Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного действием коммутативной группы Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Иваньшин, Петр Николаевич

• Иваньшин, Петр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иваньшин, Петр Николаевич

1.2 Поля алгебр........................................................18

1.3 К -теория С*-алгебр..............................................20

1.4 Счетные отношения эквивалентности............................23

1.5 Классификация отношений эквивалентности и разложение пространств...................................24

1.6 Почти-периодические функции................. . 26

# 1.7 Группоиды..........................................................26

1.8 Мера Хаара............................' . 29

1.9 Группоид гомотопических классов слоевых путей..............30

1.10 Теорема Каца......................................................30

1.11 Связь с теорией динамических систем............................31

2 Структура многообразия М со слоением, порожденным ло-4 кально свободным действием коммутативной группы Ли Н

и связностью Эресмана. 33

2.1 Существование связности Эресмана, инвариантной относительно действия коммутативной группы, порождающей слоение..................................................33

2.2 Основная теорема существования................................35

^ 2.2.1 Основные предположения................................35

2.2.2 Стационарная подгруппа трансверсали..................36

2.2.3 Я-дополнительная трансверсаль и связность Эресмана 36

2.2.4 Условия существования Я-дополнительной трансверсали ........................................................38

2.3 Существование Я-дополнительной трансверсали при условии существования компактной трансверсали..................46

2.3.1 Свойства множества переносов............................48

2.3.2 Существование инвариантной трансверсали, если группа переносов кристаллографическая........... . 52

2.4 Существование связности Эресмана при условии существования некомпактной трансверсали Р............................59

2.4.1 Построение компактной трансверсали..................59

2.5 Структура аффинного пространства на множестве Н -дополнительных трансверсалей ...............................63

2.6 Структура алгебры C™(G)......................................66

3 Стабилизация группы Ко фильтрации алгебры C*(G(M)). 72

3.1 Алгебра измеримых функций, ассоциированная с парой слоев. 72

3.2 Алгебра функций C*(G) на G(M)..............................76

3.2.1 Определение пространства С*(G)........... . 77

3.2.2 Отношение эквивалентности на группоиде G и определяемые им подалгебры алгебры С* (G)..............78

3.3 Фильтрация C*(G)................................................79

3.4 Теорема о стабилизации К0-групп C¡r(G)......................86

4 Структура алгебры функций Cq(M)\l . 88

4.1 Структура алгебры Cq{M)\l для слоений, удовлетворяющих условию 1............................................................89

4.2 Структура алгебры Cq(M)\l для слоений, удовлетворяющих условию II.......................................92

4.2.1 Метрики, инвариантные относительно диффеоморфизма ..........................................................92

4.2.2 Структура С0(М)\Ь........................................97

4.3 Структура алгебры Cq{M)\l для слоений, удовлетворяющих условию III..........................................................98

4.4 Общий случай...........................101

4.5 Семейство операторов типа Шредингера............105

4.5.1 Оператор типа Шредингера на универсальной накрывающей слоя........................105

4.5.2 Оператор типа Шредингера на слое...........107

4

■4 <Ф

Общая характеристика работы

В диссертации изучаются слоения, порожденные локально свободными действиями коммутативных групп Ли. Находятся условия, при которых такие слоения допускают связность Эресмана и адаптированную к ней трансверсаль. Изучаются алгебры функций на группоиде слоения, порожденного локально свободным действием коммутативной группы Ли и допускающего связность Эресмана.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного действием коммутативной группы Ли»

Актуальность.

Слоение, порожденное действием коммутативной группы, является естественным обобщением динамической системы. Основы качественной теории динамических систем заложены в работах А. Пуанкаре, ряд фундаментальных результатов в этой области был получен выдающимися советскими математиками А.Н.Колмогоровым, В.И.Арнольдом [2], Д.В.Аносовом [33]. Выдающиеся результаты в теории слоений были получены С.П. Новиковым [18] и М.Л.Громовым [8].

К настоящему времени опубликован ряд монографий, посвященных общей теории слоений, например. [48, 25].

Одним из мощных инстументов исследования динамических систем является применение методов фукционального анализа. А. Конн развил новый подход к построению инвариантов слоения на основе изучения С*-алгебр функций на группоидах [40] слоений с использованием топологической К -теории [16]. В связи с исследованием топологических свойств многообразий со слоениями нельзя не упомянуть монографию К.К. Мур и К.Шоке [49]. Ж.Рено, Ф.Каде [38] применяли эти методы, например, для решения задачи квантования скобки Пуассона на многообразии.

Слоения со связностями Эресмана были введены в работах P.A. Блюмен-таля и Дж.Дж. Хебды [35]. Они подробно исследовались в работах Я.Л. Ша-

пиро, Н.И.Жуковой [30, 31, 29], Р. Волака [53]. Отметим, что понятие связности Эресмана является обобщением структуры двуслоения, введенной Я.Л. Шапиро. Отметим, что несмотря на усилия многих ученых, вопрос о существовании связности Эресмана на слоении еще не полностью исследован. Например, для исследования существования связности Эресмана применялись тотально геодезические слоения [39, 45]. Существуют достаточно эффективные критерии существования связности Эресмана для слоений. Все они накладывают дополнительные требования на многообразие со слоением. Например, существование симплектической структуры и метрики с определенными свойствами, существование исчезающих циклов, отсутствие компонент Риба (в особенности на многообразиях размерности 3), отсутствие так называемых предельных циклов [5], наличие римановой метрики на многообразии и условия ограниченности длин стороны прямоугольников, построенных с помощью этой метрики. В настоящей работе эта проблема рассматривается для слоений, порожденных локально свободным действием коммутативной группы.

Цель работы. Исследование структуры многообразий со слоениями, порожденными действием коммутативной группы Ли и связностью Эресмана, а также алгебр функций, ассоциированных с группоидами слоений.

Методика исследования. В работе использовались методы теории слоений, дифференциальной топологии, функционального анализа, эрго-дической теории.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приведен в конце Введения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ЬаТеХ и содержит 114 страниц. Список литературы насчитывает 54 названия.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Для многообразия со слоением коразмерности 1, порожденным локально свободным действием группы Мп, в терминах действия этой группы найдены необходимые и достаточные условия существования связности

Эресмана.

2. Построена почти всюду непрерывная биекция многообразия М со слоением порожденным действием коммутативной группы Ли Я, и связностью Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы, на произведение Я-дополнительной трансверсали Р и фактора Я по инвариантной подгруппе Нр = {Н € Н\кр € Р}.

3. Для алгебры скрещенного произведения С* (С?) на группоиде слоения построена фильтрация, сходящаяся к С*(С); доказана стабилизация группы Ко алгебр из фильтрации.

4. Построено вложение алгебры функций Со(М)\ь, полученных ограничением непрерывных функций, обращающихся в 0 на бесконечности, на слой слоения, в Со(Ь) хП С([0,1]). Выяснено, как свойства этого вложения зависят от структуры множества точек пересечения слоя и трансверсали.

Содержание работы.

В первой главе излагаются сведения из [48, 25, 16, 13, 9]

В первой части второй главы изучаются условия существования на заданном многообразии со слоением коразмерности 1, порожденным действием коммутативной группы Ли, связности Эресмана, инвариантной относительно действия этой группы.

Определение 38. Назовем трансверсалъ Р Н-дополнительной к слоению F, если {hP}heH ~ слоение на М, дополнительное к F. Или же, что эквивалентно, если из hP Р) Р ф 0 следует hP = Р.

Определение 39. Будем говорить, что трансверсаль гомотопна Н-дополнительной, если на Н можно так задать новую групповую структуру, непрерывную относительно старой, что в новой групповой структуре на Н трансверсалъ Р станет Н -дополнительной.

Пусть слоение F допускает Я-дополнительную трансверсаль Р. Определим одномерное распределение Е на М следующим образом. Так как трансверсаль Р пересекает все слои слоения F (орбиты действия Я), для любой жбМ существуют р Е Р и h Е Н такие, что х — hp. Положим

Е(х) = dhp(TpP).

Теорема 15. Распределение Е есть связность Эресмана на М.

Рассмотрим теперь множество В = {(h,x) бЯх P\hx Е Р} .

Теорема 16. Пусть (М, F) — двумерное многообразие со слоением, порожденным локально свободным действием коммутативной группы Ли Н = Ш.. Пусть существует тотальная связная замкнутая трансверсалъ Р, для которой щ : В —» Р — глобально тривиальное накрытие.

Тогда Р гомотопна Н -дополнительной к слоению F.

Пусть dim il > 1 и расслоение В глобально тривиально. Определим перенос элемента h 6 Нх по g Е Нх следующим образом: Пусть (gx, h!) 6 {дх} х Ндх — элемент слоя расслоения В, лежащий в одной компоненте связности с (х, h) 6 {х} х Нх С В. Положим Пgh = gh' Е Нх.

Теорема 17. Если В глобально тривиальное накрытие и для всех х G Р и h € Нх перенос П5 — ограничение сдвига в W1, то Р гомотопна Н -дополнительной.

Далее рассмотрим частный случай, в котором глобальная трансверсаль слоения гомеоморфна S1.

Теорема 18. Если трансверсаль Р компактна, то тто : В —* Р — накрытие.

Центральным утверждением этого параграфа является

Следствие 1. Пусть на двумерном многообразии слоение F порождено локально свободным действием R. Пусть Р — тотальная связная компактная трансверсаль к F. Тогда Р гомотопна H -дополнительной.

В завершении мы приводим результат, говорящий о том, что, как и для линейных расслоений, инвариантные связности на многообразии со слоением образуют аффинное пространство.

Теорема 20. Пусть слоение коразмерности 1 на многообразии M порождено действием коммутативной группы Ли. Пусть еще множество H -дополнительных к слоению F трансверсалей не пусто. Тогда на множестве инвариантных связностей Эресмана можно ввести структуру аффинного пространства.

Во второй части второй главы строится биекция M —» Р х S. Для построения этого отображения доказаны следующие утверждения:

Теорема 21. Предположим, что существует такая точка хо £ M, что

1) Р(хо) — связное подмногообразие M размерности, равной коразмерности слоения.

1) Слой S, проходящий через точку Хо, пересекает Р(хо) только в Xq.

Пусть S' есть связное подмножество в H такое, что существует универсальное накрытие р : H S, со свойствами: р(е) = хо, p\s' : S' —> S есть биекция и р\$'0 : S'0 —» S° есть гомеоморфизм, здесь А° — внутренность множества А. Тогда существует почти всюду непрерывная биекция ф : M Р(хо) х S'.

Следствие 4. Пусть M — многообразие со слоением, порожденным действием коммутативной группы H. Пусть существует Р — множество точек, которые могут быть соединены с выделенной точкой xq Е Lq С M горизонтальной кривой, такое, что

1) Р — подмногообразие.

2) dim Р = п — р — коразмерности слоения.

Тогда существует сюръекция тг : Р х Lo —> М, которая почти всюду является локальным гомеоморфизмом, причем для каждого х G М тг непрерывно на Lq/S х {х}, S = Н/Нр, где Hp — группа изотропии трансверсали Р.

В третьей главе исследуются алгебры функций на группоиде слоения.

Построим неубывающую последовательность подалгебр алгебры C*(G). Покроем Р открытыми шарами радиуса е, то есть Р = (J U£(x). Опре-

хеР

делим алгебру C*ex(U£(x)) в каждом шаре U£(x) как в параграфе 2 этой главы была определена алгебра Ве для всего Р. Отношение эквивалентности для каждого шара U£ (х) определим как отношение эквивалентности на многообразии Sat(U£(x)) с горизонтальными кривыми, лежащими в U£(x).

Найдены необходимые и достаточные условия сходимости фильтрации алгебр к C*(G).

Предложение 17. Пусть М — многообразие со слоением, порожденным действием компактной коммутативной группы Ли Н и интегрируемой связностью Эресмана. Пусть Р есть горизонтальное инвариантное трансверсальное подмногообразие (М, F) максимальной размерности.

Предположим, что

1) Для каждой пары точек х,у G Р d(hx, hy) = const (действие Hp сохраняет расстояние между точками на Р).

2) Существует лишь конечное количество особых точек на Р.

3) Каждый слой слоения F пересекает Р в дискретном множестве точек.

Тогда Нш С* = C*(G).

£->0 £ Г V '

Исследованы на сходимость локальные алгебры группоида слоения:

Предложение 18. 1) Для любых двух слоев Ь\ и L2 слой Ь\ имеет насыщенную окрестность, которая не пересекает L2.

2) Пусть а) Н некомпактна, b) Нш С* = C*(G), с) для каждого

Ь 6 Р и х е Ь(~)Р существует II(х) С Р, и(х)(~)Ь = {ж}. Тогда для любых двух слоев Ь\ и Ьч слой Ь\ имеет насыщенную окрестность, которая не пересекает Ьч.

Теорема 24. Пусть слоение Р допускает Н -дополнительную трансверсаль Р такую, что множество особых точек Е конечно. Пусть

1нп С* = С*. Тогда существует такое £о > 0, что для любого 5 < £ о £-+0 '

к0(с;(с)) * щс;,5).

В последней главе изучается структура алгебры Со(М)\ь- В начале рассмотрены три простейших случая, для каждого из которых найдена структура исследуемой алгебры. На примере этих частных случаев показана связь исследуемой задачи с метрической классификацией гомеоморфизмов Р —> Р.

Предложение 21. Со(Ь) = Со(М)|х если Ь[}Р дискретно.

Предложение 24. Если М компактно и для отображения / : Р —► Р верно следующее а) для каждой точки х 6Е Р множество (/п(^))пе2 плотно в Р, Ь) существует f -инвариантная метрика на Р, то алгебра Со(М)\ь состоит из равномерно почти-периодических функций.

Предположим, что группа Нр имеет неподвижную точку х £ Р, и для каждой точки р Е Р р Ф х существует такая и(р) С Р — окрестность точки р, что -й[/(р) = ^Цр) > т0 есть мы считаем, что отношение эквивалентности, индуцированное на Р* = {х Е Р\ группа изотропии х есть Щ} действием Нр является отделимым. Таким образом, графики Н : Р —► Р проходят через точку сгущения, лежащую на диагонали. Предположим еще, что для любой точки р Е Р существует такой базис (ах,..., ап) группы Нр, что а^(р) —х к —> -Ьоо. То есть набор Нр есть сжатие [19].

Следствие 7. С0(М)\ь = С{ЬХ) х С0{Ь).

Теорема 26. Пусть для точки х Е Р последовательность апх содержит сходящуюся подпоследовательность ащх —> г Е Р, щ оо. Пусть Ь ~ слой слоения Р1, проходящий через точку х. Тогда существует инъективное отображение

Cq(M)\l Co(L) x JJC([0,1)).

z

Далее доказано, что в представлении, полученном выше, Co(L) не присутствует тогда и только тогда, когда Lf]P не содержит изолированные точки. Вторая часть х^С([0,1]) конечна тогда и только тогда, когда конечно множество предельных точек.

Далее исследована структура спектра семейства операторов типа Шре-дингера на многообразии со слоением. Пусть сначала Н = Тп и операторы действуют на универсальной накрывающей слоя.

Теорема 27. Пусть слои слоения F компактны. Тогда спектр Ах оператора Шредингера Нх непрерывно зависит от х 6 Р, то есть для любой точки s € Ах и любой окрестности U(s) Cl существует такая окрестность V(x) С Р, что для каждой х' 6 У(х) множество Ах> П U(s) непусто.

Пусть операторы действуют на слоях.

Теорема 28. Пусть все слои слоения F компактны. Тогда спектр оператора Шредингера Нь> непрерывно (см. Теорему 27) зависит от параметра р € Р.

Теорема 29. Спектр оператора Шредингера Нь = — ^ + У на L, где V есть почти-периодическая функция; не зависит от слоя L G F.

Апробация работы

Результаты докладывались на конференциях:

1. Международная конференция "Алгебра и Анализ - 2004", Казань, КГУ 2-9 июля 2004 г.

2. Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Москва, МГУ, 2003 г.

3. Международная конференция "New Geometry of Nature", Казань, КГУ, Август 25-Сентябрь 5 2003 г.

Также по результатам диссертации были сделаны доклады на международных молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чте-ния"(2003, 2004 гг.), на итоговых конференциях Казанского государствен-

ного университета (2001 - 2004 гг.), на заседаниях семинаров кафедры геометрии Казанского государственного университета и отдела геометрии Научно-исследовательского института математики и механики Казанского государственного университета.

Список публикаций автора по теме диссертации:

Статьи:

1. Ivanshin P.N. Algebras of functions on groupoid of some special foliations. / P.N. Ivanshin // Southwest J. Pure Appl. Math. - 2003. - Vol. 1. - Pp. 96-108.

2. Ivanshin P. N. Deformational quantization on manifolds with the action of ]Rn and integrable Ehresmann connection. / P.N. Ivanshin // Proc. Joint Intern. Conf. "New Geometry of Nature", Kazan State University, Kazan, Russia, August 25-September 5. - 2003. - Vol. 1. - Pp. 98-100.

3. Иваньшин П.Н. Структура алгебры ограниченных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на группоиде многообразия со слоением, порожденным действием коммутативной группы. /П.Н. Иваньшин // Изв. вуз-ов, Математика. - 2004. - N. 5. - С. 37-40.

4. Ivanshin P.N. Structure of function algebras on foliated manifolds. / P.N. Ivanshin // Lobachevskii J. Math. - 2004. - Vol. 14. - Pp. 39-54.

5. Иваньшин П.Н. Операторы на слоях слоения, порожденного действием R. / П.Н. Иваньшин // Уч. записки КГУ. 2005. т. 147, кн. 1. С. 55-64.

Тезисы конференций:

1. Иваньшин П.Н. Структура алгебры C*(G) на многообразии со слоением, порожденным действием коммутативной группы и связностью Эре-смана/ П.Н. Иваньшин // Волга-2002, Тезисы докладов. - Казань, Изд-во "Регент", 2002.- С. 24.

2. Иваньшин П.Н. Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного действием коммутативной группы / П.Н. Иваньшин // Движения в обобщенных пространствах, Межвуз. сб. науч. трудов. - Пенза, изд-во ПГ-ПУ, 2002.- С. 100 - 108.

3. Иваньшин П.Н. Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного локально свободным действием коммутативной группы Ли./ П.Н. Иваньшин // Труды геометрического семинара: Межвуз. темат. сб. науч. тр., Вып. 24. - Казань, 2003.- С. 63-68.

4. Ivanshin P.N. On certain operator algebras on the groupoid of the foliation. / П.Н. Иваныиин // Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика". - Москва, МГУ, 2003.- С. 811.

5. Иваныиин П.Н. Плотность слоев на многообразии со слоением, порожденным действием Rn / П.Н. Иваныиин // Волга-2004, Тезисы докладов. - Казань, Изд-во "Веда", 2004.- С. 51.

6. Иваныиин П.Н. Спектр одного семейства операторов на многообразии со слоением / П.Н. Иваныиин // Алгебра и Анализ - 2004, Материалы международн. конференции. - Казань, Изд-во Казанского математического общества, 2004.- С. 95-96.

Глава 1

Необходимые сведения.

1.1 Связность Эресмана слоения.

Все определения, замечания и утверждения этого параграфа взяты из [48]. Рассмотрим Еп со стандартными координатами на нем (ж1,..., хп~д, у1,...,?/9). Зададим модельное слоение на Еп следующим образом: слои есть прообразы точек при проекции 7Го : Еп —> Е9, ^(ж1,... ,хп~ч,

Пусть ф : Еп —» Е™ — локальный диффеоморфизм . Назовем ф локальным автоморфизмом модельного слоения, если компоненты ф1,..., фп удовлетворяют условию: = 0 для всех г = п — д + 1,..., п и 3 = \,... ,п — д. Последнее условие говорит о том, что в окрестности точки из II диффеоморфизм ф проектируется на диффеоморфизм Е9. Назовем связную компоненту т(х) точки х € II в прообразе определенной выше проекции локальным слоем или листом точки х.

Рассмотрим псевдогруппу ГП)9 локальных автоморфизмов модельного слоения. Теперь рассмотрим многообразие М размерности п. Слоеным атласом коразмерности д на М называется атлас А, в котором функции склейки принадлежат Гп>д. Слоение коразмерности д на М есть слоеный атлас коразмерности д, максимальный по включению.

Заметим, что псевдогруппа ГП)(?, определенная выше, сохраняет распределение в ТМ, заданное как ядро семейства форм ¿у1,... в координатных картах слоеного атласа слоения. Таким образом, можно определять слоение заданием интегрируемого распределения ТМ постоянной размер-

ности [48].

Примеры слоений:

Пример 1. Прямое произведение многообразий М х N. Слоение задано распределением, касательным к одному из многообразий.

Пример 2. Локально тривиальное расслоение р : Е —> М со слоем F. Слоение на Е задано распределением в ТЕ, касательном к слоям расслоения.

Пример 3. Иррациональная обмотка тора или слоение Кронекера. Рассмотрим тор Т2 ~ Ж2/2'?. Определим слоение как распределение, определенное формой adx + bdy, где а/Ъ € R \ Q. Тогда каждый слой слоения всюду плотен на Т2.

Пусть Р — погруженное подмногообразие многообразия М со слоением F. Пусть dimР = q, где q есть коразмерность слоения F.

Определение 1. Р есть подмногообразие трансверсальное к слоению F на многообразии (М, F), если в каждой точке х £ Р касательное пространство к Р дополнительно к касательному пространству к слою, проходящему через х.

Определение 2. Тотальная трансверсаль многообразия со слоением (М, F) есть трансверсальное подмногообразие Р, которое пересекает все слои слоения F.

Пример 4. Тотальная трансверсаль существует для каждого многообразия со слоением (М, F). Не всегда, однако, тотальная трансверсаль является связным подмногообразием (например, для слоения Риба [48]). Рассмотрим множество графиков отображений /с = ^¿у + с, с х G (0,1). Тогда на полосе 0 < х < 1 семейство этих графиков вместе с прямыми х = 0, х = 1 задают слоение. Вклеим его в цилиндр S1 xR с естественным слоением окружностями S1 х {t} на место одной из этих окружностей. Два слоя, ограничивающих полосу, не могут быть соединены связной транс-версалью. Вообще, процедура закручивания слоения [18] дает достаточно много примеров слоений без связной трансверсали.

Определение 3. Назовем два слоения Si и S2 на многообразии М дополнительными, если

1) сНт»!?! =сосИт52;

2) каждый слой вг — трансверсальное подмногообразие £2 и наоборот.

Определение 4. [30] Многообразие М, на котором задана пара дополнительных слоений (¿>1, ^г) называется двуслоением. Пусть на М задана метрика, которая в системе координат (ш\ х Ш2,ф), адаптированной к слоениям и $2, имеет вид с1з2 = дц(хк,хе)(1хгс1х:> + даъ(хс)с1хас1хь, г, к = 1,..., т, (т — (1ш51), а, 6, с = т + 1,... , п, сНт^ — п — т. Здесь есть карта на слое слоения такая что карта и, адаптированная к обеим слоениям одновременно есть щ х Ш2.

В этом случае (существуют карта и метрика ) пару (¿¡х,^.) на М называют Л-двуслоением.

Исследованию структур многообразий с В,-двуслоением были посвящены работы [29, 30, 31], и т.п. Примеры двуслоений:

Пример 5. Прямое произведение многообразий Ь = М х N. Слои слоения £1 есть подмногообразия {т} х]У,тбМ,а слои слоения 82 — М х {п} , п Е N. Пусть — метрика на первом многообразии, с/2 — на втором. В качестве метрики на произведении рассмотрим д = д\ + р2 •

Пример б. Слоения Зейферта [47, 1].

Пусть 7Г есть дискретная подгруппа группы гомеоморфизмов ТОР(С х И^) и предположим, что

1. Левое действие 1(0) группы С на С х Ж нормализовано 7г (й/тт =

2. Группа Г С 7гр] ¿(С) дискретна и нормальна в 7г.

3. Индуцированное действие <5 = тг/Г на V/ собственно (орбиты каждой точки по действию <2 замкнуты).

Многообразием Зейферта тогда называется Х = (Сх У/)/^. Тогда существует метрика на X — метрика на (7 х IV, инвариантная относительно действия группы тг.

Пример 7. Расслоенные слоения [48]. Многообразие М — тотальное пространство расслоения тт: М —Р со слоем — группой Ли С, допускающее глобальное сечение. Заметим, что такое расслоение тривиально.

Кроме того примеры приведены в работах Шапиро Я.Л., Жуковой Н.И., ряда других авторов.

Рассмотрим многообразие М со слоением F. Рассмотрим распределение Е С ТМ, дополнительное к F. Назовем кривую а : [0,1] —> М горизонтальной, если da/dt € Е. Кривую 7 : [0,1] —> М назовем вертикальной, если 7([0,1]) лежит в одном слое. Прямоугольником называется такое отображение П : [0,1] х [0,1] —> М, что для каждого s £ [0,1] П(*, s) — горизонтальная кривая, а для каждого t € [0,1] П(i, •) — вертикальная кривая. Кривые П(-, 0), П(0, •) называются начальными кривыми прямоугольника П.

Определение 5. Е — связность Эресмана, если для каждой горизонтальной кривой а и вертикальной кривой г найдется единственный прямоугольник, для которого и и т суть начальные кривые.

Определение 6. Параллелизм для слоения F на многообразии М со связностью Эресмана D есть семейство ... ,Xk, к = dimF, линейно независимых сечений TF. Параллелизм называется полным, если к

каждое сечение a{Xi, щ G R есть полное векторное поле на М. Гово-i=1

рят, что D сохраняет параллелизм, если каждое векторное поле Xi инвариантно относительно параллельного переноса вдоль горизонтальных петель на М.

Связность Эресмана естественно обобщает на слоения понятие связности на расслоении [11].

Теорема 1. [35] Пусть F — гладкое слоение на связном многообразии М, допускающее полный параллелизм. Пусть D — связность Эресмана на М, сохраняющая параллелизм листов F. Тогда множества — М| существует горизонтальная кривая, соединяющая у их] являются многообразиями, задающими слоение на М.

1.2 Поля алгебр.

Все определения параграфа взяты из [9]. Поля алгебр естественно появляются на группоидах многообразий со слоениями, например в [49].

Определение 7. Инволютивной нормированной алгеброй называется нормированная алгебра А, снабженная такой инволюцией х —> х*, что ||ж*|| = ||а;|| для каждого х Е А. Если, кроме того, А полна по норме || • ||, то А называется инволютивной банаховой алгеброй.

Определение 8. С*-алгеброй называется такая инволютивная банахова алгебра А, что ||а;||2 = ||ж*ж|| для любого х £ А.

Определение 9. С* -алгебра А называется элементарной, если существует такое гильбертово пространство Н, что А изоморфна алгебре компактных операторов ВС(Н) .

Определение 10. Аппроксимативной единицей нормированной алгебры А называется семейство («г)г<=/ элементов А, индексированное возрастающим семейством индексов и обладающее свойствами:

a) ||«г-|| < 1 при любом г 6 I;

b) |\щх — —» 0 и \\хщ — х\\ —» 0 при любом х € А.

Определение 11. Линейная форма / на инволютивной алгебре А называется положительной, если для любого х € А имеем /(х*х) > 0. Если А — инволютивная нормированная алгебра, то состоянием на А называется положительная непрерывная линейная форма / на А с ||/|| = 1. Непрерывная положительная форма / называется чистой, если,/^0 и все положительные непрерывные формы на А, мажорируемые /, имеют вид А/ (0 < А < 1).

Пусть Т — топологическое пространство. Непрерывное поле Е банаховых пространств на Т — это семейство банаховых пространств, снабженное таким множеством Г С П'-^ОО векторных полей,

гет

что:

1) Г — комплексное векторное подпространство в Д Е{Ь);

ьеТ

2) для каждого Ь ЕТ множество х(Ь), где х е Г, всюду плотно в Е(¿);

3) для каждого хеГ функция Ь —► ||ж(£)|| непрерывна;

4) Пусть х е П Е(Ь) — векторное поле; если для каждого Ь ЕТ и каж-

геТ

дого е > 0 существует такой ж'бГ, что ||ж(£) — а/(£)|| < £ в окрестности £, то х 6 Г.

Непрерывное поле С*-алгебр на Т — это непрерывное поле (А(£), Г) банаховых пространств на Т, где каждое A(t) снабжено умножением и инволюцией, превращающими его в С*-алгебру, и Г инвариантно относительно умножения и инволюции.

Теорема 2. [9] Пусть А — инволютивная алгебра, H — гильбертово пространство, 7г — представление А в H. Следующие условия эквивалентны:

1) единственными замкнутыми векторными подпространствами H, инвариантными относительно iт(А), являются 0 « Я;

2) коммутант 7т(А) в В(Н) сводится к скалярам.

Определение 12. Пусть А — инволютивная алгебра, H — гильбертово пространство, it — представление А в H. Говорят, что тт топологически неприводимо, если H ф 0 и к удовлетворяет одному из условий 1) или 2) предыдущей теоремы.

1.3 К-теория С*-алгебр.

Наиболее полное изложение этой темы, можно найти в [16]. Определение 13. Пусть А — С*-алгебра. Проекторы p,q G P[Â\ =

оо

{J {р G Gl(n, А)\р — ортопроектор} назовем стабильно эквивалентны-

п=1

ми, если существуют такие п G N и и G Gl(n-\-1, -А)), что р = ии* и q = и*и. Обозначим через Ко(А)+ множество таких классов эквивалентности.

Пусть А — С* -алгебра, допускающая аппроксимативную единицу.

Теорема 3. [9] Пусть R — множество представлений алгебры A, R! — множество топологически неприводимых представлений алгебры А, В — множество непрерывных положительных форм на А с нормой < 1, Р — множество чистых состояний алгебры А. Для любого х £ А имеем

||z||' = sup ||tt(z)|| = sup ||тг(а;)|| - sup/(Л)1/2 = sup f(x*x)1'2 < ||z|| тг eR neR' fçB feP

Отображение х —> есть полунорма на А, обладающая свойством

\Ы\' < 1МПЫГ, 1ИГ = IMI', 11***11' = IWÍ2

для любых х,у £ А.

Эта теорема позволяет ввести определение, необходимое для рассмотрения пределов С*-алгебр.

Пусть / — множество таких х € А, что ||ж||' = 0. Это замкнутый самосопряженный двусторонний идеал в А. Отображение х —> ||ж||' определяет при переходе к фактору норму на А/1. Снабженная этой нормой А/1 удовлетворяет всем аксиомам С*-алгебры кроме, может быть, аксиомы полноты.

Определение 14. Пополнение В инволютивной нормированной алгебры А/1 есть С*-алгебра, называемая обертывающей С*-алгеброй алгебры А.

Пусть N — коммутативная полугруппа с сокращением, содержащая нулевой элемент. Зададим на N х N отношение эквивалентности, положив (х, у) ~ (2, t) если х + t = у + z. Множество классов эквивалентности G(N) есть коммутативная группа относительно операции +:

[;х, у] + [z, t} = [x + z,y + t]

Определение 15. G(N) называется группой Гротендика полугруппы N. Через Ко(А) обозначается группа Гротендика полугруппы Kq{A)+ .

Если ф : А —► В есть * -гомоморфизм, то он индуцирует гомоморфизм ф* : Ко(А) -> К0(В).

Определение 16. Пусть (Ап)^=1 — последовательность С*-алгебр, такая что для каждого п задан * -гомоморфизм фп : Ап An+i. Тогда {Ап,фп)™=1 называется прямой последовательностью С*-алгебр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иваньшин, Петр Николаевич, 2005 год

Литература

h

•V»

X

[1] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И.Арнольд - Ижевск: РХД, 2000. - 400

[2

[3

[4

[5

[6

Р

[8

с.

Арнольд В.И. Эргодические проблемы классической механики / В.И. Арнольд, А. Авец - Ижевск: РХД, 2000. - 284 с.

Багаев A.B. Группы автоморфизмов G-структур конечного типа на орбиобразиях. / A.B. Багаев, Н.И. Жукова // Сибирский матем. ж. -2003. - Т. 44. - N 2. - С. 263-278.

Биркгоф Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф - Ижевск: РХД, 2001. - 408 с.

Брахман A.JI. Слоения без предельных циклов / A.JI. Брахман // Мат. Заметки. - 1971. - Т. 9. - С. 181-191.

Винберг Э.Б. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. / Э.Б. Винберг, О.В. Шварцман // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. - 1988. - Т. 29. - С. 147-259.

Владимиров B.C. Уравнения математичекой физики / B.C. Владимиров - М.: Наука, 1988. - 512 с.

Громов M.JI. Трансверсальные отображения слоений. / M.JI. Громов // ДАН СССР. - 1968. - Т. 182. - С. 255-258.

Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления / Ж. Диксмье - М.: Наука, 1974. - 320 с.

10] Каток А.Б. Введение в современную теорию динамических систем / А.Б. Каток Б.Хассельблат - М.: Факториал, 1999. - 767 с.

11] Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии, Т. 1 / Ш. Кобаяси, К. Номидзу - М.: Наука, 1981. - 344 с.

12] Корнфельд И.П. Синай Я.Г. Эргодическая теория / И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, C.B. Фомин - М.: Наука, 1980. - 384 с.

13] Левитан Б.М. Почти-периодические функции / Левитан Б.М. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 396 с.

14] Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ / Л. Люмис - М.: Изд. ин. лит., 1956. - 251 с.

15] Малахальцев М.А. (X, G) -Слоения. / М.А. Малахальцев // Известия вузов. Матем. - 1996. - N 7. - С. 55-65.

16] Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов / Дж. Мерфи - М.: Факториал, 1997. - 336 с.

17] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон - М.: ГИТТЛ, 1957. - 480 с.

18] Новиков С.П. Топология слоений. / С.П. Новиков // Труды моек. мат. общ-ва. - 1965. - Т. 14. - С. 248-278.

19] Опойцев В.И. Обращение принципа сжимающих отображений. / В.И. Опойцев // УМН. - 1976. - T. XXXI. - Вып. 4. - С. 169-199.

20] Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение / Ж. Палис, В. Ди Мелу - М.: МИР, 1986. - 300 с.

21] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин - М.: РТТЛ, 1938. - 316 с.

22] де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / Ж.де Рам - М.: Изд. иностр. лит., 1956. - 251 с.

[23] Рид М. Методы современной математической физики. 4. Анализ операторов / М. Рид , Б. Саймон - М.: МИР, 1982. - 430 с.

[24] Рофе-Бекетов Ф.С. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов с периодическим коэффициентами. / Ф.С. Рофе-Бекетов // ДАН СССР. - 1963. - Т. 152. - N. 6. - С. 1312-1315.

[25] Тамура И. Топология слоений / И. Тамура - М.: МИР, 1979. т 320 с.

[26] Фоменко А.Т. Курс гомотопической топологии / А.Т.Фоменко, Д.С. Фукс - М.: Наука, 1989. - 528 с.

[27] Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории / П.Р. Халмош - М.: Изд. ин. лит., 1959. - 148 с.

[28] Хирш М. Дифференциальная топология / М.Хирш - М.: МИР, 1979.

- 280 с.

[29] Шапиро Я.Л. О двулистной структуре на приводимом римановом многообразии. / Я.Л. Шапиро // Известия вузов. Матем. - 1972. - N 12.

- С. 102-110.

[30] Шапиро Я.Л., Жукова Н.И. О глобальной структуре приводимых многообразий. / Я.Л. Шапиро, Н.И. Жукова // Известия вузов. Матем. -1980. - N 10. - С. 60-62.

[31] Шапиро Я.Л. Слоения на некоторых классах римановых многообразий. / Я.Л. Шапиро, Н.И. Жукова, В.А. Игошин // Известия вузов. Матем. - 1979. - N 7. - С. 93-96.

[32] Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу / А.Н. Шерстнев - Казань: УНИПРЕСС, 1998. - 360 р.

[33] Anosov D.V. Flows on closed surfaces and behavior of trajectories lifted to the universal covering plañe. / D.V. Anosov // J. Dyn. Control Syst. -1995. - Vol. 1. - N 1. - Pp. 125-138.

[34] Bálint P. Ergodicity of two hard balls in integrable polygons [Электронный ресурс] / Р. Bálint, S. Troubetzkoy. - Режим доступа: http://arXiv:math.DS/0310331, свободный.

[35] Blumenthal R.A. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations / R.A. Blumenthal, J.J. Hebda // Quart. J. Math. - 1984. - N 35. - Pp.. 383-392.

[36] Bourbaki N. Éléments de mathématique. Livre II. Algèbre / N. Bourbaki

- Paris: Hermann, 1960. - 410 p.

[37] Bourbaki N. Éléments de mathématique. Livre VI. Intégration / N. Bourbaki - Paris: Hermann, 1972. - 322 p.

[38] Cadet F. Deformation quantization using groupoids. Case of toric manifolds [Электронный ресурс] / F. Cadet - Режим доступа: http://arXiv:math.OA/0305261, свободный.

[39] Cairns G. Feulletages géodésibles. Thèse / G. Cairns - USTL Montpellier, 1987.

[40] Connes A. Noncommutative geometry / A. Connes - San Diego, CA: Academic Press, 1994. - 661 p.

[41] Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre differentiable. / C. Ehresmann // Colloq. Topologie Bruxelles - 1950. -Pp. 29-55.

[42] Feldman J. Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras, I. / J. Feldman, С.С. Moore // Transactions of the American Mathematical Society. - 1977. - N 234. - Pp. 289-324.

[43] Furstenberg H. Strict ergodicity and transformation of the torus. / H. Furstenberg //American Journal of Mathematics - 1961. - Vol. LXXXIII.

- N 3. - Pp. 573-602.

[44] Hajduk B. Invariant metrics on G -spaces [Электронный ресурс] / В. Hajduk, R. Walczak - Режим доступа: http://arXiv:math.GT/0105230, свободный.

[45] Hermann R. A sufficient condition that a map of Riemannian manifolds be a fibre bundle. / R. Hermann // Proc. A.M.S. - 1960. - Vol. 11. - Pp. 236-242.

[46] Landsman N.P. Quantization of Poisson algebras associated to Lie algebroids [Электронный ресурс] / N.P. Landsman, B. Ramazan - Режим доступа: http://arXiv:math.DG/0001005, свободный.

[47] Lee К.В., Seifert manifolds [Электронный ресурс] / К.В. Lee, F. Raymond

- Режим доступа: http://arXiv:math.DG/0108188, свободный.

[48] Molino P. Riemannian foliations / P. Molino - Boston: Birkhauser, 1988.

- 339 p.

[49] Moore C.C. Global analysis on foliated spaces / C.C. Moore, C. Schochet

- Berlin: Springer-Verlag, 1988. - 337 p.

[50] Murray F.J. On rings of operators. / F.J. Murray, J. von Neumann / / Ann. of Math. - 1936. - Vol. 37. - Pp. 116-229.

[51] Renault J. The Radon-Nikodym problem for approximately proper equivalence relations [Электронный ресурс] / J. Renault - Режим доступа: http://arXiv:math.OA/0211369, свободный.

[52] Shin K.C. On the shape of spectra for non-self-adjoint periodic Schrodinger operators [Электронный ресурс] / K.C. Shin. - Режим доступа: http://arXiv:math.ST/0404015, свободный.

[53] Wolak R.A. Ehresmann connections for lagrangian foliations. / R.A. Wolak // Journal of Gometry and Physics - 1995. - Vol. 17. - Pp. 310-320.

[54] Xia J. The spectra of random pseudo-differential operators. / J. Xia // Trans, of the AMS. - 1994. - Vol. 345. - N 1. - Pp. 381-411.