Нейланд //

Аэромеханика. — М.: Наука, 1976. — C. 104—118.

6. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости /

М. Ван-Дайк. — М.: Мир, 1967. — 310 с.

7. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингуляр-

ных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Выс-

шая школа, 1990. — 208 с.

8. Васильева, А. Б. Сингулярно возмущенные задачи с погранич-

ными и внутренними слоями / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов,

Н. Н. Нефедов // Труды МИАН. — 2010. — Т. 268. — С. 268—

283.

9. Гайдуков, Р. К. Существование решения уравнения типа Ре-

лея / Р. К. Гайдуков // Научно-техническая конференция сту-

дентов, аспирантов и молодых специалистов НИУ ВШЭ. Ма-

териалы конференции. — М. :МИЭМ НИУ ВШЭ, 2014. — С. 35.

 145

10. Гайдуков, Р. К. Асимптотическое решение задачи о течении

жидкости в двумерном канале с малыми периодическими неров-

ностями на стенках / Р. К. Гайдуков, В. Г. Данилов // Седьмая

международная конференция по дифференциальным и функ-

ционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Россия,

22–29 августа 2014 г.): Тезисы докладов. — М.: РУДН, 2014. —

С. 136—137.

11. Гайдуков, Р. К. Асимптотическое решение задачи о течении

жидкости в двумерном канале с малыми периодическими неров-

ностями на стенках / Р. К. Гайдуков, В. Г. Данилов // Со-

временные проблемы вычислительной математики и математи-

ческой физики: Международная конференция, Москва, МГУ

имени М.В. Ломоносова, 16–17 июня 2014 г.: Тезисы докла-

дов. — М.: МАКС Пресс, 2014. — С. 131—132.

12. Гайдуков, Р. К. Вихревые течения в пограничных слоях вдоль

поверхностей с малыми неровностями / Р. К. Гайдуков, В. Г.

Данилов // Волны и вихри в сложных средах: 5-ая Междуна-

родная научная школа молодых ученых; 25–28 ноября 2014 г.,

Москва: Сборник материалов школы. — М.: МАКС Пресс,

2014. — С. 154—157.

13. Гайдуков, Р. К. Моделирование течений в канале с неровными

стенками / Р. К. Гайдуков, В. Г. Данилов // T-Comm – Теле-

коммуникации и Транспорт. — 2013. — № 11. — С. 84—87.

14. Гергель, В. П. Современные языки и технологии параллель-

ного программирования / В. П. Гергель. — М.: Издательство

Московского университета, 2012. — 408 с.

15. Данилов, В. Г. Обтекание плоской пластины с периодическими

неровностями малой амплитуды / В. Г. Данилов, К. Ю. Рос-

синский // Математическое моделирование. — 2003. — Т. 15,

вып. 11. — С. 91—109.

 146

16. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений ре-

шений краевых задач / А. М. Ильин. — М.: Наука, 1989. —

336 с.

17. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике /

Дж. Коул. — М.: Мир, 1972. — 274 с.

18. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика. ч. 2 / Н. Е. Кочин,

И. А. Кибель, Н. В. Розе. — 4-е изд., перераб. и дополн. — М.:

Государственное издательство физико-математической литера-

туры, 1963. — 727 с.

19. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 2. Гидродина-

мика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 5-е изд., стереотип. —

М.:ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 736 с.

20. Линь, Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости / Ц.-Ц.

Линь. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — 194 с.

21. Лойцянский, Л. Г. Ламинарный пограничный слой / Л. Г. Лой-

цянский. — М.: Государственное издательство физико-матема-

тической литературы, 1962. — 479 с.

22. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцян-

ский. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

23. Нейланд, В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодей-

ствия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа / В. Я.

Нейланд // Успехи механики. — 1981. — Т. 4, вып. 2. — С. 3—62.

24. Нейланд, В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверх-

звуковых течений / В. Я. Нейланд // Труды ЦАГИ. — 1974. —

Т. 1529.

25. Нейланд, В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного

слоя в сверхзвуковом потоке / В. Я. Нейланд // Известия АН

СССР. Механика жидкости и газа. — 1969. — Т. 4. — С. 53—57.

26. Олейник, О. А. Математические задачи теории погранично-

го слоя / О. А. Олейник // Успехи математических наук. —

1968. — Т. 23, вып. 3. — С. 3—68.

 147

27. Олейник, О. А. О системе уравнений теории пограничного слоя /

О. А. Олейник // Журнал вычислительной математики и ма-

тематической физики. — 1963. — Т. 3, № 3. — С. 489—507.

28. Олейник, О. А. Математические методы в теории пограничного

слоя / О. А. Олейник, В. Н. Самохин. — М.: Наука, 1997. —

510 с.

29. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программ-

ная модель CUDA / А. В. Боресков [и др.]. — М.: Издательство

Московского университета, 2012. — 336 с.

30. Перепелкин, Е. Е. Вычисления на графических процессорах

(GPU) в задачах математической и теоретической физики /

Е. Е. Перепелкин, Б. И. Садовников, Н. Г. Иноземцева. — М.:

URSS, 2014. — 176 с.

31. Пискунов, Н. С. Интегрирование уравнений теории погранич-

ного слоя / Н. С. Пискунов // Известия АН СССР. Серия ма-

тематическая. — 1943. — Т. 7, вып. 1. — С. 35—48.

32. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне-

ния / Л. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1974. — 332 с.

33. Пухначев, В. В. Уравнения пограничного слоя в задаче исте-

чения осесимметричной струи / В. В. Пухначев, В. С. Белоно-

сов // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2008. — Т. 362. —

С. 48—63.

34. Рубан, А. И. Особое решение уравнений пограничного слоя,

непрерывно продолжаемое через точку нулевого поверхност-

ного трения / А. И. Рубан // Известия АН СССР. Механика

жидкости и газа. — 1981. — Т. 6. — С. 42—52.

35. Рубан, А. И. Численное решение локальной асимптотической

задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного

слоя в сверхзвуковом потоке / А. И. Рубан // Журнал вычис-

лительной математики и математической физики. — 1978. —

Т. 18, вып. 5. — С. 1253—1265.

 148

36. Рубан, А. И. Асимптотическая теория отрыва ламинарного по-

граничного слоя в несжимаемой жидкости / А. И. Рубан, В. В.

Сычев // Успехи механики. — 1979. — Т. 2, вып. 4. — С. 57—95.

37. Рыжов, О. С. О нестационарном пограничном слое с самоинду-

цированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего

потока / О. С. Рыжов // Доклады АН СССРе. — 1977. — Т. 236,

вып. 5. — С. 1091—1094.

38. Рыжов, О. С. Уравнение нестационарного пограничного слоя

с самоиндуцированным давлением / О. С. Рыжов // Доклады

АН СССР. — 1977. — Т. 234, вып. 4. — С. 780—783.

39. Рыжов, О. С. О свободном взаимодействии пристеночных сло-

ев с ядром течения Пуазейля / О. С. Рыжов, В. И. Жук //

Доклады АН СССР. — 1981. — Т. 257, вып. 1. — С. 55—59.

40. Рыжов, О. С. О нестационарном пограничном слое с самоин-

дуцированным давлением / О. С. Рыжов, Е. Д. Терентьев //

Прикладная математика и механика. — 1977. — Т. 41, вып. 6. —

С. 1007—1023.

41. Рыжов, О. С. О взаимодействии вихря с локальной шероховато-

стью на обтекаемой поверхности / О. С. Рыжов, С. В. Тимофе-

ев // Математическое моделирование. — 1992. — Т. 4, вып. 6. —

С. 27—49.

42. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. —

3-е изд., испр. — М.: Наука, 1989. — 614 с.

43. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В.

Гулин. — М.: Наука, 1989. — 429 с.

44. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. — М.:

Наука, 1974. — 712 с.

45. Blasius, H. Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung /

H. Blasius // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Phy-

sik. — 1908. — Vol. 56. — Pp. 1–37.

 149

46. Blokhin, A. M. Linear instability of solutions in a mathematical

model describing polymer flows in an infinite channel / A. M.

Blokhin, A. V. Yegitov, D. L. Tkachev // Computational Math-

ematics and Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 55, is-

sue 5. — Pp. 848–873.

47. Boyd, J. P. The Blasius function: computations before comput-

ers, the value of tricks, undergraduate projects, and open research

problems / J. P. Boyd // SIAM Review. — 2008. — Vol. 50,

no. 4. — Pp. 791–804.

48. Cathalifaud, P. Nonlinear aspects of high Reynolds number chan-

nel flows / P. Cathalifaud, J. Mauss, J. Cousteix // European

Journal of Mechanics - B/Fluids. — 2010. — Vol. 29. —

Pp. 295–304.

49. Danilov, V. G. Asymptotic and numerical analysis of the flow

around a plate with small periodic irregularities / V. G. Danilov,

M. V. Makarova // Russian Journal of Mathematical Physics. —

1994. — Vol. 2, issue 1. — Pp. 49–56.

50. Danilov, V. G. Mathematical modeling of heat and mass transfer

processes / V. G. Danilov, V. P. Maslov, K. A. Volosov. —

Kluwer Academic Publishers, 1995. — 316 pp.

51. Dellil, A. Z. Turbulent flow and convective heat transfer in a

wavy wall channel / A. Z. Dellil, A. Azzi, B. A. Jubran // Heat

and Mass Transfer. — 2004. — Vol. 40. — Pp. 793–799.

52. Gajjar, J. S. B. Fully developed free surface flows —- Liquid layer

flow over a convex corner / J. S. B. Gajjar // Computers and

Fluids. — 1987. — Vol. 15, issue 4. — Pp. 337–360.

53. Gaydukov, R. K. Double-Deck Structure of the Boundary Layer

in Problems of Flow around Localized Perturbations on a Plate /

R. K. Gaydukov, V. G. Danilov // Mathematical Notes. —

2015. — Vol. 98, issue 4. — Pp. 561–571.

 150

54. Gaydukov, R. K. Vortexes in the Prandtl boundary layer induced

by irregularities on a plate / R. K. Gaydukov, V. G. Danilov //

Russian Journal of Mathematical Physics. — 2015. — Vol. 22,

issue 2. — Pp. 161–173.

55. Gaydukov, R. Oscillations in classical boundary layer for flow

with double-deck boundary layers structure / R. Gaydukov, V.

Danilov // Proceedings of the International Conference DAYS

on DIFFRACTION 2013. — 2013. — Pp. 28–31.

56. Goldstein, S. On Laminar Boundary-Layer Flow Near a Position

of Separation / S. Goldstein // Quarterly Journal of Mechanics

and Applied Mathematics. — 1948. — Vol. 1, issue 1. — Pp. 43–

69.

57. Hunt, J. C. R. A theory for the laminar wake of a two-dimensional

body in a boundary layer / J. C. R. Hunt // Journal of Fluid

Mechanics. — 1971. — Vol. 49, issue 1. — Pp. 159–178.

58. Ilin, K. Steady streaming in a channel with permeable walls / K.

Ilin // European Journal of Applied Mathematics. — 2014. —

Vol. 25. — Pp. 65–82.

59. Lighthill, M. J. On Boundary Layers and Upstream Influence. I.

A Comparison between Subsonic and Supersonic Flows / M. J.

Lighthill // Proceedings of the Royal Society A. — 1953. —

Vol. 217. — Pp. 344–357.

60. Lighthill, M. J. On Boundary Layers and Upstream Influence.

II. Supersonic Flows without Separation / M. J. Lighthill //

Proceedings of the Royal Society A. — 1953. — Vol. 217. —

Pp. 478–507.

61. Mauss, J. Asymptotic Modelling for separating boundary layers /

J. Mauss // Lecture Notes in Physics. — 1995. — Vol. 442. —

Pp. 239–254.

 151

62. Mauss, J. Sur l’analyse conduisant à la théorie de la triple couche /

J. Mauss, A. Achiq, S. Saintlos // Comptes Rendus de l’Académie

des sciences. Série II. — 1992. — Vol. 315. — Pp. 1611–1614.

63. Mauss, J. Asymptotic Analysis and Boundary Layers / J. Mauss,

J. Cousteix. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — 434 pp.

64. Mauss, J. Asymptotic Modelling for Separating Boundary Layers

in a Channel / J. Mauss, S. Saintlos // European Journal of

Mechanics - B/Fluids. — 1996. — Vol. 34, issue 2. — Pp. 201–

211.

65. Merkin, J. H. Free convection boundary layers over humps and

indentaions / J. H. Merkin // Quarterly Journal of Mechanics

and Applied Mathematics. — 1983. — Vol. 36. — Pp. 71–85.

66. Messiter, A. F. Boundary layer flow near the trailing edge of a

flat plate / A. F. Messiter // SIAM Journal on Applied Mathe-

matics. — 1970. — Vol. 18, issue 1. — Pp. 241–257.

67. Meyer, R. E. A View of the Triple Deck / R. E. Meyer // SIAM

Journal on Applied Mathematics. — 1983. — Vol. 43, issue 4. —

Pp. 639–663.

68. El-Mistikawy, T. M. A. Supersonic triple deck flow past an erod-

ing hump / T. M. A. El-Mistikawy, F. M. N. El-Fayez // Euro-

pean Journal of Mechanics B/Fluids. — 2005. — Vol. 24. —

Pp. 448–456.

69. Nayfeh, A. H. Triple-deck structure / A. H. Nayfeh // Computers

and Fluids. — 1991. — Vol. 20, issue 3. — Pp. 269–292.

70. Nefedov, N. N. Existence and stability of periodic contrast struc-

tures in the reaction-advection-diffusion problem / N. N. Nefe-

dov, E. I. Nikulin // Russian Journal of Mathematical Physics. —

2015. — Vol. 22, issue 2. — Pp. 215–226.

71. Nemytskii, V. V. Qualitative theory of differential equation /

V. V. Nemytskii, V. V. Stepanov. — N.Y.: Dover publication

Inc., 1989. — 523 pp.

 152

72. Prandtl, L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung /

L. Prandtl // Verhandlungen des III Internationalen Mathematiker-

Kongresses. — Heidelberg, 1904. — Pp. 484–491.

73. Roache, P. J. Fundamentals of Computational Fluid Dynamics /

P. J. Roache. — Hermosa Pub., 1998. — 648 pp.

74. Ryzhov, O. S. Triple-Deck Instability of Supersonic Boundary

Layers / O. S. Ryzhov // AIAA Journal. — 2012. — Vol. 50,

issue 8. — Pp. 1733–1741.

75. Simth, F. T. Free convection boundary layers near corners and

sharp trailing edges / F. T. Simth, J. H. Merkin // Journal of Ap-

plied Mathematics and Physics (ZAMP). — 1982. — Vol. 33. —

Pp. 36–52.

76. Simth, F. T. Triple-Deck Solutions for Subsonic Flow Past Humps,

Steps, Concave or Convex Corners and Wedged Trailing Edges /

F. T. Simth, J. H. Merkin // Computers and Fluids. — 1982. —

Vol. 10, issue 1. — Pp. 7–25.

77. Smith, F. T. Flow through constricted or dilated pipes and chan-

nels: part 1 / F. T. Smith // Quarterly Journal of Mechanics

and Applied Mathematics. — 1976. — Vol. XXIX, issue 3. —

Pp. 343–364.

78. Smith, F. T. Flow through constricted or dilated pipes and chan-

nels: part 2 / F. T. Smith // Quarterly Journal of Mechanics

and Applied Mathematics. — 1976. — Vol. XXIX, issue 3. —

Pp. 364–376.

79. Smith, F. T. Laminar flow over a small hump on a flat plate /

F. T. Smith // Journal of Fluid Mechanics. — 1973. — Vol. 57,

issue 4. — Pp. 803–824.

80. Smith, F. T. On the high Reynolds number theory of laminar

flows / F. T. Smith // IMA Journal of Applied Mathematics. —

1982. — Vol. 28. — Pp. 207–281.

 153

81. Smith, F. T. On the Non-Parallel Flow Stability of the Blasius

Boundary Layer / F. T. Smith // Proceedings of the Royal So-

ciety A. — 1979. — Vol. 366. — Pp. 91–109.

82. Smith, F. T. The Laminar Separation of an Incompressible Fluid

Streaming Past a Smooth Surface / F. T. Smith // Proceedings

of the Royal Society A. — 1977. — Vol. 356. — Pp. 443–163.

83. Smith, F. T. The separating flow through a severely constricted

symmetric tube / F. T. Smith // Journal of Fluid Mechanics. —

1979. — Vol. 90, issue 4. — Pp. 725–754.

84. Smith, F. T. On the development of large-sized short-scaled dis-

turbances in boundary layers / F. T. Smith, O. R. Burggraf //

Proceedings of the Royal Society A. — 1985. — Vol. 399, is-

sue 1816. — Pp. 25–55.

85. Smith, F. T. Separation of Jets or Thermal Boundary Layers

From a Wall / F. T. Smith, P. W. Duck // Quarterly Journal

of Mechanics and Applied Mathematics. — 1977. — Vol. XXX,

issue 2. — Pp. 143–156.

86. Smith, F. T. Separation of jets or thermal boundary-layers from a

wall / F. T. Smith, P. W. Duck // Quarterly Journal of Mechan-

ics and Applied Mathematics. — 1977. — Vol. 30. — Pp. 143–

156.

87. Smith, F. T. Plate-injection into a separated supersonic bound-

ary layer / F. T. Smith, K. Stewartson // Journal of Fluid Me-

chanics. — 1973. — Vol. 58, issue 1. — Pp. 143–159.

88. Smith, F. T. A two-dimensional boundary layer encountering

a three-dimensional hump / F. T. Smith, R. I. Sykes, P. W.

Brighton // Journal of Fluid Mechanics. — 1977. — Vol. 83,

issue 1. — Pp. 163–176.

89. Stewartson, K. Multistructured Boundary Layers on Flat Plates

and Related Bodies / K. Stewartson // Advances in Applied

Mechanics. — 1974. — Vol. 14. — Pp. 145–239.

 154

90. Stewartson, K. On self-induced separation II / K. Stewartson,

P. G. Williams // Mathematika. — 1973. — Vol. 20, issue 01. —

Pp. 98–108.

91. Stewartson, K. Self-Induced Separation / K. Stewartson, P. G.

Williams // Proceedings of the Royal Society A. — 1969. —

Vol. 312, issue 1509. — Pp. 181–206.

92. Vajravelu, K. Fluid flow and heat transfer in horizontal wavy

channels / K. Vajravelu // Acta Mechanica.— 1980.— Vol. 35.—

Pp. 245–258.

93. Van Dyke, M. An Album of Fluid Motion / M. Van Dyke. —

Stranford: The Parabolic Press, 1988. — 176 pp.

94. Weyl, H. On the Differential Equations of the Simplest Boundary-

Layer Problems / H. Weyl // Annals of Mathematics. — 1942. —

Vol. 43, issue 2. — Pp. 381–407.

95. Yapalparvi, R. Double-deck structure revisited / R. Yapalparvi //

European Journal of Mechanics - B/Fluids. — 2012. — Vol. 31.—

Pp. 53–70.

96. Yapalparvi, R. Theoretical and numerical analysis of viscous-

inviscid interaction: Ph.D. Thesis / Yapalparvi R. — The Uni-

versity of Manchester, 2007. — 197 pp.