Моделирование газовых потоков около поверхности гиперзвуковых летательных аппаратов методом начального аналитического приближения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Котенев, Владимир Пантелеевич

• Котенев, Владимир Пантелеевич
• доктор технических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор технических наук Котенев, Владимир Пантелеевич

Введение

Глава 1. Разработка метода начального аналитического приближения (НАП) для моделирования газовых потоков в окрестности летательных аппаратов (ЛА)

1.1. Полная система уравнений и граничные условия

1.2. Описание метода НАП

1.2.1. Общая концепция метода

1.2.2. Основные этапы метода НАП

1.3. Построение начального приближения

1.3.1. Теория двумерных течений газа в динамических переменных

1.3.2. Расчет давления при небольших углах наклона поверхности тела к набегающему потоку

1.3.3. Способ построения головной ударной волны

1.3.4. Разложение в ряд двухточечных скалярных произведений

1.3.5. Аналогия систем уравнений газовой динамики и несжимаемой жидкости

1.3.6. Применение разложения в ряд по приращению давления для продвижения решения вдоль линии тока

1.3.7. Переход к пространственным течениям

1.4. Разностный метод решения исходной нестационарной

3-х мерной задачи в дозвуковой области

1.5. Построение решения в сверхзвуковой части потока

1.5.1.Уравнения газовой динамики в строго консервативной форме

1.5.2. Системы координат, используемые в задачах обтекания

1.5.3. Построение разностных схем в сверхзвуковой области

Глава 2. Результаты численного моделирования газовых Стр. потоков методом НАП

2.1. Расчет обтекания затупленных тел в дозвуковой части потока

2.2. Пример обтекания тела с изломами образующей

2.3. Применение модели равновесно-диссоциирующего воздуха (РДВ)

2.4. Влияние химических реакций в ударном слое на аэродинамические характеристики

Глава 3. Численное моделирование методом НАП течений газа около поверхности ЛА в рамках уравнений Навье-Стокса

3.1. Общая постановка задачи

3.2. Методика построения разностного решения задачи

3.3. Основные уравнения в криволинейных координатах

3.4. Особенности применения метода НАП для системы уравнений Навье-Стокса

3.5. Анализ результатов 139 Выводы и заключение 146 Литература 150 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование газовых потоков около поверхности гиперзвуковых летательных аппаратов методом начального аналитического приближения»

При проектировании летательных аппаратов (ЛА) необходимы предварительные сведения о характере обтекания их поверхности. Эта информация должна включать в себя данные о полях распределения газодинамических величин и концентраций компонентов смеси газов, если в ударном слое около тела происходят химические реакции.

Для исследования обтекания сложных конфигураций, получения эталонных данных, обнаружения новых гидродинамических явлений применяются экспериментальные исследования. Недостатки этого подхода обусловлены высокой стоимостью моделей и большими временными затратами, влиянием конструкции трубы на условия в потоке, погрешностями измерений, масштабными эффектами (влиянием числа Рейнольдса, неравновесными химическими реакциями и т. д.).

В тех случаях, когда условия полета не позволяют провести прямой физический эксперимент, получение необходимой информации может быть осуществлено посредством решения на ЭВМ соответствующим образом поставленных математических задач [20,102]. Целью аэродинамического расчета является определение аэродинамических характеристик изделия, анализ его устойчивости и управляемости. Знание этих факторов помогает правильно вести проектирование аппарата, находить технические решения, позволяющие улучшать его летные данные.

Особенности течения газа, его основные параметры зависят как от геометрии обтекаемого тела, так и от условий полета. Во многих случаях

4 7 при достаточно больших числах Рейнольдса (Ые~10 -г-10 ) эффекты вязкости, теплопроводности и диффузии проявляются в тонких слоях, примыкающих к поверхности тела. К ним относятся пограничные слои на теле, "висячие" пограничные слои, образующиеся при интенсивном вдуве газа с обтекаемой поверхности. Естественным в таких случаях является применение невязкой модели газа в остальной части ударного слоя. Полученные при этом результаты могут быть использованы для расчета течения и теплообмена в пограничном слое.

Невязкая модель сверхзвукового обтекания затупленных тел описывается системой уравнений Эйлера и соответствующих граничных условий. Особенности численного исследования таких течений связаны, во-первых, с изменением типа уравнений в разных частях потока. В дозвуковой части потока система стационарных уравнений газовой динамики относится к эллиптическому типу, в сверхзвуковой — к гиперболическому. Для расчета течения в этих областях удобно использовать разные численные методы и программы расчета.

Во-вторых, при больших сверхзвуковых скоростях полета в ударном слое происходит изменение химического состава газа. В этом случае характеристики течения должны уточняться путем учета влияния физико-химических процессов. Химический состав газа в ударном слое также представляет интерес. Например, знание концентрации электронной компоненты необходимо при рассмотрении вопроса о радиосвязи с аппаратом.

В зависимости от скоростей химических реакций различают замороженный, равновесный и неравновесный режимы их протекания. Время расчета таких задач существенно зависит от правильного выбора модели течения многокомпонентной смеси. Если физико-химические процессы в газе протекают очень быстро (—»1, / - характерное время г течения, т - характерное время релаксации), то термодинамическое состояние частицы газа за время I практически не меняется. Состояние газа в каждой точке потока в этом случае можно считать равновесным при местных давлении и температуре. При этом вблизи ударной волны находится зона, где концентрации компонентов смеси имеют большие градиенты. Чем больше характерный размер тела, скорость его движения и меньше высота полета, тем более оправдано применение равновесной модели протекания релаксационных процессов. Это связано с тем, что скорость протекания физико-химических процессов как правило возрастает вместе с плотностью газа.

Другой предельный режим соответствует "замороженному" течению. Состав газа в частице, т.е. концентрации компонентов смеси за время ее пребывания в возмущенной области ударного слоя, практически не меняется (—«1), а около поверхности тела наблюдаются большие г градиенты концентраций отдельных компонентов. Этот режим может возникнуть при обтекании сравнительно малых тел.

В общем случае химические реакции протекают в неравновесном режиме, когда — ~ 1. Предельные ситуации могут реализовываться и т локально в разных частях потока. Границы применимости той или иной модели условны, тем не менее при расчете аэродинамических характеристик конкретного аппарата их можно примерно указать с приемлемой для практических целей точностью. Например, для тел с характерным размером порядка 1 м можно считать, что равновесный режим реализуется при больших скоростях полета ЛА ( более 2 км/с ) на высотах менее 40 км в атмосфере Земли. Замороженное течение имеет место на высотах свыше 80 км. Промежуточная же область при реальных скоростях движения аппаратов требует рассмотрения неравновесных химических процессов [73].

Не ставя целью сделать полный обзор численных методов для решения задач невязкого обтекания тел сверхзвуковым потоком газа, остановимся на тех, которые обобщены на случай учета физико-химических превращений и часто используются в приложениях. Отметим, что последовательный обзор развития и применения многих методов приведен в работах [15,23,75].

Для расчетов дозвуковых течений широкое распространение получил метод установления по времени. Его появлению предшествовала разработка стационарных методов расчета прямых и обратных задач обтекания. В прямой задаче по заданной форме тела устанавливается местоположение и геометрия поверхности головного скачка уплотнения [16,92]. В обратной же задаче по известной форме и положению ударной волны находится соответствующая ей геометрия обтекаемого тела [103]. Характерной особенностью этих методов является сочетание численных и аналитических аппроксимаций производных или интегралов. Такие подходы успешно применялись при расчете сегментально-конических тел [99,108]. Уменьшение размерности в разностной задаче за счет введения аналитических аппроксимаций приводит к сравнительной простоте алгоритмов и небольшому потребному объему памяти ЭВМ. Однако наличие сложной структуры потока при обтекании трехмерных тел под большими углами атаки ограничивает применение этих методов.

Нестационарные же течения описываются системой уравнений, принадлежащей к гиперболическому типу при любых числах Маха, что позволяет применять здесь большой и хорошо разработанный для таких задач арсенал численных методов. Основное преимущество методов установления по времени для решения задач обтекания тупых тел заключается в устойчивости промежуточных решений, сходимости к искомому стационарному. Их появление связано с работой [25], основанной на конечно-разностной схеме, предложенной С.К. Годуновым [26]. Различные модификации этого метода успешно применяются для решения многих задач газовой динамики, в том числе при расчете смешанных течений, возникающих при исследовании обтекания тел [24]. Во многих работах установление по времени используется при рассмотрении обтекания лобовой части аппарата совместно с численной схемой Бабенко-Воскресенского [10], обобщенной затем на случай неравновесных химических реакций в газе [11,41].

Этот же метод был применен для расчетов обтекания затуплений в сочетании с расщеплением газодинамической и релаксационной систем уравнений, причем релаксационная система уравнений на каждой отдельной итерации интегрировалась в стационарном виде вдоль линий тока [88,89]. Идея разбиения полной системы уравнений на нестационарную газодинамическую и стационарную релаксационную группы использовалась затем и в других работах, например в [71]. Большое число работ основано на применении сеточно-характеристического метода для численного решения уравнений Эйлера [15,67,76,104]. Его приложения к расчету течений с неравновесными химическими реакциями можно найти также в работах [8,79]. Аэродинамические расчеты зарубежных авторов 70-80 годов связаны с исследованием обтекания аппарата " SPACE SHUTTLE". Среди применявшихся ими конечно-разностных методов отметим схему второго порядка точности, предложенную Мак-Кормаком [129]. Для этого направления характерно использование дивергентной формы записи уравнений с последующим расщеплением разностных операторов по пространству. Внутренние скачки заранее не выделяются, а размазываются в процессе счета на несколько ячеек расчетной области. Проводится также учет химических реакций в потоке [134,136-138]. Численное решение задачи сверхзвукового обтекания затуплений потоком совершенного газа на основе схемы Мак-Кормака проведено в работе [92,95], где рассмотрены вопросы точности схемы на границах расчетной области, реализации граничных условий, приведены результаты обтекания трехмерных тел. Аналогичные исследования были проведены в работе [80].

Применение метода установления для расчета химически неравновесного ударного слоя содержится в [89]. Здесь используется процедура раздельного решения газодинамических и релаксационных уравнений. В работах [61,62] эта задача решается с помощью метода установления на основе конечно-разностной схемы Мак-Кормака. Предложенное автором использование дивергентной формы записи уравнений газовой динамики позволяет ограничиться единственным коэффициентом у*, связывающим эти две системы уравнений. Эффективный "энтальпийный" показатель адиабаты у*, плавно меняясь в поле течения многокомпонентной смеси, является удобным параметром для организации итерационного процесса при раздельном интегрировании газодинамических и релаксационных систем уравнений.

Вопросам численного исследования пространственного обтекания тел потоком невязкого газа в сверхзвуковой области посвящено много публикаций. В большинстве из них использовалась модель совершенного газа и лишь некоторые обобщались на случай учета влияния физико-химических процессов в газе. Так, в работе [41] исследовалось обтекание тела сложной формы при помощи метода С.К. Годунова. Усовершенствованный вариант этой системы использован для расчета крыльев [49,50,51], а в [13,39] метод С.К. Годунова применен для исследования равновесных течений около тел с эллиптическим поперечным сечением. На основе метода характеристик впервые были проведены расчеты неравновесного пространственного обтекания затупленных обратных конусов со строгим рассмотрением процессов диссоциации [46]. Метод характеристик использовался и в сверхзвуковой области для расчета обтекания аппаратов программы "SPACE SHUTTLE" неравновесным потоком воздуха [130].

Широкое распространение получили различные модификации метода Бабенко-Воскресенского. С помощью него в работе [17] рассматривалось обтекание тела сегментальной формы при наличии неравновесных процессов в воздухе, причем релаксационные уравнения решались лишь в плоскости симметрии течения. Этот же метод реализован для расчета неравновесного обтекания осесимметричных [12] и пространственных тел [6,7,23]. Применение метода Бабенко-Воскресенского к расчету стационарных неравновесных течений основано на разбиении полной системы уравнений на группу уравнений неразрывности и движения и группу кинетических уравнений, дополненную интегралом энергии. Эти две подсистемы решаются последовательно: сначала относительно проекций вектора скорости и давления, затем - концентраций компонентов смеси газов и энтальпии. Для расчетов течений со сложно топологической структурой в ударном слое эффективны конечно-разностные методы сквозного счета [129]. Их применение связано с записью уравнений газовой динамики в дивергентной [124] или строго консервативной формах [77].

С помощью метода Мак-Кормака в работе [124] было рассчитано поле течения около аппарата "SHUTTLE" в предположении равновесной модели протекания химических реакций. Затем для этой задачи реализован алгоритм, включающий учет неравновесных химических реакций в воздухе [115]. Вариант этой же схемы с расщеплением разностных операторов по пространству рассмотрен в работе [137]. Исходные уравнения здесь записывались в интегральном виде, использовалась система координат, учитывающая направление линий тока. Задача обтекания тела сложной формы потоком совершенного газа рассмотрена в [92], где предложена специальная схема расчета граничных точек с тонкими так называемыми энтропийными слоями у его поверхности, характеризующимися большими градиентами энтропии и плотности газа. В работе [72] методом Мак-Кормака рассчитано обтекание сверхзвуковым потоком невязкого газа крылатых конических тел. При этом для устранения возможных осцилляций решения применена специальная процедура монотонизации. В работе [65] проведено исследование обтекания затупленных тел на основе схемы Мак-Кормака в приближении равновесной термохимической модели. Показано, что на некоторых режимах полета замена переменного эффективного показателя адиабаты "замороженным" вдоль линии тока дает хорошие результаты за исключением областей влияния размазанных скачков уплотнения. Неравновесные расчеты тел сложной формы проведены в [64]. Для решения релаксационных уравнений здесь использована модифицированная схема Кранка-Николсона. Исследование влияния различных моделей протекания химических реакций на аэродинамические характеристики затупленных конусов дано в работе [60], где наряду с применением схемы Мак-Кормака для численного интегрирования уравнений Эйлера, записанных в строго консервативной форме, параллельно использована неявная процедура интегрирования кинетических уравнений вдоль линий тока.

Относительно недавно появились неявные схемы ТУЕ) [43], обладающие высоким порядком точности в областях плавных изменений решения и диссипацией второго порядка в окрестностях разрывов за счет сглаживания распределений векторов потока с помощью специальных функций-ограничителей. В целом, неявные схемы согласно линейному анализу безусловно устойчивы. Увеличение шага интегрирования в этом случае в применении к нелинейным уравнениям, тем не менее, может вызывать неустойчивость. Кроме того, за счет резкого увеличения объема вычислений значительно возрастает время счета.

Невязкий расчет является необходимым условием для расчета теплообмена в пограничном слое. Последняя задача также трудна для своего решения, поскольку предлагаемые практикой аэродинамические компоновки трехмерны. К настоящему времени разработаны достаточно точные методы определения аэродинамического нагрева тел осесимметричной формы [2,40,135]. При рассмотрении пространственных тел используется осесимметричная аналогия [3,116,117,132,133]. В этом случае вычисляется удельный тепловой поток вдоль линии тока невязкого течения на поверхности рассчитываемого тела.

Решение задачи расчета обтекания ЛА на гиперзвуковых режимах без выделения невязкой области и вязкого подслоя требует использования программных средств, основанных на применении уравнений Навье-Стокса. Несмотря на сравнительно большое количество публикаций, посвященных решению уравнений Навье-Стокса, методы решений таких уравнений и соответствующее программное обеспечение еще далеки от совершенства. Это приводит к существенным ограничениям на значения определяющих параметров задачи (таких как число Рейнольдса), большим трудозатратам, связанным с модификацией физической модели. Главные особенности и закономерности таких течений были рассмотрены в работах [5,9,47,70]. Результаты расчетов осесимметричного и пространственного обтекания сферически затупленных конусов, а также сравнение с экспериментальными и расчетными данными приведены в [37,38,140,142].

В целом, численные методы характеризуются простотой применения, слабыми упрощающими допущениями, возможностью включения в процедуры оптимизации, полным описанием течения, отсутствием ограничений по числам Маха и Рейнольдса, умеренными затратами средств. При этом в качестве недостатков можно отметить не вполне адекватные модели турбулентности, не всегда хорошую точность разностных методов, недостаточное быстродействие и объем памяти ЭВМ.

Приближенные методы позволяют получать решение в замкнутой форме при минимальных временных затратах [103,105,106]. Согласно теории Ньютона, например, давление на элемент поверхности тела зависит только от ориентации этого элемента по отношению к набегающему потоку частиц и не зависит от формы остальной части тела. Сопротивление тела определяется формой его головной части, поскольку только эта часть тела испытывает столкновение с частицами. Удовлетворительное совпадение при больших сверхзвуковых скоростях результатов расчета давления по формуле Ньютона с опытными данными и результатами расчетов по более точным теориям свидетельствуют о том, что давление на обращенный вперед элемент поверхности тела при таких скоростях определяется в основном углом встречи элемента с направлением набегающего потока. Однако эта теория не дает возможности найти давление на участки поверхности тела с малыми углами встречи с направлением набегающего потока так как давление на них по этой теории близко к нулю, что не всегда соответствует действительности. По теории Буземана давление в данной точке обтекаемой поверхности определяется не только ориентацией элемента поверхности по отношению к набегающему потоку, но и формой всей поверхности, расположенной выше по течению. Тем не менее при исследовании сверхзвукового обтекания затупленных тел применение формулы Ньютона даже предпочтительнее. Другой подход к рассмотрению обтекания заостренных впереди профилей или тел вращения позволяет считать давление на элемент поверхности равным давлению на помещенных в тот же поток клине (при обтекании профилей) или конусе (при обтекании тел вращения), касающихся тела в рассматриваемом сечении. Этот метод, предложенный C.B. Валландером, получил название метода касательных конусов или метода касательных клиньев. Неудобство метода касательных конусов (клиньев) при всей его простоте заключается в том, что в общем случае зависимость давления на клине от угла клина представляется лишь в неявной форме, а решение задачи об обтекании конуса может быть получено лишь численными методами. Вследствие этого распределение давления по обтекаемым телам нельзя представить точно в простой аналитической форме. Для того, чтобы устранить это неудобство, можно пользоваться различными приближенными аналитическими решениями задачи об обтекании клина и конуса. Таким образом, в приближенных подходах используются жесткие допущения, упрощение геометрий, ограниченный круг рассматриваемых характеристик. Поэтому по-прежнему актуально создание такого эффективного метода для определения давления на поверхности тел, который сочетал бы в себе простоту приближенных формул, точность строгих методов и был пригоден как для сферы, так и для эллипсоида, параболоида, гиперболоида и других тел этого класса. При применении численных алгоритмов, основанных на методе установления по времени, успех решения задачи обтекания тел сверхзвуковым потоком газа во многом зависит от точности начальных данных. Для их генерации используются как правило перечисленные выше приближенные решения. Можно констатировать, что существует своеобразный разрыв между возможностями численных методов и точностью приближенных решений, который значительно увеличивает время счета или делает невозможным численное интегрирование уравнений газовой динамики. К этому часто приводит использование формулы Ньютона для начального распределения давления на участках, где угол встречи потока с поверхностью тела мал. Быстрое развитие вычислительной техники обусловило развитие конечно-разностных методов, тогда как аналитические подходы остались во многом на прежнем уровне.

Актуальность работы. Исследование течений газа около поверхности ЛА - одна из важных задач аэродинамики. Большой интерес к этой проблеме вызван рассмотрением новых аэродинамических компоновок, обладающих подъемной силой. Экспериментальное получение необходимой информации дорого, а во многих случаях в наземных условиях моделирование физико-химических процессов, сопровождающих полеты ЛА в атмосфере Земли, принципиально невозможно. Существующие в настоящее время численные и аналитические методы определения аэродинамических и тепловых нагрузок ЛА, а также учета плазменных образований вблизи их поверхности, влияющих на работу приемных и передающих антенн, требуют либо неоправданно больших затрат машинного времени в силу их громоздкости, либо не обладают необходимой точностью для практики. Поэтому актуальным является развитие теоретических подходов и комплексов программ для решения этих задач.

Цель и задачи работы. Целью работы является создание новых методов моделирования обтекания тел как в двумерной, так и в пространственной постановке потоком невязкого или вязкого газа. Основу диссертации составляют:

1. Разработка математической модели течений газа в переменных давление — функция тока, оперативных универсальных по отношению к форме затупленных тел методов расчета давления на их поверхности.

2.Создание экономичных алгоритмов определения контуров ударной волны для использования их в качестве начальных данных в методе установления при решении задач сверхзвуковой аэродинамики.

3.Анализ влияния различных термохимических моделей на параметры течения газа, выбор экономичной модели с точки зрения учета основных факторов.

4.Разработка программных комплексов для решения задач обтекания тел сверхзвуковым потоком химически реагирующего газа.

5.Определение с помощью разработанных методик аэродинамических характеристик и параметров многокомпонентной смеси газов около поверхности ЛА.

Методика исследования. При решении задач, рассмотренных в диссертации, использованы: методы математической физики, аппарат тензорного анализа, численный метод установления по времени, конечно-разностный метод второго порядка точности, эффективно реализуемый на ЭВМ.

Научная новизна. В данной работе разработан новый метод начального аналитического приближения (НАЛ) для расчета параметров на поверхности тел, обтекаемых потоком газа. Этот метод сочетает простоту приближенных подходов и точность строгих численных и аналитических решений.

Применение метода НАЛ для моделирования обтекания гиперзвуковых ЛА в рамках уравнений Навье-Стокса с неравновесными химическими реакциями показало сокращение в несколько раз времени расчета установившихся режимов по сравнению с другими методами.

Разработан программный комплекс, реализующий метод НАП для расчета обтекания осесимметричных затупленных тел и для специальных типов пространственных компоновок.

Численно решены задачи обтекания поверхностей гиперзвуковых ЛА, имеющих важное прикладное значение.

Предложены формы записи уравнений газовой динамики в строго консервативной форме.

Практическая ценность. Рассматриваемый в диссертации подход к решению задачи пространственного сверхзвукового обтекания и разработанные аналитические методы и алгоритмы численного решения дают возможность исследовать течение газа около поверхности ЛА. Созданный метод позволяет проводить параметрические расчёты для различных режимов пространственного течения с учётом реальных свойств газа. При этом предложенный в работе метод может быть использован для решения как полных уравнений Навье-Стокса, так и упрощённых уравнений Навье-Стокса в приближении тонкого слоя. С помощью разработанной программы численного решения химически неравновесного вязкого ударного слоя можно проводить систематические исследования неравновесных течений около неразрушающихся поверхностей с различными каталитическими свойствами с учётом и без учёта ионизации. Полученные в работе результаты используются в практике инженерных расчетов для определения аэродинамических, тепловых нагрузок ЛА и влияния плазменных образований на работу различных приборов, а также в учебном процессе МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных конференциях «Ломоносовские чтения» МГУ им. М.В. Ломоносова (1980,1981), на Всесоюзных школах-семинарах по механике реагирующих сред, Междуреченск (1980,1981), на II Всесоюзной школе-семинаре «Современные проблемы аэрогидродинамики», Махачкала (1982), на научной конференции «Задачи космического образования в XXI веке» МАИ (2001), на Всероссийской научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002), на VI Международной научно-практической конференции «Человек и космос», Днепропетровск, (2004), на I Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии», посвящённой 90-летию со дня рождения академика В.Н.Челомея, Москва-Реутов (2004), на XXIX академических чтениях по космонавтике, Москва (2005), а также на ряде семинаров в МГУ, МГТУ и отраслевых институтах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ, из них 7 - в рецензируемых научных журналах перечня ВАК, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 222 страницах машинописного текста, содержит 96 иллюстраций и состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Список цитируемой литературы включает 142 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Котенев, Владимир Пантелеевич

Основные результаты работы:

1. Разработан метод начального аналитического приближения (НАЛ) для моделирования многомерных гиперзвуковых потоков с химическими реакциями в окрестности летательных аппаратов (ЛА).

2. Построена математическая модель двумерных течений газа около поверхности затупленных тел в переменных давление-функция тока и на ее основе — дифференциально-геометрический метод (ДГМ) получения приближенно-аналитических соотношений осесимметричных и плоских установившихся задач идеальной газовой динамики.

3. Разработан программный комплекс, реализующий процедуру проведения численных расчетов как по методу ДГМ для вспомогательных модельных тел, так и по всему методу НАЛ для трехмерных задач сверхзвукового обтекания ЛА с учетом неравновесных физико-химических превращений в потоке.

4. Проведены практические исследования полей пространственного течения газа около поверхностей ЛА с целью определения их аэродинамических и тепловых нагрузок, а также параметров прибортовой плазмы. Сопоставления результатов по методу НАП с известными численными и экспериментальными данными показали их хорошее согласование, что позволяет сделать вывод о корректности аналитического и численного моделирования, а также достоверности полученных результатов.

С помощью разработанного метода удается: а) снизить машинное время расчета задач примерно в 2 раза; б) повысить точность моделирования как локальных распределенных, так и суммарных характеристик потока.

5. Установлены следующие эффекты: а) учет неравновесных физико-химических превращений в ударном слое может локально приводить к уменьшению тепловых потоков к стенке до 20% по сравнению с моделью совершенного газа; б) различие в аэродинамических коэффициентах удлиненных компоновок для некоторых режимов обтекания при учете химических реакций в потоке может достигать 15-20% по сравнению с моделью совершенного газа; в) для больших углов атаки на подветренной стороне ЛА выявлено образование широкого слоя повышенных значений концентраций компонент газа в отрывной зоне, в том числе заряженных, а также тонкого слоя повышенных концентраций окиси азота.

6. Совокупность основных результатов диссертации можно использовать при разработке новых экономичных методов исследования высокоскоростных течений вязкого химически реагирующего газа около поверхности ЛА.

150

Выводы и заключение

Несмотря на значительное количество исследований полетов ЛА в атмосфере Земли, интерес к задачам газовой динамики не ослабевает. Это обусловлено как фундаментальными аспектами рассматриваемой проблемы, так и практическими приложениями, связанными с необходимостью расчетов аэродинамики, теплообмена, плазменных образований около ЛА, математического моделирования этих и других сложных физических процессов с целью сокращения количества дорогостоящих экспериментов в аэродинамических установках.

Для решения указанных задач в диссертации разработан новый метод начального аналитического приближения получения информации о параметрах обтекания тел. На основе записи системы уравнений газовой динамики в специальных динамических переменных получено разложение искомой функции в ряд по приращению давления, которое использовано для интегрирования решения вдоль поверхности тела. Соответствующий алгоритм обладает точностью, характерной для строгих численных методов, но не требует больших временных затрат. Установлены условия, которым удовлетворяют метрические коэффициенты для этих переменных в плоском и осесимметричном течении газа. Показана возможность применения алгоритма как при дозвуковом, так и сверхзвуковом режимах обтекания тел.

Полученные аналитические решения используются как начальные данные в методе установления по времени в сочетании со схемой Мак-Кормака для определения течения в ударном слое сверхзвуковых ЛА в зоне дозвуковых и трансзвуковых течений газа. Для нахождения поля течения в сверхзвуковой области применяется криволинейная система координат, локально близкая к линиям тока течения. Используется строго консервативная форма записи уравнений газовой динамики, что позволяет наиболее точно удовлетворять разностным аналогам законов сохранения.

Проведено обобщение метода расчета на случай учета химических реакций в воздухе.

Модели, основанные на уравнениях Навье-Стокса, позволяют пересчитывать экспериментальные данные на реальные условия полета гиперзвуковых летательных аппаратов, а также сократить количество дорогостоящих экспериментов по определению аэродинамических, тепловых и прочностных характеристик изделий.

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчёта параметров химически неравновесного вязкого ударного слоя, включая характеристики прибортовой плазмы. Затраты машинного времени остаются приемлемыми для использования программного комплекса в инженерной практике.

Эксплуатация программ расчета охватывает такие важные задачи как определение аэродинамических и тепловых нагрузок летательных аппаратов, интервалов прекращения радиосвязи, обусловленных наличием плазменных образований.

Рассмотренные последовательно в диссертации методы аналитического и разного уровней сложности численного исследования проблемы обтекания тел потоком газа используются в практических приложениях.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Котенев, Владимир Пантелеевич, 2008 год

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1969. — 824с.

2. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике /B.C. Авдуевский, Б.М. Галицейский, В.К. Кошкин и др.; Под ред. В.К. Кошкина. М.: Машиностроение, 1975. - 624с.

3. Авдуевский B.C. Приближенный метод расчета трехмерного ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. -1962.- №2.-С. 11-17.

4. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике /В.П. Агафонов, В.К. Вертушкин, А.А.Гладков и др.;

5. Под ред. Г.И. Майкапара. М.: Машиностроение, 1972. — 344с.

6. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: Пер. с англ.-М.: Мир, 1990. 726с.

7. Антонец A.B. Гиперзвуковое обтекание затупленных тел неравновесным потоком воздуха // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. - №2. - С. 114-120.

8. Антонец A.B., Липницкий Ю.М. Исследование сверхзвукового обтекания удлиненных затупленных тел с эллиптической формой поперечного сечения// Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. -№6. - С. 155-158.

9. Антонец A.B., Никулин А.Н. Неравновесные пространственные течения около летательных аппаратов// Научные чтения по авиации и космонавтике: Аннотации докладов. — М.: Наука, 1981. — С. 257-258.

10. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа // ЖВМ и МФ,- 1961. -Т.1, №6. -С. 1051-1060.

11. Бабенко К.И., Иванова В.Н., Косоруков A.JI. Сверхзвуковое обтекание гладких тел с учетом неравновесных химических реакций. М.,1980. 33с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №54).

12. Бабенко К.И., Косоруков А.Л., Радвогин Ю.Б. Сверхзвуковое стационарное двумерное обтекание воздухом с учетом неравновесных химических реакций. М., 1981. - 32с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №71).

13. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. - 520с.

14. Белоцерковский О.М. Обтекание симметричного профиля с отошедшей ударной волной // Прикладная математика и механика. — 1958. Т.22, №2.-С. 206-219.

15. Бурдельный А.К., Миносцев В.Б. Расчет сверхзвуковой области пространственного обтекания тел неравновесным потоком воздуха // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972.-№2.- С. 124-129.

16. Введение в математическое моделирование технических систем: Методические указания / А.Ю. Бушуев, В.П. Котенев, В.А. Кутыркин В.Н. и др. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 52с.

17. Власов В.И. Метод расчёта вязкого ударного слоя с учётом неравновесных физико-химических процессов // Космонавтика и ракетостроение. 1997. — № 11.-С. 5-12.

18. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2001 — 700с.

19. Воронкин В.Г. Неравновесный вязкий ударный слой на притуплённых конусах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. - №6. - С. 15-20.

20. Воскресенский Г.П., Иванов О.В., Стебунов В.А. Расчет сверхзвукового обтекания тел сложной формы. М., 1981. — 16с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 67).

21. Воскресенский Г.П., Чушкин П.И. Численные методы решения задач сверхзвукового обтекания тел// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Серия МЖГ. 1978.-T.il. - С. 5-65.

22. Численное решение многомерных задач газовой динамики/ С.К. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов и др. -М.: Наука, 1976. 400с.

23. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМ и МФ. 1961. - Т. 1, №6. - С. 10201050.

24. Годунов С.К. Разностный метод расчета ударных волн //Успехи математических наук. 1957. - Т. 12, вып.1. — С. 176-177.

25. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М: Наука, 1991. - 576с.

26. Дулов В.Г. О некоторых постановках пространственных задач оптимизации в гиперзвуковой аэродинамике // ПМТФ/ СО АН СССР. -1976. -№5. -С. 69-77.

27. Дулов В.Г., Рудаков А.И. Пространственные сверхзвуковые течения на больших расстояниях от тела конечного объема // ПМТФ/ СО АН СССР. -1976.-№3.-С. 77-83.

28. Дьяконов Ю.Н., Пчелкина Л.В., Сандомирская И.Д. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел. -М.: Изд-во МГУ, 1971. 406с.

29. Егоров И.В. К вопросу о влиянии реальных свойств воздуха на интегральные аэродинамические характеристики // Изв. АН СССР. МЖГ. -1992.-№4. С. 156-164.

30. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса

31. Аэрокосмические технологии: Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. -М., 2002. С. 33.

32. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого газа около поверхности летательных аппаратов в рамках уравнений Навье-Стокса// Аэрокосмические технологии: Труды Всероссийской научно-технической конференции. -М., 2003. С. 138-144.

33. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого газа около поверхности затупленных тел//Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики: Труды XXIX академических чтений по космонавтике. М., 2005. — С. 156.

34. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений

35. Навье-Стокса//Космическая наука и технология. Человек и космос (Киев). -2005.-Т.11,№1.-С. 36-42.

36. Забарко Д.А., Котенев В.П. Численное исследование ламинарных течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел // Вестник МГТУ. Естественные науки. 2006. -№1 - С. 77-95.

37. Зарубин А.Г. К расчету пространственных сверхзвуковых течений с учетом реальных свойств газа // Ученые записки ЦАГИ. 1982. — Т.13, №2. - С. 123-128.

38. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1966. — 215с.

39. Иванова В.Н., Радвогин Ю.Б. Трехмерное сверхзвуковое обтекание гладких тел неравновесно реагирующим воздухом. М.,1981. - 28с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №92)

40. Иванов М.Я., Никитин Т.В. К расчету пространственного обтекания сверхзвуковым потоком тел сложной формы // Ученые записки ЦАГИ. -1973. Т.4, №4. - С. 7-13.

41. Йи Г.С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных координат // APT. 1987. - №11. - С. 11-21.

42. Калугин В.Т. Аэрогазодинамика органов управления полетом летательных аппаратов. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 688с.

43. Кан Сань-Вук. Неравновесное ионизированное гиперзвуковое течение около затупленного тела при низких числах Рейнольдса //РТК. — 1970 — Т.8, №7. С. 98-105.

44. Кацкова О.Н., Чушкин П.И. Влияние неравновесной диссоциации на сверхзвуковое пространственное обтекание обратных конусов // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. - №2. - С. 182-185.

45. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М., Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. — М.: Изд-во МГУ, 1980.- 248с.

46. Косоруков A.JI., Радвогин Ю.Б. Сравнительное изучение обтекания затупленных конусов равновесно и неравновесно реагирующим воздухом.- М., 1984. 24с. ( Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР,№ 22)

47. Косых А.П., Минайлос А.Н. Исследование методов сквозного счета для задач сверхзвуковой аэродинамики// Ученые записки НАГИ. 1976. - Т.7, №1. - С. 9-17.

48. Косых А.П., Минайлос А.Н. Расчет сверхзвукового невязкого течения около несущих тел и крыльев методом сквозного счета// Труды ЦАГИ.- 1977.-Вып. 1809.-С. 3-34.

49. Косых А.П., Минайлос А.Н. Расчет сверхзвукового невязкого течения у пирамидоидального тела, моделирующего дельтавидный летательный аппарат//Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. -№3.- С. 105-111.

50. Котенев В.П. О некоторых зависимостях для определения давления на поверхности плоского или осесимметричного тела //Ученые записки ЦАГИ.- 1993.-Т. XXIV, №2.-С. 139-144.

51. Котенев В.П. Метод расчета давления на поверхности осесимметричных тел ненулевой кривизны // Вестник МГТУ. Машиностроение. 1998. -№ 1. - С. 108-114.

52. Котенев В.П. Уравнения двумерных течений газа в динамических переменных // Информационные технологии. 2007. — №1. — С. 37-41.

53. Котенев В.П. Приближенный метод расчета давления на поверхности затупленных тел // Информационные технологии. 2007. - №2. - С. 76-80.

54. Котенев В.П., Савченко A.A. Метод расчета осесимметричных течений газа около носовой части сверхзвуковых летательных аппаратов // Вестник МГТУ. Машиностроение. -2002. -№1. С. 51-68.

55. Исследование движения сред, взаимодействующих с электромагнитным полем: Отчет по теме «Численное исследование сверхзвукового обтекания пространственных тел потоком неравновесно-диссоциирующего воздуха»

56. НИИ механики МГУ. Руководитель темы Г.А. Тирский. Исполнители: Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. ГР №77066746, Инв. №2267.-М., 1979.-30с.

57. Тирский Г.А. ГР№ 0181.8014328, Инв. №2847.-М., 1983.-33с.

58. ГР № 0181.8014328, Инв. №3106. -М., 1984.- 16с.

59. Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел химически неравновесным потоком газа

60. Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987.- Т.27, №6. С. 411-415.

61. Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. Численное исследование сверхзвукового пространственного обтекания тел сложной формы с учетом неравновесных физико-химических процессов //Газодинамика неравновесных процессов (Новосибирск). 1981. - С. 141-145.

62. Крайко А.Н. Аналитическое представление термодинамических функций воздуха // Инженерный журнал. 1964. - Т.4, вып.З. - С. 548-550.

63. Крайко А.Н. О расчете неравновесного течения газа в соплах Лаваля //Научные труды НИИ механики МГУ. 1973. - №21 - С. 31-34.

64. Красильников A.B., Никулин А.Н., Холодов A.C. Некоторые особенности обтекания затупленных по сфере конусов с большими углами полураствора при гиперзвуковых скоростях// Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. - №2.-С. 179-181.

65. Краснов Н.Ф. Основы аэродинамического расчета. — М.: Высшая школа, 1981.— 496с.

66. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - Том IV. -736с.

67. Лебедев С.И., Рычков А.Д. Расчет течения идеального газа в осесимметричных соплах Лаваля с учетом неравновесного протеканияхимических реакций // Численные методы МСС ( Новосибирск). 1980. -Т. 11, №5. — С. 111-119.

68. Лобановский Ю.И. Расчет обтекания сверхзвуковым потоком невязкого газа крылатых конических тел.// Ученые записки ЦАГИ. — 1980. Т. 11, №6.-С. 58-65.

69. Лунев В.В. Течение реальных' газов с большими скоростями. — М.: Физматлит,2007. 327 с.

70. Лунев В.В., Магомедов K.M., Павлов В.Г. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. М.: ВЦ АН СССР, 1968. - 203с.

71. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. М.: Наука, 1970. - Т. 1 - 287с. Т.2 - 380с.

72. Магомедов K.M., Холодов A.C. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // ЖВМ и МФ. 1969. - Т.9, №2. - С. 373-386.

73. Рицци В., Клавинс Э., Мак-Кормак У. Обобщенный численный метод гиперболического типа для трехмерных сверхзвуковых течений с ударными волнами// Численное решение задач гидромеханики. М.: Мир, 1977.-С. 87-96.

74. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во МГУ, 1980. - 439с.

75. Никулин А.Н. Расчет неравновесного обтекания затупленных тел методом установления // Аэрофизика и прикладная математика: Труды XX научной конференции МФТИ. М., 1975. - С. 5-9.

76. Петров К.П. Аэродинамика тел простейших форм. — М.: Факториал, 1998. 432с.

77. Погорелов Н.И., Шевелев Ю.Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания передней части затупленных тел под большими углами атаки. — М., 1981. 51с. (Препринт ИПМ АН СССР, №175).

78. Покровский А.Н., Фролов Л.Г. Приближенные зависимости для определения давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха набегающего потока // Механика жидкости и газа. 1985.- №2.-С. 185-190.

79. Предводителев A.C., Ступоченко Е.В., Плешанов A.C. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 200 до 6000 К и давлений от 0.00001 до 100 атм).-М.: ВЦ АН СССР, 1962.-267с.

80. Предводителев A.C., Ступоченко Е.В., Плешанов A.C. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 6000 до 12000 К и давлений от 0.001 до 1000 атм).-М.: ВЦ АН СССР, 1957.-301с.

81. Пушкина И.Г., Тишкин В.Ф. Адаптивные расчетные сетки из ячеек Дирихле для решения задач математической физики: методика построения, примеры // Математическое моделирование. 2000. - Том 12, №3. - С. 97109.

82. Радвогин Ю.Б. Зависимость отхода ударной волны от числа Маха набегающего потока // Доклады Академии наук СССР. 1974. - Том 215, №5.-С. 1063-1066.

83. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. - 592с.

84. Савинов К.Г., Шкадова В.П. О применении метода установления в задаче обтекания затупленного тела неравновесным потоком // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976.-№2.-С. 140-145.

85. Савинов К.Г., Шкадова В.П. Метод установления для расчета трехмерного неравновесного обтекания затупленных тел// Научные труды НИИ механики МГУ. 1975. -№41. - С. 80-94.

86. Саранцев А.И. Дополнение к методу скачков расширений второго порядка точности // Ученые записки ЦАГИ. 1991. -№1. - С. 82-88.

87. Взаимодействие плазмы с высокоскоростными потоками газа: Отчет по теме «Численное исследование процессов и течений в разрядном канале ВЧ плазмотрона» / НИИ механики МГУ. Руководитель темы Г.Г. Черный.

88. Исполнители: Сахаров В.И., Громов В.Г. НИР по проектам Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №20, Инв. № 4677. -М, 2003.-51с.

89. Сахаров В.И., Тирский Г.А. Расчет сверхзвукового обтекания затуплений методом установления по времени// Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.-С. 93-105.

90. Сахаров В.И., Шевелев Ю.Д. О расчете стационарного невязкого обтекания пространственных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. - №4. -С. 172-175.

91. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983. - Т.1. - 528с.

92. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980.-448с.

93. Синченко С.Г. Аппроксимация термодинамических функций воздуха

94. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. — Т.8, №4. - С. 917-922.

95. Современные проблемы газовой динамики / Под ред. У.Х.Т. Лоха: Пер. с англ. -М.: Мир, 1971.-403с.

96. Сокольников И.С. Тензорный анализ: Пер. с англ. — М.: Наука,1971. -376с.

97. Стулов В.П., Теленин Г.Ф. Неравновесное обтекание сферы сверхзвуковым потоком воздуха // Изв. АН СССР. Механика. 1965. -№1. -С.3-16.

98. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2006. - 400 с.

99. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: ИЛ, 1962. - 607с.

100. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического тела // ЖВМ и МФ. -1978. Т. 18, №6. - С. 1476-1492.

101. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1986г. — 424с.

102. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. -220с.

103. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. -М.: Наука, 1985. —304с.

104. Шкадова В.П. Трехмерное обтекание лобовой части затупленных тел неравновесным сверхзвуковым потоком воздуха// Научные труды НИИ механики МГУ. 1970. - №5 - С. 26-34.

105. Afonina N.E., Gromov V.G., Sakharov V. I., Hightemp technique for High Temperature Gas Flows Simulations// Proceeding of the the "Fifth European Symposium on Aerothermodynamics for Space Vehicles". SP-563. — Cologne (Germany), 2005. P. 323-328.

106. Anderson E.C., Lewis C.H. Laminar or Turbulent Boundary-Layer Flows of Perfect Gases or Reacting Gas Mixtures in Chemical Equilibrium // International Journal for Numerical Methods in Engineering. — 1973. Vol. 17 - P. 3-15.

107. Bhutta B.A., Lewis C.H. Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flows of Ionized Air // Journal of Spacecraft and Rockets. 1989. -№3 -P. 158-166.

108. Blottner F.G., Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flow of Ionized Air //AIAAJournal.-1964.- Vol.2,№ 11.-P. 1921-1927.

109. Boylan D.E. Laminar Heat Transfer on Sharp and Blunt Ten-Degree Cones in Conical and Parallel Low-Density Flow// AEDC-TR. 1973. - No 106. - 63p.

110. Cleary J. W., Rakich J.V. Theoretical and Experimental Study of Supersonic Steady Flow around Inclined Bodies of Revolution// AIAA Journal. 1970. -Vol. 8, No 3. - P. 511-518.

111. Davy W.C., Reinhardt W.A. Computation of Shuttle nonequilibrium flowfields on a parallel processor// NASA TN/ Ames Research Center. Moffett Field (California), 1978.-P. 1351-1376.

112. DeJarnette F., Hamilton H. Inviscid surface streamlines and heat transfer on Shuttle-type configurations// AIAA Paper. 1972. - No 72-703 - 13p.

113. DeJarnette F., Ford C., Young D. Calculation of Pressures on Bodies at Low Angles of Attack in Supersonic Flow // Journal of Spacecraft and Rockets.- 1980. Vol.17, № 6. -P.529-536.

114. Н. Harris Hamilton II. Calculation of Laminar Heating Rates on Three-Dimensional Configurations Using the Axisymmetric Analogue// NASA Technical Paper 1980. - No 1698. - 78p.

115. Hicks H.R., Wooten J.W. Numerical Divergence of tensor // Journal of computational physics. 1980. - №36. - P.411-416.

116. Hseih T. Numerical Investigation of Flowfield About a Series of Intented Nosetips// AIAA Paper. 1981. - No 81-0077. - lip.

117. Huber P.W., Evans J.S., Schexnayder C.J. Comparison of theoretical and flight-measured ionization in a blunt body re-entry flow field // AIAA Journal. --1971.-Vol. 9, №6.-P. 1154-1162.

118. Kang S.W., Jones W.Z., Dunn M.G. Theoretical and measured electron-density distributions at high altitudes // AIAA Journal. 1973. - Vol. 11, № 2.-P. 141-149.

119. Kutler P., Reinhardt W., Warming R. Multishocked three-dimensional supersonic flowfields with real gas effects // AIAA Journal. 1973. - Vol.11, №5. -P. 657-664.

120. Kutler P., Warming R., Lomax H. Computation of space Shuttle flowfields using noncentered finite difference schemes // AIAA Journal. — 1973. — Vol.11, №2-P. 196-204.

121. Lax P.D., Wendroff B. Systems of conservation lows // Comms. Pure and Appl. Math. 1960.-Vol. 13, №2.-P. 217-237.

122. Nachbar W., Williams F., Penner S. The conservation equations for independent coexistent continua and for multicomponent reacting gas mixtures // Quart Appl. Math. 1959. - Vol. XVII, №1. - P.43-54.

123. Mac Cormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper. 1969. - №354. - 7p.

124. Rakich J.V., Bailey Н.Е., Park С., Computation of nonequilibrium three-dimensional flow over blunt-nosed bodies flying at supersonic speeds// AIAA Paper. 1975. - No 75-835 - 13p.

125. Rakich J.V., Lanfranco M.J. Numerical Computation of Space Shuttle Laminar Heating and Surface // Journal of spacecraft and rockets. 1977. - Vol. 14, №5. -P. 265-272.

126. Reinhardt W. Parallel Computation of unsteady three-dimensional, chemically reacting, nonequilibrium flow using a time split finite-volume method on Illiac IV // Journal Physic chemistry. 1977. - Vol. 81, №25. - P. 2427-2435.

127. Richard L. Baker, Raymond F. Kramer. Evaluation of Total Body Heat Transfer Hypersonic Flow // AIAA Journal. 1983. - Vol.21, № 3. - P. 473-475.

128. Rizzi A.W., Bailey H.E. Reacting Nonequilibrium Flow Around the Space Shuttle Using a Time Split Method// Aerodynamic Analyses Requiring Advanced Computers. 1975. - Part II, NASA SP-347. - P. 1327-1349.

129. Rizzi A.W., Bailey H.E. Split Space-Marching Finite Volume Method for chemically Reacting Supersonic flow // AIAA Journal. 1976. - Vol. 14, № 5. -P. 621-628.

130. Rizzi A., Ihouye M. A time split Finite-Volume method for three-dimensional Blunt Body Flow//AIAA Journal. 1973.-Vol.11, № 11.-P. 1478-1485.

131. Swaminathan S., Kim M.D. and Lewis C.H. Nonequilibrium Viscous Shock-Layer Flows over Blunt Sphere-Cones at Angle of Attack // Journal of Spacecraft and Rockets. 1983. - Vol. 20, July-August. - P.331-338.

132. Vinokur M. Conservation Equations of Gasdynamics in Curvilinear Coordinate Systems // Journal of computational physics. 1973. - № 14. - P. 105-125.

133. Waskiewicz J.D., Lewis C.H. Hypersonic Viscouse Flows Over Sphere Cones at High Angles of Attack// AIAA Journal.- 1979.-Vol.17, № 2.-P. 131-132.165