Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хайруллина, Лилия Эмитовна

• Хайруллина, Лилия Эмитовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хайруллина, Лилия Эмитовна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ НА ОТРЕЗКЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

§1 . Случай решения, неограниченного на обоих концах

1.1. Корректная постановка задачи на паре пространств , ДО = ^=,<7(0 = VI"17

1.2. О приближениях полиномами в пространстве Уд

1.3. Общий проекционный метод

1.4. Метод ортогональных многочленов

1.5. Метод коллокации

1.6. Метод подобластей

1.7. Метод механических квадратур

1.8. Проекционно-итеративный метод

1.9. Об устойчивости и обусловленности приближенных методов

§2. Случай решения, ограниченного на обоих концах

2.1. Корректная постановка задачи на паре пространств (

/?(0 = л/Г7?, 9(0 = -т=

VI — /

2.2. Конструктивные оценки в пространстве Уд

2.3. Равномерные оценки погрешности прямых методов

2.4. Аппроксимативно-итеративный метод

2.5. О сходимости невязок приближенных методов

§3. Случай решения, ограниченного на одном конце и неограниченного на другом

3.1. Корректная постановка задачи на паре пространств ), р =

3.2. О приближениях интерполяционными полиномами и отрезками рядов Фурье в пространстве Уа

3.3. Проекционные методы и их обоснование

ГЛАВА II. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

§1. Класс решений, ограниченных на двух смежных сторонах квадрата [-1; 1 ] и неограниченных на двух других его сторонах

1.1. О корректности задачи

1.2. Элементы теории приближения рядами Фурье по ортогональным полиномам

1.3. Метод ортогональных многочленов

§2. Класс решений, ограниченных на одной стороне квадрата [-1; I]2 и неограниченных на трех других

2.1. Об обратимости сингулярного оператора

2.2. Метод моментов и его обоснование

§3. Класс решений, ограниченных на трех смежных сторонах квадрата [-1; 1] и неограниченных на другой его стороне

3.1. Корректная постановка задачи

3.2. Метод ортогональных многочленов и его сходимость

ЛИТЕРАТУРА

1+1 ь-г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равномерная сходимость приближенных решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена теоретическому обоснованию в пространстве непрерывных функций приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром Коши

i i

к<р = - [ +1 Г h{tj т){р{т)Лт = m щ < (0.1)

7Г J Т — t 7Т J

-1 -1

-1 -1

1 1

J j 9(s, i, <T, т)ф{<т, r)dadr = y{s, t), |s| < 1, |t| < 1, (0.2)

-i -l

где h(t, t), g(s, t, <r, r), f(t),y(s} t) - известные непрерывные функции в своих областях определения, ф(о,т) - искомые функции, а сингулярные интегралы (с.и.)

-i -i

понимаются в смысле главного значения по Коши.

Сингулярные интегральные уравнения (кратко: с.и.у.) вида (0.1), (0.2) находят широкое применение в задачах теории упругости, аэродинамики, электродинамики, теории автоматического управления, квантовой механики и других областях математической физики и техники (см. [4, 6, 23, 26-28, 32, 33, 41, 45, 52 - 55, 58] и библиографию в них).

Теория таких уравнений достаточно хорошо разработана. Она изложена в известных монографиях Н.И. Мусхелишвили [48], Ф.Д. Гахова [18], Гох-берга И.Ц. и Крупника И.Я. [19], Пресдорфа 3. [57]. Из этой теории следует, что найти точное решение с.и.у. (0.1) и (0.2) в замкнутой форме удается

лишь в отдельных случаях, причем для получения числового результата приходится вычислять регулярные и сингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому для теории и, в особенности, для приложений большое значение имеют разработка приближенных методов их решения с последующим теоретическим обоснованием.

К настоящему моменту получено значительное число результатов в области приближенного решения с.и.у. (0.1) и (0.2). Об итогах исследований, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов достаточно полную информацию можно найти, например, в монографиях [3, 5, 14, 15, 21, 30, 41, 83], в обзорных работах [12, 29, 64], частично в диссертациях [24, 25, 56, 62]. Однако и сегодня интерес к исследованиям в области приближенных методов решения указанных уравнений не ослабевает. При этом в области аппроксимативных методов решения с.и.у. остается еще много нерешенных задач. Некоторым из них и посвящена данная диссертация.

Отметим, что основная трудность при решении сингулярных интегральных уравнений первого рода (0.1) и (0.2) связана с некорректностью задачи их решения на многих парах функциональных пространств, в том числе и на паре пространств непрерывных функций, что вызвано, прежде всего, неограниченностью как исходного, так и обратного сингулярных операторов в этих пространствах [2]. Это вызывает определенные сложности при численном решении уравнений и, особенно, при теоретическом обосновании аппроксимативных методов.

Существует несколько подходов к решению указанной проблемы. Первый из них был разработан Тихоновым А.Н., Лаврентьевым М.М., Ивановым В.К. и развит в работах ряда других авторов [7, 31, 38, 39, 47, 61, 63]. Он основан на некорректной постановке задачи и решении ее соответствующими методами решения некорректно поставленных задач. Особенно широко используется метод регуляризации, применение которого сводится к минимизации некоторого функционала.

В 50-х годах прошлого столетия удалось построить удобный в реализации на ЭВМ метод получения устойчивого численного решения, отличный

от употребляемых форм метода регуляризации - метод дискретных вихрей [1]. Его идея возникла в работах Белоцерковского С.М. по аэродинамике [4]. Метод дискретных вихрей является одним из вариантов метода механических квадратур - к сингулярному интегралу применяются специальные квадратурные формулы типа прямоугольников. Математическое обоснование данного метода было получено Лифановым И.К. и Полонским Я.Е. [42]. Доказано [3], что метод дискретных вихрей является методом регуляризации численного решения некорректного в равномерной метрике с.и.у. первого рода, причем регуляризация получается за счет выбора и взаимного расположения двух множеств точек, в точках одного из которых будут искомые решения, а в точках другого - правые части. Приближенному решению с.и.у. первого рода методом дискретных вихрей посвящены также работы [21, 40, 43, 45, 46].

Другой, на наш взгляд, конструктивный подход основан на установлении корректной постановки задачи решения исходного уравнения с последующим применением аппроксимативных методов решения. То есть ставится задача отыскания по заданному пространству искомых элементов X такого пространства правых частей У (или наоборот), чтобы сингулярный оператор был нормально разрешим из X в У. В данной диссертационной работе применяется эта методика исследования и за основу берутся пространства непрерывных функций. В дальнейшем это позволяет достичь цели данной работы, а именно, получение равномерных оценок погрешностей различных аппроксимативных методов.

Указанный подход для решения с.и.у впервые начали использовать во второй половине прошлого столетия. Ивановым В.В. [30] были введены специальные пространства ^(7) (пространства Иванова), являющиеся сужениями пространства 27г-периодических непрерывных функций, в которых сингулярный оператор с ядром Коши на единичной окружности и обратный к нему являлись ограниченными. Позднее Габдулхаев Б.Г. и Хазири-ши Э.О. в статье [17] предложили шкалу банаховых пространств И-р(Г). 1 < р < оо, которые в дальнейшем использовались для теоретического обоснования приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений на простых замкнутых контурах.

Что касается непосредственно рассматриваемых уравнений (0.1) и (0.2), то к настоящему времени корректность задачи их решения установлена на парах пространств гельдеровых функций и в весовых пространствах Лебега (см., напр., [10, 14, 16, 22, 24, 25, 75]), и обоснование приближенных методов решения указанных уравнений ведется в этих пространствах. Так, в работе Джишкариани A.B. [22] применяется вариант метода Бубнова-Галеркина. Доказывается существование единственного решения и сходимость приближенного решения к точному в пространствах квадратично-суммируемых с весом функций. В работе Габдулхаева Б.Г. и Душкова П.Н. [16] уравнение (0.1) решается приближенно методами интерполяционного типа, обоснование которых ведется также в весовых пространствах 1/2. В диссертации Ермолаевой Л.Б. [25] с помощью статьи [9] дано обоснование метода подобластей с алгебраическими координатными функциями для уравнения (0.1) и установлена сходимость в среднем для одного класса решений. Наиболее полно все методы для различных классов решений рассмотрены в монографии Габдулхаева Б.Г. [14]. Доказана сходимость, устойчивость известных прямых и проекционных методов и получены среднеквадратические оценки погрешностей приближенных решений. Для метода механических квадратур при условии, что правая часть и регулярное ядро из класса Гельдера, были получены равномерные оценки. При этом алгоритм доказательства оказался весьма трудоемким. В статье Ожеговой A.B. [51] в зависимости от индекса уравнения (0.1) введены пары весовых пространств, являющиеся сужением пространства суммируемых функций. Доказана корректность рассматриваемого уравнения (0.1) на этой паре пространств. Установлены достаточные условия сходимости проекционного метода в интегральной метрике.

Что касается многомерных с.и.у. вида (0.2), то можно отметить, что численные методы для таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработаны, однако их теоретическое обоснование, так же, как и для одномерного случая, ведется в основном в пространствах Гельдера, либо в пространстве квадратично-суммируемых функций [11, 40, 41, 66-69].

В работах [40, 66] решается двумерное сингулярное интегральное урав-

нение с ядрами Коши

II

/(5, a), seD и a£D2, (0.3)

(Z - s)(ri - (Г)

D

где D — D1 х D25 D\,D2 - отрезки, системы непересекающихся отрезков или окружности. В [41] с.и.у. с кратными интегралами с ядрами Коши вида (0.3) решается аналитически и приближенно методом дискретных вихрей. В работе Шешко М.А., Мастяницы B.C., Расолько Г.А. [72] на основании формул обращения оператора, задаваемого левой частью уравнения (0.3), предлагается метод приближенного решения с.и.у. вида (0.2), в котором регулярное ядро и правая часть по каждой из переменных удовлетворяют условию Гельдера. Метод заключается в построении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) путем замены и обращения с.и. Отмечается равносильность такой процедуры приближенному решению регуля-ризованного уравнения по методу механических кубатур.

В диссертации Хайруллиной A.M. [62] для двумерных с.и.у. с ядрами Коши предложены вычислительные схемы проекционных методов и их теоретическое обоснование в весовых пространствах среднеквадратических функций.

Интересной, на наш взгляд, является работа Габдулхаева Б.Г. и Вале-евой Р.Т. [8], в которой для исследования двумерного с.и.у (0.2) впервые используется теория двойных рядов Фурье по многочленам Чебышева I и II родов. В этой работе для одного класса решений предлагается явное представление решения этого уравнения в терминах двумерных рядов Фурье, вычисляется норма сингулярного оператора и обратного к нему в пространстве квадратично-суммируемых функций.

Численным методам решения интегральных уравнений первого рода с ядром Коши посвящены также работы [34, 44, 59, 65] и исследования ряда зарубежных авторов (см., напр., [70 - 74, 76 - 85]).

Несмотря на такое множество работ, вопрос исследования сходимости приближенных решений с.и.у. (0.1) и (0.2) непосредственно в равномерной метрике до сих пор по существу оставался открытым. Данная диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.

В данной работе для различных классов решений уравнений (0.1) и (0.2) автором предложены новые пары пространств искомых элементов и правых частей, являющихся сужениями пространства непрерывных функций, в которых доказана корректность задачи решения рассматриваемых сингулярных уравнений и установлены оценки норм сингулярных и обратных к ним операторов. Следует отметить, что одно из пространств в этих парах было предложено в диссертации научного руководителя Ожеговой A.B. [50], но для исследования интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью в ядре. Во введенных пространствах автором разработаны элементы конструктивной теории функций. Это позволило теоретически обосновать различные аппроксимативные методы решения и установить равномерные оценки погрешности приближенных решений.

Под теоретическим обоснованием приближенных методов, следуя Л.В. Канторовичу [35], будем понимать следующий круг вопросов:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения;

б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных;

г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимативных методов.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из конструктивной теории функций [20, 49, 60], общей теории приближенных методов [9, 13, 30, 35, 36, 37], функционального анализа [35] и теории сингулярных интегральных уравнений [18, 19, 48, 57]. При теоретическом обосновании приближенных методов автор следует методике исследования аппроксимативных методов решения с.и.у первого рода с ядром Коши, предложенной Габдулхаевым Б.Г. в монографии [14]. На выбор пространств оказали влияние работа Иванова В.В. [29], статья Габдулхаева Б.Г., Хазириши Э.О. [17], диссертация Ожеговой A.B. [50].

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней резуль-

таты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, а также при решении конкретных прикладных задач физики, механики и математической физики, сводящихся к указанным уравнениям. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка использованной литературы.

Во введении обосновывается тема исследований, дается обзор используемой литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание полученных автором результатов.

Первая глава (§§1-3) посвящена приближенным методам решения с.и.у. первого рода с ядром Коши на отрезке вещественной оси вида (0.1) в различных классах решений.

В параграфе 1 рассмотрен класс решений, неограниченных на обоих концах отрезка [—1,1]. Параграф состоит из нескольких пунктов.

В пункте 1.1 вводятся линейные нормированные весовые пространства Хр[-1,1]иУд[-1,1], р = р(г) = ^, д = = ^.

Хр = Хр[— 1,1] - пространство непрерывных на [-1,1] функций х(£), удовлетворяющих условию

1

J р(г)ж(*)<й = О,

-1

для которых с.и. -щ1(рх; £) является непрерывной функцией на (-1, 1), допускающей непрерывное продолжение на концы отрезка интегрирования.

Уд = Уд[—1,1] - пространство непрерывных на [-1,1] функций f(t) таких, что с.и. I{qf\ £) является непрерывной функцией.

В этих пространствах введены следующие нормы

1Х11х0 |М1с +

-1(рх) Р

, х £ Хр.;

11Ли = 1к/11с + 11ад)11с /еУв,

где

\х\\с — тах |а;(£)|. -1<г<1

Установлена непрерывная обратимость сингулярного оператора

Я : X, -> У„

Зх=1 }рШт)Лт

7Г У т £

-1

и справедливость равенств

= Ц^Цу^хр =

Пространства Хр и Уд являются полными.

Установлены достаточные условия корректности задачи решения уравнения (0.1).

В пункте 1.2 получены оценки норм известных полиномиальных операторов и установлены их аппроксимативные свойства в пространстве Уд.

Пусть Ф^ - оператор Фурье, ставящий в соответствие любой функции ср Е Ь[— 1,1] ее отрезок ряда Фурье

п

по полиномам Чебышева II рода Uk(t) = sin(fc+x Vccosf; ^ = 0,1,..., где

к=0

sin(i

VT^W

ск(^Р) ~ я f Vl — т2(р(т)1/к(т)(1т - коэффициенты Фурье-Чебышева. -1

Доказана

Лемма 1.2. Для любой функции <р Е С[— 1,1] справедлива оценка

НфпИ1у9 < (5 + 31пп)||И1с, neN.

Если р Е Уя, то

У-^\\Yq = О^МЫп + J^Mdij, nEN,

где Еп((р) - наилучшее равномерное приближение функции ip(t) алгебраическими полиномами порядка не выше п, u(ip; £) - модуль непрерывности функции <p(t) с шагом S Е (0,2].

Лемма 1.3. Для любой функции (р EYq справедлива оценка

||р-ф£И1у9<(4 + 1п п)ЕМ+

оо

+ ]Г ((4 + 2(2Л; - 1) In 2 + 4 In п)) E2k-in(<p). k=1

Через WrHa = Wr//a[—1.1] обозначим множество функций, имеющих непрерывную производную r-го порядка, удовлетворяющую условию Гель-дера с показателем ск, 0 < а < 1, г > 0.

Через WrM = WrM[—1,1] обозначим множество функций, имеющих непрерывную производную r-го порядка, удовлетворяющую неравенству |ж(г)(«)| < М, где М = const, а г > 0 - произвольно фиксированное действительное число.

Через Нгш[— 1; 1] обозначим множество функций, имеющих непрерывную r-ую производную, модуль непрерывности которой не превосходит заданного модуля непрерывности и — cj(ct), и € (0,2], г > 0.

Установлена

Лемма 1.4. Если (р £ WrHa[— 1,1], то справедливо соотношение

II* - = о (££) .

Если (р Е WrM[—1,1], то справедливо соотношение

ifc/m же (р € H[j [— 1; 1]; то

Пусть Ln(p = i) - интерполяционный полином Лагранжа функции € С[— 1,1] по системе узлов

2k+l

h = cos-——7Г, fc = 0,n. in + z

Доказана

Лемма 1.5. Для любой функции р 6 С[— 1,1] справедлива оценка „г „ /12 6, 2(2п + 2) IV. и

Му, < (- + - ь + - Ыс■

4 \ 7Г 7Г 7Г П/

Если р ЕУЧ, то

' - Ьп<р\\У9 = О | 1п пЕМ + I 1 .

о

Следствие. Если <р> 6 WrHa[—1,1], то справедливо соотношение

Inn \

ll^-^llr, =0(к

пг+а

Если р> Е \¥ГМ[— 1,1]; то справедливо соотношение

II? - ьми = о .

Если же <р £ Ны[— 1; 1], то

Пусть Пп оператор метода подобластей, ставящий в соответствие любой функции <р Е С[— 1,1] алгебраический полином П^^в), однозначно определяющийся из условий

J П„(</?; s)ds — J (p(s)ds, sj = cos

2j + l_ 2n + 2

7Г, J = О, П.

Лемма 1.6. Для любой функции р> Е С[— 1,1] справедлива оценка

||П„Ик = О (х/п) |М1с-

.Ео/ш ^ £ —1,1], то справедливо соотношение

nr+a-i

Полученные в леммах 1.2 - 1.6 результаты позволили теоретически обосновать известные аппроксимативные методы рассматриваемых с.и.у. Кроме того, эти результаты в дальнейшем могут быть использованы для исследования других классов уравнений.

В пункте 1.3 с.и.у. (0.1) решается с помощью общего проекционного метода, согласно которому приближенное решение исходного уравнения определяется как точное решение приближенного функционального уравнения

Кпхп — РпКхп — Зхп + РгУХп — Рп1{%п £ Нп С Хр, Рп/ £ Нп-1 с У9),

Нп - множество алгебраических многочленов степени не выше п, Рп- некоторый линейный оператор, отображающий пространство Уд в подпространство Нп.

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия:

а) с.и.у. (1.1) однозначно разрешимо в пространстве Хр при любой правой части /(¿) из Уч;

б) ядро /¿(¿, т) таково, что оператор V : Хр —> Уч вполне непрерывен;

в) операторы = Рп и Рп —Е сильно в Уя, где Е - единичный оператор.

Тогда, начиная с некоторого п £ IV, аппроксимирующие уравнения также однозначно разрешимы и приближенные решения х*п — K~1Pnf сходятся к точному х* = K~1f со скоростью

В теореме 1.4 установлена скорость сходимости общего проекционного метода в терминах наилучшего приближения функций алгебраическими полиномами в пространстве Уд.

В пунктах 1.4-1.6 рассмотрены и теоретически обоснованы известные вычислительные схемы методов ортогональных многочленов, коллокации

где

1

-1

и подобластей решения уравнения (0.1), являющихся конкретными реализациями общего проекционного метода.

Для метода ортогональных многочленов справедлива

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия:

а) с.и.у. (1.1) однозначно разрешимо в пространстве Хр при любой правой части f(t) из Yq;

б) функция f(t) Е WrHa, ядро h(t,r) G WrHa no переменной t равномерно относительно т, 0 < а < 1, г > 0.

Тогда, начиная с некоторого п £ N, система линейных алгебраических уравнений метода ортогональных многочленов имеет единственное решение {сх%}, к = 1,п. Приближенные решения

п

=

к=1

сходятся к точному х* (t) равномерно со скоростью

с = 0<а<1, г>0.

Для этого метода в теореме 1.6 доказана сходимость невязок приближенных решений.

Теорема 1.6. Пусть ядро h(t,r) по переменной t и правая часть f(t) с.и.у. (0.1) удовлетворяет условию Дини-Липшица. Тогда в условиях теоремы 1.5 невязка rn(t) = f(t) — K(x*n]t), —1 < t < 1, метода ортогональных многочленов решения с.и.у. (1.1) сходится равномерно, причем

Iknll< (4 + inn)(&п(}1) + ад)),

где - частное наилучшее равномерное приближение функции h(t, т)

по переменной t алгебраическими полиномами порядка не выше п.

В пункте 1.7 установлена равномерная сходимость метода механических квадратур решения уравнения (0.1).

В пункте 1.8 рассмотрен проекционно-итеративный метод решения уравнения (0.1). Доказана теорема о его сходимости, получены оценки погрешности.

Пункт 1.9 посвящен исследованию устойчивости и обусловленности рассмотренных выше приближенных методов.

Теорема 1.11. В условиях теорем 1.5, 1.7, 1.8, 1.9 справедливы утверждения:

а) методы ортогональных многочленов, коллокации, подобластей и механических квадратур устойчивы относительно малых возмущений элементов соответствующих аппроксимирующих СЛАУ;

б) из хорошей обусловленности точного с.и.у. (0.1) следует хорошая обусловленность соответствующих аппроксимирующих уравнений исследованных методов.

В параграфе 2 исследуется случай решения, ограниченного на обоих концах отрезка. Параграф состоит из 5 пунктов.

Пункт 2.1 посвящен корректной постановке задачи, где в качестве пространств искомых элементов и правых частей вводятся новые пространства

Х„ И Уд.

Хр = Хр[—1,1] - пространство непрерывных на [-1, 1] функций для которых сингулярный интеграл 1{рх; ¿) также является непрерывной функцией, р = р{{) = \/1 — £2 •

Уд = У9[-1,1] - пространство непрерывных на [-1, 1] функций f(t) таких, что ¿) является непрерывной функцией на (-1, 1), допускающей непрерывное продолжение на концы отрезка интегрирования, где д = = -щ и выполняется условие

¡т-у^й^р.

-1

Нормы в этих пространствах определены соответственно следующим образом:

ЫхР = \\Рх\\с + ^ е хр-,

с +

\Пя/)

/еУ„.

В лемме 2.1 установлена непрерывная обратимость сингулярного интегрального оператора на введенной паре пространств.

В пункте 2.2 получены оценки, характеризующие аппроксимативные свойства операторов Фурье по полиномам Чебышева первого рода, операторов Лагранжа и подобластей в пространстве Yq.

Установленные в пункте 2.2 оценки, имеющие и самостоятельный интерес, позволили теоретически обосновать в пункте 2.3 известные вычислительные схемы методов ортогональных многочленов, коллокаций, подобластей, механических квадратур и установить равномерные оценки погрешности приближенных решений.

В пункте 2.4 исследован аппроксимативно-итеративный метод, позволяющий уточнять приближенное решение, найденное прямым методом.

Пункт 2.5 посвящен установлению скорости сходимости к нулю невязки метода ортогональных многочленов.

В §3 рассматривается случай решения, ограниченного на одном конце отрезка [-1, 1] и неограниченного на другом.

Пункт 3.1 посвящен выбору пространств, в которых задача решения уравнения (0.1) будет корректно поставлена. Показано, что в качестве таких пространств могут быть выбраны следующие.

Пусть Хр - пространство непрерывных на [-1,1] функций x(t), для которых сингулярный интеграл у/1 — tl(px; t) является непрерывной функцией на [-1, 1), допускающей непрерывное продолжение в точку t = 1. Здесь

р = />«) = /Щ-

В качестве Yq выбрано пространство непрерывных на [-1, 1] функций f(t) таких, что у/1 + tl(qf; t) является непрерывной функцией на (-1, 1], допускающей непрерывное продолжение в точку t = —1, q = д(т) =

Нормы в этих пространствах определены следующим образом: Ыхр = IIVT+teL + \Wl=il(px)\\c, Жехр; \\f\\yq = \\VT^tfWc + \\y/TTti(qf)\\c, f e Yg.

В пункте 3.2 в пространстве правых частей Yq установлены оценки приближения функций отрезками рядов Фурье по полиномам, ортогональным

с весом q(t) на [—1,1], и интерполяционными полиномами Лагранжа. Эти оценки позволили в пункте 3.3 доказать сходимость методов ортогональных многочленов и коллокаций и установить скорости их сходимости в равномерной метрике.

Вторая глава посвящена приближенному решению многомерных сингулярных интегральных уравнений первого рода вида (0.2). Как и в одномерном случае, задача решения уравнения (0.2) является некорректно поставленной в пространстве непрерывных функций. Однако подбор специальных пространств правых частей и искомых элементов дает возможность поставить задачу корректно. В работе рассмотрены три класса решений. Результаты для других классов решений могут быть получены аналогично.

В параграфе 1 рассмотрен класс решений, ограниченных на двух смежных сторонах квадрата [—1,1]2 и неограниченных на двух других его сторонах. Решение уравнения ищется в виде ^(s,i) = p(s,t)x(s,t), где x(s,t) - новая искомая функция, а р = p(s, t) = -y/jzf y^f.

Для корректной постановки задачи здесь вводятся следующие линейные нормированные весовые пространства:

Хо,о = 1,1]2 - пространство непрерывных в квадрате [—1,1]2 функ-

ций x(s,t), для которых с.и. л/1 — sy/1 — tli^ipx] s, t) является непрерывной функцией в области [—1,1) х [—1,1), допускающей непрерывное продолжение на стороны s = 1, t = 1.

Уо,о = Уо,о[—1,1]2 - пространство непрерывных в квадрате [—1,1]2 функций y(s,t) таких, что с.и. \/1 + s\/l + tli^iqy] s, t) является непрерывной функцией в области (—1,1] х (—1,1], допускающей непрерывное продолжение на стороны s = —1, t = —1.

Нормы в этих пространствах определяем следующим образом: 1Ы|х0)о = \\VTT~sVlTtx\\ + ||vT^7vT^t/i>2(/Da;)||, ж е Х0,0;

IMko = HvT^TivT^yll + \\Vrr~sVT+tlh2(qy)l У е У0,о; здесь и далее 1Ы1 = ЦжЦс^с = шах max |;c(s, £)|.

.............—1<S<1 —l<i<l 4

Теорема 1.1. Характеристическое уравнение

1 1

= ¿// V Г^ V (от - 5(г- *) ^ =

-1 -1

имеет единственное решение х* 6 Хо;о при любой правой части у Е Уо,о, причем

00 00

= х*(а,т) = ЕЕС^№ИВД, -1 < < 1,

/с=0 .7=0

где

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хайруллина, Лилия Эмитовна, 2011 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Арсенин В.Я, Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Об одном способе регуляризации сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифференц. уравнения. - 1985.- Т.21, №3. - С.455-464.

2. Бари Я. К. Тригонометрические ряды. - М.: Физматлиз, - 1961. - 936 с.

3. Белоцерковский С.М, Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985. - 254 с.

4. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. - М.: Наука, 1965. - 244 с.

5. Бойков И.В. Приближенные методы решений сингулярных интегральных уравнений. - Пенза: Изд-во Пенз. ун-та, 2004. - 297 с.

6. Бушуев В.И., Лифанов И.К. Численное решение сингулярных интегральных уравнений в классе сингулярных функций и задача отсоса потока в аэродинамике // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1986. - Т. 26, №10. - С. 1572-1577.

7. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. - Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1982. - 109 с.

8. Валеева Р. Т., Габдулхаев Б.Г. Об обращении многомерных сингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика.-2003, №10, С.13-25.

9. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, 1-1У // Изв. вузов. Математика.- 1971, №11. - С.33-44; - 1971, №12. - С.28-38; - 1972, №4. - С.32-43; - 1974. - №3. - С.18-31.

10. Габдулхаев Б.Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур // Изв. вузов. Математика. - 1972. - №12. - С.23-39.

11. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений, I, II // Изв. вузов. Математика. - 1975, №7.- С. 30-41; - 1976. - №1.- С. 30-41.

12. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро- диффе-

ренциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математ. анализ, .18.

- М.: ВИНИТИ АН СССР. - 1980. - С.251-307.

13. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.- Казань: Казан, ун-т, 1980.- 232 с.

14. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений 1-го рода. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - 285 с.

15. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1995. - 233 с.

16. Габдулхаев Б.Г., Душков П.Н. О прямых методах решения сингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика.

- 1973. - №7. - С. 12-14.

17. Габдулхаев Б.Г., Хазириши Э.О. О приближенных решениях сингулярных интегральных уравнений // Сообщения АН Груз. ССР. - 1985. -Т. 17, Ш. - С. 249-252.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 638 с.

19. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов - Кишинев: Штиинца, 1973. - 428 с.

20. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций- Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 184 с.

21. Довгий С.А., Лифанов И.К. Методы решения интегральных уравнений. Теория и приложения. - Киев.: Наукова Думка, 2002. - 344 с.

22. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Журн. выч. матем. и мат. физики. - 1979. - Т. 19, №5. - С. 1149-1162.

23. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 167 с.

24. Душков П.Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1973. - 160 с.

25. Ермолаева Л. Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений методом подобластей: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1987. - 154 с.

26. Жоржолиани Г. Т. Об одной задаче плоской теории упругости// Труды Тбилис. матем ин-та. - 1979. - Т.61. - С. 49-54.

27. Жоржолиани Г. Т. О растяжении пластинки с разрезом и стрингером, расположенными на одной прямой // Труды Тбилис. матем. ин-та. -1986. - Т.81. - С. 60-64.

28. Исраилов С.М. Построение квадратурных формул для приближенного вычисления сингулярных интегралов, применяемых в задачах аэродинамики // Вестн. Харьк. Нац. ун-та. - 2005 . - Вып.1. - С. 114 - 120.

29. Иванов В. В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Итоги науки и техники. Матем. анализ,- М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1965- С.125-177.

30. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

31. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978. - 206 с.

32. Кадников С.Н., Смирнов С.Ю., Полумисков В.А. Применение сингулярных интегральных уравнений для расчета осесимметричных электростатических полей //Вестн. ИГЭУ. - 2004. - №2. -С. 48-51.

33. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. - М.: Наука, 1973. - 304 с.

34. Каландия А.И., Унгиадзе A.B. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Труды вычисл. центра АН Груз. ССР. -1981. - Т.21, т. - С. 74-94.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. - СПб.: БВХ-Петербург, 2004. - 816 с.

36. Корнейчук Н.П. О наилучшем приближении непрерывных функций // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1963. - Т.27, Ж. - С. 29-44.

37. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М.: Наука, 1987. - 311 с.

38. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 92 с.

39. Лисковец O.A. Теория и методы решения некорректных задач // Математический анализ (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ, 1982. -Т.20. - С.129-178.

40. Лифанов И.К. О формулах обращения многомерных сингулярных интегралов // Докл. АН СССР. - 1979. - Т.249, №6. - С. 1306-1309.

41. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

42. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений //Прикл. матем. и механика. - 1975. - Т.39, №4. - С. 742-746.

43. Лифанов И. К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения. Учебное пособие по курсу лекций. - М.: МАКС-Пресс, 2006. - 68 с.

44. Марданов A.A. О приближенном решении сингулярного интегрального уравнения на отрезке методом механических квадратур //Методы вычислений: Сб. ст. - Вып.21, СПб.: Изд-во СПбГУ. - 2005. - С. 120-125.

45. Матвеев А.Ф. Прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений и их приложение к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц - Дисс... д-ра физ.-мат. наук. - М., 1999. -406 с.

46. Матвеев А.Ф. Об устойчивости в метрике С приближенных решений сингулярных интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме. -М.: ИТЭФ, 1983. - 26 с.

47. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. - 239 с.

48. Мусхелишвили П.П. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 512 с.

49. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М. - JL: Гостех-издат, 1949.- 688 с.

50. Ожегова A.B. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс...канд. физ.-мат. наук. -Казань, 1996 г. - 96 с.

51. Ожегова A.B. Сходимость в интегральной метрике общего проекционного метода решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши // Изв. вузов. Математика. - 2008. - №10. - С.39-47.

52. Панасюк В.В, Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинках и оболочках. - Киев: Наукова думка. -1976. - 442 с.

53. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. - Киев: Наукова думка, 1984. - 344 с.

54. Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла. - Киев: Наукова думка, 1965. - 522 с.

55. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. - М.: Наука, 1977. - 312 с.

56. Полянская Т. С. Численные методы решения некоторых классов сингулярных интегральных уравнений с одномерными и кратными интегралами типа Коши и Гильберта. - Дисс... канд. физ.-мат. наук. - М., 1988. -137 с.

57. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: Мир, 1979. - 494 с.

58. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наукова думка, 1981. - 323 с.

59. Саникидзе Д.Г. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и решение сингулярных интегральных уравнений: Автореф. дисс... д-ра физ.-мат. наук. - М., 1985. - 28 с.

60. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физматгиз, 1960. - 624 с.

61. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

62. Хайруллина A.M. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравнений: Дисс... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1987.

- 127 с.

63. Хромова Г. В. О регуляризации одного класса интегральных уравнений первого рода //Журн. выч. матем. и мат. физики. - 2005. - Т.45, №10.

- С. 1810-1817.

64. Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши // Владикав. мат.журн. - 2008. - Т.10, Вып.4. - С.61-75.

65. Хубежты Ш.С., Плиева Л.Ю., Бесаева З.В. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями // Владикав. мат.журн. - 2011. - Т.13, Вып.2. - С.56-62.

66. Шешко М.А. Обращение многомерного интеграла типа Коши / / Докл. АН БССР. -1980. - Т.24, №10. - С. 888-891.

67. Шешко М.А. Интегральные уравнения, содержащие кратные интегралы с ядрами Коши // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т.22, №3 - С. 523538.

68. Шешко М.А., Мастяница B.C. О решении одного двумерного сингулярного интегрального уравнения первого рода // Докл. АН БССР. -1980.

- Т.24, №9. - С. 773-776.

69. Шешко М.А., Мастяница B.C., Расолъко Г.А. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений с постоянными коэффициентами методом механических квадратур // Докл. АН БССР. - Т.ЗО, №9. - С. 787-790.

70. Arnold D.N., Wendland W.L. On the asymptotic convergence of collocation methods // Math. Comput. - 1983. -V.41, №164. - P. 349.

71. Cvetkovie A.S., De Bonis M. C. Projection methods for Cauchy singular integral equations on the bounded intervals //Facta Univ.Ser Math.and Inf. Univ. Nis. - 2004. - №19. - C. 123-144.

72. Elliot D. The approximate solution of singular integral equations // Solut. Meth. Integral Equotions: Theory and Appl. - New York; London, 1979.

- P.83-107.

73. Erdogan F.E., Cupta G.D. On the numerical solution of singular integral equations // Quart. Appl. Math. - 1972. - V. 29, № 4. - P. 525-534.

74. Erdogan F.E., Cupta G.D., Cook T.S. The numerical solutions of singular integral equations // Methods of analysis and solutions of crack problems. -Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1973. - P. 368-425.

75. Gabdulchaev B. G., Velev G.D. Best approximations of solutions of singular integral equations of the first kind // Proc. Int. Conf. of Constructive Theory of Functions, 1987. - Sofia, 1988. - P. 471-477/

76. Golberg M.A. The numerical solution of Cauchy singular integral equations with constant coefficients // J. Integr. Equat. - 1985. - V.9, №1, P. 127-151.

77. Hsioa G., Kopp P., Wendland W.L. Galerkin collocation method for some integral equations of the first kind //J. Comput. - 1980. - V. 25, №2. -P.89-130.

78. Ioakimidis N.I., Theocaris P.S. On convergence of two direct methods for the solution of Cauchy type singular integral equations of the first kind // BIT. - 1980. - № 20. - P. 83-87.

79. Jose A.Cuminato. Numerical solution of Cauchy-type integral equations of index // Adv. in Comp. Math. - 1996. - V. 6, M. - P. 47 - 64.

80. Junghanns P. Numerical analysis for one dimensional Cauchy singular integral equations/ P. Junghanns, B. Silbermann // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000. - V.125. - N 1 - 2. - P. 395 - 421.

81. Kashfi M., Shahmorad S. Approximate solution of a singular integral Cauchy-kernel equation of the first kind //J. Comp. Methods in Applied Math., 2010. - №4, P. 259-367.

82. Nik Long N.M.A., Eshkuvatov Z.K., Abdulkawi M. Semi-bounded solutions of singular integral equations of Cauchy type // Int. J. Contemp. Math. Sciences, 2009. - V.4, №22, P. 1059-1066.

83. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations // Berlin, 1981. - Priprint. - P. - Math. - 12/81. - 31 p.

84. Theocaris P.S. Numerical solution of singular integral equations: Methods, Applications // J. Eng. Mech. Div.: roc. Amer. Soc.Civ. Eng. - 1981. - V.107,

№ 5. - P. 733-771.

85. Yaghobifar M., Nik Long N.M.A., Eshkuvatov Z.K. The expansions approach for solving Cauchy integral equation of the first kind //J. Applied Math. Sciences, 2010. - V.4, №52, P. 2581-5286.

86. Валиуллова Л.Э. О равномерной сходимости метода ортогональных многочленов решения сингулярного интегрального уравнения первого рода / Л.Э. Валиуллова // Материалы международной научной конференции (Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 г.). - Т.25 - С. 59-61.

87. Валиуллова Л. Э. О равномерной аппроксимации решения сингулярного интегрального уравнения I рода проекционными методами /Л.Э. Валиуллова, A.B. Ожегова // Материалы первой междунар. научно- практической конф. "Научный потенциал мира - 2004". - Т. 31. Математика. -Днепропетровск: Наука и просвещение, 2004. - С. 9- 17.

88. Валиуллова Л.Э. Равномерная сходимость метода ортогональных многочленов решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши на отрезке /Л.Э. Валиуллова, A.B. Ожегова // Матер1али М1жнар. науково-практ. конф. "Дт науки - 2005". - Т. 18. Математика. -Дншропетровськ: Наука и осв1та, 2005. - С. 13-16.

89. Валиуллова Л.Э. Равномерные приближения решений сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши на отрезке /Л.Э. Валиуллова, A.B. Ожегова // Изв. вузов. Математика. - 2006. №9. - С. 17-22.

90. Хайруллина Л.Э. О равномерной сходимости приближенных решений двумерного сингулярного интегрального уравнения первого рода / Л.Э. Хайруллина //Матер1али II М1жнар. науково-практ. конф. "Дт науки - 2006". - Т.35. Математика. - Дншропетровськ: Наука и ocBiTa, 2006. -С. 18-21.

91. Хайруллина Л.Э. Решение сингулярного интегрального уравнения методом осциллирующих функций / Л.Э. Хайруллина // Материалы Восьмой междунар. Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы 2007. - Т.35. - С.259-260.

92. Хайруллина Л.Э. О корректной постановке задачи решения двумер-

ного сингулярного интегрального уравнения первого рода / Л.Э. Хайрул-лина // Материалы Девятой междунар. Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы 2009. -Т.38. - С. 291 - 292.