Численное моделирование мезомасштабных атмосферных вихрей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Романский, Станислав Олегович

• Романский, Станислав Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Романский, Станислав Олегович

Введение

1 Система уравнений, описывающая процессы, происходящие в атмосфере

1.1 Вывод общей системы уравнений термодинамики атмосферы

1.2 Упрощение системы с учетом факторов, влияющих на мезомас-штабные процессы.

1.3 Обзор существующих моделей динамики атмосферы.

1.4 Численный расчет модели, описывающей атмосферные процессы в ограниченной области.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование мезомасштабных атмосферных вихрей»

Проблема предсказания будущего состояния атмосферы является одной из важных задач в современном мире, прежде всего в связи с большим влиянием, которое погодные условия оказывают на экономическую деятельность и социальную жизнь общества.

При этом внимание необходимо уделить прогнозированию и описанию атмосферных явлений, которые могут привести к стихийным бедствиям и представляют опасность для населения, могут прямо или косвенно принести убытки экономике. К ним можно отнести локальные явления погоды такие, как смерчи (сильный локальный вихрь с почти вертикальной осью вращения), торнадо (сильный вихрь с почти вертикальной осью вращения со скоростями ветра 50100 м/с, отличается исключительно большой повторяемостью), шквалы (резкое усиление ветра в течение короткого времени, сопровождающееся изменениями его направления, скорость ветра нередко превышает 20-30 м/с и имеет место вихревое движение воздуха с горизонтальной осью вращения) [1].

Основным методом исследования эволюции метеорологических параметров и прогнозирования полей метеоэлементов и погодных условий в настоящее время является математическое моделирование атмосферных процессов, с последующим численным решением системы дифференциальных уравнений в частных производных. Такая система должна учитывать обмен энергией между движениями различных пространственных масштабов, а также описывать физические процессы, влияющие на термодинамику атмосферы, в том числе учитывать взаимодействие атмосферы и подстилающей поверхности, поглощение и отражение солнечной радиации, фазовые переходы влаги.

На сегодняшний день существует большое количество моделей, описывающих разнообразные атмосферные процессы и отличающихся наличием или отсутствием учета определенных физических параметров. Первые шаги по созданию моделей общей циркуляции атмосферы на основе интегрирования системы термодинамики атмосферных процессов были сделаны Н. Е. Кочиным [2], разработавшим гидродинамическую теорию общей циркуляции атмосферы. Л. Ф. Ричардсон [3] впервые предложил использовать численные методы для решения системы уравнений термодинамики атмосферных процессов.

С появлением ЭВМ появились возможности для численного прогноза погоды, что неизбежно привело к необходимости разработки адекватных и эффективных методов численного решения системы уравнений гидротермодинамики атмосферы в общем и систем уравнений, записанных для конкретных атмосферных процессов, изучаемых в идеальном случае. Так например, Е. Н. Блинова [4] применила спектральные методы для решения модели общей циркуляции атмосферы. Д. Смагоринский [5] выписал уравнения модели общей циркуляции атмосферы в конечно-разностной форме и проводил вычисления при условии, что в начальный момент времени изотермическая атмосфера находится в состоянии покоя.

Большой вклад в изучение и развитие численных методов решения системы уравнений термодинамики атмосферы был сделан в работах Г. И. Марчука [6], им были предложены методы расщепления для расчета системы теромодина-мики атмосферы. H.H. Яненко [7] предложил метод дробных шагов, заключающийся в сведении сложной краевой задачи к последовательному решению краевых задач более простой структуры и позволяющий строить экономичные разностные схемы. Такие схемы приводят к замене исходной системы уравнений системой линейных алгебраических уравнений, имеющих ленточную структуру, что позволяет эффективно использовать для их решения ЭВМ. С. К. Годунов [8] разработал разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Исследованию устойчивости разностных схем посвящен ряд работ А. А. Самарского [9].

С ростом производительности вычислительных средств в моделях прогноза погоды стали учитывать все больше различных факторов и появилась возможность уточнять прогноз по ограниченным территориям на основе прогноза производимого глобальными моделями. Уточнение прогноза по ограниченной территории выполняется с помощью региональных моделей с высоким пространственным и временным разрешением, что позволяет описывать локальные атмосферные процессы, такие как развитие конвективной облачности, возникновение шквалов и т.д. Моделирование этих явлений, как правило, осуществляется отдельными компонентами встроенными в модель, описывающими физику этих процессов. Возникновение и развитие локальных атмосферных явлений существенно зависит от физико-географических условий рассматриваемой территории. Поэтому численное моделирование локальных процессов всегда требует адаптации общих подходов к местным условиям.

Параллельно развиваются исследовательские модели, предназначенные для описания одного или нескольких близких атмосферных явлений. К таким исследовательским моделям можно отнести модели, описывающие такие процессы, как обтекание воздушной массой неровностей земли, образование облаков, возникновение шквалов, смерчей и торнадо. Так, например, А. С. Монин, А. М. Обухов [11] разработали общий подход к параметризации приземного слоя атмосферы. У. Огура [12] показал способы упрощения общей системы термодинамики атмосферы для конкретных локальных явлений. Л. Куо [13] предложил модель, описывающую возникновение локальных атмосферных вихрей. Б. Клемп [14] разработал модель динамики грозового образования.

Актуальность исследования определяется необходимостью исследования локальных атмосферных явлений с вертикальной осью вращения. Такие атмосферные явления в последнее время возникают на территории Дальнего Востока РФ [16]. В настоящее время нет способов, позволяющих достоверно и с достаточной заблаговременностью предсказать возникновение смерчей или торнадо. Большинство работ посвящено теоретическому изучению вихрей с вертикальной осью вращения, но при этом отсутствует единая теория, объясняющая их возникновение и развитие. Современные модели прогноза погоды рассчитываются на крупной сетке и явления такого масштаба просто не учитывают. Необходимо разработать и усовершенствовать существующие математические модели, которые описывают атмосферные явления такого рода в идеальном случае, для их дальнейшего изучения и в конечном итоге, создания достоверных численных методов прогноза смерчей или торнадо.

Целью данной работы является численное моделирование локальных атмосферных явлений, имеющих вихревую структуру, таких как торнадо и смерч, а так же возникновение, развитие и перемещение таких формирований на основе численного интегрирования системы уравнений, описывающей термодинамику атмосферных процессов, и изучение свойств и характеристик данных явлений на основе анализа результатов модельных экспериментов. Дополнительно исследуется динамика развития облачности, которая в большинстве случаев сопровождает такие атмосферные формирования.

Предметом исследования являются методы параметризации физических процессов и способы их адекватной численной реализации, приводящих к возникновению указанных выше атмосферных явлений.

Для достижения цели исследования необходимо было разрешить следующие задачи. При моделировании мезомасштабных атмосферных вихрей с вертикальной осью вращения: Построение математической модели явления на основе упрощения общей системы уравнений термодинамики атмосферы в соответствии с физическими факторами, оказывающими существенное влияние на возникновение и развитие рассматриваемых атмосферных явлений. Постановка начальных и граничных условий с учетом ограниченности явлений по пространству и времени. Запись системы в удобной для расчета форме. Разрешение, полученной математической модели, с использованием численных методов для уравнений в частных производных, включая методы расщепления и противопоточные конечно-разностные схемы. Разработка вычислительного алгоритма реализующего разработанную математическую модель.

Создание комплекса программ для ЭВМ, реализующих вычислительный алгоритм и позволяющих настраивать параметры модели. Определение числовых значений основных физических параметров атмосферы, приводящих к возникновению моделируемого явления и влияющих на его внутреннюю структуру и динамику.

Анализ и интерпретация результатов, полученных в ходе проведения вычислительных экспериментов на основе сравнения с данными инструментальных наблюдений и результатами, изложенными в других работах, описания динамики развития облачности:

Выбор метода, позволяющего описывать динамику облачного покрова, в рамках региональной численной модели прогноза погоды для Дальнего Востока России.

Модификация и адаптация метода к особенностям вертикальной структуры региональной модели.

Разработка и реализация вычислительного алгоритма и включение его в существующую модель гидротермодинамики атмосферы в качестве одной из расчетных компонент.

Проверка результатов численного моделирования на основе сравнения с данными наземных и спутниковых наблюдений.

Научная новизна исследования

Построена математическая модель мезомасштабного атмосферного вихря с вертикальной осью вращения с постоянной плотностью воздуха и фоновой плотностью воздуха, являющейся функцией от высоты.

Разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы численного решения системы уравнений термодинамики атмосферы, описывающей возникновение и динамику локальных атмосферных вихрей с вертикальной осью вращения, в виде комплекса программ для ЭВМ.

Проведено исследование процесса возникновения и развития локального атмосферного вихря с вертикальной осью вращения с помощью построенной модели. Показано влияние значений начальных данных на силу вихря и особенности его развития.

Впервые показана зависимость массы тела, которую способен поднять вихрь, от скорости ветра в нем в форме графика и формулы.

Модернизирован и адаптирован метод моделирования процесса формирования и динамики облачного покрова на территории Дальнего Востока России в рамках региональной гидродинамической модели атмосферы, позволяющий рассчитывать балл облачности как в узлах сетки прогноза, так и в пунктах Дальнего Востока РФ.

Достоверность исследования. В работе применены результаты и методы численного решения начально-краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе методы расщепления, численного интегрирования; использованы известные физические подходы, позволяющие упростить общую систему уравнений для описания конкретных явлений, разработан комплекс программ для решения поставленных задач. Показано, что результаты математического моделирования согласуются с данными инструментальных измерений и расчетами, приведенными в других исследованиях.

Практическая ценность работы. Материалы и методы, изложенные в работе, могут быть использованы для исследования и численного моделирования локальных атмосферных явлений и уточнения прогнозов погоды, рассчитываемых с помощью численных моделей динамики атмосферы. Созданные программные комплексы позволяют разрешать задачу, описывающую возникновение и развитие локальных атмосферных вихрей с вертикальной осью вращения и могут быть применены для исследования внутренней структуры реальных торнадо или смерчей.

Дополнительно показано применение математических методов для описания расположения облачности в рамках численных моделей атмосферы на основе интегрирования системы уравнений гидротермодинамики атмосферы по территории Дальнего Востока России. Данный метод внедрен в Хабаровском региональном специализированном метеорологическом центре (ФБГУ "Хабаровский

ЦГМС-РСМЦ").

Апробация работы. Результаты и выводы, представляемые в диссертации, были доложены на следующих конференциях: 5-ая и 6-ая Всероссийские конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" , посвященные памяти В. К. Иванова, с участием зарубежных ученых (Екатеринбург, 2008 г. и 2011 г.); Международная конференция "Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии" (Улан-Удэ, 2009 г.); XXXIV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук" (Хабаровск, 2009 г.); IV Международный геотехнический симпозиум "Превентивные геотехнические меры по уменьшению природных и техногенных бедствий" (Хабаровск, 2011 г.); Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием "Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в 21 веке" (Хабаровск, 2009 г.); Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики"(Новосибирск, 2012 г.) и на Открытой ежегодной сессии Европейского сообщества наук о Земле (Вена, 2012 г.); дополнительно работа обсуждалась на семинарах кафедры.

Основные положения выносимые на защиту

Математическая модель, позволяющая описать динамику и внутреннюю структуру мезомасштабных атмосферных вихрей с вертикальной осью вращения.

Вычислительный алгоритм, используемый для разрешения поставленной задачи.

Результаты вычислительных экспериментов: информация о внутренней структуре явления (скорости, давлении и температуре), данные об этапах жизни таких атмосферных вихрей, их силе и потенциальной опасности, взаимосвязь между начальным состоянием атмосферы и скоростями, наблюдаемыми в вихре. Сравнение двух вариантов математической модели явления и ее верификация на основе сравнения с данными инструментальных измерений и расчетами, приведенными в других исследованиях.

Метод прогноза балла облачности на территории Дальнего Востока России и результаты расчетов по данному методу.

Публикации и вклад автора. Основные результаты исследования, изложенного в диссертации, опубликованы в научных работах [29,30,46,49—51,80— 86,88,106], в том числе 2 статьи в ведущих рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК; 8 работ в материалах и трудах конференций и симпозиумов; разработано 2 программных комплекса, на которые выданы свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [51,88]. Получен Акт внедрения численного метода прогноза балла облачности в пунктах ДВ-региона России (ФБГУ "Хабаровский ЦГМС-РСМЦ").

Публикации [46,50,80,81,83,85,86], выполнены в соавторстве с научным руководителем, который поставил задачу и осуществлял методическое руководство в процессе исследования. Теоретическое изучение системы нелинейных уравнений в частных производных, описывающей динамику атмосферных вихрей; разработка вычислительного алгоритма для численного решения поставленной задачи; создание программного комплекса, который реализует данный алгоритм на ЭВМ; анализ и обобщение результатов, полученных в процессе вычислительных экспериментов с моделью при задании различных начальных данных, выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, который содержит 106 источников. Объем диссертации составляет 107 листов, включает 36 рисунков и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Романский, Станислав Олегович

Заключение

В работе изложены результаты численного моделирования локальных атмосферных явлений, таких как торнадо, смерч и динамики облачности на основе численного интегрирования системы уравнений, описывающей термодинамику атмосферных процессов, и изучение свойств и характеристик данных явлений на основе анализа результатов модельных экспериментов.

В первой главе приведен вывод общей системы уравнений термодинамики атмосферы, используя законы Ньютона, законы сохранения и начала термодинамики. Данная система описывает не только атмосферные процессы, но акустические волны, которые не оказывают влияния на формирование атмосферных явлений, и поэтому могут быть убраны из рассмотрения. Поэтому с учетом физических параметров исследуемого атмосферного процесса, следует упростить общую систему уравнений.

Ввиду малого горизонтального размера исследуемых явлений существующие модели динамики атмосферы не могут прямо моделировать такие явления как смерчи, торнадо, шквалы. Это связано с необходимостью параметризовать такие процессы как турбулентность и проводить вычисления на сетках с малым горизонтальным шагом (в некоторых случаях менее 1 км).

После анализа отечественных и зарубежных работ по тематике исследования было предложено использовать в качестве физических факторов, которые определяют возникновение локальных вихрей с вертикальной осью вращения, следующие:

Причиной, вызывающей появление вертикальных движений воздуха в атмосфере, является наличие разности температур между температурой поднимающейся частицы воздуха и температурой воздуха на данной высоте. Если потенциальная температура падает с высотой, то столп атмосферы находится в неустойчивом состоянии, и поднимающаяся частица воздуха получает ускорение.

В атмосфере должен присутствовать завихренность, которая закрутит восходящий поток воздуха.

Комбинация таких физических факторов встречается редко, что может объяснить малое количество наблюдаемых торнадо и смерчей.

Использование приведенных выше особенностей, а также учитывая турбулентный перенос в атмосфере, позволил на основе подхода Буссинеска упростить исходную систему уравнений и записать ее для возмущений метеорологических полей. Данная система была записана в цилиндрических координатах, и за счет введения условия симметричности движения относительно центральной оси вихря неизвестные величины системы стали зависеть только от (r,z,t). Опираясь на опыт предыдущих исследований, система была переписана в безразмерном виде, что позволило сократить число параметров от которых зависит решение и записать систему в удобном для расчета виде. Постановка граничных условий определялась тем, что явление ограничено по пространству и времени. А начальные условия определялись необходимостью создания условий для возникновения вертикального движения воздуха. Т. о. была разработана математическая модель, которая описывает образование, развитие и разрушение локальных атмосферных вихрей с вертикальной осью вращения. Предложено два варианта модели, первый с постоянной плотностью воздуха, а другой - с переменной.

Для численного расчета уравнений модели используется метод расщепления и противопоточные конечно-разностные схемы. Показана сходимость используемой разностной схемы. Данный вычислительный алгоритм был реализован в виде программы для ЭВМ на языке Fortran2003 с использованием библиотеки параллельных вычислений ОрепМР, на который выдано свидетельство о государственной регистрации.

Приведены результаты сравнения двух вариантов модели мезомасштабного атмосферного вихря с вертикальной осью вращения. В частности установлено, что модель с переменной плотностью обеспечивает более адекватное описание процесса возникновения вихря. Он формируется быстрее и значения скоростей и возмущения давления принимают наибольшие значения, которые согласуются с данными измерений. Также в таблицах показана взаимосвязь между значениями начальных данных и силой вихря; определены пороговые значения возмущений метеоэлементов при которых возможно образование смерча, в котором будет фиксироваться скорость ветра соответствующая ураганному.

В результате проведения модельных экспериментов были установлены следующие закономерности. На скорость ветра в вихре наибольшее влияние оказывают следующие параметры: Значение вертикального градиента температур 70 и начального возмущения температуры Tq определяют как быстро будет развиваться устойчивый восходящий поток воздуха, обусловленный термической конвекцией. Максимальная высота, которой достигают такие потоки ограничивается толщиной слоя неустойчивости Я. При задании То =10°, 70 =-3,5х10~3 гра-д/м максимальная вертикальная скорость ветра достигает значений около 40 м/с. Величина тангенциальной скорости У\, которой будет инициировано вращательное движение в вихре. При этом важно в каком именно месте расчетной области задать вращение: если задавать его близко к центру (о < #1 < ^), то вихрь не возникнет, а начальное возмущение скорости перейдет к фоновым значениям; наилучшим с точки зрения, максимальных скоростей в вихре, является задание начального вращения на расстоянии Я\ е (\Я; где Я.1 - расстояние на котором будет заданно максимальное начальное вращение в полосе по оси г. Например, при экспериментах, когда значение тах У\ было установлено равным 10 м/с и 15 м/с устойчивый вихрь не мог образоваться - он возникал на короткий промежуток времени (1-2 минуты), а затем распадался (тангенциальная скорость уменьшалась до значений менее 5 м/с). Поэтому для иллюстрации работы модели в работе представлены расчеты, когда значение тах Ух =30 м/с.

Чтобы показать опасность, которую представляют торнадо и смерчи, была рассчитана зависимость массы тела, которое способен поднять вихрь, от скорости ветра в нем.

Требуется дальнейшее изучение вихревых явлений с вертикальной осью вращения. Необходимо дополнить существующую систему уравнений уравнением для влажности, а также использовать параметризацию приземного и пограничного слоев атмосферы для детального описания процессов турбулентного переноса, что позволит уточнить значения метеорологических полей, наблюдаемых в явлении.

Так в работах зарубежных авторов развиваются подходы, которые позволяют совместно описать динамику грозового облака и торнадо, которое оно порождает. Такие математические модели позволят естественным образом рассчитывать вихревые движения, а не задавать их в виде начальных условий (параметр 1^). Но построение такой модели требует наличия большого числа наблюдений для верного описания физических процессов, происходящих в атмосферном явлении.

Моделирование динамики облачного покрова проводилось в рамках региональной гидродинамической модели (МЬа22 - 50) на основе анализа результатов интегрирования уравнений системы. Получено, что результаты моделирования общего балла облачности согласуются с зонами модельных осадков, а также наблюдениями из космоса. Из чего можно сделать вывод, что вид параметра roo, который описывает зависимость между влажностью в ячейке сетки и такими факторами, как тип подстилающей поверхности, высота рельефа и т.д., подходит для использования на территории Дальнего Востока России и позволяет усовершенствовать исходный метод. Для отсечения "лишней" облачности, которая реально не наблюдается, было предложено ограничить температуру слоя величиной в -35° и считать, что при температурах ниже данной, облачность не может образоваться.

После проведения серии экспериментов было установлено, что данный метод дает худшие результаты при использовании его в теплый период времени, т. к. в модели ML

Для решения данной проблемы возможны два варианта: улучшение блока параметризующего конвекцию или перенос метода прогноза общего балла облачности в модель, которая использует негидростатические уравнения (что позволяет более точно моделировать конвективные процессы), в частотности в модель WRF-ARW. Второй вариант не представляет технологической сложности, т.к. метод выполнен в виде отдельного расчетного модуля.

Но применение метода для вычисления общего балла облачности в пункте в рамках модели MLa22 - 50 имеет практическую ценность, и он внедрен в ФГБУ "Хабаровский региональный специализированный метеорологический центр". Достоинством метода является возможность давать количество облаков по вертикальным ярусам. Результаты были достигнуты в рамках НИР 1.2.1 п. 5 по теме "Развитие методов физической и статистической интерпретации результатов гидродинамических прогнозов".

В завершении хочу выразить благодарность своему научному руководителю Петру Батанеевичу Суляндзиге за помощь в исследовании, постоянное внимание к работе и советы, а также поблагодарить Вербицкую Евгению Митрофа-новну за ценные замечания и предложения, позволившие улучшить содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Романский, Станислав Олегович, 2013 год

1. Российский гидрометеорологический энциклопедический словарь: в 3 т. / под ред. А. И. Бедрицкого. — СПб.: Летний сад, 2009. — 3 т.

2. Кочин, Н. Е. Об упрощении уравнений гидромеханики для случая общей циркуляции в собрании сочинений в 3 т. / Н. Е. Кочин. — M.-JI.: Изд-во АН СССР, 1949. 1 т.

3. Richardson, L. F. Weather prediction by numerical process, L. F Richardson. — Cambridge: Cambridge University Press, 1922. — 258p.

4. Блинова, E. H. Гидродинамическая теория волн давления, температурных волн и центров действия атмосферы / Е. Н. Блинова / / ДАН. — 1943. — Т. 39. №7. - С. 284-287.

5. Smagorinsky, J. General circulation experiments with the primitive equations I. The basic experiment. / J. Smagorinsky / / Monthly weather review. — 1963.- Vol. 91. pp. 99-164.

6. Марчук, Г. И. Методы расщепления. / Г. И. Марчук. — М.: Наука, 1988. -264с.

7. Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. / Н. Н. Яненко — Новосибирск: Из-во НГУ, 1967. — 196с.

8. Годунов, С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики. / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов.- М.: Наука, 1976. 400с.

9. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача. / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784с.

10. Skamarock, W. С. A description of the advanced research WRF version 2. / W. C. Skamarock, J. B. Klemp, J. Dudhia NCAR/TN-468+STR, 2005. -100р.

11. Обухов, A.M. Турбулентность и динамика атмосферы. / A.M. Обухов — JI.: Гидрометеоиздат, 1984. — 414с.

12. Ogura, Y., Phillips A. Scale analysis of deep and shallow convection in the atmosphere. / Y. Ogura, A. Phillips / / Journal of the atmospheric sciences. — 1962. Vol. 19. - pp. 173-179.

13. Kuo, L. H. On the dynamics of convective atmospheric vortices. / L. H. Kuo / / Journal of the atmospheric sciences. — 1962. — Vol. 23.— pp. 25—42.

14. Klemp, B. J. Dynamics of tornadic thunderstorms. / J. B. Klemp / / Annual review fluid mechanics. — 1987. — Vol. 19. — pp. 369—402.

15. Гутман, Л.Н. К теории атмосферных вихрей с вертикальной осью. / Л. Н. Гутман, В. М. Мальбахов. / / Известия АН СССР. 1968. - №6. - С. 586-597.

16. Казаченко, С. Смерч — все равно, что пылесос. / С. Казаченко / / Тихоокеанская звезда.— 2011. — 3 августа.

17. Salamanca, F. A study of the urban boundary layer using different urban parameterizations and high-resolution urban canopy parameters with WRF. /

18. F. Salamanca, A. Martilli. / / Journal of Applied Meteorology and Climatology.- 2011. Vol. 50. - pp. 1107-1128.

19. Прандтль, Л. Гидроаэромеханика. / Л. Прандтль. — М.: РХД, 2002. — 572с.

20. Патанкар, С. Численные методы решения задач темплообмена и динамики жидкости. / Патанкар С. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 154с.

21. Вельтищев, Н. Ф. Мезометеорологические процессы. / Н. Ф. Вельтищев, В. М. Степаненко. М.: Из-во МГУ, 2006. - 101с.

22. Марчук, Г. И. Математические модели геофизической гидродинамики и численные методы их реализации. / Г. И. Марчук, В. П. Дымников, В. Б. Залесный — Л.: Гидрометеоиздат, 1987. — 178с.

23. Марчук, Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1982. — 319с.

24. Марчук, Г. И. Теоретическая модель прогноза погоды. / Г. И. Марчук. / / ДАН. 1964. - Т. 155. - №5. - С. 1062-1065.

25. Фролов, А. В Глобальная спектральная модель атмосферы с высоким разрешением по вертикали. / А. В. Фролов, А. И. Важник, В. И. Цветков, Е. Д. Астахова. / / Метеорология и гидрология. — 2000. — №2. — С. 10—21.

26. Толстых, М. А. Полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды. / М. А. Толстых / / Метеорология и гидрология. 2001. - Ш. — С. 5-16.

27. Лосев, В. М. Региональная гидродинамическая модель Гидрометцентра России. / В. М. Лосев. / / "80 лет Гидрометцентру России". Сборник научных трудов. М.: ТРИАДА ЛТД, 2010.- С. 36-58.

28. Skamarock, W. С. A time-split nonhydrostatic atmospheric model for research and NWP applications./ W. C. Skamarock, J. B. Klemp. / / Journal of Compute Physics, special issue on environmental modeling. — 2009. pp. 3465—3485.

29. Janjic, Z. I. A Nonhydrostatic model based on a new approach. / Z. I. Janjic. / / Meteorology and Atmospheric Physics. — 2003. — Vol. 82. — pp. 271—285.

30. Asselin, R. Frequency filter for time integrations. / R. Asselin. / / Monthly Weather Review. 1972. - Vol. 100. — pp. 487-490.

31. Arakawa, A. Computational design of the basic dynamical process of the UCLA general circulation model. / A. Arakawa, V. R. Lamb. / / — New York: Academic Press, 1967. — pp. 173—265.

32. Курант, P. О разностных уравнениях математической физики. / Р. Курант, К. Фридрихе, Г. Леви. / / УМН. 1941. - №8. - С. 125-160.

33. Ooyama, V. K. A thermodynamic foundation for modeling the moist atmosphere. / V. K. Ooyama. / / Journal of the Atmospheric Sciences. — 1990.- Vol. 47. pp. 2580-2593.

34. Kasahara, A. Various vertical coordinate systems used for numerical weather prediction. / A. Kasahara. / / Monthly Weather Review. — 1974. — Vol. 102.- pp. 509-522.

35. Wicker, L. J. Skamarock W. C. Time-splitting methods for elastic models using forward time schemes. / L.J. Wicker, W. C. Skamarock. / / Monthly Weather Review. 2001. - Vol. 130. - pp. 2088-2097.

36. Skamarock, W. C. Positive-definite and montonic limiters for unrestricted-timestep transport schemes. / W. C. Skamarock. / / Monthly Weather Review.- 2006. Vol. 134. - pp. 2241-2250.

37. Klemp, J.B. Conservative split-explicit time integration methods for the compressible nonhydrostatic equations. / J.B. Klemp, W. C. Skamarock, J. Dudhia. / / Monthly Weather Review. 2007. - Vol. 135. - pp. 2897—2913.

38. Вельтищев, H. Ф. Краткосрочный прогноз сильных осадков и ветра с помощью разрешающих конвекцию моделей WRF. / Н. Ф. Вельтищев, В. Д. Жупанов, Н.Ф. Павлюков / / Гидрология и метеорология. — 2011. — №1.- С. 5-18.

39. Вельтищев, Н. Ф., Жупанов В. Д. Эксперименты по численному моделированию интенсивной конвекции. / Н.Ф. Вельтищев, В.Д. Жупанов. // Гидрология и метеорология. — 2008. — №9. — С. 30—44.

40. Skamarock W. С., Klemp J.B. The stability of time-split numerical methods for the hydrostatic and nonhydrostatic elastic equations. / W. C. Skamarock, J. B. Klemp. / / Monthly Weather Review. 1992. - Vol. 120. - pp. 2109-2127.

41. Вельтищев, H. Ф. Численные прогнозы погоды по негидростатическим моделям общего пользования WRF-ARW и WRF-NMM. / Н.Ф., Вельтищев, В. Д., Жупанов. / / "80 лет Гидрометцентру России"// Сборник научных трудов. М.:ТРИАДА ЛТД, 2010. С. 95-142.

42. Turner, R. Е. A updating prediction models by dynamic relaxation: an examination of the technique. / R. E. Turner, R. E. Davies. / / Quarterly journal of the royal meteorological society. — 1977. — Vol. 103. 1977. pp. 225—245.

43. Романский, С. О. Об одном методе решения системы динамики атмосферы. / С. О. Романский, П. Б. Суляндзига. / / Вестник Тихоокеанского государственного университета. — 2007. — №4. — С. 211—216.

44. Яненко, Н.Н. Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов). / Н. Н. Яненко. / / ДАН. I960,- Т. 134,- №5. - С. 56-59.

45. Samarskij, A. A. Difference methods for multi-dimensional differential equations in mathematical physics. / A. A. Samarskij. / / Aplikace matematiky.— 1965.- Vol. 10. pp. 146-164.

46. Романский, С. О. Об одной модели краткосрочного прогноза динамики атмосферы. / С. О. Романский. / / Информатика и системы управления. — 2009. №2. - С. 138-145.

47. Романский, С. О. Программа Mesoscale Model 20-5 (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ). №2009612100 от 24.04.2009.

48. Веселов, Е. П. К расчету скорости ветра в смерче./ Е. П. Веселов. / / Гидрология и метеорология. — 2008. — №2. С. 58—63.

49. Show, J. The Tornado. / J. Show. / / Scientific American. 1984. - Vol. 250.- №114. pp. 56-66.

50. Klemp, B. A study of the tornadic region whithin a supercell thunderstorm. / B. Klemp, R. Rotunno. / / Journal of the atmospheric sciences. — 1982. — Vol.40. pp. 359-377.

51. Гутман, JI.H. Теоретическая модель смерча. / JI. Н. Гутман. / / Известия АН СССР, сер. Геофиз. 1957. — т. - С. 79-93.

52. Grazulis, Т. P. The Tornado: Nature's Ultimate Windstorm. / Т. P. Grazulis — Oklahoma: Oklahoma Press, 2003. — 336p.

53. Баутин, С. П. Торнадо и сила Кориолиса. / С. П. Баутин. — Новосибирск: Наука, 2008. 96с.

54. Wegener, A. Beitrage zur Mcchanik der TYomben und Tornados. / A. Wegener. / / Meteorol. Z. 1928. - Vol. 45. - 201-214.

55. Marshal, T. Storm Talk. / T. Marshal. New York: Springer, 1995. - 134p.

56. Wakimoto, R. M. Non-supercells Tornadoes. / R. M. Wakimoto, J. W. Wilson. // Monthly Weather Review. 1989. - Vol. 117. - pp. 1113-1140.

57. Litta, A. J. Simulation of tornado over Orissa (India) on March 31, 2009, using WRF-NMM model. / A. J. Litta, U. C. Mohanty, S. Kiran Prasad, M. Mohapatra. / / Natural Hazards. — 2012. — Vol. 4. — pp. 1219—1242.

58. Bystrai, G. P. Thermodynamics of nonequilibrium processes in a tornado: synergistic approach / G. P. Bystrai, I. A. Lykov, S.A. Okhotnikov. — 2011.- 39p. Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1109.5019vl от 10.09.2012 г.

59. Nolan D. S. The structure and dynamics of tornado-like vortices. / D. S. Nolan, B. F. Farrell. / / Journal of atmosphere sciences. — 1999. — Vol. 56. — pp. 2908-2936.

60. Снитковский, А. И. Смерчи на территории СССР. / А. И. Снитковский. / / Метеорология и гидрология. — 1987. — №2. — С. 69—78.

61. Coriolis, G. G. Me'moire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines. / G. G. Coriolis. / / Journal de l'e'cole Polytechnique. — 1832. Vol. 13. - pp. 268—302.

62. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика в 12 т. / Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М.- М.: Наука, 1986. Т.6. 735с.

63. Гутман, Л. Н. Введение в нелинейную теорию мезометеорологических процессов. / Л.Н. Гутман. — Л.: Гидрометиздат, 1969. — 295с.

64. Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы. / Г. И. Марчук, В. И. Агошков. — М.: Наука, 1988. — 416с.

65. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики. / Г. И. Марчук. — М.: Наука, 1989. 456с.

66. Годунов, С. К. Разностные схемы. / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. — М.: Наука, 1977. 440с.

67. Яненко, Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. / Н. Н. Яненко, Б. Л. Рождественский. — М.: Наука, 1968. — 407с.

68. Яненко, Н. Н. Неявные схемы расщепления для гиперболических уравнений и систем / Яненко Н. Н., Анучина Н. Н. / / ДАН. 1959. - Т. 128, №6.- С.1103—1105.

69. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений. / Самарский А. А., Николаев Е. С. — М.: Наука, 1978. — 192с.

70. Баландин, М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности. / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина. — Новосибирск: Из-во НГТУ, 2000. — 70с.

71. Lax, P. D. Survey of the stability of linear finite difference equations. / P. D. Lax, R. D. Richtmyer. / /Communications on Pure and Applied Mathematics.- 1956. Vol.9. - pp. 267-293.

72. Neumann, J. Numerical integration of the barotropic vorticity equation. / J. Neumann, J. G. Charney, R. Fjortoft. / / Tellus. — Vol. 2 — 1950. — pp. 237-254.

73. ГОСТ 4401—81. Атмосфера стандартная. Параметры. — М.: Изд-во стандартов, 2004. — 54с.

74. Булгаков, В. К., Пассар А. В. Математическое моделирование турбулентных и энергетических процессов в сплошных средах. / В. К. Булгаков, А. В. Пассар. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2011. 84с.

75. Ying, S. J. Explorary model study of tornado-like vortex dynamics. /S.J. Ying, Chang С. C. / / Journal of the Atmospheric Sciences.— 1970. — Vol. 27 — pp. 3-15.

76. Романский, С. О. Модель маломасштабного атмосферного вихря. / С. О. Романский, П. Б. Суляндзига. / / Вестник Тихоокеанского государственного университета. — 2011. — №4. — С. 63—70.

77. Романский, С. О. Об одном способе моделирования торнадо. / / С. О. Романский, П. Б. Суляндзига. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН. — М., 2011. — Юс.- Деп. в ВИНИТИ.

78. Висленев, Б. В. Теория Авиации. / Б. В. Висленев, Д. В. Кузьменко. — М.: Из-во наркомата обороны СССР, 1939. — 384с.

79. Романский, С. О. Программа численного моделирования вихрей в неустойчиво стратифицированной атмосфере (свидетельство о государственной реги-страции программы для ЭВМ). №2012613650 от 18.04.2012.

80. Sozou, С. Unsteady atmospheric vortices in a stratified atmosphere. / C. Sozou. / / Tellus. 1988. - Vol. 40A. - №5. - pp. 398-406.

81. Sundquist, Н. A parameterization scheme for non-convective condensation including prediction of cloud water content. / / Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, Vol. 104, 1978. pp. 677-690.

82. Hanna, J. W. Cloud-top temperatures for precipitating winter clouds. / J. W. Hanna, D. M. Schultz. / / Journal of applied meteorology and climatology. — 2008. Vol. 47. - pp. 351-359.

83. Sundqvist, H. Initialization of cloud water content and cloud cover for numerical prediction models. / H. Sundqvist, X. Huang. / / Monthly Weather Review. — 1993. Vol. 121. - №10. - pp. 2719-2726.

84. Sundqvist, H., Condensation and cloud parameterization studies with a mesoscale numerical weather prediction model. / H. Sundqvist, E. Berge, J. E. Kristjnsson. / / Monthly Weather Review. — 1989. — Vol. 117. — №8. — pp. 1641-1657.

85. Космические снимки облачности с ИСЗ NOAA-18. Режим доступа: http:/ /www.dvrcpod.ru/Products.php от 15.12.2010 г.

86. Песков, Б. Е. Условия возникновения и краткосрочный прогноз сильных шквалов. / Б.Е. Песков, Е. В. Васильев, А. А. Алексеева. / / Метеорология и гидрология. — 2009. — №1. — с. 5—15.

87. Koch, S. Е. The role of apparent mesoscale circulation in squall line initiation. / S. E. Koch. / / Monthly Weather Review. 1985. - Vol. 112. - pp. 2090-2111.

88. Weisman, M. L. Experiences with 0 36-h explicit convective forecasts with the WRF-ARW model. / M. L. Weisman. / / Weather and Forecasting, Vol. 23. 2008. - pp. 407-437.

89. Koch, S. E. Different WRF model physical parameterizations and their interactions on warm season MCS rainfall. / S. E. Koch. / / Weather and Forecasting. 2005. - Vol. 20. - pp. 1048-1060.

90. Монин, А.С., Обухов, A.M. Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы. / А. С. Монин. / / Труды Геофизического института АН СССР. 1954. - №20. - С. 163—187.

91. Hong, S. A new vertical diffusion package with an explicit treatment of entrainment processes. / S. Hong, Y. Noh, J. Dudhia. / / Monthly Weather Review. 2005. - Vol. 134. - pp. 2318-2341.

92. Janjic, I. Z. Nonsingular implementation of the Mellor-Yamada level 2.5 scheme in the NCEP mesomodel. / I. Z. Janjic. / / NCEP official note №437. 2001. - 61p.

93. Shapiro, R. Linear filtering. / R. Shapiro. / / Mathematics of computation. — 1975. Vol. 29. - pp. 1094-1097.

94. Shapiro, R. The use of linear filtering as a parameterization of atmospheric diffusion. / R. Shapiro. / / Journal of atmospheric science. — 1971. — Vol. 28. pp. 523-531.

95. Wakimoto, R. M. The life cycle of thunderstorm gust fronts as viewed with Doppler radar and rawinsonde data. / R. M. Wakimoto. / / Monthly Weather Review. 1982. - Vol. 110. - pp. 1060-1082.