Исследование свойств дисперсионных соотношений в асимптотической модели неклассического пограничного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чернышев, Антон Владимирович

• Чернышев, Антон Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернышев, Антон Владимирович

Введение.

Глава 1. Некоторые свойства дисперсионных соотношений в асимптотической теории устойчивости пограничного слоя в до, сверх- и трансзвуковом потоках.

1.1. Постановка задачи.

1.2. О свойствах пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке.

1.3. Возмущения в основной толще пограничного слоя.

1.4. Вязкий пристеночный подслой.

1.5. Решение в критическом слое.

1.6. Верхняя ветвь нейтральной кривой для пограничного слоя в дозвуковом потоке.

1.7. Верхняя ветвь нейтральной кривой для пограничного слоя в трансзвуковом потоке.

1.8. Нижняя ветвь нейтральной кривой для пограничного слоя в трансзвуковом потоке.

1.9. О решениях дисперсионного уравнения в окрестности нижней ветви нейтральной кривой (до- и сверхзвуковые случаи).

1.10. О решениях дисперсионного уравнения в окрестности нижней ветви нейтральной кривой (трансзвуковой случай).

1.11. О свойствах первой моды из спектра собственных колебаний классического трансзвукового дисперсионного соотношения.

Глава 2. О существовании особой точки ветвления первой моды классического дисперсионного соотношения в задаче потери устойчивости пограничного слоя.

2.1. Разложение трансцендентных функций, порождаемых классическим дисперсионным соотношением, в ряды Тейлора (на плоскостях нескольких комплексных переменных) в окрестности критической точки.

2.2. Исследование полилинейной формы, описывающей поведение первой моды классического дисперсионного соотношения в окрестности критической точки.

2.3. Уравнения сепаратрис для критической точки.

Глава 3. Модификация уравнения Линя-Рейснера-Цзяня и роль сингулярного параметра в теории устойчивости трансзвуковых потоков.

3.1. Способ вывода уравнения Линя-Рейснера-Цзяня: асимптотическая теория трансзвукового обтекания тонкого профиля.

3.2. О некоторых свойствах спектра собственных колебаний модифицированного дисперсионного соотношения.

3.3. Особенности поведения первой моды модифицированного дисперсионного соотношения в трансзвуковом режиме при Кт= О.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств дисперсионных соотношений в асимптотической модели неклассического пограничного слоя»

Оставляя в стороне возможность вывода уравнений Навье-Стокса из кинетического уравнения Больцмана посредством процедур Гильберта и Чепмена-Энскога, обратим лишь внимание на асимптотический характер таких процедур, связанный с предположением Кп —> 0, где число Кнудсена Кп - отношение длины свободного пробега молекул к характерному размеру. Таким образом, известная связь Яе = М^ Кп-1 между числом

Рейнольдса Яе, числом Маха Мто и числом Кнудсена Кп [1] показывает, что сами уравнения Навье-Стокса, понимаемые как асимптотические следствия более общего кинетического уравнения, имеют рациональный базис лишь в пределе Яе—><=°.

Разумеется, обширные разделы динамики сплошных сред развиты в рамках модели Навье-Стокса (феноменологической) в самых разнообразных диапазонах чисел Рейнольдса. Однако, практически все представляющие прикладной интерес проблемы внешней аэро- и гидродинамики соответствуют ситуации Яе —» , наиболее трудной с математической точки зрения и характеризующейся наличием малого параметра при старших производных.

Несмотря на беспрецедентное развитие вычислительных технологий, описание (понимаемое в глубоком смысле) течений вязкой жидкости и газа при больших числах Рейнольдса по-прежнему остаётся исключительно сложной задачей. Сингулярный характер вхождения числа Рейнольдса в уравнения Навье-Стокса делает иллюзорной не только возможность перейти к более простым уравнениям Эйлера, но и к уравнениям классической теории пограничного слоя Прандтля для решения таких принципиальных вопросов, как отрыв, неустойчивость, ламинарно-турбулентный переход, ближняя и дальняя структура следа, бафтинг (при трансзвуковом обтекании), передача возмущений вверх по потоку при отражении ударных волн и обтекании неровностей поверхности тела. Ряд перечисленных явлений может быть продолжен, их анализ привёл к обобщению классических представлений Прандтля и созданию теории пограничного слоя с самоиндуцированным давлением.

Останавливаясь более подробно на исторической ретроспективе поиска решений принципиальной проблемы движений жидкости и газа при больших числах Рейнольдса, нельзя не отметить, что вплоть до настоящего времени магистральным путём является применение классической теории пограничного слоя Прандтля [2]. Концепция Прандтля состоит в том, что в случае больших чисел Рейнольдса Яе вязкие члены уравнений Навье-Стокса могут быть отброшены во всём потоке за исключением узких подобластей течения, причём их толщина асимптотически стремится к нулю при Ие —» °о. Решение в указанных подобластях иногда называется внутренним решением [3] в отличие от внешнего решения, описывающего течение газа в невязких зонах на основе уравнений Эйлера. Внутреннее решение в первом приближении не влияет на внешнее. Наоборот, внешнее решение даёт часть краевых условий пограничного слоя, которым, в соответствии с точкой зрения Прандтля, подчиняется движение в узких вязких подобластях.

Упомянутое выделение в поле потока вязких подобластей, по существу, эквивалентно предположению о малости продольных градиентов функций течения по сравнению с поперечными. Другими словами, в уравнениях Прандтля отсутствуют старшие производные по продольной пространственной координате и, следовательно, тип уравнений является параболическим.

Конструкция пограничного слоя является иерархической в следующем смысле: Л.Прандтль указал на возможность последовательного уточнения асимптотического описания общей картины течения. Именно первое приближение предусматривает выставлять в качестве внешних граничных условий для пограничного слоя следствия из условий непротекания для решений уравнения Эйлера. После решения задачи в пограничном слое определяются поправки к граничным условиям для внешнего потока. Модифицированное внешнее решение уточняет затем внутреннее решение и т.д. Формализованная схема такого последовательного уточнения иногда называется теорией пограничного слоя в высших приближениях [4].

Однако уже чисто геометрические соображения делают очевидным следующее обстоятельство: приведённый выше способ рассуждений Л.Прандтля не всегда является пригодным и в более сложных ситуациях требует определенного пересмотра. Нарушение предположений, на которых базируется классическая теория пограничного слоя Прандтля, имеет место, например, вблизи мест с большой локальной кривизной контура обтекаемого тела или вблизи угловых точек, окрестностей точек отрыва и присоединения пограничного слоя, локальных областей падения ударных волн на пограничные слои, зон локализованного вдува и отсоса, окрестностей задних кромок заостренных тел и т.д. По существу любой физический фактор, вносящий новые пространственно-временные масштабы в поля гидродинамических функций, делает невозможным описание движения вязкого газа в рамках классической теории Прандтля.

Асимптотическое разделение потока на области внешнего и внутреннего решений при условии, что внутреннее решение в первом приближении не влияет на внешнее, иногда называется теорией слабого взаимодействия внешнего невязкого течения с пограничным слоем. Сама концепция Прандтля даёт классический пример такого взаимодействия. Однако наличие иных масштабов физических величин, не содержащихся в традиционной теории пограничного слоя, приводит к задачам, в которых взаимодействие различных областей течения не является слабым. Исключительно интересный специфический случай взаимодействия нескольких подобластей течения реализуется около точек отрыва пограничного слоя, в связи с чем был введён термин "свободное взаимодействие" [5].

Краевые задачи для таких течений приобретают новые математические свойства, по-видимому, самым парадоксальным из которых является распространение возмущений вверх по потоку при сверхзвуковой скорости во внешней невязкой области. Данное обстоятельство было отмечено уже в ранних экспериментальных исследованиях [6]. Попытки объяснения данного явления в первых теоретических работах посредством сведения к невязкому механизму распространения возмущений через дозвуковую часть пограничного слоя [7], [8] не отражали принципиальных черт процесса взаимодействия и, по существу, оказались неудачными.

Изучение даже отдельных этапов в панораме бурно развивающейся тематики, посвященной отрывным сверхзвуковым и гиперзвуковым течениям, представляет концептуальный и практический интерес. В последующие годы число соответствующих работ резко возрастает, причём появляются специальные публикации, содержащие их обширные обзоры [913]. Актуальные на отмеченный временной этап вопросы, связанные с проблемой отрывных течений, собраны в монографии [14].

Предложенный A.A. Дородницыным метод интегральных соотношений [15] послужил основой еще одного подхода к решению уравнений пограничного слоя. В этом подходе используется переход к переменным A.A. Дородницына с последующим умножением на весовые функции и интегрированием поперёк пограничного слоя [16-20]. Для бесконечного счётного (п = 1,2,3,.) набора весовых функций такой метод, в принципе, позволяет построить формальный процесс уточнения результата, увеличивая число п. Тем не менее в случае течений со взаимодействием и, в частности, отрывных течений, метод Нильсена и Хольта, не даёт в пределе п —> <>= приближения к решению уравнений Навье-Стокса, так как задача не описывается всюду уравнениями Прандтля.

Еще одна модель отрывного сверхзвукового течения [21], [22], [5] основана на предположении, что движением газа внутри зоны отрыва можно пренебречь.

Данное приближение оказалось небесполезным для оценок течений с развитыми зонами отрыва [23-32]. Однако, несмотря на попытки внести поправки в основные допущения теории, в частности, в так называемый критерий Корста-Чепмена, снизить погрешности и изменить присущие этому подходу характеристики в сторону уточнения не удалось.

Введение тех или иных моделей, некоторые из которых отмечены выше, при различного рода упрощающих предположениях диктовалось необходимостью дать способы описания течений сложных типов, выходящих за рамки классической теории пограничного слоя. Совершенно иная точка зрения на развитие теории сформулирована в [33], где, во-первых, указано, что приближенные полуэмпирические подходы не предполагают совершения какого-либо предельного перехода или процесса уточнения результата, при котором модельная картина течения стремится к точному решению. Фундаментальный недостаток состоит в том, что остаётся неясной связь с решениями уравнений Навье-Стокса при числах Рейнольдса Яе—. В этом смысле подход, основанный на упомянутых моделях, нельзя признать удовлетворительным в принципиальном отношении. Во-вторых, в [33] предложена нетривиальная систематическая процедура построения решений уравнений Навье-Стокса для вязкого газа, основанная на методе внешних и внутренних асимптотических разложений.

Несмотря на переход ламинарного течения в турбулентное при возрастании числа Рейнольдса, исключительный интерес представляет исследование предельной формы именно ламинарных движений, исходя из установления асимптотической структуры решений уравнений Навье-Стокса для Яе —» . Введение в теорию адекватных малых параметров в ситуации Ие—>°о позволяет построить правильную математическую конструкцию и, на её основе, предложить аналитические и численные методы, вскрывающие физическую природу рассматриваемых течений.

Как отмечено выше, первый и принципиально важный пример применения асимптотического подхода предложен в классической теории

Прандтля [2]. Высшие приближения при систематическом использовании асимптотических методов выведены в [34-36], [3].

Как в подходе Л.Прандтля, так и его обобщениях [33] ключевым элементом является поиск характерных масштабов и оценок зависимых и независимых переменных. Установление масштабов, по существу, фиксирует ту или иную физическую ситуацию. Контроль правильности оценок функций течения осуществляется через возможность сращивания асимптотических разложений в областях перекрытия различных зон течения, а также при построении высших приближений.

Классические понятия асимптотических рядов и функций сравнения, составляя содержание огромного и чрезвычайно развитого раздела математики, нашли своё приложение в теории дифференциальных уравнений. В частности, что касается задач теоретической аэрогидродинамики, то наиболее успешные приложения получили следующие методы. Это, так называемый, метод внешних и внутренних асимптотических разложений или метод сращиваемых асимптотических разложений, разработка которого связана с Фридрихсом [37], [38], Лагерстромом и'Коулом [39], [40] и др.; метод погранслойных поправок, разработанный Вишиком и Люстерником [41], [42]; метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го (ПЛГ) [43^4-5]; метод многих масштабов [46]. Систематическое изложение как перечисленных, так и ряда других методов содержится в монографиях [3], [47], [48].

Трудно назвать раздел аэрогидродинамики, в котором не нашли бы отражение те или иные варианты асимптотических методов. Если речь идет о течениях невязкой жидкости и газа, то это теория тонкого профиля, теория звукового удара, теория сопла Лаваля, течения на всём интервале значений числа Маха М„,е(0,°°) и т.д., в случае вязких течений предложены различные модификации асимптотических подходов во всём диапазоне чисел Рейнольдса, в том числе как при Яе —> 0, так и при 11е —» °°. В последнем случае, когда число Рейнольдса велико, наиболее естественным оказался метод сращиваемых асимптотических разложений, эффективность которого блестяще продемонстрирована в классической теории пограничного слоя Прандтля. Именно на этом методе будет сфокусировано внимание ниже.

В конце 60-х годов резко интенсифицировалось направление исследований, в котором в качестве исходного методологического принципа был принят асимптотический анализ решений уравнений Навье-Стокса. Другими словами, это означает, что целью анализа являлось установление предельной асимптотической структуры течения при Ие —> , формулировка краевых задач в различных характерных областях течения: вывод асимптотических систем уравнений и постановка граничных условий (из принципа сращивания), нахождение решения этих задач, при этом групповые свойства предельных уравнений дают ключ к получению законов подобия.

Далеко идущие продвижения данной теоретической схемы удалось реализовать в задачах сильного и свободного локального взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. Важным обстоятельством является то, что градиент давления, индуцируемый изменением толщины вытеснения пограничного слоя, влияет на течение в невязкой части потока уже в первом приближении. Данное высказывание эквивалентно следующему: задачи для вязкой области течения и для внешнего невязкого потока не разделяются и должны решаться одновременно. Как отмечено выше, наиболее иллюстративным примером течения такого типа является область свободного взаимодействия в окрестности точки отрыва пограничного слоя от обтекаемой поверхности, хотя к этому же типу принадлежит целый ряд подобластей в других течениях.

Данные экспериментальных наблюдений [49], [50], [5] показали, что течение в некоторой окрестности точки отрыва носит универсальный характер. Оно почти не зависит от типа возмущения, порождающего отрыв, будь то падение скачка уплотнения извне на пограничный слой, отклонение поверхности тела, разрыв формы контура тела (ступенька) и т.п. В связи с этим появилась гипотеза, что в первом приближении течение определяется локальным взаимодействием пограничного слоя с невязким сверхзвуковым потоком, в результате которого устанавливается согласованное распределение давления и толщины вытеснения. В принципиальном отношении важным продвижением в [5] является оценка порядков величин локальных характеристик течения.

С теоретической точки зрения правильная оценка для продольного масштаба области взаимодействия получена Лайтхиллом [51], который рассмотрел распространение возмущений вверх по потоку. Однако решение Лайтхилла построено в линейном приближении и, следовательно, оно неприемлемо вблизи самой точки отрыва, где течение является существенно, нелинейным.

Остановимся на классе течений со свободным взаимодействием более подробно. Метод внешних и внутренних асимптотических разложений в применении к этому классу подразумевает разделение области потока на три расположенных друг над другом подслоя (палубы), разложение функций течения в каждой палубе в асимптотические ряды и последующее сращивание данных рядов на границах этих палуб (точнее, в областях их перекрытия). В появившихся после исходной формулировки [33] работах, в частности, в [52], был предложен термин "triple-deck" (трёхпалубная схема) для названной асимптотической конструкции. Позднее в работах [53], [54] этот же тип предложенного решения использован для описания ламинарного отрыва несжимаемой жидкости.

Нестационарная форма трёхпалубной теории свободного взаимодействия предусматривает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической модели. В работах [55], [56] впервые были рассмотрены нестационарные эффекты; а в [57] в уравнения пограничного слоя для возмущений внутреннего течения впервые была включена функциональная зависимость от времени. Однако начало исследований, в которых присутствие времени в уравнениях трёхпалубной схемы трактуется не как модификация некоторой известной теоретической концепции, а как адекватный способ описания нового класса течений со свободным взаимодействием, положено в работах [58-60]. Построенное в [59] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны подтвердило предположение о существовании нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задаётся величиной градиента в начальных данных.

Общие свойства выведённого в [59] дисперсионного соотношения исследованы в [61-63]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным числом ветвей, хотя волна, перемещающаяся вверх по потоку, определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [64-66], который играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой. Таким образом, как отмечается в [59], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [67]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн.

Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [68] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга [69] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [70], [71] применительно ко внешним течениям и в [72], [73] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [74—76].

Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в каналах и трубах с точки зрения взаимодействия вязких пристеночных слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведён в [77-80] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения движения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и генерация вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматриваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от времени деформациями стенок обсуждаются в [81-84].

Целостное представление о современном состоянии проблем устойчивости, восприимчивости, ламинарно-турбулентного перехода и управления им, можно почерпнуть из недавно вышедших монографий [85], [86].

Таким образом, целый ряд новых аспектов возникает в теории Прандтля при введении концепции свободного взаимодействия, согласно которой градиент давления, в отличие от классических представлений, индуцируется самим пограничным слоем и не может быть вычислен по решению внешней задачи потенциального обтекания. Результат асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса [33], [52], [53], [87-91] состоит в выводе уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением для непосредственно прилегающей к обтекаемой поверхности узкой подобласти, которая оказывает преобладающее влияние на рост толщины вытеснения пограничного слоя.

Нелинейная теория возмущений, описывающая процесс свободного взаимодействия, допускает обобщение на нестационарные течения [55], [56], [58], [59], причём производные по времени в уравнениях первого приближения следует удержать лишь в упомянутом пристеночном подслое, если скорость набегающего из бесконечности потока сверх- либо дозвуковая. В двух других подобластях, а именно, в основной толще пограничного слоя и внешнем потенциальном потоке, движение газа квазистационарно, а производные по времени входят лишь в асимптотические уравнения для высших приближений.

Наоборот, при трансзвуковых скоростях движения газа зависимость искомых функций от времени оказывается существенной именно во внешней потенциальной части течения. Последнее обстоятельство составляет важную особенность распространения предложенной в [92] асимптотической модели взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым потоком на нестационарные движения [60]. Здесь квазистационарными оказываются поля скоростей в основной толще пограничного слоя и в вязком подслое. Однако обобщение [60] асимптотической схемы [92] не является единственно возможным. Альтернативный подход [93] к построению трёхслойной теории нестационарных трансзвуковых течений имеет следствием ситуацию (не встречавшуюся ранее в асимптотическом анализе), когда члены с производными по времени входят как в систему уравнений для вязкого пристеночного подслоя, так и в уравнение для внешних потенциальных возмущений (которое, в отличие от аналогичного уравнения [60], становится линейным).

Если амплитуды возмущений превышают порядки величин, диктуемые предположениями теории [33], [52], [53], [87-91], то асимптотический анализ пульсационных полей базируется на более сложной структуре поля потока. Для сверх- и дозвукового диапазона такой анализ приводит к формулировке четырёхслойной асимптотической теории [94], [95], существенным компонентом которой является обоснование применимости уравнений Бюргерса [96] и Бенджамина-Оно [97], [98] к описанию эволюции возмущений.

Развитые в [94], [95] представления позволили рассмотреть трансзвуковые течения с четырёхслойной структурой области взаимодействия [99]. Как и в [93], волновая картина включает существенно нестационарные области в нижней пристеночной части пограничного слоя и в верхнем потенциальном поле потока. Однако само асимптотическое разделение области самоиндуцированного давления на четыре подслоя связано с рассмотрением класса возмущений, характеризующихся иной по сравнению с [93] нормировкой независимых переменных и искомых функций, в частности, большей относительной величиной амплитуд. Полученное в [99] интегро-дифференциальное уравнение, которое описывает процесс свободного взаимодействия, приводится к уравнениям Бюргерса либо Бенджамина-Оно при выходе из трансзвукового диапазона (в сторону увеличения либо уменьшения числа Маха). В этом смысле развитая в [99] теория является аналогом подходов [94], [95], предложенных для отличающихся от единицы на конечную величину чисел Маха.

В настоящей работе подытоживаются исследования [100-106] различных аспектов нестационарного свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним трансзвуковым потоком, включая до- и сверхзвуковой диапазоны скоростей. Применяемая нестационарная асимптотическая теория позволяет выявить ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Решение начально-краевых задач, поставленных для уравнений Навье-Стокса, крайне проблематично из-за наличия малого параметра при старших производных, так как спектр изучаемых явлений характеризуется весьма большими значениями числа Рейнольдса Ые —»©о . Новые возможности для преодоления указанных трудностей появляются при использовании асимптотического подхода.

Основная направленность предпринятого в работе исследования — численный анализ особенностей дисперсионных соотношений, которые получаются в рамках асимптотической теории. Несмотря на определенные модельные ограничения, полученные численные результаты анализа дисперсионных соотношений позволяют сделать важные выводы о природе физических процессов в рамках теории неклассического пограничного слоя.

В настоящей диссертационной работе также обсуждается роль уравнения Линя-Рейснера-Цзяня и его модификаций [102], [106-108] с точки зрения асимптотических упрощений как уравнений движения идеального газа, так и уравнений процесса свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним трансзвуковым потоком. Подробным образом изучаются новые свойства получившихся модифицированных дисперсионных соотношений. Указывается на ряд тонких эффектов теории устойчивости, зависящих от выбора асимптотических моделей и влияния тех или иных параметров в исходных уравнениях для потенциала. Предлагается физическая интерпретация влияния модификации в исходных уравнениях на развитие неустойчивостей в пограничном слое.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чернышев, Антон Владимирович

112 Выводы

1. С помощью данных численных экспериментов подтверждены результаты для решений до- и сверхзвуковых дисперсионных соотношений, получены графики зависимостей для новых переменных и для большего количества мод (10 мод).

2. Проведено исследование классического дисперсионного соотношения из теории пограничного слоя при всех значениях трансзвукового параметра, выявлено значение трансзвукового параметра, при котором происходит переход в бифуркационный режим и стабилизация первой, неустойчивой в дозвуковом режиме, моды. Численно и аналитически получены и проверены асимптотики для первой моды классического трансзвукового дисперсионного соотношения.

3. С помощью новых математических методов найдены точные значения переменных, при которых наступает переход решения в бифуркационный режим. Проведено исследование окрестности критической точки. Найдены асимптотики решения, установлена седловая особенность критической точки, выведены уравнения для сепаратрис седловой точки. Продемонстрировано разбиение комплексной плоскости фазовой скорости для первой моды на четыре криволинейных сектора. Границами этих криволинейных секторов являются сепаратрисы особой точки типа седла.

4. Исследовано влияние сингулярного параметра перед второй производной по времени в уравнении для потенциала. Открыто явление переключения мод между собой. Получены аналитически и подтверждены численно асимптотики первой моды при больших значениях волнового числа. Предложена физическая интерпретация влияния сингулярного параметра на решение для первой моды.

113

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернышев, Антон Владимирович, 2010 год

1. Больцман JI. Лекции по теории газов. // М.: Гостехиздат. 1956.

2. Prandtl L., Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl d. Ill Internat. Mathem. Kongr., Heidelberg, 1904. Verlag von B.G. Teubner, Leipzig, 1905. S. 484-491.

3. Ван-Дайк M., Методы возмущений в механике жидкости. // М.: Мир. 1967. —319 с.

4. Ван-Дайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком. // В сб. "Исследование гиперзвуковых течений" —М.: Мир, 1964.

5. Chapman D.R., Kuehn D., Larson H. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition // NACA Report. — 1958. — № 1356. — 40 p.

6. Ferry A. Atti Guidonia № 37-38. 1940 // Современное состояние аэродинамики больших скоростей: Пер. с англ. — Москва: ИЛ, 19551956. —Т. 1, —474 с.

7. Howard L. The propagation of steady disturbances in a supersonic stream bounded on one side by a parallel subsonic stream // Proc. Cambridge Philosoph. Soc. — 1948. — V.44. — P.3.

8. Tsien H., Finston H. Interaction between streams of subsonic and supersonic velocities // JAS. — 1949. № 9.

9. Нейланд В.Я., Куканова Н.И. Исследование течений со срывными зонами // Обзор БНИ ЦАГИ. — 1965. — № 129.

10. Brown S.N., Stewartson K. Laminar separation // Ann. Rev. Fluid Mech. — Palo Alto, Calif., 1969. — V. 1. — P.45-72.

11. Fletcher L.S., Brigg D.G. A review of heat transfer in separated and reattached flows // AIAA Paper. — 1970. — №70-767.

12. Chang P.K. Separation of flow // International series of monographs in interdisciplinary and advanced topic in science and engineering. V.3. — Pergamon Press, 1970.

13. Dorodnitsyn A.A. General method of integral relations and its application to boundary-layer theory // Advan. Aeron. Sci. — 1962. — № 3.

14. Nielsen J.N. Calculation of laminar separation with free interaction by the Method of integral relation // AIAA Paper. — 1965. — № 65-1965.

15. Holt M. Separation of laminar boundary-layer flow past a concave comer // AGARD CP. — 1966. — V.l, № 4.

16. Holt M., Meng J.C.R. The calculation of base flow and near wake properties by the method of integral relation // IAS Paper RE 65. — 1968.

17. Crawford D.R., Holt M. Method of integral relation as applied to the problem of laminar free mixing // AIAA Journal. — 1968. — № 6.

18. Nielsen J.N., Lynes L.L., Goodwin F.K. Theory of laminar separated flows on flared surfaces including supersonic flow with heating and cooling // AGARD CP. — 1968. — № 84.

19. Chapman D.R. An analysis of base pressure at supersonic velocities and comparison with experiment // NASA Rep. — 1951.— № 1051.

20. Korst H.H., Page R.H., Childs M.E. A theory for base pressure in transonic and supersonic and supersonic flow // Univ. of Illinois., ME-CN-392-2. ORS TN 55-89. — 1955.

21. Елькин Ю.Г., Нейланд В .Я., Соколов JI.A. О донном давлении за клином в сверхзвуковом потоке // Инженерный журнал. — 1963. — Т.З. — Вып.2.

22. Елькин Ю.Г., Нейланд В.Я., Соколов JI.A. О расчёте характеристик ламинарных зон отрыва // Инженерный журнал. — 1965. — Т.5. — Вып.5.

23. Денисон М.Р., Кинг Г., Баум Е. Новые исследования течения в донной области // Ракетная техника и космонавтика. — 1964. — №8.

24. Нейланд В.Я., О расчёте характеристик срывной зоны и донного давления при обтекании тел сверхзвуковым потоком газа // Инженерный журнал. — 1965. — Т.5. — Вып.1.

25. Brower W. Leading-edge separation of laminar boundary layer in supersonic flow // IASS. — 1961. — № 12.

26. Нейланд В.Я., Таганов Г.И. О конфигурации передних срывных зон при симметричном обтекании тел сверхзвуковым потоком газа // Инженерный журнал. — 1963. — Т.З. — Вып.2.

27. Нейланд В.Я., Таганов Г.И. Передняя срывная зона при несимметричном обтекании тела с иглой сверхзвуковым потоком газа // Инженерный журнал. — 1963. — Т.З. — Вып.З.

28. Нейланд В.Я. Обтекание пластины под углом атаки гиперзвуковым потоком вязкого газа // Инженерный журнал. — 1963. — Т.З. — Вып.З.

29. Нейланд В.Я. О влиянии теплообмена и турбулентного течения в области смешения на характеристики срывных зон // Инженерный журнал. — 1964. — Т.4. — Вып.1.

30. Завадский А.Ю., Таганов Г.И. Расчёт течения при несимметричном обтекании эллипсоида с передней срывной зоной сверхзвуковым потоком // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1968. — №6.

31. Goldstein S., Flow of an incompressible viscous fluid along a semi infinite flat plate // Lectures on fluid mechanics. — New York: Wiley, 1960.

32. Браиловская И.Ю., Чудов JI.A. О двух методах построения высших приближений по малому параметру вязкости // Сб. "Вычислительные методы и программирование". — М.: Изд-во МГУ, 1967. — Вып.5.

33. Friedrichs К.О. Special topics in fluid dynamics. // New York Univ., 1953.

34. Fricdrichs K.O. Asymptotic phenomena in mathematical physics // Bull. Amer. Soc. — 1955. — № 61.

35. Lagerstrom P.A., Cole J.D. Examples illustrating expansion procedures for Navier-Stokes equation // Journal of Rational Mechanics and Analysis. — 1955. —№4.

36. Lagerstrom P. A. Note on the preceding two paper // Journal of Mathematics and Mechanics. — 1957.— № 6. — P.605-606.

37. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. — 1957. — Т. 12. — Вып.5(59).

38. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. — 1958. —Т.121.

39. Poincare H. Les methods nouelles de la mecanique celeste. // V.l Ch.3. — Dover. New York, 1892.

40. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid // Philos. Mag. — 1949. — Y.7, № 40.

41. Kuo Y.H. On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at moderate Reynolds numbers // Journal of Mathematics and Mechanics. — 1953.— №32.

42. Mahony J.J. An expansion method for singular perturbation problems // J. Austral. Math. Soc. — 1962. — № 2.

43. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. // М.: Мир, 1972. — 274 с.

44. Коул Дж., Кук JI. Трансзвуковая аэродинамика. // М.: Мир. Пер. с англ. 1989.320 с.

45. Gadd G.E., Holder D.W., Regan J.D. An experimental investigation of the of the interaction between shock waves and boundary layers // Proceedings of the Royal Society of London. — 1954. — Ser.A. — V.226.

46. Bogdonoff S.M., Kepler C.E. Separation of a supersonic turbulent boundary layer // Journal of Aeronautics Science. — 1955. — № 6.

47. Lighthill M.J. On boundary layers and upstream influence. I. Supersonic flows without separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1953. V.217. № 1131. P.478-507.

48. Stewartson K., Williams P.G. Self-induced separation // Proceedings of the Royal Society of London. Ser.A. — 1969. — V.312. № 1509. — P.181-206.

49. Сычев B.B. О ламинарном отрыве // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа.— 1972. — № 3. — С.47-59.

50. Smith F.T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface // Proceedings of the Royal Society of London. Ser.A. — 1977. V.356. № 1687. — P.443-463.

51. Schneider W. Upstream propagation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers // Ibid. 1974. Vol. 63, N3. P. 465^185.

52. Brown S.N., Daniels P.G. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating plate // Ibid. 1975. Vol. 67, pt. 4. P. 743-761.

53. Smith F.T. Flow through constricted on dilated pipes and channels. Pt. 1,2 // Quart. J. Mech and Appl. Math 1976. Vol. 29, pt. 3. P. 343-376.

54. Рыжов O.C. Уравнение нестационарного . пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234, №4. С. 780-783.

55. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением // ПММ. 1977. Т. 41, вып. 6. С. 10071023.

56. Рыжов О.С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // Докл. АН СССР. 1977. Т. 236, №5. С. 1041-1094.

57. Жук В.И., Рыжов О.С. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240, №5. С. 1042-1045.

58. Жук В.И., Рыжов О.С. О решениях дисперсионного уравнения из теории свободного взаимодействия пограничного слоя // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, №5. С. 1042-1045.

59. Ryzhov O.S., Zhuk V.I. Internal waves in the boundary layer with the self-induced pressure // J.mec. 1980. Vol. 19, N 2. P. 561-580.

60. Benney D.J., Bergeron R.F. A new class of nonlinear waves in parallel flows // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48, N 3. P. 181-204.

61. Davis R.E. On the high Reynolds number over a wavy boundary // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 36, pt. 2. P. 337-346.

62. Stuart J.T. Nonlinear stability theory // Annu. Rev. Fluid Mech. 1971. Vol.3. P. 347-370.

63. Терентьев Е.Д. Расчёт давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое // ПММ. 1979. Т. 43, вып. 6. С. 10141028.

64. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. // М.: Изд-во иностранной литературы. 1958.

65. Tollmin W. Uber die Enstehung der Turbulenz. Mitt. I. // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.phys. Kl. 1929. H. 1. S. 21.

66. Smith F.T. On the nonparallel flow stability of the Blasius boundary layer // Proc. Roy. Soc. London. A. 1979. Vol. 366, N 1724. P. 91-109.

67. Жук В.И. Рыжов О.С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253, № 6. С. 1326-1329.

68. Жук В.И., Рыжов. О.С. О свободном взаимодействии пристеночных слоев с ядром течения Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257, №1. С. 55-59.

69. Богданова Е.В., Рыжов О.С. О колебаниях, возбуждаемых гармоническим осциллятором в течении Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257, №4. С. 837-841.

70. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое // ПММ. 1981. Т. 45, вып. 6. С. 1049-1055.

71. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 2. С. 264-272.

72. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О переходном режиме, характеризующем запуск вибратора в дозвуковом пограничном слое на пластинке // ПММ. 1986. Т. 50, вып. 6. С. 974-986.

73. Богданова Е.В., Рыжов О.С. О возмущениях, генерируемых осцилляторами в потоке вязкой жидкости на закритических частотах // ПМТФ. 1982. № 4. С. 65-72.

74. Богданова Е.В. О свободных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечной круглой трубе // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, №4. С. 829-833.

75. Богданова Е.В. О свободных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости на входе в трубу кольцевого сечения малой кривизны // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265, №3. С. 556-560.

76. Bogdanova E.V., Ryzhov O.S. Free and inducted oscillations in Poiseuille flow // Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1983. Vol. 35, pt 2. P. 271-287.

77. Duck P.W. Pulsatile flow through constricted or dilated channels // Ibid. 1980. Vol. 33, pt l.P. 77-92.

78. Stephanoff K.D., Pedley T.J., Lawrence С .J., Secomb T.W. Fluid flow along a channel with an asymmetric oscillating constriction // Nature. 1983. Vol. 305, N5936. P. 692-695.

79. Duck P.W. Pulsatile flow through constricted or dilated channels. II // Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1985. Vol. 38, pt4. P. 621-653.

80. Pedley T.J., Stephanoff K.D. Flow along a channel with a time dependent indentation in one wall: The generation of vorticity waves // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 160. P. 337-367.

81. Бойко A.B., Грек Г.Р., Довгаль A.B., Козлов В.В. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. //Новосибирск: Наука, 1999.

82. А.В. Бойко, Г.Р. Грек, А.В. Довгаль, В.В. Козлов, Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях. // -М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006 304 с.

83. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке //Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. №. 4. С.53-57.

84. Нейланд В.Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений // Труды ЦАГИ. М.,1974. Вып. 1529.

85. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies // Adv. Appl. Mech. 1974. V.14. P. 145-239.

86. Messiter A.F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. 1970. V.18. №. 1. P.241-257.

87. Асимптотическая теория отрывных течений / под ред. В.В. Сычева. // М.: Наука, 1987, 256 с.

88. Messiter A. F., Feo A., Melnik R. Е. Shock-wave strength for separation of a laminar boundary layer at transonic speeds // AIAA Journal. 1971. V.9. № 6. P. 1197-1198.

89. Рыжов O.C., Савенков И.В. Об устойчивости пограничного слоя при трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ. 1990. № 2. С.65-71.

90. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982. Т.263. №.1. С. 56-59.

91. Smith F.T., Burggraf O.R. On the development of large-sides short-scaled disturbances in boundary layers // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1985. V. 399. № 1816. P.25-55.

92. Benjamin Т.В. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech. 1967. V.29. Pt.3. P. 559-592.98.0no H. Algebraic solitary waves in stratified fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V.39. №. 4. P.1082-1091.

93. Жук В.И. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке // ПММ. 1993. Т.57. Вып.5. С.68-78.

94. К.В. Гузаева, В.И.Жук, И.Г.Проценко, А.В.Чернышев. Об устойчивости пограничного слоя в трансзвуковом потоке И Вычислительные технологии, 2008. Т. 13. Специальный выпуск 5. С.39-44.

95. В.И. Жук, A.B. Чернышев. Дисперсионные уравнения в задаче устойчивости трансзвуковых течений и некоторые их свойства // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. №1.

96. В.И.Жук, А.В.Чернышев. Нижняя и верхняя ветви нейтральной кривой для пограничного слоя в трансзвуковом потоке // Фундаментальные и прикладные современной математики. Сборник научных трудов / МФТИ — М.: 2010. С.34-52.

97. В.И.Жук, А.В.Чернышев. О существовании особой точки ветвления дисперсионной кривой в задаче потери устойчивости пограничного слоя // Прикладная математика и механика. 2010. Т.74. Вып.6. (Принята к печати).

98. А.Н.Богданов, В.Н.Диесперов, В.И.Жук, А.В.Чернышев. Феномен свободного взаимодействия в трансзвуковых течениях и устойчивость пограничного слоя // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 12. (Принята к печати).

99. Богданов А.Н. Высшие приближения трансзвукового разложения в задачах нестационарных трансзвуковых течений // ПММ. 1997. Т.61. Вып.6. С.798—811. 92.

100. Богданов А.Н., Диесперов В.Н. Моделирование нестационарного трансзвукового течения и устойчивость трансзвукового пограничного слоя // ПММ. 2005. Т.69.Вып.З. С.394—403.

101. Рубан А.И., Сычев В.В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Успехи механики. 1979. Т. 2. Вып. 4. С. 57—95.

102. Smith F.T. On the high Reynolds number theory of laminar flows // IMA J. Appl. Math. 1982. V. 28. N. 3. P. 207—281.

103. Ш.Козлов В.В., Рыжов О.С. Восприимчивость пограничного слоя: асимптотическая теория и эксперимент // Вычислительный центр АН СССР. Москва. 1988.

104. Рыжов О.С., Савенков И.В. Асимптотический подход в теории гидродинамической устойчивости // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. №. 4. С.61—86.

105. Kozlov V.V., Ryzhov O.S. Receptivity of boundary layers: Asymptotic theory and experiment // Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A. 1990. V.429. P. 341—373.

106. Жук В.И., Рыжов О.С. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших значениях числа Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. N. 6. С. 1328—1332.

107. Жук В.И. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N. 4. С. 3—11.

108. Bodonyi B.J., Smith F.T. The upper branch stability of the Blasius boundary layer, including non-parallel flow effect // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1981. V. 375. N. 1760. P. 65—92.

109. Stewartson K. The theory of laminar boundary layers in compressible fluids. // Oxford: Claredon Press, 1964. 192 c.

110. Дородницын А.А. Пограничный слой в сжимаемом газе // ПММ. 1942. Т. 6. Вып. 6. С. 449—486.

111. Dunn D.W., Lin С.С. On the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid // J. Aeronaut. Sci. 1955. V. 22. N. 7. P. 455—477.

112. Lin C.C. On the stability of two-dimensional, parallel flow. III. Stability in a viscous fluid // Quart. Appl. Math. 1946. V. 3. N. 4. P. 277—301.

113. Вазов B.A. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. // М.: Мир, 1968. 464 с.

114. Жук В.И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны / М.: Наука, 2001. 167 с.

115. Рыжов О.С. О нестационарном пространственном пограничном слое, свободно взаимодействующем с внешним потоком // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 6. С. 1035—1052.

116. Нейланд В.Я. К асимптотической теории присоединения сверхзвукового потока // Тр. ЦАГИ. 1975. Вып. 1650. С. 3—17.

117. Крапивский П.Л., Нейланд В.Я. Отрыв пограничного слоя от подвижной поверхности тела в сверхзвуковом потоке газа // Уч. зап. ЦАГИ. 1982. Т. 13. N. 3. С. 32—42.

118. Coleman T.F., Li Y. An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds // SIAM Journal on Optimization. 1996. V. 6. P. 418-445.

119. Coleman T.F., Li Y. On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds // Mathematical Programming. 1994. V. 67. N. 2. P. 189—224.

120. Dennis J.E.Jr. Nonlinear Least-Squares. // State of the Art in Numerical Analysis,ed. D. Jacobs. Academic Press. P. 269—312.

121. Levenberg K. A Method for the Solution of Certain Problems in Least-Squares // Quarterly Applied Mathematics. 1944. V. 2. P. 164—168.

122. Marquardt D. An Algorithm for Least-squares Estimation of Nonlinear Parameters // SIAM Journal Applied Mathematics. 1963. V. 11. P. 431— 441.

123. More, J.J. The Levenberg-Marquardt Algorithm: Implementation and Theory // Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics. 1977. V. 630. Springer Verlag. P. 105-116.

124. More, J.J., Garbow B. S., Hillstrom К. E. User Guide for MINPACK 1. // 1980. Argonne National Laboratory, Rept. ANL-80-74.

125. Powell M.J. D. A Fortran Subroutine for Solving Systems of Nonlinear Algebraic Equations // Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations, P. Rabinowitz, ed., Ch.7, 1970.

126. Gander, W., Gautschi W. Adaptive Quadrature Revisited // BIT. 2000. V. 40. P. 84—101.

127. Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. //М.: Мир, 1971. 350 с.

128. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. // М.: Наука, 1974. 711 с.

129. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. // М.: Наука, 1979, 832 с.

130. Жук В.И. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока. // ЖВМ и МФ 1991., Т. 31, N 11, С. 1716-1730.

131. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. // М.: Мир, 1968.

132. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. //М.: Наука, 1964.

133. Фукс Б.А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. // Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

134. Lin С.С., Reissner Е, Tsien H.S. On two-dimensional non-steady motion of a slender body in a compressible fluid // Journal of Math, and Phys. 1948. V.27. N.3. P.220231. (Рус. пер. в сб.: Тазовая динамика". 1950. М.: ИЛ. С.183-197.)

135. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. // М.: Изд. иностр. лит. Пер. с нем. 1960. 422 с.

136. Коул Дж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. // М.: Мир. Пер. с англ. 1989. 320 с.

137. Жук В.И. Об одном варианте асимптотической теории нестационарного свободного взаимодействия пограничного слоя странсзвуковым потоком // Прикладная математика и механика. 2001. Т.65. Вып.1. С.69-85.

138. Сычев В.В., Башкин В.А. Лекции по теоретической гидродинамике. Часть I. // "Физтех-полиграф" 41 с.

139. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. // М.: Наука, 1988.512 с.