Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Мисенов, Борис Анатольевич

• Мисенов, Борис Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мисенов, Борис Анатольевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность темы работы, цели и основные результаты

исследований

2. Содержательные проблемы управления плазмой

в термоядерных реакторах-токамаках

3. Математическая модель процесса стабилизации формы

плазмы

4. Общая постановка задач среднеквадратичной оптимизации

5. Обзор литературы по теме исследований

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО НОРМЕ Н2

1.1. Содержание задач оптимального синтеза

1.2. Методы и алгоритмы задачи LQG оптимизации

1.3. Многосвязная (MIMO) задача среднеквадратичного оптимального синтеза

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ Н2 ОПТИМИЗАЦИИ И ПРОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМОСТИ

2.1. Точность и мощность управления в оптимальной

замкнутой системе

2.2. Предельные оценки качества оптимальных систем

при с0 оо

2.3. Предельное поведение оптимальных систем при с0 —> 0

2.4. Предельные оценки и проблема управляемости

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ В ТОКАМАКАХ

3.1. Анализ особенностей Н2оптимизации для математических моделей токамаков с нейтральной неуправляемой частью

3.2. Синтез Н2-оптимальных регуляторов для токамака ITER с полоидальной магнитной системой ТАС4

3.3. Проблема избыточности катушек полоидальной системы FDR2 в токамаке ITER

3.4. Синтез Н2-оптимальных регуляторов с учетом ограничений

на мощность системы питания

3.5. Среднеквадратичная оптимизация регуляторов формы плазмы для токамака MAST

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках»

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

Одним из наиболее интенсивно развиваемых в настоящее время направлений автоматизации научных исследований, исследовательского и конструкторского проектирования сложных технических объектов является исключительно широкое применение разнообразных комплексов математических моделей, методов и алгоритмов, реализуемых с использованием современных средств вычислительной техники. Особую значимость указанное направление приобретает при исследовании и разработке систем автоматического управления в силу их существенной сложности, широты круга решаемых задач, высоких требований, предъявляемых к качеству динамических процессов, к эффективности и надежности замкнутых систем в целом и их отдельных элементов.

При разработке математического обеспечения для реализации моделей и методов на ЭВМ особое внимание уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, аналитического поиска законов управления, технической реализации управляющих устройств на базе цифровых и аналоговых элементов. При этом решающую роль играют математические методы оптимизации характеристик качества систем управления, позволяющие существенно повысить эффективность научных исследований в указанной области с использованием современных формализованных подходов для решения практических задач.

Среди сложных технических объектов, привлекающих в последнее время внимание специалистов по автоматизации научных исследований, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.

Среди известных подходов, применимых при автоматизации анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы, могут быть

использованы методы и алгоритмы теории аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А. М. Летова, В. И. Зубова, В. В. Солодовникова, Р. Кал-мана и многих других исследователей. В частности, могут быть использована методы синтеза среднеквадратичных оптимальных регуляторов для линейных динамических объектов со стационарными внешними возмущениями случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные ученые, как В. В. Солодовников [52,53], В. С. Пугачев [50], А. А. Красовский [34,35], А. А. Первозванский [48], X. Квакернаак [31] и многие другие. Существенные результаты в рамках данной проблемы приведены в работах [1,36,37], [2,3], [22], [23], [42], [46], [47], [58].

Тем не менее необходимо отметить, что среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках. К ним следует отнести монографию [44], а также статьи [59], [60], [61], [63], [65], [67] и ряд других работ. Это связано с относительной новизной сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости в вертикальном направлении с помощью обратных связей.

При реализации методов оптимального квадратичного и среднеквадратичного синтеза стабилизирующих управлений в токамаках необходимо учитывать, что, как и все подходы, связанные с минимизацией нормы элементов пространства Н2, указанная оптимизация является сравнительно грубым математическим аппаратом в теории динамических систем. Однако даже в самых сложных случаях этот подход даёт определённую информацию о свойствах объекта, которая может быть полезной при использовании более тонких и глубоких методов теории управления.

В связи с относительной простотой методов и алгоритмов Н2-

оптимизации, их программная реализация в принципе возможна на базе современных ПЭВМ средней мощности.

Тем не менее, известные методы среднеквадратичного оптимального синтеза не ориентированы на широкое применение в условиях вычислительной поддержки указанными средствами, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на ПЭВМ, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений. Необходимо заметить, что известные способы модификации указанных методов, приведенные в работах [8-18], и направленные на преодоление их недостатков, непосредственно не могут быть применены для решения задач стабилизации формы плазмы. В первую очередь, это связано с многомерностью вектора управляющих воздействий, обусловленной конструкцией полоидальной управляющей магнитной системы.

Отмеченные недостатки известных подходов к решению проблем, связанных с оптимизацией по норме Н2, а также новизна их применения к решению вопросов стабилизации формы плазмы в токама-ках, определяют актуальность соответствующего развития теории и ее адаптации к решению комплекса конкретных прикладных задач с построением соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

В связи с изложенным, целью диссертационной работы

является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации многосвязных динамических систем по норме Н2 и их адаптацию к особенностям задач стабилизации формы плазмы в термоядерных реакторах-токамаках.а также на разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

— развитию новой техники поиска оптимального решения многосвязной (MIMO) задачи среднеквадратичного синтеза в классической постановке, позволяющей построить эффективные вычислительные

алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме;

— изучению (на базе принятого представления) особенностей и свойств оптимальных регуляторов для малоисследованных вариантов постановки задачи синтеза с возмущениями неполного ранга и разработке методов поиска этих регуляторов;

— построению верхних и нижних оценок экстремального значения среднеквадратичного функционала для М1М0-задач, позволяющих судить об эффективности оптимизации и степени управляемости объектом без непосредственного решения задачи синтеза, и принимать необходимые меры по их повышению;

— адаптации новых и известных методов оптимизации по норме Н2 для решения задач анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках с учетом комплекса реальных требований, предъявляемых к качеству стабилизации, и реальных ограничений, налагаемых на полоидальную магнитную систему;

— применению теоретических методов и алгоритмов, полученных в работе, для оценки эффективности тех или иных полоидаль-ных магнитных систем по обеспечению заданных динамических характеристик процессов стабилизации тока и формы плазмы;

— решению конкретных прикладных задач анализа и синтеза систем управления токамаков различного типа с различными управляющими полоидальными магнитными системами.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав с выводами по каждой из них, заключения по диссертации в целом, списка литературы, включающего 74 наименования, и приложения.

Во введении приводится содержательная формулировка проблем управления формой плазмы, приводится и кратко анализируется математическая модель процесса ее стабилизации, осуществляется общая постановка задач, решаемых в диссертационной работе, а также выполняется краткий обзор опубликованных научных работ по теме исследований.

В первой главе рассматривается общая проблема оптимизации

линейных динамических систем по норме пространства Н2 с поиском решения на множестве передаточных матриц регуляторов, обеспечивающих гурвицевость характеристического полинома замкнутой системы.

Здесь приводится общая формулировка проблемы оптимального синтеза. Как ее частный вариант, рассматривается известная задача ЬС^С-оптимизации и разрабатывается вычислительная схема применения алгоритма ее решения при наличии нелинейных ограничений на величины управляющих воздействий.

Основное содержания главы составляет обоснование предлагаемого нового подхода к технике поиска оптимального решения М1МО-задачи среднеквадратичного оптимального синтеза и его конкретизация для различных вариантов ее постановок. Особое внимание уделяется задаче синтеза с возмущениями неполного ранга, в которой, в силу вырожденности матрицы спектральных плотностей, решение не является единственным. На основе полученных теоретических результатов и алгоритмов, реализующих разработанные методы синтеза, сформированы соответствующие вычислительные схемы и разработано программное обеспечение.

Во второй главе диссертации рассматриваются предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в М1МО-постановке. Исследуется зависимость точности оптимальных замкнутых систем от величины энергетических затрат на управление (мощности управления). Выводятся формулы для оценок сверху и снизу на указанные характеристики, позволяющие без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических свойств системы. Уделяется внимание вопросам оценки степени управляемости линейного объекта с использованием полученных предельных характеристик среднеквадратичного оптимального синтеза.

Третья глава работы посвящена проведению исследований по применению полученных теоретических результатов а также алгоритмического и программного обеспечения для решения конкретных практических задач по анализу и синтезу систем стабилиза-

ции формы плазмы в токамаке ITER с различными полоидальны-ми магнитными системами и в токамаке MAST. Для токамака ITER с полоидальной системой ТАС4 выполнен полный цикл анализа и синтеза законов стабилизации формы плазмы на базе алгоритмов LQG-оптимизации. С этой целью сформирована и применена вычислительная схема, позволяющая учитывать нелинейные ограничения на величины управляющих напряжений и совокупность требований, предъявляемых к динамическим характеристикам процесса стабилизации.

Для этого же токамака, однако управляемого с помощью полоидальной магнитной системы FDR2, проведен анализ эффективности отдельных катушек в процессе стабилизации формы плазмы. С использованием результатов глав 1 и 2 показана избыточность данной полоидальной системы и выделены катушки с невысокой степенью эффективности. Показано, что те катушки, которые обладают низкой эффективностью в стабилизации формы, могут быть успешно применены для снижения электрической мощности, потребляемой системой питания управляющих электромагнитов.

На базе результатов главы 1 выполнена полная процедура среднеквадратичного синтеза стабилизирующих управлений для токамака MAST. Показано, что в рамках принятых ограничений на управления может быть достигнута вполне приемлемая точность стабилизации при воздействии на объект «цветных» внешних возмущений с заданным спектром.

Полученные в данной главе результаты подтверждают работоспособность и эффективность методов, алгоритмов и программного обеспечения, разработанных в диссертации.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ представления решения MIMO-задачи среднеквадратичной оптимизации в частотной области. На его основе предложены новые алгоритмы поиска передаточных ма-

триц оптимальных регуляторов.

2. Получено решение в частотной области MIMO-задачи среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления. Рассмотрен вопрос о неединственности решения задачи в указанной постановке.

3. Исследованы предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в MIMO-постановке. Получены формулы для вычисления верхних и нижних предельных значений этих характеристик без непосредственного решения задачи синтеза. Сформулированы критерии степени управляемости на базе среднеквадратичного подхода.

4. На базе алгоритмов Нг-оптимизации разработана вычислительная схема синтеза управлений, стабилизирующих форму плазмы, с учетом комплекса требований к динамическим характеристикам переходных процессов и нелинейных ограничений на величины управляющих напряжений. Полученная схема использована для решения задачи стабилизации плазмы в токамаке ITER с полоидальной системой ТАС4 и токамака MAST.

5. С использованием теоретических результатов по предельным характеристикам, разработана схема оценки эффективности катушек полоидальной магнитной системы по отношению к оптимальной стабилизации формы плазмы. С помощью этой схемы выполнен анализ полоидальной системы FDR2 токамака ITER. По результатам анализа выявлены три неэффективных катушки, практически не влияющие на качество стабилизации.

Практическая ценность результатов диссертации определяется тем, что разработанные в ней методы, алгоритмы и рекомендации изначально ориентированы на решение проблем реализуемости математического аппарата на базе широкодоступных вычислительных средств типа ПЭВМ, а также реализуемости синтезируемых регуляторов в реальных условиях функционирования. Выполнена адаптация предлагаемого математического обеспечения к специфи-

ческой динамике объекта управления для термоядерных реакторов-токамаков. Работоспособность и эффективность полученных результатов подтверждена решением практических задач по анализу и синтезу систем стабилизации формы плазмы в токамаках с различными полоидальными системами.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные части и полученные результаты докладывались на 2-м Международном семинаре «Beam Dynamics and Optimization» (г. С.Петербург, 1995), на 2-й Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1996), на XXVII научной конференции «Управление динамическими системами» факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ (г. С.-Петербург, 1996 г.), на 3-м Международном семинаре «Beam Dynamics and Optimization» (г. С.-Петербург, 1996), на Международной конференции по информатике и управлению ICI&C97 (г. С.-Петербург, 1997), на семинарах кафедры математического моделирования энергетических систем СПбГУ.

Отдельные результаты диссертации использованы при выполнении работ в рамках международного проекта ITER по созданию рабочей версии термоядерного реактора на основе токамака.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 опубликованных печатных работах.

В.2. Содержательные проблемы управления плазмой в термоядерных реакторах-токамаках

Рассмотрим общее устройство и основные принципы работы одного из наиболее перспективных типов термоядерных реакторов с магнитным удержанием плазмы — реактора на основе токамака.

Герметичная тороидальная рабочая камера заполнена газообразным дейтерием и окружена электромагнитными катушками, создающими тороидальное магнитное поле, силовые линии которого замыкаются внутри тора. Давление газа в камере относительно низкое и

Рис. В.1. Основные элементы токамака.

1 — плазма; 2 — первичная обмотка; 3 — катушки продольного поля; 4 — вакуумная камера; 5 — сердечник трансформатора

выбирается так, чтобы обеспечить оптимальные условия его пробоя вихревым электрическим полем, индуцируемым переменным электрическим током, который пропускают по первичной обмотке, расположенной снаружи тора. Пробой газа приводит к его ионизации, нагреву до высоких температур и возникновению в образующейся плазме тока большой силы, порядка миллионов ампер (в рассматриваемой модели — 24 МА). Плазма со столь сильным током требует мощной системы магнитного удержания. Магнитное поле в токамаке складывается из двух полей — поля тока, протекающего по плазме (тороидальное поле), силовые линии которого имеют форму колец вокруг плазменного витка, и поля электромагнитных катушек удержания (полоидальное поле), силовые линии которого также кольцеобразны, но располагаются вдоль плазменного витка.

В горячей плазме происходят реакции термоядерного синтеза ядер дейтерия и трития с образованием ядер гелия (а-частиц) и нейтронов, которые сопровождаются выделением значительного количества энергии.

Однако интенсивность термоядерной реакции зависит от энергии ядер, определяемой достигнутой температурой. Для оптимальной по составу смеси дейтерия и трития она составляет свыше 50 миллионов градусов. Для достижения такой температуры джоулева нагрева

плазмы, обусловленного протеканием через неё электрического тока, недостаточно. Поэтому необходим дополнительный нагрев, осуществляемый высокочастотным электромагнитным полем. Источником поля служит антенна, размещённая на стенке рабочей камеры.

Вторым условием является достижение заданной продолжительности удержания энергии в плазме, которая должна составлять не менее 1 с для осуществления управляемого термоядерного синтеза. Поскольку накопление продуктов синтеза значительно сокращает время «горения» термоядерной реакции, необходимо предусмотреть их удаление из рабочей зоны. Этой цели служит дивертор — специальное магнитное устройство, расположенное в нижней части камеры и разделяющее плазму на горячую центральную область и относительно холодную периферийную. В горячей области, где происходят термоядерные реакции, силовые линии магнитного поля замкнуты, тогда как в периферийной — разомкнуты и упираются в пластины дивертора, что обеспечивает оседание продуктов горения именно на пластинах дивертора.

Необыкновенно высокая температура центральной области плазмы обуславливает недопустимость её соприкосновения со стенкой рабочей камеры при нормальном ходе процессов в токамаке. Это соприкосновение может возникнуть вследствие естественной неустойчивости плазменного шнура, стремящегося увеличить свой радиус под действием внутреннего давления плазмы и взаимодействия силовых линий магнитного поля. Наиболее эффективной с точки зрения оптимизации внутреннего давления является вытянутая по вертикали форма поперечного сечения плазменного шнура, однако такая форма приводит к значительной неустойчивости плазмы в вертикальном направлении, что определяет особый интерес к вертикальным перемещениям плазмы в ходе процесса.

Помимо внутреннего давления, наблюдаются и другие, не менее сложные физические явления, такие как внутренний срыв — явление, связанное с искривлениями плазменного шнура, временным разрушением магнитных поверхностей и перезамыканием силовых ли-

ний; явление неустойчивости срыва, приводящее к выбросу энергии из плазмы вплоть до стенок вакуумной камеры и связанное также с процессами перезамыкания силовых линий; малые дрожания магнитных поверхностей и прочие явления случайного характера.

Описанные характерные особенности поведения плазменного шнура определяют основные задачи системы управления термоядерного реактора.

Рассмотрим общий вид системы управления токамака и измеряемые характеристики, позволяющие оценить ее работу на примере токамака ITER с полоидальной системой ТАС4, поперечное сечение которого схематично изображено на рис. В.2.

Управляющими элементами токамака являются электромагнитные катушки. Для рассматриваемого токамака имеем 6 электромагнитных катушек полоидального поля Р2-Р7 и центральный соленоид CS. Каждая из катушек считается одновитковой, обладающей свойством сверхпроводимости и имеющей отдельный источник питания. Управляющими воздействиями служат величины напряжений, приложенных к обмоткам этих катушек, которые ограничены диапазоном от —7 В до +7 В.

Поскольку внешней границей горячей области служит сепаратриса магнитного поля, положение плазмы определяется путём измерения зазоров д\-д& между сепаратрисой и первой стенкой рабочей камеры в б контрольных точках, показанных на рис. В.2.

Рассмотрим физический смысл выбранных точек. Зазоры д\ и g<i определяют правильное расположение периферийного потока частиц в каналах дивертора. Зазор дз определяет расстояние между плазмой и антенной высокочастотного электромагнитного поля, его правильное задание обеспечивает эффективность нагревания плазмы и предотвращает повреждения антенны потоками частиц плазмы. Зазор #4 обеспечивает защиту первой стенки рабочей камеры от потоков частиц, вылетающих из внешнего слоя плазмы вледствие пульсации тороидального поля. И, наконец, последние два зазора, <75 и <7б, предотвращают соприкосновение плазмы с первой стенкой

Рис. В.2. Поперечное сечение токамака ITER с полоидальной системой ТАС4.

в самой верхней точке и точке, ближайшей к центру тора, соответственно.

Как было указано, особый интерес представляет контроль за вертикальными перемещениями плазмы. При этом величиной, с достаточной точностью характеризующей вертикальное положение, может служить величина зазора в самой верхней точке плазмы.

Первая группа задач, решаемых системой управления, связана с управлением формой плазмы. Прежде всего, система управления должна обеспечить заданное положение равновесия плазменного шнура в вакуумной камере, определяющее некоторые номинальные значения токов, протекающих в элементах токамака.

При этом, как указано выше, плазменный шнур в большинстве моделей токамаков не является устойчивым в вертикальном направлении в силу физических особенностей, что определяет следующую задачу системы управления — стабилизацию плазмы в вертикальном направлении. Эта задача может решаться с использованием специально выделенной катушки полоидальной системы (токамаки START, MAST, COMPASS, GLOBUS) или с использованием всех катушек (токамаки ITER, JET).

Вместе с тем, к характеристикам переходных процессов, обеспечиваемых системой управления, предъявляется ряд требований, в частности, к продолжительности переходного процесса, к максимальному отклонению токов от номинальных и другим. Эти характеристики должны удовлетворять требованиям при работе в различных режимах, отражающих основные особенности поведения плазменного шнура, в частности, при скачкообразных возмущениях плотности плазмы, при отклонениях плазмы от положения равновесия, обусловленных начальными условиями или воздействиями внешних случайных возмущений.

Следующая задача системы управления состоит в стабилизации тока плазмы, который подвергается воздействию различных возмущений, вызванных как скачками характеристик самой плазмы, так и помехами в измерениях и прочими внешними факторами.

В ряде случаев к системе управления может быть также предъявлен ряд дополнительных требований. Так, для токамака ITER таким требованием служат ограничения на величину мощности системы питания управляющих катушек и на скорость ее изменения.

Совокупность перечисленных задач ставит перед проектировщиками и исследователями систем управления плазмой в токамаке целый комплекс формализованных проблем, для решения которых могут быть привлечены как известные математические методы и модели, так и новые подходы, необходимость в развитии которых определяется сложностью и новизной функций, возложенных на систему управления.

В.З. Математическая модель процесса стабилизации формы плазмы

Рассмотрим математическую модель токамака на примере токамака ITER с полоидальной системой ТАС4, изображенного на рис. В.2. Выделим компоненты системы, определяющие её динамику. Во-первых, это 6 электромагнитных катушек полоидального поля (Р2-Р7), обладающих сверхпроводимостью, и центральный соленоид (CS), также обладающий сверхпроводимостью и используемый для управления тороидальным полем. Указанные 7 элементов назовём активными контурами.

Помимо этого, мы имеем пассивные компоненты токамака, обладающие электрическими свойствами и потому также влияющие на динамику процессов. Это первая стенка рабочей камеры, вакуумная камера и задняя пластина. Каждый из пассивных элементов имеет сложную структуру и разделён в полоидальной плоскости на части с различными физическими характеристиками и протекающими через них токами: вакуумная камера — на б частей, а задняя пластина и первая стенка — на 5 частей каждая. Назовём компоненты пассивных элементов пассивными контурами, их число составляет 6 + 5 + 5 = 16.

Таким образом, общее число переменных состояния составит 7 (соответствующие активным контурам) +16 (соответствующие пассивным контурам) = 23.

Динамика электрических токов, протекающих в активных и пассивных контурах системы, описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

где Ф Е Ете, п — 23 — вектор полоидальных потоков магнитной индукции, протекающих через поперечное сечение катушек системы; К — квадратная пхп диагональная матрица сопротивлений катушек, в которой первые 7 элементов, соответствующие активным сверхпроводящим катушкам,— нулевые, I £ Еп — вектор токов, протекающих через катушки, V £ Еп — вектор напряжений, приложенных к катушкам, 1р — ток плазмы.

Линеаризуем систему (В.1) относительно номинальных значений токов и напряжений, характеризующих рабочий режим функционирования токамака. Компоненты номинальных значений токов для активных катушек представляют собой постоянные значения, соответствующие фазе окончания термоядерного горения в импульсе нагревания плазмы, а компоненты, соответствующие пассивным контурам, являются нулевыми

При этом необходимо учесть зависимость вектора полоидальных магнитных потоков ф как от токов I в катушках, так и от тока плазмы вследствие чего имеем

(В.1)

ВД = 1о + <Щ*), 10 = (1оь • • • , 107, о,... , 0).

16

¿ф Я\Т> ЯУГг

а система (В.1) принимает вид

(В.2)

В силу относительной малости рассматриваемых промежутков времени (фазы термоядерного горения) обычно вводится [59], [61] физическое предположение о постоянстве полоидального потока Ф на каждой магнитной поверхности. Однако в рассматриваемой модели в целях упрощения учитывается лишь сохранение потока Фа на оси магнитного поля:

Фа(1,/р) = сог^,

(¿Фа - = О,

сИ

откуда путём линеаризации получаем связь между вариациями токов катушек 51 и тока плазмы 51р

дФ

т

<9Ф,

дI

и выражаем 51р:

51+7ГГ51Р = ° о1»

т

(В.З)

01,,

Подставляя найденную зависимость в (В.2), получаем

<9Ф

дI <ЭФв д1

1 <9Ф /дФ,

т

р

дI

дЬ

Л + КЛ = ¿V,

(В.4)

или, обозначая матрицу коэффициентов при Л за I/,

1/Л + КЛ = (ГУ.

(В.5)

Элементы матрицы Ь* для описываемой модели находят экспериментально, путём замены частных производных их разностными аналогами $Фг/Л^- и определения вариации потока при различных вариациях токов Л^-. Следует отметить, что линейное приближение достаточно хорошо описывает поведение Ф(1,1р) в окрестности номинального режима.

Отметим, что матрица Ь*, определяющая индуктивности активных и пассивных катушек, при полном следовании предположению о сохранении магнитного потока на всех магнитных поверхностях будет симметричной. Однако в силу погрешностей измерений, а также учёта лишь сохранения потока на магнитной оси это не выполняется, тем не менее норма симметрической части Ь* превышает норму её кососимметрической части примерно в 3 раза, а потому собственные числа матрицы лежат вблизи вещественной оси. Кроме того, матрица I/ невырождена, что позволяет провести следующие преобразования.

Приводя систему (В.5) к нормальной форме, получаем

Л = А51 + В5У, (В.6)

где

А=-(Ъ*)~1К, В = (Ь*)-1. (В.7)

Обратим внимание на то, что в рассматриваемой задаче мы не можем изменять значения напряжений, приложенных к центральному соленоиду и пассивным контурам, а потому соответствующие компоненты вектора вариации <ГУ равны нулю. В связи с этим вместо рассмотрения полного 23-мерного вектора можно ограничиться рассмотрением б-мерного вектора соответствующего лишь активным катушкам Р2-Р7, в результате чего система примет вид

£ = Ах + В и, хеЕ23,иеЕ6. (В.8)

Аналогичным образом получим и уравнения динамики зазоров. Для этого выпишем общую зависимость

g = g(I}/p)

и линеаризуем её относительно номинальных значений токов:

Учитывая ранее найденную зависимость (В.З) между вариациями токов <51 и имеем

<9g 1 <9g

т

S g

<91 <ЭФа oiv v

или, обозначая матрицу коэффициентов через С, а вариации зазоров — через у,

Как и элементы матрицы Ь*, элементы матрицы С находят экспериментально.

Таким образом мы имеем систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику процессов в окрестности номинального режима

Отметим основные свойства построенной линейной системы. Как указано выше, матрица R в (В.7) имеет первые 7 нулевых столбцов, соответствующих сверхпроводящим управляющим электромагнитам. Вследсвие этого, согласно (В. 7), такое же количество нулевых столбцов будет иметь и матрица А в системе, что приводит к наличию у нее нулевого собственного числа кратности 7. Подобное кратное нулевое собственное число у матрицы разомкнутой системы является характерным свойством моделей токамаков, управляющая система которых построена с использованием сверхпроводящих электромаг-ниитов.

Говоря о спектре матрицы А, отметим также наличие в нем единственного неустойчивого собственного числа (для модели токамака ITER с полоидальной системой ТАС4 7 « 0.874 с-1), соответствующего неустойчивости плазмы в вертикальном направлении.

Рассмотрим систему (В. 11) с позиций управляемости. Покажем, что данная система не является полностью управляемой в смысле

У = Сх.

(В.10)

х = Ах + Ви

(В.11)

У = Сх.

Калмана. Действительно, возьмем произвольный регулятор вида и = Кх, считая, что матрица К является матрицей полного ранга, и замкнем им систему (В. 11). Поскольку для задачи управления формой плазмы используются лишь электромагниты Р2-Р7, размерность матрицы К равна 6 х 23, rang К = 6. Тогда для матрицы замкнутой системы А + ВК, используя известные свойства ранга матриц, получаем

rang(A + ВК) < rang А + rang(BK)

< rang А + min{rang В, rang К}

< 16 + 6 = 22,

поскольку rang А < 16 в силу наличия у нее 7 нулевых собственных чисел. Таким образом, для любой матрицы регулятора К матрица замкнутой системы является вырожденной, что свидетельствует о наличии у нее по крайней мере одного нулевого собственного числа, которое, вследствие независимости от выбора К, является неуправляемым.

Аналогичным образом можно показать, что пара (А, С) не является полностью наблюдаемой. Согласно приципу двойственности Калмана, это равносильно неполной управляемости пары (—Ат, Ст), доказательство которой совпадает с приведенным.

Полученная система линейных дифференциальных уравнений (В. 11) является базовой математической моделью объекта управления, рассматриваемого в диссертации. Основное содержание исследований составляет развитие методов анализа и синтеза стабилизирующих управлений вида

u = W(p)y, р = d/dt,

где W(р) — передаточная матрица обратной связи (регулятора). Конкретизация решаемых задач осуществляется в соответствующих главах диссертации. Здесь лишь отметим, что основным подходом, используемым для решения рассматриваемых прикладных задач,

является теория аналитического синтеза стабилизирующих управлений и, в частности, методы среднеквадратичной оптимизации.

В.4. Общая постановка задач среднеквадратичной

оптимизации

Среднеквадратичный оптимальный синтез является одним из способов аналитического конструирования линейных законов управления, формируемых в виде обратных связей и предназначенных для придания необходимых свойств соответствующей замкнутой системе.

Осуществим формализацию приведенного определения, вводя в рассмотрение комплекс математических моделей, используемых в работе.

В качестве моделей объектов управления в дальнейшем будем принимать системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида

где х Е Еп — вектор состояния объекта, и Е Ег — векторное управляющее воздействие, (р{Ь) Е Е" — возмущение, А, В, С — матрицы с постоянными компонентами соответствующих размерностей.

Как известно, если выполняется условие полной управляемости

х = Ах + Bu + C(p(t)

(В.12)

rang (В АВ А2В ... Ате-1В) = п,

(В.13)

то с помощью регулятора прямого действия

и = Кх

(В.14)

или с помощью регулятора непрямого действия [28,30]

z = Mz + Mix + М2х Н----+ Ммх(/Х_1),

и = Kz

(В.15)

можно стабилизировать объект (В. 12), обеспечивая произвольный спектр корней характеристического полинома замкнутой системы выбором матриц с постоянными компонентами К, М, Мг-, /1 =

Математическая модель регулятора (В.15) может быть сведена к математической модели типа «вход-выход» [22] [58],

и = (р)х, (В.16)

где р = й/<М — оператор дифференцирования. Записывая уравнение (В. 16) в изображениях по Лапласу, введем понятие передаточной матрицы регулятора \У(<§) = где в — переменная Лапласа. При этом компонентами передаточной матрицы

являются дробно-рациональные функции комплексной переменной 5. Здесь ЛУ2(р) — г х г-полиномиальная матрица, ^^(р) — г х п-полиномиальная матрица. Очевидно, что модели (В.15) и (В.16) связаны соотношением

ЛУ(з) = К(Ез - М)-1 (Мг + зМ2 + • • • + б^Мц).

Следует отметить, что математическая модель (В. 16) может быть трактована как наиболее общее представление линейных регуляторов, охватывающее как регуляторы прямого (В. 14), так и непрямого (В.15) действия.

Определение В.1. Регуляторы вида (В.16), обеспечивающие гурвицевость характеристического полинома

замкнутой системы (В. 12), (В. 16), А(в) = с!е1;(Ез — А), В(й) = А(з)(Е5—А)-1В, будем называть стабилизирующими, отождествляя их множество в дальнейшем с множеством О передаточных матриц ЛУ(з).

Очевидно, что при выполнении условия (В. 13) существует бесконечно много стабилизирующих регуляторов. При этом естественно ввести в рассмотрение количественные характеристики качества стабилизации. С этой целью на множестве О стабилизирующих регуляторов зададим некоторый неотрицательный функционал In = In (W), считая, что качество стабилизации тем выше, чем меньше величина 1п.

Определение В.2. Регулятор u = W(p)x будем называть оптимальным по отношению к функционалу In = In{W), если он является стабилизирующим в указанном выше смысле и среди всех стабилизирующих регуляторов вида (В. 16) доставляет величине /те(W) наименьшее возможное значение.

Определение В.З. Задачей аналитического синтеза линейных регуляторов будем называть будем называть задачу

In = In{W)-> inf (В. 17)

weo v '

поиска линейной математической модели оптимального регулятора, стабилизирующего замкнутую систему (В.12), (В.16).

Рассмотрим частный вариант задачи аналитического синтеза линейных регуляторов. Пусть <p(t) в (В. 12) — это любая функция времени, удовлетворяющая трём требованиям:

1 ГТ

lim - / <p(t)dt = О, (В.18)

1 —Юо 1 Jq

'Т

lim i [ v{t)vT(t)dt = D^, (В.19)

-i-oo 1 J 0

2

7Г

T-¥

T

lim i [ ip(t + r)cpT(t)dt

T-* oo 1 J 0

cos cordr — S^w), (B.20)

где — наперед заданная матрица с четными дробно-рациональ-

ными компонентами.

Очевидно, что приведенные условия, в частности, соблюдаются для реализаций стационарного случайного процесса <£>(£), удовлетворяющего эргодической гипотезе и имеющего нулевое математическое ожидание и заданную спектральную плотность 8^,(0;).

По отношению к исходной модели объекта (В. 12) функции (p(t) определяют стационарные возмущения, которые не затухают со временем и отклоняют объект управления от нулевого положения равновесия. Интенсивность (мощность) этих возмущений определяется матрицей дисперсий

1 ГТ С°°

D<p = lim - (p{t)(pT(t) dt = / S^du. (B.21)

Т-ЮО 1 Jq Jq

Для линейного объекта (В. 12), замкнутого любым стабилизирующим регулятором (В. 16), указанное возмущения вызывают соответствующие движения x(t), и(£), причём компоненты вектора состояния х и вектора управления и для замкнутой системы — это функции того же класса, что и <p(t). В данном случае естественно ввести понятие точности стабилизации и энергетических затрат на стабилизирующее управление, связав эти понятия с величинами дисперсий компонент х и и:

1Х = Dx, Iu — Da, (В.22)

Здесь х и и — обобщенные выходные координаты, определяемые условиями

X2 = xTRx, и2 = uTQu, (В.23)

где R и Q — заданные положительно определенные матрицы, компоненты которых отражают «веса» отклонений по составляющим векторов х и и в характеристиках точности стабилизации и энергетических затрат соответственно.

Наконец, введём обобщенную характеристику качества процесса стабилизации в рассматриваемых условиях, однозначно определяемую выбором передаточной матрицы W[s) в (В. 16):

I = I(W) = Ix{W) + c0Iu{W) = (xTRx) + с0 (uTQu) , (В.24)

где со = const >0 — весовой множитель.

Определение В.4. Задачей среднеквадратичного синтеза для объекта управления с математической моделью

х = Ах + Bu + C(p(t), (В.25)

где (p{t) — функции, удовлетворяющие условиям (В.18)-(В.20) с заданной спектральной плотностью S^w) = (T^(cj) и компоненты N<¿>(0;) — четные полиномы), будем называть задачу

I = UW) min (В.26)

4 у wesi v ;

поиска передаточной матрицы W = W0 оптимального регулятора вида (В. 16), стабилизирующего замкнутую систему (В.25), (В. 16) и доставляющего минимум среднеквадратичному функционалу (В.24).

В настоящее время существуют известные подходы к решению задачи среднеквадратичной оптимизации (В.25), (В.26). В принципе они могут применяться либо для непосредственной практической реализации оптимального регулятора, либо служить целям относительно грубого анализа свойств объекта и условий его функционирования на предварительных этапах исследований.

Однако и в том, и в другом случаях математические средства среднеквадратичного синтеза, их аппаратная и программная поддержка, в соответствии с простотой идеологии и её специфической направленностью, должны быть простыми, легкодоступными и высокоэффективными.

Это связано с тем обстоятельством, что практика требует, как правило, многократной прогонки решения задачи синтеза с различными вариантами исходных данных, требований, ограничений, математических моделей, которые могут существенно изменяться, уточняться, переоцениваться и переформулироваться в зависимости от ситуации.

К сожалению, современное состояние известных математических методов и алгоритмической поддержки задач среднеквадратичной оптимизации, не вполне удовлетворяют указанным требованиям. Это существенно затрудняет привлечение таких широкодоступных вычислительных средств, как современные ПЭВМ малой и средней мощности, что требует разработки новых принципов и методов среднеквадратичного синтеза.

В.5. Обзор литературы по теме исследований

Вопросы математического моделирования исключительно сложных физических процессов, протекающих в плазме, рассматриваются в многочисленных монографиях и статьях, публикуемых с начала 1950-х годов. Среди них отметим такие широко известные работы, как [25], [57]. В этих работах сформирована основная математическая модель, описывающая динамику плазмы в токамаке — дифференциальные уравнения Греда-Шафранова в частных производных. Показано, что на базе этих уравнений могут быть определены параметры равновесного состояния плазмы с учетом конструктивных особенностей конкретного токамака. Эти параметры однозначно определяют номинальный режим функционирования, указанный в параграфе В.З.

В работе [60] рассматриваются различные аспекты формирования математических моделей вида (В.1) и результатов их линеаризации (В. 11) относительно номинальных значений соответствующих токов и напряжений.

Однако количество публикаций по вопросам управления плазмой с использованием обратных связей относительно невелико. Это определяется тем обстоятельством, что проблема неустойчивости плазмы в вертикальном направлении появилась сравнительно недавно в связи с существенными конструктивными изменениями токама-ков, вызванными накоплением опыта их проектирования и эксплуатации. Неустойчивость в вертикальном направлении характерна для токамаков с относительно небольшим аспектным отношением, таких как JET, JT-60, ITER, TCV, а также сферических токамаков, таких как START, NSTX, MAST, DIII-D. Одной из первых работ, в которой сформулирована проблема вертикальной неустойчивости, является статья [4].

Тем не менее, количество работ, в которых предлагаются и всесторонне анализируются конкретные стабилизирующие управления плазмой в токамаках указанных типов, исключительно мало. Среди

них следует выделить монографию [44], в которой впервые предложено использовать методы оптимизации по норме Н2. Современное состояние вопроса, как правило, находит отражение в трудах международных конференций по управлению токамаками, в частности, 36th Conference on Decision and Control (Сан-Диего, США) и Международного семинара по сферическим токамакам «Spherical Torus' 97». Особый интерес представляют такие статьи, как [59], [60], [61], [63], [65], [67].

Приведем также краткий обзор публикации, посвященных математическим проблемам оптимизации динамических систем по норме Н2. При этом обратим особое внимание на работы, связанные с методами анализа и синтеза, которые могут использованы при решении прикладных задач управления формой плазмы в токамаках.

Современная теория среднеквадратичной оптимизации, являясь типичным представителем более общего направления оптимизации по норме Н2 в гильбертовых пространствах Харди, в настоящее время интенсивно развивается. Ее можно рассматривать как частный подход в рамках теории аналитического синтеза стабилизирующих регуляторов. Основополагающими работами по применению математических методов и моделей в аналитическом синтезе регуляторов являются труды А. М. Летова [38,39,40], В. И. Зубова [26,27,28], А. А. Красовского [34,35]. В этих работах математические модели объекта и регулятора представляются в виде (В. 12) в пространстве состояний. Математическая теория аналитического синтеза для моделей типа «вход-выход» отражена, например, в монографиях Ч.Дезоера и М.Видьясагара [22], В.Н.Фомина [55].

История исследований по среднеквадратичному синтезу ведет начало от статьи А. Н. Колмогорова [33] и работы Н. Винера [68]. Дальнейшие публикации связаны с именами Г. Воде и К. Шеннона, Р. Калмана и Р. Бьюси [30], В. В. Солодовникова [52,53], В. С. Пугачёва [50]. Основным направлением указанных работ является решение задач оптимальной фильтрации.

Публикации, посвященные исследованиям в той или иной мере

относящимся к задачам типа (В.25), (В.26) появились в 60-х годах. К ним относятся такие известные монографии, как работы Д. Ньютона и др. [46], а также Ш. Чанга [56]. Аналогичные подходы рассматривались и в работах [52], [50], [2], хотя следует отметить, что акцент в них делался на поиске оптимальных весовых функций замкнутых систем. Однако все публикации данного направления в целом основаны на идеях оптимальной фильтрации Колмогорова-Винера. Основным недостатком здесь является невозможность построения единой вычислительной схемы решения для объектов с различными динамическими свойствами (неустойчивых и неминимально фазовых).

Логическим итогом развития данного направления в рамках линейно-квадратичной гауссовой проблемы, которое именуют частотным или спектральным, на наш взгляд, является подход, изложенный в работах В. Б. Ларина, К. И. Науменко, В. Н. Сунцева [36,37], [45], и с наибольшей полнотой представленный в [1]. Здесь предложена единая методология синтеза для объектов с различной динамикой, включая объекты с запаздыванием, базирующаяся на определённом способе параметризации множества допустимых решений. Однако вычислительные алгоритмы, непосредственно сформированные в рамках данного подхода, обладают рядом недостатков. К ним следует отнести относительную сложность в выполнении ряда операций (выбор вспомогательных полиномов, от которых не зависит результат решения задачи, выполнение сепарации дробей и др.), а также неудобство формы представления передаточной матрицы оптимального регулятора, затрудняющее исследование его свойств.

Отмеченные недостатки в известной мере были преодолены в работах [8,17], где впервые предложен новый способ поиска решения для скалярного варианта задачи. Близкий подход указан в [6],[55]. Второе направление в теории среднеквадратичного синтеза непосредственно не связано с винеровской фильтрацией. В некоторых работах это направление называют временным или методом пространства состояний. Сюда следует отнести подходы, базирующиеся на решении матричных уравнений Риккати. Соответствующие методы

среднеквадратичного синтеза, использующие теорему разделения и теорию фильтрации Калмана, приведены, например, в монографиях [47], [42], [31]. Необходимо отметить, что привлечение методов данного направления становится оправданным лишь при наличии нескольких управлений. В задачах со скалярными управлениями данный подход в вычислительном плане нельзя признать экономичным, а в аналитическом плане — удобным для исследований.

Необходимо также отметить наличие третьего (наиболее современного) подхода [60], который в известном смысле объединяет временные и частотные методы в рамках единой теории оптимизации по норме Н2 в пространствах Харди передаточных матриц регуляторов.

Указанные методы определяют два варианта техники поиска оптимального решения задач типа (В.25), (В.26), при одинаковых условиях приводящие к одинаковому результату. В плане проблемы реализуемости на базе маломощной техники типа ПЭВМ, оба указанных подхода к синтезу обладают недостатками. Времен ные методы требуют сравнительно мощных вычислительных ресурсов, а методы частотной группы нуждаются в определённой доработке, определяемой недостаточностью исследования ряда характерных ситуаций. К последним относится возможная неполнота ранга матрицы спектров возмущения (имеющая место в задачах (В.25), (В.26)), отсутствие полной информация о векторе состояния, возможная неединственность решения и др.

Вопросы определения предельных возможностей среднеквадратичной оптимизации (оценивания сверху и снизу оптимумов для функционала (В.24) и его составляющих 1Х и 1и) являются относительно новыми в теории синтеза. Одной из первых работ является монография [31], в которой рассмотрены теоремы об ограниченной точности замкнутых систем с неминимальнофазовыми объектами при неограниченном увеличении затрат на управление. Однако в указанной работе отсутствуют конечные формулы для вычисления предельных оценок.

Известное развитие теории и алгоритмического обеспечения

среднеквадратичной оптимизации, ориентированное на преодоление указанных выше недостатков, дано в работах [8-18]. Здесь получена новая форма представления оптимального решения задачи и определена новая техника его поиска, проведено исследование ситуаций с неполнотой ранга спектральных плотностей, рассмотрены вопросы возможной неединственности решения, получены оценки предельных возможностей оптимизации и сформулирована общая концепция многоцелевого среднеквадратичного синтеза. Однако все полученные здесь результаты относятся к вариантам постановки задачи типа (В.25), (В.26) и не ориентированы на учет многосвязности для задачи в М1МО-постановке.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Мисенов, Борис Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержание диссертационной работы составляет проведение исследований по проблеме анализа и синтеза математических моделей систем стабилизации формы плазмы в токамаках. При этом основное внимание уделяется подходу, основанному на идеях теории оптимизации управляющих устройств для многосвязных динамических объектов, функционирующих в условиях воздействия случайных возмущений и характеризующихся среднеквадратичными функционалами.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации многосвязных динамических систем по норме и их адаптацию к особенностям задач стабилизации формы плазмы в термоядерных реакторах-токамаках. а также на разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: развитию новой техники поиска оптимального решения многосвязной (MIMO) задачи среднеквадратичного синтеза в классической постановке, позволяющей построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме; изучению (на базе принятого представления) особенностей и свойств оптимальных регуляторов для малоисследованных вариантов постановки задачи синтеза с возмущениями неполного ранга и разработке методов поиска этих регуляторов; построению верхних и нижних оценок экстремального значения среднеквадратичного функционала для MIMO-задач, позволяющих судить об эффективности оптимизации и степени управляемости объектом без непосредственного решения задачи синтеза, и принимать необходимые меры по их повышению; адаптации новых и известных методов оптимизации по норме для решения задач анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках с учетом комплекса реальных требований, предъявляемых к качеству стабилизации, и реальных ограничений, налагаемых на полоидальную магнитную систему; применению теоретических методов и алгоритмов, полученных в работе, для оценки эффективности тех или иных полоидаль-ных магнитных систем по обеспечению заданных динамических характеристик процессов стабилизации тока и формы плазмы; решению конкретных прикладных задач анализа и синтеза систем управления токамаков различного типа с различными управляющими полоидальными магнитными системами.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ представления решения М1МО-задачи среднеквадратичной оптимизации в частотной области. На его основе предложены новые алгоритмы поиска передаточных матриц оптимальных регуляторов.

2. Получено решение в частотной области М1М0-задачи среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления. Рассмотрен вопрос о неединственности решения задачи в указанном варианте.

3. Исследованы предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в М1МО-постановке. Получены формулы для вычисления верхних и нижних предельных значений этих характеристик без непосредственного решения задачи синтеза. Сформулированы критерии степени управляемости на базе среднеквадратичного подхода.

4. С использованием алгоритмов Н2-оптимизации разработана вычислительная схема синтеза управлений, стабилизирующих форму плазмы, с учетом комплекса требований к динамическим характеристикам переходных процессов и нелинейных ограничений на величины управляющих напряжений. Полученная схема использована для решения задачи стабилизации плазмы в токамаке ITER с поло-идальной системой ТАС4 и токамака MAST.

5. С использованием теоретических результатов по предельным характеристикам, разработана схема оценки эффективности катушек полоидальной магнитной системы по отношению к оптимальной стабилизации формы плазмы. С помощью этой схемы выполнен анализ полоидальной системы FDR2 токамака ITER. По результатам анализа выявлены три неэффективных катушки, практически не влияющие на качество стабилизации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мисенов, Борис Анатольевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. Киев: Наукова думка, 1978. 328 с.

2. Андреев Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем. М: Наука, 1966.

3. Андреев Н. И. Теория статистически оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980.

4. Арсенин В. В., Чуянов В. А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. 1977. Т. 123. Вып. 1. С. 83 129.

5. Барабанов А. Е. Оптимальное управление линейным объектом со стационарными помехами и квадратичным критерием качества. М., 1979.-Деп. в ВИНИТИ, N 3478-79.

6. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 3-32.

7. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

8. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства

экстремалей. М., 1978. - Деп. в ВИНИТИ, N3413-78.

9. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 1 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 10. С. 52-57.

10. Веремей Е.И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 2 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 12. С. 33-39.

11. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 4. С. 123-130.

12. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 126-137.

13. Веремей Е. И., Еремеев В. В. Среднеквадратичный синтез при учёте вектора возмущений, размерность которого меньше порядка системы // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1988. Вып. 4 (№ 22). С. 14-18.

14. Веремей Е. И. Абсолютный минимум среднеквадратичного критерия качества в задаче синтеза со скалярным возмущением // Известия ВУЗов СССР. Приборостроение. 1989. Т. XXXII. № 1. С. 10-15.

15. Веремей Е. И. Численные методы среднеквадратичного синтеза при наличии модальных ограничений // АН УССР. Автоматика. 1990. 2. С. 22-27.

16. Веремей Е. И., Соломенцев Ю. М., Исаченко В. А. и др. Введение в теорию интегрированных САПР гибких технологий и производств. М.: Машиностроение, 1992.

17. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов с учётом требований реализации: Дис... канд. техн. наук: 05.13.02. Л., 1979. 167 с.

18. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного оптимального синтеза: Дис... д-ра физ.-мат. наук: 05.13.16. СПб., 1995. 353 с.

19. Волгин Л. Н. Элементы теории управляющих машин. М.: Сов.

радио, 1962.

20. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1985.

21. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1969.

22. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1972.

23. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. М.: Физматгиз, 1951.

24. Дидук Г. А. и др. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. М.: Наука, 1984.

25. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1993.

26. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

27. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966.

28. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974.

29. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений: Ортогональные методы.- М.: Наука, 1984.- 192 с.

30. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д. 1961. Т. 83, № 1. С. 123-141.

31. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

32. Кириллов О. Е., Лисиенко В. Г. Количественный анализ управляемости и его применение к приближенной декомпозиции линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1997. № 1. С. 47-56.

33. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1941. Т. 5, № 1. С. 3-14.

34. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973.

35. Красовский A.A., ред. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

36. Ларин В. В., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1968. № 12. С. 142-144.

37. Ларин В. В., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1973.

38. Лётов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960. № 4-6; 1961. № 4,11.

39. Лётов А. М. Динамика полёта и управление. М.: Наука, 1969.

40. Лётов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

41. Маркушевич А. И. Целые функции. М.: Наука, 1975. 120 с.

42. Меррием К. Теория оптимизации и расчёт систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967.

43. Мирнов С. В. Физические процессы в плазме токамака. М.: Энергоатомиздат, 1986.

44. Митришкин Ю. В. Управление динамическими объектами с применением автоматической настройки. М.: Наука, 1985. 157 с.

45. Науменко К. И. Синтез оптимальных линейных систем при наличии запаздывания в управлении // Мат. физика. 1975. Вып. 17. С. 52-57.

46. Ньютон Д., Гулд Л., Кайзер Д. Теория линейных следящих систем. М.: Физматгиз, 1961.

47. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.:Мир, 1973.

48. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

49. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977.

50. Пугачёв В. С. Статистические методы в технической кибернетике. М.: Наука, 1971.

51. Райенд А. К. Количественный анализ управляемости, наблюдаемости и декомпозируемости многомерных линейных объектов управления. Таллинн, 1989.

52. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960.

53. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.

54. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке алгол: Линейная алгебра.- М.: Машиностроение, 1976.-390 с.

55. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

56. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.

57. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леоновича. М.: Наука, 1963.

58. Янушевский Р. Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973.

59. Ambrosino G., Ariola М., Mitrishkin Y. et al. Plasma current and shape control in tokamaks using H^ and //-synthesis // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997. P. 3697-3702.

60. Belyakov V. A., Bulgakov S. A., Kavin A. A. et al. Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak GLOBUS-M // Proc. of XIX Symposium on Fusion Technology. Lisbon, 1996.

61. Beghi A., Ciscato D., Portone A. Model reduction techniques in Tokamak modelling // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.-San Diego (Calif.), 1997. P. 3691-3696.

62. Francis B. A Course in Conrol Theory. Berlin: Springer-Verl., 1987.

63. McArdle G. J., Appel L. C., Knight P. J. et al. The MAST plasma control system // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97.

St.-Petersburg, 1997. P. 62.

64. Modern approaches to control system design / Ed. N. Nunro. London; New York: P.Peregrinus, 1979.

65. Morris A. W. The status of MAST // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97. St.-Petersburg, 1997. P. 29.

66. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach. The MIT Press, Cambridge, Massachusets, 1985.

67. Walker M. L., Humphreys D. A., Ferron J. R. Control of plasma poloidal shape and position in the DIII-D tokamak // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997. P. 3703-3708.

68. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. Cambridge. 1949.

69. Веремей E. И., Мисенов Б. А. О неединственности управлений в задаче среднеквадратичной оптимизации // Тезисы докл. 2 Между-нар. конф. "Дифф. уравнения и их приложения",- Саранск, 1996.-С. 52.

70. Misenov В. A. Computational aspects of plasma shape control synthesis problem // Proc. of 2nd Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization".-St.-Petersburg, 1995,- P. 138-145.

71. Misenov B. A. On a mean-square MIMO optimization problem // Proc. of 3rd Intern. Workshop "Beam Dynamics and Optimization" .-St.-Petersburg, 1997.- P. 210-213.

72. Мисенов Б. А. Вычислительные аспекты MIMO-задачи среднеквадратичного синтеза // Вестник Хакас, гос. ун.-та. Сер. 1. Математика и информатика.- 1996. - Вып. 1. - С. 27-29.

73. Misenov В. A., Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. А., Veremei Е. I., Zhabko А. P. Non-linear model of tokamak plasma shape stabilization // Intern, conf. on Informatics and Control (ICI&C97).-St.-Petersburg, 1997.

74. Мисенов Б. А. О задаче среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга // Дифф. уравнения и прикл. задачи: Сб. науч. тр. Тул. гос. ун-та - Тула, 1997.- С. 79-84.