Исследование вихревых структур, образующихся при обтекании тел жидкостью или газом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Гайфуллин, Александр Марксович

• Гайфуллин, Александр Марксович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гайфуллин, Александр Марксович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ПЛОСКИХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ДВУХСПИРАЛЬНЫХ

РАЗРЫВОВ.

§1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Решение задачи для двухспирального контактного разрыва.

§1.3. Решение задачи для двухспиральной вихревой пелены.

§ 1.4. Решение задачи для двухспиральной свободной границы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование вихревых структур, образующихся при обтекании тел жидкостью или газом»

При больших числах Рейнольдса (Re) к поверхности обтекаемого тела примыкает пограничный слой, в котором скорость жидкости (газа) изменяется как по направлению, так и по величине от нуля на поверхности тела до некоторого значения на верхней границе этого слоя. Под действием неблагоприятного градиента давления или при неаналитическом поведении геометрии поверхности возможен отрыв пограничного слоя от тела. Такие течения называются отрывными. Возможен также безотрывный (без образования носовой вихревой пелены) сход пограничного слоя с поверхности тела. Как в случае отрывного, так и в случае безотрывного обтекания в потоке образуются вихревые структуры, определяющие аэродинамические силы, действующие на обтекаемое тело.

Математические методы исследования отрывных течений существенным образом зависят от вида отрыва. По характерному геометрическому масштабу отрывные течения подразделяются на локальные, целиком лежащие внутри пограничного слоя, и глобальные, поперечный масштаб которых намного больше толщины пограничного слоя. По структуре поверхности в окрестности области отрыва - на отрыв от острой кромки и от гладкой поверхности. По сценарию эволюции - на стационарные и нестационарные. И, наконец, отрывные образования могут разделять либо одинаковые, либо разные жидкости.

Несколько примеров отрывных течений. Короткий пузырь, наблюдающийся в некотором диапазоне углов атаки на верхней поверхности профиля, следует рассматривать как локальный отрыв от гладкой поверхности. Обтекание цилиндра с образованием дорожки Кармана - это глобальный нестационарный отрыв. Внезапно приведенная в движение пластина, расположенная на границе раздела двух жидкостей, порождает нестационарное глобальное отрывное образование с различными плотностями на разных берегах поверхности разрыва. В частном случае плотность одной из жидкостей может быть равной нулю (или близкой к нулю), как, например, при кавитационном обтекании тела.

Изучение гидро- и аэро- динамических задач, связанных с отрывом потока от твердых поверхностей, актуально из-за чрезвычайной распространенности отрывных течений практически во всех отраслях техники, имеющих дело с течением жидкости или газа. В зависимости от практических приложений отрыв потока от тела может быть как желательным, так и вредным явлением. Отрыв потока от боковых кромок крыла малого удлинения приводит к увеличению, по сравнению с безотрывным течением, подъемной силы. Появление кормового отрыва на крыле большого удлинения, наоборот, уменьшает подъемную силу и увеличивает сопротивление крыла.

Начало теоретического исследования отрывных течений связано с именами Г. Гельмгольца, Г. Кирхгофа, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина, JL Прандтля, Т. Кармана и многих других великих ученых. Продвижения в научных исследованиях касались общей схемы глобального отрывного течения (Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф), образования вихревой дорожки при отрывном обтекании тел (Т. Карман), особой роли вязкости в образовании отрывных течений (JL Прандтль), силового влияния отрывного образования на обтекаемое тело (Н.Е. Жуковский, Т. Карман), течения около острых кромок крыла (Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин).

При Re -> со оторвавшийся или безотрывно сошедший пограничный слой вырождается в бесконечно тонкую поверхность тангенциального разрыва скорости. Численные методы расчета таких течений в рамках модели идеальной жидкости хорошо развиты как в России, так и во многих других странах. В России особенно большую роль в развитии этих методов сыграли (и играют до сих пор) две научные школы: руководителем одной из них был А.А. Никольский [1]-[6], руководителем другой - С.М. Белоцерковский [7]-[12]. Панельные методы и метод дискретных вихрей хорошо зарекомендовали себя при расчете сил и моментов, действующих на обтекаемое тело, если заданы линии отрыва или схода пограничного слоя. Однако, каким бы ни было большим число Re и каким бы ни был мелким шаг дискретизации течения, существуют особые области, характеристики которых невозможно определить с помощью описанных выше численных методов. К таким областям следует в первую очередь отнести окрестность ядра спирального тангенциального разрыва скорости, окрестности точек отрыва и присоединения потока, вихревые течения, развивающиеся на больших пространственных и временных масштабах, вихревые образования, эволюционирующие в турбулентном поле (атмосфере). Дополнение методов расчета таких течений в рамках модели идеальной жидкости исследованием характеристик течения в особых областях позволяет существенно расширить класс решаемых задач.

В большинстве случаев поверхности тангенциального разрыва скорости, образующиеся при отрыве потока от тела (или при безотрывном сходе), сворачиваются в спираль с бесконечным числом витков. Линия, вокруг которой наматывается спиральный тангенциальный разрыв скорости, называется центральной линией, а ее окрестность - ядром тангенциального разрыва. Течение в ядре спирального тангенциального разрыва скорости является особым, так как прямой численный расчет уравнений Эйлера для данного течения в рамках моделей [1]-[12] невозможен из-за бесконечного числа витков спирали. Кроме того, витки спирали подходят довольно близко друг к другу, что при расчете по методу дискретных особенностей приводит к численной неустойчивости и стохастизации течения [13], [4], [14].

В численных расчетах ядро вихревой пелены обычно заменяется моделью, предложенной Манглером и Смитом [15]. Ядро заменяется системой «вихрь-прямолинейный разрез». Разрез соединяет центральную линию с концом непрерывной вихревой пелены. Местоположение «вихря -разреза» определяется из условия отсутствия силы, действующей на систему «вихрь - разрез». Такая модель вполне оправдана, так как на интегральные характеристики в основном влияют внешние витки вихревой пелены. Данная модель активно применялась российскими учеными при расчете глобального отрывного течения и с помощью метода установления [5], [6], [16], и с помощью метода итераций [17], [18]. Возможен также расчет невязких одно- и двух- спиральных тангенциальных разрывов с учетом асимптотического поведения течения в ядре вихревой пелены и его влияния на непрерывную часть пелены [19].

Впервые течение в ядре вихревой пелены исследовал Прандтль в 1924 году [20]. Допущенная им арифметическая ошибка была исправлена лишь спустя почти полвека Алехандером [21]. В этих работах рассмотрены плоские автомодельные спиральные вихревые пелены, показатель автомодельности которых изменяется в диапазоне - оо < п < 0,5 (определение автомодельного течения, при котором линейный размер Г] представляется в виде 14 =a*tnr, можно найти, например, в монографии [22]; см. также Главу I §1.1 диссертации). Вихревая пелена в этом случае сворачивается в логарифмическую спираль 0 = -alnr, где г и 0 полярные координаты с началом в центре спирали.

Каден в 1931 году рассмотрел задачу об эволюции вихревого следа за эллиптически нагруженным крылом [23]. У эллиптически нагруженного крыла всюду, за исключением свободных концов, угол скоса потока одинаков (см., например, [24]). Поэтому поперечное сечение основной части пелены на малых временах будет отрезком прямой. Свободные концы вихревой пелены сворачиваются в спирали с бесконечным числом витков. На малых временах поперечный размер свернувшейся части будет намного меньше поперечного размера следа. В масштабах свернувшейся части вихревой пелены размер прямолинейной ее части будет бесконечным, свернувшийся вихрь на противоположном конце пелены также уйдет в бесконечность, и его влиянием можно пренебречь. Так как в начальный момент времени отсутствует характерный линейный размер, то следует ожидать, что эволюция вихревой пелены будет происходить по автомодельному закону. Каден показал, что для эллиптически нагруженного крыла п = 2/3. Спираль в этом случае является

3 / 2 алгебраической 0~г . Скорость и давление имеют особенность в центре спирали. Задачи об эволюции спиральной вихревой пелены еще до изобретения ЭВМ решали Розенхед [25], Вестуотер [26] и Антон [27]. Мур и Сафман [28], а также Пуллин и Филлипс [19], обобщили результаты работы [23] на исследование течений за крыльями, нагруженными по более общему закону, чем эллиптический. Плоские автомодельные спиральные вихревые пелены, показатель автомодельности которых изменяется в диапазоне 0,5 < п < со, исследовали Манглер и Вебер [29], а также Гиро и Зейтониан [30]. В важном для практики случае п = 1, соответствующем отрывному обтеканию треугольного крыла, конуса, комбинации конус -треугольное крыло, решение в ядре вихревой пелены было независимо получено Манглером и Смитом [15] и Устиновым [31].

Принципиальное отличие решения Прандтля - Александера от остальных решений - форма спирали. Оказалось, что при - оо < п < 0,5 вихревая пелена сворачивается в логарифмическую спираль 0 = -alnr, а 1 / при 0,5 < п < оо - в алгебраическую спираль предельном случае п = 0,5 витки спирали освобождаются от завихренности, которая сосредоточивается в центре спирали [1], [3], [32]. Геометрические особенности спиралей различного вида можно найти в математическом энциклопедическом словаре [33]. При приближении к центру алгебраической спирали отношение расстояния между витками спирали к радиусу уменьшается, и поэтому существует область, в которой расстояние между витками становится намного меньше радиуса. Алгебраическая спираль - медленносворачивающаяся. В отличие от алгебраической спирали логарифмическая спираль является быстросворачивающейся. Этот факт накладывает ограничения на схемы численного расчета отрывных течений. Если в случае алгебраической спирали хорошо работает модель ядра «вихрь-прямолинейный разрез» [15], то в случае логарифмической спирали попытки применить эту модель не увенчались успехом. Не существует и другой хорошей модели, позволяющей произвести корректную замену ядра логарифмической спирали в численном расчете.

Случай п = 0 соответствует обтеканию ускоренным потоком жидкости тела неизменной формы с неизменными по форме вихревыми пеленами. Известны автомодельные решения со струйными отрывами. Для плоской пластины такие решения были получены Карманом [34] и Гилбаргом [35]. Подробное решение этих задач можно также найти в монографии Гуревича [36]. Решения для течений с локальными застойными зонами в случае п = 0 были получены Гайфуллиным [37]. Оставалось невыясненным, существуют ли решения с отрывами в виде вихревых пелен. Ответ на этот вопрос дали испытания в гидротрубе, в которых наблюдался отрыв в виде логарифмической спирали [38].

При отрывах от кромок узкой щели или при отрывах с острой кромки, находящейся на границе раздела двух жидкостей или на свободной поверхности, наблюдаются двухспиральные поверхности тангенциального разрыва скорости. Двухспиральные разрывы могут разъединять одну и ту же или различные жидкости, могут быть разъединительной линией в системе жидкость — газ. От асимптотического поведения характеристик течения в ядре двухспирального разрыва зависят методы численного расчета таких течений. Оказалось, что если двухспиральные разрывы разъединяют одну и ту же жидкость, т.е. являются вихревыми пеленами, и 0,5 < п < оо, то они сворачиваются в алгебраическую спираль [29]. При численном расчете таких разрывов была успешно применена модель ядра «вихрь-два разреза» [39]. Разрыв в виде логарифмической спирали исследовал Александер [21] . Он рассмотрел только симметричный случай, при котором угловое расстояние между спиралями равно 71. Такие решения существуют при - оо < п < 0,5 .

При 0,5 < n < 1 поле скоростей и давления и в односпиральной и в двухспиральной вихревой пелене имеют особенность при г —> 0. В окрестности центральной линии, где порядок возмущения скорости становится сравнимым со скоростью набегающего потока, теория плоских сечений перестает быть справедливой. В этих областях необходимо рассматривать задачу о структуре трехмерного течения в ядре. Такая задача была решена Манглером и Вебер [29] для случая конического течения. Исследования, проведенные в этой статье, показали, что давление, осевая и азимутальная скорости имеют логарифмические особенности в центре ядра. По мере движения вниз по потоку частички жидкости, вращаясь вокруг центральной линии вихревой пелены, все ближе подходят к ней. При этом их скорости в осевом и азимутальном направлениях возрастают.

Наличие особенностей в скоростях и давлении в ядре вихревой пелены указывает на то, что при больших числах Re задача об обтекании тела не может быть полностью решена в рамках модели идеальной жидкости. Влияние вязкости необходимо учитывать не только при определении линий отрыва и линий схода пограничного слоя, но и при построении картины течения в ядре тангенциального разрыва. Холл [40], а затем Стюартсон и Холл [41], определили характеристики течения вязкой жидкости в окрестности центральной линии вихревой пелены. В качестве внешнего невязкого поля использовалось решение [29]. В работах [40], [41] сделано предположение, что силы вязкости существенны только в узком слое, примыкающем к центральной линии вихревой пелены. Течение в этой области считалось осесимметричным и подчинялось параболизованным уравнениям Навье-Стокса. Вне этой области предполагалось, что скорость и давление в любой точке невязкого течения, включающего спиральный вихревой слой, являются такими же, как скорость и давление в невязком ядре с распределенной завихренностью. При надлежащем выборе входящих в них свободных параметров решения хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными Эрншоу [42]. Учету влияния сил вязкости на тангенциальный разрыв посвящена работа [43]. Однако исследования [40], [41], [43] носили ограниченный характер. Авторы рассматривали только какую-либо обособленную часть ядра и не интересовались его полной вязкой структурой. Возможность замены разрывного потенциального течения на неразрывное завихренное, принятое в работах [40], [41], не является очевидной. На достаточно близких берегах разрывов в ядре вихревой пелены влияние вязкости также будет существенным, и этот факт может повлиять на решение в вязком ядре. Поэтому в целях исследования структуры вязкого ядра вихревого образования и связи его характеристик с геометрическими параметрами. летательного аппарата в диссертации рассмотренно течение вязкой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с острых кромок треугольного крыла.

В работе [44] выведены уравнения движения для изолированных вязких вихрей в предположении, что азимутальная скорость мала по сравнению со скоростью набегающего потока, а осевая скорость мало отличается от скорости набегающего потока. В реальных вихревых течениях осевая скорость может сильно отличаться от скорости набегающего потока. Главный член для значения осевой скорости в ядрах вихрей в вихревом следе за самолетом был получен Бэтчелором [45]. Численному исследованию вязкого течения в ядре вихревой пелены в рамках уравнений квазицилиндрического приближения посвящены работы [46], [47]. Структура турбулентного изолированного вихря исследована Саффманом [48]. Область течения внутри вихря в этой работе разбивается на три подобласти: внешнюю, с размером больше, чем радиус, на котором окружная скорость достигает максимума, внутреннюю и вязкое ядро. В ходе исследования уравнений, описывающих турбулентное течение в ядре вихря, получено, что изменение циркуляции по радиусу вихря не монотонно. На некотором радиусе циркуляция достигает своего невязкого значения, затем продолжает расти до достижения максимального значения, затем падает до невязкого значения. Это явление Саффман назвал "overshoot of circulation". Движение турбулентной жидкости в ядре спирального тангенциального разрыва рассмотрено в работе [49]. Среди работ, связанных с экспериментальными измерениями течения внутри спирального турбулентного ядра, выделим три [50]-[52], результаты которых можно использовать для построения эмпирических зависимостей (начальный радиус турбулентного ядра, продольная скорость на оси ядра и др.) и для сравнения с расчетными данными.

Структура ядра вихревого течения жидкости была рассмотрена во многих работах автора диссертации. Точное решение уравнений Эйлера для спиральной свободной границы и спирального контактного разрыва построено в работах [53] - [55]. Это новый класс особенностей, которые ранее не исследовались. Показано, что структура спирали подчиняется логарифмическому закону, т.е. является быстроскручивающейся. Следовательно, для численных расчетов подобных течений необходима разработка специальных методов. Доказано, что решение задачи не единственно. Для случая, когда имеется неединственное решение для свободной границы, показана топологическая различимость решений. Исследовано влияние неавтомодельных факторов, а именно капиллярно-гравитационных сил, на поведение спиральной свободной границы. Показано, что в этом случае количество витков спирали становится конечным. В работе [55] также получены новые решения для двухспиральных вихревых пелен, расширяющие класс решений на несимметричный случай. Построены решения для автомодельных осесимметричных вихревых пелен и для ядер вихревых пелен при течениях близких к автомодельным [56]. Показано, что при п = 0,5, в отличие от плоского случая, в осесимметричном течении отрывное вихреобразование не вырождается в вихревую нить. В рамках трехмерных уравнений Эйлера построено решение для ядер вихревых пелен, сходящих с острых кромок крыла, имеющего степенную форму в плане, и изогнутых по степенному закону [57]. Это решение оказалось качественно отличным от построенного ранее Манглером и Вебер [29]. Решение [29] является коническим, в нем жидкость имеет радиальную скорость, направленную к центральной линии спирали, что при движении вниз по потоку приводит к увеличению скорости жидкости на заданном расстоянии от центральной линии пелены. Решение, построенное в [57], оказалось цилиндрическим: скорость жидкости на заданном расстоянии от центра постоянна и меняется только в зависимости от этого расстояния. Для степенных крыльев автомодельным течение становится не сразу, а только после прохождения жидкостью носовой части крыла - области существенно трехмерного течения. Поэтому интересен сценарий выхода течения на автомодельный режим. Оказалось, что данный выход осуществляется после схлопывания «взрывного» образования, экспериментально обнаруженного в носовой части крыла [58], [59]. При п = 0,5 автомодельное отрывное образование вырождается в главном приближении в вихревую нить. В целях исследования влияния неблагоприятного градиента давления на «взрыв» вихря на пути следования вихря устанавливались препятствия конечного размера [58]. В работе [60] обобщена формула Бэтчелора для случая произвольной спиральной вихревой пелены, имеющей удлиненную структуру. Такие вихревые пелены наблюдаются при отрывном обтекании узких тел или в дальнем следе за некоторыми телами. Структура нестационарных вихревых пелен исследована в работе [61]. Исследованию асимптотической структуры течения вязкой жидкости в ядре конической вихревой пелены посвящены работы [62], [63]. Предложены методы численного расчета удлиненных вихревых пелен с целью получения их невязкой и вязкой структур [64], а также невязкой и турбулентной структур для вихревых пелен, эволюционирующих в следе за самолетом с крылом большого удлинения [65], [66].

Согласно теории пограничного слоя Прандтля, а с сегодняшних позиций - методу сращиваемых асимптотических разложений, задача об определении полей скорости и давления при обтекании тела при больших числах Re разделяется на внешнюю, связанную с решением уравнений Эйлера для задачи об обтекании того же тела, и внутреннюю - решение уравнений пограничного слоя в области, прилегающей к телу, при заданных внешних граничных условиях. Такое разделение оказывается непригодным в окрестности точек отрыва пограничного слоя.

Если отрыв пограничного слоя от тела является локальным, т.е. целиком лежит внутри пограничного слоя, то в качестве внешней задачи выступает безотрывное обтекание поверхности тела. Если отрыв глобальный, то решение уравнений Эйлера для внешней задачи необходимо искать с учетом геометрии и интенсивности поверхностей тангенциального разрыва скорости, сходящих с поверхности тела. Исследование асимптотического поведения решения внешней задачи при приближении к точке глобального отрыва при струйном обтекании можно найти в работах [67]-[69], а в случае схода вихревой пелены - в работе [70]. Уравнение поверхности разрыва при отрыве от гладкой поверхности в локальных координатах т, п (ось т направлена по касательной к телу, ось п - по нормали) выглядит следующим образом п Т2 п = Цт) = стр+ — +.(Введ.1)

2R

Второе слагаемое в последнем соотношении определяет геометрию твердой поверхности в окрестности точки схода поверхности разрыва. Радиус кривизны R в этой точке может иметь знак плюс или минус в зависимости от вогнутости поверхности. Коэффициент с в первом слагаемом зависит от местоположения точки отрыва. Показатель степени Р может быть равен либо 3/2, либо 5/2. При Р = 3/2 кривизна поверхности разрыва в точке схода бесконечна. Градиент давления при подходе к точке схода пелены со стороны набегающего потока вдоль поверхности тела положителен и стремится к бесконечности, а вдоль поверхности разрыва конечный. При Р = 5/2 кривизна пелены в точке схода поверхности разрыва равна кривизне тела, а градиент давления в окрестности этой точки конечен.

Решение глобальной задачи об эволюции тангенциального разрыва, сходящего с гладкой поверхности, не единственно. Оно зависит от начального местоположения точки схода и скорости ее движения по времени. Оказывается, что решение глобальной задачи об эволюции тангенциального разрыва может быть построено не при любой наперед заданной скорости движения точки схода поверхности разрыва. При некоторых местоположениях точки схода коэффициент с в выражении (Введ.1) может стать отрицательным, что физически невозможно. Для выбора из всего многообразия движения единственного необходимо задание некоторых дополнительных условий. Требование, чтобы во время расчета коэффициент с при т"^ в выражении (Введ.1) был равен нулю, что эквивалентно условию (3 = 5/2, называется условием Бриллюэна -Билля (см. например [71]).

В рамках уравнений Эйлера возможен численный расчет характеристик течений с отрывом от гладкой поверхности при заданном местоположении линии схода поверхности разрыва [6], [72], [73]. При изменении местоположения точки отрыва изменяются как локальные (форма в окрестности точки отрыва), так и глобальные (геометрия и циркуляция) характеристики вихревой пелены.

Известно, что согласовать решения уравнений Эйлера и Прандтля с наперед заданными граничными условиями в отрывных течениях невозможно. В этом случае градиент давления перед точкой схода вихревой пелены бесконечно большой и положительный. Пограничный слой не способен преодолеть такой градиент давления. Точка нулевого трения оказывается расположенной существенно до точки схода вихревой пелены.

Выход из сложившейся ситуации состоит в том, что пограничный слой на поверхности тела за счет вытесняющего действия меняет распределение давления на своей внешней границе. В окрестности точки отрыва это изменение настолько существенно, что оно «исправляет» бесконечный градиент давления, навязываемый внешним течением, делая его конечным. Величина давления в окрестности точки отрыва рассматривается как неизвестная величина и определяется в процессе решения. Такое взаимодействие пограничного слоя с внешним невязким течение называется сильным вязко-невязким взаимодействием.

Первой работой, в которой вместо заданного распределения давления вдоль пограничного слоя использовалось другое граничное условие, позволяющее получить регулярное решение уравнений Прандтля при наличии отрыва пограничного слоя, была работа Кэтирелла и Манглера [74]. В ней в качестве граничного условия использовалось распределение толщины вытеснения.

Асимптотическая теория сильного вязко-невязкого взаимодействия при числах Re —> оо была построена для сверхзвукового потока Нейландом [75], Стюартсоном и Вильямсом [76], а в дозвуковых течениях Сычевым [77]. Для несжимаемых отрывных течений она подробно для различных случаев изложена в монографии [71]. Создание асимптотической теории отрывных течений, несомненно, можно назвать одним из крупнейших шагов в развитии теоретической гидродинамики. Асимптотическая теория позволила понять природу отрывного течения и вывести уравнения, описывающие его. Вместе с тем во многих задачах х асимптотической теории в качестве малого параметра выступает Re~ , в котором постоянная величина X оказывается малой величиной. Например, в теории стационарного отрыва от гладкой поверхности X = 1/16. Теория не учитывает потерю устойчивости ламинарного пограничного слоя [78] и его переход в турбулентное состояние. Даже при больших числах Re , при которых течение еще является ламинарным, величина Re~1//16 будет слабо отличаться от единицы. Поэтому количественные результаты асимптотической теории могут иметь существенное расхождение с данными, полученными при численных расчетах уравнений Навье-Стокса, или с экспериментальными данными.

При конечных числах Re возможно численное решение задач, в которых сильное вязко-невязкое взаимодействие играет определяющую роль. Были разработаны методы решения таких задач в случаях локального отрыва потока. Среди этих методов выделим обратные методы [79], [80], в которых решаются обратные задачи для расчета внешнего невязкого течения и для расчета характеристик пограничного слоя (решение уравнений пограничного слоя при заданном распределении толщины вытеснения или трения на стенке), и полуобратные методы [81]-[83], в которых решаются прямая задача для расчета внешнего невязкого течения и обратная задача для расчета характеристик пограничного слоя (в результате получаются два распределения давления, сближающиеся с помощью итерационного процесса). Оригинальный метод расчета, близкий по своей идеологии к прямому методу, когда решаются прямые задачи для расчета внешнего невязкого течения и для расчета характеристик пограничного слоя, но с другими граничными условиями был предложен Вельдманом [84]. В этой работе также приводится обзор существующих методов расчета локальных ламинарных отрывов, и сформулированы основные правила, которым необходимо следовать при разработке численных методов расчета стационарных течений с локальными отрывными зонами для тел, характерный размер которых равен L:

1.Уравнения пограничного слоя содержат все члены, необходимые для описания течения во всей вязкой области.

2. Сильное взаимодействие пограничного слоя с внешним невязким течением носит локальный характер. Продольный размер области сильного взаимодействия мал и составляет величину 0(Re~3^8 L). Более того, влияние пограничного слоя на внешнее течение можно рассматривать как малое возмущение и, в частности, использовать для этого результаты теории тонкого профиля.

3. Вязкие и невязкие области равноправны. Действительно, выше и ниже по потоку от области сильного взаимодействия, т.е. при

Re3^8|xJ -» оо, х->0, применима классическая теория пограничного слоя, согласно которой на распределение давления вязкость не влияет. При Re3//S х -» 0 ситуация меняется на противоположную, и распределение давления определяется главным образом поведением пограничного слоя. Таким образом, в области сильного взаимодействия дважды происходит перестройка течения. Отсутствие определенной иерархии - основной признак сильного взаимодействия.

Исходя из этих правил, Вельдман предложил в качестве скорости ие(т) в граничном условии на верхней границе пограничного слоя использовать выражение

M^UeoOO + UeS*^) Здесь функция иео(х) - скорость на внешней границе пограничного слоя, рассчитанная в первом приближении без учета влияния вязкости и считающаяся неизменной в процессе решения, 5 (х) - толщина вытеснения пограничного слоя, ueg*(x) - поправка для учета вытесняющего воздействия на внешнее течение пограничного слоя. Пограничный слой тонок, поэтому для вычисления ие5*(х)можно использовать результаты теории тонкого профиля (см., например, [85],

24]). В процессе расчета обе величины ие(т) и 5 (х) считаются неизвестными, но связанными определенными соотношениями.

Методы расчета течений с локальными отрывными зонами можно применять и в случае турбулентного пограничного слоя. Большое распространение получило их использование для определения характеристик профилей и крыльев как в России [86], [87], так и в других странах [88], [89].

Сложнее обстоит дело с расчетом течений с глобальными отрывами. В этом случае к задаче учета вязко-невязкого взаимодействия прибавляется еще одна задача: выход характеристик течения на параметры внешнего невязкого отрывного течения на больших расстояниях от точки отрыва. Описанный в [10], [90], [91] метод расчета плоских нестационарных отрывных течений, пригодный с практической точки зрения, с точки зрения асимптотической строгости следует рассматривать как приближенный.

Если наблюдается отрыв со сходом в поток вихревых пелен, то за время dt в поток сходит отрезок вихревой пелены, циркуляция которого определяется через скорость движения жидкости в точке ее схода над вихревой пеленой vT+ и под вихревой пеленой ут[92]

Существенное значение имеет изучение топологии течения в окрестности точки отрыва. Определение суммарной циркуляции и геометрии вихревой пелены зависит от структуры течения в окрестности точки отрыва, если этот отрыв одинарный, или точек отрыва, если это X-отрыв. В случае А,-отрыва суммарная циркуляция вихревой пелены равна разности циркуляций вихревых слоев, сходящих с двух точек отрыва. Экспериментально А,-отрыв наблюдался в результате взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким течением в работах [93], [94]. Предсказание формы отрывного течения и его изменения с изменением внешних условий возможно лишь в самых простых случаях. 2 2

Гайфуллиным предложен. метод численного расчета характеристик течений при наличии глобальных отрывов от гладких поверхностей [95], [96]. Тем самым существенно расширен класс отрывных течений, расчет которых возможен с помощью зонального подхода, разделяющего всю область течения на внешнюю, связанную с решением уравнений идеальной жидкости и внутреннюю - с решением уравнений пограничного слоя в области прилегающей к телу. При расчете с помощью данного метода глобальных отрывных течений устраняется неоднозначность в определении точки отрыва. Возможно, что данный метод пригоден и для расчета нестационарных и турбулентных отрывных течений, однако этот факт требует дальнейшей проверки.

Автором диссертации экспериментально показана возможность существенного изменения структуры течения в окрестности области отрыва потока при слабом изменении геометрии тела [97], [59].

К задачам об исследовании течения в ядре вихревой пелены и об исследовании течения в окрестности точки отрыва (определяет интенсивность сходящей в поток вихревой пелены) тесно примыкают две другие задачи. Первая из них - «взрыв» вихря. Впервые это явление было экспериментально обнаружено Пекхемом и Аткинсоном [98]. «Взрыв» вихря наблюдается в следе как за крылом малого удлинения [99], так и за крылом большого удлинения [100]. Численному расчету «взрыва» вихря посвящены работы [101]-[104]. Аналитическому исследованию [105], [106] течения с «взрывом» вихря поддаются только в модельных задачах.

Вторая задача - определение характеристик течения в дальнем следе за крылом большого удлинения. Эта проблема стала актуальной в последнее время в связи с перегруженностью многих аэропортов. Ею активно занимаются в России (в ЦАГИ [Ю7]-[112], в Военно-Воздушной Инженерной Академии [12], [113], в Санкт-Петербурге [114]- [116]) и в других странах (обзор работ содержится в [117], [118]).

Решение задачи о дальнем ламинарном следе можно найти в монографии Ландау и Лифшица [119]. Ими были найдены характеристики течения в зависимости от подъемной силы и сопротивления, действующих на обтекаемое тело. Дальнейшее развитие эта задача получила в работе Рыжова и Терентьева [120]. Результаты, полученные в этих работах, относятся к случаю устойчивого следа, тогда как в практически важных случаях, например, в следе за крылом большого удлинения, трехмерная неустойчивость вихревого следа приводит к изменению его структуры и к его разрушению.

Интенсивный вихревой след за летательным аппаратом с крылом большого удлинения живет достаточно длительное, но не бесконечное, время: около одной-двух минут, за которые самолет успевает пролететь расстояние порядка десяти километров. Благодаря эффекту конденсации водяного пара след становится видимым для земного наблюдателя. Если при этом частицы жидкости затягиваются в концевые вихри, то земному наблюдателю предоставляется возможность наблюдать эволюцию следа сразу во всех фазах его развития (см. фотографии следа в альбоме Ван-Дайка [121], или в монографии Скорера [122]). Чаще всего смена фаз развития вихревого следа происходит следующим образом. Вначале след состоит из двух прямолинейных удлиненных противоположно вращающихся вихревых образований. Затем синусоидальные возмущения нарушают прямолинейность вихревых структур. По мере удаления от самолета амплитуда возмущений растет. В следующей стадии противоположно закрученные вихри сталкиваются, образуя вихревые кольца. Разрушение вихревых колец завершает стадии развития интенсивного вихревого следа.

Постоянная тенденция к утяжелению веса самолета породила проблему предсказания времени жизни и интенсивности вихревого следа за самолетом еще на стадии его проектирования. Увеличение габаритов самолетов ведет к увеличению времени жизни следа за ним, а, следовательно, к увеличению безопасного расстояния между самолетами. Особую сложность вызывает предсказание характеристик следа на посадочном режиме, что необходимо для определения безопасного предпосадочного расстояния между самолетами. Вихревой след опасен для попадающего в него самолета только до момента разрушения вихревых колец.

К сожалению, даже в больших промышленных аэродинамических трубах невозможно смоделировать струйно-вихревой след на всем его протяжении. Кроме того, характеристики следа в эксперименте существенно отличаются от натурных, что обусловлено различными параметрами турбулентного поля набегающего потока в аэродинамической трубе и в атмосфере.

В зависимости от состояния турбулентной атмосферы вихревой след за крылом большого удлинения неустойчив к возмущениям определенных длин волн. Различного рода неустойчивость порождает и различие в сценарии разрушения вихревого следа. Выделим три сценария разрушения вихревого следа. Первый и наиболее часто наблюдаемый сценарий -неустойчивость следа к длинноволновым (синусоидальным) возмущениям. Возмущения с длиной волны A,~10b (Ь - расстояние между вихрями) растут быстрее других в нестратифицированной и малотурбулентной атмосфере. Согласно экспериментальным данным, приведенным в работе

100], турбулентность атмосферы б* =(еЬ)1/3/у (8 - скорость диссипации турбулентной энергии, V - скорость опускания вихрей) должна быть меньше 0,05. Максимумы и минимумы длинноволновых возмущений имеют неизменное местоположение в системе координат, связанной с земным наблюдателем. При этом амплитуда возмущений растет по мере удаления следа от самолета. В системе координат, связанной с самолетом, максимумы и минимумы смещаются со скоростью набегающего потока. Второй сценарий наблюдается в нестратифицированной и сильно турбулентной атмосфере. Это «взрыв» вихря. Он происходит при s > ОД [100]. Длина волны возмущений в этом случае сравнима с радиусом вихря. «Взрываться» может как один вихрь, так и сразу два вихря. Местоположение «взрыва» стационарно в системе координат, связанной с самолетом. Причина «взрыва» вихря - обратный градиент давления вдоль вихревой линии, который увеличивается с ростом амплитуды синусоидальных возмущений [123], [124]. В диапазоне 0,05 <s <0,1 возможен как первый, так и второй сценарий разрушения вихревого следа. Третий сценарий наблюдается в устойчиво стратифицированной атмосфере [125]. Характеристикой стратификации является частота Брунт

Вайсала N2 =———, где g- ускорение свободного падения, рп -Р0 dY характерная плотность, dp/dy - изменение плотности по высоте. Коротковолновые возмущения с длиной волны от одного до двух расстояний между вихрями начинают превалировать над длинноволновыми при уменьшении числа Фруда Fr = V/(Nb). С течением времени скорость опускания вихрей уменьшается из-за уменьшения циркуляции вихрей, число Фруда, соответственно, тоже уменьшается, увеличивается скорость роста коротковолновых возмущений. При достаточно сильной амплитуде коротковолновых возмущений вокруг вихрей образуется «шуба» из трехмерных завихренных областей. Представление о такого рода образованиях можно получить из цветных рисунков, приведенных в работе [126].

Кроме описанных выше, возможны и другие типы неустойчивости вихревого следа [127], [128]. Какую роль они играют в общей картине эволюции вихря, и могут ли они быть основной причиной разрушения вихря пока не ясно.

Начало теоретическому исследованию длинноволновой неустойчивости следа положила работа Кроу [129]. В ней на основе простой модели двух бесконечных вихревых трубок прослежен механизм нарастания синусоидальных возмущений, определены частоты, при которых рост возмущений максимален. В работе Кроу и Бейта [130] в качестве причины возникновения синусоидальных возмущений указана турбулентность, дана оценка времени жизни следа в зависимости от интенсивности турбулентных пульсаций. Теория [130] неплохо предсказывает время жизни вихревого следа, если известны его параметры в дальнем поле за самолетом. Вместе с тем предсказать эти характеристики, например, на посадочном режиме проблематично.

Устойчивость двух вихрей над экраном исследована в работах [114], [131]. Задача о нарастании синусоидальной неустойчивости в работах [129]-[131], [114] рассмотрена в упрощенной постановке. Считается, что в связи с удлиненностью вихревого следа, пространственную эволюцию можно в главном приближении заменить временной. При этом некоторые величины, например, расстояние между вихрями и их высота, полагаются не зависящими от времени, т.е. возмущения развиваются в неизменных условиях. Предполагается экспоненциальный рост амплитуды. В действительности, особенно при движении над подстилающей поверхностью, расстояния между вихрями и их высота непрерывно меняются. Это оказывает существенное влияние на рост синусоидальных возмущений, вплоть до того, что возмущения заданной частоты имеют растущие и затухающие периоды своего развития по мере удаления от летательного аппарата [112], [132].

Кроме проблем, связанных с неустойчивостью и разрушением следа, практический интерес также представляет определение структуры вихревого следа. Для определения характеристик дальнего вихревого следа за самолетом необходимо знать характеристики ближнего следа, которые зависят от режима полета. На крейсерском режиме полета за самолетом образуется вихревая пелена, которая сворачивается в два вихря. Радиус турбулентного ядра у таких вихрей мал: от нескольких десятков сантиметров до одного-двух метров [133], [134]. На взлетно-посадочных режимах за самолетом образуется вихревая пелена, которая сворачивается сначала в несколько вихрей. Известны экспериментальные [135]-[138] и расчетные [139], [140] исследования эволюции многовихревой системы. Многовихревая система также является неустойчивой, что влияет на слияние вихрей [141]. В дальнем следе, который начинается примерно на расстоянии пяти - десяти размахов за крылом, многовихревая система превращается в двухвихревую. Радиус турбулентного ядра в такой двухвихревой системе составляет несколько метров [142], [143]. На характеристики ближнего следа также влияют параметры струй от двигателей [144], [145]. В работе [135] отмечается сильная чувствительность характеристик ближнего вихревого следа к малым изменениям в распределении нагрузки на крыло.

Двухвихревая система в. следе за самолетом опускается под действием самоиндукции вниз. По мере удаления ее от самолета происходит диффузия в центрах вихрей [137], [146] (радиус турбулентного ядра растет, а максимум окружной скорости уменьшается), уменьшается циркуляция вихрей [147]. На данный момент не существует общепринятой в научных статьях причины уменьшения циркуляции вихрей. Мнение автора диссертации на этот процесс будет изложено в Главе V.

Характеристики следа и время его жизни зависят от близости пролета самолета к поверхности земли. Если на большой высоте вихри опускаются практически параллельно друг другу, то на малых высотах вихри еще и разбегаются друг от друга. В приземном слое вихри эволюционируют в завихренной турбулентной атмосфере, которая возникает из-за наличия приземного ветра [148]-[150]. С приземным ветром также связано и изменение температуры по высоте, которое сказывается на движении вихрей. Взаимодействие вихревого следа самолета с приземным завихренным следом приводит к появлению дополнительных (вторичных) вихрей, отрывающихся от поверхности земли [151], [152]. Причем, в зависимости от силы ветра, могут наблюдаться один или два вторичных вихря. Уравнения нарастания синусоидальных возмущений в таких сложных условиях еще не получены, и поэтому в настоящее время возможно только численное моделирование с помощью трехмерных уравнений Навье-Стокса.

Влияние стратификации на характеристики следа исследовалась в работах [153], [154]. При эволюции вихревого следа в стратифицированной атмосфере происходит генерация дополнительной завихренности, изменяется скорость опускания вихрей.

Исследования влияния различных параметров на характеристики следа, кроме чисто теоретического, представляют и практический интерес. На интенсивность и время жизни вихревого следа можно влиять с помощью изменения распределения нагрузки по крылу (при сохранении подъемной силы) [117], [155], [156], изменения работы двигателя и установки дополнительных устройств на самолете [117], установки нестационарно работающих устройств на крыле [157].

Уберечься от попадания самолета в след от другого самолета можно либо с помощью увеличения расстояния между самолетами, либо с помощью визуализации следа [158], [159]. Если след сделать видимым для летчиков и диспетчеров аэропортов, то возможна коррекция траектории самолета в случае опасности.

С точки зрения безопасности полета является важным, как реагирует самолет на вихревой след, порожденный другим самолетом. Здесь возникает много проблем, связанных с динамикой полета самолета и с аэроупругостью самолета. Данные проблемы исследовались экспериментально [160], [161] и теоретически [162] - [164]. При численных расчетах часто используется гипотеза «замороженного» следа [162]. Проверке данной гипотезы посвящены работы [110], [165], [166], [167].

Несмотря на обилие работ по исследованию вихревого следа, проблема построения модели следа, учитывающей все основные факторы, влияющие на него, еще далека от своего завершения. Обычно такие модели служат основой для программ численного расчета вихревого следа. Поэтому нельзя ожидать, что с помощью существующих программ возможно смоделировать любую экспериментально наблюдаемую ситуацию. Можно говорить лишь о близости расчета по той или иной модели к экспериментально полученным результатам.

При численном расчете в качестве начальных данных для геометрии и интенсивности вихрей обычно используются либо эмпирические соотношения, либо расчеты ближнего следа за самолетом с помощью панельных программ, либо данные, полученные в аэродинамической трубе. На начальной стадии изучения характеристик следа были широко распространены эмпирические методы. Для описания внешнего невязкого поля течения обычно использовалась модель Бетца [168], [123]. Использование модели Бетца начинается с расчета обтекания крыла самолета по линейной теории с целью получения закона распределения циркуляции по размаху. Затем на основании законов сохранения циркуляции и момента количества движения для каждой выделенной части вихревой пелены производится пересчет циркуляции и получение ее распределения в невязком ядре свернувшейся вихревой пелены. Применение модели Бетца возможно также при сворачивании вихревого следа более чем в одну вихревую пару [169]. При расчете по модели Бётца, также как и при расчете с помощью панельных программ [170], необходима дополнительная информация о турбулентной структуре ядер вихрей [171].

Эмпирические законы, определяющие траекторию движения вихрей, размер турбулентного ядра вихревой пелены, величину «потери» вихрями циркуляции, амплитуду длинноволновых возмущений, можно найти в работах [147], [172]. Для определения времени жизни вихревого следа существуют эмпирические зависимости [173], [174]. Современные эмпирические и полуэмпирические методы были положены Судаковым в основу программы расчета следа ENGWAKE [175].

Следующим по сложности за эмпирическим методом следует рассматривать зональный метод расчета характеристик следа. Применительно к следу этот метод развивался в работах [139], [140], [176] (комплекс программ UNIWAKE) и в работах автора диссертации с соавторами [65], [66], [144], [145], [171], [177], [178]. Трудность задачи об эволюции струйно-вихревого следа заключается в том, что ее решение зависит от многих разномасштабных процессов. Характерный линейный масштаб следа порядка десяти километров, атмосферная турбулентность характеризуется масштабом порядка километра, поперечный размер следа порядка размаха крыла, масштаб ядра вихря порядка одного метра, высота полета может меняться от очень большой - порядка десяти километров -до очень маленькой - порядка нескольких метров. Описать одной системой уравнений все процессы, происходящие в вихревом следе, проблематично. Для решения задачи определения характеристик следа применительно к конкретным компоновкам были созданы комплексы программ ZONWAKE [171], [177], [178], [179] и JVWAKE [144], [145], [180], [181]. Идеология этих комплексов программ построена на зональном подходе к решению задачи. Разбивая всю расчетную область на ряд подобластей, можно в каждой из них решать соответствующие уравнения или использовать эмпирические соотношения. На границах областей решения необходимо численно срастить.

Существуют также программы расчета характеристик следа с помощью трехмерных уравнений [142], [143], [182]. В этом случае приходится пространственную эволюцию вихревого следа заменять его временной эволюцией. О недостатках такой замены уже упоминалось выше.

Некоторые характеристики следа можно рассчитать с помощью метода дискретных вихрей [12], [113], [183]. Особенно хорошо этот метод зарекомендовал себя при расчете ближнего следа.

С точки зрения безопасности полета особо важным оказывается исследование характеристик следа вблизи поверхности земли. Возможны расчеты по упрощенным моделям [184]-[186] и с помощью решения уравнений, учитывающих взаимодействие вихрей с турбулентной атмосферой и поверхностью земли [116], [142], [187], [188].

Исследованию эволюции и разрушения струйно-вихревого следа за самолетом посвящены следующие работы автора. В работах [66], [144], [181], [189] обсуждаются физические процессы, происходящие в струйно-вихревом следе. В [190], [191] исследуется возможность ослабления вихревого следа с помощью модификации геометрии крыла. В работе [144] было сделано предположение,, что масштаб турбулентности должен зависеть от интенсивности поля завихренности. Предложено алгебраическое соотношение для масштаба турбулентности. Приведены уравнения, описывающие эволюцию завихренной области с заданным масштабом турбулентности. Уравнения нарастания амплитуды длинноволновых возмущений в идеальной и турбулентной жидкостях выведены в работах [112], [132]. В них показано, что применительно к вихревому следу характеристики пространственной неустойчивости могут существенно отличаться от характеристик временной неустойчивости. Построенная в этих работах линейная теория хорошо предсказывает время жизни вихревого следа. Нарастание коротковолновых возмущений, приводящих к «взрывному» разрушению следа, исследовано в работах [192], [193]. Рассмотрены одинарные вихри и система из двух противоположно закрученных вихрей. Исследованию взаимодействия профиля с вихревым следом посвящены работы [165], [166]. Рассматривается нестационарное изменение силовых характеристик профиля и изменение структуры вихревого следа. Численному моделированию течения в следе посвящены работы [144], [145], [171], [177] - [181]. Разработанный автором комплекс программ позволяет рассчитывать характеристики следа с учетом следующих факторов: работы силовых установок, близости земли, произвольных по высоте профилей скорости и температуры приземного ветра, характеристик (масштаб и интенсивность) атмосферной турбулентности.

Несмотря на огромное количество публикаций, посвященных струйно-вихревому следу за самолетом, существуют проблемы в понимании физики некоторых экспериментальных результатов. Одна из таких проблем - проблема «потери» вихрями циркуляции. Измерения, проведенные с помощью лидаров, показывают, что вихри с течением времени ослабевают: циркуляция их уменьшается. Причем скорость уменьшения циркуляции зависит от интенсивности турбулентных пульсаций. Чем больше среднеквадратичная скорость турбулентных пульсаций, тем быстрее падает циркуляция [126], [147], [174], [186], [194]. В работе Грина [147] приведена эмпирическая формула данной зависимости dr/dt = —0,82Tq/b. Здесь Г- циркуляция вихря, t - время, течений турбулентный коэффициент вязкости пропорционален q [140]. Таким образом, чем больше коэффициент турбулентной вязкости, тем быстрее затухают вихри. Важно также, что производная циркуляции по времени пропорциональна циркуляции. Этот факт обеспечивает экспоненциальное затухание циркуляции по времени.

Для определения физической причины «потери» вихрями циркуляции была рассмотрена упрощенная задача об эволюции двух двумерных противоположно закрученных вихрей в вязкой (ламинарной) жидкости. Такая вихревая пара моделирует вихревой след за прямоугольным крылом большого удлинения [195]. Отличие состоит в среднеквадратичная скорость турбулентных пульсаций, b - расстояние между вихрями, ( ) - осреднение. Для вихревых сценарии разрушения. Трехмерный вихревой след разрушится благодаря трехмерной неустойчивости, а циркуляция правой или левой половины двумерного вихревого образования будет затухать по времени. Вместе с тем, следует ожидать, что физические причины «потери» вихрями циркуляции будут одинаковыми в обоих случаях.

Эволюция двух противоположно закрученных вихрей в идеальной жидкости подчиняется точному решению уравнений Эйлера. Два вихря вместе с овальной капсулой жидкости движутся равномерно перпендикулярно линии их соединяющей [196]. В диссертационной работе исследуется вопрос об эволюции двух противоположно закрученных вихрей в вязкой жидкости.

Хорошо известна задача о диффузии одиночного вихря. Подробное описание этой задачи есть почти во всех монографиях, посвященных основам механики жидкости и газа. Ее решение - точное решение уравнений Навье-Стокса. В монографии Шлихтинга [197] отмечается, что задача о диффузии одиночного вихря была решена Озееном и Гамелем. Диффузия вихря конечного размера исследовалась Некрасовым [198]. Положение центра вихря не зависит от времени. Величина завихренности является функцией от двух переменных - времени и расстояния от центра вихря. С течением времени максимум завихренности уменьшается, но если взять интеграл от скорости по контуру, содержащему внутри себя центр вихря и достаточно удаленному от него, то получится, что этот интеграл равен циркуляции вихря в начальный момент времени.

Суммарная циркуляция двух вихрей равна нулю. Из условия симметрии следует, что суммарная циркуляция будет равна нулю в течение всего процесса эволюции вихревой пары. Кроме суммарной циркуляции в процессе эволюции будет также сохраняться импульс Р вихревой пары [199] p = i{(rxa>)dcr.

Здесь со - вектор завихренности, интеграл берется по площади.

В монографии Лаврентьева и Шабата [199] дана постановка задачи о диффузии вихревого диполя (пары вихрей бесконечно большой интенсивности и противоположных знаков, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга) в турбулентной жидкости. При этом кинематический коэффициент турбулентной вязкости считался зависящим только от времени и импульса вихревого диполя. Зависимость от времени коэффициента турбулентной вязкости выбиралась из условия, что задача должна быть автомодельной в процессе эволюции вихревой пары. Из-за сложности полученных уравнений в монографии [199] задача не решалась, а решалась только модельная задача, в которой система уравнений заменялась похожей упрощенной системой уравнений. Такое упрощение не является асимптотически точным, но позволило получить приближенное решение. В монографии [199] также указывается на похожесть, в смысле уравнений и законов сохранения, задачи об эволюции вихревого диполя (плоская задача) и задачи об эволюции вихревого кольца (пространственная осесимметричная задача).

Асимптотическому анализу задачи о диффузии двух вихрей на малых временах посвящены работы Дагана [200] и Сретенского [201]. Даган ограничился только несколькими первыми членами асимптотического разложения задачи и поэтому получил, что перемещение вихрей происходит только из-за индукции второго вихря. Этот результат качественно отличается от результатов, полученных автором диссертации и изложенных в параграфах 5.2 и 5.3 Главы V. Решение, полученное в работе [201], базируется на некоторых дополнительных постулатах, предложенных Сретенским. Сибгатуллин отмечает [202]: «Обобщение работы А.И. Некрасова о диффузии круглого вихря на случай диффузии вихревой пары, которое дал Л.Н. Сретенский, является дискуссионным. Уж очень искусственны предположения о том, что: а) система линий тока (в начале задаваемых в виде окружностей вокруг каждого из двух вихрей) и в каждый следующий момент остается системой окружностей вокруг двух центров биполярной системы с фиксированным расстоянием между центрами б) несмотря на диффузию вихрей, массы жидкости по разные стороны от плоскости симметрии не испытывают отталкивающей силы друг от друга.»

В монографии Бэтчелора [203] описаны два случая установившегося течения невязкой жидкости, представляющих собой вихревое образование с суммарной циркуляцией, равной нулю, и симметричным расположением положительной и отрицательной части завихренности относительно некоторой прямой линии. Первый случай - движение двух точечных противоположно закрученных вихрей одинаковой интенсивности. Второй случай - движение симметричных завихренных областей, в которых величина завихренности пропорциональна функции тока. Исследованию адиабатической диссипации вихревых образований с завихренностью пропорциональной функции тока посвящена работа [204].

Численно решались близкие задачи об эволюции вихревой пары конечного размера в стратифицированной жидкости [153], [154] и о диффузии двух вихрей конечного размера [205].

Исследованию вопросов, связанных с «потерей» вихрями циркуляции в струйно-вихревом следе за самолетом, посвящены следующие работы автора [66], [171], [179]; решению задач о диффузии двух вихрей в вязкой ламинарной жидкости - работы [206]-[208]. Автором получено новое соотношение, справедливое для задачи, поставленной в монографии [199].

Автор считаетает своим долгом выразить благодарность С.К. Бетяеву, С.Б. Захарову, А.В. Зубцову и Г.Г. Судакову, тесное сотрудничество с которыми в течение более чем 20 лет сыграло огромную роль в развитии его познаний. Автор также благодарен А.В. Воеводину, В.В. Вышинскому и Ю.Н. Свириденко, так как в результате сотрудничества с ними задача. об определении характеристик струйно-вихревого следа получила практическое применение.

Содержание диссертации и личное участие автора в получении научных результатов. Диссертация состоит из введения, пяти глав, пяти приложений, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Гайфуллин, Александр Марксович

Результаты работы позволяют сделать следующие выводы:

1. Получены точные решения уравнений Эйлера, описывающие эволюцию плоских автомодельных двухспиральных разрывов тангенциальной компоненты скорости. Доказано существование течений с контактными разрывами и свободными границами в форме логарифмической спирали. Решение для контактного разрыва получено в зависимости от показателя автомодельности и отношения плотностей жидкостей, расположенных по разные стороны от контактного разрыва. Для свободной границы решение существует при всех значениях показателя автомодельности п за исключением малой окрестности п = 0. Неоднозначность решения объясняется различием поля автомодельных траекторий. Показано, что при наличии влияния капиллярно-гравитационных эффектов на структуру свободной границы число витков спирали становится конечным. В случае, когда плоский двухспиральный разрыв тангенциальной компоненты скорости является вихревой пеленой, показано, что решение в форме логарифмической спирали существует только при п<1/2. Доказана возможность существования несимметричного решения для вихревой пелены, когда угловое расстояние между двумя рукавами двухспиральной структуры отлично от развернутого угла.

2. Построено решение в ядре трехмерной вихревой пелены, сходящей с кромок крыла малого удлинения, изогнутого по степенному закону и имеющего степенную форму в плане. Показано, что течение жидкости в ядре является цилиндрическим: частица жидкости вращается вокруг центральной линии вихревой пелены, оставаясь все время на одинаковом расстоянии от нее.

3. В предельном случае, когда показатель автомодельности равен 1/2, проведено экспериментальное исследование течения в гидродинамической трубе. В носовой части крыла обнаружены две замкнутые рециркуляционные структуры. Точка замыкания рециркуляционных структур лежит на центральной линии спиральной вихревой пелены. Течение в окрестности точки замыкания стационарно.

4. Установлено новое соотношение, справедливое для течения идеальной несжимаемой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с кромок крыла малого удлинения: продольная компонента скорости представляется в главном приближении в виде трех слагаемых, одно из которых зависит только от расстояния до центральной линии, второе - только от продольной координаты, а третье, представляющее разрывную часть скорости, затухает обратно пропорционально продольной координате.

5. Для задачи о течения вязкой несжимаемой жидкости в ядрах вихревых структур, сходящих с острых кромок треугольного крыла малого удлинения, при малых углах атаки крыла и больших числах Рейнольдса построено асимптотическое решение.

6. Предложены методы численного расчета течения идеальной, а также ламинарной или турбулентной жидкости в ядре трехмерной вихревой пелены. В случае турбулентного течения модифицирована алгебраическая анизотропная модель турбулентности, ранее применяемая другими исследователями для расчета закрученных струй. Методы протестированы на известных экспериментальных данных.

7. Построена линейная теория развития длинноволновой неустойчивости вихревого следа в идеальной жидкости. Теория учитывает изменение амплитуды возмущения при изменении характеристик вихревого течения. Показано, что при движении вихрей вблизи земли амплитуда возмущения может иметь растущие и затухающие фазы своего изменения. Построена линейная теория развития длинноволновой неустойчивости вихревого следа в турбулентной атмосфере, обобщающая теорию развития длинноволновой неустойчивости в идеальной жидкости (переход осуществляется при стремлении интенсивности турбулентных пульсаций к нулю).

8. Исследовано развитие коротковолновой неустойчивости в следе за самолетом. Построено стационарное решение в системе координат, связанной с самолетом. Выявлены диапазоны неустойчивости одиночного вихря и двух противоположно закрученных вихрей в зависимости от их характеристик.

9. Создан пакет программ JVWAKE, позволяющий рассчитывать характеристики струйно-вихревого следа за самолетом вдали от поверхности земли и вихревого следа за самолетом вблизи поверхности земли. Для расчета диффузии следа произведена модификация уравнений, описывающих турбулентные течения. Для расчета роста амплитуды возмущений используется теория автора диссертации. Пакет программ широко протестирован на известных экспериментальных данных. Произведены расчеты следов за самолетами А321, АЗЗО, А340, А380, В747, В757 и DC10. Расчеты струйно-вихревых следов, проведенные на гипотетических моделях самолетов, отличающихся от реальных числом и расположением двигателей, показали, что струи от двигателей практически не влияют на профиль скоростей основного вихря, но приводят к изменению фоновой завихренности в области, расположенной на расстоянии порядка 10 м от центра основного вихря.

Ю.Решена задача о диффузии двух противоположно закрученных вихрей, имеющих одинаковую интенсивность. На малых временах, на которых размер вязкой области намного меньше расстояния между вихрями, выведены асимптотические формулы, определяющие движение центров завихренных областей: с течением времени расстояние между центрами вихрей увеличивается, а скорость опускания вихрей уменьшается. На больших временах, на которых размер вязкой области становится, сравнимым с расстоянием между центрами вихревых областей, получена система уравнений, не зависящая от числа Рейнольдса и определяющая в главном приближении характеристики вихревого течения. Показано, что изменение циркуляции происходит из-за диффузии вихрей через линию симметрии и через внешнюю границу вихревой области. При дальнейшем увеличении времени эволюции вихрей (безразмерное время T»Re) течение выходит на автомодельный режим. Показано, что на этих временах циркуляция вихрей уменьшается обратно пропорционально корню из времени. Выведена формула, определяющая распределение завихренности. Автомодельный режим разрушается на временах т ~ Re . Асимптотическое решение задачи о диффузии двух вихрей с циркуляциями противоположного знака применимо и к предельной форме их начального расположения - к вихревому диполю. Получено также численное решение задачи о диффузии двух вихрей при следующих параметрах: Re = 1000, Г0 = 1, £ = 1. Численные расчеты подтвердили: а) зависимость положения центра вихря от времени на малых временах, б) предположение о том, что в главном приближении завихренность постоянна вдоль линии тока, в) выход течения на автомодельный режим.

Показано, что задачу Лаврентьева-Шабата о диффузии вихревого диполя в пространстве с переменной по времени вязкостью также возможно свести к системе уравнений, не зависящей от числа Рейнольдса.

Заключение

С помощью асимптотических методов решается задача о диффузии двух противоположно закрученных вихрей, имеющих одинаковую интенсивность. На малых временах, на которых размер вязкой области намного меньше расстояния между вихрями, выведены асимптотические формулы, определяющие движение центров завихренных областей: с течением времени расстояние между центрами вихрей увеличивается, а скорость опускания вихрей уменьшается. Показано, что область, ограниченная нулевой линией тока, расширяется с течением времени, увеличивается количество жидкости, увлекаемой вниз вихрями, а, следовательно, уменьшается скорость опускания вихрей. Установлено, что суммарное падение циркуляции вихрей на малых временах экспоненциально малое.

На больших временах, на которых размер вязкой области становится сравнимым с расстоянием между центрами вихревых областей, получена система уравнений, не зависящая от числа Рейнольдса и определяющая в главном приближении характеристики вихревого течения. Показано, что изменение циркуляции правой (или левой) части вихревого кластера происходит из-за диффузии вихрей через линию симметрии и через внешнюю границу вихревой области. Та часть завихренности, которая диффундирует через линию симметрии, «аннигилирует» с завихренностью противоположного знака. А часть завихренности, диффундирующая через внешнюю границу вихревой области, попадает сначала в слой смешения, отделяющий вихревую область от потенциальной, а затем в след за вихревой областью. Из-за малой толщины следа, в котором симметрично расположены слои положительной и отрицательной завихренности, происходит быстрая «аннигиляция» завихренности.

При дальнейшем увеличении времени эволюции вихрей течение выходит на автомодельный режим. Автомодельный режим существует на з временах Re«x«Re . Показано, что на этих временах, циркуляция вихрей уменьшается обратно пропорционально корню из времени. Получена формула, определяющая распределение завихренности.

На временах т ~ Re размеры завихренной области становятся достаточно большими х~ y~0(Re), а завихренность - малой величиной -} co~0(Re ). Суммарная циркуляция правой (или же левой) половины вихревого кластера Г ~ 0(Re1).

Асимптотическое решение задачи о диффузии двух вихрей с циркуляциями противоположного знака применимо и к предельной форме их начального расположения - к вихревому диполю.

Получено также численное решение задачи о диффузии двух вихрей при следующих параметрах: Re = 1000, Tq^I, l~ 1. Численные расчеты подтвердили: а) аналитически полученные результаты на малых временах; б) предположение о том, что в главном приближении завихренность постоянна вдоль линии тока; в) выход течения на автомодельный режим.

Показано, что задачу Лаврентьева-Шабата о диффузии вихревого диполя в пространстве с переменной по времени вязкостью также возможно свести к системе уравнений, не зависящей от числа Рейнольдса.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гайфуллин, Александр Марксович, 2004 год

1. Никольский А.А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков) // ДАН СССР, 1957, т. 116, вып. 2, с. 193-196.

2. Никольский А.А. О силовом воздействии «второй» формы гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков)// ДАН СССР, 1957, т.116, вып.З, с.365-368.

3. Никольский А.А., Бетяев С.К., Малышев И.П. О предельной форме автомодельного течения идеальной жидкости. В сб.: Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971, с.262-268.

4. Молчанов В.Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла // Ученые записки ЦАГИ, 1974, t.V, № 2, с. 1-9.

5. Судаков Г.Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. // Ученые записки ЦАГИ, 1974, t.V, № 2, с. 10-18.

6. Захаров С.Б. Расчет невязкого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки. // Ученые записки ЦАГИ, 1976, т.VII, №6, с-111-116.

7. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965, 244с.

8. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978, 352с.

9. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985, 256 с.

10. Ю.Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. / Под ред. С.М. Белоцерковского. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988, 232с.

11. П.Бабкин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989, 208с.

12. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. Алматы, 1999, 280с.

13. Биркгоф Г. Неустойчивость Гельмгольца и Тейлора. В сб.: Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964, с. 68-94.

14. Бетяев С.К., Гайфуллин A.M., Гордеев С.В. Точечно-круговой вихрь // ПММ, 1994, т.58, вып. 4, с. 167-172.

15. Mangier K.W., Smith J.H.B. A theory of the flow past a slender delta wing with leading edge separation. // Proc. Of the Roy. Soc., Ser. A., 1959, v.251, p. 200-217.

16. Захаров С.Б. Влияние разделительной пластины на симметричность отрывного обтекания треугольного крыла малого удлинения. // Ученые записки ЦАГИ, 1986, t.XVII, № 3, с.1-8.

17. Воеводин А.В. Исследование неединственности решения задачи об отрывном обтекании системы крыло-фюзеляж малого удлинения. // Ученые записки ЦАГИ, 1979, т.Х, № 1, с. 10-18.

18. Копченов В.И., Крайко А.Н., Щипин С.К. Автомодельная задача отрывного обтекания расширяющейся пластины идеальной жидкостью. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1988, №5, с. 62-69.

19. PuIlin D.I., Phillips W.R.C. On a generalization of Kaden's problem // J.Fluid Mech., 1981, v. 104, p.45-53.

20. PrandtIe L. Uber die Enststehung von Wirbeln in der idealen Flussigkeit, mit Anwendung auf die Tragflugeltheorie und undere Aufgaben. // Vortrage aus Hydro und Aerodynamik, Berlin, 1924, s. 18-33.

21. Alexander R.C. Family of similarity flows with vortex sheets. // The Physics of Fluids, 1971, v. 14, N 2, p.231-239.

22. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981,448 с.

23. Kaden Н. Aufwicklung einer unstabilen unstetigkeitsflache // Ingenieur-Archiv., 1931., v.2, N 2, S.140-168.

24. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978., 736 с.

25. Rosenhed L. Formation of vortices from a surface of discontinity // Proc.Roy.Soc., 1931, A 134, p. 170-192.

26. Westwater F.L. The rolling up of a surface of a discontinuity behind an airfoil of finite span // Aero. Res. Council Rep. And Mem., 1936, N 1682, p.116-131.

27. Anton L. Ausbildung eines wirbels on der kante einer platte // Ing. Arch., 1939, N 10, p.411-427.

28. Moore D.W., Saffman P.G. Axial flow in laminar trailing vortices. // Proc. Roy. Soc., Ser. A., 1973, v. 333, p.491-508.

29. Mangler K. W., Weber J. The flow field near the centre of a rolled-up vortex sheet // J.Fluid Mech., 1967, v.30, part 1, p. 177-196.

30. Guiraud J.P., Zeytounian R.Kh. A double-scale investigation of the asymptotic structure of rolled-up vortex sheets // J. Fluid Mech., 1977, v.79, p.93-112.

31. Устинов М.Д. Исследование строения вихревой спиральной пелены в окрестности ее свободного конца. // Инженерный сборник, 1960, t.XXVII, с.45-53.

32. Судаков Г.Г. Расчет некоторых автомодельных трехмерных отрывных течений // Ученые записки ЦАГИ, 1975. т. VI, № 2, с. 109-113.

33. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. Энциклопедия, 1988, 847с.

34. Karman Т. Accelerated flow of an incompressible fluid with wake formation // Ann. Mat. Рига ed appl, 1949, t. XXIX, p.4

35. Gilbarg D. Unsteady flow with free boundaries // ZAMP, 1952, Bd. Ill, Fasc, l,p. 34-42.

36. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979., 536с.

37. Гайфуллин A.M. Течения с локальными застойными зонами. // Труды VI конференции молодых ученых. Моск. физ-техн. ин-т. М., 1981, с.123-127.

38. Бетяев С.К., Гайфуллин A.M. Спиральные вихри. М.: Издательский отдел ЦАГИ, 2001,36 с.

39. Бетяев С.К., Солнцев И.А. Эволюция излома вихревой пелены // ПММ, 1984, т. 48, с.145-148.

40. Hall M.G. A theory for the core of a leading-edge vortex. // J. Fluid Mech., 1961, vol.11, Part. 2., p.209-228.

41. Stewartson K., Hall M.G. The inner viscous solution for the core of leading-edge vortex. //J. Fluid Mech., 1963, vol.15, Part. 2., p.306-318.

42. Earnshaw P. B. An experimental investigation of the structure of a leading-edge vortex. // Aero. Res. Coun., R and M, 1961, N 3281, 8p.

43. Guiraud J.P., Zeytounian R.K. A note on the viscous diffusion of rolled vortex sheets. // J. Fluid Mech., 1979, vol.90, Part. 1, p. 197-201.

44. Newman В J. Flow in a viscous trailing vortex. // Aeronautical Quarterly, 1959, v. X, p.149-162.

45. Batchelor G.K. Axial flow in trailing line vortices. // J. Fluid Mech., 1964, vol.20, Part.4, p.645-658.

46. Hall M.G. A Numerical Method for Solving the Equations for a Vortex Core. // Aero. Res. Council Rep. And Mem., 1967, N.3467, 29p.

47. Lakshmanan B. Viscous modeling and computation of leading and trailing-edge vortex cores of delta wing // AIAA Paper 84-0082, 1984, 1 lp.

48. Saffman P.G. Structure of turbulent line vortices. // Phys. Fluids, 1973, v. 16, N 8, p.l 181-1188.

49. Phillips W.R.C. The turbulent trailing vortex during roll-up // J. Fluid Mech., 1981, vol.105, p.451-467.

50. Miranda J.A., Devenport W.J. Turbulence Structure in the Spiral Wake Shed by a Lifting Wing. // AIAA Journal, 1998, vol.36, N4, p. 658-660.

51. Yeung A.F.K., Lee B.H.K. Particle Image Velocimetry Study of Wing-Tip Vortices. //J. Aircraft, 1999, vol.36, N2, p.482-484.

52. Chow J.S., Zilliac G.G., Bradshaw P. Mean and Turbulence Measurements in the Near Field of a Wingtip Vortex. // AIAA Journal, 1997, vol.35, N10, p.l 561-1567.

53. Бетяев C.K., Гайфуллин A.M. Крупномасштабная структура ядра спирального разрыва в жидкости. // МЖГ, 1982, №5, с. 53-60.

54. Бетяев С.К., Гайфуллин A.M. Течение в окрестности центра спиральной свободной границы. // Ученые записки ЦАГИ, 1983, t.XIV, № 6, с. 94-99.

55. Гайфуллин A.M., Маланичев В.А. Асимптотическая структура невязкого ядра спирального контактного разрыва. // Ученые записки ЦАГИ, 1985, t.XVI, № 1,с. 104-107.

56. Гайфуллин A.M. Некоторые задачи о течении жидкости в окрестности ядра спирального разрыва. // Ученые записки ЦАГИ, 1984, t.XV, № 5, с. 125-131.

57. Гайфуллин A.M. Течение идеальной жидкости в ядре вихревой пелены. • //Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. XVI, № 6, с. 9-15.

58. Бакулин В.Л., Гайфуллин A.M. Экспериментальное исследование течения в ядре вихревой структуры. // Ученые записки ЦАГИ, 1987, t.XVIII, № 4, с. 117-119.

59. Gaifullin A.M. Experimental investigation of separated flows in a hydrodynamic tunnel. // Euromech 384. Colloquium on Steady and Unsteady Separated Flows. Book of Abstracts. Manchester, UK, 1998.

60. Гайфуллин A.M., Захаров С.Б., Судаков Г.Г. Течение в ядре вихревой пелены. // Ученые записки ЦАГИ, 2000, t.XXXI, № 1-2, с. 72-82.

61. Гайфуллин A.M. Нестационарное течение жидкости в ядре конической вихревой пелены. К вопросу о «взрыве» вихря. // Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. XIX, № 3, с. 87- 90.

62. Зубцов А.В., Гайфуллин A.M. Асимптотическое решение задачи о течении вязкой жидкости в окрестности оси вихревой пелены. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, №1, с. 57-65.

63. Гайфуллин A.M., Зубцов А.В. Асимптотическое решение задачи о течении жидкости в ядре вихревой пелены. // Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. XV, № 5, с. 19-29.

64. Гайфуллин A.M. Расчет характеристик течения в ядре вихревой пелены. // Ученые записки ЦАГИ, 1989, т. XX, № 1, с. 40 46.

65. Gaifullin A.M., Soudakov G.G., ' Voyevodin A.V., Zakharov S.B. Computation of flow in the wake behind a high-aspect-ratio wing // Trudy TsAGI, 1997, vol. 2627, p.33-42.

66. Биркгоф, Сарантонелло Струи, следы и каверны. М: Мир, 1964.

67. Ackerberg R.C. Boundary layer separation at a free streamline. Parti. Two-dimensional flow // J. Fluid Mech., 1970. v.44, pt.2, p. 211-225.

68. Бетяев C.K. Эволюция вихревых пелен // Динамика сплошной среды со свободными поверхностями. Чебоксары: Чувашский гос. ун-т. 1980, с.27-38.

69. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.,В., Королев Г.Л.; / Под ред. В.В. Сычева./ Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука. 1987, 256 с.

70. Захаров С.Б. Влияние затупления передних кромок на характеристики отрывного обтекания треугольных крыльев малого удлинения. // Ученые записки ЦАГИ, 1982, т.ХШ, №4, с. 1 9.

71. Fiddes S.P. 1980. A theory of the separated flow past a slender elliptic cone at incidence. //AGARD CP-291 , paper 30.1-30.14.

72. Catherall D., Mangier K.W. The integration of the two-dimensional laminar boundary-layer equations past the point of vanishing skin friction // J. Fluid Mech., 1966, v.26, pt.l, p. 163-182.

73. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4, с.53-57.

74. Stewartson К., Williams P.G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A., 1969, v.312, N 1509, p.181-206.

75. Сычев B.B. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, N 3. с.47-59.

76. Жук В.И., Рыжов О.С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости. // Докл. АН СССР, 1980, т. 253, №6, с. 1326-1329.

77. Carter J.E. Solutions for Laminar Boundary Layers with Separation and Reattachment. // AIAA Paper 74-583, 1974.

78. Kliniberg J.M., Steger J.L. On Laminar Boundary-Layer Separation // AIAA Paper 74-94,1974, 17p.

79. La Balleur J.C. Couplage visqueux-non visqueux: methode numerique et applications aux ecoulements bidimensionnels transsoniques et supersoniques // La Recherche Aerospatiale, vol. 183, 1978, p. 65-76.

80. Kwon O.K., Pletcher R.H. Prediction of Incompressible Separated Boundary Layers Including Viscous-Inviscid Interaction. // Journal of Fluids Engineering, 1979, vol. 101, N4, p. 466-472.

81. Carter J.E. A New Boundary-Layer Inviscid Iteration Technique for Separated Flow // AIAA Paper 79-1450, in AIAA Computational fluid dynamics conference. A collection of technical papers, 1979, p.45-55.

82. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966, 448с.

83. Lyapunov S.V., Volkov A.V. Application of the viscous-inviscid interaction model to calculation of two-dimension separate flows. // TsAGI Journal, 1996, v. 2, N 1, p.3-38.

84. Karas O.V., Kovalev V.E. Computation of transonic flows around a wing-plus-fuselage configuration taking viscous effects and a thin separated region into account. // La Recherche Aerospatiale, 1994, N1, p.23-38.

85. Cebeci T. An Inverse Boundary-Layer Method for Compressible Laminar and Turbulent Boundary Layers. // J. Aircraft, 1976, vol.13, N.9, p.709-717.

86. Filippone A., Sorensen J.N. Viscous-inviscid Interaction Using the Navier-Stokes.Equations. //AIAA Journal, 1997, vol.35, N.9, p.1464-1471.

87. Котовский B.H., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания решеток телесных профилей // ДАН СССР, 1982, т.263, № б, с.1326-1330.

88. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра//Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 4, с. 138-147.

89. Ильичев К.П., Посталовский С.Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости// Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, №2, с.72-82.

90. Pullin D.I., Perry А.Е. Some flow visualization experiments on starting vortex //J. Fluid Mech., 1980., v.97, pt. 2, p. 239-255.

91. Arakeri V.H. Viscous effect on the position of cavitation separation from smooth bodies // J. Fluid Mech., 1975., v.68, pt. 4, p.779-799.

92. Гайфуллин A.M., Захаров С.Б. Метод расчета отрывного обтекания кругового конуса с учетом вязко-невязкого взаимодействия. // Ученые записки ЦАГИ, 1990, t.XXI, №6, с. 41 49.

93. Gaifullin A.M., Zakharov S.B. Calculation of separated flow on a circular cone with viscous-inviscid interaction. // International workshop on advances in analytical methods in aerodynamics, Miedzyzdroje, Poland, 1993, p. 65-70.

94. Бетяев C.K., Гайфуллин A.M., Гордеев C.B. Две формы отрыва жидкости от гладкой поверхности. // ПМТФ, 1994, № 1, с. 66-68.

95. Peckham D.H., Atkinson S.A. Preliminary results of flow speed wind tunnel tests on a Gothic wing of aspect ratio 1.0. // Aeronaut. Res. Coun. CP 508, 1957, 16 p.

96. Lambourne N.C., Biyer D.W. The bursting of leading-edge vortices some observations and discussion of the phenomenon // Aeronaut. Res. Counc. Rept. and Mem., 1962. N 3282. 36 p.

97. Sarpkaya Т., Daly J J. Effect of ambient turbulence on trailing vortices // AIAA Paper 87-0042, 1987, 8p.

98. Lavan Z., Nielsen H., Fejer A.A. Separation and flow reversal in swirling flows in circular ducts. // Phys. Fluids, 1969, v. 12, N 9, p. 1747-1757.

99. Kopecky R.M., Torance K.E. Initiation and structure of aisymmetric eddies in a rotating stream. // An International J. Computers and Fluids, 1973, v.l, N 3, p.289-300.

100. Grabowsky W.J., Berger S.A. Solutions of the Navier-Stokes equations for vortex breakdown. // J. Fluid Mech., 1976, vol.75, pt. 3, p. 525-544.

101. Гайфуллин A.M., Молчанов В.Ф. Численное исследование вязких закрученных потоков // Ученые записки ЦАГИ, 1987, t.XVIII, №4, с.10-16.

102. Сычев Вик.В. Асимптотическая теория разрушения вихря // Изв. РАН, МЖГ, 1993, №3, с. 78-90.

103. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.: Эдиториал УРСС, 1999, 232с.

104. Исследование эволюции вихревого следа за самолетом и безопасность полета. Сборник трудов / Под ред. В.В. Вышинского и В.А. Ярошевского // Труды ЦАГИ, 1996, Выпуск 2622, 213с.

105. Investigation of Vortex Wake Evolution and Flight Safety Problems. Collection of papers / Edited by V.V. Vyshinsky and V.A. Yaroshevsky // Trudy TsAGI, 1997, vol. 2627, 228p.

106. Flight Safety, Aircraft Vortex Wake and Airport Operation Capacity. Collection of papers / Edited by V.V. Vyshinsky and V.A. Yaroshevsky // Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, 400p.

107. Воеводин A.B., Судаков Г.Г., Шаповалов Г.К. Дифракция вихря на стреловидном крыле. //Изв. РАН, МЖГ, 1998, №6, с. 98-105.

108. Бетяев С.К. Как разрезать вихревой шнур? // Изв. РАН, МЖГ, 2001, №2, с.105-111.

109. Гайфуллин A.M. Уравнения нарастания возмущений в следе за самолетом. //Изв. РАН, МЖГ, 2001, № 3, с. 122-132.

110. Желанников А.И. Спутные вихри за самолетом. // Гражданская авиация №4,1987, с. 44-46.

111. Корнев Н.В. Неустойчивость и нелинейная динамика концевых вихрей над твердой поверхностью в идеальной жидкости. // Изв. РАН, МЖГ, 1997, №> 2, с. 103-109.

112. Спаларт Ф.Р., Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур M.J1. Моделирование турбулентного вихревого следа за механизированным крылом. // Изв. РАН, МЖГ, 2001, № 5, с. 64-72.

113. Спаларт Ф.Р., Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур M.JI. Моделирование взаимодействия вихревой пары с поверхностью земли. // Изв. РАН, МЖГ, 2001, №6, с. 52-63.

114. Rossow V.J. Lift-generated vortex wakes of subsonic transport aircraft // Progress in Aerospace Sciences, 1999, v. 35, N 6, p.507-660.

115. Spalart P.R. Airplane Trailing Vortices. // Annu. Rev. Fluid Mech. 1998, vol. 30, p. 107-138.

116. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.6. Гидродинамика. М.: Наука. 1986., 736 с.

117. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О следе за несущим телом в вязкой жидкости // ПМТФ, 1980, № 5, с.83-91.

118. Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ. / Сост. М. Ван-Дайк. М.: Мир, 1986, 184с.

119. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980, 551с.

120. Уиднел Ш. Структура и динамика вихревых нитей. // Механика. Новое в зарубежной науке. Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. М.: Мир, 1979, с. 126-159.

121. Bilanin A.J., Widnal S.E. Aircraft wake dissipation by sinusoidal instability and vortex breakdown. // AIAA Pap. 73-107, 1973, 1 lp.

122. Delisi D.P., Robins R.E. Short-Scale Instabilities in Trailing Wake Vortices in a Stratified Fluid. // AIAA Journal, 2000, vol.38, pp.1916-1923.

123. Holzapfel F., Gerz Т., Baumann R. The turbulent decay of trailing vortex pairs in stable stratified environments. // Aerosp. Sci. Technol., 2001, N5, p.95-108.

124. Бетяев C.K. Математическое моделирование в динамике спутных вихрей. // Труды ЦАГИ, 1996, Выпуск 2622, с. 22-40.

125. Бетяев С.К. Математические модели неосесимметричного колоннообразного вихря. // Теоретические основы химической технологии, 2002, т.Зб, №2, с. 124-129.

126. Crow S.C. Stability theory for a pair of trailing vortices. //AIAA Journal, 1970, v. 8, No 12, p.2172-2179. (Рус. пер.: Теория устойчивости двух систем хвостовых вихрей // Ракетная Техника и Космонавтика. № 12, с.73-81).

127. Crow S.C., Bate Jr.E.R. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere. //J. Aircraft, 1976, v. 13, N 7, p.476-482.

128. Kornev N.V., Reichert G. Three-dimensional instability of a pair of trailing vortices near the ground. // AIAA Journal, 1997, vol. 35, No. 10, p. 1667-1669.

129. Gaifullin A.M. Equations for the sinuous instability growth downstream an aircraft. //Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p. 148-161.

130. Panton R.L., Oberkampf W.L., Soskic N. Flight Measurements of a Wing Tip Vortex. //J. Aircraft, 1980, vol.17, N 4, p.250-259.

131. Вышинский B.B. Исследование эволюции вихревого следа за самолетом и безопасность полета. // Труды ЦАГИ, 1996, Вып.2622, с.5-21.

132. Ciffone D.L. Vortex interactions in multiple vortex wakes behind aircraft. //AIAA paper 76-62, 1976, Юр.

133. Huenecke K. The Characterisation of Transport Aircraft Vortex Wakes. // AIAA Paper 2001-2427, 2001, 9p.

134. Huenecke K. From Formation to Decay. Extended-time Wake Vortex Characteristics of Transport-type Aircraft. // AIAA Paper 2002-3265, 2002, 8p.

135. Crowder J.P., Watzlavick R.L., Krutckoff Т.К. Airplane Flow-Field Measurements. Aircraft. // AIAA Paper 975535, 1997, 9p.

136. Bilanin A.J., Teske M.E., Williamson G.G. Vortex interactions and decay in aircraft wakes. // AIAA J., 1977, vol. 15, No. 2, p.250-260.

137. Quackenbush T.R., Teske M.E., Bilanin A.J. Dynamics of exhaust plume entrainment in aircraft vortex wakes. // AIAA Paper 96-0747, 1996, 16p.

138. Orteg J.M., Savas O. Rapidly Growing Instability mode in Trailing Multiple-Vortex Wakes. // AIAA Journal, 2001, vol.39, N4, p.750-754.

139. Shen S., Ding F., Han J., Lin Y.-L., Arya S.P., Proctor F.H. Numerical modeling Studies of Wake Vortices: Real Case Simulations. // AIAA Paper 99-0755, 1999, 16p.

140. Han J., Lin Y.-L., Arya S.P., Proctor F.H. Large Eddy Simulation of Aircraft Wake Vortices in a Homogeneous Atmospheric Turbulence: Vortex Decay and Descent. // AIAA Paper 99-0756, 1999, 21p.

141. Звонова Ю.С., Гайфуллин A.M. Интерфиренция турбулентной струи двигателя и вихревого следа самолета. // 6-й Международный научно-технический симпозиум. Авиационные технологии XXI века: новые рубежи авиационной науки. Жуковский, 2001, с.361-368.

142. Brysov О.Р., Soudakova I.A., Soudakov G.G. Experimental investigation of the vortex wake behind a high-lift wing. // Trudy TsAGI, 1999, vol.2641, p.39-50.

143. Greene G.C. An approximate model of vortex decay in the atmosphere // J. Aircraft, 1986, vol. 23, N7, p.566-573.

144. Зилитинкевич C.C. Динамика пограничного слоя атмосферы. JI.: Гидрометеорологическое издательство, 1970, 292с.

145. Бютнер Э.К. Динамика приповерхностного слоя воздуха. Л.: Гидрометиоиздат, 1978, 160с.

146. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения примесей. / Под редакцией Ньистадта Ф.Т.М., Ван До па X. Л.: Гидрометиоиздат, 1985, 352с.

147. Harvey J.K., Perry F.J. Flowfield Produced by Trailing Vortices in the vicinity of the Ground. //AIAA Journal, 1971, vol.9, N 8, p. 1659-1660.

148. Zheng Z.C., Ash R.L. Study of Aircraft Wake Vortex Behavior Near the Ground. // AIAA Journal, vol.34, N 3,1996, p.580-589.

149. Павленко А.А. Влияние стратификации спокойной атмосферы на эволюцию вихревого следа за самолетом. // Труды ЦАГИ, 1996, вып. 2622, с. 81-89.

150. Spalart P.R. On the motion of laminar wing wakes in a stratified fluid. // J.Fluid Mech., 1996, v.327, p. 139-160.

151. Soudakov G.G., Voyevodin A.V., Zubtsov A.V. Alleviation of the Vortex Wake behind an Aircraft. // Trudy TsAGI, 1999, vol.2641, p. 183-190.

152. Pavlovets G.A., Voyevodin A.V., Zubtsov A.V. On the Effect of Spanwise Circulation Distribution on the Vortex Wake Intensity. //Trudy TsAGI, 1999,vol.2641,p.191-194.

153. Crouch J.D., Miller G.D., Spalart P.R. Active-Control System for Breakup of Airplane Trailing Vortices. // AIAA Journal, 2001, vol.39, N 12, p. 2374-2381.

154. Kashevarov A.V., Stasenko. A.L. Mathematical modeling of airliner aerosol-containing jets at sea level. //Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p. 291302.

155. Shustov A.V. Modeling of aerosol particles distribution in aircraft wake. // Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p.324-328.

156. Михайлов Ю.С. Экспериментальное моделирование воздействия вихревого следа на модель самолета АОН в аэродинамической трубе Т-103 ЦАГИ. //Труды ЦАГИ, 1996, Вып.2622, с. 188-196.

157. Kuznetsov О.A., Osminin R.L. Wind-tunnel investigation of an aircraft model dynamic loads due to vortex gusts. // Trudy TsAGI, 1997, vol. 2627, p.157-168.

158. Кузнецов О.А., Орлова Т.И. К расчету динамического нагружения самолета от вихревого следа. // Труды ЦАГИ, 1996, Вып.2622, с. 169177.

159. Бобылев А.В., Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Анализ случайных воздействий вихревого следа на движение самолета при автоматической посадке. // Труды ЦАГИ, 1996, Вып.2622, с.197-207.

160. Kuzmin V.P. Analysis of the vortex wake effect on an aircraft in landing approach. // Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p.227-238.

161. Gaifullin A.M., Soudakov G.G. "Frozen" field and quasi-steady hypothesis in the vortex-airfoil interaction problem. // Trudy TsAGI, 1997, vol. 2627, p.132-137.

162. Gaifullin A.M., Soudakov G.G. Numerical investigation of an unsteady process for the airfoil-vortex wake interaction. // AIAA Paper 972268. 15th AIAA Applied Aerodynamics Conference. A Collection of Technical Papers. Part 2,1997, p.971-977.

163. Воеводин А.В. Моделирование воздействия следа на летательный аппарат. // Ученые записки ЦАГИ, 1998, T.XXIX, № 1-2, с. 78-85.

164. Betz A. Verhalten von Wirbelsystemen // ZAMM, 1932, В. 12, N3, s.164-174.

165. Rossow V.J. Extended-Betz Methods for Roll-Up of Vortex Sheets. // Journal of Aircraft, 1997, vol.34, N 5, p.592-599.

166. Воеводин A.B., Судаков Г.Г. Метод расчета аэродинамических характеристик отрывного обтекания летательного аппарата дозвуковым потоком газа. // Ученые записки ЦАГИ, 1992, т.ХХШ, № 3, с. 3-11.

167. Gaifullin A.M., Voyevodin A.V., Zakharov S.B. Zonal method of aircraft wake calculation// Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p. 111-120.

168. Stuever R.A., Greene G.G. An analysis of relative wake-vortex hazards for typical transport aircraft. // AIAA Paper 94-0810, 1994, 15p.

169. Sarpkaya T. Decay of wake vortices of large aircraft. // AIAA Journal, 1998, v. 36, No. 9, p. 1671-1679.

170. Sarpkaya T. New Model for Vortex Decay in the Atmosphere // J. Aircraft, 2000, vol. 37, N 1, p. 53-61.

171. Soudakov G.G. Engineering model of the wake behind an aircraft. // Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p.95-110.

172. Hecht A.M., Hirsh J., Bilanin A.J. Turbulent line vortices in stratified fluids. // AIAA Paper 80-0009, 1980, 21p.

173. Воеводин A.B., Гайфуллин A.M., Захаров С.Б., Судаков Г.Г. Зональный метод расчета следа за летательным аппаратом // Труды ЦАГИ, 1996, Выпуск 2622, с.54-65.

174. Gaifullin A.M., Voyevodin A.V., Zakharov S.B. Calculation of the evolution of the near wake behind a high-lift wing in wind-tunnel experiment//Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p.34-38.

175. Bezrodnov A.V., Gaifullin A.M., Soudakov G.G., Soudakov V.G., Voyevodin A.V., Zakharov S.B. Investigations into the wake vortex evolution downstream the A300 aircraft model. // Trudy TsAGI, 1999, vol. 2641, p.84-94.

176. Гайфуллин A.M., Звонова Ю.С., Свириденко Ю.Н. Расчет интерфиренции турбулентной струи двигателя с планером самолета. // Труды ЦАГИ, 2002, вып. 2655, с. 160-166.

177. Гайфуллин A.M. Струйно-вихревой след в турбулентной атмосфере. В сб. Модели и методы аэродинамики. Материалы I и II международных школ семинаров. М.: МЦНМО, 2002, с.76-78.

178. Garten J.F., Werne J., Fritts D.C., Arendt S. Direct numerical simulations of the Crow instability and subsequent vortex reconnection in a stratified fluid. // J.Fluid Mech., 2001, v.426, p.1-45.

179. Белоцерковский Ал.С., Гиневский A.C. Численное моделирование дальнего вихревого следа самолета на взлетно-посадочных режимах // Доклады РАН, 2001, т.380, № 6, с. 761-764.

180. Zheng Z.C., Lim S.H. Validation and Operation of a Wake Vortex/Shear Interaction Model. // Journal of Aircraft, 2000, vol. 37, N 6, p.1073-1078.

181. Atassi O.V., Bernoff A.J., Lichter S. Interacting Vortex and Vortex Layer: How Length Scale Affects Entrainment and Ejection. // AIAA Journal, 1998, vol. 36, N 6, p.924-928.

182. Corjon A., Poinsot T. A Model to Define Aircraft Separations Due to Wake Vortex Encounter. // AIAA Paper N 95-1776, 1995, p. 117-124.

183. Zheng Z.C. The Effects of Atmospheric Turbulence on Aircraft Wake Vortices Near the Ground. // AIAA Paper N 96-1954, 1996, 1 lp.

184. Proctor F.H. The NASA-Langley Wake Vortex Modeling Effort in Support of an Operational Aircraft Spacing System. // AIAA Paper N 980589, 1998, 19p.

185. Gaifullin A.M., Soudakov G.G., Zakharov S.B. Flow stability in a vortex wake. // Euromech 384. Colloquium on Steady and Unsteady Separated Flows. Book of Abstracts. Manchester, UK, 1998.

186. Гайфуллин A.M., Судаков Г.Г. Динамика следа за летательным аппаратом. // Труды ЦАГИ, 1996, вып. 2622, с.109-118.

187. Gaifullin A.M., Soudakov G.G. Aircraft Vortex Wake Dynamics. // AIAA Paper 965547, 1996, 7p.

188. Kantha L.H. Empirical Model of Transport and Decay of Wake Vortices Between Parallel Runways. // Journal of Aircraft, 1996, vol.33, N4, p. 752760.

189. Ван-Дайк M. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967,310с.

190. Дамб Г. Гидродинамика. М., JI.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947, 928с.

191. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969, 744с.

192. Некрасов А.И. Диффузия вихря. // Труды ЦАГИ, 1931, вып.84, 32с.

193. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977, 408с.

194. Dagan A. Pseudo-Spectral and Asymptotic Sensitivity Investigation of Counter-Rotating Vortices. // Computers & Fluids., 1989, vol. 17, N 4, p.509-525.

195. Сретенский Л.Н. О диффузии вихревой пары. // Изв. АН СССР, Отделение Технических наук, 1947, №3, с.271-300.

196. Сибгатуллин Н.Р. К 100-летию со дня рождения Леонида Николаевича Сретенского (27(14) февраля 1902г.-8 августа 1973г.). // Успехи механики, 2002, т.1, №1, с.110-118.

197. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 760с.

198. Van de Fliert B.W. The Viscous Modulation of Lamb's Dipole Vortex. // Phys. Fluids., 1996, vol. 8, N 7, p. 1975-1977.

199. Sipp D, Jacquin L, Cosssu C. Self-adaptation and viscous selection in concentrated two-dimensional vortex dipoles. // Phys. Fluids., 2000, vol. 12, N 2, p. 245-248.

200. Gaifullin A.M., Zoubtsov A.V. On diffusion of two vortices. // Trudy TsAGI, 1997, vol. 2627, p.102-112.

201. Гайфуллин A.M., Зубцов А.В. Эволюция двух вихрей в вязкой жидкости. В сб. Модели и методы аэродинамики. Материалы III международной школы семинара. М.: МЦНМО, 2003, с.31-32.

202. Гайфуллин A.M., Зубцов А.В. Диффузия двух вихрей. // Изв. РАН. МЖГ (принята к печати).

203. Воеводин А.В., Судаков Г.Г. Проекционный метод расчета характеристик отрывного обтекания тел идеальной жидкостью. // Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. XVII, № 5, с.8-17.

204. Lilley, D.G. Prediction of Inert Turbulent Swirl Flows. // AIAA Journal, 1973, vol. 11, No. 7, p. 955-960.

205. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616 с.

206. Воеводин А.В., Вышинский В.В., Гайфуллин A.M., Свириденко Ю.Н. Эволюция струйно-вихревого следа за пассажирским самолетом // Аэромеханика и газовая динамика, 2003, №4.

207. Вышинский В.В. Физико-математическая модель вихревого следа самолета в турбулентной атмосфере // Диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. М., 2002, 278 с.

208. Munk М.М. The Aerodynamic Forces on Airship Hulls // NACA Report, 1924, No 184,20р.

209. Adams M.C., Sears W.R. Slender-body theory review and extension // Journal of the Aeronautical Sciences, 1953, v. 20, No 2, p.85-98.

210. Никольский А.А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом // Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 1, с. 1-7.

211. Бетяев С.К. Гидродинамика: проблемы и парадоксы. // УФН, 1995, т. 165, № 3, 299-330.

212. Smith J.H.B. Improved calculations of leading-edge separation from slender, thin, delta wings. // Proc. of Roy. Soc., Ser. A, 1968, vol.306, p. 6790.

213. Тригуб В. H. К вопросу о разрушении вихревой нити. // ПММ, 1985, т. 49, вып. 2, с. 220-226.

214. Bossel H.H. Vortex computation by the method of weighted residuals using exponentials. // AIAA J., 1971, N10, p.2027-2034.

215. Luckring J.M. A theory for the core of a three-dimensional leading-edge vortex. // AIAA Paper N 85-0108, 1985, 14p.

216. Heintsh, Т., Kindel, W. Realtime-Simulation of Aircraft Behavior in Wake Vortices with Respect to Flight Safety. // ICAS 94, 1994, vol. 1, pp.529-540.

217. Kindel, W., Heintsh, Т., Influence of Wake Vortices on a Landing Aircraft a Task for Realtime-Flugtsimulation. // Aircraft Flight Safety Conference, Zhukovski, Russia, 1993 , p. 179-197.

218. Huenecke K. Wake vortex investigations of transport aircraft. // AIAA paper 95-1773-CP, 1995, p.89-96.

219. Пакин A.H. К вопросу о выборе дифференциальных моделей турбулентности при расчете, двумерных вихревых течений газа. // Труды ЦАГИ, 1996, вып. 2622, с. 90-99.

220. Donaldson С. du P. Calculation of turbulent shear flows for atmospheric and vortex motions. // AIAA J., vol. 10, No. 1, 1972, p.4-12.

221. Турбулентность. Принципы и применения. / Под ред. У. Фроста и Т. Моулдена. М.: Мир, 1980, 535 с.

222. Kandil О.А., Wong Т.С., Adam I., Liu C.H. Prediction of near- and far-field vortex-wakes turbulent flows. // AIAA Atmospheric Flight Mechanic Conference, Baltimore, August 7-9, 1995. AIAA 95-3470-CP, p. 415-425.

223. Pakin A.N. Application of a modified q-co turbulence model to simulation of two-dimensional vortex gas motion. // Trudy TsAGI, vol. 2627, 1997, p.79-92.

224. Брага В. Г., Лысенко Н.М., Микиртумов Э.Б. и др. Практическая аэродинамика самолетов с турбореактивными двигателями. М.: Воениздат, 1969, 408 с.

225. Николаев Л.Ф. Аэродинамика и динамика полета транспортных самолетов. М.: Транспорт, 1990, 392с.

226. Kuzmin V.P. Estimation of wake-vortex separation distances for approaching aircraft. I I Trudy TsAGI, 1997, v. 2627, p. 209-224.

227. Bobylev A.V., Kuzmin V.P., Yaroshevsky V.A. Mathematical simulation of the wake vortices effect on aircraft motion during automatic landing. // Trudy TsAGI, 1997, v. 2627, p. 198-208.

228. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973, 832 с.

229. Harris, М., Vaughan, J.M., Huenecke, К, Huenecke, С. Aircraft wake vortices: a comparison of wake-tunnel data with field trial measurements by laser radar. // Aerosp. Csi. Technol., 2000, No. 4, p. 363-370.

230. Huenecke, K. Wake vortex investigation of transport aircraft at high-lift. Euromech Colloquium 433, Aachen, Germany, 2002.

231. Вулис JI.A., Кашкаров В.П. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, 1965, 432с.

232. Batchelor G.K. On Steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number//Journal of Fluid Mechanics, 1956, v.l, Pt.2, p. 177-190.

233. Sarpkaya T. A New Model for Vortex Decay in the Atmosphere // AIAA Paper 9907-61, 1999, 14 p.

234. Петров А. В. Некоторые типы отрывного обтекания разрезных крыльев // Учен. зап. ЦАГИ, 1977, т. VIII, № 2, с. 16-25.

235. Джалурия И. Естественная конвекция. Тепло и массообмен. М.: Мир, 1983,400с.