Асимптотические задачи теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Жук, Владимир Иосифович

• Жук, Владимир Иосифович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Жук, Владимир Иосифович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Многоярусная асимптотическая структура свободно взаимодействующего пограничного слоя

$ 1.1. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое

с самоиндуцированным давлением

$ 1.2. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным

давлением

$ 1.3. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного

слоя в несжимаемой жидкости

Глава II. Асимптотическая четырехпалубная модель замкнутой срывной зоны в сверхзвуковом потоке

$ 2.1. Оценка толщин характерных подобластей течения

$ 2.2. Редукция задачи к совместному решению уравнения

Бюргерса и системы уравнний Прандтля

$ 2.3. Асимптотическая картина течения при х сю .

Переход к трехпалубной структуре поля скоростей

$ 2.4. Асимптотическая картина течения при х -4- —оо

Глава III. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой

$ 3.1. Асимптотические разложения в основной части

пограничного слоя и в критическом слое

$ 3.2. Асимптотика нижней ветви нейтральной

кривой при 11е —>■ оо

$ 3.3. Асимптотика верхней ветви нейтральной

кривой при Ее —^ оо

$ 3.4. О вынужденных колебаниях в пограничном слое на частотах, близких к верхней ветви

нейтральной кривой

Глава IV. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке

$ 4.1. Асимптотическая структура основной части пограничного

слоя для трансзвукового диапазона скоростей

$ 4.2. Внешняя область свободного взаимодействия

$ 4.3. Солитоны в трансзвуковом пограничном слое

$4.4. Роль вязкого поде доя в случае периодических

по пространству нелинейных волн

$ 4.5. Переход к числам Маха, отличающимся от единицы

на конечную величину

Глава V. Решения уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега--де Вриза, описывающие нелинейное развитие возмущений в пограничных слоях и процессы рождения солитонов

$5.1. Многослойная асимптотическая картина течения в струе несжимаемой жидкости, ограниченной снизу

плоским экраном

$5.2. Пример течения, описываемого уравнением Бенджамина-Оно

с неоднородной правой частью

$ 5.3. Генерация солитонов на стационарной

неоднородности поверхности

$ 5.4. Задача о вибраторе. Линейное приближение

$ 5.5. Нелинейная реакция на гармонические

колебания поверхности

$ 5.6. Дальнейшие примеры решений уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, иллюстрирующие характерные формы передачи возмущений вверх и вниз по потоку

Глава VI. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при до- и трансзвуковых скоростях внешненго потока

$ 6.1. Исходные предположения

$ 6.2. О поведении функций течения в пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине

в сжимаемом потоке

$ 6.3. Решение уравнений для возмущений в основной

толще пограничного слоя

$ 6.4. Решение в вязком пристеночном подслое

$ 6.5. Решение в критическом слое

$ 6.6. Дисперсионное соотношение в случае дозвуковых

скоростей набегающего потока

$ 6.7. Дисперсионное соотношение в случае трансзвуковых

скоростей набегающего потока

$ 6.8. Перекрытие окрестностей верхней и нижней

ветвей нейтральной кривой

Глава VII. О форме нейтральной кривой, замыкающей область неустойчивости пограничного слоя

$7.1. Дисперсионное соотношение в случае теплоизолированной поверхности при малых числах Маха

184

$7.2. Бифуркация нейтрального решения в случае малых отклонений температуры

от температуры торможения

$ 7.3. О зарождении дополнительных ветвей нейтральной

кривой внутри классической петли неустойчивости

Глава VIII. О возбуждении волн Толлмина-Шлихтинга при взаимодействии акустического поля с трехмерной неровностью на обтекаемой поверхности

$ 8.1. Слабонелинейная теория генерации волн

Толлмина-Шлихтинга звуком

$ 8.2. Пространственные собственные колебания пограничного слоя с трехъярусной структурой

возмущенного поля скоростей

$ 8.3. Неустойчивость пограничного слоя по отношению

к трехмерным возмущениям

$ 8.4. Трансформация звука в косые волны Толлмина-Шлихтинга на препятствии в виде

наклонной полосы

$ 8.5. О генерации волн Толлмина-Шлихтинга при взаимодействии акустического поля

с риблетами

ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические задачи теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя»

ВВЕДЕНИЕ

Результатом систематических исследований ламинарных течений вязкого газа при больших числах Рейнольдса явилось построение в конце шестидесятых годов рациональной асимптотической теории, описывающей тонкую структуру решений уравнений Навье-Стокса в областях, где продольные градиенты газодинамических функций не малы и, следовательно, нарушаются условия применимости классических уравнений пограничного слоя Прандтля [1]. Наиболее известным примером течения этого типа служит так называемая область свободного взаимодействия, возникающая в окрестности точки отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности. Термин "свободное взаимодействие" предложен в экспериментальной работе [2] и отражает тот факт, что градиент давления в пограничном слое индуцируется локальным вытесняющим действием на невязкую часть потока самого же пограничного слоя. Другими словами, задачи о вязкой подобласти течения и внешнем невязком потоке не могут быть разделены (как это имеет место в классической теории Прандтля) и должны решаться совместно. Асимптотическая теория стационарного отрыва включает в себя построение решения уравнений Навье-Стокса около точки отделения нулевой линии тока от тела в виде трех асимптотических рядов для слоев течения с разными масштабами толщины, в связи с чем ее иногда называют трехслойной или трехпалубной (the triple-deck structure). В дальнейшем оказалось, что к данному типу принадлежит ряд других течений, рассматриваемых, в зависимости граничных условий, самостоятельно или как важные фрагменты решения нелокальных краевых задач.

Ведущая свое начало от пионерских работ [3],[4] по отрыву от гладкой поверхности сверхзвукового пограничного слоя, а также работ [5],[6] о течении несжимаемой жидкости около задней кромки пластины, нелинейная трехслойная теория свободного взаимодействия в своих многочисленных приложениях позволила глубже понять природу тех особенностей [7], которые, как правило, возникают в рамках основанного на уравнениях Прандтля с предписанным градиентом давления классического подхода, свидетельствуя о необходимости его пересмотра.

Теория отрыва от гладкой поверхности пограничного слоя несжимаемой жидкости развита в [ 8 ], в соответствии с которой в точке отрыва реализуется условие Бриллюэна-Вилля [9], причем возвратное течение появляется в области свободного взаимодействия. Возникающая нетривиальная краевая задача для окрестности точки отрыва решена численно в [ 10],[ 11 ].

Трудность отмеченных здесь задач об отрыве от гладкой поверхности обусловлена тем, что размеры области свободного взаимодействия никак не связаны с вносимыми через граничные условия масштабами длины, а являются функциями только числа Рейнольдса. Аналогичное замечание относится также и к теории отрыва на подвижной поверхности [12]. В то же время широкий класс течений в окрестности различного рода препятствий, лежащих на дне пограничного слоя, соответствует режиму свободного взаимодействия при определенных сочетаниях параметров препятствий (их поперечных и продольных размеров) и числа Рейнольдса [ 13 ],[ 14].

Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля потребовала существенной модификации математической теории течения жидкости в области взаимодействия [15]—[18]. В качестве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя внимание обнаруженная неединственность решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится данная задача при удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того, родственная по своей математической формулировке задача об отрыве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [19] обладает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что движение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, причем изменение на коротких расстояниях граничных условий (например, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за собой возникновение области взаимодействия с двухслойной структурой [20]—[23].

Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу [ 24 ], то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям

основного невязкого потока. Тем не менее, как показано в [25], деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, который взаимодействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях [26], даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам даления и вызвать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимптотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним течениям, изучены в цикле работ [27]—[31]. В частности, исследованный механизм передачи возмущений вверх по потоку предсказывает, что несимметричная деформация стенок порождает нелинейное свободное взаимодействие выше по потоку на расстояниях, масштаб которых существенно превышает толщину канала.

Уравнения трехмерного пограничного слоя рассмотрены в [ 28 ],[ 29 ] при описании вязкой пристеночной подобласти течения в круглой трубе с несимметрично возмущенной формой стенки. Что касается внешних течений, то обобщение трехпалубной теории свободного взаимодействия на случай обтекания вязким потоком с двумерным невозмущенным пограничным слоем трехмерного препятствия содержится [32], где соответствующая краевая задача для несжимаемой жидкости решена в линеаризованном варианте. Предположение о слабых возмущениях использовалось также в [33] для иной геометрии трехмерного течения. Связывающее неизвестное давление и функцию смещения линий тока условие взаимодействия в виде двойного интеграла Коши-Гильберта приобретает сравнительно простой вид в спектральном пространстве, поэтому вычислительная процедура, основанная на применении псевдоспектрального подхода, оказалась эффективной при исследования нелинейного режима обтекания трехмерной неровности [34].

Нестационарная форма трехпалубной теории свободного взаимодействия предусматривает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Впервые нестационарные эффекты рассмотрены в [35],[36]; зависимость от времени включена в уравнения

пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [25]. Однако начало исследований, в которых присутствие времени в уравнениях трехпалубной схемы трактуется не как модификация некоторой известной теоретической концепции, а как адекватный способ описания нового класса течений со свободным взаимодействием, положено в работах [37]—[39]. Построенное в [38] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны подтвердило предположение о существовании нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных.

Общие свойства выведенного в [ 38 ] дисперсионного соотношения исследованы в [40]—[42]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [43]—[45], понятие которого играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой; таким образом, как отмечается в [38], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.

Следует отметить, что к обсуждаемому вопросу можно подойти с несколько иной точки зрения. Трехпалубная теория, представляя собой теорию малых возмущений, описывает реакцию пограничного слоя на внешние воздействия различной природы, учитываемые при формулировке соответствующих математических задач через начальные и граничные условия. Система уравнений свободного взаимодействия допускает тривиальное решение при однородных начально-краевых условиях, которое соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматриваемую область. Естественный интерес представляет вопрос о степени отклонения решения от тривиального при наличии возмущающих факторов (амплитуда которых мала в исходных переменных и порядка единицы после нормировки в терминах фигурирующего в трехпалубной теории малого параметра).

Найденное в [ 46 ] в рамках линейного приближения отличное от тривиального стационарное решение (являющееся частным случаем решения [38]), которое ответвляется от решения Блазиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [3],[4]. Последнее, таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интерпретируется в [ 47 ] как специфическая форма потери устойчивости.

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [ 48 ]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную, систему внутренних волн. Показано, что возмущения параметров газа затухают по экспоненциальному закону как вверх, так и вниз по потоку от источника.

Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [49] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина--Шлихтинга [50] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [51],[52] применительно к внешним течениям ив [ 53 ],[ 54 ] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина--Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [55]—[57].

Асимптотический анализ свободных и вынужденных колебаний в каналах и трубах с точки зрения теории взаимодействия вязких пристеночных слоев с невязким ядром потока несжимаемой жидкости проведен в [58]—[61] для малых амплитуд, позволяющих линеаризовать уравнения движения. Нелинейные аспекты процесса распространения волн и генера-

ция вихрей при возрастании амплитудного параметра в рассматриваемом классе задач о движениях жидкости в каналах с зависящими от времени деформациями стенок обсуждаются в [62]-[65].

Обобщение на нестационарные движения теории коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля предпринято в [66],[67]. Нестационарный аналог фундаментального уравнения использовался в [ 66 ] с целью изучения распространения волн Толлмина-Шлихтинга. Абсолютная неустойчивость поля скоростей по отношению к мелкомасштабным возмущениям и, как следствие, некорректность задачи Коши для упомянутого уравнения установлена в [67],[68]. Быстрый рост инкремента усиления в коротковолновой части спектра приводит к тому, что обратное преобразование Фурье становится неограниченным, причем для сколь угодно малого промежутка времени.

Многоярусные асимптотические конструкции занимают значительное место в теоретических исследованиях явления неустойчивости течения в поле центробежных сил [69],[70] (вихри Тейлора-Гертлера). Обтекание вогнутого участка поверхности рассмотрено в [71],[72], где предложена линейная асимптотическая формулировка проблемы возникновения вихрей Тейлора-Гертлера, включающая эффект нарастания толщины пограничного слоя. Как отмечается в [71 ], предложенный подход вполне аналогичен исследованию [51] влияния на волны Толлмина-Шлихтинга непараллельности линий тока в невозмущенном пограничном слое. Вихри Тейлора-Гертлера на вогнутой стенке, внося дестабилизирующий фактор, наряду с волнами Толлмина-Шлихтинга играют важную роль в процессе перехода ламинарного течения в турбулентное, причем с ростом амплитуд обеих упомянутых мод начинается процесс их взаимодействия, требующий для своего описания построения теории на нелинейном уровне [73]. Неустойчивость Тейлора-Гертлера того типа пограничного слоя, который возникает в трехпалубной теории, рассмотрена в [74]. Если на обтекаемой поверхности расположена неровность, вносящая возмущение трехслойной структуры, то уравнения, описывающие вихри Тейлора-Гертлера в нижнем подслое, почти идентичны соответствующим уравнениям для классического пограничного слоя. Механизм воздействия сильно нелинейных

вихрей Тейлора-Гертлера на развитие волн Толлмина-Шлихтинга малой амплитуды рассмотрен в [75],[76].

Развитие асимптотической теории взаимодействия и отрыва пограничного слоя в дозвуковых и сверхзвуковых потоках за предшествующий середине восьмидесятых годов период отражено в обзорах [ 77 ]—[ 90 ] и в монографии [91 ].

В качестве одного из признаков, выделяющих данное направление теоретической гидродинамики, можно указать использование метода сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений, получившего применительно к ряду задач строгое обоснование [92]—[94]. Характерные принципы сращивания формулируются в [95]—[97], разбор современных методов построения асимптотических решений задач из различных областей динамики жидкости составляет содержание обзоров [98],[99].

Итак, большинство эффектов, наблюдающихся в не описываемых классическими уравнениями пограничного слоя Прандтля ламинарных течениях, например таких, как течения с отрывом, достаточно хорошо поняты теоретически. В общем случае в потоке возникают вязко-невязкие структуры, причем области течения вне и внутри пограничного слоя воздействуют друг на друга на относительно коротких масштабах длины. Несмотря на впечатляющие успехи асимптотического подхода и наличие ряда законченных результатов, данный круг явлений продолжает оставаться в фокусе внимания, о чем свидетельствуют многочисленные публикации последнего десятилетия. Интерес исследователей привлекает, во-первых, возможность приложений основных идей развитых теоретических методов к более сложным процессам (резонансные тройки, трехмерные пограничные слои, высокочастотные осцилляции в потоке, взаимодействие сильно нелинейных возмущений различных типов, ранние стадии ламинарно-турбулентного перехода) и, во-вторых, наличие, в некоторых случаях, неясностей и даже противоречий внутри самой асимптотической теории.

Вопрос о роли невязкой неустойчивости Рэлея на фоне имеющих вязкую природу волн Толлмина-Шлихтинга поставлен в [100]: сильно возмущенные течения с точками перегиба профиля скорости (например, вблизи деформированных участков твердой поверхности или локальных зон отрыва) дают начало интенсивно растущим мелкомасштабным пульсациям.

Нелинейное искажение самой волны Толлмина-Шлихтинга также приводит к генерации коротковолновых высокочастотных колебаний, интерпретируемых как вторичная неустойчивость. С данными эффектами связан отмеченный в [101] парадокс: сравнение асимптотических (при стремящихся к бесконечности числах Рейнольдса) решений теории взаимодействующего пограничного слоя с решениями уравнений Навье-Стокса и экспериментами обнаружили неожиданное согласование результатов при сравнительно низких числах Рейнольдса ([102]—[104]). В то же время увеличение чисел Рейнольдса часто приводит к расхождению асимптотической теории с реально наблюдаемыми экспериментально свойствами течений вследствие их неустойчивости.

В [ 101 ] обращается внимание на то обстоятельство, что стационарные асимптотические решения неклассических уравнений пограничного слоя со взаимодействием часто получаются в результате подавления неустойчивос-тей. Более того, поле течения около внезапно приведенного в движение цилиндра рассматривается в [101] как пример нестационарного асимптотического решения, построенного благодаря исключению быстро растущих неустойчивых мод (отсутствующих при классической формулировке задачи для пограничного слоя). Хотя данный подход на первый взляд представляется неудовлетворительным, хорошее совпадение с полученными по уравнениям Навье-Стокса результатами при умеренных числах Рейнольдса служит аргументом в пользу асимптотической теории.

Нестационарный вариант теории свободного взаимодействия содержит механизм неустойчивости типа Рэлея, имеющий место в нелинейно возмущенных областях с точками перегиба мгновенных профилей продольной скорости. С данным утверждением, составляющим основной вывод [101], связана невозможность повысить точность конечно-разностных методов расчета обсуждаемых течений путем уменьшения шагов сетки: сгущение узлов фактически вводит более короткие масштабы длин волн, которыми обладают быстро растущие собственные функции задачи и проявляющиеся как вычислительная неустойчивость. Спектральные свойства неустойчивых мод таковы, что нелинейная стадия их нарастания может сопровождаться появлением сингулярности в конечный момент времени.

С другой стороны, предположение [105] о связи наблюдаемых в экспериментах [106]—[108] неустойчивостей в виде высокоинтенсивных импульсов или 'шипов' с самовозбуждающимися в областях с точками перегиба рэлеевскими модами находит определенное подтверждение в исследованиях [109]. С этой точки зрения отмеченное выше особое поведение решений асимптотических уравнений в сильно нелинейных областях в какой-то степени отражает реальные процессы разрушения ламинарного режима течения в пограничном слое.

Теоретическая модель рециркуляционной зоны, имеющей характерную длину порядка хорды тонкого тела, предложена в [ 110]. В предположении, что ширина отрывной зоны не превышает толщину тела, легко вывести систему уравнений, где в качестве одной из неизвестных функций фигурирует форма границы вихревой области. Показано, что существенно нелинейные нестационарные возмущения приводят к разрушению в конечный момент времени такой двуслойной структуры путем фокусировки и выброса вихря.

Возможность резонансного взаимодействия волн в пограничных слоях и их существенная роль в нелинейной неустойчивости предсказана теоретически в [111],[112]. Нелинейная связь двух косых волн Толлмина-Шлихтинга с прямой волной может приводить к усилению всех трех взаимодействующих волн. Важно подчеркнуть, что интенсивность взаимодействия данного типа характеризуется квадратом амплитуды и, следовательно, превышает традиционную для стандартных нелинейных теорий величину, пропорциональную кубу амплитуды. Обнаруженное в экспериментальных наблюдениях [113] параметрическое резонансное трехволно-вое взаимодействие соответствует в основных чертах модели [111],[112], подтверждаемой также в [114].

Нестационарные уравнения для нижней палубы трехслойной теории применяются в [115] к исследованию резонансных троек в пограничном слое несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса. С этой целью осуществляется переразложение упомянутых уравнений в предположении, что частота основной волны (и двух субгармоник) является большим параметром, в то время как амплитуда давления остается фиксированной.

В результате такого предельного перехода нижняя палуба, в свою очередь, разделяется на слой Стокса и внешнюю область. Сращивание асимптотических разложений в каждой из этих подобластей приводит к амплитудным уравнениям для резонансной тройки. Предпринятый в [115] анализ, с одной стороны, придает рациональный базис основным предположениям [111],[112], а с другой стороны, дополняют представления [113],[114] о резонансном взаимодействии волн неустойчивости.

Механизм субгармонического резонанса, когда вязкие члены входят в уравнения первого приближения для критического слоя, исследован в [ 116 ]. Рассматриваемый специальный случай дает представление о влиянии вязких эффектов на взаимодействие волн симметричного триплета. Выведенные амплитудные уравнения решаются численно. Как следует из [116], вязкость уменьшает скорость роста возмущений на стадии параметрического резонанса и приводит к затягиванию момента возникновения сингулярности. Заметим, что в [117] предложена теория параметрического усиления возмущений, несколько отличная от модели [ 111 ]. Механизм взаимодействия плоской и косой мод (либо пары косых мод) собственных колебаний, имеющих совпадающие фазовые скорости, обсуждается в [118]. Нелинейная связь таких волн осуществляется через общий критический слой, причем возмущения данного типа не обязаны удовлетворять условиям субгармонического резонанса.

Хорошо известный из экспериментов эффект генерации волн Толлмина--Шлихтинга звуком [ 119 ],[ 120 ] представляет собой специальный случай так называемой восприимчивости (receptivity) пограничного слоя: объединяемый данным термином круг явлений, связанных с преобразованием внешних возмущений в собственные колебания с экспоненциально нарастающей амплитудой, математически описывается уравнениями с неоднородными начально-краевыми условиями [121]. В пользу концепции, согласно которой ответственными за возбуждение внешними (как правило длинноволновыми) флуктуациями волн Толлмина-Шлихтинга с чрезвычайно короткими длинами являются локальные гидродинамические неоднородности, свидетельствуют результаты многочисленных опытных данных для источников возмущений самой различной природы [120] и, в частности,

выводы [ 122], где рассмотрено нестационарное течение при резких изменениях давления в пограничном слое. Привлечение трехпалубной теории взаимодействующего пограничного слоя позволило впервые прояснить механизм преобразования монохроматической звуковой волны в волну Толлмина--Шлихтинга в окрестности стационарной неровности на поверхности обтекаемого тела [ 123],[ 124]. К числу важных качественных результатов цитированных теоретических работ следует отнести, во-первых, существенную нелинейность процесса преобразования (хотя при малых амплитудах задача в каждом приближении сводится к решению систем линейных уравнений с правыми частями) и, во-вторых, нормировку геометрических размеров возмущающих факторов посредством числа Рейнольдса (принимающего большие значения). Заметим, что данные [124] дополнены численными решениями уравнения Орра-Зоммерфельда для локальных профилей средней скорости [125].

Если задача о преобразовании акустических волн на локальных неодно-родностях формулируется в [ 126 ],[ 127] для уравнения Орра-Зоммерфельда, то в [ 128 ] восприимчивость двумерного пограничного слоя по отношению к акустическим полям при наличии локализованного отсоса изучается методом прямого численного моделирования на основе уравнений Навье-Стокса. На возможность альтернативной трактовки проблемы восприимчивости к естественным, а также искусственно вводимым возмущениям обращается внимание в [ 129]. Разложения по биортогональному базизу из собственных функций сопряженной задачи позволяют определить амплитуду возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга при конечных числах Рейнольдса.

Восприимчивость области отрыва на передней кромке тонкого профиля (теория которой развита в упоминавшихся выше работах [15]—[17]) составляет предмет исследования [130]. Анализ нестационарного движения, возникающего под действием гармонических осцилляций набегающего потока, свидетельствует о конвективной неустойчивости взаимодействующего пограничного слоя, причем термины "конвективная" и "абсолютная" неустойчивость понимается в смысле определений [131],[132]. Развитие волн неустойчивости вниз по потоку приводит к их трансформации в пространственно растущие волны Толлмина-Шлихтинга посредством механизма, описанного в [133].

Внезапное расширение вихревого ядра потока, известное как разрушение ("распад" или "взрыв") вихря [134], характеризуется возникновением прилегающей к его оси области возвратного течения. Асимптотический подход к построению теории явления разрушения вязкой вихревой нити в случае стационарных осесимметричных течений реализован в [135]. Для течения в осесимметричном следе критерием его разрушения служит условие обращения в нуль скорости на оси симметрии. В качестве критерия разрушения вихря принимается условие обращения в нуль полного давления на оси симметрии. Обоснование этого критерия дается в [135], где показано, что разрушение происходит в два этапа. Сначала торможение жидкости за счет закрутки внешнего потока приводит к обращению в нуль полного давления на оси симметрии вязкого ядра. Затем в результате дальнейшего торможения скорость на оси симметрии обращается в нуль, причем механизм торможения здесь носит "невязкий" характер. Образующаяся в результате поверхность, имеющая форму эллипсоида, охватывает область медленного возвратного течения.

Ближний след и пограничный слой вблизи задней оконечности тонкого осесимметричного тела при больших числах Рейнольдса представляет собой еще один пример течения, допускающего асимптотическое описание в рамках концепции свободного взаимодействия. Если теория плоских течений около задней кромки изложена, например, в цитированной выше монографии [91], то обтекания тел с осевой симметрией изучено в [136],[137] для случая, когда их радиус имеет порядок толщины пограничного слоя. Тонкие тела вращения со степенной формой задней оконечности, но толщинами большими по порядку величины, чем толщина пограничного слоя, рассмотрены в [138]. Исследуемые режимы являются промежуточными между безотрывными и отрывными с образованием развитых зон возвратного течения, причем в качестве одного из основных результатов асимптотического анализа [ 138 ] установлены предельные значения толщины в зависимости от показателя степени, при которой возникает взаимодействие течения в пограничном слое с внешним потоком.

Плоское течение вязкой несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, около вращающегося с постоянной угловой скоростью эллипса с малым эксцентриситетом иллюстрирует эффект зарождения локальных

зон возвратных токов. Асимптотическая оценка для больших чисел Рей-нольдса тех значений эксцентриситета, при которых впервые возникает отрыв, дается в [139]. Возникающая в одной из подобластей поля потока неклассическая задача для уравнений пограничного слоя, когда давление заранее неизвестно и должно находиться по заданной толщине вытеснения, вполне аналогична встречающимся ранее при рассмотрении обтекания малых неровностей на поверхности тела для внешних [ 140 ] и внутренних [ 25 ] течений. Соответствующие решения обладают регулярным поведениям в точках нулевого поверхностного трения и описывают течения с зонами возвратных токов. При малых значениях одного из параметров задачи в [139] приводится аналитическое решение, существование решения при конечных значениях упомянутого параметра следует ожидать на основании [141], при стремлении данного параметра к бесконечности в точках отрыва будут возникать особенности. В отличие от известной ситуации с возникновением особенности Гольдштейна [7], решение оказывается продолжимым через точки нулевого поверхностного трения, причем, согласно [140], течение содержит развитые зоны отрыва.

Теоретический анализ вихрей Тейлора-Гертлера (в частности, цитированные выше исследования [71]—[76]) получил дальнейшее развитие при построении асимптотических моделей, учитывающих все характерные диапазоны изменения длин волн, в том числе меньших по порядку величины, чем толщина пограничного слоя [ 142 ]—[ 145 ]. Установленные оценки пространственных масштабов характерных подобластей и амплитуд возмущений позволили сформулировать основные краевые задачи и проследить динамику развития вихрей. В [145] отмечается, что основным при зарождении вихрей является механизм конвекции.

Трехмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости решаются численно в [146] с применением спектральных разложений Фурье--Чебышева с целью исследования нелинейной эволюции вихрей Тейлора--Гертлера в двумерных пограничных слоях и взаимодействия с ними волн Толлмина-Шлихтинга. Отмечается качественное согласование с результатами [147], полученными с помощью метода многих масштабов и теории Флоке. Благодаря нелинейным эффектам указанное взаимодействие

порождает косые волны с поперечными длинами, определяемыми размерами вихрей Тейлора-Гертлера. В случае трехмерного невозмущенного пограничного слоя задача на собственные значения, устанавливающая связь между скоростью роста вихрей Тейлора-Гертлера, амплитудой боковой компоненты скорости и волновым числом решается в [ 148 ],[ 149]. Анализ [ 150] вторичной неустойчивости вихрей Тейлора-Гертлера нацелен на выяснение относительной роли четных и нечетных собственных функций в зависимости от длины волны. Нелинейное пространственное развитие четных и нечетных мод исследуется численными методами на основе параболи-зованных уравнений устойчивости. Распространение обсуждаемого круга вопросов на течения в трубах осуществлено в [151].

Лагранжевы координаты используются в [ 152 ] для иллюстрации формирования особенности в конечный момент времени при попытке построить решение в пограничном слое на поверхности гладкого тела с помощью уравнений Прандтля с заданным градиентом давления. Лагранжев подход допускает описание класса сингулярных решений, который характеризуется наличием особенности в уравнении неразрывности, а уравнения сохранения импульса остаются регулярными. Качественное поведение решения с особенностью сильно зависит от типа симметрии течения; при отсутствии симметрии в трехмерных нестационарных течениях особенность, согласно [152], имеет квази-двумерную структуру. Результаты [152] свидетельствуют в пользу применения переменных Лагранжа, которые существенно упрощают описание отрыва в многомерных нестационарных задачах. Приложением развитой в [152] теории является исследование [153] процесса отрыва в экваториальной плоскости сфероида, мгновенно приведенного во вращение вокруг оси симметрии.

Развитие ламинарного пограничного слоя вверх по потоку от двумерного и трехмерного препятствия, установленного на плоской стенке, рассматривается в [154]. Движение инициируется импульсивным выведением жидкости из состояния покоя, а высота препятствия предполагается превышающей толщину пограничного слоя. Показано, что через конечный промежуток времени в решении образуется особенность. Численные решения уравнений нестационарного пограничного слоя получены как в эйлеро-

вых, так и в лагранжевых координатах. Обнаружено, что фокусировка возмущений в узкой области, характерная для явления выброса вихря, гораздо сильнее проявляется в случае двумерной геометрии по сравнению с трехмерным случаем. При этом в [154] обращается внимание на очень сложную картину предотрывного поля течения для трехмерного нестационарного пограничного слоя.

Некоторые вычислительные аспекты в задаче устойчивости пограничного слоя Блазиуса как в приближении параллельности линий тока, так и с учетом нарастания его толщины обсуждаются в [ 155]. Для непараллельного основного течения предлагаемый численный алгоритм конструируется с использованием многомасштабного представления отыскиваемого решения, характеризующегося медленными вариациями собственных значений и собственных функций вниз по потоку.

Ранние стадии ламинарно-турбулентного перехода пограничного слоя Блазиуса при наличии искусственно вводимых возмущений изучаются в [156] с помощью численного интегрирования уравнений Навье-Стокса. В [157] представлены два метода исследования линейной и нелинейной устойчивости пограничного слоя. Один из них основан на прямом численном решении уравнений Навье-Стокса, другой метод связан с применением параболизованных уравнений к анализу конвективно неустойчивых течений. Основное внимание уделено роли непараллельности основного потока и нелинейным эффектам, причем влияние последних, как отмечается в [157], согласуется с существующими слабо-нелинейными теориями. Новая формулировка задачи устойчивости пограничного слоя [158] учитывает пространственное изменение потока и использует специальное преобразование координат; в случае течения Блазиуса предлагаемый подход близок к [ 157].

Трехмерные нелинейные уравнения трехпалубной теории свободного взаимодействия численно решаются в [159] для построения стационарной картины обтекания малой неровности на поверхности тела. Нестационарное движение вблизи неровности, возникающее из-за наличия возмущений во внешнем потоке, рассматривается затем в рамках линеаризованных уравнений трехслойной теории, которые также интегрируются численно.

Целью [159] служит изучение механизма восприимчивости возмущенного коротким препятствием пограничного слоя по отношению к внешним гармоническим осцилляциям. Как следует из [159], возбуждаемые в пограничном слое растущие вниз по потоку волны Толлмина-Шлихтинга сосредоточены внутри некоторой клиновидной области.

Нестационарные локализованные в пространстве неоднородности пограничного слоя (пятна Эммонса [160]) моделируются в [161] в виде решений задачи с начальными данными для трехмерных невязких возмущений. Несмотря на ряд упрощающих предположений, достигнуто хорошее качественное согласование с результатами экспериментальных исследований структуры турбулентных пятен.

Развитие искусственно вводимых в ламинарный пограничный слой на плоской пластине трехмерных возмущений и последующие нелинейные стадии переходного процесса изучаются в [162] на основе прямого численного решения полных уравнений Навье-Стокса. Расчетные исследования [162], ориентированные на моделирование условий экспериментов [163], [164], воспроизводят данные измерений вплоть до стадии вторичной неустойчивости.

Комбинация численных и асимптотических методов применяется в [ 165 ] к построению стационарных возмущений двумерного течения в длинном прямолинейном канале. Волновые числа возмущений течения Куэтта--Пуазейля находятся в результате решения задачи на собственные значения для уравнения, фактически представляющего собой стационарный вариант уравнения Орра-Зоммерфельда.

Предельная асимптотическая модель трехмерных возмущений трехмерного пограничного слоя рассматривается в [ 166 ] для дозвуковых скоростей набегающего потока и при больших характерных числах Рейнольдса, причем, как обычно, в нормальном к обтекаемой поверхности направлении выделяются три области. Нетривиальные решения линеаризованных уравнений трехмерного пограничного слоя с условиями взаимодействия для возмущений в виде бегущих волн исчезающе малой амплитуды существуют, если частота и компоненты волнового вектора удовлетворяют дисперсионному соотношению [167],[168]. Однако анализ [166],[168] его решений

указывает на присутствие особенностей, одна из которых приводит к некорректности задачи Коши по Петровскому [ 169 ] для системы линейных уравнений. В [170] предложена новая, корректная по Петровскому модель, в которой сохранено число Рейнольдса и которая учитывает изменение нормального градиента давления, вызванного центробежными силами. Введены изменения во временные свойства модели, позволяющие более точно описывать поведение при высоких частотах. Учет зависимости давления от поперечной координаты важен во второй области — основной толще пограничного слоя, а дополнительная зависимость от времени важна в первой — внешней области и во второй. Что касается третьей области — пограничного слоя с самоиндуцированным давлением, то в ней уравнения остаются неизменными, изменяется только предельное условие на ее верхней границе. Построенное линейное решение обладает большей пригодностью в высокочастотной области спектра, поэтому предложенную модель с несколько измененными условиями сращивания можно считать равномерно пригодной.

Нестационарный отрыв двумерного потока при больших числах Рейнольдса рассматривается в [171]. Решение нестационарных двумерных уравнений невзаимодействующего пограничного слоя приводит к известной особенности в области с заданным неблагоприятным градиентом давления. Однако, процесс отрыва сопровождается изменением давления через вязко-невязкое взаимодействие еще до возникновения сингулярности (первая стадия взаимодействия по терминологии [ 171 ]). Описывающее данную стадию численное решение получено в лагранжевых координатах, причем, как показано в [171], невязкая неустойчивость по отношению к высокочастотным осцилляциям служит причиной разрушения решения уже на первой стадии. Анализ линейных возмущений подтверждает наличие упомянутой неустойчивости, что служит основанием сформулированного в [171] вывода о том, что взаимодействие начинается существенно раньше, чем это следует из общепринятых представлений о механизме нестационарного отрыва.

Предложенная в [172] теория генерации волн Толлмина-Шлихтинга внешней турбулентностью основана на асимптотической картине преобразования возмущений, отличающейся от рассмотренной в [123],[124] для

случая генерации акустическими полями. Свойство звуковой волны легко проникать в пограничный слой проявляется в виде осцилляций продольной компоненты скорости в порождаемом этой волной слое Стокса около обтекаемой поверхности. Нелинейное взаимодействие колебаний в слое Стокса и стационарного возмущенного неровностью поверхности течения в нижнем вязком подслое образующейся трехпалубной структуры ведет к возбуждению волны Толлмина-Шлихтинга. Что касается волн завихренности, то связанные с ними осцилляции скорости не проникают (по крайней мере, в главных приближениях вводимых асимптотических представлений) в основную толщу пограничного слоя, быстро затухая в промежуточной области между пограничным слоем и внешним невязким потоком. В результате нижний вязкий подслой индуцированной неровностью трехпалубной структуры не подвергается прямому воздействию волн завихренности. Неровность поверхности, однако, вносит возмущения в область вне пограничного слоя (верхний подслой трехпалубной структуры). Именно стационарные возмущения в верхнем подслое взаимодействуют с осцилляци-ями скорости волн завихренности (моделирующими турбулентность внешнего потока), что служит причиной генерации волн Толлмина-Шлихтинга. В качестве одного из следствий асимптотической теории в [172] выведена формула для амплитуды возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга.

В приведенном выше обзоре работ, в которых асимптотический подход в пределе больших чисел Рейнольдса позволяет перейти от уравнений Навье-Стокса к сравнительно более простым уравнениям свободно взаимодействующего пограничного слоя, значительное место занимают различные аспекты теории гидродинамической устойчивости. То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделанному в [51] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей [173]—[177]. Более того, именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчеркивается в [ 175 ], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя.

Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения часто игнорируется в теоретических исследованиях устойчивости, использующих приближение параллельности невозмущенных линий тока. Строго говоря, предположение о параллельности содержит указанное в [178] противоречие: число Рейнольдса должно быть одновременно (а) асимптотически велико для применимости данной аппроксимации и (б) порядка единицы в задаче о нахождении критического числа Рейнольдса. Теория [51],[175], где эффекты непараллельности учитываются в нескольких старшими членах асимптотических рядов, свободна от упомянутого недостатка и в первом приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости локально-одномерного потока.

Пространственная устойчивость двумерного пограничного слоя на плоской пластине исследуется в [179] на основе метода многих масштабов, который приводит к неоднородному уравнению Орра-Зоммерфельда вследствие эффектов непараллельности. Модификация классического метода Гейзенберга [ 180] предложена в [ 181 ] с целью построения равномерно пригодного решения уравнения Орра-Зоммерфельда. В [ 182 ] приведены результаты измерений полей возмущений в пограничном слое на плоской пластине, дающие информацию о существенном влиянии непараллельности течения на его устойчивость.

Значительный прогресс в понимании механизмов нелинейной неустойчивости достигнут благодаря качественным результатам, полученным для течений с высокой степенью симметрии (одномерных или осесимметрич-ных). В ранних работах [ 183 ],[ 184 ] развита формальная схема разложения решений уравнений Навье-Стокса в ряды, справедливая при достаточной близости к нейтральной кривой линейной теории, то есть при малых инкрементах роста возмущений. В случае малых, но конечных, амплитуд пульсаций последние имеют ту же периодическую по продольной координате структуру, что и в линейной теории, однако зависящие от времени амплитуды подчиняются нелинейному дифференциальному уравнению. В закритическом режиме амплитуды растущих возмущений стремятся к конечному предельному значению; в докритическом режиме усиление возму-

щений имеет место для амплитуд, превышающих некоторую пороговую величину. Позднее в [ 185 ] для чисел Рейнольдса, превышающих критическое значение на малую величину, методом многих масштабов выведено нелинейное амплитудное уравнение параболического типа, обобщающее уравнение из [183],[184] на случай пространственных вариаций амплитуд возмущений в течении Пуазейля и описывающее систему волн, распространяющихся с некоторой групповой скоростью. Цитированная выше работа [178] касается существенно более сложного вопроса о нелинейных возмущениях из окрестности нижней ветви нейтральной кривой для пограничного слоя с учетом нарастания его толщины (непараллельности основного потока). Наибольшая рассмотренная амплитуда возмущений соответствует трехпалубной структуре поля скоростей; для меньших величин возмущений применима слабонелинейная теория, позволяющая получить амплитудное уравнение. Если величина возмущений мала по сравнению с любой степенью обратного числа Рейнольдса, то теория [178] воспроизводит классический случай линейной задачи устойчивости непараллельного течения.

Существование нейтральной кривой для течения Пуазейля позволяет ожидать, что введенные в [183],[184] ряды сходятся по крайней мере в асимптотическом смысле. С другой стороны, если число Рейнольдса и волновое число достаточно далеки от нейтральной кривой, необходимы иные принципы построения нелинейной теории. В независимых работах [43], [44] таким принципом служит нелинейность критического слоя. Линейная невязкая теория устойчивости параллельных течений (уравнение Рэлея) приводит к логарифмической особенности флуктуаций скорости в критическом слое, учет вязкости в котором устраняет особенность. Другая возможность устранения логарифмической особенности связана с отказом от линеаризации и построением регулярного решения невязких нелинейных уравнений; указанное решение представляет собой результат наложения на сдвиговый поток осцилляций, периодических в направлении течения. Результаты [43],[44], получившие развитие в [186],[187], относятся к нестационарным колебаниям, фазовая скорость которых порядка скорости основного течения. Эволюция полученных в [ 43 ],[ 44 ] структур при уменьшении

фазовой скорости периодических возмущений исследована в [188]. Математическая модель критического слоя волны Россби и ее связь с теорией [43],[44] обсуждаются в [189],[190].

Нелинейная эволюция волны Толлмина-Шлихтинга с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной кривой изучается в [191] с учетом непараллельности потока жидкости в пограничном слое. Анализ уравнений Навье-Стокса проводится при совместном рассмотрении процесса перемещения волны в неоднородном потоке, который сопровождается увеличением инкремента нарастания волны, и процесса роста ее амплитуды на основе нелинейной теории устойчивости параллельных течений, имеющей результатом замедление этого роста. Полученные оценки для "быстрой" и " медленной" переменных метода двухмасштабных разложений по продольной координате приводят к амплитудному уравнению. Как отмечается в [191], независимо от знака производной от амплитуды в начальной точке, амплитуда неизбежно растет при достаточном удалении от этой точки.

В обзорных работах [121],[192] по теории устойчивости и восприимчивости пограничного слоя на пластине в качестве базисного асимптотического подхода рассматривается трехъярусная структура свободного взаимодействия, позволяющим добиться кардинальных упрощений по сравнению с уравнениями Навье-Стокса в постановках начально-краевых задач. Простота, по замечанию [192], достигается, главным образом, за счет дисперсионного соотношения, свойства корней которого удается изучить с исчерпывающей полнотой. Основная часть [121],[192] посвящена линейной стадии распространения двумерных и трехмерных волновых пакетов и волн Толлмина-Шлихтинга; приводятся также результаты численного анализа двумерных нелинейных волновых движений с применением псевдоспектрального метода [34],[ 193],[ 194]. На каждом шаге итерационного процесса рассматривается канонический оператор в линеаризованных уравнениях взаимодействующего пограничного слоя с известной правой частью, обусловленной нелинейными членами. Псевдоспектральный метод, по-видимому, дает наилучшие результаты в начале нелинейного процесса, когда роль высокочастотных пульсаций невелика.

Физическая картина возмущений, которые вносит потенциальный вихрь в пограничный слой при движении над локальной шероховатостью в виде выступа или впадины [195],[196], находит отражение в подходе к численному решению сформулированной краевой задачи на основе псевдоспектрального метода. Зарождение волнового пакета и дальнейшая эволюция его структуры в зависимости от напряжения вихревой нити, а также указанная аналогия с рассеиванием звука, находятся в полном соответствии с общей концепцией восприимчивости пограничного слоя по отношению к внешним источникам различной природы [121],[197].

В [198] получен ответ на вопрос о существовании автомодельных решений, которые описывают локально трансзвуковые течения, а именно, исследована структура трансзвукового потока в окрестности точки излома профиля в классе автомодельных решений уравнения Кармана. Рассматриваемая угловая точка является пересечением двух гладких кривых, касательные к которым образуют выпуклый угол. Предполагается, что набегающий дозвуковой поток идеального газа безвихревой, изоэнергетический и достигает в точке излома скорости звука. В результате из данной точки выходит звуковая линия. В [198] показано, что имеются два семейства автомодельных решений уравнения Кармана. Найдены показатели автомодель-ности, для которых существуют решения с волной разрежения (решения типа Вальо-Лаурина) и со свободной линией тока. Упомянутые решения строятся добавлением членов, которые учитывают кривизну образующей. Обсуждается вопрос о том, какие из вышеописанных типов локальных течений реализуются в глобальной задаче обтекания.

Существование и единственность автомодельных решений уравнения пограничного слоя, описывающих течения в слоях смешения, доказаны в [199]—[201]. Исследованные краевые задачи возникают в процессе сращивания асимптотических разложений для характерных подобластей в течениях с отрывом, а также в окрестности задней кромки тонкого профиля [91 ]; в силу этого выполненный в [ 199]—[201 ] анализ служит внутренним критерием непротиворечивости предположений об асимптотической структуре поля потока.

Обнаруженный более тридцати лет назад в экспериментах [ 106]—[ 108] Х-режим разрушения ламинарного пограничного слоя характеризуется появлением на осциллограммах пульсаций скорости мощных всплесков возмущений, имеющих специфическую форму шипов. В качестве механизма образования шипов вплоть до недавнего времени предлагалась концепция локальной высокочастотной вторичной неустойчивости (ЛВВ): появление пакета высокочастотных пульсаций на неустойчивом перегибном мгновенном профиле скорости, формируемым первичной волной. В середине 70-х годов в опытах [ 202 ] годов обнаружен существенно иной путь разрушения пограничного слоя, названный субгармоническим или ^-режимом. Переход к турбулентности в //-режиме происходил путем плавного нарастания высших гармоник, появления в спектре низкочастотных пульсаций, включая субгармонику, и последующего их взаимодействия, причем присущих ^-режиму всплесков-шипов не наблюдалось. Основным механизмом появления трехмерности и стохастизации течения в АГ-режиме, как было установлено в [203],[113], является параметрическое резонансное усиление (теоретически предсказанное в [ 111 ]) фоновых субгармонических возмущений при их взаимодействии с основной волной неустойчивости.

Таким образом, если механизм .^-разрушения был объяснен без применения концепции ЛВВ неустойчивости, то теоретические исследования Х-режима развивались на базе именно этой концепции. По-видимому, применением простого механизма ЛВВ к описанию значительно более сложного процесса ^-разрушения можно объяснить весьма медленное продвижение в понимании природы данного режима перехода. Ввиду этого в [204],[205] были проведены новые детальные исследования Х-режима перехода с применением аппарата частотно-волнового комплексного Фурье-анализа данных; полученные результаты кардинальным образом изменили представления о механизмах разрушения ламинарного течения в ^-режиме перехода.

Новая физическая модель [206],[207] начальных стадий Х"-режима перехода названа резонансно-волновой концепцией разрушения. Дальнейшее экспериментальное изучение всплесков-шипов [208] позволило сформули-

ровать два основных вывода: а) возникновение шипов не связано с механизмом ЛВВ неустойчивости, как это предполагалось в течении тридцати лет; б) шипы обладают свойствами солитонов. Второй из этих выводов заслуживает пристального внимания, поскольку из него вытеает принципиально иная трактовка нелинейных явлений, сопровождающих ^-режим разрушения пограничного слоя.

Выводы экспериментальной работы [208] обнаруживают неожиданную связь с ранее выполненными теоретическими исследованиями возможности существования солитонных решений в пограничных слоях. Речь идет прежде всего об одном из вариантов асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя, а именно о предложенной в [209], а затем независимо в [210], четырехъярусной схеме возмущенного поля скоростей. Класс волновых движений, для которого реализуется четырехъярусная схема, характеризуется тем, что картина течения при дозвуковых скоростях набегающего из бесконечности потока полностью определяется решением нелинейного интегро-дифференциального уравнения Бенджамина-О но [211],[212]. Аналогичные асимптотические конструкции в применении к течению струе несжимаемой жидкости, ограниченной плоским экраном [210],[213], приводят к уравнению Кортевега-де Вриза. Детальная структура решений упомянутых солитоносодержащих уравнений, процессы генерации солитонов, а также сложная картина межсолитонного взаимодействия явились предметом теоретических исследований [214 ]—[ 220 ]. Со-литонные решения асимптотических уравнений, описывающих осесимме-тричные возмущенные течения в трубах, обнаружены в [221],[222].

Анализ экспериментальных данных [223]—[226] и содержащиеся в [227]—[230] указания на возможность применения асимптотической теории для математического описания нелинейных стадий .ЙГ-режима перехода позволили прийти к выводу о правомерности высказанной в [ 208 ] гипотезы о том, что поведение шипов может быть описано в рамках теории солитонов. Подробное экспериментальное изучение [231] когерентных пульсаций подтвердило отмеченное в [208] разделение возмущений на две группы: пристеночный слой сильного сдвига и когерентные структуры-солитоны

(_К"С-солитоны) переходного пограничного слоя (по терминологии, введенной в [225]). Нелинейность в КС-солитоне компенсирует дисперсию и, как подчеркивается в [231 ], приводит к постоянству свойств солитона на большом расстоянии вниз по потоку, составляющем десятки его характерных размеров и более сотни толщин пограничного слоя.

В предлагаемой работе подытоживаются исследования различных аспектов нестационарного свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком в условиях дозвукового и сверхзвукового обтекания, включая трансзвуковой диапазон скоростей. Эти исследования базируются на применении асимптотических методов в сочетании с численным интегрированием уравнений в частных производных при анализе нелинейных волновых движений. Наряду с обтеканием покоящихся поверхностей рассматриваются движения газа в пограничном слое у движущихся, либо колеблющихся стенок.

Актуальность темы диссертации. Вопрос о механизмах преобразования внешних возмущений в собственные колебания пограничного слоя (волны Толлмина-Шлихтинга), формулируемый как задача восприимчивости, является составной частью важнейшей нерешенной проблемы ламинарно-турбулентного перехода. Несмотря на впечатляющие успехи, достигнутые прямым численным моделированием нелинейных стадий перехода на основе уравнений Навье-Стокса, далеко не все данные экспериментов нашли свое теоретическое обоснование. Решение начально-краевых задач, поставленных для названных уравнений, чрезвычайно затруднительно из-за наличия малого параметра при старших производных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется большими значениями числа Рейнольдса.

Новые возможности в преодолении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического подхода, а именно в привлечении концепции свободного взаимодействия для установления асимптотической структуры поля скоростей. Данный метод, позволяющий в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса перейти от уравнений Навье-Стокса к более простым уравнениям взаимодействующего пограничного слоя с

неизвестным заранее градиентом давления, оказался исключительно плодотворным при построении асимптотической теории отрывных течений и, по существу, положил начало целому направлению в теоретической гидродинамике.

Область возмущенного движения жидкости в режиме свободного взаимодействия обладает трехслойной структурой. Оказалось, что аналогичная структура присуща распространяющимся в пограничном слое волновым возмущениям, откуда следует заключение о возможности применения многоярусных асимптотических конструкций в теории гидродинамической устойчивости.

Следует отметить, что асимптотический анализ не только позволяет установить пространственно-временные масштабы функций течения и по-сроить решения начально-краевых задач, но, прежде всего, дает ключ к выяснению основных физических механизмов, управляющих развитием возмущений в пограничном слое.

Обратим также внимание на то, что вхождение малого параметра в систему уравнений Навье-Стокса (и вытекающая отсюда асимптотическая трактовка ее решений) связано не только с тем, что критическое число Рейнольдса, превышение которого ведет к появлению неустойчивых мод, обычно велико, но и с тем, что такой объект, как пограничный слой, сам существует только в пределе больших чисел Рейнольдса (последнее обстоятельство нередко игнорируется в теоретических исследованиях).

Реализуемая в предлагаемой работе идея использования асимптотических многоярусных моделей при исследовании слабо и сильнонелинейных стадий развития возмущений подводит рациональный базис под хорошо известный из экспериметов факт мощной генерации волн неустойчивости на локальных неоднородностях, а также появление высокоинтенсивных всплесков-шипов. Кардинальных упрощений при построении нелинейных пульсационных полей позволяет добиться не только то обстоятельство, что уравнения каждого асимптотического приближения число Рейольдса не содержат, но и возможность сведения задачи для больших амплитуд к решению одного уравнения относительно функции, зависящей только от времени и одной пространственной переменной.

Цель работы. Применяемая в настоящей работе нестационарная асимптотическая теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Данный подход имеет целью дополнить существующие представления о реакции пограничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной природы. Основная направленность предпринятого в работе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса в пределе больших чисел Рейнольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, получением оценок (в терминах некоторых степеней числа Рейнольдса и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из подобластей, на которые разделяется поле скоростей. Данные оценки определяют вид асимптотических последовательностей, в которые раскладываются решения в упомянутых подобластях, что приводит к формулировке соответствующих краевых задач. Некоторые построенные в работе решения этих краевых задач описывают класс возмущений с трехпалубной структурой поля течения. Вместе с тем, концепция свободного взаимодействия при иных пространственно-временных и амплитудных параметрах нелинейных возмущений допускает реализацию четырех-палубной асимптотической схемы движения жидкости и газа. Если необходимо учесть влияние критического слоя на процесс нарастания амплитуд пульсаций, то флуктуационные поля характеризуются пятью расположенными друг над другом подобластями, причем критический слой отделен от пристеночного слоя невязкой областью. Построение асимптотических разложений, описывающих указанные классы возмущений с многоярусной структурой волнового движения составляет основную цель настоящего исследования.

Научная новизна работы. В данной диссертации:

1. Предложен новый вариант нелинейной асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потенциальным потоком, в котором область возмущенного течения обладает четырехслойной структурой, а построение поля скоростей сводится сводится к решению уравнения Бюргерса либо уравнения Бенджамина-Оно относительно функции смещения линий тока.

2. Установлено, что дисперсионное соотношение линейной задачи о внутренних волнах в пограничном слое с самоиндуцированным давлением при сверхзвуковых скоростях внешнего потока обладает бесконечным спектром. В частности, для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая имеет бесконечное количество ветвей, соответствующих сносимым вниз по потоку возмущениям (распространяющаяся вверх по потоку волна может отвечать лишь первой моде из указанного спектра).

3. Показано, что уравнения Прандтля с самоиндуцированным давлением применима к анализу задач гидродинамической устойчивости. Для несжимаемой жидкости данный подход приводит к результатам, следующим из уравнения Орра-Зоммерфельда при условии, что критический слой прилегает к обтекаемой поверхности. Внутренние волны в свободно взаимодействующем пограничном слое представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга.

4. Построена асимптотическая четырехпалубная теория отражения скачка уплотнения сравнительно большой амплитуды от пограничного слоя. Асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса, описывающее течение с замкнутой срывной областью, распадается на стационарную часть внизу по потоку (в окрестности присоединения) и на нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку.

5. Приведены асимптотические решения уравнения Орра-Зоммерфельда в двух приближениях по малому параметру, являющемуся отношением толщины пограничного слоя к длине волны Толлмина-Шлихтинга. Трехслойная асимптотическая структура решения отвечает окрестности нижней ветви нейтральной кривой, пятислойная структура решения с критическим слоем, отделенным от пристеночного невязкой областью, описывает окрестность верхней ветви нейтральной кривой. Результаты вычисления инкрементов нарастания собственных колебаний являются новыми, в то время как выражения для асимптотик двух ветвей нейтральной кривой, замыкающей неустойчивую область, совпадают с полученными другими методами и опубликованными в литературе.

6. Новым результатом исследования гармонических колебаний погруженного в пограничный слой осциллятора является определение амплитуды возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга и скорости ее пространственного роста для окрестности верхней ветви нейтральной кривой.

7. Разработана асимптотическая четырехъярусная теория взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым внешним потоком. Выведено новое нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно одной неизвестной функции, задающей толщину вытеснения. Из условия существования решения в вязком пристеночном подслое, подчиняющемся системе уравненрш Прандтля с заданным из решения невязкой задачи градиентом давления, получено нелинейное дисперсионное соотношение между амплитудой, длиной волны и фазовой скоростью периодического решения упомянутого интегродифференциального уравнения.

8. Представлены численные решения нелинейных эволюционных уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, которыми при определенных предположениях описывается развитие возмущений в пограничных слоях. Установлены характерные формы волновых движений, приведена физическая картина процесса рождения и взаимодействия солитонов.

9. Установлено асимптотическое поведение нейтральных кривых устойчивости пограничного слоя сжимаемого газа при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока. Приведены выражения для инкрементов нарастания неустойчивых собственных колебаний в окрестности нейтральной кривой. Показано, что максимум инкремента нарастания может находиться не только вблизи нижней, но и вблизи верхней ветви нейтральной кривой. Система уравнений для собственных функций с параметрами из окрестности верхней ветви нейтральной кривой уже не является следствием линеаризованных уравнений трехслойной теории свободного взаимодействия, поскольку возмущение в виде волны Толлмина-Шлихтинга обладает пяти-слойной асимптотической структурой.

10. Асимптотический анализ, преследующий цель более подробного изучения влияния сжимаемости и теплопроводящих свойств обтекаемой поверхности, показал, что свойства устойчивости пограничного слоя качественно меняются даже при числах Маха и отклонениях температуры стенки от температуры торможения, стремящихся к нулю с увеличением числа Рейнольдса. В частности, имеет место неединственность решения уравнения, определяющего верхнее нейтральное значение волнового числа, а верхняя ветвь нейтральной кривой распадается на три ветви.

11. Вычислены амплитуды волн Толлмина-Шлихтинга, генерируемых в процессе взаимодействвия монохроматических акустических волн с трехмерными локальными неоднородностями на дне пограничного слоя. Параметры возбуждаемых собственных колебаний и геометрические свойства неоднородностей связываются дисперсионными соотношениями, являющимися универсальными характеристиками пограничного слоя. Трехмерная природа рассеивания акустических волн приводит к тому, что генерация неустойчивых колебаний осуществляется даже для сверхзвукового внешнего потока.

Теоретическая и практическая ценность. Построенные в работе асимптотические разложения могут служить основой для последующего математического описания линейных и нелинейных возмущений в пограничном слое. Развитые подходы указывают на возможность использования введенных в работе эволюционных уравнений к объяснению природы нелинейных стадий ламинарно-турбулентного перехода. В подтверждение сказанного отметим обнаруженную в независимых экспериментальных работах солитонную природу возникающих в процессе перехода когерентных структур.

Асимптотический анализ взаимодействующего пограничного слоя с четырехъярусной структурой поля скоростей устанавливает новые области применимости уравнений Бюргерса и Бенджамина-Оно. Что касается предложенного в трансзвуковой теории свободного взаимодействия нелинейного интегро-дифференциального уравнения (из которого уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно следуют как предельные случаи), то оно, по-видимому, не встречалось ранее в научной литературе.

Самостоятельное значение имеют также установленные в работе управляющие безразмерные параметры, оценки величин гидродинамических переменных и внешних возмущающих факторов, при которых реализуются те или иные физические механизмы изучаемых явлений. Упомянутые параметры подобия и оценки не только играют существенную роль в численных и экспериментальных исследованиях при получении и интерпретации результатов, но могут служить наводящими соображениями для постановок новых задач современной теории пограничного слоя.

Рассмотренные в диссертации задачи дают примеры применения и развития асимптотических методов к исследованию тонкой структуры поля потока при больших числах Рейнольдса и, очевидно, могут иметь дальнейшие приложения в различных областях механики жидкости и газа. Сама природа асимптотического подхода, связанная с рассмотрением предельных значений параметров течения, открывает возможность добиться кардинальных упрощений в анализе именно таких режимов, которые представляют наибольшую трудность при использовании иных (например, численных) методов и обнаружить совершенно неочевидные заранее физические эффекты.

Степень достоверности результатов. Достоверность результатов, представленных в диссертации, основана на сравнении с аналитическими, расчетными и экспериментальными данными других авторов (в особенности для предельных значений параметров), на тестировании используемых методов на решениях известных задач. Там, где это возможно, полученные аналитическими методами результаты воспроизводились численными решениями. Во всех случаях тщательно проверялась внутренняя непротиворечивость асимптотической структуры решений и возможность сращивания разложений в различных подобластях. Большое внимание уделялось рассмотрению предельных ситуаций, сводящих задачи к ранее известным с опубликованными в литературе решениями; наоборот, иногда удавалось получить те или иные приведенные в диссертации результаты как частные случаи исследованных в других работах проблем.

Личное участие автора в получении научных результатов.

Главы II, IV, VI, VII, а также $3.4 главы III и $$8.1, 8.4, 8.5

главы VIII содержат результаты, полученные автором лично. Глава I, $$3.1—3.3 главы III, $$8.2,8.3 главы VIII написаны на основе совместных работ с О.С.Рыжовым, который принимал участие в постановках задач и анализе результатов. Глава V написана на основе совместных работ с С.П.Поповым, принимавшим участие в постановках задач и проводившим численные расчеты по методикам и вычислительным алгоритмам, отличным от используемых автором диссертации.

Апробация работы. Результаты исследований в разное время докладывались автором на VIII (Казань, 1978 г.), IX (Иркутск 1980 г.), XI (Фрунзе, 1985 г.) Всесоюзных школах-семинарах по аналитическим методам в газовой динамике (САМГАД), V (Алма-Ата, 1981 г.), VI (Ташкент, 1986 г.) Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, Всесоюзных совещаниях по механике сплошных сред (Киев, 1989 г., Одесса, 1981 г.), II симпозиуме Международного союза по теоретической и прикладной механике (IUTAM) по ламинарно-турбулентному переходу (Новосибирск, 1984 г.), Советско-японском симпозиуме по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988 г.), Международом семинаре по аналитическим методам в аэродинамике (Польша, 1993 г.), XL Юбилейной научной конференции МФТИ (1987 г.), семинарах под руководством В.В.Румянцева (Вычислительный центр РАН), под руководством В.Я.Нейланда и В.В.Сычева (ЦАГИ), под руководством Г.Г.Черного (Институт механики МГУ).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, выводов и списка литературы. Объем работы составляет 258 страниц текста, в том числе 46 фигур. Список литературы содержит 288 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введенная в [3],[4],[6],[8] трехпалубная схема возмущенного поля скоростей оказалась применимой не только к нелинейным проблемам стационарного отрыва, но и к исследованиям линейных задач теории гидродинамической устойчивости, хотя в силу бесконечно малых амплитуд возмущений соображения, лежащие в основе асимптотического разделения области течения на несколько подслоев, оказываются несколько иными. Помимо предположения о больших числах Рейнольдса 11е —» оо , концепция самоиндуцированного давления вводит в рассмотрение такие возмущения, у которых характерная длина волны превышает по порядку величины толщину пограничного слоя. Малый параметр £, по которому ведется разложение, можно интерпретировать как отношение поперечного масштаба течения к продольному. По-существу, все опубликованные к настоящему моменту работы по теории свободного взаимодействия как линейном, так и в нелинейном случаях, используют именно эту величину в качестве параметра разложения.

Перейдем к подробному изложению содержания диссертации по главам. В $1.1 первой главы обращается внимание на то обстоятельство, что механизм взаимодействия возмущений с внешним потоком посредством самоиндуцированного давления имеет место и для пространственно-временных масштабов возмущений, отличных от введенных в классической теории свободного взаимодействия [3],[4],[6],[8]. Примером такого рода служит распространение концепции самоиндуцированного давления на случай сравнительно больших амплитуд а, превышающих величину порядка г = 11е-1//8 из упомянутой теории. Асимптотическая структура течения в этом случае становится четырехпалубной, а нелинейное движение описывается одномерным эволюционным уравнением относительно одной неизвестной функции, задающей толщину вытеснения. Отличительной чертой указанного режима взаимодействия является разделение вязкой и невязкой задачи, поскольку движение в пристеночном подслое, подчиняющееся системе уравнений Прандтля с заданным из решения невязкой задачи

градиентом давления, не влияет в первом приближении на вышележащие области течения, а существование решения в нем служит в качестве внутреннего критерия самосогласованности всей четырехпалубной схемы. Данная схема, введенная в [209] (и, несколько позднее, в независимой работе [210]) для чисел Маха, отличных от единицы на конечную величину, обобщается в [232] на случай трансзвукового внешнего потока. При а — е нижние две палубы сливаются в одну; в этом смысле трехъярусная модель свободного взаимодействия представляет собой частный случай рассматриваемой асимптотической схемы. Особенности рециркуляционных зон в нелинейных задачах с трехъярусной структурой области взаимодействия изучены в [233]—[238]. Материал $1.1 написан по результатам работ [209], [239],[214] [216].

В $1.2, используется линейный подход к изучению нестационарных возмущений, распространяющихся в свободно взаимодействующем сверхзвуковом пограничном слое, образуя трехъярусную структуру. Основное внимание сконцентрировано на свойствах дисперсионного соотношения в плоскости комплексного переменного, которое является некоторой комбинацией частоты и волнового числа. Рассматривается асимптотическое поведение решения, когда модуль этой комбинации стремится к бесконечности, а ее аргумент близок к ±7г. Главный вывод асимптотического анализа состоит в том, что для фиксированного волнового числа существует целый спектр собственных значений частоты. Аналогичный вывод справедлив для заданной частоты, когда искомым является волновое число. Соответствующие собственные функции интерпретируются как внутренние волны, порождаемые совместным действием самоиндуцированного давления и вязких касательных напряжений. Установлено, что для сносимых вниз по потоку возмущений возрастание фазовой скорости связано либо с уменьшением волнового числа, либо с переходом с одной ветви дисперсионной кривой на другую. Таким образом, любой установленный на пластинке осциллятор будет генерировать бесконечную систему волн, распространяющихся вниз по потоку. Длина каждой волны зависит только от частоты колебаний осциллятора. Совокупность результатов $1.2 содержится в работах [40]—[42],[235 ].

Как оценки масштабов для функций течения, так и трехслойная структура области свободного взаимодействия в окрестности точки отрыва носят универсальный характер, хотя возмущающий фактор может иметь самую различную природу и даже находиться ниже по потоку от данной области, если его амплитуда достаточно велика [78],[79]. В последнем случае область свободного взаимодействия, соприкасаясь с невозмущенным пограничным слоем вверх по потоку, является частью глобальной картины течения.

Из изложенных в $1.3 результатов следует, что характерные масштабы длин и амплитуд возмущений указанного типа можно получить из совершенно иных соображений, если обратить внимание на следующее обстоятельство. Тот факт, что в качестве одного из краевых условий для уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением ставится требование затухания возмущений вверху по потоку, означает неединственность продолжения невозмущенного пограничного слоя за некоторое произвольно выбранное сечение. Вывод о бифуркации исходного решения содержится уже в ранней работе [46] для линейной стационарной задачи. Отсюда можно заключить, что уравнения Прандтля с самоиндуцированным давлением в ряде случаев применимы к исследованию потери устойчивости пограничного слоя, причем решение [46] дает частный пример процесса развития возмущений, описываемого данными уравнениями с введенными производными по времени. Заметим, что в классической теории Прандтля неустойчивые решения отсутствуют, как отсутствуют вообще все решения с колебательными свойствами.

В $1.3 для пограничного слоя несжимаемой жидкости устанавливается, что собственные решения линеаризованных уравнений теории свободного взаимодействия представляют собой длинноволновую асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга с параметрами, лежащими в окрестности нижней ветви нейтральной кривой. Таким образом, теория свободного взаимодействия описывает свойства устойчивости (по отношению, вообще говоря, к нелинейным возмущениям) в пределе больших чисел Рейнольдса, причем одно из важных преимуществ использования асимптотических уравнений (а не полных уравнений Навье-Стокса) состоит в том, что число

Рейнольдса в формулировках соответствующих краевых задач не фигурирует. Наоборот, результаты классической теории устойчивости могут служить в качестве наводящих соображений для вывода масштабов возмущений, индуцирующих собственный градиент давления.

В самом деле, из линеинои теории устойчивости несжимаемого пограничного слоя известна асимптотика длин волн, частот и фазовых скоростей колебаний в терминах числа Рейнольдса, принимающего большие значения. Для таких волн с параметрами из окрестности нижней ветви нейтральной кривой реализуется трехслойная схема возмущенного поля скоростей с некоторой вполне определенной толщиной вязкого пристеночного подслоя. С ростом амплитуды волны пристеночный подслой становится нелинейным. Максимальная величина возмущения продольной компоненты скорости, при которой не нарушается трехслойная структура, связана с порядком невозмущенной скорости в пристеночном подслое. Как показано в [ 237 ], вытекающие отсюда оценки в точности совпадают с характерными масштабами в теории свободного взаимодействия. Приведенные порядки величин справедливы и для сжимаемого пограничного слоя. В сверхзвуковом случае неустойчивыми оказываются косые волны, направление распространения которых по отношению к направлению набегающего потока составляет угол, превышающий угол Маха [240].

Возможность постановки нелинейной задачи устойчивости в рамках асимптотической трехслойной схемы течения впервые, по видимому, отмечается в [38]. Связь теории свободного взаимодействия с устойчивостью сверхзвукового пограничного слоя в случае нелинейных возмущений обсуждается в [235],[47]. Примеры применения асимптотического подхода к линейным и нелинейным задачам устойчивости и восприимчивости пограничного слоя даются в обзорах [ 121 ],[ 192 ]. Сформулированный в $1.3 вывод о том, в пределе больших чисел Рейнольдса исследование волн Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое сводится к изучению его свободного взаимодействия с внешним потенциальным потоком, основывается на работах [52],[53],[240],[241].

Во второй главе построено асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса с замкнутой срывной областью, которое распадается на стационарную часть внизу по потоку (в окрестности присоединения) и на нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку. Структура возмущенного поля течения дает содержательный пример, когда известные ранее решения локальных задач с эффектом взаимодействия непрерывно переходят друг в друга, являясь составными элементами полного решения. В $2.1 для сверхзвуковой скорости внешнего потока вводятся пространственно-временные масштабы области взаимодействия, порождаемой падением извне на пограничный слой скачка давления либо изломом контура тела. Система уравнений для вязкого пристеночного подслоя в $2.2 проинтегрирована численно с внешним краевым условием, полученным из решения уравнения Бюргерса, которое описывает течение в вышележащих подобластях. Окрестность точки присоединения исследуется в $2.3 ; содержащая точку отделения нулевой линии тока от тела асимптотическая область вверху по потоку от фронта волны рассматривается в $2.4. Изложенная во второй главе асимптотическая теория разработана в статьях [214],[242],[213],[216],[243].

В третьей главе строятся решения уравнения Орра-Зоммерфельда в пределе больших чисел Рейнольдса с критическим слоем, прилегающим к стенке, и отделенным от нее невязкой областью. Процедура сращивания асимптотических разложений в возмущенной области над пограничным слоем, в основной толще пограничного слоя и в критическом слое обсуждается в $3.1. Выводятся дисперсионные соотношения, описывающие окрестности нижней ($3.2) и верхней ($3.3) ветвей нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя в двух приближениях по малому параметру, который представляет собой отношение толщины пограничного слоя к длине волны возмущений. Показано, что данные окрестности перекрывают друг друга и, таким образом, полученные дисперсионные соотношения описывают всю заключенную между двумя ветвями нейтральной кривой неустойчивую область. Изложенный в $$3.1,3.2,3.3 асимптотический анализ основывается на работах [52],[ 176],[ 177],[241 ].

Написанный по результатам работы [ 244 ] $3.4 третьей главы затрагивает вопрос о вычислении амплитуды волны Толлмина-Шлихтинга, возбуждаемой в пограничном слое установленным на поверхности гармоническим осциллятором. Являясь одной из задач восприимчивости, рассмотренная в $3.4 реакция пограничного слоя на высокочастотные колебания вибратора распространяет ранее выполненный анализ [55]—[57] на диапазон частот из окрестности верхней ветви нейтральной кривой, где трехпалубная структура уже не имеет места.

Развитие нестационарных нелинейных возмущений в ламинарном пограничном слое на пластине при трансзвуковом внешнем течении исследуется в четвертой главе диссертации. Вводимые порядки амплитуд возмущений превышают величину, предполагаемую в нелинейной трехпалубной теории свободного взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым внешним потоком. Концепция самоиндуцированного давления для таких амплитуд, как показано в $$4.1,4.2 , определяет нормировку зависимых и независимых переменных, причем структура течения становится четырех-палубной. Описание двумерного поля скоростей сводится к решению нелинейного интегро-дифференциального уравнения для зависящей от времени и одной пространственной координаты функции. Некоторые солитонные решения данного уравнения указаны в $4.3 . Из требования существования периодического решения в вязком пристеночном подслое, для которого в качестве внешнего краевого условия берется периодическое решение интегродифференциального уравнения, в $4.4 находится связь между амплитудой, волновым числом и фазовой скоростью возмущений. Развитая теория осуществляет непрерывный переход от до- к сверхзвуковому обтеканию, поскольку упомянутое управляющее уравнение содержит как предельные случаи уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно, которыми, в соответствии с результатами в первой главы, описывается эволюция возмущений вне трансзвукового диапазона. В $4.5 четвертой главы обсуждаются различные точки зрения на определение масштабов возмущений в трансзвуковой теории свободного взаимодействия. Материал четвертой главы опубликован в работах [245],[246].

Примеры возмущенных движений в локальных областях пограничных слоев, описываемых нелинейными эволюционными уравнениями, составляют содержание пятой главы. В плоской струе несжимаемой жидкости, ограниченной снизу твердой стенкой, функция смещения линий тока находится из уравнения Кортевега-де Вриза. Вывод этого уравнения на основе асимптотического анализа возникающей многослойной структуры течения предложен в $5.1. Нарастание амплитуды пульсаций в пограничном слое с одновременным уменьшением их характерного пространственного масштаба приводит к разделению нелинейной подобласти на пристеночный вязкий (играющий пассивную роль) и промежуточный невязкий подслои. На это обстоятельство указывается в $5.2, где с помощью специального предельного перехода в рамках уравнений трехпалубной теории демонстрируется иной подход к обоснованию применимости уравнения Бенджамина-Оно (отличающийся от способа его вывода в $1.1 первой главы). В $5.3 показано, что стационарное локальное возмущение поверхности приводит к возбуждению идущего вверх по потоку цуга солитонов. Приведенное в $5.4 решение линеаризованного уравнения Бенджамина-Оно с осциллирующим во времени неоднородным членом состоит из формирующегося при запуске осциллятора волнового пакета, головная часть которого непрерывно сопрягается с невозмущенной областью, а хвостовая часть переходит в область доминирования волны Толлмина-Шлихтинга (точнее, ее высокочастотного предела) . Детальная структура решений нелинейных уравнений Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза, в том числе и для зависящих от времени неоднородных членов в их правых частях, обсуждается в $$5.5 , 5.6 . Как правило, возмущенная область состоит из цепочки солитонов и осцилляторной волны, между которыми возникает интервал со слабой зависимостью решения от времени (стоячая волна). Приведенные в пятой главе результаты содержатся в работах [213]—[216].

Методом сращиваемых асимптотических разложений в шестой главе строится решение уравнений устойчивости, описывающее волну Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое сжимаемого газа с пятислойной структурой возмущенного поля скоростей. Находится предельное поведение при

больших числах Рейнольдса верхней ветви нейтральной кривой, а в ее окрестности вычисляется инкремент нарастания возмущений. Нормировка волновых чисел и частот, в которой масштабы являются функциями некоторых степеней числа Рейнольдса, указывается в $6.1. Поскольку искомое асимптотическое решение существенно зависит от параметров невозмущенного пограничного слоя, в $6.2 с помощью преобразования Дородницына вычисляются первые четыре коэффициента ряда Тейлора в окрестности стенки невозмущенных профилей скорости и плотности. Процесс сращивания асимптотических последовательностей для различных подобластей детально обсуждается в $$6.3 ,6.4 . Роль критического слоя, решение в котором выписывается в $6.5 , состоит в устранении неоднозначности продолжения невязкого решения в промежуточную подобласть между ним и пристеночным подслоем. Асимптотика невязкого решения служит предельным условием на верхнем крае пристеночного подслоя. Удовлетворяя этому условию, приходим к дисперсионному соотношению, которое для случая дозвуковых скоростей внешнего потока приведено в $6.6 . Что касается выведенного в $6.7 дисперсионного соотношения для случая трансзвукового обтекания, то рассмотренное в $6.8 предельное поведение его решений дает объяснение обнаруженному в [ 247 ] неограниченному росту инкремента усиления колебаний с увеличением волнового числа. Как показано в $6.8 , такой рост не только не противоречит тому, что при увеличении волнового числа должен осуществляться переход к устойчивым колебаниям, но и является необходимым условием перекрытия областей пригодности решений дисперсионных уравнений для нижней и верхней ветвей нейтральной кривой. Изложенный в шестой главе круг вопросов опубликован в работе [ 248 ].

В седьмой главе обращается внимание на тот факт, что сжимаемость газа качественно изменяет поведение верхней ветви нейтральной кривой. В случае рассмотренной в $7.1 теплоизолированной поверхности инкремент нарастания как функция волнового числа может содержать максимум, расположенный вблизи верхней ветви нейтральной кривой, причем величина

этого максимума даже по порядку превосходит значения, соответствующие окрестности нижней ветви. В $7.2 , показано, что при учете сжимаемости и нетеплоизолированности поверхности, даже если последние малы (бесконечно малы для стремящегося к бесконечности числа Рейнольдса), верхняя нейтральная кривая распадается на три ветви. Как отмечается $7.3 , на плоскости, где по осям отложены число Рейнольдса и волновое число, возникают новые подобласти устойчивых и неустойчивых колебаний, не имеющие своих аналогов в пределе несжимаемой жидкости. Представленные в седьмой главе результаты получены в работах [249]—[251].

В восьмой главе диссертации асимптотическая слабонелинейная теория свободного взаимодействия применяется к моделированию процесса преобразования акустических волн на локальных неоднородностях, геометрические размеры которых порядка длины волны собственных колебаний пограничного слоя. Формулировки краевых задач для первых трех членов разложения по двум малым парамерам, а именно по амплитуде звуковой волны и высоте неоднородности обтекаемой поверхности, приведены в $8.1. Общая теория трехмерных линейных возмущений в плоскопараллельном пограничном слое и свойства дисперсионных соотношений излагается в $$8.2 ; 8.3 в предположении о реализации трехпалубной структуры поля скоростей. В $8.4 рассмотрен случай неровности в виде прямолинейной полосы, ориентированной под некоторым углом к набегающему потоку, а в $8.5 — случай неровности в виде волнистости в боковом направлении. Построены нейтральные кривые и вычислен инкремент нарастания генерируемых звуком волн Толлмина-Шлихтинга. Совокупность приведенных в восьмой главе результатов содержится в работах [240],[252],[253]

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Жук, Владимир Иосифович

ВЫВОДЫ

1. Реализована идея асимптотического подхода к описанию распространения возмущений в пограничном слое, причем малыми параметрами асимптотических разложений служат отрицательные степени числа Рейнольдса. Оценки амплитуд и пространственно-временных масштабов изучаемых флуктуаций вводятся в терминах упомянутых параметров, причем предположение о больших числах Рейнольдса является естественным как необходимое условие существования исходного пограничного слоя, устойчивость и восприимчивость которого исследуется.

2. Возмущенное поле скоростей в линейной фазе осцилляционного движения обладает трехслойной или пятислойной структурой, если частотно-волновые характеристики пульсаций принадлежат двум ветвям нейтральной кривой либо их окрестностям. Сращивание асимптотических разложений для функций течения в различных подслоях имеет результатом дисперсионное соотношение, из которого следуют как асимптотики нейтральных кривых, так и инкременты роста волн Толлмина-Шлихтинга (точнее, их предельной формы для стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса). Дисперсионные соотношения выведены для задачи устойчивости пограничного слоя несжимаемой жидкости, а также сжимаемого газа, включая трансзвуковой диапазон скоростей внешнего потока. Проанализировано влияние чисел Маха и теплопроводящих свойств поверхности на форму нейтральной кривой.

3. Генерация волн Толлмина-Шлихтинга звуком (составляя частный случай общей проблемы восприимчивости пограничного слоя), является принципиально нелинейным эффектом. В качестве одного из приложений трехпалубной асимптотической теории рассмотрен процесс рассеивания звука на трехмерных локальных неровностях, индуцирующих область свободного взаимодействия. Разложения искомого решения по высоте неровности и амплитуде акустической волны (слабонелинейная теория) в третьем приближении описывает механизм возбуждения волны Толлмина-Шлихтинга.

4. Трехпалубная теория свободного взаимодействия может быть интерпретирована как теория нелинейного критического слоя, нижняя граница которого соприкасается с обтекаемой поверхностью, а оценка его толщины совпадает с аналогичной оценкой вязкого пристеночного подслоя; оба упомянутых подслоя, тем самым, становятся неразличимыми. Увеличение амплитуды возмущений, однако, приводит к тому, что толщина нелинейной области может превысить толщину вязкого подслоя. При определенных порядковых соотношениях, связывающих амплитуду, масштаб длины возмущенной области, характерное время и число Рейнольдса, свободно взаимодействующий погрничный слой приобретает четырехслойную структуру. Развитие возмущений указанного класса описывается уравнением Бюргерса и уравнением Бенджамина-Оно (в зависимости от того, превышает ли число Маха внешнего потока единицу или остается меньше ее).

5. В случае трансзвукового внешнего течения предложена четырехслойная асимптотическая теория, в которой построение возмущенного поля скоростей сводится к решению интегро-дифференциального уравнения относительно зависящей от одной простанствен-ной координаты функции. Упомянутое управляющее уравнение содержит как предельные случаи уравнения Бюргерса и Бенджамина-Оно, осуществляя непрерывный переход к режимам обтекания вне трансзвукового диапазона.

6. В четырехярусной асимптотической теории вязкий пристеночный подслой играет пассивную роль. Движение в нем подчиняется уравнениям Прандтля с градиентом давления, найденным в результате решения интегро-дифференциального уравнения (либо указанным выше нелинейным эволюционным уравнениям). На примере периодического решения в нелинейной области пограничного слоя, расположенной непосредственно над вязким пристеночным подслоем, условие существования в последнем регулярного решения устанавливает связь между параметрами периодической волны.

7. Падение на пограничный слой слабой ударной волны, интенсивность которой, тем не менее, превышает по порядку величины оценки для амплитуд возмущений в трехслойной теории, приводит к реализации асимптотической структуры, в которой выделяется че-тырехслойная подобласть, описываемая уравнением Бюргерса, а также дополнительные подобласти в окрестностях точек отрыва и присоединения нулевой линии тока к поверхности тела. Решение распадается на стационарную часть внизу по потоку и непрерывно переходящую в нее нестационарную часть, распространяющуюся в виде волны отрыва вверх по потоку.

8. Стационарные локальных неоднородности на обтекаемой поверхности, индуцирующие четырехярусную область свободного взаимодействия и приводящие при ее математическом описании к появлению неоднородного члена в правой части уравнения Бенджамина-Оно, служат источником периодически зарождающихся солитонов. Процесс генерации солитонов имеет место и в окрестности деформированного участка стенки, ограничивающей распространяющуюся вдоль нее плоскую струю, если геометрические характеристики деформации таковы, что возмущенная область течения описывается уравнением Кортевега-де Вриза.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Жук, Владимир Иосифович, 1997 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Prandtl L. Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl d. Ill Internat. Mathem. Kongr., Heidelberg, 1904. Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 1905. S. 484-491.

2. Chapman D. R., Kuehn D., Larson H. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition // NACA Rept. 1958. N. 1356.

3. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. N. 4. С. 53-57.

4. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1969. V. 312. N. 1509. P. 181-206.

5. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate II // Mathematika. 1969. V. 16. Pt. 1. N. 31. P. 106-121.

6. Messiter A F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18. N. 1. P. 241-257.

7. Goldstein S. On laminar boundary-layer flow near a position of separation // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1948. V. 1. N. 1. P. 43-69.

8. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. N. 3. С. 47-59.

9. Thwaites В. Incompressible aerodynamics. Oxford: Claredon Press, 1960. 636 p.

10. Smith F. T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1977. V. 356. N. 1687. P. 443-463.

11. Королев Г Л. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности // Ученые записки ЦАГИ. 1980. Т. 11. N. 2. С. 27-36.

12. Сычев Вик. В. Теория нестационарного отрыва пограничного слоя и разрушения следа // Успехи механики. 1983. Т. 6. Вып. 1/2. С. 13-51.

13. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Исследование локальных возмущений вязких сверхзвуковых течений // Аэромеханика. М.: Наука, 1976. С. 104-118.

14. Smith F. Т., Brighton P. W. М., Jackson P. S., Hunt J. С. R. On boundary-layer flow past two-dimensional obstacles //J. Fluid Mech. 1981. V. 113. P. 123-152.

15. Рубан А. И. Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N 6. С. 42-52.

16. Рубан А. И. Асимптотическая теория коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. N 1. С. 42-51.

17. Stewartson К., Smith F. Т., Kaups К. Marginal separation // Stud. Appl. Math. 1982. V. 67. N. 1. P. 45-61.

18. Brown S. N., Stewartson K. On an integral equation of marginal separation // SIAM J. Appl. Math. 1983. V. 43. N. 5. P. 1119-1126.

19. Заметаев В. Б. Существование и неединственность локальных зон отрыва в вязких струях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 1. С. 38-45.

20. Messiter A. F., Linan A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature // Z. angew. Math. Phys. (ZAMP). 1976. Vol. 27. Fasc. 5. P. 633-651.

21. Smith F. Т., Duck P. W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977. V. 30. Pt. 2. P. 143-156.

22. Merkin J. H., Smith F. T. Free convection boundary layers near corners and sharp trailing edges // Z. angew. Math. Phys. (ZAMP). 1982. Vol. 33. N. 1. P. 36-52.

23. Merkin J. H. Free convection boundary layers over humps and indentations 11 Quart. J. Mech. Appl. Math. 1983. Vol. 36. Pt. 1. P. 71-85.

24. Smith F. T., On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes // J. Fluid Mech. 1976. V. 78. Pt. 4. P. 709-736.

25. Smith F. T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: Parts 1 & 2 // Ouart. J. Mech. Appl. Math. 1976. V. 29. Pt 3. P. 343-364 & P. 365-376.

26. Smith F. T. Laminar flow over a small hump on a flat plate //J. Fluid Mech. 1973. V. 57. Pt. 4. P. 803-824.

27. Smith F. T. Pipeflows distorted by non-symmetric indentation or branching // Mathematika. 1976. V. 23. Pt. 1. N. 45. P. 62-83.

28. Smith F. T. Steady motion through a branching tube // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1977. V. 355. N. 1681. P. 167-187.

29. Smith F. T. Upstream interactions in channel flows //J. Fluid Mech. 1977. V. 79. Pt. 4. P. 631-655.

30. Smith F. T. The separating flow through a severely constricted symmetric tube // J. Fluid Mech. 1979. V. 90. N. 4. P. 725-754.

31. Smith F, T., Duck P. W. On the severe non-symmetric constriction, curving or cornering of channel flow //J. Fluid Mech. 1980. V. 90. Pt. 4. P. 727-753.

32. Smith F. T., Sykes R. I., Brighton P. W. M. A two-dimensional boundary layer encountering a three-dimensional hump //J. Fluid Mech. 1977. V. 83. Pt. 1. P. 163-176.

33. Smith F. T., Gajjar J. Flow past wing-body junction //J. Fluid Mech. 1984. V. 144. P. 191-215.

34. Duck P. W., Burggraf O. R. Spectral solutions for three-dimensional tripledeck flow over surface topography //J. Fluid Mech. 1986. V. 162. P. 1-22.

35. Schneider W. Upstream propagation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers //J. Fluid Mech. 1974. V. 63. N. 3. P. 465-485.

36. Brown S. N., Daniels P. G. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating plate // J. Fluid Mech. 1975. V. 67. Pt. 4. P. 743-761.

37. Рыжов О. С. Уравнение нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234. N. 4. С. 780-783.

38. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением // ПММ. 1977. Т. 41. N. б. С. 1007-1023.

39. Рыжов О. С. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // Докл. АН СССР. 1977. Т. 236. N. 5. С. 1091-1094.

40. Жук В. И., Рыжов О. С. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240. N 5. С. 1042-1045.

41. Жук В. И., Рыжов О. С. О решениях дисперсионного уравнения из теории свободного взаимодействия пограничного слоя / / Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. N 5. С. 1085-1088.

42. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. Internal waves in the boundary layer with the self-induced pressure //J. Mecanique. 1980. V. 19. N. 2. P. 561-580.

43. Benney D. J., Bergeron R. F. A new class of nonlinear waves in parallel flows 11 Stud. Appl. Math. 1969. V. 48. N. 3. P. 181-204.

44. Davis R. E. On the high Reynolds number over a wavy boundary //J. Fluid Mech. 1969. V. 36. Pt. 2. P. 337-346.

45. Stuart J. T. Nonlinear stability theory // In: Annual Rev. Fluid Mech., Palo Alto, California, Annual Revs Inc. 1971. V. 3. P. 347-370.

46. Lighthill M. J. On boundary layers and upstream influence. I. Supersonic flows without separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1953. V. 217. N. 1131. P. 478-507.

47. Ryzhov O. S. Stability and separation of viscous flowsy // LaminarTurbulent Transition. IUTAM Symposium 1984. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1985. P. 337-347.

48. Терентьев Е. Д. Расчет давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое // Прикл. матем. и механ. 1979. Т. 43. Вып. 6. С. 1014-1028.

49. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд.-во иностр. лит., 1958.

50. Tollmin W. Über die Enstehung der Turbulenz. I Mitteilung. Nachr. Ges. Wissenschaften Göttingen, Math. — Phys. KL, 1929, H. 1, p. 21.

51. Smith F. T. On the nonparallel flow stability of the Blasius boundary layer // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1979. V. 366. N. 1724. P. 91-109.

52. Жук В. И., Рыжов О. С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. N 6. С. 1326-1329.

53. Жук В. И., Рыжов О. С. О свободном взаимодействии пристеночных слоев с ядром течения Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. N. 1. С. 55-59.

54. Богданова Е. В., Рыжов О. С. О колебаниях, возбуждаемых гармоническим осциллятором в течении Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. N. 4. С. 837-841.

55. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 6. С. 1049-1055.

56. Терентьев Е. Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С. 264-272.

57. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О переходном режиме, характеризующем запуск вибратора в дозвуковом пограничном слое на пластинке // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 6. С. 974-986.

58. Богданова Е. В., Рыжов О. С. О возмущениях, генерируемых осцилляторами в потоке вязкой жидкости на закритических частотах // ПМТФ. 1982. N. 4. С. 65-72.

59. Богданова Е. В. О свободных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечной круглой трубе // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263. N. 4. С. 829-833.

60. Богданова Е. В. О свободных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости на входе в трубу кольцевого сечения малой кривизны // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265. N. 3. С. 556-560.

61. Bogdanova Е. V., Ryzhov О. S. Free and induced oscillations in Poiseuille flow // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1983. V. 36. Pt. 2. P. 271-287.

62. Duck P. W. Pulsatile flow through constricted or dilated channels // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1980. V. 33. Pt. 1. P. 77-92.

63. StephanoffK. D., Pedley T. J., Lawrence C7 J., Secomb T. W. Fluid flow along a channel with an asymmetric oscillating constriction // Nature. 1983. V. 305. N. 5936. P. 692-695.

64. Duck P. W. Pulsatile flow through constricted or dilated channels. II. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1985. V. 38. Pt. 4. P. 621-653.

65. Pedley T.J., Stephanoff K. D Flow along a channel with a time-dependent indentation in one wall: the generation of vorticity waves //J. Fluid Mech. 1985. V. 160. P. 337-367.

66. Рубан А. И. Об устойчивости предотрывного пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. N. 6. С. 55-63.

67. Smith F. Т. Concerning dynamic stall // Aeronaut. Quart. 1982. V. 33. Pt. 4. P. 331-352.

68. Ryzhov O. S., Smith F. T. Short-length instabilities, breakdown and initial value problems in dynamic stall // Mathematika. 1984. V. 31. Pt. 2. N. 62. P. 163-177.

69. Taylor G. I. Stability of viscous liquid contained between two rotating cylinders 11 Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1923. V. 223. P. 289-343.

70. Gortler H. Über eine dreidimensionale instabilitat laminarer grenzschichten an concaven wanden // ZAMM. 1941. Bd. 21. N. 2. S. 250-252.

71. Hall P. Taylor-Górtler vortices in fully developed or boundary-layer flows: linear theory // J. Fluid Mech. 1982. V. 124. P. 475-494.

72. Hall P. The linear development of Gortler vortices in growing boundary layers // J. Fluid Mech. 1983. V. 130. P. 41-58.

73. Hall P. On the non-linear evolution of Gortler vortices in non-parallel boundary layers // IMA J. Appl. Math. 1982. V. 29. N. 2. P. 173-196.

74. Hall P., Bennett J. Taylor-Gortler instabilities of Tollmien-Schlichting waves and other flows governed by the interactive boundary-layer equations // J. Fluid Mech. 1986. V. 171. P. 441-457.

75. Bennet J., Hall P. On the secondary instability of Taylor-Gortler vortices to Tollmien-Schlichting waves in fully developed flows //J. Fluid Mech. 1988. V. 186. P. 445-469.

76. Hall P. The nonlinear development of Gortler vortices in growing boundary layers // J. Fluid Mech. 1988. V. 193. P. 243-266.

77. Brown SN., Stewartson K. Laminar separation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1969. V. 1. P. 45-72.

78. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений // Труды ЦАГИ. М.,1974. Вып. 1529.

79. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies // Adv. Appl. Mech. 1974. V. 14. P. 145-239.

80. Lagerstrom P. A. Solutions of the Navier-Stokes equation at large Reynolds number // SIAM J. Appl. Math. 1975. V. 28. N. 1. P. 202-214.

81. Рубан А. И., Сычев В. В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Успехи механики.

1979. Т. 2. Вып. 4. С. 57-95.

82. Боголепов В. В., Елькин Ю. Р., Ермак Ю. Я., Липатов И. И. Некоторые проблемы теории вязких течений с взаимодействием. В сб.: Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. М.: Мир. 1979. С. 101—125.

83. Messiter A. F. Boundary-layer separation / / Pro с. 8th US Natl. Congr. Appl. Mech. 1979. P. 157-179. Western Periodicals, North Hollywood, California.

84. Adamson Т. C., Messiter A. F. Analysis of two-dimensional interactions between shock waves and boundary layers // Ann. Rev. Fluid Mech.

1980. V. 12. P. 103-138.

85. Нейланд В. Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Успехи механики.

1981. Т. 4. Вып. 2. С. 3-62.

86. StewartsonK. D'Alembert's paradox // SI AM Review. 1981. V. 23. N. 3. P. 308-343.

87. Smith F. T. On the high Reynolds number theory of laminar flows // IMA J. Appl. Math. 1982. V. 28. N. 3. P. 207-281.

88. Сычев Вик. В. Теория нестационарного отрыва пограничного слоя и разрушения следа // Успехи механики. 1983. Т. 6. Вып. 1/2. С. 13-51.

89. Messiter A. F. Boundary-layer interaction theory // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1983. V. 50. N. 4b. P. 1104-1113.

90. Smith F. T. Steady and unsteady boundary-layer separation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. V. 18. P. 197-220.

91. Асимптотическая теория отрывных течений / под ред. В. В. Сычева. М.: Наука, 1987, 256 с.

92. Eckhaus W. Matched asymptotic expansions and singular perturbations. Amsterdam-London, North-Holland Publ. Co., 1973.

93. Ильин A. M Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. 1. Двумерный случай // Матем. сб. 1976. Т. 99 (141). N. 4. С. 514-537.

94. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

95. Van Dyke М. D. Perturbation methods in fluid mechanics. New York: Academic Press, 1964. (Рус. пер.: Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.)

96. Cole J. D. Perturbation method in applied mathematics. Waltham (Mass.): Blaisdell Publ. Co., 1968. (Рус. пер.: Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.)

97. Lagerstrom P. A., Casten R. G. Basic concept underlying singular perturbation techniques // SIAM Rev. 1972. V. 14. N. 1. P. 63-120.

98. Рыжов О. С. Асимптотические методы в динамике жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. N 5. С. 1221-1248.

99. Диесперов В. Н., Рыжов О. С. Асимптотические методы в механике жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. N 2. С. 75-87.

100. Smith F. Т., Bodonyi R. J. On short-scale inviscid instabilities in flow past surface-mounted obstacles and other non-parallel motions // The Aeronautical Journal. 1985. V. 89. N. 886. P. 205-212.

101. Tutty O. R., Cowley S. J. On the stability and the numerical solution of the unsteady interactive boundary-layer equation //J. Fluid Mech. 1986. V. 168. P. 431-456.

102. Jobe С. E., Burggraf O. R. The numerical solution of the asymptotic equation of trailing edge flow // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1974. V. 340. N. 1620. P. 91-111.

103. Sobey I. J. On flow through furrowed channels. Part 1. Calculated flow patterns // J. Fluid Mech. 1980. V. 96. P. 1-26.

104. Dennis S. C. R., Smith F. T. Steady flow through a channel with a symmetrical constriction in the form of a step // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. V. 372. N. 1750. P. 393-414.

105. Greenspan H. P., Benny D. L. On shear-layer instability, breakdown and transition //J. Fluid Mech. 1963. V. 15. Pt. 1. P. 133-153.

106. Schubauer G. В., Skramstad H. K. Laminar boundary-layer oscillations and transition on a flat plate // J. Res. Natl. Bur. Stand. 1947. V. 38. P. 251-292.

107. KlebanoS P. S., Tidstrom K. D. Evolution of amplified waves leading to transition in a boundary layer with zero pressure gradient. Washington. 1959 (Tech. Note / NASA; D-195).

108. Klebanoff P. S., Tidstrom K. D., Sargent L. M. The three-dimensional nature of boundary-layer instability // J. Fluid Mech. 1962. V. 12. Pt. 1. P. 1-34.

109. Nishioka M., Asai M., Iida S. An experimental investigation of the secondary instability // In: IUTAM Symposium on Laminar-turbulent transition. Abstracts. Stuttgart. 1980. P. 30-31.

110. Brown S. N., Cheng H. K., Smith F. T. Nonlinear instability and break-up of separated flow // J. Fluid Mech. 1988. V. 193. P. 191-216.

111. Craik A. D. D. Non-linear resonant instability in boundary layers // J. Fluid Mech. 1971. V. 50. Pt. 2. P. 393-413.

112. Володин А. Г., Зельман M. Б. Трехволновое резонансное взаимодействие возмущений в пограничном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. N 5. С. 78-84.

113. Kachanov Yu. S., Levchenko V. Ya. The resonant interaction of disturbances at laminar-turbulent transition in a boundary layer // J. Fluid Mech. 1984. V. 138. P. 209-247.

114. Козлов В. В., Левченко В. Я., Сарик В. С. Образование трехмерных структур при переходе в пограничном слое // Препринт Ин-та теорет. и прикл. механики СО АН СССР, N. 10-83. Новосибирск, 1983.

115. Smith F. Т., Stewart P. A. The resonant-triad nonlinear interaction in boundary-layer transition //J. Fluid Mech. 1987. V. 179. P. 227-252.

116. Wu X. Viscous effects on fully coupled resonant-triad interactions: an analytical approach // J. Fluid Mech. 1995. V. 292. P. 377-407.

117. Herbert T. Secondary instability of plane channel flow to subharmonic three-dimensional disturbances // Phys. Fluids. 1983. V. 26. N. 4. P. 871-874.

118. Wu X., Stewart P. A. Interaction of phase-locked modes: a new mechanism for the rapid growth of three-dimensional disturbances // J. Fluid Mech. 1996. V. 316. P. 335-372.

119. Reshotko E. Boundary-layer stability and transition // Ann. Rev. Fluid Mech. 1976. V. 8. P. 311-349. (Рус. пер. в сб. : Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. М.: Мир. 1979. С. 11—57.

120. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск: Наука, 1982.

121. Козлов В. В., Рыжов О. С. Восприимчивость пограничного слоя: асимптотическая теория и эксперимент. Вычислительный центр АН СССР. М., 1988.

122. Nishioka М., Morkovin М. V. Boundary-layer receptivity to unsteady pressure gradients: experiments and overview // J. Fluid Mech. 1986. V. 171. P. 219-261.

123. Рубан А. И. О генерации волн Толлмина-Шлихтинга звуком // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N 5. С. 44-52.

124. Goldstein М. Е. Scattering of acoustic waves into Tollmien-Schlichting waves by small streamwise variations in surface geometry //J. Fluid Mech. 1985. V. 154. P. 509-529.

125. Goldstein M. E., Hultgren L. S. A note on the generation of Tollmien-Schlichting waves by sudden surface-curvature change //J. Fluid Mech. 1987. V. 181. P. 519-525.

126. Croush J. D. Localized receptivity of boundary layers // Phys. Fluids. 1992. A4. P. 1408.

127. Choudhari M., Streett C. L. A finite Reynolds number approach for the prediction of boundary layer receptivity in localized regions // Phys. Fluids. 1992. A4. P. 2495.

128. Croush J. D., Spalart P. R. A study of non-parallel and nonlinear effects on the localized receptivity of boundary layers //J. Fluid Mech. 1995. V. 290. P. 29-37.

129. Hill D. C. Adjoint systems and their role in the receptivity problem for boundary layers // J. Fluid Mech. 1995. V. 292. P. 183-204.

130. Goldstein M. E., LeibS. J., Cowley S. J. Generation of Tollmien-Schlichting waves on interactive marginally separated flows //J. Fluid Mech. 1987. V. 181. P. 485-517.

131. Briggs R. J. Electron stream interaction with plasmas. Massachusets Institute of Technology Press. 1964.

132. Bers A. Linear waves and instabilities // In: Plasma Physics (ed. by C. DeWitt & J. Peyraud). Gordon h Breach. New York — London — Paris. 1975. P. 113-216.

133. Goldstein M. E. The evolution of Tollmien-Schlichting waves near a leading edge // J. Fluid Mech. 1983. V. 127. P. 59-81.

134. Leibovich S. The structure of vortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. V. 10. P. 221-246. (Рус. пер. в сб. : Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. М.: Мир. 1979. С. 160-196.

135. Сычев Вик. В. Асимптотическая теория разрушения вихря // Изв. РАН. МЖГ. 1993. N 3. С. 78-90.

136. Bodonyi R. J., Smith F. Т., Kluwick R. A. Axisymmetric flow past a slender body of finite length // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1985. V. 400. N. 1812. P. 37-54.

137. Сычев Вик. В. О течении вблизи задней оконечности тонкого осесим-метричного тела // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. N 5. С. 10-18.

138. Королев Г. Л., Сычев Вик. В. Асимптотическая теория обтекания задней оконечности тонкого осесимметричного тела // Изв. РАН. МЖГ. 1993. N 5. С. 68-77.

139. Сычев В. В., Сычев Вик. В. О течении вязкой жидкости около вращающегося эллиптического цилиндра //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N 6. С. 1001-1008.

140. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа // Труды ЦАГИ. М., 1971. Вып. 1363.

141. Smith F. Т., Daniels P. G. Removal of Goldstein's singularity at separation of flow past obstacles in wall layers //J. Fluid Mech. 1981. V. 110. P. 1-37.

142. Тимошин С. H. Асимптотический анализ пространственно-неустойчивого спектра вихрей Гертлера // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. N 1. С. 32-41.

143. Боголепов В. В., Липатов И. И. Асимптотический анализ развития вихрей Гертлера в пограничном слое жидкости около вогнутой поверхности // Препринт ЦАГИ. М., 1990. N. 8.

144. Боголепов В. В., Липатов И. И. К асимптотической теории вихрей Гертлера в пограничном слое жидкости // ПМТФ. 1992. N. 3. С. 58-68.

145. Боголепов В. В. Нелинейное развитие вихрей Гертлера в пристеночной части пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. N 1. С. 29-35.

146. Malik M. R., Hussaini M. J. Numerical simulation of interactions between Gortler vortices and Tollmien-Schlichting waves //J. Fluid Mech. 1990. V. 210. P. 183-199.

147. Nayfeh A. H., AFMaaitah A. Influence of streamwise vortices on Tollmien-Schlichting waves // Phys. Fluids. 1988. V. 31. N. 12. P. 3543-3549.

148. Bassom A. P., Hall P. Vortex instability in three-dimensional boundary layers: the relation between Gortler and crossflow vortices // J. Fluid Mech. 1991. V. 232. P. 647-680.

149. Fu Y., Hall P. Crossflow effects on the growth rate of inviscid Gortler vortices in a hypersonic boundary layer //J. Fluid Mech. 1994. V. 276. P. 343-367.

150. Li F., Malik M. R. Fundamental and subharmonic secondary instability of Gortler vortices // J. Fluid Mech. 1995. V. 297. P. 77-100.

151. Walton A. G. Strongly nonlinear vortex-Tollmien-Schlichting-wave interaction in the developing flow through a circular pipe //J. Fluid Mech. 1996. V. 319. P. 77-107.

152. Van Dommelen L. L. , Cowley S. J. On the Lagrangian description of unsteady boundary-layer separation. Part 1. General theory //J. Fluid Mech. 1990. V. 210. P. 593-626.

153. Van Dommelen L. L. On the Lagrangian description of unsteady boundary-layer separation. Part 2. The spinning sphere //J. Fluid Mech. 1990. V. 210. P. 627-645.

154. Puhak R. I, Degani A. T., Walker J. D. A. Unsteady separation and heat transfer upstream of obstacles // J. Fluid Mech. 1995. V. 305. P. 1-27.

155. Bridges T. J., Morris P. J. Boundary layer stability calculations // Phys. Fluids. 1987. V. 30. N. 11. P. 3351-3358.

156. Spalart P. R., Yang K. -S. Numerical Study of ribbon-induced transition in Blasius flow // J. Fluid Mech. 1987. V. 178. P. 345-365.

157. Bertolotti F. P, Herbert Th., Spalart P. R. Linear and nonlinear stability of the Blasius boundary layer // J. Fluid Mech. 1992. V. 178. P. 345-365.

158. Govindarajan R. P, Narasimha R. Stability of spatially developing boundary layers in pressure gradient //J. Fluid Mech. 1995. V. 300. P. 117-147.

159. Tadjfar M., Bodonyi R. J. Receptivity of a laminar boundary layer to the interaction of a three-dimensional roughness element with time-harmonic free-stream disturbances //J. Fluid Mech. 1992. V. 242. P. 701-720.

160. Emmons H. W. The laminar-turbulent transition in a boundary layer. Part 1. // J. Aeronaut. Sci. 1951. V. 18. N. 7. P. 490-498.

161. Bowles R. J. A., Smith F. T. Short-scale effects on model boundary-layer spots // J. Fluid Mech. 1995. V. 295. P. 395-407.

162. Rist U., Fasel H. Direct numerical simulation of controlled transition in a flat-plate boundary layer // J. Fluid Mech. 1995. V. 298. P. 211-248.

163. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я., Рамазанов М. П. Экспериментальное изучение К—режима разрушения ламинарного пограничного слоя // Препринт Ин-та теорет. и прикл. механики СО АН СССР, N. 9-84. Новосибирск, 1984. Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1989. Вып. 2. С. 124-158.

164. Kachanov Y. S., Kozlov V. V., Levchenko V. Y., Ramazanov M. P. On the nature of К—breakdown of a laminar boundary-layer; new experimental data // Laminar-Turbulent Transition / ed. V. V. Kozlov. — Berlin: Springer-Verlag. — 1985. P. 61-73.

165. Stoclcer J. R., Duck P. W. Stationary perturbations of Couette-Poiseuille flow: the flow development in long cavities and channels //J. Fluid Mech. 1995. V. 292. P. 153-182.

166. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О волновых движениях в прстранствен-ном пограничном слое // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 6. С. 912-927.

167. Stewart P. A., Smith F. T. Three-dimensional instabilities in steady and unsteady nonparallel boundary layers including effects of Tollmien-Schlichting disturbances and cross flow // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1987. V. 409. N. 1837. P. 229-248.

168. Савенков И. В. Развитие волновых пакетов в трехмерном пограничном слое // ЖВМ и МФ. 1991. Т. 31. N. 11. С. 1754-1759.

169. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Гостехтеориздат, 1953.

170. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О равномерно пригодной модели, описывающей движения в пространственном пограничном слое // ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. N. 6. С. 964-976.

171. Cassei К. W., Smith F. Т., Walker J. D. A. The onset of instability in unsteady boundary-layer separation //J. Fluid Mech. 1996. V. 315. P. 223-256.

172. Duck P. W., Ruban A. I., Zhikharev C. N. The generation of Tollmien-Schlichting waves by free-stream turbulence //J. Fluid Mech. 1996. V. 312. P. 341-371.

173. Lin С. C. On the stability of two-dimensional parallel flow. III. Stability in a viscous fluid // Quart. Appl. Math. 1946. V. 3. N. 4. P. 277-301.

174. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N. 5. С. 39-46.

175. Bodonyi В. J., Smith F. Т. The upper branch stability of the Blasius boundary layer, including non-parallel flow effect // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1981. V. 375. N. 1760. P. 65-92.

176. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших значениях числа Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. N. 6. С. 1328-1332.

177. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N. 4. С. 3-11.

178. Smith F. Т. Nonlinear stability of boundary layers for disturbances of various sizes // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1979. V. 368. N. 1735. P. 573-589.

179. Van Stijn Th, L., van de Vooren A. I. On the stability of almost parallel boundary layer flows // Computers and Fluids. 1983. V. 10. N. 4. P. 223-241.

180. Heisenberg W. Uber Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmungen // Ann. Phys. 1924. Bd. 74. N. 15. S. 577.

181. Tsuge S., Sakai H. Uniformly valid solution of the Orr-Sommerfeld equation by a modified Heisenberg method //J. Fluid Mech. 1985. V. 153. P. 167-183.

182. Левченко В. Я. О влиянии непараллельности течения на устойчивость ламинарного пограничного слоя // Аэромеханика. М.: Наука, 1976. С. 147-152.

183. Stuart J. Т. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 1. The basic behaviour in plane Poiseuille flow //J. Fluid Mech. 1960. V. 9. Pt. 3. P. 353-370.

184. Watson J. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 2. The development of a solution for plane Poiseuille flow and plane Couette flow //J. Fluid Mech. 1960. V. 9. Pt. 3. P. 371-389.

185. Stewartson K., Stuart J. T. A non-linear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow // J. Fluid Mech. 1971. V. 48. Pt. 3. P. 529-545.

186. Haberman R. Critical layers in parallel flows // Studies in Applied Mathematics. 1972. V. 51. N. 2. P. 139-161.

187. Robinson J. L. The inviscid nonlinear instability of parallel shear flows // J. Fluid Mech. 1974. V. 63. Pt. 4. P. 723-752.

188. Зубцов А. В., Пономарев В. И. Об одном классе нестационарных волн в ламинарном пограничном слое несжимаемой жидкости // Аэромеханика. М.: Наука, 1976. С. 140-147.

189. Stewartson К. The evolution of the critical layer of a Rossby wave // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1978. V. 9. P. 185-200.

190. Stewartson K. The evolution of the critical layer of a Rossby wave. Part II // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1978. V. 10. P. 1-24.

191. Рубан А. И. Нелинейное уравнение для амплитуды волны Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. N 6. С. 60-67.

192. Рыжов О. С., Савенков И. В. Асимптотический подход в теории гидродинамической устойчивости // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. N. 4. С. 61-86.

193. Burggraf О. R., Duck P. W. Spectral computation of triple deck flows // Numer. and Phys. Aspects Aerodynamical Flows. N. Y.: Acad. Press, 1982. P. 145-158.

194. Duck P. W. Unsteady triple-deck flows leading to instabilities // Proc. of IUTAM Symp. on Boundary-Layer Separation. London, 1986. Berlin etc.: Springer, 1987. P. 297-312.

195. Рыжов О. С., Тимофеев С. В. О взаимодействии вихря с локальной шероховатостью на обтекаемой поверхности // Математическое моделирование. 1992. Т. 4. N. 6. С. 27-49.

196. Ryzhov О. S., Timofeev S. V. Interaction of a potential vortex with a local roughness on a smooth surface //J. Fluid Mech. 1995. V. 287. P. 21-58.

197. Goldstein M. E., Hultgren L. S. Boundary-layer receptivity to long-wave free-stream disturbances//Ann. Rev. Fluid Mech. 1989. V. 21. Palo Alto, California: Ann. Rev. Inc. P. 137-166.

198. Диесперов В. H. Некоторые решения уравнения Кармана, описывающие трансзвуковое обтекание точки излома профиля с криволинейной образующей // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 68-77.

199. Диесперов В. Н. О существовании и единственности автомодельных решений, описывающих течение в слоях смешения // ПММ. 1984. Т. 50. Вып. 3. С. 403-414.

200. Диесперов В. Н. Исследование автомодельных решений, описывающих течения в слоях смешения // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. N. 6. С. 1341-1346.

201. Диесперов В. Н. Об одной задаче в теории слоев смешения // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 1008-1020.

202. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Нелинейное развитие волны в пограничном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. N 3. С. 49-58.

203. Качанов Ю. С., Левченко В. Я. Резонансное взаимодействие возмущений при переходе к турбулентности в пограничном слое // Препринт Ин-та теорет. и прикл. механики СО АН СССР, N. 10-82. Новосибирск, 1982.

204. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я., Рамазанов М. П. Экспериментальное изучение К-режима разрушения ламинарного пограничного слоя // Препринт Ин-та теорет. и прикл. механики СО АН СССР, N. 9-84. Новосибирск, 1984.

205. Kachanov Yu. S., Kozlov V. У., Levchenko Y. Ya., Ramazanov M. P. On nature i^-breakdown of a laminar boundary layer. New experimental data // Laminar-Turbulent Transition / ed. V. V. Kozlov. — Berlin: SpringerVerlag. — 1985. P. 61-73.

206. Качанов Ю. С. Резонансно-волновая природа перехода к турбулентности в пограничном слое // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР. 1987. Т. 1(18). N. 2. С. 75-98.

207. Kachanov Y. S. On the resonant nature of the breakdown of a laminar boundary layer // J. Fluid Mech. 1987. V. 184. P. 43-74.

208. Бородулин В. И., Качанов Ю. С. Роль механизма локальной вторичной неустойчивости в i^-разрушении пограничного слоя // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1988. Вып. 5. С. 65-77.

209. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263. N. 1. С. 56-59.

210. Smith F. Т., Burggraf О. R. On the development of large-sides short-scaled disturbances in boundary layers // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1985. V. 399. N. 1816. P. 25-55.

211. Benjamin Т. B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth 11 J. Fluid Mech. 1967. V. 29. Pt. 3. P. 559-592.

212. Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluid //J. Phys. Soc. Japan. 1975. V. 39. N. 4. P. 1082-1091.

213. Жук В. И., Попов С. Я. О нелинейном развитии длинноволновых невязких возмущений в пограничном слое // ПМТФ. 1989. N. 3. С. 101-108.

214. Popov S. P., Zhuk V. I. Investigation of nonlinear waves in boundary layers based on Burgers and Benjamin-Ono equations // Soviet Union -Japan Symposium on Computational Fluid Dynamics. Khabarovsk, 1988. / Proceedings. 3. Ed. P. I. Chushkin, V. P. Korobeinikov. Moscow, 1989. P. 142-148.

215. Жук В. И., Попов С. Я. О решениях неоднородного уравнения Бенджамина-Оно // ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29. N. 12. С. 1852-1862.

216. Жук В. П., Попов С. П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса, Бенджамина-Оно и Кортевега-де Вриза // Математическое моделирование. 1989. Т. 2. N. 7. С. 96-109.

217. Попов С. П. Структура волновых возмущений, развивающихся в пограничном слое с самоиндуцированным давлением в тонких пленках // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. N. 2. С. 309-311.

218. Попов С. П. Численное решение уравнения Бенджамина-Оно. Вычислительный центр АН СССР. М., 1990.

219. Попов С. П. О солитонных возмущениях, возбуждаемых осциллятором в пограничном слое // ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. N. 1. С. 71-81.

220. Bogdanova-Ryzhova Е. V., Ryzhov О. S. Solitary-like waves in boundary-layer flows and their randomization // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1995. V. 352. P. 389-404.

221. Savenkov I. V. Wave packets, resonant interactions and soliton formation in inlet pipe flow //J. Fluid Mech. 1993. V. 252. P. 1-30.

222. Савенков И. В. О нестационарных осесимметричных течениях в трубах с упругими стенками // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36. N. 2. С. 147-163.

223. Бородулин В. И., Качанов Ю. С. Когерентные структуры-солитоны в пограничном слое и механизм их формирования // Современные проблемы механики жидкости и газа: Всесоюз. школа-семинар, Иркутск, 1990. С. 65-66.

224. Borodulin V. I., Kachanov Y. S. Experimental study of soliton-like coherent structures in boundary layer // Proc. 19th Session. Scientific and Methodological Seminar on Ship Hydrodynamics, Varna, Bulgaria, 1990. Varna, 1990. V. 2. P. 99-1-99-10.

225. Kachanov Y. S. Secondary and cascad resonant instabilities of boundary layers. Wave-resonant concept of a breakdown and its substantiation // Laminar-Turbulent Transition / Ed. D. Arnal and R. Michel. Berlin: Springer, 1990. P. 65-80.

226. Kachanov Y. S. The mechanisms of formation and breakdown of soliton-like coherent structures in boundary layer // Advances in Turbulence 3 / Ed. A. B. Johansson and P. H. Alfredsson. Berlin: Springer. 1991. P. 42-51.

227. Рыжов О. С. Об образовании упорядоченных вихревых структур из неустойчивых колебаний в пограничном слое // ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. N. 12. С. 1804-1814.

228. Рыжов О. С. Возникновение упорядоченных вихревых структур в пограничном слое // Проблемы прикладной математики и информатики. Ч. I. Механика и математическая физика. Вычислительный центр РАН. 1992. С. 67-90.

229. Качанов Ю. С., Рыжов О. С. Формирование солитонов в переходном пограничном слое, теория и эксперимент // Сиб. физ.-техн. журнал.

1992. Вып. 1. С. 34-52.

230. Kachanov Y. S., Ryzhov О. S., Smith F. Т. Formation of solitons in transitional boundary layers: theory and experiment // J. Fluid Mech.

1993. V. 251. P. 273-297.

231. Бородулин В. И., Качанов Ю. С. Формирование и развитие когерентных структур в переходном пограничном слое // ПМТФ. 1995. Т. 36. N. 4. С. 60-97.

232. Жук В. И. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 68-78.

233. Жук В. И., Рыжов О. С. О пограничном слое с самоиндуцированным давлением на движущейся поверхности // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. N. 2. С. 314-318.

234. Жук В. И., Рыжов О. С. Об образовании рециркуляционных зон в пограничном слое на движущейся поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. N 5. С. 3-10.

235. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. Stability and separation of freely interacting boundary layers // Lecture Notes in Physics. 1981. N. 141. P. 360-366.

236. Жук В. И. О локальных рециркуляционных зонах в сверхзвуковом пограничном слое на движущейся поверхности // ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22. N. 5. С. 1255-1260.

237. Жук В. И., Рыжов О. С. Об отрыве сверхзвукового пограничного слоя // Проблемы прикладной математики и информатики. М.: "Наука". 1987. С. 90-103.

238. Жук В. И. О течении в области свободного взаимодействия около проницаемого участка стенки // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. N. 6. С. 941-945.

239. Жук В. И., Попов С. П. Нестационарная волна отрыва в пограничном слое при сверхзвуковом обтекании // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. N. 4. С. 822-824.

240. Жук В. И., Рыжов О. С. Об устойчивости свободно взаимодействующего пограничного слоя // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3. С. 552-563.

241. Zhuk V. I. On long-wave asymptotic solutions of the Orr-Sommerfeld equation for boundary layer // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium 1984. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1985. P. 723-728.

242. Жук В. И., Попов С. П. Нестационарная волна отрыва в пограничном слое при сверхзвуковом обтекании // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303. N. 4. С. 822-824.

243. Жук В. И. Асимптотическая модель замкнутой срывной зоны в сверхзвуковом потоке // Известия РАН. МЖГ. 1992. N 2. С. 76-84.

244. Жук В. И. О вынужденных колебаниях в пограничном слое на частотах, близких к верхней ветви нейтральной кривой // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 3. С. 417-424.

245. Жук В. И. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 68-78.

246. Zhuk V. I. Soliton disturbances in a transonic boundary layer // International Workshop on Advances in Analitical Methods in Aerodynamics. Program and Abstracts. Poland. 1993. P. 31-32.

247. Рыжов О. С., Савенков И. В. Об устойчивости пограничного слоя при трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ. 1990. N. 2. С. 65-71.

248. Жук В. И. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой при до- и трансзвуковых скоростях внешнего потока // ЖВМ и МФ. 1991. Т. 31. N. 11. С. 1716-1730.

249. Жук В. И. Бифуркация верхней ветви нейтральной кривой для пограничного слоя на пластине в сжимаемом потоке // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. N. 1. С. 130-147.

250. Жук В. И. Бифуркация верхней ветви нейтральной кривой и неединственность области неустойчивости пограничного слоя // Докл. РАН. 1994. Т. 335. N. 6. С. 725-728.

251. Жук В. И. О форме нейтральной кривой, замыкающей область неустойчивости пограничного слоя // Докл. РАН. 1995. Т. 344. N. 5. С. 615-618.

252. Ryzhov О. S., Zhuk V. I. On the stability of a compressible boundary layer against three- dimensional disturbances with self-induced pressure gradient // Current Problems in Computational Fluid Dynamics/Eds Be-lotserkovskii O. M., Shidlovski V. P. Moscow: MIR Publishers. 1986. P. 286-307.

253. Жук В. И. О возбуждении волн Толлмина-Шлихтинга при взаимодействии акустического поля с трехмерной неровностью на обтекаемой поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 2. С. 45-51.

254. Рыжов О. С. О нестационарном пространственном пограничном слое, свободно взаимодействующем с внешним потоком // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 6. С. 1035-1052.

255. Нейланд В. Я. К асимптотической теории присоединения сверхзвукового потока // Тр. ЦАГИ. 1975. Вып. 1650. С. 3-17.

256. Крапивский П. Л., Нейланд В. Я. Отрыв пограничного слоя от подвижной поверхности тела в сверхзвуковом потоке газа // Уч. зап. ЦАГИ. 1982. Т. 13. N. 3. С. 32-42.

257. Burgers J. М. A mathematical model illustrating the theory of turbulens // Advances in Appl. Mech. N. Y.: Acad. Press, 1948. V. 1. P. 171-199. Рус. пер.: Об одной математической модели, иллюстрирующей теорию турбулентности // Проблемы механики. М.: ИЛ, 1955. С. 422-445.

258. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

259. Daniels P. G. The flow about the the trailing edge of a supersonic oscillating aerofoil // J. Fluid Mech. 1975. V. 72. Part 3. P. 541-557.

260. Бетчов P., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971. 350 с.

261. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

262. Smith F. Т. A reversed-flow singularity in interacting boundary-layers // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1988. V. 420. N. 1858. P. 21-52.

263. Липатов И. И., Нейланд В. Я. К теории нестационарного отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Уч. зап. ЦАГИ. 1987. Т. 18. N. 1. С. 36-49.

264. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.

265. Rizzetta D. P., Burggraf О. Я., Jenson R. Triple-deck solutions for viscous supersonic and hypersonic flow past corners //J. Fluid Mech. 1978. V. 89. Pt. 3. P. 535-552.

266. Казаков В. А. Сильно неявный попеременно-треугольный метод для решения задач асимптотической теории пограничного слоя // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. N. 9. С. 1382-1390.

267. Cassel К. W., Ruban A. I., Walker J. D. A. An instability in supersonic boundary-layer flow over a compression ramp //J. Fluid Mech. 1995. V. 300. P. 265-285.

268. Van Dommelen L. L., Shen S. F. The spontaneous generation of the singularity in a separating laminar boundary-layer //J. Comput. Phys. 1980. V. 38. N. 2. P. 125-140.

269. Daniels P. G. Laminar boundary-layer reattachment in supersonic flow // J. Fluid Mech. 1979. V. 90. N. 2. P. 289-303.

270. Daniels P. G. Laminar boundary-layer reattachment in supersonic flow. Pt. 2. Numerical solution // J.Fluid Mech. 1980. V. 97. N. 1. P. 129-144.

271. Messiter A. F., Feo A., Melnik R. E. Shock-wave strength for separation of a laminar boundary layer at transonic speeds // AIAA Journal. 1971. V. 9. N. 6. P. 1197-1198.

272. Рыжов О. С., Савенков И. В. Об устойчивости пограничного слоя при трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ. 1990. N. 2. С. 65-71.

273. Майлс Дж. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963. 272 с.

274. Miloh Т., Tulin М. P. Periodic solutions of the DABO equation as a sum of repeated solitons // J. Phys. A: Mathem. and General. 1989. V. 22. N. 7. P. 921-923.

275. Wood W. W. Boundary layers whose streamlines are closed //J. Fluid Mech. 1957. V. 2. Pt. 1. P. 77-87.

276. Рыжов О. С. Неустойчивость распространяющейся вдоль стенки струи вязкой жидкости // ПМТФ. 1982. N. 2. С. 26-33.

277. Joseph R. I. Solitary waves in a finite depth fluid //J. Phys. A: Math. Gen. 1977. V. 10. N. 12. P. L225-L227.

278. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и соли-тоны: методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. 472 с.

279. Дородницын А. А. Пограничный слой в сжимаемом газе // ПММ. 1942. Т. 6. Вып. 6. С. 449-486.

280. Stewartson К. The theory of laminar boundary layers in compressible fluids. Oxford: Claredon Press, 1964. 192 c.

281. Dunn D. W.} Lin С. C. On the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid 11 J. Aeronaut. Sci. 1955. V. 22. N. 7. P. 455-477.

282. Reid W. Я. The stability of parallel flows // Basic Developments in Fluid Dynamics. New York—London: Acad. Press, 1965. V. I. P. 249-307.

283. Жигулев В. Я, Федоров А. В. О восприимчивости пограничного слоя к акустическим возмущениям // ПМТФ. 1987. N 1. С. 30-37.

284. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и ма-тем. таблицами/Под ред. Абрамовича М., Стиган И. Пер. с англ. М.: Наука, 1979. 832 с.

285. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. New York—Toronto—London: McGraw-Hill, 1953.

286. Грек Г. P., Козлов В. В., Титаренко С. В. Исследование влияния оре-брения (риблет) на процесс развития двумерных возмущений (волн Толлмина-Шлихтинга) в ламинарном пограничном слое // Сиб. физ.-техн. журнал. 1993. Вып. 6. С. 26-30.

287. Бойко А. В., Козлов В. В., Сызранцев В. В., Щербаков В. А. Управление при помощи риблет ламинарно-турбулентным переходом в стационарном вихре на скользящем крыле // ПМТФ. 1996. Т. 37. N. 1. С. 82-94.

288. Grelc G. R., Kozlov У. У., Titarenko S. V. An experimental study of the influence of riblets on transition // J. Fluid Mech. 1996. V. 315. P. 31-49.