Анализ и моделирование вихревых процессов малого масштаба в стратифицированной атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Хапаев, Алексей Андреевич

• Хапаев, Алексей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хапаев, Алексей Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 Исследование устойчивости внутренних гравитационных волн, распространяющихся под малыми углами к вертикали.

1.1 Математическая постановка задачи.

1.2 Устойчивость синусоидального профиля относительных отклонений плотности от стандартной.

1.3 Нейтральные кривые устойчивости для синусоидального профиля скорости.

1.4 Физическая интерпретация полученных результатов.

ГЛАВА 2 Аналогия между эффектами плотностной стратификации и вращения.

2.1 Твердотельное вращение.

2.2 Параллельные течения между вращающимися плоскостями

2.3 Экмановский слой.

ГЛАВА 3 Простая модель нестационарной влажной конвекции в атмосфере

3.1 Исходные уравнения. Краевые условия.

3.2 Вывод основной системы уравнений.

3.3 Случай сухой конвекции.

3.4 Пример влажной конвекции.

ГЛАВА 4 Генерация вихревых структур в атмосфере под действием спиральной турбулентности конвективного происхождения.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Уравнение баланса тепла.

4.3 Вывод уравнений баланса спиральности и крупномасштабной завихренности.

4.4 Эволюционная система уравнений, описывающая вихревые движения для случая сухой конвекции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и моделирование вихревых процессов малого масштаба в стратифицированной атмосфере»

Актуальность темы. Исследование процессов малого масштаба (микрометеорологических процессов с масштабом длины от сотен метров до нескольких километров) в стратифицированной атмосфере является одной из важнейших задач динамической и экспериментальной метеорологии. В настоящее время проблемы численных прогнозов погоды и изучения общей циркуляции атмосферы зависят от правильного учета взаимодействия макро- и микро- метеорологических факторов. При этом очень важно понимание структуры и механизмов микропроцессов. Кроме того, назрела необходимость в разработке локальных прогнозов погоды, которые учитывали бы воздействие мелкомасштабных факторов, таких как термическая и орографическая неоднородности подстилающей поверхности, поскольку применяемые в настоящее время численные схемы предсказания прогноза погоды плохо описывают движения малого масштаба.

Основные трудности, которые тормозят изучение процессов малого масштаба, связаны прежде всего с тем, что регулярная метеорологическая сеть слишком редка, чтобы фиксировать микрометеорологические процессы. Поэтому микрометеорологические данные чаще всего получаются на основе специально поставленных наблюдений. Кроме того, микропроцессы гидродинамически настолько сложны, что их лабораторное моделирование практически затруднительно. В свете выше сказанных ограничений на экспериментальное исследование микрометеорологических процессов численное моделирование предоставляет хороший шанс для понимания взаимодействия между различными физическими факторами, при которых протекают процессы малого масштаба.

Представленная диссертация направлена на моделирование процессов гидродинамической неустойчивости, сопровождающих вихревые процессы малого масштаба в расслоенной по плотности атмосфере. При этом исследуемые процессы рассматриваются в рамках малокомпонентных динамических систем, которые допускают аналитические и численные решения.

Целью работы является:

1) Уточнение сравнительной роли сдвигового и конвективного механизмов неустойчивости внутренних гравитационных волн, распространяющихся вертикально в атмосфере.

2) Исследование нестационарной проникающей конвекции (как сухой, так влажной) применительно к атмосферному пограничному слою.

3) Разработка реалистического сценария временной эволюции интенсивных вихрей, типа пылевых смерчей, при сухой конвекции в атмосфере.

Научная новизна:

В задаче о внутренних гравитационных волнах для конвективного механизма неустойчивости впервые найдены решения при общем виде диссипации и теплопроводности.

В предположении выполнимости гидродинамического принципа смены устойчивости рассчитаны кривые нейтральной устойчивости для пространственно - периодического профиля скорости в стратифицированной среде.

Построены модели временной эволюции микромасштабных вихревых структур конвективного происхождения, демонстрирующие спонтанное нарастание вертикальной скорости и ее необратимое затухание. Полученные при моделировании решения совпадают с хорошо известными данными о проникающей конвекции и пыльным смерчам.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 самостоятельные научные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений. Она содержит 117 страниц машинописного текста, 9 рисунков и 1 таблицу. Список литературы состоит из 105 наименований из них 36 работ зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Хапаев, Алексей Андреевич

выводы

1. Исследована общая картина неустойчивости внутренних гравитационных волн, распростроняющихся под малыми углами к вертикали. В конвективном случае в маломодовом приближении аналитическое исследование устойчивости внутренних волн проведено полностью. Для случая сдвиговой неустойчивости в консервативном приближении численно и аналитически определены нейтральные кривые устойчивости с учетом всего спектра возможных возмущений.

2. Построена нелинейная нестационарная модель конвекции в пограничном слое атмосферы, которая математически сводится к известной системе Вольтерра. В случае сухой конвекции выведена аналитическая формула для максимальной вертикальной скорости движений. В случае влажной проникающей конвекции при учете экспоненциального по высоте распределения притоков скрытого тепла даны численные оценки для вертикальных скоростей движений и выведено аналитическое выражение для максимальной вертикальной скорости.

3. Создана трехкомпонентная гидродинамическая модель, описывающая нестационарные вихревые движения в атмосфере, которая также сводится к системе Вольтерра. Для широкого диапазона значений тепловых потоков от подстилающей поверхности и коэффициента радиационного выхолаживания проведены расчеты вертикальных скоростей движений и величин угловых скоростей "крупномасштабного" вращения. Показано, что данная конвективная модель хорошо описывает усиление во времени затравочных вихревых возмущений и их преобразование в крупномасштабные вихревые структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация состоит из четырех глав, в которых объединены вопросы гидродинамической устойчивости внутренних гравитационных волн конечной амплитуды и конвективных движений в атмосфере.

В первой главе при наиболее общем виде вязкостных и теплопро-водностных факторов методом нормальных мод даны оценки гравитационной (конвективной) и сдвиговой (динамической) неустойчивостей. Эти два типа неустойчивостей рассмотрены раздельно, поскольку их совместное изучение аналитическими методами не представляется в настоящее время возможным в виду исключительной сложности исходной системы уравнений. Для гравитационного типа неустойчивости решения найдены на классах функций, периодических по высоте с периодом 27г и 4ж (с той же и с удвоенной длиной волны, что и у первичного течения). Проведен полный анализ неустойчивости ВГВ в маломодовом приближении. Рассчитаны диаграммы устойчивости в случае релеевского (внешнего) трения и ньютоновского (радиационного) выхолаживания и в случае ньютоновской (внутренней) вязкости и теплопроводности. Полученные аналитические критерии устойчивости с хорошей степенью точности совпадают с известными в литературе результатами.

При изучении более сложного случал сдвиговой неустойчивости детально рассматривались 27г-периодические решения. Применение известного в теории гидродинамической устойчивости принципа смены устойчивости позволило перейти от пятиточечного рекурентного соотношения к трехточечному. Численное решение трехточечного рекурентного соотношения позволило определить нейтральные кривые устойчивости. Предельным переходом в трехточечном рекурентном соотношении найдены асимптотики нейтральных кривых, которые полностью совпадают с численными решениями.

В третьей главе исходя из уравнения баланса энергии выведена упрощенная эволюционная система уравнений, описывающая существено нестационарную конвекцию в предположении малости турбулентных чисел Прандтля. При этом неявно учтено влияние вращения. Рассмотрен, как сухой, так и влажный режимы конвекции. В случае сухой конвекции эволюционная система сводится к известной в биологии системе уравнений типа Вольтерра. При этом получающиеся аналитические решения системы Вольтерра дают реалистические оценки конвективных движений.

В случае влажной конвекции внутренние притоки тепла, вызванные скрытой теплотой конденсации водяного пара, учтены в наиболее общей форме (концентрация водяного пара экспоненциально убывает с высотой). Получающаяся система уравнений допускает только численные решения. Характер этих решений повторяет поведение конвективных процессов: нарастание, всплеск и затухание движений. Амплитуды вертикальных скоростей, которые предоставляет эволюционная система, сопоставимы с данными атмосферных наблюдений при проникающей конвекции.

Четвертая глава обобщает результаты третьей главы на случай явного учета вращения. Предложена трехкомпонентная модель, описывающая эволюцию вихревых структур в атмосфере и прежде всего эволюцию вихрей с цилиндрической симметрией (вихрь Рэнкина). В качестве главного источника генерации вихрей выступает спиральная турбулентность конвективной природы. Замыкает модель уравнение для гидродинамического альфа-эффекта, которое аналогично соответствующему магнитогидродинамическому уравнению. В этой главе рассматривается только сухая конвекция. При этом учтено влияние радиационных факторов и тепловых потоков от подстилающей поверхности на скорость конвекции. Модель дает достоверное качественное описание эволюции пылевых смерчей, а расчеты, проведенные для широкого спектра тепловых потоков, показали хорошее соответствие полученных результатов для вертикальных скоростей с атмосферными данными.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю М.В. Курганскому за постановку темы диссертации и огромную помощь при ее написании.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хапаев, Алексей Андреевич, 2002 год

1. Андрущенко В.А. Численное моделирование подъема приповерхностных термиков Изв. АН СССР МЖГ, 2, с.129-135, 1989.

2. Андрущенко В.А., Белоцерковский О.М., Шевелев Ю.Д. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере М.Янус-К, 2000, 455с.

3. Бабенко К.И. Численные методы анализа М.Наука, 1988, 734с.

4. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности М.Наука, 2000, 223с. М.Янус-К, 2000, 455с.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости М.Мир, 1971, 350с.

6. Братсерт У.Х. Испарение в атмосферу Л.Гидрометеоиздат, 1985, 345с.

7. Бреховских JI.M., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред М.Наука, 1982, 335с.

8. Бубнов Б.М. Лабораторное и теоретическое исследование конвекции вращающейся жидкости В книге: Проблемы изучения общей циркуляции атмосферы и климата, Гидрометеоиздат, с.133 - 141, 1990, 153с.

9. Бубнов Б.М., Сенаторский А. О. Влияние граничных условий на конвективную устойчивость вращающегося горизонтального слоя жидкости Изв. АН СССР, МЖГ 3, с.124-129, 1988.

10. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций М.ИЛ, 1949, 316с.

11. Владимиров В.А. Аналогия эффектов стратификации и вращения В кн." Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн" Новосибирск Наука, СО, 1985, 318с.

12. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование Наука, 1976, 285с.

13. Вулъфсон А.Н. Приложение методов теории подобия и статистики Больцмана к построению функции распределения конвективных термиков по размерам в пограничном слое атмосферы Изв. РАН ФАО, т.33, 6, с.771-778,1997.

14. Вулъфсон А.Н. Развитие нестационарных конвективных струй в нейтрально стратифицированной атмосфере над точечным и линейным источниками тепла Изв. РАН ФАО, т.36, 5, с.626-634, 2000.

15. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.Наука, 1986, 287с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М.Наука, 1988, 548с.

17. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен М. Мир,1991,т.1, 678с.

18. Герценштейн С.Я., Родичев Е.Б., Шмидт В.М. Взаимодействие трехмерных волн во вращающемся горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу. Докл. АН СССР, 238, 3, с.545-548, 1978.

19. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное взаимодействие волновых движений и возникновение турбулентности во вращающемся горизонтальном слое жидкости. Изв. АН СССР МЖГ, 2, с.545-548, 1977.

20. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное развитие и взаимодействие возмущений конечной амплитуды при конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя. Докл. АН СССР, 225, 1, с.59-62, 1975.

21. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.Наука, 1972, 392с.

22. Гилл А. Динамика атмосферы и океана М.Мир, 1986, т.1, 398с.

23. Гилл А. Динамика атмосферы и океана М.Мир, 1986, т.2, 415с.

24. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение М.Наука, 1981, 387с.

25. Голицын Г. С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями Л.Гидрометеоиздат, 1990, 156с.

26. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере М.Мир, 1978, 532с.

27. Гостинцев Ю.А., Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И. Вынос аэрозольных частиц в стратосферу горячим термиком Изв. АН СССР МЖГ, 6, с.146-152, 1987.

28. Гранберг И.Г., Дикий Л.А. Стационирование в нелинейной задаче обтекания гор воздушными потоками Изв. АН СССР ФАО, т.8, 3, с.424-433, 1972.

29. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей Л.Гидрометеоиздат, 1975, 304с.

30. Гулин А.В., Самарский А.А. Численные методы М.Наука, 1989, 430с.

31. Гуралъник И.И., Дубинский Г.П., Машкова С.В. Метеорология Л.Гидрометеоиздат, 1972, 324с.

32. Гутман JI.H. Введение в нелинейную теорию мезометеорологичес-ких процессов Л.Гидрометеоиздат, 1969, 286с.

33. Демуцкий В.П., Половин Р.В. Основы магнитной гидродинамики Энергоатомиздат, 1987, 205с.

34. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби М.Мир, 414с.

35. Дикий JI. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы Л.Гидрометеоиздат, 1976,106с.

36. Должанский Ф.В. О влиянии слоя экмана на устойчивость планетарных волн Изв. АН СССР ФАО, т.21, 4, с.383-390, 1985.

37. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. Нелинейные системы гидродинамического типа М.Наука, 159с.

38. Зоммерфелъд А. Термодинамика и статистическая физика ИЛ, 1955, 479с.

39. Ингелъ JI.X. " Отрицательная теплоемкость" стратифицированных жидкостей Письма в ЖЭТФ, т.72, вып.Ю, с.753-756, 2000.

40. Краусс В. Внутренние волны Л.Гидрометеоиздат, 1968, 269с.

41. Кузнецов Д. С. Специальные функции М. Высшая школа, 1965, 423с.

42. Курганский М.В. К гидродинамической неустойчивости внутренних волн в атмосфере Изв. АН СССР ФАО, т.15, 10, с.1011-1016, 1979.

43. Курганский М.В. О неустойчивости внутренних гравитационных волн, распространяющихся под малыми углами к вертикали Изв. АН СССР ФАО, т.16, 10, с.1024-1033,1980.

44. Курганский М.В. Генерация завихренности во влажной атмосфере Изв. РАН ФАО, т.34, 2, с.1-7,1998.

45. Курганский М.В. Введение в крупномасштабную динамику атмосферы Санкт-Петербург Гидрометеоиздат, 1993, 168с.

46. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.Наука, 1988, 733с.

47. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости М. ИЛ, 1958

48. Магнус К. Колебания М.Мир, 1982, 303с.

49. Малъбахое В.М. К теории термиков в неподвижной атмосфере Изв. АН СССР ФАО 1972, т.8, 7, с.683-694.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики М.Наука, 1989, 608с.

51. Матвеев А. Т. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы Л.Гидрометеоиздат, 1965, 876с.

52. Мешалкин Л.Д., Синай Я.Г. Исследование устойчивости стационарного решения системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости ПММ, 1961, т.25, 6, с.1140-1143.

53. Миронов Д.В., Тержевик А.Ю. Весенняя конвекция в пресноводных озерах, покрытых льдом Изв. РАН ФАО, т.36, 5, 681-688, 2000.

54. Мирополъский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане М. Наука, 1971,338с.

55. Моисеев С.С., Сагдеев Р.З., Тур А.В., Хоменко Г.А., Яновский В.В. Теория возникновения крупномасштабных структур в гидродинамической турбулентности ЖЭТФ, т.85, 6(12), с.1979-1987, 1983.

56. Романова Н.Н., Чунчузов Е.П. О нелинейном затухании коротких ВГВ в верхней атмосфере Изв. АН СССР ФАО, т.18, 2, с.191-193, 1982.

57. Моисеев С.С., Руткевич П.Б., Тур А.В., Яновский В.В. Вихревое динамо в конвективной среде со спиральной турбулентностью ЖЭТФ, т.94, 2, с.144-153, 1988.

58. Руденко Г.В. Линейные колебания в вязкой теплопроводной изотермической атмосфере Часть 1,2 Изв. АН РАН ФАО, т.ЗО, 2, с.145-164, 1994.

59. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды М.Мир, 1980, 549с.

60. Тернер Д. Эффекты плавучести в жидкости М.Мир, 1977, 431с.

61. Турчак Л.И. Основы численных методов М.Наука, 1987, 318с.

62. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина М.Мир, 1988, 351с.

63. Хинчин А.Я. Цепные дроби М.Мир, 1976, 120с.

64. Хоменко Г.А. Гидродинамический альфа-эффект и генерация вихрей в сплошной среде АН СССР ИКИ, УДК 517.532.4, Москва, 1991.

65. Хргиан А.Х. Физика атмосферы Изд.МГУ, 1986, 327с.

66. Чунчузов Е.П. Об энергетике нижней термосферы в присутствии ВГВ Изв. АН СССР ФАО, т.18, 10, с.1095-1098, 1982.

67. Чунчузов Е.П. О вкладе внутренних гравитационных волн в энергетический баланс атмосферы на уровне мезопаузы Изв. АН СССР ФАО, т.15, 10, с.1087-1091, 1979.

68. Baker L., Spiegel Е.А. Model analysis of convection in a rotating fluid. J.Atmos.Sci., v.32, 10, p.1909-1920, 1975.

69. Beanmont D.N. The stability of spatially periodic flows J.Fluid Mech., v.108, p.461-474,1981.

70. Boubnov B.M., Golitsyn G.S. Convection in rotating fluids Kluwer Academic Publishers, 1995, 224p.

71. Buhler O., Mclntyre M.E., Scinocca J.F. On shear-generated gravity waves that reach the mesosphere. Part 1: wave generation J.Atmos.Sci., v.56, p.3749 3763, 1999.

72. Buhler O., Mclntyre M.E. On shear-generated gravity waves that reach the mesosphere. Part 2: wave propagation J.Atmos.Sci., v.56, p.3764 -3773, 1999.

73. Busse F.H. On Howard's upper bound for heat transport by turbulent convection. J.Fluid Mech., v.37, 3, p.457-477, 1969.

74. Chan S.K. Investigation of turbulent convection under a rotational constraint. J.Fluid Mech., v.64, 3, p.477-506, 1974.

75. Chandrasekhar S. The instability of a layer of fluid heated below and subject to Coriolis forces. Proc. Roy. Soc.Lond., A 217, p.306 327, 1953.

76. Chimonas G. Waves and the middle atmosphere wind irregularities. School of Earth and Atmospheric Sciences, Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia, 1997, p.2115-2127.

77. Clever R.M., Busse F.H. Nonlinear properties of convection rolls in a horizontal layer rotating about vertical axis. J.Fluid Mech., v.94, 4, p.609-627, 1979.

78. Deardorff J. W., Willis G.E., Lilly D.K. Laboratory investigation of non-steady penetrative convection J.Fluid Mech., 35, p.7-31, 1969.

79. Eisenga A.H.M. Dynamics of a vortex ring in a rotating fluid Thesis (Technical University Eidhoven), 128p., 1997.

80. Emanuel K.A. An air-sea interaction theory for tropical cyclones Part 1: Steady- state maintenance J.Atmos.Sci., v.43, 6 p.585 604, 1986.

81. Finlayson B.A. The Galerkin method applied to convective instability problems. J.Fluid Mech., v.33, 1, p.201-208, 1968.

82. Gvaramadze V.V., Khomenko G.A., Tur A. V. Large-scale vorticities in helical turbulence of incompressible fluid Geophys. Astrophys.Fluid Dynamics v.46, p.53-69, 1989

83. Herring J.R. Investigation of problem in thermalconvection. J.Atmos.Sci., v.20, 4, p.325-338, 1963.

84. Hussain F., Virk D.} Melander M.V. Dynamics of a polarized vortex ring J.Fluid Mech., vol.260, pp.23-55,1994.

85. Hunter С., Riahi N. Nonlinear convection in a rotating fluid. J.Fluid Mech., v.72, 3, p.434-454, 1975.

86. Ingersoll A.P., Renno N.O. Natural convection as a heatengine: a theory for CAPE J.Atmos.Sci., v.53, 4, p.572 585, 1996.

87. Kermack W.O., McKendrick A.G. A contribution to the mathematical theory of epidemics Proc.Roy.Soc.Lond., A 115, p.700-721, 1927.

88. Kurgansky M. V. On the problem of magnetic field generation by helical turbulence Geophys. Astrophys.Fluid Dynamics, v.81, p.101-112,1995.

89. Kurgansky M. V. Vorticity genesis in the moist atmosphere Phys.Chem.Earth(B), Vol.24, 8, pp.959-961, 1999.

90. Larkin M.P., Lburkett M., Renno N.O. A simple thermodynamical theory for dust devils J.Atmos.Sci., v.55, p.3244 3252, 1998.

91. Levich E., Tzvetkov E. Helical inverse cascade in three dimensional turbulence as a fundamental dominant mechanism in mesoscale atmospheric phenomena Physics Reports (Review Section of Physical Letters), 128, 1-37, 1985.

92. Morgan J.C. Nonlinear Benard convection with rotation. J.Fluid Mech., v.57, 3, p.433-458, 1973.

93. Rhines P.B. Wave propagation in a periodic medium with application to the ocean Rev. Geoph. Space Physics v.8, 2, p.303-319, 1970.

94. Riahi N. Upper-bound problem for a rotating system. J.Fluid Mech., v.81, 3, p.523-526, 1977.

95. Rossby H. Т. A study of Benard convection with and without rotation. J.Fluid Mech., v.36, 2, p.309-335, 1969.

96. Rutkevich P.B. Equation for the rotational instability due to convective turbulence and the Coriolis force Zh.Eksp.Teor.Fiz. v.104, p.4010-4020, 1993 Sov.Phys. JETP v.77(6), p.933-938, 1993]

97. Veronis G. The analogy between rotating and stratified fluids Ann. Rev. Fluid Mech., 1970, v.2

98. Veronis G. Analogous behavior of homogeneous, rotating fluids and stratified non-rotating fluids Tellus, v.19, 2, p.326-336, 1967.

99. Veronis G. Analogous behavior of rotating and stratified fluids Tellus, v.19, 4, p.620-634, 1967.

100. Veronis G. Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid. J.Fluid Mech., v.5,3, p.401-435, 1959.

101. Veronis G. Motion at subcritical values of the Rayleigh number in a rotating fluid. J.Fluid Mech., v.24,3, p.545-554, 1966.

102. Veronis G. Large-amplitude Benard convection in a rotating fluid. J.Fluid Mech., v.31, 1, p.113-140, 1968.

103. Vicent R.A. Gravity wave parameters in the stratosphere: their relation to parameterization schemes Australia: Depart. Physics and Mathematical Physics, University of Adelaide, 1997, p.267-271.

104. Wall H.S. Analytic theory of continued fractions. N.Y., 1948, 423p.