Операторы в гильбертовых модулях и их тополого-алгебраические приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Павлов, Александр Александрович

• Павлов, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павлов, Александр Александрович

Введение.

I Категорный подход к теории мультипликаторов и его применения

1 Операторные алгебры и гильбертовы модули над ними

2 Квазимультипликаторы как строго существенные расширения С*-алгебр.

3 Алгебры левых мультипликаторов.

4 Существенные и строго существенные идеалы.

5 Теоремы Каспарова-Лина.

II Функтор Щ на категории алгебр фон Неймана и его связь с операторной ЕТ-теорией

6 Определение функтора ЛГ0.

7 Функциональное описание ]У-групп

8 Группа ]У0(А) /№.

9 Нормированные полугруппы.

10 Симметризации нормированных полугрупп.

11 Структура нормированной группы на Nq(Ä).

III Обобщенный характер Чженя и Л¥*-числа

Лефшеца

12 Банаховы циклические гомологии

13 Обобщенный характер Чженя.

14 Обобщенные числа Лефшеца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторы в гильбертовых модулях и их тополого-алгебраические приложения»

Настоящая работа посвящена изучению геометрии гильбертовых С*-модулей и различным вопросам тополого-алгебраического применения С*-модульных операторов.

Гильбертовы С*-модули являются естественным обобщением гильбертовых пространств, возникающем при замене поля скаляров С на С*-алгебру. Для коммутативных С*-алгебр такое обобщение было впервые описано в работе И. Капланского [22], однако общая теория гильбертовых С*-модулей возникла лишь 20 лет спустя в работах У. Пэ-шке [28] и М. Риффеля [30].

Следует отметить, что в настоящее время область применения теории гильбертовых модулей очень широка. Например, гильбертовы модули оказались очень удобным инструментом в теории операторных алгебр, позволяя изучать С*-алгебры, изучая гильбертовы модули над ними. Кроме того, гильбертовы модули служат аппаратом в целом ряде тополого-геометрических приложений, а именно, в теории индекса эллиптических операторов, в ^-теории и в Х^-теории Г. Г. Каспарова [2, 4, 6, 10, 24] и в общих вопросах некоммутативной геометрии [17]. Упомянем также о построении классифицирующих пространств в ^-теории в терминах фредгольмовых операторов, причем возможность такого построения оказалась тесно связана с задачей о стягиваемости общей линейной группы гильбертова С*-модуля [9, 18].

Прежде чем переходить к подробному изложению настоящей диссертации по параграфам, дадим краткую характеристику основных ее результатов.

В работах Г. Г. Каспарова [24] и X. Лина [26] было дано описание всех основных операторных пространств, с которыми приходится иметь дело в теории гильбертовых модулей, в терминах теории мультипликаторов (см. [15, 19]) С*-алгебр. В настоящей диссертации развивается принципиально другой (категорный) подход к теории мультипликаторов, что позволяет нам, в частности, получить совершенно элементарное доказательство структурных теорем Каспарова-Лина.

Далее, в серии работ Е. В. Троицкого [10, 32] были определены числа Лефшеца (первого типа) для любого унитарного эндоморфизма эллиптического комплекса, при дополнительном предположении, что этот эндоморфизм является элементом представления некоторой компактной группы. При этом, если через А обозначить А¥*-алгебру, над которой рассматривается эллиптический комплекс, то числа Лефшеца будут принимать значения в группе ® С.

Для того, чтобы определить (обобщенные) числа Лефшеца уже для произвольных унитарных эндоморфизмов "\¥*-эллиптических комплексов мы вводим в рассмотрение некоторую группу большую, чем Ко(А) ® С. Определяется эта группа следующим образом. Для произвольной алгебры фон Неймана А на множестве нормальных элементов индуктивного предела М00(А) = 1ипМп(А) можно ввести некоторое отношение эквивалентности, которое для проекторов будет совпадать с обычной стабильной эквивалентностью. Причем множество классов эквивалентности ЛГ (А) элементов из Мсо(А) относительно операции прямой суммы является абелевой полугруппой. Тогда группа Щ(А) определяется как симметризация абелева моноида Говоря нестрого, группы Щ(А) можно рассматривать как ^-теорию, но только построенную не по множеству проекторов, как обычно, а по множеству нормальных элементов индуктивного предела М00{А). Следует отметить, что Ко(А) является подгруппой группы Мо(А).

В настоящей работе дается определение (обобщенных) чисел Лефшеца со значениями в УУ-группах для произвольных унитарных эндоморфизмов ^^-эллиптических комплексов и устанавливается связь между этими числами Лефшеца и АУ*-числами Лефшеца первого и второго типов, введенных в работах [10, 31] и [11].

Среди других результатов настоящей работы, прежде всего, следует назвать построение обобщенного характера Чженя, который действует из групп Щ(А) в банаховы циклические гомологии четной градуировки и ограничение которого на Ко(А) совпадает в некотором естественном смысле с классическим характером Чженя.

С другой стороны, существует тесная связь между ТУ-группами и операторной ^-теорией. А именно, каждый элемент из -А/о(^4) может быть представлен как аддитивная .йо(^.)-значная функция (мера) с компактным носителем, определенная на семействе всех борелевских подмножеств комплексной плоскости. В настоящей диссертации дается функциональное описание ]У-групп указанного вида, а также устанавливается свойство функториальности для Щ над категорией алгебр фон Неймана.

Кроме того, нами получен аналог спектральной теоремы для операторной ЛТ-теории. Допуская некоторую вольность в формулировке, можно сказать, что в этой теореме утверждается следующее. На множестве Щ(А) можно ввести топологию (аналог равномерной топологии) такую, что любой элемент д £ Л^о(-А) является пределом в этой топологии последовательности дп £ Ко(А) (8>С своих интегральных сумм. Причем элементы дп строятся по спектральному разложению произвольного представителя класса эквивалентности д.

Далее мы перейдем к более подробному изложению содержания диссертации по параграфам и описанию результатов других авторов, связанных с темой наших исследований.

Работа состоит из 3-х глав, включающих в себя 14 параграфов. Нумерация теорем, лемм, предложений, следствий, и т.д. начинается заново в каждом параграфе. Нумерация формул начинается заново в каждой главе.

Первая глава посвящена построению теории мультипликаторов (квазимультипликаторов) С*-алгебр на основании принципиально другого, по сравнению с классическим, (категорного) подхода, который позволяет значительно расширить как возможности, так и области применения указанной теории. Основная идея нашего подхода к теории мультипликаторов состоит в том, чтобы расширить запас допустимых представлений, для каждого из которых можно определить некоторую алгебру (мультипликаторов), a priori зависящую от представления. Далее мы доказываем теорему, что все алгебры мультипликаторов (пространства квазимультипликаторов), построенные по разным допустимым представлениям, изоморфны. В качестве применения (категор-ной) теории мультипликаторов нами получено простое доказательство структурных теорем Каспарова-Лина.

В §1 приводится необходимая в дальнейшем информация об операторных алгебрах и гильбертовых модулях над ними.

§2 посвящен изложению категорного подхода к теории квазимультипликаторов С*-алгебр.

Рассмотрим С*-алгебры А, А, гильбертов А-модуль £ и дуальный к нему (банахов) Л-модуль £' := Нотл(£,Л). Далее, для каждого оператора Т 6 Епс1л(£) определим Л-линейный ограниченный оператор Т' : £' —у £' формулой: (T'f)x = f{Tx), где / 6 £',х Е £. Кроме того, рассмотрим всевозможные тройки вида (£,Л,р), состоящие из гильбертова модуля £ над С*-алгеброй Л и точного невырожденного

-гомоморфизма (представления) р : А —> Епс1д(£). Каждой такой тройке сопоставим инволютивное банахово пространство (квазимультипликаторов) следующим образом.

Определение. (8, Л, р)-квазимультипликаторами С*-алгебры А назовем банахово пространство

ЯМ(£Ар)(А) := {Т е Нотл(£, 8') : р(А)'Тр{А) С р(А)}.

Па пространстве квазимультипликаторов естественным образом вводится инволюция Т —у Т# по правилу: (Т#х)у = [(Ту)х\* (х,у 6 8).

Одним из основных результатов этого параграфа является следующая

Теорема. Для любых двух троек (¿"х, Ах, ра) и {82^2^2), указанного вида, существует изоморфизм инволютивных банаховых пространств (¿М^^^^А) и (5М(£2)д2)р2)(Л), тождественный на А.

Доказательство основано на построении некоторой специальной категории (строго существенных квазирасширений С*-алгебры А), в которой произвольное пространство (8, А, р)-квазимультипликаторов является универсальным объектом и, таким образом, определено однозначно (с точностью до изоморфизма).

Наконец, мы доказываем, что классическое определение квазимультипликаторов является частным случаем нашего, если в качестве допустимой тройки рассмотреть тройку С,7г), соответствующую универсальному представлению 7Г : А —> С(Н7г).

В действительности, общая схема рассуждений, которая была использована нами для построения теории квазимультипликаторов, никак не связана со спецификой именно категории инволютивных банаховых пространств. Далее, в §3, мы показываем, как посредством уже изложенных нами основных положений категорного подхода провести построение теории левых мультипликаторов С*-алгебр (которая является естественным аналогом теориии квазимультипликаторов для категории банаховых алгебр).

Отметим, что все алгебры (пространства) мультипликаторов С*-алгебры А, которые строились нами по точным невырожденным представлениям этой алгебры в гильбертовых модулях, являются строго существенными А-расширениями, т.е. содержат С*-алгебру А как строго существенный идеал (квазиидеал). Понятие строго существенного идеала, введенное нами для категорий банаховых алгебр и инволютивных банаховых пространств, является базовым для всех наших построений, однако оказывается, что в С*-случае удается осуществить аналогичное (категорное) построение теории мультипликаторов, используя лишь хорошо известное (и значительно более слабое) условие существенности идеала (см., например, [25]). Причина этого заключается в том, что, как мы показываем в настоящей работе, для С*-алгебр понятия существенности и строгой существенности идеалов совпадают. Однако, для более общих категорий банаховых алгебр или инволютивных банаховых пространстств подобное совпадение уже не имеет места. Соответствующие результаты приведены в §4.

В §5 изложено полученное нами простое доказательство теорем (Каспарова-Лина [24, 26]), которые описывают структуру основных операторных пространств в произвольном гильбертовом С*-модуле в терминах мультипликаторов (левых мультипликаторов и квазимультипликаторов) от С*-алгебры компактных операторов данного гильбертова модуля.

Во второй главе мы даем определение функтора Щ на категории алгебр фон Неймана и подробно изучаем его свойства. Этот функтор, как уже упоминалось выше, естественным образом возникает в задаче об определении (обобщенных) \¥*-чисел Лефшеца для произвольных унитарных эндоморфизмов W*-эллиптичecкиx комплексов. С другой стороны, в силу ряда результатов настоящей главы, функтор Nq можно понимать как некоторый (более естественный в W^-случае) аналог К-теории.

В §6 мы определяем группы Nq(A) для произвольной алгебры фон Неймана А и устанавливаем свойство функториальности для Nq.

Пусть M00(A)V — множество нормальных элементов индуктивного предела Мсо(А) и пусть Ра(Е) — спектральный проектор элемента а Е -Л^оона борелевское множество Е С С. Для обозначения стабильной эквивалентности проекторов р, q G Mœ(A) будем использовать запись р ~ q. Назовем борелевское множество Е С С допустимым, если нуль не принадлежит замыканию этого множества.

Определение. Назовем элементы a:b £ Mœ[A)v эквивалентными, если Ра{Е) ~ Рь{Е) для всех допустимых борелевских подмножеств Е С С.

Обозначим отношение эквивалентности элементов a, b 6 М00(А)1/ через а ~ Ъ. На проекторах это отношение эквивалентности совпадает с обычной стабильной эквивалентностью. Пусть M {А) = MOQ{A)v/c^. Относительно операции прямой суммы семейство факторклассов М{А) является абелевой полугруппой. Группу Nq(A) определим как симметризацию абелева моноида J\f(A). Очевидно, что Ко(А) содержится в качестве подгруппы в группе Nq(A).

Обозначим через [а] класс эквивалентности элемента a Е MOQ{A)v. Свойство функториальности для Nq устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Пусть А, В — алгебры фон Неймана и ср : А —> В — униталъный *-гомоморфизм, который непрерывен в улътрасилъной операторной топологии. Для нормальной матрицы а = (а^) с элементами из А положим <£>*([а]) = [(/?(«)]• Тогда отображение tp* : No(A) —> No (В) является корректно определенным гомоморфизмом групп.

Обозначим теперь через Л4С абелеву группу ^Со(^4)-значных аддитивных мер с компактным носителем, определенных на семействе 23*(С) допустимых борелевских подмножеств комплексной плоскости (мера / имеет компактных носитель, если найдется компакт X С С, такой что f(E) = 0 для всех Е £ £>*(С), для которых Е П X = В §7 получено функциональное описание iV-групп следующего вида. Теорема. Отображение ф : Nq(A) —у Мс, где (ф([а] — [&]))(£) = [.Ра{Е)] — [Рь(Е)], корректно определено и является инъективным гомоморфизмом групп.

Пусть Моо (A) fin — множество нормальных элементов с конечным спектром и пусть Nq{A)¡¡п = {[а] —И : а, 6 G М00(А)/¿п}. Таким образом, No(A)fin есть подгруппа группы Nq(A). Причем, если понимать элементы из No (А) как ^о(^4)-значные аддитивные функции, определенные на допустимых борелевских множествах комплексной плоскости, то Nq (A) fin будет в точности совпадать с множеством конечнозначных (ступенчатых) функций. Более точно, полученное нами функциональное описание для групп No(A)fin следует сформулировать следующим образом. Обозначим через Aifin-A абелеву группу, элементами которой являются отображения из С \ {0} в Kq(A), которые равны нулю всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. Имеет место следующая

Теорема. Отображение ф : No(A)fin -—> M-fin\A, где (</>([«] — И))(А) = [Ра({А})] — [-Рь({А})] является изоморфизмом групп.

Этот результат позволяет нам, в частности, вычислить группы

Nq(Mj.(C)) (г > 1) матричных алгебр.

С другой стороны, между группами Щ(А) и No(A)fin существует связь чисто топологической природы. А именно, пусть на множестве Mœ{A)v задана топология нормы. Рассмотрим отображение тг : М00(А)1У х M00{A)V —> N0(A), (a,b) [a] - [6] и снабдим множество Nq(A) топологией r^, индуцированной этим отображением. Тогда имеет место следующий результат, который является аналогом спектральной теоремы для операторной ii-теории. Теор ема. No (A) fin является плотным подпространством топологического пространства (Nq(A), тж).

Все указанные результаты о группах Nq(A)цп приведены в §8. Кроме того, в этом параграфе определяется сюръективный гомоморфизм h : Щ(А)¡¡п —У Kq(A)<S>C и исследуются его свойства. Эти сведения затем применяются нами в третьей главе.

Классическая процедура Гротендика позволяет в чисто алгебраической ситуации строить группы (симметризации) по заданным абеле-вым полугруппам. Однако в некоторых задачах некоммутативной геометрии естественным образом возникают полугруппы, которые дополнительно обладают как достаточно хорошей топологической, так и более богатой алгебраической (похожей на модульную) структурами. А именно, нас интересует следующая ситуация указанного типа. Пусть на абелевой полугруппе N задано действие комплексных чисел, удовлетворяющее всем стандартным аксиомам, кроме, быть может, аксиомы аддитивности по скалярам. На такой полугруппе обычным образом можно ввести понятие нормы. Назовем полугруппы указанного вида нормированными. Абстрактному изучению нормированных полугрупп и их симметризации посвящены §§9,10.

В §11 мы показываем, что имеет место следующая Теорема. М(А) является нормированной абелевой полугруппой относительно С-действия: С X ЛГ(А) —)■ Л/"(А), (Л, [а]) Н> [Ха] и нормы: ||[а]|| =шЧ||с|| :с~а,сеМ00(А)г,}.

Более того, указанная структура номированной полугруппы наЛ/*(А) является "хорошей", в том смысле, что согласно общим результатам предыдущих параграфов возможно продолжение нормы на симметризацию Щ(А). В частности, на ТУ-группах всегда можно определить структуру метрического пространства с метрикой /э(<?1, <72) — \\9\ ~ <721| (91,92 е Щ(А)).

Третья глава посвящена различным вопросам применения Л^-групп в дифференциальной топологии. Один из основных результатов этой главы — построение обобщенного характера Чженя, который действует из ТУ-групп в банаховы циклические гомологии (четной градуировки) и является продолжением классического К-теорного характера Чженя. Кроме того, мы определяем (обобщенные) \¥*-числа Лефшеца для любых унитарных эндоморфизмов эллиптических комплексов и исследуем их связь с W*-чиcлaми Лефшеца первого и второго типов.

В §12 излагаются понятия и результаты некоммутативной дифференциальной геометрии, необходимые в дальнейшем. Здесь же получен ряд вспомогательных утверждений о банаховых циклических го-мологиях, применяемых ниже при построении обобщенного характера Чженя.

Обозначим через НСп(А) циклические, а через %Сп(А) — банаховы циклические гомологии "УУ*-алгебры А. В §13 мы строим обобщенный характер Чженя как отображение

СЬ°21:ЩА)—>Ж21(А) 13 для всех I > 0. Пусть тп : циклическии оператор, который определяется на образующих по формуле тп(а0 ® . ® ап) = (—1)пап ® а0 <8> . . (8) а„1.

Тогда очевидный сюръективный гомоморфизм тг : 1 — гп) — ИНдуцИрует гомоморфизм 7Г* : НС*(А) —%С*(А) в го-мологиях. Обобщенный характер Чженя является продолжением классического в следующем смысле.

Теорема. Для любого I > 0 следующая диаграмма коммутативна

К0(А)

4. сн21

М0(А) 1С0 0

7Г#

НС21(А) Ж21(А). Ко(А) ® С — сюръективный гомоморфизм, о

Пусть Н : М0(А)^п котором мы говорили при обсуждении §8.

Теорема. Для любого I > 0 следующая диаграмма коммутативна к

Щ(А)Ы К0(А)

1СН2г!

1сн I1

Ж21(А) НС21(А): где Сн1м®^) = СЬ%([р})\.

В §14 мы определяем обобщенные числа Лефшеца С\(Е: II) как элементы группы Мо(А). Здесь V — унитарный эндоморфизм '\У*-эллипти-ческого комплекса Е.

Пусть теперь II = 11д для некоторого представления 11д компактной группы Ли С. В этой ситуации можно определить (см. [Тго2,ТгоЗ,ТЕ]) W*-чиcлa Лефшеца Ь\(Е, IIд) е К0(А) ® С (первого типа) и Ь21{Е, IIд) е НС21(А), I > 0 (второго типа).

Теорема. Пусть U является унитарным эндоморфизмом А-эллипти-ческого комплекса (E,d). Пусть, кроме того, U = Ug для некоторого представления Ug компактной группы JIu G. Тогда обобщенное число Лефшеца С\(Е, Ug) есть элемент группы и h(C\(E, Ug)) =

L\(E, Ug).

Теорема. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда тu{L2l{E,Ug))=Ch%(Cl{E,Ug)).

Результаты настоящей работы докладывались на семинарах по геометрии и топологии МГУ, на топологической конференции "Александровские чтения" (Москва, 1999), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения JI. С. Понтрягина (Москва, 1998), на конференции "Dirac operators, index theorems and numerical invariants of manifolds" (Greifswald, 1999), на конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина (С.-Петербург, 1999), на III Международном математическом конгрессе (Barcelona, 2000).

Основная часть результатов диссертации опубликована в работах [33]—[36].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Е. В. Троицкому за постановку многих задач, постоянное внимание и поддержку, а также В. М. Мануйлову и А. С. Мищенко за ценные советы и обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павлов, Александр Александрович, 2000 год

1. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — М.: Мир, 1982.

2. Каспаров Г. Г. Операторный ^С-функтор и расширения С*-алгебр. Изв. АН СССР. Сер. матем., 44 (1980), N 3, 571-636.

3. Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. — М.: Факториал, 1997.

4. Мищенко А. С. Банаховы алгебры, псев до дифференциальные операторы и их приложения в .ЙГ-теории. Успехи матем. наук, 34 (1979), N 6, 67-79.

5. Мищенко А. С. Представления компактных групп в гильбертовых модулях над С*-алгебрами. Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 166 (1984), 161-176.

6. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Индекс эллиптических операторов над С*-алгебрами. Изв. АН СССР. Сер. Матем., 43 (1979), 831859.

7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1979.

8. Соловьев Ю.П., Троицкий E.B. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.: Факториал, 1996.

9. Троицкий Е. В. Стягиваемость полной общей линейной группы С*-гильбертова модуля h{A). Функцион. анализ и его прил., 20 (1986), выпуск 4, 58-64.

10. Троицкий Е. В. Эквивариантный индекс С*-эллиптических операторов. Изв. АН СССР. Сер. матем., 50 (1986), N 4, 849-865.

11. Троицкий Е. В., Франк М. Числа Лефшеца и геометрия операторов в ^У*-модулях. Функцион. анализ и его прил., 30 (1996), N 4, 45-57.

12. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. — М.: МГУ, 1986.

13. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989.

14. Цыган Б. JI. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшиль да. Успехи матем. наук, 38 (1983), 217-218.

15. Акетапп С., Pedersen G., Tomiyama J. Multipliers of C*-algebras. J. Fund. Anal., 13 (1973), 277-301.

16. Connes A. Cohomologie cyclique et foncteurs Extn. C. R. Acad. Sei. Paris. Sér. I Math., 296 (1983), 953-958.

17. Connes A. Non-commutative differential geometry. Publ. Math. I.H.E.S., 62 (1985), 41-144.

18. Cuntz J., Higson N. Kuiper's theorem for Hilbert modules. In: Operator Algebras and Mathematical Physics, Contemporary Mathematics 62, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1987, 429-435.

19. Frank M. Geometrical aspects of Hilbert C*-modules. Positivity, 3 (1999), 215-243.

20. Helemskii A. Ya. Banach cyclic (co)homology and the Connes-Tzygan exact sequence. J. London Math. Soc46 (1992), N 2, 449-462.

21. Helemskii A. Ya. Banach cyclic (co)homology in terms of Banach derived functors. St. Petersburg Math. J., 3 (1992), N 5, 1149-1164.

22. Kaplansky I. Modules over operator algebras. Amer. J. Math., 75 (1953), 839-858.

23. Karoubi M. Homologie cyclique et K-théorie algébrique. I C. R. Ac. Sei. Paris, Série 1., 297 (1983), N 8, 447-450.

24. Kasparov G. G. Hilbert C*-modules: Theorems of Stinespring and Voiculescu, J. Operator Theory, 4 (1980), 133-150.

25. Lance E. C. Hilbert C*-modules a toolkit for operator algebraists. Led. Notes. Univ. of Leeds. Leeds, England, 1993.

26. Lin H. Bounded module maps and pure completely positive maps. J. Operator Theory, 26 (1991), 121-138.

27. Loday J.-L. Cyclic homology. — Springer-Verlag, 1992.

28. Paschke W. L. Inner product modules over B*-algebras. Trans. Amer. Math. Soc., 182 (1973), 443-468.

29. Pedersen G. К. C*-algebras and their automorphism groups. — London-New York-San Francisco: Academic Press, 1979.

30. Rieffei M. A. Induced representations of C*-algebras. Adv.in Math., 13 (1974), 176-257.

31. Troitsky E. V. Lefschetz numbers of C*-complexes. Springer Led. Notes in Math., 1474 (1991), 193-206.

32. Troitsky E. V. Orthogonal complements and endomorphisms of Hilbert modules and C*-elliptic complexes. Novikov Conjectures, Index Theorems and Rigidity, II (London Math. Soc. Lect. Notes Series, 227) (1995), 309-331.

33. Павлов А. А. Алгебры мультипликаторов и пространства квазимультипликаторов. Вестник Моск. ун-та. Сер. Матем., мех. (1998), N 6, 14-18.

34. Pavlov A. A. Generalized Lefschetz numbers of unitary endomorphisms of W*-elliptic complexes. International Conference Dedicated to the 80th Anniversary of V. A. Rokhlin, Abstracts, St. Petersburg. (August 19-25, 1999), 56-58.

35. Павлов А. А. Нормированные группы и их применение в некоммутативной дифференциальной геометрии. Representation Theory, Dynamical Systems, Combinatorial and Algorithmic Methods. Part V (Записки научных семинаров ПОМЕ, 266) (2000), 234-244.

36. Павлов А. А. Функтор Щ над категорией алгебр фон Неймана и его связь с операторной К-теорией. Вестник Моск. ун-та. Сер. матем., мех. (2000), N 4, 55-58.