Приближения решений одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Губайдуллина, Рената Камилевна

• Губайдуллина, Рената Камилевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Губайдуллина, Рената Камилевна

Оглавление

Введение

I. Приближенные методы вычисления слабосингулярных интегралов и решения интегральных уравнений

§1. Вспомогательные сведения

§2. Кубатурные формулы

§3. Теоремы существования и единственности решения

§4. Итерационные методы

§5. Общий проекционный метод Галеркина

§6. Проекционно-итеративные методы

§7. Метод механических кубатур решения слабосингулярного

интегрального уравнения с фиксированной особенностью

§8. Метод механических кубатур решения слабосингулярного

интегрального уравнения с подвижной особенностью

§9. Метод наименьших квадратов

II. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Михлина-Трикоми-Жиро

§10. Достаточные условия существования и единственности

решения

§11. Итерационные методы

§12. Проекционный метод

§13. Проекционно-итеративные методы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближения решений одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений»

Введение

В диссертационной работе рассматриваются вопросы теоретического обоснования итерационных и прямых методов решения классов сингулярных интегральных уравнений с полярным ядром и ядром Михлина-Трикоми-Жиро, а также их однозначной разрешимости. Под теоретическим обоснованием приближенных методов, согласно Л. В. Канторовичу и Б. Г. Габдулхаеву, понимается следующий круг задач: а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости; г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Почти одновременно с фредгольмовской теорией интегральных уравнений с непрерывным, или, по крайней мере, ограниченным, ядром появились известные работы Гильберта и Пуанкаре, в которых изучались сингулярные интегральные уравнения (с.и.у.), т.е. такие уравнения, в которых интеграл расходится в обычном смысле и должен быть понимаем в смысле его главного значения по Коши. Существует^ два существенных отличия с.и.у. от уравнений Фредгольма. Во-первых, входящие в с.и.у. сингулярные интегральные операторы, задаваемые сингулярными интегралами (с.и.), не являются вполне непрерывными операторами в соответствующих функциональных пространствах, хотя и могут быть ограниченными. Следовательно, к таким с.и.у. не применима теория Фредгольма - Рисса - Шаудера. Во-вторых, для них приходится различать случаи одной и нескольких независимых переменных, так как перенесение полученных в одномерном случае результатов на случай двух и более независимых переменных оказывается трудно разрешимой задачей. Наряду с с.и.у. исследовались и, так называемые, слабосингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.), которые, как показал С. Г. Михлин,

подчиняются теории Фредгольма в ряде функциональных пространств, но с точки зрения реализации на практике ведут себя как сингулярные.

Глава I диссертации посвящена исследованию методов приближенного решения с.с.и.у. вида

Аи = а(х)и(х) + [ = f(x), xeD, 0 < ct < 2, (0.1)

J ra(x,y)

D

где D - круг единичного радиуса с центром в начале координат, х = (xi,x2), У = (УЪУ2) - его точки, г(х,у) = \х - у\ - евклидово расстояние между точками х и у, h(x,y),a(x) - непрерывные, a f(x) -квадратично-суммируемая (возможно с весом) в круге D данные функции соответственно, и(х) - искомая функция.

К решению таких уравнений приводит ряд прикладных задач, в частности, контактные задачи теории упругости, трехмерные задачи теории упругости для тел с разрезами, задачи об определении стационарных температурных полей в телах с инородными включениями, задачи об определении концентрации напряжений в телах, содержащих трещины (см., напр., [1], [41], [42], [54], [73], [85], [106]).

Впервые исследования по многомерным слабосингулярным интегралам (с.с.и.) с полярным ядром, т.е. интегралам вида f h(x,y)u(y)

ra(x,y)

-dy, leQc Mm, 0 < a < m,

n

появились в работах Ф. Трикоми [110], [111], а наиболее значительные результаты по многомерным сингулярным интегралам (с.и.) и интегральным уравнениям вида

Аи = а(х)и(х) + / Щ-^—dy = /(ж), ж е П С 1Г\ 0 < а < т, J Т [х,у) п

(0.2)

были получены С. Г. Михлиным в работах [57] - [65] и опубликованы в систематизированном и несколько дополненном виде в его монографии [66].

В частности, он доказал, что уравнение (0.2) при любых любых 0 < а < < т и произвольной ограниченной области О С Мт относится к классу интегральных уравнений, приводящихся к уравнению II рода с вполне непрерывным оператором в пространствах непрерывных и квадратично-суммируемых функций. В работах Ф. Трикоми [110], [111] рассматривались двумерные с.и. с полярным ядром в евклидовом пространстве, для которых он установил формулу дифференцирования двойных интегралов. В монографии [112] рассматривались многомерные интегралы с полярным ядром на открытом ограниченном множестве б С Мп Были показаны ограниченность интегралов в Ьр(С)(р > п/(п — а)), компактность в ЬР(С) и пространстве непрерывно-ограниченных в С функций, установлена связь свойств ядра с гладкостью решения, сформулированы теоремы о дифференцируемости с.с.и., приведены оценки производной интегрального оператора. Свойства слабосингулярных интегральных операторов в весовых пространствах Гельдера исследовались в статье [104].

В.А. Волохин рассматривал интегралы со слабой особенностью вида (0.2), а также уравнения с такими интегралами по сфере единичного радиуса с центром в начале координат в трехмерном пространстве, когда 0 < а < 2. При этом он вращал систему координат так, чтобы точка х стала северным полюсом сферы. В статье [14] В.А. Волохин предложил точный метод вычисления слабосингулярного интеграла. В его же работе [12] с помощью двумерного тригонометрического интерполяционного полинома степени п по равноотстоящим узлам была построена кубатурная формула; было показано, что полученная кубатурная формула сходится со скоростью

7 2

0(~1), где р - порядок гладкости плотности и{у). В работах [15] и [16] В.А. Волохиным были предложены приближенные методы решения слабосингулярных уравнений. В статье [15] рассматривался проекционный метод решения с.с.и.у., для которого была установлена сходимость приближенного решения к соответствующему точному решению, а также

был предложен проекционно-итеративный метод решения одного класса нелинейных интегральных уравнений со слабой особенностью. В [16] В.А. Волохин рассмотрел один класс слабосингулярных интегралов с подвижной особенностью, когда Н(х,у)и(у) = /пд(г(а:, у))Уп(у), где д = 0,1,2,..., Уп{у) ~ сферическая функция порядка п. Он предложил алгоритм точного вычисления таких интегралов, а также проекционный метод решения соответствующих интегральных уравнений второго рода.

Приближенному решению интегральных уравнений II рода со слабосингулярным ядром посвящена диссертация [ИЗ]. В ней предложены вычислительные схемы методов вейвлет-коллокации и квадратур, проведены численные эксперименты с использованием параллельных вычислений. В работе [109] предложен приближенный метод решения одного класса интегральных уравнений типа Фредгольма II рода с регулярными и слабосингулярными ядрами, основанный на разложении подынтегральной функции в ряд Тейлора, что позволило найти решение уравнения в замкнутой форме. В книге [107] приведены результаты по решению в замкнутом виде линейных интегральных уравнений I и II родов с полярным ядром при 0 < а < 1/2, при этом уравнения рассматривались как частный случай уравнений Фредгольма. В работе [32] на базе сплайн-функций нулевой степени строится метод механических кубатур для с.с.и.у. со степенной особенностью, когда областью интегрирования является квадрат В = [0,1] х [0,1].

Следует отметить работы И. К. Лифанова, Л. Н. Полтавского и Г. М. Вайникко по решению многомерных с.с.и.у. на открытом ограниченном множестве. В статье [102] авторы предложили численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на окружности с сингулярными и слабосингулярными слагаемыми. В книге [101] была установлена связь слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений с уравнениями Неймана, преобразованием

Лапласа, найдено при определенных условиях решение уравнений в замкнутом виде. Исследования по с.с.и.у. II рода, начатые в статье [10], были продолжены Г. М. Вайникко в монографии [112], а именно, предложены "кусочно-постоянный" коллокационный и кубатурный методы решения с.с.и.у., проведен анализ сходимости и найдена скорость сходимости предложенных методов в пространстве непрерывно-ограниченных в С функций.

Среди уравнений вида (0.1) особое место занимают уравнения I и II родов с двумерными слабосингулярными интегралами вида

называемые уравнениями типа ньютоновского потенциала. Круг прикладных задач, которые сводятся к решению интегральных уравнений типа ньютоновского потенциала с поверхностью интегрирования П, являющейся частью произвольной канонической поверхности, ограниченной гладким контуром, достаточно широк. Свойства таких интегралов исследованы в ряде работ. Ограниченность интегралов на однородных группах в пространствах Морри была исследована в статье [31], ограниченность и компактность интегралов в пространстве Ь(р(х)) = (суммируемых с весом когда вес р(х) удовлетворяет

условию Липшица, - в работе [93]. В статье [71] авторами были установлены условия обращения некоторых операторов типа потенциала с особенностями ядер на сфере, а в [38] - (Ьр Дооценки для некоторых операторов с осциллирующими ядрами. Спектральные свойства интегральных операторов типа ньютоновского потенциала на гладких и негладких поверхностях были изучены в [90], свойства операторов на сфере с особенностями на полюсах - в [11]. Исследованию свойств нелинейных и.у. с ядрами типа потенциалов в комплексных пространствах Лебега посвящены работы [2], [3]. В работе [55] получена формула обращения

2

(0.3)

двумерного интегрального уравнения типа ньютоновского потенциала, заданного в круговой области.

Изучением интегральных уравнений, встречающихся в теории трещин, занимались украинские математики и механики Г. С. Кит и М. В. Хай. В их совместных статьях [39] - [41] были рассмотрены интегральные уравнения пространственных задач термоупругости для тел с трещинами, для решения которых использовался метод потенциалов. В монографии М. В. Хая [85] была сделана попытка систематизировать полученные им и другими математиками результаты по решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений типа ньютоновского потенциала, заданных на многообразиях с краем в трехмерном пространстве. С помощью определения символа интегральных уравнений и их индекса исследована разрешимость двумерных уравнений указанного типа как первого, так и второго рода. Там, где это было возможно, получены решения интегральных уравнений в замкнутом виде.

Остановимся теперь на содержании первой главы.

Во введении дается постановка задачи и вводятся пространства функций, в которых исследуются слабосингулярные интегралы и соответствующие интегральные уравнения, и проводится теоретическое обоснование приближенных методов.

В §1 приводятся вспомогательные результаты из общей теории приближенных методов функционального анализа, теории приближения функций и некоторые новые результаты, необходимые во всем дальнейшем изложении.

§2 посвящен исследованию двух групп кубатурных формул для интеграла с фиксированной особенностью

и

где Б - единичный круг с центром в начале координат. При этом для

приближенного вычисления слабосингулярного интеграла использовались результаты И.П. Мысовских построения кубатурных формул специального вида для регулярных интегралов, когда областью интегрирования является круг. Первая группа кубатурных формул построена с применением квадратурных формул Гаусса с весовой функцией Якоби га~1 на отрезке [0,1] и наивысшей тригонометрической степенью точности. Кубатурная формула в данном случае имеет следующий вид:

/и( 27г п т

и — У^АкУ^и{гксо8вигк8тв1), и е С (Б), га(0, у) т ^ ^

где гк и Ак - узлы и коэффициенты квадратурной формулы типа Гаусса, а

- попарно неэквивалентные равноотстоящие узлы на отрезке длиной 27г. Для построения второй группы кубатурных формул вместо классического аппарата полиномиального приближения использовался аппарат сплайн-функций, в частности, сплайнов нулевой и первой степеней. Для построенных кубатурных формул установлены оценки погрешности в пространстве непрерывных в круге I) функций.

В §3 выведены новые достаточные условия существования и единственности решения с.с.и.у. (0.1). Приведем один из полученных результатов.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) функция а(х) 6 С (И) не обращается в нуль ни в одной точке области

2) Цх,у) 6 С{В2);

3) функция

Цх1У) + ЦУ,х)

га(х,у)

разлагается в симметричный ряд

00

9{х, у) = Рк{х)Рк(у), х,у е Б, к=1

сходящийся в пространстве L2(D2), где {Pk{s)}kLi = {Pk{si,S2)}kLi ~ линейно независимая система функций из L2(D). Тогда с.с.и.у. (0.1) имеет единственное решение и*(х) G L2(D) при любой правой части

f(x) е l2(d) u ^

\\u*\\l2(d) < —||/||ь2(г>))

где т - точная нижняя грань функции \а(х)\.

В §4 предлагается эффективный итерационный метод решения с.с.и.у. (0.1). Исходное уравнение записывается в эквивалентном виде

и = Ви + г/, г > 0,

где В — В(т) = Е — тА : Ь2 —^ Ь2 есть так называемый оператор перехода. Выбирая здесь т = tq = jj? из условия минимальности нормы оператора В в пространстве Ь2, где m - точная нижняя грань функции |а(ж)|, a константа М ограничивает норму оператора А в пространстве L2(D), приближенное решение будем получать по следующему итерационному правилу:

и" = В(то)ик~1 + го/ = ик-1 + - Аик-1), к = 1,2,...,

Доказывается, что при таком выборе параметра оператор В = В(то) является сжимающим отображением. Получены оценки погрешности и доказана устойчивость предложенного метода относительно исходных данных.

В §5 исследуется общий проекционный метод Галеркина решения с.с.и.у. Доказана однозначная разрешимость соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, и установлена сходимость приближенных решений, полученных предложенным методом, к точному решению исследуемого уравнения.

В §6 предлагаются проекционно-итеративные методы, основанные на исследованных в §§4 и 5 итерационном и проекционном методах.

Для них установлены оценки погрешностей. Необходимость разработки таких методов заключается в том, что разрешимость системы линейных алгебраических уравнений проекционного метода возможна, вообще говоря, не при всех значениях порядка п системы, а начиная с некоторого натурального щ. Поэтому при больших значениях п задача реализации системы становится трудоемкой. Проекционно-итеративные методы позволяют в определенной степени эту проблему решить.

§7 посвящен теоретическому обоснованию метода механических кубатур решения с.с.и.у. с фиксированной особенностью вида

Аи = а(х)и(х) + J Щф^у-dy = f(x), х Е D, 0<а<2.

d

Вычислительная схема метода строится с применением одной из построенных в §2 кубатурных формул. Согласно неё приближенные значения {сщ} искомой функции и(х) = и (г cos в, г sin в) в узлах (rk,0i) (к = 1,72, г = 1,??2) находятся из системы линейных алгебраических уравнений

2 п т

Csp Н--^Ak^h(Ps,<Pp,rk,0i)Cki=7{P8,<Pp), S — 1) 72, Р= 1,772,

ТТЬ

к=1 1=1

где h(p, г, в) = h(p eos tp, р sin tp; r cos0,r sin0), f(p, ip) — f(pcosip,psimp). Предложенный вариант метода механических кубатур исследуется изложенным Б. Г. Габдулхаевым способом, который заключается в следующем. Сначала доказывается сходимость метода и выводится оценка его погрешности в среднем. Отсюда, как следствие сходимости метода в среднем, доказывается сходимость в узлах кубатурной формулы, а из нее, в свою очередь, выводится оценка погрешности в равномерной метрике

В §8 предлагаются вычислительная схема и теоретическое обоснование метода механических кубатур решения с.с.и.у. (0.1). При построении вычислительной схемы метода используются результаты Б.Г. Габдулхаева

и П.Н. Душкова по решению одного одномерного сингулярного интегрального уравнения методом механических квадратур. При этом слабосингулярный интеграл из (0.1) преобразуется следующим образом:

] га(х,у) } Га(0,у) \г{х,у))

Б О

Рассматривается новый интегральный оператор

ПКи) = у ^(о.г,) % 0 < 4 < 1,

О

где 5 - произвольно фиксированный параметр, а

г~а(х,у), г{х,у)>в,

hs(x, у) = h(x, у)га{0, y)v8(x, у), vs(x, у) =

г(х, у) < S. Тогда для с.с.и.у.

Asu = и + T(hsu) = /

становится возможным применить одну из построенных в §2 кубатурных формул. Доказано, что при определенном согласовании параметров s, п для всех п = О(ттг), начиная с некоторого, система алгебраических уравнений метода механических кубатур однозначно разрешима, и приближенные решения сходятся к точному решению уравнения (0.1) в метрике пространства ¿2-

В §9 для вычислительной схемы метода наименьших квадратов решения уравнения (0.1) дается теоретическое обоснование в пространстве L^D). В главе II изучаются сингулярные интегральные уравнения (с.и.у.) вида

Аи = а{х)и{х)+ [ №^u(y)dy = д(х), 9 = х е D, (0.4)

J Г2{х,у) г(х,у)

d

где D - круг единичного радиуса с центром в начале координат, х = (х\, Х2), у = (2/1,2/2) ~ его точки, г(х,у) - евклидово расстояние между этими точками, а(х) 6 C(D), д(х) Е L,2(D) - данные, а

и(х) £ L2{D) - искомая функции; характеристика f(9) Е Li[0,27т] удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования сингулярного интеграла из (0.4) в смысле главного значения [66]

Г №<ю = о,

J — 7Г

а функция h(x,y) G C(D2) такова, что

\ш l2(d)^l2(d) <м = const < оо.

Исследования по многомерным интегралам вида

/• f(ff)h(x,y)

Su = ) r™(x,y) U{v)dv (0'5)

впервые появились в работах Ф. Трикоми [110], [111], и были продолжены Ж. Жиро [95] - [97] и С. Г. Михлиным [57] - [66]. В работах Ф. Трикоми [110], [111] рассматривались двумерные с.и. вида (0.5), определенные на всей плоскости. Именно он ввёл термин "характеристика" для функции f(6) в исследуемом интеграле, который понимается как

f My)dy•

е->0 J г [х, у)

г(х,у)>£

Одним из важнейших результатов Ф. Трикоми является установление правила умножения сингулярных операторов (0.5) в случае, когда областью интегрирования является евклидово пространство М2. Это правило позволило ему указать некоторый приём для решения сингулярных уравнений второго рода Аи = аи + Su = д (а = const). Приём заключается в следующем: на обе части уравнения воздействуем сингулярным оператором В, Ви = bu + S'u, где b = const, S' есть оператор S с характеристикой /(#), и подбираем, если это окажется возможным, постоянную Ъ и характеристику f(9) исходя из двух определенных Ф. Трикоми в [111] условий так, что исходное уравнение решается в замкнутом виде.

Следующей значительной работой по многомерным сингулярным интегралам (0.5) была статья Ж. Жиро [95]. В этой работе автор исследовал интегралы, распространённые по замкнутому ляпуновскому многообразию размерности т, и описал некоторые случаи композиции сингулярных интегралов, а также композиции интегралов, один из которых сингулярный, а другой имеет слабую особенность. Позднее в работе Т. Г. Гегелиа [28] были продолжены исследования Ж. Жиро о композиции сингулярных и слабо сингулярных интегралов.

Для с.и.у. вида

где Г - ляпуновское многообразие, Ж. Жиро [95] была решена задача о сведении его к уравнению Фредгольма, приведено условие возможности регуляризации. Кроме того, в этой же работе Ж. Жиро привел некоторые приложения полученных им результатов, в частности, к задаче о косой производной для эллиптического уравнения второго порядка.

Наиболее значительные результаты по исследованию рассматриваемых интегралов были получены С.Г. Михлиным. В его работах [57], [58] были исследованы двойные интегралы, распространённые по двумерной плоскости. Было выяснено, что при /¿(ж, у) = 1 сингулярный оператор (0.5) можно представить в виде ряда по положительным и отрицательным степеням сингулярного оператора с характеристикой /г6>. Это обстоятельство позволило автору связать с указанным оператором некоторую функцию, названную символом этого оператора, так что сумме и произведению операторов соответствует сумма и произведение их символов. Понятие символа было распространено на более общие операторы, когда а и f(в) зависят ещё и от х, при некоторых ограничениях на характер зависимости этих функций от ж. В терминах символа С.Г.Михлин решил задачу регуляризации сингулярного уравнения:

г

регуляризация возможна тогда и только тогда, когда нижняя грань модуля символа положительна.

В работах [60], [61], [105] С.Г. Михлин рассматривал операторы (0.5) с характеристикой, зависящей от х, в пространстве L2(М2) и дал простые достаточные условия их ограниченности. Это позволило ему решить вопрос об эквивалентной регуляризации сингулярного уравнения. Как оказалось, для этого по-прежнему достаточно, чтобы нижняя грань модуля символа была положительной. Таким образом, если с.и.у., содержащее двойной интеграл, допускает регуляризацию, то оно допускает и эквивалентную регуляризацию. Михлин отмечает, что для одномерных сингулярных уравнений аналогичное утверждение не имеет места.

Исследованию с.и.у. с интегралами (0.5) посвящены работы С.Г. Михлина [63] - [65]. В статье [63] даны условия, которые достаточно наложить на символ многомерного оператора, чтобы он был ограничен в L2(Mm)- Это позволило исследовать с.и.у. в пространстве Z/2(Mm). Полученные при этом результаты таковы. Если символ удовлетворяет некоторым требованиям гладкости, то многомерное с.и.у. допускает регуляризацию тогда и только тогда, когда модуль его символа имеет положительную нижнюю грань. В этом случае уравнение допускает также и эквивалентную регуляризацию, и для него справедливы теоремы Фредгольма. Теорема о регуляризации распространяется и на системы с.и.у., а также на тот случай, когда с.и., входящий в уравнение, распространён по произвольному замкнутому ляпуновскому многообразию. И.Ц. Гохберг [30] показал, что условие необращения символа в нуль не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы с.и.у. допускало регуляризацию в

Изучением рассматриваемых интегралов занимались также грузинские математики A.B. Бицадзе, Т.Г. Гегелиа и В.Д. Купрадзе. В работах A.B. Бицадзе [6] - [8] и Т.Г. Гегелиа [24] - [27] исследуются двойные

интегралы вида

Ф(:С) = / ' (0'6)

Здесь S - сфера единичного радиуса, ip(x) и Ф(ж) - вектор-функции, а М(х,у) некоторая матрица, точка х может занимать любое положение в трёхмерном пространстве. Если х € S, то интеграл (0.6), очевидно, сингулярный. Для интегралов (0.6) установлен ряд свойств, сходных с известными свойствами интегралов типа Коши. В некоторых частных случаях построены формулы для решения сингулярных уравнений, содержащих интегралы вида (0.6).

В работе [98] доказана ограниченность сингулярных операторов в /^-пространствах, ассоциированных с обобщенным весом Якоби. Ограниченность с.и. в Lp, 1 < р < оо, исследовалась в статье [108]. Свойства нелинейных с.и. по евклидовому пространству были исследованы в [103].

В статье [48] В.Д. Купрадзе сводит к системе сингулярных уравнений не только первую, но и вторую краевую задачу трехмерной теории упругости. В этой статье рассматривается задача об установившихся упругих колебаниях и, как её частный случай, - задача статики. Для статического случая по существу те же уравнения получили позднее Н. Киносита и Т. Мура [100].

В работах [49] - [52] В.Д. Купрадзе применил метод с.и.у. к трехмерным задачам теории упругости для изотропных, но неоднородных сред. В статье A.M. Кускова [53] дано приложение сингулярных уравнений к трёхмерной задаче о дифракции установившихся упругих колебаний при условии, что граница среды закреплена. Отсюда, как частный случай, получается соответствующая статическая задача.

Отметим, что в работе [43] изучаются в пространстве Гельдера нелинейные с.и.у., заданные на поверхности Ляпунова.

В работах Т.У. Эбаноидзе [87] - [89] изучаются двойные с.и. с

неподвижной особенностью. Аналогичные интегралы в одном частном случае рассматривал А.Р. Хволес [86]. Т.А. Эбаноидзе рассматривает линейные сингулярные уравнения вида

где Р и Q - точки на плоскости, S - круг радиуса единица с центром в начале координат, г и в - полярные координаты точки Q относительно начала координат.

В статье [56] численно решены гиперсингулярные и сингулярные интегральные уравнения на окружности.

Задача дифракции электромагнитных волн на локально-неоднородном теле, как и задача рассеяния на трехмерном прозрачном теле, приводит к необходимости решения трехмерных сингулярных интегральных уравнений вида (0.4). Такие задачи исследовал A.B. Самохин [75] - [81]. Им предложен метод простой итерации [75] и многошаговый метод линейных невязок [77] решения указанных с.и.у.

Вопросами вычисления многомерных сингулярных интегралов занимались Б.Г. Габдулхаев и JI.A. Онегов. В их совместной работе [21] предложены и исследованы кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов, заданных в круге и на сфере (см. также диссертацию JI.A. Онегова [72]).

Сингулярные интегралы вида (0.5), распространенные по замкнутой области, изучал В.А. Волохин. Точным и приближенным методам вычисления сингулярных интегралов по сфере единичного радиуса с центром в начале координат в трехмерном пространстве с показателем а = 2 посвящены его работы [12] - [15]. При этом все исследования

<р(р) - ХI ^T^f(0MQ)dSQ = f(P)

/

г

5

и нелинейные уравнения вида

s

интегралов проводятся им, как и в случае со слабосингулярными интегралами, после предварительного вращения системы координат таким образом, чтобы точка х стала северным полюсом сферы. В [12] В.А. Волохин строит кубатурную формулу, аппроксимируя плотность и(у) двумерным тригонометрическим интерполяционным полиномом степени п по равноотстоящим узлам, и показывает сходимость полученной формулы со скоростью О(^У^), где р - порядок гладкости плотности и(у). В статьях [13] и [14] предложен метод точного вычисления сингулярных интегралов, а в [15] предлагается проекционно-итеративный метод решения нелинейных с.и.у.

Обзор известных и новых кубатурных формул для единичного шара представлен в [91] и [99], а для сферы - в работе [99]. Как известно, в построении кубатурных формул существенную роль играют ортогональные многочлены и ортогональные функции. Ортогональным многочленам на круге посвящены статьи [33], [92], [94]. В [4] были рассмотрены семейства ортогональных функций в прямоугольнике и полярной системе координат. Ряды Фурье по ортогональным многочленам Эрмита двух переменных в единичном круге исследовались в [9]. Для разложения в ряды Фурье на сфере в статье [84] использовалась полная ортонормальная система присоединенных многочленов. Необходимо отметить обзорную работу [114] по ортогональным полиномам и кубатурным формулам на единичном шаре, стандартном симплексе и единичной сфере.

Остановимся на содержании главы II.

В §10 устанавливаются простые и эффективные условия, достаточные для существования и единственности решения сингулярного интегрального уравнения в пространстве квадратично-суммируемых в круге И функций, а именно имеет место следующая

Теорема 10.1. Пусть ö € М;

min |а(ж)| > то = const > 0 xeD

и выполняется одно из условий:

а) функция f(6) является нечетной функцией и для и € L2(D)

и 11о „ 1 f f{0) \h(x,y) - h(y,x)] , Ч1 (S'u, и) > S\\uf, S-u = - Jd

ß) f(ß) является четной функцией и для и £ L2(D)

.Если ш = ш0 + 5 > 0, то оператор А : L2(D) -» L2(D) непрерывно обратим и

\\A-1\\l^l2 < т~1 < оо.

Следствие. В условиях теоремы интегральное уравнение (0.4) имеет единственное решение и* = A^g £ L2(D) при любой правой части д £ L2(D), и для него справедливо неравенство

\\u*\\l2(D) < ^\\f\\b2(D)-

В §11 приведены вычислительные схемы итерационных методов решения с.и.у., получены оценки их погрешности.

§12 посвящен теоретическому обоснованию проекционного метода решения с.и.у. Приближенное решение уравнения (0.4) ищется в виде "обобщенного" многочлена

п

Un(x) = Y^ 1кФк{х), xeD,ne N, (0.7)

к=1

где {фк} ~ полная ортонормальная система функций в L2(D), а неизвестные коэффициенты jk находятся из системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркина:

п

кС1{Афк) = с1(д)) 1 = 1^,, (0.8)

к= 1

где а(д) - коэффициенты Фурье функции д по системе функций {фк}- Для вычислительной схемы (0.4), (0.7), (0.8) справедлива

Теорема 12.1. В условиях теоремы 10.1 СЛАУ (0.8) однозначно разрешима при любых п Е N и приближенные решения (0.7) сходятся в Ь2(0) к точному решению уравнения (0.4). При этом погрешность приближенной формулы и*(х) « ип(х) может быть оценена с помощью двойного неравенства

где Еп(и*) - наилучшее приближение в функции и* Е Ьъф)

всевозможными элементами вида (0.7), М - константа , определяемая из неравенства < М.

В §13 исследуются проекционно-итеративные методы решения с.и.у. Задача реализации системы проекционного метода из §12 может потребовать большого количества операций, поэтому проекционно-итеративные методы решения с.и.у. (0.4) представляют значительный интерес. Согласно этому методу решение (0.7) уравнения (0.8) ищется в виде

где Рп : 1/2 -» Хп С 1/2 - линейный проекционный оператор, Хп - линейная оболочка, натянутая на первые п Е N элементов линейно независимой полной ортонормальной системы функций {чрк}, п Е М, а - произвольное начальное приближение из Хп.

Теорема 13.1. В условиях теоремы 10.1 решение ип Е Хп уравнения (0.8) можно найти как предел в Ьъ итерационной последовательности (0.9), причем для и®п — (т/М2)Рпд справедливы оценки

Еп(и*) < \\и* - ип\\2 < —Еп{и*),

М

п е N

т

ТТЬ

К = К'1 + ТТ2 (рп9 - Апи3~1) , 7 = 1,2,..

(0.9)

Здесь д = у/1 - тп2/М2 < 1.

Теорема 13.2. В условиях теоремы 10.1 единственное решение и* € 1/2(£>) уравнения (0.4) можно найти как предел

и* = Иш ип — Нш Ит и3п,

п—>оо п—>ooj—¥00

в Ь2 итерационной последовательности (0.9). При этом для любых п, э € N и € Хп справедлива оценка

- <11 < —Еп(и*) + г^ЧЙ - и0

П II 5

— I ь \ / ' 1 I

т 1 ~ 9

если же и° = (т/М2)Рпд, то

М т

к - <и <>(«*) +^

где п, ^ Е N.

Приведем здесь ещё один результат для проекционно-итеративного метода решения уравнения (0.4), основанного на итерационном правиле

и^и^ + ^-Аи*-1), к = 1,2,....

Теорема 13.3. Пусть за начальное приближение и0 £ Ь2(И) берется приближенное решение ип Е Хп уравнения (0.4) полученное проекционным методом (0.7), (0.8). Тогда погрешность к-го приближения и* — ик оценивается по формуле

\\и*-ик\\ <^Еп(и*), т

где п, /с Е N. д = у/1 - т2/М2 < 1.

На основании проведенных исследований получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

а) предложены достаточные условия существования и единственности решений двумерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений второго рода, заданных в единичном круге с центром в начале координат;

б) для двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и двумерных сингулярных интегральных уравнений типа Трикоми-Михлина-Жиро в круге построены вычислительные схемы и проведено теоретическое обоснование итерационных методов, общего проекционного метода Галеркина и метода механических кубатур;

в) для двумерных интегралов в круге с полярным ядром предложены с обоснованием два способа построения кубатурных формул.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, научных школах и семинарах:

- на итоговых конференциях Казанского государственного университета за 2004г., 2005г., 2006г., 2011г.;

- на Седьмой, Восьмой и Десятой международных Казанских летних школах-конференциях "Теория функций, её приложения и смежные вопросы"(Казань, 27 июня - 4 июля 2005г., 27 июня - 4 июля 2007г., 1 -7 июля 2011г.);

- на Пятой, Шестой и Десятой молодёжных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения"(Казань, 28 ноября - 2 декабря 2005г., 28 ноября - 2 декабря 2006г., 31 октября - 4 ноября 2011 г.);

- на Второй международной научно-практической конференции "Дни науки - 2006"(Днепропетровск, 17 - 28 июня 2006г.);

Кроме того, по мере получения результаты докладывались на городском научном семинаре при Казанском университете "Теория аппроксимации и ее приложения"(научный руководитель, профессор Б.Г. Габдулхаев) и на семинаре кафедры теории функций и приближений (научный руководитель, профессор Ф.Г. Авхадиев).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [115] - [124], причем 5 из них написаны в соавторстве с научным руководителем Б. Г. Габдулхаевым и научным консультантом Ю.Р. Агачевым. В совместных работах научному руководителю и научному консультанту

принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Губайдуллина, Рената Камилевна, 2012 год

Литература

1. Александров, В. М. Интегральные уравнения контактных задач для слоистого упругого полупространства / В. М. Александров, А. А. Калякин // Вестник МГУ. Сер. 1. - 2005. - № 3. - С. 67-71.

2. Асхабов, С. Н. Нелинейные интегральные уравнения с разностными ядрами / С. Н. Асхабов // Труды физ. об-ва Респ. Адыгея. - 2003. - № 8. - С. 22 - 39.

3. Асхабов, С. Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала в комплексных пространствах Лебега / С. Н. Асхабов // Труды физ. об-ва Респ. Адыгея. - 2004. - № 9. - С. 25 - 30.

4. Бахтин, А. А. Семейство ортогональных функций / А. А. Бахтин, С. В. Ефремов, В. И. Копылов, С. С. Петрова // Вестник Чувашского гос. пед. ин-та. - 2002. - № 6. - Р. 73 - 80.

5. Бернштейн, С. Н. Собрание сочинений. Т.Н. / С. Н. Бернштейн. -Москва, 1954. - С. 540 - 545.

6. Бицадзе, А. В. Обращение одной системы сингулярных интегральных уравнений / А. В. Бицадзе // Докл. АН СССР. - 1953. - 93, № 4. -С. 595 - 597.

7. Бицадзе, А. В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения / А. В. Бицадзе // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1953. - 17, № 6. - С. 525 - 538.

8. Бицадзе, А. В. О двумерных интегралах типа Коши/ А. В. Бицадзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1955. - 16, № 3. - С. 177 - 184.

9. Богомолова, И. А. Ряды Фурье по ортогональным многочленам Эрмита двух переменных в единичном круге / И. А. Богомолова //

VII Междун. конф. "Математика. Экономика. Экология Образование". Междун. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения", Новороссийск, 26 мая - 1 июня 1999г. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГЭА, 1999. - С. 1 - 3.

10. Вайникко, Г. М. Кусочно-постоянная аппроксимация решения многомерных слабо сингулярных интегральных уравнений / Г. М. Вайникко // Журнал вычисл. математики и мат. физики.

- 1991. - Т. 31, №6. - С. 832 - 849.

11. Вакулов, Б. Г. Операторы типа потенциала на сфере с особенностями на полюсах / Б. Г. Вакулов, Н. К. Карапетянц // Докл. РАН. - 2003.

- 392, № 2. - С. 151 - 154.

12. Волохин, В. А. Приближенное вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов. / В. А. Волохин // Известия вузов. Математика. - 1980. - №10(221). - С. 63 - 66.

13. Волохин, В. А. Точный метод вычисления одного класса многомерных сингулярных интегралов. / В. А. Волохин // Известия вузов. Математика. - 1981. - №1(224). - С. 11 - 14.

14. Волохин, В. А. О применении точного метода вычисления сингулярных и слабосингулярных интегралов. / В. А. Волохин // Известия вузов. Математика. - 1981. - №2(225). - С. 17 - 23.

15. Волохин, В. А. Приближенное решение многомерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений. / В. А. Волохин // Известия вузов. Математика. - 1981. - №3(226).

- С. 21 - 27.

16. Волохин, В. А. Точный метод вычисления интегралов с подвижной особенностью. / В. А. Волохин // Известия вузов. Математика. - 1981.

- №7(230). - С. 22 - 30.

17. Габдулхаев, Б. Г. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов I / Б. Г. Габдулхаев // Труды Ин-та математики АН Болгарии. - София, 1970. - Т. 11. - С. 181 - 196.

18. Габдулхаев, Б. Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений / Б. Г. Габдулхаев // Труды Международной конференции по конструктивной теории функций. Варна, 19

- 25 мая 1970. - С. 35 - 49.

19. Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I, II / Б. Г. Габдулхаев // Известия вузов. Математика.

- 1971. - №11. - С. 33 - 44; 1971. - №12. - С. 28 - 38.

20. Габдулхаев, Б. Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур / Б. Г. Габдулхаев // Известия вузов. Математика. - 1972. - №12. - С. 23 - 39.

21. Габдулхаев, Б. Г. Кубатурные формулы для сингулярных интегралов / Б. Г. Габдулхаев, Л. А. Онегов // Известия вузов. Математика. - 1976.

- №7. - С. 100 - 105.

22. Габдулхаев, Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. / Б. Г. Габдулхаев. - Казань: Изд-во Казан, ун-та. - 1980. -232 с.

23. Габдулхаев, Б. Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы / Б. Г. Габдулхаев. - Казань: Изд-во КГУ. - 1995. - 230 с.

24. Гегелиа, Т. Г. О граничных значениях интеграла типа Коши для негладких поверхностей / Т. Г. Гегелиа // Сообщ. АН ГрузССР. -1954. - 15, № 8. - С. 481 - 488.

25. Гегелиа, Т. Г. Граничные свойства обобщенных пространственных потенциалов / Т. Г. Гегелиа // Труды Тбилисск. ин-та. - 1955. - 56 -С. 185 - 206.

26. Гегелиа, Т. Г. Основная лемма И.И. Привалова для пространственных потенциалов / Т. Г. Гегелиа // Сообщ. АН ГрузССР. - 1957. - 18, № 3.

- С. 257 - 264.

27. Гегелиа, Т. Г. О свойствах некоторых классов непрерывных функций при трансформации Гильберта в Еп / Т. Г. Гегелиа // Сообщ. АН ГрузССР. - 1957. - Т. 19, № 3. - С. 257 - 261.

28. Гегелиа, Т. Г. О композиции сингулярных ядер / Т. Г. Гегелиа // Докл. АН СССР. - 1960. - 135, № 4. - С. 767 - 770.

29. Геронимус, Я. JI. Теория ортогональных многочленов / Я. Л. Геронимус. - M.-JL: ГИТТЛ. - 1950. - 164с.

30. Гохберг, И. Ц. К теории многомерных сингулярных уравнений / И. Ц. Гохберг // Докл. АН СССР. - 1960. - 133, №6. - С. 1279 - 1282.

31. Гулиев, В. С. Об ограниченности интеграла типа потенциала на однородных группах в пространствах Морри / В. С. Гулиев // Воронежская зимняя матем. школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж. 27 янв. - 4 февр. 2001. Тезисы докладов. - Воронеж: Центр.-Чернозем. книжное изд-во, 2001.

- С. 103 - 104.

32. Гусейнов, 3. Г. О приближенном решении двумерных интегральных уравнений со слабой особенностью / 3. Г. Гусейнов // АзГУ, Баку, 1983. - 15 е., библ. 3 нзв. (АЗНИИНТИ, 24 ноября 1983г., № 36 Аз -Д83).

33. Даугавет, И. К. О полиномах, ортогональных в круге / И. К. Даугавет, К. В. Казанцев // Методы вычислений: Сб. статей С.-Петербурге, гос. ун-та. Вып. 21. - СПб: Изд-во СПбГУ, 2005. - С. 55 - 57.

34. Душков, П. Н. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений (Кандидатская диссертация) / П. Н. Душков. - Казань, 1973. - 160 с.

35. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Том 2 / А. Зигмунд. - М: Мир.

- 1965. - 538 с.

36. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и её применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В.Иванов. - Киев: Наук, думка. - 1968. - 287 с.

37. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах /Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.:Физматгиз. -1959. - 684 с.

38. Карасев, Д. Н. Ьр' -» Ья оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами / Д. Н. Карасев // Дифференц. уравнения. - 2003. - 39, № 3. - С. 418 - 420.

39. Кит, Г. С. Интегральные уравнения пространственных задач теплопроводности для тел с трещинами / Г. С. Кит, М. В. Хай // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1975. - № 8. - С. 704 - 707.

40. Кит, Г. С. Интегральные уравнения пространственных задач теплопроводности для тел с трещинами / Г. С. Кит, М. В. Хай // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1975. - № 12. - С. 1108 - 1112.

41. Кит, Г. С. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами / Г. С. Кит, М. В. Хай. - Киев: Наук, думка, 1989.

- 284 с.

42. Кит, Г. С. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом граничных элементов / Г. С. Кит, В. В. Махськив, О. М. Хай // Прикладная математика и механика. - 2002. - 66, № 5. - С. 855 - 863.

43. Колосовская, А. К. Пространственная задача об обтекании потоком идеальной жидкости пористых препятствий / А. К. Колосовская, И. А. Ицкович // Уч. зап. Кишиневск. ун-та. - 1954. - 11. - С.29 -47.

44. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн - М.: Наука.

- 1973. - 832 с.

45. Корнейчук, Н. П. Точные константы в теории приближения / Н. П. Корнейчук - М.: Наука. - 1987. - 424 с.

46. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук.

- М.: Наука. - 1984. - 352 с.

47. Крылов, А. Н. Лекции о приближенных вычислениях / А. Н. Крылов.

- М., Л.: Гостехиздат. - 1950. - 400 с.

48. Купрадзе, В. Д. Граничные задачи теории установившихся упругих колебаний / В. Д. Купрадзе // Успехи мат. наук. - 1953. - 8, вып. 3(55).

- С. 21 - 74.

49. Купрадзе, В. Д. О краевых задачах теории упругости для кусочно неоднородных тел. Вывод основных уравнений / В. Д. Купрадзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1959. - 22, №2,3. - С. 129 - 136.

50. Купрадзе, В. Д. О краевых задачах теории упругости для кусочно неоднородных тел. Доказательство теоремы существования / В. Д. Купрадзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1959. - 22, №3. - С. 265 -271.

51. Купрадзе, В. Д. К теории граничных задач для неоднородных упругих тел. Основная теорема эквивалентности / В. Д. Купрадзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1959. - 22, №4. - С. 401 - 408.

52. Купрадзе, В. Д. О краевых задачах теории упругости для кусочно неоднородных тел / В. Д. Купрадзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1959.

- 22, №5. - С. 521 - 528.

53. Кусков, А. М. Дифракция установившихся упругих колебаний / А. М. Кусков // Докл. АН СССР. - 1950. - 70, №2. - С. 197 - 200.

54. Ланеев, Е. Б. О численном продолжении поля ньютоновского потенциала на основе решения интегрального уравнения / Е. Б. Ланеев, Д. Е. Ланеев // Вестник Рос. ун-та дружбы народов. Сер. Прикл. и компьютерная матем. - 2005. - 4, № 1. - С. 48 - 55.

55. Леонов, М. Я. Решение одного интегрального уравнения теории ньютоновского потенциала/ М. Я. Леонов // Укр. мат. журнал. - 1953. -5, №1. - С. 50 - 57.

56. Лифанов, И. К. О численном решении гиперсингулярных и сингулярных интегральных уравнений на окружности / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Дифференц. уравнения.

- 2003.- 39, №8. -С. 1115- 1136.

57. Михлин, С. Г. Композиция двойных сингулярных интегралов / С. Г. Михлин // Докл. АН СССР. - 1936. - 2(11), №1 (87). - С. 3 -6.

58. Михлин, С. Г. Сингулярные интегральные уравнения с двумя независимыми переменными / С. Г. Михлин // Мат. сборник. - 1936.

- 1(43), №4. - С: 535 - 550.

59. Михлин, С. Г. Дополнение к предшествующей статье / С. Г. Михлин // Мат. сборник. - 1936. - 1(43), №6. - С. 963 - 964.

60. Михлин, С. Г. Об одной проблеме теории сингулярных интегральных уравнений / С. Г. Михлин // Докл. АН СССР. - 1937. - 15, №8. - С. 429

- 432.

61. Михлин, С. Г. Проблема эквивалентности в теории сингулярных интегральных уравнений / С. Г. Михлин // Мат. сборник. - 1938. -3(45), №1. - С. 121 - 140.

62. Михлин, С. Г. Композиция многомерных сингулярных интегралов / С. Г. Михлин // Вестн. Ленингр. ун-та. - 1955. - №2. - С. 24 - 41.

63. Михлин, С. Г. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений / С. Г. Михлин // Вестн. Ленингр. ун-та. - 1956. - №1.

- С. 3 - 24.

64. Михлин, С. Г. О мультипликаторах интегралов Фурье / С. Г. Михлин // Докл. АН СССР. - 1956. - 109, №4. - С. 701 - 703.

65. Михлин, С. Г. Интегралы Фурье и кратные сингулярные интегралы / С. Г. Михлин // Вестн. Ленингр. ун-та. - 1957. - №7. - С. 143 - 155.

66. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - М.: Физматгиз. - 1962. - 254 с.

67. Михлин, С. Г. Курс математической физики / С. Г. Михлин. - М.: Наука. - 1968. - 575 с.

68. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. - М.: Наука. - 1970. - 512 с.

69. Мысовских, И. П. О кубатурных формулах для круга и шара / И. П. Мысовских //В сб.: "Методы вычислений", вып.1 - Ленинград.-1963. - С. 3 - 11.

70. Мысовских, И. П. Интерполяционные кубатурные формулы / И. П. Мысовских. - М.: Наука. - 1981. - 336 с.

71. Ногин, В. А. Обращение некоторых операторов типа потенциала с особенностями ядер на сфере / В. А. Ногин, А. П. Чеголин // Докл. РАН. - 2001. - 376, № 2. - С. 161 - 163.

72. Онегов, JI. А. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов. (Кандидатская диссертация) / JI. А. Онегов.

- Казань, 1976. - 140 с.

73. Павлова, А. В. Один метод решения интегральных уравнений динамических задач для тел, имеющих внутренние плоские трещины / А. В. Павлова, С. В. Телятников // Мат. моделирование и краевые задачи. Труды 12-й Межвуз. конф. 29-31 мая 2002. Ч. 1. Секция "Матем. модели механики, прочность и надежность конструкций". -Самара: Изд-во СамГТУ, 2002. - С. 146 - 148.

74. Польский, Н. И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа / Н. И. Польский // Укр. мат. журнал. - 1955. - Т. 7, №1.

- С. 56 - 70.

75. Самохин, А. Б. Метод простой итерации для решения линейных операторных уравнений / А. Б. Самохин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 1988. - Т. 28, № 10. - С. 1578 - 1583.

76. Самохин, А. Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах / А. Б. Самохин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 1990. - Т. 30, № 1.

77. Самохин, А. Б. Многошаговый метод линейных невязок для решения линейных уравнений / А. Б. Самохин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 1991. - Т. 31, № 2. - С. 317 - 320.

78. Самохин, А. Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения / А. Б. Самохин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 1992.

- Т. 32, № 5.

79. Самохин, А. Б. Итерационный метод для интегральных уравнений задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле / А. Б. Самохин // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30, № 12.

80. Самохин, А. Б. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на трехмерном диэлектрическом теле / А. Б. Самохин // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 1996. - Т. 36, № 8.

81. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения для нестационарных задач электродинамики в материальных средах / А. Б. Самохин // Дифференц. уравнения. - 2002. - 38, № 9. - С. 1288 - 1290.

82. Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. - М.: Наука. - 1962.

83. Турецкий, А. X. Теория интерполирования в задачах / А. X. Турецкий. - Минск: Изд-во "Вышэйшая школа", - 1968.

- 320 с.

84. Фролов, А. В. О гармоническом анализе действительных функций на сфере / А. В. Фролов, В. И. Цветков // Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 2004. - 44, № 11. - С. 1964 - 1971.

85. Хай, М. В. Двумерные интегральные уравнения типа ньютоновского потенциала и их приложения / М. В. Хай. - Киев: Наукова думка.

- 1993. - 253 с.

86. Хволес, А. С. Метод последовательных приближений для одного интегрального уравнения с неподвижной особенностью / А. С. Хволес // Сообщ. АН ГрузССР. - 1958. - 21, № 5. - С. 519 - 522.

87. Эбаноидзе, Т. А. Об одном нелинейном интегральном уравнении с неподвижной особенностью / Т. А. Эбаноидзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1959. - 23, № 5. - С. 521 - 526.

88. Эбаноидзе, Т. А. Об одном двумерном интегральном уравнении с неподвижной особенностью / Т. А. Эбаноидзе // Труды вычисл. центра АН ГрузССР. - 1960. - 1. - С. 57 - 61.

89. Эбаноидзе, Т. А. О бесконечной системе нелинейных интегральных уравнений с неподвижной особенностью / Т. А. Эбаноидзе // Сообщ. АН ГрузССР. - 1961. - 26, № 2. - С. 129 - 135.

90. Agranovich, М. S. Spectral properties of potential type on smooth and nonsmooth surfaces / M. S. Agranovich // Spectral and Evolution Problems Vol.10. Proc. 10th Crim. Autumn Math. Scholl-Symp., Sevastopol. -Simpheropol: Nat. Taurida Univ., 2000.

91. Cools, R. A survey of known and new cubature formulas for the unit disk / R. Cools, Kim. K. Y. // Journal of Korean Computational and Applied Mathematics. - 2000. - V. 7, № 3. - P. 477 - 485.

92. Cruz-Barrosco, R. Sequences of orthogonal Laurent polynomials, biorthogonal and quadrature formula on the unit circle / R. Cruz-Barrosco, L. Darius, P. Gonzalez-Vera, O. Njastad // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2007. - V. 200, № 1. - P. 424 - 440.

93. Edmundus, D. E. Potential-type operators in Lp(xyspaces / D. E. Ed-mundus, A. Meskki // Z. Anal, und Anwend. - 2002. - V. 21, № 3. -P. 681 - 690.

94. Gazza, L. Orthogonal polynomials and measures on the unit circle. The Geronimus transformations / L. Gazza, J. Hernandez, T. Marcellan // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2010. - V. 233, № 5. - P. 1220 - 1231.

95. Giraud, G. Equations à intégrales principales / G. Giraud // Ann. Scient. École norm, supér. - 1934. - V. 51, fasc. 3 et 4. - P. 251 - 372.

96. Giraud, G. Sur certains opérations du type elliptique / G. Giraud // C. r. Acad. sci. - 1935. - V. 200. - P. 1651 - 1653.

97. Giraud, G. Sur une classe générale d'équations à intégrales principales / G. Giraud // C. r. Acad. sci. - 1936. - V. 202, № 26. - P. 2124 - 2126.

98. Gong, Y. Singular integral operators in L2-spaces associated with generalized Jacobi weights / Y. Gong, J. Du // Acta math. sci. - 2002. - V. 22,

№ 4_ _ p. 484 . 488.

99. Heo, S. Constructing cubature formulae for spheres and balls / S. Heo, Y. Xu // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1999. -V. 112, № 1-2. - P. 95 - 119.

100. Kinoshita, N. On boundary value problem of elasticity / N. Kinoshita, T. Mura // Res. Repts Fac. Engng. Meiji Univ. - 1956. - № 8. - P. 56 -82.

101. Lifanov, I. K. Hypersingular integral equations and their applications / I. K. Lifanov, L. N. Poltavskii, G. M. Vainikko. - CRC Press, 2004. -394 p.

102. Lifanov, I. K. On the numerical solution of a hypersingular integral equation on the circlc with a singular and a weakly singular terms / I. K. Lifanov, L. N. Poltavskii // Diff. Equations. - 2007. - V. 43, № 7. - P. 974

- 993.

103. Long, N. On nonexistanceof positive solution of a nonlinear integral equation / N. Long, D. Binh // Demotstr. math. - 2001. - V. 34, № 4. - P. 837

- 845.

104. Maizenberg, I. G. Weakly singular integral operators in weighted Holder spaces / I. G. Maizenberg, S. A. Tarnopolskaya, M. B. Shapiro // Ukranian Mathematical Journal. - 1983. - V. 34, № 4. - P. 417 - 419.

105. Mikhlin, S. G. Singular integral operators / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf. -Berlin: Springer, 1986. - 528 p.

106. Nakanishi, H. Pulse solution of crack propagation / H. Nakanishi // Phys-ica A. - 2000. - V. 288, № 1 - 4. - P. 409 - 416.

107. Polyanin, A. D. Handbook of integral equations. 2nd edition. / A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. - LCC: Taylor and Francis Group, 2008. - 1079 p.

108. Rakotondratsimba, Y. Two-weight inequality for homogeneous singular integral operators / Y. Rakotondratsimba // SUT J. Math. - 2000. -V. 36, № 2. - P. 225 - 249.

109. Ren, Y. A Simple Teylor-series expansion method for a class of second kind integral equations / Y. Ren, B. Zhang, H. Oiao // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1999. - V. 110, № 1. - P. 15 -24.

110. Trikomi, F. J. Formula d'inversione dell'ordine di due integrazioni doppie "con asterisco" / F. J. Trikomi // Rend. Accad. Naz. Lincei. - 1926. - №3, ser. 6a, fasc. 9. - P. 535 - 539.

111. Trikomi, F. J. Equazioni integrali contenenti il valor principale di un inte-grali doppio / F. J. Trikomi // Math. Z. - 1928. - №27. - P. 87 - 133.

112. Vainikko, G. M. Multidimensional Weakly Singular Integral Equations / G. M. Vainikko. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993. - 159 p.

113. Wang, Y. Fast wavelet collocation methods for second kind integral equations on polygons (PhD dissertation) / Y. Wang. - West Virginia University, 2003.

114. Xu, Y. Orthogonal polynomials and cubature formulae on balls, simplices and spheres / Y. Xu // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2001. - V. 127, № 1-2. - P. 349 - 368.

Список научных работ

115. Габдулхаев, Б. Г. Методы решения одного класса многомерных сингулярных интегральных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина / / Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 27 июня - 4 июля 2005г.). - Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 30. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2005. - С. 30 - 34.

116. Габдулхаев, Б. Г. О кубатурных формулах для одного класса многомерных слабо сингулярных интегралов / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Матер1али II М1жнародно1 науково-практично'1 конференцй' "Дш науки - 2006", Т.35. Математика. - Дшпропетровськ: Наука и осв1та. - 2006. - С. 12 - 18.

117. Габдулхаев, Б. Г. Приближенные методы решения одного класса многомерных сингулярных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. - 2006. -№ 11. - С. 11 - 16.

118. Губайдуллина, Р. К. Метод наименьших квадратов решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений /

Р. К. Губайдуллина// Материалы Пятой молодёжной научной школы-конференции "Лобачевские чтения -2006" (Казань, 28 ноября

- 2 декабря 2006г.). - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2006. - С. 66

- 68.

119. Губайдуллина, Р. К. Приближенные методы решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Сб. докладов конференции, посвященной 10-летию филиала КГУ в г. Зеленодольске "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук"(23 ноября 2006 г.). - Казань: Каз. гос. ун-т. - 2006. - С. 93 - 96.

120. Губайдуллина, Р. К. Об оценках операторов Лагранжа в многомерных пространствах / Р. К. Губайдуллина // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 27 июня - 4 июля 2007 г.). - Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 35. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2007. - С.83 - 85.

121. Агачев, Ю. Р. Об одном многомерном слабосингулярном интегральном уравнении / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. - № 11. - 2007. - С. 3 - И.

122. Губайдуллина, Р. К. Сходимость в среднем кубатурного метода для одного класса интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти академика П.Л.Ульянова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. -С. 59 - 60.

123. Агачев, Ю. Р. Кубатурный метод решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Ю. Р. Агачев,

Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. - № 12. - 2009. - С. 3 - 13.

124. Губайдуллина, Р. К. Метод механических кубатур решения одного класса двумерных слабо сингулярных интегральных уравенений / Р. К. Губайдуллина // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 1-7 июля 2011 г.). - Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 43. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. -2011. - С. 106 - 109.