Гиперзвуковой пограничный слой на треугольных крыльях с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Ян Наунг Со

• Ян Наунг Со
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Ян Наунг Со

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение. Обзор результатов исследований, краткое содержание

диссертации 4

Глава 1. Гиперзвуковой пограничный слой на треугольных

крыльях с малым углом стреловидности

передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого

взаимодействия

1.1. Постановка задачи 16

1.2. Введение безразмерных переменных 19

1.3. Учет особенностей поведения функций течения в

окрестности вершины треугольного крыла. Краевая задача 20

1.4. Асимптотические разложения уравнений течения в

окрестности симметрии крыла и результаты

численных расчетов 23

1.4.1. Система уравнений первого приближения С00 ~ 1

и её решение. 26

1.4.2. Система уравнений второго приближения С10 ~ г2

и её решение. Решение уравнения 30

1.4.3. Система уравнений четвертого приближения

С20 ~ г4 и её решение. Решение уравнения с^-О^г'). 37

1.4.4. Система уравнений первого приближения С0| ~ 8 и

её решение. 44

1.4.5. Система уравнений первого приближения по

степени е и второй степени по 2 С,, ~ ег2.

Её решение. Решение уравнения С^ ~ О(ег). 47

1.4.6. Система уравнений второго приближения

С0, ~ £2 и её решение. 52

1.5. Разложения в окрестности передней кромки крыла и

определение собственного числа 57

1.5.1. Система нулевого приближения С0. 59

1.5.2. Система для нахождения собственного числа Са. 59

1.6. Сращивание решений для определения индуцированного

давления на крыле 65

1.7. Выводы 70

Глава 2. Распространение возмущений в пограничном слое на

треугольном крыле с малым углом стреловидности в

гиперзвуковом потоке на режиме сильного

взаимодействия

2.1. Постановка задачи 72

2.2. Асимптотические представления в пограничном слое 73

2.3. Учет поведения функций течения в вершине крыла и

около его передних кромок 77

2.4. Определение характеристической поверхности 80

2.5. Результаты расчетов 87

2.6. Выводы 93

Заключение 94

Список литературы 96

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперзвуковой пограничный слой на треугольных крыльях с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия»

Введение. Обзор результатов исследований, краткое содержание диссертации

Теория пограничного слоя Прандтля [1], развитая для исследования течений при больших числах Рейнольдса, приобрела большое значение в связи с развитием авиационной и космической техники. Основные результаты классической теории пограничного слоя приведены в монографиях [2, 3]. Начиная с середины прошлого века существенно возрос интерес к течениям в трехмерных пограничных слоях [4-7], т.к. пограничные слои, возникающие на реальных летательных аппаратах, являются пространственными. Исследование пограничных слоев имеет большое значение для определения аэродинамических коэффициентов летательных аппаратов [7, 8]. Известно, что взаимодействие пограничного слоя с внешним невязким потоком может в ряде случаев играть определяющую роль при формировании течения в целом [9, 10].

Особую актуальность приобретает исследование пространственных вязких течений газа при гиперзвуковых скоростях полета аппарата. В этих случаях торможение газа в пограничном слое может приводить к очень высоким температурам [11-13], что в свою очередь приводит к уменьшению плотности газа и увеличению толщины пограничного слоя по сравнению с течениями при том же числе Рейнольдаса невозмущенного потока, но при более низких скоростях потока. Другой эффект состоит в том, что поведение газа может отличаться от поведения совершенного газа, и необходимо учитывать реальные равновесные и неравновесные процессы, сопутствующие движению летательных аппаратов в атмосфере [14]. Эти два типа эффектов не являются полностью независимыми, однако их часто можно рассматривать раздельно [11]. Далее в работе рассматриваются только проблемы, связанные с первым эффектом.

Взаимодействие пограничного слоя с невязким гиперзвуковым течением в ряде случаев может приводить к существенному усложнению характера

течения, и, как следствие, к возникновению локальных тепловых потоков, которые могут вызвать разрушение конструкции летательного аппарата [15-18]. Пространственным вязким течениям при больших сверхзвуковых скоростях посвящено значительное число экспериментальных работ, выполненных Боровым, Майкапаром, Уайтхедом, Бертрамом, Хефнером и др. Обзор результатов исследований пограничного слоя на подветренной стороне треугольных крыльев, конусов и их приложение к определению аэродинамических характеристик возвращаемого космического аппарата приведен в работах [19, 20]. Во многих экспериментальных работах отмечалось возникновение интенсивных поперечных течений, оказывающих существенное влияние на структуру течения и теплопередачу. В работах [21-23] на основании обработки многочисленных данных установлены возможные типы течения на крыльях и их зависимость от величины угла атаки и числа Маха в невозмущенном потоке. В исследованиях [19, 24, 25] отмечена зависимость типа течения на крыле от величины параметра гиперзвукового взаимодействия з У

X - М^ / Re¿?v [11]. Так при ^ ~ 0.1 и наличии угла атаки в пограничном слое

возникают интенсивные поперечные течения [24, 26, 27], а их взаимодействие с поверхностью тела может приводить к увеличению трения и теплового потока. Как показано в [24] на верхней поверхности при угле атаки а = 0 имеет место обычный пограничный слой, однако, уже при а = 1° на центральной линии реализуется минимум толщины пограничного слоя. Иная картина течения на крыле реализуется при X ~ 0(\) [19, 25, 28, 29]. В этом случае, по крайней

мере, для умеренных углов атаки [а < 7°), толщина вытеснения в центре крыла

достигает максимума [29]. Объяснение существования двух типов течения приведено в роботе Уайтхеда, Хефнера и Pao [25]. На режиме слабого взаимодействия на крыле образуется тонкий пограничный слой и разворот невязкого потока вокруг кромки [30] сильный, поэтому, чтобы затормозить невязкий поток в окрестности центра крыла, необходим сильный скачок, который и приводит к отрыву пограничного слоя. При сильном взаимодействии

пограничный слой на крыле толстый, разворот невязкого потока вокруг кромки слабый и, следовательно, образуется слабый скачок, который не приводит к отрыву пограничного слоя. Аналогичные течения реализовались на конусе под углом атаки при ^ ~ 0.1 [31] и % ~ 0( 1) [32].

Как видно, из указанных выше экспериментальных работ, характер течения существенно зависит от образования поперечных течений в пограничном слое. Однако исследование структуры поперечных течений с помощью экспериментальных методов представляет достаточно сложную проблему, поэтому важную роль приобретают асимптотические и численные методы исследования.

Несмотря на развитие вычислительной технике и численных методов, нахождения решений уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса представляет все еще достаточно сложную проблему, особенно в случае гинерзвуковых пространственных течений [33]. Применение асимптотических методов позволяет построить приближенные модели, учитывающие структуру течений и более четно выявить роль различных параметров на характеристики течений [34, 35]. Эти методы были успешно применены в исследованиях вязких сверхзвуковых и гиперзвуковых течений [10].

Характер течения в трехмерном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле, обтекаемом гиперзвуковым потоком вязкого газа зависит от многих определяющих параметров. Гиперзвуковое обтекание треугольной пластины на режиме сильного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком впервые рассмотрено в [36, 37]. Пространственное гиперзвуковое течение вязкого газа около плоской треугольной пластины с заданной температурой поверхности (или теплоизолированной) и с острыми передними кромками при Мт=со рассмотрено в работе [36]. Было получено автомодельное решение для режима сильного взаимодействия, причем давление и остальные параметры потока оказались такими же, что и в случае обтекания пластины со скольжением, решение при сильном взаимодействии на которой известно [38], поэтому найденное решение не удовлетворяет условию

непротекания в плоскости симметрии крыла. В работе [37] была сделана попытка избежать нарушения этого условия и построить решение в окрестности плоскости симметрии крыла. Однако принятия модель течения в центре крыле неверна т.к. было сделано предположение о невозможности распространения возмущений вверх по потоку в пограничном слое.

В работах Нейланда, Стюартсона и Вильямса [39, 40] впервые было указано на возможность, за счет взаимодействия сверхзвукового невязкого потока с пограничным слоем, передачи возмущений вверх по течению. Для гиперзвуковых течений на режиме сильного взаимодействия Нейландом [41] было установлено, что возмущения, вызываемые, например, донным срезом или каким-либо препятствием, могут распространяться до передней кромки тела. Про этом, как показано в работе [41], на режиме умеренного и сильного взаимодействия схема течения остается двухслойной, так как разделение пограничного слоя на подобласти разного масштабе исчезает и весь пограничной слой начинает участвовать в процессе взаимодействия. Как показали дальнейшие исследования двухслойные модели являются наиболее характерными при исследовании гиперзвуковых течений вязкого газа.

Исследование течения на нехолодных треугольных крыльях показало, что на режиме сильного вязкого взаимодействия разложение решения в окрестности передней кромки не единственно, а содержит произвольную константу [42, 43]. При соответствующем подборе ее в принципе можно удовлетворить условиям вниз по поток (в плоскости симметрии). В работе Дудина [44] были получены глобальные решения уравнений ламинарного пограничного слоя на треугольном крыле с размахом порядка единицы, при этом система уравнений в частных производных решалась конечно-разностным методом [45]. Результаты исследования влияния различных параметров на характеристики течений около треугольных крыльев приведены в [10, 46]. В [47] изучены некоторые особенности обтекания нехолодной треугольной пластины с размахом порядка единицы на режиме вязко-невязкого взаимодействия. Была отмечена возможность существования в окрестности плоскости симметрии

течения, которое описывается уравнениями взаимодействующего пограничного слоя. Для главных членов разложения функций течения в окрестности плоскости симметрии была сформулирована краевая задача. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений содержит параметр, который определяет допустимые виды решений и зависит от сращивания этого решения с решением, которое строиться от передней кромки [42]. В [48, 49] было показано, что значение этого параметра наиболее сильно влияет на профиль производной от поперечной компоненты скорости по размаху крыла и было установлено, что уравнение поперечного импульса в общем случае не может быть решено методом прогонки, так как из-за наличия неоднородного члена нарушается достаточный признак хорошей обусловленности [50]. Для решения этого дифференциального уравнения краевая задача редуцировалась к задаче Коши, для решения которой использовалась схема Рунге-Кутта. В общем случае, если сращивание решений будет происходить при конечных значениях поперечной координаты, то необходимо принимать в учет следующие члены разложений в окрестности плоскости симметрии. Для определения последующих членов разложения получаются краевые задачи, но уже с нулевыми краевыми условиями. Решение каждой последующей краевой задачи позволяет в принципе вычислить «произвольный параметр» для решения предыдущей краевой задачи, но очевидно, что само ее решение зависит от нового произвольного параметра для следующего члена разложения в окрестности плоскости симметрии. Сращивание решений, в принципе, позволяет определить значения константы в разложении от передней кромки, параметра в разложении в окрестности плоскости симметрии и координату, где происходит сращивание, если, конечно, течение в окрестности плоскости симметрии крыла с размахом порядка единицы описывается уравнениями пограничного слоя. Однако процедура сращивания, описанная выше, до сих пор не была проведена не только для случая обтекания крыла с размахом порядка единицы, но и для крыльев с малым углом стреловидности передней кромки.

Как уже отмечалось выше, другой важной проблемой гиперзвуковых течений вязкого газа является распространение возмущений вверх по потоку. Хорошо известно, что уравнения Прандтля, описывающие течение в пограничном слое, являются параболическими, а, следовательно, изменения граничных условий вниз по течению, в рамках классической теории пограничного слоя, не могут оказывать влияния на течение против потока. Однако, как отмечалось выше, в работе [41] было показано, что благодаря взаимодействию в гиперзвуковых пограничных слоях существует возможность распространения возмущений вверх по потоку вплоть до передней кромки.

Для пространственного пограничного слоя в [51] определены зоны влияния и зависимости с помощью исследования субхарактеристик. Для уравнений параболического типа зоны влияния и зависимости определяются не только характеристиками, как в гиперболических системах, но и субхарактеристиками. Характеристики пространственного пограничного слоя представляют собой цилиндрические поверхности, перпендикулярные к поверхности обтекаемого тела, причем возмущения распространяются с бесконечной скоростью вдоль образующих этих поверхностей, а субхарактеристики являются линиями тока, которые переносят возмущения в потоке. В работе [52] метод субхарактеристик, разработанный для стационарного трехмерного пограничного слоя [51], обобщен на случай нестационарного двумерного течения.

Исследованию взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для пространственных и двумерных отрывных течений посвящены работы Нейланда [47, 53]. В работе [53] обнаружена аналогия между трехмерным пограничным слоем и невязким внешним потоком: уравнения пограничного слоя обладают двумя семействами характеристик, которые определяют положение координаты перехода от закритического течения (в среднем сверхзвукового в пограничном слое) к докритическому (в среднем дозвуковому). На треугольных крыльях с температурой поверхности малой по сравнению с температурой торможения могут образовываться области

закритического течения, в которых происходит «запирание» распространения возмущений [53, 54]. Установлено, что решение уравнений пограничного слоя в общем случае не единственно и требуется дополнительное условие (например, распределение давления на задней кромке). При этом в [47] отмечено, что вблизи плоскости симметрии треугольного крыла возможно образование области локальной неприменимости уравнений пограничного слоя. Для случая ньютоновского предельного перехода (у 1) закритические и докритические течения были подробно исследованы в работе [54].

В работе Липатова [55] на основе метода анализа характеристик были исследованы нестационарные процессы распространения возмущений в гиперзвуковом пограничном слое на полубесконечной пластине для режима сильного вязко-невязкого взаимодействия. Для автомодельной системы уравнений были определены скорости распространения возмущений вверх и вниз по потоку при различных значениях температурного фактора. В дальнейшем исследования были расширены для изучения распространения возмущений на скользящей пластине [56], турбулентного пограничного слоя [57], при различных значениях показателя адиабаты [58], но все они были ограничены случаями фактически двумерных течений. Впервые определение характеристической поверхности и скорости распространения возмущений в трехмерном пограничном слое на треугольном крыле с размахом порядка единицы было проведено в работе Дудина и Мьинта [59].

В вышеуказанных работах, как правило, рассматривались случаи обтекания крыла с размахом порядка единицы и, как указывалось выше, в этом случае возможно образование области локальной неприменимости уравнений пограничного слоя в окрестности плоскости симметрии [47], что существенно усложняет исследование таких течений.

Вместе с тем специального исследования обтекания треугольных крыльев с малым углом стреловидности не проводилось. Для таких течений области локальной неприменимости уже не возникают, а наличие в таких задачах малого параметра, как будет показано ниже, приводит к существенным

упрощениям. Детальное исследование таких особенностей позволяет более четко выявить влияние на них определяющих параметров и физических механизмов, что необходимо для моделирования течения в целом, а поэтому представляет как теоретический, так и прикладной интерес.

Цель работы. Теоретическое и численное исследование особенностей течения в пространственном гиперзвуковом ламинарном пограничном слое на треугольных крыльях с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. В рамках данного направления решались следующие задачи:

1) Определение характерных параметров для функций течения при обтекании крыла с малым углом стреловидности. Формулировка краевой задачи, содержащей малый параметр, связанный с размахом крыла. Построение решения в виде разложения в ряды в окрестности плоскости симметрии. Построение решения в виде разложений в ряды в окрестности передней кромки. Сращивание полученных разложений, нахождение неизвестной постоянной в разложении в окрестности передней кромки и построение решения на всем крыле в виде разложений в ряды. Сравнение с численным решением уравнений в частных производных конечно-разностным методом.

2) Решение задачи о распространении возмущений в пространственных пограничных слоях на треугольных крыльях с малым углом стреловидности.

Научная новизна.

1) Сформулирована краевая задача обтекания треугольного крыла с малым углом стреловидности. Проведено координатно-параметрическое разложение функций течения в окрестности плоскости симметрии. Сформулированы краевые задачи для вычисления коэффициентов разложений и определена процедура их замыкания. Впервые проведено сращивание, полученного решения с разложением для решения около передней кромки и определено значение постоянной в разложении около передней кромки. Построено разложение для индуцированного давления на всем крыле.

2) Сформулирована краевая задача по исследованию распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее определить скорости распространения возмущения. Определено влияние удлинения крыла на скорость распространения возмущений против потока.

Практическая значимость. Полученное координатно-параметрическое разложение для функций течения на крыле с малым углом стреловидности не только позволили сформулировать и решить задачу о течении пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла, но и дают важную информацию о требованиях к построению сетки для численного решения в рамках уравнений пространственного пограничного слоя и уравнений Навье-Стокса. Исследование распространения возмущений в пространственном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия позволили определить диаграммы направленности скорости распространения возмущений, что может быть важной информацией для уточнения влияния отклонения органов управления на аэродинамические характеристики летательного аппарата.

Основные положения, выносимые автором па защиту.

1) Математическая формулировка задачи об обтекании вязким теплопроводным газом треугольного крыла с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Координатно-параметрическое разложение функций течения в пограничном слое в окрестности плоскости симметрии крыла и процедура замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ результатов численного решений полученных систем уравнений. Определение процедуры сращивания решения в окрестности передней кромки с решением в плоскости симметрии. Построение решения на всем крыле в виде разложений.

2) Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном

слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Интегральное соотношение, позволяющее определить скорость распространения возмущений в пограничном слое на треугольном крыле. Результаты численного исследования влияния удлинения крыла на скорость распространения возмущений.

Апробация работы. Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, осуществлялись в рамках проектов РФФИ №№ 10-0100173 и 13-01-00202. Основные результаты диссертационной работы были представлены на 52, 53, 55 и 56 научных конференциях МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Жуковский, 2009, 2010, 2012, 2013); XI и XIII международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, Украина, 2011, 2013). Результаты исследований обсуждались на научных семинарах кафедры Теоретической и прикладной аэрогидромеханики ФАЛТ МФТИ. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 публикациях.

Личный вклад автора. Определение характерных значений для функций течения на крыле с малым углом стреловидности и формулировка краевой задачи. Проведение координатно-параметрического разложения функций течения в пограничном слое на режиме сильного вязкого взаимодействия в окрестности плоскости симметрии крыла и разработка процедуры замыкания полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью Мар1е 13 и метода Рунге-Кутта. Проведение разложения функций течения в окрестности передней кромки. Решение систем и нахождение зависимости собственного числа от малого параметра. Анализ результатов численных исследований. Проведение сращивания решений для определения индуцированного давления. Математическая формулировка краевой задачи для исследования распространения возмущений в пространственном ламинарном пограничном слое на треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Вывод интегрального соотношения для определения скорости

распространения возмущений. Расчет диаграмм направленности скорости распространения возмущений индуцированного давления в пространственном пограничном слое на треугольном крыле при различных значениях удлинения крыла.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка цитируемой литературы (80 ссылок). Объем диссертации составляет 103 страниц. Работа содержит 25 рисунков.

Во введении проведен обзор исследований, указана цель работы, рассмотрены задачи, показана их актуальность, изложены результаты, которые выносятся на защиту, отмечена их научная новизна, научная и практичная ценность, апробация и достоверность.

В первой главе [60-67] исследовано обтекание треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного взаимодействия. Определены характерные величины и сформулирована краевая задача на всем крыле, содержащая малый параметр. В окрестности передних кромок проведено разложение функций течения в степенные ряды, сформулированы и решены краевые задачи для определения функций течения на кромке и собственных чисел. В окрестности плоскости симметрии крыла проведено разложение функций течения в степенные ряды по поперечной координате и малому параметру, связанному с углом стреловидности. Приведены соответствующие краевые задачи для вычисления коэффициентов членов координатно-параметрических разложений и вычислены коэффициенты шести первых членов разложения. Проведено сращивание полученных разложений для определения зависимости индуцированного давления от поперечной координаты для различных значений малого параметра. Указана процедура их замыкание и получены их численные решения для нескольких первых членов разложения.

Во второй главе [68] рассмотрено распространение возмущений в пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности в гиперзвуковом потоке газа на режиме сильного вязко-

невязкого взаимодействий. Найдена характеристика, связанная с индуцированным давлением, и получено интегральное соотношение, определяющее скорость ее перемещения и содержащее малый параметр. Для ряда определяющих параметров определены диаграммы направленности скорости перемещения характеристической поверхности в пограничном слое, что при наличии профилей скорости позволяет рассчитать скорости распространения возмущений в нем. Численно определено влияние величины удлинения крыла на скорость распространения возмущений против потока.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ян Наунг Со

Заключение

1. В первой главе в результате исследования уравнений трехмерного пограничного слоя на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности передних кромок ß «1, обтекаемом гиперзвуковым потоком вязкого газа, показано, что в пограничном слое под действием индуцированного давления возникает течение в поперечном направлении, имеющее порядок

~ иctgß. Показано, что в этом случае для исследования течения в окрестности плоскости симметрии крыла можно построить координатио-параметричеекое разложение для функций течения. Сформулированы краевые задачи для вычисления коэффициентов разложений и определена процедура их замыкания. Построено разложение для функций течения в окрестности передней кромки крыла. Сформулированы соответствующие краевые задачи и найдены собственные значения. Проведено сращивание решения для индуцированного давления в окрестности плоскости симметрии и решения в окрестности передней кромки. Проведенные исследования гиперзвукового обтекания теплоизолированного плоского треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия показали, что уменьшение размаха крыла приводит к значительному изменению характера обтекания. При решении уравнений пространственного пограничного слоя в частных производных конечно-разностным методом необходимо уменьшать шаг по поперечной координате при уменьшении параметра £ для правильного описания поведения функций течения в окрестности плоскости симметрии крыла. Для случая обтекания треугольного теплоизолированного крыла при числе Прандтля сг = 1 и

показателе адиабаты у = \Л для значений параметра £<0.15 достаточно брать разложения в окрестности плоскости симметрии в виде шести членов, т.е.

с точностью 0[f;~\i;2z2 ,€z\z6).

2. Во второй главе сформулирована краевая задача о распространении возмущений в пространственном пограничном слое на плоском треугольном крыле с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия. Получено интегральное соотношение, позволяющее по характеристикам течения в пространственном пограничном слое определить скорость перемещения характеристической поверхности, связанной с функцией индуцированного давления. Установлено, что увеличение малого параметра в диапазоне 0.05 < С < 0.2 приводит к незначительному уменьшению скорости распространения возмущений против потока. В пограничном слое везде, кроме плоскости симметрии крыла диаграммы направленности несимметричны, при этом скорость распространения возмущений в сторону плоскости симметрии увеличиваются, а в сторону кромки крыла уменьшаются. Наибольшее влияние

параметра <5* на скорость распространения возмущения давления имеет место в центральной области \2\ < 0-4 .

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ян Наунг Со, 2014 год

Список литературы

1. Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl. 3-rd, Intern. Math. Kongr. — Heidelberg, 1904. — S. 484-491.

2. Шлихтииг Г. Теория пограничного слоя. —М.: Наука, 1974. —711 с.

3. JloiniRucKuii Л.Г. Ламинарный пограничный слой. —М.: Гос. Изд. Физ. —мат. лит, 1962. С. 479.

4. Мур Ф. Теория трехмерного пограничного слоя. // Сб. Проблемы механики. Вып. 2. —М.: Изд. иностр. лиг, 1959. С. 239-296

5. Струминский В. В. Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемом газе па произвольной поверхности // ДАН СССР. 1957. т. 114. №2. С. 271-274.

6. Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. —М.: Изд. Наука, 1977. 224 с.

7. Eichelbrenner Е. A. Three-dimensional boundary layers // Annual review of Huid mechanics. 1973. v. 5. p. 339-360.

8. Башкин В. А. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке. —М.: Машиностроение, 1984. 136 с.

9. Чжен П. Отрывные течения. —М.: Изд. Мир. 1972. т. 1. 300 е., 1973. т. 2. 280 с, 1973. т. 3. 334 с.

10. Пейланд В. Я., Воголепов В. В., /(удин Е. И., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. —М.: Физматлит, 2004. 456 с.

11. Хеш У. Д Пробстнн Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. —М.: Изд. иностр. лит. 1962. 607 с.

12. Дорренс У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. —М.: Изд. Мир, 1966.439 с.

13. Иашкин В. А., Дубин /". //. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. —М.: Наука. Физматлит, 2000. 288с.

ХА.Луиев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. —М.: Машиностроение, 1975. 328 с.

15. Боровой В. Я, Давлет-Кильдеев Р. 3, Рыжкова М. В. Экспериментальное исследование теплообмена на крыльях и клине // Сб. "Аэродинамическое нагревание при гиперзвуковых скоростях потока'-. Тр. ЦАГИ. 1970. Вып. 1175. С. 170-183.

16. Майкапар Г. И. Отрывные течения у подветренной стороны треугольного крыла и тела вращения в сверхзвуковом потоке // Уч. зап. ЦАГИ. 1982. т. 13. №4. С. 22-33.

17. Whitehead А. II, Jr., Bertram М. II. Alleviation of Vortex induced heating to the leeside of slender wings in hypersonic flow 11AIAA Journal. 1971. v. 9. N. 9. P. 1870-1872.

18. Hefner J. N., Whitehead A. II, Jr., Lee-side Heating Investigations. Part 1-Experimcntal Lee-side Heating Studies on a Delta Wing Orwiter // NASA NM X-2272. 1971. v. 1. P. 267-287.

19. Dunawant J. C., Narayan K. Y., Walberg G. D. A survey of leeside flow and heat transfer on delta plan form configurations 11 AIAA. Pap. — 1976. —N. 76-118. 13 p.

20. Боровой В. Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слое. —М.: Машиностроение, 1983. 144с.

21. Stanbrook A., Squire L. С. Possible types of flow at leading edges // Aero. Quart. 1964. V. 15. P. 72-82.

22. Bertram M. II, Сагу A. M, Jr., Whitehead A. //., Jr. Experiments with hypersonic turbulent boundary layers on flat plates and delta wings // Hypersonic boundaty layers an flow fields. London. 1968. P. 1-1-1-21. (AGAR!) conf. Proc. N. 30. 1968).

23. Brown С. E., Michael W. II, Jr. On slender delta wings with leading-edge separation // NASA TN. 1955. N. 34-30.

24. Rao D. M., Whitehead A. II, Jr. Leeside vortices on delta wings at hypersonic speeds//AIAA Journal. 1972. V. 10. N. 11. P. 1458-1465.

25. Whitehead A. hi, Jr., Hefner J. N., Rao D. M. Lee surface vortex effects over configurations in hypersonic flow // AIAA Pap. 1972. N. 72-77. 14 p.

26. Whitehead A. II, Jr. Effect of vortices on delta wing leeside heating at Mach 6//AIAA Journal. 1970. V. 8. N. 3. P. 599-600.

27. Monnerie В., Werle Ii. Etude de l'coulement supersoniquc et hypersonique autor d'une aile elancee en incidence // Hypersonic boundary layers and flow fields. London. 1968. P. 23-23-19. (AGARD conf. Proc. N. 30. 1968).

28. Cross E. J., Jr. Experimental and analytical investigation of the expansion flow field over a delta wing at hypersonic speeds // ARL. 1968. N. 680027. P. 1-120.

29. Cross E. J., Jr., Ilankey W. L. Investigation of the leeward side of a delta wing at hypersonic speeds // AIAA Pap. 1968. N. 68-675. — lip.

30. Eowell L. E. Exact and approximate solutions for the supersonic delta wing //JAS. 1956. V. 23. P. 709-720.

31. Rainbird W. J. The external flow field about yawed circular cones // Hypersonic boundary layers and flow fields. London. 1968. P. 19-1-19-18. (AGARD conf. Proc. N. 30. 1968).

32. Trasy Rishard R. Hypersonic flow over a yawed circular cone // Firestone flight sciences laboratory, Graduate aeronautical laboratories, California institute of technology. Pasadena. California. 1963. August 1. Memo N. 69.

33. Роуч II. Вычислительная гидродинамика. —M.: Мир. 1980. 616 с.

34. Ван Дай к М. Методы возмущений в механике жидкости. —М.: Мир. 1967. 310 с.

35. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. —М.: Мир. 1972. 274 с.

36. Ладыженский М. Д. О пространственном гиперзвуковым течении около тонких крыльев // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 5. С. 835-844.

37. Ладыэюенский М. Д. О сильном взаимодействии пограничного слоя с невязким потоком на треугольном крыле // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 635-642.

38. Dewey С. F. Use of local similarity concepts in hypersonic viscous interaction problems //AIAA Journal. 1963. N. 1. P. 20-33.

39. Пейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4. С. 53-58.

40. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. 1969. V. 312. N. 1509. P. 181-208.

41. Нейлаид В. Я. Распространение возмущений вверх по 1ечеиию при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 4. С. 40-49.

42. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 6. С. 94-99.

43. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О влиянии возмущений пограничного слоя на гиперзвуковые течения с вязким взаимодействием // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 4. С. 48-53.

44. Дудии ГЛ. Взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем на тонком треугольном крыле // Труды ЦАГИ. - 1978. - Вып. 1912.-С. 3-10.

45. Дудин ГЛ. Конечно-разностный метод решения трехмерных уравнений пограничного слоя на режиме сильного вязкого взаимодействия // Труды ЦАГИ. 1983. - Вып. 2190. - С. 3-25.

Ав. Дудин ГЛ. Треугольные крылья в вязком гиперзвуковом потоке: учеб. пособие. - М.: МФТИ, 2011.

47. Пейланд В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. Ч. 2. Двумерные течения и треугольное крыло // Ученые записки ЦАГИ. - 1974. - Т. 5. - № 3. - С. 28-39.

48.Дудин ГЛ. К расчету уравнений ламинарного пограничного слоя на линии симметрии треугольного крыла // Труды ЦАГИ. - 1980. - Вып. 2046. С. 58-65.

49. Дудин Г.!!. Характеристики пространственного гиперзвукового пограничного слоя в окрестности плоскости симметрии треугольного крыла// Труды ЦАГИ. - 1983. - Вып. 2177. - С. 183-192.

50. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. - М.: Наука, 1973. -400 с.

51. Wang К. С. On the determination of the zones of influence and dependence for three dimensional boundary layer equations // J. Fluid Mech. - 1971. -V. 48, №2.-P. 397-404.

52. Wang K.C. Aspects of multitime initial value problem originating from boundary layer equations // Phys. Fluids. - 1975. - V. 18, № 8. - P. 951955.

53. Пейлаид В.Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для офывных двумерных и пространственных течений. Ч. 1. Пространственные течения // Уч. зап. ЦАГИ. - 1974. - Т. 5, № 2. - С. 70 -79.

54. Дудин Г.Н. Об образовании областей закритического течения на крыльях малого удлинения // Известия РАН. Механика жидкости и газа.-2005.-№6.-С. 160-172.

55 .Липатов И.И. Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях // Прикладная математика и механика. - 1996. - Т. 60, № 3. - С. 457-464.

56. Кречетников Р.В., Липатов И.И. Распространение возмущений в пространственных сверхзвуковых пограничных слоях // Прикладная математика и техническая физика. - 1999. Т. 40. - № 3. - С. 116-127.

57.Дубииский C.B., Липатов И.И. Распространение возмущений в сверхзвуковых ламинарных и турбулентных пограничных слоях // Письма в ЖТФ. - 2008. - Т. 34, вып. 2. - С. 32-38.

58. Липатов И.И., Чжо Т.А. Распространение возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях // Труды МФТИ. - 2010. -- Т. 2, № 2. -С. 107-112.

59. Дудни Г.Н., Мъинт К.Т. О распространении возмущений в трехмерном пограничном слое на треугольном крыле на режиме вязко-невязкого взаимодействия // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2010. -№3. - С. 91-102.

60. Со Я.II. Особенности течения в плоскости симметрии на крыле с изломом передней кромки // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VI Аэромеханика и летательная техника, Москва-Долгопрудный-Жуковский, 19-25 ноября 2009. С. 25-27.

61 .Дудин ГЛ., Со ЯЛ О влиянии газодинамических параметров на течение в плоскости симметрии треугольного крыла // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Аэромеханика и летательная техника. Москва-Долгопрудный-Жуковский, 19-25 ноября 2010. С. 910.

62. Дудин ГЛ., Со ЯЛ Особенности течения в плоскости симметрии на крыле с изломом передней кромки // Тезисы докладов. Одиннадцатая Международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики» Евпатория, 3-12 июня 2011 г. С. 75-76.

63 .Дудин ГЛ., Со Я.II. О решениях в плоскости симметрии треугольного крыла с малым углом стреловидности на режиме сильного взаимодействия // Труды 55-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Аэромеханика и летательная техника. Москва-Долгопрудный-Жуковский, 19-25 ноября 2012. С. 73-74.

64. Дудин ГЛ., Со ЯЛ О построении решения в плоскости симметрии треугольного крыла большого размаха в сверхзвуковом потоке вязкого газа // Тезисы докладов. Тринадцатая Международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики» Евпатория, 4-13 июня 2013 г. С. 7273.

65.Дудин Г.II., Со Я.Н. О решении в окрестности передней кромки треугольного крыла с малым углом стреловидности в гиперзвуковом потоке // Труды 56-й научной конференции МФТИ «Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения». Аэромеханика и летательная техника. Москва-Долгопрудный-Жуковский, 19-25 ноября 2013. С. 48-49.

66. Со Я.Н. Обтекание треугольного крыла с малым углом стреловидности передней кромки на режиме сильного взаимодействия // Труды МФТИ. - 2014. - Т. 6. - № 1 (21). - С. 117-135.

67. Дудим ГЛ., Со ЯЛ. О течении в окрестности плоскости симметрии треугольного крыла малой стреловидности на режиме сильного взаимодействия // Ученые записки ЦАГИ. - 2014. - Т. XLV. - № 5. - С. 47-61.

68. Дудин ГЛ., Ледовский A.B., Со Я.Н. Распространение возмущений в гиперзвуковом пограничном слое в окрестности точки излома передней кромки крыла // Труды МФТИ. - 2013. - Т. 5. - № 2 (18). - С. 32-45.

69. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

70. Дудин ГЛ., Нейланд В.Я. Закон поперечных сечений для трехмерного пограничного слоя на тонком крыле в гиперзвуковом потоке // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1976. - № 2. С. 7584.

71. Дудин Г.И., Мьинт К.Т. О течении в окрестности плоскости симметрии холодного треугольного крыла при стремлении показателя адиабаты к единице // Труды МФТИ. - 2010. - Т. 2. - № 3. - С. 141151.

72. Смирнов ВЛ. Курс высшей математики. Т. 2. -- М.: Гостехиздат, 1958. - 628 с.

73. Ыейланд В.Я., Соколов Л.А. Ламинарный пограничный слой на конусе, установленном под углом атаки в сверхзвуковом потоке- // Труды ЦАГИ. - 1977. Вып. 1812. С. 3-9.

74. Дьяконов В.II. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. - М.: СОЛОН-Иресс, 2006. - 720 с.

75. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974. - 832 с.

76. Харпгман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970, 720 с.

77. Кочин II.Е., Кыбель И.А., Розе II.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. —М„ Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. 612 с.

78. Chapman D.R., Kiiehn D., Larson II. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition // NACA Rep. 1958. № 1356. 40 p.

79. Neiland V. Ya., Bogolepov V. V., Dudin G.N., Lipatov I.I. Asymptotic theory of supersonic viscous gas flows. U.K.: Elsevier Limited Oxford, Elsevier Aerospace Engineering series, 2008, 536 p.

80. Дудин Г.Н. Расчет пространственного пограничного слоя на треугольной пластине конечной длины в гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 5. С. 46-52.