Стационарные случайные блуждания на группах Ли и косые произведения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Липатов, Максим Евгеньевич

• Липатов, Максим Евгеньевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Липатов, Максим Евгеньевич

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Классификация коциклов со значениями в группах Ли малых рангов

1.1 Симметрические пространства и геодезическая граница

1.2 Барицентры мер на геодезической границе симметрических пространств

1.3 Эргодические инвариантные меры коциклов

1.4 Классификация коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1

1.5 Классификация СЬ(3, К)-значных коциклов

2 Классификация линейных коциклов

2.1 Структура эргодических мер

2.2 Линейное покрытие эргодической инвариантной меры неприводимого коцикла

2.3 Классификация СЬ(1, К)-значных коциклов

3 Рекуррентность коциклов

3.1 Рекуррентность и ее свойства

3.2 Рекуррентность коциклов со значениями в полу простых

группах Ли вещественного ранга 1

Список литературы

Список обозначений

:= — «положить по определению»

# — мощность множества

mod 0 — «с точностью до множеств меры О»

В(Х) — борелевская tr-алгебра на топологическом пространстве X

/дМ — индикатор измеримого множества Д

Р(Х) — множество борелевских вероятностных мер на X

supp fi — носитель меры д

N — множество натуральных чисел

Z — кольцо целых чисел

Zn — кольцо целых чисел по модулю п

Ж — поле вещественных чисел

С — поле комплексных чисел

Н — тело кватернионов

О — алгебра октонионов

¥LPn — n-мерное проективное пространство над полем К.

Sn — группа перестановок п элементов

Ad — присоединенное представление группы Ли

ad — присоединенное представление алгебры Ли

Qx — стабилизатор точки х в группе Q

Ng(S) — нормализатор в группе Q множества S С Q

Zg(S) — централизатор в группе Q множества S С Q

© — прямая сумма линейных пространств

(g) — прямое произведение сг-алгебр

tx — полупрямое произведение групп

е — единица группы

Id — тождественный оператор, единичная матрица

ТХМ — касательное пространство многообразия М в точке х span — линейная оболочка

tr, det — след и определитель линейного оператора или матрицы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарные случайные блуждания на группах Ли и косые произведения»

Введение

Пусть (О, -7-", Р) - стандартное вероятностное пространство, Т -эргоднческий, сохраняющий меру автоморфизм О, и @ — некоторая топологическая группа, снабженная борелевской сигма-алгеброй. Всякая измеримая функция а: Г2 —> 0 порождает коцикл (над Т) — функцию Фа: Ъ х П —> С, заданную формулой

Ф0(п,ш) := <

a{Tn-lu)...a{Tu)a{oj), п > 1, е, п — О,

a~l{Tnuj)...a-l{T-luj), п < -1,

являющуюся тем самым случайным блужданием на группе Q с приращениями, образующими стационарную последовательность. Соответствие а н-> Фа взаимно однозначно, и мы будем в дальнейшем говорить о коцикле а, имея в виду коцикл Фа.

Естественным примером GL(l,M)~значного коцикла, в случае, когда Q, — гладкое ¿-мерное многообразие и Т — диффеоморфизм является касательный коцикл, для заданной тривиализации касательного расслоения mod 0 определенный формулой Ф(п, ш) = ОшТп.

Определение 0.0.1. Коциклы а: П —> Q и b: —» Q называются ко гомологичными, если для некоторой измеримой функции с: f2 —> Q

имеем

Ь(ш) = с~1(Тш)а(и)с(ш) Р-п.н.

Отметим, что последнее соотношение равносильно тому, что

Фь{п, ш) = с-1 (Тпи})Фа(п, и)с(со) Р-п.н.

для всех п Е Ъ. Множество примеров когомологических рассмотрений в эргодической теории можно найти в [38].

Если задано действие группы 0 на топологическом пространстве X, то коцикл а: О, —> 0 порождает косое произведение

Та:Пх X Х: (Тси, а(и)х),

итерации которого имеют вид

Т2{и>,х) = {Тпш1Фа{п,и)х).

Отметим, что если коциклы а: П —> 0 и Ь: О, —> <3 когомологичны с сопрягающей функцией с, то косые произведения Та и Тъ измеримо изоморфны с изоморфизмом

с: П х X —>• О х X, (си,х) н-> (а;, с(ы)ж),

т.е.

Ть = сГ1Тас.

Удобно представлять себе динамическую систему Та на тривиальном расслоении х X следующим образом: коцикл переводит точку х в слое {и} х X в точку Фа(п,ш)х в слое {Тпи)} х X.

Если X — польское пространство, то всякая вероятностная мера д на П х X с маргинальной мерой Р на П допускает разложение ц(с1и, ¿х) = Р((1и))цш((1х), и в случае, когда ц — эргодическая инвариантная мера

для Та, случайную вероятностную меру /I., определеную Р-п.н. однозначно, мы будем называть эргодической инвариантной мерой на X коцикла а.

В эргодической теории представляют интерес вопросы классификации коциклов относительно отношения когомологичности, среди которых отметим следующие:

• нахождение канонической формы, к которой можно привести произвольный коцикл со значениями в некоторой группе;

• исследование когомологичности коциклов со значениями в некоторой группе коциклам со значениями в подмножествах этой группы [4, 13, 29, 43, 50, 55];

• нахождение и исследование когомологических инвариантов коциклов [13, 14, 44].

Главы 1 и 2 настоящей диссертации посвящены первому кругу вопросов. В этом направлении имеются следующие результаты. Циммером показано [54], что любой коцикл со значениями в связной полупростой вещественной группе Ли 0 с конечным центром когомологичен коциклу со значениями в аменабельной подгруппе. В статье [40] Мур описал все максимальные аменабельные подгруппы в таких группах О, удовлетворяющие так называемому условию изотропной связности, показав, что они представляют собой классов сопряженных

подгрупп, два из которых - класс максимальных компактных подгрупп и класс минимальных параболических подгрупп. Заметим, что справедливы аналоги результатов Циммера и Мура для произвольных связных локально компактных групп 0 [40, 52].

Рассмотрим случай 0 = СЬ(1, К), где К — либо К, либо С. Заметим, что если А : О, —»■ СД/, К) — матрица случайного оператора в паре

базисов f(tt>) = {/г(сй)} и f(TcLi), и В: Q, —>• GL(l,K) — матрица того же оператора в паре базисов g(cj) и g(Tcj), то коциклы А и В когомологичны с сопрягающей случайной матрицой С(ш), являющейся матрицей перехода от базиса f Kg. Поэтому задача классификации GL(l, К)-значных коциклов состоит в нахождении такого случайного базиса f(cj) в слоях {w} х для которого матрица соответствующего случайного оператора записывается в наиболее простом виде.

По мультипликативной эргодической теореме Оселедца (МЭТ) [2] для всякого коцикла А: Г2 —> GL(l,M.), такого, что

log+H^COlleL^P), (o.o.i)

на инвариантном множестве полной Р-меры существуют характеристические показатели Ляпунова Xi < • • • < Хт коцикла А кратностей d\,..., dm,1 Yl^i = I (набор {(Xu di), г = 1,..., т} называется ляпуновским спектром коцикла А), и случайные подпространства иг размерностей dt, г = 1,...,т (подпространства Оселедца), такие, что Rl = C/iH ф ... 0 ит(ш), иг(Ти>) = А(и)иг(со) и

lim - In ||An(w)a;|| = Хг x e KM/~K-i(w),

n—>±oo Tl

где V0(u>) := {0} и Vt(cj) ■= Ui{uS) © ... © иг(cj), г — 1,..., m. При переходе к случайному базису f, согласованному с подпространствами Оселедца матрица случайного оператора А приводится к блочно-диагональному виду diag(ßi(o;),..., Bm(oj)). Более того, если составить базис f из ортонормированных случайных базисов подпространств Оселедца, то для каждого блока Вг(со) будет выполняться утверждение МЭТ и он будет иметь ляпуновский спектр {(Хг,<^г)} ([II])- Таким образом,

и dt не зависят от ш в силу эргодичности Т

при условии интегрируемости (0.0.1) задача классификации линейных коциклов сводится к случаю одноточечного ляпуновского спектра.

В работе [13] для той же группы доказывается, что произвольный коцикл когомологичен блочно-треугольному коциклу

*

V

о

с неприводимыми блочно-конформными подкоциклами

/ \

А® {и) =

0 0

. А

0

(0

СГг(ш)тг,т

и

V

, г = 1, . . . ,q,

/

на диагонали. Здесь сг^: Г2 —> Smi — некоторые случайные перестановки и

е {А Е GL{dh R) : ААТ = aid, a > 0}.

Данная теорема (теорема о жордановой нормальной форме линейных коциклов) является уточнением МЭТ в том смысле, что позволяет уточнить структуру коцикла внутри подпространств Оселедца. При этом выполнение условия (0.0.1) в ней не требуется. В работах [42, 48] аналогичные теоремы были получены при I — 2 с помощью метода барицентров. В первой главе настоящей работы с помощью этого метода мы получаем классификацию коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1 (по поводу классификации коциклов со значениями в группе Лоренца см. также [53]), а во второй главе

обобщаем этот метод для получения вышеописанного результата статьи [13] и его комплексного варианта. В отличие от подхода в [13] и [53], основанного на применении леммы Фюрстенберга и некоторого ее аналога соответственно, метод барицентров позволяет в явном виде найти сопряжение, приводящее коцикл к каноническому виду. В общем случае метод барицентров (по крайней мере, в том направлении, в котором мы его обобщаем) заключается в использовании (у-эквивариантности отображения, сопоставляющего вероятностной мере ¡1 на геодезической границе У(оо) пространства Адамара У, на котором группа 0 действует изометриями, ее барицентр Ь(/1) £ У (при условии его существования и единственности), который определяется как точка, в которой достигается минимум функции

JY(oo)

где х — функция Буземана. Такие барицентры и усреднения функции Буземана по мере на границе использовались при изучении других вопросов, например, в [18, 22, 27, 31, 37, 51]. В настоящей диссертации применяются критерии существования единственного барицентра меры на границе некомпактного симметрического пространства, полученные в работах [31, 37]. В качестве мер на границе мы рассматриваем эргодические инвариантные меры коциклов.

В связи с проблемой классификации линейных коциклов следует также упомянуть следующие два результата: Гиваршем и Рожи доказано [35], что «вполне неприводимые» коциклы с независимыми приращениями, удовлетворяющие условию интегрируемости 0.0.1, когомологичны блочно-диагональным коциклам с конформными блоками; по теореме же Оселедца-Песина об е-редукции (см., напр., [17]) всякий коцикл при условии интегрируемости когомологичен блочно-диагональному коциклу,

блоки которого сколь угодно близки по норме к конформным.

В качестве примеров применения классификации коциклов можно привести доказательство «жесткости энтропии» для гладких действий простых групп Ли [30]; доказательство плотности множества коциклов с простым ляпуновским спектром в пространстве всех линейных коциклов с 1/°°-нормой [12]; классификация максимальных аменабельных подгрупп в GL{l,R) [13].

В главе 3 изучается свойство рекуррентности коциклов, которое в случае, когда Q — группа Ли, в силу нашего предположения об инвариантности меры Р равносильно ([46]) условию

lim р(Фа(п,и;),е) = 0 Р-п.н.,

п—>оо

где р — левоинвариантная риманова метрика на Q, т.е. возвратности соответствующего случайного блуждания в смысле теории вероятностей. Возвратность случайных блужданий с независимыми приращениями в группе R' хорошо изучена (см., напр., [5]). Общий случай стационарных случайных блужданий/коциклов для группы Ш1 исследовался в работах [15, 24, 26, 34, 44, 45, 46, 47], для группы SL{2,М) - в [41, 48], группы верхних треугольных матриц — в [33]. В главе 3 мы изучаем рекуррентность коциклов со значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1.

Опишем более подробно содержание диссертации. Основным результатом главы 1 является следующее утверждение о классификации коциклов.

Теорема 1.4.1. Всякий коцикл со значениями в связной полупростой группе Ли вещественного ранга 1 с конечным центром когомологичен коциклу а со значениями в одной из следующих подгрупп:

(I) максимальная компактная;

(II) минимальная параболическая;

(III) нормализатор главной векторной подгруппы А. Причем коцикл ехр(г7г 1{а(ш)$г(А)}(')) не когомологичен 1, где 2{А) — цент,рализатор А.

Для доказательства используется метод барицентров, который в данной главе мы также обобщаем для классификации СЬ(3, К)-значных коциклов, где К = М, С (теорема 1.5.4).

В главе 2 мы развиваем метод барицентров для доказательства теоремы о жордановой нормальной форме К)-значных коциклов

при произвольном I (теорема 2.3.1). Мы используем следующий вариант описания эргодических инвариантных мер коциклов (ср. [13]).

Предложение 2.1.10. Для всякой эргодической инвариантной меры ц. на КР1~1 произвольного коцикла А: П —> 0,(1, К) существует измеримая функция С: О, СЬ(1,К), такая, что для Р-п.в. ио Е Г2

Дш = С(и))\м,

где Хм — мера Лебега на некоторой замкнутой орбите М С КР1-1 группы % £ 1~(.{А) со связными компонентами одинаковой меры.

Здесь 'Н(А) — это так называемая алгебраическая оболочка коцикла А. Используя предложение 2.1.10, мы даем новую конструкцию линейного покрытия носителей эргодических инвариантных мер коциклов, которой посвящено следующее утверждение, ключевое при доказательстве теоремы 2.3.1.

Лемма 2.2.2. Пусть ц. - эргодическая инвариантная мера на КР1~г

неприводимого коцикла А: О, —> С1/(/,К). Тогда существуют случайные линейные подпространства ..., ит в такие, что

т

О) К1 = ®иг(и>),

г=1

(п) цш(\иг{и)]) = ^ Р-п.н., сМт[/г(и;) = 1 < % < т,

т т

(Ш) и и^Тш) = А{ш) и ад Р-п.н.,

1=1 1=1

(пг) для каждого подпространства 17г Р-п.н. имеем /1ш([и]) < А1™и для всех нетривиальных линейных подпространств 17 С иг(и).

Здесь [•] обозначает проективизацию ненулевого линейного подпространства.

Так же, как в [13], мы приводим коцикл А к блочно-треугольному виду с неприводимыми подкоциклами А^г\ г = 1,...,£/, на диагонали. По лемме 2.2.2 мы строим по эргодическим инвариантным мерам ц^ на КР1*~1 коциклов А^ соответствующие случайные подпространства

(г)

и^ и, выбирая согласованный с ними случайный базис f, переходим к «поднятым» СЬ(с1г, К)-значным коциклам А{'г (дг := (Ит С/^) над расширенными динамическими системами на х {1 ,...,шг} с инвариантными мерами Д^ на КР^1-1, построенными по Заметим, что проективное пространство Кединственным образом можно РСгЬ(с?г, К)-эквивариантно вложить в РСЬ(с?г, К)/РС/(с?г, К)(оо). При этом отождествлении барицентры 6(Д^}) е РСОД, К)/Р£/(йг, К) существуют и единственны, и если С{л: П х {1,...,?тгг} —> <21/(с£г,К) — такие измеримые функции, что = [С{'г(си, ])]Р11(с1г,К), то

коцикл А приводится к каноническому виду с помощью сопрягающей матрицы

СМс^С''1^, 1),..., С{>\со, т\),С{«(и, 1),..., тя)),

где С — матрица перехода от стандартного базиса к базису i.

Для элемента д связной полупростой группы Ли <5 вещественного ранга 1 обозначим фл{9) := 1п(Ф.д(<7)) Е а = М, где ~ элемент

главной векторной подгруппы А С Я в разложении Ивасавы элемента д и а — алгебра Ли группы А. В главе 3 доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.2.1. Коциклы, когомологичные коциклам со значениями в подгруппе типа (ш) в теореме 1.4.1, для которых ф_А.(а(-)) 6 Ь1(Р) и коцикл ехр(г7г 1{а(ш)£г(А)}(')) не когомологичен 1, рекуррентны.

Для доказательства используется критерий консервативности косых произведений.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Валерию Иустиновичу Оселедцу за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор также признателен профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу и доценту Дмитрию Андреевичу Тимашеву за полезные консультации.

Глава 1

Классификация коциклов со значениями в группах Ли малых рангов

1.1 Симметрические пространства и геодезическая граница

Напомним, что группа Ли называется полупростой, если в ней нет нетривиальных максимальных связных разрешимых нормальных подгрупп. Центр полупростых групп всегда дискретен. Пусть 0 — некомпактная связная полупростая вещественная группа Ли с конечным центром и /С — ее максимальная компактная подгруппа. Пусть д и £ — соответствующие алгебры Ли. На д определена невырожденная билинейная форма — форма Киллинга: {Х,У) 1;г(ас1 X о аёУ). Пусть р — ортогональное дополнение в д к ! относительно формы Киллинга. Рассмотрим многообразие смежных классов О/1С с действием группы

О на нем левыми сдвигами. Всякое А(1^(/С)-инвариантное положительно определенное скалярное произведение на Те/с^//С = р порождает на пространстве О/1С ^-инвариантную риманову структуру, для которой оно является римановым симметрическим пространством некомпактного типа (далее будет предполагаться зафиксированной одна из таких структур)1. Причем всякое симметрическое пространство ^ некомпактного типа возникает описанным способом: на 5" транзитивно действует изометриями некомпактная полупростая группа Ли 0, и для фиксированной точки х Е Б пространство Б изометрично отождествляется с Я/1С, где /С — посредством отображения дх > д!С. (По поводу теории симметрических пространств мы отсылаем к [7, 20, 28].) В каждой точке пространство О/1С имеет неположительную секционную кривизну. Геодезические, исходящие из точки доК имеют вид до ехр(£Х)/С, X Е р, где ехр: 0 —> £ — экспоненциальное отображение.

Размерность всякого максимального абелева подпространства а в р или, что то же, размерность всякого максимального вполне геодезического подмногообразия в О/1С, изометричного евклидову пространству, называется вещественным рангом группы О (гк®£) и рангом симметрического пространства О/1С. Связная подгруппа Л С 0 с алгеброй Ли а называется главной векторной подгруппой.

Обозначим через •) функцию расстояния на О/К.. Введем на множестве всех геодезических в О/1С следующее отношение эквивалентности:

71 ~ 72, если ^(71(^,72^)) < оо, £ > 0.

1Каждое такое скалярное произведение пропорционально форме Киллинга при ограничении на каждую компоненту в разложении 0/1С в прямое произведение неприводимых симметрических пространств.

Здесь и далее t — натуральный параметр геодезической. Множество классов эквивалентности геодезических называется геодезической границей или границей на бесконечности пространства Q/IC, которую мы будем обозначать через Q/JC(oo). Обозначим также через 7(00) точку границы, представленную геодезической 7. Для любых точек р € G/KL и х £ Q/K,(pó) существует ровно одна геодезическая 7P¡a;(t), такая, что 7р,х(0) = Р, 7р,х(°°) = х. Пространство Q/JC U Q¡К,{оо), снабженное конической топологией, является компактификацией пространства Q/1С и гомеоморфно dimp-мерному замкнутому шару. Действие Q на Q/K непрерывно продолжается на границу.

Также границу Q/K,(oo) можно наделить топологией, порожденной угловой метрикой

¿(х,у) = sup ¿р(7р,з(0),7Р)1,(0)),

Р65//С

которая, вообще говоря, является более сильной, чем коническая. В случае гкк Q = 1 так как любые две точки границы могут быть "соединены" геодезической, то угловая метрика принимает значения О и 7г. Пространство (С?//С(оо), Z) (граница Титса) обладает структурой ансамбля Титса размерности rk^É/— 1 — симплициального комплекса, грани которого соответствуют параболическим подгруппам группы Q (т.е. стабилизаторам Qx точек границы (¿//С(оо)), стабилизирующим их. Стабилизаторы внутренних точек (относительно конической топологии) симплексов максимальной размерности (камер Вейля) являются минимальными параболическими подгруппами.

Пусть Q — /СА/V — разложение Ивасавы, где J\í — нильпотентная подгруппа Ли, тогда всякая минимальная параболическая подгруппа группы Q сопряжена параболической подгруппе вида Л4АМ, где М. — централизатор Л в /С.

Параболические подгруппы в РС£(/,К), К = М, С,2 являются стабилизаторами флагов в К.', т.е. наборов (£/ь ..., 11п) собственных линейных подпространств в таких, что II\ С ... С 11п.

Поэтому всякую РС1/(/, К)-орбиту точки границы на бесконечности симметрического пространства РСЬ(1, К)/Ри(1, К) можно эквивариантно отождествить с некоторым многообразием флагов в К'. В частности, проективное пространство КРг_1 можно единственным образом К)-эквивариантно вложить в границу РйЬ(1, К.)/Р17(1, К)(оо), а именно, отождествив его с РСЬ(1,К)-орбитой вершины ансамбля Титса.

1.2 Барицентры мер на геодезической границе симметрических пространств

Определение 1.2.1. Функция

Ьр0,х: Я/К, Р^ Ит сг(7ро,х(*)>Р) ~ Ъ где ра Е Я/К-, х Е С?//С(оо), называется функцией Буземана.

Предложение 1.2.2 ([28]). Для всех р,р\,р2 Е Я/К- и х Е Я//С(оо) выполняется равенство

ЬР1,х{р) ~ ЬР2,х(Р) = ЪрихЫ)-

Обозначим через Р(С?//С(оо)) множество всех борелевских вероятностных мер на границе С///С(оо), снабженной конической топологией. Для ц Е Р(£//С(оо)) положим

:= / ЬРй>х{р)11{(1х). ид/к.(оо)

2РСЬ(1,К) := СЬ(/.К)/КХМ. Через РСЬ{1,С) будет также обозначаться овеществление комплексной группы.

Функция Ы£о хорошо определена, выпукла и бесконечно дифференцируема (см., например, [37]). По предложению 1.2.2 для разных ро функция Ь£о отличается на константу. Ее точка минимума (если он существует) называется барицентром меры д, который мы будем обозначать через Ь{рь). Барицентр &(//) можно также определить как нуль градиента

оо)

В вопросе существования и единственности барицентра меры на границе С?//С(оо) важную роль играет следующая величина:

где 7(00) = х.

Предложение 1.2.3 ([16, 37]). Барицентр меры ¡1 е Р(£//С(оо)) существует и единствен т,огда и только тогда, когда к^(х) > 0 для всех х Е 0/К,(оо).

Отсюда легко получить следующее утверждение, являющееся обобщением теоремы Дуади-Эрла (случай 0 = ¿>Оо(1,2)).

Предложение 1.2.4 ([31, 37]). Пусть гкщ^ = 1, тогда барицентр меры Ц £ Р(£//С(оо)) на С?//С(оо) существует и единствен тогда и только тогда, когда /¿({ж}) < \ для всех х Е С?//С(оо).

Справедливо следующее усиление предложения 1.2.3.

Предложение 1.2.5 ([31, 37]). Барицентр меры \х Е Р(^//С(оо)) на £//С(оо) существует и единствен тогда и только т,огда, когда к^(х) > О для всех вершин х ансамбля Титса границы £?//С(оо).

В случае меры на орбите вершины ансамбля Титса границы симметрического пространства PGL(l, K)/PU(l, К) этот критерий принимает следующий вид.

Предложение 1.2.6 ([31, 37]). Барицентр борелевской вероят.ноет,ной меры на ¥LPl~l С PGL(l,K.)/PU(l,'K)(оо) существует и единствен тогда и т,олько тогда, когда ß([U]) < dinlu для всех нетривиальных линейных подпространств U сКг.

Здесь для ненулевого линейного подпространства (7 С К' через [U] обозначено индуцированное им проективное подпространство.

Снабдим множество P{Q/K{оо)) слабой топологией. Обозначим

Pbar{G/)C{оо)) := {fi Е P{G/K{оо)) : kß(x) > 0 Vx G Q/JC{оо)}.

Лемма 1.2.7.

(i) Множество Pbar{Q/K,{оо)) С P{Q/1C{oo)) открыто.

(ii) Отображение Pbar(G/JC(оо)) —> fi н-)- 6(д) непрерывно.

Доказательство. Функция (ж, у) /.(х,у) (а следовательно, и функция (ж,у) —cosZ(x,y)) полунепрерывна снизу [20]. Для сходящихся

последовательностей хп хо, Х{ Е Q/K.(oo), и /¿п —> ¡iq, ßi Е P(G/K,(оо)), имеем <5a;n х /in —>■ х /¿0, и, следовательно,

1ш к^п{хп) = lim / -cosZ(x,y)5Xn(dx)fin(dy) > п->оо n->oo Jg/K.(oo)

/ - cos Z(x, y)öXo(dx)n0(dy) = k^xo), Jg/ic{ oo)

т.е. функция i-> на G/fC(oo) x P(Q/K,(oo)) полунепрерывна

снизу. Следовательно, множество

С/ := {(ж,м) € £//С(оо) х Р(С?//С(оо)) : /см(ж) > 0}

открыто, и из компактности Ç?//C(oo) следует, что если Ç/JC(oo) х {/л} с U для некоторой меры то найдется ее окрестность V, такая, что Q/ïС(оо) xV С U, т.е. множество Pbar{Q/К{оо)) открыто.

Докажем (ii). Пусть qo := argminb^°(p) для некоторой меры /¿о € Pbar(Ç/fC(оо)). Для произвольного е > 0 положим

5 := i min Шр) - b%{q0)), B£(q0) := {р G £//С : d(p, < s}, z pedB£(qo)

Отображение P(Ç/JC(со)) —» С (G/1С), ц i->- непрерывно в топологии компактной сходимости на C(Q/K.). На открытом множестве

{fi Е РЬаг{Q/К{оо)) : rnax - fc£(p)| <

peBe(q0)

имеем b£o(p) > b£o(q0) для всех р Е dBe(qQ) и argmin6£o(p) Е Be{qQ) в силу выпуклости функции Ь£0(р). □

Группа Ç действует естественным образом на P{G/1С{оо)) по формуле дц{-) = /¿(д-1^)). Отметим следующее свойство барицентров.

Лемма 1.2.8. Множество Pbar(G/JC(оо)) G-инвариантно, и для всех g Е Q и [I Е Pbar(G/JC(oo)) имеем

b{gfi) =

Доказательство. Используя изометричность действия группы G на G/ 1С U G/ 1С(оо) и учитывая предложение 1.2.2, для д Е Pbar{G/lС(оо)) получаем

h9vW = / bP0}X{p)fj,og-l(dx) = bPOjgX{p)ß(dx) =

Jç/K.(oo) Jç/IC(oo)

= / Vwî^pM^) = +

JÇ/K.(oo)

Следовательно, для всякого g E G минимум функции существует, единствен и равен gb(pb). □

1.3 Эргодические инвариантные меры

коциклов

Пусть X — компактное польское пространство, и пусть Р(Х) — множество всех борелевскнх мер на X, снабженное топологией слабой сходимости. Для всякой вероятностной меры /I на пространстве (П х В(Х)) с

маргинальной мерой Р на П существует и притом Р-п.н. единственна ее факторизация относительно Р ([32]), т.е. случайная мера

такая, что для любого С 6 В(Х)

М(С) = [ е X : (и,х) е С}Р((Ь). JCl

Для краткости будем писать ¡1{<1ио^х) — Р{д,ш)цш((1х).

Предположим, что на X действует топологическая группа С?. Пусть а: —>• Я - измеримая функция. Рассмотрим косое произведение

Та: П х X П х X, (Ты, а{ш)х).

Обозначим через Ррпу(£1 х X) множество всех Та-инвариантных вероятностных мер на пространстве (Г2 х X, Р ® В(Х)) с маргинальной мерой Р на Г2. В силу компактности X имеем Ррпу(П х X) ф 0 ([11, 25]), причем так как Т эргодично, то для косого произведения Та существует эргодическая инвариантная мера как крайняя точка выпуклого множества Ррпу(р, х X) ([25]). Инвариантность меры [1 равносильна условию

Мтш = а{<*>)Рш Р-п.н. (1.3.1)

Определение 1.3.1. Случайную меру : П —> Р(Х), удовлетворяющую соотношению 1.3.1 будем называть инвариантной мерой (на X) коцикла а.

Если мера Р[duS)¡jLu(dx) эргодична, то меру ¡1. будем называть эргодической мерой (на X) коцикла а.

Далее нам понадобится понятие случайного замкнутого множества и его графика. Пусть (М, р) — произвольное метрическое пространство.

Определение 1.3.2. Отображение С: Q, —> 2м со значениями в

множестве всех замкнутых подмножеств пространства М называется

замкнутым случайным множеством, если для любого х Е М измеримо

отображение со р{х, C(w)), где р(х, С (и)) = inf р(х,у).

уеС(и)

Обозначим через Г с график (J {(cj, С(cj))} замкнутого случайного

шей

множества С: Г2 —> 2м.

Предложение 1.3.3 ([23]). Пусть М — польское пространство. Тогда

ТСЕ?®В{М).

Лемма 1.3.4. Пусть (л. — эргодическая инвариантная мера на X коцикла а: О —> Q. Тогда либо для некоторого N Е N почти всюду имеем

1 N

^ = дрХЖн' i=i

где X{, i = 1,..., N - различные для всех и) случайные точки в X, либо мера непрерывна для почти всех со.

Доказательство. Рассмотрим измеримые множества

М0 = {р, Е Р{Х) : р,{{х}) = 0 Vx Е X},

Мг = {juE Р(Х) : Зх!,...,хг Е X : ц({х 1» > 0,..., fi{{xi}) > О, ц({х}) = 0 УхЕ iE N U оо.

Тогда

П = [_\Аг: Лг = {си:цшемг}.

Из инвариантности меры ¡jl следует, что все Лг инвариантны mod О относительно Т. Так как Т эргодично, то существует N £ N U {0, оо}, такое, что Р(Лдг) = 1. Если N = 0, то мера непрерывна для почти всех и.

Пусть JV G N и пусть xi(w),... ~ атомы меры Множество

N _

(J ГЖг Т-инвариантно mod 0. Из эргодичности меры ц следует, что

г=1

N N

= / ^(иы*)})р(<м = 1-

Значит,

г=1 п

N

= 1 П.Н.

г=1

N

Следовательно, цш = ш) п-н- Для измеримых функций рг{ио)

г=1

N

таких, что = 1. Так как

г—1

N N

НТы = = Нш О = П.Н.,

г=1 г=1

ТО

{Рг(^), • • • = {р1(Тш),... ,рм{Ти)} п.н.

Перенумеруем атомы так, чтобы для всех оо £ О выполнялись неравенства

Р1(и) > РгМ > >

Тогда имеем рг(ш) = рг(Ти) п.н., г = и, следовательно, все

рг(со) = рг почти наверное константы. Так как множество У ГЖг Т-

г Р.=Рг0

инвариантно mod 0, а мера ¡1 эргодична, то

К U Г.) = #{г : Pi = Pi0}Pio = 1-

i- Рг=Рг0

Значит, pi = ... =pN = jj.

В случае счетного числа атомов аналогичные рассуждения приводят к противоречию. □

Рассмотрим частный случай, когда X — граница некомпактного симметрического пространства Q/K,{oo) с конической топологией или любое ее ^-инвариантное замкнутое подмножество с индуцированной топологией. По лемме 1.2.7 на измеримом множестве

iijr := : Я, € Pbar(Q/JC(оо))}

определена измеримая функция

Q —>• Q/K, со н> Ь(/1Ы).

Из леммы 1.2.8 следует

Лемма 1.3.5. Для всякой инвариантной меры рь. на X коцикла а: Q —Q, для почти всех со Е имеем

И-

Ь(цтш) = а(и))Ъ{цш).

Из инвариантности меры ¡л. следует, что множество Т-инвариантно mod 0 и, следовательно, имеет меру 0 либо 1. В дальнейшем в случае Р(П^аг) = 1 договоримся доопределять функцию со ^ Ь(/ли) на множестве например, точкой о = /С.

1.4 Классификация коциклов со

значениями в полупростых группах Ли вещественного ранга 1

Основным результатом данной главы является следующая

Теорема 1.4.1. Всякий коцикл со значениями в связной полупростой группе Ли вещественного ранга 1 с конечным цент,ром когомологичен коциклу а со значениями в одной из следующих подгрупп3:

(I) максимальная компактная;

(II) минимальная параболическая;

(III) нормализатор главной векторной подгруппы А. Причем коцикл ехр(ит1{а{ш)^{А)}{')) не когомологичен 1, где 2>{А) — централизатор А.

Доказательство теоремы 1.4-1-

Рассмотрим произвольный коцикл а со значениями в рассматриваемой группе Ли 0 и некоторую его эргодическую инвариантную меру ¡1. на С?//С(оо) (см. разд. 1.3). По лемме 1.3.4 с вероятностью 1 мера цш либо непрерывна, либо имеет вид

для некоторого N £ N и некоторых случайных точек х^ на С?//С(оо).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Липатов, Максим Евгеньевич, 2013 год

Список литературы

[1] Винберг Э.Б., Онищик А. Д., Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Наука, М., 1988.

[2] Оселедец В. И., Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем, Тр. ММО, 19, 1968, 179-210.

[3] Платонов В. П., Рапинчук A.C., Алгебраические группы и теория чисел, Наука, М., 1991.

[4] Рыжиков В. В. О когомологичности коциклов, отвечающих эргодическим косым произведениям, Функц. анализ и его прил., 30:1 (1996), 84-86.

[5] Спицер Ф., Принципы случайных блужданий, Мир, М., 1969.

[6] Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, Наука, М., 1980.

[7] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Факториал Пресс, М., 2005.

[8] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, т. 1, Алгебраические многообразия в проективном пространстве, Наука, М., 1988.

[9] Aaronson J., An Introduction to Infinite Ergodic Theory, Mathematical Surveys and Monograph, 50, Amer. Math. Soc., Providence, R.I, 1997.

[10] Allcock D. J., Reflection groups on the octave hypebolic plane, Journal of Algebra, 213:2 (1999), 467-498.

[11] Arnold L., Random, Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1998.

[12] Arnold L., Nguyen Dinh Cong, Linear cocycles with simple Lyapunov spectrum are dense in L°°, Report 410, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1997.

[13] Arnold L., Nguyen Dinh Cong, Oseledets V.l., Jordan normal form for linear cocycles, Random Op. Stock. Eq., 7:4 (1999), 303-358.

[14] Arnold L., Nguyen Dinh Cong, Oseledets V.l., The essential range of a nonabelian cocycle is not a cohomology invariant, Israel J. Math., 116:1 (2000), 71-76.

[15] Atkinson G., Recurrence of co-cycles and random walks, J. London Math. Soc. (2), 13:3 (1976), 486-488.

[16] Auderset C., Barycenter of points at infinity, Preprint, Fribourg, 2004.

[17] Barreira L., Pesin Y., Nonuniform Hyperbolicity: Dynamics of Systems with Nonzero Lyapunov Exponents, Cambridge University Press, 2007.

[18] Besson G., Courtois G., Gallot S., Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement négative, Geom,. Funct. Anal., 5:5 (1995), 731-799.

[19] Bochnak J., Coste M., Roy M.-F., Real Algebraic Geometry, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 1998

[20] Bridson M R , Haefliger A., Metric Spaces of Non-Positive Curvature, Grund. Math Wiss , 319, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1999.

[21] Brylmski R , Instantons and Kahler geometry of nilpotent orbits, Representation Theories and Algebraic Geometry, 514, Nato Adv. Sei. Inst. Ser. C Math. Phys. Sei., Kluwer, 1998, 85-125

[22] Burger M., Schroeder V., Amenable groups and stabilizers of measures on the boundary of a Hadamard manifold, Math. Ann., 276 3 (1987), 505-514.

[23] Castamg C., Valadier M., Convex Analysis and Measurable Multifunction, Lecture Notes m Math., 580, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1977.

[24] Conze J.-P., Sur un critère de récurrence en dimension 2 pour les marches stationnaires, applications, Erg. Th. Dyn. Sys. 19:5 (1981), 1233-1245

, [25] Crauel H., Random Probability Measures On Polish Spaces, Stochastics Monographs, 11, Taylor & Francis, London, 2002

[26] Dekkmg F. M., On transience and recurrence of generalized random walks, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 61:4 (1982), 459-465.

[27] Douady A., Earle C., Conformally natural extension of homeomorphisms of the circle, Acta Math., 157:1 (1986), 23-48.

[28] Eberlem PB., Geometry of Nonpositwely Curved Manifolds, The University of Chicago Press, Chicago London, 1996.

[29] Feldman J., Moore C. C., Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras. I,II, Trans. Amer. Math. Soc., 234:2 (1977), 289359.

[30] Furstenberg H., Rigidity and cocycles for ergodic actions of semisimple Lie groups (after G. A. Margulis and R.. Zimmer), Bourbaki Seminar, 559, 1979/80, Lecture Notes in Math., 842, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1981, 273-292.

[31] Fliige R„, Ruh, E. A., Barycenter and maximum likelihood, Diff. Geom. Appl., 24:6 (2006), 660-669.

[32] Gànssler P., Stute W., Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1977.

[33] Greschonig G., Recurrence in unipotent groups and ergodic nonabelian group extensions, Israel J. Math., 147:1 (2005), 245-267.

[34] Greschonig G., Schmidt K., Growth and recurrence of stationary random walks, Probab. Theor. R.elat. Fields, 125:2 (2003), 266-270.

[35] Guivarc'h Y., Raugi A., Propriétés de contraction d'un semi-groupe de matrices inversibles. Coefficients de Liapunoff d'un produit de matrices aléatoires indépendantes, Israel J. Math., 65:2 (1989), 165-196.

[36] Helgason S., A duality for symmetric spaces with applications to group representations, Adv. Math., 5:1 (1970), 1-154.

[37] Kapovich M., Leeb B., Millson J., Convex functions on symmetric spaces, side lengths of polygons and the stability inequalities for weighted configurations at infinity, J. Diff. Geom., 81:2 (2009), 297-354.

[38] Katok A., Robinson E. A., Jr., Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 69, 2001.

[39] Markham S., Parker J.R.., J0rgensen's inequality for metric spaces with application to the octonions, Adv. Geom. 7:1 (2007), 19-38.

[40] Moore C.C., Amenable subgroups of semi-simple groups and proximal flows, Israel J. Math., 34:1-2 (1979), 121-138.

[41] Ochs G., Oseledets V.l., On recurrent cocycles and the non-existence of random fixed points, R.eport 382, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1996.

[42] Oseledets V.l., Classification of GL(2,B.)-valued cocycles of dynamical systems, Report 360, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1995.

[43] Schmidt K., Amenability, Kazhdan's property T, strong ergodicity and invariant means for ergodic group actions, Erg. Th. Dyn. Sys. 1:2 (1981), 223-236.

[44] Schmidt K., Cocycles of Ergodic Transformation Groups, Macmillan Lectures in Mathematics, 1, Macmillan Company of India, Delhi, 1977.

[45] Schmidt K., On joint recurrence, C. B,. Acad. Sei. R.aris, Serie I, 327:9 (1998), 837-842.

[46] Schmidt K., On recurrence, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 68:1 (1984), 75-95.

[47] Schmidt K., Recurrence of Cocycles and Stationary R.andom Walks, Lecture Notes-Monograph Series, 48 Dynamics & Stochastics (2006), 78-84.

[48] Thieullen Ph., Ergodic reduction of random products of two-by-two matrices, J. Anal. Math., 73:1 (1997), 19-64.

[49] Walters P., A dynamical proof of the multiplicative ergodic theorem, Trans. Am,er. Math. Soc., 335:1 (1993), 245-257.

[50] Zimmer R.. J., Compactness conditions on cocycles of ergodic transformation groups, J. London Math. Soc. (2), 15:1 (1977), 155-163.

[51] Zimmer R. J., Curvature of leaves in amenable foliations, Am. J. Math., 105:4 (1983), 1011-1022.

[52] Zimmer R„ J., Ergodic theory and Semisimple Groups, Birkhàuser, Boston Basel Stuttgart, 1984.

[53] Zimmer R.. J., Ergodic Theory and the Automorphism Group of a G-Structure, in Group Representations, Ergodic Theory, Operator Algebras, and Mathematical Physics, Mathematical Sciences R.esearch Institute Publications, 6 (1987), 247-278.

[54] Zimmer R.. J., Induced and amenable ergodic actions of Lie groups, Ann. Set. École Norm. Sup. (4), 11:3 (1978), 407-428.

[55] Zimmer R.. J., On the cohomology of ergodic group actions, Israel J. Math., 35:4 (1980), 289-300.

Работы автора по теме диссертации

[56] Липатов М.Е., К вопросу о классификации линейных коциклов над эргодическими автоморфизмами, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ., 2013, № 2, 39-42.

[57] Липатов М.Е., Классификация коциклов над эргодическими автоморфизмами со значениями в группе Лоренца. Рекуррентность коциклов, Мат,, заметки, 93:6 (2013), 869-877.

[58] Липатов М.Е., Рекуррентность матричных коциклов, Вестн. Моск. ун-т,а. Сер. 1. Матем., механ., 2010, № 5, 61-64.

[59] Липатов М.Е., Классификация коциклов над эргодическими автоморфизмами со значениями в полупростых группах Ли ранга 1, деп. в ВИНИТИ, 10.12.12, № 444-В2012, 19 с.

[60] Липатов М. Е., Возвратность случайных блужданий на группе Лоренца и редукция матричных коциклов", Обозр. прикл. и промышл. матем., 18:3 (2011), 448-449.

[61] Липатов М. Е., Жорданова форма 8Ь(2,С)-значных коциклов, Тезисы докладов секции «Математика и механика» конференции «Ломоносов-2010», Москва, 2010, 1.

[62] Липатов М. Е., Классификация 8Ь(3,С)-значных коциклов над эргодическими автоморфизмами, Тезисы докладов секции «Математика и механика» конференции «Ломоносов-2011», Москва, 2011, 1.

[63] Липатов М.Е., Линейные коциклы над эргодическими автоморфизмами и барицентры мер на границе симметрических

пространств, Тезисы докладов секции «Математика и механика» конференции «Ломоносов-2012», Москва, 2012, 1.

[64] Lipatov M., Classification of linear cocycles: barycenter method, Abstracts of Communications of the 2nd Int. conference "Mathematics in Armenia: Advances and Perspectives", Yerevan, 2013, 98-99.