Математическое моделирование и численный анализ вихревых и конвективных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Говорухин Василий Николаевич

• Говорухин Василий Николаевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Говорухин Василий Николаевич

Введение

Глава 1. Математические модели динамики невязких жидкостей

1.1. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости

1.2. Задача протекания идеальной жидкости сквозь заданную область

1.3. Геофизические модели динамики атмосферы и океана

1.4. Системы точечных вихрей

1.5. Математическая модель конвекции жидкости в пористой среде с законом фильтрации Дарси

1.6. Абстрактная модель конвекции Дарси

Глава 2. Методы численного исследования вихревых и конвективных структур

2.1. Спектрально-вихревой бессеточный метод решения нестационарных двумерных задач динамики невязкой жидкости

2.2. Метод Бубнова-Галёркина для исследования фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере

2.3. Численные методы поиска стационарных и периодических во времени течений жидкости

2.4. Численный анализ структуры и устойчивости конфигураций невязкой жидкости

2.5. О выборе методов решения задачи Коши для моделирования динамики невязких жидкостей

Глава 3. Алгоритмы численного анализа задач динамики жидкости и их программная реализация

3.1. Реализация метода Бубнова-Галеркина для решения нестационарных задач фильтрационной конвекции на параллельных компьютерах с использованием MPI

3.2. Параллельный алгоритм спектрально-вихревого метода расчёта течений невязкой несжимаемой жидкости с использованием ОрепМР

3.3. Алгоритм вычисления семейств равновесий косимметричных систем

3.4. Идентификация вихревой конфигурации на основе формализма точечных вихрей

3.5. Применение средств компьютерной алгебры

Глава 4. Исследование вихревых структур невязкой несжимаемой жидкости

4.1. Динамика вихревых структур

4.2. Взаимодействие сонаправленных вихрей и влияние планетарного вращения

4.3. Стационарные структуры идеальной жидкости при протекании через канал

4.4. Сценарии возникновения автоколебаний при протекании идеальной жидкости через канал

4.5. Транспорт пассивных частиц в задаче о протекании идеальной жидкости

4.6. Структура САВС-потоков

Глава 5. Анализ конвективных течений жидкости в пористом

контейнере

5.1. Косимметричные эффекты в абстрактных моделях конвекции

Дарси

5.2. Рождение и развитие однопараметрического семейства устойчивых стационарных режимов

5.3. Возникновение и развитие неустойчивости на семействе стационарных режимов

5.4. Бифуркации однопараметрических семейств стационарных режимов

5.5. Сценарии возникновения нестационарных режимов

5.6. Селекция устойчивых стационарных режимов

5.7. Воздействие внутренних тепловых источников на конвективные движения в пористой среде, подогреваемой снизу

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численный анализ вихревых и конвективных структур»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Моделирование в гидродинамике является фундаментом изучения геофизических проблем и решения прикладных задач. Свойства тепло- и массопереноса в атмосфере, океане, почве, в технических устройствах, определяются структурой возникающих в них течений и их изменениями во времени и пространстве. Причинами формирования гидродинамических структур могут быть неоднородность жидкости, подогрев, вращение планет и другие факторы. Эти процессы могут быть эффективно изучены с помощью анализа математических моделей, что требует применения методов вычислительной математики и компьютерного эксперимента. Понимание механизмов структурообразования в жидкости и влияния на них различных факторов позволяет улучшить прогноз природных явлений и оптимизировать технологические процессы.

Диссертационная работа посвящена исследованию геофизических моделей и развитию вычислительных методов поиска и исследования неоднородных структур в жидкостях, анализу их устойчивости и бифуркаций, изучению динамики и сценариев реализации финальных состояний. Особое внимание в работе уделено изучению структур жидкости в задачах со специальными свойствами: при отсутствии вязкости и наличии косимметрии. Это проблемы вихревой динамики, течений невязкой несжимаемой жидкости, конвекции в пористых средах и другие. В этих задачах проявляются малоизученные эффекты, такие как сосуществование бесконечного множества устойчивых режимов при фиксированных физических параметрах (мультистабильность) и невязкая диссипация, обусловленная открытостью области течения или подогревом жидкости. Специфика задач приводит к тому, что при их решении многие стандартные численные методы отказывают, требуется их адаптация или разработка новых. Это дела-

ет актуальными новые постановки задач и разработку специальных численных подходов, методов и алгоритмов. Большинство рассмотренных в диссертации проблем формулируются в виде систем нелинейных уравнений в частных производных, которые слабо поддаются аналитическому исследованию, и требуют применения квалифицированных вычислений, разработки новых комбинированных эйлерово-лагранжевых методов, применения аппарата теории динамических систем и хаоса.

Исследование структурообразования в жидкостях важно для задач тепло и массопереноса, что обуславливает актуальность исследований в этой области и разработки эффективных методов для решения нестационарных задач математической гидродинамики и качественного анализа структуры течения, её изменений во времени. Проведение таких исследований важно как для фундаментальных проблем гидродинамики, так и для прикладных задач. Актуальным является также конструирование численных методов, использующих современные вычислительные комплексы. Кроме того, рассмотренные в диссертации задачи представляют значительный интерес благодаря ряду новых явлений, не встречавшихся ранее в задачах математической физики. Полученные результаты, постановки задач и развитые методы вычислительного анализа могут быть использованы для изучения других задач гидродинамики, термодинамики и иных нелинейных естественнонаучных проблем.

Цели и задачи диссертационной работы. Основной целью настоящей диссертации являлось исследование методами математического моделирования возникновения и развития неоднородных стационарных и нестационарных структур жидкости, их свойств, применительно к ряду актуальных проблем гидродинамики. Рассмотрены двумерные задачи вихревой динамики невязкой несжимаемой жидкости и конвекции в пористой среде, обладающие специфическими свойствами (отсутствие вязкости, консервативность, косим-метрия, мультистабильность). Это потребовало разработки новых вычислительных методов и реализации их в виде комплексов программ.

Достижение целей исследования потребовало решения следующих задач: 1) Постановки в виде систем уравнений в частных производных задач математического моделирования вихревых движений невязкой несжимаемой жидкости в канале с условиями Юдовича и в геофизических приближениях с учётом планетарного вращения; задачи конвекции в прямоугольном пористом контейнере на основе модели Дарси. 2) Разработки спектрально-вихревого бессеточного метода решения нестационарных уравнений вихревой динамики и основанных на нём алгоритмов качественного анализа вихревых структур. 3) Адаптации классического метода Бубнова-Галёркина для решения системы уравнений Дарси и разработки на его основе алгоритма поиска и анализа однопараметрических семейств стационарных течений в случае косимметрии. 4) Реализации спектрально-вихревого метода и метода Бубнова-Галёркина в виде комплексов программ с использованием многопроцессорной вычислительной техники. 5) Проведения численного исследования течений идеальной жидкости в канале при различных режимах протекания. 6) Численного анализа бифуркаций стационарных режимов в задаче фильтрационной конвекции, включая перестройки семейств как инвариантных множеств; изучения сценариев отбора финальных состояний в условиях сильной мультистабильности и возникновения автоколебаний.

Методология исследования. Для решения поставленных задач применялись аналитические и численные методы исследований. С помощью аналитических подходов и средств компьютерной алгебры изучены свойства методов расчета динамики жидкости, получены аппроксимации систем уравнений в частных производных. Развит новый спектрально-вихревой бессеточный метод решения нестационарных задач вихревой динамики, совмещающий преимущества лагранжевых и эйлеровых подходов. Для уравнений, описывающих конвекцию в пористой среде, разработаны новые алгоритмы на основе метода Буб-нова-Галёркина, позволяющие проводить исследование однопараметрических семейств стационарных режимов, продолжения их по параметру, анализа устой-

чивости и бифуркаций в условиях наличия косимметрии и при её разрушении. Численные методы использованы для разработки комплексов программ для расчёта течений, что позволило провести анализ структур жидкости, их бифуркаций для ряда геофизических задач.

Научную новизну составляют положения, выносимые на защиту. В области математического моделирования:

1. Исследована математическая модель динамики идеальной жидкости с условиями Юдовича, описывающая новые стационарные и периодические во времени вихревые структуры с застойными зонами в задаче протекания сквозь прямоугольный канал. Проведен их параметрический анализ, исследована устойчивость, изучены новые сценарии возникновения автоколебаний.

2. Для моделирования вихревых взаимодействий предложены вычислимые критерии диагностики качественных перестроек и условной устойчивости вихревых конфигураций. С их использованием изучено влияние планетарного вращения на взаимодействие вихревых структур на примере наборов распределенных вихрей одинаковой интенсивности.

3. На основе математической модели фильтрационной конвекции с законом трения Дарси исследованы однопараметрические семейства стационарных режимов в широком диапазоне параметров (фильтрационного числа Релея и размеров контейнера). Выяснено, что потеря устойчивости на семействе может быть колебательной и монотонной, исследованы новые бифуркации семейств как инвариантных множеств (распад, пересечение, слияние), изучены новые сценарии возникновения автоколебаний.

4. С помощью компьютерного моделирования изучена реализация финальных состояний в условиях мультистабильности для задачи фильтрационной конвекции. Установлены нетривиальные механизмы отбора режимов, принадлежащих устойчивому однопараметрическому семейству.

5. Результаты математического моделирования распада семейства стационар-

ных режимов в задаче фильтрационной конвекции при наличии внутренних источников тепла. Обнаружен новый бифуркационный сценарий возникновения релаксационных колебаний.

В области численных методов:

1. Разработан новый спектрально-вихревой бессеточный метод расчёта нестационарных течений невязкой несжимаемой жидкости. Метод реализован для решения следующих задач: динамики жидкости в квадратной замкнутой области; течений в прямоугольном канале с условиями Юдовича; анализа вихревой динамики с учетом планетарного вращения.

2. Разработан метод решения нестационарной задачи фильтрационной конвекции и анализа однопараметрических семейств стационарных конвективных режимов на основе глобального метода Бубнова-Галёркина. Метод включает алгоритмы продолжения по скрытому параметру кривых равновесий, исследования устойчивости режимов, влияния разрушения косимметрии и исследования механизмов реализации финальных состояний в случае мультистабильно-сти.

3. Разработаны численные методы качественного анализа структур жидкости. Методы основаны на подходах теории динамических систем и включают поиск стационарных и периодических режимов, вычисление показателей Ляпунова, алгоритмы анализа устойчивости течений.

4. Проведен анализ методов решения задачи Коши для нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникающих при дискретизации в пунктах 1) и 2). На основе анализа предложены рекомендации по выбору оптимальных методов интегрирования косимметричных динамических задач и систем, описывающих движение жидких частиц.

В области программного обеспечения:

1. На основе разработанного спектрально-вихревого метода решения нестационарных задач динамики невязкой несжимаемой жидкости создан алгоритм для многопотоковых компьютеров. Алгоритм реализован в виде комплекса программ SpVrt на языке С++ с использованием технологии ОрепМР.

2. На основе метода Бубнова-Галёркина решения нестационарной задачи фильтрационной конвекции разработан алгоритм для многопроцессорных кластеров. Алгоритм реализованы в виде комплекса программ на языке С++ с использованием технологии MPI.

3. Реализован комплекс программ численного анализа динамических систем для пакета MATLAB. Комплекс включает модуль для построения однопарамет-рических семейств равновесий систем с косимметрией, функцию вычисления спектра показателей Ляпунова, функции интеграторов высокого порядка точности.

Теоретическая и практическая значимость. Часть диссертационной работы носит теоретический характер и относится к фундаментальным исследованиям. Она выполнялась в рамках гранта Правительства РФ № 075-15-2019-1928 и проектов РФФИ (99-01-01023, 01-01-22002-НЦНИ, 02-01-00337, 04-01-96815-р2004юг, 08-01-00895, 11-01-00708, 14-01-00470, 18-01-00453, 19-29-06013). Построенные новые численные методы, алгоритмы, созданные комплексы программ, достаточно универсальны и применимы для решения многих теоретических и прикладных задач.

Программный комплекс SpMVort для расчета вихревых течений идеальной жидкости в канале спектрально-бессеточным вихревым методом зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам: свидетельство № 2020667461, дата регистрации 23.12.2020 г. (автор: Говорухин В.Н.).

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные результаты позволяют понять процессы, которые могут реализовываться в других

и

задачах гидродинамики. Результаты, изложенные в диссертации, способствуют более глубокому пониманию механизмов формирования и динамики вихревых и конвективных структур, могут быть использованы для решения задач контроля и управления вихревыми потоками в замкнутых и открытых полостях, процессами тепломассообмена в технологических установках. В частности, изученные стационарные и нестационарные течения в каналах позволяют предсказать возможные сценарии формирования застойных зон в трубах, а анализ развития однопараметрических семейств стационарных режимов и их разрушений в задаче фильтрационной конвекции позволяет предложить способы реализации режимов с заданными свойствами.

Степень достоверности и апробация результатов. Математические модели и вычислительные методы, разработанные в диссертации, строились на основе законов гидродинамики. Их достоверность и корректность базируется на математически корректных постановках задач и обоснованных методов, сравнениями с известными аналитическими решениями, отсутствием противоречий с результатами других авторов для задач рассматриваемых классов, доступными экспериментальными данными. Правильность численных результатов проверялась сравнением расчетов для аппроксимаций различных детализаций. Для всех рассмотренных проблем наблюдались качественная идентичность результатов и их хорошая количественная сходимость. Результаты исследований, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и прошли рецензирование.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на Международных и Всероссийских симпозиумах, конференциях и семинарах: 'Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости', Москва, 1992, 1993, 2006, 2012, 2018; 'Динамические дни', Познань, Польша, 1993, Будапешт, Венгрия, 1994; 'Индустриальная математика', 1994, Линчепинг, Швеция; 1С1АМ'95, Гамбург, Германия, 1995; Евромех коллоквиум 383 'Методы продолжения в задачах гидродинамики', Осуа, Франция, 1998; Конференция по уравнениям в частных

производных, Прага, 1998; 'Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики', Ростов-на-Дону, 2000; ЕСМ 2000, Барселона, Испания; ACOMEN 2002, Льеж, Бельгия, 2002; 'Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB', Москва, 2004, Астрахань, 2009; 21-ый Конгресс по теоретической и прикладной механике, Варшава, Польша, 2004; 18-ый Французский конгресс по механике, Гренобль, Франция, 2007; 'Современные проблемы механики сплошной среды', Ростов-на-Дону, 2007 2012, 2014, 2016, 2018, 2020; NUMDIFF'12, Галле, Германия, 2009; VI Международная конференция по бессеточным методам для уравнений в частных производных, Бонн, Германия, 2011; Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики, Дюрсо, 2012, 2016, 2018; SciCADE, Валльядо-лид, Испания, 2013; ENUMATH, Анкара, Турция, 2015; Российско-Китайская конференция 'Вычислительная алгебра и её приложения', Ростов-на-Дону, 2015, 2019; XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 2015; 'Численное моделирование прибрежных, шельфовых и устьевых процессов', Ростов-на-Дону, 2015; КРОМШ, Симферополь, 2017, 2020.

Результаты диссертации докладывались на семинаре лаборатории 'Вычислительная механика' Южного федерального университета (ЮФУ); кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ; кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики ЮФУ; семинаре математического факультета университета Твенте, Нидерланды; семинара института математики Средне-восточного технического университета, Анкара, Турция; семинара школы математических наук университета транспорта, Шанхай, КНР; семинаре Института проблем механики РАН и др.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 55 печатных работах, из них 29 статей в рецензируемых журналах из перечня изданий, рекомендованных диссертационным советом ЮФУ01.05, баз Scopus и Web of Science [ - ], 14 статей в сборниках трудов конференций [ - ] и 12 тезисов

докладов [44 55].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации некоторых результатов проводилась совместно с соавторами. В этих случаях физические и вычислительные постановки задач сформулированы совместно с соавторами, а также анализ и обоснование применимости используемых математических моделей гидродинамических явлений. Среди результатов, опубликованных в соавторстве, соискателю принадлежат разработка численных методов, программных комплексов, получение, обработка и анализ численных результатов. Все вынесенные на защиту результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 371 страниц, из них 325 страниц текста, включая 157 рисунков. Библиография включает 399 наименований на 37 страницах.

Вихревые и конвективные структуры и методы их исследования: обзор литературы

Математические модели течений невязкой несжимаемой жидкости являются приближением реальных задач гидродинамики и служат теоретической основой для описания более сложных течений с учётом различных физических факторов. Особое внимание исследователей привлекают движения жидкости в областях с притоком и оттоком, таких как комнаты, каналы конечной длины, трубы и др. Во многих экспериментальных и численных исследованиях изучались течения в открытых областях с присутствием твёрдых тел и различными режимами протекания. Интерес к таким задачам обусловлен их актуальностью во многих проблемах, например, исследовании турбулентности [56], анализе проточной вентиляции помещений и туннелей [57], проблемы транспорта и контро-

ля загрязнения окружающей среды [58], потоки в трубах и воздуховодах конечной длины [59, 60], моделирование вокального тракта [61] и другие проблемы из различных областей науки и техники. Анализ течений невязкой несжимаемой жидкости позволяет понять многие фундаментальные гидродинамические процессы в проточных областях.

Сложные течения невязких жидкостей состоят из вихрей различной интенсивности, размеров, ориентации. Структура вихревой конфигурации [62] определяет свойства массопереноса, динамику жидкости, а информация о ее устойчивости (неустойчивости) позволяет оценить время существования течений. Нестационарное течение трансформируется со временем, что может приводить к качественным изменениям, т.е. потере структурной устойчивости. Например, два однонаправленных вихря на плоскости сливаются в один, если расстояние между ними становится меньше некоторой величины [63]. Два близко расположенных разнонаправленных вихря образуют дипольную структуру, которая может взаимодействовать с другими вихревыми структурами [64]. Данные процессы являются доминирующими при эволюции двумерной турбулентности [65], и активно изучаются последние десятилетия. Для анализа этих явлений необходимо ясное понимание механизмов взаимодействия вихрей, возможность оценки качественных и количественных характеристик вихревых конфигураций, что требует разработки соответствующих численных методов.

Взаимодействие (»направленных распределенных вихрей определяется их размерами, интенсивностями, расстоянием между ними [66], распределением завихренности [ ]. Если расстояние г между вихрями меньше критической величины гс, то возникают неустойчивые моды, которые приводят к перемешиванию вихревых пятен. Если г > гс, то вихри образуют квазистационарную конфигурацию. Нетривиальным может оказаться влияние внешних факторов на вихревые взаимодействия. Например, влияние планетарного вращения на взаимодействие вихрей до конца не ясно, хотя имеются важные результаты [67, 68], и эта проблема требует дальнейшего изучения. Влияние вращения на

взаимодействие ряда плоских вихревых структур рассмотрено в [22, 27].

Математическая постановка задачи о течении невязкой несжимаемой жидкости в канале требует правильных начальных и граничных условий. Задача для ограниченных областей при наличии протекания впервые была поставлена в [69], а первый результат о существовании и единственности её решения получен в работе [70]. Сейчас известен ряд корректных постановок задач протекания, описываемых уравнениями Эйлера [15, 69 73]. К математически точной формулировке для плоских течений при наличии протекания приводят граничные условия Юдовича: нормальная скорость задаётся всюду на границе, а завихренность только на входе в область. В.И. Юдович [70, 71] доказал, что эти условия приводят к корректной задаче для уравнений Эйлера и определяют каждое решение этой задачи на сколь угодно большом интервале времени. При наличии протекания жидкость втекает в область течения и вытекает из неё через части границы, что может порождать как отток, так и накачку энергии, и течение невязкой жидкости перестаёт быть консервативной системой. В этом случае численное исследование многих проблем динамики оказывается более доступными, чем в консервативном случае. В диссертации подробно изучаются течения в канале в постановке В.И. Юдовича.

Для динамики несжимаемой жидкости в каналах многие проблемы остаются нерешенными. Наличие зон рециркуляции в течениях очень важно для приложений. Например, они соответствуют застойным участкам при вентиляции помещений или областям образования сгустков в артериях. Обычно образование застойных зон связано с неровностями на стенках канала [74, 75] или твёрдыми телами в области течения [76]. В [77] описана возможность возникновения зон застоя в потоках невязкой несжимаемой жидкости, в частности, доказано, что плоское невязкое стационарное течение является «совершенно неоднозначным» в следующем смысле: существует континуум решений, включающий зоны рециркуляции, которые можно вставить в поток, удовлетворяющий тем же граничным условиям. Возможность существования стационарных и песта-

циоыарыых режимов с застойными зонами численно изучались в [15, 17, 25] и результаты подробно изложены в диссертации. Показано, что для граничных условий Юдовича сосуществуют различные нетривиальные стационарные режимы при одних и тех же граничных условиях [17, 25].

Изучение невязких диссипативных свойств задачи протекания идеальной жидкости через канал было начато в [78], где установлена возможность асимптотической устойчивости стационарных течений, которая означает то, что малые начальные возмущения полностью вымываются из канала за конечное или бесконечное время. В работе [79], установлена асимптотическая устойчивость по линейному приближению проточных стационарных течений. Аналитическое исследование устойчивости стационарных течений получило своё развитие в [80]. Численный анализ проблемы показал, что начальные достаточно интенсивные вихри частично запираются в канале и формируют сложные вихревые конфигурации с рециркуляционными зонами [11, 12, 15, 17]. Были обнаружены нетривиальные стационарные режимы, область течения которых состоит из связной проточной зоны, и нескольких рециркуляционных зон, в которых сохраняется консервативная динамика. В частности, результаты вычислений [17, 25] демонстрируют то, что возмущения не нарастают со временем для многих стационарных режимов. Формирование стационарного спутного вихря были найдены экспериментально и численно в близких задачах, см. [81].

Особый интерес вызывает поиск и анализ возможных сценариев возникновения колебаний жидкости в каналах. Они могут быть результатом как внешних сил [82 84], так и следствием самовозбуждения в жидкости [26, 85, 86]. В вычислительном эксперименте [11, 15] была обнаружена возможность реализации автоколебательных режимов. До настоящего времени не все возможные сценарии возникновения автоколебаний идеальной жидкости изучены. Один из возможных бифуркационных переходов, приводящий к автоколебаниям, представлен в статье [26] и параграфе 4.3 диссертации.

Изучение адвекции частиц в потоках жидкости важно для анализа перено-

са загрязнений, механизмов перемешивания в жидкостях и т.д. Свойства переноса частиц в каналах могут быть изучены в рамках теории динамических систем [87]. В случае открытости канала адвекция частиц от входа к выходу демонстрирует свойства аналогичные их рассеянию. Известно [88 91], что частицы могут демонстрировать сложное движение в области, когда поле скорости зависит от времени. Анализ колебаний и порождаемых ими процессов адвекции требует разработки специальных численных алгоритмов исследования нестационарных задач динамики жидкости.

Анализ структуры течения часто сводится к поиску и распознаванию вихревых пятен. Методы идентификации вихрей развиваются уже несколько десятилетий применительно к анализу синоптических потоков, проблем астрофизики, турбулентности, изучения вихревого следа за летательными аппаратами, визуализации течений, см. статьи [92 95] и ссылки в них. Популярные детерминированные методы основаны на компьютерном моделировании процессов с анализом вычислимых характеристик течения, таких как тензора градиента скорости, скорости вращения частиц жидкости и др. Эффективными являются методы, основанные на подходах теории динамических систем, в частности, это касается изучения особых точек поля скорости течения [96]. Сравнительный анализ методов дан в [92]. Обзор алгоритмов идентификации вихрей на основе различных характеристик, применительно к проблемам визуализации течений, дан в [97]. Альтернативными детерминированным являются методы статистического анализа, см. [95] и машинного обучения [98]. Однако для эффективного использования этих подходов необходим большой объём информации о течении.

При исследовании вихревых структур чаще рассматривают прямые задачи, когда известны характеристики моделируемого объекта, а в результате измерений или вычислений получают поле скоростей течения, что позволяет анализировать его структуру [99]. Не меньший интерес представляют задачи, когда известны характеристики потока в некоторых точках или областях течения, а неизвестным является объект (циклон, летательный аппарат, и др.), порождаю-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Говорухин Василий Николаевич, 2021 год

Список литературы

1. Govorukhin V. Computer experiments with cosymmetric models. // Z. Angew. Math. Mech. 1996. Vol. 76. P. 559 562.

2. Говорухин B.H. Численное исследование потери устойчивости вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси. // Дока. РАН. 1998. Т. 363, № 6. С. 752 754.

3. Govorukhin V.N., Yudovich. V.I. Bifurcations and selection of equilibria in a simple eosymmetrie model of filtrational convection. // Chaos. 1999. Vol. 9, no. 2. P. 403 412.

4. Говорухин В H. Анализ семейств вторичных стационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере. // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 53 62.

5. Chaotic advection in compressible helical flow /V. N. Govorukhin, A. Morgulis, V. I. Yudovich, G. M. Zaslavsky // Phys. Rev. E (33).— 1999.-Vol. 60, no. 3.-P. 2788-2798.

6. Govorukhin V. Calculation of one-parameter families of stationary regimes in a cosymmetric case and analysis of plane filtrational convection problem. // Continuation methods in fluid dynamics. Notes Numer. Fluid Mech. 74. — Braunschweig: Vieweg, 2000. — P. 133-144.

7. Govorukhin V. N., Tsybulin V. G., Karasozen B. Dynamics of numerical methods for cosymmetric ordinary differential equations // Internat. J. Bi-fur. Chaos Appl. Sci. Engrg. — 2001. —Vol. 11, no. 9.-P. 2339-2357.

8.

векции Дарси на компьютере с распределенной памятью. // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, № 1. С. 3 12. 9. Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Численное исследование второго перехода в задаче плоской фильтрационной конвекции. // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 115 128.

10. Говорухин В.Н., Шевченко И.В. Сценарии возникновения нестационарных режимов в задаче плоской фильтрационной конвекции. // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 6. С. 125 134.

11. Говорухин В.Н., Моргу лис А. В., Юдович, В. И. Расчет двумерных режимов протекания идеальной несжимаемой жидкости сквозь прямоугольный канал // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 4. С. 480 484.

12. Govorukhin V.N., II/in K.I. Numerical study of an inviscid incompressible flow through a channel of finite length. j j Int. J. Numer. Methods Fluids. 2009. Vol. 60, no. 12. P. 1315 1333.

13. Говорухин B.H., Владимиров В.А., Моргулис Л.Б. Динамика течений идеальной несжимаемой жидкости с граничными условиями Юдовича j j Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. пауки. Спецвыпуск «Актуальные проблемы, математической гидродинамики». 2009. С. 51 72.

14. Govorukhin V. N. A Meshfree Method for the Analysis of Planar Flows of Inviscid Fluids j j Meshfree Methods for Partial Differential Equations VI / Ed. by M. Griebel, M. Schweitzer. Springer Berlin Heidelberg, 2013. Vol. 89 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. P. 171 180.

15. Govorukhin V. N., Morgulis A. B., Vladimirov V. A. Planar inviscid flows in a channel of finite length: washout, trapping and self-oscillations of vor-ticity // J. Fluid Mech.-2010.-Vol. 659.-P. 420-472.

16. Говорухин B.H. Вариант метода вихрей в ячейках для расчета плоских течений идеальной несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и, матем. физ. 2011. Т. 51, № 6. С. 1133 1147.

17. Говорухин, В.Н. Стационарные вихревые структуры при протекании идеальной жидкости через канал // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 2.

С. 11 22.

18. Говорухин, В.Н. Бифуркации однопараметрических семейств стационарных режимов в модели фильтрационной конвекции // Известия, вузов. Прикладная нелинейная, динамика. 2012. Т. 20, № 6. С. 3 14.

19. Говорухин В.H., Шевченко И.В. Селекция стационарных режимов однопараметрического семейства в задаче плоской фильтрационной конвекции // Изв. РАН. МЖГ. 2013. № 4. С. С. 117 127.

20. Говорухин В.Н. О выборе метода интегрирования уравнений движения множества жидких частиц//Ж. вычисл. литьем,, и матем. физ. 2014. Т. 54, № 4. С. 177 190.

21. Говорухин В.Н. О воздействии внутренних источников тепла на конвективные движения в пористой среде, подогреваемой снизу // Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55, № 2. С. 43 52.

22. Говорухин В.Н. Численный анализ динамики распределенных вихревых конфигураций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56, № 8. С. 1491 1505.

23. Говорухин В.Н. Параллельная реализация бессеточного метода расчета течений идеальной несжимаемой жидкости // Выч. мет. программирование. 2017. Т. 18, № 2. С. 175 186.

24. Govorukhin V.N., Shevchenko I.V. Multiple equilibria, bifurcations and selection scenarios in cosymmetric problem of thermal convection in porous medium // Physica D .-2017.-Vol. 361.-P. 42-58.

25. Govorukhin V., Zhdanov I. Steady-state flows of inviscid incompressible fluid and related particle dynamics in rectangular channels // European Journal of Mechanics, B/Fluids. - 2018. - Vol. 67. - P. 280-290.

26. Говорухин В. H. О возникновении автоколебаний при протекании идеальной жидкости через канал // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019.

Т. 59, № 6. С. 1024 1036.

27. Говорухин В.Н., Филимонова A.M. Расчет плоских геофизических течений невязкой несжимаемой жидкости бессеточно-спектральным методом // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. Т. 11, № 3. С. 413 426.

28. Говорухин В.Н. Алгоритм идентификации вихревых пятен на основе моде-

лей точечных вихрей // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2020. № 3. С. 11 18.

29. Говорухин В.Н. Численное исследование динамической системы, порождаемой САВС векторным полем // Известия, вузов. ИНД. 2020. Т. 28, № 6. С. 633 642.

30. Govorukhin V. Numerical analysis of ideal fluid flows through plane duct of finite length // Proceedings of: 18eme Congres Francais de Mecanique, Grenoble, France 27-30 August 2007.-2007.-P. 12-17.

31. Govorukhin V.N., Shevchenko I.V. The cosymmetric bifurcations in the planar filtrational convection problem: numerical results // PAMM. — 2007.— Vol. 7, no. 1.-P. 1030403-1030404.

32. Говорухин B.H., Хволес P., Кизнер 3. Расчет динамики мультипольных конфигураций в идеальной жидкости // Труды XII межд. конф. 'Совр. проблемы механики сплошной', Ростов-на-Дону. 2008. С. 52 56.

33. Говорухин В.Н. Стационарные вихревые структуры при протекании идеальной жидкости сквозь прямоугольный канал // Труды XIII междун. конференции 'Современные проблемы механики сплошной среды'. Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2009. С. 67 71.

34. Говорухин В.Н. Пакет MATDS для анализа динамических систем в среде MAT LAB // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MAT LAB: материалы IV Всероссийской научной конференции. Астрахань : Издательский дом «Астраханский университет», 2009. С. 40 46.

35. Говорухин В.Н. Бифуркационные сценарии в задаче конвекции в пористой среде, подогреваемой снизу // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики сборник докладов. Составители: Д.Ю. Ахметов, А.Н. Герасимов, Ш.М. Хайдаров; ответственные редакторы: Д.А. Губайдуллин, А.14. Елизаров, Е.К. Липачев. Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2015. С. 966 968.

36. Говорухин В.Н., Жданов H.A. Некоторые режимы протекания идеальной жидкости через прямоугольный канал //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики сборник докладов. Составители: Д. К ). Ахметов, А.Н. Герасимов, Ш.М. Xи ¡'пи-рои: ответственные редакторы: Д.А. Губайдуллин, А.И. Елизаров, Е.К. Липачев. — Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2015. — С. 1360-1362.

37. Говорухин В.Н. Алгоритм анализа динамики распределенных вихревых конфигураций // Современные проблемы механики сплошной среды труды XVIII Международной конференции: в 2 томах. Отв. ред. А. О. Вату-льян,. — Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2016.^ С. 155-159.

38. Govorukhin V. Numerical analysis of cosymmetry violation in filtration convection problem // Numerical Algebra with Applications. Proceedings of Fourth China-Russia Conference. — Rostov-on-Don: Southern Federal University Publishing, 2019. - P. 30-33.

39. Говорухин B.H., Филимонова A.M. Исследование формирования плоских вихревых структур в идеальной жидкости // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIX Международной конференции. Отв. редактор А.О. Ватульян. — Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2018. — С. 216-221.

40. Вротский Я.Н., Говорухин В.Н. Численный анализ транспорта частиц в нестационарных режимах фильтрационной конвекции // Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития [Электронный ресурс] : материалы XXVII научной конференции (Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 24 - 26 сентября 2020 г.). Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. ^ С. 70-73.

41. Говорухин В.Н. Диссипативные эффекты при протекании идеальной жид-

кости сквозь канал // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XX Международной конференции. В 2-х томах. Отв. редактор А.О. Ватульян. — Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. С. 69-73.

42. Бротский Я.И., Говорухин В.Н. Численное исследование массопереноса в нестационарных режимах фильтрационной конвекции // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XX Международной конференции. В 2-х томах. Отв. ред. А.О. Ватульян. — Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. С. 49-52.

43. Говорухин В.Н. Алгоритмы анализа динамики жидких частиц в проточном канале // Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития [Электронный ресурс] : Материалы XXVIII научной конференции (Южный федеральный университет, Ростовна-Дону, 13 - 15 мая 2021 г.). — Ростов-на-Дону; Таганрог: Издательство Южного федерального университета, 2021. С. 138-142.

44. Govorukhin V. A Lagrangian method for numerical analysis of distributed vertical dynamics // SciCADE 2013, Valladolid, Spain, September 16-20, 2013, Book of abstracts.-2013.-P. 133-134.

45. Говорухин B.H., Филимонова A.M. Вариант метода вихрей в ячейках для расчета плоских течений идеальной несжимаемой жидкости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов X Всероссийской школы-семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2015. — С. 117.

46. Говорухин В.Н. Анализ течений невязкой несжимаемой жидкости бессеточными методами // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов X Всероссийской школы-семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2015. ^ С. 33.

47. Govorukhin V., Zhdanov I.A. Nontrivial steady-state flows of inviscid incom-

pressible fluids in rectangular channel // 8th European Postgradute Fluid Dynamics Conference, Book of Abstracts, Warsaw, July 6th-9th. — 2016. — P. 171.

48. Govorukhin V., Filimonova A.M. Numerical investigation of vortex dynamics in planar geophysical flows // 8th European Postgradute Fluid Dynamics Conference, Book of Abstracts, Warsaw, July 6th-9th. — 2016. — P. 29.

49. Говорухин В.Н. Численный анализ задач, близких к косимметричным // Теоретические основы конструирования численных алгоритмов и решение задач математической физики Тезисы докладов XXI Всероссийской конференции посвященной памяти К. И. Бабенко. «Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РЛН>. 2010. О. 33-34.

50. Говорухин В.Н., Филимонова A.M. Алгоритм анализа и взаимодействия вихревых структур на 7-плоскости // Теоретические основы конструирования численных алгоритмов и решение задач математической физики Тезисы докладов XXI Всероссийской конференции посвященной памяти К. И. Бабенко. «Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН». — 2016. — С. 119-120.

51. Говорухин В.Н. Динамика вихревых конфигураций идеальной жидкости в канале // XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2017). Сборник материалов международной конференции. — 2017. — С. 38-39.

52. Говорухин В.Н., Филимонова A.M. Численный анализ динамики и взаимодействия распределенных вихревых конфигураций на плоскости в геофизических приближениях // Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность. Материалы XXIII Международной конференции. Ответственные редакторы Н.В. Никитин, Н.В. Попеленская. 2018. ^2018.^ С. 282.

53. Говорухин В.Н., Филимонова A.M. Спектрально-бессеточный метод расчета плоской вихревой динамики невязкой несжимаемой жидкости // Теоре-

тические основы и конструирования численных алгоритмов решения задач математической физики. Тезисы докладов XXII Всероссийской конференции, посвященной памяти К.И. Бабенко. 2018. 2018. С. 90.

54. Говорухин В.Н. Численное исследование диссипативных эффектов в задаче протекания идеальной жидкости через канал // Теоретические основы и конструирования численных алгоритмов решения задач математической физики. Тезисы докладов XXII Всероссийской конференции, посвященной памяти К.И. Бабенко. 2018. 2018. С. 38 39.

55. Говорухин В.Н. Об использовании модели точечных вихрей для анализа структуры течения // Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2020). Сборник материалов международной конференции, посвященой памяти Николая Дмитриевича Копачевского. 2020. С. 245 246.

56. The simulation of turbulent particle-laden channel flow by the Lattice Boltzmann method / A. Banari, Y. Mauzole, Т. Hara et al. // International Journal, for Numerical Methods in Fluids. 2015. Vol. 79, no. 10.

P. 491 513.

57. Experimental and numerical study on low-frequency oscillating behaviour of liquid pool fires in a small-scale mechanically-ventilated compartment / M. Mense, Y. Pizzo, H. Pretrel et al. // Fire Safety Journal. — 2019.— Vol. 108.

58. Budinski L. Solute transport in shallow water flows using the coupled curvilinear Lattice Boltzmann method // Journal of Hydrology. — 2019.— Vol. 573.-P. 557-567.

59. Wu X., Moin P. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristics in turbulent pipe flow // Journal of Fluid Mechanics. — 2008.-Vol. 608.-P. 81-112.

60. Fazli M., Raisee M. Computation of flow and heat transfer through channels with periodic dimple/protrusion walls using low-Reynolds number turbu-

lence models // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow .-2019.-Vol. 29, no. 3.-P. 1178-1207.

61. Porizkova P., Kozel K, Horacek J. Numerical solution of compressible and incompressible unsteady flows in channel inspired by vocal tract // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2014. — Vol. 270. — P. 323329.

62. Haller G. Lagrangian coherent structures // Annual Review of Fluid Mechanics .-2015.-Vol. 47.-P. 137-162.

63. A merging criterion for two-dimensional co-rotating vortices / P. Meunier, U. Ehrenstein, T. Leweke, M. Rossi // Physics of Fluids . — 2002.-Vol. 14, no. 8.-P. 2757-2766.

64. Leweke T, Le Dizes S., Williamson C.H.K. Dynamics and Instabilities of Vortex Pairs // Annual Review of Fluid Mechanics. — 2016.— Vol. 48.— P. 507-541.

65. Fazle Hussain A.K. Coherent structures and turbulence // Journal of Fluid Mechanics .-1986.-Vol. 173.-P. 303-356.

66. Dritschel D. G. A general theory for two-dimensional vortex interactions // Journal of Fluid Mechanics. - 1995. - Vol. 293. - P. 269-303.

67. Tsang Y.-K., Dritschel D.G. Ellipsoidal vortices in rotating stratified fluids: Beyond the quasi-geostrophic approximation // Journal of Fluid Mechanics .-2015.-Vol. 762.-P. 196-231.

68. Radko T, Lorfeld D. Effects of weak planetary rotation on the stability and dynamics of internal stratified jets // Physics of Fluids. — 2018. — Vol. 30, no. 9.

69. Кочин M. E. Об одной теореме существования гидродинамики // ПММ. — 1957. Т. 20, № 10. С. 5 20.

70. Юдович, В.Н. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости через заданную область // Математический сборник. 1964. Т. 64, № 4. С. 562 588.

71. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и м,атем,. физ. 1963. Т. 3, № 6.

С. 1032 1066.

72. Каж.ихов А.В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений идеальной жидкости // ПММ. 1980. Т. 44, № 5. С. 947 949.

73. Kazhikhov A. V., Ragulin V. V. Flow problem for the equations of an ideal fluid // Journal of Soviet Mathematics. — 1983. — Vol. 21, no. 5. — P. 700710.

74. Durst F., Tropea C. The plane symmetric sudden-expansion flow at low reynolds numbers // Journal of Fluid Mechanics. — 1993. — Vol. 248. — P. 567-581.

75. Wake behaviour and instability of flow through a partially blocked channel / M.D. Griffith, M.C. Thompson, T. Leweke et al. // Journal of Fluid Mechanics .-2007.-Vol. 582.-P. 319-340.

76. Experimental Investigation of Flow over a Transversely Oscillating Square Cylinder at Intermediate Reynolds Number / M.K. Chauhan, S. Dutta, B.K. Gandhi, B.S. More // Journal of Fluids Engineering, Transactions of the ASME .-2016.-Vol. 138, no. 5.

77. Goldshtik M., Hussain F. Inviscid separation in steady planar flows // Fluid Dynamics Research. — 1998.— Vol. 23, no. 4.— P. 235-266.

78. Алексеев Г.В. О стабилизации решений двумерных уравнений динамики идеальной жидкости // ПМТФ. 1977. № 2. С. 85 92.

79. Моргулис А.В., Юдович, В.И. Асимптотическая устойчивость стационарного режима протекания идеальной несжимаемой жидкости // Сив. матем. ж.урн. 2002. Т. 43, № 4. С. 840 857.

80. Трошкин О.В. О теории устойчивости в плоском канале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57, № 8. С. 1331 1346.

81. Об установлении спутного вихря в потоке идеальной среды / О. М. Бело-церковский, М. С. Белоцерковская, В. В. Денисенко и др. // Ж. вычисл.

MameM. u MameM. (fm,3. 2014. T. 54, № 1. C. 164 169.

82. Secomb T.W. Flow in a channel with pulsating walls // Journal of Fluid Mechanics .-1978.-Vol. 88, no. 2.-P. 273-288.

83. Tyagi M., Acharya S. Large eddy simulation of turbulent flows in complex and moving rigid geometries using the immersed boundary method // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2005. — Vol. 48, no. 7. — P. 691-722.

84. Gallegos R.K.B., Sharma R.N. Small flags in rectangular channels: Dynamics and mean wake characteristics // International Journal of Mechanical Sciences .-2019.-Vol. 155.-P. 518-535.

85. Pedley T.J, Luo X.Y. Modelling flow and oscillations in collapsible tubes // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. — 1998.— Vol. 10, no. 14. - P. 277-294.

86. Experimental and numerical study on flow characteristics and heat transfer of an oscillating jet in a channel / S. Mohammadshahi, H. Samsam-Khayani, T. Cai, K.C. Kim // International Journal of Heat and Fluid Flow. — 2020. — Vol. 86.

87. Seoane J.M., Sanjuan M.A.F. New developments in classical chaotic scattering // Reports on Progress in Physics. — 2013.—Vol. 76, no. 1.

88. Unsteady flow in a channel obstructed by a square rod (crisscross motion of vortex) / H. Suzuki, Y. Inoue, T. Nishimura et al. // International Journal of Heat and Fluid Flow .-1993.-Vol. 14, no. 1.-P. 2-9.

89. Jung C, Tel T, Ziemniak E. Application of scattering chaos to particle transport in a hydrodynamical flow // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1993.— Vol. 3, no. 4.— P. 555-568.

90. Ziemniak E, Jung C, Tel T. Tracer dynamics in open hydrodynamical flows as chaotic scattering // Physica D. — 1994. — Vol. 76, no. 1-3. — P. 123-146.

91. Oteski L, Duguet Y, Pastur L.A.R. Lagrangian chaos in confined two-dimensional oscillatory convection // Journal of Fluid Mechanics. — 2014. —

Vol. 759, no. 2.-P. 489-519.

92. Chakraborty P., Balachandar S., Adrian R.J. On the relationships between local vortex identification schemes // Journal of Fluid Mechanics. — 2005. — Vol. 535.-P. 189-214.

93. Identifying turbulent structures through topological segmentation / P. Bremer, A. Gruber, J. Bennett et al. // Communications in Applied Mathematics and Computational Science. — 2016.— Vol. 11, no. 1. —P. 37-53.

94.

тельной газовой динамики / К. H. Волков, В. Н. Емельянов, 14. В. Тетери-на, М. С. Яковчук // Вы,ч. мет. программирование. 2016. Т. 17, № 1. С. 81 100.

95. Vortex Flows in the Solar Atmosphere: Automated Identification and Statistical Analysis / I. Giagkiozis, V. Fednn, E. Scullion et al. // Astrophysical .Journal. 2018. Vol. 869, no. 2.

96. Quantitative classification of vortical flows based on topological features using graph matching / P.S. Krneger, M. Hahsler, E.V. Olinick et al. j j Proceedings of the Royal Society A: Mathematical,, Physical and Engineering Sciences. 2019. Vol. 475, no. 2228.

97. Gu T, Theisel H. The State of the Art in Vortex Extraction j j Computer Graphics Forum. 2018. Vol. 37, no. 6. P. 149 173.

98. Li H, Shen I.-F. Manifold learning of vector fields j j Lecture Notes in Computer Science. 2006. Vol. 3971 LNCS. P. 430 435.

99. JEong J, Hussain F. On the identification of a vortex j j Journal of Fluid Mechanics. 1995. Vol. 285. P. 69 94.

100. Greenwood E, Schmitz F.H. A parameter identification method for helicopter noise source identification and physics-based semiempirical modeling j j Journal of the American Helicopter Society. 2018. Vol. 63, no. 3.

101. Яковлева, П.Г, Карабасов С.А, В.М. Головизпин Прямое моделирование взаимодействия вихревых пар // Матем. моделирование. 2011. Т. 23,

№ И. С. 21 32.

102. Liu G.R., Gu Y.T. An introduction to meshfree methods and their programming. 2005. P. 1 479.

103. Chen J.-S., Hill/man M., Chi S.-W. Meshfree methods: Progress made after 20 years // Journal of Engineering Mechanics. 2017. Vol. 143, no. 4.

104. Подход к параллельной реализации метода частиц ь ячейках : Отчет : 9 / Препр. ИПМ им. Келдыша ; исполн.: А.Н. Андрианов, К.Н. Ефимкин : 2009.

A massively parallel, multi-disciplinary Barnes-Hut tree code for extreme-scale N-body simulations / M. Winkel, R. Speck, H. Hiibner et al. // Computer Physics Communications. — 2012. —Vol. 183, no. 4.— P. 880-889.

106. A parallel hierarchical-element method for contour dynamics simulations / R.M. Schoemaker, P.C.A. de Haas, H.J.H. Clercx, R.M.M. Mattheij // Computers and Fluids.-2005. -Vol. 34, no. 10.-P. 1173-1198.

107.

гравитационной физики, основанный на декомпозиции области // Вычислительные методы, и программирование. 2010. Т. 11. С. 168 175.

108. Leonard, A. Vortex methods for flow simulation // Journal, of Computational, Physics. 1980. Vol. 37, no. 3. P. 289 335.

109. Белоцерковский С. M., Гинееский А. С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. Физматлит, 1995.

110. Cottet Georges-Henri, Koumoutsakos Petros D. Vortex methods. Cambridge University Press, 2000. P. xiv • 313.

111. Mohammadian A., Marshall J. A 'vortex in cell' model for quasi-geostrophic, shallow water dynamics on the sphere // Ocean Modelling. — 2010. — Vol. 32, no. 3-4.-P. 132-142.-cited By 4.

112. Wang C, Sun J., Ba Y. A semi-Lagrangian Vortex-In-Cell method and its application to high-Re lid-driven cavity flow // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. — 2017. — Vol. 27, no. 6. —

P. 1186-1214.

113. Strain J. Fast adaptive 2D vortex methods // Journal of Computational Physics .-1997.-Vol. 132, no. 1.-P. 108-122.

114. Дынникова Г.Я. Использование быстрого метода решения "задачи N тел"при вихревом моделировании течений // Ж. вычисл. матем. и, матем,. физ. 2009. Т. 49, № 8. С. 1458 1465.

115. Кузьмина К. С, Марчевский И.К. Об оценках вычислительной сложности и погрешности быстрого алгоритма в методе вихревых элементов // Труды, ИСП РАН. 2016. Т. 28, № 1. С. 259 274.

116. Sarpkaya T. Computational methods with vortices - the 1988 freeman scholar lecture // Journal of Fluids Engineering, Transactions of the ASME .-1989.-Vol. 111, no. 1.-P. 5-52.

117. Григорьев Ю. H., Вшивков В. А. Численные методы 'частицы-в-ячей-ках;. Новосибирск: Наука, 2000.

118. НаМ 01,е Н. Convergence of vortex methods for Enler's equations. II. j j SI AM J. Numer. Anal. 1979. Vol. 16. P. 726 755.

119. Beale J, Maida A. Vortex methods. II: Higher order accuracy in two and three dimensions. // Math. Compui. 1982. Vol. 39. P. 29 52.

120. Anderson Ch, Greenga/rd C. On vortex methods. // SIAM J. Numer. Anal. 1985. Vol. 22. P. 413 440.

121. Liu J., Xin Z. Convergence of vortex methods for weak solutions to the 2D euler equations with vortex sheet data // Communications on Pure and Applied Mathematics.-1995. —Vol. 48, no. 6. —P. 611-628.

122. Liu J.-G., Xin Z. Convergence of a Galerkin method for 2-D discontinuous Euler flows // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 53, no. 6.-P. 786-798.

123. Moura A., Feudel U., Gouillart E. Mixing and chaos in open flows // Advances in Applied Mechanics. — 2012. —Vol. 45. —P. 1-50.

124. Romano F., Albensoeder S., Kuhlmann H.C. Topology of three-dimensional

steady cellular flow in a two-sided anti-parallel lid-driven cavity // Journal of Fluid Mechanics. - 2017. - Vol. 826. - P. 302-334.

125. Balasuriya S. Unsteadily manipulating internal flow barriers // Journal of Fluid Mechanics. - 2017. - Vol. 818. - P. 382-406.

126. Li S., Liu W.K. Meshfree and particle methods and their applications // Applied Mechanics Reviews. — 2002. —Vol. 55, no. 1. —P. 1-34.

127. Numerical bifurcation methods and their application to fluid dynamics: Analysis beyond simulation / H. Dijkstra, F. Wubs, A. Cliffe et al. // Communications in Computational Physics. — 2014.— Vol. 15, no. 1. —P. 1-45.

128. Gelfgat A. Global galerkin method for stability studies in incompressible CFD and other possible applications // Computational Methods in Applied Sciences .-2019.-Vol. 50.-P. 353-398.

129. Koumoutsakos P., Cottet G.-H., Rossinelli D. Flow simulations using particles bridging computer graphics and CFD. — 2008. — P. 25.

130. Wu Y.-C., Yang B. An Overview of Numerical Methods for Incompressible Viscous Flow with Moving Particles // Archives of Computational Methods in Engineering. — 2019. —Vol. 26, no. 4. —P. 1255-1282.

131. Fuchs V., Gunn J.P. On the integration of equations of motion for particle-in-cell codes. // J. Comput. Phys. -2006.-Vol. 214, no. 1.-P. 299-315.

132. Sanz-Serna J.M., Calvo M.P. Numerical Hamiltonian problems. — London: Chapman & Hall, 1994.

133. Hairer E, Lubich C, Wanner G. Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. — Berlin: Springer, 2006.

134. McLachlan R.I. Area preservation in computational fluid dynamics. // Phys. Lett., A.-1999.-Vol. 264, no. 1.-P. 36-44.

135. Vosbeek P.W.C., Mattheij R.M.M. Contour dynamics with symplectic time integration. // J. Comput. Phys. -1997.-Vol. 133, no. 2.-P. 222-234.

136. Govorukhin V.N. A vortex method for computing two-dimensional invis-

cid incompressible flows // Computational Mathematics and Mathematical Physics.-2011.-Vol. 51, no. 6.-P. 1061-1073.

137. Yu C.H., Gao Z, Sheu T.W.H. Development of a symplectic and phase error reducing perturbation finite-difference advection scheme // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. — 2016.— Vol. 70, no. 2. —P. 136-151.

138. Куликов Г. Ю., Кузнецов Е. Б., Хрусталева Е. Ю. О контроле глобальной ошибки ь неявных гнездовых методах Рунге-Кутты гаусеовекого типа // Сиб. ж,урн. вычисл. матем. 2011. Т. 14, № 3. С. 245 259.

139. Loffeld J., Tokman M. Comparative performance of exponential, implicit, and explicit integrators for stiff systems of ODEs // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2013. — Vol. 241, no. 1. —P. 45-67.

140. Govorukhin V. N. On the choice of a method for integrating the equations of motion of a set of fluid particles // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2014. —Vol. 54, no. 4. —P. 706-718.

141. Higham D.J., Humphries A.R., Wain R.J. Phase space error control for dynamical systems. // SIAM J. Sci. Comput. — 2000.— Vol. 21, no. 6.— P. 2275-2294.

142. Budd C. J., Iserles A. Geometric integration: Numerical solution of differential equations on manifolds. — 1998.— Vol. 357.— P. 945-956.

143. Sanz-Serna J.M. Symplectic Runge-Kutta schemes for adjoint equations, automatic differentiation, optimal control, and more // SIAM Review.-

2016.-Vol. 58, no. 1.-P. 3-33.

144. Mei L, Wu X. Symplectic exponential Runge-Kutta methods for solving nonlinear Hamiltonian systems // Journal of Computational Physics. —

2017.-Vol. 338.-P. 567-584.

145. Budd C.J., Piggott M.D. Geometric Integration and its Applications // Handbook of Numerical Analysis. — 2003.— Vol. 11. —P. 35-139.

146. McLachlan R, Quispel G. Geometric integrators for ODEs // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2006.—Vol. 39, no. 19.— P. 5251-

5285.

147. Iserles A. Stability and dynamics of numerical methods for nonlinear ordinary differential equations // IMA Journal of Numerical Analysis. — 1990. — Vol. 10, no. 1. —P. 1-30.

148. Griffiths D.F., Sweby P.K., Yee H.C. On spurious asymptotic numerical solutions of explicit runge-kutta methods // IMA Journal of Numerical Analysis .-1992.-Vol. 12, no. 3.-P. 319-338.

149. Humphries A.R. Spurious solutions of numerical methods for initial value problems // IMA Journal of Numerical Analysis. — 1993. — Vol. 13, no. 2. — P. 263-290.

150. Stuart A.M., Humphries A.R. Dynamical systems and numerical analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

151. Shutov A.V., Kreisig R. Geometric integrators for multiplicative viscoplas-ticity: Analysis of error accumulation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2010. —Vol. 199, no. 9-12. —P. 700-711.

152. Le Roux D.Y. Spurious inertial oscillations in shallow-water models // Journal of Computational Physics .-2012.-Vol. 231, no. 24.-P. 7959-7987.

153. Iserles A., Peplow A., Stuart A. Unified approach to spurious solutions introduced by time discretisation. Part I. Basic theory // SIAM Journal on Numerical Analysis .-1991.-Vol. 28, no. 6.-P. 1723-1751.

154. Stuart A. Convergence and stability in the numerical approximation of dynamical systems // Institute of mathematics and its applications conference series. - 1997. - Vol. 63. - P. 145-170.

155. Iserles A., Norsett S. On the theory of parallel Runge-Kutta methods // IMA Journal of Numerical Analysis. — 1990. —Vol. 10, no. 4. —P. 463-488.

156. Jackson K, N0rsett S. The Potential for Parallelism in Runge-Kutta Methods. Part 1: RK Formulas in Standard Form // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1995. - Vol. 32. - P. 49-82.

157. Rauber T, Riinger G. Parallel implementations of iterated Runge-Kutta

methods // International Journal of High Performance Computing Applications .-1996.-Vol. 10, no. 1.-P. 62-90.

158. Rodriguez M., Blesa F., Barrio R. OpenCL parallel integration of ordinary differential equations: Applications in computational dynamics // Computer Physics Communications. — 2015. — Vol. 192. — P. 228-236.

159. Korch M., Werner T. Accelerating explicit ODE methods on GPUs by kernel fusion // Concurrency Computation. — 2018.— Vol. 30, no. 18.

160. An Introduction to Parallel Computation for ODE Initial - Value Problems : Rep. : NA-96/01 / Department of Mathematical Science, University of Durham ; executor: J.P. Coleman : 1996. — February.

161.

1937. T. 14, № 5. C. 247 251.

162. Теория бифуркаций / В.14. Арнольд, B.C. Афраймович, Ильяшенко Ю.С., Шилышков Л.П. // Динамические системы 5. М.:ВИНИТИ, 1986.

Т. 5 из Итоги пауки и техн. Сер. Соврем,, пробл. мат. Фупдам. направления. С. 5 218.

163. Kuznetsov Yuri A. Elements of applied bifurcation theory. 3rd ed. New York, NY: Springer, 2004.

164. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.:Наука, 1990. С. 128.

165. Application of dynamical system theory to coherent structures in the wall region / N. Aubry, P. Holmes, J.L. Lumley, E. Stone j j Physica D. 1989. Vol. 37, no. 1-3. P. 1 10.

166. Cliffe K.A, Spence A, Tavener S.J. The numerical analysis of bifurcation problems with application to fluid mechanics j j Acta Numerica. 2000. Vol. 9. P. 39 131.

167. Tian Ma, Shouhong Wang. Geometric Theory of Incompressible Flows with Applications to Fluid Dynamics. — American Mathematical Soc., 2005.

168. Sakajo T, Yokoyama T. Tree representations of streamline topologies of structurally stable 2D incompressible flows // IMA Journal of Applied Math-

ematics (Institute of Mathematics and Its Applications). — 2018. — Vol. 83, no. 3.-P. 380-411.

169. Wang Q., Kieu C. Dynamics of transverse cloud rolls in the boundary layer with the Poiseuille shear flow // Physics of Fluids. — 2019. —Vol. 31, no. 9.

170. Velasco Fuentes O. U. Evolution of a Lamb quadrupolar vortex // Fluid Dyn. Res. -2000.-Vol. 26, no. 1.-P. 13-33.

171. A numerical study of the stabilitiy of helical vortices using vortex methods / J.H. Walther, M. Guenot, E. Machefaux et al. // Journal of Physics: Conference Series .-2007.-Vol. 75, no. 1.-P. 012034.

172. Parker J.P., Caulfield C.P., Kerswell R.R. The effects of Prandtl number on the nonlinear dynamics of Kelvin-Helmholtz instability in two dimensions // Journal of Fluid Mechanics. — 2021. — Vol. 915.

173. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ. 1975. № 2. С. 131 137.

174. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Математические заметки. 1991. Т. 49, № 5. С. 142 148.

175. Nilsen T, Storesletten L. An Analytical Study on Natural Convection in Isotropic and Anisotropic Porous Channels // Journal of Heat Transfer. — 1990.-Vol. 112, no. 2.-P. 396-401.

176. Yudovich V. The cosymmetric version of the implicit function theorem. // Linear Topological Spaces and Complex Analysis II / Ed. by A Aytuna. — Ankara: Middle East Technical University, Dept. of Math., 1995.

177. Yudovich V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. // Chaos .-1995.-Vol. 5, no. 2.-P. 402-411.

178. Юдович В.И. Теорема о неявной функции для косимметричных уравнений // Математические заметки. 1996. Т. 60, № 2. С. 313 317.

179. Юдович, В.И. О бифуркации рождения цикла из семейства равновесий ди-

ыамической системы и ее затягивании // ПММ. 1997. Т. 62, № 1. С. 22 44.

180. Kurakin L.G., Yudovich V.I. Bifurcation of the branching of a cycle in n-parameter family of dynamic systems with cosymmetry. // . — 1997. — Vol. 7, no. 3. P. 376 386.

181. Murray J.D. Mathematical Biology I: An Introduction. Springer, 2002.

182. Frischmuth K, Tsybulin V.G. Families of equilibria and dynamics in a population kinetics model with cosymmetry // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. — 2005. —Vol. 338, no. 1. —P. 51-59.

183. Budyansky A.V., Frischmuth K, Tsybulin V.G. Cosymmetry approach and mathematical modeling of species coexistence in a heterogeneous habitat // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B. — 2019.—Vol. 24, no. 2.-P. 547-561.

184.

вин. Избранные труды. Т. 3. Ростов-на-Дону, Изд-во ЮФУ, 2009.

C. 177 286.

185. Bratsun Dmitry A., Lyubimov Dmitry V., Roux Bernard. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium // Phys.

D. 1995. -Vol. 82, no. 4.-P. 398-417.

186. Глухое А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 3. С. 549 551.

187. Глухое А.Ф., Путин Г.Ф>. Экспериментальное исследование конвективных структур в насыщенной жидкостью пористой среде вблизи порога неустойчивости механического равновесия // сб. Гидродинамика Сб. научных трудов ИГУ. ИГУ, 1999. Т. 12. С. 104 120.

188. Steen P. Pattern selection for finite-amplitude convection states in boxes of porous media // Journal of Fluid Mechanics. 1983. Vol.136. P. 219 241.

189. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэ-

лея Бенара // Успехи физ. наук. 1991. Т. 161, № 9. С. 1 80.

190. Гетлинг А.В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. Эдито-риал УРСС, 1999. С. 247.

191. Реутов В П, Рыбушкина Г В. Отбор конвективных валов в тонком слое испаряющейся жидкости, обдуваемом воздушным потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 57 67.

192. Юдович В.Н. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих косиммет-рию // Докл. РАН. 2004. Т. 398. С. 57 61.

193. Tsybulin V.G, Karasozen В. Destruction of the family of steady states in the planar problem of Darcy convection j j Phys. Lett, A. 2008. Vol. 372, no. 35. P. 5639 5643.

194. Li Z, Khayat R.E. A non-linear dynamical system approach to finite amplitude Taylor-Vortex flow of shear-thinning fluids // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2004. —Vol. 45, no. 3. —P. 321-340.

195. Wiggins S. The dynamical systems approach to Lagrangian transport in oceanic flows // Annual Review of Fluid Mechanics. — 2005. — Vol. 37. — P. 295-328. - cited By (since 1996)96.

196. Ghil M., Chekroun M.D., Simonnet E. Climate dynamics and fluid mechanics: Natural variability and related uncertainties // Physica D. — 2008.— Vol. 237, no. 14-17.-P. 2111-2126.

197. Seydel R. Practical bifurcation and stability analysis. — Springer, 2010. — Vol. 5.-P. xviii+483.

198. Kubicek M., Marek M. Computational methods in bifurcation theory and dissipative structures. — Springer-Verlag, 1983. —P. 243.

199. Методы анализа нелинейных математических моделей / M. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. М: Мир, 1991.

200. Moore G. Computation and parameterization of periodic and connecting orbits. // IMA J. Numer. Anal. 1995. Vol. 15, no. 2. P. 245 263.

201. Hao Bai-Lin, Zheng Wei-Mou. Applied symbolic dynamics and chaos.

Singapore: World Scientific, 1998.

202. Osipenko George, IV in Igor\ Methods of applied symbolic dynamics. Atlanta, GA: Dynamic Publishers, 1996.

203. Johnson M., Jolly M., Kevrekidis I. Two-dimensional invariant manifolds and global bifurcations: some approximation and visualization studies // Numer. Algorithms. 1997. Vol. 14, no. 1-3. P. 125 140.

204. You Z, Kostelich E, Yorke J. Calculating stable and unstable manifolds // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. — 1991. —Vol. 1, no. 3. — P. 605-623.

205. Guckenheimer J., Vladimirsky A. A fast method for approximating invariant manifolds. // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. -2004.-Vol. 3, no. 3.-P. 232260.

206. Klemm M., Beckmann P.E. The topology of basin boundaries in a class of three-dimensional dynamical systems. // Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. -1996.-Vol. 6, no. 1.-P. 161-167.

207. Giesl Peter. Stepwise calculation of the basin of attraction in dynamical systems using radial basis functions. -- Berlin: Springer, 2007.

208. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J. Swift, H. Swinney, J. Vastano // Physica D. - 1985. - Vol. 16, no. 3. - P. 285-317.

209. Parker Thomas S., Chua Leon. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. — Springer New York, 1989.

210.

ских систем DESIR. УПЛ РГУ, Ростов-на-Дону, 1995. 32 стр.

211. Говорухин В.Н. Программа DESIR. Режим доступа: http://kvm.math. rsu.ru/desir.

212. Говорухин В.Н. TOOLBOX MATDS для численного анализа динамических систем // Труды Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB". М.: ИПУ РАН, 2004. С. 20 24.

213. Говорухин В.Н. Пакет для исследования динамических систем MATDS. 2003. Режим доступа: http://kvm.math.rsu.ru/matds.

214. Humphries A.R, Stuart A.M. Runge-Kutta methods for dissipative and gradient dynamical systems // SIAM Journal, on Numerical Analysis. 1994. Vol. 31, no. 5. P. 1452 1485.

215. Заславский Г.М, Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М:Наука, 1988.

216. An exploration of dynamical systems and chaos: Completely revised and enlarged second edition / J. Argyris, G. Faust, M. Haase, R. Friedrich. 2015. P. 1 865.

217. Chapter 4. Numerical continuation, and computation of normal forms / W.-J. Beyn, A. Champneys, E. Doedel et al. j j Handbook of Dynamical Systems. 2002. Vol. 2. P. 149 219.

218. Allgower E, Georg K. Introduction to numerical continuation methods. Reprint of the 1979 original. Philadelphia, PA: SIAM Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.

219. Krauskopf В, Osinga H.M, Galan-Vioque J. Numerical continuation methods for dynamical systems: Path following and boundary value problems. 2007. P. 1 399.

220. Кузнецов Е.Б, Шалашилин В.Н. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру // Ж. вычисл. литьем,, и, литьем,, физ. 1993. Т. 33, № 12. С. 1792 1805.

221. Кузнецов Е.Б, Шалашилин, В.Н. Наилучший параметр продолжения решения // Докл. РАН. 1994. Т. 334, № 5. С. 566 568.

222. Рикс Е. Применение метода Ньютона к задаче упругой устойчивости // Прикл. лихан. 1972. № 4. С. 204 210.

223. Ворович, И.И, Зипалова, В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // Прикл. литьем,, и, лихан. 1965. Т. 29, № 5. С. 894 901.

224. Doedel E. Nonlinear numerics. Singapore: World Scientific, 1999.

225. GuckenheÂmer J., Worfolk P. Dynamical systems: Some computational problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993.

226. Говорухин В.Н. Численное исследование потери устойчивости на однопара-метрическом семействе стационарных режимов в задаче о плоской конвекции Дарси в прямоугольном контейнере // Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. СКНЦ ВШ, Ростов н/Д, 1998. С. 92 102.

227. Karasözen В., Tsybulin V.G. Finite difference approximations and cosymmetry conservation in filtration-convection problem. // Phys. Lett., A. 1999. Vol. 262, no. 4-5. P. 321 329.

228. Govorukhin V.N. Numerical investigation of one-parameter families of equilibria and their bifurcations in a plane filtrational convection problem ZZ Proceedings of ACOMEN 2002, Liege (Belgium), May 28-31. - Ed. de l'Universite de Liege, 2002. —P. 121-131.

229. Karasözen B, Tsybulin V.G. Cosymmetric families of steady states in Darcy convection and their collision. // Phys. Lett., A. — 2004.— Vol. 323, no. 1-2.-P. б7-7б.

230. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of Atmospheric Sciences . —19б3. —Vol. 20, no. 2.-P. 130-141.

231. Moore D.W., Spiegel E.A. A Thermally Excited Non-Linear Oscillator // Astrophysical Journal. — 19бб. — Vol. 143, no. 3. — P. 871-887.

232. Arnold V. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits ZZ C.R.Ac.Sci. Paris. -19б5.- Vol. 261.-P. 17-20.

233. Childress S. New solutions of the kinematic dynamo problem // J.Math. Phys. -1970.-no. 11.-P. 3063-3076.

234. Morgulis A., Yudovich V. I., Zaslavsky G. M. Compressible helical flows // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1995. — Vol. 48, no. 5.-P. 571-582.

235. Euler L. Principes generaux du mouvement des fluides // Memoires de l'Academie royale des sciences et belles lettres. — 1755. — Vol. 11. — P. 274-315.

236.

ратуры, 1947.

237. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М:Наука, 1988.

238. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М:Мир, 1973.

239. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. Т. 1,2. М:Мир, 1984.

240. Small-scale structure of the taylor-green vortex / M.E. Brachet, D.I. Meiron,

B.G. Nickel et al. // Journal of Fluid Mechanics. — 1983. — Vol. 130.— P. 411-452.

241. Shirokov I.A., Elizarova T.G. Simulation of laminar-turbulent transition in compressible Taylor-Green flow basing on quasi-gas dynamic equations // Journal of Turbulence .-2014.-Vol. 15, no. 10.-P. 707-730.

242. Xu R., Stansby P., Laurence D. Accuracy and stability in incompressible SPH (ISPH) based on the projection method and a new approach // Journal of Computational Physics .-2009.-Vol. 228, no. 18.-P. 6703-6725.

243. Jonnalagadda A., Sharma A., Agrawal A. Single relaxation time entropic lattice Boltzmann methods: A developer's perspective for stable and accurate simulations // Computers and Fluids. — 2021. —Vol. 215.

244. Чаплыгин С. А. Один случай вихревого движения жидкости // Труды, отд. физ. паук Императ. Моск. обгу. любителей естествознания 1903. Т. И, № 2. С. И 14.

245. Юдович, В.И. О задаче протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 3.

C. 561 564.

246. Morgulis A, Yudovich V. Arnold's method for asymptotic stability of steady inviscid incompressible flow through a fixed domain with permeable boundary. // Chaos. 2002. Vol. 12, no. 2. P. 356 371.

247,

248,

249,

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

Гилл А. Динамика атмосферы и океана (в 2-х т.). М:Мир, 1986. Долж.анский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике. Москва, Изд-во 14ВМ РАН, 2006. С. 378.

McWilliams J C. Fundamentals of geophysical fluid dynamics. — Cambridge University Press, 2011.

Salby M.L. Fundamentals of Atmospheric Physics. — Cambridge University Press, 2012. —P. 1-666.

Nof D. Modons and monopoles on a gamma-plane // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. -1990.-Vol. 52.-P. 71-87.

van Heijst G. J. F., Kloosterziel R. C. Tripolar vortices in a rotating fluid // Nature(London). - 1989. - no. 338. - P. 569 - 571.

Kloosterziel R. C, van Heijst G. J. F. An experimental study of unstable barotropic vortices in a rotating fluid // Journal of Fluid Mechanics.-1991.-Vol. 223.-P. 1-24.

Xue B.B., Johnson E.R., McDonald N.R. New families of vortex patch equilibria for the two-dimensional Euler equations // Physics of Fluids. — 2017. — Vol. 29, no. 12.

Viudez A. A stable tripole vortex model in two-dimensional Euler flows // Journal of Fluid Mechanics. — 2019. — Vol. 878.

Kizner Z, Khvoles R. The tripole vortex: experimental evidence and explicit solutions // Phys. Rev. E (3) .-2004.-Vol. 70, no. 1.-P. 016307, 4. Kizner Z, Khvoles R. Two variations on the theme of Lamb-Chaplygin: su-persmooth dipole and rotating multipoles. // Regul. Chaotic Dyn. - 2004. — Vol. 9, no. 4.-P. 509-518.

Kizner Z, Khvoles R., McWilliams J.C. Rotating multipoles on the f- and 7 -planes // Phys. Fluids .-2007.-Vol. 19, no. 1.-P. 016603, 13 p. Multipolar vortices: Experimental evidence and explicit solutions / Z. Kizner, V. Govorukhin, R. Trieling et al. // Abstracts of 2nd Int. Conference on High-Reynolds Number Vortex Interactions, Brest, France. — 2009.

260. Билля Г. Теория вихрей. ^ОНТИ - Глав. ред. общетехнической литературы, 1936.

261. Kunin I.A., Hussain F., Zhou X. Dynamics of a pair of vortices in a rectangle // International Journal of Engineering Science. — 1994.— Vol. 32, no. 11.-P. 1835 - 1844.

262.

ного вихрей в несжимаемой жидкости j j ТМФ. 2010. Т. 162, № 3. С. 459 480.

263. Nonlinear excursions of particles in ideal 2D flows. / H. Aref, J. Roenby, M.A. Stremler, L. Toph0j // . - 2011. - Vol. 240, no. 2. -P. 199 207.

264. Kurakin L.G., Yudovich V.I. On nonlinear stability of steady rotation of a regular vortex polygon // Dokl. Phys. — 2002. — Vol. 47, no. 6. — P. 465-470.

265. Jacobs H.O., Ratiu T.S., Desbrun M. On the coupling between an ideal fluid and immersed particles // Physica D. — 2013. —Vol. 265. —P. 40-56.

266.

СССР, 1962.

267. Зиглин С Л. Неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей // ДАН СССР. 1980. Т. 250, № 6. С. 1296 1300.

268. Aref Н, Pom.ph.rey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. I: The case of identical vortices, j j Proc. R. Soc. bond. Ser. A. 1982. Vol. 380.

P. 359 387.

269. Новиков E А, Седов Ю Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей // Журнал, экспериментальной и теоретической физики 1978.

Т. 75, № 3(9). С. 868 876.

270. Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей / X. Ареф, В.В. Мелешко, Губаб А.А., Гуржийб А.А. // Прикладна глдромехатка. 2007. Т. 9, № 2-3. С. 5 25.

271. Thomson J.J. A treatise on the motion of vortex rings. — London: Macmil-

lan, 1883.-P. 124.

272. Aref H. Stirring by chaotic advection // Journal of Fluid Mechanics. — 1984.-Vol. 143.-P. 1-21.

273. Fetter A.L. Low-lying superfluid states in a rotating annulus // Physical Review .-1967.-Vol. 153, no. 1.-P. 285-296.

274. Geshev P.I., Chernykh A.I. The motion of vortices in a two-dimensional bounded region // Thermophysics and Aeromechanics. — 2018.— Vol. 25, no. 6.-P. 809-822.

275. Muskat M., Wickoff R. D. The flow of homogeneous fluids through porous media. — McGraw-hill book company, Inc., 1937.

276. Horton C.W., Rogers F.T.jun. Convection currents in a porous medium. // J. Appl. Phys. -1945.-Vol. 16.-P. 367-370.

277. Katto Y, Masuoka T. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1967. - Vol. 10. - P. 297 - 309.

278. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.

279. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.:Наука, 1970. С. 228.

280. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир., 1981. С. 408.

281. Юдович В.И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косим-метрия. Часть 1. Деп. ВИНИТИ, N 2871-В93., 1993. С. 23.

282. Вайнберг M. М., Треногим В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. С. 527.

283. Rosenhead L. Formation of vortices from a surface of discontinuity // Proc. Roy. Soc., series A. 1931. Vol. 134. P. 170 192.

284. Yokota R., Sheel T.K., Obi S. Calculation of isotropic turbulence using a pure Lagrangian vortex method // Journal of Computational Physics. — 2007.-Vol. 226, no. 2.-P. 1589-1606.

285. Koumoutsakos P. Inviscid axisymmetrization of an elliptical vortex. // J. Comput. Phys. -1997.-Vol. 138, no. 2.-P. 821-857.

286. Strain John. 2D vortex methods and singular quadrature rules. // J. Comput. Phys. -1996.-Vol. 124, no. 1.-P. 131-145.

287. Christiansen I.P. Numerical simulation of hydrodynamics by the method of point vortices // Journal of Computational Physics. — 1973. — Vol. 13, no. 3. P. 363 - 379.

288.

ний // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9, № 5. С. 41 53.

289. Ould-Salih.i M.L, Cottet G.-H, El Hamraoui M. Blending finite difference and vortex methods for incompressible flow computations, j j SIAM J. Sci. Comput. 2000. Vol. 22, no. 5. P. 1655 1674.

290. El Ossmani M, Poncet P. Efficiency of multiscale hybrid grid-particle vortex methods j j Multiscale Modeling and Simulation. 2010. Vol. 8, no. 5.

P. 1671 1690.

A comparison of vortex and pseudo-spectral methods for the simulation of periodic vortical flows at high Reynolds numbers / W.M. van Rees, A. Leonard, D.I. Pullin, P. Koumoutsakos // Journal of Computational Physics.-2011.-Vol. 230, no. 8.-P. 2794-2805.

292.

сквозь прямоугольный капал j j Труды XI межд. копф. 'Современные проблемы механики сплошной', Ростов-на-Дону. 2007. С. 108 113.

293. Nguyen N. C, Peraire J. Hybridizable discontinuous Galerkin methods for partial differential equations in continuum mechanics // Journal of Computational Physics . — 2012. — JUL 15. — Vol. 231, no. 18.-P. 5955-5988.

294. Tavelli M., Boscheri W. A high-order parallel Eulerian-Lagrangian algorithm for advection-diffusion problems on unstructured meshes // Int. Journal for Numerical Methods in Fluids.-2019. —Vol. 91, no. 7. —P. 332-347.

295. Giri P., Qiu J. A high-order Runge-Kutta discontinuous Galerkin method

with a subcell limiter on adaptive unstructured grids for two-dimensional compressible inviscid flows // International Journal for Numerical Methods in Fluids .-2019.-Vol. 91, no. 8.-P. 367-394.

296. Chac0n Vera E, Chac0n Rebollo T. On cubic spline approximations for the vortex patch problem // Appl. Numer. Math. — 2001. —Vol. 36, no. 4.-P. 359-387.

297. Belytschko T, Lu Y.Y., Gu L. Element-free Galerkin methods // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1994. — Vol. 37, no. 2.-P. 229-256.

298. Liu W.K., Jun S., Zhang Y.F. Reproducing kernel particle methods // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 1995. —Vol. 20, no. 8-9.-P. 1081-1106.

299. A finite point method in computational mechanics. Applications to con-vective transport and fluid flow / E. Onate, S. Idelsohn, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor // International Journal for Numerical Methods in Engineering .-1996.-Vol. 39, no. 22.-P. 3839-3866.

300.

1988.

301. Kong L, Liu R., Zheng X. A survey on symplectic and multi-symplectic algorithms // Applied Mathematics and Computation. — 2007. — Vol. 186, no. 1. —P. 670-684.

302. Aubry A., Chartier P. Pseudo-symplectic Runge-Kutta methods. // BIT. — 1998.-Vol. 38, no. 3.-P. 439-461.

303. Aubry A., Chartier P. A note on pseudo-symplectic Runge-Kutta methods. // BIT .-1998.-Vol. 38, no. 4.-P. 802-806.

304. Explicit Runge-Kutta schemes for incompressible flow with improved energy-conservation properties / F. Capuano, G. Coppola, L. Randez, L. de Luca // Journal of Computational Physics. — 2017.— Vol. 328.— P. 86-94.

305. Majda A., Bertozzi A. Vorticity and Incompressible Flow. — Cambridge Uni-

versity Press, 2001.

306. Driscoll C.F., Fine K.S. Experiments on vortex dynamics in pure electron plasmas // Physics of Fluids B .-1990.-Vol. 2, no. 6.-P. 1359-1366.

307. Experimental study of the stability and dynamics of a two-dimensional ideal vortex under external strain / N. Hurst, J. Danielson, D. Dubin, C. Surko // Journal of Fluid Mechanics .-2018.-Vol. 848.-P. 256-287.

308. Nielsen A.H., Rasmussen J.Juul. Formation and temporal evolution of the Lamb-dipole. // Phys. Fluids .-1997.-Vol. 9, no. 4.-P. 982-991.

309. Le Dizes S. Non-axisymmetric vortices in two-dimensional flows // Journal of Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 406. - P. 175-198.

310.

311. Галёркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок // Вестник инженеров. 1915.

Т. 1. С. 897 908.

312. Ворович И.И., Юдович, В.И. Стационарное течение вязкой жидкости // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 2. С. 542 545.

313. Киселев А.А., Ладыженская О.А. О существовании и единственности решения нестационарной задачи для вязкой несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР сер.матем. 1957. Т. 21, № 5. С. 655 680.

314. Юдович, В.И. Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1960. Т. 130, № 6. С. 1214 1217.

315. Naulin V., Nielsen А.Н. Accuracy of spectral and finite difference schemes in 2D advection problems // SIAM Journal on Scientific Computing. 2003. Vol. 25, no. 1. P. 104 126.

316. Egger H. Structure preserving approximation of dissipative evolution problems // Numerische Matliematik. 2019. Vol. 143, no. 1. P. 85 106.

317. Хемминг P.B. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.

318. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

319. Numerical recipes. The art of scientific computing. 3rd ed. / William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Cambridge: Cambridge University Press, 2007.

320. Фихтенголъц Г M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. 1.

321. Doedel E.J. Lecture Notes on Numerical Analysis of Nonlinear Equations // Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems: Path following and boundary value problems / Ed. by Bernd Krauskopf, Hinke M. Osinga, Jorge Galan-Vioque. — Dordrecht : Springer Netherlands, 2007.— P. 1-49.

322.

Наука, 1988. С. 549.

323. Хайрер Э, Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990.

324. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П, Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

325. Govorukhin V., Schevtschenko I. Families of stationary regimes in filtration convection—their origin and evolution. // Patterns and waves (Saint Petersburg, 2002). —AkademPrint, St. Petersburg, 2003. —P. 2-14.

326. Henon M. On the numerical computation of Poincare maps // Physica D. — 1982.-Vol. 5, no. 2-3.-P. 412-414.

327. Tucker W. Computing accurate Poincare maps // Physica D. — 2002. — Vol. 171, no. 3.-P. 127-137.

328. Stuart J.T. On finite amplitude oscillations in laminar mixing layers // J. Fluid Mech. - 1967. - Vol. 29. - P. 417-440.

329. Govorukhin V.N. Numerical analysis of the dynamics of distributed vortex configurations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2016.-Vol. 56, no. 8.-P. 1474-1487.

330. Hiejima T. Helicity effects on inviscid instability in Batchelor vortices // Journal of Fluid Mechanics. — 2020. — Vol. 897.

331. Fracassi Farias C.A., Pakter R., Levin Y. Linear and non-linear instabilities of Kirchhoff's elliptical vortices // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2020.— Vol. 2020, no. 8.

332. Коновалюк Т.П. Взаимодействие эллиптических вихрей // Прикладна пдромшжнлка. 2005. Т. 7, № 2. С. 44 53.

333. Ionescu А, Да Н. Axi-symmetrization near point vortex solutions for the 2D Euler equation // Communications on Pure and Applied Mathematics. 2021.

334. Meunier P., Le Dizes S., Leweke T. Physics of vortex merging // Comptes Rendus Physique .-2005.-Vol. 6, no. 4-5 SPEC. ISS.-P. 431-450.

335. Govorukhin V. Meshless algorithm for vortices dynamics analysis // Numerical Algebra with Applications. Proceedings of Fourth China-Russia Conference. — Rostov-on-Don: Southern Federal University Publishing, 2015.— P. 107-109.

336. Govorukhin V N. Calculation Lyapunov Exponents for ODE. — Access mode: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/ 4628-calculation-lyapunov-exponents-for-ode.

337. Muthuswamy B., Chua L.O. Simplest chaotic circuit // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2010.— Vol. 20, no. 5. —P. 1567-1580.

338. Vahedi S., Noorani M.S.M. Analysis of a new quadratic 3D chaotic attrac-tor // Abstract and Applied Analysis. — 2013. —Vol. 2013.

339. Galioto N., Gorodetsky A.A. Bayesian system ID: optimal management of parameter, model, and measurement uncertainty // Nonlinear Dynamics. — 2020.-Vol. 102, no. 1.-P. 241-267.

340. Higher-order inertial Alfven wave dressed solitons, quasiperiodic structures, and chaos in plasmas / S. Mahmood, H. Ur-Rehman, M.Z. Ali, A. Basit // Contributions to Plasma Physics . — 2021.

341. Pierrehumbert R., Yang H. Global chaotic mixing on isentropic surfaces // J. of Atmospheric Sciences .-1993.-Vol. 50, no. 15.-P. 2462-2480.

342. Nolan P.J., Serra M., Ross S.D. Finite-time Lyapunov exponents in the in-