Самогенерация макроскопических потоков компонент плазмы в токамаке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Сорокина, Екатерина Алексеевна

• Сорокина, Екатерина Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сорокина, Екатерина Алексеевна

Оглавление

Введение

1 Бесстолкновительная эволюция функции

распределения ансамбля частиц в токамаке

1.1 Метод интегрирования кинетического уравнения

1.2 Анизотропия функции распределения

1.2.1 Моноэнергичный источник частиц

1.2.2 Максвелловский источник частиц

1.3 Связь функции распределения с третьим адиабатическим

инвариантом

1.4 Обсуждение результатов

1.5 Резюме главы 1

2 Самогенерация тороидального тока в магнитном поле

токамака

2.1 Расчет плотности тороидального тока

2.2 Известные скейлинги плотности бутстрэп-тока а-частиц

2.3 Полоидальное распределение плотности тока

2.4 Плотность тока на магнитной оси токамака

2.5 Обобщенный скейлинг плотности тока

2.6 Влияние неоднородности д на генерацию тока

2.7 Обсуждение результатов

2.8 Резюме главы 2

3 Вращение ансамбля частиц в токамаке в присутствии

радиального электрического поля

3.1 Расчет макроскопической скорости вращения

ансамбля частиц

3.2 Профили компонент скорости макроскопического

вращения

3.3 Средняя скорость тороидального движения частицы в

электрическом поле

3.4 Влияние радиального электрического поля на генерацию

тока

3.5 Макроскопический баланс сил

3.6 Обсуждение результатов

3.7 Резюме главы 3

4 Генерация течений как результат развития

низкочастотной МГД-неустойчивости

4.1 Сводка результатов о роли вращения в формировании

сплошного спектра ГАМ и ЗТ

4.2 Равновесие с вращением

4.3 ГАМ и ЗТ во вращающейся плазме

4.3.1 Уравнения для осесимметричных

электростатических возмущений

4.3.2 Возмущения плотности и продольной скорости

4.3.3 Дисперсионное уравнение и его анализ

4.4 Резюме главы 4

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самогенерация макроскопических потоков компонент плазмы в токамаке»

Введение

Проблема генерации макроскопических потоков компонент плазмы играет весьма важную роль в решении задачи создания энергетического термоядерного реактора на базе тороидальных систем магнитного удержания типа токамак. Сам принцип работы токамака основан на тороидально-винтовой геометрии магнитного поля, обладающей вращательным преобразованием и препятствующей тем самым дрейфовому уходу частиц из установки. Тороидально-винтовая геометрия магнитного поля формируется суперпозицией тороидального магнитного поля, создаваемого внешними катушками, и полоидального магнитного поля, генерируемого за счет тороидального тока, протекающего в плазме. Простейшим способом создания тороидального тока в плазме токамака является индукционный способ: ток возбуждается посредством вихревого электрического поля за счет изменения магнитного потока, пронизывающего отверстие тороида. Другими словами, с точки зрения электротехники, классический токамак представляет собой трансформатор, вторичная обмотка которого состоит из одного плазменного витка. При выключении тока, протекающего по первичной обмотке такого трансформатора, во вторичной обмотке - плазме - возникает ток, стремящийся скомпенсировать своим магнитным полем уменьшение магнитного потока в индукторе трансформатора при выключении тока в первичной обмотке. Очевидно, что токамак, ток в плазме которого возбуждается индукционным способом, может работать только в импульсном режиме. Для стационарной или квазистационарной работы токамака-реактора необходимы другие - неиндукционные - способы поддержания тока. Такие способы в современной физике плазмы известны и активно разрабатываются: ток можно поддерживать инжекцией в токамак пучка быстрых нейтральных атомов, проникающих в плазму и создающих ток в результате ионизации, а также электромагнитными волнами в ВЧ и СВЧ диапазонах частот -см. [1,2]. Поддержание тороидального тока с помощью упомянутых неиндукционных способов неизбежно сопряжено со значительными техническими трудностями. Разработка и интеграция в реактор

мощных стационарных источников высокочастотных полей и нейтральных пучков является отдельной сложной и дорогостоящей инженерной задачей, а их использование значительно увеличивает прогнозируемые энергозатраты на поддержание тороидального тока в термоядерных реакторах.

По современным представлениям не менее важной, наряду с проблемой генерации тороидального тока, является проблема генерации вращения в плазме. Всплеск интереса к данному вопросу связан с получением на установках токамак так называемых "режимов с улучшенным удержанием", к числу которых относятся, в первую очередь, Н-мода и ее разновидности, а также режимы с внутренними транспортными барьерами (ВТБ). Начиная с работы [3], режимы улучшенного удержания стали объектами тщательного экспериментального изучения и получены к настоящему времени практически на всех работающих токамаках. Характерной особенностью этих режимов является возникновение довольно узкого (локализованного по малому радиусу) слоя, в котором резко меняются основные параметры плазмы (температура и/или плотность). Этот слой, именуемый "зоной барьера", может быть расположен как на периферии плазменного шнура ("внешний барьер", типичный для Н-моды), так и внутри "горячей" плазмы (собственно ВТБ). Характерной чертой транспортных барьеров, выявленной к настоящему времени вполне надежно, является возникновение в зоне барьера весьма значительного радиального электрического поля и, следовательно, макроскопически заметного вращения плазмы. Именно с возникновением неоднородного вращения часто связывают улучшенное удержание частиц и энергии в плазме с транспортными барьерами: считается [4], что шировое вращение плазмы под действием электрического поля в зоне барьера приводит к декорреляции возмущений, снижению уровня турбулентности и, следовательно, к уменьшению эффективных транспортных коэффициентов (при этом, естественно, предполагается, что транспорт в токамаке аномальный). Возможность уменьшения переносов плазмы за счет индуцирования ширового вращения в настоящее время является предметом широкого обсуждения и исследуется практически на всех ведущих мировых установках. Источником вращения плазмы могут служить несбалансированные пучки нейтральных атомов - см.,

например, [5, 6]. Стоит отметить, что, несмотря на преобладание изложенной концепции, исчерпывающего теоретического объяснения открытый экспериментально эффект улучшенного удержания до сих пор не получил.

Упомянутые выше схемы неиндукционной генерации тока и вращения в токамаке основаны на том, что необходимый импульс передается компонентам плазмы извне от внешних источников энергии. Между тем в системах с электромагнитными полями механический импульс и момент импульса могут возникать и самопроизвольно, без явного привнесения в систему внешнего количества движения. В замкнутой лагранжевой системе, обладающей симметрией по какому-либо направлению, сохраняется соответствующая компонента обобщенного импульса системы Р. Для частицы, движущейся в электромагнитном поле, обобщенный импульс складывается из механической р = т\ и электродинамической ¿ГеА/с составляющих: Р = р + ^еА/с, где е - элементарный заряд, 2 - зарядовый номер частицы, А - векторный потенциал поля, с - скорость света - см., например, [7]. Изменение механического импульса элемента замкнутой системы возможно, таким образом, либо за счет перераспределения между механической и электродинамической составляющими обобщенного импульса самого элемента, либо за счет обмена импульсом с другими элементами системы. В установках магнитного удержания плазмы выделенная компонента плазмы может обмениваться импульсом с другими компонентами плазмы и с самой установкой: стенками установки и управляющими катушкам, получающими противоимпульс через электромагнитное поле. При этом в плазме, как принципиально "коллективной" среде, подобное возникновение/перераспределение механического импульса может происходить как в результате взаимодействия отдельных частиц, так и посредством самосогласованно возникающих в плазме электромагнитных полей. Макроскопически возникновение механического импульса в установках магнитного удержания плазмы проявляется в самопроизвольной генерации потоков различных плазменных компонент: если индуцированное при этом движение положительно и отрицательно заряженных компонент плазмы оказывается направленным в разные стороны, то говорят, что в системе наблюдается самогенерация тока, если же положительно

и отрицательно заряженные компоненты движутся совместно - в системе возникают амбиполярные течения или вращение плазмы.

Самопроизвольное возникновение механического импульса и момента импульса наблюдается как в лабораторных установках, так и в астрофизических объектах и является в настоящее время предметом широкого обсуждения в научном сообществе. Одной из наиболее интригующих астрофизических задач считается проблема переноса момента импульса и генерации магнитного поля в аккреционных дисках. Аккреционный диск - дифференциально вращающаяся структура, формирующаяся вокруг массивного притягивающего центра (нейтронной звезды, белого карлика, черной дыры) в результате постепенного падения (аккреции) вещества на этот центр. Наблюдаемую в природе скорость аккреции вещества, которая не может быть объяснена на основе столкновительной вязкости плазмы, связывают с турбулентностью, вызванной неустойчивостью вращения плазмы в магнитном поле [8].

Хорошо известным и, кроме того, качественно подтвержденным экспериментально примером самопроизвольного возникновения импульса в магнитной системе в результате кинетических процессов является генерация так называемого бутстрэп-тока (bootstrap current). Эффект генерации бутстрэп-тока - тороидального тока, возникающего в неоднородной по малому радиусу плазме токамака при поддержании заданного профиля давления плазмы - был предсказан в начале 1970-ых годов [9] в результате создания неоклассической теории диффузии [10]. Идея естественного поддержания в токамаке тороидального тока за счет бутстрэп-эффекта выглядит чрезвычайно привлекательной для концепции стационарного токамака-реактора [9, 11], поскольку потенциально бутстрэп-ток может заменять собой известные дорогостоящие и энергоемкие способы неиндукционного поддержания тока. В процессе бутстрэп-генерации необходимый тороидальный импульс соответствующая компонента плазмы получает от стационарного магнитного поля, силовые линии которого имеют тороидально-винтовую геометрию. Тем самым, обратный импульс (отдача) в итоге передается обмоткам, создающим тороидальное магнитное поле токамака, и другим частицам плазмы, формирующим в плазме исходный ток, обеспечивающий полоидальную составляющую магнитного поля.

■z

г

Рис. 1: Используемые системы координат: цилиндрическая {r,(p,z}, связанная с геометрическим центром токамака, и полярная {р. ср, в}, связанная с магнитной осью. Точка 0 — геометрический центр токамака.

Начиная с классических работ [12-15], теория бутстрэп-тока интенсивно развивается как аналитически, так и с помощью численных расчетов. Физически бутстрэп-ток возникает из-за самопроизвольной анизотропизации функции распределения частиц с неоднородной концентрацией в магнитном поле токамака, в котором формируются подгруппы "запертых" и "пролетных" частиц. Стандартной иллюстрацией процесса генерации бутстрэп-тока служат следующие качественные соображения. Рассматривается движение двух электронов с одинаковой энергией, выпущенных из некоторой точки {г = р -f R, z = 0} в медианной плоскости токамака с противоположными значениями тороидальной скорости V(p. Здесь стандартным образом введены цилиндрическая система координат {г, ср, z}, связанная с геометрическим центром токамака, и полярная система координат {р, уз, в}, связанная с магнитной осью; pcos9 = г — R, psmO = 2; р = \/(r — R)2 + z2 е [0, a], R, а - большой и малый радиусы токамака - см. рис. 1. В простейшем приближении тороидально вложенных концентрических круглых магнитных поверхностей, которое мы будем активно использовать, тороидальное и полоидальное поля в токамаке равны соответственно

где q = q(p) - коэффициент запаса устойчивости, £ = p/R, Bq = Др|г=д - поле на магнитной оси токамака. На магнитной поверхности е = const магнитное поле (1) модулировано в полоидальном

R _ Bq

р By _ Во £ R q q 1 + е cos в'

(i)

направлении с максимальным значением пробочного отношения П = (1 + е)/(1 — е). При малых значениях косинуса питч-угла %

электроны оказываются запертыми, причем их доля щг/п при изотропном распределении в фазовом пространстве равна cosher (v - скорость частицы, г;ц = v • В¡В - составляющая скорости вдоль направления магнитного поля В, ntr - концентрация запертых частиц, п - полная концентрация частиц). Двигаясь в противоположных по (р направлениях, электроны отклоняются в разные стороны от стартовой магнитной поверхности, поэтому неоднородность профиля концентрации вблизи этой поверхности приводит к возникновению тока запертых электронов jtr ~ —е(г>ц)Д& dritT/dp, где характерная ширина "банановой" орбиты равна Аь ~ v\\/UJBe = mecv^/eBe ~ RC/л/ё (параметр ( = 2qpb/R, обычно выражаемый через величину ларморовского радиуса частицы pl, рассчитанного для поля Во и среднего значения v, определяет меру отклонения частиц от магнитных поверхностей; те - масса электрона). По порядку величины ток запертых частиц jtr ~ — е причем для электронов основной

плазмы в качестве (v) можно взять тепловую скорость. Указанные представления о токе запертых частиц оправданы лишь в случае редких столкновений, между которыми запертая частица успевает описать "банановую" орбиту с характерным периодом ц. Однако даже редкие столкновения увлекают за запертыми и пролетные частицы. Поскольку процесс рассеяния в пространстве скоростей носит диффузионный характер ~ уД), запертой частице с малой продольной скоростью ~ y/E(v) требуется весьма небольшое (по сравнению со временем столкновений rst, отвечающим рассеянию на угол 5х ~ 7г/2) время порядка rst(dv\\/(v))2 ~ srst <С rst, чтобы перейти в разряд пролетных. В стационарном случае этот процесс компенсируется рассеянием на ионах основной плазмы, в результате чего квазистационарная дрейфовая скорость пролетных электронов в е-1 раз больше токовой скорости запертых электронов. Отвечающий этой скорости ток и называют бутстрэп-током. Его плотность равна

Зь « -e(v)R(e-^.

(2)

Более аккуратные расчеты [12-14] по этой схеме проводятся в рамках кинетического подхода и приводят к появлению в правой части (2) числового множителя « 1.4.

Динамика функции распределения ансамбля заряженных частиц в магнитном В(£, г) и электрическом Е(£, г) полях описывается стандартным кинетическим уравнением

где f(r,v,t) - одночастичная функция распределения как функция координаты г, скорости v и времени

- скорость изменения / вдоль фазовых траекторий частиц; е -элементарный заряд, Z - зарядовое число, т - масса частицы ансамбля соответственно; St - оператор столкновений, а в -плотность источников/стоков частиц ансамбля в фазовом объеме. Классическим методом решения кинетического уравнения в случае редких соударений является теория возмущений, применяемая, в частности, для расчета неоклассических коэффициентов переноса. Малым параметром служит отношение характерного времени движения частицы вдоль траектории ко времени столкновений. В нулевом приближении столкновениями пренебрегают, и кинетическое уравнение (3) описывает постоянство функции распределения на траекториях движения частиц ансамбля,

В стационаре для заданного электромагнитного поля решением уравнения (4) является любая функция интегралов движения, поэтому в выборе функции распределения нулевого порядка /о остается большой произвол. Конкретизируют вид /о из условия разрешимости кинетического уравнения (3) в первом порядке теории возмущений - см., например, [16, 17]; при этом в силу интегрального характера условия разрешимости вышеуказанный произвол устраняется не полностью, и выявление преимущественной зависимости / от того или иного инварианта мотивируется какими-либо дополнительными соображениями.

(3)

(4)

Основные аналитические результаты по генерации бутстрэп-тока, получены с помощью указанного метода теории возмущений в рамках стандартной неоклассической теории (СНТ), что обычно предполагает следующие упрощения:

1. Вычисления проводятся в дрейфовом приближении [18], что неизбежно связано с проблемой расчета переходных траекторий, а также с трудностью верификации вычислительной процедуры из-за отсутствия точных законов сохранения. Кроме того, в этом приближении находится бутстрэп-ток ведущих центров частиц, а не истинный бутстрэп-ток. Эффекты конечного ларморовского радиуса могут стать существенными вследствие присутствия частиц, характерные размеры дрейфовых орбит которых сопоставимы с их ларморовскими радиусами.

2. При расчете бутстрэп-тока используется процедура усреднения по магнитным поверхностям, дрейфовые траектории частиц при этом приписываются стартовой магнитной поверхности. Физический смысл этой операции отнюдь не очевиден, а в приосевой области токамака ее применение сомнительно.

3. Обычно рассматриваются только проекции дрейфовых траекторий частиц на полоидальное сечение ip = const, а не трехмерные траектории. В частности, при этом не учитывается ток прецессии.

4. При решении кинетического уравнения в рамках СНТ функция нулевого приближения по параметру тъ/т^ обычно ищется при дополнительном предположении о малости дрейфовой скорости по отношению к продольной скорости. Асимметрия границы между пролетными и запертыми частицами в фазовом пространстве учитывается не вполне последовательно. Эти факторы потенциально способны изменить величину и скейлинги бутстрэп-тока [19,20]. Вышеперечисленные предположения СНТ существенны для получения результатов и накладывают серьезные ограничения на область их применимости. В частности, стандартные неоклассические скейлинги плотности бутстрэп-тока, основанные на приближении малого отклонения траекторий заряженных частиц от магнитных поверхностей, оказываются неприменимыми вблизи центра плазменного шнура. Между тем, надежная количественная оценка величины плотности тока, генерируемого на магнитной оси токамака, особенно важна: при достаточной величине бутстрэп-ток высокоэнергичных а-частиц, рождающихся в центре плазмы

токамака в результате протекания термоядерных реакций, может играть роль "затравочного" [21], что потенциально позволяет создать токамак-реактор с полностью самоподдерживающимся током. Еще одной существенной особенностью интегрирования кинетического уравнения является необходимость учета столкновительных процессов для конкретизации функции распределения. Даже в случае крайне редких столкновений вид функции распределения нулевого порядка оказывается чувствителен к виду интеграла столкновений, а зачастую и полностью определяется его выбором [22]. Обилие разнообразных факторов, влияющих на бутстрэп-эффект, таких, например, как различия в величинах и профилях температуры ионов и электронов, эффекты вязкости, ионной инерции и многие другие затрудняют получение надежных выводов и возможность их последующей верификации, тем более, что учет этих факторов осуществляется не вполне самосогласованно, а с использованием различных упрощающих предположений как в аналитических, так и в численных расчетах. При этом затеняется природа исходного эффекта, связанного, как уже отмечалось выше, со спецификой тороидально-винтовой структуры магнитного поля токамака.

В работах [23-25] использовался способ расчета эволюции функции распределения ансамбля частиц в токамаке, позволяющий отказаться от упрощающих предположений, лежащих в основе СНТ, и вполне аккуратно рассчитать эффект самопроизвольной генерации потоков в результате движения частиц в электромагнитном поле токамака. Рассматривалась задача о бесстолкновительной релаксации изначально изотропного ансамбля частиц в токамаке в присутствии электромагнитного поля. Вид локальной функции распределения /(г, у) определялся путем обратного интегрирования вдоль траекторий, найденных с помощью численного решения точных уравнений движения заряженных частиц ансамбля, при этом не использовалась распространенная, но не вполне оправданная процедуры усреднения по магнитным поверхностям (ни функция распределения, ни плотность тока не являются функциями магнитной поверхности). В [26] было показано, что /(г, у) формируется как функция преимущественно третьего адиабатического инварианта, особенно в приосевой части токамака. Применение изложенного метода к задаче о генерации бутстрэп-тока а-частицами позволило получить точный скейлинг плотности

тока (учитывающий все многообразие траекторий в отсутствие дополнительных предположений о малости отклонения частиц от магнитных поверхностей), применимый во всем объеме плазменного шнура, в том числе, на магнитной оси токамака. В работе [27] специально исследовались магнитные конфигурации разрядов с "полым" током, в которых облегчено создание транспортных барьеров. Было показано, что плотность генерируемого тока в таких конфигурациях также может быть описана полученным скейлингом.

В последнее десятилетие объектом пристального внимания как теоретиков, так и экспериментаторов, работающих в области управляемого термоядерного синтеза, наряду с эффектом генерации бутстрэп-тока, стал эффект спонтанного возникновения вращения плазмы (intrinsic rotation). Как уже отмечалось, по устоявшейся парадигме именно вращению отводится главенствующая роль в понижении уровня турбулентности и поперечного транспорта в режимах с улучшенным удержанием. Спонтанное вращение наблюдается на многих тороидальных установках [28, 29]. Полученные к настоящему времени экспериментальные данные, позволяют установить лишь весьма грубый эмпирический скейлинг скорости спонтанного вращения (так называемый скейлинг Райза), согласно которому скорость спонтанного вращения в центральной части плазменного шнура растет пропорционально градиенту ионного давления и уменьшается с увеличением тока - см. [30-32]. Соответствующие оценки скорости вращения для крупномасштабных установок будущего, таких как ИТЕР, показывают, что спонтанное вращение в них может даже доминировать над вращением, индуцированным пучками нейтральных атомов. Устоявшегося теоретического объяснения процесса генерации спонтанного вращения в токамаках на данный момент нет. Не определен сам "источник" вращения, т. е. механизм приводящий к преобразованию тепловой энергии плазмы в ее механический момент. В общем случае считается, что тороидальное вращение аномально и сильно связано с ионным переносом [33]. Скорость полоидального вращения обычно значительно уступает скорости тороидального вращения по величине и близка к неоклассическим оценкам, хотя существуют и эксперименты [34], указывающие на довольно сильное отклонение скорости полоидального вращения от неоклассических оценок, особенно в присутствии больших градиентов параметров плазмы. В

качестве главного источника спонтанного вращения рассматривается турбулентный тензор вязких напряжений Рейнольдса и - реже -тензор электромагнитных напряжений Максвелла. При этом для объяснения процесса генерации вращения приводится довольно сложная цепочка рассуждений: нелинейная генерация потоков обусловлена действием остаточного напряжения (residual stress) -недиффузионной компоненты потока импульса, которая не зависит ни от скорости вращения, ни от ее градиента - возникающего в результате резонансного взаимодействия волн с частицами [35] при нарушении симметрии в спектре продольных волновых чисел; в качестве одной из причин нарушения симметрии рассматриваются низкочастотные зональные течения, самоорганизующиеся в результате турбулентности [36,37].

Существует два класса полоидально- и тороидально-симметричных возмущений с конечным радиальным пространственным масштабом, приводящих к вращению плазмы в полоидальном и тороидальном направлениях. К первому классу относятся зональные течения (ЗТ), которым соответствуют возмущения с низкими (близкими к нулю) частотами. Вторым классом являются вращательные моды с конечной частотой -так называемые геодезические акустические моды (ГАМ). На существование ГАМ и зональных течений имеются прямые указания в экспериментах [38-41]. В частности, взаимодействием глобальных геодезических акустических мод [42,43] с группой высокоэнергичных частиц объясняется появление тороидально симметричных мод (chirping modes) на установке JET (частота регистрируемых на JET осцилляций пропорциональна квадратному корню из температуры электронов тУ2 , что специфично для частоты ГАМ) -см. [44,45]. Ожидается, что ГАМ и ЗТ будут наблюдаться во всех режимах работы термоядерного реактора, что создает возможность для МГД-спектроскопии и диагностики профиля тока в плазме реактора [46,47].

В рамках идеальной гидродинамики частота ГАМ, локализованной на магнитной поверхности с коэффициентом запаса устойчивости д, может быть представлена в виде

где ш8 = с3/Я - частота звука, с8 = (Гро/^о)1^2 ~ скорость звука, Г - показатель адиабаты, ро и до - равновесные давление и массовая плотность плазмы. Данное выражение впервые было получено в [48] (где, собственно, впервые и были предсказаны ГАМ) для случая статического равновесия плазмы с низким давлением в токамаке с круглым сечением и большим аспектным отношением. Согласно (5), сплошной спектр ГАМ является устойчивым, а, значит, в выбранном приближении не удается объяснить, как рассматриваемые моды могут проявляться в реальных условиях диссипативной среды. Считается, что неустойчивость ГАМ и ЗТ может вызывать взаимодействие с высокоэнергичными частицами [49], присутствующими в плазме из-за инжекции пучков нейтральных атомов или радиочастотного нагрева. Однако также имеются наблюдения, когда ГАМ появляются в разрядах без дополнительного нагрева. В работах [50 54] показано, что при определенных параметрах равновесия к неустойчивости ГАМ и ЗТ может приводить равновесное вращение плазмы.

Материал данной диссертации посвящен исследованию некоторых возможных механизмов самогенерации потоков компонент высокотемпературной плазмы в электромагнитном поле токамака. Рассмотрено два класса задач, непосредственно относящихся к описанной выше фундаментальной проблеме генерации и перераспределения импульса и момента импульса в неоднородной замагниченной плазме. Первый класс задач связан со спонтанной анизотропизацией функции распределения заряженных частиц в тороидально-винтовом магнитном и радиальном электрическом полях токамака, приводящей, в частности, к генерации тороидального тока и вращения ансамбля частиц плазмы. Задачи рассматриваются в рамках бесстолкновительного кинетического подхода. Второй класс задач связан с перераспределением момента импульса в дифференциально вращающейся плазме с временами, определяемыми характерными гидродинамическими неустойчивостями. Демонстрируется возможность генерации крупномасштабных зональных течений и геодезических акустических мод в результате развития мелкомасштабной низкочастотной магнитогидродинамической (МГД) турбулентности. Задачи данного класса исследуются в рамках идеальной МГД.

Перейдем к более детальному рассмотрению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 4 главы, 24 параграфа. Первая глава диссертации посвящена вопросу самопроизвольной анизотропизации функции распределения первоначально изотропного ансамбля частиц в электромагнитном поле токамака. В первом параграфе главы 1 описан используемый метод расчета бесстолкновительной эволюции функции распределения. Во втором параграфе представлен вид функции распределения, устанавливающейся в результате эволюции первоначально изотропного ансамбля частиц. Рассмотрены два типа источников: моноэнергичный источник а-частиц (подпараграф 1.2.1) и источник тепловых ионов с максвелловским распределением по скоростям (подпараграф 1.2.2). В третьем параграфе исследуется связь бесстолкновительной функции распределения с интегралами движения, демонстрируется выделенная роль третьего адиабатического инварианта в формировании зависимости функции распределения от питч-угла. Четвертый параграф посвящен обсуждению основных результатов главы. В пятом параграфе дано краткое резюме главы 1.

Вторая глава диссертации связана с вопросом самопроизвольной генерации тороидального тока в магнитном поле токамака. В первом параграфе описана процедура расчета плотности генерируемого тороидального тока от первоначально изотропного ансамбля высокоэнергичных а-частиц с неоднородным распределением в пространстве. Во втором параграфе приведена краткая сводка известных (полученных в рамках неоклассической теории) скейлингов плотности бутстрэп-тока а-частиц. В параграфе 3 представлено пространственное распределение плотности генерируемого тока во всем сечении плазменного шнура. Демонстрируется сильная неоднородность плотности тока по полоидальному углу; приведено качественное объяснение зависимости плотности тока от полоидального угла. Четвертый параграф посвящен расчету плотности тока на магнитной оси токамака. Обсуждается роль эффекта асимметрии движения частиц в генерации тока в токамаке. Представлена связь плотности генерируемого на оси тока с профилем начальной концентрации а-частиц. В пятом параграфе исследуется зависимость величины генерируемого тока от параметра определяющего меру отклонения

траекторий от магнитных поверхностей. Проводится сравнение усредненной по магнитной поверхности плотности тока с известными скейлингами бутстрэп-тока. Предложен обобщенный скейлинг плотности тока, одинаково пригодный как для периферии, так и для центра плазменного шнура. В шестом параграфа обсуждается роль неоднородности коэффициента запаса устойчивости q в генерации бутстрэп-тока. Рассмотрены монотонно нарастающие профили д, а также профили q с минимумом в приосевой части плазменного шнура. Показано, что плотность тока зависит от изменения величины д вдоль траекторий заряженных частиц. Исследуется зависимость плотности тока от локальной производной q. Седьмой параграф посвящен обсуждению основных результатов главы. В восьмом параграфе представлено краткое резюме главы 2.

Третья глава диссертации посвящена вопросу самопроизвольной генерации вращения в радиальном электрическом поле токамака. Постановка задачи обсуждается в первом параграфе главы. Во втором параграфе представлены рассчитанные профили компонент (полоидальной и тороидальной) макроскопической скорости вращения. Демонстрируется примерное совпадение величины полоидальной компоненты макроскопической скорости вращения с локальной скоростью электрического дрейфа и значительное отклонение профиля скорости тороидального вращения от неоклассических оценок. Показано, что тороидальная составляющая скорости макроскопического вращения направлена в разные стороны на внешней и внутренней сторонах тора. В третьем параграфе исследуются особенности влияния радиального электрического поля на тороидальное движение отдельных заряженных частиц. Демонстрируется различие в результирующем влиянии электрического дрейфа на тороидальное вращение пролетных и запертых частиц токамака. Возможная роль радиального электрического поля в генерации бутстрэп-тока обсуждается в четвертом параграфе. В пятом параграфе представлен макроскопический баланс сил в рассматриваемой системе. В шестом параграфе обсуждаются основные результаты главы. Резюме главы 3 приведено в параграфе 7.

Четвертая глава посвящена исследованию возможности генерации турбулентных течений в результате развития МГД-неустойчивостей. В рамках идеальной МГД рассматривается задача об устойчивости

электростатических осесимметричных мод - ГАМ и ЗТ - в токамаке с полоидальным и тороидальным вращением. В первом параграфе приведена сводка имеющихся результатов о роли вращения в формировании сплошного спектра ГАМ и ЗТ. Второй параграф посвящен описанию используемого формализма: представлены исходные уравнения идеальной магнитной гидродинамики, выведено общее условие равновесия в токамаке с полоидальным и тороидальным вращением плазмы, рассчитаны неоднородные (на магнитных поверхностях) составляющие массовой плотности и давления плазмы, индуцированные центробежной силой. В третьем параграфе рассматриваются возмущения предполагаемого равновесия. Собственно решение задачи описывается в четвертом параграфе. В подпараграфе 4.3.1 линеаризованные уравнения для МГД-возмущений упрощены для случая токамака с большим аспектным отношением и относительно медленным вращением. Зависящие от полоидального угла возмущения продольной скорости и массовой плотности плазмы представлены в 4.3.2. Уравнение нормальных мод для осесимметричных возмущений получено в 4.3.3. Выведено дисперсионное уравнение; анализируются свойства его спектра. Демонстрируется возможность генерации неустойчивых ЗТ. Резюме главы 4 представлено в четвертом параграфе.

Основные выводы диссертационной работы суммируются в Заключении.

Следующие положения автор выносит на защиту.

1. Вывод о том, что в бесстолкновительном режиме функция распределения ансамбля частиц с заданной энергией в токамаке естественно формируется как функция преимущественно третьего адиабатического инварианта, особенно в приосевой области.

2. Обобщенный скейлинг плотности тороидального тока, генерируемого при эволюции первоначально изотропного ансамбля а-частиц с заданным пространственным распределением в магнитном поле токамака, применимый ко всему объему плазменного шнура.

3. Утверждение о том, что скорость тороидального вращения максвелловского ансамбля частиц в радиальном электрическом поле токамака не сводится к локальной скорости электрического дрейфа и направлена в разные стороны на внутренней и внешней сторонах тора, что связано с сосуществованием в токамаке подгрупп пролетных и запертых частиц.

4. Аналитическое выражение для средней тороидальной скорости вращения пролетных частиц в магнитном и радиальном электрическом полях токамака.

5. Обнаруженную неустойчивость сплошного спектра электростатических осесимметричных мод - ГАМ и ЗТ - в плазме токамака с полоидальным и тороидальным вращением.

По теме диссертации опубликовано 16 научных работ [23-27,42,43, 51-59] в том числе 5 статей [25-27,53,57] в рецензируемых журналах и два оригинальных численных кода [58,59].

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Сорокина, Екатерина Алексеевна

Заключение

В данной диссертации суммированы результаты исследования некоторых возможностей самопроизвольной генерации макроскопических потоков компонент высокотемпературной плазмы в электромагнитном поле токамака. К генерации тока и вращения в плазме может приводить спонтанная анизотропизация функции распределения ансамбля заряженных частиц, не являющейся в начальный момент времени функцией интегралов движения. Так, начальная пространственная неоднородность ансамбля частиц в магнитном поле токамака приводит к генерации дополнительного тороидального тока в направлении омического тока - известный бутстрэп-эффект. В присутствии радиального электрического поля в системе может возникать и однонаправленное движение положительно и отрицательно заряженных компонент, т.е. макроскопическое вращение плазмы, причем как тороидальное, так и полоидальное. В качестве еще одной причины самопроизвольной генерации потоков в токамаке могут выступать МГД-неустойчивости равновесных плазменных конфигураций по отношению к определенным видам возмущений. В диссертации исследован пример генерации зональных течений в токамаке в результате неустойчивости плазмы с изэнтропичными магнитными поверхностями по отношению к осесимметричным электростатическим модам.

В кинетических исследованиях, проведенных в настоящей диссертации, использовался специально разработанный оригинальный компьютерный код, основанный на численном интегрировании точных трехмерных уравнений движения заряженных частиц. Код рассчитывает динамику функции распределения единообразно во всем объеме плазменного шнура, поскольку не нуждается в дополнительном предположении о малости отклонения траекторий движения заряженных частиц от магнитных поверхностей, свойственном неоклассической теории. В диссертационной работе вычисления проведены для токамака с круглыми концентрическими магнитными поверхностями, однако аналогичные расчеты могут быть проделаны и для любой другой магнитной конфигурации, обладающей осевой симметрией.

Путем временного усреднения функции распределения /(г, у,£) найден полностью бесстолкновительный аналог стационарной функции распределения, рассчитываемой по методу теории возмущений с малым параметром тъ/т^. Полученная функция распределения /(г, у) является локальной, т. е. не предполагает изначального усреднения по магнитной поверхности. Выявлена преимущественная зависимость бесстолкновительной функции распределения /(г, у) от третьего адиабатического инварианта.

Исследованы свойства тороидального потока, отвечающего результирующей анизотропии функции распределения ансамбля частиц в электромагнитном поле токамака. Во всем объеме плазменного шнура рассчитана плотность тока, генерируемая первоначально изотропным источником ск-частиц с неоднородным пространственным распределением. Показано, что плотность генерируемого тороидального тока не является функцией магнитной поверхности и сильно поляризована в полоидальном сечении, причем амплитуда полоидальных осцилляций плотности тока значительно превышает ее среднее значение на магнитной поверхности. Рассчитана плотность бутстрэп-тока ск-частиц на магнитной оси токамака. Продемонстрирована чувствительность эффективности генерации тока в окрестности магнитной оси к характеру пространственного распределения функции источника. Установлен скейлинг (функциональная зависимость) плотности тока, одинаково применимый как к периферии, так и к центру плазменного шнура. Исследована нелокальная связь плотности генерируемого тороидального тока с профилем коэффициента запаса устойчивости в установке.

Рассчитана скорость макроскопического вращения, генерируемая в результате эволюции первоначально изотропной (максвелловской) функции распределения однородного ансамбля частиц в радиальном электрическом поле токамака. Продемонстрировано, что даже в простейшей магнитной конфигурации с круглыми концентрическими магнитными поверхностями полученный профиль макроскопической скорости вращения ансамбля весьма нетривиален: тороидальная скорость вращения не сводится к локальной скорости электрического дрейфа и направлена в разные стороны на внутренней и внешней сторонах тора. Проанализировано движение отдельных частиц ансамбля в радиальном электрическом поле токамака. Показано, что в среднем пролетные и запертые частицы приобретают в радиальном электрическом поле токамака разную добавку к тороидальной скорости. Получено аналитическое выражение для средней тороидальной скорости пролетных частиц в электромагнитном поле токамака.

Исследовано влияние радиального электрического поля на генерацию бутстрэп-тока в токамаке. Показано, что, хотя электрическое поле довольно сильно изменяет величину плотности потока каждой из компонент плазмы, в рассматриваемом бесстолкновительном приближении на суммарный ток оно влияния не оказывает.

В рамках МГД-теории рассмотрен механизм генерации макроскопических течений как результат развития неустойчивости электростатических осесимметричных мод в токамаке с равновесным тороидальным и полоидальным вращением и изэнтропичными магнитными поверхностями. Получено дисперсионное уравнение для сплошного спектра рассматриваемых мод в токамаке с большим аспектным отношением. Установлен интервал тороидального и полоидального чисел Маха, в котором рассматриваемые колебания оказываются неустойчивыми, что в рамках модели отвечает генерации неустойчивых зональных течений.

Полученные результаты важны для понимания физических механизмов самогенерации макроскопических потоков плазмы и расчетов их величины в перспективных системах магнитного удержания плазмы типа токамак и базирующихся на их основе энергетических термоядерных реакторах будущего. Предложенное выражение для плотности тороидального тока ск-частиц позволяет оценить максимальную величину тока, возникающего при взаимодействии заданного ансамбля частиц с электромагнитным полем токамака, в любой точке плазменного шнура. Бутстрэп-ток ск-частиц в окрестности магнитной оси может играть роль "затравочного" тока, необходимого для создания токамака-реактора с полностью самоподдерживающимся током. Продемонстрированная сильная зависимость плотности генерируемого тока от полоидального угла указывает на необходимость согласованного рассмотрения задачи о генерации бутстрэп-тока с задачей о равновесии; при этом традиционно проводимое формальное усреднение генерируемого тока по магнитной поверхности представляется недостаточным. Выявленная преимущественная зависимость бесстолкновительной функции распределения от третьего адиабатического инварианта способна заметно упростить поиск приближенных решений при кинетических расчетах (как аналитических, так и численных) и повысить их качество. Обнаруженная в диссертационной работе неустойчивость мод сплошного спектра ГАМ и ЗТ может быть ответственна за наблюдаемую в современных экспериментах на токамаках низкочастотную МГД активность. Выявленная зависимость порога неустойчивости от скорости равновесного вращения плазмы допускает возможность прямой экспериментальной проверки. Отдельное методическое и практическое значение имеют разработанные автором численные коды [58, 59]. Коды снабжены простыми пользовательскими интерфейсами, что делает их пригодными для внедрения в учебный процесс высших образовательных заведений.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. И. Ильгисонису за предоставленную возможность совместной работы, за постоянную и разностороннюю помощь в ходе получения результатов и подготовки диссертации, а также за стимулирование интереса к проблемам и задачам физики плазмы, сыгравшим решающую роль в выборе направления научной деятельности автора. Автор благодарна своим соавторам, Э. И. Юрченко за привлечение внимания к проблеме самогенерации тока, ставшей отправной точкой для данной диссертационной работы, В. П.Лахину, А. И. Смолякову и И. В. Хальзову за плодотворное сотрудничество в аналитических и численных расчетах, вошедших в четвертую главу диссертации. Автор также признательна всем сотрудникам Отдела физики плазмы ИФТ за обсуждение материалов диссертации и высказанные полезные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сорокина, Екатерина Алексеевна, 2012 год

Литература

[1] OhkawaT. New methods of driving plasma current in fusion devices// Nucl. Fusion. - 1970. - V. 10. - P. 185-188.

[2] WortD.J.H. The peristaltic tokamak// Plasma Phys. - 1971. -V. 13. - P. 258-261.

[3] Wagner R., Becker G., BehringerK. et al. Regime of improved confinement and high beta in neutal-beam-heated divertor discharges of the ASDEX tokamak// Phys. Rev. Lett. - 1982. - V. 49. - P. 14081412.

BiglariH., Diamond P. H., Terry P. W. Influence of sheared poloidal rotation on edge turbulence//Phys. Fluids B. - 1990. - V. 2. - P. 1-4.

Bitter M., WongK.L., ScottS., et al. Measurements of the toroidal plasma rotation velocity in TFTR major radius compression expreri-ments with auxiliary neutral beam heating// Phys. Fluids B. - 1990.

- V. 2. - P. 1503-1506.

Chapman I. Т., Hender Т. C., Saarelma S., et al. The effect of toroidal plasma rotation on sawteeth in MAST// Nuclear Fusion. - 2006. -V. 46. - P. 1009-1016.

Ландау JI. Д., ЛифшицЕ. М. Теоретическая физика. Т. II. Теория поля. - 7-е изд., исправл. - М.: Наука. - 1988. - 509 с.

ShakuraN. I., SunyaevR. A. Black holes in binary systems. Observational appearance// Astronomy and Astrophysics. - 1973. - V. 24.

- P. 337-355.

Bickerton R. J., Connor J. W., Taylor J. B. Diffusion driven plasma currents and bootstrap tokamak// Nature Phys. Sci. - 1971. - V. 229.

- P. 110-112.

ГалеевА.А., СагдеевР. 3. Явления переноса в разряженной плазме в тороидальных магнитных ловушках// ЖЭТФ - 1967.

- Т. 53. - Р. 348-359.

KadomtsevB. В., Shafranov V. D. A stationary tokamak// Nuclear Fusion. Supplement. - 1972. - P. 209-214.

Галеев А. А., Сагдеев P. 3. "Неоклассическая" теория диффузии// Вопросы теории плазмы. Вып. 7 / Под ред. М. А. Леонтовича. -М.: Атомиздат. - 1973. - С. 205-298.

ГалеевА.А., СагдеевР.3. О предельном давлении плазмы в токамаке// Письма в ЖЭТФ. - 1971. - Т. 13. - С. 162-163.

HintonF.L., HazeltineR. D. Theory of plasma transport in toroidal confinement systems// Rev. Mod. Phys. - 1976. - V. 48. - P. 239-308.

[15] Коврижных JT. М. Неоклассическая теория процессов переноса в тороидальных магнитных ловушках// В сб. Итоги науки и техники. Физика плазмы. - 1982. - Т. 3. - С. 239-281.

[16] Ben DanielD. J., AllisW. P. Scattering loss from magnetic mirror systems// Plasma Phys. (J. Nucl. Energy, pt. C). - 1962. - V. 4. -P. 31-52, 79-88.

[17] Пастухов В. П. Классические продольные потери плазмы в открытых адиабатических ловушках// Вопросы теории плазмы. Вып. 13 / Под ред. акад. Б. Б. Кадомцева. - М.: Энергоатомиздат. - 1984. - С. 160-204.

[18] Сивухин Д. В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях.// Вопросы теории плазмы. Вып. 1 / Под ред. М. А. Леонтовича. - М.: Госатомиздат. - 1963. - С. 7-97.

[19] ГоттЮ.В., ЮрченкоЭ.И. Физическая природа электрического тока, порождаемого асимметрией движения частиц в тороидальных магнитных ловушках// Физика плазмы. -2002. - Т. 28. - С. 419-431.

[20] TaniK., AzumiM. Simulation studies on alpha-particle-driven current in tokamak reactors// Nucl. Fusion. - 2008. - V. 48. - P. 085001.

[21] КолесниченкоЯ. И., ПутвинскийС. В., РезникС.Н. и др. Токамак-реактор с самоподдерживающимся током// Физика плазмы. - 1981. - Т. 7. - С. 803-809.

[22] AngioniC., SauterO. Neoclassical transport coefficients for general axisymmetric equilibria in the banana regime// Phys. Plasmas. -2000. - V. 7. - P. 1224-1234.

[23] Сорокина E.A., Ильгисонис В. И. Самопроизвольная генерация тока альфа-частиц в замагниченной плазме// Конференция-конкурс молодых физиков, Москва, 19 апреля, 2010, приложение к журналу "Физическое образование в вузах". - 2010. - Т. 16. -С. 7.

[24] SorokinaE. A., Ilgisonis V. I. Collisionless evolution of isotropic alpha-particle distribution in a tokamak// 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejeon, Republic of Korea, October 11-16, 2010, Book of Abstracts. - 2010. - P. 381.

[25] ИльгисонисВ. И., СорокинаЕ. А., ЮрченкоЭ.И. Бесстолкновительная генерация тока в центре плазмы токам ака изотропным источником альфа-частиц// Физика плазмы. -2010. - Т. 36. - С. 3-16.

[26] ИльгисонисВ.И., СорокинаЕ.А. Третий адиабатический инвариант и бесстолкновительная функция распределения ансамбля частиц в токамаке// Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94.

- С. 742-747.

[27] СорокинаЕ.А. Влияние неоднородности коэффициента запаса устойчивости на бесстолкновительную генерацию тока в токамаке// Физика плазмы. - 2011. - Т. 37. - С. 21-29.

[28] Rice J. Е., LeeW. D., MarmarE. S. et al. Observations of anomalous momentum transport in Alcator C-Mod plasmas with no momentum input// Nucl. Fusion. - 2004. - V. 44. - P. 379-386.

[29] DeGrassie J. S., Rice J. E., BurrellK.H. et al. Intrinsic rotation in DIII-D// Phys. Plasmas. 2007. - V. 14. - P. 056115.

[30] Rice J. E., Ince-Cushman J. S., deGrassie J. S. et al. Inter-machine comparison of intrinsic toroidal rotation in tokamaks// Nucl. Fusion.

2007. - V. 47. - P. 1618-1624.

[31] YoshidaM., KamadaY., TagenagaH. et al. Role of pressure gradient on intrinsic toroidal rotation in tokamak plasmas// Phys. Rev. Lett.

- 2008. - V. 100. - P. 105002.

[32] IdaK., YoshinumaM., NagaokaK. et al. Spontaneous toroidal rotation driven by the off-diagonal term of momentum and heat transport in the plasma with the ion internal transport barrier in LHD// Nucl. Fusion. - 2010. - V. 50. - P. 064007.

[33] Sakamoto Y., ShiraiH., FujitaT. et al. Impact of toroidal rotation on ELM behaviour in the H-mode on JT-60U// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2004. - V. 46. P. A299-A304.

[34] SolomonW. M., BurrellK.H., AndreR. et al. Experimental test of the neoclassical theory of impurity poloidal rotation in tokamaks// Phys. Plasmas. - 2006. - V. 13. - P. 056116.

[35] Diamond P. H., McDevittC. J., GiircanÔ. D. et al. Transport of parallel momentum by collisionless drift wave turbulence// Phys. Plasmas. - 2008. - V. 15. - P. 012303.

[36] Diamond P. H., ItoS. I., ItohK. et al. Zonal flows in plasma - a review// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005. - V. 47. - P. R35-R162.

[37] HallatschekK. Nonlinear three-dimensional flows in magnetized plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2007. - V. 49. - P. B137-B148.

[38] Convay G. D., Scott В., Schirmer J. et al. Direct measurement of zonal flows and geodesic acoustic mode oscillations in ASDEX Upgrade using Doppler reflectometry// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005. -V. 47.-P. 1165-1186.

[39] McKeeG.R., GuptaD.K., FonckR. J. et al. Structure and scaling properties of the geodesic acoustic mode// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V. 48. - P. S123-S136.

[40] IdoT, Miura Y., KamiyaK. et al. Geodesic-acoustic-mode in JFT-2M tokamak plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V. 48.

- P. S41-S50.

[41] MelnikovA.V., VershkovV.A., EliseevL.G. et al. Investigation of geodesic acoustic mode oscillations in the T-10 tokamak// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2006. - V. 48. P. S87.

[42] SorokinaE. A., Ilgisonis V. I., LakhinV.P., Smolyakov A. I., Khal-zovl. V. Global geodesic acoustic modes in tokamak plasmas// 52nd Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics, Chicago, USA, November 8-12, 2010. - Abstract № BP9.133.

[43] ИльгисонисВ.И., ЛахинВ.П., Смоляков А. И., СорокинаЕ. A., ХальзовИ.В. Глобальные геодезические акустические моды в плазме токамака// XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, 14-18 февраля, 2011. - Тезисы докладов. - 2011. - С. 56.

[44] BoswellC. J., Berk H. L., BorbaD. N. et al. Observation and explanation of the jet n=0 chirping mode// Phys. Lett. A. - 2006. - V. 358.

- P. 154-158.

[45] BerkH.L., BoswellC.J., BorbaD.N. et al. Explanation of the JET n = 0 chirping mode// Nucl. Fusion. - 2006. - V. 46. - P. S888-S897.

[46] FasoliA., Testa D., SharapovS. et al. MHD spectroscopy.// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2002. - V. 44. - P. B159-B172.

[47] ItohS.I., ItohK., Sasaki M. et al. Geodesic acoustic mode spectroscopy.// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2007. -V. 49. P. L7-L10.

[48] WinsorN., Johnson J. L., Dawson J. M. Geodesic acoustic waves in hydromagnetic systems// Phys. Fluids. - 1968. - V. 11. - P. 24482450.

[49] BerkH. L., Zhou T. Fast excitation of EGAM by NBI// Nucl. Fusion. - 2010. -V. 50. - P. 035007.

[50] Lakhin V. P., Ilgisonis V. I., Smolyakov A. I. Geodesic acoustic modes and zonal flows in toroidally rotating tokamak plasmas// Phys. Lett. A. 2010. -V. 374. - P. 4872-4875.

[51] Ilgisonis V. I., Lakhin V. P., SorokinaE. A., Smolyakov A. I. Geodesic acoustic modes in rotating large aspect ratio tokamak plasmas// 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejeon, Republic of Korea, October 11-16, 2010, Book of Abstracts. - 2010. - P. 351.

[52] ИльгисонисВ.И., ЛахинВ.П., СмоляковА.И., СорокинаЕ.А. Теория геодезических акустических мод и зональных течений во вращающейся плазме// XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, 14-18 февраля, 2011, Тезисы докладов. - 2011. -С. 55.

[53] Ilgisonis V. I., Lakhin V. P., Smolyakov A. I., SorokinaE. A. Geodesic acoustic modes and zonal flows in rotating large-aspect-ratio tokamak plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2011. - V. 53. -P. 065008.

[54] Ilgisonis V. I., Lakhin V. P., Smolyakov A. I., SorokinaE. A. Geodesic acoustic modes in arbitrary rotating tokamak plasma// 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, 27 June - 1 July, 2011, abstract № P2.138.

[55] Сорокина Е. А., ИльгисонисВ. И. Влияние электрического поля на движение заряженных частиц в токам аке// XXXVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, Звенигород, 14-18 февраля, 2011, Тезисы докладов. - 2011. - С. 44.

[56] SorokinaE. A., IlgisonisV. I. Radial electric field and kinetics of toroidally rotating tokamak plasma// 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, 27 June - 1 July, 2011, abstract № P5.120.

[57] СорокинаE. А., Ильгисонис В. И. Радиальное электрическое поле и вращение ансамбля частиц плазмы в токамаке// Физика плазмы. - 2012. - Т. 38. - С. 307-317.

[58] Сорокина Е. A. EPTrajectory// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611301 от 15 февраля 2010.

[59] Сорокина Е. A. Dpoincare// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616806 от 1 сентября 2011.

[60] Крылов В. И., Бобков В .В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. II. - М.: Наука. - 1977. - 400 с.

[61] Путвинский С. В. Альфа-частицы в токамаке// Вопросы теории плазмы. Вып. 18 / Под ред. акад. Б. Б. Кадомцева. - М.: Энергоатомиздат. 1990. - С. 209-315.

[62] Ландау JI. Д., ЛифшицЕ. М. Теоретическая физика. Т. I. Механика. 5-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2004. - 224 с.

[63] Northrop Т. G, Teller Е. Stability of the adiabatic motion of charged particles in the Earth's field// Phys. Rev. - 1960. - V. 117. - P. 215225.

[64] Goloborod'ko V. Ya., Kolesnichenko Ya. I., Yavorskij V. A. Neoclassical theory of alpha-particle transport in the central region of a tokamak plasma// Nucl. Fusion. - 1983. - V. 23. - P. 399-406.

[65] Nocentini A., Tessarotto M., Engelmann F. Neoclassical theory of col-lisional transport in the presence of fusion а-particles// Nucl. Fusion. - 1975. - V. 15. - P. 359-370.

[66] Hsu С. Т., ShaingK.C., GormleyR. P., SigmarD.J. Bootstrap current induced by fusion born alpha particles// Phys. Fluids B. - 1992. - V. 4. - P. 4023-4032.

[67] Hsu С. Т., Sigmar D. J. Transport induced by ion-impurity friction in strongly rotating, collisional tokamak plasma// Plasma Phys. Control. Fusion. - 1990. - V. 32. - P. 499-540.

[68] TaguchiM. Analytic expressions for neoclassical transport coefficients including finite banana-width effect around the magnetic axis// J. Plasma Fusion Res. - 2001. - V. 77. - P. 153-161.

[69] IsaevM.Yu., BrunnerS., CooperW. A. et al. VENUS + Af: Bootstrap current calculation module for 3-D configurations// Fus. Sci. Technol. - 2006. - V. 50. - P. 440-446.

[70] ShaingK.C., HazeltineR. D., Zarnstorff M. C. Electron transport processes close to magnetic axis in tokamaks// Phys. Plasmas. -1997. - V. 4. - P. 1375-1378.

[71] ГоттЮ.В., ЮрченкоЭ.И. Топология дрейфовых траекторий заряженных частиц и теплоперенос в токамаке// Физика плазмы. - 1999. - Т. 25. - С. 403-415.

[72] GottYu., YurchenkoE. Self-generation of steady state current in tokamaks// 36th EPS Conference on Plasma Physics, Sofia, Bulgaria, 29 June - 3 July, 2009. P. 2.189.

[73] WatanabeK., NakajimaN., OkamotoM. et al. Three-dimensional MHD equilibrium in the presence of bootstrap current for the Large Helical Device// Nucl. Fusion. 1992. - V. 32. - P. 1499-1514.

[74] Hinton F. L. Thermal confinement bifurcation and the L- to H-mode transition in tokamaks// Phys. Fluids B. - 1991. - V. 3. - P. 696-704.

[75] KimY. В., Diamond P. H., GroebnerR. J. Neoclassical poloidal and toroidal rotation in tokamaks// Phys. Fluids B. - 1991. - V. 3. -P. 2050-2060.

[76] Davydenko V. I., IvanovA. A., Karpushov A. N. et al. Radial electric field measurement in a tokamak by the injection of a pulsed neutral beam// Plasma Phys. Control. Fusion. - 1994. - V. 36. - P. 18051817.

[77] PetrovYu., Huang Т. S. Plasma rotation caused by radial electric field in tokamaks: a calculation using the guiding field line model// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2002. - V. 44. - P. 1483-1499.

[78] Кадомцев Б. Б., ПогуцеО.П. Неустойчивость плазмы на запертых чатсицах в тороидальной геометрии// ЖЭТФ. -1966. Т. 51. С. 1734-1746.

[79] WangS. Zonal flows in tokamak plasmas with toroidal rotation// Phys. Rev. Lett. - 2006. - V. 97. - P. 085002, 129902(erratum).

[80] WahlbergC. Geoesic acoustic mode induced by toroidal rotation in tokamaks// Phys. Rev. Lett. 2008. - V. 101. P. 115003.

[81] WahlbergC. Low-frequency magnetohydrodynamics and geodesic acoustic modes in toroidally rotating tokamak plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2009. - V. 51. - P. 085006.

[82] MeisterH., Kallenbach A., PeetersA. G. et al. Measurement of poloidal flow, radial electric field and Ex В shearing rates at ASDEX Upgrade// Nucl. Fusion. - 2001. - V. 41. - P. 1633-1644.

[83] Duval B. P., Bortolon.A., KarpushovA. et al. Bulk plasma rotation in the TCV tokamak in the absence of external momentum input// Plasma Phys. Control. Fusion. - 2007. - V. 49. P. B195-B210.

[84] ThroumoloupolosG. N., WeitznerH., TassoH. On nonexistence of tokamak equilibria with purely poloidal flow// Phys. Plasmas. -2006. - V. 13. - P. 122501.

[85] ИльгисонисВ. И., ПоздняковЮ. И. Транспортный барьер в плазме токамака как бифуркация равновесия// Физика плазмы

- 2002. - V. 28. - Р. 99-109.

[86] Van der Hoist В., ВеИёп A. J. С., Goedbloed J. P. Low frequency Alfven waves induced by toroidal flows// Phys. Plasmas. - 2000.

- V. 7. - P. 4208-4222.

[87] GorelenkovN. N., BerkH.L., FredricksonE., et al. Predictions and observations of low-shear beta-induced shear Alfven-acoustic eigen-modes in toroidal plasmas// Phys. Lett. A. - 2007. - V. 370. - P. 7077.