Алгебро-функциональная теория разветвленных накрытий и n-значных топологических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гугнин, Дмитрий Владимирович

• Гугнин, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гугнин, Дмитрий Владимирович

Введение

Глава 1. Теория градуированных n-гомоморфизмов Фробениуса

1.1. Градуированная рекурсия Фробениуса.

1.1. Градуированные n-гомоморфизмы Фробениуса.

Глава 2. n-гомоморфизмы коммутативных С*-алгебр

2.1. Результаты В.М.Бухштабсра и Э.Г.Риса о непрерывных п-гомоморфизмах.

2.2. Теорема о разложимости п-гомоморфизмов специального типа

2.3. Теорема о непрерывности n-гомоморфизмов. Обобщенное преобразование И.М.Гельфанда.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебро-функциональная теория разветвленных накрытий и n-значных топологических групп»

В диссертации развита алгебраическая теория градуированных п-гомоморфизмов Фробениуса, и в качестве приложений получены результаты о разветвленных накрытиях и п-значных топологических группах. Разветвленные накрытия представляют собой важный класс отображений пространств и, в первую очередь, многообразий. Такие отображения естественно возникают в топологии, комплексном анализе, алгебраической геометрии и теории особенностей.

В работах Фробениуса [24], [25] 1896 года были введены высшие характеры конечных групп при помощи специальной рекурсии. В работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [5],[17] было введено понятие п-гомоморфизмов алгебр и показано, что они полностью определяются рекурсией, аналогичной рекурсии Фробениуса; поэтому эти отображения были названы n-гомоморфизмами Фробениуса. Теория была развита в [5],[6],[17],[19],[20].

Введение n-гомоморфизмов алгебр было мотивировано теорией п-значных топологических групп. В классических работах Хопфа было показано, что топологическое пространство X, обладающее умножением с единицей, имеет в своем кольце когомологий специальную алгебраическую структуру, задаваемую кольцевым гомоморфизмом А : Н*(Х) —> Н*(Х) ® Н*{Х). Это положило начало знаменитой теперь теории алгебр Хопфа. Например, отсутствие структуры алгебры Хопфа в когомологиях пространства X является препятствием к введению на нем структуры топологической группы.

Понятие n-значных формальных групп было введено в работе В.М.Бухштабера и С.П.Новикова [4] в 1971 году. Затем В.М.Бухштабером была развита теория п-значных формальных групп и ее топологических приложений. В его работе [3] 1990 года была открыта важная структура 2-значной алгебраической группы на сфере S2. Это положило начало топологической теории n-значных групп, которая была развита в работах В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [5], [17], [18], а также в работах А.М.Вершика, А.П.Веселова, А.А.Гайфуллина, С.А.Евдокимова, Т.Е.Панова, И.Н.Пономаренко, А.Н.Холодова и П.В.Ягодовского (см. подробный обзор на эту тему [16]). Теория п-значиых групп, их представлений и действий, нашла приложения в теории динамических систем [21],[23].

В работе [17] было показано, что, если связное топологическое пространство X обладает структурой n-значной топологической группы и имеет нулевые нечетномерные рациональные ко гомологии, Hodd(X; Q) = 0, то в его алгебре четномерных когомологий Heven(X]Q) существует специальная структура, названная структурой n-алгебры Хопфа. Эта структура задается n-гомоморфизмом Д : Heven{X;Q) Heven(X]Q) <g> Heven(X]Q). Таким образом, задача о существовании структуры n-значной топологической группы на топологических пространствах явилась важным стимулом развития теории n-гомоморфизмов Фробеииуса и n-алгебр Хопфа.

В работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [20] было показано, что отображение топологических пространств / : X —> У, являющееся п-листным разветвленным накрытием (в смысле Дол ьд а-Смита), индуцирует п-гомоморфизм алгебр непрерывных функций /* : С(Х) —> С (У) специального типа (n-трансфер). Таким образом, задача о существовании разветвленных накрытий / : X —» У данной кратности между данными пространствами X и У явилась еще одним стимулом развития теории п-гомоморфизмов.

В классической работе А.Н.Колмогорова-И.М.Гельфанда [9] 1939 года было показано, что два компактных хаусдорфовых пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует алгебраический изоморфизм их колец непрерывных функций. Впоследствии в работах И.М.Гельфанда была развита теория С*-алгебр, в основу которой было положено преобразование, получившее его имя. Это преобразование в частном случае С*-алгебр является изометрическим изоморфизмом произвольной коммутативной С*-алгебры А с единицей на алгебру С(Г2(^4)) всех непрерывных комплекснозначных функций на спектре алгебры А.

В работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [19] было показано, что не только само компактное хаусдорфово пространство X восстанавливается по алгебре непрерывных функций на нем, но и его п-я симметрическая степень SymnX = Xn/Sn, для любого п. А именно, было доказано, что имеет место функториальный гомеоморфизм SymnX = Ф^(С(Х), С), где Ф^(С(Х),С) обозначает пространство всех непрерывных п-гомоморфизмов из алгебры С{Х) непрерывных комплекснозначных функций на X в поле С. Обобщение этого результата в различных направлениях также привело к задачам теории n-гомоморфизмов. Обобщение п-гомоморфизмов с точки зрения суперматематики привело к понятию р|^-гомоморфизмов, введенных Ф.Ф.Вороновым и О.М.Худавердяном[8],[27] на основе понятия березиниана.

Основной темой диссертации является развитие теории п-гомоморфизмов, включая теорию п-гомоморфизмов градуированных алгебр и С*-алгебр, а также приложения к теории разветвленных накрытий и п-значных топологических групп.

Первая глава диссертации посвящена определению и доказательству основных свойств градуированных п-гомоморфизмов. Основными результатами этой главы являются теоремы 1.2.3 и 1.2.8. Для обозначения градуированных алгебр мы используем знак *. Из контекста ясно, когда речь идет о градуированных алгебрах, а когда о С*-алгебрах (которые всегда неградуированны.)

Пусть R* — некоторое Z-градуированное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, А* и В* — Z-градуированные ассоциативные Д*-алгебры с единицей, причем В* — коммутативна.

Теорема 1.2.3. Пусть даны п-гомоморфизм f : А* —»• В* и т-гомоморфизм g : А* —> В*. Тогда их сумма f + g : А* —> В* является (п + т)-гомоморфизмом.

В неградуированном случае эта теорема была доказана В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом в [19]. Полученная теорема позволяет строить новые п-гомоморфизмы из уже имеющихся. В частности, отображение f = fi + - ■ ■+fn '■ А* В*, где fi'-A*^B*,l<i<n, — гомоморфизмы алгебр, является п-гомоморфизмом.

Пусть теперь — £ Для произвольной R* алгебры А* ее п-я тензорная степень А®п стандартным образом наделяется структурой Д*-алгебры. Обозначим через SnA* подалгебру симметрических тензоров В алгебре SnA* рассмотрим ее коммутант [SnA*, SnA*], т.е. двусторонний идеал в SnA*, натянутый на все градуированные коммутаторы [а, Ь] = аЬ — (—l)laIH&a, Va, Ь £ SnA*. Понятно, что факторалгебра SnA*/[SnA*,SnA*] будет коммутативной. Имеет место следующее каноническое отображение Хл : ^ SnA*/[SnA*, SPA*], Хл{а) = (а<8>1®.®1 + . + 1®.(8)1<8>а), где (b) — это класс элемента Ь € SnА* в факторалгебре SnA*/[SnA*,SnA*].

Теорема 1.2.8. Пусть А* — произвольная R*-алгебра и 6 Тогда построенное выше отображение ха ■ А* SnA*/[SnA*, SnA*] является п-гомоморфизмом алгебры А*, обладающим следующим свойством универсальности: для любой коммутативной R*-алгебры В* и любого п-гомоморфизма f : А* —> В* существует единственный гомоморфизм алгебр f : SnA*/[SnA*, SnA*} В* такой, что f = f о Ха

В неградуированном коммутативном случае эта теорема в небольшой переформулировке была доказана В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом в [19] с использованием некоторой комбинаторной конструкции. Общий случай потребовал нового подхода.

Во второй главе диссертации изучаются n-гомоморфизмы коммутативных С*-алгебр с единицей. В силу преобразовашш И.М.Гельфанда, класс коммутативных С*-алгебр с единицей совпадает с классом алгебр непрерывных комплекснозначных функций на компактных хаусдорфовых пространствах. Пусть X и Y — компактные хаусдорфовы пространства, С(Х) и С{Y) — алгебры комплекснозначных непрерывных функций на них. Стандартная чебышевская норма превращает эти алгебры в С*-алгебры. Обозначим через (X): С(Y)) множество всех непрерывных n-гомоморфизмов из С(Х) в C(Y) (как линейных операторов между банаховыми пространствами), а через С(У, SymnX) — пространство всех непрерывных отображений из Y в п-ю симметрическую степень пространства X,SymnX = Xn/Sn. В.М.Бухштабером и Э.Г.Рисом[20] был получен следующий результат:

Теорема а. Существует каноническая (функториальная) биекция Фп : Ф£(СР0,С(У)) - C(Y,Syn«).

В пространстве Ф^(С(X), С(Y)) можно рассмотреть топологию поточечной сходимости, а в пространстве C(Y, SymnX) — стандартную компактно-открытую топологию. Обозначим через Фп(С(X), С(Y)) множество всех (без условия непрерывности) п-гомоморфизмов из С(Х) в C(Y). Центральным результатом второй главы является следующая

Теорема 2.3.2. Всякий п-гомоморфизм <р : С(Х) —> С(У) непрерывен, и его норма равна п. Биещия Фп : Фn(C(X),C(Y)) = Ф£(С(Х), C(Y)) —> С(У, SymnX) является гомеоморфизмом относительно указанных топологий.

В алгебраической топологии хорошо известна задача: для каких классов непрерывных отображений топологических пространств f : X Y существует прямой образ в когомологиях }\ : Н*{Х) —> H*(Y) такой, что композиция f\ о /* : H*(Y) —> H*(Y) есть умножение на целое число. В 1983 году Л.Смит[30] ввел понятие n-листного разветвленного накрытия и доказал, что для таких отображений прямой образ существует. В 1986 году А.Дольд[22] получил полную классификацию n-листных разветвленных накрытий (введенных Л.Смитом) в терминах действий конечных групп на пространствах. Впоследствии такие отображения получили название п-листных разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. Известно три важных для топологии класса непрерывных отображений, которые являются п-листными разветвленными накрытиями по Дольду-Смиту:

1) Неособые n-листные накрытия / : X —> У;

2) Отображения проекции 7Г : X —> X/G на факторпространства по действию конечной группы G порядка п на хаусдорфовом пространстве Х\

3) Открыто-замкнутые непрерывные коиечиократные отображения / : Мт —> Nm связных топологических m-мерных многообразий без края (п равно максимальной кратности отображения /).

Случаи (1) и (2) были отмечены еще в работе Л.Смита [30]. В 1978 году в работе И.Берстейна и А.Л.Едмондса [15] было показано, что для всякого открытого непрерывного конечнократного отображения / : Мт —> Nm связных замкнутых ориентируемых топологических m-мсрных многообразий без края существуют хаусдорфово пространство W с действием конечной группы G и подгруппа Н С G индекса п такие, что Мт — W/H и Nm = W/G, а отображение / : Мт —» Nm совпадает с канонической проекцией 7xqji : W/H —> W/G. В силу теоремы А.Дольда[22], отсюда следует принадлежность таких отображений к классу разветвленных накрытий по Дольду-Смиту. И.Верстейн и А.Л.Едмондс в свосм доказательстве существенно опирались на известную теорему А.В.Чернавского[12] 1964 года о структуре отображений вида (3) (была использована та часть теоремы А.В.Чернавского, которая говорит о коразмерности множества ветвления отображения / : Мт —> Nm). Несложно убедиться, что это доказательство можно распространить на общий случай отображений вида (3). Мы, однако, даем прямое независимое доказательство принадлежности отображений случая (3) к разветвленным накрытиям по Дольду-Смиту, опираясь на другую часть теоремы А.В.Чернавского.

В третьей главе вводится понятие градуированного п-трансфера г : А* —» В* как n-гомоморфизма специального типа. Обозначим через 1(Х) рациональную когомологическую длину топологического пространства X, т.е. наибольшее число т классов сингулярных когомологий ai,.,am Е H*-l(X] Q) степени больше нуля таких, что a\Ci2.--am ^ 0 (если для любого т существуют соответствующие классы когомологий, то 1(Х) = оо). Аналогично через 1Р{Х) обозначим mod р когомологическую длину пространства X. Применяя развитую в диссертации технику п-трансфера и характеризацию А.Дольда разветвленных накрытий по Дольду-Смиту, мы получаем следующий основной результат третьей главы:

Теорема 3.2.3. Пусть X и Y — локально стягиваемые параколтакты такие, что пространство Y х Хп такэюе паракомпакт. Тогда для любого п-листного разветвленного накрытия по Дольду-Смиту / : X —> Y существуют п-трансферы в сингулярных когомологиях т : H*(X]Q) —» H*(Y]Q) и т : FI*(X]ZP) —>• H*(Y]Zp),p > п, из наличия которых следует оценка на когомологическую длину l(Y) +1 > /Р(У) +1 > ? р > п.

В случае п = 2 эта оценка является точной.

Назовем всякое открыто-замкнутое конечнократное отображение / : Мт —» Nm связных топологических ш-мерных многообразий без края разветвленным накрытием многообразий. Изучение разветвленных накрытий многообразий в многомерной ситуации восходит к известной работе Александера [14] 1920 года, где была доказана следующая

Теорема /3. Для любого замкнутого связного ориентируелюго PL многообразия Мт существует кусочно-линейное разветвленное накрытие / : Мт Sm.

В конструкции Александера степень разветвленного накрытия / : Мт —■»

Sm оценивалась через число симплексов старшей размерности многообразия Мт. Возник вопрос: каково наименьшее п — п(т), при котором для любого замкнутого связного ориентируемого PL многообразия Мт существует п-листное разветвленное накрытие / : Мт —> Sm? В случае т = 2, гиперэллиптические поверхности доставляют очевидный ответ: п(2) = 2. В 1974 году Г.М.Хилден, У.Хирш и Дж.М.Моптезинос независимо доказали теорему, ставшую знаменитой, о том, что п{3) = 3. Наконец, в 1995 году Р.Пиергаллини[29] доказал, что п{4) = 4. В случае произвольного т известен лишь следующий результат И.Берстейна и А.Л.Едмондса[15]:

Теорема 7. Пусть дано п-листиое разветвленное накрытие f : Мш —> Nm, где Мт и Nm — связные замкнутые ориентируемые топологические т-мерные многообразия. Тогда выполнена следующая оценка п > цт^гу, где 1(Х) — это рациональная когомологическая длина пространства X.

Из теоремы 7 следует, в частности, что для любого п-листного накрытия / : Тт —> Sm выполнено неравенство п > т, откуда п(т) > т. В доказательстве своей оценки п > у И.Берстейн и А.Л.Едмондс существенно использовали рациональную двойственность Пуанкаре. В частности, их оценка неприменима в неориентируемом случае: например, для 2-лпстного накрытия / : S2m —> ШР2т их оценка 2 > ^ не имеет смысла. Наша оценка п > чуть слабее оценки Берстейна-Едмондса, но зато применима во всех случаях. В рассмотренном примере она дает верное равенство 2 =

В четвертой главе вводится понятие n-алгебры Хопфа для произвольных связных градуированных коммутативных алгебр, а также несколько модификаций этого понятия, и доказывается, что отсутствие структуры п-алгебры Хопфа в алгебре рациональных когомологий H*(X\Q) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры n-значной топологической группы. В случае, когда нечетномерные рациональные когомологии пространства X равны нулю, Hodd(X: Q) = О, т.е. когда рассматривается четноградуированная коммутативная алгебра Heven(X;Q), это утверждение было доказано в работе В.М.Бухштабера и Э.Г.Риса [17]. Как следствие, например, было показано, что на пространствах CPm,r77, > 1, не существует структуры 2-значной группы. Другой пример доставляет следующая теорема Т.Е.Панова[11]:

Теорема 5. Класс односвязных замкнутых четырехмерных многообразий М4, допускающих структуру 2-алгебры Хопфа в рациональных когомологиях, с точностью до гомотопической эквивалентности исчерпывается следующим списком: S4, /cCP2jj(6 - k)(-CP2), 0 < к < 6, и 3(S2 х S2), где (—CP2) обозначает пространство VP2 с обращенной ориентацией.

Заметим, что в исходной теореме Т.Е.Панова случай сферы S4 был пропущен, поскольку в оригинальном доказательстве сразу рассматривался случай, когда Я2(М4; Z) ф 0.

В четвертой главе также доказывается, что отсутствие структуры п-предалгебры Хопфа (самой слабой из рассматриваемых структур) в алгебре рациональных когомологий H*(X;Q)) связного топологического пространства X является препятствием к введению на X структуры n-значпого умножения с единицей. Основным результатом этой главы является следующая

Теорема 4.2.1. Пусть дана компактная риманова поверхность Г5 рода g > 2. Тогда ее алгебра рациональных когомологий H*(Tg\<Q>) не допускает структуру 2-предалгебры Хопфа. В частности, на римановой поверхности Гg,g > 2, не существует 2-значного умножения с единицей.

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [31]—[34].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору В. М. Бухштаберу за постановку задач, постоянное внимание и интерес к работе. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессорам А. В.Зарелуа, А. В. Чернавскому, Е. В.Щепину, д.ф.-м.н. Т.Е.Панову и к.ф.-м.н., старшему научному сотруднику С.А.Мелихову за полезные обсуждения. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.