Диофантовы приближения в логарифмических пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Матвеев, Евгений Михайлович

• Матвеев, Евгений Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Матвеев, Евгений Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.

Цель работы, главные результаты.

Методы исследования.

Научная новизна.

Практическая и теоретическая ценность.

Структура и содержание основной части.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Некоторые сведения из линейной алгебры.

2. Выпуклые тела.

3. Решетки.

4. Аддитивные алгебраические решетки.

5. Лемма Зигеля.

6. Логарифмические алгебраические решетки.

7. Алгебраические числа малой логарифмической высоты.

8. Последовательные минимумы логарифмических высот.

9. Мультипликативные соотношения.

10. Формулировка основной теоремы.

11. Неравенство Лиувилля.

12. Индуктивное предположение.

13. Обобщенные биномиальные многочлены.

14. Общий вид вспомогательных функций.

15. Описание набора мульти-показателей.

16. Схема арифметико-аналитического продолжения.

17. Выбор параметров.

18. Построение исходной вспомогательной функции.

19. Интерполяционная формула.

20. Экстраполяция нулей.

21. Деление аргумента.

22. Оценка кратностей нулей.

23. Доказательство основной теоремы.

24. Доказательство теоремы 10.2.

25. Доказательство следствия 10.3. 200 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 203 ОБОЗНАЧЕНИЯ 204 ФОРМУЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 205 СПИСОК ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ 209 РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 212 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диофантовы приближения в логарифмических пространствах»

Классический результат Эрмита [40] (1873) и Линдемана [45] (1882) о трансцендентности числа а = для алгебраического ' /3 Ф 0 можно после логарифмирования записать в виде A = lim-ДфО (при алгебраическом а Ф 0, 1паФ0). В 1900 году Гильберт [6] сформулировал 23 математических проблемы, решение которых, по его мнению, могло бы существенно продвинуть развитие математики. Среди них под номером «7» была задача о трансцендентности числа a2=af для алгебраических ccuj3 (кроме тривиальных случаев ах е{0,1} или jBeQ). Логарифмирование снова приводит к выражению вида А = /?Inах - Inа2 Ф 0 (в случае алгебраических аъа2,/3).

Обычно при решении подобных задач небольшая модификация доказательств позволяет получать не только, что Л Ф 0, но и выводить нижнюю оценку для | Л | в терминах различных характеристик участвующих чисел ах, а2,р, что составляет типичную проблему теории диофантовых приближений.

Естественным обобщением результата Эрмита-Линдемана и седьмой проблемы Гильберта является исследование выражений

Л = Д) + + Рп\пап, (0.1) с алгебраическими {а3,Ф 0, ]na^0, j = \,.,n). Далее для краткости мы будем называть приведенное выше выражение линейной формой от логарифмов (алгебраических чисел).

Последующее развитие теории чисел показало, что эта задача имеет не только самостоятельный теоретический интерес, но и позволяет решать ряд других проблем. Причем осознано это было до появления необходимых оценок линейных форм от многих логарифмов. Так, монография Гельфонда [5] 1952 года по этой тематике завершается словами:

Нетривиальные нижние границы линейных форм с целыми коэффициентами от любого числа логарифмов алгебраических чисел, эффективно полученные методами теории трансцендентных чисел, будут иметь чрезвычайно большое значение в решении очень трудных проблем современной теории чисел. Поэтому можно считать, что уже говорилось выше, наиболее актуальной задачей в теории трансцендентных чисел исследование меры трансцендентности конечных совокупностей логарифмов алгебраических чисел».

Обзор приложений оценок линейных форм от логарифмов можно найти, например, в более поздней монографии Фельдмана [3], когда были получены приемлемые оценки линейных форм и их приложения. Вопросы приложений выходят за рамки диссертации и в ее основной части не затрагиваются. Здесь же отметим, что большинство приложений использует оценки линейных форм от двух логарифмов, т.е. лежат в рамках решения седьмой проблемы Гильберта. Типичными случаями, когда нужны линейные формы от многих логарифмов, являются вопросы оценки простых делителей различных алгебраических выражений (здесь будет а^ - р3 - j -е простое число) и задачи, где встречаются нормы в алгебраических полях (здесь числа or ■ являются основными единицами поля).

Линейная форма А вида (0.1) представляет собой общий случай. Если в нем Д, = 0, то будем называть такую линейную форму однородной. Так, теорема Эрмита-Линдемана соответствует неоднородной форме с п -1, а седьмая проблема Гильберта - однородной с п = 2.

Развитие методов использования оценок линейных форм от логарифмов показало, что имеет смысл выделять еще один случай, когда /30,.,/3П<=Ж, который мы будем называть рациональным. Будем писать в этом случае jdj = bj, j - 0,.,n. Хотя методы исследования рационального и общего случаев в целом сходны, но мы будем исследовать в диссертации только однородные рациональные линейные формы.

Линейная форма в этом случае принимает вид

Л = 1гШ] + —\-bnhian. (0.2)

Отметим, что основные приложения оценок линейных форм от логарифмов относятся именно к однородному рациональному случаю.

На протяжении трех десятков лет со времени формулирования седьмая проблема Гильберта не поддавалась решению, пока наконец в 1934 году независимо и почти одновременно А.О. Гельфонд [37] и Т. Шнайдер [58] опубликовали ее доказательства.

Существенной чертой доказательств в теории трансцендентных чисел является использование так называемой вспомогательной функции. Так, в доказательстве теоремы Эрмита-Линдемана вспомогательной функцией является квазимногочлен вида в котором при предположении о малости А = In а - (3 можно производить замену е^ -> а с небольшим остаточным членом.

Для решения седьмой проблемы Гильберта Гельфондом была предложена вспомогательная функция вида где в предположении о малости Л = p\aax -1па2 можно производить замену а\ ~> а2 и получать выражения вида f(z) = V* gk % . Удачное обстоя J к,1 ' тельство состоит в том, что при дифференцировании функции g(z) неприятный множитель lnaj выносится за скобки.

Идея доказательства Гельфонда состояла в том, чтобы, построив ненулевую вспомогательную функцию с каким-либо количеством нулей, доказать интерполяционными средствами ее малость в некоторой области. В предположении о малости линейной формы от логарифмов соответствующие алгебраические значения функции f(z) в целых точках оказываются слишком малыми, т.е. равными нулю. При удачном подборе параметров можно было увеличить количество нулей до такой степени, чтобы это вступило в противоречие с их максимально возможным числом. Эту схему Гельфонд назвал арифметико-аналитическим продолжением.

На протяжении последующих тридцати лет после решения седьмой проблемы Гильберта все попытки обобщить эти соображения на большее число логарифмов не увенчивались успехом. Все же отметим работу Гельфонда [38] 1948 года. В ней было доказано, что для любого s > 0 неравенство

Ьх\пах +••• + &„ \пап\< е~£В имеет лишь конечное число решений 6j,.,&neZ, В = max Здесь предполагается, что ненулевые алгебраические числа ах,.,ап мультипликативно независимы. Хотя вышеприведенное неравенство и относится к случаю многих логарифмов, но оценка неэффективна, поскольку метод не позволял выводить неравенство для конкретных значений коэффициентов формы.

Из работ этого же периода следует выделить статьи Н.И. Фельдмана [30, 31], где было предложено заметное усовершенствование в конструкции функции f(z) в схеме Эрмита-Линдемана. Идея состояла в том, чтобы вместо обычных степенных многочленов zk использовать биномиальные многочлены, обладающие замечательными арифметическими свойствами (подробности см. в разделе 13).

Наконец, в 1966 году английский математик А. Бейкер опубликовал статью [15], в которой было предложено решающее усовершенствование метода Гельфонда, позволявшее работать с произвольным числом логарифмов. В последующих работах [16, 17] он существенно усилил метод. Более того, метод был эффективным, немедленно давшим приложения к сложным задачам теории чисел. За эти результаты и их приложения Бейкеру была присуждена Филдсовская медаль, а метод стал называться методом Бейкера.

Бейкер предложил в качестве вспомогательной функции взять конструкцию вида (на примере линейной формы (0.2)): = У '•'atf"-1, h v>'n

Zj^lj-lrfij/b^ j = l,.,n-l (&n*0).

Вместо производных следовало рассматривать набор ее частных производных до какого-либо порядка. Это позволяет выносить за скобки логарифмы чисел, чего не удавалось сделать до Бейкера. Отождествление zl=. = znx = z и замена af]Z • • • a\z "• • anZ c небольшим поправочным членом (в предположении о малости линейной формы) позволяли пользоваться техникой арифметико-аналитического продолжения. Позднее Фельдман предложил модификацию вспомогательной функции, не требующую многих переменных.

С тех пор метод Бейкера постоянно развивается, над этой темой, кроме самого Бейкера, работали и продолжают работать многие математики: Н.И. Фельдман, В.Г. Спринджук, D. Masser, М. Mignotte, A. van der Poorten, P. Philippon, Т. Shorey, H.Stark, R. Tijdeman, M. Waldschmidt, G. Wustholz, и другие. Работам этой тематики выделена постоянная рубрика журнала Mathematical Reviews (11J86 - Linear forms in logarithms; Baker's method).

Все эти работы имели целью прояснить и улучшить зависимость оценки линейной формы от какого-либо параметра. Основными параметрами, кроме числа логарифмов п, являются:

- степень D = [К: Q] алгебраического поля К, содержащего все участвующие числа , ;

- оценка коэффициентов линейной формы (мы изучаем форму (0.2))

Я>тах{|&,- |: l<j<n}; (0.3)

- характеристики чисел а^, в качестве которых в последнее время берутся их абсолютные логарифмические высоты h(^ ) и модули выбранных значений логарифмов | li|, объединяющий их параметр обычно берется в виде

Aj > max{Dh(aj), j = l,.,n. (0.4)

Впрочем, возможен и даже в ряде случаев полезен раздельный учет h(а -) и | \па3 \. В ранних же публикациях (до работы [66] 1980 года) предполагался выбор главного значения логарифма, а в качестве Aj бралась оценка (> 4) обычной высоты алгебраического числа , т.е. максимум модуля коэффициентов определяющего его минимального многочлена над Z, что несколько грубее.

Укажем основные этапы этой деятельности. Прежде всего, сразу вслед за первыми работами Бейкера Фельдманом было замечено [32, 33], что метод Бейкера допускает рассмотрение вспомогательной функции, в которой в дополнение к показательным компонентам имеется еще и полиномиальная часть (как в конструкции Эрмита, чего не удавалось в методе Гельфонда), а использование при этом биномиальных многочленов позволяет добиться степенной зависимости оценки линейной формы от параметра В: А|> С0В~С, (0.5) с величинами С0,с > 0, эффективно зависящими от остальных указанных параметров. Под эффективностью мы понимаем возможность при желании вычислить с помощью рассуждений, приводимых в доказательстве, явное значение этих выражений. Форма зависимости оценки от В является точной, дальнейшие усиления возможны только за счет улучшения констант С0,с .

Важное техническое усовершенствование было предложено в работе Бейкера и Старка [19], в которой была привлечена теория Куммера и использован так называемый принцип деления аргумента (подробнее см. раздел 21 основной части диссертации).

Вывод явной зависимости оценок от параметров Aj (обычных высот), притом близкой к оптимальной, был также получен Бейкером в работе [17]. Это удалось за счет удачного выбора показателей во вспомогательной функции, для которых были заданы индивидуальные границы. Важной частью рассуждений, позволивших улучшить зависимость оценок от параметров Л, было применение некоторого нового усовершенствованного набора многочленов вместо биномиальных.

В работе Бейкера [18] зависимость показателя с от параметров Aj, за счет использования соображения А. ван дер Портена [55] приобрела вид (0.5) (при технических нижних границах на параметры) с константами вида: c = clAl---An In (А, • • • Л-1), ^ = (16nDfm\

В этой же работе была предложена не просто эффективная, а явная оценка, в которой не оставалось невычисленных значений параметров. Это открыло возможность получать приложения линейных форм от логарифмов для полного решения ряда теоретико-числовых задач.

В 1980 года Вальдшмидтом [66] была опубликована явная оценка, где константа Cj приобрела вид q = c2D2 ln(eD), c2=n2V37\

Зависимость показателя с от степени поля D с тех пор не менялась. Начиная именно с этой работы, все стали предпочитать определять параметры А3 через абсолютную логарифмическую высоту чисел а •.

Отметим, что с тех пор практически все работы по линейным формам от логарифмов стали содержать только явные оценки с постоянно улучшаемыми константами. В работах [47, 23, 46, 66, 20] можно найти последовательные этапы улучшения явных оценок для произвольного числа логарифмов.

До последнего времени множитель п ' в оценке показателя оставался неизменным. Но все же имелся важный частный случай, когда главный член оценки, зависящий от п, имел вид пп. Это случай так называемой сильной независимости чисел ах,.,ап. Еще один множитель пп появляется в оценке для общего случая. Под сильной независимостью чисел а1,.,ап (или условием Куммера) мы будем понимать равенство

В 1986 году на конференции в Дархэме были представлены доклады Вальдшмидта-Филиппона [54] и Вюстхольца [68, 69], в которых излагался метод устранения из показателя с в оценке (0.5) множителя \п{Ах ■■•Ап1).

Зависимость оценки линейной формы от параметров Aj стала оптимальной.

Указанные выше параметры являются основными. В большинстве приложений их учет необходим. Вместе с тем, в ряде работ изучалась зависимость от некоторых дополнительных параметров, учет которых позволяет усиливать оценки линейных форм в важных частных случаях.

В работе Шорея [60] была изучена ситуация, когда значения j In а3 j существенно меньше, чем DhioCj) для всех j = l,.,n. Это может быть описано параметром

Е = mox{Dh.{a^)/ | Inа^ |: j - 1,.,п}.

С ростом Е оценка линейной формы от логарифмов получается значительно лучше. В ряде дальнейших работ (например, [66]) этот параметр также отслеживался. Это же было сделано и автором в работе [Мб]. Самое же главное, в этой работе автора была придумана конструкция, позволяющая создать искусственно ситуацию, аналогичную малости логарифмов алгебраических чисел и тем самым улучшить оценку линейной формы вплоть до удаления одного множителя пп.

Еще одно наблюдение было сделано автором и указано в тезисах [М9]. Оно не требует дополнительных рассуждений и относится к случаю сильной независимости чисел а1,.,ап. Здесь вместо формулы (0.3) можно положить

В > max{l, max{Aj \bj\ / 4 : 1 < j < п)} (0.6)

Если считать А^ максимальным, то это дает усиление оценки, играющее важную роль в некоторых приложениях к решению диофантовых уравнений. В ряде работ (например, в [67]) рассматриваются аналоги этого параметра. Оценка, учитывающая подобную формулу для В в случае условия Куммера, была опубликована автором в работе [Мб], а в работе [М8] удалось сохранить обозначение (0.6) в общем случае.

В целом до работ автора лучшая оценка линейных форм от логарифмов алгебраических чисел (причем именно однородных рациональных) была опубликована в 1993 году в работе [20] Бейкера и Вюстхольца. Она имела вид (0.5) с константой С0 -1 и с — 18(п + l)lnn+132n+2D2ln(2nD)Al • • • дополнительно требовалось В>е, ^,.,^>1, но если ограничение на В имело число технический характер, то нижние границы для чисел AJ были существенными для доказательства.

Параллельно с методом Бейкера продолжается развитие метода Гель-фонда и аналогичного метода Шнайдера. Это связано с тем, что, хотя основные результаты получаются здесь только для двух логарифмов и дают зависимость от параметра В не степенную, а вида by In а, + Ь2 ]па2 |> exp(-c2D2AlA2 In2(С0В)), т.е. асимптотически худшую при растущем В, но сама константа с2 получается значительно лучше, чем до сих пор в методе Бейкера. Особенно значительное усиление оценок произошло после разработки М. Лораном [42] так называемой техники интерполяционных определителей. Так, в одной из последних работ [43] 1995 года было получено значение с2 =30.9, в оценке же

Бейкера-Вюстхольца получается с2~10ш. Поскольку основные приложения оценок линейных форм от логарифмов опираются именно на случай п = 2 и требуют для успешного применения малых констант, именно оценки, полученные специально для случая п = 2, оказываются предпочтительнее.

Теперь изучим структуру имеющихся оценок линейных форм от многих логарифмов в одном их важных случаев их приложений. Как отмечалось, одной из типичных ситуаций является случай а - - j -е простое число, a

К = Q, D = 1. Из закона распределения простых чисел (см. [56]) получаем л

Aj - Irwcj < lnpn < ln(n ) = 2Inn, j = l,.,n (n> 2),

Компонента (Inn)" растет несколько быстрее, чем Сп, но если в оценке имеется еще множитель пп факториальной скорости роста, то последнее выражение растет существенно быстрее и становится основным членом оценки. Таким образом, удаление из оценки факториального множителя резко улучшит ее качество.

Именно это и является главным результатом работы автора.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ, ГЛАВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основной целью данной работы является получение явной нижней оценки однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел с рациональными коэффициентами, имеющей показательную зависимость от количества логарифмов.

В процессе решения основной задачи возникли и были решены существенные попутные задачи, связанные с исследованием решеток в логарифмических пространствах. Это явная оценка последовательных минимумов таких решеток и оценка коэффициентов в мультипликативных соотношениях между алгебраическими числами.

Далее, полученные оценки линейных форм от логарифмов являются явными, т.е. сосчитанными до конца с целью их практического применения. В ходе выполнения этой работы была практически полностью переработана техническая сторона метода Бейкера и получены количественные усиления вспомогательных лемм. Все такие вспомогательные утверждения могли бы быть заменены на ранее известные результаты, что ухудшило бы константы оценок, но не повлияло бы на главный результат - устранение из оценки факто-риального множителя. В связи с этим формулировки вспомогательных результатов во введение не выносятся, а дается только их краткое описание.

Теперь перейдем к формулировке основных теорем. Для этого зафиксируем обозначения, которые будут сохраняться до конца работы. Дано алгебраическое поле К с С, D = [К: Q], к -1, если КсК, к- 2 - иначе.

Пусть даны числа а},.,ап е К и фиксированы некоторые ненулевые значения InGCj. При Kcl мы будем выделять естественную ситуацию а5> 0, In а^ е R, 1 <j<n. (0.7)

Мы будем рассматривать числа а, определяемые из соотношения

In а = \ lnoTj + ••• + /„ \пап.

Если l = (ll,.,ln)EZn, то очевидно аеК, но, оказывается, могут быть и другие I е Qn, для которых также а е К. Обозначим множество таких векторов I через М. Если числа lna],.JriaTl линейно независимы над Q, то множество М будет решеткой (определение см. раздел 3), содержащей И1. Обозначим соответствующий индекс подрешетки как

ТЕОРЕМА 0.1. (ТЕОРЕМА 8.2. диссертации). Пусть числа Aj удовлетворяют условию (0.4). Если числа lna^^lnc^ линейно независимы над Q, то в вышеприведенных обозначениях выполняется

Пусть теперь для линейной формы Л вида (0.2) мы имеем параметры А, из (0.4), В из (0.6), а также положим для краткости

С0 = In(e4An+7n5-5D2 In(eD)), W0 = ln(l .5eBD In(eD)).

ТЕОРЕМА 0.2. (Основная теорема, ТЕОРЕМА 10.1. диссертации). Пусть либо к = 1 и выполнено условие (0.7), либо к = 2; числа \пах,.,\пап линейно независимы над Z и ЪпФ 0. Тогда

In| A|>-C(n)C0W0D2Al •••Ап. □

N = [M:Zn].

• • • An^Q(n)D\n.(en+AD) > 1, £0(1) = 1.125, £0(п) = 3.1ппк/к, п> 2. □

С(п) = — еп(2п +1 + 2 к)(п + 2)(4 (п +1)) п\к

Главными особенностями этой теоремы являются: показательная зависимость параметра С(п) от п;

- параметр В имеет вид (0.6), а не (0.3);

- отсутствие нижних ограничений на числа Aj;

- оценка полностью явная, превосходящая при п > 3 ранее известные оценки.

В теореме 10.2 диссертации рассматривается ситуация возможной зависимости логарифмов и снимаются ограничение (0.7) в случае Kcl, а также условие ЬпФ 0. Цена снятия ограничений - предположение Л Ф 0, введение технических нижних ограничений ^ >0.16 и незначительное ухудшение оценки линейной формы.

В следствии 10.3 приводится максимально упрощенная формулировка оценки линейной формы для общего случая при Л ^ 0 и Л, > 0.16 : ln|A|>-min<

1 ( en

ИТ к

3.5 о6п+20 30 п , 1

D2A]---An\n(eD)\n(eB), при этом выражение В может быть взято как из (0.3), так и из (0.6).

Упрощенная оценка полезна при ее применении для получения качественных результатов, основанных на теории линейных форм от логарифмов.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Доказательство теоремы 0.2 основано на ставшем классическим в теории диофантовых приближений методе Бейкера, представляющем собой усиление метода Гельфонда. Авторское усиление заключается в заметном усовершенствовании конструкции вспомогательной функции. При доказательстве теоремы 0.1 была использована техника интерполяционных определителей М. Лорана (определение см. раздел 7), возникшая в последнее время. Кроме того, усовершенствования во всех результатах, полученные автором, связаны с дополнительным привлечением теории алгебраических чисел, теории выпуклых множеств и особенно - геометрии чисел.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, не превзойденными до сих пор. Новизна работы проявляется как в полученных теоремах, так и в методах доказательства. Кроме того, в связи с получением явных улучшенных оценок, была существенно переработана техническая сторона рассуждений использованных известных методов. Все работы были выполнены самостоятельно без соавторов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и технические вспомогательные результаты позволят получать дальнейшие улучшения оценок линейных логарифмических форм. Все полученные в работе оценки (линейных форм от логарифмов, последовательных минимумов, мультипликативных соотношений) вполне явные, имеющие многочисленные приложения к другим разделам теории чисел.

Работа может иметь практическое значение в случае реализации предложенных идей в компьютерной алгебре и теории чисел.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТИ

Основная часть диссертации естественным образом разбита на 25 разделов (глав).

В первом разделе напоминаются основные понятия и результаты из линейной алгебры, используемые в диссертации.

Во втором разделе приводятся некоторые сведения из теории выпуклых тел (теорема Брунна-Минковского, лемма Ваалера о сечениях куба) и о связи их с нормированиями векторных пространств. Доказана техническая нижняя оценка (лемма 2.5) объема симметричного выпуклого тела, от которого с помощью линейных ограничений отсечены края (опубликована в [Мб], дополнение - в [М7]).

В третьем разделе приводятся основные понятия и результаты из теории решеток (дискретных подгрупп) нормированных векторных пространств (теорема Блихфельдта, теорема Минковского о последовательных минимумах). Отметим, что использование идей геометрии чисел является существенной частью доказательств по теории диофантовых приближений. Авторские результаты относятся к оценке коэффициентов целочисленных соотношений аххх + ■ • • + апхп =0, x = (xl,.,xn)eZn, между ненулевыми векторами решетки М = (a1,.,a7l>z ранга т<п. Теорема 3.8 (см. [МЗ]) утверждает, что тогда найдется п-т линейно независимых векторов xi (соотношений между векторами а?), удовлетворяющих условию

Пп-т / \ (П V/2 13 где Aj >\ a; | (1 < j < п), V - т -мерный объем решетки, В — максимальный т -мерный объем параллелепипеда, построенного на векторах с нормой | v |< 1.

Характерной чертой этого и всех других результатов работы является систематический учет в оценках весовых коэффициентов (выше - это числа Aj), позволяющий получать индивидуальные оценки для неизвестных.

В принципе, данный результат представляет собой прямое приложение теоремы Минковского о последовательных минимумах. Но он имеет универсальный характер. В нем используются минимальные данные о норме и решетке. Так, совершенно не используется арифметическая природа коэффициентов векторов. При этом зависимость оценки от параметров Al,.,An,V оптимальна, а оставшиеся коэффициенты невелики. В предшествующих работах обычно оценивались коэффициенты для отдельных соотношений между векторами, как правило, с у четом их арифметической природы.

В разделе 4 напоминается описание конструкции геометрического изображения чисел алгебраического поля. Дается верхняя оценка дискриминанта поля, порожденного набором чисел, в терминах абсолютной логарифмической высоты чисел, порождающих поле (опубликована в [Мб]).

В разделе 5 доказывается существование небольшого ненулевого решения в алгебраических числах неполной системы однородных линейных уравнений с алгебраическими коэффициентами. Результаты такого рода обычно называют «лемма Зигеля». Отличие результата автора состоит в учете весовых коэффициентов, возникающих вследствие различия в величине коэффициентов уравнений и позволяющих получать улучшенные оценки решений. Это оказалось одним из приложений теоремы 3.8. Опубликовано в [МЗ], с уточнениями — в [М8].

В разделе 6 приводится описание логарифмического пространства для данного алгебраического поля К. и его свойств. Кроме того, вводится понятие расширенного логарифмического пространства поля (опубликовано в [М7]). Его отличием от обычного логарифмического пространства состоит в том, что в прежнем логарифмическом изображении числа аеК*, составленном из выражений In | or , одна (или пара комплексно-сопряженных) компонента заменяется на InaeC, где изображение также зависит от выбранной ветви логарифма. В расширенном логарифмическом пространстве рассматриваются несколько норм, простейшая из которых {расширенная логарифмическая высота) имеет вид

YiK(a) = max{Dh(a), |ln«r|}.

В разделе 7 доказываются нижние оценки для ненулевой расширенной логарифмической высоты (опубликованы в [М5]). Используемая в дальнейшем в диссертации оценка имеет вид (Следствие 7.10)

1.5 Нд. (a)D \n(eD) > 1.

Доказательство основано на применении интерполяционного определителя М. Лорана, что дало явную оценку с весьма малым значением константы.

Раздел 8 содержит формулировку и доказательство одного из основных результатов автора, выносимых на защиту, - оценку произведения последовательных минимумов расширенной логарифмической высоты алгебраических чисел поля (см. Теорема 0.1, опубликована в [М7]). Отметим, что попутно получается оценка индекса соответствующей группы.

В разделе 9 проводится оценка коэффициентов в мультипликативных соотношениях между алгебраическими числами или в целочисленных линейных зависимостях между их логарифмами. Результат представляет собой непосредственное применение теоремы 3.8 для логарифмических решеток с расширенной логарифмической высотой в качестве нормы. Опубликован в [МЗ], с уточнением в [М8].

В разделе 10 приводятся формулировки основной теоремы 10.1 об оценках линейных форм от логарифмов алгебраических чисел и двух следствий из нее. Дальнейшая часть диссертации посвящена доказательству этих теорем, причем доказательство следствий занимает только два последних раздела. Доказательство следует работе [М8] с некоторыми идеями из работы [Мб].

В разделе 11 рассматриваются тривиальные случаи основной теоремы. Таковыми являются случай п = 1 и случай малого значения параметра В. Это позволяет считать в дальнейших рассуждениях п> 2, а В большим.

В разделе 12 изучается случай, когда с помощью свойств логарифмической функции линейная форма А сводится к форме от меньшего числа логарифмов. Например, в простейшем случае можно записать

А = \па, а = arf1 • • • cfy.

Обычно это сопровождается значительным увеличением высот участвующих чисел и не приводит к улучшению оценки. Если же это можно сделать без большого увеличения высот, то теорема доказывается индукцией по п. Таким образом, можно предположить, что указанная редукция невозможна. Это предположение будет использовано только на завершающем этапе доказательства.

В разделе 13 приводится описание и свойства введенных автором в работе [М2] многочленов, названных им обобщенными биномиальными многочленами. Их особенностью является целозначность, т.е. свойство принимать целые значения (из множества Z) для целых значений аргумента. При их дифференцировании целозначность нарушается, но при этом автором также была получена приемлемая оценка возникающего знаменателя. Сами же многочлены принимают существенно меньшие значения, чем обычные степенные многочлены. Конструкция и полученные оценки улучшают предшествующие результаты Фельдмана и Тайдемана.

В разделе 14 описывается общая конструкция вспомогательной аналитической функции, характерной для метода Бейкера.

В разделе 15 приводится описание набора мульти-показателей вспомогательной функции. Именно в данном месте доказательства заложены две основные идеи, позволившие автору добиться показательной зависимости от п оценок линейных форм от логарифмов.

В разделе 16 описывается схема, по которой индуктивно будет доказываться возможность построения вспомогательной функции с большим количеством нулей с учетом их кратностей. В данном месте рассуждений также присутствует важная идея, позволяющая снять все ограничения на параметры А^, присутствующие в оценке линейной формы.

В разделе 17 приводится числовое значение параметров для дальнейшего построения вспомогательной функции. Проводится их предварительный анализ (верхние и нижние оценки).

В разделе 18 производится построение вспомогательной функции для начала индуктивного процесса доказательства. Это происходит с помощью леммы Зигеля из раздела 4.

В разделе 19 напоминается интерполяционная формула, основанная на теореме Коши о вычетах, а также доказывается техническая оценка участвующих в этой формуле многочленов.

В разделе 20 доказывается, с помощью метода так называемого ариф-метико-аналитического продолжения Гельфонда, что рассматриваемая вспомогательная функция имеет, в предположении о малости линейной формы от логарифмов, значительно больше нулей, чем было по построению.

В разделе 21 доказывается, что вспомогательную функцию можно расщеплять на части меньшей степени, также имеющие много нулей. Это делается с привлечением теории Куммера с помощью приема, введенного в свое время Бейкером и Старком [19].

В разделе 22 доказывается, что если функция рассматриваемого типа имеет достаточно много нулей, то она (соответственно, линейная форма) может быть редуцирована к меньшему числу переменных. Такого рода результаты обычно называются «оценка кратностей нулей» Оценка представляет собой некоторое количественное уточнение соответствующей теоремы из работы Бейкера-Вюстхольца [20].

В разделе 23 завершается доказательство основной теоремы. Здесь показывается, что построенная ранее вспомогательная функция удовлетворяет условиям теоремы об оценке кратностей нулей. Значит, линейная форма допускает редукцию, что противоречит индуктивному предположению и доказывает теорему.

В разделе 24 доказывается теорема 10.2. В ней изучается ситуация (которой не было в основной теореме) возможной линейной зависимости логарифмов, а также устраняются другие технические ограничения теоремы 10.1 (условие (0.7) и ЬпФ 0). Тогда с помощью результатов раздела 9 линейную форму можно редуцировать к меньшему числу логарифмов и доказать утверждение по индукции.

В разделе 25 доказывается следствие 10.3, для чего надо лишь проверить, что упрощенные константы несколько хуже исходных из теоремы 10.2.

В «ЗАКЛЮЧЕНИИ» кратко суммируются полученные результаты. В конце работы приводятся справочные материалы, включающие: список терминов, обозначений с. указанием, при необходимости, страницы, на которой они введены; публикации автора по теме диссертации (8 статей в хронологическом порядке); опубликованные тезисы докладов по теме диссертации (12 тезисов в хронологическом порядке); список публикаций других авторов, используемых в диссертации (сначала приводятся монографии, затем - статьи в алфавитном порядке латинского написания фамилий авторов), всего 71 наименование. Всего диссертация содержит 220 страниц, таблиц и рисунков не имеет.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Матвеев, Евгений Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом работы является получение явной нижней оценки однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел с рациональными коэффициентами, имеющей показательную зависимость от количества логарифмов без ухудшения зависимости от остальных параметров.

В процессе решения основной задачи возникли и были решены попутные задачи, связанные с исследованием решеток в логарифмических пространствах и представляющие самостоятельный интерес. Это явная оценка последовательных минимумов таких решеток и оценка коэффициентов в мультипликативных соотношениях между алгебраическими числами.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Все существенные авторские результаты названы теоремами и следствиями. Существенные известные результаты, использованные в работе, названы предложениями. Небольшие утверждения, как известные, так и автора, названы леммами. Авторские леммы, представляющие самостоятельный интерес, снабжены указанием, где они опубликованы. Сугубо технические оценки, нужные для доказательства основных теорем, выделены в леммы в целях удобства изложения.

Разделы основной части диссертации пронумерованы. Введению по умолчанию присвоен нулевой номер. Формулы, а также утверждения (теоремы, леммы, предложения) пронумерованы двойным индексом, в котором на первом месте стоит номер раздела.

Ссылки на работы автора приводятся в форме [Ml] - [М8], на работы других авторов - с помощью обычной нумерации ([1], [2],.,[71]). В списке источников сначала идут работы автора, затем отдельно - общий список. В общем списке источников на первое место поставлены монографии, а потом следуют статьи в алфавитном порядке латинского написания фамилий авторов и хронологическом порядке.

Окончания формулировок утверждений и доказательств обозначены символом □.

ФОРМУЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

- Обозначения, применяемые внутри только одного раздела основной части, в данном разделе не приводятся. В скобках при необходимости указан номер страницы, где расшифровывется данное обозначение.

Множества.

N, N 0, Z, Q, R, С - множества (соответственно): натуральных, целых неотрицательных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел 0 - пустое множество

X х Y - прямое произведение множеств, групп

А\ - мощность (количествоэлементов) множества А

Линейная алгебра и геометрия.

Mat(n,m,F) - множество (тпхп)-матриц над F (с. 24) GL(n,m,F) - множество линейных операторов из Fn в Fm (с. 24) {Ы)в - линейная оболочка множества U с коэффициентами из В (с. 24) - параллелепипед, построенный на векторах v],.,vn (с. 27) (e1,.,en)F - F-пространство (модуль), построенное на векторах е],.,еп

С1 - ортогональное дополнение С Ав - сблокированная матрица (с. 25)

Ск — овеществленная матрица (с. 25)

С* - комплексно-сопряженная транспонированная матрица

А - транспонированная матрица det - определитель (детерминант) Sitj - символ Кронекера (с. 26) diag{qx,.,qn) - диагональная матрица u,v) - скалярное (или эрмитово) произведение векторов u,v (с. 27) и • v - скалярное произведение (или значение формы и на векторе v ) (с.

Уо1п(П), УП(П) - объем п -мерного тела П (с. 27) dimFU - F -размерность U ? rankMU - ранг множества U над М (Q, R, С и т.д.)

Кег Л - ядро отображения Л

U Ф V - прямая сумма пространств, модулей

Апп(М) - аннулятор множества (с. 172) соп - объем единичного п -мерного евклидового шара (с. 35) рт — радиус т-мерного евклидового шара единичного объема (с. 35)

-у ||, - какая-либо норма вектора v

- норма вектора v с показателем q (с. 35) l^lj, || v ||i - sum-норма вектора v (с. 34) |v|2, ||г?||2 - евклидова норма вектора v (с. 34) | v - тах-норма вектора v (с. 34) г;- норма вектора v с весовыми коэффициентами А (с. 36) • |* - сопряженная норма (с. 34)

W(|-|) - единичный шар нормы |-| (с. 34)

Б(т,Н,|-|2) - максимальный объем параллелепипеда (с. 37) a\(q \ || a - локальные и абсолютная длина алгебраического вектора о с весовыми коэффициентами Q (с. 54, 55) Q! - набор обратных величин к весовым коэффициентам Q (с. 55)

Высшая алгебра. - изоморфность

L: К] - степень поля L над К

G: Н] - индекс подгруппы Н в группе G

К* - множество мультипликативно обратимых элементов К

F[X] - кольцо многочленов от переменных Хх,.,Хп над F degxV - степень многочлена V по переменной X Disc(K) - дискриминант поля К (с. 49) а - норма числа а в поле (нормирования пронумерованы индексами 1<<т<оо) (с. 51) h(cr) — абсолютная логарифмическая высота алгебраического числа а (с. 50)

М(а) - мера Малера алгебраического числа а (с. 50)

Н(а) - логарифмическая высота алгебраического числа а в поле (с. 63)

Norm(or), Norm(p) - норма алгебраического числа, идеала (с. 50)

О = Ок = (1) — кольцо целых чисел поля К

Va - пространство геометрических образов алгебраических чисел (с. 47)

0(а) - логарифмическое отображение числа а (с. 63) а), £(а,$) - расширенный логарифмический образ числа а (с. 66)

К) - логарифмическое пространство (с. 63)

К,5) - расширенное логарифмическое пространство (с. 65)

К) - группа корней из 1 поля К (с. 64)

U(К) - группа алгебраических единиц поля К (с. 64)

Ln(K,<S), Ln(K+,5) - расширенный логарифмический образ поля К и его положительных чисел (с. 66) М^(К), МЛ.(К.+) - расширенный логарифмический образ поля К и множества его положительных чисел (с. 69) Ln(l,<S) - множество расширенных логарифмических образов числа 1 (с. 69)

YlK{a), H^(or,<S), He(a,S) - нормы в расширенном логарифмическом пространстве (с. 67)

Функции.

Re г, Im-z - соотв. действительная и мнимая часть комплексного числа г

0(f), o(f) - («0»-болыиое, «о»-малое) - соотв. ограниченная и бесконечно малая функция относительно функции / = f(n), п -> оо. Г(ж) - гамма-функция (с. 35) п! - факториал ( =Г(п + 1) = гг(п-1)---2-1 ) (применяется и для дробных значений аргумента) (с. 35) 77.!! = п(п - 2)(п - 4) • • • (произведение натуральных чисел с шагом 2) р{х) - функция Эйлера (с. 72)

Н.О.К. - наименьшее общее кратное целых чисел

Н.О.З. - наименьший общий знаменатель рациональных чисел

Н.О.Д. - наибольший общий делитель целых чисел max (min) — максимальный (соотв. минимальный) элемент набора sup (inf) - точная верхняя (соотв. нижняя) грань множества

ГгЛ

- биномиальный коэффициент т

A (z,k) - биномиальный многочлен (с. 110) A(z,k,H) - обобщенный биномиальный многочлен (с. 110)

I"®] - соотв. целая часть и «потолок» числа х (с. 112,133) orda6 - порядок вхождения делителя а в Ь (с. 112) д^ - специальные операторы дифференцирования (с. 119)

Мульти-индексы. и,.й, и, й, и - векторы общего вида (полужирный шрифт) и со специальной нумерацией координат (с. 118) fi<m, ju <т - покоординатные неравенства для векторов (с. 121)

СПИСОК ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ

Линейная алгебра и геометрия, стандартный базис (с. 26) стандартное евклидово (эрмитово) произведение (с. 27) прямая сумма, прямое произведение пространств (с. 34) аннулятор множества (с. 173) овеществление (с. 25) коэффициент изменения объемов (с. 27) символ Кронекера (Kronecker) (с. 26) полидиск (с. 35) плоское тело (с. 27) единичный шар нормы (с. 34) норма вектора: сопряженная, шах-норма, sum-норма (с. 38) решетка, полная решетка (с. 38) фундаментальный (=основной) параллелепипед решетки (с. 39) объем (детерминант) решетки (с. 39) последовательный минимум (с. 38) примитивный набор векторов (с. 46)

Алгебра. формула произведения (product formula) (с. 51) архимедовские и неархимедовские нормирования поля (с. 51) мера Малера (Mahler) алгебраического числа (с. 50) высота алгебраического числа (с. 9) алгебраическая единица (с. 64) S -единица (с. 65) дискриминант поля (с. 49) взаимное (= возвратное) число (с. 71) основные (фундаментальные) единицы поля (с. 64) геометрическое изображение алгебраических чисел (с. 47) идеал, целый идеал, главный идеал, норма идеала (с. 51) локальные и абсолютная длины алгебраического вектора (с. 54, 55) сильная независимость чисел (= условие Куммера) (с. 11) константа Лемера (Lehmer) (с. 71)

Именные теоремы. теорема Брунна-Минковского (Brunn-Minkowski) (с. 32) лемма Ваалера (Vaaler) о сечениях куба (с. 36) формула Стирлинга (Stirling) (с. 35) неравенство Коши-Буняковского (Cauchy-Bunyakowskiy) (с. 36) неравенство Адамара (Hadamard) (с. 37) теорема Минковского (Minkowski) о последовательных минимумах (с. 39) теорема Блихфельдта (Blichfeldt) (с. 39) лемма Малера (Mahler) о последовательных минимумах (с. 40) формула Бине-Коши (Binet-Cauchy) (с. 44) правило Крамера (Kramer) (с. 46) лемма Зигеля (Siegel) (с. 54) неравенство Лиувилля (Liouville) (с. 100) теорема Коши о вычетах (Cauchy) (с. 152) оценка кратностей нулей (zero estimate = Nul'lstellensatz) (с. 172)

Логарифмические пространства. абсолютная логарифмическая высота алгебраического числа (с. 50) логарифмическая высота алгебраического числа в поле (с. 64) расширенная логарифмическая высота (с. 19) логарифмическое пространство (с. 63) расширенное логарифмическое пространство (с. 66) логарифмическое отображение (с. 64) расширенное логарифмическое отображение (с. 66) линейная форма от логарифмов (с. 4) однородная рациональная линейная форма от логарифмов (с. 5)

Функции и смежные вопросы. арифметико-аналитическое продолжение (с. 7,129) вспомогательная функция (с. 6,117) интерполяционный определитель (с. 73, 54) обобщенные биномиальные многочлены (с. 110) мульти-показатель (= мульти-степень) (с. 118) деление аргумента (с. 163) целозначность (с. 109) многочлены Фельдмана (с. 110) биномиальные многочлены (с. 111) функция Эйлера (Euler's totient function) (с. 72) эффективная оценка (с. 9) явная оценка (с. 10)

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Матвеев Е.М., О размере целых алгебраических чисел. //Матем. заметки. 1991. Т. 49. Вып. 4. С. 152-154.

2. Матвеев Е.М., Об арифметических свойствах значений обобщенных биномиальных многочленов. //Матем. заметки. 1993. Т. 54. Вып. 4. С. 76-81.

3. Матвеев Е.М., О линейных и мультипликативных соотношениях. //Матем. сборник. 1993. Т. 184. №4. С. 23-40.

4. Матвеев Е.М., О связи меры Малера и дискриминанта алгебраических чисел. //Матем. заметки. 1996. Т. 59. Вып. 3. С. 415-420.

5. Матвеев Е.М., Об алгебраических числах малой логарифмической высоты. //Диофантовы приближения. Сборник, статей, посвященных памяти проф. Н.И. Фельдмана, под ред. Ю.В. Нестеренко /М.: Центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 1996. С. 90-98.

6. Матвеев Е.М., Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. //Известия РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62. №4. С. 81-136.

7. Матвеев Е.М., О последовательных минимумах расширенной логарифмической высоты алгебраических чисел. //Матем. сборник. 1999. Т. 190. №3. С. 89-108.

8. Матвеев Е.М., Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II //Известия РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. №6. С. 125-180.

Тезисы докладов по теме диссертации.

9. Матвеев Е.М., Оценка линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. //Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Теория трансцендентных чисел и ее приложения (Москва, 2-4 февраля 1983 г.). /М.: Изд-во МГУ, 1983. С. 86. Ю.Матвеев Е.М., Мультипликативные соотношения в числовых полях. //Тезисы докладов Всесоюзной школы «Конструктивные методы и алгоритмы в теории чисел». Минск, 10-16 сент. 1989. /Минск: Институт математики АН БССР, 1989. С. 94. П.Матвеев Е.М., О размере целых алгебраических чисел. //Тезисы докладов Всесоюзной школы «Конструктивные методы и алгоритмы в теории чисел». Минск, 10-16 сент. 1989. /Минск: Институт математики АН БССР, 1989. С. 95.

12.Матвеев Е.М., Об арифметических свойствах значений обобщенных биномиальных многочленов. //Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы теории чисел». Россия, Тула, 20-25 сент., 1993. /Тула: Изд-во ТГПИ, 1993. С. 106. 1 З.Матвеев Е.М., Об одном типе мультипликативных алгебраических решеток. //Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы теории чисел». Россия, Тула, 20-25 сент., 1993. /Тула: Изд-во ТГПИ, 1993. С. 107.

14.Матвеев Е.М., О расширенной логарифмической высоте алгебраических чисел. //Тезисы докладов П-й Международной конференции «Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел». Воронеж, 25-30 сент., 1995.

Воронеж: Изд-во ВГУ, 1995. С. 108.

15.Матвеев Е.М., Усиление оценки однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. //Тезисы докладов II Международной конференции «Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел». Воронеж, 25-30 сент., 1995. /Воронеж: Изд-воВГУ, 1995. С. 10.

16.Matveev Е.М., Elimination of the multiple n\ from linear forms in logarithms. //Tagungsbericht 11/96. Diophantine Approximations. 17.03.-23.03.96. /Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 1996. P. 10.

17.Matveev E.M., Explicit lower estimate for rational homogeneous linear forms in logarithms of algebraic numbers. //The International conference on Diophantine analysis and its applications in Honour of Acad. Sprindzuk. Abstracts. 1-8 September, 1996. Minsk (Belarus). /Minsk: In-t Matem. NANB, 1996. P. 20.

18.Матвеев E.M., Эффективная показательная по числу переменных оценка модуля линейных форм от логарифмов алгебраических чисел.

Тезисы докладов VIII Белорусской математической конференции. Часть 2. 19-24 июня, 2000. /Минск: Ин-т математики НАНБ, 2000. С. 53.

19.Матвеев Е.М., Оценки линейных форм от логарифмов алгебраических чисел и их приложения. //Тезисы докладов IV Международной конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения», посвященной 180-летию П.Л. Чебышёва и 110-летию И.М. Виноградова. Тула, 10-15 сентября, 2001. /М.: Центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001. С. 81-82.

20.Матвеев Е.М., Об оценке модуля однородных рациональных линейных форм от логарифмов алгебраических чисел.

Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула, 19-20 мая, 2003. /Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003. С. 157.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Матвеев, Евгений Михайлович, 2003 год

1. БоревичЗ.И., Шафаревич И.Р., Теория чисел. М.: Наука, 1972. —496 с.

2. Касселс Дж.В.С., Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965. -422 с.

3. Фельдман Н.И., Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во МГУ, 1982 -312 с.

4. Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел. М.: Гостехиздат, 1940. -260 с.

5. Гельфонд А.О., Трансцендентные и алгебраические числа. М.: Гостехиздат, 1952. -224 с.

6. Гильберт Д., Избранные труды. Т.П. М.: «Факториал», 1998. -608 с.

7. Кострикин А.И., Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000. -368 с.

8. Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции. М.: Иностранная литература, 1963. -467 с.

9. ЛенгС., Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986. -446 с.

10. Pohst М.Е., Computational algebraic number theory.

11. Amoroso F., Algebraic numbers close to 1: results and methods. //Contemp. Math. 1998. V. 210. P. 305-316.

12. Amoroso F., DavidS., Le probelme de Lehmer en dimension superiore. //J. reine angew. Math. 1999. B. 513. S. 145-179.

13. Baker A., Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. //Mathematika. 1966. V. 13. P. 204-216.

14. Baker A., A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms. //Acta Arithm. 1972. V. 21. P. 117-129.

15. Baker A., A sharpening of the bounds for linear forms in logarithms. III. //Acta Arithm. 1975. V. 27. P. 247-252.

16. Baker A., The theory of linear forms in logarithms. //Transcendence theory: advances and applications. (Editors A. Baker, D.W. Masser).

17. Acad. Press. London. 1977. P. 1-27.

18. BakerA., Stark H.M., On a fundamental inequality in number theory. //Annals of Math. 1971. V. 94. P. 190-199.

19. Baker A., Wiistholz G., Logarithmic forms and group varieties. //J. reine angew. Math. 1993. B. 442. S. 19-62.

20. Bertrand D., Duality on tori and multiplicative dependence relations. //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1997. V. 62. P. 198-216.

21. Blanksby P.E., Montgomery H.L., Algebraic integers near the unit circle. //Acta Arithm. 1971. V. 18. P. 355-369.

22. Blass J., Glass A.M.W., Manski D.K., Meronk D.B., Steiner R.P., Constants for lower bounds for linear forms in logarithms of algebraic numbers. I, II. //Acta Arithm. 1990. V. 55. P. 1-14, 15-22.

23. Corrigenda in: Acta Arithm. 1993. V. 65. P. 383.

24. Bombieri E., VaalerJ., On Siegel's lemma. //Invent. Math. 1983. V. 73. P. 11-32. Addendum in: //Invent. Math. 1984. V. 75. P. 377.

25. Boyd D.W., Reciprocal polynomials having small measure. I. //Math. Comput. 1980. V. 35. №152. P. 1361-1377.

26. Boyd D.W., Reciprocal polynomials having small measure. II. //Math. Comput. V. 53. № 187. P. 355-357.

27. Boyd D. W., The maximum modulus of an algebraic integer. //Math. Comput. 1985. V. 45. №171. P. 243-249.

28. Cantor D.C., Straus E.G., On a conjecture of D.H. Lehmer. //Acta Arithm. V. 42. P. 97-100. Corrigenda in: //Acta Arithm. 1982. V. 42. P. 325.

29. Dobrowolski E., On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial. //Acta Arithm. 1979. V. 34. P. 391-401.

30. Фельдман Н.И., О мере трансцендентности числа п. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24. С. 357-368.

31. Фельдман Н.И., О приближении алгебраическими числами логарифмов алгебраических чисел. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т. 24. С. 357-368.

32. Фельдман Н.И., Улучшение оценки линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. //Матем. сборник. 1968. Т. 77. №3. С. 423-436.

33. Фельдман Н.И., Эффективное степенное усиление теоремы Лиувилля. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 35. №5. С. 973-990.

34. Feldman N.I., Approximation of number n by algebraic numbers from special fields. //J. Number Theory. 1977. V. 9. №1. P. 48-60.

35. Friedman E., Analytic formulas for the regulator of a number field. //Invent. Math. 1989. V. 98. P. 599-622.

36. Gardner R.J., The Brunn-Minkowski inequality. //Bull. Amer. Math. Soc. 2002. V. 39. № 3. P. 355-405.

37. Гельфонд A.O., Sur le septieme probleme de Hilbert. //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1934. Т. 7. №4. С. 623-634.

38. Гельфонд А.О., Аппроксимация алгебраических иррациональностей и их логарифмов. //Вестник МГУ. Сер. матем. механ. 1948. №9. С. 3-25. /Гельфонд А.О., Избранные труды. М.: Наука, 1973. С. 129-155.

39. Гельфонд А.О., Фельдман Н.И., О нижних границах линейных форм от трех логарифмов алгебраических чисел.

40. Вестник МГУ. Сер. матем. механ. 1949. №5. С. 13-16. /Гельфонд А.О., Избранные труды. М.: Наука, 1973. С. 155-158.

41. Hermite Ch., Sur la fonction exponentielle. /1С. R. Acad. Sci. Paris. 1873. V. 77. P. 18-24, 74-79, 221-233, 285-293.

42. Kronecker L., Zwei Satze iiber Gleichungen mit ganzzahligen Coeffizienten. //J. reine angew. Math. 1857. B. 53. S. 173-175.

43. Laurent M., Sur quelques resultats recent de transcendance. //Journees arithmetiques, Exp. Congr., Luminy (France). 1989. /Asterisque. 1991. № 198-200. P. 373-396.

44. Laurent M., Mignotte M., Nesterenko Yu., Formes lineaires en deux loga-rithmes et determinants d'interpolation. //J. Number Theory. 1995. V. 55. P. 285-321.

45. Lehmer D.H., Factorization of certain cyclotomic functions. //Annals of Math. 1933. V. 34. №2. P. 461-479.

46. LindemannF., UeberdieZahl ж. //Math. Ann. 1882. B. 20. S. 213-225.

47. Loxton J.H., Mignotte M., van der Poorten A.J., Waldschmidt M., A lower bound for linear forms in logarithms of algebraic numbers. //C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1987. V. 11. P. 119-124.

48. Loxton J.H., van der Poorten A.J., Computing the effectively computable bound in Baker's inequality for linear forms in logarithms.

49. Bull. Austral. Math. Soc. 1976. V. 15. P. 33-57.

50. Loxton J.H., van der Poorten A.J., Multiplicative dependence in number fields. //Acta Arithm. 1983. V. 42. P. 291-302.

51. McFeat R.B., Geometry of numbers in adelic spaces. //Dissertationes Mathematicae. 1971. V. 88. P. 1-49.

52. Meyer M., Pajor A., Sections of the unit ball of l*. //J. Func. Anal. 1988. V. 80. P. 109-123.

53. Mignotte M., Waldschmidt M., On algebraic numbers of small height: linear forms in one logarithm. //J. Number Theory. 1994. V. 47. №1. P. 43-62.

54. Mossinghoff M.J., Polynomials with small Mahler measure. //Math. Com-put. 1998. V. 224. № 67. P. 1697-1705. Supplement. P. S11-S14.

55. Philippon P., Lemmes de zeros dans les groupes algebriques commutatifs. //Bull. Soc. Math. France. 1986. V. 114. P. 355-383.

56. Rosser J.B., Schoenfeld L., Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. 1962. V. 6. №1. P. 64-94.

57. RosenbloomM.Yu., Tsfasman M.A., Multiplicative lattices in global fields. //Invent. Math. 1990. V. 101. P. 687-696.

58. Schneider Th., Transzendenzuntersuchungen periodisher Functionen. I.

59. Acta Arithm. 1976. V. 30. P. 27-42. 61.Smyth C.J., On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer. //Bull. London Math. Soc. 1971. V. 3. P. 169-175.

60. Tijdeman R., On the equation of Catalan. //Acta Arithm. 1976. V. 29. P. 197-209.

61. Tsfasman M.A., Global fields, codes and sphere packings. //Journees arithm6tiques, Exp. Congr., Luminy (France), 1989. /Ast6risque. 1991. № 198-200. P. 373-396.

62. Vaaler J.D., A geometric inequality with applications to linear forms. //Pacific J. Math. 1979. V. 83. P. 543-553.

63. Voutier P.M., An effective lower bound for the height of algebraic numbers. //Acta Arithm. 1996. V. 74. P. 81-95.

64. Waldschmidt M., A lower bound for linear forms in logarithms. //Acta Arithm. 1980. V. 37. P. 257-283.

65. Waldschmidt M., Minorations de combinaisons lineaires de logarithmes de nombres algebriques. //Canad. J. Math. 1993. V. 45. №1. P. 176-224.

66. Wustholz G., A new approach to Baker's theorem on linear forms in logarithms. I, II. //in: Diophantine problems and transcendence theory /Lecture Notes Math. 1987. V. 1290. P. 189-202, 203-211.

67. Wiistholz G., A new approach to Baker's theorem on linear forms in logarithms. III. //New advances in transcendence theory /Editor A. Baker. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1988. P. 399-410.

68. Yu Kunrui, P -adic logarithmic forms and group varieties. I. //J. reine angew. Math. 1998. B. 502. S. 29-92.

69. Zimmert R., Ideale kleiner Norm in Idealklassen und eine Regulatorab-schatzung //Invent. Math. 1981. V. 62. P. 367-380.