Категории модулей: Некоторые аддитивные функторы и двойственность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Звягина, Марина Берговна

• Звягина, Марина Берговна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Звягина, Марина Берговна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение

Глава 1. Локальная двойственность

§ 1. Основные определения и простейшие леммы 17 §2. V-рефлексивность для инъективных и, в частности, инъективных

кообразующих дУ

§3. Общая теорема о существовании локальной двойственности

§ 4. Модули над локальными и полулокальными кольцами

§5. Общий случай нетерова коммутативного кольца

§6. Области главных идеалов. Нетеровы факториальные области

§ 7. Абелевы группы. Двойственность Понтрягина

Глава 2. Непрерывные функторы

§1. Классификация непрерывных функторов .одного аргумента

§ 2. Функторы, непрерывные справа 44 §3. Ковариантные функторы, непрерывные слева: формулировка и

начало доказательства теоремы о представимости 46 §4. Ковариантные функторы, непрерывные слева: ключевые леммы

и завершение доказательства теоремы о представимости

§ 5. Непрерывные слева контравариантные функторы

§6. Характеризация непрерывных функторов нескольких аргументов 55 § 7. Переформулировка полученных результатов на языке категорий

функторов

Глава 3. Глобальная двойственность

§1. дУ-мультиструктурированные абелевы группы

§2. Теорема о представимости дУ-мультиструктуры

§3. Основной результат двойственности

§ 4. Замена топологической структуры алгебраической

§5. Рациональный остов и пополнение

§6. Эффективный способ построения множества с алгебраической

структурой, эквивалентной структуре компактной абелевой группы

Глава 4. О восстановлении функторов по их производным

§ 1. Строго гибкие слева кольца. Базисные функторы

§2. Правые кольца Ope и правые кольца Голди

§3. Делимость и свобода от деления

§4. Левая гибкость полупервичных правых колец Голди 74 § 5. Необязательность условий полупервичности и голдиевости для

гибкости кольца: примеры

§6. Обобщение результата о полупервичных правых кольцах Голди

§ 7. Задача единственности: постановка и контрпример

§8. Теорема единственности для представимых функторов

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Категории модулей: Некоторые аддитивные функторы и двойственность»

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы, связанные с двойственностями и эквивалентностями для категорий модулей, а также с непрерывными функторами на этих категориях, интересуют математиков достаточно давно. Общая теория эквивалентностей и двойственностей для абстрактных категорий разработана в 1945 г. С.Эйленбергом (S.Eilenberg) и С.Маклейном (S.Mac Lane) — в той самой публикации [45], где впервые определяются понятия категории и функтора. К.Морита (K.Morita) обстоятельно изучает специальные виды двойственности и эквивалентности для категорий модулей в [54] (1958). Среди прочих результатов, полученных в этом фундаментальном труде, отметим следующие:

(1) Пусть А и В — ассоциативные кольца с единицами, ^ШТ, Ш%в — категории левых унитарных А-модулей и правых унитарных £?-модулей; записи

и Yb означают левый унитарный А-модуль X и правый унитарный 5-модуль Y соответственно. Рассматриваются полные подкатегории ^ШТ и Wis, содержащие соответственно а А и В в и такие, что всякий модуль (соотв. Yb), изоморфный некоторому объекту первой (второй) подкатегории, сам является объектом этой категории. Установлено, что любая двойственность между такими подкатегориями эквивалентна паре функторов Hom^ ,£7) и Нотд( ,£7), где aUb — некоторый бимодуль.

(2) Найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы aUb индуцировал U-двойственность (т.е. функторы Hom^ ,U) и Нот#( ,U) определяли бы двойственность) между более специальными подкатегориями а Ж и Ш в-Именно, такие подкатегории дополнительно к требованиям, наложенным в (1), должны иметь в качестве классов объектов классы Серра (т.е. такие классы, что для всякой точной последовательности модулей 0 —> X' —»■ X —у X" —> О X является объектом данного класса в том и только в том случае, когда таковы X' ш,Х"). Условие состоит в том, что U является инъективным кообразующим как в аЖ, так и в 9Лв, и при этом В ~ ЕпсЦ?7, А ~ End^i/.

(3) В случае артиновых (слева и справа соответственно) колец А и В для

подкатегорий конечнопорожденных модулей условие, приведенное в (2), упрощается: ¿У — конечнопо рожденный инъективный кообразующий и5~ ЕпсЦС/.

(4) Изучены эквивалентности между полными подкатегориями и Шв, обладающими свойствами, изложенными в (1). Такие эквивалентности изоморфны парам функторов Нотд(У, ) и Нотв(£7, ), где дУв и aUb — некоторые бимодули.

(5) Получено достаточное условие эквивалентности между категориями аШ и Шв в целом: эти категории эквивалентны, если существует такой проективный конечнопорожденный aU, что В ~ Ногпд(£7, U). Эквивалентность задается функторами Нотa(U, ) и ®bU.

(6) В любопытном приложении доказывается, что всякая автодуальность категории локально компактных абелевых групп эквивалентна двойственности Понтрягина.

В том же 1958 году Е.Матлис (E.Matlis) в работе [52] получает следующий результат:

Пусть R — коммутативное нетерово полное локальное кольцо с максимальным идеалом Р, Е = Inj^R/ Р) — инъективная оболочка RJP над R. Тогда контравариантный точный функтор Нотд( , Е) задает двойственность между категориями нетеровых и артиновых Д-модулей.

В начале 1960-х годов участникам семинара А.Гротендика (A.Grothendieck) становятся известными чуть более общие утверждения: пусть А — локальное нетерово коммутативное кольцо с максимальным идеалом m, / — инъективная оболочка поля вычетов к = А/m над А. Тогда

(1)(а) а! — инъективный кообразующий модуль,

(b) / = limHomA (А/mre, I),

п ^

(c) кольцо ЕпсЦ/ изоморфно пополнению А локального кольца А;

(2) функтор Hom^( , I) осуществляет автодуальность категории А-модулей конечной длины; он же дает двойственность между категориями артиновых А-модулей и нетеровых А-модулей.

Теорема двойственности Л. С. Понтрягина, полученная еще в начале

1930-х годов (см., например, [60], 1934, или [24], 1936, оригинал — 1934), утверждает (выражаясь в современных терминах), что категория локально компактных абелевых групп автодуальна, причем двойственность задается функтором Hom( , R/Z). В частности, категория дискретных абелевых групп (т.е. -¿Ж) двойственна категории компактных абелевых групп.

За прошедшие годы появилось немало публикаций, идущих в русле исследований К.Мориты и Л.С.Понтрягина и содержащих обобщения и приложения приведенных выше результатов. Назовем в первую очередь монографии П.Кона (P.Cohn) [40] (1970), К.Фейса (С.Faith) [29] (том 2, гл.23, 1979 — в оригинале 1976), Л.С.Понтрягина [25] (1973, третье издание), С.Морриса (S.Morris) [23] (1980). В работах [9] (1978), [36] (1989), [47] (1989) и [42] (1991) получены двойственности, имеющие своим источником результаты как К.Мориты, так и Л.С.Понтрягина, в [53] (1991), [61] (1991) и [64] (1995) излагаются градуированные варианты двойственностей и эквивалентностей Мориты.

Главы 1 и 3 настоящей диссертации связаны с тем же кругом идей и проблем: в первой части главы 1 доказано, что всякая локально малая1 полная подкатегория категории дШТ двойственна локально малой полной подкатегории г9Л при некотором Г, причем двойственность осуществляется функторами Нотд( , V) и Нотг( ,V), где — некоторый бимодуль, такой, что дУ — инъективный

кообразующий (достаточно большой), и Г ~ Епс1дУ. Вторая часть главы 1 содержит изложение и "глобализацию" результатов о локальных нетеровых коммутативных кольцах, полученных в начале 60-х годов участниками семинара Гротендика и опубликованных в [48], [49] (изложение самих результатов см. выше). Вполне возможно, что в этом кругу математиков уже в тех же 60-х годах были известны факты, изложенные автором в гл.1, однако соответствующие публикации, по-видимому, отсутствуют.

1Под локально малой категорией мы понимаем категорию, классы изоморфных между собою объектов которой образуют множество. Общепринятого названия для таких категорий нет, а предлагаемое С.Маклейном в [51] "категории с малым скелетом" ("skeleton") показалось автору несколько громоздким и могущим затемнить суть дела. Автор благодарен А.И.Генералову за указание на то, что названия для рассматриваемого класса категорий в литературе существуют.

В главе 3 автор строит чисто алгебраическую категорию, двойственную д9Н (и тем самым — благодаря двойственности Понтрягина — эквивалентную категории компактных правых Л-модулей). Эта категория возникает как своего рода предел категорий, двойственных локально малым подкатегориям M категории д9Я при растущих M и получает обозначение j^V-Mult, причем объекты ее мы называем л ^-мультиструктурами, а морфизмы — дУ-мультиморфизмами (построение неинвариантно и зависит от выбора инъек-тивного кообразующего дУ, однако ввиду наличия канонического инъектив-ного кообразующего \Cont(A) = Homg(A,R/Z) можно говорить о канонической двойственности между категориями д9Л и дС ont (A)-Mult — и тем самым о канонической эквивалентности между \Cont(A)-Mult и категорией компактных правых Л-модулей).

Сюжет о непрерывных функторах дШ1 —У проще и короче. В 1960 г. С.Эйленберг [44] приводит характеризацию непрерывных справа функторов: такие функторы либо изоморфны тензорным умножениям (ковариантный случай), либо представимы (контравариантный случай). В том же году Уотте (С.Е.Watts) дополняет эту характеризацию, доказывая представимость непрерывных слева ковариантных функторов ([62]). Наконец, С.Маклейн в своей фундаментальной монографии (1963; в русском переводе [21], 1966, с.499) последовательно излагает результаты Эйленберга и Уоттса, отсылая, правда, за доказательствами к первоисточникам. Автор заметил, что мыслимым является еще один тип непрерывных функторов дЭДТ —у именно непрерывные слева контравариантные функторы. На самом деле такие функторы обязаны быть нулевыми, но автор не встречал публикаций с доказательством этого естественного факта.

В главе 2 мы приводим полную характеризацию непрерывных функторов дШТ —у с оригинальными доказательствами теорем о представимости ковариантных функторов, непрерывных слева, и о тривиальности непрерывных слева контравариантных функторов. Вторая глава идейно тесно связана с главами, посвященными двойственности: с одной стороны, она повсеместно

использует базовый аппарат главы 1, с другой стороны, в третьей главе доказательство основной теоремы о представимости мультиструктур базируется непосредственно на ключевых леммах главы 2, касающихся представимости непрерывных слева ковариантных функторов.

Наконец, вопрос о возможности и единственности восстановления функтора по произвольно заданным левым и правым производным был поставлен А.В.Яковлевым; публикации автора [13] (1981),14] (1981) и [15] (1991) содержат частичный ответ на этот вопрос, а в главе 4 настоящей диссертации наши представления о гибких кольцах (так мы назвали кольца, над которыми восстановление функтора по его производным — "склеивание" — всегда возможно) несколько расширяются по сравнению с публикацией [15]. По ходу решения чисто гомологической задачи о гибкости мы столкнулись с проблематикой колец частных. Поэтому полезной оказалась литература, увязывающая наличие и свойства колец частных с гомологическими характеристиками исходного кольца ([12], 1969; [58], 1971; [63], 1989; [2] 1995).

Изложим теперь краткое содержание диссертации.

На протяжении всей работы мы придерживаемся следующих обозначений:

Л — ассоциативное кольцо с единицей;

дЙЯ — категория левых унитарных Л-модулей;

ЗЛд — категория правых унитарных Л-модулей;

\Х — левый Л-модуль X;

Уд — правый Л-модуль У; для произвольного \У

Г(л^) — кольцо эндоморфизмов ЛУ : Г(дУ) = Епс1д(У) = Нотд(У, У);

ву = Нотл( , V) : дШТ г(лу)9Я и

Ну = Нотг(лу)( ,У) : —> дЭДТ — контравариантные функторы, кото-

рые мы будем рассматривать вместе с естественными морфизмами

Ыл

и

Ыг(лУ)ая -»• СуНу, у е Т(ЛУ)У ->■ Фу е Ф„(а;) = х(у).

В первой главе доказывается общая теорема о существовании локальной двойственности и приводится ряд приложений этой теоремы к модулям над различными типами нетеровых коммутативных колец.

§§1, 2 посвящены развитию аппарата, базового для всей работы. Это основные определения и леммы о У-рефлексивности для произвольных, инъективных и инъективных кообразующих дУ.

В §3 наряду с основным результатом о существовании локальной двойственности доказывается важная "теорема о двойном централизаторе".

Предложение 1.3. Пусть д{7 — инъективный кообразующий. Тогда существует такая прямая степень д?У У = II1, что

Епс1д(У) = Г, Епс1г(У) = А.

Теорема 1.3.1. Всякая локально малая полная подкатегория категории дЗЭТ двойственна локально малой полной подкатегории г ЯЛ при некотором Г.

Приводятся также два полезных замечания о применениях теоремы 1.3.1 к общим утверждениям гомологической алгебры.

В §§4-7 изложены некоторые приложения теоремы 1.3.1 к категориям модулей над различными типами нетеровых коммутативных колец. §4 посвящен локальному случаю, и большинство полученных в нем результатов новыми не являются (см., напр., [48], [49], [52]).

В §5 результаты, полученные для локальных нетеровых колец в предыдущем параграфе, "глобализуются" — и доказывается несколько предложений о локальной двойственности для произвольного нетерова коммутативного кольца.

Предложение 1.5.1. Пусть Л — нетерово коммутативное кольцо, тогда

(a) категория Л-модулей конечной длины автодуальна;

(b) категория Л-модулей конечной длины двойственна — и тем самым эквивалентна — категории Г(Л)-модулей конечной длины, где Г(А) =

Л Ат, Ат = Нт(Ат/тАт) — пополнение локального кольца Лт =

тСЛ — мак- ^

симальный идеал

(А\ш)-1А.

Предложение 1.5.2. Для нетерова коммутативного Л категория артиновых Л-модулей двойственна категории нетеровых Г(А)-модулей и эквивалентна категории артиновых Г(А)-модулей.

Предложение 1.5.3. Пусть Л = Аа — прямое произведение полных локальных нетеровых колец (ненетерово в случае бесконечного множества индексов а\). Тогда категории нетеровых и артиновых Л-модулей двойственны друг ДРУгу.

Предложение 1.5.4. Для нетерова коммутативного Л положим Уц = ^ Т/т; V = где М — множество максимальных идеалов Л, N — множество

натуральных чисел. Тогда имеем

ЕпаЛ(У) = Г, Епс1г(У) = Л.

§6 посвящен модулям над областями главных идеалов и над нетеровыми факториальными областями. Большинство результатов о модулях над областями главных идеалов получается простым применением общих предложений §5; сформулируем здесь лишь важную структурную теорему о строении артиновых модулей и результат о локальной двойственности для категории конеч-нопорожденных модулей.

Предложение 1.6.1. Для области главных идеалов Л всякий артинов Л-модуль изоморфен конечной прямой сумме ф (А/рпрг^А), (£р = 0 при по-

г=1,... ,£р

чти всех р), где V — множество неразложимых элементов кольца Л (с точностью до единиц), Пр^ — неотрицательное целое число или оо (через А/р°°А мы обозначаем Пт(Л/р'гЛ)).

Предложение 1.6.2. Пусть Л — область главных идеалов. Положим У0 = ®Р£-р(А/р°°А) ~ к/А, где к — поле частных кольца Л; V = Тогда

(a) Епс1л(У) - Г, Епаг(У) = Л.

(b) категория конечнопорожденных Л-модулей двойственна категории левых Г-модулей, объекты которой изоморфны конечным прямым суммам модулей V и (Л/р"Л)^ (р € Р, п — целое неотрицательное число).

Из результатов о модулях над нетеровыми факториальными областями наиболее интересным и тонким является предложение о "двойном централизаторе" :

Предложение 1.6.3. Пусть А — нетерова факториальная область; положим и, = (Вр€Г(А/р°°А), и = и?хлг. Тогда

Еп<1А(и) = Г, Епс1г({7) = А.

Наконец, в §7 отдельно рассматривается случай А = Ъ и обсуждается связь функторов С-щх, Нщг с двойственностью Понтрягина.

Вторая глава посвящена полной характеризации непрерывных функторов дШ1 —» г^Я для произвольного ассоциативного кольца с единицей А.

В §1 непрерывные аддитивные функторы д9Л —> ^ШТ подразделяются на четыре класса:

1) ковариантные, непрерывные справа;

2) контравариантные, непрерывные справа;

3) ковариантные, непрерывные слева;

4) контравариантные, непрерывные слева.

В §2 доказывается, что ковариантные функторы, непрерывные справа, изоморфны тензорным умножениям, а контравариантные функторы, непрерывные справа, представимы.

В §3 приводится формулировка и начало доказательства теоремы о представимости ковариантных функторов, непрерывных слева.

§4 посвящен развитию специального аппарата для доказательства теоремы из §3 ( впоследствии этот же аппарат найдет свое применение в третьей главе, при доказательстве теоремы о представимости мультиструктур) — и завершению доказательства этой теоремы.

В §5 устанавливается, что контравариантный функтор, непрерывный слева, обязан быть нулевым.

В §6 дается полная характеризация непрерывных функторов нескольких аргументов.

В §7 полученные результаты о непрерывных функторах одного аргумента переформулируются на языке категорий функторов.

В третьей главе строится каноническая чисто алгебраическая категория, двойственная дЭДТ (и тем самым эквивалентная категории компактных правых унитарных Л-модулей). Объекты этой категории мы называем мультиструк-турированными абелевыми группами или, короче, мультиструктурами.

В §1 дается определение категории дУ-мультиструктур и приводится пример д У-мультиструктуры, порождаемой функтором Нотд(Х, ) на абелевой группе Нотд(А, V) при произвольном \Х (как выясняется в следующем параграфе, для инъективного кообразующего дУ этот пример является общим).

Пусть дУ — произвольный модуль. Мы будем говорить, что абелева группа У аУ-мулътиструктурирована, если на прямых ее степенях У1 при всевозможных непустых множествах I заданы согласованные между собою структуры левых Г(дУ-^-модулей. Под дУ-мультиморфизмом мы будем понимать такой гомоморфизм Ух -Д- Уч дУ-мультиструктурированных абелевых групп, что У/ У/ есть гомоморфизм Г(дУ7)-модулей при любом непустом I.

Категорию дУ-мультиструктурированных абелевых групп и дУ-мультимор-физмов мы обозначим через дУ-МиН.

В §2 доказывается теорема о представимости дУ-мультиструктур при инъ-ективном кообразующем дУ.

Теорема 3.2.1. Пусть дУ — произвольный модуль, У — дУ-мультистру-ктурированная абелева группа. Тогда существует дУ-мультиморфизм У —> Нотд(НотАу-Ми/*(У> V"), У), который является изоморфизмом, если дУ — инъ-ективный кообразующий.

Для доказательства нетривиальной части этой теоремы используется в точности тот же аппарат, что и для доказательства представимости непрерывных слева ковариантных функторов (ключевые леммы §4 главы 2 нуждаются лишь в легкой и очевидной переформулировке).

Замечание 3.2.1. А-гомоморфизм У1 —> У-7 мы будем называть дУ-непрерывным, если он задается матрицей {А^-} £ (А^)-7. Абелева группа У

допускает дУ-мультиструктуру при инъективном кообразующем дУ в том и только в том случае, когда она изоморфна ядру некоторого д^-непрерывного гомоморфизма. Задание дУ-мультиструктуры на У равносильно в этом случае указанию дУ-непрерывно-гомотопического класса дУ-непрерывных инъ-ективных резольвент У 0 —> V1 VJ.

В §3 формулируется и доказывается основной результат двойственности:

Теорема 3.3.1. Категория дV-Mult двойственна категории дЭДТ при любом инъективном кообразующем дУ.

Доказательство. Требуемая двойственность осуществляется функторами

дШг->лV-Mult, X —» Нотд(Х, У)

и

ДV-Mult лшг, У -4 НотAv-muit(Y, У).

Замечание. В качестве канонического инъективного кообразующего в дШТ можно взять Cont(A) = Homz(A,R/Z). Соответственно, каноническая чисто алгебраическая категория, двойственная дПЛ, есть дСопt(A)-Mult.

Приводятся также функторы, осуществляющие двойственность Понтрягина ^ Сотрд:

\Х —У компактный правый Л-модуль Homz(X,!./Z) = HomA(X, Cont(A)) и компактный Уд —> HomcomP2(y,R/Z) = HomcomPA(y,Cont(A)).

§4 посвящен замене топологической структуры компакта на правом А-модуле структурой чисто алгебраической — и наоборот. Приводятся также алгебраические эквиваленты свойств связности и полной несвязности компактных групп.

В §5 вводятся понятия рационального остова и пополнения для компактных абелевых групп.

В §6 дается эффективный способ построения аК/^-мультиструктуры, эквивалентной структуре компактной абелевой группы, и ^О/^-мультиструктуры, эквивалентной структуре рационального остова этой группы. Замечание 3.2.1

применяется здесь к случаям Л = й,У = К/^иЛ = й,Т/г = 0/й. Наряду с этим приводятся диаграммные критерии связности и полной несвязности компактной абелевой группы и пополнения хО/^-мультиструктуры.

В четвертой главе обсуждаются два вопроса, связанные с производными функторами: о возможности склеивания двух произвольных аддитивных функторов д93? —>■ 21 и об единственности функтора, имеющего данный первый производный.

Под склеиванием двух аддитивных функторов дШТ ——> 21 со значениями в абелевой категории 21 мы понимаем построение такого аддитивного ^Фа ■ л®? —>■ 21, что Ь{рФв — и ЯгрФв — ЯгО при г = 1,2,.... Мы называем кольцо Л гибким слева, если любые два аддитивных функтора Р, С? : дШТ —» 21 со значениями в произвольной абелевой категории 21 могут быть склеены.

В §1 вводится вспомогательное понятие строгой левой гибкости (более сильное, чем понятие левой гибкости): кольцо Л называется строго гибким слева,

р о

если для любых двух аддитивных ковариантных функторов дЭДТ —» 21 со значениями в абелевой категории 21 существует ковариантный аддитивный рФа ■ 21 такой, что ЬгрФо — ^{Р, Я*рФв - Я^ для { = 0,1,2,... (от-

личие строгой гибкости от гибкости состоит в учете нулевых производных функторов). Доказывается простая лемма, дающая необходимое и достаточное условие строгой левой гибкости кольца.

Лемма 4.1.1. Кольцо Л является строго гибким слева в том и только в том случае, когда существуют два "базисных" функтора оФыФо : л®? для

которых оФх(Р) = 0 и 1 Фо(Р) — Р при проективных дР, 0Ф1(«/) ^ «/ и хФо(«/) = 0 при инъективных </.

§2 носит вспомогательный характер и посвящен напоминанию известных ([30], глава 7) определений и результатов. В §3 даны определения делимости и свободы от деления для левых унитарных модулей над правыми кольцами Оре и для самих этих колец. Доказывается ряд вспомогательных результатов о делимости и свободе от деления и следующая содержательная теорема:

Теорема 4.3.1. Свободное от деления правое кольцо Оре строго гибко

слева.

Следствие. Правое кольцо Ope без делителей нуля, не являющееся телом, строго гибко слева. В частности, строго гибкой является всякая коммутативная область целостности, отличная от поля.

В §4 получен центральный результат всей главы — содержательное достаточное условие левой гибкости:

Теорема 4.4.1. Полупервичное правое кольцо Голди гибко слева. Строгая левая гибкость такого кольца равносильна его свободности от деления.

В §5 приведены серии примеров, показывающих, что ни одно из условий полупервичности и правой голдиевости не является необходимым для левой строгой гибкости кольца — даже при соблюдении второго из этих условий; более того, существуют гибкие слева кольца, не являющиеся ни полупервичными, ни голдиевыми справа.

В §6 основной результат о левой гибкости полупервичных правых колец Голди получает некоторые обобщения.

В §7 мы начинаем обсуждение вопроса об единственности аддитивного функтора, имеющего заданный первый производный: приводится общая постановка задачи и пример, показывающий отсутствие единственности (по модулю точного прямого слагаемого) в общем случае.

§8 посвящен доказательству теоремы единственности для представимых функторов.

Теорема 4.8. (1) Пусть А, В — левые унитарные Л-модули, и Ext^(A, ) ~ (В, ). Тогда имеет место изоморфизм левых А-модулей А ф Pi ~ В ® Р2 при некоторых проективных дРь л-Рг-

(2) Пусть А, В — левые унитарные Л-модули, и Ext\( , А) ~ Ext^( , Р). Тогда имеет место изоморфизм левых Л-модулей А © J\ ~ В ® J2 при некоторых инъективных л «Л,

Нумерация утверждений в диссертации структурирована. Так, "предложение 3.2.1" означает предложение 1 §2 главы 3. Список литературы включает 64 наименования.

Автор глубоко признателен А.В.Яковлеву за интерес к работе и полезные советы, А.Ф.Иванову за постоянное внимание и содержательные беседы, а также Б.Б.Лурье и И.Б.Жукову за дружескую поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Звягина, Марина Берговна

выводим

Тог д(А/г(А), Л/г(Л)) = г(Л) ®л А/г (А) = г(А)/(г(А))2 ф 0 т.к. г (А) — ненулевой нильпотентный идеал).

Предложение 4.6.2. Артиново слева самоинъективное слева кольцо является гибким слева в том и только в том случае, когда оно полупросто.

Доказательство. Достаточно применить лемму 4.6.2 и следствие 2 из леммы 4.6.1.

Теорема 4.6.1. Пусть кольцо Л раскладывается в прямую сумму артинова и самоинъективного слева Ло и свободного от деления Aj. Тогда левая гибкость Л равносильна полупростоте Ло

Доказательство. Ввиду левой гибкости Ai левая гибкость Л равносильна левой гибкости Ло — а стало быть, его полупростоте.

Остановимся теперь подробнее на специальном коммутативном случае.

Лемма 4.6.3. Если в локальном коммутативном кольце максимальный идеал является нильпотентным и главным, то все идеалы этого кольца суть степени максимального.

Доказательство. Пусть А — локальное коммутативное кольцо и то = рА — его максимальный идеал, являющийся нильпотентным. Поскольку топ = рпА = О при некотором п > 1, для всякого ненулевого ж £ то существует такое целое т(х) > 1, что х £ рт(х)А Для произвольного идеала 7 Сто кольца

А положим т(7) = minт(х). Тогда для некоторого ж(7) £ 7 имеем ж(7) = х£1 ргп(1)у^ у £ д^ и ни ПрИ каком z £ д не имеет места равенство ж(7) = pm^+1z. Отсюда следует, что у ф. рА и в силу локальности А у обратим, уух — 1 , так что ртW = у\рт^у = yix(I) £ 7. Произвольный элемент ж £ 7 лежит в идеале рт(х)А, причем т(ж) > т(7), так что ж £ рт^А. Тем самым 7 есть главный идеал, порожденный 7 = т"^1-*, и лемма доказана.

Лемма 4.6.4. Локальное артиново коммутативное кольцо, максимальный идеал которого является главным, самоинъективно.

Доказательство. Пусть А — локальное артиново коммутативное кольцо с главным максимальным идеалом рА. В силу артиновости А рп = 0 и ф О при некотором п > 1, так что рА нильпотентен. Согласно лемме 4.6.3 всякий идеал кольца А имеет вид ртА, 1 < т < п, причем Апп(ртоА) = рп~тА под Ann мы всегда подразумеваем аннулятор). Для любого гомоморфизма f произвольного идеала ртА в дЛ, ртА А должно выполняться включение Ann (рт) С Ann (f(pm)), так что если f(pm) £ ркА\рк+1А, то Ann (рш) С Ann (рк), т.е. рп~тА С рп~кА, откуда п — т > п — к, ж т < к. Итак, f(pm) £ ркЛ, к > т, т.е. f{pm) = = (у,-г £ Л), и для всякого х = ртоЖ1 £ ртоЛ имеем f(x) = f(pm)xi = pmx\z = xz, z G А. Отсюда следует инъективность модуля Л, т.е. самоинъективность кольца Л.

Пример. Z/pnZ самоинъективно при всяком простом рип > 1; для любой области главных идеалов А кольцо А/рпА самоинъективно при всяком неразложимом р G А и п > 1.

Лемма 4.6.5. Артиново коммутативное кольцо главных идеалов самоинъективно.

Доказательство. Всякое артиново коммутативное кольцо Л изоморфно конечному прямому произведению локальных артиновых колец

Л = Лт (см.[4], с.322). При этом если все максимальные т€Л т—максимальный идеал Л идеалы m С А являются главными, m = р(ш)Л, то максимальные идеалы локальных колец Лm имеют вид р(ш)Лт и тем самым также являются главными. В силу леммы 4.6.4 Лт самоинъективно при любом максимальном m С Л, и поэтому Л = П Лт самоинъективно.

Пример. Z/mZ самоинъективно при всяком m > 1; для любой области главных идеалов А кольцо А/аА самоинъективно при всяком ненулевом a G А.

Теорема 4.6.2. Пусть Л = Ao0Ai, где Ло — коммутативное артиново кольцо главных идеалов, a Ai — правое кольцо Ope, свободное от деления. Тогда Л гибко слева в том и только в том случае, когда Ло есть прямая сумма полей; Л строго гибко слева тогда и только когда, когда Ло = 0.

Доказательство. Это следует из теоремы 4.6.1, предложения 4.6.1 и леммы 4.6.5.

§ 7. Задача единственности: постановка и контрпример

Задача единственности ставится следующим образом:

1) Пусть Fi,F2 : л®? —> — ковариантные аддитивные функторы, uLiFi ~ LiF2- Верно ли, что LqF\ 0Gt — LqF2@G2 при некоторых точных ковариантных аддитивных G\, G2 '■ дЯЯ z^ft?

2) Пусть Fi, F2 : лЯЯ —> — контравариантные аддитивные функторы, и

L\Fx ~ LxF2. Верно ли, что L0Fi © G\ ~ Х/о-^г © при некоторых точных контравариантных Gi,G2 : —у

3) Пусть Fi, F2 : -у — ковариантные аддитивные функторы, и В} Fi ~ R1 F2. Верно ли, что R°Fi®G\ ~ В?F2®G2 при некоторых точных ковариантных Gi,G2 : ЪШ1

4) Пусть Fi,F2 : л®? — контравариантные аддитивные функторы, и R1F1 ~ R1F2. Верно ли, что R°Fi ф G\ ~ B°F2 ф G2 при некоторых точных контравариантных Gi,G2 : z®??

Ответ на вопрос (1) оказывается отрицательным: мы сейчас приведем пример точных справа ковариантных функторов Fi = A®z, F2 = i?®z : -> имеющих изоморфные левые производные Z-i.Fi = Torf(A, ) = Torf (Б, ) = LiF2, но не изоморфных между собою по модулю точного прямого слагаемого. оо

Для этого фиксируем простое число р и положим А = Jj Z/pnZ; В = Tors(A) п= 1 кручение абелевой группы А. Мономорфизм В А индуцирует изоморфизм Torf (В, ) = Torf (А, ).

Предположим теперь, что A @G\ ~ В ®z ®G2 при некоторых точных функторах Gi, G2 : iffi- —у Тогда мы имели бы изоморфизм абелевых групп А ф Gi(Z) ~ В ф G2(Z), причем Gi(Z) и G2(Z) — без кручения (т.к. применение точного функтора G к мономорфизму Z -A Z, п = 1, 2, • • • дает мономорфизм G(Z) G(Z)). Образ мономорфизма В —» A®Gi(Z), индуцированного изоморфизмом В ф G2(Z) ~ А ф Gi(Z), лежит в А, т.к. Tors(A ф Gi(Z)) С А. Поскольку мономорфизм В —у А ф Gi(Z) расщепляется, образ В является прямым слагаемым в А, А ~ В ф А/В, т.е. факторгруппа AJB может быть вложена в А. Но факторгруппа А/В содержит ненулевой элемент {pn1 mod mod В, который допускает деление на любую степень р (поскольку р*-1 mod р»}~ 1 ее pN{pn-N~1 mod pn}~=N+i( mod ©~ , Z/p»Z)), и в силу очевидного включения С Tors(A) = В имеем рп~1 modp"}^! = pN{pn~N~1 mod pra}^LiV+i( mod В)); в то же время абеоо лева группа А = f] Z/pnZ не содержит ненулевых бесконечно делимых элеп= 1 ментов.

Полученное противоречие показывает, что изоморфизм ©Са ~ В0% ф(72 не может иметь место ни при каких точных ковариантных , С2 :

Ответы на вопросы (2), (3), (4) в общем случае нам неизвестны. Однако если мы ограничимся рассмотрением непрерывных функторов, то получим положительные ответы на все три вопроса. Вопрос (2) для этого класса функторов закрывается немедленно: речь может идти только о непрерывных слева кон-травариантных функторах, которые, как мы знаем, обязаны быть нулевыми. Вопросы (3) и (4) касаются представимых ко- и контравариантных функторов. Мы завершим настоящую главу и всю диссертацию доказательством соответствующей теоремы единственности.

§8. Теорема единственности для представимых функторов

Теорема 4.8.1. (1) Пусть А, В — левые Л-модули, и Ех1;д(А, ) ~ Ех1;д(.В, ). Тогда имеет место изоморфизм левых А-модулей А@Р\ ~ В®Р2 при некоторых проективных дР2 (и тем самым Нотд (А, ) © Нотл(Р15 ) ~ Нотд(В, ) © Нотл(Р2, )).

2) Пусть А, В — левые Л-модули, и Ех^( , А) ~ Ех1;д( , Р). Тогда имеет место изоморфизм левых Л-модулей А©^ ~ В® инъективных л^ъл^г (и тем самым Нотд( , А) ©Нотд( , «Д) ~ Нотд( , В) ©Нотд( , 72)).

Мы докажем лишь утверждение (2); доказательство (1) в точности двойственно.

Лемма 4.8.1. Пусть А —> В — мономорфизм левых Л-модулей, индуцирующий изоморфизм Ех^( , А) —у Ех1;д( , Р). Тогда А — прямое слагаемое в В.

Доказательство. Пусть С — коядро морфизма А —>- В : 0—> А —> В —> С —> 0. Поскольку последовательность Нотд (С,-В) —> Нотд(С, С) —> Ех1;д(С, А) Ех1;д(С, В) точна и отображение Ех^(С, А) —> Ех1;д (С, В) мономорфно, имеем эпиморфизм Нотд (С, В) —> Нотд(С, С), а это означает, что В ~ А ф С. ментов.

Полученное противоречие показывает, что изоморфизм А®ъ ~ не может иметь место ни при каких точных ковариантных су, с 2 : —у

Ответы на вопросы (2), (3), (4) в общем случае нам неизвестны. Однако если мы ограничимся рассмотрением непрерывных функторов, то получим положительные ответы на все три вопроса. Вопрос (2) для этого класса функторов закрывается немедленно: речь может идти только о непрерывных слева кон-травариантных функторах, которые, как мы знаем, обязаны быть нулевыми. Вопросы (3) и (4) касаются представимых ко- и контравариантных функторов. Мы завершим настоящую главу и всю диссертацию доказательством соответствующей теоремы единственности.

§8. Теорема единственности для представимых функторов

Теорема 4.8.1. (1) Пусть А,В — левые Л-модули, и Ех1;д(А, ) ~ Ех1;д(.В, ). Тогда имеет место изоморфизм левых А-модулей АфРх ~ В@Р2 при некоторых проективных дР^ дР2 (и тем самым Нотд (А, ) 0 Нотд(Р!, ) ~ Нотд(Р, ) © Нотд(Р2, )).

2) Пусть А, В — левые Л-модули, и , А) ~ Ех^( ,В). Тогда имеет место изоморфизм левых Л-модулей А® 3\ ~ В@32 при некоторых инъективных дЛ,д/2 (и тем самым Нотд( , А) ф Нотд( ,/1) ~ Нот.д( ,В) ® Нотд( ,«/2))

Мы докажем лишь утверждение (2); доказательство (1) в точности двойственно.

Лемма 4.8.1. Пусть А —^ В — мономорфизм левых Л-модулей, индуцирующий изоморфизм Ех^( , А) —у Ех1;д( ,В). Тогда А — прямое слагаемое в В.

Доказательство. Пусть С — коядро морфизма А —>■ В : О—у А -у В —у С —у —у 0. Поскольку последовательность Нотд (С, В) -у Нотд(С, С) —у Ех^(С, А) -у Ех1;д(С, В) точна и отображение Еу±\(С,А) —У Ех1;д(С, В) мономорфно, имеем эпиморфизм Нотд (С, В) -у- Нотд (С, С), а это означает, что В ~ А ф С.

Лемма 4.8.2. Пусть А -у В — гомоморфизм левых Л-модулей, индуцирующий мономорфизм Ех1;д( ,а) —у Ех1;д( ,в). Тогда существуют такие что А ф 3\ ~ В ф инъективен.

Доказательство. Обозначим через К ядро морфизма А —> В : О —У К —У А —

В, и вложим К в некоторый инъективный левый Л-модуль 32- Тогда диаграмму О -у К -у А можно достроить до коммутативной диаграммы з2 к л А причем отображение А -У В Ф ,/2 мономорфно и инду

32 цирует тот же морфизм Ех1;д( , А) —у Ех^ , В ф 32) = Ех^ , В), что и А4 В. Поэтому согласно лемме 4.8.1 В ф 32 — А ф Л, где Л — коядро морфизма А^В ®32.

Лемма 4.8.3. Пусть А, Б — левые А-модули. Всякий функторный морфизм Ех1;д( , А) —У ,В) индуцируется некоторым морфизмом А ^ В в категории аШ.

Доказательство. Пусть </з : Ех^( , А) —У Ех1;д( ,В) — морфизм функторов. Вложим дА,\В в инъективные модули л/, л«/ соответственно: 0 —У А —У I —У С —»0, 0 В —У 3 —У В —>0. Вначале мы построим гомоморфизм левых г

А-модулей С —У В, "индуцирующий" в смысле коммутативности диаграммы

Нотл( ,С) —Ех4( ,А) -► 0

-у Ех^( ,В) -у 0,

Нотл(к1,Я

Нотл( ,£>) а затем достроим картинку:

0 -у А 9 о-в так что д будет индуцировать = Ех1;д(1с1.,д).

->• /

Л -> 3 л С / в о г**4.

0,

В качестве / можно взять любой гомоморфизм С —> -О, удовлетворяющий условию 5в{1) = где ¿а '• Нотд( , С) Ех^( , А) и ¿в : Нотд( ,.£>) —

Ех1;д( ,В) — естественные связующие морфизмы. В самом деле, при таком выборе / коммутативна диаграмма

НотЛ(С,С) Extд(C, А)

Нотл0<1,/) с

Нотд (С,Л) ЕхЬ\(С,В), и функторность морфизмов ¿а,$в, Нотд( ,/), ср позволяет стандартным поиском убедиться в коммутативности диаграммы (*). Далее, имеем

Нотд (/, /) -► Нотд(/, С) -► Ех^(/,А) -► О

Нотд(/,

Нотд(1с1,/) Нотд (/,£>)

Ч>1

Е х^(/,В)

-> 0.

Очевидно, образ морфизма I / в Нотд (/,!)) приходит из некоторого гомоморфизма I и таким образом мы получаем картинку

О -> А —-► I -у С -О О

->• В

1 3 в л О, которая очевидным образом дотягивается до коммутативной диаграммы (**). Остается проверить, что д индуцирует <р.

Действительно, оба морфизма и Ех^(1с1,^) делают коммутативной диаграмму Ех^(,а) в

Нотд ( ,С) НотЛ0<3,/)

Нотл( ,Г>) поэтому (<р — Ех^^, = 0, и поскольку 6а — эпиморфизм, имеем <р =

Лемма доказана.

Доказательство теоремы (утверждение (2)).

Пусть имеется функторный изоморфизм Ех1;д( ,А) —У Ех1;д( ,В). Согласно лемме 4.8.3 этот изоморфизм индуцируется некоторым гомоморфизмом левых Л-модулей А —» В] в силу леммы 4.8.2 А ® 3\ ~ В ф 32 при некоторых дЛ и \32, причем д(/2 инъективен. Поскольку функторный морфизм Ех1;д( ,А) —> Ех1;д( , А ф /х) = Ех1;д( , А) ф Ех^( , 3\), индуцированный каноническим вложением А —У А ф 3\, является изоморфизмом, имеем Ех1;д( , 3%) = 0, т.е. д3\ инъективен. Таким образом, А ф 3\ ~ В ф 32 при инъективных аЗх,\32, и теорема доказана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Звягина, Марина Берговна, 1998 год

Литература

1. Бавула B.B. О конечномерности производных функторов. Докл. АН Украины, 1994, №8, 7-9

2. Берлов С.Л. Достаточные условия существования левого кольца частных для кольца, разложенного в прямую сумму левых идеалов. Зап.научн.семинаров ПОМИ, 220(1995), 9-14

3. Буксбаум Д.А. Точные категории и двойственность. Добавление к монографии [17]. М., ИЛ, I960, 451-496

4. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М., "Мир", 1971

5. Веревкин А.Б. Точное вложение категории Серра в категорию модулей. Изв.вузов, Мат., 1993, №11, 3-5

6. Генералов А.И. Относительная алгебра в предабелевых категориях. 1. Производные категории. Алгебра и анализ, 4(1992), №1, 98-119

7. Генералов А.И. Производные категории аддитивной категории. Алгебра и анализ, 4(1992), №5, 91-103

8. Генералов А.И. Ext в эпи-точных категориях. Вестник СПГУ, сер.1(1993), №2, 22-27

9. Главацкий С.Г. Топологические квазифробениусовы многообразия. М., 1978

10. Говоров В.Е. О плоских модулях. Сиб.мат.ж., т.6(1965), №2, 300-304

11. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М., ИЛ, 1961

12. Елизаров В.П. Кольца частных. Алгебра и логика, 8(1969), 381-424

13. Звягина М.Б. Об изоморфизме одноместных функторов Ext. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 112(1981), 71-74

14. Звягина М.Б. Об изоморфизме одноместных функторов Ext. XVI всесоюзная алгебраичская конференция. Л., 1981. Тезисы, ч.2, с.61

15. Звягина М.Б. О функторах, имеющих заданные производные. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 198(1991), 15-19

16. Звягина М.Б. Теорема о локальной двойственности для категорий модулей. Зап.научн.семинаров ПОМИ, 227(1995), 66-73

17. Картан А.,Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., ИЛ, 1960

18. Каш Ф. Модули и кольца. М., "Мир", 1981

19. Крючков Н.И. Функтор Ext в категории локально компактных модулей над кольцом целых глобального поля. УМН, 48(1993), №3, 191-192

20. Ламбек И. Кольца и модули. М., 1971

21. Маклейн С. Гомология. М., "Мир", 1966

22. Мишина А.П., Скорняков A.A. Абелевы группы и модули. М., "Наука", 1969

23. Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп. М., 1980

24. Понтрягин Л.С. Теория топологических коммутативных групп. УМН., 1936, вып.2, 177-195

25. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М., "Наука", 1973

26. Пунинский Г.Е. Неразложимые чисто-инъективные модули над цепными кольцами. Тр.Моск.мат.о-ва, 56(1995), 176-191

27. Скляренко Е.Г. Относительная гомологическая алгебра в категории модулей. УМН, 33(1978), вып.З, 85-120

28. Урсул М.И. Компактные кольца и их обобщения. Кишинев, "Штинца", 1991

29. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1, М., "Мир", 1977; т.2, М., "Мир", 1979

30. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., "Мир", 1972

31. Чан Фыонг Зунг. Эквивалентность между регулярной Ann-категорией и строгой Ann-категорией. УМН, 47(1992), вып.2, 207-208

32. Яковлев A.B. Гомологическая алгебра в предабелевых категориях. Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 94(1979), 131-141

33. Anderson D.D., Zafrulla М. On a theorem of Kaplansky. Boll. Unione mat. ital, A., 1994-8, 397-402

34. Auslander M.,Buchsbaum D.A. Homological dimension in local rings. Trans. AMS, 85(1957), 390-405

35. Auslander M., Buchsbaum D.A. Unique factorization in regular local rings. Proc. NAS USA, 45(1959), 733-734

36. Baccela G.,Orsatti A. On generalized Morita bimodules and their dualities. Rend.Accad.naz.Sei., XL-13(1989), №1, 323-340

37. Brown K.A.,Haghany A.,Lenagan T.H. Reflexive ideals and injective modules over noetherian v-H orders. Proc. Edinburg Math.Soc., 34(1991), №1, 31-43

38. Cheatham J.,Enochs E. Injective hulls of flat modules. Commun.Algebra, 8(1980), №20, 1989-1995

39. Clark J., Smith P.F. On semi-artinian modules and injectivity conditions. Proc. Edinburg Math.Soc., 39(1996), №2, 263-270

40. Cohn P. Morita equivalence and duality. L., 1970

41. D'Este G. A construction of injective cogenerators. J.London Math.Soc., 42(1990), №3, 393-400

42. Dikranjan D.,Giuli E. Factorizations, injectivity and compactness in categories of modules. Commun.Algebra, 19(1991), №1, 45-83

43. Dlab V.,Ringel C.M. Every semiprimary ring is the endomorphism ring of a projective module over a quasi-hereditary ring. Proc.AMS, 107(1989), №1, 1-5

44. Eilenberg S. Abstract description of some basic functors. J.Indian Math.Soc., 24(1960), 231-234

45. Eilenberg S., Mac Lane S. General theory of natural equivalences. Trans.AMS, 58(1945), 231-24

46. Garsia Rozas J.R.,Torrecillas B. On the existense of cover by injective modules relative to a torsion theory. Commun.Algebra, 24(1996), №5, 1737-1748

47. Gregorio E. Tori and continuous dualities. Rend.Accad.naz.Sei., XL-13(1989), №1, 211-221

48. Grothendieck A. Local cohomology, mimeographed seminar notes by R.Hartshorne. Harvard, 1961

49. Hartshorne R. Residues and Duality. Lecture notes in Math., 20(1966)

50. Mac Lane S. Selected papers. NY, 1979

51. Mac Lane S. Categories for the working mathematitian. NY, 1988

52. Matlis E. Injective modules over noetherian rings. Pacif. J.Math., 8(1958), 514-528

53. Menini C., del Rio Angel. Morita duality and graded rings. Commun.Algebra, 19(1991), №6, 1765-1794

54. Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Sci.Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sec.A., 6(1958), 83-142

55. Morita K. Category-isomorphisms and endomorfism rings of modules. Trans. AMS, 103(1962), 451-469

56. Morita K. The endomorphism ring theorem for Frobenius extensions. Math. Z., 102(1967), 385-404

57. Morita K. Duality in QF-3 rings. Math.Z., 108(1969), 237-252

58. Morita K. Flat modules, injective modules, and quotient rings. Math.Z., 120(1971), 25-40

59. Oda S.,Yoshida K. Remarks on LCM-stableness and reflexiveness. Math. J.Toyama Univ., 17(1994), 93-114

60. Pontrjagin L. Sur les groupes abeliens continus. C.R.Acad.Sci. Paris, 198(1934), 328-330

61. Del Rio Angel. Graded rings and equivalences of categories. Commun. Algebra, 19(1991), №3, 997-1012

62. Watts C.E. Intrinsic caracterisation of some additive functors. Proc. AMS, 11(1960), 5-8

63. Wilkinson J.C. Quotient rings, chain condition and injective rings endomorphisms. Glasgow Math.J., 31(1989), №2, 173-181

64. Zhang Sh. Morita duality and finitely group-graded rings. Bull. Austral.Math.Soc., 52(1995), №2, 189-194