Анализ и коррекция ошибок магнитных полей в токамаках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.13, кандидат физико-математических наук Мингалев, Борис Степанович

• Мингалев, Борис Степанович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мингалев, Борис Степанович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.АНАЛИЗ ОЖИДАЕМЫХ ОШИБОК

ПОЛОИДАЛЬНЫХ И ТОРОИДАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В

ТОКАМАКАХ

1 • 1 Введение

1.2 "Источники ожидаемых ошибок полоидальных и тороидальных магнитных полей в токамаке 1 -3 Вычисление магнитных полей. Алгоритм, методика, программная реализация (программный комплекс

РЩЖСОБЕ") 1-4 Гармонический анализ. Алгоритм, методика, программная реализация (программа "НАИМЛИ") 1-5 Результаты расчетов для ЭМС Международного термоядерного экспериментального реактора. ш,п ошибки поля для единичных отклонений. ш,п ошибки поля от суперпозиций отклонений 1-6 Выводы

ГЛАВА 2 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И

КОРРЕКЦИЯ ОЖИДАЕМЫХ ОШИБОК ПОЛЯ, ВЫЗЫВАЕМЫХ ОТКЛОНЕНИЯМИ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ И СБОРКЕ ПОЛОИДАЛЬНЫХ И ТОРОИДАЛЬНЫХ КАТУШЕК И СЕКЦИЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО СОЛЕНОИДА МЕЖДУНАРОДНОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РЕАКТОРА

2.1' Введение

2.2 Статистические распределения ожидаемых ошибок поля, возникающих от суперпозиции отклонений в поля, возникающих от суперпозиции отклонении в магнитных катушках Международного термоядерного экспериментального реактора

2-3 Статистическое распределение ожидаемых ошибок поля, вызываемых суперпозицией отклонений при изготовлении и установке полоидальных и "тороидальных катушек и секций центрального соленоида Международного термоядерного экспериментального реактора. Результаты расчетов

2.4 Фазовая структура ошибок поля отклонений в секциях центрального соленоида, в катушках полоидального и тороидального поля Международного термоядерного экспериментального реактора

2.5 Система корректирующих катушек Международного термоядерного экспериментального реактора

2.6 Выводы

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ И КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ПОЛЯ МЕЖДУНАРОДНОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РЕАКТОРА

3.1 Введение

3.2 Ошибки поля, создаваемые пятью различными модулями бланкета из ферромагнитного материала Международного термоядерного экспериментального реактора

3.3 Ошибки поля, создаваемые системой магнитного экранирования инжекторов нейтральных пучков экранирования инжекторов нейтральных пучков Международного термоядерного экспериментального реактора

3.4 Ошибки поля, создаваемые выводными концами и соединениями модулей центрального соленоида , полоидальных и тороидальных катушек "Международного термоядерного экспериментального реактора

3.5 Синтез системы корректирующих катушек Международного термоядерного экспериментального реактора

3.6 Выводы 163 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и коррекция ошибок магнитных полей в токамаках»

Реальные перспективы создания реактора управляемого термоядерного синтеза связаны с установками типа ТОКАМАК[1]. Накопленный опыт проектирования и эксплуатации электрофизических установок типа ТОКАМАК [2-5] позволил перейти к стадии инженерного проектирования Международного термоядерного экспериментального реактора (ИТЭР) [1,6]. Разработка проекта завершена, и на повестке дня стоит вопрос о строительстве ИТЭР. Сверхпроводящая электромагнитная система (ЭМС), создающая тороидальные и полоидальные магнитные поля, является основной и самой дорогостоящей во всей установке.

Математическое моделирование сложных физических процессов и инженерно-технических объектов позволяет не только глубже понять их природу, провести всестороннюю оптимизацию конструкции, но и существенно удешевить саму стадию научно-исследовательских и расчетно-конструкторских работ над проектом. Поэтому разработка соответствующих математических моделей, программного обеспечения, создание расчетных методик и алгоритмов для комплексного анализа с их помощью проблем проектирования электромагнитных систем, является актуальной задачей.

Физические процессы в плазме, связанные с малыми отклонениями полоидальных магнитных полей в токамаках от их идеального распределения, именуемые в дальнейшем ошибками магнитного поля, хорошо теоретически изучены. Теория экспериментально проверена на действующих токамаках. Оказалось, что существуют жесткие ограничения на допустимые величины ошибок поля в токамаках, превышение которых приводит к возбуждению так называемых запертых мод неустойчивости плазмы, ведущих к нарушению удержания энергии и частиц в плазме и срыву тока плазмы. Сравнение допустимых пределов на ошибки магнитного поля для действующих токамаков разных размеров показало необходимость ужесточения допустимых пределов на ошибки поля с увеличением размеров установки. В токамаках с геометрическими размерами масштаба ИТЭР необходима система коррекции асимметричных отклонений магнитных полей.

В диссертации приведен анализ возникновения асимметричных отклонений магнитных полей и их коррекции.

Источниками асимметричных отклонений магнитных полей могут быть:

1) геометрические отклонения при изготовлении и монтаже магнитных катушек в пределах принятых допусков (именуются в дальнейшем источниками ожидаемых ошибок поля),

2) присутствующие ферромагнитные элементы в реакторе-токамаке: тестовые модули блднкета, системы ферромагнитной экранировки инжекторов нейтралов от рассеянных полей ЭМС, ферромагнитные вставки для снижения уровня гофрировки тороидального магнитного поля,

3) система активной защиты инжекторов нейтралов.

4) система активной защиты инжекторов нейтралов от рассеянных полей ЭМС.

5) присущие магнитным катушкам выводные концы и соединения и другие элементы нерегулярности [1,7-19].

Источники ошибок поля, перечисленные под пуктами 2)—5), именуются в дальнейшем источниками систематических ошибок поля.

При анализе ожидаемых ошибок поля, связанных с технологическими отклонениями, используются статистические методы [7,8,10,12,16]. Суммарные ожидаемые остаточные ошибки поля ИТЭР в 2-3 раза превышают допустимый уровень [20]. Обоснование выбора геометрической конфигурации и электромагнитных параметров системы коррекции асимметричных отклонений магнитных полей ИТЭР приведено в диссертации. Актуальность проблемы обусловлена необходимостью выбора оптимального баланса между ужесточением (смягчением) допусков на изготовление полоидальных и тороидальных катушек, являющихся основным источником ошибок полей, и снижением (повышением) токов в системе корректирующих катушек.

Работа выполнена в соответствии с планами НИОКР:

Федеральная целевая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР' на 2002-2005 годы (Постановление Правительства РФ № 604 от 21 августа 2001п).

Федеральная целевая научно-техническая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку' на 1999-2001 годы (Постановление Правительства РФ № 1417 от 1 декабря 1998 г.).

Федеральная целевая научно-техническая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку' на 1996-1998 годы (Постановление

Правительства РФ № 1119 от 19 сентября 1996 г.).

Цель работы.

Диссертационная работа имеет следующие цели:

1) разработка математических моделей, создание расчетных методик и алгоритмов и реализующего их эффективного программного обеспечения, для комплексного анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;

2) разработка математических моделей, создание расчетных методик и алгоритмов и реализующего их эффективного программного обеспечения, для комплексного анализа систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;

3) разработка алгоритмов и программного обеспечения для гармонического анализа ожидаемых и систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака на равновесных рациональных поверхностях внутри плазменного шнура;

4) разработка алгоритмов и программного обеспечения для статистического анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;

5) проведение на базе предложенных методик многовариантных оптимизационных расчетов ошибок поля на основе принятой международной группой ИТЭР системы допусков электромагнитной систёмы,

6) проведение на базе предложенных методик многовариантных оптимизационных расчетов геометрических и электромагнитных параметров системы корректирующих катушек, для коррекции ожидаемых и систематических ошибок поля.

7) выдача рекомендаций по выбору токов системы коррекции ошибок поля токамака;

Научная новизна результатов, выносимых на защиту. На основе предложенной математической модели разработан расчетный инструмент — алгоритмы и реализующий их программный комплекс "PR.OR.CODE" [10,12,1416]. Задача создания комплекса и использование его для исследования электромагнитной системы ИТЭР распадается на несколько этадов:

• разработка алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования ожидаемых полей ошибок;

• разработка алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования систематических полей ошибок;

• разработка алгоритмов и программного обеспечения для гармонического анализа ожидаемых и систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака (программа "НА11МАЫ") [10];

• разработка алгоритмов и программного обеспечения для статистического . анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака (программа "МОССО")[ 12,16];

• разработка алгоритмов и программного обеспечения для расчета токов системы корректирующих катушек (программа "11ЕСиЬ")[14,15];

• исследованы ожидаемые и систематические ошибки поля от электромагнитной системы Международного термоядерного экспериментального реактора. Результаты получены с использованием комплекса программ "РЯОЯСООЯЕ'^Ю, 12,14-16];

• исследованы параметры системы корректирующих катушек ИТЭР с использованием разработанного комплекса программ "PR.OR.CODE".

Итак, на защиту выносятся разработанные математические модели, методика и алгоритмы и реализующии их комплекс программ "РЯОКСООЕ [10,12,14-16], для расчетов ожидаемых и систематических ошибок поля и компенсирующих полей от системы корректирующих катушек; результаты моделирования ожидаемых и систематических ошибок поля и компенсирующих полей от системы корректирующих катушек.

Практическая ценность работы. Проведенные в диссертации исследования и математическое обеспечение нашли применение при проектировании Международного термоядерного экспериментального реактора. На основе -развитых в работе методик разработаны вычислительные программы, позволяющие:

1) проводить расчеты ожидаемых и систематических ошибок магнитных полей токамака,

2) выполнять их гармонический анализ,

3) классифицировать выявленные источники ошибок магнитных полей по степени их значимости,

4) проводить статистический анализ суперпозиции ожидаемых ошибок магнитных полей от выявленного набора источников,

5) выбирать параметры системы коррекции ошибок поля токамака, позволяющие снизить ошибки поля до допустимого уровня,

6) результаты расчетов вошли в материалы технического проекта ИТЭР. Предложенный математический аппарат для анализа и коррекции ошибок поля и выполненные исследования позволили сформулировать технические требования к точности изготовления и сборки электромагнитной системы и определить параметры системы корректирующих катушек и их электропитания в ИТЭР.

Апробация работы. Положенные в основу диссертации результаты докладывались на совещаниях рабочих групп ИТЭР, семинарах НИИЭФА им. Д.В.Ефремова, ИАЭ им. И.В.Курчатова, ФТИ им. А.Ф.Иоффе, СПбГПУ, на Международной конференциии по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР, Санкт-Петербург, 2002 г.), на Симпозиуме по технологии синтеза (80РТ-20, Марсель,Франция, 1998 г.), на 24-ой конференции европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (ЕР8-24, Берсгаден, Германия, 1997 г.), на 19-м Симрозиуме по технологии ядерного синтеза (БЫТ-19, Ы8Ьоп,Ро111^а1,1996,(Ког1Н-Но11апс1)), на 5-ой Международной конференции по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), а также опубликованы в 24-х печатных работах [4,7-17,19,27-32,43-45,73].

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 165 машинописных листах, состоит из введения, трех глав и заключения, а также содержит 57 рисунков и 41 таблицу. Список цитируемой литературы состоит из 137 наименований.

Заключение диссертации по теме «Электрофизика, электрофизические установки», Мингалев, Борис Степанович

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен базовый комплекс математических моделей, описывающих ожидаемые и систематические ошибки поля электромагнитной системы токамака. .

2. На основе предложенных моделей разработан расчетный инструмент-синтезирующий алгоритм и реализующий его комплекс программ PR.OR.CODE.

3. На базе разработанных алгоритмов предложены методы расчета ожидаемых и систематических ошибок поля.

4. Проведен статистический анализ ожидаемых ошибок поля, вызываемых технологическими отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках. Исследована фазовая структура ожидаемых ошибок поля.

5. Численно исследована система корректирующих катушек, необходимых для коррекции ожидаемых ошибок поля, вызываемых технологическими отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках.

6. Проведен анализ ошибок поля, вызываемых пятью тестовыми модулями бланкета, в конструкции которых использовались ферромагнитные материалы.

7. Проведен анализ ошибок поля, вызываемых активной и пассивной (ферромагнитной) защитой инжекторов нейтралов.

8. Проведен анализ ошибок поля, вызываемых выводными концами и соединениями секций центрального соленоида, полоидальных и тороидальных катушек

9. Проведен численный расчет токов в системе корректирующих катушек, необходимый для коррекции ожидаемых и систематических полей ошибок. Показано, что максимальные токи в корректирующих катушках не превосходят проектного предела.

В заключение автор выражает благодарность за помощь и участие в выполнении работ по теме диссертации В.А.Белякова, Е.А.Ламзина и С.Е.Сычевского, автор благодарит их за стимулирование публикаций и полезные обсуждения.

Автор выражает благодарность за помощь при проведении расчетов Н.А. Максименковой.

Автор выражает благодарность Ю.В.Грибову и Н.И.Дойникову за инициативу проведения работ, послуживших основой диссертации, в рамках программы ИТЭР.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мингалев, Борис Степанович, 2004 год

1. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No 24, International Atomic Energy Agency, Vienna,2002.

2. Бондарчук Э.Н. и др. Электромагнитная система установки ТОКАМАК-15. Доклады 2-ой Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов, Июнь 23.-25,1981, Ленинград

3. Bondarchuk E.N. et. al. Tokamak-15 Electromagnetic System. Design and Test Results, Plasma Device and Operation, 1992,Vol.2,pp. 1-25

4. Aymar R, Glaudet G. et al. Conceptual design of a superconducting tokamak: Tore II Supra.IEEE Trans. Mag. 15-1, 1979, pp.542-545.

5. Aymar ROverview of the ITER Project, Presented at ICEC 16 Kitakyushu, May 1996

6. Sborchia C., Alekseev A., Gribov Yu., Doinikov N., Krasnov S., Mingalev B. et. al., "Analysis of Tolerances & Error Fields for the ITER Magnet System", Proceeding of 20th SOFT, Marseilles, (1998), General Atomics Report: GA-A22920, 1998

7. Belyakov V,Gribov Yu., Gerasimov S.,.,Mingalev B. et al., The ITER poloidal field, scenarios, error field and correction coils//24th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden,m*1. Germany, June 9-13,1997.

8. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Lamzin E, Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Analysis of ITER error field and correction coils, ITER, Final Report EDO, 2001-2, PR 254, Dec30, 2001.

9. Ю.Максименкова Н.А, Мингалев B.C. Гармонический анализ трехмерных магнитостатических полей ошибок магнитных систем токамака. Алгоритм прграммы "HARMAN" // Препринт НИИЭФА П-0970 М.:ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2002

10. Амосков B.M., Белов A.B., Беляков B.A., Кухтин В.П, Ламзин Е.А., Максименкова Н.А., Мингалев Б.С., Сычевский С.Е., Филатов О.Г.

11. Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы под ред. М.А. Леонтовича. М.: Госатомиздат,1967 Вып.5

12. Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. Равновесие и устойчивость плазмы в стеллараторах.//Вопросы теории плазмы под ред. Б.Б. Кадомцева. М.: Госатомиздат,1987 Вып. 15

13. Johnson J.L.,Oberman C.R., Kulsrud R.M., Frieman E.A.//Phis. fluids, 1958. Vol. 1 .P.281-296.

14. Monticello D.A., Dewar R.L., Furth H.P., Reiman A.//Phis. fluids, 1984. Vol.27. P.1248-1252.

15. Вабищевич П.Н., Дегтярев Л.М., Пошехонов Ю.Ю. и др. //Физика ' плазмы. 1983. Т.9. С.484-494.

16. Zakharov L.E., Goedbloed J.P.//Nucl. Fus.l980.Vol.20.P1515-1527.

17. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с учетом эффектов насыщения ферромагнетика//Журн.техн.физики.1977.Т.47,в.З.С.521-526.

18. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке при наличии ферромагнетика.-JL, 1975,17 с. (Препринт/НИИЭФА:Б-0236).

19. Bondarchuk E.N., Doinikov N.I., Mingalev В.S. Mathematical simulation of equilibrium plasma configuration and power supply operating conditions in tokamak-type devices//-Fusion Reactor Design Concepts, Vienna,1978, pp.455-460.

20. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С., Шмалько Г.И. Методика расчета полоидальных полей токамака,-Л., 1977,20 с. (Препринт/НИИЭФА: Б-0335).

21. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. К оптимизации системы полоидального поля токамака//ВАНТ,серия :Электрофизическая аппаратура.-М.:Атомиздат, 1978,вып.16.С.39-4б.

22. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. и др. Формирование полоидальных полей в установке Т-10М//Доклады конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Л.,28-30 июня 1977)-Л. :НИИЭФА, 1977,т. 1 ,с. 145-152.

23. Филатов О.Г. Об интегральном методе расчета равновесия плазмы в токамаке//Журн.техн.физики. 1981.Т.51 ,вып.6.С. 1289-1290.

24. Филатов О.Г. Задачи расчета систем формирования равновесных плазменных конфигураций в токамаке.-Л., 1982.-32с. (Обзор/НИИЭФА:ОБ-54).

25. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В. О возможном подходе к описанию трехмерного МГД равновесия скалярными уравнениями,-М., 1984,23с. (Препринт/Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша:32).

26. Textor, Technical Data I, Institute fur Plasmaphysik, Herausgeber: Ass. EURATOM-KFA, 1980.

27. I.I.Baturo, E.N.Bondarchuk, S.A.Bulgakov at al. Analysis of transient process in poloidal system during plasma current disruption. Report of NIIEFA, No.5, 1993.

28. I.I.Baturo, E.N.Bondarchuk, S.A.Bulgakov at al. Inductance matrix and effeciencies of final TEXTOR poloidal magnetic field system. Report of NIIEFA, No. 3, 1993.

29. E.N.Bondarchuk, N.I.Doinikov, V.V.Kokotkov. Stray fields during breakdown in case of real current distribution in vessel and liner. D.V.~Efrermov Scientific Research Institute of Electrophysical Apparatus,TEXTOR report No.4, 1992.

30. Дойников Н.И., Ламзин E.A., Мингалев Б.С., Сычевский С.Е. К расчету динамической индуктивности магнитных систем. Препринт НИИЭФА, П-0928-М.: ЦНИИатоминформ, 1994, Зс.

31. Цаун С. В. Математическое моделирование равновесия плазмы в токамаке с железным сердечником. Дисс. к.ф.-м. наук, Москва, 1990

32. Андреев В.Ф. Математическое моделирование развития разряда в токамаке с железным сердечником. Дисс. к.ф.-м. наук, Москва, 1986

33. Крылов В И Приближенное вычисление интегралов. М.: "Наука", 1967, 500с.

34. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: Из-во АН СССР, 1948.

35. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: ГТПТЛ, 1954, 620с.

36. Ландау Л .Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Из-во физико-математической литературы, 1959.

37. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.:Из-во иност.лит., 1961.

38. La Науе R.J., Fitzpatrick R., Hender Т.С.,Morris A.W., Scoville J.T., and Todd T.N.// "Critical error fields for locked mode instability in tokamaks", Phys.Fluids. 1992. B.4. p.2098.

39. J.T.Scoville, R.J. La Haye, A.G. Kellman, T.H. Osborne, R.D. Stambaugh, E.J. Strait, T.S, Taylor, Nucl. Fusion 31, 875 (1991).

40. Morris J.T., Carolan P.G., Hender T.C. and Todd T.N.// Phys. Fluids. 1992. B.4. P. 413.

41. Fishpool G.M., Campbell D.J., Fitzpatrick R., Haynes P.S. "A locked mode associated with low density in JET" //Proc.of IAEA Meeting on Avoidance and Control of Tokamak Disruption, Sept.10-12, 1991, p.84.

42. Fitzpatrick R. and Hender T.C.// "The interactions of resonant magnetic perturbations with rotating plasmas", Phys. Fluids B 3, p.644, 1991

43. La Haye R.J. "Physics of locked mode in ITER:error field limits, rotation for obviation, and measurement of error fields'Y/US Home Team Physics Contribution: General Atomics Report:GA-A22468, Feb., 1997.

44. Leuer J.A., Luxon J.L., Xu M.F., Antaya T.A.,Impact of PF and TF coil misalignment on toroidally asymmetrical plasma error fields in TPX//16th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, Sept.30-0ct.5, 1995.

45. Buttery R.J.et.al. Error field mode thresholds, harmonics and scaling studies . on JET and COMPASS-D, and implications for ITER//24th EPS Conferenceon Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden, Germany ,june,9-13,1997.

46. Leuer J.A.,La Haye R.J., Kellman A.G., Hamphreys D.A., Scoville J.T., Gribov Yu., Wesley J.C.,Buttery R., Hender T.C., Doinikov N.I. A systematic approach to error field.analysis in ITER General Atomic Report: GA-A22920, July,1998.

47. RJ.La Haye, "Limits on m=2, n=l error field induced locked mode instability in TPX with typical sources of poloidal field coil error fields and a prototype correction coils, C-Coil", General Atomic Report GA-A21167, 1992

48. OPERA/TOSCA Reference Manual, Vector Fields Limited, Oxford England, 1994

49. S.C. Jardin, "Updated TPX field error criterion", TPX Memo 93-950405-PPPL-SJardin-01, April,5, 1995, also, G.H. Neilson and S.C. Jardin, TPX General Requirements Document Engineering Change #37, March 31, 1995.

50. M. De Benedetti, "Plasma Interactions with Error Fields on JET and COMPASS-D", Proc. 25th EPS Conference, Prague, 1998.

51. Тихонов A.A., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректных задач. М.Наука, 1979, 288с.

52. Сычевский С Е Математическое обеспечение проектирования и расчеты пространственных полей электрофизических устройств, Дисс. . д. физ.-мат. наук, 1997

53. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.-М: ИЛ,1956

54. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969

55. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений,-М:Наука,1966

56. Мингалев Б.С. Аналитическое решение задачи о форме безмоментной секторной катушки тороидального соленоида. Л., 1979, 9с. (Препринт/НИИЭФА: П-Б-0420).

57. Лейтес Л.В. //Электричество. 1960. #11,С.76.

58. Pile J.,Mills R.G.,Sheffield G.V.//Priceton Plasa Phesics Laboratory Report " MATT-848,1971.

59. Шафранов В.Д.//Журнал технической физики. 1972.X, вып.9.С. 1785.

60. Gralnick S.L., Tenney F.H.//Appl.Phys.l976.47,No.6.P.2710.

61. Moses R.W.Jr and Young W.C.//Proceeding of the Sixth Symposium on Engineering Problems of Fusion Research, San Diego.Cal.,1975,p.917.

62. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М: Изд. МГУ, 1987.

63. Седов JI.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983, 528с.81.- Днестровский Ю.Н, Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. (Компьютеры в физике). Физматлит, 1993, 336с.

64. Кулон Ж.-Д., Сабоннадьер Ж.К САПР в электротехнике: М.: Мир, 1988.

65. Дойников Н.И. Математическое моделирование магнитных полей электрофизических устройств. Дисс. д. физ.-мат. наук, JI, 1980.

66. Ворожцов С.Б. Численное моделирование магнитной системы и динамики частиц в ускорителях с пространственной вариацией магнитного поля. Дисс. д.физ.-мат. наук, Дубна, 1986.

67. Акишин П.Г. Численное моделирование магнитостатических полей на ЭВМ. Дисс. д. физ.-мат. наук, Дубна, 1993.

68. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики.М.: Наука, 1985, 336с.

69. Жидков Е.П., Пузынин И.В ЖВМиМФ, 1967, т.7, с.1086.

70. Кнеппо П., Титомир Л.И. Биомагнитные измерения. М.:Энергоатомиздат, 1989,288с.

71. Gear C.W. Numerical solution of ordinary differential equations: is there anything left to do? p. 10-24, 1980.91. .Толмачев С.Т. Численное моделирование гистерезиса ферромагнетиков. Изв.АН СССР, Энергетика и транспорт, 1984, N2, с. 128-138.

72. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. ЖВМиМФ, 1978, т. 18, N2, с.458-467.

73. Акишин П.Г. Об одной комбинированной постановке задачи магнитостатики. ОИЯИ, PI 1-91-577, Дубна, 1991.

74. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. Пер. с франц./Под ред. К.С.Шифрина. М.: Наука, 1964.

75. Брунов Й.Я., Гольденберг JI.M., Кряцкин И.Г., Цейтлин Л.А.Теория электромагнитного поля М.: Госэнергоиздат, 1962.

76. Дмитриев В.И., Березина Н.И. Численные методы решения задач синтеза излучающих систем. М: Изд.МГУ, 1987.

77. Дмитриев В.И., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики. Успехи математических наук, 1976, т. XXII, вып.6.

78. Титков В.В. Теоретические и численные исследования прочности и разрушения соленоидов сильного и сверхсильного импульсного магнитного поля. Дисс. д. т. наук, С.Петербург, 1996 г

79. Дайковский А.Г. Дисс. д. физ.-мат. наук. Протвино, 1985 г.

80. Дайковский А.Г. Ершов С.Ю. Португалов Ю.И. Рябов А.Д. Объединение методов потенциала и конечных элементов для решения нелинейных задач магнитостатики. ИФВЭ, 81 -80 ОМВТ 1981.

81. Карпова JT.M., Титков В.В., Шнеерсон Г.А. Вихревые токи в неоднородных средах и проблема снижения джоулева нагрева в сильном импульсном магнитном поле. Изв. АН СССР, сер. "Энергетика и транспорт", 1988, N.3, с. 122-127

82. Дойников Н.И. Результаты математического моделирования полей и оптимизация параметров магнитных систем. Обзор ОБ-42, Л.: НИИЭФА, 1981,67с.

83. Ильин В.П., Урванцев А.Л Пакет прикладных программ расчета магнитных полей методом конечных элементов. Тезисы докладов 6-го Всес. семинара по электронной оптике. Рязань, 1978.

84. Дойников Н.И. Постановка задач численного анализа полей нелинейных магнитных систем. Обзор ОБ-8. Л.: НИИЭФА, 1976, 134с.

85. Simkin J. Recent Development in Field and Force Computation. J. de Physique, c.l, N1, Vol.45, 1984, p.851.

86. Jacobs A., Muller W. Numerical solution of forcesand torques. IEEE Trans, on Magn., November 1983 (Compumag Conférence).

87. Акишин П.Г., Жидков Е.П. О существовании решения дискретизированных задач магнитостатики. ОИЯИ Р11-81-826, Дубна, 1981.

88. Акишин П.Г., Жидков Е.П. О единственности решения дискретизированных задач магнитостатики. ОИЯИ Р11-83-427, Дубна, 1983.

89. Winslow A.M. Numerical Solution of the Poisson Equation in a Non-Uniform Triangle Mesh. UCRL 7784-T, 1964.

90. Тозони O.B. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Техника, Киев, 1974.

91. Тозони О.В., Майергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Техника. 1974.

92. Akishin P.G., Vorozhtsov S.B., Zhidkov Е.Р. Calculation of the magnetic field of the isochronous cyclotron sector magnet by the integral equations method. Proc. of COMPUMAG Conf., Grenoble, 1978.

93. Жидков Е.П. и др. О формировании однородного магнитного поля на инжекторном участке ЛИУ-30. ОИЯИ Р9-88-508, Дубна, 1988.

94. Жидков Е.П. и др. Расчет стационарного магнитного поля многосекционной системы линейного индукционного ускорителя. ЖТФ Т.57, N3, 1987, с.483-488.

95. Урванцев А.Л. Численное решение нелинейных магнитостатических задач методом конечных элементов. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1981.

96. Абрамов А.Г. и др. Реализация объединенного метода потенциалов и конечных элементов для решения задач магнитостатики. Серпухов, 1982, 13. (Препринт ИФВЭ: 82-87, ОМВТ)

97. Горловой М.В., Дайковский А.Г., Ершов С.Ю. и. др. В кн. Тр. 5 Всесоюзн. семинара "Программа экспериментальных исследований на московской мезонной фабрике ИЯИ АН СССР". Звенигород, апрель 1982, М.: изд. ИЯИ АН СССР, 1987, с.117-124.

98. Демирчян К.С. и др. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ для расчета двумерных электростатических и магнитных полей. Изв. АН СССР, N1, 1974.

99. Ламзин Е.А. Разработка алгоритма численного моделирования и расчет трехмерных магнитостатических полей в электрофизических устройствах. Дисс. .канд. технических наук, Л., 1988.

100. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

101. Zienkiewicz О.С. The finite element method in engineering sciences. McGraw-Hill, London, 1971.

102. Allan J.J. Foundations of many manifestations of CAD.Proceedings of IFIP Working Conference on Principles of CAD,Eindhoven, pp.25-58 (Oct. 1972).

103. Nau D.S.Expert computer systems. IEEE Computer, pp.63-85, February, 1983.

104. Фаддеев Д.К., Фадцеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JI.; Физматгиз, 1963, 734с. /

105. Simkin J., Trowbridge C.W. Three dimensional computer program (TOSCA) for non-linear static electromagnetic fields. Rutherford Lab., Oxon UK (User's manual).

106. Armstrong A.G., Biddlecombe C.S.The PE2D package for transient eddy current anallysis. IEEE trans MAG,Vol. 18, N2, March 1981.

107. M.J.Newman, C.W.Trowbridge, L.R.Turner."GFUN : An Interactive Program as an Aid to magnet Design".Proc. 4th Conf. Magn. Technol., Brookhaven National Lab., Brookhaven, NY,pp.617-626, 1972.

108. Manual de Reference. Laboratorie d'Electrotechnique, ENSIEG, BP46, 38402, St-Martin-d'Heres.

109. Polak, De Beer, Wachters, Van Velij.Maggy2 and Paddy program packages for two and three dimensional magnetostatic problems. Conf. COMPUMAG, Grenoble, 1978.

110. Silvester P. MAGNET 78: User's manual. Mac Gill University, Montreal, 1978.

111. Theron M. L'algebre des solides at la CFAO en mecanique — un exemple: le systeme EUCLID. MICAD84, Hermes, 1984.

112. Bernard F. CATIA: du dessin au volume, de la cinematique aux calcul scientificques, de la commande numerique de CFAO pour la mecanique. MICAD84, HERMES, 1984.

113. Trowbridge C.W. Progress in Magnet Design by Computer. Proc.4th Int. Conf. on Magnet Techn., Brookhaven, USA, 1972

114. Титков B.B. О предельной величине индукции импульсного магнитного поля, многократно генерируемого в толстостенных одновитковых соленоидах ЖТФ, 1989, Т.59, в.9, с.72-77 1