Задача сопряженного теплообмена плоских и осесимметричных тел в сверхзвуковом потоке совершенного газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Решетько, Сергей Михайлович

• Решетько, Сергей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Решетько, Сергей Михайлович

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. проблема сопряженного теплообмена: различнее постановки задачи.

§1.1. Стационарные задачи сопряженного теплообмена. Постановка задачи и параметры подобия.

§ 1.2. Плоская пластина конечной толщины.

§1.3. Острый клин и конус в сверхзвуковом потоке.

§ 1.4. Плоские и осесимметричные затупленные тела.

§ 1.5. Нестационарные задачи сопряженного теплообмена.

Глава 2 обзор исследований по проблеме сопряженного теплообмена.

§2.1. Стационарные задачи сопряженного теплообмена.

Плоская пластина (35). Острые клинья и конусы (40). Плоские и осесимметричные затупленные тела (42).

§ 2.2. Нестационарные задачи сопряженного теплообмена.

Плоская пластина (45). Теплообмен на затупленных телах (45).

§ 2.3. Методы численного анализа.

Глава 3 стационарная задача сопряженного теплообмена.

§ 3.1. Постановка задачи и дифференциальные уравнения.

§ 3.2. Методы численного анализа.

§ 3.3. Затупленные клиновидные и конические тела. Построение системы координат.

Построение семейства координатных кривых т) = const (73).

Ограничивающие кривые (74). Семейство эллипсов - гипербол (76). Процедура решения (79). Теорема о непересекаемости координатных линий (81). Примеры построения координатной сетки (83).

Глава 4 исследование температурного режима ПЛОСКИХ и осесимметричных тел.

§4.1. Влияние геометрических параметров на максимальную температуру тела.

§ 4.2. Влияние пространственности течения. Влияние угла скольжения и осесимметричности течения.

§ 4.3. Параметры подобия и обработка максимальной температуры в параметрах подобия.

§ 4.4. Температурный режим затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое.

Глава 5. нестационарная задача сопряженного теплообмена для плоских и осесимметричных

§5.1. Постановка задачи.

§ 5.2. Методика численного анализа и тестовые расчеты.

§5.3. Тестовые расчеты.

§5.4. Примеры расчетов.

Прогрев многослойной конической оболочки (133).Влияние локальных стоков тепла (138).

§ 5.5. Упрощенное решение задачи.

Постановка задачи (142). Аэродинамическое нагревание затупленных конусов (145).

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача сопряженного теплообмена плоских и осесимметричных тел в сверхзвуковом потоке совершенного газа»

В рамках механики сплошной среды при больших числах Рейнольд-са справедлива классическая постановка задачи об обтекании тела потоком вязкого газа. Она состоит из двух последовательно решаемых задач -внешней и внутренней. Внешняя задача описывается уравнениями Эйлера и определяет распределение давления вдоль обтекаемой поверхности, а также распределение скорости на внешней границе пограничного слоя. Внутренняя задача в общем случае описывается нестационарными уравнениями Прандтля и определяет распределение напряжения трения и теплового потока на омываемой поверхности.

В задачах внешней аэродинамики при анализе температурного режима обтекаемых поверхностей часто используется предположение об их абсолютной нетеплопроводности. Такой подход облегчает решение задачи и оправдан во многих случаях, в особенности, если материал обтекаемой поверхности обладает малой теплопроводностью. Такая ситуация имеет место, например, при движении спускаемых JTA в плотных слоях атмосферы, обтекаемые поверхности которых покрыты теплозащитными материалами.

При движении с большими сверхзвуковыми скоростями ЛА самолетного типа, обтекаемые поверхности которых изготовлены из традиционных авиационных материалов с относительно большой теплопроводностью, ситуация меняется и теплофизические свойства материала могут оказывать существенное влияние на температурный режим обтекаемой поверхности. Для учета этого влияния необходимо решать задачу сопряженного теплообмена, т. е. наряду с уравнениями Прандтля должно интегрироваться уравнение теплопроводности, определяющее поле температуры в оболочке тела. При этом в рамках постановки задачи сопряженного теплообмена задачу, описываемую уравнениями пограничного слоя, называют внешней, а задачу, описываемую уравнением теплопроводности, — внутренней. Эти две задачи связываются между собой уравнением локального баланса тепла, имеющим место на границе раздела сред.

При больших сверхзвуковых скоростях передние кромки крыльев и носовые части фюзеляжей JIA имеют некоторый радиус затупления, величина которого оказывает существенное влияние на их аэродинамическое нагревание и на волновое сопротивление JIA. Для уменьшения аэродинамического нагревания необходимо выбирать размер радиуса затупления максимально большим, а для уменьшения волнового сопротивления минимально возможным. Поэтому выбор радиуса затупления представляет собой поиск некоторого компромисса между этими противоречивыми требованиями. В поиске разумного компромисса определенную роль может сыграть учет теплопроводности материала стенок.

При обтекании затупленных тел ламинарным потоком максимум теплового потока qw и, следовательно, максимум радиационно-равновесной температуры Tw абсолютно нетеплопроводной поверхности имеет место в окрестности критических точек и линий, а по мере отхода от них величины qw и Tw быстро уменьшаются. Поэтому уже на начальном этапе развития аэрокосмических JIA было предложено отводить часть тепловой энергии с окрестности критической точки (линии) на боковую поверхность тела за счет теплопроводности материала стенки с последующим переизлучением ее в окружающее пространство. Но в то время эта идея не нашла практического применения, поскольку спускаемые JIA должны были обладать большим волновым сопротивлением для диссипации кинетической энергии, а проблема теплозащиты JIA была решена с помощью аблирующих теплозащитных покрытий.

Выход современных самолетов на крейсерские режимы полета с большими сверхзвуковыми скоростями обострил проблему аэродинамического нагревания, поскольку обычно используемые конструкционные материалы начинают работать на пределе своих возможностей. Поэтому снижение максимальной температуры поверхности за счет теплопроводности даже на сравнительно небольшую величину (ATw = 50°-Н00°) может расширить область применения того или иного материала, что влечет за собой определенный экономический эффект. В связи с этим вновь усилился интерес к решению стационарных задач сопряженного теплообмена при обтекании тел сверхзвуковым потоком газа.

В большинстве случаев приходится иметь дело с нестационарной задачей сопряженного теплообмена. При этом внешняя задача, которая связана с определением поля течения около рассматриваемого тела, решается в квазистационарном приближении, а внутренняя задача, связанная с определением поля температуры в оболочке тела путем решения уравнения теплопроводности, - в нестационарном приближении.

В ряде случаев, в особенности, когда интересует начальная стадия прогрева оболочки тела, можно пренебречь перетеканием тепла вдоль обтекаемой поверхности и рассматривать нестационарную задачу сопряженного теплообмена в одномерном приближении (по координате, ортогональной обтекаемой поверхности).

Однако, если рассматривать большие времена движения или если материал обладает достаточно большой теплопроводностью, а оболочка является достаточно толстой, то нестационарную задачу сопряженного теплообмена необходимо решать уже с учетом продольного перетекания тепла.

Проблемой сопряженного теплообмена на протяжении последних трех — четырех десятилетий успешно занимаются многие отечественные и зарубежные исследователи. Ввиду математической сложности задачи первые исследования были посвящены случаю обтекания тел простейшей конфигурации при различных упрощающих предположениях. Такой подход позволил выявить характерные особенности, установить погрешность, возникающую при решении задач аэродинамического нагревания в раздельной постановке, не выполняя при этом большого объема вычислений.

Поэтому перед диссертантом были поставлены следущие задачи:

1. Проанализировать различные постановки стационарных и нестационарных двухмерных задач сопряженного теплообмена применительно к телам простой конфигурации, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа при больших числах Рейнольдса.

2. Дать обзор работ, посвященных изучению стационарных и нестационарных двухмерных задач сопряженного теплообмена применительно к телам простой конфигурации. На основе обзора методов численного анализа этих задач выбрать наиболее простой и эффективный подход к интегрированию уравнения теплопроводности.

3. Составить комплекс программ для численного анализа двухмерных задач сопряженного теплообмена и изучить с его помощью особенности теплообмена и температурный режим различных плоских и осесимметричных тел для условий полета гиперзвукового самолета.

В диссертации рассматривается проблема сопряженного теплообмена применительно в основном к двумерным задачам внешней аэродинамики. Но и в такой формулировке указанная проблема охватывает слишком большой круг вопросов, поэтому рассмотрение ограничивается кругом задач для тел с неразрушающейся поверхностью, что свойственно JIA самолетного типа.

Всюду выше предполагалось, что движущаяся среда является однородной и неизменной по составу. При больших сверхзвуковых скоростях полета температура среды в поле возмущенного течения может принимать столь большие значения, что начинают проявляться эффекты реального газа: возбуждение колебательных степеней свободы, реакции диссоциации, ионизации и т. п. (см., например, монографию [Гришин А. М., Фомин В. М., 1984]). Эти вопросы здесь рассматриваться не будут.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Решетько, Сергей Михайлович

ВЫВОДЫ

1. Методами вычислительной аэродинамики исследованы стационарная и нестационарная задачи сопряженного теплообмена при обтекании плоских и осесимметричных затупленных тел сверхзвуковым потоком совершенного газа.

2. Разработан эффективный численный метод решения уравнения теплопроводности в теле сложной формы, основанный на использовании эллип-тико-гиперболической полуаналитической ортогональной системы координат и метода суммарной аппроксимации А.А. Самарского.

3. Для стационарной задачи расчеты проведены в широком диапазоне определяющих параметров и установлено влияние на распределение температуры в оболочке условий полета, геометрических характеристик и теплопроводности материала тела. Показано, что пространственный характер обтекания тела способствует повышению эффективности теплопроводности как средства снижения максимальной температуры обтекаемой поверхности.

4. Для обобщения результатов многочисленных расчетов выведены локальные параметры подобия, с помощью которых получены универсальные зависимости, полезные для инженерной оценки максимальной температуры тела.

5. Исследовано влияние определяющих параметров на температурный режим, теплопередачу и коэффициент трения затупленных конусов и клиньев при ламинарном, переходном и турбулентном течении в пограничном слое. Показано, что наличие области переходного и турбулентного течения снижает эффективность воздействия теплопроводности на максимальную температуру тела.

6. В случае нестационарной задачи сопряженного теплообмена выполнен большой объем методических расчетов по выбору параметров пространственно-временной сетки для численного анализа уравнений Прандтля и теплопроводности и тестированию предложенной методики путем сопоставления наших результатов с данными аналитических и численных решений других исследователей, которое показало хорошее их согласование как для внутренней, так и для сопряженной задачи.

7. Эффективность используемой методики продемонстрирована на задаче прогрева многослойной осесимметричной носовой части. Исследованы температурный режим одно-, двух— и трехслойной оболочки и возможность снижения температуры за счет локальных стоков тепла.

8. Для численно-аналитического решения нестационарной задачи сопряженного теплообмена в упрощенной постановке разработана разностная схема и составлена программа, по которой проведен расчет теплообмена при аэродинамическом нагревании тела применительно к условиям испытаний в аэродинамических трубах. Установлено увеличение теплового потока с ростом температурного фактора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Решетько, Сергей Михайлович, 2008 год

1. Бахвалов II. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. —М.: Наука, 1987.

2. Башкин В. А., Колина Н. П. Ламинарный пограничный слой на эллипсоидах вращения/ТИзв.АН СССР. МЖГ. 1966. №8.

3. Башкин В.А. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптических цилиндрах при произвольном угле скольжения//Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №5. С. 76-82.

4. Башкин В.А., Колина Н.П. Расчет сопротивления трения и теплового потока на сферически затупленных круговых конусах в сверхзвуковом пото-ке//Труды ЦАГИ. 1968. вып. 1106.

5. Башкин В. А., Решетько С.М. Влияние теплопроводности материала на температурный режим затупленного тела//Труды 10-й юбилейной научно-технической конференции по аэродинамике больших скоростей, посвященной 70-летию ЦАГИ, 1988, С. 102 106.

6. Башкин В. А., Решетько С.М. Расчет максимальной температуры затупления с учетом теплопроводности материала//Ученые записки ЦАГИ. 1989. Т. 20. №5. С. 53 -59.

7. Башкин B.A., Решетъко С.М. Нестационарная задача сопряженного теплообмена для плоских и осесимметричных тел// Ученые записки ЦАГИ. 1996. Т. 27. № 3 4. С. 75 - 90.

8. Башкин В.А., Солодкин Е.Е. Расчет ламинарного пограничного слоя при отсутствии продольного градиента давления и в окрестности критической точки при переменной температуре поверхности тела//Труды ЦАГИ. 1961. Вып. 825.

9. Березовская Л.М., Деулъ О.И., Юртин И.И. Математические модели тепловых процессов в многослойных цилиндрических стенках//АН УССР, Ин-т математики. Препр.69.22.-Киев. 1989. ЗОС.

10. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. -М.: Энергия. 1975.

11. Буреев А. В., Ефимов К. Н. и др. Исследование характеристик сопряженного тепломассообмена при наличии вдува с поверхности//Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации АН СССР. Институт проблем механики -М. 1990. С.116-117.

12. Веселовский В. Б. Решение задач нестационарной теплопроводности для многослойных теплозащитных покрытий//Прикладные вопросы аэрогазодинамики Киев. 1987. С. 95 - 100.

13. Гришин A.M., Берцун В.Н. Итерационно-интерполяционный метод и теория сплайнов//Доклады АН СССР. Т. 214. 1974. №4.

14. Гришин A.M., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред//Новосибирск.: Наука. 1984.

15. Давыденко Б.В. Решение сопряженной задачи конвективного теплообмена для эллиптического цилиндра//Конвективный теплообмен и гидродинамика. Киев.: Наукова думка. 1985. С.63 67.

16. Демченко Л.И., Листецкий Т.Е., Вакал Е.С. Численное решение нелинейного уравнения теплопроводности в средах с тонкими слабопроводящими включениями//Научные труды Латвийского университета. — 554. 1990. С. 151 — 157.

17. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики//Тр. 3-го Всесоюзного математического съезда, июнь-июль 1956. Т. 3. Издательство АН СССР. 1958.

18. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя//ЖПМТФ. 1960. № 3. С.44 55.

19. Дорфман А.Ш., Давыденко Б.В. Сопряженный теплообмен при обтекании эллиптических цилиндров//Теплофизика высоких температур. 1980. 18. №2. С. 334-340.

20. Замула Г.Н., Тесленко С.Ф. Численная реализация метода конечных элементов в задачах теплопроводности авиаконструкций//Труды ЦАГИ. 1984. Вып. 2229. С. 57-71.

21. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. Решение неавтомодельных задач теории ламинарного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена//Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 4. С. 59 64.

22. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. Решение неавтомодельных задач теории пограничного слоя с учетом нестационарного сопряженного теплообмена и вдува//ИФЖ. 1980. Т. 38. № 3. С. 543 550.

23. Зинченко В.И., Трофимчук Е.Г. О расчете характеристик тепловой завесы 1 при наличии сопряженного теплообмена//Газодинамика неравновесных процессов. Новосибирск. 1981.

24. Зинченко В. И., Путятина Е. Н. Исследование турбулентного пограничного слоя на сферических телах с учетом нестационарного сопряженного теплообмена и вдува//Газодинамика неравновесных процессов. Новосибирск. 1981. С.111-118.

25. Зинченко В.И., Федорова О.П. Численное исследование пространственного ламинарного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена//ПМТФ 1988. №2. С. 34-42.

26. Зинченко В.И., Федорова О.П. Исследование пространственного турбулентного пограничного слоя с учетом сопряженного теплообмена//ПМТФ. 1989. №3. С. 118-124.

27. Карлслоу Г., ЕгерД. Теплопроводность твердых тел//М.: Наука. 1964. Катаев А.Г. Исследование сопряженного тепломассообмена при обтекании затупленных по сфере конусов в рамках теории пограничного слоя//Автореферат диссертации. Томск. 2000.

28. Киселев И.Г., ред. Расчет температурных полей узлов энергетических установок. Л.: Машиностроение. 1978. 192 С.

29. Колесник С.А. Моделирование сопряженного теплопереноса между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами//Автореферат диссертации. М. 2005.

30. Костюков Н. П. Уточнение численных решений дифференциального уравнения теплопроводности методом экстраполяции по Ричардсону/ДТроектир. теплонагружен. конструкций ЛА. М. 1989. С. 36-41.

31. Костюков Н.П., Дзюба А.К. Сравнительный анализ численных решений нелинейной задачи теплопроводности на крупных сетках/УГагарин.науч. чтения по космонавт, и авиации 1990,1991 гг. //АН СССР. Ин-т пробл. мех. М. 1991. С. 107- 108.

32. Круз Т., Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений//М.:Мир. 1978. Кудинов В. А., Темников А. В. и др. Теплопроводность в многослойной стенке трубы при переменных коэффициентах теплоотдачи//Ред. Инж. физ. ж. Минск. 1988.

33. Кумар И.Дж., Бартман А.Б. Сопряженная задача теплопереноса в ламинарном пограничном слое сжимаемого газа с излучением//Тепло и массо-перенос. 1968. Т. 9. Минск. С. 481 -490.

34. Кутыш И.И. Решение задач тепломассообмена спектральным методом Фурье// Тепло и массообмен в двигателях летательных аппаратов. Моск. авиац. ин-т. М. 1991. С. 61 - 70.

35. Лебедев М. Г. и др. Сверхзвуковое обтекание плоских затупленных тел// Издательство Московского университета. 1974.

36. Литвин О.Н., Сергиенко И.В. Численная реализация метода ЛИДУ для уравнения нестационарной теплопроводности//Докл. АН УССР. А. 1990. №10. С. 70 74.

37. Лощянскгт Л.Г. Механика жидкости и газа//М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1987. 840 С.

38. МарчукГ.И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем//М.: Наука. 1979.

39. Махин В. В., Махина Н. Е. Метод граничных конечных элементов в задачах теплопроводности// Проектирование летательных аппаратов и их систем. Киев.: Наукова думка. 1985. С. 138- 146.

40. Павловец Г.А. Влияние теплопроводности материала на температуру клиновидных и конусообразных передних кромок//Труды ЦАГИ. 1964. № 906. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости//М.: Энергоатомиздат. 1984. 152 С.

41. Перелъман Т.Л., Левитин Р. С., Гдалевич Л.Б., Хусид Б.М. Сопряженный нестационарный теплообмен пластины с ламинарным потоком сжимаемой жид-кости//Тепло и массоперенос. Минск. 1972. Т. 8. С. 286 295. (Сб. научн. трудов ИТМО АН БССР).

42. Рубцов Н.А., Пономарев Н.Н., Тимофеев A.M. О поведении коэффициентов переноса в прямых дифференциальных методах теории радиационного теплообмена в рассеивающих средах//Изв. СО АН СССР. Серия технических наук. 1987. Т. 18. Вып. 5. С. 3 8.

43. Сафонов В. Е., Ревизников Д. Л. Программно-алгоритмический комплекс для исследования процессов теплообмена в пограничном слое при аэродинамическом нагреве ЛА//Проектир. теплонагружен. конструкций ДА. М. 1989. С. 52-59.

44. Соколова И. Н. Температура пластинки в сверхзвуковом потоке с учетом из-лучения//Труды ЦАГИ. 1950.(см. также в Сб. теорет. работ по аэродинамике. М. Оборонгиз. 1957).

45. Спэрроу Э.М. Решение задач теплопроводности и конвекции методом орто-нормированных функций//Тепло- и массоперенос. Т. 8. Минск. 1968.

46. Хрестовой Ю. Л., Сайко В. П., Голуб С. Л. Расчет и программирование трехмерной нестационарной задачи теплопроводности в неоднородной области// Харьков: Энерг. машиностр. 1989. №48. С. 29 35.

47. Чушкин П. И., Шулишнина Н. П. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов//М.: ВЦ АН СССР. 1961. 92с.

48. Швец Ю.И., Диденко О.И., Липовецкая ОД. Численное решение нестационарной сопряженной задачи теплообмена при ламинарном обтекании пласти-ны//Пром. теплотехника. 1988. 10. № 4. С. 21 25.

49. Эмлюнс Г. В. Нестационарный аэродинамический нагрев пластины//В книге Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи. М. JL: Госэнерго-издат. 1960. С. 329-337.

50. Юмашев М.В. Модификация приближенного метода решения уравнения теплопроводности в случае нестационарных граничных условие/Динамические задачи механики деформируемых сред. Московский государственный университет. Мех.-мат.фак. М. 1990. С. 166- 175.

51. Ярхо А. А. Приближенный метод решения одномерных нелинейных задач теплопроводности//Тепло- и массоперенос. Т. 8. Минск. 1968. С. 272 282.

52. Bialecki R. Solving Nonlinear Heat Transfer Problems by BEM//Boundary Elem. X. V.2 Heat Transfer, Fluid Flow and Elec. Appl. Southampton etc. 1988. P. 195-222.

53. Capey E. C. Alleviation of leading — edge heating by conduction and Radiation// ARC R&M. 1968. 3540.

54. Cess R.D. The effect of radiation upon forced convection heat transfer//Appl. Sci. Res. 1961. 10A. P. 430-438.

55. Chen К. K., Thy son N. A. Extension of Emmons spot theory to flows on blunt bodies//AIAA Journal. 1971. 9. № 5.

56. Driest van E. The problem of Aerodinamic Heating//Aeron. Eng. Review. 1956. X. P. 26 41. (см также перевод БНИ ЦАГИ № 9319).

57. Eguchi Yu., Fuchs L. Conjugate-Gradient Methods Applied to the Finite-Element Approximation of the Navier-Stokes equations//"Comput. Mech. '86: Theory and Appl. Proc. Int.Conf. Tokio, May 25 29, 1986. Vol. 2". Tokio e.a. 1986. VII/109 -V1I/114.

58. Feldhuhm R. H. Heat transfer from a turbulent boundary layer on a porous hemisphere//AIAA Paper № 111.1976. P. 9.

59. Gladden H. J., Melis M. E., Mockler Т. T. Thermal/Structural Analyses of Several Hydrogen-Cooled Leading-Edge Concepts for Hypersonic Flight Vehicles// AIAA Pap. 1990. № 90 0053.

60. Godbole D.B., Date A. W. Numerical Algorithms for Solving System of Equations Resulting from Elliptic Equations in Heat Transfer//"Proc. 8th Nat.Heat and Mass Transfer Conf., Visakhapathan, Dec.29 31,1985". New Dehli. e.a., s.a., 1985. P. 325-329.

61. Goodman T. R. Advances in Heat Transfer. -1. N-Y.: Academic Press. 1964. P.51. Gossi J. Analise simplifee du couplage conduction-convection pour un ecoulement a couche limite laminaire sur une plaque plane//Rev. gen. therm. 1980. 19. № 228. P.967 — 971.

62. He Guangyu. Numerical Solutions for Laplace Equation Using Cubic Splines//J. Lanzhou Univ. 1989. 25. № 1. P. 32 36.

63. KarvinenR. Note on conjugated heat transfer in a flat plate//Lett. Heat Mass Transfer. 5. 1978. P. 197 202.

64. Karvinen R. Some new results for conjugated heat transfer in a flat plate//Int. J. Heat Mass Transfer. V. 21. 1978. № 9. P. 1261 1264.

65. Nonweiler T. Surface Conduction of the Heat Transfered from a boundary Layer// The colledge of aeronautic. Cranfield. 1952. Rep. № 59.

66. Rene is Dv. Dv., Mullen R. L. A Self-adaptive Mesh Refinement Technique for Boundary Element Solution of the Laplas Equation//Comput. Mech. 1988. Vol. 3. №5. P. 309-319.

67. Shin T.M. A Literature Survey on Numerical Heat Transfer (1982-1983)//Numeri-cal Heat Transfer. 1985. Vol. 8. P. 1 24.

68. Shin T.M. A Literature Survey on Numerical Heat Transfer (1984 1985)//Numer. Heat Transfer, Vol. 11. № 1. P. 1 - 29.

69. Sohal M.S. Howell J.R. Determination of plate temperature in case of combined conduction, convection and radiation heat exchange//Int. J. Heat Mass Transfer. 1973. V. 16. № 11. P. 2055-2066.