Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Панкратьева, Татьяна Николаевна
- Специальность ВАК РФ01.01.01
- Количество страниц 102
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панкратьева, Татьяна Николаевна
Введение
1 Веса на коммутативных полугруппах
1.1 Веса на полугруппах.
1.2 Полные полугруппы.
1.3 Теоремы о продолжении.
1.4 Относительный спектр.
1.5 Полухарактеры.
1.6 Вполне упорядоченные полугруппы.
2 Инвариантные алгебры
2.1 Необходимые сведения.
2.2 Идемпотенты в Ms.
2.3 Полиномиальные расширения инвариантных алгебр.
2.4 Внутренние автоморфизмы инвариантных алгебр функций
3 Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций
3.1 Дефекты полугрупп.
3.2 Теорема Радо и инвариантные алгебры.
3.3 Теорема Римана для инвариантных алгебр.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли1999 год, кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Абдульхаевич
Когомологии и спектральный синтез β-равномерных алгебр2009 год, кандидат физико-математических наук Хорькова, Тамара Анатольевна
(Ко)модульные алгебры и их обобщения2021 год, доктор наук Гордиенко Алексей Сергеевич
Инвариантные упорядочения в однородных пространствах простых групп ЛИ2008 год, кандидат физико-математических наук Константинов, Алексей Леонидович
Билинейные отображения коммутативных регулярных полугрупп1984 год, кандидат физико-математических наук Попырин, Александр Васильевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитичность в пространстве максимальных идеалов инвариантных алгебр функций»
Теория равномерных алгебр, как специальная ветвь теории банаховых алгебр, стала интенсивно развиваться в середине прошлого века зарубежными и советскими математиками. В рамках этой теории ^ исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданных на тех или иных конкретных множествах.
Теория равномерных алгебр создана на базе алгебры, функционального анализа, теории функций, она обогатила математику не только новыми задачами, но и позволила объединить ряд теорий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего. Например, теорию непрерывных функций на единичной окружности комплексной плоскости, имеющих аналитическое продолжение в единичный круг (диск -алгебра) ф и теорию инвариантных алгебр функций на компактных абелевых группах. Отметим, что последняя теория, фактически, берет начало с основополагающей работы Р. Аренса и И. Зингера "Generalized analytic function"(см.[30]). В этой работе был предложен функционально — алгебраический подход к изучению почти - периодических аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций, начатая Р. Аренсом и И. Зингером, получила свое развитие в работах Р. Аренса [27], Г. Хельсона * и Д. Лауденслагера [35, 36], К. Гофмана [12, 39], Ф. Форелли [31], К. де
Лю и И. Гликсберга [40], В. Рудина [44], Т. Гамелина [3]. В этих работах доказывались утверждения, аналогичные классическим теоремам теории аналитических функций в единичном круге, выявлялись новые свойства почти периодических аналитических функций.
На протяжении нескольких последних десятилетий развитие этой теории вышло за рамки обычного обобщения классических результатов. Стали исследоваться инвариантные алгебры функций на т группах Ли, на однородных областях, устанавливаться связи между свойствами, представлениями групп и алгебрами, порожденными этими представлениями. Эти исследования представлены в работах М. JL Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Зсшотаревского [6, 7, 10], В. М. Гичева [4, 5], С. А. Григоряна [13, 14, 15], Т. В. Тонева [46, 48, 50], A. JL Розенберга [22], А. Н. Шерстнева [45].
Данная работа выявляет новые свойства инвариантных алгебр функций. Основным объектом исследования является равномерная алгебра которая строится следующим образом.
Пусть G - компактная абелева группа, группа характеров которой изоморфна аддитивной группе Г, наделенной дискретной топологией. Пусть для каждого а £ Г, х° ~ соответствующий характер группы G. Обозначим через а нормированную меру Хаара группы G и через Ll(G, da) - пространство измеримых и интегрируемых функций по мере а. Каждая функция / € Ll{G, da) представляется в виде формального ряда Фурье а€ г где
4 = 1 fTdcr g
-а - тый коэффициент Фурье функции /. Множество
SP/ = {а € Г : с/а ф 0} называется спектром функции /. Пусть S такая подполугруппа группы Г, что 0 € S и S + (—S) = Г. Основным объектом исследования является алгебра состоящая из всех тех непрерывных функций / € C(G), спектр которых содержится в S. Естественно, что между свойствами полутруппы S и свойствами алгебры As существует тесная связь.
Например, пространство максимальных идеалов алгебры As совпадает с множеством Ms - полухарактеров полугруппы S, т. е. таких отображений т из полугруппы S в единичный диск D комплексной плоскости С, что т(а + 6) = т(а) • т(Ь) и га(0) = 1.
Пусть S - коммутативная аддитивная полугруппа с сокращением, то есть из условия а + Ь — а + с следует b ~ с. Предположим, что полугруппа S содержит единичный элемент 0 Е S. Отметим, что существует тесная связь между полухарактерами полугруппы S и весами на S, т.е. такими отображениями : 5 —>■ [0, оо], i/(0) = О, что и(а + Ъ) = i/(a) + 1/(6) для всех a,b Е S. Вес называется конечным, если v{a) < оо для всех а £ S и двузначным, если v : S {0, оо}.
Множество всех весов W(S') - полутруппа с единичным и нулевым элементом. Определим на полугруппе S псевдопорядок: а -< Ь, если существует такой элемент с G S, что а + с = 6. Его можно расширить до псевдопорядка на группе Г5, порожденной полугруппой Si а -< 6, если b — а € S. Если для любых b € Г5 и а € 5, найдется такое положительное число 7i € Z+, зависящее от Ь и а, что 6 па, то говорят, что S задает архимедов порядок на Пусть Н - некоторая подполугруппа полугруппы S, предположим 0 Е Я.
Данная работа состоит из трёх глав и списка литературы. Глава 1, состоит из шести параграфов. В ней особое внимание уделяется следующим трем задачам. a) При каких условиях данный вес v € W(H) можно продолжить до веса на S? b) Каким условиям должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы каждый вес из W(H) продолжался бы до веса на S, в частности, каким свойствам должна удовлетворять полугруппа Н, чтобы любое продолжение конечного веса было конечным на S? c) Пусть W^S) - подмножество в W(jS), состоящее из всех продолжений веса v € W(H). Для каждого Ь € S описать множество т„(Ь) = ЫЪ) : /i G W„(S)}
- относительный спектр элемента Ь.
Первые два параграфа первой главы носят вспомогательный характер. В них собраны необходимые определения и утверждения, которые используются в дальнейшем. В § 3, для полноты изложения приводится новое доказательство критерия продолжения заданного веса с подполугруппы на всю полугруппу (задача а), предложенный А. Н. Шерстневым (см.[45]), а также сформулировано условие на подполугруппу Н, при котором каждый вес из W (Н) расширяется до веса на S (см.[16] ).
Основываясь на указанных выше работах в § 4 главы 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Для того,чтобы каждое продолжение любого конечного веса (если продолжение существует) с подполугруппы Н до веса на полугруппе S было конечным, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любого а £ S существует b £ Н такое, что а -<Ь.
Отметим, что теорема 1 вместе с одним из результатов С. А. Григоряна дает ответ на задачу Ь). В этом же параграфе дается описание относительного спектра элементов полугруппы S.
Результаты предыдущих параграфов используется в § 5 для нахождения условий, при которых полухарактеры с подполугруппы могут быть продолжены до полухарактеров на всей полугруппе.
В последнем параграфе этой главы доказывается следующая теорема
Теорема 2. Пусть Г5 -группа, порожденная полугруппой S. Предположим, что полугруппа S задает архимедов порядок на Гs-Тогда a) полугруппа двузначных весов W^S) на S состоит из одного элемента; b) полугруппа конечных весов Wq(S) на S изоморфна К+; c) W(S) = Woo(S)UW0(S).
Глава 2 состоит из четырех параграфов. В § 1 собран материал, который используется в дальнейшем. В § 2 устанавливается связь между подполугруппами полугруппы вир - множествами алгебры А$. Напомним, что множество F С G называется множеством пика для алгебры As, если существует такая функция / 6 As, что f(a) = 1 для любого а 6 F и |/(<*)| < 1 для а € G\F. Множество называется р -множеством, если оно является пересечением множеств пика. Подполугруппа Н полугруппы S называется полной в 5, если
Н = Гя П S, где Гя = Н + (—Н) - подгруппа группы Г. Для подполугруппы Н полугруппы S пусть
Я"1 = {а € G : Ха(а) = 1 Для всех а € Я}.
Аналогично для замкнутой подгруппы Go С G пусть
Gq = {а € S : ха(а) = 1 для всех а е G0}.
Очевидно, Н С {Н±)1~ и Н = (H±)L - тогда и только тогда, когда Н -полная в S полугруппа. Подобным образом Go = (G^-)"1 тогда и только тогда , когда Gq - р - множество для алгебры As, т. е. Go - пересечение множеств пика для алгебры As- Следующая теорема устанавливает связь между полугруппами группы G и р - множествами для алгебры As
Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие между полными подполугруппами полугруппы S и теми подгруппами группы G, которые являются р-множествами для алгебры As.
Множество полухарактеров
Ms = {т : S ->• D : га(0) = 1, т(а + Ь) = т(а) • т(Ь)} полугруппы 5, является полугруппой относительно операции умножения: raim2)(a) = mi(a)r?i2(a).
Элемент т € Ms называется идемпотентом, если т2 = т. Множество идемпотентов Ы5 — подполугруппа полугруппы Ms. Пусть Ps — множество всех тех подгрупп Go группы G, которые являются р -множеством для алгебры As, и сужение As|g0 алгебры As на Go является антисимметричной алгеброй, т .е. не содержит вещественной функции, отличной от константы. Отметим, что на Ps можно определить структуру полугруппы, если Gu G2 € Ps, то Gi П G2 € Ps.
Теорема 4. Существует полугрупповой изоморфизм между полугруппами Ids « Ps
В §3 главы 2 приводится достаточное условие, при котором алгебра As является полиномиально замкнутой. Напомним: алгебра В называется полиномиальным расширением алгебры А, если В = A[b\,.,bn] алгебра полиномов от &i,.,6n с коэффициентами из А. Пусть K(G) -категория равномерных алгебр на компактной группе Q. Алгебра А называется полиномиально замкнутой , если у А нет нетривиальных полиномиальных расширений в категории K(G). Существует связь между полиномиально замкнутыми As алгебрами и алгебраически замкнутыми подполугруппами S. Подгруппа S называется алгебраически замкнутой в Г, если из условия па £ S, а е Г, п е N следует а € S. Основной результат §3 - следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть S алгебраически замкнутая подполугруппа в Г и card Ids < 00 • Тогда As - полиномиально замкнута.
Ш В последнем параграфе данной главы изучаются автоморфизмы алгебры As. Вообще говоря, группа автоморфизмов алгебры As достаточно широка. Хорошо известно, что группа автоморфизмов диск -алгебры совпадает с группой Мёбиуса,т .е. группой всех преобразований Мёбиуса.
В группе автоморфизмов алгебры As есть подгруппа , которая определяется парой (<т,а), где а : S S - полугрупповой изоморфизм, а а £ G. Автоморфизмы такого вида называются внутренними. Как показали Р. Арене и И. Зингер, если полугруппа S задает полный * архимедов порядок на Г, то все автоморфизмы алгебры As внутренние см. [30]).
Следующая теорема является обобщением приведенной теоремы Аренса - Зингера.
Теорема 6. Пусть S такая полугруппа, что существует полухарактер т G Ms удовлетворяющий неравенству
0 < |га(а)| <1, а € S, а ф 0.
Предположим, card Ids — 2. Тогда либо полугруппа S изоморфна полугруппе неотрицательных целых чисел Z+, либо все автоморфизмы алгебры As внутренние.
Последняя глава посвящена изучению аналитических свойств множества Ms
Многие классические результаты комплексного анализа допускают естественное продолжение на случай инвариантных алгебр функций. В указанной выше работе Арене - Зингер распространили некоторые свойства диск -алгебры на алгебру Ду. В работе де Лью и Гликсберга (см.[40]) были обобщены классические теоремы Фату и Рудина ([12] стр 116, 118). В третьей главе устанавливается связь между алгебраическими свойствами полугруппы S и классическими теоремами Радо о продолжении аналитической функции и Римана об устранимой особенности.
Гл. 3 состоит из трех параграфов. В § 1 вводится понятие дефекта полугруппы.
Рассмотрим три вида расширения полугруппы S
Sw = {а £ Г : па Е S для всех п> Na £ Z+}, здесь число Na зависит от элемента а € Г;
S$ = {а £ Г : па € S для некоторого п G Z+},
Sx - семейство тех элементов а € Г, для которых найдется такое 6 G 5, что а + 6 € Sи т(а 4- b)/m(b)\ < 1, если 771 G Ms\{m € Ms ■ m(b) = 0}. Очевидно,
Sw С Ss С Sx.
Определим четыре алгебры функции на группе G: $l(Ss) и каждая из которых порождается линейными комбинациями характеров, соответствующих полугруппам S, Sw, Ss и Sx.
Слабым дефектом полутруппы S называется число w def S -размерность алгебры ffi(Sw) как модуля над Щв).
Дефектом полугруппы S называется число def S - модульная размерность 9ft(5s) над Щвцг)
Сильным дефектом полугруппы S называется число s def S - модульная размерность алгебры над №(Ss)>
Напомним ряд определений, используемых в этой главе. Для равномерной алгебры А обозначим через Ма пространство её максимальных идеалов и дА границу Шилова этой алгебры. Пусть U ~ открытое множество в Мд, и Ац - равномерное замыкание сужения гельфандовского представления А на U. Непрерывная функция / на U С Ма называется А - голоморфной, если для любой точки х €i U найдется такая окрестность V(x G V С V С U), что сужение / на V принадлежит Ау. Множество всех А - голоморфных функций на U — образуют алгебру Oa(U). Равномерная алгебра называется аналитической на пространстве максимальных идеалов Мд, если каждая функция / € А, равная нулю, на некотором открытом подмножестве множества Ма тождественно обращается в нуль на Ма-Приведем основную теорему § 1.
Теорема 7. Пусть Sa = S + Z+a - полугруппа, порожденная полугруппой S и элементом a € Г. Msa — Ms тогда и только тогда, когда а £ Sw
Известная теорема Радо для диск алгебры утверждает следующее: если непрерывная функция на единичном диске D аналитична на множестве int D\N(f), где N(f) - множество нулей функции /, то / принадлежит алгебре Az+. Эта теорема имеет различные обобщения. Среди них особое место занимает следующая теорема Гликсберга (см. [33])
Теорема 8 (Гликсберг). Пусть А — равномерная алгебра и f — непрерывная функция на Мд, являющаяся А - аналитической на множестве MA\f~l(0). Тогда M[Aj] = Ма и d[A,f] = дА, где [A,f] — равномерная алгебра, порожденная функциями f и функциями из А, и дА — граница Шилова алгебры А.
Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Радо, если каждая функция / непрерывная на Ма и А - аналитическая на Ma\N(/) принадлежит алгебре А.
Основной результат § 2 следующий.
Теорема 9. Алгебра As обладает свойством Радо тогда и только тогда, когда w def 5 = 0.
Равномерная алгебра называется целозамкнутой на Ма, если каждая непрерывная на Ма функция удовлетворяющая полиномиальному уравнению вида xn + fixn~1 + --- + fn = 0, fi € А принадлежит алгебре А. В этом параграфе показано, что условие wdef S — 0 является критерием целозамкнутости алгебры As (теорема 3.2.3).
Третий, последний параграф главы 3, посвящен обобщению теоремы Римана об устранимой особенности. Говорят, что равномерная алгебра А обладает свойством Римана, если для любой функции g € A, N(g)f)dA = 0, каждая непрерывная А - голоморфная и ограниченная на Ma\N(q) функция продолжается до функции из А.
Очевидно, что если А обладает свойством Римана, то она обладает и свойством Радо. Обратное не верно. В § 3 доказывается следующая теорема
Теорема 10. Аналитическая алгебра As обладает свойством Римана тогда и только тогда, когда Ss = S,m е. w def S + def S + sdef S = 0.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК
Структура операторной алгебры, порожденной коммутативной алгеброй и отображением2016 год, кандидат наук Патрин Евгений Владимирович
Групповые структуры и их приложения в анализе и топологической алгебре2020 год, доктор наук Гумеров Ренат Нельсонович
Периодические линейные полугруппы1984 год, кандидат физико-математических наук Коряков, Игорь Олегович
Устойчивость и неустойчивость по Уламу функциональных уравнений и приложения2009 год, доктор физико-математических наук Файзиев, Валерий Авганович
Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности2011 год, кандидат физико-математических наук Трикашная, Наталия Вячеславовна
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панкратьева, Татьяна Николаевна, 2004 год
1. Аграновский М. J1. Инвариантные алгебры на границах симметрических областей. //ДАН СССР. - 1971. - Т. 197. - N 1.- С. 9-11.
2. Батикян Б. Г., Горин Е. А. Заметка о не локальных алгебрах. // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1973. - N 65. - С. 172 - 177.
3. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: "Мир", 1973.
4. Гичев В. М. Инвариантные алгебр функции на группам Ли. // Сиб. матем. журнал. 1979. - Т.20. - N 1. - С. 23 - 36.
5. Гичев В. М. Пространство максимальных идеалов инвариантных алгебр. //Функ. анал. и прил. 1979. - Т.13. - N 3. - С.75 - 76.
6. Горин Е. А. Максимальные подалгебры коммутативных банаховых алгебр с инволюцией. //Матем. заметки. 1967. - N 1:2. - С. 173 - 178.
7. Горин Е. А. О некоторых характеристических свойствах С(Х). // Теория функций и функц. анализ-1971. N 14. - С. 186 - 195.
8. Горин Е. А. Подалгебры конечной коразмерности. // Матем. заметки. 1969. - N 6:3. - С. 321 - 328.
9. Горин Е. А., Лин В. Я. Алгебраические уравнения с непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос. //Матем. сб. 1969. - Т. 78. - N 4 - С. 579 - 610.
10. Гофман К. Банаховы простанства аналитических функций. -М.:ИЛ., 1963.
11. Григорян С. А. Алгебра конечного типа на компактных группах. //Изв. АН Арм. ССР. Математика.- 1979.- Т.14. N 3.- С. 168 - 183.
12. Григорян С. А. Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1981. - Т. 16. - N 5. - С. 168 - 183.
13. Григорян С. А. О полиномиальных расширениях коммутативных банаховых алгебр. //УМН. 1984. - Т.39. - N 1(225). - С. 129 - 130.
14. Григорян С. А. Веса на полугруппах. //Сборник "Итоговая научная конференция Зеленодольского филиала КГУ". 2002. - С. 18-24.
15. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир,-1984.
16. Клифорд А., Престон. Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.:Мир,- 1972, Т.1,2.
17. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.:ГИТТЛ,-1953.
18. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.:ГИФМЛ, - 1960.
19. Ленг С. Алгебра. М.:Мир, - 1965.
20. Розенберг A. JL Инвариантные алгебры на компактных группах.//Матем. сб. 1970. - Т.81. - N 2. - С.176 - 184.
21. Рудин У. Функциональный анализ. М.:Мир, - 1975.
22. Рудин У. Теория функций в поликруге . М.:Мир, - 1974.
23. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множеств. М.:Наука, -1985.
24. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ ч. I, И. М.:Наука, -1985.
25. Arens R. The boundary integral of log |<£>| for generalized analytic functions. ЦТ. A. M. S. 1957. - Vol.86. - P.57 - 69.
26. Arens R. and Hoffman K. Algebraic extrension of normal algebras. //P. A. M. S. 1956. - P. 203 - 210.
27. Arens R. and Singer I. Function values as boundary integrals. //Р. A. M. S. 1954.- Vol.5. - P. 735 - 745.
28. Arens R. and Singer I. Generalized analytic functions. //Т. A. M. S. -1956. Vol.81. - P. 379 - 393.
29. Forelli F. Analytic measures.//Р. J. M. 1963. - Vol.13 - P. 571 - 578.
30. Gamelin T. Remarks on compact groups with ordered duals./ /Rev. U. Math Arg. 1967.-Vol.23.- P. 97 - 108.
31. GlicksbergI. Maxsimalalgebras and a theorem of Rado.//Р. J. M. -1964-Vol.14.- P. 919 941.
32. Glicksberg I. Measures orthogonal to algebras and sets of antisymmetry. ЦТ. A. M. S. 1962. - Vol.105. - P. 415 - 435.
33. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. //Acta Math. 1958. - Vol.99. - P. 165 - 202.
34. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. //II, Acta Math. 1961. - Vol.106. - P. 175 - 213.
35. Helson H. Lectures on invariant subspaces. N.Y.:Acad. Press, - 1964.
36. Hoffman K. and Singer I. Maximal subalgebras of С(Г). //Amer. J. Math. 1957. - Vol.79. - P. 295 - 305.
37. Hoffman K. and Singer I. Maximal algebras on continuos function. //Acta. Math. 1960. - Vol.103.
38. Leeuw K. de. and Glicksberg I. Quasi-invariance and measures on compact groups. //Acta Math. 1963. - Vol.109. - P. 179 - 205.
39. Leeuw K. de. and Mirkil H. Translation — invariant function algebras on abelian groups. //Bull Soc. Math. Franse. 1960. - Vol.88. - P. 345 - 370.
40. Lindderg J. A. Integral extention of commutative Banach algebra. //Can. J. Math. 1973. - Vol.25:4. - P. 675 - 684.
41. Rider D. Translation — invariant Dirichlet algebras on compact groups.jIP. A- M- S- " 1966. Vol.17. - N 5. - P. 977 - 985.
42. Rudin W. Fourier analysis of groups.: Interscience. N. Y., — 1962.
43. Sherstnev A. N. An analog of the Hahn-Banach theorem for commutative semigroups. //Russian Journ. of Math. Physics. 2002. - Vol.9. - N 2. -P. 198 - 201.
44. Tonev Т. V. Big-planes, boundaries and function algebras. //North Holland Math, studies. - 1992. - Vol.172.
45. Wolf J. Translation — invariant function algebras on compact groups, j jV. J. M. 1965. - Vol.15. - N 3. - P. 1093 - 1099.
46. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Inner automorphisms of shift invariant algebras on compact groups. //Известия HAH Армении. Математика. - 1999. - T.34. - N 5. - C.57-62.
47. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Invariant algebras on groups and completeness of their generating semigroups. //Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество.- 1999. -С. 260-261.
48. Grigoryan S. A., Pankrateva Т. N., Tonev Т. V. The validity range of two complex analisis theorems. // Complex variables. 2002. - Vol.47. -N12 - P.1085 - 1095.
49. Панкратьева Т. H. Относительный спектр. //Сборник "Итоговая научная конференция Зеленодольского филиала КГУ".- 2002.- С.16 -20.
50. Панкратьева Т. Н. Теоремы о вложении для полугрупповых алгебр. //Теория функций, ее прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2003. - Т. 19 - С.164 - 165.
51. Панкратьева Т. Н. О полиномиальных расширениях инвариантных алгебр функций. //Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казанское матем. общество. 2004 . - Т.25. - С. 211.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.