Управление полоидальными магнитными полями в термоядерных установках типа токамак тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.13, доктор физико-математических наук Беляков, Валерий Аркадьевич

• Беляков, Валерий Аркадьевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Беляков, Валерий Аркадьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПЛАЗМОЙ В ТОКАМАКАХ.

1.1. Общие положения.

1.2. Динамическая модель для радиального движения плазмы.

1.3. Построение линейных моделей для управления формой, положением и током плазмы в токамаке.

1.3.1 Линеаризация базовых равновесий.

1.3.2 Вычисление коэффициентов матриц в линейных моделях.

1.3.3 Область применимости линейных моделей.

1.3.4 Сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей.

1.4 Математические методы управления током, положением и формой плазмы.

1.4.1 Общая постановка задач аналитического оптимального синтеза.

1.4.2 Задача LQG-оптимального синтеза.

1.4.3 Оптимальный синтез по нормам пространств Н2 и Яф.

1.4.4 Параметрический синтез ПД-регуляторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление полоидальными магнитными полями в термоядерных установках типа токамак»

За прошедшие годы был достигнут впечатляющий прогресс в понимании физических явлений, ответственных за удержание и устойчивость плазмы в токама-ках. Разработаны эффективные методы управления, нагрева и диагностики плазмы, позволившие изучить в нынешних экспериментальных установках те плазменные режимы, которые будут использоваться в термоядерных реакторах. Последние крупные экспериментальные машины - JET (Европа) [1], JT 60-U (Япония) [2], ASDEX-Up (Германия) [3], TFTR (США)[4] и Т-15 (Россия) [5] -были построены в начале 80-х годов для изучения удержания плазмы с термоядерными параметрами и получения условий, при которых нагрев плазмы сравним с полным выходом термоядерной мощности. Для исследования условий нагрева плазмы с помощью адиабатического сжатия в эти же годы был построен токамак Туман-3 [6]. Следует отметить и поколение токамаков, значительное место в программе которых отводилось исследованию вопросов управления параметрами вытянутой по вертикали плазмы в режимах с полоидальным дивер-тором. К ним относятся токамаки DIII-D (США) [7], TCV (Швейцария) [8], ТВД (Россия) [9], проекты токамаков ИФТ [10], Т10С [11] и Т-15М [12] в России. Позднее широкое развитие получила программа токамаков с малым аспекто-вым отношением, или так называемых сферических токамаков. В конце 90-х годов были проведены успешные эксперименты на установке START [13] в Англии, и затем построена серия сферических токамаков NSTX (США) [14], MAST (Англия) [15] и Глобус-М (Россия) [16]. Высокий интерес к сферическим токамакам был обусловлен ожиданием новых физических явлений в плазме. Всерьез рассматривается и перспектива их использования в качестве объемных нейтронных источников [17, 18] для проведения радиационных испытаний макетов компонент будущих термоядерных энергетических установок. В нескольких экспериментах на токамаках TFTR и JET была использована дейтерий-тритиевая смесь. В этих экспериментах был получен выход термоядерной мощности соответственно 11 и 16 МВт. В экспериментах с дейтерий-тритиевой смесью на токамаке JET получен режим с отношением термоядерной мощности к мощности нагрева плазмы, Q = 0,9, а на токамаке JT 60-U на модельной дей-терий-дейтериевой смеси достигнуто Q = 1,25. Это поколение токамаков практически выполнило свои задачи и создало все необходимые условия для следующего шага - строительства установок, нацеленных на исследование зажигания, Q > 5, и уже обладающих всеми чертами будущего реактора. Одновременно с развитием экспериментальных работ велась комплексная проработка национальных проектов термоядерных реакторов. Отметим одни из последних проектов - FER (Япония) [19], TIBER (США) [20], NET (Европа) [21] и OTP (СССР) [22]. С 1985 года начались совместные работы ученых США, Японии, Европы и СССР над проектом ИТЭР (Международный экспериментальный термоядерный реактор). Важным этапом в развитии этих работ было завершение в 2001 году технического (инженерного) проекта ИТЭР. В результате впервые в человеческой практике удалось создать реальный проект квазистационарного термоядерного устройства с расчетной тепловой мощностью около 500 мегаватт [23].

Одним из ключевых направлений, определившим успех работ по управляемому термоядерному синтезу, является создание эффективных систем управления плазменными процессами [24, 25]. Необходимость в проведении физических и инженерных исследований этой проблемы обусловлена потребностью экспериментаторов в достижении параметров разряда тока в плазме, близких к предельным значениям. Особое значение качество управления плазмой приобретает в крупных экспериментальных и реакторных установках с высоким энергосодержанием плазмы, где нарушение режима разряда может приводить к значительному снижению ресурса и повреждению энергонапряженных элементов установки. Разработка и исследование систем управления плазменными процессами в экспериментальных и реакторных установках токамак включает в себя решение четырех важнейших проблем [26]:

1. Разработка программных сценариев для различных фаз развития разряда: заведение тока в катушки полоидального магнитного поля, инициация плазмы, подъем тока плазмы, образование диверторной конфигурации, дополнительный нагрев, зажигание темоядерной реакции и поддержание ее горения, снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции, вывод тока из по-лоидальной магнитной системы и подготовка к следующему циклу разряда.

2. Управление магнитной конфигурацией плазмы: управление током плазмы, интегральными параметрами плазмы (Rp, ар, к, S), магнитной конфигурацией основной плазмы (например, выбранными зазорами между границей плазмы и первой стенкой) и магнитной конфигурацией диверторной области (положение х-точки, положение ветвей сепаратрисы в диверторных каналах и точек их касания на диверторной мишени). Сюда же необходимо отнести и системы коррекции ошибок поля, нарушающих осесимметричность магнитной системы.

3. "Кинетическое" управление и управление параметрами диверторной системы: управление поведением основной плазмы (плотность и мощность термоядерной реакции, содержание примесей и доля излучаемой мощности, инжекция примесей в основную плазму) и управление диверторной плазмой (откачка, подача газа в дивертор и инжекция примесей, оптимизация магнитной конфигурации с целью улучшения характеристик дивертора).

4. Быстрое гашение плазмы: снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции с помощью инжекции примесей или водорода.

Деление задач управления на эти четыре категории отражает естественное разделение этих категорий и иерархическую сущность соответствующих концепций управления. Высшее положение в этой иерархии занимает разработка программных сценариев для различных фаз развития разряда. Управление магнитной конфигурацией плазмы является следующей ступенью в этой иерархической лестнице, поскольку оно должно быть адаптировано к той последовательности событий, которое определяется общим сценарием. Для управления магнитной конфигурацией плазмы уже достаточно данных магнитных измерений, и не обязательно иметь сведения о кинетическом состоянии плазмы. И тем более независимой задачей является вопрос о гашении разряда. Первые две категории задач относятся к проблеме создания систем управления полоидальными магнитными полями в токамаках и могут рассматриваться как самостоятельное научное направление в создании термоядерных установок то-камак [27]. В диссертации рассмотрены все ключевые моменты решения этой проблемы создания систем управления с обратной связью полоидальными магнитными полями в токамаках (Вопросы программного управления на основной фазе разряда тока плазмы выходят за рамки диссертации).

Общие проблемы, усложняющие создание высокоэффективной системы управления положением, током и формой плазменного шнура в установках токамак, заключаются в необходимости учета многих факторов. К ним относятся быстрые изменения параметров плазменного шнура (Ip, Rp, /„ f3p), влияние наведенных токов в окружающих плазму конструкциях сложной конфигурации, взаимная связь всех контуров (плазменного шнура, катушек, наведенных токов в пассивных структурах) при большой мощности (десятки мегаватт), требуемой для управления. Решение задачи оптимизации управления с обратной связью возможно лишь при наличии математической модели плазменного шнура, позволяющей достаточно точно описать его поведение в реальных условиях и реакцию на появляющиеся возмущения и на управляющее воздействие. На сегодняшний день один из наиболее распространенных путей анализа и построения системы управления плазмой в токамаках состоит из следующих шагов: - получение набора статических равновесий плазмы (базовых), описывающих развитие плазменного шнура для заданного сценария эволюции физических параметров плазмы (как правило, это интегральные параметры: 1Р, Rp> Qp> bp, If, ftp, y^res) i

- создание для выбранных базовых равновесий линейных моделей, описывающих эволюцию положения, формы и тока плазменного шнура в окрестности базового равновесия;

- на базе линейных моделей синтез алгоритмов управления плазмой с обратной связью (выбор регуляторов);

- нелинейное моделирование сценариев развития разряда тока плазмы с учетом программного управления и синтезированных регуляторов в цепи обратной связи. Для этого анализа используются коды, описывающие поведение плазменных параметров наиболее полно;

- по результатам исследований возможна коррекция как программного управления, так и управления с обратной связью.

Следует сказать, что линейные модели позволяют:

- провести анализ пассивной стабилизации плазмы, что особенно важно для вертикально неустойчивых плазменных конфигураций;

- определить требования к источникам питания активных катушек управления полоидальными полями по быстродействию и мощности;

- синтезировать регуляторы, которые обеспечивают стабилизацию плазменного шнура с обратными связями. На сегодняшний день теория синтеза различных регуляторов наиболее развита для линейных моделей объекта управления.

Отметим, что эта методика является общепринятой при создании систем управления положением, формой и током плазмы экспериментальных установок типа токамак. Она же была принята и для анализа различных аспектов управления для экспериментального термоядерного реактора ИТЭР.

На крупнейшем европейском токамаке JET система управления током и формой плазмы строится на базе моделей, основанных на линеаризации уравнения равновесия плазмы и электротехнических уравнений [28]. В качестве базовых берутся нелинейное уравнение, в общем виде описывающее равновесие плазмы как:

X=X(lJlp,(Jp,l,%J (B.l) где X - вектор параметров формы плазмы, /с - вектор, содержащий все токи в полоидальных катушках, 1Р - ток плазмы, Д, - параметры, описывающие профиль тока плазмы, ¥-го„ - поток через железный сердечник токамака, и нелинейное уравнение для описания динамики токов: d dt

В.2)

Здесь М - матрица индуктивностей, R - матрица сопротивлений, I=[IP, IJ, V-[0, Vc], и Vc - вектор напряжений, прикладываемых к полоидальным катушкам.

Отметим, что матрица М не постоянная и зависит от ряда параметров. Уравнения (В.1) и (В.2) линеаризуются [29, 30] относительно базового равновесия и в результате для анализа системы управления используются следующие уравнения:

Ms Ie+RcIc = Vc + f(A,ln%ron)

Ip5X = Bsac+IpG

Я,

Яр - J—Mpc Slc Lp

B.3) (B.4)

B.5) где Ms, Rc, Bs, G, MpC — известные постоянные матрицы, a f(/?p, , ) - возмущающая функция от заданных параметров.

С помощью уравнений (В.З), (В.4) и (В.5) для управления в реальном времени параметрами формы X и током плазмы строится развязывающий регулятор в виде [31]:

X' X ref

J р. Jref + DIc,

В.6) где Vc - вектор напряжений на источниках питания полоидальных катушек,

К - матрица регулятора, D -матрица, используемая для компенсации сопротивлений полоидальных катушек.

Отметим, что в качестве контролируемых переменных формы в экспериментах обычно используются 4 параметра: внешний радиус сепаратрисы, верхняя точка сепаратрисы, положение внутренней ветви сепаратрисы в диверторе, положение внешней ветви сепаратрисы в диверторе. Эксперименты на токамаке JET показали эффективность и робастность разработанной системы управления. Единственным ограничением системы по точности является восстановление параметров формы по магнитным измерениям. Используемый для этой цели Xloc алгоритм (на базе тейлоровского разложения функции полоидального потока) обеспечивает ошибку измерений порядка нескольких сантиметров в зависимости от разряда.

Модель для анализа системы управления положением, током и формой плазмы для токамака ASDEX-Up разбивается на две части: статическую и динамическую [32]. Статическая часть описывается, используя подход функциональной параметризации [33, 34], как:

F - с + ЪТ1 + ITaI (В.7) где вектор I включает: токи в полоидальных катушках и параметры Д и /,•; У -любой параметр формы; коэффициенты а, Ь, с получаются с помощью квадратичной регрессии из базы данных равновесия плазмы.

Динамическая часть модели представлена электротехническими уравнениями для токовых контуров и уравнением баланса радиальных сил, действующих на плазму [35, 36]: d rr т дч/ л и т

-<v + —г)+ *,/ = « (В8)

Fjl + Frr = О

ЗУ где L,, R, - матрицы индуктивностей и сопротивлений,--производная подг тока магнитного поля на контуре. F, - вектор-строка усредненных по плазме полей от токовых контуров, Fr - усредненный градиент давления плазмы.

Для анализа системы управления формой наведенными токами в пассивных контурах пренебрегают, так как их постоянные времени (~5 мс) много меньше, чем масштаб времен для управления формой. После линеаризации базовых уравнений и, учитывая обратные связи для токов в катушках полоидального магнитного поля, для радиального движения и тока плазмы, можно записать следующие линейные уравнения: i=Ai+Bu у = Ci + Du

Входной вектор и представляет собой программные значения токов в катушках, программу радиального движения плазмы и тока плазмы. В него же входят параметры Д, /,. Коэффициенты динамической части модели (матрицы А, В) извлекают из экспериментальных измерений, чтобы повысить адекватность модели.

Для управления параметрами формы в реальном времени на токамаке ASDEX на базе метода расположения [37] был реализован регулятор с PI - структурой (пропорционально интегральный), который позволяет стабилизировать положение ветвей сепаратрисы в диверторе с точностью ~ 1 см. Наиболее полное исследование моделей для системы управления положением и формой плазмы было проведено на токамаке DIII-D. Последние результаты по управлению плазмой были получены на основе модели минимального отклика плазмы [38]. Суть ее заключается в уравнении для динамики токов в контурах:

Mss + XJ^ + RJS + {Msp +Xsp)^ + Xs/)^ + Xsl ^ = (B.10) где Xss - вариация потока на проводнике, вызванного смещением плазмы при изменении тока этого проводника, Xsp - вариация потока на проводнике, вызванного смещением плазмы при изменении тока плазмы, Msp - матрица взаимных индуктивностей плазмы с контуром, Хф Xsl - вариация потока на проводнике, вызванного смещением плазмы при изменении параметров Д, lh Rs, - матрица сопротивлений.

К этому уравнению добавляется электротехническое уравнение для тока плазмы и уравнения наблюдения для контролируемых параметров формы. Отметим, что в качестве контролируемых параметров формы выступают значения потока в выбранных точках границы плазмы и положение х-точки (Rx, Zx). Согласно алгоритму управления поток через выбранные точки должен быть одинаковым и равным потоку в х-точке. Этот метод ("isoflux" control [39]) успешно применяется в различных режимах токамака. Важным является тот факт, что для определения потоков в контрольных точках используется достаточно быстрый алгоритм восстановления равновесия плазмы по магнитным измерениям в реальном времени [39], что позволяет обеспечивать высокую точность значений потока в окрестности границы плазмы. На базе линейной модели был синтезирован На, регулятор для управления формой плазмы, который использует как входы потоковые ошибки, положение х-точки и токи в полоидальных катушках [40, 41]. Эксперименты с этим регулятором показали его эффективность и ро-бастность, особенно для стабилизации положения х-точки.

Стадия инициации плазмы является начальной частью сценария разряда плазмы в токамаке и включает в себя две основные фазы: формирование условий пробоя плазмы и первоначальный подъем тока плазмы до уровня, когда начинают формироваться замкнутые магнитные поверхности. При проектировании токамаков по ряду причин анализу начальной стадии пробоя плазмы уделяется особое внимание. На этой стадии режима работы токамака предъявляются повышенные требования к параметрам источников питания катушек полоидаль-ного поля. Необходимые условия пробоя по величинам вихревых электрических и рассеянных магнитных полей в зоне инициации плазменного шнура в момент разряда плазмы, как правило, определяют предельно возможные режимы работы источников питания полоидальной системы. Наиболее полный анализ этой стадии программного управления был выполнен для токамака ИТЭР и описан в главе 4 диссертации. Кроме того, на стадии инициации плазменного шнура в токамаках существует проблема преодоления ионизационного и радиационного барьеров, особенно, в присутствии примесей в плазме. Описание транспортных моделей для этой стадии можно найти в работах М. Fontanesi и др. [42] и В. Lloyd [43]. Всё это выделяет начальную стадию инициации плазмы в отдельное направление исследований проблемы управления полоидальной магнитной системой.

Малые отклонения полоидальных магнитных полей от идеальной осесиммет-ричности с амплитудами Bm n/Bt0 < 1СГ4 (которые в дальнейшем будут упоминаться, как ошибки поля) могут привести в токамаке к возбуждению так называемых запертых мод (то есть не вращающихся) с низкими значениями тип [44-49]. Здесь тип представляют собой соответственно числа оборотов силовой магнитной линии вокруг главной оси установки (в тороидальном направлении) и магнитной оси (в полоидальном направлении). Величины Втп являются амплитудами гармоник нормальной компоненты возмущения магнитного поля на равновесных рациональных магнитных поверхностях, где (т,п) принимает значения (1,1), (2,1), (3,1), и Bt0- величина тороидального магнитного поля на оси плазменного шнура. Сами по себе возникшие моды являются резистивными разрывными модами. Физика роста мод, их замедления и остановки подчиняется теории резистивной магнитной гидродинамики. Основным физическим механизмом, отвечающим за возникновение запертых мод, является эффект торможения (диссипации) тороидального вращения из-за полей ошибок магнитного поля, выражающийся в замедлении и, в конце концов, остановке вращения МГД мод на рациональных поверхностях q = т/п. При развитии такой моды ее амплитуда растет, и в результате насыщения с высокой амплитудой эта мода может привести к деградации удержания энергии и частиц в плазме или к немедленному срыву тока плазмы. Насыщение запертых мод в ранней стадии развития разряда может быть причиной срыва тока плазмы и в последующих стадиях разряда, когда возникают изменения в состоянии плазмы (например, нагрев, близость к пределу по /?и другие). В любом случае, запертые моды могут создавать значительные ограничения в достижении параметров разряда, характерных для современных токамаков. Недавние систематические исследования возникновения и развития запертых мод в омических разрядах на существующих токамаках: COMPASS-C (COMPASS-D) [45], DIII-D [46], JET [47] и теоретические оценки замедления вращения из-за полей ошибок магнитного поля привели к полуэмпирическому пониманию требований к уровню этих ошибок и необходимости их коррекции. Поскольку чувствительность в возникновении запертых мод из-за ошибок поля, как предполагается, возрастает с размерами (большой радиус токамака) и, возможно, с тороидальным полем, то для больших токамаков-реакторов эта проблема может оказаться гораздо более серьезной, чем для существующих экспериментальных установок [50-53]. Определение допустимых полей ошибок и стратегии развития плазмы на стадии подъема тока, чтобы избежать возникновения и развития запертых мод являются, следовательно, важнейшими проблемами для ИТЭР и будущих реакторных установок, основанных на концепции токамак. В экспериментальном реакторе ИТЭР успешное решение этой проблемы может быть достигнуто только при одновременном выполнении следующих условий:

- достижение высоких точностей при изготовлении и сборке сверхпроводниковой магнитной системы;

- учет дополнительных факторов, приводящих к нарушению осесимметрич-ности структуры полоидального магнитного поля;

- введение системы корректирующих катушек для подавления ошибок магнитного поля до необходимого уровня.

В соответствии с оценками, полученными из экспериментальных данных и их экстраполяции к параметрам ИТЭР комбинация мод (т,п) = (1,1), (2,1), (3,1) нормальной компоненты Вт,„ ошибок поля на рациональной магнитной поверхности q = т/п = 2 должна удовлетворять определенному критерию [53]. Усредненная в квадратичном смысле амплитуда трех первых гармоник не должна превосходить некоторого верхнего предела 5 • 1СГ5 • Bt0:

B,-modе = ■(Bll)2 +W2l -(B2 l)2 +JV2l -(B3 ])2 < 5 • 10■"5 • Btо, (В. 11) здесь Bt0 - тороидальное магнитное поле на оси плазменного шнура, весовые коэффициенты соответственно равны: Wu=0.2, W2]= 1.0, W3J=0.8 . Таким образом, полученный критерий накладывает серьезные ограничения на (т,п) ошибки поля в установке ИТЭР. Наименьшие гармоники ошибок поля и особенно (т,п) = (2,1) представляют особую опасность при работе в режиме с низким значением запаса устойчивости q. Омический режим, дейтериевая плазма q95 =3.4; h х а2 /1 = 0.2 х10м м' MA 1

Скейлинг для мод: , m, п = 1,1 2,1 & 3,1 COMPASS-C

Проект ИТЭР LMT

Предел для мод: m = 1+2+3, п = 1 m,n = 2,1

8 m 10.0

Большой радиус, Ro (m)

Рис. В.1 Предельно допустимые значения (m,n) ошибок поля (LMT скейлинг [51, 52]), полученные из экспериментальных данных на установках COMPASS-С, DIII-D и JET и их интерполяция на размеры ИТЭР: - сплошная линия - LMT для моды (т,п) = (2,1) пунктирная линия - LMT для усредненных в квадратичном смысле амплитуд трех первых гармоник

На рис. В.1 сплошная линия показывает оценки предельно допустимых значений величины (2,1) поля ошибок для различных установок без учета влияния остальных гармоник. Интерполяция на размеры ИТЭР дает В2 [ /В10 < 2.5 х Ю~5 = 2.5 отн.ед. (относительные единицы), где В10=5.3 Тл. тороидальное магнитное поле на радиусе 6.2 м, соответствующем оси плазменного шнура. Хотя обычно мода (2,1) ошибок поля наиболее опасна, эксперименты показали, что необходим также учет и других низших гармоник (1,1) и (3,1) на поверхности q = 2. Допустимые значения (т,п) ошибок поля должны удовлетворять критерию (В.11), полученному на DIII-D обобщением экспериментальных данных. Эта зависимость получила название LMT скейлинг.

Одним из основных параметров, подлежащих регистрации в течение разряда, является положение границы плазменного шнура относительно вакуумной камеры. В токамаках, где равновесие достигается с помощью обратных связей по смещению шнура, надёжное и быстрое измерение этого параметра играет особенно важную роль. Традиционным способом является вычисление положения шнура на основе измерения полоидальных магнитных полей вне плазмы с помощью датчиков электромагнитной диагностики. При разработке диагностических систем, основанных на магнитных измерениях, необходимо решить ряд принципиальных проблем. Первая из них относится к адаптации датчиков магнитной диагностики к конструкции и условиям работы в установке. Следующая проблема состоит в разработке алгоритмов реконструкции положения и формы магнитной поверхности, принимаемой за границу плазмы. При этом требования по точности и быстродействию этих алгоритмов в значительной степени определяются как их назначением (информационные системы, системы управления с обратными связями и др.), так и постоянными времени изменения параметров плазмы. По сравнению с экспериментальными установками в нейтронных источниках, основанных на концепции токамак (см., например, [17]), и в экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР [54] размещение датчиков магнитной диагностики в непосредственной близости от плазмы вызывает значительные трудности. Кроме этого они работают в условиях мощных нейтронных потоков. Это накладывает дополнительные ограничения на выбор числа датчиков, их расположение и конструкцию и требует учета различных наведенных радиационных эффектов [55]. В свою очередь применимость алгоритмов реконструкции формы плазмы должна быть также верифицирована для этих условий.

В ранних работах наибольшее развитие получили методы измерений, основанные на теории равновесия тороидального плазменного витка во внешнем магнитном поле [56]. Необходимый минимальный объём измерении обеспечивается следующим набором датчиков: секторная или полная петля для измерения потока магнитного поля через сечение плазмы, пояс Роговского для измерения тока разряда и пара магнитных зондов для измерения касательной составляющей полоидального магнитного поля (например, TFR-600 [57]). На токамаках CLEO [58] и TFTR [59] вместо магнитных зондов были применены пояса Роговского с косинусным законом намотки для измерения радиального движения и синусным для вертикального движения.

Уравнение Грэда-Шафранова, полученное в работах [60-62], является теоретическим фундаментом большинства современных методов магнитной диагностики плазмы в токамаках. Основные результаты теории МГД равновесия плазмы во внешнем поле изложены в известных обзорах и монографиях [56, 62-72]. Теоретические основы методов магнитной диагностики изложены в работах В.Д.Шафранова и Л.Е.Захарова [73-75], где были впервые получены интегральные соотношения для моментов плотности тороидального тока. Этот метод основан на измерении подробного распределения полоидального магнитного поля на выделенном контуре вокруг плазмы. Для его реализации необходима установка большого числа магнитных зондов для измерения нормальной и касательной составляющих магнитного поля [76]. Основная трудность этого метода заключается в необходимости обеспечить помехозащищённость большого количества зондов и в сложности алгоритма вычислений. Сравнительно быстро был математически сформулирован и практически реализован в виде программных кодов весьма широкий спектр методов магнитной диагностики плазмы в токамаках [77, 78]. С тех пор развитие методов магнитной диагностики плазмы идет в основном в направлении их оптимизации по точности и скорости вычислений. Задачи магнитной диагностики относятся к числу так называемых некорректных обратных задач математической физики [79, 80], что существенно усложняет организацию вычислительного процесса и требует применения регуляризирующей процедуры. Большинство методов магнитной диагностики основываются на некотором априорном параметрическом представлении потоковой функции плазмы и различаются лишь формой такого представления. Параметры каждого конкретного представления находятся путем минимизации невязки между измеряемыми и вычисляемыми величинами, при этом набор измеряемых величин, вообще говоря, в каждом методе свой. Программные коды, реализующие модели непрерывного распределения параметров плазмы, обычно наиболее точные и наименее быстрые. Кроме того, они весьма громоздки. Их основное применение - анализ разряда в паузе между импульсами тока плазмы.

Для быстрого определения параметров плазмы, и в первую очередь, положения и формы плазменного шнура, необходима разработка и верификация упрощенных моделей (методов). Простые модели особенно необходимы для решения задачи управления разрядом плазмы в реальном времени, когда определяющим становится вопрос скорости вычислений. При этом характерные времена вычислений не превосходят масштаба нескольких миллисекунд. Анализ существующих методов определения границы плазмы по данным внешних магнитных измерений, пригодных для управления плазмой в реальном времени и обеспечивающих требуемую точность реконструкции ее границы, показывает, что их число весьма ограничено (например, см. обзор [81,114]).

Согласно предложенной классификации [81, 114], методы реконструкции формы плазмы из магнитных измерений можно разделить на следующие основные типы:

- Метод гармоник [82-87] основан на разложении (обычно в тороидальной геометрии) потоковой функции в ряд по собственным функциям дифференциального оператора Грэда-Шафранова. Определяемыми параметрами являются радиус базовой окружности тороидальной системы координат и коэффициенты при нескольких первых гармониках.

- Метод локальной аппроксимации [82, 88-90] использует представление потоковой функции отрезком ряда Тейлора в окрестности нескольких характерных точек плазмы, то есть определяется не вся граница, а только ее наиболее важные (с точки зрения задачи управления) точки. Подлежащие определению параметры модели плазмы - коэффициенты ряда Тейлора.

- Метод потенциала простого слоя [91-94] основан на замене плазменного шнура некоторой замкнутой поверхностью, расположенной внутри плазмы и не обязательно совпадающей с границей плазмы. Весь ток плазмы считается сосредоточенным на этой поверхности. Параметры модели связаны с положением данной поверхности.

- Метод токовых нитей основан на модели тока плазмы в виде нескольких тонких кольцевых токов. Можно дополнительно выделить в рамках этой модели два метода, отличающихся набором восстанавливаемых параметров. В методе фиксированных токовых нитей подлежат определению только токи в кольцах, а положение самих токовых нитей фиксировано [95-97, 85, 90]. В методе подвижных токовых нитей [90, 98-102] необходимо определять как амплитуды значений токов, так и координаты токовых нитей.

Метод подвижных токовых нитей представляется наиболее эффективным с точки зрения компромисса между требованиями скорости вычислений и точности реконструкции границы плазмы и подробно обсуждается в данной главе диссертации. К настоящему время опубликовано довольно много работ по адаптации указанных методов к конкретным установкам, в частности, ASDEX [103], Doublet III [97, 104], Туман-3 [105], ISX-B [96, 106], JET [91,107], TNT-A [108], Глобус-М [109-111], ИТЭР [112, 113, 114].

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведен краткий обзор состояния исследований по теме диссертации и краткая аннотация диссертационной работы по главам и положения, выносимые на защиту. Первая глава посвящена вопросам разработки и исследования математических методов и моделей для систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках. В этой главе диссертации основное внимание будет уделено проблеме создания линейных моделей плазмы для базовых равновесий и проблеме выбора регуляторов. Во второй главе диссертации обсуждаются особенности построения и исследования систем управления положением и током плазмы в токамаках с железным магнитопро-водом Туман-3 и Т-15. Третья глава посвящена моделированию и разработке систем управления формой и положением плазмы в сферических токамаках Глобус-М и MAST и в экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР. В четвертой главе рассмотрены проблемы программного управления на стадии инициации плазмы в ИТЭР и Т-15М. В пятой главе приведен анализ источников ошибок поля в экспериментальном реакторе ИТЭР, описаны методы расчета и обоснование системы их коррекции. В шестой главе приводятся результаты разработки и исследования систем магнитной диагностики для применения в системах управления плазмой в токамаках ИТЭР и Глобус-М. В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Электрофизика, электрофизические установки», Беляков, Валерий Аркадьевич

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложены методы построения линейных математических моделей для анализа систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках. Показано, что линейные модели с достаточной точностью отражают динамику поведения формы плазмы при сравнении с кодами, которые моделируют эволюцию плазмы со свободной границей, и позволяют моделировать возмущения параметров плазмы в значительном диапазоне изменения этих параметров. При проектировании системы управления положением, током и формой плазмы для токамака-реактора ИТЭР на базе линейных моделей предложены регуляторы, которые обеспечивают необходимые параметры формы плазмы при моделировании всех сценариев на нелинейных кодах. Проведено сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей и сделаны выводы о границах применимости этих подходов.

2. Рассмотрены различные классы современных задач оптимального синтеза стабилизирующих управлений: о минимизации нормы \Н\ (типичный представитель - задача LQG - оптимального синтеза), о минимизации нормы \НI (задача Нт - оптимального синтеза) и о минимизации указанных выше норм для "взвешенных" передаточных матриц HS7. Примеры решения практических задач для систем стабилизации токамака ИТЭР позволяют сделать вывод о том, что идеология LQG-оптимального синтеза оказывается исключительно эффективным инструментальным средством, которое можно использовать при проектировании систем управления плазмой. Вместе с тем, подход, базирующийся на оптимальном синтезе, следует считать перспективным направлением для учета "цветных" возмущений и шумов в измерениях. В ряде ситуаций структура рассмотренных выше оптимальных регуляторов, обладающих собственной динамикой, может оказаться слишком сложной для практической реализации в системах управления плазмой. В связи с этим представляет определенный интерес рассмотрение вопросов оптимальной настройки параметров при фиксированной структуре обратной связи. Одной из наиболее простых подобных структур является структура ПД-регуляторов по вектору измерений. Анализ процессов управления позволяет заключить, что ПД-регулятор несколько увеличивает длительность переходного процесса, однако по сравнению с LQG-регулятором обеспечивает меньшую колебательность.

3. Детально исследована топография полоидального магнитного поля установки Туман-3 с железным магнитопроводом. Расхождение экспериментальных данных и результатов расчета магнитных полей с помощью магнитостатического кода для выбранной модели распределенного магнитопровода не превышает 5 процентов. Проведено расчетное и экспериментальное исследование вопросов равновесия и устойчивости плазмы в установке Туман-3 в разных режимах: при омическом нагреве, адиабатическом сжатии по малому и большому радиусу и с подъемом тока после сжатия по малому радиусу. Обоснована и реализована система автоматического управления положением плазмы.

4. Получена зависимость эффективности катушек полоидального магнитного поля и показателя спада магнитного поля от степени насыщения ферромагнитного сердечника для токамака Т-15. Выполнен анализ устойчивости плазмы по радиусу и вертикали. С использованием предложенной линейной математической модели проведено исследование свойств системы управления полоидальными полями и выбрана концепция системы управления плазмой в токамаке Т-15. Обоснована и реализована система управления током катушки омического нагрева и током плазмы, радиальным и вертикальным положением плазменного шнура в токамаке Т-15.

5. Выполнен синтез регуляторов для систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках Глобус-М и MAST на базе линейной модели. В этом анализе были реализованы два подхода: синтез регуляторов на базе LQG метода и синтез ПД регуляторов для лимитерной и диверторной конфигураций плазмы и выполнено сравнение этих двух подходов с помощью выбранных интегральных функционалов. Предложены схемы построения системы управления для токамаков Глобус-М и MAST. Для токамака Гло-бус-M реализована система управления, которая в настоящее время используется при проведении экспериментов.

6. Исследованы вопросы управления положением, током и формой плазмы для двух стадий проекта ИТЭР: ИТЭР-FDR и ИТЭР-FEAT. На первой стадии основное внимание было уделено исследованию управляемости для дивертор-ных плазменных конфигураций. На второй стадии усилия были сосредоточены, главным образом, на проблеме стабилизации вертикальной неустойчивости. Синтезированы LQG и ПД регуляторы для выбранных точек сценария разряда и проведено их сравнение с регуляторами, предложенными международной и европейской исследовательским группами. Для подавления скорости скачка мощности был предложен специальный алгоритм, позволяющий компенсировать ее быстрые изменения. Рассмотрены вопросы управления положением, током и формой плазмы для лимитерных конфигураций на фазах подъема и вывода тока. Проведенные исследовательские работы вошли в качестве вклада от России в международную базу данных по регуляторам для ИТЭР.

7. Предложена математическая модель, описывающая переходные процессы в токамаках на стадии инициации плазмы. Она включает в себя математическое описание процесса до пробоя плазмы, организацию необходимых условий в момент пробоя и эволюцию плазменного шнура на ранней стадии подъема тока плазмы. Предложена расчетная модель, описывающая транспортные процессы в плазме на ранней стадии подъема тока плазмы. Предложен алгоритм нахождения напряжений на катушках полоидальной системы, успешно реализующих сценарий стадии инициации плазмы. На базе предложенной математической модели созданы вычислительные коды TRANSMAK и SCENPLINT. С помощью разработанных кодов был выполнен анализ начальной стадии разряда плазмы для токамаков ИТЭР и Т-15М и сделаны рекомендации по выбору системы электропитания полоидальных катушек и центрального соленоида на этой стадии. Предложен метод коррекции двумерных расчетов для учета трехмерных эффектов, связанных с наличием отверстий и патрубков в вакуумной камере токамака ИТЭР.

8. Предложен и разработан математический аппарат, реализованный в программном комплексе PRORCODE для анализа и коррекции ошибок поля. Общие принципы построения программного комплекса основываются на модульной структуре выстраиваемой общей математической модели анализируемого объекта. Опираясь на принятую систему допусков при изготовлении и сборке магнитной системы ИТЭР, определена важность по вносимому вкладу в суммарную ошибку поля для всех катушек и видов отклонений от осесимметричности. Реализованы математические алгоритмы статистического анализа суперпозиций ожидаемых ошибок поля электромагнитной системы. Было рассмотрено два вида распределения вероятностей отклонений - равномерное и нормальное. Опираясь на полученный вероятностный спектр ожидаемых ошибок поля, выполнен анализ предложенных вариантов системы корректирующих катушек. Впервые был выполнен подробный анализ систематических ошибок поля от ферромагнитных элементов испытательных модулей бланкета, активной и пассивной (ферромагнитной) систем магнитного экранирования инжекторов нейтральных атомов и выводных концов и соединений катушек магнитной системы ИТЭР.

9. Для токамаков Туман-3 и Т-15 предложен метод измерения положения плазмы, при котором нет ограничений, связанных с формой плазменного шнура (метод двух зондов) или сложностью измерения и вычисления. Анализ применимости данного метода измерений был проведён для режимов омического нагрева и адиабатического сжатия, и экспериментально проверен на токамаке "Туман-3".

10.Выполнены исследования применимости математических алгоритмов, предложенных для управления формой плазмы в токамаке ИТЭР. Получены основные зависимости точности реконструкции границы плазмы от положения, числа и типа магнитных датчиков. Проведено сравнение по точности реконструкции и устойчивости к ошибкам измерений для предложенных наборов датчиков в ИТЭР и сделаны соответствующие рекомендации. На основе метода подвижных нитей для токамака Глобус-М предложен "быстрый" алгоритм восстановления границы плазмы, исходя из магнитных измерений. Получено, что для предложенного алгоритма время вычислений, связанное с реконструкцией границы плазмы ло данным внешних магнитных измерений, составляет величину около 3 мс с использованием стандартного персонального компьютера. При этом удовлетворяется требование по точности определения границы плазмы в пределах нескольких миллиметров. Впервые проведен подробный анализ влияния вихревых токов в пассивных структурах токамака на точность реконструкции. Вихревые токи имеют значительное влияние на начальной стадии разряда, когда ток плазмы мал и форма плазменного шнура имеет слабую эллиптичность. В этом случае для определения границы плазмы целесообразно применять модель одной подвижной токовой нити, отличающейся за счет простоты вычислений высоким быстродействием. Сравнение различных подходов по реконструкции границы плазмы из данных магнитных измерений позволяет сделать заключение, что метод подвижных нитей в наибольшей степени отвечает задачам управления формой плазмы на всех стадиях развития разряда.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Беляков, Валерий Аркадьевич, 2003 год

1. M.Huguet et al, Fusion Technology, January 1987, vol. 11, No.l p. 43-70.

2. A.Kitsunezaki and JT-60U Team, Proceedings of the Tenth topical meeting on the technology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1309-1316.

3. O.Gruber et al., Journal of Nuclear Materials, 121, 1984, p.407.

4. R.J.Hawryluk et al. Proceedings of the Tenth topical meeting on the technology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1324-1331.

5. V.A.Glukhikh et al., Plasma Devices and Operations, 1992, vol.1, No. 3-4, p. 303-309.

6. Воробьев Г.М., Голант B.E. и др. Физика плазмы, 1983, том 9, Вып.1, стр. 105-120.

7. T.C.Simonen for the DIII-D Team, Proceedings of the Tenth topical meeting on the technology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1332-1339.

8. J.B.Lister et al., Proceedings of 36th IEEE CDC, San Diego, USA, December 1997, p. 3679-3684.

9. А.В.Бортников, Н.Н.Бревнов и др., Препринт ИАЭ-4554/8, Москва, ЦНИИ-атоминформ, 1988.

10. В.А.Беляков, Г.М.Воробьев, Р.Н.Литуновский и др. Тезисы докладов Четвертой Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-4), Ленинград, январь 19-21, 1988, стр. 12-13.

11. Андрианов О.Л., Астапкович A.M., Беляков В.А. и др. Вопросы Атомной Науки и Техники, серия: Термоядерный синтез, выпуск 2, 1991, стр. 3-7.

12. В.А.Беляков, А.Б. Алексеев, А.В. Андреев, Э.Н. Бондарчук и др. Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002 , стр. 15-16.

13. A.Sykes et al. in Controlled Fusion and Plasma Physics, Proceedings of 18th European Conference, Berlin, 1991, vol.l5C, part 1, EPS, p.89.

14. M.Ono et al. Phys. Plasmas, 1997, No. 4, p. 799.th

15. A.C.Darke et al. Proceedings of the 16 Symposium on Fusion Energy, Sham-paign-Urbana, USA, 1995, vol. 2, p. 953-956.

16. В.К.Гусев, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др., ЖТФ, 1999, том. 69, вып. 9, стр.58.62.

17. E.T.Cheng, Y.K.M. Peng et al. Fusion Engineering and Design, 1998, No. 38, p. 219-255.

18. V.A. Belyakov, V.A.Divavin, O.G.Filatov et al., Fusion Engineering and Design, 45, 1999,317-331.

19. S.Tamura and FER Design Team, Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 10-19, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 29-36.

20. C.D.Henning, J.R.Gilleland, Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 10-19, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 37-42.

21. J.Darvas, Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 10-19, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 61-67.

22. V.A.Glukhikh, V.A.Belyakov, G.F.Churakov et al., Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 1019, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 51-58.

23. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

24. Беляков В.А., В.И.Васильев, В.Г.Ивкин и др. Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград , 20-22 июня 1984, стр. 555-561.

25. Belyakov V.A.,Bender S.E., Vasiliev N.D. et al. Proceedings of the Fourth Technical Committee Meeting and Workshop on Fusion Reactor Design and Technology, 26 May-6 June 1986, Yalta, USSR, p. 49-67.

26. Technical Basis for the ITER Detailed Design Report, Cost Review and Safety Analysis, ITER EDA Documentation Series No. 13, IAEA, Vienna, 1997, Chapter III, Section 5.0 Plasma Operation Scenario and Control, p.7.

27. Y.Shimomura, J.Wesley, V.Belyakov et al., ITER Poloidal Field System, ITER Documentation series No.27, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1991.

28. Angoletta M.E. et al., Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, September 1996, p. 389.

29. Garribba M. et al. XV EEE Symposium on Fusion Technology, Hyannis, USA, 1993, p. 564.

30. Garribba M. et al. Proceedings of 18th Symposium on Fusion Technology, Karlsruhe, Germany, August 1994, p. 722.

31. Lennholm M. et al. Fusion Engineering and Design, August 2000, vol. 48, No. 12, p. 37-45.

32. Treutterer W. et al. Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, September 1996, IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 43, 1996, p. 217-221.

33. Gruber O. et al. Proceedings of 17th Symposium on Fusion Technology, Rome,1.aly, 1992, North-Holland Publ., Amsterdam, 1993, p. 1042-1046.th

34. Carthy P.J. et al. Proceedings of 19 EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Innsbruck, 1992, p. 459-462.

35. Woyke W. et al. Proceedings of 19th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Innsbruck, 1992, p. 455-458.

36. Krugger К. Proceedings of llh IF AC Symposium of Design Methods of Control System, Zurich, 1991, p. 18.

37. Treutterer W. et al. Proceedings of IEEE Conference on Real Time Computer Applications in Nuclear Particle and Plasma Physics, East Lansing, 24-28 May1995, p. 292-296.

38. Humpreys D. A., Walker M. L. General Atomic Report GA-A23321.

39. Ferron J. R. et al. Nuclear Fusion, 1998, No.38, p. 1055.

40. Humpreys D. A. et al. Proceedings of 21st Symposium on Fusion Technology, September 2000, Madrid, Spain, p. 727-731.

41. Leuer J.A. et al. Proceedings of 18th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, 25-29 October 1999, Albuquerque, New Mexico, p. 454.

42. M.Fontanesi, C.Maroli, V.Petrillo, Proceedings of the 3— Joint Varenna-Grenoble International Symposium, EUR 7979EN, 1982, v.II, p.699.

43. B.Lloyd, P.G.Carolan, C.D.Warrick, Plasma Physics and Controlled Fusion,1996, vol. 38, p.1627.

44. Nave, M.F.F., Wesson, J.A., Nuclear Fusion, 1990, vol. 30, p.2575.

45. Hender, T.C. et al. Nuclear Fusion 1992, vol. 32, p. 2091.

46. Scoville, J.T., La Haye, R.J. et al. Nuclear Fusion, 1991, vol. 31, p. 875.

47. Fishpool, G.M., Haynes, P.S, Nuclear Fusion, 1994, vol. 34, p. 109.

48. La Haye R.J., Fitzpatrick R., Hender T.C.,Morris A.W., Scoville J.T., and Todd T.N., Phys. Fluids, 1992, B.4, p.2098.

49. Buttery, R.J., Campbell, D.J. et al., in Controlled Fusion and Plasma Physics 1997 (Proc. 24th Eur. Conf. Berchtesgarden, 1997), Vol. 21 A, Part I, European Physical Society, Geneva (1997) 265-269.

50. R.J.La Haye, General Atomic Report GA-A21167, 1992.

51. Leuer J.A., Luxon J.L., Xu M.F., Antaya T.A., Proceedings of 16th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, September 30 October 5, 1995, 885.

52. La Haye R.J. General Atomics Report: GA-A22468, February 1997.

53. Leuer J.A.,La Haye R.J., Doinikov N.I. et al., Proceedings of 17th IEEE/NPSS Symposium Fusion Engineering, vol. 1, San Diego, California, 6-10 October 1997, p.505-508.

54. V.Mukhovatov, H.Hopman, S.Yamamoto, V.Belyakov et al., ITER Diagnostics, ITER Documentation series No.33, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1997.

55. S. Yamamoto, E. Hodgson, V. Belyakov et al., 9th International Conference on Fusion Reactor Materials, Colorado Springs, CO, 10-15 October 1999, Journal of Nuclear Materials, 283-287, 2000, p. 60-69.

56. V.S.Mukhovatov, V.D.Shafranov, Nuclear Fusion, 1971, No.ll, p. 605.

57. R.Dei Gas, I.Blum, I.P.Morera, P.Plinate, Proceedings of the 8th Symposium on Engineering Problems in Fusion Research, Knoxwille, 1977, p. 478.

58. J.Hugill, A.Gibson, Nuclear Fusion, vol. 14, 1974, p. 611.

59. R.Gran, M.I.Rossi, F.Sobierajski, Report PPPL EP-R-019,1977.

60. Шафранов В.Д., ЖЭТФ, 1957, вып. 33, стр. 710.

61. H.Grad, H.Rubin, in "Proceedings of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy", Geneva, 1958

62. Шафранов В.Д., Атомная энергия, 1962, вып. 13, стр. 521.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, том VIII "Электродинамика сплошных сред", глава VIII "Магнитная гидродинамика". М.: Наука, 1992.

64. Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы (Под ред. М.А.Леонтовича), вып.2. М.: Энергоатомиздат, 1963, стр. 92.

65. Кадомцев Б.Б. Вопросы теории плазмы (Под ред. М.А.Леонтовича), вып.2. М.: Энергоатомиздат, 1963, стр. 132.

66. Wesson J.A. Nuclear Fusion 1978, vol. 18, p. 87.

67. Freidberg J.P. Rev. Mod. Phys. 1982, vol. 54, p. 801.

68. Кадомцев Б.Б., Шафранов В.Д. Успехи физических наук 1983, том.139, стр.399.

69. Bateman G. "MHD Instabilities", The MIT Press, Cambridge, Mass., 1978.

70. Арцимович Jl.А., Миронов С.В., Стрелков B.C. Атомная энергия 1964, том. 17, стр. 170.

71. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. ЖЭТФ 1967, том. 37, стр. 348.

72. Кадомцев Б.Б., Погуце С.П. ЖЭТФ, 1967, том. 53, стр. 2025.

73. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы (Под ред. Б.Б.Кадомцева), вып.11. М.: Энергоатомиздат, 1982, стр.118.

74. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Журнал Технической Физики, 1973, XLIII, вып. 2, стр. 225.

75. Zakharov L.E., Shafranov V.D., Технический отчет IAE-3075, 1978, ИЯФ им. Курчатова.

76. H.Aikawa, A.Ogata, J.Suzuki, Japanese Journal Applied Physics, 15, No. 10, 1976, p. 2031.

77. Braams B.J. Plasma Physics and Controlled Fusion, 1991, vol. 33, p. 715.

78. Braams B.J. Preprint IPP 5/2, 1985.

79. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Нау-' ка, 1986.

80. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

81. Кузнецов Ю.К. Физика плазмы, 1994, вып. 20, стр.132.

82. Lee D.K., Peng Y-K.M. J. Plasma Phys., 1981, vol. 25, No.l, p.161.

83. Кузнецов Ю.К., Набока A.M. Физика плазмы, 1981, вып.7, стр. 860.

84. Van Milligen B.Ph. Nuclear Fusion, 1990, vol. 30, No.l, p. 157.

85. Deshko G.N., Kilovataya T.G., Kuznetsov Yu.K., Pyatov V.N., Yasin I.V. Nuclear Fusion, 1983, vol. 23, No. 10, p. 1309.

86. Бондаренко С.П., Голант В.Е., Грязневич М.П. и др. Физика плазмы, 1984, вып. 10, №5, стр. 910.

87. Kurihara К. Fusion Technology, 1992, vol. 22, p. 334.

88. Hofmann F., Tonetti G. Nuclear Fusion, 1988, vol. 28, p. 519.

89. O'Brien D.P., Ellis J.J., Lingertat J. Nuclear Fusion, 1993, vol. 33, No.3, p. 467.

90. Каминский А.О., Киловатая Т.Г., Кузнецов Ю.К., Ясин И.В. Физика плазмы, 1994, вып.20, № 2, стр.144.

91. Feneberg W., Lancker К., Martin P. Comput. Phys. Commun., 1984, vol. 31, p. 143.

92. Вабищевич П.Н., Зотов И.В. Физика плазмы, 1987, вып. 13, № 6, стр. 649.

93. Kurihara К. Nuclear Fusion, 1993, vol. 33, No. 3, p. 399.

94. Дмитриенко А.Г., Кузнецов Ю.К., Фесенко А.И. Физика плазмы, 1992, вып. 18, № 12, стр. 1515.

95. Wootton A.J. Nuclear Fusion, 1979, vol.19, No.7, p. 987.

96. Swain D.W., Neilson G.H. Nuclear Fusion, 1982, vol. 22, No. 8, p. 1015.

97. Lao L.L., John H.St., Stambaugh R.D., Kellman A.G., Pfeiffer W. Nuclear Fusion, 1985, vol. 25, No. 11, p. 1611.

98. Кузнецов Ю.К., Панов B.H., Ясин И.В. Метод определения формы плазменного шнура в токамаке с адиабатическим сжатием. Препринт ХФТИ. 85-1. М.: Цнииатоминформ., 1985.

99. Ясин И.В. Дисс.к.ф.-м.н., Харьков, 1992.

100. Amoskov V., Belyakov V., Bender S. et al. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9, No. 9, p. 159.

101. Амосков B.M., Беляков В.А., Бендер C.E. и др. "Разработка и верификация программного обеспечения реконструкции равновесных параметров плазмы по данным внешних магнитных измерений для токамака ГЛОБУС-М", Технический отчет 2566-0, 2001, НИИЭФА.

102. Winter H., Albert D.B. "Separatrix Location Using Magnetic Measurements in ASDEX Tokamak", Report IPP 3/57, Max-Plank-Institut fur Plasmaphysik, 1980.

103. Lao L.L., John H.St., Stambaugh R.D. et.al. "Reconstruction of Current Profile Parameters and Plasma Shapes in Tokamaks", Report GA-A17910, General Atomic Company, 1985.

104. Bondarenko S.P, Kaminskij A.O., Kuznetsov Yu.K et.al., 12th European Conference of Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest, 1985, Europhysics Conference Abstracts 1985, 9F-I, p. 247.

105. Swain D.W., Bates S., Nei-son G.H., Peng Y.-K.M, "Determination of Plasma Shape from Poloidal Field Measurement on ISX-B", Report ORNL/TM 7172, Oak Ridge National Laboratory, 1980.

106. Brusati M., Christiansen J., Cordey J.G., Jarrett K., Lazzaro E., Ross R.T. Comput. Phys. Reports, 1984, vol.1, p. 345.

107. Ida K., Toyama H Japan J. Appl. Phys. 1983, vol. 22, p. 1587.

108. Гусев В.К., Голант В.Е., Гусаков Е.З. и др., Журнал Технической Физики. 1999, том. 69, №9, стр. 58.

109. Gusev V.K. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9 No. 1-2, p. 1.

110. Sakharov N.V. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9. No. 1-2, p. 25.

111. V.Mukhovatov, H.Hopman, S.Yamamoto, V.Belyakov et al., ITER Diagnostics, ITER Documentation series No.33, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1991.

112. S. Yamamoto, E. Hodgson, V. Belyakov et al., 9th International Conference on Fusion Reactor Materials, Colorado Springs, CO, 10-15 October 1999, Journal of Nuclear Materials, 283-287, 2000, p. 60-69.

113. Belyakov V.A., Bender S.E., Kuznetsov Yu.K., Yasin I.V., Kilovataya T.G., in Report on the IAEA Technical Committee Meeting "Magnetic Diagnostics for Fusion Plasmas", 7-9 October 1994, Nuclear Fusion, 1996, vol. 36, No. 3, p. 387400.

114. Беляков В.А., Литуновский Р.Н. Мозин И.В. Электротехника, №1, 1981, стр. 50 -56.

115. Belyakov V.A., Bender S.E., Bondarchuk E.N. et al., Plasma Devices and Operations, 1992, p. 61-75.

116. Albanese R., Coccorese V., Rubinacci G., Nuclear Fusion, 1989, vol. 29, No.6.

117. Portone A., "Passive stabilization and stability margin of tokamak plasmas", ITER Report № 47 IP 8 99-08-31 W 01, Naka JWS, August 31 1999

118. Technical Basis for the ITER-FEAT Outline Design, ITER EDA Documentation Series No. 19, International Atomic Energy Agency, Vienna, 2000.

119. V. Belyakov et al., Fusion Technology, in: Proceeding of the 19lh SOFT, Lisbon, Portugal, 16-20 September, 1996.

120. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

121. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974.

122. Doyle J. С., Francis В. A., Tannenbaum A. R. Feedback control theory New York; Toronto: Macmillan Publ. Co., 1992.

123. Квакернаак X., Сиван P. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

124. Лётов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов, АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960, № 4-6; 1961, № 4,11.

125. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.

126. Веремей Е.И., Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1986, №4.

127. Ovsyannikov D.A., Veremey E.I., Zhabko А.Р., Belyakov V.A., Kavin A.A. Proc. of 3rd Intern, workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-96), St.-Petersburg, 1-5 July 1996, p. 218-229.

128. Беляков В.А., Васильев В.И., Литуновский Р.Н. и др. Журнал технической физики, том 52, 1982, стр. 1946-1952. Препринт НИИЭФА П-Г-0555

129. Исследование полоидальных магнитных полей на установке Туман-3", Ленинград, 1982 .

130. Беляков В.А., Васильев С.Н., Горностаев С.В. и др. Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня, 1981, стр. 344-352.

131. Belyakov V.A., Bender S.E., Vasiliev S.N. et al., Proceedings of twelfth Symposium on Fusion Technology, Julich, vol. 2, 13-17 September 1982, p. 11911195.

132. В.А.Арсеньев, Беляков B.A., С.Е.Бендер Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 480-489.

133. Л.Г.Аскинази, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др., Письма в ЖТФ, том. 11, вып. 5, 1985, 315-318.

134. Беляков В.А., В.Г.Ивкин, А.В.Кузнецов и др., Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня 1981, стр. 328-335.

135. Belyakov V.A., Ivkin V.G., Kuznetsov A.V. et al., Proceedings of twelfth Symposium on Fusion Technology, Julich, vol. 2, 13-17 September 1982, p. 1209-1213.

136. Беляков В.А., Васильев Н.Д., Ивкин В.Г. и др., Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 382-389.

137. В.Ф.Андреев, Ю.Н. Днестровский, Д.П.Костомаров, А.М.Попов, С.В.Цаун, Физика плазмы, 1986, вып. 12, № 4, стр. 387. Препринт ИАЭ-4056/7 "Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с железным сердечником", Москва, 1984.

138. В.Ф.Андреев, Ю.Н.Днестровский, Д.П.Костомаров, А.М.Попов, Препринт ИАЭ-4502/7 "Математическая модель адаптируемой системы управления полоидальными полями в токамаке", Москва, ЦНИИатоминформ, 1987.

139. В.Ф.Андреев, Ю.Н.Днестровский, Д.П.Костомаров, А.М.Попов, Препринт ИАЭ-4214/7 "Математические модели управления плазменным разрядом в токамаке", Москва, ЦНИИатоминформ, 1987.

140. N.A.Daniel, B.A.Larionov, N.A.Monoszon et al. Plasma Devices and Operations, 1992, vol.1, No. 3-4, p. 253-266.

141. Belyakov V.A., Divavin V.A., Dvorkin N.Ya. et al. Project of Spherical To-kamak Globus-M, Препринт ФТИ PAH, № 1629, Санкт Петербург, 1994.

142. Golant V.E., Gusev V.K., Belyakov V.A. et al. Extended Synopses of 16th IAEA Fusion Energy Conference, Montreal, Canada, 7-11 October 1996, p. 581582.

143. Belyakov V.A., Gusev V.K., Golant V.E., Sakharov N.V., Proceedings of 17th IAEA Fusion Energy Conference, Yokohama, Japan, 19-24 October 1998. vol.3, p. 1139-1142.

144. Alekseev A.B., Arneman A.F., Belyakov V.A. et al.? Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology (SOFT-19), Lisboa, Portugal, 16-20 September 1996, p. 829-832.

145. В.А.Беляков, B.B. Веснин, A.A. Кавин и др., Тезисы докладов 6-й Всероссийской конференции по инженерным проблемам Термоядерных Реакторов, С. Петербург, Россия, 27 29 мая 1997, стр. 92.

146. Belyakov V.A., Korotkov V.A., Soikin V.F., Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 39-55.

147. V.A. Korotkov, V.A. Belyakov, S.E. Bender, Yu.G. Krasikov, E.N. Rumyant-sev, V.F. Soikin, V.A. Yagnov, Fusion Engineering and Design 58-59 (2001) p. 901 -905.

148. Belyakov V.A., Galkin S.A., Degtyarev L.M. et al., Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology (SOFT-19), Lisboa, Portugal, 16-20 September 1996, p. 821-824.

149. Belyakov V.A., Kavin A.A., Kostsov Yu.,A., Makarova L.P., Rumyantsev E.N., Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 105-118.

150. Belyakov V, Bender S., Dech A., et al., Proceedings of EPS-27 Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, 12-16 June, 2000, Budapest, Hungary, p. 512-515.

151. Technical Basis for the ITER Final Design Report, Cost Review and Safety Analysis (FDR), ITER EDA Documentation Series No. 16, IAEA, Vienna, 1998.

152. Belyakov V.A., Mondino P.L., Benfatto I. et al. Book of Abstracts, 18th Symposium on Fusion Technology (SOFT-18), Karlsruhe, Germany, 22-26 August,1994, p. 342.

153. Mondino P.L., Belyakov V.A., Barabaschi P. et al. Extended Synopses of Fifteenth International Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, Seville, Spain, 26 September 1 October 1994, p. 256.

154. Belyakov V., Kavin A., Veremey E. et al., Fusion Engineering and Design. 1999. Vol. 45. p. 55-64.

155. В.А.Беляков, В.И. Васильев, K.M. Лобанов, Л.П. Макарова и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 178-179.

156. В.А.Беляков, В.И. Васильев, К.М. Лобанов, Л.П. Макарова и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 182-183.

157. Belyakov V., Lobanov К., Makarova L., Mineev A., Vasiliev V., Proceedings of 9th International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-2002), St.-Petersburg, 24-27 June 2002, p. 40-50.

158. Belyakov V., Lobanov K., Makarova L., Mineev A., Vasiliev V., Proceedings of 9th International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-2002), St.-Petersburg, 24-27 June 2002, p. 51-54.

159. Belov A., Belyakov V., Kokotkov V., Plasma Devices and Operations, 2000, Vol. 8, p. 79-94.

160. Nuclear Fusion, 1999, vol. 39, p. 2206

161. С.В.Мирнов, Физические процессы в плазме токамака, М., 1985, с.73

162. D.E.Post, R.V.Jensen, C.B.Tarter, W.H.Grasberger, W.A.Lokke, Steady state radiative cooling rates for low-density high-temperature plasmas, 1977, Princeton University, Preprint PPPL-1352

163. ITER Design Description Document, DDD 11 Magnet, 2. Performance Analysis, 2.6 Tolerance Analysis, N 11 DDD 130 01-07-11 R0.1, 1998.

164. C. Sborchia, et al., Analysis of Tolerances & Error Fields for the ITER Magnet System, General Atomics Report: GA-A22920, 1998 (42).

165. H.Tsuji, S.Egorov, J.Minervini, M.Martovetsky, K.Okuno, Y.Takahashi, R.J.Thome, Fusion Engineering and Design, 2001, vol. 55, p. 153-170.

166. V.Belyakov, O.Filatov, S.Egorov, Proceedings of Fifteenth International Conference on Magnet Technology (MT-15), Beijing, China, 20-24 October 1997, p.397-400.

167. N.Mitchel, E.Salpietro, Fusion Engineering and Design, 2001, vol. 55, p. 171190.

168. Amoskov V., Belov A., Belyakov V. et al., Analysis of ITER error field and correction coils, ITER, Final Report EDA, 2001-2, PR 254, 30 December, 2001.

169. Максименкова Н.А, Мингалев Б.С., Гармонический анализ трехмерных магнитостатических полей ошибок магнитных систем токамака. Алгоритм программы "HARMAN", Препринт НИИЭФА П-0970 М.:ЦНИИатомнинформ, 2002.

170. Amoskov V., et al., Proceedings of Fifth European Particle Accelerator Conference (EPAC 96), Barcelona, 10-14 June, 1996, vol.3, p. 2161-2163.

171. Амосков B.M., Белов A.B., Филатов О.Г. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 111112.

172. Амосков В.М.,Белов А.В., Беляков В.А. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 113114.

173. Жидков Е.П., Кухтин В.П., Ламзин Е.А. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 115.

174. Амосков В.М., Белов А.В., Беляков В.А. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 116.

175. Тихонов А.А., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

176. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями, М.: ИЛ, 1956.

177. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений, М: Наука, 1966.

178. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М: Мир том 1, 2-е изд.,1964, том 2,1967.

179. Мингалев Б.С. Аналитическое решение задачи о форме безмоментной секторной катушки тороидального соленоида. Л., 1979, Препринт НИИЭФА: П-Б-0420.

180. Лейтес Л.В. Электричество, 1960, №11, стр.76.

181. Шафранов В.Д., ЖТФ, 1972, том X, вып.9, стр. 1785.

182. Gralnick S.L., Tenney F.H. Applied Physics,1976, vol. 47, No.6, p. 2710.

183. Moses R.W.Jr and Young W.C. Proceeding of the Sixth Symposium on Engineering Problems of Fusion Research, San Diego, 1975, p. 917.

184. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев B.C., ЖТФ, 1977, том. 47, вып.З, стр. 521-526.

185. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке при наличии ферромагнетика.-Л.,1975, Препринт НИИЭФА Б-0236.

186. Bondarchuk E.N., Doinikov N.I., Mingalev B.S., Fusion Reactor Design Concepts, Vienna, 1978, p. 455-460.

187. Belyakov V., Gribov Y., S.Gerasimov et al., 24th European Physical Society Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden, Germany, 9-13 June 1997, p. 977-980.

188. B.M. Амосков, A.B. Белов, В.А.Беляков, В.П. Кухтин и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 109-110.

189. В.М. Амосков, А.В. Белов, В.А.Беляков, Е.А. Ламзин и др., Анализ систематических ошибок поля и система корректирующих катушек установки ИТЭР, препринт НИИЭФА II-0979, Санкт Петербург, 2003.

190. В.А.Беляков, С.Е.Бендер и др., Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня, 1981, стр. 377-383.

191. F.Schneider, Report JPP III/47, 41, 1978.

192. D.B.Albert, Report JPP 111/61, 1980.

193. V.A.Belyakov, S.E.Bender, Yu.K.Kuznetsov, I.V.Yasin, T.G.Kilovataya, in the Report on the IAEA Technical Committee Meeting, Kharkov, Ukraine, 7-9 October 1994, Nuclear Fusion, vol. 36, No. 3, 1996.

194. Technical Basis for the ITER Interim Design Report, Cost Review and Safety Analysis, ITER Documentation Series, No. 7, IAEA, Vienna, 1996.

195. Sakharov N.V. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9, No.1-2, p. 25.

196. Galkin S.A., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu., Nuclear Fusion, 1997, vol. 37, No. 10, p.1455.

197. Galkin S.A., Drozdov V.V., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu. // General Atomic Report GA-A222441, February 1997; GA-23045, May 1999.

198. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1981.

199. Pustovitov V.D. Nuclear Fusion, 2001, vol.41, No.6, p.721.

200. A.Belov, V.Belyakov, V.Kokotkov et al. Plasma Devices and Operations, 2000, vol. 8, No. 2, p.79.