Алгебраическая характеризация классов непрерывных и интегрируемых функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Серединский, Александр Александрович

• Серединский, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Серединский, Александр Александрович

1 Введение.

1 Некоторые алгебраические характеризации семейства непрерывных функций.

1.1 с-Кольцевая характсризация семейства непрерывных функций.

1.1.1 Предварительные сведения.

1.1.2 Необходимые характеристические кольцевые свойства семейства

С (К). Понятие с-кольца.

1.1.3 Наделение с-кольца структурой М-алгебры.

1.1.4 Введение структуры нормированной упорядоченной К-алгебры.

1.1.5 Описание факторов с-кольца по максимальным идеалам.

1.1.6 Реализация с-кольца в виде кольца вещественно-значных функций.

1.1.7 Реализация с-кольца в виде кольца непрерывных вещественно-значных функций.

1.1.8 Случай комплексно-значных функций.

1.1.9 Случай функций со значением в кватернионах.

1.1.10 Доказательство эквивалентности условий.

1.2 Характсризация семейства непрерывных функций в терминах коммутативных /-групп.

1.2.1 Коммутативные /-группы и с/-группы.

1.2.2 Необходимые характеристические свойства семейства непрерывных функций на компактном пространстве.

1.2.3 Наделение с/-группы структурой линейного решёточного пространства над полем Е.

1.2.4 Введение структуры нормированного решёточного пространства.

1.2.5 Реализация с/-группы в виде с/-группы непрерывных вещественно-значных функций.

2 Описание расширения Римана с/-группы непрерывных функций.

2.1 Коммутативные /г-группы и с1г-группы.

2.1.1 с/-Групповые фактор-пространства.

2.1.2 Коммутативные /г-группы и /г-расширения.

2.1.3 с/г-Груипы и с/г-расширения.

2.1.4 Элементарные типы полноты. Понятие регулярного пополнения.

2.1.5 Функционально-факторные с/г-групиы.

2.1.6 Функционально-факторные с/г-расширения, порождаемые равномерными функциями.

2.2 Функциональное описание расширения Римана.

2.2.1 Основные понятия.

2.2.2 Описание функций, д-интегрируемых по Риману.

2.3 Расширение Римана и сечения в С.

2.3.1 с1г,г Расширения.

2.3.2 Предварительные леммы.

2.3.3 Теорема граничности.

2.3.4 Теорема полноты.

2.3.5 Теорема регулярности.

2.3.6 Расширение Римана как регулярное пополнение. Теорема единственности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая характеризация классов непрерывных и интегрируемых функций»

Данная диссертация носвящена исследованию колец и решёточно-уиорядоченных групп непрерывных функций и функций, интегрируемых по Риману. Главной целью работы является чисто алгебраическая характеризация семейства непрерывных функций на компактном пространстве и его классического расширения, составленного из функций, интегрируемых по Риману. Результаты работы относятся к теории функциональных алгебраических систем, то есть к той части алгебры, которая изучает алгебраические системы функций, возникающие в разных разделах математики, таких, как теория функций, математический анализ, топология, теория меры и другие.

Истоки этой теории восходят к знаменитой теореме Вейерштрасса о плотности подалгебры многочленов в алгебре непрерывных функций на отрезке (см., например, [I]1, Гл. 7, 7.24 и [2]2, IV, §5). Основополагающие результаты в этой теории были получены М. Стоуном (см., например, [З]3, II, §7 и [4]4, Введение, 2), И.М. Гельфандом ([5]5 , III, §11), Какутани ([б]6), М.Г. Крейном и С.Г. Крейном ([7]7). Алгебраическим системам непрерывных функций были посвящены монографии ([8]8) и ([9]9). Различные классические расширения кольца и банаховой алгебры непрерывных функций были

1 Рудин У. Основы математического анализа - М.: Мир, 1966.

2 Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной - М.: Наука, 1974.

3 Hewitt Е.-, Stromberg К. Real and Abstract Analysis - Berlin: Springer-Verlag, 1975.

4 Иосида К. Функциональный анализ - М.: Мир, 19G7.

5 Наймарк М.А. Нормированные кольца - М.: Наука, 19G8.

6 Kakutani S. Concrete representation of abstract (M)-spaces // Ann. of Math., 1941. V.42. P. 994-1024.

7 Крейн М.Г., Крейн С.Г. Об одной внутренней характеристике пространства всех непрерывных функций, определенных на хаусдорфовом бикомпактном множестве // Доклады Академии Наук СССР, 1940. Т.27. С. 427-431.

8 L. Gillman, М. Jerison Rings of continuous functions. - New-York: D. Van Nostrand Company, Inc., 1960.

9 Semadeni Z. Danach spaces of continuous functions // Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1971. изучены В. К. Захаровым (см., например, [Ю]10, [II]11, [12]12, [13]13 и [14]1"). Описание этих классических расширений в категории с/-групп с измельчениями было начато В. К. Захаровым в работе [15]15.

Целью данной работы является алгебраическая характеризация семейства С (К) всех вещественно-значных непрерывных функций в терминах колец и коммутативных решёточно-упорядоченпых групп, а также алгебраическая характеризация его классического расширения, составленного из функций, интегрируемых по Риману. Основные результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. дана характеризация семейства всех непрерывных функций С(К) на компактном пространстве К в чисто кольцевых терминах для случаев вещественно-значных (в формулировке Дельфосса), комплексно-значных и кватернионно-значных функций;

2. дана характеризация семейства всех вещественно-значных непрерывных функций С (К) на компактном пространстве К в терминах коммутативных решёточно-упорядоченных групп;

3. для расширения Римана коммутативной решёточно-упорядоченной группы С(К) непрерывных функций доказаны теоремы граничности и полноты, близкие к теоремам граничности и полноты для расширения Дедекинда Q С R поля рациональных чисел;

10 Захаров В. К. Связь между классическим кольцом частных кольца непрерывных функций и функциями, интегрируемыми по Риману// Фундаментальная и прикладная математика, 1995. Т.1, вып. 1. С.161-176.

11 Захаров В. К. Связи между расширением Римана и классическим кольцом частных и между прообразом Семадени и секвенциальным абсолютом// Труды московского математического общества, 1996. Т. 57. С.239-262.

12 Zaharov V.K. Alexandrovian cover and Sierpin'skian extension// Studia Sei. Math. Hung. 1989. V.24. P.93-117.

13 Захаров В. К. Связь между полным кольцом частных кольца непрерывных функций, регулярным пополнением и расширениями Хаусдорфа-Серпинского// Успехи математических наук, 1990. Т. 45, вып. 6. С. 133-134.

14 Захаров В. К. Счетно-делимое расширение и расширение Бэра кольца и банаховой алгебры непрерывных функций как делимая оболочка// Алгебра и анализ, 1993. Т. 5, вып. 6. С.121-138.

15 Захаров В.К .Описание некоторых расширений семейства непрерывных функций посредством порядковых границ // Доклады Академии Наук, 2005. Т.400, AM. С.444-448.

4. дана характеризация классического расширения коммутативной решёточно-упорядочеиной группы С (К), состоящего из функций, интегрируемых по Риману, как расширения, обладающего свойствами граничности, полноты и регулярности.

В работе используются методы и результаты теории колец, коммутативной алгебры, теории банаховых пространств и алгебр и теории решёточно-упорядоченных групп.

Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения семейств непрерывных функций со значениями в различных полях и их классических расширений, составленных из функций, интегрируемых по Лебегу.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ; на семинаре "Научно-исследовательский семинар по алгебре" кафедры высшей алгебры МГУ; на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию московского университета (Москва, Россия, 2004 г.); на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С.М. Никольского (Москва, Россия, 2005 г.).

Основные результаты опубликованы в 5-ти работах, список которых приведен в конце автореферата [1-5].

Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 111 страниц, библиография включает 37 наименований.

В диссертации используется терминология, принятая в книгах [1б]16, [17]17, [18]18, [19]19,[20]20, [21]21. Использование особых терминов будет каждый раз специально оговариваться.

Первая глава посвящена характеризации некоторых алгебраических систем, представимых в виде множества всех непрерывных ограниченных функций на тихоновском пространстве. В качестве таких алгебраических систем рассматриваются коммутативные кольца и решёточные коммутативные группы. Глава состоит из двух

16 Ламбек И. Кольца и модули - М.: Мир, 1971.

17 Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории - М.: Мир, 1977.

18 Engelking R. General topology - Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1977.

19 Биркгоф Г. Теория решёток - М: Наука, 1984.

20 Фукс JI. Частично упорядоченные алгебраические системы - М: Мир, 19G5.

21 Богачёв В. И. Осуювы теории меры. Том 1 и 2 - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003.

параграфов: в первом параграфе рассматривается кольцевой случай, во втором параграфе рассматривается решёточпо-групповой случаи.

В первом параграфе первой главы решается задача характеризации семейства С(К) всех вещественно-значпых непрерывных функций на компактном пространстве К в чисто кольцевых терминах. В 1940 году М.Г. Крейном, С.Г. Крейном [7] и Какутани [6] была получена знаменитая характеризации семейства С (К) всех вещественно-значных непрерывных функций на компактном пространстве К как упорядоченного банахова пространства. Почти одновременно И.М. Гельфандом [22]22 семейство С(К) было охарактеризовано как банахова алгебра. Обе эти характеризации существенно использовали умножение на вещественные числа. В связи с этим И.М. Гельфандом ещё в сороковые годы была поставлена задача нахождения чисто кольцевой характеризации семейства С {К). Работа Дельфосса [23]23 и была первой попыткой решить эту задачу.

В 1975 году Дельфосс в заметке [23] анонсировал следующий результат: коммутативное кольцо А с единицей 1 изоморфно кольцу С (К), если и только если оно обладает следующими свойствами:

1) для любых a, b G А существует с £ А такое, что а2 + Ь2 = с2;

2) для любого a G А существуют b G А и с G А такие, что а = Ь2 — с2 и be = 0;

3) для любого а существует (1 + а2)-1;

4) если для а существует последовательность (bn G А\п G N) такая, что п(а2 + б2) = 1, то а = 0;

5) для любого а существуют b G А и n G N такие, что а2 + b2 = ni;

6) если (ап G А\п G N) — последовательность, для которой существует последовательность (rrik G G N) такая, что k((am — an)2 + b2) = 1 для всех m,n > m-k и соответствующих b = b(k,m,n), то существует a G Л, для которого существует последовательность (щ G N|A; G N) такая, что k((a — ап)2 + с2) = 1 для всех п > щ и соответствующих с = с(к,п).

Так как не было опубликовано никакого доказательства теоремы Дельфосса, то первый параграф посвящён полному и строгому доказательству этой теоремы. Для этого условия 4) - б) были заменены своими условиями:

22 Гельфанд И.М. Normierte ringe // Математический сборник. 1941. Т9. С. 3 - 24.

23 Delfosse J.-P. Caracterizations d'anneaux de fonctions continues // Ann. Soc. Sei. Bruxelles, ser.l. 1975.

V.89. P. 3G4-368.

4') если для а существует последовательность (Ьп G Л|п G N) такая, что п'2(а2 + = 1, то а - 0;

5') для любого а существуют b G А и n2 G N такие, что а2 + Ь2 = тг21;

6') если (ап G Л|п G N) — последовательность, для которой существует последовательность (т.к G Щк G N) такая, что k2((am — ап)2 + b2) = 1 для всех т,п > m,k и соответствующих fr = b(k, m, п), то существует a G Л, для которого существует последовательность (Пк G N|к G N) такая, что к2((а — ап)2 + с2) = 1 для всех п > Пк и соответствующих с = с(к, п).

Приводится полное доказательство теоремы характеризации с модифицированными условиями 1)-3), 4')-6') (см. теорему 1 из пункта 1.1.1), что является решением задачи И.М. Гельфанда. В конце этого параграфа приводится доказательство эквивалентности набора условий 1)-3), 4') — 6') с модифицированными условиями 4')-6')первоначальному набору условий Дельфосса 1)-6).

Далее теорема характеризации расширяется на случай комплексно-значных функций (см. теорему 3 из пункта 1.1.8)

Теорема 3. Коммутативное кольцо А с единицей 1 изоморфно кольцу непрерывных комплексно-значных функций на компактном пространстве, если оно обладает следующими свойствами: а) существует элемент I G А такой, что I • I = — 1; б) существует подкольцо Л о в кольце А такое, что

1) I i А0,

2) Кольцо А представимо в виде прямой суммы А = Aq +1 • Aq; в) подкольцо Aq обладает уже известными следующими свойствами:

1) для любых a,b G А0 существует с G Ао такое, что а2 + Ь2 = с2;

2) для любого a G Ао существуют b G Aq и с G Ао такие, что а = Ь2 — с2 и Ьс — 0;

3) для любого а существует (1 + а2)-1;

4) если для а существует последовательность (bn G Ао\п G N) такая, что п2(а2 + b2) = 1, то а = 0;

5) для любого а существуют b £ Aq и n G N такие, что а2 + b2 = n21;

6) если (ап G А0\п G N) — последовательность, для которой существует последовательность (mk G G N) такая, что k2((am—an)2+b2) = 1 для всех m, n > mk и соответствующих b = b(k,m,n), то существует a G А0, для которого существует последовательность (nк G N|к G N) такая, что k2((a — an)2 + с2) = 1 для всех n > nk и соответствующих с = c(k, n).

Также приводится расширение результата на случай функций со значениями в кватернионах (см. теорему 4 из пункта 1.1.9):

Теорема 4. Коммутативное кольцо А с единицей 1 изоморфно кольцу непрерывных функций fia компактном пространстве со значениями в кватернионах, если и только если оно обладает следующими свойствами: а) существуют элементы I, J, К £ А такие, что их произведение задается с помощью таблицы:

1 I J К

1 1 I J К

I I -1 К -J

J J -К -1 I

К К J -I -1 б) существует подкольцо Ао в кольце А такое, что

1) 1,1К£А0,

2) Кольцо А представимо в виде прямой суммы А = Ао + I • А0 + J • Ао + К • Ао; в) подкольцо А0 обладает следующими свойствами:

1) для любых а,Ь Е Ао существует с € А0 такое, что а2 + Ь2 = с2;

2) для любого а £ А0 существуют Ь 6 А0 и с 6 Ао такие, что а = Ь2 — с2 и Ьс = 0;

3) для любого а существует (1 + а2)-1;

4) если для а существует последовательность (Ьп £ А0\п € М) такая, что п2(а2 + Ь2) = 1, то а = 0;

5) для любого а существуют Ь € А0 и п 6 N такие, что а2 + Ь2 — п21;

6) если (ап £ А0\п € М) — последовательность, для которой существует последовательность (т^ € £ М) такая, что к2((ат — ап)2+Ь2) = 1 для всехт,п > Шк и соответствующих Ь = Ь(к,т,п), то существует а £ Ао, для которого существует последовательность (п& € £ М) такая, что к2((а — ап)2 + с2) = 1 для всех п > и соответствующих с = с(к, п).

Во втором параграфе первой главы решается задача характеризации семейства С (К) всех вещественно-значных непрерывных функций на компактном пространстве К в терминах коммутативных решёточно-упорядочснных групп (см. теорему 1 из пункта 1.2.5). Доказана теорема, утверждающая, что произвольная с/-группа (см. ниже) А реализуется в виде с/-группы С всех непрерывных ограниченных функций на некотором компактном пространстве.

Решёточно-упорядоченные группы в книге [19] называются решёточно-упорядочепиыми группами или 1-группами, а в книге [20] называются структурно-упорядоченными группами. Далее будет удобнее использовать короткий термин "1-группа" для обозначения решёточно-упорядоченной группы.

Коммутативную /-группу А с выделеннным элементом 1 будем называть с1-группой, если:

1) Уп € КУа 6 АЗЬ е А(а = пЪ);

2) Уа, Ь € А(а > 0 А Уп 6 М(па < Ь) а = 0);

3) У а е АЗп е М(|а| < п1);

4) для любой последовательности (а„ Е А\п €Е К) такой, что для любого к 6 N существует пбН такое, что \ар — ад \ < 1 /к для любых р,д>п, существует элемент а 6 А такой, что для любого к £ N существует п € N такое, что \а — ар\ < 1 /к для любого р > п.

Подгруппу и подрешётку В с/-группы А, являющуюся с/-группой, будем называть с1-подгруппой с1-группы А. Пусть С — фиксированная с/-группа. Инъективный (I-групповой) гомоморфизм и : С —» А, где А является /-группой, назовём 1-расширепием 1-группы С. В случае, когда С — фиксированная с/-группа, инъективный (с/-групповой) гомоморфизм и : С А, где А является с/-группой, назовём с1-расширением с1-группы С.

Легко показать, что семейство С (К) всех непрерывных ограниченных функций на некотором компактном пространстве обладает абстрактными свойстви с/-группы.

В пункте 1.2.5 доказывается, что с/-группа А является М/-пространством в смысле Какутани (см. [9]). Откуда следует справедливость следующей теоремы (см. теорему 1 из пункта 1.2.5):

Теорема 1. 1-Группа является с1-группой, если и только если она изоморфна с1-группе С всех непрерывных ограниченных функций па некотором тихоновском пространстве.

Вторая глава диссертации посвящена изучению множества Шц функций, интегрируемых по Риману, и множества Шц/С.Д/"/4 классов эквивалентности этих функций относительно идеала пренебрежимых множеств СМ^. Оказывается, что эти, ставшие уже классическими, объекты являются с/-группами и, следовательно, но второй основной теореме главы 1 (см. теорему 1 из пункта 1.2.5), предсгавимы в виде семейства непрерывных функций на некоторых компактных пространствах, а именно, RI^ ж С (К) (см. следствие 5 из пункта 2.2.2) и RI^/CAf^ т C(Q) (см. следствие 7 из пункта 2.2.2). с/-Группа R = RI^/CAift изучается не сама по себе, а во взаимоотношении с с/-групной С всех ограниченных непрерывных функций, то есть рассматривается расширение С —> R, называемое далее расширением Римаиа семейства С. Так как R & C(Q), то это расширение естественно называть расширением типа С или короче с-расишрением.

Несмотря на то, что функции, интегрируемые по Риману, известны уже более 150 лет, взаимоотношение между алгебраическими с-системами С и R оказалось весьма загадочным и мало исследованным. В работах [10] и [11] с-расширение С —> R было охарактеризовано в классе с-колец.

Во второй главе диссертации решается задача характеризации с-расширения С —> R в классе с/-групп. Решение этой задачи разбито на три параграфа. В первом параграфе второй главы вводятся основные понятия, определения и доказывается ряд утверждений, которые используются в дальнейшем.

Пусть А — фиксированное упорядоченное множество с наименьшим элементом 0. Для элемента A G А и коллекции (А^ € Л|£ 6 Е) будем писать А = top(Af|£ б Е), если А^ < А, и для любого 0 < ц < А существуют £0 иг/ такие, что 0 < v < ц и v < Aio.

Семейство всех идеалов в коммутативной /-группе А будем обозначать через 1(A) Коллекцию идеалов 21 = (А\ € Х(Л)|А G Л) назовём измельчением коммутативной I-группы А, если: а) А\ = А тогда и только тогда, когда А = 0; б) П(Лд|А G Л) = 0; в) А < /л влечёт А,,, С А\ и г) А = top(A^|^ € S) влечёт А\ = П(Лдс|£ 6 S). Коммутативную /-группу А с измельчением 21 назовём коммутативной lr-группой и обозначим через (А, 21). Фактор-гомоморфизм из коммутативной /-группы А в коммутативную /-группу А/А\ будем обозначать через мд : А —¥ А/А\.

Пусть (С, С) - фиксированная коммутативная /r-грунпа с фиксированным измельчением £ = (С\ G Х(С)|А G Л). Расширение и : С А, где (А, 21) является коммутативной /r-грунпой с измельчением 21 = (/1д 6 Х(А)\\ G Л), назовём 1г-расширением коммутативной lr-группы (С, С), если С\ = и1[Лд]. Такое расширение обозначим через и : (С, (Г) —> (А, 21). Морфизмом из и : (С, С) —> (А, 21) в й : (С, (£) —» (/1,21) назовём гомоморфизм v : Л —» Л такой, что v о и = й и г>[Лд] С Лд. Если, вдобавок, v шгьскхивен и Лд = г>-1[Лд], то скажем, что второе 1г-расширение больше первого. Этот гомоморфизм назовём изоморфизмом, если: 1) w является биективным и 2) и[/1д] = Лд для любого A G А.

Пусть Л является с/-групиой. Коллекцию замкнутых идеалов 21 = (Лд 6 С(А)\\ € А) назовём измельчением cl-группы А, если: а) /1д = /1 тогда и только тогда, когда А = 0; б) П(Лд|А е А) = 0; в) А < ц влечёт А^ С Лд и г) А = top(Ac|£ е Е) влечёт ЛА = П(Лд?|£ G Н). d-Групиу Л с измельчением 21 назовём clr-группой и обозначим через (Л, 21). Фактор-гомоморфизм из с/-группы Л в с/-группу Л/Лд будем обозначать через ид : /1 —> А/А\.

Пусть (С, €) - фиксированная c/r-группа с фиксированным измельчением £ = (Сд € С(С)|А 6 А). с/-Расширсние и : С Л, где (Л, 21) является c/r-группой с измельчением 21 = (Лд е С(Л)|А G А), назовём clr-расширением clr-группы {С,С), если Сд = и-1[Лд]. Такое расширение обозначим через и : (С, £) —> (Л, 21). Морфизмом из и : (С, С) -» (Л, 21) в й : (С, (£) —» (Л, 21) назовём гомоморфизм v : Л —> Л такой, что v о и = й и v[A\] С Лд. Если, вдобавок, г; инъективен и Лд = г;1[Лд], то скажем, что второе clr-расширение больше первого.

Далее в этом параграфе вводятся понятия полноты и регулярного пополнения, позволяющие охарактеризовать расширение Римана чисто алгебраическими методами в терминах коммутативных /-групп с измельчениями и с/-групп с измельчениями.

Пусть Л является коммутативной /-группой и Р и Q — непустые подмножества в Л. Пару (P,Q) назовём (порядковым) сечением в Л, если р < q для любых р € Р и q G Q и inf{g — р\р еРЛ?€(5} = 0вА. Пусть (Л, 21) — некоторая коммутативная /r-группа. Пару (P,Q) назовём r-сечением, если р < q для любых p€Piiq€Qu inf {u\q—u\p\p € PAg € Q} = 0 в Л/Лд для каждого А € А, где и\ — фактор-гомоморфизм из коммутативной /-группы Л в коммутативную /-группу Л/Лд. Элемент а € Л назовём г-супремумом [r-иифимумом] множества Р [соответственно Q], если и\а = вирмд[Р] [соответственно мда = inft^fQ]] в Л/Лд для любого А € А, что равносильно тому, что пара (Р, {а}) [соответственно ({а},<2)] является г-сечением. В этом случае будем писать а = г — supP [соответственно а = г — inf Q).

Элемент a G Л назовём границей сечения (P,Q), если о = supP = infQ. Элемент а Е А назовём г-границей г-сечения (Р, Q), если а = г — sup Р = г — inf Q.

Множество всех г-ссчеииП (P,Q) в Л будем обозначать через Cut. Множество всех счётных г-сечений (P,Q) в А будем обозначать через Cut0. Далее через 0 будем обозначать один из символов 0 и 0; при этом условимся символ 0 в индексе опускать.

Коммутативную /r-грунпу {А, 21) назовём полной по типу Cut9, если любое г-сечение (Р, Q) в А такое, что (Р, Q) G Cut9, имеет в А r-границу. Исходя из этого определения, /r-расширение и : (С, <Г) —> (Л, 21) назовём полным по типу Cut6, если коммутативная /г-груипа (А, 21) является таковой по типу Cut9. r-Расширение и : {С, С) —> (А, 21) назовём граничным 1г-расширением типа Cut9, если любой элемент а £ А является r-границей некоторого г-сечения (P,Q) в А такого, что (Р, Q) б Cut9 и Р, Q С и[С].

Если /г-расширение и : (С, С) (А, 21) является с/г-расширением, предыдущее определение примет следующий вид: с/г-расширение и : (С, (£) —> (А, 21) назовём граничным clr-расширением типа Cut9, если любой элемент а € А является г-границей некоторого r-сечения (Р, Q) в А такого, что Р, Q С и[С].

Общее понятие с/г-пополнения было введено в работе [15]. Это понятие обслуживает многие различные классические с/г-расширения clr-группы (С, (£) всех ограниченных непрерывных функций на тихоновском пространстве Т (см. тамже).

Однако, для расширения Римана С —> RI/СМ автором было введено новое, более простое и более алгебраическое понятие регулярного 1г-пополнения.

Пусть отображение и : (С, (£) —> (А, 21) является некоторым ¿г-расширением коммутативной 1г-группы (С, С). Это /r-расширение назовём регулярным, если для любой коллекции (С{ € C\i 6 I) и для любого элемента с 6 С равенства с = г — sup(cj € C\i G I) в С и ис = г — sup(uCi € A\i € I) в А равносильны.

Регулярное /r-расширение и : (С, С) —> (А, 21) назовём регулярным 1г-пополнением типа Cut9 коммутативной lr-группы (С,<£), если: 1) оно является граничным по типу Cut9; 2) оно является полным по типу Cut9. с/г-Расширение и : (С, С) -> (А, 21), являющееся регулярным /r-пополнением типа Cutв dr-группы (С, С) назовём регулярным clr-пополнением типа Cut9 clr-группы (С, С).

В отличии от с/г-понолнения тина z0c\aZ0c из [15] регулярное /г-пополнение типа Cut9, во-первых, не требует понятия с/г-групны (а только коммутативной /r-груниы), а во-вторых, доказательство единственности проводится чисто алгебраическим путём.

Далее вводится понятие функционально-факторной с/-груимы. Пусть Р является коммутативной с/-подгруппой с/-группы всех ограниченных Е-значных функций на множестве Т с единичным элементом 1. Будем называть её функциональной с1-группой на мноокесгпве Т.

Множество всех подмножеств множества Т обозначим через V. Идеал X в решётке V будем называть идеалом на мноэюеетпве Т.

Функции / и д из Р называются эквивалентными относительно идела X (= X-эквивалентными), если множество {£ € Т||/(£) — </(£)| > е} 6Е X для любого е > 0. Будем это обозначать через / ~ дтоАХ. Множество классов эквивалентности / = /тобХ всех функций / £ Р обозначим через Р/Х. с/-Групну Р/Х будем называть функионально-факторной с1-группой на множестве Т.

Во втором параграфе второй главы решается задача функционального описания семейства функций, интегрируемых по Риману. В диссертации понятия интеграла Римана и функции, интегрируемой по Риману, обобщаются на достаточно общие топологические пространства с радоновскими мерами.

Пусть (Т, 0) — тихоновское топологическое пространство с семейством 0) всех открытых множеств и ц — положительная ограниченная радоновская мера на Т, то есть сг-адцитивная функция ¡1 : М. —> [0, а] С М, определенная на ст-алгебре Л4, содержащей сг-алгебру В всех борелевских множеств пространства Т, и такая, что цМ = вир{цК\К С В&К — компактное множество } для любого М Е М. Через СМ^ обозначим а-идеал всех //-нренебрежимых множеств из Т.

При определении интеграла Римана для топологического измеримого пространства (Т, 0, /¿) естественным представляется подход через /х-жордаповы множества. Множество Р из Т называется ц-жордановым, если Ггт(Р) £ ц, где 1гт(Р) = с1г(-Р) \ 1ШТР — топологическая граница множества Р в пространстве (Т,0). Семейство всех ц-жордановых множеств из Т обозначим через Оно является булевой алгеброй относительно теоретико-множественных операций. Покрытие (Ха С Т | а € А) множества Т называется разбиением Т, если Ха П Хр = 0 для любых а Ф /5 из А. Рассмотрим множество Г = Г(Т,0,ц) всех конечных ц-жордаповых разбиений 7г = (Рь £ | к 6 К) множества Т, состоящих из /ьжордановых множеств.

Рассмотрим множество Д = Авсех конечных разбиений х = {Сдк е $ и СМ^ \ к g К) множества Т, состоящих из открытых множеств и /х-преиебрсжимых множеств. Разбиение х является /¿-жордановым. Действительно, рассмотрим множества К' = {к g К I Qk g 9 Л Qk £ и К" = {к е К \ Qk е CMß}. Если к g К', то fr(Qk) = c\Qk\ Qk с T \ и(Qk ед \ ке К') = и(Qk е CMß \ к е x") g СЛГ». Если к g К", то fr(<2fc) = elQk\ inte?* С c\Qk С Т \ U(Qk g Я | к g К') g CMß. Назовем это /х-жорданово разбиение ус g А простым. Каждому /г-жорданову разбиению 7Г g Г сопоставляется простое ju-жорданово разбиение ус = (Gk, Nk | к g К), где Gk = intg £ и Nk = Pk\Gk g

Из всего сказанного выше следует, что для определения интеграла Римана для пространства (Т, Q, /л) нет необходимости использовать сложную булеву алгебру J(T, Q, ц) и множество Г всех yu-жордановых разбиений 7Г, а достаточно рассматривать только его подмножество А простых /i-жордановых разбиений ус.

Скажем, что разбиение Л = (R¡ | / g L) g А является более тонким (А ^ ус), чем разбиение ус = (Qk | k g К) g А, если для любого к € К существует L' с L такое, что Qk = u(Rt 11 g L').

Относительно этого порядка А является направленным вверх. Для каждого разбиения ус g А рассмотрим нижнюю s(f, ус) = ^ (inf(/(¿)|í g Qk)ßQk\k g К) и верхнюю S(f, ус) = sup(/(í)|í g Qk)ßQk\k g /í) суммы Дарбу ограниченной функции f : Т R. Ясно, что (s(f, х)\х g А) возрастает, (S(f, ус)\ус g А) убывает и s(f,yc) < S(f,yc).

Ограниченная функция / : Т —> Е называется ц-интегрируемой по Риману на топологическом измеримом пространстве (T,Q,fi), если sup(s(/,ус)\ус g А) = inf(S(/,x)|xG А).

Если функция / является /i-интегрируемой по Риману на (T,Q,ß), то число sup(s(f,yc) | ус G А) = inf(5(/, ус) | ус G А) называется ß-интегралом Римана от функции f по пространству (Т, Q, ¡л) и обозначается через i^f.

Данное определение является обобщением классического определения интеграла

Римана Irl = f ■ ■ ■ f ffai, ■ ■ ■, xn) dxi. dxn для измеримого по Жордану подмножества т

ГвГ с мерой Жордана m (см. [24]24).

Действительно, пусть Л — мера Лебега на Еп, порожденная объемом параллелепипедов V(l\(\xuyi\ | i = l,.,n)) = П(уг- — Xi | i = l,.,n), где |x¿,?/¿| — произвольный

24Никольский C.M. Курс математического анализа. Т. 1 и 2. — М.: Наука, 1991. отрезок вида [гсьУг], [xi,Vi[ » ]^иУг) для Xi ^ Ui из Е. Пусть временно = Л | Т — мера Лебега па Т. Для определения //-интеграла Римана i^f на топологическом измеримом пространстве (Т, £(Rn) | Т, ц) используются простые //-жордаповы множества Q G (£7(En) | Т) U CMfi этого пространства. А для определения классического интеграла Римана It/ используются измеримые по Жордану множества J топологического измеримого пространства (Е™,<7(R"), т) (см. [24]; §12.2). И совершенно не очевидно, что простые /i-жордановы множества Q являются измеримыми по Жордану множествами в пространстве (Еп, (?(Ега), тп). Поэтому для доказательства равносильности этих определений приходится проводить достаточно тонкое топологическое рассмотрение (см. теорему 1 из пункта 2.2.1).

Теорема 1. Пусть Т — измеримое по Жордану (см. [24]; § 12.5) подмножество в Е". Тогда для любой ограниченной функции / : Т Е следующие утверждения равносильны:

1) / является Х\Т-интегрируемой по Риману (в смысле предыдущего определения) на топологическом измеримом пространстве (Т,Я(Шп)\Т,\\Т);

2) / является интегрируемой по Риману (в классическом смысле (см. [24]; § 12.6)).

При выполнении одного из равносильных условий 1) и 2) справедливо равенство интегралов i^f = /. f }{х\,., хп) dx\. dxn = If.

Множество всех ограниченных функций, //-интегрируемых по Риману на пространстве (Т, Q, ц), обозначим через RI(T, Q, //), или короче Шц. Это множество является линейным решеточным пространством. Рассмотрим его фактор-множество Rр = RI^/CJ\ifl. Оно тоже является линейным решеточным пространством. Класс эквивалентности функции / G Rip относительно идеала будем обозначать через / mod CAf^.

Множество всех непрерывных ограниченных функций на пространстве (Г, Q) обозначим через С. Рассмотрим отображение и : С —» R^ такое, что ис = с mod £Л/*М. Функционально-факторное расширение и : С —> RI^/CN^ называется расширением Римана линейного решеточного пространства С, а также коммутативной l-группы С.

7-Идеал СМ^ является слишком большим для семейства RIц. Поэтому введем более узкий идеал множеств, являющийся "родным" для функций, //-интегрируемых по Риману. //-Измеримое множество X будем называть множеством полной меры, если Т\Х £ СМ^.

Множество конуль-мноэ/сеств coz/ = {t G T\f(t) ф 0} всех непрерывных функций / на (Т,Q) обозначим через Q0. Семейство {U G Q°\T\U 6 всех коиуль-множеств полной меры обозначим через Оно порождает идеал множеств Л/"м = {N С T\3U 6 (N С Т \ U)}. Этот идеал не является ст-идеалом. Ясно, что С CAf^.

Множество X из Т назовем S^-MuooicecmeoM, если X = GUN для некоторых множеств G £ G0 и N € М(1. Семейство всех ¿"^-множеств из Т обозначим ZVОно является решеткой относительно объединений и пересечений, а также содержит края 0 и Т.

Для того, чтобы дать функциональное описание функций, интегрируемых по Риману, используется понятие «S-равномерных функций, введённых в работах [12] и [14]. Функция / : Т —> Ш называется S-равномерной, если для любого s > 0 существует конечное покрытие (S{ € ¿>|г £ I) множества Т такое, что колебание u(f,Si) = sup{|/(s) — f(t)| s,t 6 iSj} функции / на каждом множестве Si меньше е. Семейство всех ¿»-равномерных функций на Т обозначим через U(T,S). Оно является линейным решеточным пространством, если S является мультипликативным ансамблем с краями 0 и Т.

Имея решеточное семейство ZVjJL всех 5^-множеств на Т, мы можем рассмотреть линейное решеточное пространство U(T,ZVвсех равномерных функций относительно этого семейства.

Основными результатами этой части являются следующие следствия 2-7 к теореме 4 из пункта 2.2.2:

Следствие 2. Для ограниченной функции / : Т —» К следующие утверждения эквивалентны:

1)! е Rh ;

2)f £U(T,ZVJ;

3) мера /х MHooicecmea точек разрыва функции / равна нулю;

4) для любого п € N существуют конуль-мноэ/сество Un G Ы° полной меры и функция fn : Т —» R такие, что fn\Un € C(Un) и \f(t) — /„(¿)| < 1 /п для любого t € Un;

5) существуют счетные коллекции G С | г G I) и (hj G С | j 6 J) и последовательность (Un 6 | п Е N) такие, что qi ^ / ^ hj для любых i и j и для любых п G N и t € Un существууот i и j такие, что hj(t) — gi(t) < 1 /п.

Отметим, что равносильность 1) и 3) является обобщением знаменитой характеризации

Лебега-Витали функций, интегрируемых по Риману, на общие пространства (Т, Следствие 3. Ш^/СМ^ = Ш^/М^.

Следствие 4. Система 0,1, —, +, V, А| является с1-группой в смысле определения пункта 1.2.1.

Следствие 5. с1-Группа изоморфна с1-группе С (К) всех непрерывных функций на некотором компактном пространстве К.

Следствие 6. 1-Группа Ш^/Мц является с1-группой.

Следствие Т. с1-Группа Ш^/М^ изоморфна с1-группе С((д) всех непрерывных функций на некотором компактном пространстве (5В силу следствия 3 далее под расширением Римана будем понимать расширение С —>

Утверждение 5) из предыдущего следствия 2 помогло доказать, что расширение Римана С —> Ш^/Мц является в некотором смысле аналогом расширения Дедекинда О с к.

В третьем параграфе второй главы для расширения Римана С —» Ш^/Л/^ доказываются аналоги теорем граничности и полноты Дедекинда для расширения 0> С К (см. теорему 1 из пункта 2.3.1 и теорему 2 из пункта 2.3.2).

Будем считать, что носитель меры /х совпадает с Т, то есть вирр// = Т. Компактное множество Е из Т назовём ¡л-компактным, если (7 П Е £ СМ^ для любого непустого открытого множества С7, пересекающего множество Е. Семейство всех //-компактных подмножеств из Т обозначим через Лй. Наделим его порядком по вложению. Рассмотрим коллекцию множеств = (Те = Е\Е 6 Л^).

Рассмотрим на е/-группе С измельчение = (Се\Е 6 Лм) такое, что Се = {с £ С\Те П согс = 0}. Тогда с1г-группа (С, является с/г-группой пространства Измельчение назовём ц-компактным измелъчеушем с1-группы С. с/г-Группу (С, (Г^) будем называть с1г¡¿-группой (при рассмотрении только /г-групповых свойств с/г^-грунпы (С, будем использовать термин группа). г-Расширения и : (С, —> (А, 21) будем называть 1г^-расширениями коммутативной ц-группы (С, С,,). с/г-Расширения и : (С, —> (Л, 21) являющиеся /г^-расширениями будем называть с1г¡¡-расширениями с1г¡¿-группы

Регулярное Zr-пополненис и : (С, £,,) —» (Л, 21) назовём регулярным 1г ^-пополнением типа Cut0 коммутативной 1г^-группы (С, с/г-Поиолнснис и : (С, —>

Л,21), являющееся регулярным /г^-понолнением типа Cut0 с/г^-грунпы (С, назовём регулярнъш clr^-пополнением типа Cut0 clr^-группы (С,

Рассмотрим на с/-группе U(T, ZV^jN^ измельчение 2l;i = (АЕ G C(U(T, ZV^/M^E G Atl) такое, что АЕ = {а е А\Уп(ТЕГ\сога G Л/^)}. Тогда пара (i/(T, ZV^/Af^, 21^) является c/r-группой. Следовательно, (Л/^/Л/^, 21д) является с/г-группой.

Далее будем отождествлять С и С = С/М^, поэтому вместо обозначения д для класса эквивалентности функции д £ С будем использовать более простое обозначение д, подразумевая отождествление там, где это необходимо. Следующую теорему 1 из пункта 2.3.3 естественно называть теоремой грапичности.

Теорема 1. Пусть / G Rl^/ftf^. Тогда существуют счётные коллекции Р = (^j G C\i G I) и Q = (hj G C\j G J) такие, что / = г — sup(<7i G С|г G /) = г — inf(/ij G G J).

Итак, мы показали, что пара (Р, Q) является r-сечением. Следовательно элемент f € А является /--границей этого r-сечения. В силу произвольности этемента / G А мы показали, что любой элемент c/r-группы {А, 21^) является границей некоторого сечения в С. Это означает, что функционально-факторное с/гм-расширение Римана и : (С, С^) —»• (А, 21^) является граничным clr^-расширением типа Cut0. Следующую теорему 2 из пункта 2.3.4 естественно называть теоремой полноты.

Теорема 2. Для любого r-сечения (Р, Q) в RI^/Af^, где Р = (gi G RI^/Af^i G /) и Q = (hj G -R/^/A^lj G J), существует элемент / G RI^/N^ такой, что / = г — sup(^ G я/д/лдг E I) = r- тЩ G G J).

Эта теорема показывает, что любое r-сечение (Р, Q) из с/г-груипы (Д21^) имеет r-границу в c/r-группе (Л,21^). Это означает, что функционально-факторное clr расширение Римана и : —> (Л,21^) является полным по типу Cut.

Кроме свойств граничности и полноты расширение Римана С —> Rl^jN^ обладает следующим важным свойством регулярности.

Пусть отображение и : {С,<£ц) —» (RI^/Af^, 21^) является /г^-расширением коммутативной clr^-группы (С, Следующую теорему 3 из пункта 2.3.5 естественно называть теоремой регулярности.

Теорема 3. Пусть даны коллекция (сг- € С\г € I) и с € С. Тогда равенства с = r — sup(ci 6 RIß/Nß\i е I) в RIß/Mß и с = г — sup(cz- G С\г G I) в С эквивалентны, и, следовательно, равенства с = г — inf(cj € Л/м/Л/"м|г € I) в RIß/Mß и с = г — inf(Q G С|г £ I) в С тоже эквивалентны.

Из теоремы регулярности следует, что с£г/х-расширение Римана и : (С, —> {А = RIß/Nß, 2l;i) является регулярным.

Из вышеизложенных теорем граничности и полноты следует, что регулярное clrß-расширепие Римана и : (С, <£fl) —»■ (А = RIß/Nß, %ß) является регулярным /^-пополнением типа Cut0 коммутативной ¿r^-группы (C,£fl).

Оказывается, что для такого пополнения справедлива теорема единственности (см. теорему 4 из пункта 2.3.6).

Теорема 4. Регулярное 1г^пополнение типа Cut0 коммутативной lrß-zpynnu (С, (Eß) является единственным с точностью до изоморфизма.

Следствие 1. Регулярное clr^пополнение типа Cut0 clr^-группы (C,£ß) является единственным с точностью до изоморфизма в классе всех регулярных clr^пополнений clrß-zpynnu (C,£ß).

Таким образом, справедлива следующая теорема характеризации (см. теорему 5 из пункта 2.3.6):

Теорема 5. Расширение Римана С —> RIß/J\fß полностью характеризуется свойствами граничности, полноты и регулярности.

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору Александру Васильевичу Михалеву и доктору физико-математических наук, профессору Валерию Константиновичу Захарову за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и многочисленные важные замечания. Автор благодарит заведующего кафедрой высшей алгебры, доктора физико-математических наук, профессора Виктора Николаевича Латышева и весь коллектив кафедры высшей алгебры за создание плодотворной творческой обстановки.

1. Захаров В.К., Михалёв A.B., Серединский A.A. Алгебраическое описание колец непрерывных функций// Успехи математических наук. Т. 56, вып. 1. С. 163-164.

В данной статье Середиискому А. А. принадлежат все доказательства. Захарову В. К. и Михалёву А. В. принадлеэ/сат постановка задачи, идея использования свойства регулярности нормы и некоторые окончательные формулировки.

2. Ссрединский А.А. Алгебраическая характеризация колец непрерывных комплексно-зиачиых функций на компактном пространстве // Современные исследования в математике и механике. Труды XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М., Издательство Центра прикладных исследований при механико-матемаическом факультете МГУ. 2001. С. 322-328.

3. Ссрединский А.А. Алгебраическая характеризация колец непрерывных функций на компактном пространстве со значениями в кватернионах // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. Т. 8, вып. 4. С. 1245-1249.

4. Захаров В.К., Ссрединский А.А. Новая характеризация функций, интегрируемых по Ршиану//Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, вып. 3. С. 73-83.

В данной статье Серединскому А. А. принадлеэ/сат все доказательства. Захарову В. К. принадлежат постановка задачи, идея использования равномерных функций и некоторые методы работы с ними, а тако/се идея равносильности общего определения интеграла Римана и классического определения.

5. Zakharov V.K., Seredinskiy A.A. Description of Riemann itegrable functions by means of cuts of the space of continuous /unchons.//Международная конференция "Функциональные пространства, теория приблежений, нелинейный анализ", посвящённая столетию акакдемика С.М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.). Тезисы докладов. — М: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2005. С.370.

В данной статье Серединскому А. А. принадлежат доказательства теорем граничности и полноты. Захарову В. К. принадлежат постановка задачи, определения понятия сечений семейства непрерывных функций и некоторые идеи доказательства теорем граничности и полноты.