Прямые методы решения интегральных уравнений и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Касьянов, Владимир Ибрагимович

• Касьянов, Владимир Ибрагимович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Касьянов, Владимир Ибрагимович

Введение

Глава 1.0бщая теория приближенных методов

§1. Прямые методы решения операторных уравнений

§2 .Общая теория приближенных методов

§3.Оптимизация прямых проекционных методов решения линейных операторных уравнений 28 $4-0 квадратурных формулах

Глава 2 Лрямые методы приближенного решения одномерныхнгулярных интегральных уравн ении

§1Лостановка задачи Рнмана

§2.Квадратурные методы решения краевых задач Римана на полуплоскости

§3.Итерационные методы решения краевых задач Римана

§4. Прямые метода решениянгулярных интегральных уравнений

§5.0 методе моментов для приближенного решениянгулярных интегро-дифференцнальных уравнений на вещественной оси

§6 .Итерационные методы решенияи.у.

§7.Об оптимизации прямых методов решениянгулярных интегральных уравнений

§8.11рямые методы решенияи.у.в вырожденномучае

§9.Г1екоторые замечания и дополнения.Сингулярные итегральные уравнениянеотрицательным индексом и прямые методы их решения

Глава ЪЛСраевые задачи Римана на бипту плоскости и бисингулярные интегральные уравнения.

§1.Краевые задачи Римана на биполуплоскости.ёырожденные задачи

§2. Квадратурные методы решения вырожденных задач Рнмана первого рода

§3. Прямые методы решения линейных бнсингулярных интегральных уравнений и краевых задач Римана на биполуплоскости

§4. Краевые задачи Риманадифференциальными операторами и прямые методы их решения

§5.0птимизация прямых методов решения многомерныхи.у.

§6. Преобразование Фурье. Эквивалентность уравнений типа свертки и краевых задач Римана на биполуплоскости

§7 .Дискретные уравнения типа свертки

§8.0 некоторых вариантах итерационных методов решения полных вырожденных бс.и.у. первого рода

§9. Некоторые достаточные условия однозначной разрешимости многомерных уравнений типа свертки

§10.Прямые методы решения полных бисингулярных интегральных уравнений с вырожденной характеристической частью в случае неотрицательных частных индексов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые методы решения интегральных уравнений и приложения»

Интегральные уравнения используются как основа математического моделирования для достаточно широкого круга прикладных задач (электродинамики, теории упругости, гидро- и аэродинамики и т.д.).

Данная работа посвящена решению вопросов исследования прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) и некоторых их приложений.

Общая теория одномерных с.и.у. в гельдеровских классах и в классах функций, интегрируемых по Лебегу с весом функций, изложена в монографиях Ф.ДГахова [44,46], Н.И. Мусхелишвили [117], Л.И. Чибриковой [154],В.А. Какичева[71],З.Прёссдорфа[128].

Актуальными остаются вопросы теоретического обоснования приближенных методов решения таких уравнений,а также - задач, приводящихся к решению таких уравнений.Сразу отметим,что в данной работе прежде всего исследуются прямые методы решения краевых задач Римана в неограниченных областях и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений.Теоретическнм обоснованием прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений на конечных контурах занимались многие авторы(см.,напр.,ряд работ КГ. Габдулхаева [28-41,В.В.Иванова [59,60], Р. Прёссдорфа [128,1790], Н.Я. Тихоненко [144-146],И.К.Лифанова [108] (обзор имеющихся результатов см. в [37,40,128]). В отличие от всех этих результатов, в том числе и от выше упомянутых) нами наряду с теорией таких уравнений [45,465,73,74,154] существенным образом используются соответствующие результаты по рациональной аппроксимации функций и интегралов по вещественной оси [1,7881,88,124].

В настоящий момент наибольший интерес у физиков вызывают интегральные методы электродинамики, основанные на интегральных уравнениях. Это вызвано прежде всего тем, что имеется хорошо разработанная теория таких уравнений и наработана практика их численного решения (см.,напр.,[3,4,8,26-27,34,40,41].К интегральным методам решения проблем дифракции обращались многие авторы. Так, напр., в [2] рассмотрен случай дифракции на незамкнутых поверхностях. Различные алгоритмы расчета дифракционных решеток на основе интегрального метода в СВЧ-диапазоне были предложены в работах Шестопалова В.П. (см.,напр.,[25,157-161]) и его учеников, Ильинского А.С. и его учеников [63-67] и многих других [9-10,13-21,52-56,127,141,142,153,156,166].

Основной целью диссертационной работы является: нсследование прямых методов решения одно- и многомерных с. и.у. на вещественной оси и числовой плоскости.При этом особое внимание уделяется теоретическому обоснованию прямых методов решения вырожденных бисингулярных интегральных уравнений (бс.и.у.) с неотрицательными частными индексами; обоснование прямых методов решения краевых задач Римана с дифференциальными операторами в бицилиндрических областях; исследование задач математической физики, решение которых можно свести к решению краевых задач Римана на биполуплоскостн; построение и теоретической обоснование алгоритмов прямых методов решения некоторых задач теории дифракции на основе регулярных и сингулярных интегральных уравнений.

При исследовании прямых методов решения с.и.у. и связанных с ними краевых задач в работе существенным образом использованы метода и результаты Б.Г.Габдулхаева по общей теории приближенных методов [34,40,41].

Црн обосновании прямых методов решения задач рассеяния электромагнитных волн на волноводах использованы результаты [3].Эти же результаты использованы при расчете отражающих дифракционных решеток.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1.Проведено теоретическое обоснование прямых методов решения полных с.и.у. на вещественной оси с неотрицательным индексом. Установлена оптимальность по порядку предложенных в диссертации прямых методов решения таких уравнений на классах г) (г) однозначно разрешимых уравнений ¡Vх ' л (М).

2,1/(1+*")

2.Проведено теоретическое обоснование прямых методов решения полных линейных бс.и.у. Установлена оптимальность по порядку предложенных в диссертации прямых методов решения таких уравнений на классе уравнений й^р1' 2

3.Получены достаточные условия однозначной разрешимости линейных бс.и.у. и многомерных уравнений типа свертки.

4.Проведено теоретическое обоснование пряных методов решения полных линейных вырожденных бс.и.у. первого рода с неотрицательными частными индексами.

5.Проведено теоретическое обоснование методов коллокации и моментов для приближенного решения краевой задачи Римана на бицилиндрах с дифференциальными операторами.

6.Установлена эквивалентность некоторых задач математической физики и краевых задач Римана на биполуплоскости.

7.Предложены н обоснованы прямые методы в численной реализации некоторых задач теории дифракции.

Основные результаты диссертации докладывались по мере их получения на общегородском семинаре'Теория аппроксимации и её приложения"(научный руководитель чл.-корр.АНТ проф. Б.Г. Габдулхаев),на Саратовской зимней школе по теории функций (1986,1988 гг.),на Всесоюзных конференциях «Метод дискретных особенностей и её применения в математической физике»(Харьков,1985Д987Д988;Орёл,2000), на 4-й Республиканской конференции по дифференциальным уравнениям (Болгария, РусеД988),на международной конференции «Лобачевский и современная геометрия» (Казань,1992 г.),на Всесоюзном семинаре «Применение оптико-электрон. приборов и волоконной оптики в народном хозяйстве»(МоскваД989),на конференциях «Алгебра и анализ»(Казань,1994,1997),на семинарах кафедры высшей математики ВВИА им.Н.Е.Жуковского (научн.рук. проф.Лифанов И.К.Д985Д997-2000 гг.),на международной конференции РЖ8-2000 (июль 2000 г., США, Кембридж),а также - на итоговых научных конференциях профессорско-преподавательского состава КГУ, КГПИ,КСХИ. По теме диссертации опубликованы работы [6,77-99,169,170].

Диссертация состоит из "Введения";четырех глав и литературы.

В главе 1 изложена общая теория приближенных методов.

В §1 дано определение прямых методов и приведены примерыВ следующем параграфе изложены основы общей теории приближенных методов (по Б.Г.Габдулхаеву).

В §3 поставлена проблема оптимизации прямых проекционных методов.

Пусть X и У данные банаховы пространства, Хп и Уп - произвольные конечномерные подпространства^ ,7 соответственно, сйтЛ^ ^цп7л=А/(л)<со,где -> а> при п -» да.

Пусть, далее, существует некоторое множество аддитивных и однородных проекционных операторов, отображающих 7 на 7„. Следуя [34], рассмотрим классы Е и Е„ однозначно разрешимых линейных операторных уравнений вида соответственно

Кх = у (хеХ,уеУ), (1) хкеХп,укеУп,Рпе1>п), (2) я = 1,2,.

Класс £ на практике определяется классом Р коэффициентов уравнения(1). Очевидно, класс F в свою очередь порождает некоторый класс операторов К = {К},КХ->У и класс правых частей У- {у}с:7 и с другой стороны, некоторый класс искомых элементов * ♦ *

X - {.г} с X, Кх - у ,х е X , у е 7, К е К,Очевидно также,что между всеми этими классами существует тесная связь.Так класс Е определяется совокупностью классов К и

7 ,а класс Е„- совокупностью классов Е н Р„.

Ставится следующая задача\для уравнения{1) из класса Е требуется найти такое уравнение (2) из класса Е„ {т.е. требуется найти подпространства Хп = X®, Yn = 7„° и операторы Рп~ '. У Уп), решение которого наилучшим {оптимальным) образом аппроксимирует на классе X*решение исходного уравнения х*.

Так как каждый проекционный метод решения уравнения (1) определяется заданием подпространства^, 7лн операторов Рп'-У—> 7„,то представляется необходимым ввести следующие характеристики прямых методов (1), (2): vif,pn,xnjn)= v{F,Pn,XnJn) = sup v(f:Pn,Xn,Yn), /е F v{F\Xn,YK) = Mv{F,Pn,Xn,YH), vK(F)= inf v{F\Xn,Yn),

ХпГп где x e X и xn e Xn суть точные решения уравнений (1) и (2) соответственно.

Определение 1.1[34].Пусть существуют подпространства^ = Х°,У„ = 7„°, 6xvaXn = = dim Yn < да и операторы Рп = Р® : У 7Л°, Р0 е Р„ ,такие, что выполняется одно из следующих условий: vn~un{F),n -> ад; v„ оо, здесь u„{F) = v{F',P%.Тогда прямой проекционный метод (1),(2) при Р„ =it,X„ - Xl, 7 = 7° называется соответственно оптимальным, асимптотически оптиft. п'ПП'П п. ' мальным, оптимальным по порядку на классе F среди всех проекционных методов Рп е Рп Для дальнейшего нам понадобится определение «-го колмогоровского поперечника

Пусть т с 7-центрально-снмметрическое множество,7-линейное нормированное пространство.Обозначим через Хп всевозможные конечномерные подпространства пространства 7. Тогда величина п,У) = 1пГ вир М |*-4 х е т 26 « называется я-м колмогоровскнм поперечником множества т [102].

Ниже нами всюду рассматриваются уравнения (1) в случае, когдаА"и 7- сепарабельные гильбертовы пространства В этом случае лемма 1 из [34] (с.45) конкретизируется, а именно, справедлива

Лемма 1.4. Пусть Р„ - класс всех линейных проекционных операторов их 7в Уп. Тоща

1п{Х,Х) <; м^Р) * «¡¡(^¡¡(А где в-К1~хР2К п -1 п

Е^(х )= sup р(х ,Х°), = sup хеХ feP . а через d п{Х ,Х) обозначен /2-й колмогоровскнй поперечник множества У в пространстве

X.

Нам понадобятся следующие классы функций: г (г)

W, (М) = {x(t) el 2 ( R) Ixf || <,M}y

2.1/a+i2) 2.i/a+i2)v Tp !!2.I/(W2) '

Wf Г A(Ar)=Wi)eI2«.f А<К>Ф(Г)| 2

2.tisp) 2,exp(-r ) || l?,ei(p(-t2) где

P(t)=p(tw).4r). il*j|2,<p~ 11*11 г , Ф = 1, ехрС-Г2), expi-i2^),^).

Кроме того,при построении приближенных решений многомерных с.и.у. нам понадобится класс x(Q)eL2p(R2): м

2 fi p -P(ib.f2)= l/ECl+iKl+fl)], ¿Ma) -[(l+ii2)(l+i22 )]/4. Имеют место следующие утверждения

Теорема 1.1. Пусть m = W^ua+t2) = х2Л/(1+/)(К). Тогда г = 1,2,.

Георема 1.2. [79,1] Пусть m = W{r) , (М) ,Y — L , 2ч - Тогда

2(-t ) 2,exp(-i )

4(m, У) = M/(2rn(n - 1). .(я - г + 1))ш, г = 1,2. Введём еще один класс функций:

Очевидна

Теорема 13. Пусть m = w}r\M) , У = Z2(R). Тоща dn (m, У) = Щ2гп(п - 1).(«- г+1 ))ш, г = 1,2. Теорема 1.4. Пусть m = (M)J= LXp (R?).Toraa

В §4 предложены квадратурные формулы (к.ф.).Так напр. рассмотрим вопрос о приближенном вычислении интегралов Фурье

1 +СО

ДГф . {Vx№ = -= j expmx{t)dt (3)

V 271 .со

Заменим плотность в (3) сплайном нулевого порядка [6].В результате полечим к.ф. 1 x'2iz . А А где через нами обозначен оператор,ставяший каждой непрерывной функции х(0 сплайня функцию нулевого порядка = . = { и е [/*!, /*]; О, е,, гк] 1 - /1(1 - 2к/ц), к = 1,<? ; здесь Л > 0 - любое достаточно большое число. Таким образом,

1 -КО 1 9

4)

Остаточный член к.ф. (4) можно оценить следующим образом [б]:

0{А'[)+0{ф,2А(д)). (5) где через ы(х, 5) нами обозначен равномерный модуль непрерывности функции *(/) с шагом 5[119].

В главе 2 строятся и исследуются прямые методы решения с.и.у. и краевые задачи Ри-манаВ §1 приводится постановка задачи Рнмана на полуплоскости.В §2 обосновываются квадратурные методы решения краевых задач Римана на полуплоскости в случае,когда коэффициенты задачи суть непрерывные по Г&пьдеру функции. Отметим,что в [80] были предложены вычислительные схемы приближенного решения таких задач,основанные на конечномерной аппроксимации интегралов типа Коши и соответствующих сингулярных интегралов, входящих в решение задачи Римана. Согласно [80]

К(*) = ехр П(г), Х~ {2) = ехрг;(г),

Л« = ¿2 Ы

2 %1ъ-п

Ик) где 8

71

2п + 1 к = -п,п, и ы(0 =

1 7 ды(хУк

-СО

2 (1 1

2»+1 ¡-1

Отметим что, X*) вычисляется при помощи Сохоцкого-Племеля, к.ф. (1.4.4), а ак{г) при помощи соотношений (2.1.7) и

2т -оо х - г ъ

1л ъъ

1 1ск(х) * Т — "7

2ш СО

Фк(^) ге г"

Доказано соответствующее утверждение относительно предложенного алгоритма приближенного решения задачи Римана.

В следующем параграфе предложены итерационные методы решения краевых задач Римана, основанные на квадратурных формулах для интеграла типа Коши

Ру){г) = — ? а"2' 2 А*)

1С оо Т — 2

Б [80] для таких интегралов была предложена к.ф. где

Ьы{г) = Р1ы(г),

6)

7)

М*) = у/2п(г-гк)НК здесь через /*„(т) нами обозначены фундаментальные полиномы Лагранжа по узлам интерполяции являющиеся корнями полиномов Эрмита Нп (Г) = 2~ п ^ Н„(Г / -Л) ,т.е. О через Оп(г) обозначена функция параболического цилиндра [51], а знак в (б),(7), выбран в соответствии с г±).При построении алгоритма приближенного решения задачи Римана на полуплоскости, основанного на методе простой итерации, возникает необходимость в вычислении сингулярного интеграла

Ш) = ~ 7 е"2' € (-«,+<0),

2т x—t дли которого в [80] предложена к.ф. следующего вида: я=0 где 1к,к = \п, по-прежнему суть корни полиномов Эрмита , г-гк)НК (гк) Имеют место следующие утверждения.

Лемма 2.1[77].Еслиу(/) е О <р < 1 ,то квадратурный процесс (8) сходится при каждом фиксированном t е (-со,+оо), причем

I |= / 0{п-*п\пп) + / /2(| ТО |+1пд) 0(Ып)„ где * %2 О

Лемма 2.2[77]. Если Нр(М),0<$ , го квадратурный процесс (8) сходится в р = , причем р

Вернемся к самой задаче Римана. Имеет место

Теорема 2.2.Если С(0,5(0 е С,| в(/) -11< е В,то существует единственное решение

Ф (г) задачи (2.1.1), (2.1.2) и его можно найти как предел итерационной последовательности

1 +« ¿х

2 то .а, х-г ф2+1(0 = т)-1)ф:(г) + ё(0, (9)

1-2 причем

1-<7 вир I С(0-1|, ^е (-оо,-и»).

При численной реализации вычислительной схемы (9) необходимо решать на каждом итерационном шаге задачу о скачке. В этом случае можно применять одну из предложенных выше квадратурных формул для интегралов типа Коши и соответствующих сингулярных ннтегралов.Если, напр., итерационный процесс реализовывать посредством формул (2.3.11),

1.4.4) данной работы, то, очевидно, справедлива следующая оценка погрешности:

Ф±^-Ф±\\ =0(дк+1) + 0(^) .

2,1/(Ш2)

Здесь через ^^.«(О11311*11 обозначена к-я итерация, найденная посредством к.ф.(2.3.11) и к.ф. (1.4.4),а последняя оценка справедлнвав условиях, что € 0<р<1.Здесь же в качестве примера применения к.ф. (В) рассмотрен метод простой итерации для приближенного решения характеристического уравнения типа свертки с постоянными коэффициентами.

В §4 проведено теоретическое обоснование ряда прямых методов решения с.и.у. следующего вида:

ГЛ)(0-(Ях(0 + (ШЖ)=у(0, (10) где ш Х-/

-00,+ос).

7П-оо 1 + Т

Приведем лишь один результат.

Пусть а2(Г)- Ь2(Г) ГеН-,Ы{(а(0-ЬЦ))/{а(0 + Ь(0)} = <>,а(0,Ь(ОМ*,*) еС(Н)[85](по каждому из аргументов).Приближенное решение с.и.у. (10), (11) будем искать методом механических квадратур (м.м.к.). Согласно этому методу приближенное решение ищется в виде полинома

•*„(0= ¿«^(О, (12)

Где <?&»(?) определено выше,а неизвестные коэффициенты которого находятся из с.л.а.у. следующего вида: а)а^+Ь) £ 1— £ акЬк) = у}1 )=-п,п, (13)

-п ¿К + 11с=-п и

Справедлива

Теорема 2.4.Пусть а(0,6(0,.у(0е Яр(М),0<Р <1,/г(г,0 (по каждому аргументу)е С (Я),а оператор К определяемый левой частью уравнения (10),(11),линейно обратим в ¿2J/(J+Í2)(R)■ Тогда при достаточно больших п, точнее при п таких, что система м.м.к. (13) имеет единственное решение а^ = о£, к - -п,п . При этом погрешность м.м.к.,описываемого соотношениями (12), (13), можно оценить неравенством

И* ^/(^Г 0(п~*)+0(Еп($Тк)) + 0(Е№)), где через хп (0 обозначено приближенное решение с.и.у. (10),(11), построенное в соответст вии с (12) при ак =ак,к= -я, я , а Е„(Е), ЕЦР) суть наилучшие равномерные приближения функции ^ е С построенные при помощи дробно-рациональных функций [167] по переменным г соответственно,

КО = «(0/^(0. у(2) = ехр®(2), г)=27|ц(

2п? * а(т) + Ь(т) т -г оэ

Ох)(0 = ч>-Ц)х+ (0- у+«)х- со. Следует также отметить тот факг, что в решении многих задач дифракции используются преобразования Фурье.При помощи этого пребразования исходная задача дифракции может быть сведена к краевой задаче Римана на полуплоскости или соответствующему с.и.у. Поэтому желательно иметь приближенное решение с.и.у. в такой форме, чтобы обратное преобразование Фурье находилось как можно проще.Примером таких координатных функций являются полиномы ЭрмитаВ связи с этим здесь же предложен и обосновав метод моментов для приближенного решения характеристического с.и.у. на основе функций ПТ.Зрмита

В §5 предлагается метод моментов для приближенного решения сингулярного интег-ро-днфференциального уравнения

Дг)(/)-(&Х0+^<0+<ас;ко = ДО,

40) = о,

3с)(0 = - Л, Г 6 (-00.+О0) , />(Г) = (1 + Г2)/2.

В качестве координатных функций использованы дробно-рациональные функции И.Грегора [167].Найдена оценка погрешности.

В §6 рассмотрены вычислительные схемы приближенного решения с.и.у. (10),(11), представляющие собой разновидности проективно-итерационных методов.Установлена сходимость предложенных методов.

В §7 рассмотрены вопросы об оптимизации проекционных методов решения одномерных с.н.у.Здесь существенным образом использованы определения и обозначения,предло-женные проф.Б.Г.Габдулхаевым.Эти определения и обозначения введены нами в §3 главы 1 данной работы. йтак,пусть Е = {.х }.Обозначим через Р®„ аддитивных и однородных проекционных опе-раторов,каждый из которых неограничен как оператордействующий из ^21/(1+с2) С) в

1 ^ И огРаничен как оператордействующий из С (Я) в (Я).Далее,через обозначим оператор действующий в Ь 2> (Я).Относительно предложенных выше вычислнтельных схем приближенного решения с.и.у.(10),(11) справедливы следующие утверждения.

Теорема2.21 .Пусть Р= иР„= Р®„. Тогда п~г ,г = IX., и оптимальным по порядку среди всевозможных проекционных методов решения с.и.у. (10), (11) на классе Сбудут методы механических квадратур и коллокацни.

Теорема2.22.Пусть ^ ^ (М) и Р„= Р®й. Тогда и оптимальным по порядку среди всевозможных проекционных методов решения с.и.у. (10), (11) на классе Сбудут методы моментов и наименьших квадратов.

Теорала 2.23.Пусть ind(fi{t)±b{t)) = 0,F=W^{M) и Р„ = Р®„.Тогда

V2rд(я-1).(п-г + 1) я оптимальным по порядку среди всех проекционных методов будет метод решения характеристических с.и.у. будет методы моментов и наименьших квадратов по системе фунций ЩЭрмита.

В §8 главы 2 предложена и обоснована вычислительная схема метода моментов для приближенного решения сингулярных интегральных уравнений в вырожденном случае,а именно, рассмотрена проблема построения приближенного решения уравнения y(t), feR. (14)

Уравнение (14) относится к классу некорректно поставленных задач [147], [148]. В предложенном здесь алгоритме решения уравнения (14) наряду с методами [7] также существенным образом используются функции [167].

В заключительном параграфе дается теоретическое обоснование методов механических квадратур.коллокацин и моментов для приближенного решения с.и.у.(10),(11) в условиях неотрицательности индекса уравнения.Показана однозначная разрешимость соответствующих с.л.ау. при выполнении к дополнительных условий.

В главе 3 исследуются прямые методы решения краевых задач Рнмана на биобластях и бисингулярных интегральных уравнений. Кроме того, устанавливается эквивалентность указанных задач и некоторых классов задач математической физики. В частности,в §1 приведены постановка задач Рнмана и приведены соответствующие результаты теории таких задач, полученных В.А.Какнчевым и И.Б.С'имоненко, на основе которых в следующем параграфе предлагаются квадратурные методы решения вырожденных задач Римана на биполуплоскос-тн первого рода.

В §3 дается теоретическое обоснование ряда прямых методов решения бс.и.у. следующего вида;

0(f,/2) - «оft Mih)+«1 (h>hХЗДв,h)+ (15) «2 ,t2 )(S2x)(tl ,h ) +«12 ('1 h )(S>2*)('l ,h ) + T{hx)(tx ,t2 ) - fit, ,t2 ),

-Ко s, /хе) - ж*. * 2)=- 7л*"*2)*. ■

S2f)(Q) - (fif2 Л*1,*2)= ^^2 m x, - x7

-« 2 ~л2 -KD -Ко

-в (1 + т1 )(1+т2) В работах [83-86] был предложен ряд прямых методов решения бс.и.у. (15). Так, если приближенное решение искать в виде

У Ш*2)> (16)

ЯьА*1)= - ^

2я +1

7 Ч+^ )+& )

2« +1 0 ^

2 <1=1 у

1п +1 Ьг +1 а неизвестные коэффициенты {р^} определять из системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:

Ру + ^ (еч) 2 Р*^«^ )+а2 (е*) Е Рх! )+ к=-п) = -п к=:-п)=-п ЯОч )> Оц » X ' = У = -Я,я;

17) - ) - Е К (Л* Ж (А Ж!)^1)^ (*1к К )}, я +1; „=1

ЗЛ'з) - ) - -т^тгХ Х<^2) + (-1Г1 КЬ )}. то придем к методу коллокацни [86].Проведено теоретическое обоснование предложенной вычислительной схемы м.к.для уравнения (15),описываемой соотношениями (16),(17).3десь же приведены и обоснованы методы моментов и наименьших квадратов для приближенного решения уравнения (15).

В §4 дается теоретическое обоснование вычислительных схем методов коллокацни и моментов для приближенного решения краевых задач Римана на бицилиндрах с дифференциальными операторами в краевом условин.Приведем постановку задачи.

Пусть С - расширенная плоскость комплексного переменного г= 1,2;у у - замкнутые ляпуновские контуры, делящие плоскость С комплексных переменных на О* и на

О) = С \ В),/ = 1,2; У = ъ х У2• = ^ * ^ Д3^ пусть ф^) - ^^ } л "У4'10 ч'сф^м»^/= — в р

Определение. К классу ^^ 2 (у) будем относить функции из 1У(у) такие, что ¿2 (У) причем и ФН фИ = Е ¿{1! Ф* На +11 Ф5 Из ++1 ФЗ ¡2 +!! Ы

Всюду ниже уь = е С :| г, |= 1},/ - 1,2, Ставится следующая

1г г )

Задача. Требуется найти (р(г1, г2) е И^"1"2 (у) »если к=0 к=0 ' где (0,(0, С^ (0,2)^ (0 е С(у), ¿ = = /(0 е С(у) суть данные функции, причем сЦ &2

19) ф " (2j ,оо) = ф " (со,со) = 0VZ, € Д~ , efe/1 ¿Го feffc* к! -

V"<°*> = vz2 € z* 0^1. dz¡ дг\

-+ + ф— (oo,z2) - 0Vz2 e D2 , ф-^.оо^ОУг, e Д*;

A k+K rjVA A) здесь-zLlí суть известные числа, а коэффициенты в (18) не равны нулю одновременна^ но к = 0,rt ,к = 0,г2).

Очевидно, что задача (18), (19) является обобщением задачи Римана.

Приближенное решение задачи (18), (19) строится при помощи методов коллокации и моментов.

Метод коллокации заключается в следующем. Приближенное решение задачи (18), (19) ищется в виде полиномов яГМ,) I

0 1=0

20)

Ы-п /=0 неизвестные коэффициенты которых являются решением системы линейных алгебраических уравнений следующего вида. к Р t Т. Нк ^ )чС (б* ) " ^ (бах (Саг ) - Сы Ж ) + + =/(2сп)> о=-/и,ш,х = -я,л, (21) где , , 11Ю , 11С1 . э т) - {ехр(—— ,ехр(——}, 2яг +1 2п+1 а= -т,т, т= -л,я.

Относительно предложенной вычислительной схемы метода коллокации справедлива Теорема 3.8. Пусть коэффициенты Аы{<2\ (0, (0, ¿>^(0 , к = 0, ^ , к = 0, г, , суть функции,аналитически продолжимые в О'', £>~+, ¿>+ ", £>+ + соответственно.Тогда,если задача (18),(19) имеет единственное решение,то система м.к. (21) имеет единственное реше 1 ™—■ние (хотя бы больших при достаточно т и п ) а^ = а^,/ = -т,т,] = -т,т, причем

Цф"-ф|| (г/) = <К&т1)+о{вт1{Л).

Ш2 1 2 (у) здесь шах {шах ^(Д к),тах Ет (5кк),тах Ет(СкК),тах Ц^ (Дк)}, к,к к,к к,к к,к

Ет(Е) наилучшее равномерное приближение функции Е е С(у) посредством полиномов т п к

У ]Г Рк/1 ^ >а Ф -приближенное решение задачи (18),(19),найденное по формуле (20) при

-ж -п ау - а^, I - -т,т, ] = -п,п,

Метод моментов для приближенного решения задачи (18),(19) заключается в следующем.

Приближенное решение по-прежнему ищется в виде (20),а неизвестные коэффициенты находятся из решения системы уравнения следующего вида:

V,,) = (/, V,,). Я - -т,т\* = -п,п, (22) где К: X -> 7 (оператор АГ, как и выше, определен левой частью (18) и условиями (19)),

•Г2\у),Г = £2{у).

40 = (1/тг)2 |

Относительно предложенной вычислительной схемы моментов (20), (22) справедлива Теорема 3.9. В условиях теоремы 3.8. система м.м. (22) имеет единственное решение = ву ,1 - -т,т,] - ~п,п (хотя бы при больших т и п ), причем

Нф'-Ф" II (г г ) =0(Ътя)+0(вт1(Л). где <р - приближенное решение задачи, найденное в соответствии с (20) при а;; = а,* ,1 = -т, т, ] =

К« = тах{тах ^(^„Дтах Е^В^.пмх Е^С*), к,х кх «ж А«п(А*)}> кж

Ет(Е) - наилучшее равномерное приближение функции Е е С(у) посредством полиномов

-К -п

В §5 решается задача оптимизации прямых методов решения многомерных сингулярных интегральных уравнений в неограниченных областяхПри этом существенно используются результаты автора по оценкам поперечников некоторых гладких классов функцнй.Так, напр. доказано следующее утверждение.

Теорема 3.10.Пусть ^^-произвольные подпространства пространства (Я2) размерности (Ъ+1)2,Е = Тогда и оптимальными по порвдку будут методы моментов и наименьших квадратов,описываемые соотношениями (3.3.6),(3.3.7) и (3.3.б),(3.3.8) соответственно.

В §6 показана эквивалентность интегральных уравнений типа свертки с постоянными коэффициентами и краевых задач Римана

В §7 дискретные уравнения типа свертки вида со со 00-1 -1 00

2 ап-кп-\ХЫ ~ 2 2 ^п-к,т-!Хк1 Сп-к,т-!Хк! + к-0 ¡=0 ,'с=0 Ь-со к=-со 2=0 (тг\

-1 -I { >

С=-00 ¡=-00 сводятся к краевым задачам Римана на бицилиндрах. Доказана

Теорема 3.13. Пусть бесконечная система (23) имеет в {1,1} единственное решение -

- -оо.со. Тогда редуцированная система

2 ап-к,т-1ХМ 2 ^п-к,т-1ХШ +

0 ЫО г=0

-1 -1 Е ^¿*гк.т-1хк1=/*м> к = -Ч{>Чх>™=-Ч2>Ч2, (24) к—<?, также имеет единственное решение (хотя бы при достаточно больших цх и ) хы £ = .91= ~Чг Яг» причем

11-х*-?* ||г = О(^а) + О(«?21?)>0<а,р^1; л » здесь векторы дг е 12 суть решения систем (23), (24) соответственно.

Как уже отмечалось, прямые методы решения линейных операторных уравнений, несмотря на их простоту,обладают вполне определенными недостатками.От этих недостатков свободны аппроксимативно-итеративные методы решения линейных уравнений.В §8 гл.3 на базе таких методов предлагаются вычислительная схема кубагурно-нтеративного метода и некоторые другие вычислительные схемы решения 5с.и.у.»эквивалентных вырожденным задачам Римана первого рода на биполуплоскости.

В §9 выявлены достаточные условия однозначной разрешимости бисингулярных уравнений и двумерных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов.Здесь же предложены и обоснованы прямые методы решения таких уравнений.

-22В §10 рассмотрены вопросы теоретического обоснования прямых методов решения полных бисингулярных интегральных уравнений с вырожденной характеристической частью в случае неотрицательных частных индексов.

В заключительной;четвертой,главе,приведены некоторые приложения теории интегральных уравнений.

В §1 на основе интегрального метода [166] решается задача расчета электромагнитных полей,возникающих в плоском волноводе с цилиндрической неоднородностью вида х2+(у-с)2 ¿Ь2}.

Как известно [178,182], задача нахождения ТЕ-рассеянных волн внутри такой неоднородности может быть сведена к двумерному интегральному уравнению Фредгольма второго рода по области Д Отметим,что в [182] это уравнение решалось методом простой итерации в предположении,что -к2)< 1| (здесь к ,к2 суть показатели преломления соответствующих сред).Если применять прямые методы в решении такой задачи,то от этого ограничения можно освободиться.Предложенный нами алгоритм для решения этой задачи основан на методе ступенчатой коллокацни [3].

В §2 изложена численная реализация интегрального метода расчета отражающих дифракционных решеток [47,177,166] на основе прямых методов. Отметим, что в [47,177,166] численная реализация основана на методе простой итерации.

В §3 решается задача дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клнне.Эта задача сведена к одному из вариантов вырожденной задачи Ри-мана на биполуплоскости, которая решается методом моментов.

В §4 установлена эквивалентность некоторых задан математической физики и краевых задач Римана на биполуплоскости.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Касьянов, Владимир Ибрагимович, 2001 год

1. Боровский И.В. Дифракция электромагнитных волн на двумерных периодических структурах:Днсс.канд.физ.-матем.н.,Харьков,1987. -162 с.

2. Боровский И.В. ¿(иэкяяхН.А. Дифракция электромагнитных волн на частой диэлектрической гребенке и решетке из прямоугольных брусов/7 Изв.вузов.Радиофизика,226 (1983),N0.2.-0.231-239.

3. Бреховских Л.М. Дифракция волн на неровной поверхости//Журнал теорет.и эксперимент. физ.-195 2,жаи 1Р,Но.З. -С.275-304.ХЪ.БреховскихЛ.М. Волны в слоистых средах.-М.НаукаД973 720 с.

4. Васильева А Я, ГихвяовАЯ. Интегральные уравнения.- М.:Изд.-во МГУД989,156 с.2Ъ.Введение в интегральную оптику/Под редакцией М.Барноски.-М. :МирД977. 367 с.

5. Лег<уаН.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи.-М.:НаукаД970. 380 с.

6. Велиев Э.И.Шестопалов Я//. Дифракция волн на решетках из круговых цилиндров с продольными щелямнУ/Журнал выч и с л. математики и матем. физики. 1977,/паи 17, N0.5. -С. 1234-1247.

7. ГабдулхаевБ.Г. Решение операторных уравнений методом уточняющих итераций//Изв. вузов.Магем.Д974До.5-С.66-80.

8. Габдулхаев Б.Г. О некоторых некорректных задаяах//Учен. записки Казанск.унта, т. 128, кн.5.- Казань:Изд-во КГУД968. С.30-37.

9. Габдулхаев Б.Г.Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в исключительном случае// Учен, записки Казанск. ун-та, т. 128, кн.5. Казань:Изд-во КГУ, 1968. -С.38-43.

10. Габдулхаев Б.Г. К численной реализации прямых методов решения операторных уравнений// Терия функций и функц.анализ Казань:Изд-во КГУД976. -С.46-55.

11. Габдулхаев КГ. Прямые методы решения уравнения теории крыла//йзв. вузов. Матем., 1974,Ио.2. -С.29-44.

12. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.-Ка-зань:Изд-во КГУД980. 232 с.

13. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы общей теории приближенных методов ДП// Годшнн.наСофийскун-т,Матем.ф-тД968/69. СофияД970. - С.19-31.

14. Габдулхаев К Г. Приближенное решение многомерных сингулярных интегральных уравненийДГ//Изв.вузов.Магем.Д976До.1.-С.30-41.

15. Габдулхаев Б.Г.Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода- Казань:Изд-во КГУД994.-245 с.

16. Габдулхаев Б.Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения с положительными операторами//Днфф.уравнення^Р (1993) До.9. -СД504-1515.

17. Габдулхаев Б.Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов// Изв. на Матем. нн-т Бльг.АН.,том 1,-СофияД970.-С.181-196.

18. Гаодулхаев КГ.,Горлов В.Е. Решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом редущии//Изв.вузов.Матем.Д976,1Чо.2. -С.3-13.44Т<злиш.никова Т.Н.,Илыш.ашй А С. Численные методы в задачах дифракции.-М. -Изд-во МГУД987,- 208 с.

19. Гахов Ф.Д Краевые задачи.-М.:НаукаД977. 646 с.

20. ГаховФ,Д<, ЧерскийiO.Л".Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

21. Голубенка И. В. Численный анализ свойств голограммных отражательных дифракционных решеток :Дисс.канд.физ.-махем.н.,ЛенинградД986. -183 с.АЪХончаренко AM. JCapn енко В. А Основы теории оптических волноводов.-Мннск:11аука н техникаД983.-237 с.

22. ГохбергИ.Ц.,Крупник Н.Я.Ъъедъкт в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. -Кишинев :ШтиинцаД973. 426 с.

23. Гохберг И.Ц.* Фельдман И. А Уравнения в свертках н проекционные методы их решения. -М:НаукаД971. 352 с.

24. ГрадштейяМ.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,сумм,радов и произведе-ний.-М.:ГИФМЛ,1963. -1100 с.

25. Дмитриев В.И.,Захаров Интегральные уравнения в краевых задачах элект-родинамнки.-М.:Изд-во МГУ,1987.-167 с.5ЪЛКбонов АЛ.Коненков А. Б.,РожневАГ.Связанные диэлектрические волново-ды/УРадиотехника и электроника.-1989.-том 34,No.l2.-C.2492-2497.

26. Иванов В. Д Методы вычисления на ЭВМ.Справочное пособие. -Киев:Наукова Х^мка, 1986 584 с.

27. Ильинский А С., Масл веская ОМ. Вариационная формулировка задач дифракции/Московский ун-т.-МоскваД989.-27 с.Деп.в ВИНИТИ ,№>.5338-85 Деи.

28. Ильинский А С.,Репин В.М. О методе интегральных уравнений в задачах дифракция на периодических структурах// Вычисл. методы и программирование, 1915,вып.24. -С. 249-262.

29. Ильинский АС., Слетит Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями.- М:Изд.-во МГУ,1983.-232 с.

30. Канторови.чЛ.В.,Акилов Г.П.Функцпоняльпый анализ в нормированных прост-ранствах.-М.:ГИФМЛ.-1959.-684 с.

31. Касьянов В.И. О конечномерной аппроксимации сингулярных интегралов по действительной оси // Изв.вузов.Магем.,1977,Ко. 11. С.27-33.

32. Касьянов В.И. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений в неограниченных областях: Днсс.канд.физ.-магем.и.,ОдессаД983. -120 с.

33. Жасьянов З.И.^СаеьяноваГ.Б. Метод моментов для приближенного решения сингулярных интегро-дпфференцнальных уравнений на вещественной оси/ЯУ Конф.по диф-ференц.уравнениям и их прил. 13-19 авг. 1989.Русе,Болгария.Анн.докл.-Русе,1989.-С. 147.

34. Касьянов В.И., Сухов Р.Н. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси в вырожденном случае//Редколл. ж."Дифф.уравнения". МннскД984.-5 с.Деп.в ВИНИТИ .АН СССРД^о.240-84Деп.

35. Касьянов В.И.,Сухов Р.Н. О некоторых методах приближенного решения характеристических уравнений типа свертки/Редколлегия ж."Изв.вузов. Матем.", КазаньД984.-8 с.Деп. в ВИНИТИ АН СССР,Ш.8143-84Деп.

36. КасьяновВ.И., СуховР.Н.О приближенном решении задачи теории дифракции на прямоугольном диэлектрическом клине// Исследов. по краев.задачам и их прил.Меж-вухсб.научн.тр.Чебоксары:Изд.ЧГУД987.-С.50-54.

37. Каяяатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика- М.: Мир, 1969.-448 с.

38. Купрадзе В. Д. Основные задачи математической теории дифракции (установившиеся процессы).~Л.:ОНШ,1935.-111 с.ШЬ.Курилко В.И. Дифрашда електромагнитных хвиль надаелектричному клиш// Укр.физ.ж.,1966,Ко.8.-С.908-910.

39. А'у/ж<иьН.С.Проекционно-итеративные методы решения операторных уравне-ний.Киев:НауковадумкаД9б8.-244 с.108ЛифанавИ.К.Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент- М.:Янус,1995.-520 с.

40. Лучка Ю.А. Аппроксимативно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.-Киев:Наукова думка,1980.-264 с.

41. Магнарадзе Л.Г. Теория одного класса сингулярных ннтегро-днфференцналь-ных уравнений и её применения к задаче колебания крьша аэроплана конечного размаха, удара о поверхность воды и им аналогичным//Сообщ.АН ГССР,т.4,1943.-С.103-110.

42. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения/УИтоги науки техники.Матем. анализ. Гаи 27.-М.:Изд.ВИНИТИ,1988.-С.131-228.

43. Малюжинец Г. Д. Излучение звука колеблющимися гранями произвольного клинаД//Акуст.журн.,1955,вып.2.-С. 144-164.

44. А «»Приближенное решение некоторых сингулярных интегродифференциальныхуравнений.-Препринт/ИТЭФ-87-Москва,1992.-32 с.

45. Михлин С. Л Вариационные методы в математической физике.-М. .Наука,1970.470 с.

46. JIummpa Р.,Ли С Аналитические методы в теории волноводов.-М.:Мир,1974.327 с.ИЬМорару Н.И. Случаи уравнения Вннера-Хопфа на четверть-плоскости//Дифф. уравнения, 5(1969)До.8. -С. 1445-1457.

47. My схелишвили НИ. Сингулярные интегральные уравнения,- М. .Наука,1962.600 с

48. Мхитаряа ЯЛ Об эффективном решении одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений//Докл.АН Арм.ССР,/паи Z,K(1972),No.3-C. 134-141.

49. Натансон И.П.Конструктивная теория функций.М.:ГИГГЛ.-1949.-688 с.

50. J7ефедов А//. Электродинамика периодических структур.- М. :Наука,1977,—208 с.

51. Никольский Я Я Прямые методы для внутренних задач электродинамики//Вы-числметоды и прогр.1968,вып.10.-СЛ02-123.тНиколъский С.МКвадратурные формулы.-М. :НаукаД974.-224 с.

52. Пилиди ВС. О бисннгулярном интегральном уравнении в пространстве Lpll Матем.исследованияВьш.ЗЗ.Кишннев:Штиинца,1972.-С. 167-175.

53. Плещинская И.Е., Плещинский Н.Б.К решению задачи дифракции электромагнитных волн на периодической решетке методом интегральных уравнений// Исслед. по прикладной матем.З&гл.11/2.-Казанъ:Изд-во КГУД985.-С.61-78.

54. ЛрёсдорфЗ. Линейные интегральные уравнения/УИтоги науки и техники.Мат.анализ.Гги* 27.-М.:Изд.ВИНИТИ.1988.-С.5-130.

55. Ру сак В.Н.у1Лешко М,А.Сходимость приближенного решения краевой задали Римана// Изв. АН БССР,Сер.фнзнко-матем.н. ,1977,No.l.-C.25-33.130 .Сем ен ов А А Теория электромагнитных волн.-М. :Изд-во МГУ,1980-317 с.

56. Самоценно И. Б* О многомерных дискретных свертках//Матем. исследования, том 3 ,вып1 (7).-Кншинев ДПтнинца,1968.-С. 108-122.

57. ComeeЮ. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов с ядрами тилаКоши //Изв.вузов.Матем.Д977До.З. С.108-112.

58. Созшев Ю. О кубатур ных формулах для сингулярных интегралов // Изв.АН Тадж.ССР,Отд.физико-магем.и геологических н.Д974До.4.-С.77-81.

59. Стечют С.Б. Обобщение неравенств С.Н Бернпгтейна// ДАН СССР.— т. 60 (1948),No.9. -С. 1511-1514.ИН.Стечкин СБ.}СуббояшнЮ.Н.Теория сплайнов.- М:НаукаД976.-248 с.

60. СуетинПЖ. Классические ортогональные многочлены.-М.:НаукаД976.-3 28с.

61. Су етин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным,- М.:Наука, 1976.-328 с.

62. Сухилин С. Я Качественные вопросы теории рассеяния на периодических ци-линдрнческих препятствиях//Динамика сплошной среды.2?ыл. 67. -Новосибирск:Ин-т гнд-родинамикиД984.-СД18-134.

63. Су хинин С. Я Об акустических и электромагнитных колебаниях около периодической решеткн//Дннамика сплошной среды.Яьгл. Ji.-Новосибирск:Ин-т гидродинамики,1981.-С. 159-168.14$.Т итчмарш £ Теория функций.- М. .Наука,1980.-464 с.

64. Тих он енко Н.Я. О методе приближенной факторизации//Изв. вузов. Матем., 1976До.4.-С.74-86.

65. Тихтенко Н.Я. О рядах Фурье по системам рациональных функций на вещественной оси и некоторые их приложения//Шсник Ки1вськ.ун-ту.Сер1я ф1з.-мат. наук.-1998,вип.2.-С.127-138.

66. ЧибрикоеаЛ.И.Осяовяые граничные задачи для аналитических фуикций.-Ка-заяь:Изд.-во КГУ, 1977.-302 с.

67. Швингер /О.Неоднородности в волноводах (конспект л<2?а/ий V/Зарубежная радиоэлектроника (пер. с анг.)^о.З.-М.:Сов.радиоД970.-ЮЗ с.

68. Щербак 3.3. Дифракция волн на решетках с ребристыми элементами//Докл. АН УССР,Cep.A,No.5,1981.-C. 78-81.

69. Шестопапов В.П. Метод задачи Римаиа-Гильберта в теории дифракции и распространении радиоволн Харьков:Изд.-во ХГУД971.-400 с.

70. ШестттжВ.Л. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. -Киев Наукова думка,1983. -282 с.

71. Chang K.S.^Shah V.,Tamir T.S. Scattering and guiding of waves by dielectric gratings with arbitrary profiles//! Opt. Soc. of Am.,* oi 70,No.7,l980.-P.804-812.

72. Choiewinski F.M. The finite calculus associated with Bessei functions/'/'Contempo-rny Matli.,AMS,v oi. 75Д988.-Р. 1-122.

73. Uzutioglu N.K,Fidoris J. G. Scattering from an inside a dielectric-slab wavegui-de//J. Opt Soc. of Am. ,v oi. 72,No.5,1982.-P.628 -637.