Арифметические свойства элементов прямых произведений полей с неархимедовыми нормированиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Самсонов Алексей Сергеевич

• Самсонов Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Самсонов Алексей Сергеевич

1.1 Алгебраическая независимость

1.2 Метрика, норма

2. р-адические числа, д-адические числа

2.1 Построение поля р-адических чисел

2.2 Представление р-адических чисел в виде суммы ряда

2.3 Построение поля Ср

2.4 д-адические числа

3. Алгебраическая независимость в случае

конечного произведения

4. Алгебраическая независимость в случае

бесконечного произведения

5. Алгебраическая независимость значений функций

6. Гипергеометрические ^-ряды 62 Заключение 64 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметические свойства элементов прямых произведений полей с неархимедовыми нормированиями»

Введение.

В работе рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости для р-адических чисел, которые являются элементами поля с неархимедовой нормой, а также для д-адических и полиадических чисел, которые являются элементами колец с делителями нуля, прямых произведений полей р-адических чисел. Результат для элементов таких колец может как являться, так и не быть прямым следствием установленного факта для поля р-адических чисел. Кроме того, в сравнении с аналогичными вопросами для действительных и комплексных имеются существенные отличия уже при рассмотрении поля.

В 1935-ом году Курт Малер [24] опубликовал свою работу о трансцендентных р-адических числах, в которой сформулировал и доказал аналог теоремы Гельфонда — Шнайдера для р-адического случая. С некоторым обзором связанным с проблемами трансцендентности р-адических чисел можно ознакомиться в статье Адамса [11], которая вышла в 1966 году. Можно сказать, что вопросы трансцендентности и алгебраической независимости элементов из Ср над Q хорошо представлены в литературе. А соответствующие вопросы для элементов Ср над Qp изучены меньше, результаты появлялись спорадически, то есть, от случая к случаю. Например, один из первых критериев трансцендентности был получен в 1975-ом году, Амис [12], стр. 74. Далее, Эскассут [22] определял и изучал порядки трансцендентности в Ср над Qp. По вопросу алгебраической независимости есть статья Ламперта [23], он использовал р-адические ряды вида У] ак'рГк и ответил на поставленные у Коблица [2], стр. 75 вопросы о степенях трансцендентности Ср над К и К над Qp для некоторого К — промежуточного расширения полей. Позже, у Нишиоки [26], критерий алгебраической независимости на основе приближений дал более явные примеры алгебраически независимых элементов из Ср над К.

В диссертации сформулированы и доказаны некоторые теоремы, которые являются обобщениями и логическими продолжениями р-адических работ В.Г. Чирского и П. Бундшу [14], [15], [16]. В ходе работы была исследована алгебраическая структура рассматриваемых колец д-адических и полиадических чисел и учтены необходимые нюансы.

В теории трансцендентных чисел различают два типа результатов: качественные и количественные. Обычно к качественным результатам относят теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости чисел, а также об иррациональности

и линейной независимости. К количественным — оценки значений многочленов и линейных форм от чисел, оценки мер иррациональности, линейной независимости, трансцендентности и алгебраической независимости, например, см. [10]. В диссертационной работе получены результаты обоих типов.

Цели и задачи работы. Получение доказательств алгебраической независимости элементов прямых произведений р-адических полей как в конечном, так и в бесконечном случаях.

Методы исследования. В диссертации используются новые и специальные методы теории трансцендентных чисел.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Работа продолжает исследования алгебраической независимости р-адических чисел, важнейшим отличием является рассмотрение элементов прямых произведений р-адических полей.

Положения, выносимые на защиту.

1. Способы доказательства алгебраической независимости совокупности чисел для прямых произведений в конечном и бесконечном случаях и получения оценок снизу для значений многочленов от этих чисел.

2. Способы доказательства алгебраической независимости значений аналитических функций в рассматриваемых точках как в случае конечного, так и в случае бесконечного произведения.

3. Теорема о значениях некоторых гипергеометрических функций в рассматриваемых точках.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории чисел и на следующих конференциях.

1. XIX Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная двухсотлетию со дня рождения академика П. Л. Чебышева. Тула, 18-22 мая 2021.

2. XVIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина. Тула, 23-26 сентября 2020.

3. XVII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная столетию со дня рождения профессора Н. И. Фельдмана и девяностолетию со дня рождения профессоров А. И. Виноградова, А. В. Малышева и Б. Ф. Ску-бенко. Тула, 23-28 сентября 2019.

4. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2016». Москва, 11-15 апреля 2016.

В главе 1 представлены определения и факты, которые можно считать общеизвестными.

В главе 2 раскрываются менее известные понятия и факты. Они связаны с р-адическими и д-адическими числами. Полиадические числа не упомянуты, поскольку они рассматриваются лишь в виде элементов из бесконечного произведения р-адических полей, но намного проще называть их одним словом, полиадическими.

В главе 3 представлены обозначения, определения, утверждения и замечания, которые относятся к работе с д-адическими числами. Следует отметить, что в источниках из списка литературы обозначения имеют различия, к тому же была необходимость продолжить обозначения на более общий случай и добавить новые. Поэтому некоторый материал был изложен в тех обозначениях, которые используются в работе. Попутно показано, что возможные разночтения отсутствуют. Также в главе 3 сформулированы и доказаны теоремы 3.1.24 и 3.1.25 об алгебраической независимости и теорема 3.1.26 об оценке многочлена, эти три теоремы опубликованы в статье [27].

В главе 4 рассматривается полиадический случай. Сформулированы теоремы 4.1.10 и 4.1.11, которые являются частными случаями теорем 3.1.24 и 3.1.25, а нужны для доказательства теорем 4.1.12 и 4.1.13. В свою очередь, сформулированы и доказаны теоремы 4.1.12 и 4.1.13 об алгебраической независимости, эти две теоремы опубликованы в статье [27].

В главе 5 сформулированы и доказаны теоремы 5.1.2, 5.1.3, 5.1.4, 5.1.5, 5.1.6, 5.1.7, 5.1.8, 5.1.9, 5.1.10, 5.1.12, всего 10, все об алгебраической независимости. Теоремы 5.1.2, 5.1.4, 5.1.6 и 5.1.8 опубликованы в статье [28]. Краткая схема доказательств выглядит следующим образом:

1) Т5.1.2 сведена к Т5.1.3, а Т5.1.4 сведена к Т5.1.5 — частному случаю Т5.1.3;

2) Т5.1.6 сведена к Т5.1.7, а Т5.1.8 сведена к Т5.1.9 — частному случаю Т5.1.7;

3) Т5.1.10=Т5.1.3, Т5.1.12=Т5.1.7, т.е. совпадают, но сформулированы в удобных обозначениях.

В главе 6 сформулирована и доказана теорема 6.1.1, которая получается использованием теоремы 5.1.6 и рядов из статьи [21], это опубликовано в статье [29]. Основными результатами работы являются следующие теоремы.

Теорема (3.1.24). Пусть д = р1.. .рп — произведение п различных простых чисел,

те

аг = ^^ аг,з дГ1^, где аг,з Е Zg, г = 1,... ,т, ] = 0,1, 2 .... з=о

Пусть

1) для любого г = 1,... ,т неотрицательные рациональные числа тг,з образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;

2) для любого г = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров ] таких, что число тг,3-+1 не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, тг,0,..., тг,з и чисел т'1>к, где I = г, I = 1,... ,т, к = 0,1, 2,....

3) не существует номеров г,]1,]2 таких, что разница тг^1 — тг,32 является целым числом.

Тогда числа аг представляют собой глобально алгебраически независимые над элементы .

Теорема (3.1.25). Пусть д = р1.. .рп — произведение п различных простых чисел,

оо

аг,з дгз, где аг,з Е Ъя, г = 1,... ,т, ] = 0,1, 2 ....

3=0

Пусть

1) неотрицательные рациональные числа т3- образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;

2) ) = (Ьг, 3,1,Ьгз,2,... ,Ьгзп), для каждого к Е М, 1 ^ к ^ п, и для любого по

существуют натуральные числа п1 < п2 < ... < пт такие, что п1 > п0 и

^п\,...,пт,к :— ¿6^{Ьг,щ,к)г,г=1,...,;

Ьг

П1 ,к

т,П1 ,к

'1 ,Пт,к

Ьт,пт,к

— 0;

3) для каждого к Е N 1 ^ к ^ и, существует возрастающая функция ск : N ^ Е

такая, что

Тз — ск(]) ^ при ] ^ <х>,

и для любого набора натуральных чисел п1 < п2 < ... < пт, удовлетворяющих неравенству (1), выполняется неравенство

огё.Рк 6п1,...,пт,к ^ Ск(пг);

4) для любого номера ] число тз+1 не является суммой линейной комбинации чисел т0,. .. ,тз с целыми коэффициентами и неположительного целого числа.

Тогда числа аг представляют собой глобально алгебраически независимые над

элементы Пд.

Теорема (3.1.26). Пусть д — р1.. .рп — произведение различных простых чисел,

те

дг^, а Е Пд, аг,з е ид, г — 1,... ,т.

з=о

Пусть

1) для любого г — 1,... ,т положительные рациональные числа тг,з образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;

2) для любого d Е N существует N — € N такое, что для любого целого N ^ N не могут одновременно выполняться следующие соотношения:

N т N т т

^ ^ Тг,з Е Z, Бгз Е Z, ^ ^ | Д,,- | ^ 2d, ^ | | > 0;

3=0 г=1 3=0 г=1 г=1

3) Тз — тах{т1,з,... ,тт,з}, для любых натуральных чисел d и Л, существует N2 —

Е N такое, что неравенство

Тг^+1 > Ь + dтN

выполняется для любого г = 1,... ,т и для любого натурального N ^ М2;

Пусть многочлен С = ф(Р1,..., Рп) € 1д [х1,... , хт]\{0}, а при некотором к0 € {1,...,п}, degС = degРко и любой коэффициент Бко многочлена Рко таков, что либо Бко = 0, либо ог^ Бко ^ к. Тогда неравенство

\С(аъ...,ат)\д > 9-Н-Лгм

выполняется при N ^ тах(N1, N2).

Теорема (4.1.12). Пусть д = (р1,р2,... ,рп,...), д € 1,

те

а = ^^ а^ д^, где а^з € 1*, г = 1,... ,т, ] = 0,1, 2,....

3=0

Пусть

1) для любого г = 1,... ,т неотрицательные рациональные числа т^ образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;

2) для любого г = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров ] таких, что число Тгз+1 не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, Тг,0,..., Тгз и чисел тгук, где I = г, I = 1,... ,т, к = 0,1, 2,...;

3) не существует номеров г,]1,]2 таких, что разница Т3 — Т3 является целым числом.

Тогда числа а представляют собой глобально алгебраически независимые над ( элементы Ц.

Теорема (4.1.13). Пусть д = (р1,р2,... ,рп,...), д € 1,

а^ дг>, где а^ € 1, г = 1,... ,т, ] = 0,1, 2 ....

3=0

Пусть

1) неотрицательные рациональные числа тз образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;

2) а^ = (Ъгз1,Ъгз2,... ,Ъ%,з,п,...), для каждого к € N и для любого п0 существуют натуральные числа п1 < п2 < ... < пт такие, что п1 > п0 и

Ъ1,п-1,к . . . Ъ1,пт,к &П1,...,Пт,к ■ det(Ъi,nl,k)г,1=1,...,т ... ... = 0;

Ът,п1 ,к . . . Ът,пт,к

3) для каждого к Е N существует возрастающая функция ск : N ^ Е такая, что

Г3 — ск (]) ^ + ГО, при ] ^ <Х>,

и для любого набора натуральных чисел п1 < п2 < ... < пт, удовлетворяющих неравенству (2), выполняется неравенство

огё.Рк 6п1,...,Пт,к ^ си(П1);

4) для любого номера ] число т^+1 не является суммой линейной комбинации чисел г0,... ,Т] с целыми коэффициентами и неположительного целого числа.

Тогда числа а представляют собой глобально алгебраически независимые над ( элементы Ц.

Теорема (5.1.2). Пусть д = р1.. .рп,

те те

!(г) = £ с,г3 Е Zg[[г]], £ ^г3 Е Zg[[г]]\0,

3=0 3=1

те

а^ = £ ак^ дГк'», а^ Е , аи,^ Е 2*, ^ =1,...,т. к=1

Пусть

1) для любого ^ = 1,... ,т положительные рациональные числа гк^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;

2) для любого ^ = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число тк+1,^ не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1,ц,..., гк^ и чисел гкпри любых к' и при = ^;

3) не существует номеров к, к', ^ таких, что разница тк,^ — гкявляется целым числом.

Тогда элементы f (ам) представляют собой глобально алгебраически независимые над (д элементы Пд.

Теорема (5.1.4). Пусть д = (р1,р2,... ,рп,...),

тете

f (г) = £ с,г3 Е 2[[г]], £ с,г3 Е 2[[г]]\0,

3=0 3 = 1

те

а

, ам е П, аи^ е 2*, / = 1,...,т.

V

к=1

Пусть

1) для любого / = 1,... ,т положительные рациональные числа гк^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;

2) для любого / = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число тк+1,р не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1,р,..., гк^ и чисел гкпри любых к' и при / =

3) не существует номеров к, к', / таких, что разница гк,р — тк',р является целым числом.

Тогда элементы f (ам) представляют собой глобально алгебраически независимые над элементы П.

Теорема (5.1.6). Пусть д = р1.. .рп, функции

те

Ь(г) = £Сз,^ е 2д[[г]], Л = 1,...,1,

3=0

являются глобально алгебраически независимыми над .

те

аV = £ ак^ дГк'^, аV е Пд, ак^ е 2*, / =1,...,т. к=1

Пусть

1) для любого / = 1,... ,т положительные рациональные числа гк^ образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;

2) для любого / = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число гк+1,р не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1,р,..., гк,р и чисел гкпри любых к' и при / =

3) не существует номеров к, к', / таких, что разница гк,р — тк',р является целым числом.

Тогда элементы f\(аV) представляют собой глобально алгебраически независимые над элементы П д.

Теорема (5.1.8). Пусть д = (рьр2,... ,рп,...), функции

те

ш = £с^г3 е 2[[г]], Л =1,...,1,

3=0

оо

являются глобально алгебраически независимыми над (.

те

ар = £ ак^к", а» Е Ц, ак^ Е 2 *, ц = 1,...,т. к=1

Пусть

1) для любого ц = 1,... ,т положительные рациональные числа гк,р образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ последовательность;

2) для любого ц = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров к таких, что число тк+1,р не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г1,р, ..., гк,р и чисел гк'у при любых к' и при ц' = ц;

3) не существует номеров к, к', ц таких, что разница гк,р — гк/р является целым числом.

Тогда элементы 1\(ар) представляют собой глобально алгебраически независимые над ( элементы Ц.

Пусть Ь = г — в > 0. Рассмотрим ряд

(а1)п ... (аг)п

п=0

Для семейств действительных чисел а = (а1,... , ат) и Ь = (Ь]^,... , Ьт) используем обозначение

а & Ь,

если существует перестановка г1,... ,гт чисел 1,... ,т такая, что Ь3 — а^ Е 2, ] = 1,... ,т. Также, используем обозначение а + с для семейства чисел (а1 + с,..., ат + с).

Теорема (6.1.1). Пусть Ь = 2к, а множество параметров 5 = (а1,... ,аг; в1,..., в3) удовлетворяет следующим условиям:

аг Е 2, Е 2, аг — 3 Е 2, г = 1,...,Ь + в, ] = 1,...,в.

Для всех общих делителей й чисел Ь, в ни одно из соотношений а + ~ а или в + ^ & в не может иметь места.

Кроме того, не выполняются следующие условия: 1) если в = 0, тогда существуют х0,... ,хк-1 Е С такие, что

а + хо & (о, — 2,Х1, —Х1,... ,Хк-1, —Хк-А ,

2) если в > 0, 5 = 2д, тогда существуют х0,. . . ,хк+3-1 Е С такие, что любое а + хо & (о, -1 ,Х1, -XI,..., хк+д-1, -хк+д-1

в + хо & (хк+д, хк+д, . . . , xk+s-l, —хк+з-\)

или

а + хо & (х1, -х1,.. .,хк+д, -хк+д) ,

в + хо & — 1, хк+д+1, хк+д+1, . . . , xk+s-l, -xk+s-l^ ,

3) если в > 0, 5 = 2д + 1, тогда существуют х0,... ,хк+— Е С такие, что х0,..., хк+^1 Е С такие, что любое

а + хо & (0,х1, -х1, . . . , хк+д-1, -хк+д-1),

в + хо & ^-1, хк+д, хк+д, . . . , xk+s-l, —xk+s-l

Пусть ¡'(г), ¡"(г),..., /(r-l\z) — формальные производные вышеуказанного ряда /(г),

те

1» = £ ' м, 1» Е Пд, ау» Е Ъ*д, р =1,...,т.

3=1

Пусть

1) для любого р = 1,... ,т положительные рациональные числа Ту,» образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;

2) для любого р = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров ] таких, что число Ту+1,» не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, т1,»,..., Ту,» и чисел ту'» при любых ]' и при р' = р;

3) не существует номеров ], ]', р таких, что разница Ту,» - ту',» является целым числом.

Тогда элементы /(х\7»), где параметры пробегают значения X = 0,1,... ,т - 1, р = 1,... ,т, представляют собой глобально алгебраически независимые над элементы д.

1. Основные понятия и определения

В этой главе затрагиваются вопросы, которые можно считать общеизвестными. Они изложены в соответствии с [2].

1.1 Алгебраическая независимость

Определение 1.1.1. Пусть поле К — расширение поля Е, будем называть а Е К алгебраическим над Е элементом К, если существует отличный от нуля многочлен Р(х) с коэффициентами из поля Е такой, что Р(а) = 0, в противном случае он называется трансцендентным над Е элементом К.

Определение 1.1.2. Пусть поле К — расширение поля Е, будем называть а1 Е К, . . . , ап Е К алгебраически зависимыми над Е элементами К, если существует отличный от нуля многочлен Р(х1,...,хп) с коэффициентами из поля Е такой, что Р(а1,... ,ап) = 0, в противном случае они называются алгебраически независимыми над Е элементами К.

Можно заметить, что трансцендентность — это алгебраическая независимость в случае п =1. Поэтому, зачастую, этот случай отдельно не упоминается.

В кольцах с делителями нуля есть чересчур простые способы получить нуль, например (а, 0) х (0, Ь) = (0, 0). Поэтому следует сразу уточнить, что в работе используются понятия глобальная трансцендентность и глобальная алгебраическая независимость. Они более уместны при рассмотрении прямого произведения полей. Элементы называются глобально алгебраически независимыми, если условие алгебраической независимости выполняется для каждой компоненты. Более точные формулировки определений будут даны в соответствующих разделах.

1.2 Метрика, норма

Можно различными способами ввести понятие р-адического числа. Есть более алгебраический подход, который строит кольцо цепей гомоморфизмов. Есть аналитический подход: можно пополнить поле рациональных чисел по р-адической норме и получить поле р-адических чисел. Так или иначе, мы получим одни и те же числа, но всестороннее понимание изучаемых объектов дает больше возможностей для изучения и описания соотношений.

Некоторые моменты построения поля р-адических необходимо осветить более подробно, поскольку для формулировок теорем придется не только ввести новые определения и обозначения, но и обосновать корректность.

Определение 1.2.1. Пусть X — непустое множество, а функция й определена на множестве всех упорядоченных пар (х, у) и принимает неотрицательные вещественные значения. Тогда й называется метрикой в том и только том случае, если она обладает следующими свойствами.

1. ¿(х,у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

2. ¿(х, у) = ¿(у, х).

3. ¿(х, у) ^ ¿(х, г) + ¿(г, у) для всех г Е X.

Множество X с заданной на нем метрикой д называется метрическим пространством. Одно и то же множество X может допускать различные структуры метрического пространства.

Определение 1.2.2. Пусть Е — поле, тогда нормой называется отображение, обозначаемое через || ||, поля Е в множество неотрицательных вещественных чисел, которое обладает следующими свойствами.

1. | х| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.

2. ||х ■ у! = ||х| ■ Ы1

3. ||х + у|| ^ ||х|| + ||у||.

Будем говорить, что метрика d индуцирована нормой || ||, если метрика d определяется соотношением ¿(х,у) = ||х — у||. Легко проверить, что функция ¿, заданная этим соотношением, действительно будет метрикой.

Основной пример нормы на поле рациональных чисел Q дает абсолютная величина |х|. Индуцированная метрика ¿(х,у) = |х — у| совпадает с обычным расстоянием на числовой прямой.

Также введем понятия псевдонормы и неархимедовой псевдонормы.

Определение 1.2.3. Пусть К — кольцо. Псевдонормой называется отображение, обозначаемое через | | , кольца К в множество неотрицательных вещественных чисел, которое обладает следующими свойствами.

1. ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.

2. ||х ■ у1 ^ ||х| ■ Ш1

3. ||х ± уЦ ^ ||х|| + ||у||.

Если третье свойство выполняется в более сильной форме:

||х ± у! ^ тах(||х|, ¡у^^

то псевдонорма называется неархимедовой.

Как уже отмечалось, существует метрика, индуцированная абсолютной величиной, она является обычным расстоянием на числовой прямой. На вопрос о существовании других метрик на поле рациональных чисел отвечает теорема Островского, перед ее формулировкой надо упомянуть еще несколько фактов.

Определение 1.2.4. Пусть [ — некоторое простое число. Для произвольного ненулевого целого числа а положим

о^р a = m,

где m — кратность вхождения [ в разложение a на простые сомножители, т.е. наибольшее целое неотрицательное число, для которого

a = 0(шоё. '[1™).

Для произвольного ненулевого рационального числа д = | положим

ог^ д = ог^ а - о^р Ь. Функция д называется порядком числа д. Построим на О следующее отображение | |р:

, ротАрц, если х = 0;

Ыр

рОтАр ц ;

0, если х = 0.

Утверждение 1.2.5. Функция | |р является нормой на поле О.

Стоит отметить, что | |р является неархимедовой нормой, поскольку

|х ± У^ < max(|x|p, |y|p), 15

а пример архимедовой нормы дает абсолютная величина.

Для каждого метрического пространства (X, ¿) определено понятие последовательности Коши, она также называется фундаментальной последовательностью. Последовательность {а1,а2,а3,...} элементов пространства X называется последовательностью Коши, если для всякого положительного числа е найдется такой номер N, что ¿(ат, ап) < е при любых т > N и п > N.

По определению, две метрики на множестве X эквивалентны, если отвечающие им классы последовательностей Коши совпадают. Соответственно, две нормы эквивалентны, если они индуцируют эквивалентные метрики.

Утверждение 1.2.6. Пусть р Е (0,1). Если в определении | |р подставить р°Мрх вместо (1/р)отёр х, тогда мы получим неархимедову норму, эквивалентную | |р.

Обычной абсолютной величине | | также соответствует семейство эквивалентных ей архимедовых норм, а именно | |а, где 0 < а ^ 1.

Тривиальной нормой называется такая норма, что | 0| = 0 и | х| = 1 для всех х = 0.

Теорема 1.2.7 (Островский, см. [2], с. 12). Каждая нетривиальная норма || || на поле О эквивалентна абсолютной величине или | |р для некоторого простого р.

2. p-адические числа, g-адические числа

В этой главе затрагиваются менее известные понятия и факты. Изложение продолжает идти в соответствии с [2]. Ссылки на другие источники упоминаются отдельно.

2.1 Построение поля p-адических чисел

Пусть p — некоторое простое число. Пусть S — множество таких последовательностей {ai} рациональных чисел, что при любом е > 0 существует такое N, что |a — ai/lp < е при i, i' > N. Две такие последовательности {ai} и {bi}, называемые последовательностями Коши, считаются эквивалентными, если |ai — bi|p ^ 0 при i ^ то. Множество Qp, по определению, есть множество классов эквивалентности этих последовательностей Коши.

Пусть x G Q. Обозначим через {x} постоянную последовательность Коши, все члены которой равны x. Очевидно, {x} ~ {x'} тогда и только тогда, когда x = x'. Класс {0} обозначим просто через 0.

Определим норму | |p класса эквивалентности a как предел lim |ai|p, где {ai} —

i—у^о

некоторый представитель класса a. Этот предел существует.

1. Если a = 0, то lim |ai|p = 0 по определению.

i—те

2. Если a = 0, то для некоторого е > 0 и любого N существует iN > N с |aiN |p > е.

Действительно, если N выбрано настолько большим, что |ai — aу |p < е при i, i' > N, то |ai — aiN ^ < е для всех i > N. Так как |aiN |p > е, то |ai|p = |aiN |p по принципу равнобедренного треугольника. Поэтому |ai|p имеет постоянное значение |aiN |p при всех i > N, тогда предел lim |ai|p равен этому постоянному значению.

i—те

Следует отметить, что в отличие от процесса пополнения Q до R, при пополнении до Qp область возможных значений нормы не увеличивается, а остается прежней.

Пусть a и b — два класса эквивалентности рассматриваемых последовательностей Коши, а {ai} G a и {bi} G b — их произвольные представители. Определим a • b как класс эквивалентности последовательности Коши {aibi}. Если {ai} G a, {bi} G b — другие представители, то

|aibi — aib^p = |ai(bi — bi) + bi(ai — ai)|p ^ max(|ai(bi — bi)|p, |bi(ai — ai)|p).

При i ^ ж выражение lali(bli — b')lp стремится к |a|p ■ lim \b' — b'lp = 0, а выражение \bi(a'i — üi)lP стремится к |b|p ■ lim la' — a'lp = 0. Следовательно, {aib'} ~ {a'b'}.

Подобным же образом можно определить сумму двух классов эквивалентности последовательностей Коши, выбрав по последовательности в каждом из этих классов, сложив их почленно, а затем показав, что класс суммы зависит только от классов слагаемых. Аналогично определяется обратный класс относительно сложения.

Определяя обратный класс относительно умножения, нужно соблюдать осторожность, ибо в последовательности Коши могут встретиться нулевые члены. Однако легко увидеть, что каждая последовательность Коши эквивалентна некоторой последовательности Коши без нулевых членов, например, достаточно заменить все ai = 0 на a' = p'. Значит, можно рассмотреть последовательность {1/a'}, она будет последовательностью Коши, за исключением случая la'lP ^ 0, т.е. {a'} ~ {0}. Более того, если {a'} ~ {a'} и среди a', a' нет нулей, то, как легко доказать, {1/a'} ~ {1/a'}.

После этого нетрудно установить, что множество Qp классов эквивалентности последовательностей Коши вместе с введенными на нем операциями сложения, умножения и нахождения обратных элементов является полем.

Поле Q можно отождествить с подполем в Qp, которое состоит из классов, содержащих постоянные последовательности Коши.

Наконец, можно доказать полноту поля Qp. Пусть {aj}j=i,2,... — последовательность классов эквивалентности, являющаяся последовательностью Коши в Qp. Выберем в каждом члене aj этой последовательности по представителю, т.е. по последовательности рациональных чисел {aj'}i=i,2,.... Тогда, как легко показать, предел последовательности aj равен классу эквивалентности последовательности {ajj}j=i,2,....

Таким образом можно построить Qp — поле p-адических чисел, как множество классов эквивалентности последовательностей Коши.

2.2 Представление p-адических чисел в виде суммы ряда

Следующая теорема дает возможность воспринимать p-адические числа при помощи понятий более конкретных, чем класс эквивалентности последовательностей Коши. А именно, в виде сумм рядов, схожих с представлением чисел в p-ичной системе счисления.

Теорема 2.2.1 (см. [2], с. 24). Каждый класс эквивалентности a из Qp с Щр ^

1 содержит ровно одну последовательность Коши целых чисел [ai], обладающих следующими свойствами.

1. 0 ^ ai < pi при i = 1, 2,... .

2. ai = ai+i(modpi) при i = 1, 2,....

Если же p-адическое число a не удовлетворяет неравенству |a|p ^ 1, умножим a на подходящую степень pm числа p. Тогда новое p-адическое число a' = apm будет удовлетворять неравенству |a'|p ^ 1. Выберем затем в соответствии с теоремой последовательность [ai], представляющую a'. Тогда число a = a'p-m представляется последовательностью [ai] с ai = a!ip-m.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самсонов Алексей Сергеевич, 2024 год

Список литературы

[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд. доп. М.: Наука, 1985.

[2] Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции; пер. с англ.

B. В. Шокурова, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1982.

[3] Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в p-адической области. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005, Т. 11, №6, С. 221-230.

[4] Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады академии наук, 2014, Т. 459, №6, С. 677-679.

[5] Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. мат., 2014, Т. 78, №6,

C. 193-210.

[6] Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. унта, Сер.1, мат., мех., 2015, №1, С. 59-61.

[7] Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел // Чебы-шёвский сборник, 2015, Т. 16, вып. 1, С. 254-264.

[8] Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат., 2017, Т. 81, №2, С. 215-232.

[9] Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических f-рядов // Доклады академии наук, 2018, Т. 483, №3, С. 257-259.

[10] Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

[11] Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain // Amer. J. Math., 1966, V. 88, P. 279-307.

[12] Amice Y. Les nombers p-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975.

[13] Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2004, V. XIII, №2, P. 241-260.

[14] Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I // Arch. Math., 2002, V. 79, P. 345-352.

[15] Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II // ActaArithm., 2004, V. 113, №4, P. 309-326.

[16] Bundschuh P., Chirskii V. G. Estimating polynomials over Zp at points from Cp // Moscow Journ. of Comb. and Number Th., 2015, V. 5, iss. 1-2, P. 14-20.

[17] Chirskii V. G. Values of Analytic functions at points of Cp // Russian Journ. of Math. Physics, 2013, V. 20, №2, P. 149-154.

[18] Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tyeir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko // Russian Journ. of Math. Physics, 2017, V. 24, №2, P. 153-171.

[19] Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series // Doklady Mathematics, 2018, V. 98, №3, P. 589-591.

[20] Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journ. of Math. Physics, 2019, V. 26, №3, P. 286-305.

[21] Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric series // Russian Journ. of Math. Physics, 2020, V. 27, №2, P. 175-184.

[22] Escassut A. Transcendence order over Qp in Cp // J. Number Theory, 1983, V. 16, P. 395-402. (Correction) J. Number Theory, 1984, V. 19, P. 451.

[23] Lampert D. Algebraic p-adic expansions //J. Number Theory, 1986, V. 23, P. 279284.

[24] Mahler K. Uber transzendente p-adische Zahlen // Compos. Math. 1935, V. 2, P. 259275.

[25] Mahler K. p-adic numbers and their functions; second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

[26] Nishioka K. p-adic transcendental numbers // Proc. Amer. Math. Soc., 1990, V. 108, P. 39-41.

Работы автора по теме диссертации

[27] Самсонов А.С. Арифметические свойства элементов прямых произведений p-адических полей // Чебышев^ий сборник, 2020, т. 21, вып. 4, с. 227-242.

[28] Самсонов А.С. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей, II // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 236-256.

[29] Самсонов А.С. Об одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений д-адических функций // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 528-535.

[30] Самсонов А.С. Об алгебраической независимости некоторых чисел над кольцом д-адических чисел // Материалы международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2016» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2016.

[31] Самсонов А.С. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей // Материалы XVII международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященной столетию со дня рождения профессора Н. И. Фельдмана и девяностолетию со дня рождения профессоров А. И. Виноградова, А. В. Малышева и Б. Ф. Скубенко. Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л.Н. Толстого, 2019, с. 152-156.

[32] Самсонов А.С. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей // Материалы XVIII международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященной 100-летию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина. Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л.Н. Толстого, 2020, с. 212-215.

[33] Самсонов А.С. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей, II // Материалы XIX международной конференции «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященной двухсотлетию со дня рождения академика П. Л. Чебышева. Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л.Н. Толстого, 2021, с. 174-177.