Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с положительными операторами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Абрамова, Вера Викторовна

• Абрамова, Вера Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абрамова, Вера Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ПРИБЛИЖЕНИЙ

§1. Элементы общей теории приближённых методов

функционального анализа

§2. Вспомогательные результаты из теории

приближения функций

2.1. Непериодические функции

2.2. Периодические функции

ГЛАВА II. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Регулярные интегральные уравнения

1.1. Введение

1.2. Теоремы существования, единственности и устойчивости решения

1.3. Итерационные методы

1.4. Общий проекционный метод

1.5. Методы ортогональных многочленов и сплайн-подобластей

1.6. Проекционно-итеративные методы

1.7. Полиномиальный метод квадратур

1.8. Метод сплайн-квадратур

1.9. Некоторые замечания и дополнения

§2. Периодические интегральные уравнения типа свёртки

2.1. Введение

2.2. Теорема существования и единственности решения

2.3. Метод редукции

2.4. Метод коллокации

§3. Сингулярные интегральные уравнения

3.1. Введение

3.2. Теоремы существования и единственности решения

3.3. Итерационный метод

3.4. Об общем проекционном методе и его частных

случаях

3.5. Методы коллокации и механических квадратур

ГЛАВА III. СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §1. Периодическая краевая задача для дифференциального

уравнения первого порядка с параметром при производной

1.1. Теоремы существования и единственности решения

1.2. Итерационный метод

1.2. Метод редукции

1.4. Метод коллокации

1.5. Проекционно-итеративный метод

§2. Периодическая краевая задача для сингулярных интегро-

дифференциальных уравнений с параметрами

2.1. Предисловие

2.2. О теоремах существования и единственности решения

2.3. Общий проекционный метод

§3. Задача Кош и для сингулярного интегро-дифференциального

уравнения первого порядка с параметрами

3.1. Метод коллокации

3.2. Метод коллокации. Продолжение

§4. Сплайн-методы решения дифференциальных уравнений

с параметром при производной

4.1. Периодическая краевая задача

4.2. Задача Коши

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с положительными операторами»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена точным и приближённым методам решения ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро -дифференциальных уравнений с интегралами, понимаемыми как в смысле Ри-мана и Лебега, так и в смысле главного значения по Коши-Лебегу.

Актуальность темы. Значительное число теоретических и прикладных задач приводит к необходимости решения различных классов интегральных и и н те г р од и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений с параметрами. Теория таких уравнений в настоящее время достаточно хорошо разработана и изложена в известных учебниках, монографиях и научных статьях. Из неё следует, что указанные уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях, и даже в этих случаях для доведения результата до числа приходится использовать теорию приближения функций и операторов. Поэтому как для теории, так и, в особенности, для приложений первостепенное значение приобретает разработка аппроксимативных методов решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. В этой области за последние десятилетия достигнут существенный прогресс благодаря работам как отечественных, так и зарубежных авторов. Итоги достигнутых результатов подведены в специальных обзорных работах и монографиях таких авторов, как А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, Б. Г. Габдулхаев, В. А. Зо-лотаревский, В. В. Иванов, Л. И. Кривошеин, И. К. Лифанов, С. Г. Мих-лин, Н. Я. Тихоненко, М. Голберг (М. Golberg), 3. Прёсдорф (S. Prößdorf), С. Фенио (S. Fenyö), Г. Штолле (Н. Stolle), Д. Эллиот (D. Elliot) и др. Однако, несмотря на сказанное, здесь всё ещё остаётся много нерешённых задач. Данная диссертация призвана в некоторой степени восполнить этот пробел.

Цель работы.

а) Установление практически эффективных достаточных условий существования, единственности и устойчивости решений ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами;

б) разработка аппроксимативных методов решения указанных классов уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

Под теоретическим обоснованием метода, следуя Л. В. Канторовичу [58], в диссертации понимается следующий круг вопросов:

а) установление осуществимости и сходимости алгоритма;

б) исследование скорости сходимости;

в) получение эффективной оценки погрешности;

г) исследование устойчивости и обусловленности метода.

Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации использованы известные результаты из теории приближения функций полиномами и сплайнами, регулярных и сингулярных интегральных уравнений, общей теории приближённых методов функционального анализа и теории положительно определённых операторов в гильбертовых пространствах. При этом мы существенным образом пользуемся также методикой исследований, предложенной в главе 4 монографии Б. Г. Габдулхаева [31].

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:

а) предложены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений ряда классов регулярных и сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами на основе теории положительных операторов;

б) для таких уравнений предложено теоретическое обоснование различных классов полиномиальных и сплайновых прямых и проекционных методов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии точных и приближённых методов решения регулярных и сингулярных интегральных уравнений и их обобщений. Они могут быть использованы также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Одесса, ОГУ, 1991 г.), Международной научной конференции «Лобачевский и современная геометрия» (г. Казань, КГУ, 1992 г.), Республиканской научно-методической конференции (г. Одесса, ОГУ, 1992 г.), Международной научной конференции, посвящённой 100-летию Н. Г. Чеботарёва (г. Казань, КГУ, 1994 г.), Школе-конференции, посвящённой 100-летию Б. М. Гагаева (г. Казань, КГУ, 1997 г.), Международной научно-технической конференции «Меха-

ника машиностроения» (г. Набережные Челны, КамПИ, 1997 г.). Кроме того, результаты диссертации, по мере их получения, регулярно докладывались на итоговых научных конференциях КРУ и КГПУ, а также на научном семинаре «Теория аппроксимации и её приложения» при КРУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых приводится в конце диссертации.

Теперь приведём краткий обзор научной литературы, имеющей непосредственное отношение к обсуждаемым в диссертации вопросам.

В начале для удобства изложения приведём следующие определения, ограничиваясь лишь нужным нам случаем гильбертовых пространств.

Определение 1. Линейный оператор А, заданный в вещественном гильбертовом пространстве X = {ж} с обычными скалярным произведением (ж, у) элементов ж, у Е Л' и нормой ||ж|| элемента х Е X, называется:

а) неотрицательным, если

(Ах, ж) ^ О, Уж Е X:

б) положительным, если

(Ах, ж) > 0, Уж £ X, х ф 0;

в) положительно определённым, если

(Аж,ж) ^ 72||ж||2, Уж Е А",

где 72 — положительная постоянная, не зависящая от х Е X.

Это определение можно найти, например, в книге С. Г. Михлина [81], там же имеются сведения библиографического характера.

Определение 2. Оператор А (вообще говоря, нелинейный) в гильбертовом пространстве X называется:

а) монотонным, если

(Ах - Ау, х - у) > 0, Ух, у Е А';

б) строго монотонным, если

(Ах - Ау, х - у) > 0, Уж, у Е А', х ф. у\

в) сильно монотонным, если

(Ах - Ау,х - у) ^ т\\х - у\\2, Уж, у Е А, где т — положительная постоянная, не зависящая от ж,у Е А'.

Это определение можно найти в монографиях [13,37,69,70], там же имеются сведения исторического характера.

Определение 3. Оператор А в произвольном (в том числе комплекс-пом) гильбертовом пространстве X называется псевдомонотонным, если

|(Ах - Ау,х - у)| ^ \\х - у\\ т(\\х - у||), Ух, у е X,

где т(Ь) — возрастающая функция, удовлетворяющая условиям т(0) = 0 и т(£) —>■ Ч-оо при £ —)■ +оо.

Заметим, что первое предложение об уравнениях с псевдомонотонными операторами в гильбертовом пространстве приведено в рукописи Э. За-рантонелло (Е. Zarantonello) (см., напр., в [13] и там же о последующих обобщениях).

Метод положительных линейных операторов и, как его обобщение на нелинейный случай, метод монотонных операторов широко применяется в математическом анализе и дифференциальных уравнениях при доказательстве теорем существования и единственности решения различных классов уравнений, а также для их приближённого решения методами Галёркина и последовательных приближений. Этим вопросам посвящена обширная литература. С учётом сказанного выше остановимся на некоторых из таких работ, особенно на тех, которые имеют прямое отношение к тематике данной диссертации.

В первую очередь мы считаем необходимым отметить ставшие уже классическими результаты С. Г. Михлина по операторным уравнениям с симметричными положительными операторами в гильбертовых пространствах и их применениям к приближённому решению различных классов обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений. Эти результаты хорошо известны, их подробное изложение можно найти, например, в монографии [81]. Изложение близких результатов на основе теории финитных функций имеется (наряду с многими другими результатами) в книге Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [77]. В недавней книге С. Г. Михлина [82], в разделе, посвящённом интегральным уравнениям, даётся обоснование метода Бубнова-Галёркина для одномерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, когда его ядро представляется в виде суммы положительного симметричного и антисимметричного ядер. Там же указаны некоторые простые условия положительности интегрального оператора Фредгольма.

Впервые в отечественной монографической литературе детальное изложение метода монотонных операторов с многочисленными приложениями осуществлено в книге М. М. Вайнберга [13]. В ней наряду с обстоятель-

ным историческим обзором дано систематическое изложение метода в общем случае и показано его применение при изучении нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и их обобщений, нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых и гильбертовых пространствах, эллиптических и параболических квазилинейных краевых задач; в книге рассмотрены также методы Галёркина-Петрова и наискорейшего спуска решения нелинейных уравнений с монотонными операторами.

В книге немецких математиков X. Гаевского (Н. Gajewski), К. Грёre-pa (К. Gröger), К. Захариаса (К. Zacharias) [37], написанной как учебник, даётся изложение основных фактов теории монотонных операторов и эта теория систематически применяется к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются также приближённые методы решения указанных уравнений методами Галёркина, последовательных приближений и проекционно-итеративным методом.

В работе [108] П. Чэн (P. P. Chan) на основе метода монотонных операторов приведены теоремы существования решения (как правило, в условиях сжимаемости соответствующих операторов) интегрального уравнения Фредгольма второго рода и нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и Урысона, а также отмечены пути применения к ним метода Галёркина. Указанный результат с небольшими изменениями и обобщениями излагается также в книге [109] С. Фенио (S. Fenyö), Г. Штолле

В работах [60,61,74-76] В. Л. Макарова и Г. С. Каркарашвили рассматривается применение метода монотонных операторов к одномерным линейным и нелинейным интегральным уравнениям. В частности, в [60,61,76] рассмотрен своеобразный сеточный метод решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода и нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна в пространствах С. Л. Соболева 1), 0 < а < 2, в предположении малости £2~нормы ядра. В заметке [74] аналогичные результаты анонсируются для уравнения Фредгольма вида

с ядром K(x,t), порождающим монотонный оператор К в смысле

(Н. Stolle).

(0.1)

о

i i

о о

для любых Л = const ^ 0. В работе [75] эти результаты подробно изложены применительно к линейному уравнению Фредгольма второго рода и нелинейному уравнению Урысона. Приведены достаточные условия, при которых решения указанных уравнений принадлежат дробным соболевским пространствам И/2а(0,1), 0 < о < 2. Путем специального усреднения по Стеклову ядра и правой части построены сеточные схемы. Установлена скорость сходимости приближённого решения к усреднённому точному. При решении уравнений с монотонными операторами используется специальный усредняющий оператор (оператор точных разностных схем). При этом получающиеся разностные схемы обладают скоростью сходимости, согласованной с гладкостью решения исходной интегральной задачи.

В монографии А. Ю. Лучки [69], наряду с многими другими результатами, для различных классов интегральных и родственных операторных уравнений с монотонными операторами предложены вычислительные схемы проекционно-итеративного метода и дано их теоретическое обоснование в банаховых и гильбертовых пространствах. В работе А. Ф. Лучки, О. Е. Нощенко и Н. И. Тукалевской [71] предлагается двух шаговый вариационно-градиентный метод для решения линейных уравнений Аи = /, где А — самосопряжённый положительно определённый оператор в гильбертовом пространстве. Даны обоснование метода и алгоритм для численной реализации. В работе С. Д. Балашовой [8] для решения уравнения Аи = f с положительно определённым оператором Л, заданным в вещественном гильбертовом пространстве X, рассмотрен проекционно-итеративный метод, установлена его сходимость.

Впервые вопрос о применении метода монотонных операторов к исследованию сингулярных интегральных уравнений поднимается в работе [105] Г. Аманна (Н. Amann), где на стр. 253 рассматриваются два примера таких уравнений. Приведём их.

Пример 1. В гильбертовом пространстве X = Ь^—к, к) рассматривается уравнение вида

где /(у, и) — известная непрерывная функция в области —уг ^ у ^ тг, —оо < и < ос, м(£) — искомая функция. Если оператор Р : X —X, где (Ги)(х) = /(ж, и(х)), является хеминепрерывным и сильно монотонным с постоянной монотонности т = а > 0, то уравнение (0.2) имеет единственное решение Уц Е X, которое можно найти итерационным методом

Щ = 0, ип+[ = ип - тК*[ип + KF(un)], п = 0,1,... (0.3)

Если, кроме того, F есть липшиц-непрерывный оператор, то существует такое г0 > 0, что для всех т G (0, т0) итерационный метод (0.3) сходится к vo(x), причём

IK - V0|| < а-1 ||м„ + A*F(w„)||, п = 0,1,...,

где

ж

(Ku){x) = ^ J (l + ctg ^^)u(y)dy,

—7Г

7Г

(К*и)(х) = -L J (1-ctg X-^L)u(y)dy.

—ж

Пример 2. В пространстве X — Ь2(—тг, 7г) рассматривается уравнение вида

ж

Si' X _

«(ж) + — / ctg---/(.'/, м(?/))(% = 0, £ = ±1, -ТГ < .1- < ТГ, (0.4)

—flatte f(y,u) — известная непрерывная функция в области —тг ^ у ^ тт, —оо < и < оо, u{t) — искомая функция. Если оператор F : X —ï Л*, где (Fu)(x) = f(x,u(x)), удовлетворяет условию Липшица и для любых м, h G А'

Re(F(w + /¿) - F(w), Л) > а||/гЦ2, а = const > О,

то уравнение (0.4) имеет единственное решение г>о G X; существует такое то > 0, что для всех т G (0, tq) итерационный метод

щ = 0, iin+i = ип + теК[ип + cKF(un)}, s = ±1, п — 0,1,... (0.5)

сходится в пространстве X к единственному решению уравнения (0-4), где

ж

J^ / _ у

(К и) (х) = ~ / et g -—u(y)dy, -тг < X ^ тт.

—ж

В последующие годы, используя различные идеи и подходы, метод монотонных операторов был применен к исследованию различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши. Здесь мы в первую очередь отметим работы С. Н. Асхабова, А. И. Гусейнова, Г. М. Магомедова, X. Ш. Мухтарова, а также результаты

М. А. Бетилгириева, Р. А. Бостанова, М. Н. Асхабовой, Р. М. Ганиевой, Ы. К. Карапетянца и X. Б. Ханикалова (см., напр., в [3,4,41,43,73,85,86]). Обстоятельный обзор результатов до 1989 года имеется в первой части содержательной работы С. Н. Асхабова [3]; во второй её части для ряда классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в пространстве Lp(—ir, тг), 1 < р < сю, и с ядрами Коши в весовых пространствах Lp(p; [а, &]), 1 < р < сю, b — а < сю, и Lp(p; (—сю, сю)), 1 < р < сю, где р = р(х) - соответствующая весовая функция, доказаны теоремы существования и единственности решения, а также установлена сходимость метода последовательных приближений. В работе [4] аналогичные вопросы решаются для уравнения типа свёртки вида

х

иа(х) = J К(х — t)u(t)dt = f(x), а = const > 1. о

В работе [73] доказываются теоремы существования и единственности решений уравнений вида и + XAFu = д при малом и большом |А|, где А — линейные сингулярные интегральные операторы, a (Fu)(x) = f(x, и(х)).

К только что рассмотренному циклу работ примыкают работы Л. Воль-ферсдорфа (L. Wolfersdorf); (см., напр., [110,113,114]), в которых с помощью теории монотонных операторов (см., напр., в [37]) доказываются теоремы существования и единственности решения ряда классов линейных и нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши. Кроме того, в работе [110] приведен квалифицированный обзор соответствующих результатов до 1987 года, а в работе [114] при некоторых ограничениях (рассмотрены четыре типа таких ограничений) получены теоремы существования и единственности решения сингулярного интегрального уравнения

а

fix, и(х)) = ~ I i^Mtdy + с, -а^х^а,

тт J у-х

—а

где u(t) и С — искомые функция и параметр, а известные функции f(t, и) и g(t.. и) имеют непрерывные производные по переменной и.

В работах В. П. Кадушина [55-57] метод монотонных операторов применяется к обоснованию ряда схем проекционно-итеративных методов решения линейных и нелинейных сингулярных интегральных уравнений с комплексно сопряжёнными неизвестными, заданных на единичной окружности комплексной плоскости. В частности, для таких уравнений с

помощью оператора Фурье Лагранжа построена и теоретически обоснована схема проекционно-итеративного метода; доказана сходимость метода и установлена эффективная оценка погрешности.

Далее, в работах [106,107] Д. Н. Арнольда (D. N. Arnold), В. Л. Вендлан-да (W. L. Wendland) в дробных соболевских пространствах дано обоснование метода сплайн-коллокации и сплайн-тригонометрического метода Галёркина решения для т.н. псевдодифференциальных уравнений на замкнутых контурах; заметим, что такие уравнения имеют определённое отношение к сингулярным интегральным уравнениям.

В работе В. И. Тараканова [97] краевые задачи плоской теории упругости сводятся к системе Ти = / (и, / G Н) двух линейных сингулярных интегральных уравнений с ограниченным самосопряжённым положительно определённым оператором Т в гильбертовом пространстве Н квадратично суммируемых вектор-функций. К решению такой системы применяется итерационный метод градиентного спуска (см., напр., в [64])

*jn+i = ип + тпгп, гп = f - Тип, тп = Уп}г1п\ , п = 0,1,..., (0.6)

УП7 1 ' Н ]

который сходится со скоростью геометрической прогрессии.

В работах [90-93] А. Б. Самохина и А. С. Самохиной методом положительно определённых операторов исследован ряд важных прикладных задач. Так, в работе [90] проведено исследование разрешимости задач дифракции эле к г ромагнитных волн в локально неоднородных анизотропных средах на основе линейных сингулярных интегральных уравнений. Обоснована применимость итерационного метода минимальных невязок (см., напр., в [64])

— -j- tnTn, iп — f Aiin, tn = — - r, ti — 0,1,..., (0.7)

АГп J

для получения решения объемных сингулярных интегральных уравнений Аи — f (и, f G L2), описывающих указанный выше класс задач в гильбертовом пространстве X = L-2(Q), где Q — область определения функций u(t) и f(t). В работе [91] проведено исследование разрешимости объемных линейных сингулярных интегральных уравнений, которые описывают трехмерные задачи дифракции электромагнитных волн. Доказана ограниченность и положительная определённость со от в етст ву ю щ его объёмного сингулярного интегрального оператора. Описан численный метод решения указанных уравнений и доказана сходимость приближённого решения к точному на основе методов Галёркина и минимальных невязок. В работе [92] исследованы объемные линейные сингулярные интегральные уравнения задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле.

Доказаны теоремы существования и единственности решения, обоснован и изучен численный метод решения на основе методов Галёркина и минимальных невязок. В работе [93] изучается применимость итерационного метода минимальных невязок для решения объемного линейного сингулярного интегрального уравнения, описывающего задачи дифракции электромагнитных волн на трехмерном диэлектрическом теле. Дискретизация интегрального уравнения проводится с помощью методов Галёркина и коллокации.

В монографии Б. Г. Габдулхаева [30], наряду со многими другими результатами, предложено исследование прямых методов решения ряда классов линейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциаль-ных уравнений первого рода методом положительных операторов. Систематическому применению этого метода к различным классам одномерных и многомерных линейных интегральных уравнений посвящены работы [29,31-34]. В них рассматриваются следующие уравнения: а) одномерные сингулярные интегральные уравнения с ядрами Гильберта и Кош и; б) двумерные регулярные интегральные уравнения с частными интегральными операторами; в) двумерные сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами как с внешними, так и с внутренними коэффициентами; г) многомерные сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами с ядрами Гильберта. Для таких уравнений методом положительных операторов установлены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений. На их базе обосновывается оптимальный по порядку общий проекционный метод, откуда, в свою очередь, выводится достаточно простое теоретическое обоснование ряда конкретных прямых и проекционных методов; значительное внимание уделено полиномиальным и сплайновым квадратурным, кубатурным и квадратурно-кубатурным методам, являющимся наиболее простыми при численной реализации, но представляющим значительные трудности при их теоретическом обосновании.

В работах Б. Г. Габдулхаева, И. К. Рахимова [35,36] исследуются прямые методы решения нелинейного сингулярного интегрального уравнения вида

а(я)ф) + А *) + ф))+

+А3Ф(*,ф), *)) = /(*) / е Ь2),

где А;- = сотШ (г = 1,2,3), А? + А| + А| ф 0,

(0.8)

(0.9)

а(в), Ь(з), и Ф(б\«Л') — известные непрерывные функции, /(«)

— известная функция из Ь*2, а функция (р{1) ищется в пространстве Ь2 = Х2(0,2тг) с обычной нормой. Предлагается теоретическое обоснование методов механических квадратур и Галёркина, рассматривается также их численная реализация через квадратурно-итерационный и проекционно-итеративный методы.

К сказанному выше следует добавить, что достаточно подробному исследованию прямых методов решения различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных операторов посвящена недавняя кандидатская диссертация И. К. Рахимова [89], в которой имеется также достаточно подробный обзор литературы в рассматриваемой области.

В течение последних тридцати лет внимание многих авторов (см., напр., [6, 7, 12, 15-17, 45, 52-54, 72, 98, 102]) привлекали сингулярно возмущённые дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, т.е. уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной и претерпевающие вырождение (например, понижение порядка), если положить малый параметр равным нулю. Этот интерес связан с интенсивным развитием таких областей, как теория нелинейных колебаний, квантовая механика, теория автоматического регулирования, газодинамика, кинетика и др., где встречаются подобного рода уравнения. Основополагающими в этом направлении науки являются работы академика А. Н. Тихонова (см., напр., [102]), в которых он приводит асимптотическую теорию для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и малым параметром при производных вида

{(1г _, ч (1и ч

¿(0,5) = 2°; 2,(0,8)=/;

где е > 0 — малый параметр, Т е И; функции I) и /(г, у, непре-

рывны и удовлетворяют условию Липшица по 2 и у в некоторой открытой области С? пространства переменных (.г, ?/,£); начальные условия и у0 не зависят от г. Эта задача называется возмущённой. При е = 0 имеем невозмущённую (уже вырожденную) задачу. А. Н. Тихонов доказал, что при выполнении определённых условий решение возмущённой задачи е), е) существует на [0, Г], единственно и при е —> 0 стремится к решению невозмущённой задачи у, для у — равномерно на [0,Т], для г

— равномерно на [¿о, Т], где £0 — сколь угодно мало, но фиксировано при е —» 0. Отрезок (0, ¿о) — область быстрого изменения функции 2 (порядок роста 1/е) называется пограничным слоем.

Вопрос о получении равномерного на [О, Г] приближения как для так и для z(t, г), причём с любой степенью точности был рассмотрен А. Б. Васильевой [15-17]. Она определяет решение возмущённой задачи как сумму невозмущённого решения и ряда из пограничных функций по степеням г. Метод «пограничных функций» был применен А. Б. Васильевой и её учениками (см., напр., [12]) также для решения краевых задач и уравнений в частных производных.

В монографиях М. И. Иманалиева [53,54] излагается метод асимптотического разложения решений задачи Коши и краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, а также решений периодических систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (рассматриваемые интегралы — регулярные).

Применение обычных вычислительных методов к уравнениям с малым параметром при старшей производной встречает затруднение из-за «неравномерного» характера интегральных кривых. В связи с этим в работе А. М. Ильина [52] предлагается специальная разностная схема, удобная для расчёта сингулярно возмущённых случаев, погрешность которой мала вместе с шагом равномерно относительно е. При исследовании метода Галёркина для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром t при старшей производной Б. М. Багаев (см., напр., [б, 7]) к кусочно-линейным базисным функциям добавляет одну функцию пограничного слоя и доказывает, что рассматриваемый метод с некоторым весовым скалярным произведением даёт приближённое решение с точностью h + у/е в энергетической норме (здесь h — шаг сетки).

В книге [45] Э. Дулана (Е. P. Doolan), Дж. Миллера (J. J. Н. Miller), У. Шилдерса (W. Н. A. Schilders) рассматриваются равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. Чтобы сохранить преимущества равномерной сетки, в аппроксимирующую разностную схему ими вводятся подгоночные экспоненциальные коэффициенты, которые обеспечивают равномерную точность аппроксимации на равномерной сетке. Это делает схему адаптируемой и удобной для приложений. Однако равномерные оценки ошибок были получены лишь в предположении, что для исходной задачи справедлив принцип максимума. Численные методы, обсуждаемые в этой книге, предельно эффективны в том смысле, что они имеют хорошие свойства сходимости не только для малых значений параметра и обладают двумя важными свойствами: применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага.

В работе И. С. Любченко [72] приводятся достаточные условия разрешимости некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных; получены эффективные оценки для приближённых формул на основе метода Ньютона.

Современное состояние науки в области изучения сингулярно возмущённых уравнений отражено в тезисах докладов Международной научной конференции «Теория и приложения методов малого параметра» [98], посвященной 90-летию А. Н. Тихонова (г. Обнинск, 1996 г.).

Работы автора [115-122] посвящены точным и приближённым методам решения различных классов сингулярных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с параметрами (в том числе и малыми). В них доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости решений рассматриваемых задач, а также предлагается теоретическое обоснование прямых и проекционных методов их решения.

Теперь приведём краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава (параграфы 1 и 2) диссертации является вспомогательной. В ней приводятся необходимые для дальнейшего изложения результаты из общей теории приближённых методов функционального анализа (параграф 1) и из теории приближения периодических и непериодических функций (параграф 2).

Вторая глава (параграфы 1-3) диссертации посвящена точным и приближённым методам решения регулярных и сингулярных линейных интегральных уравнений с параметрами и с интегралами, понимаемыми как в смысле Лебега, так и в смысле главного значения по Коши-Лебегу.

В параграфе 1 (п.п. 1.1-1.9) исследуются интегральные уравнения Фредгольма вида

ь

Кх = c(t)x(t) + J p(r)h(t, т)х(т)(1т = y{t), a^t^b, (0.10)

a

где a, b — произвольные вещественные числа, c(t) — данная непрерывная функция в промежутке (a, Ь) С R, p(t) — весовая функция (вес) этого промежутка, y(t)Ji(t, т) — данные, а x(t) — искомая функции. При этом предполагается, что y(t) Е L-2,p(a, Ь) = L^ip), ядро h(t, г) таково, что интеграл из (0.10) порождает непрерывный оператор Н в 1/2 (¿0, функция x(t) ищется в пространстве Ь-2(р) с обычными скалярным произведением и нормой. Заметим, что в уравнении (0.10) функция c(t) играет роль параметра: при различных значениях c(t) из (0.10) получаются интегральные уравнения Фредгольма первого, второго и третьего родов. Отсюда же следует, что решение уравнения первого рода Нх = у можно рассматривать

как предел при c(t) 0 решения уравнения (0.10). Уравнения вида (0.10), кроме их традиционных областей применения (см., напр., [18,79,82]), появляются при линеаризации различных классов нелинейных интегральных уравнений (см., напр., [2,39]).

Следует отметить, что в настоящее время теория интегральных уравнений Фредгольма второго и первого родов достаточно хорошо разработана; в последние годы интенсивно разрабатывается также теория интегральных уравнений третьего рода (см., напр., докторскую диссертацию Н. С. Габбасова [19] и библиографию в ней). Однако эта теория, за исключением редких частных случаев, для практических применений является либо сложной, либо громоздкой (или же и то, и другое одновременно). С учётом этого в пункте 1.2 предлагаются весьма простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений уравнения (0.10). Например, при различных ограничениях на ядро //(£, г) в теоремах 1.1-1.3 доказывается непрерывная обратимость оператора К : L-2(p) —У Li(р) и ограниченность соответствующего обратного оператора.

В пункте 1.3 в условиях любой из теорем 1.1-1.3 исследуется универсальный итерационный метод

= я'"1 + (j^j (У - AV-1), ¿ = 1,2,..., (0.11)

где х° — произвольное начальное приближение из Ь-2(р), — итера-

ционный параметр, а постоянные М и 7 € R определяются из неравенств

llA1l < llcWlk: + \\Щ\ь2(р) < М < оо, ||ii-1|K7-2<oo.

Показано, что итерационный метод (0.11) сходится в пространстве L2(p) к единственному решению уравнения (0.10) со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q — (1 — 74М~2)1/2 < 1.

В пункте 1.4 для уравнения (0.10) исследуется сходимость и оценка погрешности общего проекционного метода решения, основанного на произвольной полной ортонормальной системе функций из Ь-2(р). Полученные при этом результаты далее в пункте 1.5 конкретизируются и усиливаются для метода ортогональных с весом p{t) многочленов и для метода сплайн-подобластей нулевого порядка по произвольной системе узлов.

В пункте 1.6 исследуются проекционно-итеративные методы решения уравнения (0.10), основанные на результатах пунктов 1.2-1.5.

Пункты 1.7 и 1.8 посвящены теоретическому обоснованию различных вариантов метода механических квадратур решения уравнения (0.10). Поскольку здесь получены некоторые из основных результатов диссертации, то на них остановимся более подробно.

Полагая h(t, т) Е С (а, Ь)2 и применяя к интегралу в (0.10) квадратурную формулу Гаусса с узлами и коэффициентами соответственно tk = tk,n £ (а, b) и Ak = Ak,n £ R, уравнение (0.10) обычным способом (см., напр., [59]) аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений вида

п

c{ti)pi + J2 AkWh tk)ih = y(ti), i = (0.12)

k=i

где (3k = (3k,n {к = 1 ,n) — приближённые значения искомой функции в узлах tk использованной квадратурной формулы.

Пусть . •. ,/?* — решение системы (0.12). Тогда решение x*(t)

уравнения (0.10) аппроксимируется функциями вида

п

<(*) = £/%(*), neN> (0-13)

к=1

1 п

*n(t) = ттуЬМ (0.14)

с{ ' к=1

где ¿k(t) — фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам квадратурной формулы Гаусса.

В пункте 1.7 в терминах теории приближения функций алгебраическими многочленами дано теоретическое обоснование в указанном выше смысле схем метода квадратур (0.10), (0.12)-(0.14) в условиях положительности оператора К : Ьч(р) —>■ Li(p). В частности, доказана однозначная разрешимость системы аппроксимирующих уравнений (0.12) при любых п Е N (в первом случае; а в общем случае — при всех п Е N, начиная хотя бы с некоторого) и доказана сходимость с определённой скоростью в пространстве L^(p) (соответственно в пространстве С(а,Ь)) функций (0.13) и (0.14) к точному решению x*(t) уравнения (0.10), а также установлены практически эффективные оценки погрешности приближённых решений (0.13) и (0.14) в зависимости от структурных свойств элементов уравнения (0.10).

В пункте 1.8 исследуется схема метода сплайн-квадратур решения уравнения (0.10); она заключается в следующем. Приближённое решение

уравнения (0.10) ищется в виде сплайна нулевой степени

п

= п е (0-15)

хп\

к—1

где фк{1) — фундаментальные сплайны нулевой степени по сетке узлов

Ь — а

1к = гкп = а + к-, А' = 0,га, п е N5 (0.16)

га

здесь ак = (к = 1 ,п) — приближённые значения искомой функции х*{Ь) в узлах

+ , / 1 \Ь-а

= =-^-= а + ~~ 2у —й—' ^ = п € N (°-17)

определяются из системы линейных алгебраических уравнений

п

с(и)щ + ВкЦ^,1к)ак = у (и), г = 1, га, (0.18)

к=1

где

^к

Вк = I р{т)йт, к = 1,71. (0.19)

Здесь за приближённое решение уравнения (0.10) принимается также функция

1 ^А

= 7¡т 1>М - ]£ Вк!г&' (0-20)

' к=1

где «2,.,.. а* — решение системы уравнений (0.18).

Считая с(£), ?/(£) Е С[а,Ь] и /г(£,г) Е С[а,6]2, в пункте 1.8 параграфа 1 главы II диссертации дано теоретическое обоснование в указанном выше смысле схемы метода квадратур (0.10), (0.15) -(0.20) в пространствах Ь-2{р) = Ь2(р; [а, Ь]) и М = М[а,Ь] с обычными нормами.

В пункте 1.9 приведены некоторые замечания и дополнения к установленным в пунктах 1.2-1.8 результатам. В частности, здесь дано обоснование метода механических квадратур для случая, когда существование как оператора А'-1, так и аппроксимирующих его операторов К~1 устанавливается другим способом, а именно в более общей, чем выше, ситуации; рассматривается также частный случай, когда оператор Н является оператором сжатия в пространстве

Параграф 2 главы II посвящён точным и приближённым методам решения периодических интегральных уравнений типа свёртки вида

2тг

(0.21)

1

Ах = a(s)x(s) 4- ^ / g(s - a)x(a)da — y(s).

где a(s) € C'2jr, y(s) G L2(0,27r), </(«) G Li(0,27r); если же g(s) £ Li(0,2тг), то предполагается, что интеграл в (0.21) существует хотя бы в смысле главного значения по Коши-Лебегу и соответствующий интегральный оператор

2тг

G(x; в) = — / g(s — сг)ж(сг)с?сг, х G £2 27Г J о

является ограниченным в пространстве L2 = L2(0, 27г). Здесь показывается, как на рассматриваемый случай переносятся соответствующие результаты параграфа 1, а также предлагаются новые результаты, которые в непериодическом случае не могли иметь места. При этом, в отличие от параграфа 1, существенным образом используется теория рядов Фурье.

В замечании к параграфу 2 рассматривается периодическое слабосингулярное интегральное уравнение со степенно-логарифмической особенностью вида

2тг

a(s)x(s) + J- í h(s,a)

ctg

a — s

x

xlnr

<7

sin

2

x(a)da — y(s)1 —oo < s < oo,

(0.22)

где a(s) G C2*, y(s) G L2(0,2tt) (или y(s) G C2*), Л(*,<7) G С[0,2тг]2, г/ = const G [0,1), m + 1 G N), часто встречаемое в различных прикладных задачах.

В параграфе 3 по схеме исследования и на основе результатов параграфов 1 и 2 рассматриваются точные и приближённые методы решения сингулярных интегральных уравнений вида

2тг

• U — S /47

sin—-— x{a)d<T+

о

2тг

¿■к

Ах = a(s)x(s) + —/ hi(s, a) In' 2тт J

а — s

x(a)da+

- ß

+■ —x(o)d(T = y(s), —oo<s<oo. (0.23)

Здесь a(s) E C27r, y(s) E L2(0,27r) и hi(s,<r) E С[0,2тг]2 — известные вещественные 27г-периодические функции по каждому из своих аргументов, а параметры <5, m и Лг- таковы, что

причём интегралы понимаются либо в смысле главного значения по Коши-Лебегу, либо как обычные несобственные интегралы. Здесь основное внимание уделено простым и практически удобным теоремам существования и единственности решения исследуемых уравнений, а также проекционным и квадратурным методам их решения на основе метода положительных операторов.

Третья глава (параграфы 1-4) диссертации посвящена точным и приближённым методам решения ряда классов сингулярных дифференциальных и и н т е г р о - д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений с параметрами. Следует отметить, что результаты данной главы возникли под влиянием результатов А. Н. Тихонова и его учеников (см., напр., [12,15-17,102]), исследовавших дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной. Однако здесь, в отличие от уже ставшей классической тематики, мы основное внимание уделяем теоремам существования и единственности решения, полученным на основе теории положительных операторов, и, в особенности, приближённым методам решения указанных уравнений в условиях применимости теории монотонных операторов и общей теории приближённых методов функционального анализа. Другой отличительной особенностью этой главы от известных результатов является то, что здесь для получения своих результатов мы пользуемся теорией рядов Фурье в пространствах периодических функций Ь2(0,2п) и С-2тг и теорией приближения функций.

В параграфе 1 (п.п. 1.1-1.5) данной главы исследуются точные и приближённые методы решения модельной периодической краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений первого порядка с параметром (в том числе с малым параметром) вида

з

0 < S < 1, m + 1 Е N, ^ А2 ф 0,

i= 1

ex'(s) + a(s)x(s) = y(s), —oo < s < oo, ж(0) = х(2ж),

(0.24) (0.25)

где a(s) Е C-W и y(s) Е 1-2(0,2тг) — данные вещественные 2тг -периодические функции, as — произвольный (в том числе малый) отличный от нуля вещественный параметр.

В параграфе 2 рассматриваются вопросы точного и приближённого решения краевой задачи вида

ex'(s) + Ая(*).ф) + Т(х; s) = y(s), -оо < s < ос, (0.26)

ж(0) =ж(2тг), (0.27)

где 5 и А — вещественные параметры, a(s) Е C27r, 2/(s) Е L2(0,2тг) — известные, а #(s) Е Ь2(0,2тг) — искомая функции. Здесь Т — линейный интегро-дифференциальный оператор в пространстве L-¿(0, 2тг), в частности,

2тг ,

С 1 О

¡Л / , , ч СГ — S

2тт

T(x;s)

h(s, <j )

о

ctg

X

(cr)dcr-f

2 ir 2тг

I/ Г <j — ,5 0

Z7T

s,(j) ln

сг

5

sm

2

ж

(а) da.

о о

где ¡л, и, в, 6 — вещественные параметры, причём 0 ^ 5 < 1, /?(*, сг), д(в, сг) и г(г?,сг) — известные непрерывные 2тг-периодические функции своих аргументов. В этом параграфе на задачу (0.26)—(0.27) распространяются результаты, полученные в параграфе 1 для краевой задачи (0.24) (0.25).

Параграф 3 посвящён проекционным методам решения задачи Коши для сингулярного интегро-дифференциального уравнения с параметрами вида

sx'{t) + a(t)x(t) +

А

+i

х(т) dr

к J (т --i

T¿

= y(t), -1 1,

(0.28) (0.29)

= 0, Е [-1,1],

где а(£), у{£) — известные функции из С[—1,1], с, А — вещественные положительные параметры, а сингулярный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

В параграфе 4 рассматриваются сплайн-методы решения дифференциальных уравнений с параметрами при производных как для периодической краевой задачи (0.24)—(0.25), так и для задачи Коши для линейного дифференциального уравнения вида

£x'{t)+p(t)x(t)=y(t),

(0.30)

х(а) = 0, (0.31)

где р(Ь),у(£) 6 С [а, Ь] — известные функции, е — произвольный положительный параметр.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Методом положительных операторов установлены простые и эффективные достаточные условия существования, единственности и устойчивости решений следующих классов линейных уравнений:

а) регулярные интегральные уравнения;

б) сингулярные интегральные уравнения;

в) периодические интегральные уравнения типа свёртки;

г) сингулярные интегро-дифференциальные уравнения с параметрами (в том числе с малыми параметрами) при производных.

2. Для указанных классов уравнений предложено теоретическое обоснование полиномиальных и сплайновых прямых и проекционных методов (общий проекционный метод; методы редукции, коллокации, ортогональных многочленов и подобластей; проекционно-итеративный метод и метод механических квадратур).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Габдулхаеву Б.Г. за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абрамова, Вера Викторовна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

г

1. Агачев Ю.Р. Сплайновые методы решения интегральных и дифференциальных уравнений: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. ^ Казань, 1987. - 144 с.

2. Апайчева Л.А. Приближённое вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений; Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1986. - 119 с.

3. Асхабов С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью. - Грозный, 1989. - 76 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7198-В89.

4. Асхабов С.Н., Бетилгириев М.А. Априорные оценки решений одного нелинейного интегрального уравнения типа свёртки и их приложения // Матем. заметки. Т.54, № 5, 1993. - С. 3-12.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965......

407 с.

6. Багаев Б.М. Метод Галёркина для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Сб. «Численные методы механики сплошной среды», т. 10, № 1, 1979. - С. 51-54.

7. Багаев Б.М. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром при старшей производной // Матем. модели и выч. методы механики сплошной среды. - Красноярск. 1979. - С. 152 157.

8. Балашова С.Д. Проекционно-игеративный вариант обобщённого метода Ритца // Методы решения задач матем. физики и обработки данных. - Днепропетровск, ЛГУ, 1990. - С. 64-67.

9. Бари Н.К. Т р и го н о мет р и ч е с к и е ряды. - М.: Физматгиз, 1961. - 936 с.

10. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. - 600 с.

11. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985. - 256 с.

12. Бутузов В.Ф. Сингулярные возмущения. - М.: Знание, 1988. - 142 с.

13. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. - М.: Наука, 1972. - 416 с.

14. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач. -Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1982. - 109 с.

15. Васильева A.B. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных в период 1966-1976 г.г. - УМН, 1976, т.31, вып.6, - С. 42-47.

16. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущённых уравнений. - М.: Наука, 1973. - 272 с.

17. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущённые уравнения в критических случаях. - М.: МГУ, 1978. - 208 с.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наукова думка, 1986. - 543 с.

19. Габбасов Н. С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространстве обобщённых функций: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1996. - 318 с.

20. Габдулхаев Б.Г. Приближённое решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Докл. АН СССР. -1968. - Т.179, № 2. - С. 260-263.

21. Габдулхаев Б.Г. Об одном общем квадратурном процессе и его применении к приближённому решению сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР. - 1968. - Т.179, № 3. - С. 515-517.

22. Габдулхаев Б.Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений // Труды Междун. конф. по конструктивной теории функций. Варна, 1970. - София: Изд-во Болг. АН, 1972. - С. 35-49.

23. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы теории приближённых методов. III // Годишн. Софийск. ун-т. Матем. фак-т, 1968-1969 уч. г. - 1970. Т.63........С. 39-51.

24. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, I-IV // Изв. вузов. Матем. - 1971, № Ц, с. 33-44, - 1971, Ш 12, с. 28-38, - 1972, № 4, с. 32-43, - 1974, № 3, с. 18-31.

25. Габдулхаев Б.Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур // Изв. вузов. Матем. - 1972, № 12, с. 21-39.

26. Габдулхаев Б.Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений слабо сингулярных интегральных уравнений // Труды Междун. конф. по теории приближения функций. Калуга, 1975. - М.: Наука, 1977.- С. 89-93.

27. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Матем. анализ. - М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР. 1980. - Вып.18. - С. 251307.

28. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - 232 с.

29. Габдулхаев Б.Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения с положительными операторами // Дифф. уравнения. - 1993. Т.29, № 9. - С. 1504-1516.

30. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - 288 с.

31. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1995. - 230 с.

32. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные приближения решений бисингуляр-ного интегрального уравнения // Теория функций и её приложения. Тезисы докладов Школы-конференции. 15-22 июля 1995 г. - Казань: Изд-во Казанский фонд «Математика», 1995. - С. 15-17.

33. Габдулхаев Б.Г. Методы решения сингулярных интегральных уравнений с положительными операторами // Дифф. уравнения. - 1997. Т.ЗЗ, № 3. - С. 400-409.

34. Габдулхаев Б.Г., Ермилова Е.Г. Методы решения интегральных уравнений с частными интегральными операторами // Казан, ун-т, Казань 1995. - 33 с. Деп. в ВИНИТИ 27.10.95, № 2870-Б95.

35. Габдулхаев Б.Г., Рахимов И.К. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами // Всесоюзная конф. по теории и приложениям функционально-дифференц. уравнений. Душанбе, 28-30 сентября 1987 г. - Тезисы докл., Часть 1. - С. 82.

36. Габдулхаев Б.Г., Рахимов И.К. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами // Краевые задачи и их приложения. - Чебоксары, 1989. - С. 32-39.

37. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978.

- 336 с.

38. Гахов Ф.Г. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 638 с.

39. Горлов В.Е. О прямых методах решения линейных и нелинейных интегральных уравнений: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1977.

- 132 с.

40. Гохберг И.П., Фельдман И.А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. - М.: Наука, 1971. - 352 с.

41. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1980. - 404 с.

42. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. - Л.: Изд во Ленингр. ун-та, 1977. - 184 с.

43. Джамалутдинова З.М, Мухтаров Х.Ш. Об одном оптимальном итерационном процессе и его применении к приближённому решению сингулярного интегрального уравнения // Махачкала, 1985. - 10 с. Леи. в ВИНИТИ, № 4664-85.

44. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977. - 490 с.

45. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. - М.: Мир, 1983. - 200 с.

46. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Ра-ковщик Л.С, Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 448 с.

47. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. - М.: Наука, 1980. - 352 с.

48. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В двух томах. - М.: Мир, 1965. - 616 е., 540 с.

49. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. - Кишинёв: Штиинца, 1991. - 134 с.

50. Иванов В.В. Методы приближённого решения сингулярных интегральных уравнений // Итоги науки и техники. Матем. анализ. - М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР. 1965. - С. 125-177.

51. Иванов В.В. Теория приближённых методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: На-укова думка, 1968. - 288 с.

52. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. - Матем. заметки. 1969. Т.6, № 2. - С. 237-248.

53. Иманалиев М. И. Ас и м п тот и ч е с к и е методы в теории сингулярно возмущённых и н т е г р о - д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х систем / / Фрунзе, «И л им», 1972. - 356 с.

54. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно возмущённых интегро-дифференциальных систем // Фрунзе, «Илим», 1974. - 372 с.

55. Кадушин В.II. К приближённому решению сингулярных интегральных уравнений с комплексно сопряжёнными неизвестными и монотонными операторами // Конструкт, теория функций и функц. анализ. - Казань: Изд-во Казан, ун- та, 1990. - С. 36-44.

56. Кадушин В.П. О сходимости одного метода решения сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами // Алгебра и анализ. Тезисы Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарёва, Казань, 1994. Часть 2. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - С. 64.

57. Кадушин В.II. К приближённому решению сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами // Казань. 1995. - 13 с. Деп. в ВИНИТИ 16.03.95, № 732-В95.

58. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

59. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. - М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

60. Каркарашвили Г.С. Решение нелинейных интегральных уравнений с монотонным оператором // Докл. расшир. засед. семинара Инст-та прикл. математики им. И. Н. Векуа. - Тбилиси, 1996. - Т.2, № 3. -С. 61-64.

61. Каркарашвили Г.С. Решение нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна // Сообщения АН ГССР. - 1986. - Т.121, № 3.

- С. 58-60.

62. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. - М.: Наука, 1984.

- 352 с.

63. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М.: Наука, 1987. - 424 с.

64. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. Приближённое решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 204 с.

65. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966. - 500 с.

66. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО «Янус», 1995. - 520 с.

67. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Тёплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения // Вычислительные процессы и системы. Вып. 7. - М.: Наука, 1990. - С. 94-278.

68. Лозинский С.М. О сильной сходимости интерполяционных полиномов. - ДАН СССР, 1940. Т.28. - С. 202-205.

69. Лучка А.Ю. П р о е к ц и о н н о - и т е р а т и в н ы е методы. - Киев: Наукова думка, 1993. - 288 с.

70. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ю. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. - Киев: Наукова думка, 1985. - 240 с.

71. Лучка А.Ю. Нощенко O.E., Тукалевская Н.И. Двухшаговый вариационно-градиентный метод для решения линейных уравнений с самосопряжённым позитивно определённым оператором // Докл. АН Украины. - 1996. - № 8 - С. 30-34.

72. Любченко И.С. О применении метода Ньютона к решению некорректных задач для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН, 19(6), 1964. - С. 222224.

73. Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Теоремы существования и единственности решений для нелинейных сингулярных интегральных уравнений в гёльдеровых пространствах при различных ограничениях на параметры // Функц. анализ, теория функций и их приложения. Да-гест. гос. ун-т. - Махачкала, 1992. - С. 99-103.

74. Макаров В.Л., Каркарашвили Г.С. О решении интегральных уравнений второго рода с монотонным оператором // Докл. научно техн. конф. «Интегральные уравнения в прикладном моделировании». - Киев, 1986. Часть 1. - С. 147-148.

75. Макаров В.Л., Каркарашвили Г.С. Сеточные схемы для интегральных уравнений с негладким решением // Сообщения АН ГССР. - 1985, т.120, № 3. - С. 56-59.

76. Макаров В.Л., Каркарашвили Г.С. Решение интегральных уравнений в дробных соболевских пространствах // Вычислит, и приклад, математика. - Киев, 1987. № 63. - С. 3-19.

77. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. - М.: Наука, 1981. - 416 с.

78. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // УМН. - 1948. Т.З, № 3. - С. 29-112.

79. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. - М.: Гостехиздат, 1949. -286 с.

80. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. - 575 с.

81. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970. - 512 с.

82. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. - Л.: Изд во ЛГУ, 1988. - 334 с.

83. Мусаев Б.И. Конструктивные методы в теории сингулярных интегральных уравнений: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - Тбилиси, 1989. -

339 с.

84. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 512 с.

85. Мухтаров Х.Ш. Об одном оптимальном итерационном принципе и его приложение к решению интегральных уравнений. - Махачкала, 1985. - 9 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2825-85.

86. Мухтаров Х.Ш. О некоторых оптимальных теоремах с монотонными и немонотонными операторами. - Махачкала, 1988. - 7 с. Деп. в ВИНИТИ, № 5930 В88.

87. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - M.-JL: Гостехиз-дат, 1949. - 688 с.

88. Прёсдорф 3. Линейные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ АН СССР. 1988. - С. 5-130.

89. Рахимов И.К. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1997. - 150 с.

90. Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально неоднородных средах // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1990 - Т.ЗО, № 1. - С. 107-121.

91. Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн в локально неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1992 - Т.32, № 5. - С. 772787.

92. Самохин А.Б. Итерационный метод для интегральных уравнений задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле // Дифф. уравнения.

- 1994. Т.ЗО, № 12. - С. 2162-2174.

93. Самохин А.Б., Самохина А.С. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на трехмерном диэлектрическом теле // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1996 - Т.36, № 8. - С. 138-157.

94. Сёге Г. Ортогональные многочлены. - М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.

95. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 с.

96. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1976. - 328 с.

97. Тараканов В.И. Интегральные уравнения с положительно определённым ограничением, самосопряжённым оператором краевых задач плоской теории упругости // Дифф. уравнения. - 1991. Т.27, № 8.

- С. 1427-1436.

98. Теория и приложения методов малого параметра // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 90-летию А. Н. Тихонова. Обнинск, 2-6 июля 1996 г. - Обнинск, 1996 г.

99. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физматгиз, 1960. - 624 с.

100. Тихоненко Н.Я. Методы решения задач теории аналитических функций. - Киев: УМК ВО УССР, 1988. - 88 с.

101. Тихоненко Н.Я. Приближённое решение краевых задач теории аналитических функций и их приложения: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - Киев, 1994. - 327 с.

102. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения содержащие малый параметр. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1961. - 142 с.

103. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - 302 с.

104. Шешко М.А. Приближённое решение сингулярных интегральных уравнений с помощью вычетов: Автореф. дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - М:, 1992. - 33 с.

105. Airiann Н. Uber die Existenz und iterative Berechnung einer Lösung der Hammerstein'shen Bleichung // Aequations Mathematical. - 1968 - V.l, № 3. - S. 242-266.

106. Arnold D. A spline-trigonometric Galerkin method and an exponentially convergent boundary integral method // Math. Comput. - 1983. - V.41, № 164. - P. 383-397.

107. Arnold D., Wendland W.L. On the asymptotic convergence of collocation methods // Math. Comput. - 1983. - V.41, № 164. - P. 349-381.

108. Chan P.P. A monotone operator method for the Solution Fredholm integral equations // Numer. Math. - 1974. - V.22. - P. 403-408.

109. Fenyö S., Stolle H. Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen. Вcl.4. - Berlin: VEB Deutsche Verlag der Wissenschaften, 1984. - 708 S.

110. Kosel U., Wolfersdorf L. Nicht-lineare Integralgleichungen // Semin. Anal. Oper. Equations and Numer. Anal. - 1985/86. - Berlin. - 1986. -P. 93-128.

111. Michlin S.G, Prössdorf S. Singulare Integraloperatoren. - Berlin: Akademie-Verlag, 1980. - 514 S.

112. Prössdorf S., Silbermann В. Numerical analysis for integral and related operator equations. - Berlin: Akademie-Verlag, 1991. - 544 p.

113. Wolfersdorf L. Some recent developments in the theory of nonlinear singular integral equations // Z. Anal, und Anwend. - 1987. - V.6, № 1. - P. 83-92.

114. Wolfersdorf L. A general class of nonlinear singular integral equations of Cauchy type // Demonstr. Math. - 1992. - V.25, № 1-2. - P. 297-308.

115. Абрамова В. В. Решение одного класса особых интегро-дифферен-циальных уравнений // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума. Часть 2. - Одесса: Изд-во ОГУ, 1991. - С. 3-4.

116. Абрамова В. В. Численное решение одного класса особых интегро-дифференциальных уравнений // Лобачевский и современная геометрия: Международная научная конференция, Казань, 1992. Тезисы докладов. Часть 2. - Казань: Изд-во КГУ, 1992. - С. 88.

117. Абрамова В. В, Сплайновый метод решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений // Республиканская научно-методическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского, Одесса, 1992. Тезисы докладов. Часть 2. - Одесса: Изд-во ОГУ, 1992. - С. 52.

118. Абрамова В. В. Проекционные методы решения дифференциального уравнения с малым параметром // Алгебра и анализ. Тезисы Международной научной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарёва, Казань, 1994. Часть 2. - Казань: Изд-во КГУ, 1994. - С. 6-7.

119. Абрамова В. В., Габдулхаев Б. Г. Интегро-дифференциальные уравнения с параметрами // Алгебра и анализ: Материалы научной конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева. -Казань, 1997. Изд-во Казанского математического общества, 1997. -С. 4-5.

120. Абрамова В. В., Габдулхаев Б. Г. Дифференциально-операторные уравнения с параметрами // Механика машиностроения: Тезисы докладов Международной научно-технической конференции (23-25

сентября 1997 г.). - Набережные Челны, Камский политехнический институт, 1997. - С. 14.

121. Абрамова В. В. Метод коллокации для решения одного класса сингулярных и н т е г р о - д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений. - Набережные Челны, 1998. - 8 с. Деп. в ВИНИТИ 02.07.98, № 2078-В98.

122. Абрамова В. В. Метод коллокации для решения одного класса дифференциальных уравнений с параметром. - Набережные Челны, 1998. -7 с. Деп. в ВИНИТИ 02.07.98, № 2079-898.