Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Еникеева, Светлана Рашидовна

• Еникеева, Светлана Рашидовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Еникеева, Светлана Рашидовна

Оглавление

Введение

Глава I. Предварительные результаты

§1. Некоторые результаты из общей теории приближенных

методов анализа

§2. Некоторые результаты из теории приближений многочленами

§3. Некоторые соотношения из теории классических ортогональных многочленов

§4. Об интерполяционной квадратурной формуле

§5. Квадратурная формула для логарифмического интеграла

/(*)

5.1. Вывод квадратурной формулы

5.2. Алгоритм вычисления интеграла /о(£)

5.3. Вычисление последующих интегралов /т(£)

§6. Сходимость и оценка остаточного члена квадратурной формулы

§7. Некоторые частные случаи

Глава II. Прямые методы решения слабосингулярного интегрального уравнения второго рода

§1. Введение

§2. Вычислительные схемы метода квадратур

§3. Вспомогательные результаты

§4. Сходимость метода квадратур в среднем

§5. Сходимость метода квадратур в узлах

§6. О равномерной сходимости метода квадратур

§7. Некоторые дополнения

7.1. Первый случай

7.2. Второй случай

7.3. Третий случай

7.4. Четвертый случай

§8. Полиномиальные проекционные методы

§9. Метод Боголюбова — Крылова

9.1. Введение

9.2. Метод сил айн-кол локаций нулевого порядка

9.3. Метод Боголюбова — Крылова

Глава III. Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода

§1. Введение

§2. Некоторые свойства слабосингулярного оператора

§3. Метод наименьших квадратов

§4. Метод ортогональных многочленов

§5. Метод коллокаций

§6. Метод последовательных приближений

§7. Метод механических квадратур

§8. Некоторые замечания и дополнения

8.1. Структура обратного оператора и корректная постановка задачи

8.2. Прямые методы решения регуляризованных уравнений

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямые методы решения слабосингулярных интегральных уравнений»

Введение

Многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, физики, химии и техники приводят к необходимости решения различных классов интегральных уравнений первого и второго родов с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора (см., напр., работы [8, 10, 28, 32, 35, 40, 47, 61, 65, 67, 68, 70, 82, 83, 97] и библиографию в них). Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана (см., напр., [10, 29, 46, 60, 65-67, 72, 73, 83, 87, 94] и библиографию в них). Из нее следует, что указанные уравнения точно (т.е. в замкнутом виде) решаются лишь в очень редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо уметь вычислять различные регулярные, сингулярные и слабосингулярные интегралы со сложными плотностями. Поэтому как для теории, так и в особенности для приложений первостепенное значение приобретает проблема разработки приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

В последние 20 - 25 лет в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов; достаточно полную информацию о достигнутых в этой области результатах можно найти, например, в монографиях [7, 10, 21, 22, 28, 35, 40, 47, 61, 65, 68, 70, 97], работах обзорного характера [17, 23-25, 27, 30, 84-86, 90, 93, 96], а также в диссертациях [1, 3, 6, 31, 32, 36, 37, 64, 76, 83].

Следует отметить также, что систематическому целенаправленному исследованию приближенных методов решения различных класов слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством Б.Г.Габдулхаева (см., напр., работы, в том числе диссертации, [1, 2, 3, 6, 15, 17-27, 31, 36, 37, 64, 76] и библиографию в них). Однако, несмотря на сделанное, в данной области все еще остает-

ся много нерешенных задач. Данная диссертационная работа призвана в некоторой степени восполнить этот пробел.

Работа посвящена прямым и проекционным методам решения слабосингулярных интегральных уравнений видов

/ ч л У In \т — t\х(т) dr "V hit, т)х(т) dr Кх = x(t) + Л / -г-!—■ ; . д + ¡1 / 1 =

¿1 (1 - т)а(1 + ТУ _1 (! - + TY

= y(t), -l<i<l, -1< а, /?<1; (0.1)

1 +1 1 +1 Кх = — J^ р(т) In |r — -t\x(r) dr H— J p(r)h(t, т)х(т) dr = y(t),

—1 < i < 1, (0.2)

1 _ T

p(r)

\

или р(т)

1 + T (0.2')

1 — т

1 + т

здесь Ли// — произвольные параметры, такие что Л2 + ц2 ф 0, х{€) — искомая функция, у{Ь) и /г(£, г) — данные функции, причем слабосингулярные интегралы в (0.1) и (0.2) понимаются как несобственные как в пространстве непрерывных функций, так и в весовом пространстве квадратично суммируемых по Лебегу функций. При этом основное внимание уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [44], гл.14, понимается следующий круг вопросов:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;

б) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравнений; при этом мы полностью следуем методике исследований аппроксимативных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов, специально разработанной в монографиях [20 - 22] и в работах [11 - 18] Б.Г.Габдулхаева.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений первого и второго родов. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач физики, химии, механики и математической физики, сводящихся к указанным уравнениям.

Диссертация состоит из трех глав и списка цитированной литературы, насчитывающего 104 наименования.

Первая глава (§§1-7) диссертации носит в основном вспомогательный характер. В параграфах 1-4 приведены некоторые необходимые для дальнейшего изложения результаты из теории функций и приближений. В § 5 строится интерполяционная квадратурная формула для т.н. логарифмического интеграла

+1

Щ = / р(т) 1п \т - г\х(т) <*т, р(т) = (1 - т)а(1 + т)*, -1

-1<*<1, —1 < ск,/3, (0.3)

здесь в основном изложены с некоторыми видоизменениями и дополнениями принадлежащие З.Т.Назарчуку [61, 62] результаты по квадратурной формуле

п

(0.4)

к=1

где = (к = 1, п) — корни полинома Якоби степени п 6 N для весовой функции р(т) = (1 — т)а( 1 + т)^, —1 < а,/? < 1, а

+1 / ч

ак® = а*,„(*) = / р(т)1к(т) с*т, 1к(т) = 7 (0.5)

где шп{Ь) = (£ — tl){t — £2) • • • (^ — В частности, значительное внимание уделено конструктивным методам вычисления коэффициентов (0.5) квадратурной формулы (0.4) с помощью теории ортогональных многочленов Якоби [63, 73, 75].

Следует отметить, что первые результаты по исследованию квадратурной формулы (0.3) — (0.5) принадлежат также З.Т.Назарчуку [61,

62]; он доказал ее сходимость и установил скорость сходимости для достаточно гладких плотностей. В связи с этим §§ 6 и 7 диссертации, написанные автором самостоятельно, посвящены обоснованию квадратурной формулы (0.3) — (0.5) в классе непрерывных функций. Таким способом нам удалось получить достаточно общий результат, из которого и теории приближения функций следуют также указанные выше результаты З.Т.Назарчука [61, 62]. В частности, в § 6 доказана следующая

Теорема 6.1. Квадратурная формула (0.3) — (0.5) сходится равномерно для любой непрерывной функции х(Ь) Е С[—1,1]. При этом для остаточного члена Лп(ж;£) квадратурной формулы (0.3) — (0.5) справедлива оценка

||Д„(а;;*)|| < 2Ау/В(1 + а,1 + Р)Еп.1(х)с, п Е N. (0.6)

где постоянная А определяется из неравенства

'+1

шах 11 р(т) 1п2 |г - Ц Лт 1-1

< А < оо.

(0.7)

Здесь и далее В (у, есть бета-функция Эйлера, Ет(х)с — наилучшее равномерное приближение функции х(Ь) € С[—1,1] алгебраическими многочленами степени не выше ш(ш + 1бК).

Кроме того, через С = С[—1,1] и = Ь2,р[—1,1] будем обозначать пространства соответственно непрерывных и квадратично суммируемых по Лебегу с весом р = р{£) функций на сегменте [—1,1] и с обычными нормами:

Г+1

х

I Р(Фт2 л -1

1/2

х е ь

2 р-

В частных случаях результаты §§ 5, 6 конкретизируются и несколько усиливаются. В связи с этим в § 7 рассматриваются соответствующие результаты для наиболее часто встречаемых на практике весовых

функций:

т.е. при а = (3 = л/1 — ¿2, т.е. при а = (3 = т.е. при а = —¡3 =

— т.е. при а = —¡3 - —I

(0.8)

1—" г ~ 2'

Следует также отметить, что результаты по различным приближенным методам вычисления интегралов вида (0.3), основанные как на полиномиальной, так и на сплайновой аппроксимации плотности х(г), имеются также в цитированных ниже работах Б.Г.Габдулхаева и в работе В.Н.Шепеленко [88], посвященных данному циклу исследований.

Вторая глава (§§ 1-9) диссертации посвящена прямым и проекционным методам решения слабосингулярного интегрального уравнения (0.1). Следует отметить, что к уравнению вида (0.1) и ему аналогичным приводят многочисленные теоретические и прикладные задачи. В частности, такие уравнения возникают в задачах математической физики, теплопроводности, электрохимии и химии полимеров, выращивания кристалов, в теории линейной вязкоупругости, при исследовании спектра тормозного излучения горячей плазмы, при моделировании процесса распространения эпидемий, в задачах тепло- и массопереноса и агротехнике (см., напр., работы [1-3, 7, 9, 17, 19, 23-25, 27, 29, 31, 36, 37, 45, 54-56, 58-61, 69, 79, 87, 89, 90, 92, 93, 95-99]).

Приближенным методам их решения посвящено большое число исследований, в частности, работы [1-3, 17, 23-25, 27, 30-32, 36, 37, 45, 58, 61, 76, 89, 93, 96] (см. также библиографию в них). Здесь более подробно остановимся лишь на работе [17] ввиду того, что в ней получены, на наш взгляд, наиболее общие и в то же время наиболее характерные для этой области результаты.

Рассматривается линейное интегральное уравнение вида

Кх ЕЕ Хх(г) + I к 1 т)х(т) йт = у(¿), о < * < 1, (0.9)

о

где А — произвольный числовой параметр, функция а(Ь) принимает два значения: 1 (случай уравнения Фредгольма) и Ь (случай уравнения Вольтерра); /¿(¿, т) и у{€) — известные непрерывные функции в областях 0<£<1,0<г<сг(£)и0<£<1 соответственно, а параметры

а ж т удовлетворяют условиям 0 < а < 1; т + 1 € N. В работе [17] для уравнения (0.9) и для его нелинейного аналога предложены общие прямые и проекционные методы, основанные как на полиномиальной. так и на сплайновой аппроксимации функций. Такой подход позволил получить в [17] ряд весьма общих результатов, из которых, в частности, следуют как простые следствия многие из известных к тому времени результатов (см., напр., библиографию из [17]), предложеных ранее для частных случаев уравнения (0.9) исходя из различных соображений частного характера.

Далее весьма интересные результаты для уравнений вида (0.9) получены также П.Н.Душковым [36], С.М.Ахметовым [3], В.Е.Горловым [31], Ю.Р.Агачевым [1], Л.А.Апайчевой [2] (полиномиальные и сплай-новые методы и их оптимизация) и Г.М.Вайникко, А.Педасом, П.Убой [7] (сплайновые методы), а также другими авторами.

Результаты главы II следует рассматривать как продолжение и дальнейшее развитие указанных выше результатов Б.Г.Габдулхаева. Остановимся на их краткой характеристике.

В § 2 приводятся три вычислительные схемы метода механических квадратур для уравнения (0.1), одна из которых ранее была предложена (без теоретического обоснования) З.Т.Назарчуком [61].

Здесь приведем лишь одну из таких схем. Приближенное решение уравнения (0.1) ищется в виде многочлена

П QJ (f)

xn(t) = £ /Щ*), т = Ди;,, v (0.10)

fc=i \t - ч)и'п{гк)

а неизвестные коэффициенты /?1,/?25 • • • определяются из СЛАУ

п п _

ft' + AE ак(Ъ)рк + \1 £ Akh(thth)pk = y{tj), j = 1 ,n, (0.11)

А=1 к=1

где Ак и tk — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса для весовой функции Якоби р = p(t) = (1 — ¿)~а(1 + а функции ak(t) определены в (0.5) (способам их вычисления, как уже заметили выше, посвящена значительная часть § 5).

С целью теоретического обоснования этой и других схем прямых и проекционных методов в § 3 исследованы структурные свойства опера-

тора Н : 1;2Р —> 1<2р и оператора Н : С —>• С, где

+1

Я (г; *) = / р(т) 1п |т - ¿| х(т) ¿т, р(т) = (1 - г)_а(1 + г)^,

-1

а также аппроксимативные свойства оператора Лагранжа Сп по узлам ¿1, ¿2> • ■ • 5 ¿п? являющимся корнями полинома Якоби степени п Е N с весом /?(т).

Параграфы 4-7 этой главы посвящены теоретическому обоснованию метода квадратур в универсальных терминах теории приближения функций. При этом в основу исследований нами положена предложенная Б.Г.Габдулхаевым (см., напр., [13-15]) схема исследования этого метода, основанная на его сходимости и оценке погрешности в среднем и в узлах. Так, в § 4 докзана сходимость метода механических квадратур в пространстве Ь2Р для непрерывных функций у(£) и т), а также установлена скорость сходимости метода в зависимости от структурных свойств исходных данных.

В § 5 доказана сходимость метода квадратур (0.1), (0.10), (0.11) в узлах квадратурной формулы Гаусса и установлены оценки погрешности метода для непрерывных функций /г(£, т) и у(£), а также установлена скорость сходимости метода.

Параграф 6 посвящен равномерной сходимости метода квадратур (0.1), (0.10), (0.11), а также в том случае, когда приближенное решение определяется по формуле

п п

М*) = !/(*) - А Е 0>к(Ш % тк)(Зк, (0.12) к=1 к=1

где --чРп — решение СЛАУ (0.11).

В § 7 рассмотрены конкретизации результатов по методу квадратур для наиболее часто встречающихся на практике весовых функций р(т), определенных в (0.8).

В параграфе 8, следуя Б.Г.Габдулхаеву (см., напр., [17, 18, 20]), предложены схемы двух общих полиномиальных проекционных методов решения уравнения (0.1). Первая из схем порождается полиномиальными операторами, ограниченными по норме в совокупности в пространстве Ь2Р[—1,1]. Вторая схема порождена полиномиальными операторами, неограниченными в пространстве 1/2Р, но ограниченными как операторы

из пространства С[—1,1] в пространство Ь2Р. Дано теоретическое обоснование обеих схем на основе общей теории приближенных методов анализа и теории приближения функций.

Параграф 9 посвящен сплайновым проекционным методам решения уравнения (0.1). Предложены вычислительные схемы метода сплайн-коллокаций нулевого порядка, а на его основе метода Боголюбова-Крылова (см., напр., в [45]) и дано их теоретическое обоснование в пространстве ограниченных функций.

Третья глава (§§ 1-8) посвящена исследованию прямых и проекционных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений (0.2) с указанными в (0.2') весовыми функциями. Уравнения такого вида встречаются в задачах теории дифракции и акустики, электродинамике и электротехнике, теории упругости и аэрогидромеханике, теории конформных отображений и в ряде других разделов физики, механики и математической физики (см., напр., работы [8, 10, 21, 22, 28, 29, 35, 40, 47, 61, 65-70] и библиографию в них). Особенности решения таких уравнений и итоги достигнутых в этой области результатов подробно изложены, например, в монографиях и работах обзорного характера [10, 21, 22, 28, 29, 35, 40, 46, 47, 60, 61, 65, 68-72, 87, 91-94, 97] и в диссертациях [6, 37, 58, 64, 67, 76, 82, 83] (см. также библиографию в них). Однако анализ полученных результатов показывает, что приближенные методы решения уравнения (0.2) рассмотрены в основном для весовой функции = (1 — ¿2)-1/2 и лишь частично для веса р(£) = (1 — ¿2)1//2. В то же время для практического применения представляет также интерес (см., напр., [61, 62]) уравнение (0.2) с весовыми функциями (0.2'). Глава III диссертации посвящена решению этой задачи.

Основная трудность решения уравнений (0.2), (0.2') связана в первую очередь с их некорректностью [43, 51, 57, 80]. Однако, следуя специально разработаной в монографиях [21, 22] методике исследований, эту трудность нам удалось преодолеть благодаря подходящему выбору пространства искомых элементов X = {х} в зависимости от пространства правых частей У = {?/}. В данном случае, выбирая X = Ь2Р[— 1,1] = Ь2Р и У = Ил219[—1,1] = И^ с соответствующими нормами, где

т =

1 т * м

г?? (0-13>

задачу решения уравнения (0.2) можно сделать корректно поставленной. Рассмотрению этих вопросов посвящены § 2 и п.п. 8.1 § 8.

В § 3 предложено теоретическое обоснование (в указанном выше смысле) метода наименьших квадратов, в § 4 — метода ортогональных многочленов, в § 5 — метода коллокаций, в § 6 — метода последовательных приближений.

В § 7 предлагается вычислительная схема метода механических квадратур для уравнения (0.2), (0.2'), основанная на интерполяционной квадратурной формуле (0.4) — (0.5) для весового логарифмического интеграла (0.3) и на квадратурной формуле Гаусса [4, 33, 63] для регулярного интеграла из (0.2). Приведем основной результат этого параграфа.

Приближенное решение уравнения (0.2), (0.2') ищется в виде многочлена

п

*»(*) = Е ne N, (0.14)

fc=i

где lk(t) — фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам ¿ъ hi • • •, tn G [—1,1]. Неизвестные коэффициенты а^, а>2,..., ап определяются из СЛАУ

п п _

Y, o-jkoik + 2 Akh(tj,tk)ak = y(tj), j = 1, n, (0.15) k=l fc=1

где Ak и tk (k = 1, n) — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса для весовой функции p(t) из (0.13), а

1 +1

азк = ~ I Р(т) In |r - tj\h(r) dr. (0.16)

7Г Д

Для вычислительной схемы (0.2), (0.13) — (0.16) справедлива следующая

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия:

а) y(t) G С(1)[-1,1], h(t, г) G C[-l, I]2, h[(t, г) G C[-l, I]2;

б) интегральное уравнение (0.2) имеет единственное решение x*{t) G L2p[—1,1] при любой правой части y(t) G H^J—1,1].

Тогда для всехп G N, начиная с некоторого, СЛАУ (0.15) — (0.16) имеет единственное решение а|,...,а*. Приближенные решения

п

<(t) = Y,alh(t), t G [—1,1], (0.14*)

k=1

сходятся к точному решению х*{£) в пространстве 1/2Р со скоростью - <\\ь2р = О {Еп(у')с + К(К)с + К(К)с + Е1(Ь)с}, (0.17)

где Е^^с (соответственно Е^((р)с) — частное наилучшее равномерное приближение функции т) Е С[—1,1]2 алгебраическими многочленами степени не выше т по переменной £ 6 [—1,1] (по переменной т Е [—1,1],) равномерно относительно т Е [—1,1] (относительно

Заметим, что в § 7 предложено два доказательства этой теоремы с помощью теории приближения функций и общей теории приближенных методов функционального анализа.

В заключительном, восьмом параграфе гл.З решаются вопросы точных и приближенных методов решения т.н. регуляризованных уравнений, построенных для уравнения (0.2) и для соответствующего ему характеристического уравнения.

Сформулируем основные результаты диссертации, выносящиеся на защиту:

1. Доказана сходимость и установлена эффективная оценка погрешности интерполяционной квадратурной формулы для весового логарифмического интеграла в пространстве непрерывных функций.

2. Предложено теоретическое обоснование метода механических квадратур и полиномиальных проекционных методов решения интегрального уравнения второго рода с разностным логарифмическим ядром в главной части интегрального оператора и с весовой функций Якоби.

3. Для указанного уравнения установлено теоретическое обоснование метода сплайн-коллокаций нулевого порядка, а на его основе — метода Боголюбова-Крылова.

4. Разработаны полиномиальные прямые и проекционные методы решения слабосингулярного интегрального уравнения первого рода с разностным логарифмическим ядром с соответствующим теоретическим обоснованием.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Итоговых научных конференциях Казанского университета за 19941998 г.г.; на Всероссийской Школе-конференции "Теория функций и ее приложения" (г.Казань, КГУ, июнь 1995 г.); на Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Б.М.Гагаева (г.Казань,

КГУ, июнь 1997 г.); на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (г.Тула, Тул.ГУ, май 1998 г.); кроме того, результаты диссертации, по мере их получения, неоднократно докладывались на городском научном семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения в вычислительных методах" при Казанском университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [100— 107], причем из совместных работ в диссертацию включены только те результаты, которые получены диссертантом самостоятельно.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Габдулхаеву Билсуру Габдулхаевичу за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Еникеева, Светлана Рашидовна, 1998 год

Литература

1. Агачев Ю.Р. Сплайновые методы решения интегральных и дифференциальных уравнений: Дисс....канд.физ.-мат.наук. - Казань, 1987.

- 144с.

2. Апайчева Л.А. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений: Дисс.... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1986. - 119с.

3. Ахметов С.М. О прямых методах решения регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс... канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1974. - 128 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

- М.: Наука, 1987. - 600с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985. - 254с.

6. Валеева Р.Т. Аппроксимативные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс... канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1995. - 108 с.

7. Вайникко Г.М., Педас А., Уба П. Методы решения слабосингулярных интегральных уравнений. — Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1984. - 94 с.

8. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. — М.: Радио и связь, 1987. - 272 с.

9. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наук.думка, 1986. - 543 с.

10. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Классические смешанные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1974. - 455 с.

11. Габдулхаев Б.Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур// Докл. АН СССР. -1968. - Т.179, N 2. - С. 260-263.

12. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// Докл. АН СССР. - 1968. - Т. 179, N 3. - С. 515 - 517.

13. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений// Труды Междун. конф. по конструктивной теории функций. Варна, 1970. - София: Изд-во Болг. АН, 1972. -С. 35 - 49.

14. Габдулхаев Б.Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур// Изв.вузов. Матем. - 1972. -N 12. - С. 21 - 39.

15. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I-IV// Изв. вузов. Матем. - 1971, N 11, С. 33 - 44; -1971, N 12, С. 28 - 38; - 1972, N 4, С. 32 - 43; - 1974, N 3, С. 18 - 31.

16. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация в ^-пространствах и приложения// Докл. АН СССР. - 1975. - Т. 223, N 6. - С. 1293 - 1296.

17. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений слабо сингулярных интегральных уравнений// Труды Междун. конф. по теории приближения функций. Калуга, 1975. - М.: Наука, 1977. - С. 89 - 93.

18. Габдулхаев Б.Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзядыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Матем. - 1978, N 6. - С. 51 - 62.

19. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений// Итоги науки и техники. Матем.анализ М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1980. - Вып. 18. - С. 251 - 307.

20. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - 232 с.

21. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений 1-рода. - Казань: Изд-во КГУ, 1994. - 288 с.

22. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. - Казань: Изд-во КГУ, 1995. - 230 с.

23. Габдулхаев Б.Г., Ахметов С.М. О методе сплайн-коллокаций для интегральных уравнений// Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та,

1974. - С. 7 - 14.

24. Габдулхаев Б.Г., Горлов В.Е. О сходимости полигонального метода решения слабо сингулярных интегральных уравнений// Функциональный анализ и его приложения. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та,

1975. - С. 60 - 72.

25. Габдулхаев Б.Г., Душков П.Н. О полигональном методе решения интегральных уравнений со слабой особенностью// Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1974. - С. 37 - 57.

26. Габдулхаев Б.Г., Ермолаева Л.Б. Интерполяционные полиномы Ла-гранжа в пространствах Соболева// Изв. вузов. Математика. -1997. - N 5. - С. 7 - 19.

27. Габдулхаев Б.Г., Жечев Й.И. Полигональный метод решения линейных уравнений// Научни трудове Висш. пед. ин-т, г.Пловдив. -1971. - N 1. - С. 9 - 26.

28. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 208 с.

29. Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 638 с.

30. Головач Г. П., Кал айда А.Ф. Приближенные методы решения интегральных уравнений со слабой особенностью/ Киевск. ун-т. — Киев, 1982. - 91 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.05.82, N 2912 - 82 Деп.

31. Горлов В.Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс....канд. физ.-мат. наук. - Казань: 1977. - 132 с.

32. Гребенников А.И. Сплайн-аппроксимационный метод и его приложения: Дисс... д-ра физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1988. - 283 с.

33. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 184 с.

34. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977. - 490 с.

35. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 167 с.

36. Душков П.Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений: Дисс... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1973. - 160 с.

37. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро-дифферинциальных уравнений методом подобластей: Дисс.... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1987. - 154 с.

38. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 448 с.

39. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

40. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. - М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.

41. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. -Кишинев: Штиинца, 1991. - 134 с.

42. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наук, думка, 1968. - 288 с.

43. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения . - М.: Наука, 1978. - 206 с.

44. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

45. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

46. Килбас A.A. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическими ядрами// Научные труды Юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию акад. АН БССР Ф.Д.Гахова. - Минск: Изд-во АН БССР, 1985. - С. 54 - 64.

47. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. - М.: Мир, 1987. - 311 с.

48. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения - М.: Наука, 1984. -352 с.

49. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М.: Наука, 1987. - 424 с.

50. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966. -500 с.

51. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М.: Наука, 1980. - 286 с.

52. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО "Янус", 1995. - 520 с.

53. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. - Киев: Наук, думка, 1985. - 240 с.

54. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения// УМН. - 1948. -Т. 3, N 3. - С. 29 - 112.

55. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. - М.: Гостехиздат, 1949. -286 с.

56. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. -575 с.

57. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. -М.: Изд-во МГУ, 1987. - 239 с.

58. Мохаммед Н.М. Методы ортогональных многочленов приближенного решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений: Дисс... канд. физ. мат. наук. - Одесса, 1988. - 108 с.

59. Мусаев Б.И. Конструктивные методы в теории сингулярных интегральных уравнений: Дисс— д-ра физ.-мат. наук. - Тбилиси: 1989. -339 с.

60. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 512 с.

61. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. - Киев: Наук, думка, 1989. - 256 с.

62. Назарчук З.Т. К вычислению одного класса интегралов с логарифмической особенностью// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. -1986. - Т. 26, N 5. - С. 789 - 790.

63. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.: Гостехиздат, 1949. - 688 с.

64. Ожегова A.B. Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода: Дисс... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1996. - 92 с.

65. Панасюк В.В., Саврук М.Т., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. - Киев: Наук, думка, 1984. - 344 с.

66. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. - 158 с.

67. Плещинский Н.Б. Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре, алгоритмы их численного решения и приложения: Дисс... д-ра физ.-мат. наук. - Казань, 1997. - 230 с.

68. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. - М.: Наука, 1982. - 344с.

69. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения// Итоги науки и техники. Совр.проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. - С. 5 - 130.

70. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. -Киев: Наук, думка, 1981. - 323 с.

71. Самко С.Г. Интегральные уравнения первого рода с логарифмическим ядром// Методы отображений. - Грозный, 1976. - С. 41 - 69.

72. Самко С.Г. Одномерные и многомерные интегральные уравнения первого рода со слабой особенностью в ядре// Науч. тр. Юбил. семинара по краевым задачам, посвящ. 75-летию акад. АН БССР Ф.Д.Гахова. - Минск: Изд-во АН БССР, 1985. - С. 103 - 115.

73. Сеге Г. Ортогональные многочлены. - М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.

74. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.

75. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1976. - 328 с.

76. Сурай Л.А. Прямые методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью: Дисс... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1994. - 131 с.

77. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физматгиз, 1960. - 624 с.

78. Тихоненко Н.Я. Методы решения задач теории аналитических функций. - Киев: УМК ВО УССР, 1988. - 88 с.

79. Тихоненко Н.Я. Приближенное решение краевых задач теории аналитических функций и их приложения: Дисс—д-ра физ.-мат. наук. - Киев, 1994. - 327 с.

80. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 286 с.

81. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. В двух частях. - Минск: Изд-во "Высшая школа". - Часть 1, 1968, 328 е.; часть 2, 1977, 256 с.

82. Хапаев М.М. (мл.) О численном обращении интегральных операторов I рода типа потенциала простого слоя// Дифф. уравнения. -1982. - Т. 18, N3.-0. 498 - 505.

83. Цецохо В.А. Численное решение задач дифракции методом потенциалов: Дисс... д-ра физ.-мат. наук в форме научн. докл. - Новосибирск, 1987. - 38 с.

84. Цецохо В.А. Некоторые вопросы обоснования численных методов решения интегральных уравнений 1-го рода со слабыми особенностями/ / Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. - Новосибирск: Наука, 1983. - С. 137 - 142.

85. Цецохо В.А. К обоснованию метода коллокаций численного решения одного класса интегральных уравнений первого рода со слабыми особенностями// Интегральные уравнения и краевые задачи - теория и прикладные системы. - Новосибирск: ВЦ АН СССР, 1990. -С. 94 - 150.

86. Цецохо В.А. Обусловленность коллокационных аппроксимаций одного класса интегральных уравнений первого рода// Условно корректные задачи математической физики и анализа. - Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1992. - С. 227 - 249.

87. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. - Казань: Изд-во КГУ, 1977. - 302 с.

88. Шепеленко В.Н. Использование сплайнов для приближенного вычисления интегралов с особенностью и решения трансцендентных

уравнений. - Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск, 1973. - Т. 4, N 5. - С. 125 - 133.

89. Шешко М.А. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов: Автореф. дисс____д-ра физ.-мат. наук. - М.: 1992. - 33 с.

90. Antes Н. Splinefunctionen bei der Lösung von Integraleichungen// Numer. Math., 1972. - V. 19. - S. 119 - 126.

91. Arnold D. A spline-trigonometric Galerkin method and an exponentially convergent boundary integral method// Math. Comput. - 1983. -V. 41, N 164. - P. 383 - 397.

92. Arnold D., Wendland W.L. On the asymptotic convergence of collocation methods// Math. Comput. - 1983. - V. 41, N 164. - P. 349 - 381.

93. Atkinson K. The numerical solution of Fredgolm integral equations of the second kind// SIAM J. Numer. Anal. - 1967. - V. 4., N 3. - P. 337 -348.

94. Estrada R., Kanwal P. Integral equations with logarithmic kernels// IMA J. Appl. Math. - 1989. - V. 53., N 2. - P. 133 - 155.

95. Fenyö S., Stolle H. Theorie und Praxis der linearen Integral-gleichungen. Bd.4. - Berlin: VEB Deutsche Verlag der Wissenschaften, 1984. - 708 s.

96. Filipps J. The use of collocation as a projection method for solving linear operator equations// SIAM J. Numer. Anal. - 1972. - V. 9., N 1. - P. 14 - 28.

97. Harrington R.F. Field computation by moment methods. - New York: Macmillan, 1968. - 240 p.

98. Michlin S.G., Prössdorf S. Singulare Integraloperatoren. - Berlin: Akademie-Verlag, 1980. - 514 s.

99. Prössdorf S., Silbermann В. Numerical analysis for integral and related operator equations. - Berlin: Akademie-Verlag, 1991. - 544 p.

100. Еникеева С.Р. Прямые методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода// Теория функций и ее приложения. Тез. докладов школы-конференции (15 - 22 июня 1995 г., г.Казань): Изд-во Казанский фонд "Математика". - С. 31.

101. Еникеева С.Р. Прямые методы решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений// Казан, ун-т. - Казань, 1995. -23 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.11.95, N 2912 - 1395.

102. Еникеева С.Р., Ермолаева Л.Б. Об одном интегральном уравнении// Алгебра и анализ: Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева. - Казань, 1997. Изд-во Казанского математического общества, 1997. - С. 88 - 89.

103. Еникеева С.Р., Ермолаева Л.Б. Обоснование квадратурного метода решения слабо сингулярного интегрального уравнения.// КГАСА -Казань, 1997. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.10.97, 3210 - В97.

104. Габдулхаев Б.Г., Еникеева С.Р. Наилучшие приближения решений операторных уравнений// Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции. - Тула: Тул-ГУ, 1998. - 304 с. - С. 73 - 74.

105. Еникеева С.Р. О методах решения одного класса слабосингулярных интегральных уравнений// Казан, ун-т. - Казань, 1999. - 11 с. -Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, N 797 - В99.

106. Еникеева С.Р. Полиномиальные проекционные методы решения слабосингулярного интегрального уравнения второго рода// Казан, унт. - Казань, 1999. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.99, N 798 - В99.

107. Еникеева С.Р. Решение одного класса интегральных уравнений методом механических квадратур (принята к печати).