Аппроксимативные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Аюпова, Елена Фаизовна

• Аюпова, Елена Фаизовна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аюпова, Елена Фаизовна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Приближенные методы решения одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром.

§1.1. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 1.2. Пространства Зигмунда и их свойства.

§1.3. Элементы теории приближения функций в пространствах

Зигмунда.

§1.4. Корректная постановка задачи.

§1.5. Приближенные методы решения.

1.5.1. Метод Галеркина.

1.5.2. Метод коллокаций.

1.5.3. Метод вырожденных ядер.

1.5.4. Метод механических квадратур.

§1.6. Приближенные методы решения. Продолжение.

1.6.1. Метод механических квадратур.

1.6.2. Итерационные методы.

1.6.3. Квадратурно-итерационные методы.

1.6.4. Проекционно-итеративный метод.

ГЛАВА 2. Приближенные методы решения двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическими ядрами.

§2.1. Постановка задачи и структура обратного оператора.

§2.2. Вспомогательные результаты.

§2.3. Итерационные методы.

§2.4. Метод механических кубатур.

§2.5. Кубатурно-итерационные методы.

§2.6. Общий проекционный метод.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимативные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода»

В процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., например, работы [12, 31, 34, 40, 44, 51, 55, 60, 68, 71, 78 - 80, 84, 92, 97, 99] и библиографию в них) возникают слабо сингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.) первого рода с логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора вида

1 2я 1 2я

I Г S — СУ 1 г

--In sin-x(<j)dcr-\--h(s,cr)x(cr)da - y(s); (0.1)

2я- * 2 2к {

In 0 л 2я2я

4 n о о су-s sin

In т-t sinx(a, r)d(j d-r + 2я2я ч--7г \ \ h{s,t,cr,T)x{cy,T)dadT = y{s,t), (0.2)

4 к J J о о здесь h{s,<j), X^j h{s^,<J,r), y(s,t) — известные непрерывные 2%-периодические функции по каждой из переменных, х(а), x(cr,t) — искомые функции, причем слабо сингулярные интегралы понимаются как несобственные.

Из теории таких уравнений (см., например, [9 - 10, 12, 32, 50, 67, 70, 78, 82 - 83, 88] и библиографию в них) следует, что они решаются точно лишь в весьма редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять регулярные, сингулярные и слабо сингулярные интегралы со сложными плотностями. В связи с этим для теории, и в особенности для приложений, проблема разработки приближенных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с соответствующим теоретическим обоснованием представляется важной актуальной задачей.

О результатах, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов, достаточно полную информацию можно найти, например, в монографиях [7, 10, 12, 26 -27, 31, 40, 55, 71, 78, 99], работах обзорного характера [22, 94], а также в диссертациях [3 - 4, 11, 33, 41 - 42, 44 - 45, 77, 86, 90]. В последующем обзоре затронем только те работы, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации.

Особенностью слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода является их принадлежность к классу некорректных задач, в связи с этим основную трудность при решении таких уравнений представляет не разработка приближенных методов, а их теоретическое обоснование.

Существует несколько подходов к решению указанных уравнений. Первый из них основан на методах решения некорректно поставленных задач, разработанных выдающимися математиками А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым и получивших дальнейшее развитие в работах В.Я.Арсенина, Г.М.Вайникко, В.В.Васина, В.Г.Романова, В.А.Морозова, и ряда других авторов (см., например, [8 - 10, 49 - 50, 60, 69, 88]). Особенно широко используются хорошо разработанные методы регуляризации, однако их применение при решении с.с.и.у. первого рода сопряжено с определенными трудностями, вызванными специфической структурой ядер этих интегральных уравнений, что приводит к очень трудоемким алгоритмам.

В работах М.М.Хапаева (мл.) (см., например, [91 - 92]) предлагается другой подход к решению интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью, основанный на обращении интегрального оператора с логарифмическим ядром. В этом случае теоретическое обоснование численных методов не представляет принципиальных трудностей, так как использование такого подхода приводит к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, которые решаются прямыми численными методами. Однако для практической реализации эти методы не удобны в связи с трудоемкостью алгоритмов.

В следующих подходах к решению обсуждаемых с.с.и.у. используется тот факт, что наличие в ядре уравнения логарифмической особенности позволяет непосредственно решать его прямыми численными методами, что является более эффективным со многих точек зрения. В то же время обоснование этих методов представляет существенную трудность, которая в ряде случаев до сих пор не преодолена.

Применение прямого численного метода коллокационного типа для решения с.с.и.у. первого рода с логарифмической особенностью в ядре было предложено А.Н.Тихоновым, В.И.Дмитриевым, Е.В.Захаровым (см., например, [39]). Этот метод впоследствии был назван методом саморегуляризации Тихонова. Дальнейшее развитие он получил в работах Т.Н.Галишниковой, А.С.Ильинского, В.В.Воронина, В.А.Цецохо (см., например, [13 - 14, 31, 39 - 40, 94]). В то же время несмотря на многочисленные приложения полного теоретического обоснования этот метод не получил.

Наиболее перспективным, на наш взгляд, является подход, основанный на корректной постановке задачи решения исходных уравнений с последующим применением аппроксимативных методов решения. Корректная постановка задачи возможна при подходящем выборе пары функциональных пространств: пространства искомых элементов и пространства правых частей. Тем самым решенной оказывается проблема академика А.Н.Тихонова саморегуляризации (в том числе оптимальной конечномерной саморегуляризации) некорректно поставленных задач, описываемых различными классами интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Исследованию приближенных методов решения указанных классов уравнений в условиях корректной постановки задачи посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством автора указанной методики Б.Г.Габдулхаева (см., например, работы, в том числе монографии и диссертации, [3 - 4, 11, 15

- 30, 33, 41, 42 - 43, 45 - 46, 74 - 77, 86, 90] и библиографию в них). Остановимся на некоторых результатах.

Для одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром в главной части интегрального оператора (0.1) в I главе [26] дана корректная постановка задачи его решения в пространствах квадратично суммируемых функций, приведены вычислительные схемы различных аппроксимативных методов и дано их теоретическое обоснование. Обоснование некоторых приближенных методов решения (0.1) дано также в диссертации Р.Т.Валеевой [11]. В основу исследований в этих работах было положено доказательство сходимости в пространстве квадратично суммируемых функций, равномерная сходимость и сходимость в пространстве гельдеровых функций получены как следствие сходимости в среднем. Диссертация А.В.Ожеговой [77] посвящена обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений непосредственно в равномерной метрике. В работе построена пара функциональных пространств, полученных в результате сужения пространства непрерывных функций, в которых задача решения исходного уравнения ставится корректно.

Отметим, что при обосновании приближенных методов в указанных работах используется специально разработанный Б.Г.Габдулхаевым вариант общей теории приближенных методов функционального анализа, включающий в себя теорию академика Л.В.Канторовича и развивающий ее в различных направлениях, обусловленных приложениями к широким классам приближенных методов решения общих линейных уравнений, задача решения которых может быть поставлена как корректно, так и некорректно (см. в [23], гл. I).

Вопросы приближенного решения одномерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с логарифмическим ядром рассматривались также в работах [13 - 14, 23, 27, 34, 42, 45, 53, 74 -76, 86, 93].

Многомерные, в частности двумерные, слабо сингулярные интегральные уравнения первого рода часто встречаются в прикладных задачах, однако вопросы их приближенного решения исследованы гораздо в меньшей степени по сравнению с аналогичными для одномерных с.с.и.у. Во многих работах, посвященных приближенному решению многомерных с.с.и.у. первого рода, вычислительные схемы прямых методов рассматриваются в различных классах функций (аналогично одномерному случаю), в то время как теоретическое обоснование, как правило, не проводится.

Вопросы единственности решения многомерных интегральных уравнений рассмотрены в работах Ю.Е.Аниконова [1 - 2] и Л.А.Сурай [86]. В диссертации [86] изложены также результаты по приближенному решению двумерного уравнения вида (0.2) методами наименьших квадратов, Галеркина, подобластей и методом механических кубатур. Кроме того, некоторые вопросы решения многомерных с.с.и.у., были рассмотрены в работах [16, 21, 27, 30, 44, 75, 77, 83, 90].

Численные методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью рассматривались и рядом зарубежных авторов (см., например, [96 - 102]).

Тем не менее, в рассматриваемой области все еще остается много нерешенных задач. Решению некоторых из них посвящена данная диссертационная работа.

Во-первых, автором предложена новая пара функциональных пространств Зигмунда, в которых обоснована корректность задачи решения рассматриваемых уравнений.

Во-вторых, доказаны полнота и несепарабельность этих пространств.

В-третьих, с помощью полученных результатов по теории приближения функций исследованы приближенные методы решения исходных уравнений в новой паре пространств.

В-четвертых, восполнены пробелы в обосновании известных приближенных методов решения указанных уравнений в ставших почти стандартными функциональных пространствах.

Основное внимание при этом уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [52], гл. XIV, будем понимать следующий круг вопросов:

1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравнений; при этом мы полностью следуем методике исследования аппроксимативных методов решения слабо сингулярных уравнений первого рода, специально разработанной в работах [15 - 30] Б.Г.Габдулхаева.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода. Они также могут быть применены при решении конкретных прикладных задач физики, механики, химии и математической физики, математические модели которых приводят к указанным выше уравнениям.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографического списка использованной литературы, состоящего из 112 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аюпова, Елена Фаизовна, 2000 год

1. Аниконов Ю.Е. О единственности решения многомерных интегральных уравнений первого рода // Неклассические задачи уравнений математической физики. —Новосибирск: Наука, 1982. — С. 10 - 12.

2. Аниконов Ю.Е. О многомерных интегральных уравнениях первого рода // Некорректные задачи математической физики и анализа. — Новосибирск: Наука, 1984. — С. 8 12.

3. Апайчева J1.A. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1986. — 119 с.

4. Ахметов С.М. О прямых методах решения регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс.канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1974. — 128 с.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961. — 936 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987. —600 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 с.

8. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1970. — 192 с.

9. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1982. — 109 с.

10. Вайникко Г.М., Педас А., Уба П. Методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1984. — 94 с.

11. Валеева Р.Т. Аппроксимативные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1995, — 108 с.

12. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. — 455 с.

13. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью // Математические проблемы геофизики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. — Вып. 4. —С. 212-228.

14. Воронин В.В., Цецохо В.А. Интерполяционный метод решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 216, №3. — С. 533 537.

15. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 179, №3. — С. 515 517.

16. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов, I и II // Труды Матем. ин-та АН Болгарии. — 1970, т. 11, с. 181-196; Изв. вузов Матем. — 1975, №4, с. 3 13.

17. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I IV // Изв. вузов. Матем. — 1971, №11, с. 33 - 44; 1971, №12, с. 28 -38; 1972, №4, с. 32 - 43; — 1974, №3, с. 18-31.

18. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений // Труды Междун. конф. по конструктивной теории функций. Варна, 1970. — София: Изд-во Болг. АН, 1972. — С. 35 49.

19. Габдулхаев Б.Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур // Изв. вузов. Матем. — 1972. — №12. — С. 21 -39.

20. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация в Н-пространствах и приложения // Докл. АН СССР. — 1975. — Т. 223, №6. — С. 1293 1296.

21. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений, I и II // Изв. вузов. Матем. — 1975, №7, С. 30 -41; 1976, №1, с. 30-41.

22. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений слабо сингулярных интегральных уравнений // Труды Междун. конф. по теории приближения функций. Калуга, 1975. — М.: Наука, 1977. — С. 89 93.

23. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980. — 232 с.

24. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Матем. анализ.М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. —Вып. 18. —С. 251 307.

25. Габдулхаев Б.Г. Сходимость и устойчивость общего проекционного метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений 1-рода // Докл. Всесоюзн. симп. По методу дискретных особенностей в задачах матем. физики. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1989. — С. 59 62.

26. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. — Казань: Изд-во Казанского ун-та,1994. —288 с.

27. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. — Казань: Изд-во Казанского ун-та,1995, —230 с.

28. Габдулхаев Б.Г., Ермолаева Л.Б. Интерполяционные полиномы Лагранжа в пространствах Соболева // Изв. вузов. Матем. — 1997. — №5. — С. 7-19.

29. Габдулхаев Б.Г., Сухов Р.Н. К обоснованию методов квадратур и кубатур для сингулярных интегральных уравнений // Конструктивная теория функций и функц. анализ, вып. 8. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992.С. 33-51.

30. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. — 208 с.

31. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 638 с.

32. Горлов В.Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1977. — 132 с.

33. Гусейнов Э.А., Ильинский А.С. Интегральные уравнения I-рода с логарифмической особенностью в ядре и их применение в задачах дифракции на тонких экранах // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.1987. — Том 27, №7. — С. 1050 1057.

34. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы (общая теория). — М.: ИЛ, 1962. —896 с.

35. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы (спектральная теория).М.-.ИЛ, 1966. —1064 с.

36. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. —184 с.

37. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 490 с.

38. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений первого рода // Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. — Вып. 10. — С. 49 54.

39. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. —М.: Изд-во МГУ, 1987. — 167 с.

40. Душков П.Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1973. — 160 с.

41. Еникеева С.Р. Прямые методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1998. — 107 с.

42. Еременко С.В. Исследование интегральных уравнений некоторых двумерных краевых задач и их численное решение: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Тбилиси, 1990. — 117 с.

43. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений методом подобластей: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1987, — 154 с.

44. Ермолаева Л.Б. Об одной квадратурной формуле // Изв. вузов. Матем. — 2000, —№3. —С. 25 -28.

45. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 2. — М.: Мир, 1965. — 538 с.

46. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. — Кишинев: Штиинца, 1991. — 134 с.

47. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1968. — 288 с.

48. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

49. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. — М.: Наука, 1973. —303 с.

50. Канторович JI.B., Акилов Т.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977, —742 с.

51. Килбас А.А. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическими ядрами // Научные труды юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию АН БССР Ф.Д.Гахова. — Минск: Изд-во АН БССР, 1985. — С. 57 64.

52. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

53. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. —М.: Мир, 1987. — 311 с.

54. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. — М.: Наука, 1987. —424 с.

55. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 456 с.

56. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. — М.: Наука, 1966. — 500 с.

57. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1968.

58. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. —М.: Наука, 1980. — 286 с.

59. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.: Янус, 1995. — 520 с.

60. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и интегральные уравнения // Вычисл. процессы и системы. — 1990, вып. 7. — С. 94 278.

61. Лучка А.Ю. Аппроксимативно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — Киев: Наук, думка, 1980. —264 с.

62. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук, думка, 1993. —288 с.

63. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. —Киев: Наук, думка, 1985. — 240 с.

64. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965. —520 с.

65. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. —М.: Физматгиз, 1962. — 254 с.

66. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. —512 с.

67. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 239 с.

68. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968, —512 с.

69. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наук, думка, 1989. — 256 с.

70. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. — М.: Гостехиздат, 1949. —688 с.

71. Никольский С.Н. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1974. — 224 с.

72. Ожегова А.В. О приближенном решении интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью // Исследования по краевым задачам и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. — Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1992. — С. 114 121.

73. Ожегова А.В. Приближенное решение двумерного интегрального уравнения 1 рода с логарифмической особенностью // Лобачевский исоврем, геом.: Междунар. науч. конф., Казань, 18-22 августа, 1992: Тез. Докл. 4.2. — Казань, 1992. — С. 93.

74. Ожегова А.В. Приближенные методы решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью / Казанский ун-т. — Казань, 1994. — 13 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.07.94, № 1730-В94.

75. Ожегова А.В. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1996.— 92 с.

76. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наукова думка, 1984. — 344 с.

77. Партон Б.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. — М.: Наука, 1977. —312 с.

78. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. — Казань: Изд-во Казанск. унта, 1987. — 158 с.

79. Привалов А.А. Теория интерполирования функций. В 2-х книгах. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, кн. 1, 1990, с. 1 229; кн. 2, 1990, с. 231 -422.

80. Самко С.Г. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическим ядром // Методы отображений. — Грозный, 1976. — С. 41 69.

81. Самко С.Г. Одномерные и многомерные интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью в ядре // Науч. тр. Юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию акад. АН БССР Ф.Д. Гахова. — Минск: Изд-во АН БССР, 1985. — С. 103 115.

82. Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции. — Владивосток: Даль-наука, 1995. — 203 с.

83. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Избранные труды: Математика. — М.: Наука. Физматлит, 1998, — 384 с.

84. Сурай JI.A. Прямые методы решения интегральных уравнений с логарифмической особенностью: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1994, — 131 с.

85. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. —М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.

86. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. —286 с.

87. Функциональный анализ (сер. «Справочная математическая библиотека»). — М.: Наука, 1972. — 544 с.

88. Хайруллина A.M. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1987. — 127 с.

89. Хапаев М.М.(мл.) О некоторых методах регуляризации и численного решения интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Матем. — 1983. —№7. —С. 81-85.

90. Хапаев М.М.(мл.) Численное решение одномерных интегральных уравнений скин-эффекта и теория потенциала: Дисс. канд. физ.-мат. наук.—М., 1983. — 120 с.

91. Храпко Р.С. Метод квадратур для интегральных уравнений I рода с логарифмической особенностью в ядре // Докл. АН Украины. — 1993, — №5. — С.36 40.

92. Цецохо В.А. Некоторые вопросы обоснования численных методов решения интегральных уравнений первого рода со слабыми особенностями // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. — Новосибирск: Наука, 1983. — С. 137 142.

93. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. — Казань: УНИПРЕСС, 1998. — 488 с.

94. Christiansen, S. Modification of some first kind integral equations with logarithmic kernel to improve numerical conditioning // Computing. — 1985. — v.34,№3. — P. 221 -242.

95. Estrada, R., Kanval, P. Integral equations with logarithmic kernels // IMA J. Appl. Math. — 1989. —v. 53, №2. —P. 133 155.

96. Frenkel, A. A Chebyshev expansion of singular integral equation with a logarithmic kernel // J. Comput. Phys. — 1983/ — v. 51, №2. — P. 326 334.

97. Kabir H., Madenci E., Ortega A. Numerical solution of integral equations with logarithmic- Cauchy- and Hadamard-type singularities // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1998. — v. 41, №4. — P. 617 638.

98. Мифтахова Е.Ф. Решение слабо сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур / Казанский ун-т. — Казань, 1998. — 20 с. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 395-В98.

99. Аюпова Е.Ф. Методы решения двумерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Том 5. Актуальные проблемы математики и механики. — Казань: УНИПРЕСС, 2000. — С. 28 30.