Применение принципа компактности для приближенного решения интегральных уравнений второго рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Исомаддинова, Раънохон Мирзохамдамовна

• Исомаддинова, Раънохон Мирзохамдамовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исомаддинова, Раънохон Мирзохамдамовна

Введение.

Глава I. Основные понятия и утверждения.

§ 1. Сеточные функции и их свойства.

§ 2. Метод механических квадратур.

Глава II. Приближенные решения дифференциальных и интегральных уравнений в непрерывном случае.

§ 3. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

§ 4. Случай однозначной разрешимости.

§ 5. Случай неоднозначной разрешимости.

§ 6. О сходимости приближенных решений.

§ 7. Априорные оценки приближенных решений.

Глава III. Приближенные решения интегральных уравнений с разрывным ядром.

§ 8. Случай слабо сингулярного ядра.

§ 9. Априорные оценки.

§ 10. Сходимость приближенных решений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение принципа компактности для приближенного решения интегральных уравнений второго рода»

Актуальность темы. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений составляют важное направление в теории приближенных методов решения математических задач. Эти методы приобрели особое значение в связи с возникновением дифференциальных и интегральных уравнений в прикладных задачах: теории упругости, гидро-и аэродинамике, физике элементарных частиц и др. (см., например, [17, 18, 23, 27, 40, 43, 45, 52, 53, 56] и имеющуюся там библиографию). В общей теории приближенных методов основополагающую роль сыграли фундаментальные работы Л.В.Канторовича, Н.Н.Боголюбова, Н.М.Крылова, Г.И.Петрова, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского и др. (см., например, [36, 37, 41, 42, 48, 51] и имеющуюся там библиографию).

Одним из самых эффективных методов приближенного решения интегральных уравнений является метод механических квадратур (ММК). Он широко распространен на практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений (см., например, [14, 15, 35]). Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применялась еще в фундаментальных работах Фредгольма и Гильберта. В 1904 г. Фредгольм используя формулу прямоугольников заменял интегральное уравнение с непрерывным ядром на СЛАУ. Позднее Гильбертом было дано доказательство сходимости решений СЛАУ к решению интегрального уравнения (см., например, [59]). Использование СЛАУ для приближенного решения интегральных уравнений получило дальнейшее развитие в работах финского математика Нистрёма, который применял и более точные квадратурные формулы (см., например, [61, 62]).

Созданный А.Н.Тихоновым [51] метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач позволил глубже применять ММК для приближенного решения интегральных уравнений, в частности интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Применению метода регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма второго рода посвящены ряд работ Б.Алиева (см., например, [2 - 5]).

Разработанный С.М.Никольским [45] простой метод подсчета погрешностей квадратурных формул позволяет находить точные оценки скорости сходимости приближенных решений интегральных уравнений (см. также [1, 39, 50]). Построению наилучших квадратурных формул посвящены ряд работ М.Шабозова (см., например, [54, 55]).

Численным методам решений интегральных уравнений с разрывными ядрами, наиболее часто встречающихся в прикладных задачах, посвящены большое количество работ К.И.Бабенко, С.М.Белоцерковского, Б.Г.Габдулхаева, В.В.Иванова, И.К.Лифанова, А.Ф.Матвеева и др. (см., например, [6, 7, 11 - 13, 19, 20, 24, 40, 47, 57, 58, 60]).

Дальнейшее изучение ММК для приближенного решения интегральных уравнений второго рода остается актуальной и важной как с теоретической, так и с практической точек зрения. Особенно важными являются следующие вопросы: применение ММК к интегральным уравнениям с разрывным ядром, рассмотрение случаев наличия спектра, указание номера, начиная с которого СЛАУ, к которой приведено интегральное уравнение разрешима.

Цель работы. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода ь

Lu = u(s)~ \K(s,t)u{t)dt = f(s\ a<s <b, (0.1) a с непрерывными и слабо сингулярными ядрами на основе ММК и принципа компактности получить новые утверждения о приближенных решениях, как в случае однозначной разрешимости, так и в случае наличия спектра.

Общие методы исследования. В работе применяются ММК, принцип компактности в пространстве непрерывных на отрезке функций и ряд методов функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Получено новое доказательство разрешимости СЛАУ =/<->, (0.2) полученных путем применения ММК к интегральному уравнению (0.1).

2. Указан номер, начиная с которого СЛАУ (0.2) разрешима.

3. Получены априорные оценки для приближенных решений (решений СЛАУ (0.2)) интегрального уравнения (0.1) как в случае непрерывного, так и в случае слабо сингулярного ядра.

4. Установлена сходимость приближенных решений к точному решению.

5. В случае наличия спектра доказана сходимость приближенных решений к нормальному решению интегрального уравнения.

Теоретическая и практическая ценность диссертации. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- конференция «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент» (2002 г., Ташкент);

- международная конференция «Актуальные проблемы математики и ее приложения» (2003 г., Худжанд);

- международная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (2005 г., Душанбе);

- конференции преподавателей Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана;

- семинар кафедры высшей математики и моделирования Таджикского госуниверситета права, бизнеса и политики;

- семинар кафедры дифференциальных уравнений Худжандского госуниверситета им. академика Б.Г.Гафурова;

- семинар кафедры высшей математики и физики Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ (см. [28 -34]). Все результаты диссертации принадлежат лично автору за исключением постановки задач.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 99 страницы. В списке литературы - 62 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исомаддинова, Раънохон Мирзохамдамовна, 2008 год

1. Акбергенов И. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма. //Матем. сб. 1936. Т. 42, вып. 6.

2. Алиев Б. Регуляризирующие алгоритмы для устойчивого нормального решения уравнения 2-го рода на спектре. //ЖВМ и МФ. 1970. Т. 10, №3.

3. Алиев Б. Оценка метода регуляризации для интегральных уравнений 2-го рода на спектре. //ЖВМ и МФ. 1971. Т. 1, № 2. С. 505 510.

4. Алиев Б. Построение приближения к нормальному решению уравнения Фредгольма 2-го рода на спектре. //ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39, № 7. С. 1087-1092.

5. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 832 с.

6. Артмеладзе Н.А. Труды Математического института АН Гр. ССР. 1944. Т. 13. С. 287-295.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 631 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1959. Т. 1, 1960. Т. 2.

10. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37, № 1.С. 36-59.

11. Блатов И.А., Бубнова Н.В. Об оценках элементов матриц в методе вейвлет-галеркина для сингулярных интегральных уравнений. //Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2004. Специальный выпуск. Вычислительная математика.

12. Бубнова Н.В. Свойства разреженных матриц в методе Бубнова-Галеркина. //В материалах Всероссийской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ — 2004)». 27 — 28 мая 2004 г., Самара. С. 33 -36.

13. Вайникко Г.М. Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений.//ЖВМ и МФ. 1967. Т. 7, № 4. '

14. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. Тарту. Изд. Тартуского гос. ун-та, 1970.

15. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд. МГУ, 1989.

16. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 732 с.

17. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977.486 с.

18. Габасов Н.С., Касакина И.П. К численному решению интегральных уравнений второго рода в классе гладких функций. //В материалах Всероссийской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ 2004)». 27 - 28 мая 2004 г., Самара.

19. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань. Изд-во Казанского университета. 1995.-230 с.

20. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.248 с.

21. Гилязов Ф.Г., Морозов В.А. Оптимальная регуляризация некорректных нормально разрешимых операторных уравнений. //ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24, № 11. С. 1737 1742.

22. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

23. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968.

24. Иванов В.И., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

25. Ильин А.Н., Емельянов К.В. О числе арифметических действий необходимых для приближенного решения ИУФ второго рода. //ЖВМ и МФ. 1967. Т. 7, № 4. С. 905 910.

26. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. 336 с.

27. Исомаддинова P.M. Об одном доказательстве теоремы о сходимости м.етода механических квадратур решений интегральных уравнений.// Материалы научно-практ. конф. ХФТУТ. Худжанд. 2001г. С. 6-9. •

28. Исомаддинова P.M. Об одном применении теоремы Арцела. // Материалы научно-практ. конф. ХФТУТ. Худжанд. 2002г. С. 8-9.

29. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э. О сходимости метода механических квадратур.// Материалы конф. «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент», Ташкент, 2002г. С. 55-56.

30. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Гуломнабиев С. О численном решении интегрального уравнения Фредгольма с разрывным ядром.// Материалы межд. конф. «Актуальные проблемы математики и ее приложения», Худжанд. 2003г. С. 92-93.

31. Исомаддинова P.M. О численном решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода.// Доклады АН РТ. Т.47, № 4, 2004г. С. 2226.

32. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Байзаев С. О приближенных решениях интегрального уравнения Фредгольма второго рода в случае неоднозначной разрешимости.// Доклады АН РТ. Т.50, № 11-12, 2007г. С. 808-811.

33. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

34. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа." М. Л.: Физматгиз, 1962.

35. Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 741 с.

36. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука,1967.

37. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостех-издат, 1954.

38. Матвеев А.Ф. Прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений и их приложение к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц. Докторская диссертация. МГУ. 1999.

39. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

40. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

41. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

42. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. Т. 1. М.: Радио и связь, 2000. 509 с.

43. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988. 216 с.

44. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двухмерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка, 1984. 344 с.

45. Савченко А.О. Решение линейных уравнений со слабой сингулярностью неявным квадратурным методом высокой точности. //Межд. конф. по вычислительной математике. МКВМ 2002 (24 - 28. 06.02), Новосибирск.

46. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука,1971.

47. СёгеГ. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 550 с.

48. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. , ^ ■ •

49. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

50. Уфлянд Я.С. // Журнал технической физики. 1978. Т. 48. Вып. 8. С. 1741-1744.

51. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. М.: Наука, 1977. 220 с.

52. Шабозов М.Ш, Каландаршоев С.С. //Докл. АН ТаджССР. 1988. Т. XLI, №10. С. 69-75.

53. Шабозов М.Ш., Сангмамадов Д. О наилучших квадратурных формулах для интегралов с фиксированной особенностью.//Труды межд. конф. по диф. и интег. ур-ям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 25 28 октября 2003 г. С. 22 - 26.

54. Шушкевич Г.Ч. Электростатическое поле тонкой незамкнутой сферической оболочки и тора. //Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №7. С. 1 6.

55. Beylkin G., Coifman R., Rochlin V. Fast wavelet transforms and numerical algorithms //Comm. Pure. Appl. Math. 1991. Vol. 44. P. 141 183.

56. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Comm. Pure. Appl. Math. 1988. Vol. 46. P. 909 996.

57. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral-gleichungen. Verlag von Teubner. Leipzig und Berlin, 1924.

58. Hildebrand T. Proc. Amer. Ac. Arts. u. Sci. 74. P. 287 295. 1941.

59. Nystrom. Comm. Phys.-Math. Soc. Scient. Fenn., t. IV, № 15. Acta Math. t. 54. 1930.

60. Nystrom. Acta Math. t. 76. P. 157 184. 1945.У