Полуаналитические методы в задаче обтекания тонких и телесных профилей потоком вязкой несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Бердник Янина Александровна

• Бердник Янина Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Бердник Янина Александровна

Введение

Глава 1. Исторический обзор исследуемой научной области

1.1 История развития теории пограничного слоя и её применения

к задачам обтекания тонкой пластинки

1.2 Вывод уравнений Прандтля и формулы Блазиуса для силы трения с использованием теории пограничного слоя в задаче обтекания тонкой пластинки

1.3 Развитие асимптотических приближений на примере задачи

об обтекании плоской пластинки

1.4 Развитие численных методов в гидродинамике и использование

их в задаче об обтекании плоской пластинки

1.5 История решения задач об обтекании аэродинамического

профиля при больших и малых числах Рейнольдса

Глава 2. Итерационный метод для обтекания пластинки потоком

вязкой жидкости. Первая итерация

2.1 Математическая постановка задачи. Метод

последовательных приближений

2.2 Основное интегральное уравнение для первой итерации и

его функциональные свойства

2.3 Представление физических полей на первой итерации в

конечном виде через Бесселевы функции (функции Макдональда)

2.4 Численная реализация

2.5 Выводы

Глава 3. Вторая и последующие итерации итерационного метода

для обтекания пластинки

3.1 Основное дифференциальное уравнение

3.2 Реализация итерационного процесса на второй и

последующих итерациях

3.3 Анализ решений Г. Блазиуса, Харрисона-Файлона и

результатов, полученных с помощью АКБУБ СБХ

3.4 Выводы

Глава 4. Обтекание симметричного телесного аэродинамического

профиля потоком вязкой жидкости

4.1 Основные гипотезы и метод решения

4.2 Вывод основного интегрального уравнения

4.3. Результаты расчётов

4.4. Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Программный код на алгоритмическом

языке Фортран

А.1 Численная реализация итерационного метода

Приложение Б. Свидетельство о регистрации программы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полуаналитические методы в задаче обтекания тонких и телесных профилей потоком вязкой несжимаемой жидкости»

Введение

Технологический прогресс в конце XX века показал реальность конструирования микролетательных аппаратов, работающих в режиме малых и средних чисел Рейнольдса, до значений порядка 20000. Этим объясняется возрастающий интерес с обнаружением новых эффектов в аэродинамике именно в этом диапазоне чисел Рейнольдса.

Задачи обтекания тонких и телесных профилей потоками вязкой жидкости составляют основу современной аэродинамики летательных аппаратов. Данная проблема в случае идеальной (невязкой) жидкости во многих случаях может быть исследована аналитическими методами. В случае потока вязкой жидкости в настоящее время к данной задаче, как правило, применяются прямые численные методы, которые обладают известными ограничениями по сравнению с аналитическими методами. В связи с этим представляется актуальным разработка полуаналитических методов к рассматриваемому классу задач, т.к. такой подход позволит производить эффективное исследование качественных свойств обтекания.

Целью данной работы является разработка нового полуаналитического итерационного метода для эффективного аэродинамического расчёта тонких и телесных симметричных профилей в однородном потоке вязкой жидкости.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать эффективный итерационный метод, который позволяет уточнять результаты с реализацией на каждой итерации и который лежит в основе полуаналитического метода.

2. Реализовать первую итерацию для задачи об обтекании тонкой пластинки однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Вывести граничное интегральное уравнение (ГИУ) для первой итерации относительно функции вязкого трения.

3. Написать программу, позволяющую определять силу трения, действующую на пластинку, распределение силы трения вдоль пластины и распределение продольной компоненты скорости потока на основе исходных данных о параметрах пластины и гидродинамических величинах потока вязкой жидкости.

4. Вывести основные соотношения для второй и следующих итераций и реализовать для них новый численный алгоритм с целью определения уточнённых значений силы трения и компонент вектора скорости потока.

5. Вывести граничное интегральное уравнение относительно силы трения на граничном контуре профиля в задаче обтекания телесного профиля однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости. На основе используемого итерационного метода и значений, полученных в процессе решения задачи об обтекании пластинки, реализовать численный алгоритм и определить коэффициент сопротивления для симметричных профилей NACA.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Историческицй обзор методов и теорий, используемых для решения задач об обтекании тонкой пластинки и симметричного телесного профиля потоком вязкой несжимаемой жидкости.

2. Представление нового итерационного метода последовательных приближений. Реализация первой итерации и сведение к граничному интегральному уравнению. Результаты первой итерации.

3. Представление второй и последующих итераций, их аналитическая и численная реализации. Сравнение итоговых результатов со значениями, полученными с помощью метода конечных объёмов в среде ANSYS CFX, а также с результатами Р. Блазиуса для средних и больших чисел Рейнольдса и решением Харрисона-Файлона для малых чисел Рейнольдса.

4. Метод интегрального уравнения в обтекании тонкого телесного профиля однородным потоком вязкой жидкости. Сравнение полученных результатов с результатами, полученными P.J. Kunz.

Научная новизна:

1. Реализован оригинальный итерационный метод для задачи обтекания тонкой пластинки потоком вязкой несжимаемой жидкости.

2. Разработан оригинальный набор алгоритмов и компьютерных программ, позволяющих получать данные о силе сопротивления тонкой пластинки, скоростных характеристиках потока вдоль пластинки и аэродинамических характеристиках крыловых профилей.

3. Предложена оригинальная теория расчёта характеристик потока, пластинки и телесного профиля для любых чисел Рейнольдса.

4. Впервые аналитически получено граничное интегральное уравнение (ГИУ), позволяющее рассчитывать коэффициент сопротивления симметричных телесных аэродинамических профилей.

Методика исследования базируется на научных положениях теоретической механики и механики жидкости, а также на использовании асимптотических методов, специальных функций, интегрального преобразования Фурье, плоской теории крыла, численных методов и решении задач на ЭВМ.

Научная и практическая значимость

Предоставленные в диссертации результаты имеют как теоретический, так и практический характер. Разработка полуаналитических методов в задачах обтекания профилей вязкими потоками жидкости и газа позволяет существенно сократить время вычислений на компьютере, что помогает проводить качественный анализ основных аэродинамических параметров задачи в реальном масштабе времени. Выведенные в процессе исследования дифференциальные уравнения и ГИУ, итерационный метод последовательных приближений и реализованная в среде программирования Fortran программа могут быть использованы при определении гидродинамических характеристик пластинки и симметричных телесных профилей. Также, полученное для телесного профиля ГИУ может являться основой для дальнейшего исследования обтекания несимметричных крыловых профилей.

Высокая степень достоверности представленных результатов достигается использованием строгого математического аппарата, основанного на точных уравнениях гидродинамики, а также сравнением с результатами численных расчётов, реализованных в среде ANSYS методом конечных объёмов. Кроме того, результаты, полученные предложенным методом, имеют хорошее совпадение с результатами других исследователей.

Апробация работы. Основные положения и результаты данной работы были представлены на следующих конференциях и научных семинарах:

1. международная школа-конференция молодых учёных, посвящённая 70-летию основания Национальной Академии Наук Армении, «Механика 2013». (Цахкадзор, Армения, 2013);

2. 17-ая Международная молодежная научно-практическая конференция. (Новочеркасск, Россия, 2018);

3. международная конференция «READ & EWADE 2018». (Брно, Чехия, 2018);

4. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. (Уфа, Россия, 2019);

5. научный семинар кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет. (Ростов-на-Дону, Россия, 2019).

Личный вклад. Изложенные в диссертации исследования выполнены непосредственно соискателем в процессе научных исследований. В совместные работы в соавторстве входит значительная часть материала, принадлежащая соискателю. Данные работы в виде публикаций и программы для ЭВМ представлены ниже, на них даются локальные ссылки. В работе [4] Бердник Я. А. принадлежат аналитические преобразования и численные исследования на языке программирования Fortran-2008, Бескопыльному А. Н. принадлежат расчёты полной силы трения, действующей на тонкую пластинку, при различных числах Рейнольдса, а также распределение продольной и поперечной скоростей потока с помощью метода конечных объёмов в среде ANSYS CFX. В работе [5] Сумбатяну М. А. принадлежат постановка задачи, часть аналитических преобразований,

Бердник Я. А. принадлежат часть аналитических преобразований, численная реализация. В работе [6] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Бердник Я. А. принадлежат аналитические преобразования, написанная на ЭВМ программа и численные расчёты. В работе [7] Сумбатяну М. А. принадлежит постановка задачи, Бердник Я. А. принадлежат аналитические преобразования и реализация численного алгоритма на языке программирования Fortran-2008, Бондарчуку А. А. принадлежат расчёты гидродинамических характеристик при различных числах Рейнольдса с помощью метода конечных объёмов в среде ANSYS CFX. В работе [8] Бердник Я.А. принадлежит большая часть кода на языке программирования Fortran-2008.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 1 электронном и 6 печатных изданиях, а также подтверждены свидетельством государственной регистрации программы для ЭВМ:

1. Бердник Я. А. Полуаналитический метод для уравнений Навье-Стокса в задаче обтекания плоской пластинки однородным потоком вязкой жидкости // Механика 2013 : труды международной школы-конференции молодых ученых, посвященной 70-летию Национальной Академии Наук Армении, 1-4 октября 2013, Цахкадзор, Армения - Ереван, 2013. - С. 109113.

2. Бердник Я. А. Итерационный метод для стационарных уравнений Навье-Стокса в задаче обтекания тонкой пластинки // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2014. - № 1. - С. 30-34.

3. Бердник, Я. А. Полуаналитический метод последовательных приближений для уравнений Навье-Стокса в задаче обтекания тонкой пластины потоком вязкой жидкости // Фундаментальные исследования, методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике : материалы 17-ой Международной молодежной научно-практической конференции, Новочеркасск, 6-7 сентября 2018 г. -Новочеркасск : Лик, 2018. - С. 65-71.

4. Berdnik Y., Beskopylny A. The approximation method in the problem on a flow of viscous fluid around a thin plate // Aircraft Engineering and Aerospace Technology. - 2019. - Vol. 91. - № 6. - P. 807-813. - DOI 10.1108/AEAT-07-2018-0196

5. Бердник Я. А., Сумбатян М. А. Обтекание телесного аэродинамического профиля потоком вязкой жидкости // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2019. - № 4. - С. 12-18. - DOI 10.23683/0321-3005-2019-4-12-18

6. Бердник Я. А., Сумбатян М. А. Полуаналитический метод в обтекании тонкой пластинки потоком вязкой жидкости // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 19-24 августа 2019 г. : сборник трудов : в 4 т. Т. 2 : Механика жидкости и газа - Уфа : БашГУ, 2019. - С. 74-76.

7. Сумбатян М. А., Бердник Я. А., Бондарчук А. А. Итерационный метод для уравнений Навье-Стокса в задаче обтекания тонкой пластинки потоком вязкой несжимаемой жидкости // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. - № 66. - С. 132-142. - DOI 10.17223/19988621/66/11

8. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016663050 Российская Федерация. Программа для ЭВМ расчета силы вязкого трения при продольном обтекании тонкой пластины: № 2016619640: заявл. 13.09.2016: опубл. 20.12.2016 / Я. А. Бердник, М. А. Сумбатян; правообладатель федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Южный федеральный университет».

Из этих публикаций 4 опубликованы в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук, соответствующих

научной специальности 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы (физико-математические науки) ([2, 4, 5, 7]).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 1 41 страницу с 15 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 1 33 наименования.

Во введении формулируется актуальность темы данной диссертации, определяются задачи и цели исследования, описываются основные результаты и предоставляется информация об их изложении в различных источниках, а также кратко излагается содержание диссертационного исследования.

В первой главе в разделе 1.1 представлен обзор развития теории пограничного слоя и её реализация в задаче обтекания тонкой пластинки, раздел 1.2 посвящён выводу уравнений Прандтля и формулы Блазиуса для силы трения, в разделе 1.3 дан обзор применяющихся асимптотических методов и метода разделения потока для исследования задач об обтекании тонкой пластинки, раздел 1.4 посвящен использованию численных методов, в разделе 1.5 приведен обзор исследований, посвященных обтеканию аэродинамических профилей при больших и малых числах Рейнольдса.

Во второй главе приводится реализация первой итерации метода последовательных приближений в задаче обтекания тонкой пластинки однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости, которая является базовой и важнейшей для реализации последующих итераций и для решения задачи об обтекании симметричных телесных профилей. В 2.1 представлены математическая постановка задачи, описание метода последовательных приближений и вывод основного дифференциального уравнения в частных производных. В 2.2 выводится ГИУ для первой итерации и приводятся его функциональные свойства. В 2.3 приводится представление компонент скоростей и полученного ГИУ через функции Макдональда. В 2.4 представлены численные методы, используемые для решения ГИУ, а также сведение интеграла с

бесконечными пределами в выражении для ядра полученного ГИУ к интегралу с полубесконечными пределами.

В третьей главе описывается реализация второй и последующих итераций метода последовательных приближений в задаче об обтекании тонкой пластинки. В 3.1 приводится основное дифференциальное уравнение для второй итерации и определяется связь вязкого трения с функцией тока. В 3.2 описан алгоритм численной реализации второй и последующих итераций. Раздел 3.3 посвящён сравнительному анализу значений, полученных методом последовательных приближений, результатов Р. Блазиуса для больших и средних чисел Рейнольдса, решения Харрисона-Файлона для малых чисел Рейнольдса, а также значений, полученных с помощью метода конечных объёмов в среде ANSYS CFX.

В четвертой главе выводится ГИУ в задаче об обтекании симметричного крылового профиля и используется итерационный метод последовательных приближений, реализованный ранее для тонкой пластинки. В 4.1 формулируются основные гипотезы и представляются основные физические соотношения. В 4.2 выводится основное ГИУ на граничном контуре симметричного телесного профиля. В 4.3 реализуются последующие итерации, приводятся результаты полученных расчётов, которые сравниваются с результатами исследования P.J. Kunz.

В заключении сформулированы результаты и выводы по данной работе. Диссертация выполнена при поддержке гранта в рамках базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ № 9.5794.2017/БЧ. Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Межлуму Альбертовичу Сумбатяну за руководство, полезные советы и помощь в работе.

Глава 1. Исторический обзор исследуемой научной области

1.1 История развития теории пограничного слоя и её применения к задачам обтекания тонкой пластинки

Необходимо отметить, что в XIX-начале XX вв. усилия учёных в области гидродинамики были направлены в основном на изучение течения идеальной жидкости. Таким образом, ведущие исследования этого времени велись в области волновой гидродинамики. Уильям Фруд ввел критерий, согласно которому число Фруда определяет соотношение между силой инерции и внешней силой, в поле которой происходит движение, действующей на элементарный объём жидкости или газа. Вскоре после этого Осборн Рейнольдс сформулировал закон для течения вязкой жидкости. Через некоторое время Анри Навье, Адемар Жан-Клод Барре де Сен-Венан и Джордж Габриель Стокс обобщили уравнения Леонарда Эйлера для течения идеальной жидкости в дифференциальной форме с учётом вязкости. Однако с математической точки зрения эти соотношения были сложны, и возможно было определить решения только для узкого круга задач, например, задач о ламинарном течении в трубах. Для решения других задач необходимо было использовать упрощения.

Уильям Ранкин в 1864 г. [1] визуализировал формирование пограничного слоя, прилегающего к поверхности корабля. Тем не менее, его вывод, приводящий к квадратичному закону сопротивления, относится только к заметной шероховатости поверхности корабля. Дмитрий Менделеев чётко различал гладкие и шероховатые поверхности» в своей монографии «О сопротивлении жидкости и о воздухоплавании» (Санкт-Петербург, 1880). Он признал важную роль, которую играет «тонкий слой жидкости», прилегающий к твердой поверхности и располагающийся вдоль соседних слоев, в возникновении сопротивления трению жидкости о поверхность тела.

Опыты У. Фруда в 1872 г. [2] с тонкой плоской пластиной, буксируемой в неподвижной воде, показали, что волновое сопротивление зависит не от длины пластины, а от скорости движения. Этот результат считался обусловленным тем, что задняя часть пластины находилась в контакте с водой, которая была приведена в движение передней частью, и поэтому не могла испытывать такую же силу трения, как передняя часть. Таким образом, У. Фруд предвидел существование пограничного слоя, толщина которого увеличивается по мере удаления вниз по течению. В одной из последующих работ У. Фруд [3] указал, что сила трения должна иметь свой аналог в потере импульса жидкости, прошедшей по поверхности пластины. Людвиг Прандтль [4] назвал У. Фруда первым английским автором, который связал появление сопротивления трения плоской пластины с возникновением различных по свойствам слоёв жидкости вблизи поверхности пластины при интенсивном сдвиге пластины. Судя по резюме его лекции, прочитанной в Американской ассоциации содействия развитию науки в 1869 году, У. Фруд, по-видимому, пришел к некоторой концепции пограничного слоя, прежде чем осуществить систематические буксировочные испытания.

Математические трудности интегрирования уравнений вязкой жидкости приводили к необходимости пренебрежения нелинейными членами. Это приближение могло быть оправдано для медленных течений, но, кроме этого, оно использовалось и для более быстрых течений жидкости с надеждой на то, что упрощённые решения смогут дать лучшее представление о потоке, чем те, которые были получены без учёта вязкости жидкости [5]. Значительным прорывом являлось то, что эти решения, по крайней мере, показывали ненулевое сопротивление. Большинство учёных сошлись на том, что на сплошной границе нет скольжения в случае медленных течений. Однако касательно быстрых течений взгляды разделились. Некоторые авторы приняли условие отсутствия скольжения также и для быстрых течений, но, по-видимому, не думали о необходимости непрерывного изменения скорости, начиная с нулевого значения у поверхности [6]. Был предпринят ряд попыток выразить функцию трения в виде

эмпирической формулы, применимой как к быстрым, так и к медленным течениям [7].

Л. Прандтль в 1904 г. [8] предложил концепцию пограничного слоя, которая произвела революцию в исследовании механики жидкости. Впервые понятие пограничного слоя он ввёл в статье под названием «О движении жидкости при очень малом трении» в 1904 г. Л. Прандтль исходил из четкого осознания того, что наиболее важным вопросом, касающимся течения жидкости малой вязкости, является поведение жидкости у твердой граничной стенки. Также он исходил из того, что течение жидкости является почти невозмущённым вдали от стенки и возмущённым в относительной близости от стенки. Таким образом, изменение скорости от величины, соответствующей почти равномерному движению, до нулевой скорости, требуемой по условию отсутствия скольжения у стенки, происходит в тонком слое, примыкающем к стенке. Чем меньше вязкость, тем тоньше переходный слой. Но резко возрастающая скорость, несмотря на небольшую вязкость, производит заметные эффекты, сравнимые по величине с теми, которые обусловлены силой инерции, если толщина переходного слоя пропорциональна квадратному корню из кинематической вязкости. Таким образом, эффекты вязкости существенны только в пределах пограничного слоя. Вне этого слоя полагается, что течение жидкости не зависит от вязкости и с высокой степенью точности описывается уравнениями движения идеальной жидкости.

Л. Прандтль представил эту концепцию в статье о пограничных слоях в 1904 г. Она заключалась в том, что поток вдоль гладкого тела может быть «разбит» на две области: (1) область, близкая к границам тела, где вязкость является определяющей для потока, для которой уравнения Навье-Стокса упрощаются и приводятся к уравнениям, которые сейчас называются уравнениями пограничного слоя; (2) область вдали от границ, в которой вязкость оказывает небольшое влияние и где течение жидкости подчиняется главным образом теории Эйлера потенциального течения жидкости. Решения, относящиеся

к этим двум областям, предлагалось сращивать на поверхности. Этот подход являлся ключевым для развития теорий о турбулентном течении [9], [10], [11].

В то время как Л. Прандтль не представил детального описания данного подхода на конкретных задачах, его студент Генрих Рихард Блазиус достаточно подробно описал новую теорию, используя её для решения задачи о пограничном слое вдоль плоской пластины. Это сразу же наглядно продемонстрировало огромные возможности концепции Л. Прандтля. Решение впоследствии было также протестировано при различных конфигурациях потока как в военно-морской технике, так и в аэродинамике, при этом было отмечено хорошее схождение результатов при больших числах Рейнольдса. Впоследствии Р. Блазиус некоторое время изучал проблемы теории потенциального потока, сделав определённый шаг назад. Однако его новые решения были еще одним дополнением к гидродинамике, включая течение со свободной поверхностью и усовершенствование трубки Пито.

Таким образом, статья Л. Прандтля в 1904 г. ознаменовала эпоху в истории механики жидкости, открыв путь для понимания движения реальных жидкостей. Тем не менее, появление теории пограничного слоя не получило большого отклика сразу, в течение почти двух десятилетий никаких публикаций на эту тему практически не последовало, за исключением небольшого количества статей студентов Л. Прандтля. В наше время до сих пор исследуется теория пограничного слоя и стабильность пограничного слоя возле обтекаемых тел [12], [13].

В 1913 г. статья Л. Прандтля о движении жидкости вышла в «Кратком словаре естественных наук» [14]. Эта статья содержала, среди прочего, краткое, но ясное описание теории пограничного слоя, которое, однако, упоминалось только в связи с формированием вихря за плохо обтекаемым телом, но не в связи с теорией пограничного слоя. Л. Прандтлю в 1914 г. удалось на примере обтекания шара экспериментально показать, что течение внутри пограничного слоя также может быть либо ламинарным, либо турбулентным. При этом он

отметил, что процесс отрыва потока, а вместе с тем и сопротивление трения, зависят от перехода течения внутри пограничного слоя из ламинарной формы в турбулентную. В основе этого исследования лежало предположение О. Рейнольдса о неустойчивости ламинарного течения. Затем Теодор фон Карман в 1921 г. [15] предложил уравнение импульсов или интегральное соотношение Кармана с помощью применения теоремы об изменении количества движения в фиксированном элементе пограничного слоя. Карл Польгаузен в 1921 г. [16] применил интегральный метод Кармана к нескольким случаям, используя полиномиальное приближение для распределения скоростей. В 1921 г. он также получил решение для принудительной конвекции в пограничном слое. Уолтер Толмин в 1924 г. [17] исследовал рост пограничного слоя вдоль круглого цилиндра, начинающего вращения из состояния покоя. Эксперименты, выполненные Ван Дер Зайненом с использованием анемометра с проволокой, нагреваемой электрическим током, явились важным достижением в исследовании пограничного слоя не только потому, что это было первое экспериментальное исследование, посвящённое этому вопросу, но также, потому что это было первое прямое наблюдение пограничного слоя. До этого времени каждый экспериментальный результат был косвенным, выведенным из общих аспектов потока. В 1925 г. Иоханнес Бюргерс [18] также привёл экспериментальные наблюдения распределения скорости в пограничном слое в задаче обтекания плоской пластины, выявляя одновременное присутствие ламинарной и турбулентной областей. У. Толмину в 1929 г. [19] после ряда неудачных попыток впервые удалось теоретически вычислить критическое число Рейнольдса для плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении. Однако, экспериментально это число было подтверждено лишь через десять лет.

Вследствие публикации полученных результатов начал возрастать интерес к теории пограничного слоя, которая стала предметом серьёзных обсуждений в научных кругах. Краткая ссылка на теорию пограничного слоя появилась в «Гидродинамике» Горация Лэмба в 1924 г. [20]. В 1927 г. Л. Мизесом [21] было

сделано предложение относительно использования функции тока в качестве одной из независимых переменных, после чего уравнение пограничного слоя приводилось к форме, аналогичной форме уравнения теплопроводности. В 1938 г. Л. Прандтль [22] заявил, что он также использовал ту же форму в 1914 г., чтобы использовать уравнение пограничного слоя для течения в двумерном канале, при этом граничное условие на двух стенках также выражалось через функцию тока. Результат, однако, не был им опубликован, и Л. Прандтль считал, что приоритет должен был быть за Л. Мизесом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бердник Янина Александровна, 2022 год

ъ— -

= 2aie 2 J

-ty

sin

—t2- -4

2lt2 -

4

cos

— t 2- b

(2.51)

dt

Интегралы в (2.51) сводятся к табличным заменой переменных

С t2 - (b /2)2, t = ^С2 + (b/ 2)2 , dt = CdC + (Ъ/ 2)2

ъ—-

I = 2aie 2 J

,"VC2 + (b2)2 y

С sin (С—)

b

г cos

(с—)

dc

Vc2 +(b2)2 2у/ с2 +(b2)2 и в терминах функций Макдональда À"0, ^ нулевого и первого порядка

соответственно приводят к следующему представлению:

ъ—г

I = iabe 2

—

I ——У I-I W

(2.52)

Проверим верность (2.52) с помощью [124] в частном случае при b ^ +0 ~ Re ^ +0. Тогда исходный интеграл I стремится к выражению:

2ia—

I ^ Г Ше"Иу/aeiP—/adl = 2i f e^/a sin(—/a)da = - , ,

JI1 Ш 0 —2 + y2

(2.53)

1

С другой стороны, при 0: Кх(г)—, К0(г)—^->+0- Вследствие

г

этого, также исходя из формулы I (2.52), получаем выражение, идентичное (2.53), что подтверждает справедливость приведённых выше рассуждений:

I =

—2 + y2

(2.54)

Таким образом, с учётом вида интеграла (2.52) выражение продольной компоненты скорости и'х (у) через функции Макдональда на первом шаге

определяется следующим видом:

e

о

х (у)=

1

2лри^ -а

!*(4)

( ь(4-х) (

Ье 2

к ^Тс^)

2| У2

х)

1 2(4- х) 1

(4-х)2 + У

к I

+ У

2 ■ У2

(2.55)

Следуя тем же рассуждениям и тем же преобразованиям, которые представлены для взятия интеграла I, интеграл по переменной 5 в выражении функции О (у) (2.39) также выписывается через функции Макдональда. С учётом

этого функция о' (у) принимает следующий вид:

ОУ(у ) = т^г ;

У 22о _а

1<4)-

2у

ь (4-х) 2 Ьу

(4- х )2 + у2

л/С 4- х)

2 у2

к

2 у2

й4

(2.56)

Через функции продольной и поперечной скоростей вида (2.55) и (2.56) соответственно выражаются производные этих функций по переменным х и у, которые необходимы для реализации следующей итерации.

Граничное интегральное уравнение (2.37) можно переписать также через функции Макдональда, используя формулу (2.55) при у = 0, а также граничное условие (2.23):

2жрио

М4)

Ье

ь(4-х

Г

\

(4- х)к1 ^-|4- ^

х

- к

'4-

х

/У

4-х

й4 = -ио

(2.57)

Уравнение (2.57) решается с помощью численного метода коллокации, сведения к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), и затем -методом Гаусса для решения СЛАУ. Также возможен и другой путь - приведение интеграла с бесконечными пределами к интегралу с полубесконечными пределами в уравнении (2.37) и численного расчёта полученного интеграла с помощью метода Симпсона и вновь с использованием вышеупомянутых методов коллокации и метода Гаусса. Оба способа приводят к близким результатам при выборе соответствующих параметров в методе коллокации. Поскольку изначально был использован второй способ, он также будет представлен в следующей главе.

1

а

2.4 Численная реализация

После аналитического вывода интегрального уравнения (2.57) и представления в явном виде функций u'x ( y ) и U (y), а также производных от них

d2uU (y) д3и'х (y) дUy (y)

—^^,—^^,—^—, являющихся коэффициентами при неизвестной и ее

dy dy dy

производных на второй итерации, для определения распределения силы трения по поверхности пластинки и нахождения полной силы трения необходимо численно решить уравнение (2.66). Также опишем численное решение уравнения (2.37).

Для того чтобы получить СЛАУ из уравнения (2.57), используется метод коллокации. Отрезок [- a, a] разбивается на N отрезков, длина каждого из них определяется следующим образом:

, 2a h = —

N

Узлы полученной сетки вычисляются по формуле:

х j =-a+(j - 0.5) • h, j =1,..., N.

(2.58)

(2.59)

За приближенное значение интеграла на отрезке [-a, a ] принимается сумма

от 1 до N интегралов по всем элементарным отрезкам образом, из уравнения (2.57) получаем СЛАУ относительно г.

h h x1 —, x1 +-j 2 j 2

. Таким

h ,

N xj+h f Kt-x) Г ' be 2

N J

j=1 h,

Xj--^

j 2

л

sign (t- x ) K1f -x

KI -1-X

ЛЛ 2 Л

t-X

dt = -2U]np

(2.60)

Для любого x Ф 0выражение (2.60) имеет вид:

N Xj+2f_ _bt*l f _ ч fu Л f b

^ J

1=1 h x1 — 41 2

be

Sign (t-x ) Kl I t-XI-Ko I b t-

x

Л 2 ^

t-x

dt = -2Ulnp

(2.61)

При этом при х ^4 расчёт численным методом Гаусса используется для системы следующего вида относительно г. с правой частью 2и1жр:

N 7=1

2 ъ( хк-х) г ( и л ( ь Х\

хк х,

- Ъе

ыт (хк- х ]) К1

-хАк

\Хк Х7 2' к 1

= 2и1жр

(2.62)

При £ ~ х в выражении (2.61) после интегрирования остаётся только

(Ъ, л

слагаемое к

х , которое можно представить в приближенном виде [124]:

2

К

2х

Г ( 1п

V V

4х1\ + У

(2.63)

где у = 0,57721566 - число Эйлера.

Интеграл от логарифма в последнем выражении берётся следующим образом:

2- (Ъ л 2 ( ъ Л г и \

-211п с1£ = -21 1п- + 1п£ ^ = -2 £1п- + 0 V4 ) 0 V 4 ) V 4

V

А/2 0

= -2

А, Ъ к, к к — 1п— + — 1п---

V 2 4 2 2 2У

г

= -к

Ъ , к

\

1п- + 1п--1

V 4 2 у

/

= -к

Ък

)

\

(2.64)

1п--1

V 8 у

Таким образом, при 1 = к интеграл от функции Макдональда нулевого порядка соответствует выражению:

+2 Г Ъ, Л ( Ък ^

{К -х\ ~-к 1п—-2 + у

V2 ) V 8

к

х— 2

(2.65)

Альтернативный метод состоит в использовании вышеописанного метода коллокации для уравнения (2.37). При этом также получается СЛАУ:

V

к

х,+— N 1 - 2

2ж1арП0 7

Е гХ {

РI -ч(Р)

Р

■ егр{Л-х)/аёр = и0

(2.66)

Интеграл из (2.66) является общим элементом в матрице СЛАУ и имеет упрощённый вид, представленный ниже:

х, + 1 2

а а

Ш-хУа^е _

■ л кX Ал, л

гР х; х+— /а Р х;-х— /а

Р 1 2) - е Я 7 2)

е

гр

= 2е

гр( х,-х)/а

а эт

V 2а у

(2.67)

Р

к

со

х-

Тогда после подстановки выражения (2.67) в (2.66) исходная СЛАУ принимает следующий вид:

' рн >

V N

Ег'

11р I -д (р) -

81П

V 2а У

(2.68)

п1 /иП0 7=1 7 -ю р'

Далее интеграл с бесконечными пределами интегрирования в СЛАУ (2.68) сводится к интегралу с пределами интегрирования 0 и + ю. Для этого он представляется в виде суммы двух интегралов следующим образом:

=1

1Р1-(Р), Р

-х )/а .

е ^ / 81П

|Р|-(Р), Р

Р1

-х )/а .

е " ' 81П

Рр 2а

Ур +

(2.69)

+ 11Р11 (реРх7-х)/а ^ Ри

° 2а

-ю Р V 2а у

Временно возвращаемся к переменной а, где Р = аа, и вновь полагаем, что

ь = ^

V

а также обозначаем интегралы в (2.69) как /10 и 1и:

+Юа-\1а2 - 1аЬ га!х7-х) . ( аН ^

= |-г-е w ' 81п —

а

'о =1'

V 2 у

dа, 1П = 1

а

-л/а2 - гаЬ а- . -г-е w ' 81п

С аН ^

а

V 2 у

dа

(2.70)

С помощью замены переменных а' = -а, dа' = -dа в интеграле 1и

имеем:

=-1

а-^а2 + гаЬ -а(х7-х) . ---е v 7 ' 81п

а

аН | , — ща

2 У

(2.71)

Заметим, что матрица СЛАУ в формуле (2.68) фактически представляет собой разность интегралов /10 и /п. Поскольку эти интегралы в формулах (2.70) и

(2.71) имеют один и тот же вид, с единственной заменой всех членов с мнимой единицей га на -га, то разность этих двух комплексно-сопряженных друг к другу величин является мнимой. Следовательно, после сокращения на мнимую единицу в знаменателе (2.68), получаем, что элементы матрицы в СЛАУ (2.68) вещественны.

Распишем подробно интегралы /10 и 1и и выделим их вещественную и мнимую части, сперва проделав это для первого интеграла:

о

о

Ао = \

a

a ■

= \

а

-"Ja2 -iba aa(x,-x) ---e • ! sin a ^ ah Л — I da = V 2 J

¡a2 Wa4 +a2b2 . ¡■\/a4 +a2b2 -a2

i 2 ' i 2

a2

a2 Wa4 +a2b2 . ---+ u Va4 +a2b2 - a2

ah |

(2.72)

— I da

2 J

=\

а

-(cos(a(xy -x)) + isin(a(xy -x)))sin

ah | , — Ida

2 J

Таким образом, мнимая часть первого интеграла имеет представление:

Im А10 = \

sin (a( x - Xj)) ^

a

a2 Wa4 +a2b2

2 -sin(a(x - x))

a

Va4 +a2b2 -a2

2 —(a( x- x))

-cos (

a

(2.73)

ah | , — \da

Вещественная часть первого интеграла в свою очередь расписывается следующим образом:

Re I10 = \

(a(x- x)) у

a2 Wa4 +a2b2

-cos

a

a

(a( x- x ))-

V

Va4 +a2b2 -a2

a

-sin(a(x -x))

(2.74)

ah Л , — Ida

.2 J

Аналогично расписывается выражение второго интеграла

-•\/a2 +iab

I11 =-\

a--

11 J 2

о a

-alx, -x) .

-e sin

ah

-a + .

da= \

Va4 +a2b2 -a2

2 . (2.75)

(cos(a(x - x))- i sin (a(x} - x)))sin

ah | — \da

2 J

Таким образом, выделяя мнимую и вещественную части второго интеграла, получаем следующие выражения:

о

о

о

о

1т /„ = 1

sin (а(X - х)) ^

а

а2 +\1а4 +а2Ь2

2 -s1n(а(Xj -х)) +

а

•\/а4 + а2Ь2 -а2

2 ™ (а( х- х))

-cos (

а

• (2.76)

^1П

ак , — \аа 2

Вещественная часть второго интеграла имеет вид:

Ке !ц = 1

cos (а(х - х)) ^

а2 +^]а4 +а2Ь2

а

а

-cos (а ах - х)) +

V

^О+ОЬ -а2

2 х- х))

^т I

а

. (ак^ (2.77)

sm — аа

I 2

После произведённых выше вычислений приходим к тому, что вещественная часть первого интеграла равна вещественной части второго, взятого с противоположным знаком, а мнимые части этих интегралов равны. Следовательно, с учётом выражений (2.83), (2.84), (2.86), (2.87) интеграл /9 равен

удвоенной мнимой части первого (или второго) интеграла: /9 = 21т /10 = 21т /п

Таким образом, СЛАУ (2.68) имеет следующий вид:

N

0

(а(х' - ))

11

1 +

1 Ь2

а

+ '

1+Ь -1

а

^ (ак^ s1n

(а(х- хк))

V 2

йа =

а

(2.78)

к = 1,..., N

2к

СЛАУ (2.78) выписывается также в более наглядном виде с учётом того, что

а = Р:

а