Категорные методы в теории высших аделей и их применение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Осипов, Денис Васильевич

• Осипов, Денис Васильевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Осипов, Денис Васильевич

Оглавление

Введение

1 Сп-пространства, категории С„п, С™ и С™

1.1 Категории Сп

1.1.1 Вводные замечания

1.1.2 Конструкции

1.1.3 Примеры

1.1.4 Алгебра эндоморфизмов п-мерного локального поля

1.2 Дальнейшие обозначения и соглашения

1.3 Категории С™

1.3.1 Категории С

1.3.2 Категории С0аг и С\х

2 Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей

2.1 Функции и распределения на объектах С™ и С™

2.1.1 Функции и распределения на объектах Сцг

2.1.2 Функции и распределения на объектах С^

2.2 Категории С|г

2.3 Виртуальные меры

2.4 Основные пространства

2.5 Преобразование Фурье

2.5.1 Отображения / I—> /, С I—>6

2.5.2 Двумерные преобразования Фурье

2.6 Центральное расширение и его представления

2.6.1 Канонические изоморфизмы

2.6.2 Некоторая подгруппа группы автоморфизмов

2.6.3 Центральное расширение

2.6.4 Представление центрального расширения

2.6.5 Преобразование Фурье и представление центрального расширения

2.7 Прямые и обратные образы

2.7.1 Случай, когда Е1 — с-объект

2.7.2 Случай, когда £3 — ¿-объект

2.7.3 Случай, когда Е\ — с/-объект

2.7.4 Случай, когда £3 — «¿/-объект

2.8 Композиция отображений и правила замены базы

2.8.1 Правила замены базы

2.8.2 Правила композиции отображений

2.9 Преобразование Фурье и прямые и обратные образы

2.10 Двумерные формулы Пуассона

2.10.1 Формула Пуассона I

2.10.2 Формула Пуассона II

2.11 Пример

2.11.1 Некоторые фактор-группы групп аделей алгебраической поверхности

2.11.2 Более точное вычисление

2.11.3 Случай арифметической поверхности

3 Центральные расширения, гармонический анализ и теорема Римана-Роха на алгебраической поверхности

3.1 Центральные расширения и законы взаимности на алгебраических поверхностях

3.1.1 Вводные замечания

3.1.2 Конструкция группы

3.1.3 Центральное расширение

3.1.4 Законы взаимности вокруг точек

3.1.5 Законы взаимности вдоль кривых

3.2 Гармонический анализ и теорема Римана-Роха

3.2.1 Спаривание двух характеристических элементов

3.2.2 Самодвойственность кольца аделей на алгебраической поверхности

3.2.3 Вычисления с h° и h2

3.2.4 Вычисление с Эйлеровой характеристикой х

3.2.5 Центральное расширение, индекс пересечения и теорема Римана-Роха

4 Гипотетическое двумерное соответствие Ленглендса

4.1 Неразветвленное двумерное соответствие Ленглендса

4.1.1 Вводные замечания

4.1.2 Абелев случай двумерного соответствия Ленглендса

4.1.3 Сг-пространства и центральные расширения

4.1.4 Неразветвленное соответствие Ленглендса для двумерных локальных полей

4.2 Категорные центральные расширения и законы взаимности для двумерного

ручного символа

4.2.1 Вводные замечания

ч 4.2.2 Абстрактный формализм

4.2.3 Тейтовские векторные пространства

4.2.4 Приложения к случаю групп G = GL(fc((t))) и GL(fc((i))((s)))

4.2.5 Законы взаимности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Категорные методы в теории высших аделей и их применение»

Введение

Актуальность темы

В середине тридцатых годов ХХ-го века, после работ К. Шевалле и А. Вейля, в алгебраической теории чисел появилось понятие кольца аделей и группы иделей (как группы обратимых элементов кольца аделей). Сначала определяется локальное поле как пополнение глобального поля (то есть поля алгебраических чисел или поля рациональных функций кривой над конечным полем) относительно абсолютного значения (архимедова или неархимедова), заданного на этом поле. Кольцо аделей глобального поля есть ограниченное топологическое произведение всех локальных полей, возникающих из данного поля, см. например, работы [1] и [8]. Идели и адели глобальных полей были успешно применены для построения глобальной теории полей классов, то есть для описания группы Галуа максимального абелевого расширения глобального поля в терминах группы иделей (при помощи отображения взаимности).

В 70-х годах ХХ-го века А. Н. Паршин определил в работе [20] адели для алгебраических поверхностей. Позднее А. А. Бейлинсон в заметке [3] определил адели для произвольных нетеровых схем, см. также работу [49], где были даны доказательства теорем из заметки А. А. Бейлинсона.

Определение аделей, данное А. А. Бейлинсоном — индуктивное и использует последовательные процессы локализаций и пополнений пучка (пространства аделей определяются для произвольного квазикогерентного пучка на схеме, кольцо аделей получается применением конструкции к структурному пучку схемы). Структуру получившегося кольца аделей можно описать следующим способом. Пусть X — п-мерная неприводимая схема конечного типа над и Хо С Х\ С ... Хп = X — флаг неприводимых подсхем на X, так что сИт Хг = г. Тогда можно определить кольцо Кх0) ,х„_1, связанное с этим флагом. Если Хо — регулярная точка на всех подсхемах Хг, то КХо, ,хп~\ — п-мерное локальное поле. (По определению, п-мерное локальное поле — это полное поле относительно дискретного нормирования, так что поле вычетов является п — 1-мерным локальным полем. Поле — 0-мерное локальное, если оно конечное.) В общем случае, если X — целая схема, то кольцо Кха, ,хп-х является конечным произведением тг-мерных локальных полей, см. например [59]. Теперь кольцо аделей Ах есть некоторое ограниченное (по более сложным правилам, чем в класическом случае) произведение колец Кх0, ,хп_! по всем флагам неприводимых подсхем, определенных выше, то есть

/

Ах= П

Кх о, ,хп-1 С

П К*0, Л-г

-ХоС СХп-1 Х0С СХп-1

Позднее А. Н Паршин (и независимо К. Като и другие авторы) построили локальную и глобальную двумерную теорию полей классов, то есть дали явное описание группы Галуа максимального абелевого расширения поля рациональных функций двумерной арифметической схемы X, см. обзор [69]. Глобальная двумерная теория полей классов (как и в класическом одномерном случае) строится при помощи произведения (по всем

флагам) локальных отображений взаимности, то есть на основе двумерной локальной теории полей классов. Двумерное локальное отображение взаимности устроено следующим образом:

На двумерном локальном поле Кх0,Хг имеется естественная топология индуктивных и проективных пределов, возникающая в силу конструкции двумерного локального поля. Эта топология "плохая" во многих смыслах. Например, мультипликативная группа двумерного локального поля с индуцированной топологией не является топологической группой. По этой причине, А. Н. Паршин использовал в работе [21] секвенциальное насыщение этой топологии для конструкций двумерной локальной теории полей классов. Отметим, что К. Като в работе [-55] по многомерной теории полей классов вообще не использовал эту топологию, взамен определяя по n-мерному локальному полю объект некоторой категории, тесно связанной с итерированными Ind. Рго-категориями.

В работе [-58] мы определяем и изучаем категории Сп над полем к, как некоторые категории фильтрованных /с-векторных пространств с дополнительными свойствами и со специально определенными морфизмами. Отметим, что категория линейно локально компактных пространств является полной покатегорией в категории С\. Пространство аделей Ах n-мерной схемы X конечного типа над к является объектом этой категории, также как и просто 77-мерное локальное поле. В случае n-мерной схемы конечного типа над Z с сюрьективным морфизмом на SpecZ для работы с кольцами аделей нужны категории С®" фильтрованных абелевых групп. В случае арифметических аделей (то есть с учетом добавок, приходящих из слоев над бесконечными точками) нужна категория С|г фильтрованных групп, которая содержит в себе как полные подкатегории категории Cfn и С-2 (над конечным полем). Категории и С|г были определены и изучены в работе [16]. Категории Сп, и С£г систематически используются в теории многомерных аделей во многих фундаментальных задачах (которые будут описаны далее) вместо того, чтобы использовать естественную "плохую" топологию на пространствах многомерных аделей.

Одно из центральных мест в арифметической алгебраической геометрии занимают вопросы, связанные с L-функциями арифметических схем. Обычные (одномерные) локальные поля, адели и идели обладают мерой Хаара (это связано с тем, что естественная топология на них локально компактна). Записывая L-функцию Lx{s, х„ /) одномерной арифметической схемы Х(то есть кривой над конечным полем или кольца целых числового поля) как интеграл по иделям, Дж. Тейт и (независимо) К. Ивасава доказали аналитическое продолжение функции Lx{s, х, /) на всю комплексную плоскость (относительно s) и вывели функциональное уравнение

(Здесь х - характер на группе Галуа сепарабельного замыкания поля рациональных функций схемы X, и /•->/- преобразование Фурье для стандартной функции / на пространстве Ах-) Отметим также, что из вычисления преобразования Фурье на некоторых функциях на пространстве Ах сразу получается доказательство формулы Римана-Роха на кривой над конечным полем, а также ее арифметический аналог, см. работу [10].

L-функция схемы X (которая в случае х = 1 называется дзета-функцией) определяется для любой схемы конечного типа над Z. Если схема X определена над конечным полем, то существует мощнейший метод этальных когомологий, при помощи которого можно получить аналитическое продолжение и функциональное уравнение для дзета-функции схемы X. В случае алгебраического многообразия, определенного над числовым полем, его дзета-функция определяется при помощи дзета-функции модели (то есть схемы) над Spec Z (так что общий слой этой модели является исходным алгебраическим многообразием). В этом случае методы теории этальных когомологий для изучения дзета- и L-функций

(1)

L(s,x,f) = L(l-s,x-\f)-

не работают. Существуют однако гипотезы Хассе-Вейля об аналитическом продолжении и функциональном уравнении для дзета-функций неособых проективных многообразий, определенных над числовыми полями, см., например, работу [27].

А. Н. Паршин предложил развивать гармонический анализ на пространствах аде лей арифметических поверхностей для последующего его использования при изучении дзета-и ¿-функций арифметических схем в духе метода Тейта-Ивасавы, описанного выше для одномерных схем, см. работу [64]. В настоящее время, помимо использования многомерных ад елей, не имеется других явных подходов к гипотезе Хассе-Вейля для произвольных арифметических поверхностей (или кривых над числовыми полями, если переходить к общему слою арифметической поверхности). Отметим, что в случае эллиптических кривых над полем (]) эта гипотеза известна и была доказана абсолютно другими методами (работающими только в этой ситуации) в процессе доказательства великой теоремы Ферма, так как она следует из гипотезы Танияма-Вейля, доказанной в этом случае Э. Вайлсом.

Основная трудность в построении гармонического анализа на двумерных локальных полях и пространствах аделей двумерных арифметических схем состоит в том, что в естественной топологии итерированных индуктивных и проективных пределов эти пространства не локально-компактны. Следовательно, в силу известной теоремы А. Вейля на них не может существовать меры Хаара. С другой стороны, Ф. Брюа в работе [37] заметил, что преобразование Фурье на произвольных коммутативных локально-компактных группах может быть определено при помощи диаграмм из "кирпичиков", которыми являются коммутативные группы Ли. (При этом мы должны уметь определять преобразование Фурье на коммутативных группах Ли.) А. Н. Паршин в работе [64], а также М. М. Капранов в работе [52] показали, как эту идею можно обобщить на двумерные локальные поля для построения преобразования Фурье из известного преобразования Фурье на конечномерном пространстве над одномерным локальном полем. Следует при этом отметить, что пространства функций Т>(К) и распределений Т>'{К) на двумерном локальном поле К не являются пространствами функций и рапределений в классическом смысле, а являются "смесью" классических пространств функций и распределений относительно разных направлений координат в двумерном локальном поле. Правильным языком для обобщения гармонического анализа на пространства аделей двумерных арифметических схем явился язык Сг-пространств (для алгебраических поверхностей над конечным полем) или, в более общей ситуации, надо работать в рамках категории С^ (для арифметических поверхностей). В работах [15] и [16] гармонический анализ (определение пространств функций и распределений, преобразование Фурье и его свойства, прямые и обратные образы и их связь с преобразованием Фурье, двумерные формулы Пуассона) был построен на объектах категории Сг и С%г.

В работе [17] полученные двумерные формулы Пуассона были применены к пространству аделей А^ алгебраической гладкой проективной поверхности X над конечным полем для вывода формулы Римана-Роха. Этот метод открыл богатые перспективы для получения формул Римана-Роха нового типа на арифметических поверхностях.

А. Н. Паршин в работе [24] сформулировал гипотезу о прямом образе. В этой гипотезе рассматривается гладко расслоенная алгебраическая поверхность X над кривой 5 (над конечным полем) и ставится вопрос о внутреннем построении прямого образа автоморфного характера на X как автоморфной функции на 5 с явными свойствами. Отметим, что эта гипотеза следует из фундаментальной теоремы Л. Лаффорга о соответствии Ленглендса на алгебраической кривой над конечным полем. Кроме того, из гипотезы о прямом образе следует гиптеза Хассе-Вейля для ¿-функции на поверхности X (которая известна в этом случае, так как поверхность определена над конечным полем). Внутреннее построение прямого образа автоморфного характера (без отсылок к теореме Л. Лаффорга) дало бы

новое доказательство гипотезы Хассе-Вейля в этом случае с возможностью перенесения этого метода на арифметические поверхности.

Фактически, гипотеза о прямом образе связывает соответствие Ленглендса на поверхности X (в его самом простейшем, абелевом случае) с программой Ленглендса на базовой кривой б1. Но как могло бы выглядеть даже гипотетически соответствие Ленглендса на алгебраической поверхности XI Первым этот вопрос исследовал М. М. Капранов в работе [51]. Переписывая отображение взаимности "(1) (то есть исследуя абелев случай) он предположил, что соответствие Ленглендса для двумерного локального поля К должно сопоставлять п-мерному комплексному представлению группы Са1 (Кзер/К) категорное представление группы С1/(2п, К) (категорное представление группы означает действие группы на некоторой С-линейной категории, например, на некотором 2-векторном пространстве). Отметим, что в работе [51] не было явных конструкций.

В работе [18] мы исследуем случай неразветвленного соответствия Ленглендса для двумерного локального поля, следуя предположению М. М. Капранова. Для описания ка-тегорных характеров (то есть действий на одномерных 2-векторных пространствах) мы строим центральное расширение группы, действующей на двумерном локальном поле К при помощи группы Коммутатор подъема элементов из подгруппы К* в это центральное расширение совпадает с символом от двух переменных, описывающем при помощи отображения взаимности (1) неразветвленную двумерную теорию полей классов. Если поле К возникает из алгебраической поверхности X (можно также заменить поле К на кольцо аделей Ах), то такие центральные расширения подробно исследовались в работе [14]. В работе [18] мы доказываем для подобных центральных расширений некоммутативные законы взаимности, то есть расщепление глобально построенных центральных расширений на двумерных арифметических схемах над подгруппами, связанными с точками или одномерными неприводимыми подсхемами. При помощи описанных центральных расширений мы строим также (категорные) аналоги представлений основной серии для групп СЫ2п, К) и исследуем основные свойства построенных категорных действий. По аналогии с классическим соответствием Ленглендса мы формулируем также некоторую гипотезу про категорные представления основной серии.

Следующий по сложности случай (после неразветвленного) в двумерной теории полей классов описывается при помощи двумерного ручного символа в отображении взаимности (1). Двумерный ручной символ {-, •, - }к есть композиция двух граничных отображений в /^-теории Милнора: К™(К) -»• К^(к((и))) -> к*, где К = к((и))((Ь)). В работе [60] мы строим категорное центральное расширение группы С, действующей на Сг-пространстве (в частности, на двумерном локальном поле К или кольце аделей Ах алгебраической поверхности), при помощи группоида Пикара Ргс1, градуированных одномерных векторных пространств над полем к. Мы определяем и изучаем основные свойства обобщенного комутатора подъема трех коммутирующих элементов из группы С в категорное центральное расширение, используя при этом результаты Л. Брина из работы [35] про групоподобные моноидальные 2-группоиды. Мы доказываем, что этот коммутатор совпадает с двумерным ручным символом, когда К* есть подгруппа в группе С. Используя этот результат, а также кольца аделей на поверхности X мы получаем в работе [60] новое (категорное) доказательство законов взаимности для двумерных ручных символов на X. Отметим, что в случае кривых и одномерных локальных полей ручной символ (без знака) как коммутатор в обычном расширении группы, действующей на одномерном локальном поле, был получен Э. Арбарелло К. Де Кончини и В. Г. Кацем в работе [29]. Они применили эту конструкцию для получения нового доказательства закона взаимности А. Вейля на кривой. Работа [29] основана на более ранней работе Дж. Тейта [72] про законы взаимности, вычеты и центральные расширения алгебр Ли, действующих на одномерном локальном поле.

Цель работы

Определение категорий Сп, С„п и С|г и изучение их свойств. Построение гармонического анализа на двумерных локальных полях и аделях арифметических поверхностей с использованием категорий и того факта, что двумерное локальное поле и пространство аделей арифметической поверхности или алгебраической поверхности над конечным полем являются объектами-категории С|г. Вывод-формулы Римана=Роха из построенного гармонического анализа. Получение некоммутативных законов взаимности и применение их к гипотетическому двумерному соответствию Ленглендса. Описание категорных представлений основной серии в гипотетическом двумерном соответствии Ленглендса. Построение категорных центральных расширений и получение двумерных ручных символов как обобщенных коммутаторов в этих расширениях, применение этой конструкции к законам взаимности на алгебраических поверхностях.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем.

1. Определены категории Сп, С„п, С|г. Исследованы свойства этих категорий. Доказано, что пространство аделей п-мерной схемы конечного типа над Z является объектом категории С'['п, а если схема определена над полем, то объектом категории Сп над этим же полем. Определены арифметические адели арифметической поверхности (с учетом слоев над бесконеными точками). Доказано, что пространство арифметических аделей является объектом категории С'|г.

2. Построен гармонический анализ на объектах категории С2 и (в большей общности) на объектах категории С|г. При помощи коммутативных диаграмм определено (двумерное) преобразование Фурье, изучены прямые и обратные образы и их связь с преобразованием Фурье. Получены двумерные аналоги формул Пуассона. Используя предыдущие результаты о том, что пространство аделей арифметической поверхности над конечным полем является объектом категории Сг, из двумерных аналогов формул Пуассона выведена формула Римана-Роха для алгебраической поверхности над конечным полем.

3. Доказано, что коммутатор подъема коммутирующих элементов в центральном расширении группы, действующей на двумерном локальном поле, есть целочисленный символ. Получены некоммутативные законы взаимности для таких символов и описано их применение к гипотетическому двумерному соответствию Ленглендса. Определены и описаны основные свойства категорных аналогов представлений основной серии в рамках гипотетического двумерного соответствия Ленглендса.

4. Построены категорные центральные расширения групп, действующих на двумерных локальных полях (или, в большей общности, на объектах категории С2) при помощи группоида Пикара градуированных одномерных векторных пространств. Определен обощенный коммутатор от трех коммутирующих элементов группы в категорном центральном расширении и изучены его свойства. Доказано, что в случае элементов из мультипликативной группы двумерного локального поля, этот коммутатор совпадает с двумерным ручным символом. Получены применения этой конструкции к доказательству законов взаимности для двумерных ручных символов на алгебраической поверхности.

Методы исследования

В работе используются методы арифметической алгебраической геометрии, алгебраической К-теории, теории 2-категорий, а также общие методы теории многомерных локальных полей и многомерных аде л ей.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в алгебраической геометрии, теории чисел и теории категорий.

Апробация работы

Результаты работы докладывались автором на семинаре отдела алгебры и теории чисел (семинар И. Р. Шафаревича) и семинаре по арифметической алгебраической геометрии в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН (МИАН), на семинаре "Алгебраическая топология и ее приложения" (семинар имени М. М. Постникова) на Механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, на семинаре "Арифметика, геометрия и теория кодирования" в Независимом Московском университете, на городском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМП), на семинарах в Берлинском университете им. Гумбольда (Германия), в Саламан-ском университете (Испания), в Институте науки и технологии Манчестерского университета (Великобритания), в Даремском университете (Великобритания), в Институте им. Галилея университета Париж-13 (Франция), в Университете Индианы (Блумингтон, США), в Математическом институте им. Макса Планка (Бонн, Германия), в Кюшском университете (Фукуока, Япония), в Математическом исследовательском институте им. Хаусдорфа (Бонн, Германия), а также на международных конференциях, в том числе:

— Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского, 21-25 Мая 2007, Самара, Самарский государственный университет,

— Международная конференция "Global Fields 2-7 июля 2007, Москва, Независимый Московский Университет,

— Международная конференция "Geometry and Quantization посвященная памяти Андрея Тюрина, 9-23 September 2007, Москва, МИАН,

— Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию Анатолия Яковлева, 19-24 июня 2010, Санкт-Петербург, ПОМИ РАН,

— Международная конференция "Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения посвященная 120-летнему юбилею Бориса Делоне, 16-20 августа 2010, Москва, МИАН, МГУ им. Ломоносова,

— Симпозиум "Arithmetic days in Moscow (ETH-MIAN) 13-17 июня 2011, Москва, МИАН,

— Четвертая международная конференция по геометрии и квантованию "Geoquant 11-17 сентября 2011, Китай, Tianjin, Chern Institute of Mathematics,

— Международная конференция "Global Fields 25-28 октября 2011, Москва, Независимый Московский Университет,

— Международная конференция "Arithmetic Days 5-6 апреля 2012, Москва, Независимый Московский Университет,

— Международная конференция "Algebra and Geometry посвященная 65-летию А. Г. Хованского, 4-9 июня 2012, Москва, Высшая школа экономики. Независимый Московский Университет,

— Китайско-Российская конференция по теории чисел, 8-12 октября 2012, Москва, МИАН,

— Симпозиум по арифметической геометрии, 19-21 октября 2012, Япония, Fukuoka, Kyushu University,

— Четвертая международная конференция "Zeta functions 19-23 ноября 2012, Москва, Независимый Московский Университет,

— Международная конференция "The Langlands program and arithmetic 10-14 июня 2013, Санкт-Петербург, Международный математический институт им. JI. Эйлера.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих 8 работах автора: [14], [-58], [59], [15], [60], [16], [17], [18].

В совместных работах [15], [16] и [17] диссертантом был тщательно разработан и последовательно применен адекватный язык категорий C-¿ и С|г для описания обобщения гармонического анализа с классического одномерного на новый двумерный случай.

Совместная работа [60] основана на более раннем препринте [57] диссертанта. В этом препринте двумерный ручной символ (без знака) был получен как обобщенный коммутатор в категорном центральном расширении, но вместо группоида Пикара градуированных одномерных векторных просранств использовался группоид Пикара неградуированных одномерных векторных пространств. В этом же препринте из этой конструкции были выведены законы взаимности для двумерных ручных символов с точностью до знака.

Отметим также, что работа [60] получила свое развитие в следующих недавних препринтах диссертанта (эти препринты не вошли в текст диссертации). В препринте [61] описанные выше категорные центральные расширения были применены к определению и получению законов взаимности для двумерного символа Конту-Каррере. В препринте [62] категорные центральные расширения были применены к получению некоммутативных законов взаимности в случае ручного ветвления для гипотетического двумерного соответствия Ленглендса, описанного выше.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4-х глав, разбитых на параграфы, и списка литературы.

Содержание работы

Во введении приводится краткий обзор ранее известных результатов и результатов диссертации.

В первой главе определяются и исследуются категории Сп, С„п, а также категории Qr и С?.

В § 1.1 мы вводим категории Сп. В § 1.3 мы определяем категории Cf". Подобные категории были введены также в работе [31] и в работе [55]. (См. также совсем недавнюю статью [67] про сравнение этих двух подходов.) Наша конструкция категорий Сп и тесно связана с итерированным функтором lim, введённым А. А. Бейлинсоном в приложении к [31]. Главное отличие состоит в том, что мы рассматриваем непополненную версию lim, то есть фильтрованные пространства, но с морфизмами, индуцированными из lim.

Приведем определение категории СЦ".

Определение 9. Скажем что (I, F, V) — фильтрованная абелева группа, если выполнено: 1) V — абелева группа; 2) I — такое частично упорядоченное множество, что для

всех I,] б / существуют такие к,1 € I, что к<1<1ик<]<1;3)Е — такая функция на I со значениями из множества подгрупп в У, что если г < ] любые элементы из I, то -Р(г) С Е{3); 4) П Р(г) Е(г) = V.

г£/ г€/

Определение 10. Скажем, что фильтрованная абелева группа (Д, V) доминирует другую фильтрованную абелеву группу (12,Е2,У), если имеется такая сохраняющая порядок функция ф : 12 —>■ ¡1 с условиями: 1) для любого г £ /2 имеем ^(^(г)) = Е2(г); 2) для любого 7 € Л Существуют такие %\,г2 £ /2; шо <^)(гх) < ] < ф(г2).

Определение 11. Категория СЦ" есть категория конечных абелевых групп с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов. Тройка из

О —>У0 —>Уг —> У2 —> О

допустима, если она является точной тройкой абелевых групп.

Обпределим теперь по индукции объекты категории СЦп. Предположим, что уже определены объекты категории и понятие допустимой тройки в ней.

Определение 12. Объекты категории то есть ОЬ(С^п) — это фильтрованные абелевы группы (/, V) со следующими дополнительными структурами: 1) для каждых г <] £ I на абелевой группе Е(з)/Е(г) задана структура Ег>] £ ОЬ(С^"1); 2) для всех г < ] < к е I

0 —> Еги —> Еьк ——> О

является допустимой тройкой из

Пусть Ег = (Д,^,^), Е2 = (/2,^2,У2) и Е3 = (13,Е3,У3) принадлежат ОЬ(С^ш). Тогда скажем, что

О —> Ег —> Е2 —> Е3 —> 0 допустимая тройка из С„п, если выполнены следующие условия:

1) 0 —> Уг —> У2 —> У3 —> О

является точной тройкой абелевых групп; 2) фильтрация (/] . ^, Уг) доминирует фильтрацию где Е[(г) = ¿2(г) П 14 для всех г € 12; 3) фильтрация {13,Е3,У3) доминирует фильтрацию (/2, Е3.У3), где ^(г) = ^2(г)/^2(г) П Уг; 4) для всех г < ] е /2 тройка

п . ПЬ) . Ш ПЬ) , п

вд т т

является допустимой тройкой из С^^.

Определим теперь по индукции морфизмы в категории Предположим, что уже определены морфизмы в категории

Определение 13. Пусть Е\ = (/а, и Е2 = (/2, Е2 У2) принадлежат ОЬ(С^п). Тогда

группа МогСАп{Е\. Е2) состоит из таких элементов А е Нот (14. У2), что выполняются следующие условия 1) для каждого г 6 Д существует такой ] € /2; что А(Г1(г)) С 2) для каждого э € /2 существует такой г £ /1; что (¿)) С Е2(у), 3) для всех таких Ч < г2 е Д и < ]2 6 12, что А(Е1(г1)) С и Л(^(г2)) С индуцированное

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осипов, Денис Васильевич, 2013 год

Литература

1. Алгебраическая теория чисел, Сб. статей, Мир, М., 1969; пер. с англ.: Algebraic number theory, Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society with the support of the International Mathematical Union, eds. J. W. S. Cassels, A. Fröhlich, Academic Press, London, 1967.

2. M. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру., Мир, М., 1972.

3. А. А. Бейлинсон, "Вычеты и адели", Функц. анализ и его прил., 14:1 (1980), 44-45.

4. И. Н. Бернштейн, А. В. Зелевинский, "Представления группы GL(n, F), где F - локальное неархимедово поле", УМН, 31:3(189) (1976), 5-70.

5. Р. Я. Будылин, " Адельное построение класса Черна", Матем. Сборник, 202:11 (2011), 75-96.

6. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Мир, М., 1971.

7. Н. Бурбаки, Спектральная теория, Мир, М., 1972; перев. с франц.: N. Bourbaki, Elements de mathematique. Fase. XXXII: Theories spectrales. Chap. 1 et 2: Algebres normees. Groupes localement compacts commutatifs. Paris: Hermann (1967).

8. А. Вейль, Основы теории чисел, Мир, М., 1972; пер. с англ.: A. Weil, Basic number theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 144, Springer-Verlag, New York, 1967.

9. И. M. Гельфанд, Г. E. Шилов, Обобщенные функции вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними, Физматлит, М., 1959.

10. С. Ленг, Алгебраические числа, Мир, М., 1966; пер. с англ.: S. Lang, Algebraic numbers, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass. Palo Alto. London, 1964.

11. В. Г. Ломадзе, " Об индексе пересечения дивизоров", Изв. акад. наук СССР сер. мат., 44:5 (1980), 1120-1130.

12. Дж. Милнор, Введение в алгебраическую К-теорию. Мир, М., 1974.

13. Д. В. Осипов, " Соответствие Кричевера для алгебраических многообразий", Известия РАН: Сер. Мат., 65:5 (2001), 91-128.

14. Д. В. Осипов, " Центральные расширения и законы взаимности на алгебраических поверхностях", Матем. сб., 196:10 (2005), 111-136.

15. Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, " Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей. I", Изв. РАН. Сер. матем., 72:5 (2008), 77-140.

16. Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, " Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей. II", Изв. РАН. Сер. матем., 75:4 (2011), 91-164.

17. Д. В. Осипов, А. Н. Паршин, "Гармонический анализ и теорема Римана-РохаДоклады Академии наук, 441:4 (2011), 444-448.

18. Д. В. Осипов, " Неразветвленное двумерное соответствие Леглендса", Изв. РАН. Сер. матем., 77:4 (2013), 73-102.

19. А. Н. Паршин, "Поля классов и алгебраическая /^-теория", УМН, 30:1(181) (1975), 253-254.

20. А. Н. Паршин, " К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты", Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:4 (1976), 736-773.

21. А. Н. Паршин, "Локальная теория полей классов", Алгебраическая геометрия и ее приложения, Тр. МИАН СССР, 165, Наука, М., 1984, 143-170.

22. А. Н. Паршин, "Соответствие Кричевера для алгебраических поверхностей", Функц. анализ и его прил., 35:1 (2001), 88-90.

23. А. Н. Паршин, " Числа как функции: развитие одной идеи в Московской школе алгебраической геометрии", в Математические события XX века, М.: ФАЗИС, 2003, сборник под ред. Болибрух А.А. и др.

24. А. Н. Паршин, "Вопросы и замечания к программе Ленглендса", УМН, 67:3(405) (2012), 115-146.

25. А. П. Робертсон, В. Дж. Робертсон, Топологические векторные пространства, Мир, М., 1967; пер. с англ.: А. P. Robertson, W. J. Robertson, Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press (1964).

26. Ж.-П. Cepp, Алгебраические группы и поля классов. Москва, Мир, 1968.

27. Ж.-П. Серр, " Локальные множители дзета-функций алгебраических многообразий (определения и гипотезы)", Математика: периодический сборник переводов иностранных статей, 15:1 (1971), 3-13.

28. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М. 1981.

29. Е. Arbarello, С. De Concini, V. G. Кас, "The infinite wedge representation and the reciprocity law for algebraic curves", Theta functions - Bowdoin 1987, Part 1 (Brunswick, ME, 1987), Proc. Sympos. Pure Math., 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, 171-190.

30. S. Arkhipov, K. Kremnizer, " 2-gerbes and 2-Tate spaces", Arithmetic and geometry around quantization, 23-35, Progr. Math., 279, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2010.

31. A. A. Beilinson, "How to glue perverse sheaves", K-theory, arithmetic and geometry (Moscow University, 1984-86), Lecture Notes in Math., vol. 1289, Springer-Verlag, Berlin 1987, pp. 42-51.

32. A. Beilinson, S. Bloch, H. Esnault, " e-factors for Gauss-Manin determinants", Mosc. Math. J. 2:3 (2002), 477-532.

33. L. Breen, "Théorie de Schreier supérieure", Annales scientifiques de l'école Normale Supérieure, Sér. 4, 25:5 (1992).

34. L. Breen, "On the classification of 2-gerbes and 2-stacks", Astérisque 225, Société mathématique de France, Paris, 1994.

35. L. Breen, " Monoidal Categories and Multiextensions ", Compositio Mathematica, 117:3 (1999), 295-335.

36. F. Bruhat, "Sur les représentations induites des groupes de Lie", Bull. Soc. Math. Fr. 84 (1956), 97-205.

37. F. Bruhat, " Distributions sur un groupe localement compact et applications à l'étude des représentations des groupes p-adiques", Bull. Soc. Math. France, 89 (1961), 43-75.

38. J.-L. Brylinski, "Central extensions and reciprocity laws", Cahiers Topologie Geom. Différentielle Categ., 38:3 (1997), 193-215.

39. P. Deligne, " La formule de dualité globale", pp. 481-587 in Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963-1964 = SGA 4), vol. 3, edited by M. Artin et al., Lecture Notes in Math. 305, Springer, Berlin, 1973.

40. P. Deligne, " Sommes de Gauss cubiques et revêtements de SL(2), d'après S. J. Patterson", Séminaire Bourbah (1978/79), Exp. No. 539, pp. 244-277, Lecture Notes in Math., 770, Springer, Berlin, 1980.

41. P. Deligne, "Le symbole modéré", Publ. Math. IHES, 73(1991), 147-181.

42. V. Drinfeld, "Infinite-dimensional vector bundles in algebraic geometry: an introduction"', pp. 263-304 in The unity of mathematics (Cambridge, MA, 2003), edited by P. Etingof et al., Progr. Math. 244, Birkhàuser, Boston, MA, 2006.

43. J. Elgueta, " Representation theory of 2-groups on Kapranov and Voevodsky's 2-vector spaces", Adv. Math. 213:1 (2007), 53-92.

44. T. Fimmel, A. N. Parshin, An introduction to the higher adelic theory, preprint of the Steklov Mathematical Institute (1999).

45. E. Frenkel, X. Zhu, " Gcrbal representations of double loop groups", Int. Math. Res. Not. IMRN 17 (2012), 3929-4013.

46. D. Gaitsgory, D. Kazhdan, " Representations of algebraic groups over a 2-dimensional local field", Geom. Funct. Anal. 14:3 (2004), 535-574.

47. N. Ganter, M. Kapranov, " Representation and character theory in 2-categories ", Adv. Math. 217:5 (2008), 2268-2300.

48. N. Ganter, Inner products of 2-representatons, электронный препринт (2011), arXiv: 1110.1711, доступна на сайте http-//arxiv.org/abs/1110.1711

49. A. Huber, " On the Parshin-Beilinson adèles for schemes", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 61 (1991), 249-273.

50. M. M Kapranov, V.A. Voevodsky, " 2-categories and Zamolodchikov tetrahedraequations", Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991), 177-259, Proc. Sympos. Pure Math., 56, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

51 M M Kapranov, " Analogies between the Langlands correspondence and topological quantum field theory , Functional analysts on the eve of the 21st century, v 1 (New Brunswick, NJ, 1993), Progr Math , 131, Birkhauser, Boston, MA, 1995, 119-151

52 M M Kapranov, Semnnfinite symmetric powers, электронный препринт (2001), arXiv math/0107089, доступна на сайте http //arxiv org/abs/math/0107089

53 M Kapranov, 'Double affine Hecke algebras and 2-dimensional local fields", J Amer Math Soc 14 (2001), no 1 239-262

54 К Kato, " Milnor TC-theory and the Chow group of zero cycles', Applications of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Part I, II (Boulder, Colo , 1983), 241-253, Contemp Math , 55, Amer Math Soc , Providence, RI, 1986

55 К Kato " Existence theorem for higher local class field theory ", Invitation to Higher Local Fields (Munstei, 1999), Geom Topol Monogr 3, Geom Topol Publ , Coventry, 2000, 165-195

56 S Lefschetz, Algebraic topology, AMS Colloquium Publications 27, Amer Math Soc New York, 1942

57 Denis Osipov, To the multidimensional tame symbol, Preprints aus dem Institut fur Mathematik, 13 (Mathematik-Preprmts) ISSN 0863-0976, MathematischNaturwissenschaftlichen Fakultat II der Humboldt-Umversitat zu Berlin, 2003, 27 стр , доступна на сайте http //edoc hu-berhn de/docviews/abstract php?lang=ger&id=26204

58 Denis Osipov, " Adeles on n-dimensional schemes and categories Cn', Internat J Math , 18 3 (2007), 269-279

59 Denis V Osipov, " 77-dimensional local fields and adeles on 77-dimensional schemes ", Surveys in contemporary mathematics, London Math Soc Lecture Note Ser , 347, Cambridge Umv Press, Cambridge, 2008, 131-164

60 Denis Osipov, Xinwen Zhu, " A categorical proof of the Parshm reciprocity laws on algebraic surfaces", Algebra & Number Theory, 5 3 (2011), 289-337

61 Denis Osipov, Xmwen Zhu, Two-dimensional Contou-Carrere symbol and reciprocity laws, электронный препринт (2013), arXiv 1305 6032, 52 стр , доступна на сайте http //arxiv org/abs/1305 6032

62 D V Osipov, Noncommutatme reciprocity laws on algebraic surfaces a case of tame ramification, электронный препринт (2013), arXiv 1307 1995, 14 стр , доступна на сайте http //arxiv org/abs/1307 1995, принята к печати в Матем сб (2014)

63 А N Parshm, Chern classes, adeles and L-functions", J reme angew Math , 341 (1983), 174-192

64 A N Paishm, " Highei dimensional local fields and L-functions", Invitation to Higher Local Fields (Munster, 1999), Geom Topol Monogr 3, Geom Topol Publ , Coventry, 2000, 199-213

65 A N Parshm, " Integrable systems and local fields , Commun Algebra, 29 9 (2001), 41574181

66 D Prasad D , A Raghuram, " Representation theory of GL(ra) over non-Archimedean local fields", School on Automorphic Forms on GL(n), 159-205, ICTP Lect Notes, 21, Abdus Salam Int Cent Theoret Phys , Trieste, 2008

67 Luigi Previdi, " Locally compact objects m exact categories", Int J Math , 22 12 (2011), pp 1787-1821

68 D Quillen, " Higher algebraic /f-theory I Lecture Notes m Mathematics 341, pp 85-147, Springer 1973

69 W Raskmd, Abelian class field theory of arithmetic schemes", K-theory and algebraic geometry connections with quadratic forms and division algebras (Santa Barbara, CA, 1992), Proc Sympos Pure Math , 58, Part 1, Amer Math Soc , Providence, RI, 1995, 85-187

70 L Schwartz, Théorie des distributions Tome II, Paris Hermann (1959)

71 К Sugahara, L Weng, Arithmetic cohomology groups, preprint 2013, доступна на сайте http //www2 math kyushu-u ac jp/ weng/writings html

72 J Tate, "Residues of differentials on curves", Ann Sci École Norm Sup (4) 1 (1968), 149-159

73 T Wedhorn, The local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields", School on Automorphic Forms on GL(n) 237-320, ICTP Lect Notes, 21, Abdus Salam Int Cent Theoret Phys , Trieste, 2008

74 A Yekutieli, " An explicit construction of the Grothendieck residue complex, With an appendix by Pramathanath Sastry", Astérisque, vol 208, Soc Math France, Paris 1992

75 X Zhu The 2-group of linear auto-equivalences of an abelian category and its Lie 2-algebra, электронный препринт (2009), arXiv 0910 5699, доступна на сайте http //arxiv org/abs/0910 5699