Исследование возбуждения и развития волн неустойчивости внешними волнами завихренности в пограничном слое на затупленных телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Ерофеев, Евгений Александрович

• Ерофеев, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ерофеев, Евгений Александрович

Введение.

Глава I. Исследование взаимодействия плоских волн завихренности с двумерным несжимаемым пограничным слоем на параболическом цилиндре.

§1.1. Постановка задачи. Общий метод решения . jg

§ 1.2. Построение первого частного решения линеаризированных уравнений Навье-Стокса для волны завихренности. "Падающая волна завихренности.

§ 1.3. Построение второго частного решения.

Отраженная" волна завихренности.

§ 1.4. Построение третьего частного решения. •

Полное решение для волны завихренности

Глава П. Волны завихренности в пограничном слое.

Обобщения теории.

§ 2.1. Исследование взаимодействия плоских волн завихренности с несжимаемым пограничным слоем на симметричном профиле при безотрывном обтекании.

§ 2.2. Взаимодействие трехмерных волн завихренности с несжимаемым пограничным слоем на параболическом цилиндре.

Глава Ш. Исследование возбуждения и развития волн неустойчивости плоскими волнами завихренности в двумерном несжимаемом пограничном слое.

Глава 1У. Численшй расчет возбувдения и развития волн неустойчивости плоскими волнами завихренности

§4.1. Расчет течения в пограничном слое. Тестовые расчеты волны завихренности.

§4.2. Тестовые расчеты собственных функций и собственных значении локально-однородной задачи. . .4У

§ 4.3. Результаты численного решения задачи о взаимодействии плоских волн завихренности с пограничным слоем на параболическом цилиндре.

§4.4. Результаты численных расчетов возбувдения и развития волн неустойчивости волнами завихренности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование возбуждения и развития волн неустойчивости внешними волнами завихренности в пограничном слое на затупленных телах»

Вопросы, связанные с проблемой перехода ламинарного пограничного течения в пограничном слое в турбулентное, являются в настоящее время чрезвычайно важными. Это вызвано необходимостью управления пограничным слоем с целью снижения сопротивления летательного аппарата. Кроме того, проблема перехода является составной частью более общей проблемы исследования турбулентности.

Для практических задач аэродинамики важным является определение местонахождения перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. В случае достаточно малых амплитуд внешних возмущений возникновение турбулентности, как установлено, связано с неустойчивостью ламинарного пограничного слоя, причем линейная область развития сформировавшихся волн неустойчивости составляет около 90$ всей области ламинарного течения [I - 5,14]. Собственные колебания пограничного слоя, порождаемые внешними возмущениями, получили название волн Толлмина-Шлихтинга.

Линейная область развития волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа исследована достаточно подробно [6 - 12,533. На базе линейной теории в последнее время интенсивно разрабатываются полуэмпирические методы расчета чисел Рейнольдса перехода [13 - 16,39]. Согласно амплитудному методу С6,17], переход к турбулентному режиму наступает в том месте, где амплитуда возмущений отнесенная к характеристикам набегающего потока, становится порядка 1%. Авторами [18 - 20] было показано, что для практических целей местоположение перехода можно определить из условия того, что амплитуда возмущений достигает порогового значения .

Однако, многочисленные экспериментальные работы показывают, что положение перехода и сам характер развития возмущений сильно зависят от спектрального состава и интенсивности набегающих возмущений C22,23,5Il. Классической работой здесь стала работа Шубауэра и Скрамштеда [21] (см. также обзоры и монографии [5,24,25]). Существенно также влияние возмущений, связанных с вибрациями поверхности [26, 27J, шероховатостью поверхности и т.п. К настоящему времени выделено четыре основных типа механизмов возбуждения волн неустойчивости в пограничном слое С5, 24,25,27,50]:

1. Генерация волн неустойчивости внешними возмущениями на локализованных неоднородноетях (единичная шероховатость, присоединенный отрыв и т.п.).

2. Генерация волн неустойчивости локализованным источником внешних возмущений (узкий пучок звука, вибратор на поверхности тела и т.п.).

3. Распределенная генерация на неоднородности основного течения.

4. Генерация волн неустойчивости в окрестности передней кромки.

В работах [28,293 первый тип механизмов возбуждения исследовался на примере единичной шероховатости поверхности, расположенной вдали от передней кромки. Результаты показывают, что шероховатость оказывает заметное влияние на местоположение перехода, малые неровности обтекаемой поверхности способны порождать волны неустойчивости, приводящие к переходу.

Из факторов второго типа наибольший практический интерес представляют вибрации поверхности. Так в [27] показано, что даже малые поперечные вибрации поверхности пластины в окрестности точки потери устойчивости приводят к интенсивному возбуждению волн Толлмина-Шлихтинга.

В работе [30] был предложен общий метод определения амплитуды возбуждаемой волны Толлмина-Шлихтинга на слабой неоднородности основного течения, было выделено три типа возмущений в набегающем потоке, взаимодействующих с пограничным слоем: акустические волны, волны завихренности, волны давления. Позже этот метод был обобщен для трехмерных пограничных слоев сжимаемого газа и в наиболее общем ввде изложен в С 31].

В этой работе впервые был вскрыт весь механизм преобразования внешних возмущений в колебания пограничного слоя, показана фундаментальная роль фазового портрета эйконала. Реализация этого метода значительно проще прямых численных расчетов линеаризированных уравнений Навье-Сгокса, она позволяет с единых позиций рассматривать различные факторы, влияющие на переход.

Данным методом изучалась распределенная генерация волн Толл-мина-Шяихтинга под воздействием внешнего акустического поля на плоской пластине [ 52]. Эта работа, а также работы L32 , 33J показывают, что акустические волны могут приводить к переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

Распределенная генерация волн Толлмина-Шлихтинга волнами завихренности и волнами давления на слабой неоднородности основного течения, связанной с медленным расширением пограничного слоя на пластине, исследовалась в [40]. Рассмотренный механизм оказался недостаточно эффективным для возбуждения волн неустойчивости,приводящих к переходу.

В работе [47] был теоретически рассмотрен вопрос о взаимодействии внешних возмущений типа вихревой дорожки Кармана с пограничным слоем на пластине. В соответствии с [45] было получено, что величина возмущенной скорости быстро уменьшается от внешней границы пограничного слоя к стенке. Такие волны, по-видимому, не могут вызывать переход. Однако, в[47] в качестве основного течения рассматривался плоскопараллельный пограничный слой, в то время как непараллельноеть пограничного слоя является необходимым условием для возбуждения вихревыми волнами волн неустойчивости [ 31].

Эгого недостатка лишена работа [ 481, в которой сделана попытка связать внешние возмущения с собственными колебаниями пограничного слоя. В ней в пограничном слое на плоской пластине анализируются линеаризированные уравнения Навье-Стокса для возмущенной функции тока. Уравнения выписываются в областисс (ос- декартова координата, направленная вдоль поверхности пластины), расположенной в районе точки потери устойчивости, район передней кромки не включается. Исследуется асимптотическое поведение решения при стремлении ос^оо f и асимптотическое поведение функции тока, описывающей волну Толлмина-Шяихтинга в окрестности нижней ветви нейтральной кривой, при стремлении - £ ос + о ( б - малый параметр задачи). Автор показывает,что эти два решения допускают аналитическое сращивание, причем необходимым является учет слабой непараллельности течения. В [493 численно определяется константа сращивания перед решением для волны Толлмина-Шлихтинга. Результаты этих работ доказывают возможность преобразования волн завихренности в волны Толлмина-Шлихтинга в развитом пограничном слое вне области передней кромки. Хотя эта работа не содержит ничего нового по сравнению с более ранними [30,31] , она может служить их подтверждением.

В упомянутых работах распределенная генерация изучалась для пограничного слоя на плоской полубесконечной пластине. Мя реальных тел как экспериментальные, так и теоретические работы отсутствуют. В теоретическом плане это связано с тем, что решение линеаризированных уравнений Навье-Стокса в пограничном слое на реальных телах должно "сшиваться" с решением вне пограничного слоя.

Построение решения вне пограничного слоя, описывающего развитие внешних возмущений в течении с градиентом давления, а затем сращивание с решением внутри пограничного слоя, представляет собой сложную самостоятельную задачу. Известно лишь решение Столярова К П. [34,41,42] линеаризированных уравнений Гельмгольца для произвольного тела при отсутствии вязкости. В [41] получено общее решение, а в [34,42] находятся решения, соответствующие вихревым, энтропийным и акустическим внешним возмущениям. Однако, решение для волны завихренности при подходе к поверхности тела имеет логарифмическую особенность в фазе. Для получения решения во всей области течения, включая пограничный слой, необходимо учитывать вязкость и проводить асимптотическое сращивание.

В [43] применялось прямое численное интегрирование уравнений Навье-Стокса для случая облучения акустическими волнами (несжимаемый аналог) параболического цилиндра. Используя спектральный метод автор получил, что амплитуда возмущенной скорости достигает максимума в районе передней кромки, при этом ее величина падает с увеличением радиуса закругления. При радиусе закругления образующей параболы, равном нулю, результаты совпадают с результатами, полученными им ранее для плоской пластины [44]. Необходимо подчеркнуть, что результаты [44] по возбуждению волн Толлмина-Шлихтинга на пластине не соответствуют экспериментам [33] и теоретической работе [27].

Вопрос о взаимодействии вихревых возмущений с пограничным слоем на затупленных телах тесно связан с вопросом о влиянии передней кромки на переход. "Проблема передней кромки", по-видимому, впервые была сформулирована в работах авторов [11,45]. В институте теоретической и прикладной механики Сибирского отделения АН СССР был проведен ряд экспериментов, посвященных специальному изучению связи передней кромки плоской пластины с переходом в пограничном слое. В [45] пластина с эллипсовидным носиком облучалась сносимыми потоком вихревыми возмущениями, создаваемыми вибрирующей ленточкой.

При этом ядро возмущений попадало на развитый пограничныйtслой,не затрагивая переднюю кромку. Возбуждения волн Толлмина-Шлихтинга не наблюдалось, возмущение быстро затухало внутри пограничного слоя по направлению к поверхности пластины. В этой же работе плоская пластина с заостренным носиком в виде сопряженных полуэллипсов облучалась акустическими волнами и вихревыми волнами. При этом на носик пластины попадала периферийная часть вихревых возмущений. Определяющую роль в генерации волн Толлмина-Шлихтинга, как показали эксперименты, играет поперечная к поверхности пластины составляющая возмущенной скорости. Когда ленточка устанавливалась так, что эта компонента отсутствовала, генерация волн Толлмина-Шлихтин-га не наблюдалась. При наличии этой компоненты были зафиксированы волны Толлмина-Шлихтинга. Важным моментом является го, что в этих экспериментах наблюдалась область повышенной интенсивности продольной компоненты пульсаций скорости, локализованная вблизи передней кромки. В этой же области регистрировался скачок фазы. В [46] были проведены численные расчеты линеаризированных уравнений Навье-Стокса сиспользованием теоретической модели внешних возмущений, соответствующей условиям экспериментов. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными.

На плоской пластине с эллипсовидным входным участком исследовался процесс перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный в условиях "естественного" перехода 1233, При степени турбулентности набегающего потока &н - 0,03$; 0,7$ наблюдалось резкое увеличение интегральной величины пульсаций скорости в окрестности передней кромки. При этом оказалось, что степень усиления зависит от радиуса закругления носика. При увеличении радиуса в 2 раза "коэффициент" усиления уменьшается на порядок. В работе делается вывод об определяющей роли поперечной составляющей возмущенной скорости, которая вызывает изменение локального угла входа потока, что приводит к изменению распределения давления и скорости на криволинейном участке пластины с одновременным усилением. Отсюда следует, что решающая роль при взаимодействии внешних возмущений с пограничным слоем на пластине в районе носика принадлежит конкретной геометрии передней кромки.

Из этих работ следует то, что пограничный слой на телах, имеющих даже небольшие участки течения с градиентом давления, очень чувствителен к воздействию внешних возмущений.

Существует целое направление теоретических исследований ( в основном зарубежных авторов) которое можно было бы назвать как изучение устойчивости течения в точке застоя В этих работах отыскивается решение линеаризированных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Граничные условия на бесконечности берутся однородными. При этом решение отыскивается в узкой области в районе передней критической точки. Очевидно, что такие теоретические работы имеют дело с решениями, описывающими собственные колебания пограничного слоя, при этом отсутствует связь с .внешними возмущениями, т.е. вопросы генерации остаются в стороне. Кроме того, практический интерес могут представлять лишь нестационарные возмущения, развитие которых необходимо изучать во всей области течения вплоть до точки перехода.

Таким образом, ввиду малочисленности экспериментальных и теоретических работ, вопрос о. влиянии передней кромки на переход (который можно считать составной частью вопроса о восприимчивости пограничных слоев на телах с градиентом давления) остается открытым.

Диссертационная работа посвящена изучению влияния вихревых возмущений во внешнем потоке на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный на затупленных телах.

В главе I в качестве затупленного тела берется параболический цилиндр, для которого методом асимптотического сращивания строится частное решение линеаризированных уравнений Навье-Стокса, удовлетворяющее условию прилипания на стенке и имеющее асимптотическое поведение на бесконечности как у сносовой плоской волны завихренности.

В главе П изложенным методом выстраивается аналитическое решение для случая произвольного симметричного профиля. В этой же главе теория обобщается для случая взаимодействия трехмерных волн завихренности с пограничным слоем на параболическом цилиндре.

В главе Ш общий метод определения амплитуда возбужденной волны Толлмина-Шлихгинга [31]конкретизируется для случая вихревых возмущений в течениях с градиентом давления.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Ерофеев, Евгений Александрович

Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференций ШГИ (1983 г), на конференции молодых ученых ФАЛТ ШТИ (1984 г), П-ом международном ИЮТAM-синпозиу ме по ламинарно-турбу-ленгному переходу (1984 г) и опубликованы в [ 59-6l] .

- 78 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании результатов диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. При взаимодействии вихревых возмущений малой амплитуды с пограничным слоем на затупленных телах существует "вязкий слой волны завихренности", который не отмечался в других работах. Толщина этого слоя определяется частотой возмущения и радиусом закругления носика передней кромки профиля. В определенном классе значений этих параметров задача допускает аналитическое решение.

2. Амплитуда у -компоненты возмущенной скорости резко возрастает при подходе к внешней границе пограничного слоя. Внутри пограничного слоя наблюдается быстрое затухание по направлению к стенке. Существует такое волновое число к , при котором амплитуда возмущенной скорости внутри пограничного слоя максимальна.

3. При взаимодействии трехмерных вихревых возмущений с пограничным слоем на параболическом цилиндре доминирующей является Z -компонента возмущенной скорости и х-компонента завихренности. При подходе к передней критической точке наблюдается область повышенных значений амплитуды возмущенной скорости с характерным размером толщины вязкого слоя волны завихренности.

4. Численные расчеты возбуждения волн Толлмина-Шлихтинга волнами завихренности на параболическом цилиндре показывают, что рас»-смотренный механизм может приводить к переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Местоположение перехода сильно зависит от определяющих параметров задачи со , 1( , |о ; при этом область генерации не включает переднюю критическую точку. Изложенный метод применим для произвольного профиля.

5. Найдено наиболее неблагоприятное для перехода волновое число ](, при котором число Рейнольдса перехода минимально для заданной степени турбулентности набегающего потока. Рассчитанное для фиксированной частоты число Рейнольдса перехода на парболическом цилиндре уменьшается с увеличением радиуса закругления передней кромки для достаточно больших степеней турбулентности набегающего потока.

6. Полученные результаты могут служить теоретической основой для проведения специальных экспериментов по изучению управления переходом в пограничном слое на реальных телах под воздействием внешних вихревых возмущений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ерофеев, Евгений Александрович, 1984 год

1. Линь Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958,- 196 с.

2. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности М.: ИЛ, 1962.-203 с.

3. Бегчов Р.,Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1973.- 350 с.

4. Развитие возмущений в пограничном слое: Сборник научных трудов под ред. В.Я.Левченко. Новосибирск,ИТПМ СО АН СССР, 1979.- 139 с.

5. Качалов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск: Наука, 1982.-149с.

6. Mack L.M. Linear stability theory, and the problem of superso nic boundary-layer transition.- AIAA Journal, 1975, vol. 13,3, p. 278-289.

7. Володин А.Г.,Гапонов С.А., Левченко В.Я. Характеристики устойчивости пограничных слоев. Новосибирск: Наука, 1975.-313 с.

8. Lees L.,Lin С.С, Investigation of the stability of the lami -nar boundary layer in a compressible fluid.- ИАСА IN- 1115, sept, 1946.-83 p.

9. Dunn D.W., Lin C.C. On the stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid. J, Aeronautical Sci., 1955, vol. 22, № 7, p. 455-477.

10. Гапонов С.А., Маслов A.A. Устойчивость сжимаемого пограничного слоя при дозвуковых скоростях. Изв. СО АН СССР, 1971, В 3, Сер. техн. наук, вып. I, с. 24-^27.

11. Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение и развитие возмущений в пограничном ело е.-В сб.: Модели в механике сплошной среды. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1979.

12. Mack L.M. Boundary layer stability theory. Document 900277, Rev. A., Passadena, California, JPL, 1969.-388 p.

13. Жигулев B.H. Проблема определения критических чисел Рейнольд-са перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. В сб.: Механика неоднородных сред. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1981, с. 5 - 28.

14. Жигулев В.Н. Современное состояние проблемы устойчивости ламиг нарных течений. В кн.: Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980, с. 109-133.

15. Malik M.R., Orszag S.A. Comparison of methods for prediction of transition by stability analysis.-AIAA J,,1980,v.18,p.1485

16. Жигулев B.H. Проблема определения критических чисел Рейнольд-са перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. В кн.: Модели механики сплошной среды. Новосибирск, 1983,с.6-30.

17. Mack L.M. A numerical method for the prediction of high speed boundary-layer transition using linear theory.-NASA-SP-347,1975, p.101-123.

18. Жигулев B.H., Киркинский А.И., Сидоренко Н.В.Думин A.M. О механизме вторичной неустойчивости и его роли в процессе возникновения турбулентности. В сб.: Аэромеханика. М.: Наука,1976, с. II8-I40.

19. Тумин A.M. Некоторые вопросы теории гидродинамической устойчивости. Дисс. канд. физ.-мат. наук - Москва, 1975. - 85 с»

20. Сидоренко Н.В. Некоторые вопросы нелинейной теории гидродинамической устойчивости. Дисс. кандидата физ.-мат. наук.-Москва, 1976. 123 с.

21. Schubauer G.B., Skramsted Н.К. Laminar boundary layer oscillations and stability of laminar flow.- NACA Rep., 1948 ,909.

22. Pate S.R., Schueler O.J. Radiated aerodynamic noise effects on boundary layer transition in supersonic-hypersonic wind tunnels.-J.Aerospace Sci., 1961,v.28,№ 9,p. 685-692.

23. Поляков Н.Ф. Ламинарный пограничный слой в условиях "естественного" перехода к турбулентному течению. В сб.: Развитие возмущений в пограничном слое. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1979, с. 23 -67.

24. Гапонов С.А., Маслов А.А. Развитие возмущений 8 сжимаемых потоках. Новосибирск: Наука, 1980. - 144 с.

25. Morkovin M.V. Instability, transition to turbulence and predictability .-AGARD-AG-236, 1977.-33p.

26. Качалов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Генерация и развитие возмущений малой амплитуды в ламинарном пограничном слое при наличии акустического поля. Изв. СО АН СССР, 1975, № 13, Сер. техн.наук, выл. 3, с. 18 - 26.

27. Федоров А.В. Возбуждение и развитие волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа. Дисс. канд. физ-мат.наук.- Москва, 1982. 153 с.

28. Максимов В.П. Возникновение волн Толлмина-Шяихтинга в осциллирующих пограничных слоях. В сб.: Развитие возмущений в пограничном слое. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1979, с. 68-75.

29. Айзин Л.Б., Поляков Н.Ф. Генерация волны Толлмина-Шлихтинга звуком на отдельной неровности поверхности, обтекаемой потоком.- Новосибирск, 1979. 22 с. (Препринт / ИТПМ СО АН СССР:ЖЕ7).

30. Жигулев В.Н., Сидоренко Н.В., Тумин A.M. О генерации волн неустойчивости в пограничном слое внешней турбулентностью. -ПМГФ, 1980, Л 6, с. 43-49.

31. Жигулев В.Н. О возбуждении и развитии неустойчивоетей в трехмерных пограничных слоях. Новосибирск, 1982,- с.1-26. (препринт /ИТПМ СО АН СССР: )§ 3).

32. Tam C.K.W. The ezitation of Tollmien-Schlichting waves in low subsonic boundary layers by free stream sound waves.-J.P.IvI., 1981, v.109, p.483-501.

33. Shapiro P.J. The influence of sound upon boundary layer stability .-Massachusets Inst, of Technology. AVLR Report.1. 83458-83560-1, Cambrige, 1977.

34. Столяров Е.П. Распространение слабых вихревых и энтропийныхволн в потенциальных течениях сжимаемого идеального газа. М. "Ученые записки ЦАГИ, 1980, г.XI, № 3, с. I-I3.

35. Тумин A.M., Шепелев В.Е. Численный анализ развития возмущений в несжимаемом пограничном слое на плоской пластине. В сб.: Числ. методы мех. сплошной среды.Новосибирск,1980,т.11,}В,с.141

36. Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М.:Мир, 1966. - 439 с.

37. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук, г.ХУ1, вып.З, I96J:, с. I7I-I74.

38. Шепелев В.Е. Численный анализ развития волн Толлмина-Шяихтинга в пограничном слое несжимаемой жидкостью.- Диссертация канд. физгмат. наук. Москва, 1980. - 146 с.

39. Столяров Е.П. Решение линеаризированного неоднородного уравнения Гельмгольца , описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального снимаемого газа. М.: Ученые записки ЦАГИ, т.XI, 1980, Л I, с. I-II.

40. Столяров Е.П. К линейной теории возбуждения звука турбулентными потоками в условиях быстрой деформации поля течения. Ученые записки ЦАГИ, т.XI, & 6, с. 10-24.

41. Murdock J.W. Tollmien Sch.lich.ting waves generated by ■unsteady flow over parabolic cilinders . - AIAA paper , 81199. - 13 p.

42. Murdock J.We The generation of a Tollmien Schlichting waves by a sound waves. - In : IUTAM - Symposium on laminar -turbulent transition. Abstracts • Stutgart , F.R.G. , 1979, p. 27.

43. Качалов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение волн Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое при воздействии внешних возмущений. М.: Изв. СО АН СССР, МВТ, 1978, £ 5, с.85-94.

44. Качалов Ю.С.,Козлов В.В., Левченко В.Я., Максимов В.П. Преобразование внешних возмущений в волны пограничного слоя. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 9, № 2, 1978, с. 49 - 59.

45. Rogler H.L., Reshotko Б. Disturbances in boundari layr introduced by a low intensity array of vortixes. SIAM J. Appi. Jvlech., 1975, v.28, № 2, p.431-462.

46. Goldstein M.E. The evolution of Tollmien Schlichting waves near a leading edge. - J.F.M., 1983, v.127, p.59-81.

47. Goldstein M.E., Sockol P.M., Sanz J. The evolution of Toll -mien Schlichting waves near a leading edge. Part 2. Humerical determination of amplitudes, J.P.M., 1983, v.129, P . 443-453.

48. Гиневский A.C., Власов E.B., Колесников A.B* Аэроакусти -ческие взаимодействия. М.: Машиностроение, 1978,-177с,

49. Филиппов В.М. Экспериментальное исследование влияния градиента давления на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, Уч. записки ЦАГИ, 1975, т, 71, с ,114-118,

50. Федоров А,В. Возбуждение волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа под действием акустического поля.-В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982, т. 13, № 3, с.106-117.

51. Mack L.M. On the stability of the boundary layer on a transonic sweet wing. AIAA paper, 1979, 79-0264. - 17p.

52. Wilson S.D.R., Gladwell I. The stability of a two-dimensional stagnation flov: to three-dimensional disturbances. -J.F.M., 1978, v.84, КЗ, p.517-527.

53. Kestin J., Wood R.T. On the stability of two-dimensional stagnation flow. J."P.M., 1970, v.44, },? 3, p.461-438.

54. Sei-IcM Iida. Stability of a two-dimensional stagnation flow. Bull. JSME, v.21, К 153, 1978, p.431-438.

55. Sutera S.P. On the sensitivity of heat transfer in the stagnation-point boundary-layer to free-stream vortisity.-J.F.M., 1963, v.16, pt.4.

56. Sadeh W.Z. Analisis of vortisity amplification in the flow approaching a two-dimensional stagnation point. JAMP, 1970, v.21, 5

57. Будем искать комплексный потенциал-функцию W , такую, чтобы выполнялось условие:r0= &2с£ Сор)

58. Представим WOp, ^ ) в виде ряда по Ь :

59. W-^^o. (1.2) и соответственно функцию тока+ (1.3)

60. Подставляя (1.2)-(1.3) в (I.I) и разлагая в ряд по & имеем:

61. Зт&&otop) Г?,о) -fРС<§У? (1Л)1. Откудаyd (у) + W, (тр(о)=о

62. Функция WY , аналитичная в верхней полуплоскости и удовлетворявшая (1.5) будет:тот. 2 Г ocol(oc-) , .-г— cfcc, (1.6)ff J ос-у1. ОО v 'и соответственног- соос У (1.7)

63. Подставляя (1.7) в (1.3) с учетом (I.I) и (1.5) имеем разложение функции тока У вблизи ^оо -t- oo <1. Функцииее.ivo1. А.2С.2.i1. V'2 V*0О 021 ; ^22 > ^2 3 ; •X1. V/oJ1.Co (,Vo $*Узс1. Voo Г1. V,