Применение аналогов задачи факторизации к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Атнагулова Рушания Ахъяровна

• Атнагулова Рушания Ахъяровна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Атнагулова Рушания Ахъяровна

над матрицами

§ 1.2. Фробениусовы подпространства

§ 1.3. Серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом

§ 1.3.1. Серия

§ 1.3.2. Серия

Глава 2. Задача факторизации с пересечением

§ 2.1. Основная конструкция

§ 2.2. Примеры

Глава 3. Задача факторизации, когда одна из подалгебр состоит из

кососимметрических матриц

§ 3.1. Основная теорема

Глава 4. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи задачи Римана с

малым параметром

§ 4.1. Сведение систем ОДУ к волчкам

§ 4.2. Волчки Манакова с малым параметром

§ 4.3. Основная теорема и ее доказательство

§ 4.4. Другой вид волчка Манакова с малым параметром

Глава 5. Коммутативные фробениусовы алгебры

§ 5.1. Основная теорема и вспомогательные результаты

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение аналогов задачи факторизации к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений»

Введение

Работа посвящена применению групп и алгебр Ли для развития теории задачи факторизации, задачи Римана и уравнения Янга-Бакстера.

Впервые понятие r-матрицы — задачи факторизации появилось в квантовом варианте метода обратной задачи в работах Е.К. Склянина, Л.А. Тахтаджяна, Л.Д. Фаддеева [35, 34, 38, 43], метод классической r-матрицы возник в работах Склянина Е.К. [33, 52].

После работы [34], посвященной модели Ландау-Лифщица, фундаментальная роль r-матрицы в классическом методе обратной задачи стала общепризнанной.

Л.А. Тахтаджанян, Л.Д. Фадеев [37] вместо оригинального представления Лакса и соответствующей вспомогательной линейной задачи используют представление нулевой кривизны и иную вспомогательную линейную задачу.

Общее представление нулевой кривизны для изучения нелинейных уравнений впервые использовали Захаров В.Е. и Шабат А.Б. [21], и носит сейчас название схемы Захарова-Шабата. Систематическое исследование различных редукций в представлении нулевой кривизны было проведено Михайловым А.В. [49].

Уравнение Янга-Бакстера впервые появилось в работах [57], [42]. В квантовом случае термин "Уравнение Янга-бакстера"был введен Тахтаджяном Л.А., Фаддеевым Л.Д. [38].

Метод задачи Римана для построения решений общего уравнения нулевой кривизны и термин "процедура одевания"принадлежат Захарову В.Е. и Шабату А.Б. [21]. Обсуждение редукций в задаче Римана содержится в работе [49]. Кричевер построил схему общего локального решения уравнения нулевой кривизны в работе [25] и первоначально применена в [24].

Скобка Ли-Пуассона на фазовом пространстве д* была введена и изучались С.Ли [48]. Эта пуассонова структура и порожденная ею симплектическая структура на орбитах коприсоединенного действия алгебры Ли д в дальнейшем переоткрывалась Березиным Ф.А., Константом [3, 23, 46]. Современное изложение свойств Ли-Пуассона и теории пуассоновых многообразий содержится в работе

[56].

Термин алгебра токов для бесконечномерной алгебры Ли С(д) = С(£>С[[Л, А-1]] взят из квантовой теории поля, они также называются алгебрами петель.

Схема построения интегрируемых систем, использующая разложение алгебры Ли в линейную сумму двух подалгебр, была предложена Б. Константом на конечномерном примере модели Тода со свободными концами [46].

В работах Реймана А.Г., Семенова-тян-Шанского М.А.,

Френкеля И.Б. и других авторов [30, 41, 55, 51, 50, 54] эта схема была усовершенствована и применена к широкому классу алгебр Ли, включающему и бесконечномерные алгебры; вторая структура алгебры Ли с коммутатором [, ]о была введена в Рейманом, Семеновым-тян-Шанским в [55, 51]. Решетихин, Фаддеев обнаружили связь r-матричной формулировки с алгеброй Ли C0(g) в [31].

Работа Семенова-тян-Шанского М. А. "Что такое классическая г-матрица"[32] является одной из первых работ, где методом задачи факторизации решаются обыкновенные дифференциальные уравнения, а не уравнения в частных производных, была установлена связь метода r-матрицы с методом задачи Римана, что привело к новой точке зрения на уравнение Янга-Бакстера. Классическая r-матрица — модифицированное уравнение Янга-Бакстера, независящее от спектрального параметра.

Метод факторизации возник для уравнения в частных производных. В работах Семенова-тян-Шанского М.А. [32], Голубчика И.З., Соколова В.В. [10], [11], [12] был применен для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Связанное с классическими r-матрицами классическое уравнение Янга-бакстера было подробно изучено в работах [1, 2, 16]. В работе Белавина А.А., Дринфельда В.Г. [1] описаны изотропные решения уравнения Янга-Бакстера, связанные с разложением алгебры токов в изотропные подагебры, билинейные формы на них нулевые.

В работах Голубчика И.З., Соколова В.В. [13, 15], разобраны неизотропные разложения алгебры токов — суммы двух подалгебр, которые также связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных.

Построение солитонных решений различных уравнений с использованием процедуры одевания рассмотрели Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. [19].

В теории левосимметрических алгебр, используемых для построения интегрируемых уравнений большую роль играют фробениусовы алгебры Ли и фробениусовы коммутативные алгебры Ли. Элашвили А.Г. в работе [40] описал фробениусовы алгебры Ли.

Диссертация продолжает исследования, начатые в следующих работах Голубчика И.З. и Соколова В.В.:

1) "Согласованные скобки Ли и уравнение Янга-Бакстера"[13]. Всякая пара согласованных скобок Ли, имеющая общую

инвариантную форму, порождает непостоянное решение классического уравнения Янга-Бакстера. Неизотропные разложения сводятся к скобкам Ли, сумма которых сама скобка Ли. Уравнение Янга-Бакстера рассмотрено в тензорной форме

[г1'2(А, м), г1'3(А, V)] + [г1'2(А, м), г2'3(м, V)] + [г1'3(А, V), г2'3(м, V)] = 0,

которое зависит от А, м. Рассмотрена новая конструкция, позволяющая строить примеры уравнения Янга-Бакстера. Строится квантовое решение уравнения (новая серия примеров).

2) "Еще одна разновидность классического уравнения Янга-

Бакстера"[10].

В работе рассматривается уравнение Янга-Бакстера с квадратом Я{[Я{а),Ъ] + [а, Я(Ь)]) = [Я{а), Я(Ь)] + Я2{[а, Ъ]),

где Я-оператор на некоторой алгебре Ли С и а,Ъ е С.

3)"Об интегрируемых системах, порожденных постоянным решением уравнения Янга-Бакстера"[11].

Строится класс интегрируемых систем вида ^ = тдху + Г(д,ду), где д(х,у,Ь) — вектор, а г — постоянная матрица.

4) "Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков"[15].

Дополнительная подалгебра задается решением уравнения Янга-Бакстера с квадратом.

5) "О некоторых обобщениях метода факторизации"[12]. Рассматривается обобщение метода факторизации на случай,

когда алгебра Ли С = У 0 У2, где У и У2 — некоторые векторные пространства, принадлежащие соответственно подалгебрам С+ и С-, С+ ПС- = 0. Соответствующие квадратичные системы сводятся к линейным системам с переменными коэффициентами.

В работе рассматривается операторное уравнение Янга-Бакстера и связанная с ним задача факторизации, в тензорной форме уравнение не рассматривается. Научная новизна.

В диссертации представлены следующие основные новые результаты.

1) в третьем параграфе главы 1 построены новые серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом, основанные на теореме о связи уравнения Янга-Бакстера с квадратом с дополнительными подалгебрами в прямой сумме алгебр матриц, а также с новыми примерами подалгебр, являющихся фробениусовыми подпространствами;

2)в главе 2 сформулирована проведено обобщение результатов Голубчика И.З., Соколова В.В. о задаче факторизации с пересечением на случай трех подпространств, построены некоторые динамические системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли 5/(2) и 50(3, 1).

Основная цель диссертации — привести новые примеры и методы, основанные на группах и алгебрах Ли в задаче факторизации с пересечением, задаче Римана с малым параметром и уравнении Янга-Бакстера с квадратом.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы.

Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описаны постановка задачи, методы исследования и приведено краткое содержание работы.

В главе 1 рассмотрены новые решения уравнения Янга-Бакстера с квадратом.

Глава посвящена уравнению Янга- Бакстера с квадратом, то есть

уравнению

Я([Я(а),Ь] - [Я(Ь),а]) = Я2([а,Ь]) + [Я(а),Я(Ь)], (1.2)

где а, Ь € д, д — алгебра Ли и Я — линейный оператор на векторном пространстве д. Строятся две новых серии операторов Я, удовлетворяющих этому уравнению. Для их построения используются подалгебры Ли в алгебре матриц, дополнительные к подпространству матриц с нулевой последней строкой.

Уравнение (1.1) играет важную роль в теории интегрируемых систем [15, 10, 14]. Главная цель настоящей главы — построить новые серии решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом (1.1).

В первом параграфе главы 1 исследованы однородные дополнительные подалгебры в алгебре многочленов над матрицами.

Уравнение (1.1) исследуется в предположении, что д — алгебра Ли матриц вида д = СтохтоФ...ФСтохто, являющаяся прямой суммой нескольких экземпляров алгебры Ли Стохто. Алгебра Ли матриц д является прямой суммой алгебр Ли матриц т х т над полем С.

1) Подалгебру д+ алгебры д назовем диагональной, если она состоит из всех элементов вида {(а, а,..., а)|а € Стохто}.

2) Подалгебру д- алгебры д назовем дополнительной к д+, если прямая сумма подпространств д- и д+ совпадает с алгеброй Ли д или, другими словами, выполнены следующие 2 условия:

д+ ф д- = g, д+ п д- = {0}.

3) Подалгебру Н в алгебре многочленов СТОхт[х] назовем однородной, если подалгебра удовлетворяет условию хН С Н.

Определен оператор Я : Стхт ^ Стхт формулой

(агр, а2р,..., атр)+ = -(Я(р),..., Я(р)). (1.3)

Здесь

д = (р,р,...,р) е д+, Х = (аъ...,ат),

где аг — различны, а через (Хд)+ обозначена проекция элемента Хд на д+ параллельно д-.

Основным результатом данного параграфа является теорема: Теорема 1.1. Пусть д+ — диагональная подалгебра алгебры д, д- — однородная подалгебра, дополнительная к д+. Тогда оператор Я, задаваемый формулой (1.2) удовлетворяет уравнению (1.1) на

д+.

Во втором параграфе главы 1 исследуются фробениусовы подпространства, построены два примера подалгебр Ли в алгебре матриц, дополнительных к подпространству матриц с нулевой последней строкой.

Определение 1.1. Подпространство в пространстве матриц Стхт назовем фробениусовым подпространством, если всё пространство матриц является прямой суммой этого подпространства и пространства матриц с нулевой последней строкой.

Для построения серии примеров операторов Я, удовлетворяющих уравнению Янга-Бакстера с квадратом, в работе будут рассмотрены фробениусовы подпространства, являющиеся подалгебрами Ли.

Пример 1.1. Рассмотрим множество Н, состоящее из блочных матриц следующего вида

Н =

( (

Лх 0

0 Л2

\

V

\

0

0

V

0 0 ... ЛТО1у 0 0

(1.4)

ЕЛА 0

5 ... 5 Мш2 Мш!

Л5, м Е С. Эти матрицы состоят из блоков размера ш^ х ш^-, где г = {1, 2,3},^ = {1, 2, 3}, индекс й е {1,..., шх}, ш3=1, ш = шх + ш2 + шз). Матрицы ^ в формуле (1.5) — фиксированные диагональные матрицы размера ш2 х ш2, Л5,м — произвольные параметры. При этом параметры Л5 в блоке (2,2) те же, что в блоке (1, 1). Множество Н образует алгебру Ли. Рассмотрим матрицу

Т =

(

Е

ш1 0

00

Еш2 0

1 . . . 1 0 1

где Еш. — единичная матрица размера ш^ х ш^.

Поскольку Н является подалгеброй Ли, подпространство ТНТ-1 - также подалгебра Ли.

Предложение 1.1. Подпространство ТНТ фробениусовым (см. определение 1.1).

является

Пример 1.2. Рассмотрим множество Н, состоящее из блочных

\

матриц следующего вида

/Л п п\

к =

Лх 0 0 Л2

0 0

V

V

о о ... Л

0 0 0

Ш1 /

0

0

0

0 0

0

0 0

. . . Мш2 Мш2 + 1 . . . Мшз+ш2 Мш у

(1.5)

Л^м € С. Эти матрицы состоят из блоков размера х т^ где г = {1,2,3,4},; = {1,2,3,4}, индекс 5 € {1,...,тх}, ш4=1, ш = шх + ш2 + ш3 + ш4). Матрицы А в формуле (1.7) — постоянные матрицы, которые необязательно диагональны, Л5,м — произвольные параметры. При этом параметры Л5 в блоке (2,3) те же, что в блоке (1, 1).

Последняя матрица есть матрица вида (1.7) с Л{ = 0, т.е. множество Н матриц вида (1.7) образует алгебру Ли.

Далее рассмотрим матрицу

( Т? п п п\

Т =

Е ш1 0 0 0

0 Е ш2 0 0

0 0 Е 0

Подалгебра подпространством.

Ли

1 . . . 1 0

ТНТ-1

ч

01

является

фробениусовым

В третьем параграфе главы 1 с использованием подалгебр из §1.2 главы 1 построены две серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом.

Серия 2 опирается на метод, основанный на предложении 2 из работы [10]. Эта серия решений уравнения (1.1) связана с 3-градуированными алгебрами Ли. Серия 1 является принципиально новой. Соответствующая конструкция опирается на теорему 1.1. из §1.1.

Серия 1. Рассмотрено кольцо ш х ш матриц Сшхш над полем комплексных чисел. Элементы этого кольца будем записывать в виде блочных матриц с блоками, образуемыми матрицами размера Шi х Шj (г = {1, 2,3},^ = {1, 2,3}), где сумма шх + ш2 + ш3 = ш.

Пусть Нх, Н2, Н3 — подалгебры Ли в алгебрах матриц

С

ш1хш1 ,Сш2хш2 ,Сш3хш3 соответственно и Н — фробениусовы

подпространства в этих алгебрах матриц (см. определение 1.1). Обозначим через

Ьх =

* Л

V

0 * * 0

/

¿2 =

0

7

¿3 =

0

0

V

Н

3

* Н2 * *0*

множества матриц, звездочками обозначены произвольные блочные матрицы соответствующих размеров. Ясно, что Ь,1 — подалгебры Ли в матрицах Сшхш и Ь = Ьх + Ь2 + Ь3 = Сш Заметим, что

шш

¿1 П ¿2 П ¿3 =

1Н 0 0 ^

V

0 Н2 0

0 0 н

3

Обозначим строкой,

пространство матриц в д с нулевой последней

= т-1ь4т, т =

Ш1

0

00

ЕТО2 0

0 ... 0\ 0 ... 0

Е

тз

V

/

ч ,0... и \0 ... 1

Тогда ¿4—подалгебра Ли.

Предложение 1.2. Пересечение пространств нулевое:

П ¿2 П ¿3 П ¿4 = {0}.

(1.6)

Предложение 1.3. Пусть

д = Стхт ф ... ф Стхт; д+ = {(а, а,... ,а)|а е Стхт};

д- = (¿1, ¿2, ¿3,^4).

Тогда оператор, задаваемый формулой (1.2) удовлетворяет уравнению Янга- Бакстера с квадратом (1.1) на д+. Серия 2.

В работе [10] содержатся следующие предложения.

Предложение 1. Пусть д - произвольная 3-градуированная алгебра Ли, р1—подалгебра Ли в до и в—элемент из д1, такие что

¿гшрх = ¿гшдх и [рх, е] = дх. Тогда р2 = вжр(а^е)(р1 0 д-х) является дополнительной подалгеброй к д0.

Предложение 2. Пусть Я : д —^ д диагонализуем, Лх,...,Л^ — его собственные значения и Gi— соответствующие собственные подпространства. Тогда Я удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера с квадратом (1.1), если и только если подпространства С и С + Су являются подалгебрами Ли в д для всех различных г и ^ от 1 до к.

Нам также понадобится следующее замечание, сделанное в работе [10].

Замечание 3. Предложение 2 позволяет построить к— параметрическое семейство решений Я = Е¿=1 Лi Пi (где Пi — линейный оператор проекции на уравнения (1.1), если известно разложение алгебры Ли д в прямую сумму подпространств С таких, что С и Сявляются подалгебрами Ли в д. Параметрами служат числа Л^ которые могут быть выбраны произвольно.

В серии 2 для конкретных 3-градуированных алгебр Ли построена серию решений уравнения Янга-Бакстера с квадратом. Пусть д— алгебра матриц размера (2ш + п) х (2ш + п) над полем комплексных чисел. Элементы из д будем запишем в виде блочных матриц. Блоки образуются матрицами размера ш^ х Шj (г = {1, 2,3},^ = {1, 2,3}, ш1 = п, ш2 = ш3 = ш.

Обозначим через Со, С1, 1 следующие подпространства,

задающие градуировку:

Со = {

и * о^

* * о

у0 0 *у

}, ^ = {

С-1 = {

^0 о Л 0 0 * у0 0 0у

^0 0 0^ 000 у* * 0у

Е Е Е С-1. Легко проверить, что g = 00 0 С1 0

С-1 — 3-градуированная алгебра Ли.

Обозначим через Р1 подалгебру в С0, образуемой матрицами

Я =

0 0 ^ 11 12 0 у 0 0 Я2!

утхш>

где Я1 ,Я2— подалгебры Ли в алгебрах матриц Cnxn и Cn являющиеся фробениусовыми подпространствами (примеры в § 1.2). /1,/2 состоят из блочных матриц, у которых последняя строка нулевая. Ясно, что Е1— подалгебра Ли. Заметим, что = dimg1.

Зададим элемент в из формулой

в =

0 0

0... 0 0... 1

00 00

Бт 0

/

}

Условие [Р1, е] = С1 из предложения 1 справедливо.

Положим

Р2 = ежр(а4)(Р1 0 С-1)

и

С1 = Со, С2 = Р2 П (Со 0 С1), С3 = Р2 П (Со 0 С-1).

Легко видеть, что Д— подалгебры Ли в С и

С1 + С2 = Со + С1, С1 + С3 = Со + С—1, С2 + С3 = Р2

— также подалгебры Ли. Согласно замечанию к предложению 2 из работы [10] получили операторы, удовлетворяющие Янгу-Бакстеру с квадратом.

В главе 2 ассмотрена задача факторизации с пересечением о задаче факторизации с пересечением на случай трех подпространств. С помощью этого обобщения построены конкретные системы типа волчков, связанные связанные с алгебрами Ли 5/(2) и йо(3, 1). Согласно общей конструкции, введенной Голубчиком И.З. и Соколовым В.В. в работе [12], такие системы сводятся к решению системы линейных уравнений с переменными коэффициентами. Для них найден полный набор первых полиномиальных интегралов и инфинитезимальных симметрий.

В первом параграфе главы 2 рассмотрена основная конструкция, построено обобщение метода факторизации с пересечением на случай, когда ^ — конечномерная алгебра Ли,

Я = Я0 0 М 0 N (прямая сумма векторных подпространств), где Я0 — подалгебра в Я, а М, N — Я0-модули, Я0 + М, Я0 + N — подалгебры в Я .В эту конструкцию включается важный частный случай, когда Я является градуированной алгеброй Ли. Рассмотрено разложение

Я = Я0 0 М 0 N

конечномерной алгебры Ли Я над К в прямую сумму (как векторных подпространств) подалгебры Ли Я0 и двух векторных подпространств М и N, таких, что

• М, N - Я0-модули;

• Я0 + М, Я0 + N - подалгебры в Я.

Основным результатом данного параграфа является теорема: Теорема 2.1. Пусть линейный оператор Я задается формулой

Я(д) = а-1д-1 + а0д0 + о^д1, (2.3)

где д = д-1 + д0 + д1, д-1 Е N, д0 Е Я0, д1 Е М, а-1,а0,а1 Е К. Тогда уравнение

д = [Я(д ),д], д|^=0 = д0, (2.4)

сводится с помощью конструкции Голубчика-Соколова к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

к

Следствие 2.1. Пусть Я = ф Яг — градуированная алгебра

г=-к

-1 к

Ли и N = ф Яг, М = ф Я». Тогда выполнены все условия теоремы

г= —к г=1

и уравнение

д = а-1 & + «одо + а ^ дг, д

(2.5)

¿=—к

¿=1

сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

В втором параграфе главы 2 построены некоторые динамические системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли 5/(2) и йо(3, 1). Согласно общей схеме, эти системы могут быть сведены к линейным системам ОДУ с переменными коэффициентами. Для всех этих систем найдены полиномиальные первые интегралы и инфинитезимальные симметрии. Показано, что системы могут быть проинтегрированы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Приведены два важных примера, вытекающих из следствия 1.

Далее рассмотрен пример отличается от предыдущих тем, что алгебра ^ не является Ж-градуированной.

В главе 3 рассмотрен случай, когда в задаче факторизации одна из подалгебр состоит из косометрических матриц. В данной главе волчок (3.4) сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и этот результат является новым интегрируемым уравнением.

Основным результатом данной главы является теорема:

Теорема 3.1. Пусть А — ассоциативная алгебра над Л, * — инволюция алгебры А и А — прямая сумма подпространств А+ и А-, причем выполнены следующие условия:

1. А+ — подалгебра Ли в А(-),

2. кососимметричность а* = —а, для всех а Е А+,

3. [[А_,А_]+,А_] с А—.

Тогда волчок

(д_ )*д + дд_ = д|^=о = до (3.4)

сводится к решению линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Примеры.

— кососимметрическая матрица, * — транспонирование, — блочно-диагональная матрица, при г > ] блок с номером (г,^) состоит только из нулевой матрицы, г < ^ содержит произвольные матрицы, при г = ^ треугольная Тп., либо . # = Л3х3.

Приведены примеры на трехмерных матрицах.

В четвертой главе показано, что широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к волчкам путем добавления вспомогательных переменных. При помощи волчка Манакова с малым параметром получен многопараметрический волчок, получаемый предельным переходом малого параметра £ к нулю. Предельный переход получается при помощи интегральной формулы Коши от решения исходного уравнения, которое решается при помощи задачи Римана. Приведен класс квадратичных систем уравнений типа волчка Манакова, которые решаются при помощи системы Римана, данный класс является новым.

Важным примером волчка является уравнение движения п-мерного твердого тела — волчок Манакова [27].

В первом параграфе главы 4 рассматривается сведение систем ОДУ к волчкам.

Глава посвящена квадратичным системам дифференциальных уравнений вида

(дг)* = ^ 3 Яз Як,

з,к

где Я1,...,яп — переменные, зависящие от £, азк — постоянные комплексные числа, эти системы будем называть волчками.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(я»= Я(я1,...,ф,*), 1 < г < /, д»|^=0 = Яг(0), (4.5)

где Ег — дифференцируемые функции нескольких переменных. В работе [8] была доказана следующая теорема: Теорема 4.1. Пусть в записи функций Ег входят в виде суперпозиции лишь полиномы от переменных и функции ехр(х); 1п(х); 1/х; Пх, п>1; б1п(ж); еов(х). Тогда путем добавления большого числа вспомогательных переменных решение системы (4.1) сводится к квадратичной системе ОДУ

Яг = Г(Я)Я, Я|г=0 = Я(0), (4.6)

где д— столбец переменных д1,...,Яп, п > 1 и г(д)— матрица размера п х п, г(я)р= г(р)я для всех столбцов я и р.

В втором параграфе главы 4 описаны волчки Манакова с малым параметром.

Пусть МП(С) — кольцо п х п матриц над полем комплексных чисел С, Н — подалгебра Ли в комплексных матрицах, А — спектральный параметр, д- = Н[А-1] — алгебра полиномов от А-1 с нулевым свободным членом, д+ = Н[А] — алгебра полиномов от А, д = Н[А, А-1] = д- 0 д+ — алгебра полиномов Лорана.

В данном параграфе рассматривается случай волчка Манакова, когда общий вид элемента задается формулой Ь = АР + д, Р Е МП(С), где д — переменная матрица, зависящая от £, Р — постоянная матрица.

В данной главе волчок Манакова имеет вид. Пусть /(Ь, А-1) — полином от Ь и А-1, задаваемый формулой

к

/ = ^ £4атА-т+1Ьт + а1А-1£Ь2, (4.7)

т=1

а^ Е С, а^ не зависят от £. Следовательно, уравнение

[/(Ь,А-1)+,Ь] = Ь (4.8)

есть представление волчка Манакова, корректно определенного на МП(С). Здесь /(Ь, А-1)+ — проекция на д+, /(Ь, А-1)+ = АР1+Л(д), где Р1 — постоянная матрица, Л — некоторый линейный оператор. Пусть

Р = £-1В + А (4.9)

постоянная матрица (от £, Л не зависит), где £ — малый параметр, и А, В — матрицы размерности п х п.

/п С1 П \ I Т? П П \

В =

V

0 Ек 0

0 0 Ек

0 0 0

А =

V

0 0

0 С 0

0 0 И

/

(4.10)

(Е, С, И — постоянные матрицы размера к х к, п = 3к). Получаемый волчок имеет вид

Яг =

т

т

т>0 ¿=0

(4.11)

где в1 = а1£ и при г > 1 вг = £4аг. Это уравнение интегрируется при помощи задачи Римана.

Решение волчка (4.11) будем искать в виде блочной матрицы

Я =

^11 Я12

Я21 Я22 Я23 \Я31 Я32 Я33)

где дц — матрицы размера к х к. Используя малость параметра £ и нильпотентность матрицы В, ниже из данного волчка Манакова были выведены новые примеры интегрируемых волчков.

^ А1 В А12 В А3 дА14 В А5 В А1

6_

0 0 0 у0 0 0

сумма степеней всех наборов неотрицательных /1,...,/в равна т — 5.

^0 0 ЯтЫ^

/

¿1 + ¡2 + ¿3 + 14 + ¡5 + ¡6 = т — 5.

В третьем параграфе главы 4 с использованием метода спектрального параметра доказано, что волчок Манакова равносилен некоторой системе ОДУ в кольце матриц МП(С), т.е. что спектральный параметр пропадает в уравнении (4.8) и оно принимает вид (4.11). Смысл введения спектрального параметра в том, что волчок Манакова (4.11) явно решается при помощи задачи Римана.

В окончательном уравнении (4.31) малый параметр пропадает. Из нильпотентности матрицы В следует, что этот главный по параметру £ член уравнения (4.12) зависит от двух постоянных некоммутирующих матриц — в отличие от стандартного волчка Манакова.

Сформулируем основной результат первой главы.

Теорема 4.4. Система Лакса (4.8) равносильна системе

д* = Но(д) + £Н1(д) + £2Н2(д) + £зНз(д) + £4Н4(д), д|^=о = д(0),

(4.12)

где д(0) не зависит от £, координаты векторов Н^(д) — полиномы от координат вектора д.

При £ ^ 0 система (4.12) равносильна волчку

Г0 0 £т атЯтЫ^

00 00

0 0

/

+ ао(дВ + Вд), д

= д*.

Лт(дз1) = ^ Р11 Н1з дз1^/4 Н1б.

(4.13)

Волчок (4.8), а значит и (4.13) интегрируется при помощи задачи Римана.

В четвертом параграфе главы 4 рассмотрен другой вид волчка Манакова с малым параметром.

В главе 5 рассмотрены коммутативные фробениусовы алгебры.

В первом параграфе главы 5 рассматриваются фробениусовы алгебры и подпрямые произведения алгебр.

Коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра A над полем нулевой характеристики P называется фробениусовой, если существует линейный функционал f : A —> P, ядро которого не содержит ненулевых идеалов алгебры А.

Алгебра A является подпрямым произведением алгебр Ai, 1 < i < k, если существуют идеалы 1 в A, 1 < i < k, такие что Р|k=1 1 = {0} и A/1 — Ai.

Основным результатом данного параграфа является теорема:

Теорема 5.1. Произвольная, коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра с единицей, над полем нулевой характеристики является подпрямым произведением фробениусовых алгебр.

Предложение 5.1. A фробениусова (т.е. существует f Е A* : Kerf не содержит ненулевых идеалов A) ^ A A — Aa.

Алгебра A фробениусова ^^ сопряженный модуль изоморфен модулю Aa.

Лемма 5.1. A фробениусова над P и a Е A. Тогда факторалгебра

А/апп(аА) = А фробениусова. Пусть J — ненулевой идеал.

Лемма 5.2. Пусть А фробениусова, / — ненулевой линейный функционал А —> Р, тогда = annJ. Лемма 5.3. ¿гтрJ + ¿гтрJг = ¿гтрА. Лемма 5.4. = J.

Лемма 5.5. Если J = Ек=1 — идеал А, то (Ек=1 ¿¿)г =

пк=1 ¿г.

Введем основные понятия и обозначения. Задача Римана.

Пусть Г- единичная окружность на комплексной плоскости, ориентированная по часовой стрелке, и задано отображение С из Г во множество обратимых матриц п х п. Задача Римана состоит в нахождении матричнозначной функции У = У (Л), Л Е С со следующими свойствами:

• У— аналитична в С \ Г.

• предел У—(Л) для У на Г справа и предел У+(Л) на Г слева связаны для Л Е Г уравнением У—(Л) = У+(Л)С(Л).

• У (Л) стремится к единичной матрице при Л ^ то.

Задача факторизации. Классический метод факторизации [46, 32, 6, 12] (другое название: схема Адлера-Константа-Саймса) позволяет проинтегрировать систему обыкновенных

дифференциальных уравнений следующего специального вида:

U = [U+,U], U (0) = Uo. (5.6)

Здесь U(t) — функция со значениями в алгебре Ли G, являющейся прямой суммой векторных пространств G+ и G-, каждое из которых - подалгебра в G. Через U+ обозначена проекция U на G+. Можно считать для простоты, что G вложено в алгебру матриц. Решение задачи (5.6) задается формулой

U (t) = A(t)UoA-1(t). (5.7)

В формуле (5.7) матрица A(t) определяется как решение задачи факторизации

A-1B = exp(-Uot), A G G+, B G G-, (5.8)

где G+ и G- — группы Ли алгебр G+ и G-. Если G- — идеал, задача факторизации решается явно: A = exp((U0)+t), B = Aexp(-U0t). В случае, если G+ и G- — алгебраические группы, условия A G G+ и A exp(-U0t) G G- представляют собой систему алгебраических уравнений, из которой (при t близких к нулю) матрица A находится однозначно.

Уравнение Янга-Бакстера. В работе Белавина А.А., Дринфельда В.Г. [1] изучены следующие классические операторные уравнения Янга-Бакстера:

R([R(a),b] + [a,R(b)]) = [R(a),R(b)],

R([R(a),b] + [a,R(b)]) = [R(a),R(b)] + [a,b],

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Атнагулова Рушания Ахъяровна, 2015 год

Список литературы

[1] Белавин А.А., Дринфельд В.Г. , О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли // Функциональный анализ и его приложения, 1982, т.16, вып. 3, с.1-29.

[2] Белавин А.А., Дринфельд В.Г., Уравнения треугольников и простые алгебры Ли. // Препринт ИТФ., 1982-18, Черноголовка: ИТФ.

[3] Березин Ф.А., Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функциональный анализ и его приложения. 1:2 (1967), 1-14.

[4] Борисов А. В., Мамаев И. С., Динамика твердого тела. // Ижевск: РХД, 2001, 384 с.

[5] Веселов А. П., Об услових интегрируемости уравнения Эйлера на so(4). // ДАН СССР, 1983, т. 270, №6, стр. 1298-1300.

[6] Голод П. И., Гамильтоновы системы на орбитах аффинных групп Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. //В кн.: Физика многочастичных систем, Киев: Наукова Думка, 1985, т. 7, стр. 30-39.

[7] Голубчик И.З., Конечномерные алгебры над полями.Пособие по спецкурсу. //Уфа: БГПИ, 2000. - 41 с.

[8] Голубчик И.З., Системы ОДУ и волчки. // Ученые записки: сб.науч.статей. Вып.10.-Уфа: Изд-во БГПУ, 2009.- с.12-15.

[9] Голубчик И.З., Треугольные отображения и интегрируемые волчки. // Казань: Международная конференция по алгебре и анализу. Тезисы сообщения, 1994.

[10] Голубчик И.З., Соколов В.В., Ещё одна разновидность классического уравнения Янга-Бакстера // Функциональный анализ и его приложения. 34:6 (2000), 75-78.

[11] Голубчик И.З., Соколов В.В., Об интегрируемых системах, порожденных постоянным решением уравнения Янга-Бакстера"// Функц. анализ и его прил., 30:4 (1996), 68-71.

[12] Голубчик И. З.,Соколов В.В., О некоторых обобщениях метода факторизации. // ТМФ, 1997, т. 110, №3, стр. 339-350.

[13] Голубчик И. З, Соколов В. В., Согласованные скобки Ли и уравнение Янга-Бакстера. // ТМФ, 2006, т. 146, №2, стр. 195207.

[14] Голубчик И. З. , Соколов В. В. , Согласованные скобки Ли и интегрируемые уравнения типа модели главного кирального поля //Функц. анализ и его прил., 36:3 (2002), 9-19.

[15] Голубчик И.З., Соколов В.В., Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков" // ТМФ, 141:1 (2004), 3-23.

[16] Дринфельд В.Г., Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл уравнений Янга-Бакстера. // ДАН СССР, 1983, т.268, №2, с.285-287.

[17] Дринфельд В.Г., Соколов В.В., Алгебры Ли и обобщенные уравнения Кортевега-де Фриза. // В книге „Современные проблемы математики, итоги науки и техники". - Т. 24. - М: ВИНИТИ, 1984. - C. 81-180.

[18] Захаров В.Е., Манаков С.В., О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шредингера.

// Теоритическая и математическая физика, 1974, т.19, № 3, с.332-343.

[19] Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П. Питаевский Л.П., Теория солитонов: метод обратной задачи // Изд.: Наука; Год: 1980; Стр: 319.

[20] Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д., Уравнение Кортевега-де Фриса - вполне интегрируемая гамильтонова система. // Функциональный анализ и его приложения, т. 5, вып. 4, 1971, С. 18-27.

[21] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II. // Функциональный анализ и его приложения, 1979, т.13, №3, с. 13-22.

[22] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах.// ЖЭТФ, 1979, т.61, № 1, с.118-134.

[23] Кириллов А. А., Элементы теории представлений // Изд.: Наука; Год: 1972.

[24] Кричевер И. М, Аналог формулы Даламбера для уравнения главного кирального поля и уравнения sine-Gordon // ДАН СССР, 1980, т. 253, № 2, с.288-292.

[25] Кричевер И. М, Нелинейные уравнения и эллиптичекие кривые //В кн.: Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники). М.;ВИНИТИ, 1983, т.23, с.79-136.

[26] Кулиш П.П., Склянин Е.К., О решениях уравнения Янга-Бакстера. //В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III. Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1980, т.95, с.129-160.

[27] Манаков С.В., Замечание об интегрировании уровней Эйлера динамики n-мерного твердого тела// Функциональный анализ и его приложения. - 1976. - Т. 10. - № 4. - C. 93-94.

[28] Мищенко А. С. , Фоменко А. Т. , Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли. // Известия АН СССР, сер. мат., 1978, т. 42, №2, стр. 396-415.

[29] Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А., Интегрируемые системы. Теоритико-групповой подход.-Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 351 с.

[30] Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А., Френкель И.Б., Градуированные алгебры Ли и вполне интегрируемые динамические системы // ДАН СССР, 1979, т.247, № 4, с. 802-804.

[31] Решетихин Н. Ю., Фаддеев Л.Д., Гамильтоновы структуры для интегрируемых моделей теории поля. // Теор. и мат. физика, 1983, т. 56, № 3, с. 323-343.

[32] Семенов-тян-Шанский М.А., Что такое классическая г— матрица // Функциональный анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып. 4, 17-33.

[33] Склянин Е.К., Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. // Зап. наун. сем. ЛОМИ, 1980, т. 95, с.55-128.

[34] Склянин Е.К., Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнения Шредингера. // ДАН СССР, 1979, т. 244, № 6, с.1337-1341.

[35] Склянин Е.К., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Квантовый метод обратной задачи.1. // Теоретическая и математическая физика, 1979, т.40, №2, с.194-220.

[36] Соколов В.В., Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so(4). // Доклады РАН, 2004, т. 394, №5, стр. 602-605.

[37] Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Гамильтонов подход в теории солитонов. // М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

[38] Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д., Квантовый метод обратной задачи и XYZ-модель Гейзенберга. // УМН, 1979, т. 34, № 5, с. 13-63.

[39] Фоменко А.Т., Симплектическая геометрия. Методы и приложения. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 413 с.

[40] Элашвили А.Г., Фробениусовы алгебры Ли. // Функциональный анализ и приложения, 1982, т.16, вып.4, с.94-95.

[41] Adler M, On a trace functial for formal pseudodifferential operators and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries type equations. // Invent. Math., 1979, v. 50, № 2, p. 219-248.

[42] Baxter R.J. , // Ann.Phys.,1972, v.70, № 1, p. 193-228.

[43] Faddeev L.D., Quantum completely integrable models in field theo-ty. // In: Mathematical Physics Review. Sect. C.: Math. Phys. Rev. 1. Harwood Academic, 1980, v. 1, p. 107-155.

[44] Gardner C. S, Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R. M, Method for solving the Korteweg-de Vries equation.// Phys.Rev.Lett., 1967, v. 19, №19, p. 1095-1097.

[45] Igor Z. Golubchik, Vladimir V. Sokolov, Generalized operator Yang-Baxter equations, integrable ODEs and nonassociative algebras // J. Nonlinear Math. Phys. 7 (2000), no. 2, 184-197.

[46] Konstant B., Quantization and representation theory.

// Proc. of Symposium on Representations of Lie groups. Oxford 1977, London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 1979, v.34, p.287-316.

[47] Lax P. D., Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.// Comm. Pure Appl. Math., 1968, v. 21, № 5, p. 467-490.

[48] Lie S. (unter Mitwirkung von F.Engel, Theorie der Tranforma-tonsgruppen.// Bd. 1-3.- Lpz.: Teupner, 1888, 1890, 1893.

[49] Mikhailov A.V., The reduction problem and the inverse scattering method. // Physica D, v. 3D, No.1+2, 73-117 (1981).

[50] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A., Reduction of Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations.II. // Invent.Math., 1979, v. 54, № 1, p. 81-100.

[51] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A., Reduction of Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations.II. // Invent.Math., 1981, v. 63, № 3, p. 423-432.

[52] Sklyanin E.K., On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation. // Preprint LOMI, E-3-79, Leningrad 1979.

[53] Sokolov V. V. , Wolf T. , New integrable quadratic Hamiltonians on so(4) and so(3,1). // Journal Phys. A: Math. Gen., 2006, 39, p. 1915-1936.

[54] Symes W., Systems of Toda type, inverse spectral problems and representation theory. // Invent.Math., 1980, v. 59, № 1, p. 13-51.

[55] van Moerbeke, Mumford D., The spectrum of difference operators and algebraic curves. // Acta Math., 1979, v. 143, p. 93-154.

[56] Weinstein A., The local structure of Poisson manifolds. //J. Diff. Geometry, 1983, v.18, N 3, p.523-557.

[57] Yang C.N, // Phys.Rev.Lett., 1967, V.19, N 23, P.1312-1314.

Список публикаций по теме диссертации

[58] Атнагулова Р. А., Голубчик И. З. Новые решения уравнения Янга-Бакстера с квадратом.

// Уфимск. матем.журн., 4:3 (2012), с.6-16.

[59] Атнагулова Р. А., Соколова О. В. Задача факторизации с пересечением.

// Уфимск. матем.журн., 6:1 (2014), с.3-11.

[60] Атнагулова Р.А., Голубчик И.З. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи задачи Римана с малым параметром.

// Ученые записки: сборник научных статей. Выпуск 11.-Уфа: Издательство БГПУ, 2010, с.7-10.

[61] Атнагулова Р.А., Голубчик И.З. Коммутативные фробениусовы алгебры.

// Ученые записки: сборник научных статей. Выпуск 14.-Уфа: Издательство БГПУ, 2013, с.4-6.

[62] Атнагулова Р.А. Волчки Манакова с малым параметром.

// Алгебра, логика и приложения. Тезисы.- Красноярск, 2010, с.110.

[63] Атнагулова Р.А. Волчки Манакова с малым параметром.

// Математика.Компьютер.0бразование-2011. Сборник научных тезисов. Выпуск 18, Москва, Ижевск, 2011, с.127.

[64] Атнагулова Р.А., Голубчик И.З. Коммутативные фробениусовы алгебры.

// Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова, и молодежной школы-конференции "Современные проблемы алгебры и

математической логики"; Казань, 25-30 сентября 2011.-Казань: КФУ, 2011, с.40-41.

[65] Атнагулова Р.А. Разновидность классического уравнения Янга-Бакстера. //VI Уфимская международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения". Сборник тезисов. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа,

2011, с.25.

[66] Атнагулова Р.А. Интегрируемый волчок, задаваемый модифицированным уравнением Янга-Бакстера.

// Международная конференция «Алгебра и линейная оптимизация», посвященная 100-летию С.Н.Черникова. Институт математики и механики УРО РАН, Екатеринбург,

2012, с.10.

[67] Атнагулова Р. А. Задача факторизации, когда одна из подалгебр состоит из кососимметрических матриц.

// Красноярск: Международная конференция "Алгебра, логика и приложения". Тезисы сообщения, 2013, с.18-19.