Анализ мультистабильности в задачах популяционной динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Хоанг Быу

• Нгуен Хоанг Быу
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Хоанг Быу

Введение

Глава 1. Модели пространственно—временного взаимодействия

конкурирующих популяций и методы их анализа

§ 1 Аналитические и численные методы исследования динамики

популяций: обзор литературы

§ 2 Уравнения реакции-диффузии-адвекции для моделирования

взаимодействия популяций на неоднородном ареале

§ 3 Метод прямых и компактная разностная схема для уравнений

реакции-диффузии-адвекции

§ 4 Сравнение численных схем второго и повышенного порядка

точности для системы трех видов на неоднородном ареале . . . . 26 Заключение к главе

Глава 2. Мультистабильность при моделировании динамики

популяций на однородном ареале

§ 5 Косимметрия и семейства равновесий для системы трех

конкурирующих популяций

§ 6 Вычисление предельных циклов и показателей Ляпунова для

конечномерных систем

§ 7 Расчет семейств периодических режимов в задаче для трех

популяций

Заключение к главе

Глава 3. Пространствено-временные сценарии для популяций

на неоднородном ареале

§ 8 Стационарные распределения для конкурирующих за

неоднородный ресурс популяций

§ 9 Расчет семейств стационарных распределений видов на

кольцевом ареале

§ 10 Динамика системы трех конкурирующих популяций на

неоднородном ареале

§ 11 Применение компактной схемы для анализа модели «хищник

жертва»

Заключение к главе

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ мультистабильности в задачах популяционной динамики»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В природе важным механизмом, определяющим видовое богатство и формирование сообществ, является конкуренция. Однако сокращение источников пищи и деградация среды обитания может привести к исчезновению некоторых видов. Для анализа возможной динамики экосистем эффективным является применение математического моделирования. Модели на основе уравнений реакции-диффузии-адвекции позволяют понять механизмы взаимодействия видов. Благодаря этому можно изучить и описать различные сценарии распространения и распределения популяций. Для нелинейных уравнений популяционной биологии помимо стационарных решений возможны колебательные режимы, мультистабильность и хаотическая динамика. Мультистабильность в виде непрерывных семейств стационарных и нестационарных решений обычно возникает при дополнительных соотношениях на параметры системы. При нарушении этих соотношений реализуются долговременные установления к стационарным и изолированным периодическим режимам. Численное моделирование позволяет оценить основные факторы, влияющие на взаимодействие популяций, и предложить методы сохранения биоразнообразия или ограничения вредных инвазивных видов.

Актуальной проблемой в современных научных исследованиях является совершенствование численных методов и их эффективности. Схемы повышенного порядка точности позволяют использовать сетки меньшего размера, что дает выигрыш при вычислении стационарных распределений и при расчетах нестационарных процессов типа бегущих волн. Это особенно важно при анализе задач популяционной динамики с сильно неоднородными распределениями ресурса на ареале и в случае нескольких пространственных переменных.

Цель и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является численно-аналитическое исследование модели конкурирующих популяций на пространственно-неоднородных ареалах. Основными объектами

исследования являются системы дифференциальных уравнений в частных производных типа «диффузия-адвекция-реакция», описывающие распространение и взаимодействие видов. В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

1. Исследование мультистабильности решений для системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику конкурирующих популяций.

2. Разработка схем повышенной точности для расчета пространственно-временных сценариев.

3. Аналитическое и численное исследование моделей конкурирующих видов и «хищник - жертва» на основе уравнений «диффузия-адвекция-реакция».

4. Разработка программного комплекса для моделирования популяцион-ных пространственно-временных сценариев на основе схем повышенной точности.

Области исследований. Диссертация соответствует следующим пунктам паспорта специальностей:

1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

2. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

3. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Методы исследования. На основе теории косимметрии В. И. Юдовича проводится анализ мультистабильности для моделей, формулируемых в виде систем дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Для дискретизации задач с пространственной неоднородностью применяются инте-гро-интерполяционный метод и схема смещенных сеток. Развиваются схемы повышенного порядка точности и применяются методы нелинейной динамики. Получающиеся системы обыкновенных дифференциальных уравнений решаются методом Рунге-Кутты.

Научная новизна

1. Для модели конкурирующих видов найдены косимметрии и получены семейства стационарных решений в случае однородного ареала и с учетом переменного по ареалу ресурса.

2. В вычислительном эксперименте для системы трех популяций установлены случаи экстремальной мультистабильности — возникновение континуального семейства предельных циклов, найдена бистабильность в виде сосуществования изолированных предельных циклов, а также стационарного решения и колебательного режима.

3. На основе метода конечных разностей со смещенными сетками разработаны и реализованы численные схемы повышенного порядка точности для решения систем уравнений реакции-диффузии-адвекции.

4. На основе косимметричного подхода исследованы мультистабильные сценарии динамики системы трех конкурирующих видов на неоднородном ареале.

На защиту выносятся следующие результаты и положения.

В области математического моделирования:

1. Исследование мультистабильности для модели трех видов на однородном ареале, анализ семейств стационарных решений.

2. Изучение колебательных сценариев взаимодействия видов и возникновения семейств предельных циклов.

3. Анализ динамических сценариев для системы конкурирующих популяций на неоднородном ареале при существовании косимметрии и при ее разрушении.

В области численных методов:

4. Разработка компактных разностных схем для численного исследования динамики популяций с учетом нелинейного таксиса, вычисление эффективного порядка точности для стационарных и нестационарных решений.

5. Реализация численных алгоритмов вычисления семейства периодических режимов для моделей конкурирующих видов.

В области программного обеспечения:

6. Создание комплекса программ для численного исследования муль-тистабильности в популяционных системах на основе компактных разностных схем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты показывают существование большого числа устойчивых сценариев биологического разнообразия и могут быть полезны для прогнозирования динамики экологических систем. Подходы, развитые в диссертации, могут быть применены для исследования систем дифференциальных уравнений при муль-тистабильности решений.

Достоверность. В работе применялись математически обоснованные методы теории косимметрии, динамических систем и численного анализа. На основе интегро-интерполяционного метода и схемы смещенных сеток проведена дискретизация рассматриваемых задач, реализованы аппроксимации повышенного порядка точности.

Апробация работы.

1. XXXIII Крымская Осенняя Математическая Школа - симпозиум им. Н.Д. Копачевского (КР0МШ-2022), Республика Крым, п. Сатера (2022);

2. XXX научная конференция «Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития (СИТО)», г. Ростов-на-Дону

(2023);

3. XVII Всероссийская школа «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское (2023);

4. XXXI научная конференция «Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития (СИТО)», Ростов-на-Дону

(2024);

5. XVIII Всероссийская школа «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», пос. Дивноморское (2024);

6. The Tenth China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (CRC-NAA'24), Vladivostok (2024).

7. XXXV Крымская Осенняя Математическая Школа - симпозиум им. Н.Д. Копачевского (КРОМШ-2024), Республика Крым, п. Кача (2024);

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты опубликованы в 11 работах [114] — [124], из них четыре работы в журналах, индексируемых в базе Scopus. Автору принадлежат все аналитические выкладки, численные расчеты и сравнительный анализ результатов численного моделирования. В совместных работах научному руководителю д.ф.-м.н. В. Г. Цибулину принадлежит выбор темы исследований, первоначальная постановка задач и интерпретация полученных результатов [114] — [124]. Обсуждение, интерпретация результатов и написание статей проводились совместно с соавторами

[114], [117].

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, три главы, заключение, список литературы. Общий объем диссертации 108 страниц, включая 38 рисунков и 18 таблиц. Список литературы содержит 124 наименования.

Глава 1

Модели пространственно—временного взаимодействия конкурирующих популяций и

методы их анализа

§ 1 Аналитические и численные методы исследования динамики популяций: обзор литературы

Математические и вычислительные подходы предоставляют мощные инструменты в изучении проблем популяционной биологии и науки об экосистемах. Математическое моделирование реальных систем выявляет роль различных процессов, обеспечивает исследование проблемы без необходимости масштабных экспериментов с экосистемами [35,36]. Это важно для изучения конкурентных взаимодействий, выработки стратегий управления возобновляемыми ресурсами и борьбы с вредителями, анализа эволюции штаммов, устойчивых к пестицидам. Модели имеют решающее значение для решения множества экологических и эволюционных вопросов, таких как количественная оценка влияния межвидовых взаимодействий и факторов окружающей среды на сосуществование популяций, а также на эволюцию сообществ [9,43].

Математические модели динамики популяций строятся на основе дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Дискретные разностные уравнения популярны среди энтомологов, поскольку многие насекомые размножаются сезонно, например, большинство насекомых-вредителей лесов умеренного пояса (короеды, почковые черви, палаточные гусеницы и д.р.). Дифференциальные уравнения полезны для моделирования видов, которые размножаются непрерывно в течение определенного периода времени, таких как тля и животные-паразиты [67].

В дискретном случае фазовая траектория превращается в набор точек в фазовом пространстве и часто называется орбитой. Динамическая система описывается разностными уравнениями и представляет собой закон связи между состоянием в последующий момент времени и состоянием в предыду-

щие моменты. Примеры показывают, что, в отличие от непрерывных моделей, описываемых системами уравнений, дискретные модели обладают большим разнообразием возможных типов поведения, вплоть до хаотических [49].

В непрерывном случае объектом теории динамических систем являются обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), формализующие законы связи между скоростью изменения состояния и самим текущим состоянием. Для описания динамики экологических систем и анализа сосуществования конкурирующих видов используются уравнения Лотки-Вольтерры [90,103] и различные их обобщения [55]. Анализ на основе модели Вольтерры является важным элементом многих исследований. Классическая вольтерровская модель биологических сообществ включает внутривидовое и межвидовое ограничение роста [48]. Это расширение логистического уравнения Ферхюльста, которое включает только внутривидовую конкуренцию как ограничение роста, зависящее от плотности вида.

Важным классом задач являются системы, описывающие конкуренцию видов. В бездиффузионном приближении конкуренция между п видами описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Здесь N¡(1) — численность вида г в момент времени £, г г — скорость роста в момент времени £, а^ (р) представляет собой эффект межвидового (если % = у) или внутривидового (если % = у) взаимодействия в момент £ (меняется с временем погоды, сезон). Случаи п = 1 (логистическое уравнение) и п = 2 изучены [4,36,39], а задача для трех и более конкурирующих видов остается объектом исследования, см. работы [64,66,75,76,92,94,101,102,110]. В управлениях (1.1) темпы роста г г и коэффициенты а^ могут быть определены как средние значения, имеющихся данных или на основе некоторых предположений о диапазонах изменения соответствующих величин [104].

Результаты работ [76,86,94,114,115] показывают, что для системы (1.1) возможны различные сценарии динамики: реализация устойчивых равновесий и предельных циклов, мультистабильность, хаотическая динамика. Под муль-тистабильностью понимается существование нескольких устойчивых решений нестационарной задачи, когда в зависимости от начальных данных реализуются

г1Ы1(1 - ^ аг]Щ), г = 1,...,п.

з=1

(1.1)

(И

те или иные решения [57], и это может быть как стационарная, периодическая, так и нерегулярная динамика [55].

Исследование модели (1.1) проводилось многими авторами при различных предположениях о параметрах. В случае п = 3 для так называемой симметричной модели [94] (г{ = ац = а22 = а33 = 1, а12 = а23 = а31 = а, а13 = а21 = а32 = в) и асимметричной модели [76] (г{ = а11 = а22 = а33 = 1) с коэффициентами роста, равными единице, были найдены соотношения на коэффициенты взаимодействий, при которых система имеет однопараметриче-ское семейство предельных циклов. При fi = 1 система (1.1) исследовалась в [74,86,88,111,112]. В [86] с помощью теорем [111,112] доказано, что имеется семейство периодических режимов для конкретных параметров роста Г{. В случае идентичных параметров роста в [74, 88] дана классификация динамики системы (1.1). Показано, что существует 37 топологических классов, определяемых соотношениями между коэффициентами а^.

В [114, 115] проведено численно-аналитическое исследование (1.1) на основе косимметричного подхода. Получены различные варианты однопарамет-рических семейств и показано, что они могут состоять как из устойчивых, так и неустойчивых равновесий. В случае матрицы взаимодействий с единичными коэффициентами найдены мультикосимметрия системы и двухпараметрическое семейство равновесий, существующее при любых коэффициентах роста [114]. С использованием теории косимметрии установлена связь между разрушением двухпараметрического семейства стационарных решений (равновесий) и возникновением непрерывного семейства периодических режимов [115]. Для ряда комбинаций параметров найдены новые непрерывные семейства предельных циклов (extreme multistability). Установлена бистабильность в виде сосуществования изолированных предельных циклов, а также стационарного решения и колебательного режима. Обнаружены два сценария расположения семейства предельных циклов по отношению к плоскости, проходящей через три равновесия, отвечающие существованию разных видов. Помимо циклов, лежащих в этой плоскости, возможно семейство с циклами, пересекающими эту плоскость в двух точках. Это может рассматриваться как пример периодических процессов, приводящих к перенаселению и последующему падению численности. Эти результаты далее послужат основой для анализа систем конкурирующих популяций на пространственно-неоднородных ареалах.

Для нелинейных задач математической биологии актуальным является поиск возможных нетривиальных бифуркационных сценариев и специфических механизмов реализации решений. В некоторых случаях обнаружено возникновение семейств решений со скрытыми параметрами, когда существует бесконечное множество аттракторов. Например, бесконечное число равновесий в динамической системе может быть вызвано существованием непрерывной группы симметрии [87] или косимметрии [61-63,109]. В случае симметрии характеристики устойчивости членов семейства одинаковы, а косимметрия [109] приводит к появлению непрерывного семейства с индивидуальным спектром. В частности, косимметричное семейство может содержать дуги устойчивых и неустойчивых равновесий.

Подход на основе теории косимметрии позволяет найти соотношения на параметры, при которых имеются семейства стационарных решений [61]. Эти ситуации мультистабильности затем дают возможность анализировать динамику при отклонении параметров от значений, обеспечивающих косимметрию. При нарушении некоторых соотношений на параметры теряется косимметрия и происходит разрушение семейства [63]. Реализующиеся в результате разрушения семейства решения анализируются с помощью метода вычисления косиммет-ричного дефекта и селективной функции.

При моделировании популяционной динамики важную роль играют пространственные эффекты [35,43], например, процессы переноса, как хаотического (диффузия), так и связанного с направлением внешних сил (гравитация, электромагнитные поля) или с адаптивными функциями живых организмов

где плотность описывается функциями и^хр), г = 1,...,т для жертв и % = т + 1,...,п для хищников. Баланс видов выражается миграционными потоками д!^ и функциями роста = и^^. Последнее слагаемое в (1.3) описывает совокупное влияние неоднородности всех видов, как жертв, так и хищников, на направленную миграцию видов. Это соответствует явлениям таксиса:

[69, 71]:

диг ддг

диг

(1.2)

(1.3)

фг = агр + Ь*зиз, 1 = 1,...,п.

3=1

(1.4)

В потоках для жертв также учитывается таксис на ресурс р(х) или емкость среды (carrying capacity). Для моделировании динамики хищников неоднородность ресурсар(х) не учитывается: a,i = 0,г = т+1,...,п. Естественный прирост жертв определяется законом логистического типа с коэффициентами ц,,; > 0, а потери от деятельности хищников принимаются следующими слагаемыми с коэффициентами /•• > 0:

Скорость изменения плотности хищников в точке х области удовлетворяет уравнению:

В случае параболических уравнений реакции-диффузии-адвекции для изучения динамики с учетом пространственного распределения видов используются численные методы [12, 13, 21, 52, 98-100]. Для численного решений дифференциальных уравнений используются различные методы: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод Галеркина. В простых задачах построение разностной схемы МКР выполняется быстро, а МКЭ позволяет работать с геометрически более сложными областями. Применение метода Галеркина для задачи популяционной динамики рассмотрено

Анализ эффектов косимметрии в случае пространственно-неоднородных задач популяционной динамики дан в [3,10,11,13,20,24,69,80]. Для конкурирующих видов косимметричный поход рассмотрен в [3,10,11,13,80]. Проведенное исследование показывает, что использование косимметрии позволяет структурировать возможные сценарии распределения конкурирующих видов, а также сценарии конкурентной борьбы инвайдера с аборигеном в задаче инвазии популяции. Кроме того, косимметричный подход применен для системы с хищниками и жертвами в [20,24,69].

Интересным подходом к исследованию пространственных задач является анализ так называемых идеальных свободных распределений, см. [25,65,72,97]. В [25] находятся условия на диффузионные и миграционные параметры, при которых реализуется идеальное свободное распределение (ИСР), пропорциональное количеству доступного ресурса. В [97] показано распространение

т

"фг = ^ ц-ijUj - 1г, г = т + 1,...,п.

3=1

(1.6)

в [19,28].

концепции идеального свободного распределения на систему хищник-жертва в модели гетерогенной среды с помощью уравнений реакции-диффузии-адвекции. Для достижения этой цели была введена модифицированная функциональная реакция и функция роста добычи. Модель для двух видов, учитывающая пространственные эффекты случайного блуждания и направленной миграции в направлении градиента логарифма функции ресурса рассмотрена в [65].

Методы динамического анализа и численного исследования пространственных нелокальных эффектов, возникающих за счет запаздывания, рассмотрены в [22,70,84,91,95]. Работа [95] посвящена глобальной асимптотической устойчивости конкурентных систем Лотки-Вольтерры с временными задержками. В [84] рассмотрена нелокальная модель реакции-диффузии с запаздыванием при граничном условии Дирихле. Динамика двухвидовых моделей реакции-диффузии-адвекции с задержкой во времени исследована в [91].

При исследовании моделей популяционной динамики, основанных на уравнениях реакции-диффузии-адвекции, требуется вычислять и анализировать стационарные решения, а также колебательные режимы. Компактные схемы позволяют повысить порядок разностных аппроксимаций и обеспечить желаемую точность с минимальными вычислительными затратами [50,51]. Развитие и применение схем повышенного порядка точности в задачах акустики, гидро- и аэродинамики дано в различных статьях, см. обзоры [33,77,85,106,113]. Для линейных задач порядок аппроксимации устанавливается подстановкой точного решения в разностные аналоги уравнений и прямым разложением в ряд Тейлора [47]. В случае нелинейных задач применяются вычислительные процедуры на сгущающихся сетках типа Ричардсона, Рунге, Эйткена [29]. Существуют подходы, основанные на разностных аппроксимациях по пространству и по времени, а также варианты метода прямых, в которых разностная аппроксимация проводится по пространственным переменным, а по времени используются методы типа Рунге-Кутты. Высокие порядки интеграторов по времени [59] позволяют сосредоточиться только на аппроксимациях по пространственным координатам.

Применение схем повышенного порядка точности для проблем математической биологии встречается достаточно редко. Компактные схемы [50] обеспечивают хорошее качество построенных на стандартных шаблонах разностных аппроксимаций и высокую эффективность численных алгоритмов. Развитие получили также бикомпактные схемы [15] и мультиоператорный метод [45, 51]. Так, для уравнений Эйлера и Навье-Стокса были предложены

компактные разностные схемы, обладающие высокими порядками аппроксимации [46]. В [16] представлен обзор работ по численным методам повышенной точности, предназначенным для расчета разрывных решений гиперболических систем. В [31] предложен симбиоз компактных схем и специальных адаптивных сеток, явно задаваемых на основе априорных оценок производных решений. Эффективная двухслойная безытерационная схема четвертого порядка точности для двумерного уравнения Гинзбурга-Ландау разработана в [38].

Современное состояние развития разностных схем повышенного порядка точности представлено в работах [77, 85, 113]. В частности, разработаны алгоритмы компактных схем для решения нелинейных уравнений адвекции-диффузии [113], трехмерных задач на неравномерной сетке [77], уравнений реакции-диффузии с переменными коэффициентами [85]. В [32,33] исследованы монотонные разностные схемы для уравнений Колмогоро-ва-Петровского-Пискунова-Фишера и Бюргерса-Фишера, обеспечивающие четвертый порядок по пространственной координате и второй - по времени.

§ 2 Уравнения реакции—диффузии—адвекции для моделирования взаимодействия популяций на неоднородном ареале

Для описания пространственно-временного взаимодействия конкурирующих видов будем использовать уравнения реакции-диффузии-адвекции. В случае одномерного ареала математическая модель может быть записана в виде системы уравнений относительно плотностей Ui(x,t), х £ Q, потоков ^ и локальных реакций gi, i = 1,...,т, [69]

йг = -д- + дг, Яг = -кгК + Щф[, (1.7)

/1 т \

дг = ггиЛ 1--— Uj(x,t) , i = 1,...,m, (1.8)

V P(x) 3=1 )

где штрихом обозначена производная по х, а точкой - дифференцирование по времени t. В выражении для потоков ^ первое слагаемое характеризует диффузию, а второе - отвечает за направленную миграцию (таксис). Функция ф^ состоит из двух частей, которые определяют различные виды направленной миграции: таксис на ресурс р = р(х) и реакция на неоднородное распределение видов:

т

фг = агр + bij Uj, i = 1,...,т. (1.9)

3=1

При определении потоков (1.7), (1.9) коэффициенты ki, ai, bij (i,j = 1,...,m) являются величинами, значения которых определяются из данных наблюдения. Функция р(х) описывает неравномерное распределение ресурса вдоль ареала. В функциях gi, описывающих локальное взаимодействие, fi есть параметр линейного роста, а коэффициенты а^ характеризуют влияние вида j на рост вида г.

Система (1.7)-(1.9) дополняется краевыми условиями при х = 0 и х = а, в качестве которых могут быть выбраны условия Дирихле с заданными функциями изменения плотностей на концах интервала:

Ul(0,t) = U°(t), Ui(a,t) = U?(t), (1.10)

условия отсутствия потоков:

qi(0,t) = 0, qi(a,t) = 0, (1.11)

а также их различные комбинации. В случае кольцевого ареала используются условия периодичности:

Ui(0,t) = Ui(a,t), qi{0,t) = qi(a,t). (1.12)

Начальные условия задаются для плотностей видов:

щ(х,0) = и0(х); г = 1,...,т. (1.13)

Для системы (1.7)—(1.9), (1.12), (1.13) возможны различные решения: стационарные распределения, бегущие волны. При дополнительных соотношениях на параметры может возникать мультистабильность в виде семейств стационарных (т > 1) и нестационарных (т > 2) решений [80].

Для косимметричных задач характерно существование непрерывных семейств стационарных режимов [61]. В отличие от систем с симметрией, где решения из семейства имеют одинаковый спектр устойчивости, при косим-метрии возможны решения с меняющимся вдоль семейства спектром. Для модели популяционной динамики при постоянных коэффициентах диффузии и с нелинейностью специального вида в [30] получено косимметричное семейство стационарных решений и проанализирован его распад. Для уравнения

Y = F(Y) в гильбертовом пространстве Н косимметрия [61] представляет собой нетривиальный оператор L, который ортогонален F в каждой точке фазового пространства. Если косимметрия L аннулируется только на нулевом равновесии

Y = 0, то любое другое стационарное решение является некосимметричным и включается в непрерывное семейство равновесий.

В диссертации исследуется задача для трех конкурирующих популяций. В случае кольцевого ареала имеет место следующая лемма:

Лемма 1.1. Для системы (1.7)-(1.9), (1.12), (1.13) при т = 3 и выполнении условий на параметры:

Oij = 1, kifj = kj п, (liXj = aj fi, bik fj = bjk fi, i,j,k = 1,...,3, (1.14)

косимметрией является вектор:

Lv = (Zi, Z2, Zaf , (1.15)

где

Ф1 Ф1

Z1 = (1 — v)e fci r2u2 + ve fci (1.16)

Ф2

Z2 = —(1 — v)e k2 r1u1, (1.17)

Ф3

Z3 = —ve fc3 r1u1. (1.18)

При этом задача (1.7)-(1.9), (1.12), (1.13) имеет семейство стационарных решений:

щ = 0Щ)(х), Щ = 02'и)(х), Щ = (1 - 01 - 02^(х), 0 < 01 + 02 < 1, (1.19) где /ш(х) - решение краевой задачи:

0 = к^ш" — )' — В^жт')' + г^ш ^ 1 — — ^

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Хоанг Быу, 2025 год

Список литературы

[1] Абрамова, Е. П. Динамические режимы стохастической модели «хищник-жертва» с учетом конкуренции и насыщения / Е. П. Абрамова, Т. В. Рязанова // Компьютерные исследования и моделирование, 2019. -Т. 11, № 3. - С. 515 - 531.

[2] Абрамова, Е. П. Влияние случайного воздействия на равновесные режимы модели популяционной динамики / Е. П. Абрамова, Т. В. Перевалова. // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 2020. - Т. 55. - С. 3 - 18.

[3] Алпеева, Л. Е. Косимметричный подход к анализу формирования пространственных популяционных структур с учетом таксиса / Л. Е. Алпеева,

B. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование, 2016 -Т. 8, № 4. - С. 661 - 671.

[4] Базыкин, А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А. Д. Базыкин. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -368 с.

[5] Башкирцева, И. А. Стохастическая чувствительность предельных циклов модели «две жертвы-хищник» / И. А. Башкирцева, Л. В. Карпенко, Л. Б. Ряшко // Известия вузов. ПНД, 2010 - Т. 18, № 6. - С. 42 - 64.

[6] Башкирцева, И. А. Метод стохастической чувствительности в анализе динамических трансформаций в модели «две жертвы-хищник» / И.А. Башкирцева, Т. В. Перевалова, Л. Б. Ряшко // Компьютерные исследования и моделирование, 2022 - Т. 14, № 6. - С. 1343 - 1356.

[7] Бердников, С. В. Моделирование морских экосистем: опыт, современные подходы, направления развития (обзор). Часть 1. Сквозные модели /

C. В. Бердников, В. В. Селютин, Ф.А. Сурков, Ю.В. Тютюнов // Морской гидрофизический журнал, 2022 - Т. 38, № 1. - С. 105 - 122.

[8] Бердников, С. В. Моделирование морских экосистем: опыт, современные подходы, направления развития (обзор). Часть 2. Модели популяций и

трофодинамики / С. В. Бердников, В. В. Селютин, Ф. А. Сурков, Ю. В. Тютюнов // Морской гидрофизический журнал, 2022 - Т. 38, № 2. -С. 196 - 217.

[9] Братусь, А. С. Динамические системы и модели биологии / А. С. Братусь, А. С. Новожилов, А. П. Платонов - ООО Издательская фирма "Физико-математическая литература 2009. - 400 с.

[10] Будянский, А. В. Моделирование пространственно-временной миграции близкородственных популяций / А. В. Будянский, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование, 2011 - Т. 3, № 4. - С. 477 - 488.

[11] Будянский, А. В. Влияние направленной миграции на формирование пространственных популяционных структур / А. В. Будянский, В. Г. Цибулин // Биофизика, 2015 - Т. 60, № 4. - С. 758 - 768.

[12] Будянский, А. В. Моделирование многофакторного таксиса в системе "хищник-жертва"/ А. В. Будянский, В. Г. Цибулин // Биофизика, 2019 -Т. 64, № 2. - С. 343 - 349.

[13] Будянский, А. В. Моделирование динамики популяций на неоднородном ареале: инвазия и мультистабильность / А. В. Будянский, В. Г. Цибулин // Биофизика, 2022 - Т. 67, № 1. - С. 174 - 182.

[14] Будянский, А. В. Моделирование конкуренции популяций с учетом многофакторного таксиса / А. В. Будянский, В. Г. Цибулин // Сибирский журнал индустриальной математики, 2023 - Т. 26, № 3. - С. 14 - 25.

[15] Брагин, М.Д. Бикомпактные схемы для многомерного уравнения конвекции-диффузии / М.Д. Брагин, Б. В. Рогов // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021 - Т. 61, № 4. - С. 625 - 643.

[16] Брагин, М.Д. Комбинированные численные схемы / М.Д. Брагин, О. А. Ковыркина, М.Е. Ладонкина, В. В. Остапенко, В.Ф. Тишкин, Н.А. Хандеева // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022 - Т. 62, № 11. - С. 1763 - 1803.

[17] Гиричева, Е. Е. Анализ неустойчивости системы «хищник-жертва», вызванной таксисом, на примере модели сообщества планктона / Е. Е. Гиричева // Компьютерные исследования и моделирование, 2020 - Т. 12, № 1. - С. 185 - 199.

[18] Гиричева, Е. Е. Сосуществование популяций в модели трофической цепи с учетом всеядности хищника и внутривидовой конкуренции жертв / Е. Е. Гиричева // Математическая биология и биоинформатика, 2021 -Т. 16, № 2. - С. 394 - 410.

[19] Говорухин, Б. Н. Медленный таксис в модели хищник-жертва / В.Н. Говорухин, А. Б. Моргулис, Ю. В. Тютюнов // Доклады РАН, 2000 - Т. 372, № 6. - С. 730 - 732.

[20] Говорухин, Б. Н. Популяционные волны и их бифуркации в модели «активный хищник-пассивная жертва» / В. Н. Говорухин, А. Д. Загребнева // Компьютерные исследования и моделирование, 2020 - Т. 12, № 4. -С. 831 - 843.

[21] Говорухин, В. Н. Мультистабильность и эффекты памяти в динамической системе с косимметричным потенциалом. / В.Н. Говорухин, В. Г. Цибулин, М.Ю. Тяглов. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2020 - Т. 28, № 3. - С. 259 - 273.

[22] Гурли, С. А. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика / С. А. Гурли, Д. В Х. Соу, Д. Х. Ву // Современная математика. Фундаментальные направления, 2003. - Т. 1, № 0. - С. 84 - 120.

[23] Епифанов, А. В. Моделирование колебательных сценариев сосуществования конкурирующих популяций / А. В. Епифанов, В. Г. Цибулин // Биофизика, 2016. - Т. 61, № 4. - С. 823 - 832.

[24] Епифанов, А. В. О динамике косимметричных систем хищников и жертв / А. В. Епифанов, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование, 2017. - Т. 9, № 5. - С. 799 - 813.

[25] Епифанов, А. В. Математическая модель идеального распределения родственных популяций на неоднородном ареале / А. В. Епифанов,

B. Г. Цибулин // Владикавказский математический журнал, 2023. -Т. 25, № 2. - С. 78 - 88.

[26] Жданова, О. Л. Динамика планктонного сообщества с учетом трофических характеристик зоопланктона / О. Л. Жданова, Г. П. Неверова, Е. Я. Фрисман // Компьютерные исследования и моделирование, 2024. -Т. 16, № 2. - С. 525 - 554.

[27] Загребнева, А. Д. Численная реализация модели таксис-реакция-диффузия, описывающей динамику системы хищник-жертва. / А. Д. Загребнева, Ю.В. Тютюнов, Ф.А. Сурков, А. И. Азовский // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2010. -№ 2. - С. 12 - 16.

[28] Загребнева, А. Д. Бифуркации в модели активный хищник-пассивная жертва. / А. Д. Загребнева, В. Н. Говорухин, Ф. А. Сурков // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2014 -Т. 22, № 3. - С. 94 - 106.

[29] Калиткин, Н.Н. Численные методы. 2 изд. / Н.Н. Калиткин. -БХВ-Петербург, 2011. - 592 с.

[30] Ковалева, Е. С. Семейство стационарных режимов в модели динамики популяций / Е. С. Ковалева, В. Г. Цибулин, К. Фришмут // Сиб. журн. индустр. математики, 2009. - Т. 12, № 1. - С. 98 - 107.

[31] Лисейкин, В. Д. Компактные разностные схемы и адаптивные сетки для численного моделирования задач с пограничными и внутренними слоями / В. Д. Лисейкин, В. И. Паасонен // Сибирский журнал вычислительной математики, 2019. - Т. 22, № 1. - С. 41 - 56.

[32] Матус, П. П. Монотонные разностные схемы повышенного порядка точности для параболических уравнений / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Доклады Национальной академии наук Беларуси, 2020. - Vol. 64, № 4. -

C. 391 - 398.

[33] Матус, П. П. Компактные и монотонные разностные схемы для обобщенного уравнения Фишера / П. П. Матус, Б. Д. Утебаев // Дифференциальные уравнения, 2022. - Vol. 58, № 7. - С. 947 - 961.

[34] Медвинский, А. Б. Динамика популяций: математическое моделирование и реальность / А. Б. Медвинский, Б. В. Адамович, А. В. Русаков, Д. А. Тихонов, Н. И. Нуриева, В. М. Терешко // Биофизика, 2019. - Vol. 64, № 6. -С. 1169 - 1192.

[35] Мюррей, Д. Математическая биология. Том I. Введение / Д. Мюррей. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский ин-т компьютерных исследований, 2011 - 774 с.

[36] Мюррей, Д. Математическая биология. Том II. Пространственные модели и их приложения в биомедицине / Д. Мюррей. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский ин-т компьютерных исследований, 2011 - 1078 с.

[37] Неверова, Г. П. Сложные режимы динамики в простой модели сообщества "хищник-жертва": бистабильность и мультистабильность / Г. П. Неверова, О. Л. Жданова // Математическая биология и биоинформатика, 2023. -Vol. 18, № 2. - С. 308 - 322.

[38] Паасонен, В. И. Компактная разностная схема без итераций для двумерного уравнения Гинзбурга - Ландау / В. И. Паасонен, М.П. Федорук // Вычислительные технологии, 2022. - Т. 27, № 6. - С. 58 - 69.

[39] Плюснина, Т. Ю. Математические модели в биологии / Т. Ю. Плюснина, П. В. Фурсова, Л. Д. Тёрлова, Г. Ю. Ризниченко. - М.- Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2014. - 136 с.

[40] Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. -400 с.

[41] Прохорова, Н. В. Математическое моделирование в биологии и экологии: учебное пособие / Н.В. Прохорова. - Самара: Издательство Самарского университета, 2021. - 64 с.

[42] Разжевайкин, В. Н. Анализ моделей динамики популяций / В.Н. Разже-вайкин - Москва : МФТИ, 2010. - 174 с.

[43] Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г. Ю. Ризниченко - Институт компьютерных исследований, 2003. - 184 с.

[44] Ризниченко Г. Ю. Математические методы в биологии и экологии. Биофизическая динамика продуктивных процессов. Ч. 2 / Г. Ю. Ризниченко, А. Б. Рубин - М: Изд-во Юрайт, 2009. - 185 с.

[45] Савельев, А. Д. О мультиоператорном представлении составных компактных схем / А. Д. Савельев // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2014. - Т. 54, № 10. - С. 1580 - 1593.

[46] Савельев, А. Д. Численное моделирование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа на основе составных компактных схем высокого порядка / А. Д. Савельев // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021. - Т. 61, № 2. - С. 281 - 302.

[47] Самарский, А. А. Теория разностных схем. / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

[48] Свирежев, Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Свире-жев, Д. Логофет -М.: Наука, 1978 - 352 с.

[49] Соловьева, О. Э. Математическое моделирование живых систем / О. Э. Соловьева, В. С. Мархасин, Л. Б. Кацнельсон, Т. Б. Сульман, А. Д. Васильева, А. Г. Курсанов - Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2013 - 328 с.

[50] Толстых, А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А. И. Толстых. - М. Наука, 1990. - 231 с.

[51] Толстых, А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой точности для уравнений в частных производных / А. И. Толстых. -М. Наука, 2015. - 350 с.

[52] Тютюнов, Ю. В. Моделирование потока популяционной плотности организмов с периодическими миграциями. / Ю. В. Тютюнов, А. Д. За-гребнева, Ф.А. Сурков, А. И. Азовский. // Океанология, 2010. - Т. 50, № 1. - С. 72 - 81.

[53] Тютюнов, Ю. В. Механистическая модель эффекта Олли и интерференции в популяции хищников. / Ю. В. Тютюнов, Л. И. Титова, С. В. Бердников. // Биофизика, 2013. - Т. 58, № 2. - С. 349 - 356.

[54] Тютюнов, Ю. В. От Лотки-Вольтерра к Ардити-Гинзбургу: 90 лет эволюции трофических функций / Ю.В. Тютюнов, Л. И. Титова // Журнал общей биологии, 2018 - Т. 79, № 6 - С. 428 - 448.

[55] Фрисман, Е. Я. Основные направления и обзор современного состояния исследований динамики структурированных и взаимодействующих популяций / Е. Я. Фрисман, М. П. Кулаков, О. Л. Ревуцкая, О. Л. Жданова, Г. П. Неверова // Компьютерные исследования и моделирование, 2019. -Т. 11, № 1. - С. 119 - 151.

[56] Фрисман, Е. Я. Решение задачи динамики популяций на основе модели хищник-жертва / Е.Я. Фрисман, М.П. Кулаков // Компьютерные исследования и моделирование, 2023. - Т. 15, № 1. - С. 75 - 109.

[57] Ха, Д. Т. Мультистабильные сценарии для дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы хищников и жертв / Д. Т. Ха, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование, 2020. -Т. 12, № 6. - С. 1451 - 1466.

[58] Ха, Д. Т. Мультистабильность для математической модели динамики хищников и жертв на неоднородном ареале / Д. Т. Ха, В. Г. Цибулин // Современная математика. Фундаментальные направления, 2022. - Т. 68, № 3. - С. 509 - 521.

Ha, T. D. Multistability for a Mathematical Model of the Dynamics of Predators and Prey in a Heterogeneous Area / T. D. Ha, V. G. Tsybulin // Journal of Mathematical Sciences, 2024. - Vol. 282. - P. 417 - 428.

[59] Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. - М: Мир, 1990. -512 с.

[60] Цибулин, В. Г. Нелинейная динамика системы хищник-жертва на неоднородном ареале и сценарии локального взаимодействия видов / В. Г. Цибулин, Т.Д. Ха, П. А. Зеленчук // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2021. - Т. 29, № 5. - С. 751 - 764.

[61] Юдович, В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции / В. И. Юдович // Мат. заметки, 1991. - Т. 49, № 5. - С. 142 - 148.

[62] Юдович, В. И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий динамической системы и ее затягивании / В. И. Юдович // Прикладная математика и механика, 1998. - Т. 62, № 1. - С. 22 - 34.

[63] Юдович, В. И. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих косиммет-рию / В. И. Юдович // Доклады РАН, 2004. - Т. 398, № 1. - С. 57 - 61.

[64] Antonov, V. First Integrals of the May-Leonard Asymmetric System / V. Antonov, W. Fernandes, V. G. Romanovski, N. L. Shcheglova // Mathematics, 2019. - Vol. 7, no. 3. - P. 292.

[65] Avgar, T. Habitat selection patterns are density dependent under the ideal free distribution / T. Avgar, G.S. Betini, J.M. Fryxell // Journal of Animal Ecology, 2020. - Vol. 89, no. 12. - P. 2777 - 2787.

[66] Barabas, G. The effect of intra-and interspecific competition on coexistence in multispecies communities / G. Barabas, M. J. Michalska-Smith, S. Allesina // The American Naturalist, 2016. - Vol. 188, no. 1. - P. E1 - E12.

[67] Barclay, H. J. Mathematical models for the use of sterile insects. In Sterile insect technique: principles and practice in area-wide integrated pest management / H.J. Barclay - Dordrecht: Springer Netherlands, 2005. -P. 147 - 174.

[68] Bayliss, A. Mathematical modeling of cyclic population dynamics / A. Bayliss, A. A. Nepomnyashchy, V. A. Volpert // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2019. - Vol. 394. - P. 56-78.

[69] Budyansky, A. V. Cosymmetry approach and mathematical modeling of species coexistence in a heterogeneous habitat / A. V. Budyansky, K. Frischmuth, V. G. Tsybulin // Discrete & Continuous Dynamical Systems-B, 2019. - Vol. 24, no. 2. - P. 547 - 561.

[70] Busenberg, S. Stability and Hopf bifurcation for a population delay model with diffusion effects / S. Busenberg, W. Huang // Journal of differential equations, 1996. - Vol. 124, no. 1. - P. 80 - 107.

[71] Cantrell, R. S. Spatial Ecology Via Reaction-Diffusion Equations / R. S. Cantrell, C. Cosner. - Chichester: John Wiley and Sons Ltd, 2003. -428 p.

[72] Cantrell, R. S. On a competitive system with ideal free dispersal / R. S. Cantrell, C. Cosner, S. Martinez, N. Torres // Journal of Differential Equations, 2018. - Vol. 265, no. 8. - P. 3464 - 3493.

[73] Cantrell, R. S. Evolution of dispersal in spatial population models with multiple timescales / R. S. Cantrell, C. Cosner, M.A. Lewis, Y. Lou // J. Mathematical Biology, 2020. - Vol. 80. - P. 3-37.

[74] Chen, X. On Lotka-Volterra Equations with identical minimal intrinsic growth rate / X. Chen, J. Jiang, L. Niu // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2015. - Vol. 14, no. 3. - P. 1558 - 1599.

[75] Chesson, P. Updates on mechanisms of maintenance of species diversity / P. Chesson // Journal of ecology, 2018. - Vol. 106, no. 5. - P. 1773 - 1794.

[76] Chi, C. W. On the asymmetric May-Leonard model of three competting species / C.W. Chi, L.I. Wu, S.B. Hsu // SIAM journal on applied mathematics, 1998. - Vol. 58, no. 1. - P. 211 - 226.

[77] Deka, D. Compact higher order discretization of 3D generalized convection diffusion equation with variable coefficients in nonuniform grids / D. Deka, S. Sen // Applied Mathematics and Computation, 2022. - Vol. 413. - P. 126652.

[78] Fay, T. H. A three species competition model as a decision support tool / T. H. Fay, J. C. Greeff // Ecological Modelling, 2008. - Vol. 211, no. 1-2. -P. 142 - 152.

[79] Forrest-Owen, O. Mathematical Modelling and it's Applications in Biology, Ecology and Population Study / O. Forrest-Owen. - University of Chester, 2016. - 124 p.

[80] Frischmuth, K. Modeling of invasion on a heterogeneous habitat: taxis and multistability / K. Frischmuth, A.V. Budyansky, V. G. Tsybulin // Applied Mathematics and Computation, 2021. - Vol. 410. - P 126456.

[81] Govorukhin, V. N. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection / V. N. Govorukhin, V. I Yudovich // Chaos, 1999. - Vol. 9, no. 2. - P. 403 - 412.

[82] Govorukhin, V. N. Multiple equilibria, bifurcations and selection scenarios in cosymmetric problem of thermal convection in porous medium / V. N. Govorukhin, I. V. Shevchenko // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2017. -Vol. 361. - P. 42 - 58.

[83] Govorukhin, V. N. Multistability, scattering and selection of equilibria in the mechanical system with constraint / V. N. Govorukhin, V. G. Tsybulin // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2021. -Vol. 95. - P. 105602.

[84] Guo, S. Hopf bifurcation in a diffusive Lotka-Volterra type system with nonlocal delay effect / S. Guo, S. Yan // Journal of Differential Equations, 2016. - Vol. 260, no. 1. - P. 781 - 817.

[85] He, M. A compact ADI finite difference method for 2D reaction-diffusion equations with variable diffusion coefficients / M. He, W. Liao // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2024. - Vol. 436. - P. 115400.

[86] Hou, Z. Heteroclinic limit cycles in competitive Kolmogorov systems / Z. Hou, S. Baigent // Discrete & Continuous Dynamical Systems, 2013. - Vol. 33, no. 9. - P. 4071 - 4093.

[87] Ibragimov N.H. A Practical Course in Differential Equations and Mathematical Modelling, A: Classical and New Methods. Nonlinear Mathematical Models. Symmetry and Invariance Principles. / N.H. Ibragimov. - World Scientific Publishing Company, 2009. 364 p.

[88] Jiang, J. Global dynamics of 3D competitive Lotka-Volterra equations with the identical intrinsic growth rate / J. Jiang, F. Liang // Journal of Differential Equations, 2020. - Vol. 268, no. 6. - P. 2551 - 2586.

[89] Kuznetsov, N. Attractor dimension estimates for dynamical systems: theory and computation / N. Kuznetsov, V. Reitmann. - Springer, 2020.

[90] Lotka, A. J. Elements of physical biology / A. J. Lotka. - Williams & Wilkins, 1925. - 495 p.

[91] Ma, L. Stability and bifurcation in a two-species reaction-diffusion-advection competition model with time delay / L. Ma, Z. Feng // Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2021. - Vol. 61. - P. 103327.

[92] Manna, K. Pattern formation in a three-species cyclic competition model / K. Manna, V. Volpert, M. Banerjee // Bulletin of Mathematical Biology, 2021. - Vol. 83, no. 5. - P. 1 - 35.

[93] Gyllenberg, M. Four limit cycles for a three-dimensional competitive Lotka-Volterra system with a heteroclinic cycle / M. Gyllenberg, P. Yan // Computers and Mathematics with Applications, 2009. - Vol. 58, no. 4. -P. 649 - 669.

[94] May, R. M. Nonlinear aspects of competition between three species / R. M. May, W.J. Leonard // SIAM journal on applied mathematics, 1975. -Vol. 29, no. 2. - P. 243 - 253.

[95] Pao, C. V. Global asymptotic stability of Lotka-Volterra competition systems with diffusion and time delays / C. V. Pao // Nonlinear analysis: real world applications, 2004. - Vol. 5, no. 1. - P. 91 - 104.

[96] Tsybulin, V. G. Selection of steady states in planar Darcy convection / V. G. Tsybulin, B. Karasozen, T. Ergenc // Physics Letters A, 2006. - Vol. 356, no. 3. - P. 189 - 194.

[97] Tsybulin, V. Predator-Prey Dynamics and Ideal Free Distribution in a Heterogeneous Environment / V. Tsybulin, P. Zelenchuk // Mathematics, 2024. - Vol. 12, no. 2. - P. 275.

[98] Tyutyunov, Y. V. Prey-taxis destabilizes homogeneous stationary state in spatial Gause-Kolmogorov-type model for predator-prey system / Y.V. Tyutyunov, L.I. Titova, I.N. Senina // Ecological complexity, 2017 -Vol. 31 - P. 170 - 180.

[99] Tyutyunov, Y. V. Spatiotemporal pattern formation in a prey-predator system: The case study of short-term interactions between diatom microalgae and microcrustaceans / Y. V. Tyutyunov, A. D. Zagrebneva, A.I. Azovsky // Mathematics, 2020. - Vol. 8, no. 7. - P. 1065 (15 p.).

[100] Tyutyunov, Y. V. Modeling Study of Factors Determining Efficacy of Biological Control of Adventive Weeds / Y. V. Tyutyunov, V. N. Govorukhin, V.G. Tsybulin // Mathematics, 2024 - Vol. 12, no. 1. - P. 160.

[101] Van der Hoff, Q. Defining a stability boundary for three species competition models / Q. Van der Hoff, J. C. Greeff, T. H. Fay // Ecological modelling, 2009. - Vol. 220, no. 20. - P. 2640 - 2645.

[102] Vasilyeva, O. Competition of three species in an advective environment / O. Vasilyeva, F. Lutscher // Nonlinear analysis: real world applications, 2012. - Vol. 13, no. 4. - P. 1730 - 1748.

[103] Volterra, V. Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in specie animali conviventi (Vol. 2) / Societa anonima tipografica "Leonardo da Vinci 1927.

[104] Walker, I. The Volterra competition equations with resource-independent growth coefficients and discussion on their biological and biophysical implications / I. Walker // Acta biotheoretica, 1984. - Vol. 33, no. 4. -P. 253 - 270.

[105] Waugh, I. Matrix-free continuation of limit cycles for bifurcation analysis of large thermoacoustic systems / I. Waugh, S. Illingworth, M. Juniper // Journal of Computational Physics, 2013. - Vol. 240. - P. 225 - 247.

[106] Xu, P. High-order finite difference approximation of the Keller-Segel model with additional self-and cross-diffusion terms and a logistic source / P. Xu, Y. Ge, L. Zhang // Networks & Heterogeneous Media, 2023. - Vol. 18, no. 4. -P. 1471 - 1492.

[107] Li, Y. Multiplicity on limit cycles of 3D Lotka-Volterra competitive systems / Y. Li, J. Jiang // Journal of Dynamics and Differential Equations, 2024. -Vol. 36, no. 3. - P. 2007 - 2039.

[108] Li, Y. On the multiplicity of limit cycles for 3D Leslie-Gower competitive system / Y. Li, J. Jiang // Discrete and Continuous Dynamical Systems-B, 2025. - Vol. 30, no. 1. - P. 66 - 81.

[109] Yudovich, V. I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it / V.I. Yudovich // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 1995. - Vol. 5, no. 2.- P. 402 - 411.

[110] Zeeman, M. L. Hopf bifurcations in competitive three-dimensional Lotka-Volterra systems / M. L. Zeeman // Dynamics and stability of systems, 1993. - Vol. 8, no. 3. - P. 189 - 216.

[111] Zeeman, E. C. An n-dimensional competitive Lotka-Volterra system is generically determined by the edges of its carrying simplex / E. C. Zeeman, M.L. Zeeman // Nonlineanty, 2002. - Vol. 15, no. 6. - P. 2019 - 2032.

[112] Zeeman, E. C. From local to global behavior in competitive Lotka-Volterra systems / E. C. Zeeman, M. L. Zeeman // Transactions of the American Mathematical Society, 2003. - P. 713 - 734.

[113] Zhang, L. Numerical solution of nonlinear advection diffusion reaction equation using high-order compact difference method / L. Zhang, Y. Ge // Applied Numerical Mathematics, 2021. - Vol. 166. - P. 127 - 145.

Публикации автора по теме диссертации

[114] Нгуен, Б.Х. Мультистабильность для системы трех конкурирующих видов / Б.Х. Нгуен, Т.Д. Ха, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование, 2022. - Т. 14, № 6. - С. 1325 - 1342.

[115] Нгуен, Б.Х. Математическая модель трех конкурирующих популяций и мультистабильность периодических режимов / Б.Х. Нгуен, В. Г. Цибулин // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2023. - Т. 31, № 3. - С. 316 - 333.

[116] Нгуен, Б.Х. Схема повышенного порядка точности для моделирования динамики хищника и жертвы на неоднородном ареале / Б.Х. Нгуен, В. Г. Цибулин // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2024. - Т. 32, № 3. - С. 294 - 304.

[117] Нгуен, Б.Х. Компактная схема для моделирования динамики конкурирующих популяций на неоднородном ареале / Б.Х. Нгуен, Т.Д. Ха,

B. Г. Цибулин // Вычислительные технологии, 2024. - Т. 32, № 3. -

C. 294 - 304.

[118] Нгуен, Б.Х. Семейства равновесий и предельных циклов для системы трех конкурирующих видов / Б.Х. Нгуен, В. Г. Цибулин // В сборнике: XXXIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам, Симферополь. 2022. - С. 12.

[119] Нгуен, Б.Х. Математическая модель трех конкурирующих популяций с мультистабильностью стационарных решений и периодических режимов / Б.Х. Нгуен, Т.Д. Ха, В. Г. Цибулин // В сборнике: Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития. Материалы XXX научной конференции, Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону. 2023. - С. 303 - 306.

[120] Нгуен, Б. Х. Математическая модель трех конкурирующих популяций с мультистабильностью стационарных решений и периодических режимов / Б.Х. Нгуен // В книге: Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XVII Всероссийской школы, Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону. 2023. - С. 75.

[121] Нгуен, Б. Х. Расчет динамики трех популяций на неоднородном ареале методом повышенного порядка точности / Б. Х. Нгуен // В сборнике: Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития. Материалы XXXI научной конференции, Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону. 2024. - С. 320 - 323.

[122] Нгуен, Б. Х. Численная схема для моделирования динамики конкурирующих популяций на неоднородном ареале / Б. Х. Нгуен // В книге: Математическое моделирование и биомеханика в современном

университете. Тезисы докладов XVIII Всероссийской школы, Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону. 2024. - С. 74.

[123] Tsybulin, V. G. Compact finite-difference schemes in the problems of population dynamics and convection / V. G. Tsybulin, B. H. Nguyen, A. A. Selischev // Proceedings of Tenth China-Russia Conference: Numerical Algebra with Applications, Rostov-on-Don - Vladivostok. 2024. - P. 30 - 31.

[124] Нгуен, Б. Х. Схемы повышенного порядка точности для моделирования популяционной динамики и фильтрационной конвекции / Б. Х. Нгуен, А. А. Селищев, В. Г. Цибулин // В сборнике: XXXV Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам, Симферополь. 2024. - С. 90 - 91.