Асимптотические методы исследования движения приземного слоя атмосферы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Алферов, Олег Сергеевич

• Алферов, Олег Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алферов, Олег Сергеевич

Содержание

Введение

1. Общая постановка задачи

Приближение пограничного слоя

Модели турбулентности

Влияние вязкого подслоя

Безразмерные переменные и малые параметры

2. Течение над однородной по горизонтали плоской поверхностью под действием силы Кориолиса и градиента давления с различными условиями на верхней границе____29

Течение без градиента давления

Течение без трения на верхней границе

Течение с большим градиентом давления

Течение с условием геострофичности ветра на верхней

границе

Сравнение с натурными наблюдениями

3. Двумерное обтекание холма

Течение вдали от холма. Закон затухания возмущений

Течение вблизи холма. Отрыв линий тока

Сравнение с экспериментом в аэродинамической трубе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы исследования движения приземного слоя атмосферы»

Введение

Детальное описание распределения основных характеристик воздушных и водных масс необходимо для успешного решения многих теоретических и практических задач, связанных с физикой атмосферы и окружающей среды. Возрастающее вмешательство человека в окружающую среду увеличивает риск возникновения очагов и источников загрязнения атмосферы. При оценке возможных последствий антропогенного воздействия на окружающую среду существенную роль играют математические модели атмосферы, поскольку они позволяют определить такие характеристики атмосферных течений, как направление и скорость ветра, давление и коэффициент турбулентной вязкости, на основе которых строятся модели распространения загрязнений.

Исходные уравнения являются нелинейными, что сильно затрудняет их аналитическое решение. Для получения таких решений приходится принимать различные допущения. Так, в ранних исследованиях течений в атмосфере применялись в основном априорные модели турбулентности, например, модель Экмана с постоянной вязкостью. Такое упрощение позволило качественно объяснить поведение характеристик течения в атмосфере, однако оно не дает количественного согласия с наблюдениями.

В последнее время, в связи с появлением быстродействующих компьютеров, широкое распространение получили численные методы решения полных уравнений движения. Это снизило интерес к аналитическим методам в целом и повысило интерес к сложным моделям турбулентности, однако затраты вычислительных ресурсов для расчета полных уравнений движения являются весьма высокими, тогда как результат может сильно искажаться погрешностями аппроксимации.

Преимуществами же аналитических решений, по сравнению с чи-

сленными, являются: простота обоснования справедливости полученного решения, простота сравнения с экспериментом и возможность детального анализа зависимости решения от параметров, входящих в задачу, когда их количество велико.

Таким образом, достоверность аналитического решения существенно выше численного.

Решение исходных нелинейных уравнений, описывающих движение атмосферы, может быть существенно упрощено учетом особенностей течения и наличием малых параметров. Разложение по малым параметрам и построение асимптотических решений позволяет выразить аналитически характеристики течения для широкого круга задач.

Будут рассмотрены задачи, к которым можно применить модели турбулентности без привлечения каких-либо эмпирических констант, которые невозможно непосредственно определить из эксперимента. В модель будут входить только константы, которые хорошо изучены как эмпирически, так и теоретически, такие, как ае « 0,4 — константа Кармана и Zo — высота шероховатости.

Целью диссертации является построение простых аналитических зависимостей характеристик течения от многих параметров, входящих в систему, на основе одно- и двухпараметрических моделей турбулентности. Их достоверность обосновывается: а) применением хорошо апробированных аналитических методов решения соответствующих краевых задач, б) сравнением теоретических результатов с результатами лабораторных экспериментов и натурных наблюдений, в) сравнением с результатами численных расчетов других авторов.

Полученные разложения могут быть применены как для описания приземного слоя атмосферы в случае устойчивой стратификации, так и для тестирования численных методов расчета течений в атмосфере.

Общая постановка задачи

Рассмотрим общую модель динамики атмосферы при условии устойчивой или безразличной стратификации. В этом случае конвекция отсутствует, поэтому силы плавучести и термодинамические эффекты вносят малый вклад, который в настоящей работе рассматриваться не будет.

Тот факт, что характерная толщина слоя атмосферы (примерно 50% всей массы атмосферы заключено в слое от земной поверхности до высоты 5 км, а 75% —- до высоты 10 км [1]) незначительна по сравнению с радиусом Земли, равным примерно 6366 км, при изучении движения атмосферы позволяет пренебрегать кривизной поверхности Земли [2].

Движение воздуха в верхних слоях тонкого приземного слоя обусловлено в первую очередь балансом градиента давления в горизонтальном направлении и отклоняющей силы Кориолиса, возникающей в результате вращения Земли. В нижних слоях значительное влияние оказывают силы вязкого и турбулентного трения, рельеф и характер подстилающей поверхности. На распределение давлений в атмосфере определяющее влияние оказывает сила тяжести.

В самом общем виде, в прямоугольной системе координат, связанной с поверхностью Земли, с осью направленной вверх, уравнения

неразрывности и движения запишутся, как [1, 3]

^ + сНу (рУ) = О,

¿К

р

(И дх

вУу дР

(И дУ

<1Уг дР

+ 2р(3 х У]у +

дХ ВТ

+

дТтл, Ж

+

хг

дУ дг '

+

дТуу дТ„

(1)

+

уг

дХ ' дУ ' дг '

т^ дТг11 дТ2

дг

рд + 2р[П х + + +

гг

дХ дУ дг '

где £ — время, 14, К,, Т4 — компоненты осредненного вектора скорости ветра V в направлении декартовых координат X, У, г соответственно, Р — осредненное давление, р — осредненная плотность, ->

О — вектор угловой скорости вращения Земли, направленный вдоль

—

оси вращения, равный по модулю | О, | = 1,16 • Ю-5 1/с, д — ускорение свободного падения.

Связь между плотностью р и давлением Р устанавливается общим уравнением состояния газа

Р = рЯТс

(2)

где К = 2,9 • 102 м2/(с2 • °К) — универсальная газовая постоянная, Т° — абсолютная температура. Распределение температур в толще течения зависит, вообще говоря, от многих факторов, таких как суточные колебания потока солнечной радиации, испарение и конденсация влаги. Но в то же время типичные суточные колебания температуры не превосходят 5 7°К, что составляет всего около 2%, причем амплитуда этих колебаний убывает с высотой [1]. Поэтому для описания возмущений, вносимых в поток внешними факторами,

при наличии устойчивости движения атмосферы, распределение температуры можно считать заданным и близким к т. н. "стандартной атмосфере" [4].

Стратификация атмосферного пограничного слоя связана главным образом с наличием вертикального градиента температуры. Эффекты стратификации рассматриваются в монографиях [1, 3, 10, 38]. Общие свойства таких течений и обзор литературы приведен в недавнем исследовании [38].

В атмосфере эффекты стратификации характеризуются безраз-

(ЗдН3АТ°

мерным числом Грасгофа вг =---, где символом в обозначен

иг

термический коэффициент расширения воздуха, символом ДТ° — разность температур между нижней и верхней границами слоя высоты Н.

При малом или отрицательном числе Грасгофа вг течение в атмосфере устойчиво и конвекция отсутствует. При увеличении Сг устойчивость может нарушиться и течение будет иметь качествено иной характер.

Устойчивость атмосферы и условия возникновения конвекции при различных вертикальных распределениях температуры Т° были качественно исследованы в работах [5, 6], где показано, что сила Ко-риолиса, обусловленная вращением Земли, оказывает существенный стабилизирующий эффект на воздушный поток, в связи с чем критическое число Грасгофа Сгкр увеличивается в несколько раз. Этот факт позволяет значительно расширить диапазон применимости к атмосферным течениям приближения тонкого слоя, на основании которого мы будем строить аналитические разложения.

Мы будем рассматривать течение в диапазоне чисел Грасгофа меньше критического, Сг < Сгкр, когда эффекты, связанные со стратификацией [1, 3, 10, 38, 5, 6] несущественны.

Компоненты тензора вязких напряжений Т^, г = 1... 3, 7 = 1... 3, для осредненного движения в соответствии с гипотезой Буссинеска примем в виде [3, 7, 8, 9]

ТЦ = руБ^ Д,- = Щ + Щ - сИУ У, (3)

где Иц — тензор скоростей деформации среднего движения, — единичный тензор, и — коэффициент кинематической турбулентной вязкости. Как будет показано ниже, при рассмотрении моделей турбулентности, коэффициент турбулентной вязкости V имеет порядок

V ~ С/Я, (4)

где II — характерная горизонтальная составляющая скорости, Н — характерный вертикальный масштаб. Например, из гипотезы Пранд-тля (12) соотношение (4) следует автоматически [10, 11].

Формула, устанавливающая зависимость коэффициента турбулентной вязкости V от характеристик течения и пространственных координат, может включать в себя несколько эмпирических констант. Так, гипотеза Колмогорова-Монина (15), рассматриваемая ниже, содержит, помимо хорошо известных из гипотезы Прандтля констант ае и эмпирические константы аь и с. Модели турбулентности, зависящие от большего числа констант, мы рассматривать не будем.

Нижняя граница течения совпадает с земной поверхностью. Она определяется, как поверхность, высота которой над уровнем Z = 0 задается функцией Ща(Х/Ао, У/А0), где Н0 и А0 — характерный вертикальный и горизонтальный соответственно размеры неоднородно-стей рельефа. Будем предполагать неровности достаточно гладкими и имеющими малую высоту по сравнению с их протяженностью:

Щ <С Ао, |сг| ~ 1, ^гас!сг| ~ 1.

В качестве граничного условия на нижней границе принимается обычное условие равенства нулю вектора скорости на твердой стенке:

Я = Ноа{Х/Ао, У/Ао) : V = 0. (5)

Для определенности, область течения считается ограниченной сверху постоянной высотой Н, много большей характерных высот неровностей рельефа Щ. На больших высотах в атмосфере сила трения перестает играть существенную роль, и течение определяется балансом сил инерции, силы Кориолиса и градиента давления. Поэтому на верхней границе Н изучаемого нижнего слоя атмосферы обычно принимается условие непрерывности скорости и давления:

г = Н: V = ~и, Р = Р0,

—>

где и и Ро — скорость ветра и давление соответственно на высоте Н вне изучаемого слоя атмосферы.

Если верхняя граница нижнего слоя Z = Н совпадает с высотой инверсии, то условие непрерывности вектора скорости может нарушаться. В этом случае на нижний слой действует касательное напряжение Т/и зависящее от разности скоростей верхнего и нижнего потоков.

Некоторую информацию о виде этой зависимости можно получить, используя теорию подобия и размерностей. Область газа, в которой происходит взаимодействие верхнего и нижнего течений, является тонким слоем, поэтому градиент давления не оказывает влияния на величину касательного напряжения в нижнем слое. Она также не может зависеть от расстояния до поверхности Земли Н, так как данный эффект должен сохраняться при устремлении Н —5- оо. Среди определяющих параметров остаются плотность воздуха и скорости течения в верхнем и нижнем слоях.

Воспользуемся принципом относительности Галиллея, который утверждает, что вид математических формул, выражающих физические закономерности, не может зависеть от выбора инерциальной системы отсчета. Рассмотрим систему отсчета, движущуюся в данный момент времени со скоростью, равной скорости течения в нижнем

потоке. Тогда количество определяющих параметров уменьшится и

—V > —!►

станет равным двум: Ть = Ть\р, и — V). Из тензорного характера этой зависимости [4, 39] следует коллинеарность векторов касательного напряжения Т% и относительной скорости верхнего потока —)> —»

и -V.

Окончательно, из теории размерностей и принципа Галиллея вытекает единственное соотношение с единственным безразмерным параметром, зависящим от физических свойств среды:

Тн = Ср(и -У)\и -VI

причем С > 0. Приведенное соотношение адекватно описывает взаимодействие между двумя различными средами, например, между водой и воздухом [12]. Оно также позволяет описать условие непрерывности вектора скорости на верхней границе при С —> оо и условие отсутствия трения при (7 = 0. Однако вопрос о физической реализации промежуточных значений С пока остается открытым. Поэтому при решении конкретных краевых задач мы рассмотрим подробно случаи С — 0 л С —>• оо, а решение при промежуточных значениях С будет рассматриваться ограниченно.

Приближение пограничного слоя

Пограничным слоем в течении вязкой жидкости называется тонкая в поперечном к потоку направлении область, где, в отличие от окружающего ее безвихревого потока, движение является вихревым

и характеризуется резкими изменениями скорости и завихренности в поперечном к потоку направлении.

Как было показано еще Гельмгольцем, в задаче описания движении верхних слоев атмосферы над областями большой протяженности, порядка целого континента, роль вязкости незначительна, в том смысле, что велико число Рейнольдса Ие = Ы1/р, где и — характерная скорость, ь> — коэффициент кинематической вязкости, Ь — радиус земного шара [2].

Слой воздуха в непосредственной близости от земной поверхности, в котором происходит резкое изменение скорости от максимального значения до нуля, называется планетарным пограничным слоем атмосферы. Изменение скорости с высотой обуславливает значительные величины касательного напряжения, в связи с чем этот слой называют также слоем трения. Распределение скоростей в слое трения определяется балансом уже не только градиента давления и силы Ко-риолиса, но также и сил касательного напряжения.

В уравнения движения и неразрывности входят полные производстве вУх сП4 Ар ные скоростей и плотности по времени ——, ——, —— и —, в ка-

<И аЬ т М

ждую из которых входит частная производная по времени и конвективная часть. Сделаем оценку для частных производных по времени по сравнению с конвективными частями. Изменение во времени характеристик течения в атмосфере связано прежде всего с вращением Земли, поэтому временной масштаб их изменения измеряется сутками, £ ~ 105 с. В то же время, типичная величина скорости на высоте Н « 103 м составляет около V ~ 10 м/с. Отсюда следует, что конвективные производные будут больше частных производных по времени приблизительно в 1Л/Н « 103 -г 102 раз [2], что позволит нам не рассматривать их при проведении асимптотического анализа течения, поскольку такие факторы, как сила Кориолиса или неровно-

сти подстилающей поверхности могут оказывать значительно большее влияние на течение.

Принимая во внимание, что высота пограничного слоя атмосферы Н составляет величину порядка одного километра, что обычно много меньше характерных горизонтальных масштабов изменения характеристик течения, и гладкость самой подстилающей поверхности, используем приближение тонкого слоя.

Из уравнения неразрывности и условия прилипания на нижней границе следует, что вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с горизонтальной:

1 ? ЩрУг) д(РУ,)\

у'-р1{ ах + ду ) ^

О

что дает оценку для характерных вертикальных составляющих скорости:

т, ин

Уг ~ —, (6)

где 11 — характерная горизонтальная составляющая скорости, Н — толщина слоя, А — характерный горизонтальный масштаб, Н.

Оценим порядки слагаемых в уравнении движения (1) в направлении Z. Как непосредственно следует из (3), (4) и (6), для слагаемых, входящих в последнее уравнение (1), верны следующие оценки:

Хдх удУ хог р '

дТуг дТ%2 о л—л - ~ - - го ои А.

дх дУ дг р '

Учитывая соотношения Н А, | 1 VА~г и и2А'1 д, выде-

12

лим два главных слагаемых, которые представляют собой основное уравнение гидростатики:

дР

-Р9 = 0. (7)

dZ

Ошибка, допускаемая при отбрасывании остальных слагаемых этого уравнения, не превосходит 1,5 • 10_3 [1, 2].

Гидростатический закон изменения давления с высотой позволяет сделать оценку для изменения плотности с высотой. Подставляя общее уравнение состояния (2) в формулу (7) и пренебрегая зависимостью ускорения свободного падения от высоты, получим

P-iW«

откуда можно вывести выражение для плотности:

, Т%=0 ( 9 fdz\

В стандартной атмосфере температура уменьшается с высотой на 6,5°К через каждые 100 м [4]. Подставляя физические константы Т%=о - 280°К, g = 10 м/с2, R = 2,9 • 102 м2/(с2 • °К), получим, что относительное изменение плотности в слое высоты Н ~ 103 м не превосходит 2 • Ю-2.

Таким образом, в пограничном слое атмосферы плотность можно считать константой, что дает упрощение уравнения неразрывности и тензора скоростей деформации

р = const, div У = 0, Dij = +

В предположении стационарности и с учетом сделанных упроще-

ний, уравнения (1) неразрывности и движения перепишутся в виде сНУ V = О,

дР , п . дтхх , дТ,, дтхг

+ х + дх + ау + зя '

др

(8)

РР = о,

где символами VI, обозначены Ух, Уу, Уг соответственно.

Как будет показано ниже при рассмотрении возмущений, вносимых отличием поверхности Земли от однородной, отклонение характеристик течения от невозмущенных значений быстро затухает с высотой обратно пропорционально квадрату вертикальной координаты, и всюду ограничено. Возмущения от сравнительно коротких холмов, имеющих протяженность Ао ~ Н <С А заметны лишь в непосредственной близости от земной поверхности. В то же время, возмущения от неровностей рельефа, имеющих большую протяженность по сравнению с толщиной потока, при Ао~^> Н, практически не изменяются с высотой. Все это позволяет решать отдельно задачу о влиянии на поток воздуха неоднородностей подстилающей поверхности и задачу о влиянии силы Кориолиса и градиента давления.

Сделаем дополнительные упрощения для последней задачи. Рассмотрим задачу с осредненными по горизонтальной координате нижними граничными условиями. Масштаб осреднения выберем равным Н. Тогда, в силу сказанного выше, на конечной высоте отличие решения этой задачи от решения полной задачи имеет второй порядок малости по характерным малым параметрам, описывающим возмущение от неоднородности подстилающей поверхности.

Рассмотрим стационарное течение над осредненной нижней границей, близкой к горизонтальной. Аналогично оценкам, полученным выше для уравнения движения в направлении с помощью (3), (6) и соотношения (4) для V ~ IIН сделаем оценки слагаемых, входящих в уравнение движения (1) в направлениях X и У:

ау, ак ,, оу,

РУХШ ~ рУу-ду ~ РУ^

лгдУу лгдУу тгдУу тт2 л —1

Мах ~ Мог ~ ру'д£ ~•

дТХх дТух дТху д^уу

—1 ГЧ^ "" '

~ Ч^Г ~ ри НА ,

дХ дХ дУ дУ

Слагаемые -т^г и с помощью тех же соотношений (3), (4)

и ¿1 и//

и (6), распишем более подробно:

етхг а / аул а / аул Ж = раг у~а!>+ раг Г ах)'

атуг о ( аул а ( аул Ж = раг {"дг)+раг{^)'

а ( аул а ( аул 2 , "аг ["а?) ~ раг Ы) ~ри н '

а / аул а / аул „2„,_2 раг { ах/ ~ раг { 87) ~ р '

Отбрасывая в уравнениях движения (8) слагаемые, имеющие более высокий порядок малости и раскрывая векторные произведения, выпишем уравнения, которые описывают течение воздуха в пограничном слое атмосферы над поверхностью, близкой к горизонталь-

ной: [1, 2]

д ( дУя

дг д

1У

дг

дЦ,

= +

1дРп

v-

дг \ дг

/К +

рдх'

1 т

рдУ1

Р = Р0 + рд(г-Н),

2 / П N

э.x + w

где Ро — давление на верхней границе г = Н, которое вообще говоря может зависеть от горизонтальных координат, / — параметр

Кориолиса, равный / = 2\ О | вт7, где 7 — широта.

Вопрос о том, надо ли учитывать силу Кориолиса, зависит от величины /Н/\ и |. Чем больше толщина пограничного слоя Я, и чем меньше скорость течения на верхней границе, тем большее влияние оказывает сила Кориолиса. В непосредственной же близости от поверхности земли влияние силы Кориолиса ничтожно [13].

Тем не менее, как будет показано ниже, даже малое ее значение может оказывать существенное влияние на решение.

Граничные условия запишутся в виде:

г = 0 : г = н

—У

V =0, 9У* пт

щ

дг

УЛ\и

V

П

= С(иу-Уу)\и-VI

(10)

При исследовании уравнений (9) часто принимают условие геострофичности ветра выше слоя трения. Это условие отражает отсутствие касательных напряжений в верхнем потоке, что выражается в

следующем соотношении:

" pfdX' ' pfdV 1 j

Несмотря на то, что движение верхних слоев атмосферы не является ни установившимся, ни строго горизонтальным, погрешность формул (11) весьма незначительна [1].

Система уравнений (9) незамкнута. Для ее замыкания требуется привлечение дополнительных соображений относительно параметра турбулентной вязкости и.

Модели турбулентности

Вопросу о величине коэффициента турбулентной вязкости г/, входящего в уравнение (3) для осредненных характеристик течения, посвящена обширная литература, например [8, 10, 11, 14, 15]. Его изучение началось, по-видимому, в начале нашего века, когда были предприняты теоретические попытки объяснения закономерностей, обнаруженных при натурных измерениях вертикального профиля скорости. Существующие модели турбулентности можно разделить на две большие группы.

Первая группа — это априорные эмпирические модели, в которых вместо молекулярной вязкости вводится коэффициент турбулентной вязкости, зависимость которого от координат задана явно. Впервые задача о распределении вектора скорости ветра в нижних слоях атмосферы была рассмотрена в 1908 г. Акербломом, который принимал коэффициент и равным константе. Тогда же, при экспериментальной проверке своих результатов, Акерблом обнаружил, что характерные значения коэффициента турбулентной вязкости намного превосходят величину молекулярной вязкости воздуха.

В работе Акерблома [16] и в нескольких последующих работах была вполне удовлетворительно сформулирована задача о вертикальном распределении скорости в планетарном пограничном слое атмосферы и получено, по крайней мере качественное, объяснение особенностей изменения вектора скорости ветра с высотой. Однако количественно результаты этих работ определенно расходятся с данными экспериментов. Так, например, при постоянном коэффициенте вязкости, угол между приземным и геострофическим ветром всегда равен 7г/4, тогда, как в действительности он весьма изменчив и в среднем составляет 15 -т- 20°, что более чем вдвое меньше. Рассчитанные вертикальные градиенты скорости ветра вблизи земной поверхности также резко расходятся с данными измерений.

По мере накопления экспериментальных данных о вертикальном распределении ветра появились работы, в которых по этим данным рассчитывается профиль коэффициента турбулентной вязкости. Согласно выполненным оценкам, как правило, имеет место близкий к линейному рост коэффициента турбулентной вязкости до высот порядка сотен метров, сменяющийся убыванием до сравнительно малой величины на уровне 1000 м, Эти выводы, полученные по материалам наблюдений в нижних слоях атмосферы, согласуются с лабораторными измерениями коэффициента турбулентной вязкости в пристеночной области турбулентного пограничного слоя.

К концу 60-х годов было разработано большое количество более или менее сложных априорных гипотез [11, 14, 17], среди которых можно выделить зависимости вида г/ ~ и г/ ~ еа2, а также "двух-

и 55 гт о

слоиные модели, в которых до высоты Н\ вязкость линеино растет с высотой, р = klZ, а затем принимается постоянной, V = кхНх. Все константы, входящие в перечисленные формулы, определялись из эксперимента. Некоторые из усложненных априорных моделей приводят к результатам, значительно лучше согласующимся с данными изме-

рений, чем простейшая гипотеза v — const. В то же время перечисленные модели опираются на априорные предположения и не содержат каких-либо рекомендаций о выборе значений фигурирующих в них параметров, а следовательно, не дают возможности сознательно учесть зависимость структуры пограничного слоя атмосферы от особенностей метеорологической обстановки.

Вторая большая группа моделей, развитие которых продолжается до настоящего времени, заключается в применении полуэмпирических гипотез, которые связывают коэффициент турбулентной вязкости v с некоторыми другими характеристиками течения при помощи дополнительного соотношения.

Наиболее простой полуэмпирической моделью турбулентности является модель Прандтля для пристеночной турбулентности: [7, 8, 10]

dV

dz

(12)

где Ь называется длиной пути смешения и определяется как функция координат.

Указанное выражение для и может быть получено при помощи применения теории подобия и размерностей. Если предположить, что высшие производные скорости слабо влияют на вязкость, приведенная формула является единственной формой зависимости между V, скоростью течения и величиной, имеющей размерность длины. Поведение величины Ь, вообще говоря, может зависеть от конфигурации стенок, ограничивающих течение [18]. Для плоской однородной стенки возможна единственное выражение для Ь:

ь = 2е{г + г0),

где Z — координата в перпендикулярном стенке направлении, ае ~ 0,4 — постоянная Кармана, — высота шероховатости, константа,

имеющая размерность длины, введенная для устранения особенности при 2 = 0. Величина характеризует гладкость поверхности, типичные значения для полированных поверхностей составляют ОД-г-1 мм. Для случая течения в атмосфере над реальной подстилающей поверхностью Zo составляет от нескольких сантиметров для песка или десятков сантиметров для травы до величин порядка метра для леса [19].

Для стационарного потока, однородного по горизонтали, в отсутствие силы Кориолиса и градиента давления гипотеза Прандтля предсказывает логарифмический профиль скорости

у = (13)

¿0 / ¿0

Формула (13) была протестирована на экспериментах в аэродинамических трубах как самим Прандтлем, так и его последователями [20], и показала высокую точность и универсальность для пристеночных течений при различных числах Рейнольдса.

В атмосфере расстояние до земной поверхности не является единственной величиной, имеющей размерность длины. Это вызвало ряд попыток уточнить выражение для Ь. Можно отметить, например, поправку, предложенную Блакадаром [11, 15], использующую параметр Кориолиса и градиент давления:

г = ^ |^гас1Р|

1 + эе£/0,00027Л' рр '

где числовой множитель 0,00027 подбирался эмпирически на основании экспериментальных данных. Поправка Блакадара отражает тенденцию замедления роста масштаба турбулентности Ь с высотой начиная с некоторой высоты, однако она носит полностью эмпирический характер.

Чтобы адекватно описать особенности течения вдали от твердой границы, нужно привлекать более точные двухпараметриче-ские модели турбулентности. Одна из первых таких моделей была предложена Колмогоровым [21] в 1942 г. и развита Мониным [10]. Она включает в себя зависимость турбулентной вязкости от сред-

ней удельной кинетической энергии турбулентности Ъ2 = (У^2 +

У у + Уу2)/ 2, где (У^ Уу, У!,) — пульсации составляющих скорости ветра, черта сверху — знак статистического осреднения. Модель Колмогорова-Монина основана на применении уравнения баланса турбулентной энергии, которое выводится из уравнений движения и, в отличие от гипотезы Прандтля, учитывает взаимодействие между слоями потока.

Пренебрегая величинами, играющими несущественную роль,

дЬ

д —— 1 дР'У

—Т° УI и — * , в монографии [10] выводится уравнение 1 р и г

_ - * = (14) х г дг у * 2 дг ' { ]

Это уравнение является представителем двухпараметрических моделей турбулентности. В этих моделях масштаб турбулентности связывается с энергией турбулентных пульсаций, что позволяет более точно определить зависимость масштаба турбулентности от конфигурации течения и граничных условий.

Уравнение (14) содержит дополнительные неизвестные: третий

корреляционный момент пульсаций скорости У^У^У/ и среднюю удельную диссипацию энергии пульсационного движения под дей-

ствием вязкости е^ которая равна

и» (щ дур2 ' 2 £ \дxj т ах,-,

На основе теории размерностей и геометрических соображений Колмогоров и Монин делают вывод о связи между величинами V, Ъ,

тек' и Щ:

^ = =-агщ, =

где с и — некоторые безразмерные константы, Ь — масштаб длины, который принимается равным Ь = ае(£ + /?о), чтобы согласовать эту модель с моделью Прандтля вблизи границы 2 — 0.

Данные соотношения позволяют в дальнейшем полностью отказаться от рассмотрения пульсаций характеристик течения, поэтому во всех последующих формулах мы будем рассматривать именно осредненные величины, опуская знак осреднения для простоты.

С учетом всех сделанных предположений уравнение баланса турбулентной энергии окончательно примет вид

у

дУЛг (дУь

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Алферов, Олег Сергеевич

Выводы. В [33] описан широко применяемый метод потенциальных течений для расчета течений над неоднородной местностью. Этот метод дает хорошие результаты при /¿//¿о < 0,5. Однако расчеты показывают, что даже для очень пологого рельефа при к/> 1 течение становится отрывным и несимметричным. Этот вывод подтверждается описанным выше экспериментом, в котором максимальный наклон поверхности холма составлял 10°. Экспериментальные данные не являются симметричными относительно X = 0, поскольку в этом эксперименте /г//хо = 1,3.

Теоретически установлено, что характер обтекания холмов с одной и той же безразмерной формой сг(х) зависит от единственного безразмерного параметра /г//хо< При его увеличении течение становится отрывным, и зона отрыва за холмом возрастает. Критическое значение Н/ро, при котором течение становится отрывным, зависит от формы холма.

На высоте Дг больше /¿о возмущение скорости потока близко к потенциальному и убывают обратно пропорционально квадрату высоты г по закону

У-У0~У0Н0А0/(г + А0)\ где Но и Ао — соответственно высота и радиус холма.

0.0

0.1

V — Vc\

Д* = 0,8 *

-4 -3-2-1 0 1.2 3 А ХЬ

Рис. 38. Разгон над холмом на различных высотах.

О = 1,13

Рис. 40. Отрывная зона — сравнение с экспериментом.

-,т/т0

1 -I о

0 = 0,38

0.4 % 0.2

0.0 &

-2

-р4 X

Рис. 41. Безотрывное обтекание — сравнение с экспериментом.

Заключение

1. Основной целью диссертации было построение простых аналитических формул, выражающих зависимость квазистационарного движения атмосферы при безразличной или устойчивой стратификации от многих факторов. Проделанные выкладки показали, что во многих случаях влияние того или иного малого параметра локализовано в соответствующей области течения, где решение представляется в виде разложения по этому параметру, а влияние всех остальных факторов либо маскируется главным возмущением, либо пренебрежимо мало.

2. Одним из основных результатов диссертации является установление зависимости нижней части течения от рельефа подстилающей поверхности и верхней части течения от силы Кориолиса, градиента давления и условия на верхней границе. Это решение может как применяться самостоятельно для описания течений в атмосфере, так и для тестирования численных схем.

3. Показано, что в отсутствие градиента давления сила Кориолиса оказывает очень большое влияние на течение и тем больше, чем более гладкой является подстилающая поверхность.

4. Показано, что при отсутствии трения на верхней границе вектор скорости ветра практически не меняется с высотой. Несмотря на это, при достаточно большой шероховатости подстилающей поверхности, может иметь место значительное отклонение среднего вектора скорости от вектора геострофической скорости.

В рамках теории тонкого слоя и гипотезы Прандтля при отсутствии трения на верхней границе может не существовать установившегося течения — при определенных значениях силы Кориолиса О < е < 0,32 существует конечный диапазон параметров шероховатости 0 < (1о < /Iх(е), при которых такое течение невозможно. Однако в природе данный эффект проявиться не может из-за чрезвычайной малости высоты шероховатости ~ Ю-26, соответствующей

5. Предложен универсальный для общего случая | Сг | -С 1, £ 1 и /¿0^1 малый параметр для построения асимптотических разложений в верхней области течения.

6. Найден единственный параметр И/ро, влияющий на зону отрыва линий тока за препятствием в нижних слоях течения. Определена форма линий тока, ограничивающих отрыв. Найден закон затухания возмущений, вызванных препятствием, в верхних слоях течения.

7. Построены численные схемы для расчета течения во всей рассматриваемой области. Достоверность численных расчетов проверялась сравнением с аналитическими решениями.

8. Достоверность аналитических результатов, полученных в диссертации, подтверждается: применением хорошо апробированных аналитических методов решения соответствующих краевых задач и методов построения асимптотических разложений, оценкой отбрасываемых величин при построении асимптотических разложений, сравнением теоретических результатов с результатами лабораторных экспериментов и натурных наблюдений,

-— сравнением результатов диссертации с результатами, опубликованными в статьях других авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алферов, Олег Сергеевич, 1999 год

Литература

[1] Матвеев Л. Т., Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Л.: "Гидрометеоиздат", 1984.

[2] Кочин Н. Е., Собрание сочинений, т. 1, Динамическая метеорология. М—Л.: Изд-во АН СССР, 1949.

[3] Пененко В. В., Алоян А. Е., Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: "Наука", 1985.

[4] Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. 1, М.: "Наука", 1976.

[5] Блохина Н. С., Орданович А. Е., Математическое моделирование вихревых структур в верхнем слое водоема. // Изв. РАН, Физ. атм. и океана, т. 30, № 5, 1994, стр. 686—695.

[6] Орданович А. Е., Пашковская Ю. В., Влияние сил Кориолиса на возникновение конвективных циркуляций в верхнем слое водоема при воздействии ветра на его поверхность.

[7] Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа. М.: "Наука", 1987.

[8] Лущик В. Г., Павельев А. А., Якубенко А. Е., Уравнения переноса для характеристик турбулентности: модели и результаты расчетов. Итоги науки и техники, сер. мех. жидк. и газа., т. 22, 1988.

[9] Колльман В., Методы расчета турбулентных течений. М.:"Мир", 1984.

[10] Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика, том 1, М.: "Наука", 1965.

[11] Зилитинкевич С. С., Лайхтман Д. JL, Обзор моделей турбулентности. // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, М., 1967, том 3, вып. 3.

[12] Крылов Ю. М., Ветер, волны и морские порты. JL: "Гидрометео-издат", 1986.

[13] Монин А. С., Обухов А. М., Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы. // Труды Геофиз. ин-та АН СССР, 1954, № 24 (151).

[14] Юдин М. И., Физика приземного слоя атмосферы. JL, вып. 28, 1946.

[15] Blackadar, Alfred К., The veritical distrubution of wind. // J. of Geophysical Res., 1962, v. 67, № 8, p. 3095.

[16] Akerbloom F., Recherches sur les courants les plus bas de l'atmpsphere au-dessus de Paris. Nova Acta Reg. Soc. Sei. Uppsala, Ser. 4, 2, № 2, 1908.

[17] McRae G., Goodin W., Seinfeld J., Development of a Second-Generation Mathematical Model for Urban Air Pollution — Model Formulation. // Atmospheric Environment, Vol. 16, № 4, pp. 679— 696, 1982.

[18] Булеев H. И., Пространственная модель турбулентного обмена. М.: "Наука", 1989.

[19] Вызова Н. JL, Иванов В. Н., Турбулентность в пограничном слое атмосферы. JL: "Гидрометеоиздат", 1990.

[20] Nikuradse J., Gesetzmässigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Röhren. // VDI, Forschungsheft 356, 1932.

[21] Колмогоров А. Н., Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. // Изв. АН СССР, Серия физическая, М., 1942, том 6, № 1—2, стр. 56—58.

[22] Браун Р. А., Аналитические методы моделирования планетарного пограничного слоя. JL: "Гидрометеоиздат", 1978.

[23] Гришанин К. В., Динамика русловых потоков. JI. "Гидрометеоиздат", 1969.

[24] Lettau Н. Н., A re-examination of the "Leipzig wind profile" considering some relations between wind and turbulence in the friction layer // Tellus, v. 2, № 2, 1950, Stockholm.

[25] Milner P., Uber die Reibung in einer speziellen Luftmasse in den untersten Schichten der Atmosphäre. // Beitr. Physik d. frein Atmos., 1932, 19, pp. 151—158.

[26] Lacser A., Arya S. P. S., A Numerical Model Study of The Structure and Similarity Scaling of The Nocturnal Boundary Layer (NBL). // Boundary-Layer Meteorology, 35 (1986), pp. 369—385.

[27] Argentini С., The Two-year Sodar Measurements in Adely. // Boundary-Layer Meteorology, 81 (1996), № 1.

[28] Jackson P. S., Hunt J.C.R., Turbulent Flow Over a Low Hill. // Quart. J. Royal Meteorol. Soc., Vol. 101, 1975, pp. 929—955.

[29] Snyder W. h., Khurshudyan L. H., Nekrasov I. V., at all, Flow and dispersion of pollutants in thin two-dimensional valleys. // Atmosph. Envir., vol. 25A, № 7, 1991, pp. 1347—1375.

[30] Nekrasov I. V., Khurshudyan L. H., Snyder W. h., Data Report of Soviet-American Hill Study. // Env. Protection Agency Research Triangle Park, NC 27711, 1979, pp. 458—474.

[31] Милн-Томсон Л. И., Теоретическая гидромеханика. М.:"Мир", 1964, стр. 564.

[32] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики. М.: "Наука", 1977.

[33] Берлянд М. Е., Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. Л.: "Гидрометеоиздат", 1975.

[34] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: "Иностранная литература", 1950.

[35] Бейтман Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т. 2, М.: "Наука", 1974, стр. 18.

[36] Степанов Г. Ю., Гогиш Л. В., Турбулентные отрывные течения. М.: "Наука", 1979, стр. 46.

[37] Степанов Г. Ю., Гогиш Л. В., Отрывные и кавитационные течения. М.: "Наука", 1990.

[38] Байдулов В. Г., Чашечкин Ю. Д., Общие свойства свободных и пограничных течений в непрерывно стратифицированной жидкости. М., 1997.

[39] Эглит М. Э. и др., Механика сплошных сред в задачах. "Московский Лицей", т. 1, 1996.

[40] Вызова Н. Л. и др., Изучение пограничного слоя атмосферы с 300-метровой мачты. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

[41] Вызова Н. Л. и др., Исследование нижнего 300-метрового слоя атмосферы. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

[42] Волковицкая 3. И., Турбулентные характеристики атмосферы. // Метеорология и гидрология, № 3, 1971.

[43] Монин А. С. и др., Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.:"Ин. лит.", 1962.

[44] Mellor G. L., The effect of pressure gradient on turbulent boundary layer. // J. of Fluid Mechanics, Vol. 24, 1966, p. 255.

[45] McVehil G. E., Wind and temperature profiles. // Q. J. R. Met. Soc., Vol. 90, № 384, 1964.

[46] Монин А. С. и др., Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: Изд-во ин. лит., 1962.

[47] Репик Е. У., Экспериментальное исследование структуры турбулентного пограничного слоя при наличии градиента давления. // Изд-во ЦАГИ, вып. 1218, 1970.

[48] Ландау JL Д., Лившиц Е. М., Механика сплошных сред, М.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953.

[49] Lettau Н. Н., Exploring the atmosphere's first mile. London, Perga-mon press, 1957.

[50] Самарский А. А., Теория разностных схем. M.: "Наука", 1983.

[51] Белоцерковский О. М., Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1994.

[52] Clarke R. Н., Observation studies of the atmospheric boundary layer. // Q. J. R. Met. Soc., 1970, 96, 91—114.

[53] Бэтчелор Дж., Теория однородной турбулентности. М.: "Ин. лит", 1955.

[54] Hogstrom Ulf, Review of Some Basic Characteristics of The Atmospheric Surface Layer. // Boundary-Layer Meteorology, 1996.

[55] Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя. М.: "Наука", 1974.

[56] Эглит М. Э., Неустановившиеся движения в руслах и на склонах. Изд-во МГУ, 1991.

[57] Ван-Дайк М., Методы возмущений в механике жидкости. М.: "Мир", 1967.

[58] Коул Дж., Методы возмущений в прикладной математике. М.: "Мир", 1972.

[59] Марчук Г. И., Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: "Наука", 1982.

[60] Lettau H. H., Theoretical wind spirals in the barotropic atmosphere. // Beithr. Phys. Atmos., 1962, № 35, pp. 195—212.

[61] Бабич В. M. и др., Линейные уравнения математической физики. М.: "Наука", 1985.

[62] Алферов О. С., Петров А. Г., Турбулентное течение над вращающейся шероховатой поверхностью. // Вестник МГУ, № 9, 1995.

[63] Алферов О. С., Петров А. Г., Двухслойное турбулентное течение над вращающейся шероховатой поверхностью. // Изв. РАН, Механика жидк. и газа, № 4, 1995.

[64] Alferov О. S., Petrov A. G., Turbulent Flow over Rotating Rough Surface. // Proceedings of the Sec. Int. Conf. "Asymptotics in Me-chanics'96", Изд-во СП6ГМТУ, 1997.

[65] Алферов О. С., Некрасов И. В., Петров А. Г., Обтекание пологого двумерного холма турбулентным потоком. // Изв. РАН, Физика атмосферы и океана, (в печати).