Асимптотические модели распространения возмущений во внутренних течениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Дубинский, Станислав Вячеславович

• Дубинский, Станислав Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дубинский, Станислав Вячеславович

Введение..

1. Формулировка задачи.—.—.

1.1 Основные предположения.»

1.2 Потенциальное ядро.

1.3 Область основной толщины пограничного слоя.

1.4 Зона нелинейных возмущений.-.

1.5 Вязкий подслой .;.

1.6 Предельные задачи.

2. Задачи о взаимодействии пограничных слоев, вызванном неровностями стенки ..

2.1. Вырожденная задача.

2.2. Изменение свойств течения при возникновении взаимодействия.

2.3. Уединённые волны.

3. Взаимодействие с источником на срезе..

3.1. Характерные картины возмущений на примере вырожденной задачи.

3.2. Развитое взаимодействие.

4. Учёт вязкости в задачах о взаимодействии.S

4.1. Особенности расчёта уравнения Прандтля для четырёхслойной структуры.

4.2. Возникновение особенности при расчёте.

4.3. Решение вязкой задачи для трёхслойной структуры.

5. Трансзвуковые течения.

5.1. Классификация трансзвуковых режимов.

5.2. Краевые задачи трансзвукового взаимодействия.

5.3. Трансзвуковые режимы в канале.

6. Численный метод.

6.1. Разностные схемы и проверка точности.

6.2. Верификация численного метода.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические модели распространения возмущений во внутренних течениях»

Исследование течений при больших числах Рейнольдса является одной из ключевых задач разработки современной сверх- и гиперзвуковой техники.

В настоящее время наиболее прогрессирующим методом исследования таких течений является прямое численное моделирование. В этом направлении имеются определённые успехи. Стремительное развитие ' рынка комплектующих для персональных компьютеров даёт возможность рассчитывать полные уравнения Навье-Стокса в домашних условиях, и это, безусловно, способствует популяризации указанного подхода.

Вместе с тем необходимо отметить, что его широкое распространение постепенно уменьшает роль анализа в механике жидкости, в то время как задачи о течениях в областях с особенностями требуют в первую очередь аналитического подхода. Действительно, в таких областях могут изменяться как физические, так и математические свойства задачи, и оттого, как именно они изменяются, зависит пригодность самого численного метода. В этом смысле результаты расчётов полных уравнений Навье-Стокса могут не отражать микроскопических в масштабах основного течения процессов, которые, тем не менее, способны оказывать влияние, заметное на макроскопическом уровне. Поэтому численное моделирование течений в возмущённых зонах должно проводиться обязательно на основании детального анализа. В этом состоит принцип настоящего исследования^

С начала и до середины двадцатого столетия общепринятым подходом к описанию течений при больших числах Рейнольдса являлась теория пограничного слоя Прандтля [1]. Согласно этой теории, вследствие того, число Рейнольдса велико, вязкие члены уравнения Навье-Стокса в основном потоке несущественны. Вблизи стенки существует узкий слой, где задача описывается уравнением параболического типа, а толщина его обратно пропорциональна числу Рейнольдса. Во внешнем течении справедливо уравнение Эйлера, решение которого задаёт распределение давления на внешней границе пристеночного слоя.

Однако в сороковых годах прошлого века учёные обратили внимание на то, что в областях с большой локальной кривизной контура тела, местах падения скачков уплотнения, точках отрыва и присоединения потока теория Прандтля неприменима. На этот вывод их натолкнули результаты экспериментов. В сборнике [2] приведена одна из таких работ. В ней при взаимодействии скачка уплотнения с пограничным слоем в сверхзвуковом потоке отрыв наблюдался в точке, где градиент давления в невязком течении был отрицательным.

За этим последовал целый ряд экспериментальных исследований [3-10], которые позволили не только получить общие представления о характере отрыва, но и обнаружить интересное явление. Оно состояло в том, что при падении скачка уплотнения на пограничный слой наблюдалось распространение возмущений вверх по потоку.

Обнаруженный эффект вызывал интерес ещё и потому, что согласно линейной теории сверхзвуковых течений вне конуса Маха информация не распространяется. Очевидно, что здесь имело место распространение возмущений по дозвуковой части пограничного слоя.

Первая попытка описания этого эффекта была предпринята в 1948 году Говардом (Howarth) [И]. Он разделил поток на две невязкие зоны: сверхзвуковую, куда приходило возмущение, и дозвуковую, по которой оно передавалось вверх. Цзян (Tsien) и Файнстон (Finston) в 1949 году дополнили эту модель присутствием стенки под дозвуковой зоной [12]. Лайтхилл (Lighthill) попытался улучшить её в работе [13], введя многослойную структуру по скоростям, а затем, используя методы спектрального анализа, учесть прилипание на стенке [14]. Однако, даже такая постановка была всё же слишком приближённой и не давала правдоподобных результатов, которые подтверждались бы опытом.

В полной мере рациональное математическое описание этого явления, дающее хорошее совпадение с результатами эксперимента, было получено лишь с появлением асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя с невязкой частью течения для сжимаемой [15-17] и для несжимаемой жидкости [18-19]. После того, как в конце шестидесятых годов задача о распространении возмущений в пограничном слое была переведена на новый качественный уровень, интерес к ней усилился. В нашей стране исследования данной проблемы с использованием асимптотической теории вязко-невязкого взаимодействия проводили Нейланд [25] и Ермак [26]. За рубежом одними из первых по этой теме стали работы Смита (Smith) [20-24].

Они же положили начало серии трудов, посвященных исследованию процесса распространения возмущений в пограничных слоях внутренних течений.

В работах Смита [20-24] для несжимаемой жидкости была рассмотрена стационарная задача о взаимодействии между собой пограничных слоев, которые развиваются на противоположных стенках плоского канала. Подобное взаимодействие может осуществляться посредством передачи возмущений через невязкое ядро потока. В работах [20-21] эта задача была исследована на устойчивость, а в [24] был дан обзор различных типов взаимодействия для внутренних течений несжимаемой жидкости.

Согласно этой классификации и [29], асимптотическая теория свободного взаимодействия позволяет выделить четыре возможных режима течения жидкости в плоском канале, принимая за характерный размер ширину канала d: Re = p^u^dfi'J.

1. Первый режим реализуется при условии L«dRe^, где L -расстояние от входа в канал до области взаимодействия. В этом случае на верхней и на нижней стенках канала существуют две не связанные между собой области взаимодействия, течение в каждой из которых описывается известной теорией.

2. Переход к следующему режиму происходит, если L&dRe^. У пограничных слоев, развивающихся на стенках, в этих условиях появляется возможность взаимодействовать друг с другом через невязкую зону, общую для обеих структур.

3. Третий режим является переходным. Он соответствует случаю у dRe/s <<L«dRe. На этом режиме взаимодействие между пограничными слоями происходит по гидравлическому типу.

4. Наконец, когда реализуется течение L «J Re, противолежащие пограничные слои смыкаются, образуя единое завихренное ядро.

Исследования Смита были продолжены в работе Богдановой и Рыжова

28], в которой объектом изучения стала нестационарная задача для режима v взаимодействия L&d Re/5. Рассматривалось уравнение Прандтля, линеаризованное в соответствии с [27], исследование которого производилось методами разделения переменных и гармонического анализа. Полученные дисперсионные соотношения допускали для рассматриваемой краевой задачи существование на входе в область взаимодействия двух типов возмущений -симметричного и антисимметричного, что соответствует результатам Смита для плоского канала [21]. Решения были исследованы на устойчивость, кроме этого были сформулированы дисперсионные соотношения для предельного случая слияния пограничных слоев (режим L « d Re ).

Исследование задачи о течении в плоском канале проводилось также У

Рубаном и Тимошиным в [29] для переходного режима d Re/5 « L « d Re, соответствующего гидравлическому приближению. Было решена линеаризованная задача о влиянии возмущений на стационарные дозвуковые и сверхзвуковые течения. Методом Фурье-анализа было показано, что на дозвуковом режиме взаимодействия возмущения, вносимые в пограничный слой, не оказывают влияния на течение вверх по потоку, а для сверхзвуковых течений характерно затухание возмущений вверх по потоку по экспоненциальному закону. Эти результаты в целом согласуются с [20], [26], [28].

Объектом исследования в работе Николаевой и Тригуба [30] стала стационарная задача, соответствующая режиму, при котором возможна передача возмущений через потенциальное ядро потока (L & dRe7*). Рассматривалась трёхслойная схема вязко-невязкого взаимодействия для двух противолежащих пограничных слоев плоского канала. Была сформулирована система уравнений, описывающая процесс обмена возмущениями. В невязкой зоне, описываемой уравнениями гиперболического типа, они принимают форму волн, которые могут быть сдвинуты по фазе друг относительно друга.

Именно постановка задачи из работы [30] легла в основу настоящего исследования, и на основании полученных здесь результатов можно с уверенностью сказать, что наличие в пограничном слое возмущений, взаимодействующих с вязким потоком и друг с другом в разных фазах, является ключевым моментом, открывающим путь к исследованию ранее не встречавшихся эффектов.

В работе [30] для анализа связанных систем уравнений вязкого подслоя был применён метод разделения переменных. Также как и в работах [21], [28] полученная в результате задача на собственные значения допускала две ветви решения - симметричную и антисимметричную. Был также проанализирован предельный случай, соответствующий нулевой разности фаз, для него было найдено единственно возможное собственное значение.

Численный метод, который использовался в [30] для получения решений задачи о взаимодействии, заключался в маршевом расчёте по х от некоторого сечения, где были заданы все необходимые начальные условия. Найти с его помощью решения без возвратных токов не удалось.

Такие результаты могут объясняться двумя причинами. Во-первых, гарантировать устойчивость маршевого метода можно, только ограничив определённым образом масштабы используемых величин. Это требование сводит возможные результаты задачи в область, в которой интересующих нас решений может и не быть. Во-вторых, уравнения стационарного пограничного слоя являются значительно более чувствительными к условиям потока, чем нестационарные, и получение стационарного решения в условиях свободного взаимодействия является нетривиальной задачей. Это возможно лишь при рассмотрении течений, имеющих такой запас количества движения, который способен переработать особенность. Она, в свою очередь, должна иметь не слишком большую амплитуду, и, наконец, для расчёта необходимо использовать более сложные, неявные методы типа [65].

Можно сказать, что в настоящей работе рассматривается задача [30] в нестационарной постановке. Несмотря на то, что некоторые различия всё же имеются, (например, в настоящей работе число Рейнольдса вычисляется по расстоянию до области взаимодействия, а не по ширине канала, и это немного изменяет вид уравнений) в целом задача сохраняется почти той же самой.

Однако метод анализа предлагается иной.

При наличии в потоке возмущений большой амплитуды, имеется возможность выделить область нелинейных возмущений в самостоятельную зону, описываемую своими собственными уравнениями. Соответственно, структура взаимодействия становится четырёхслойной. Этот подход был впервые сформулирован в работах [31-35], и он имеет следующие особенности.

Во-первых, на каждом из двух нижних слоев можно применить для расчёта существенно более устойчивый, и притом не требующий больших затрат неявный метод, который не накладывает таких ограничений на величины функций уравнений, как использовавшийся в [30].

Во-вторых, и это особенно важно, выделение нелинейных процессов даёт шанс уловить такие эффекты передачи возмущений, которые не характерны для трёхслойных структур. С одной стороны эти эффекты могут играть ключевую роль во внутренних течениях, с другой стороны их можно не заметить, рассматривая задачу в более общей постановке.

Разделение задачи о распространении волн с вязкой задачей предоставляет возможность при некоторых условиях свести уравнения, описывающие течения со свободным взаимодействием к более простым эволюционным уравнениям типа Бюргерса (Burgers) [41], Бенджамина-Оно (Benjamin, Опо) [42-43], Кортевега-ДеВриза (Korteweg, DeVries) [44], которые допускают существование в структуре пограничного слоя множества своеобразных и подчас неожиданных процессов.

При изучении четырёхслойных структур взаимодействия, удалось, к примеру, описать распространение в пристеночных областях уединённых волн (солитонов). Такие явления, как солитоны, а также другие формы существования нелинейных возмущений обладают сами по себе удивительными свойствами [45-49]. Применение же их для описания различных физических процессов, в том числе для течений в сверхзвуковых пограничных слоях, сделало их в наше время объектом пристального внимания. В нашей стране упомянутые эволюционные уравнения используют для решения задач вязко-невякого взаимодействия в своих работах Жук, Попов, Рыжов [33-39].

Новизна работы

В настоящей работе впервые получена система эволюционных уравнений второго порядка, описывающая передачу возмущений во внутренних течениях на сверхзвуковом режиме.

К особенностям системы, кроме её нестационарности и нелинейности можно отнести тот факт, что её предельным состоянием по одному из параметров является известное уравнение Бюргерса.

Однако главной отличительной чертой системы является сам этот параметр, чье присутствие делает аргументы функций запаздывающими. Его появление, обусловлено тем, что двумерные гиперболические уравнений потенциального ядра допускают распространение возмущений только вдоль характеристик, которых существует два семейства. Это обстоятельство приводит к тому, что волновые процессы в каждой точке пограничного слоя формируются не только под влиянием локального нелинейного механизма эволюционных уравнений, но и под влиянием решения в области, которая в зависимости от величины параметра взаимодействия может находиться как вблизи, так и на большом расстоянии от рассматриваемой точки. Способность эволюционных уравнений воспринимать через потенциальное ядро возмущения из удалённых, а также из смежных областей впервые нашла отражение в формулах настоящей работы.

Для решения системы уравнений с вышеуказанными особенностями был разработан и программно реализован численный метод, который отличается от подходов предыдущих работ [20-24], [28-30], применявшихся для решения аналогичной задачи о взаимодействии в плоском канале. Во-первых, настоящий метод позволяет решать систему нестационарных уравнений с запаздывающим аргументом. Во-вторых, он рассчитан на решение именно нелинейных задач, без какой бы то ни было линеаризации, которая, к примеру, применялась для внутренних течений в работах [28-29]. В-третьих, метод является полностью неявным, что существенно уменьшает ограничения на пространственно-временные масштабы функций и аргументов.

При помощи этого метода впервые была установлена зависимость между волновой структурой течения и его ключевыми параметрами, которые могут изменять механизм передачи возмущений.

Вследствие того, что в отличие от предыдущих работ, в настоящей постановке удалось получить целое многообразие численных решений, впервые удалось показать, что обмен информацией между пограничными слоями во внутренних течениях, может вызывать появление качественно различных волновых процессов. К ним относятся и локально возмущённые области, и непрерывные осцилляционные зоны, и, характерные для предельных режимов, уединённые волны.

Цели и актуальность работы

Учёт волновых процессов, протекающих в пограничном слое, важен в первую очередь для корректной обработки результатов аэродинамического эксперимента, поскольку почти вся существующая экспериментальная база основана на использовании аэродинамических труб и на применении устоявшихся в таких исследованиях понятий. Одним из ключевых здесь является понятие о характеристическом ромбе, в котором реализуется равномерное течение, обеспечивающее воспроизведение натурных условий полета. В этом подходе с самого начала не учитывается влияние пограничного слоя на стенках трубы, поскольку толщины таких слоев малы- и почти очевидным является предположение об отсутствии их влияния на результаты эксперимента.

Одной из целей данной работы является выяснение правдоподобности таких предположений, ибо написанные в учебниках истины могут и должны перепроверяться. Особенно это справедливо в рассматриваемом случае, поскольку с позиций физики мы имеем ситуацию, включающую в себя весьма разнообразные явления. С одной стороны в невязком поле течения информация передается вдоль характеристик, но в то же время мы имеем возможность и вероятность распространения возмущений вверх по потоку в пограничных слоях, где в среднем течение может быть дозвуковым.

Можно предположить, что в отношении стационарных течений мы действительно имеем малое влияние течения в пограничных слоях на интегральные аэродинамические характеристики исследуемых: тел. В то же время этот вывод, очевидно, неприменим к изучению нестационарных аэродинамических характеристик, поскольку передача возмущений по дозвуковым пограничным слоям может существенно повлиять на аэродинамические характеристики.

Следует учитывать, что результаты данной работы не отвечают пока на все вопросы практической аэродинамики, но вместе с тем задают новое направление, несомненно, нацеленное на решение её практических задач.

Этим исчерпывающим приложением не ограничивается применение полученных результатов. Одно из современных направлений исследований связано с разработкой гиперзвуковых воздушно-реактивных прямоточных двигателей. Как оказалось, проблемы распространения возмущений по пограничным слоям играют там ключевую роль, — эти эффекты ответственны за возникновение псевдоскачков и вообще за параметры таких двигателей. Несмотря на развитие современных численных технологий, упоминаемые эффекты являются довольно специфическими по своей сути и не ухватываются современными численными методами. Дело здесь в том, что существующие технологии требуют достаточного числа узлов для разрешения течения в пограничном слое. Более тщательный анализ показывает, что нужно иметь достаточное число узлов не просто в пограничном слое, а в его дозвуковой части, по которой собственно и передаются возмущения.

Предлагаемая в данной работе модель распространения возмущений, конечно, является приближенной и в дальнейшем предполагается проведение специальных экспериментов для ее уточнения. Это, в свою очередь, поможет в выработке мер по улучшению характеристик аэродинамических устройств для облегчения их запуска, что также является одной из целей настоящей работы.

Апробация работы

Основные результаты диссертации [50-58] докладывались на семинарах ЦАГИ, Академии имени Н.Е. Жуковского и представлялись на следующих конференциях: Вторая Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки» (Жуковский, 1999), «Проблемы исследований и разработок силовых и энергетических установок XXI века» (Москва, 2000), «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2001), «XXVI Академические чтения по космонавтике» (Москва, 2002), Четвёртая Международная конференция по нелинейным колебаниям ЕВРОМЕХ (Москва, 2002), Вторая Международная научно-техническая конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» (Жуковский, 2002).

Краткое содержание работы

Глава №1 посвящена постановке задачи. В ней сформулированы основные предположения, в которых она рассматривается, выведены оценки масштабов функций течения. Для каждой из 4 областей пограничного слоя подробно описаны преобразования, необходимые для получения уравнений, и выписаны сами уравнения. Здесь же получена система эволюционных уравнений, соотношение для параметра взаимодействия, и рассмотрены пределы системы по величине этого параметра.

Предметом главы №2 является численное исследование краевой задачи, в которой в качестве источника возмущений выступает изменение давления, вызванное внезапным появлением неровности на стенке. Рассмотрение посвящено тому, чтобы на основании результатов расчёта проследить эволюцию свойств течения по мере усиления взаимодействия, начиная от предельного (вырожденного) случая, когда обмен между стенками отсутствует, и, заканчивая наиболее жёстким режимом.

В главе №3 аналогичная эволюция по величине параметра взаимодействия прослеживается для краевой задачи, в которой источником возмущений является изменение давления на срезе канала.

Глава №4 посвящена доказательству существования и анализу численных решений уравнения Прандтля, для которого полученные в предыдущих главах распределения давления и скорости выступают в качестве условий на внешней границе.

В главе №5 в качестве одной из возможных областей приложения результатов работы рассматриваются трансзвуковые течения. Даётся классификация режимов трансзвуковых течений в зависимости от соотношения малых параметров задачи сначала без учёта взаимодействия между пограничными слоями канала, а затем с учётом его. В соответствии с приведённой классификацией, формулируются новые постановки задач о взаимодействии во внутренних течениях.

В главе №6 подробно рассмотрены разностные схемы, используемые для решения эволюционных уравнений и уравнения Прандтля. В ней также описаны методы проверки точности результатов и способ верификации численного метода.

В конце соответственно сформулированы выводы и приведён список цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Дубинский, Станислав Вячеславович

Выводы

1. Впервые получена связанная система нелинейных уравнений, описывающая нестационарные волновые процессы в пограничных слоях, формирующихся на противоположных стенках плоского канала. Рассмотрен режим наличия в потоке возмущений большой амплитуды, который описывается четырёхслойной моделью, допускающей выделение нелинейных процессов, протекающих в пограничном слое, в отдельное рассмотрение. Для поставленной задачи сформулированы допустимые краевые условия.

2. Установлена ключевая роль в процессе обмена возмущениями параметра взаимодействия А, для которого получено численное соотношение, позволяющее определить область применения результатов задачи. По величине параметра взаимодействия проанализированы предельные случаи. Выявлено, что одним из предельных состояний нелинейной системы является уравнение Бюргерса, а другие предельные состояния могут представлять собой как простые уравнения с высокой степенью вырождения, так и весьма нетривиальные уравнения третьего порядка.

3. Создан и программно реализован алгоритм численного решения полученной системы нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом. Использована полностью неявная схема, позволяющая существенно уменьшить по сравнению с явными методами ограничения на величины искомых функций. Для решения уравнения Прандтля также разработан и реализован численный метод типа Кранка-Николсона, в котором для корректного расчёта возвратных токов односторонние разности, аппроксимирующие конвективные слагаемые, вычисляются в зависимости от знака скорости.

4. Численно решена задача о вязко-невязком взаимодействии, индуцируемом неровностью. Получены решения для предельных случаев А —> оо и Д-»0, отмечены особенности постановки краевых условий. Изучено влияние формы и масштабов неровности на структуру возмущённого течения. Установлено, что при усилении взаимодействия возмущённые зоны могут возникать вне источников вследствие отражения волн от стенок канала. Доказано, что при сильном взаимодействии (в пределе А—>0) происходит качественное изменение характера передачи возмущений, в результате чего становится возможной распространение волновых пакетов как вниз, так и вверх по потоку.

5. Выявлен эффект многократного усиления амплитуды возмущений при прохождении друг через друга уединённых волн, возникающих при обтекании неровности с угловыми точками. На основании численного решения, описывающего эволюцию процесса на больших интервалах времени, свойства этих волн проанализированы и сопоставлены со свойствами солитонов уравнения Кортевега-деВриза.

6. Получены численные решения задачи, в которой возмущающим условием является изменение давления в некотором сечении или на срезе канала. Для этой задачи также исследованы предельные случаи и особенности постановки граничных условий, а на режимах сильного взаимодействия установлены характерные особенности передачи возмущений внутрь канала, которые также коренным образом отличаются от свойств вырожденной задачи и допускают существование как непрерывно возмущённых областей колебаний, так и уединённых волн.

7. Построена картина четырёхслойного взаимодействия в канале: с использованием полученных в работе распределений давления в качестве условия на внешней границе вязкого подслоя, численно доказано существование соответствующих решений уравнения Прандтля для различных режимов взаимодействия. Проанализировано влияние масштабов возмущений на продолжительность существования решения и характер особенности, приводящей к разрушению течения. Рассмотрено наличие у функций течения в критический момент времени характерных признаков предотрывного состояния. На основании метода Рубана, программно реализованного в настоящей работе, численно решена задача о трёхслойном вязко-невязком взаимодействии, и проверено соответствие результатов расчёта результатам, полученным для вырожденного случая в четырёхслойной задаче.

8. Проведена классификация нестационарных трансзвуковых режимов взаимодействия в канале с точки зрения соотношений между малыми параметрами задачи. Для течения в канале определены условия, при которых уравнения во внешнем течении становятся нестационарными и нелинейными, а в пристеночной зоне, в свою очередь, стационарными. В соответствии с проведённой классификацией, впервые сформулированы краевые задачи о взаимодействии между противолежащими пограничными слоями во внутренних течениях на режимах, для которых подобная задача не была рассмотрена ранее.

9. Проверена корректность разработанных конечно-разностных схем. Верификация метода, применённого для решения нелинейных уравнений, проведена на предельных задачах. В пределе А -»оо проверено соответствие свойств численного решения групповым свойствам уравнения Бюргерса. В пределе А —> О проверена сходимость численных результатов однородной нестационарной задачи к стационарному аналитическому решению. Для верификации метода, использованного при решении уравнения Прандтля, с помощью этого метода рассчитана задача о стационарном отрыве пограничного слоя от поверхности плоского цилиндра, и данные расчёта сопоставлены с результатами других авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дубинский, Станислав Вячеславович, 2004 год

1. Prandtl L. Ober Flusigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, d. III. Intern. Math. Kongr., Heidelberg, 1904.

2. Современное состояние аэродинамики больших скоростей, т. 2, Пер. с англ. М., Изд. иностр. лит. 1955-1956.

3. Петров Г. И., Бондарев Е.Н. Экспериментальные исследования взаимодействия турбулентного пограничного слоя со скачками уплотнения. Сб. аннотаций Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., Изд. АН СССР, 1960.

4. Leipman Н. W. The interaction between boundary layer and shock waves in transonic flows. JAS, No 12,1946.

5. Barry F. W., Shapiro A. H., Neumann E. P. The interaction of shock waves with boundary layers on a flat plate. JAS, No 4 1951.

6. BogdonofF S. M., Kepler С. E. Separation of a supersonic turbulent boundary layer. JAS, No 6 1955.

7. Gadd G. E. Experimental investigation of heat transfer effects on boundary layer separation in supersonic flows. «Fluid Mech.», v. 2, No 2, 1957.

8. Greber J., Hakkinen R. I., Trilling L. Some problem of laminar boundary layer shock wave interaction. «Heat Transfer and Fluid Mech.», Inst. Preprint of Papers, Stanford, 1957.

9. Chapman D. R, Kuehn D., Larson H. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition. NAC A Rept. No 1356,1958.

10. Tsien, H. S., Finston, M.: Interaction Between Parallel Streams of Subsonic and Supersonic Velocities //Journ. Aero. Sci.1949. V. 16. №. 9.P. 512-528.

11. Lighthill M. J. Reflection of a laminar boundary layer of a weak steady disturbance to a supersonic stream, neglecting viscosity and heat conduction // The Quarterly Journal Of Mechanics and Applied Mathematics. 1950.V. Ш. Pt 3. P 303-325.

12. Lighthill M. J. On boundary layers and upstream influence. II Supersonic flows without separation // Proceedings of the Royal Society. 1953. V. 217. №1131. P. 478-507.

13. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений//ТрудыЦАГИ. 1974.Вып. 1529. С. 17-24.

14. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies //Advances In Applied Mechanics. 1974. V. 14. P. 145-239.

15. Stewartson K., Williams P. G. Self-induced separation. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 1969,v.312,№ 1509,pp. 181-206.

16. Сычёв В. В. О ламинарном отрыве. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, №3, с. 47-59.• 19.Рубан А. И., Сычёв В. В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Успехи механики, 1979, т.2, вып. 4, с. 57 - 95.

17. Smith F. Т. On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes -J. FluidMech., 1976, v. 78,pt 4, p. 709-736.

18. I.Smith F.T., Bodonyi R. J., On the stability of the developing flow in a channel or circular pipe. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1980, V. 33, Pt 3, P. 393-320.

19. Smith F. T. Flow Through Constricted or Dilated Pipes and Channels // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1976. V. 29. Pt. 3. P. 343- 376.

20. Smith F. Т. Upstream interactions in channel flows // Journal of Fluid Mechanics. 1977. V. 79. Pt. 4. P.631 -655.

21. Smith F. T. On the high Reynolds number theory of laminar flows. IMA J. Appl. Math., 1982, v. 28, № 3, p. 207-281.

22. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, №4.

23. Ермак Ю. Н. Влияние давления на срезе гиперзвукового сопла на течение внутри сопла. Учёные записки ЦАГИ. 1977. №5. Том VIII., С. 43-49.

24. Рыжов О. С., Терентьев Е.Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. ПММ , 1977, т. 41, вып. 6, С. 1007-1023.

25. Богданова Е. В., Рыжов О. С., О свободных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечном канале // ПММ. 1983.Т.47. Вып.1. С. 64-72.г

26. Рубан А. И., Тимошин С.Н. О распространении возмущений в пограничном слое на стенках плоского канала // Изв. АН СССР. МЖГ.1986. №3. С.74-79.

27. Николаева Е. М., Тригуб В. Н. О самоиндуцированном взаимодействии пограничных слоев в плоском канале // Известия РАН. МЖГ. 1995. №4. С.131-141.

28. Липатов И. И., Нейланд В. Я. К теории нестационарного отрыва и взаимодействия ламинарного пограничного слоя // Учён. Записки ЦАГИ.1987. Т. 18. №1. С.36-49.

29. Smith F. Т., Burggraf О. R. On the development of large-scaled disturbances in boundary layer // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1985 - V. 399, № 1816. P. 25-55.

30. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263. №1. С.56-59.

31. Жук В. И., Попов С. П. О нелинейном развитии длинноволновых невязких возмущений в пограничном слое // ПМТФ. 1989 - №3., С.101-108.

32. Жук В. И., Рыжов. О. С. О трёхмерных невязких возмущениях, индуцирующих собственный градиент давления в пограничном слое. // ДАН СССР. -1989 -Т. 309. №1. С.52-56.

33. Жук В. И., Попов С. П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнения Бюргерса, Бенджамина-Оно и Кортевега-ДеВриза//Математическое моделирование. 1990. Т.2. №7. С.97-110.

34. Жук В. И., Попов С. П. Нестационарная волна отрыва в пограничном слое при сверхзвуковом обтекании // ДАН СССР. 1988 - Т. 303. №4. -С.822-824.

35. Попов С. П Структура волновых возмущений, развивающихся в пограничном слое с самоиндуцированным давлением в тонких плёнках. // ДАН СССР. 1989 - Т. 307. №2. - С.309-311.

36. Жук В. И., Попов С. П. О решениях неоднородного уравнения Бенджамина-Оно // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989., Т.29., № 12., С. 1852-1862.

37. Savenkov I. Wave packets, resonant interactions and soliton formation in inlet pipe flow // Joum. Of Fluid Mech. 1993. V. 252. P.l-30.

38. Burgers J. M. //Adv. Appl. Mech. 1948. Vol. 1. P. 171-199.

39. Benjamin Т. B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech. 1967. V29. №3. P.559-592.43.0no H. Algebraic solitary waves in stratfield fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V. 39. №4. P. 1082-1091.

40. Korteweg D. J., de Vries G., Phil. Mag. 39, 422 (1895). On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.

41. Лэмб Дж. JI. Введение в теорию солитонов. М.: Мир . 1983.

42. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир . 1987.

43. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х.С. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 1988.

44. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М: Мир . 1989.

45. Joseph R. I. Solitary waves in a finite depth fluid // J. Phys. A: Math. Gen. 1977. V. 10. №12. P. L225-L227.

46. C.B Дубинский, И.И. Липатов. «О распространении возмущений в пограничных слоях во внутренних течениях» МЖГ, №4,2004, с. 65.

47. С.В Дубинский. «Модели режимов вязко-невязкого взаимодействия в плоских каналах» // Учёные записки ЦАГИ, принято к печати.

48. С.В Дубинский. «Распространение возмущений вверх по потоку во внутренних течениях» // Учёные записки ЦАГИ, принято к печати.

49. S.V. Dubinsky, Yu.N. Ermak, I.I. Lipatov "Nonlinear Oscillatory Processes in Internal Flows", 4th Euromech Nonlinear Oscillations Conference, Book of Abstracts, The Institute for Problems In Mechanics, Moscow, Russia, 2002, p. 86.

50. C.B Дубинский, И.И. Липатов. «Распространение возмущений в каналах», XXVI Академические чтения по космонавтике, тезисы докладов, Москва, 2002, с.136-137.

51. С.В Дубинский. «Распространение возмущений в каналах», Вторая Международная научно-техническая конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» тезисы докладов, ЦАГИ, Жуковский, 2002, с.84-85.

52. С.В Дубинский. «О распространении возмущений в пограничных слоях», Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, тезисы докладов, МФТИ, Москва Долгопрудный, 2001, с.15.

53. С.В Дубинский. «Процесс вязко-невязкого взаимодействия в узком канале», Проблемы исследований и разработок силовых и энергетических установок XXI века, тезисы докладов, ЦИАМ, Москва, 2000, с.45-46.

54. С.В Дубинский. «Процесс вязко-невязкого взаимодействия в узком канале», Вторая Всероссийская научно-техническая конференции молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки» тезисы докладов, ЦАГИ, Жуковский, 1999, с.92-93

55. Hood S. //J. Math. Phys. 1995. Vol. 36. P. 1971-1990.

56. AbIowitz M. J., De Lillo S. // Phys. Lett. A. 1991. Vol. 156.P. 483-487.

57. Ablowitz M. J., De Lillo S. // Physica D. 1996. Vol. 92. P. 245-261.

58. Chekhlov A., Yakhot V. // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52. P. 5681-5684.63 .Петровский С. В. «Точные решения уравнения Бюргерса с источником». ЖТФ, 1999, т.69, вып.8., С.10-14.

59. Под редакцией Лейбовича С. и Сибасса А. Нелинейные волны. // Издательство «МИР». Москва 1977, С.123-136.

60. Su С. Н., Gardner С. S., Journ. Math. Phys., 10, 536 (1969). Korteweg de Vries equation and generalizations. Ш. Derivation of Korteweg - de Vries equation and Burgers equatuion.

61. Jeffrey A., Kakutani Т., SIAM Review, 14, 582 (1972). Weak nonlinear dispersive waves: a discussion centered around the Korteweg de Vries equation.

62. Рубан А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1978, т.18, вып.5, 1254-1265.

63. Zabusky N. J., Phys. Rev., 168, 124 (1968). Solitons and bound states of time-independent Schrodinger equation.

64. Zabusky N. J. Proc. Symp. On Nonlinear Partial Differential Equations, University of Delaware, Newark, Dei. 1965. Ed. W. F. Ames, Academic Press, p.223,1967.

65. Zabusky N. J., Kruskal M. D., Phys. Rev. Lett., 15,240, (1965). Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the recurrence of initial states.

66. Lax P. D., Comm. Pure Appl. Math., 21, 467 (1968). Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.

67. Stokes G. G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums. Trans. Cambr. Phil. IX, 8 (1851), Math. And Phys. Papers III, 1141, Cambridge, 1901.

68. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, «Наука», 1969, стр. 88.

69. Goldstein S., On laminar boundary layer flow near a position of separation. Quart. J. Mech. And Appl. Math., 1948, 1, №1,43-69.

70. Sears W.R., Telionis D.P. Boundary-layer separation in unsteady flow. SIAM J. Appl. Math., 1975,28, №1,215-235.

71. Williams J.C., Johnson W.D. Semi-similar solutions to unsteady boundary-layer flows including separation. AIAA J., 1974,12, №10, 1388-1393.

72. Tsahalis D. Th. Laminar boundary layer separation flow an upstream moving wall. AIAA, Paper, 1976, №76,377.

73. Hirsch R. S. Rudy. The Role of Diagonal Dominance and Cell Reynolds Number in Implicit Methods for Fluid Mechanics Problem. J. Сотр. Phys., 1970, v.16, p. 304-310.

74. Patankar S. V., Spalding D. B. Heat and Mass Transfer in Boundary Layers, 2d ed. London: Intertext Books. 1970.

75. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Москва «Мир» 1990, том 2, С.407.

76. Godunov, S. К. 1959, Finite Difference Methods for Numerical Computation of Discontinuous Solutions of the Equations of Fluid Dynamics, Mat. Sb. 47: 271-306.

77. Wang К. C. On the current controversy about unsteady separation // Numerical and physical aspects of aerodynamic flows. 1982. Vol.1

78. Moore F. K. On the separation of unsteady laminar boundary layer // Boundary Layer Research ed. H.Gortler. Berlin: - 1958, Springer - Verlag.

79. Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point // Quart. Appl. Math. 1956. Vol. 13, №4.

80. Диесперов B.H., Липатов И.И., Модели процессов взаимодействия течения в ламинарном пограничном слое с трансзвуковым потоком. // Известия РАН. МЖГ. 2003. №5.

81. Messiter, A.F., Feo, A. and Melnik R.E. (1971). «Shock- Wave Strength for Separation of a Laminar Boundary Layer at Transonic Speeds.» AIAA J., 9(6), 1197-1198.

82. Рыжов O.C. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при трансзвуковых скоростях внешнего потока. Докл. АН СССР.1977. Т. 236. N5,1091-1094.

83. Рыжов О.С., Савенков И.В. Об устойчивости течения в пограничном слое при трансзвуковых скоростях внешнего потока. 1990.ЖПМТФ. N 2, 65-71.

84. Жук В.И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны. Москва, «Наука», 2001.

85. Майлс Дж. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963. 272 с.

86. Коул Дж., Кук JL Трансзвуковая аэродинамика. М.: «Мир», 1989, 360 с.

87. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of practical differential equations of the heat-conduction type. Proc. Camb. Phil. Soc., 1947, v. 43, pp. 50-67.

88. Калиткин H. H. Численные методы. Издательство «Наука». Москва 1978, С. 132-134.

89. Blasius Н., Grenzschichten in Flissugkeiten mit kleiner Reibung Z. Math u. Phys. 56 1-37 (1908). Английский перевод в NACA TM 1256.

90. Schonauer W., Ein Differenzenverfahren zur Losung der Grenzschichtgleichung ftir stationare, laminare, inkompressible Stromung. Ing.-Arch 33,173-189 (1964).

91. Terril R. M., Laminar boundary layer flow near separation with and without suction. Phil. Trans. Roy. Soc. London A 253,55-100, (1960).

92. Cebeci & Cousteix «Modeling And Computation Of Boundary Layer Flows» 2000.