Пространственные задачи сверхзвукового обтекания тел потоком вязкого газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Бородин, Александр Иванович

• Бородин, Александр Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бородин, Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

1 ЛАМИНАРНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛАХ С ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

1.1. Математическая постановка задачи.

1.2. Выбор системы координат на поверхности.

1.3. Конечно-разностный метод решения уравнений трехмерного пограничного слоя при отсутствии в течении плоскостей симметрии.

1.4. Численное исследование течения совершенного газа в пограничном слое на затупленных телах с квадратичной поверхностью, обтекаемых под углами атаки и скольжения

2 ТЕЧЕНИЕ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА В ТОНКОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ВЯЗКОМ УДАРНОМ СЛОЕ НА ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛАХ С ПРОНИЦАЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ.

2.1. Система уравнений и граничные условия.

2.2. Численный метод решения уравнений трехмерного вязкого ударного слоя при наличии вдува или отсоса.

2.3. Анализ результатов расчетов уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя в широком диапазоне изменения определяюпдих параметров задачи.

2.4. Решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя с уточненной формой ударной волны.

3 МОДЕЛЬ ПАРАБОЛИЗОВАННОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Численное интегрирование уравнений пространственного ПВУС.

3.3. Численные расчеты уравнений ПВУС, анализ и сравнение с результатами других моделей.

3.4. Глобальные итерации по продольной составляющей градиента давления и по форме ударной волны.

4 ХИМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ С КАТАЛИТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ ПОВЕРХНОСТИ.

4.1. Уравнения и граничные условия в пространственных ТВУС и ПВУС.

4.2. Численное решение задачи.

4.3. Результаты численных расчетов многокомпонентного ТВУС

4.4. Результаты численных расчетов многокомпонентного ПВУС

4.5. Применение метода глобальных итераций для решения уравнений многокомпонентного вязкого ударного слоя.

5 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ В РАМКАХ МОДЕЛИ ПОЛНОГО ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ

5.1. Постановка задачи.

5.2. Численный метод решения задачи.

5.3. Обсуждение результатов расчетов.

5.4. Случай, когда поверхность тела задана таблично.

6 ПАРАБОЛИЗОВАННЫЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ С УЧЕТОМ СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА

6.1. Постановка задачи.

6.2. Метод решения.

6.3. Иследование задачи входа в атмосферу Земли тела с аэродинамическим качеством.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственные задачи сверхзвукового обтекания тел потоком вязкого газа»

Бурное развитие авиационной и ракетно-космической техники со второй половины XX века вызвало повышенный интерес к проблемам сверхзвукового обтекания тел. Прогресс в вычислительной технике в последние десятилетия позволил занять достойное место в ряду традиционных теоретических и экспериментальных исследований численному моделированию в получении аэродинамических характеристик и изучении процессов теплообмена при проектировании летательных аппаратов. Сравнительная дешевизна и возможность воспроизведения натурных условий, что зачастую недостижимо в лабораторных условиях, стимулировали быстрое создание эффективных численных алгоритмов получения данных о структуре течений около обтекаемых поверхностей.

Задача аэродинамики теплообмена тел при входе с большими скоростями в плотные слои атмосферы характеризуется широким диапазоном изменения по траектории входа определяюгцих задачу параметров, в частности, числа Рейнольдса набегающего потока изменяются от десяти до сотен миллионов, температура торможения достигает десятков тысяч градусов, а давление торможения - сотен атмосфер. Высокие температуры инициируют протекание в ударном слое около обтекаемого тела сложных физико-химических процессов. Спускаемые аппараты имеют сложную геометрическую форму, управление этими аппаратами осуществляется изменением вдоль заданной траектории углов атаки (торможение) и углов скольжения (управление подъемной силой).

Цель данной работы состоит в создании эффективных численных методов решения существенно пространственных задач гиперзвуковой аэродинамики и исследовании с их помощью течений в возмущенной области перед обтекаемым затупленным телом для установления закономерностей тепловых характеристик, связанных с разработкой необходимой тепловой защиты летательных аппаратов.

В настоящее время наиболее общей математической моделью, описывающей течение жидкостей и газов при предположении сплопхности рассматриваемой среды, является система уравнений Навье-Стокса (НС). Высокий порядок дифференциальных уравнений НС, их нелинейность являются причиной трудностей, возникающих при их численном интегрировании. И несмотря на прогресс в области вычислительной техники задача решение полных уравнений НС остается весьма трудоемкой, особенно с ростом числа независимых переменных. Вместе с тем для практических приложений, в нашем случае - это обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа, именно трехмерные течения представляют наибольший интерес. Наиболее распространенным подходом к рассмотрению этого класса задач является применение различных упрош,ен-ных моделей, позволяющих находить решение с приемлемой точностью.

Исторически первой такой упрощенной моделью является модель пограничного слоя (НС) (предложенная Л.Прандтлем [1] еще в начале XX века), в которой все течение вязкого газа около поверхности обтекаемого тела при больших числах Рейнольдса разбивается на две части: на область пренебрежимо малого влияния вязкости (невязкое течение) и область пограничного слоя. Решение в невязкой области находится из уравнений газовой динамики (уравнения Эйлера), а в области вязкого течения - из уравнений Прандтля, представляющих собой предельную асимптотическую форму уравнений НС при числе Рейнольдса, стремящемся к бесконечности [2]. Такое приближение соответствует условиям задачи входа тел в атмосферу на низких участках траектории.

Классическая теория ламинарного пограничного слоя хорошо изложена в монографиях [3, 4], там же представлены некоторые результаты исследований двумерных задач теории ламинарного ПС. Обзор работ, относящихся к пространственным задачам ПС, дан в [5, 6]. Объективные трудности при интегрировании трехмерных уравнений ПС обусловили интерес к вырожденным пространственным течениям газа, когда все три компоненты скорости отличны от нуля, но зависят от двух, а иногда лишь от одной, переменных. К таким задачам относятся задачи о течении на линии торможения в окрестности критической точки двоякой кривизны [12, 13, 14, 15], обтекание цилиндра под углами атаки [17, 16, 18, 9], задача о течении в окрестности плоскости симметрии затупленных тел [19, 22, 25, 28, 43, 46, 45] и т.д.

Первые работы, в которых течение в пространственных ПС было рассмотрено в точной постановке без каких-либо упроп],аюш,их предположений, относятся к середине 60-х годов прошлого столетия: в работе [20 было рассмотрено обтекание затупленного по сфере конуса под углом атаки, в [21] проведено численное исследование ПС около эллипсоидов враш,ения при ненулевом угле атаки. Вопросы, связанные с расчетом ПС, возникаюш,его при обтекании вязким сверхзвуковым потоком газа под углом атаки сферического сектора, рассматривались в [23, 24 . Численные и асимптотические решения трехмерных уравнений ламинарного ПС около затупленных тел с двумя плоскостями симметрии, обтекаемых под нулевым углом атаки при наличии вдува или отсоса получены в [48, 47]. Расчеты течения сжимаемого газа в ПС около длинных биэллиптических тел проведены в [29, 30]; обтекание под углом атаки и скольжения сегментально-конических тел и трехосных эллипсоидов с непроницаемой поверхностью - в [26]. Тела более сложной формы, моде-лируюш,ие сверхзвуковой аппарат рассмотрены в монографии [31 .

Все используемые методы при решении трехмерных по супдеству задач ПС можно разделить на две группы: приближенные аналитические или численные методы, используюпдие некоторые упрош,ающие предположения, и точные численные методы без какого-либо упрощения исходных уравнений пространственного ПС. К первой группе относятся метод осесимметричной аналогии [7], локально-автомодельное приближение [8], метод интегральных соотношений [9], многопараметрический метод Л.Г.Лойцянского [10], интегральный метод последовательных приближений [11]. Многочисленные исследования пространственных тече

НИИ этими методами позволили прояснить качественную структуру течения, а в некоторых случаях и дать рекомендации для инженерных приложений. Обзор численных методов, относящихся ко второй группе, дан в [27, 32;.

Описываемый в первой главе настоящей работы метод решения трехмерных уравнений ПС относится к точным численным методам. Он позволяет построить полную картину течения в пространственном слое около проницаемой поверхности гладкого затупленного тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком теплопроводного сжимаемого вязкого газа под различными углами атаки и скольжения, т.е. когда в поставленной задаче отсутствует какая-либо симметрия. Метод имеет повышенный порядок аппроксимации по координате, отсчитываемой поперек пограничного слоя. На основе этого метода проведено систематическое численное исследование обтекания под углами атаки и скольжения различных затупленных тел (трехосные эллипсоиды, эллиптические параболоиды и двуполостные гиперболоиды) с проницаемой (в том числе и с частично проницаемой) поверхностью. Проводится оценка влияния на структуру течения в пограничном слое, распределения компонент напряжения трения и теплового потока формы тела и температуры его поверхности, параметра вдува газа с поверхности, углов атаки и скольжения. Показано, что в зависимости от определяющих параметров задачи распределения теплового потока вдоль поверхности может носить качественно различный характер. Результаты, полученные с помощью этого метода и частично изложенные в главе I, опубликованы в работах 127, 128, 129, 130, 132, 146, 152, 151 .

На верхнем участке траектории входа тел в атмосферу характерные числа Рейнольдса относительно невелики и классическая модель ПС становится неприемлемой, поскольку эффекты молекулярного переноса оказываются существенными во всей возмущенной области течения и и т-\ между ударной волной и телом. В настоящее время широкое распространение получила концепция вязкого ударного слоя, согласно которой вся возмущенная область между ударной волной и поверхностью обтекаемого тела описывается единой системой уравнений динамики вязкого газа. Отличительной особенностью данных уравнений от полных уравнений НС является отсутствие в них членов, ответственных за молекулярный перенос вдоль основного (маршевого) направления. Таким образом, при их численном интегрировании в принципе можно использовать экономичные маршевые методы. Различные варианты моделей вязкого ударного слоя получаются при принятии дополнительных предположений для замыкания системы дифференциальных уравнений.

Во второй главе данной работы рассматривается одна из самых известных моделей вязкого слоя - модель гиперзвукового или тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС), предложенная И.К.СИе^'ом [100], в которой все течение разбивается на два слоя: область между поверхностью тела и задним фронтом ударной волны и непосредственно сама ударная волна, поперечные размеры которых при больших числах Маха считаются малыми. Уравнения ТВУС содержат все члены уравнений пограничного слоя и невязкого ударного слоя в гиперзвуковом приближении. Уравнения, описывающие область перехода через ударную волну, интегрируются и полученные соотношения (обобщенные условия Рэнкина-Гюгонио) используются а качестве граничных условий на внешней границе вязкого ударного слоя. Многочисленные сравнения с экспериментом и расчетами в более полной постановке, анализ которых можно найти в обзорах 67, 6], свидетельствуют о удовлетворительной точности модели ТВУС при определении тепловых потоков и сопротивления трения там, где ударный слой является тонким.

Первые решения, полученные численными методами в рамках модели ТВУС, были получены для плоских и осесимметричных течений (подробный обзор двумерных решений уравнений ТВУС - в [67]). В дальнейшем появились работы, посвященные различным частным случаям пространственных течений: например, в [54, 33, 35] получено решение задачи в окрестности критической точки двоякой кривизны, в [34] - в окрестности плоскости симметрии эллиптического гиперболоида. Используя приближенные подходы в определении продольных составляюш;их градиента давления, которые в отличие от ПС заранее неизвестны, были проведены исследования при обтекании под нулевым углом атаки эллиптических параболоидов и гиперболоидов в [36], а в [107] - под углом атаки эллиптического параболоида. До публикации первых авторских статей в литературе не было представлено работ, посвяш;енных обш,ему случаю обтекания затупленных тел под углами атаки и скольжения.

Уравнения ТВУС являются параболическими уравнениями, также как и в ПС, поэтому наработанная методика расчета трехмерных уравнений ПС (первая глава) была применена и в данном случае. Излагаемый в работе строгий подход к расчету уравнений пространственного ТВУС позволил найти решение задачи в точной постановке. Для исследования используется цилиндрическая система координат с началом в критической точке на поверхности, что позволило выписать не содер-жап],ие особенности уравнения для продольной и окружной составляю-ш,их градиент давления и тем самым замкнуть задачу. Большое количество расчетов, проведенных в широком диапазоне изменения определя-юш;их параметров задачи, позволили сделать вывод о том, что данный численный метод решения уравнений пространственного ТВУС является эффективным и экономичным. Проведенные на основе этого метода исследования выявили сильную зависимость структуры течения в вязком слое от формы обтекаемого тела и величины углов атаки и скольжения, и как следствие, тепловых нагрузок на обтекаемую поверхность. Основные результаты, полученные при исследовании трехмерного тонкого вязкого ударного слоя в однородном газе около тел, обтекаемых под углами атаки и скольжения, опубликованы в работах 131, 133, 132, 136, 135, 139, 141, 140, 146 .

Однако модель ТВУС обладает супдественными недостатками. Так применение упрощенного уравнения импульсов в нормальном к поверхности направлении приводит к появлению на поверхности выпуклого тела точки с нулевым давлением (точки отрыва), за которую решение задачи не может быть продолжено. Кроме того, расчеты по модели ТВУС дают низкую точность вниз по потоку, где толщина ударного слоя становилась не малой. Частично эти ограничения были преодолены методом глобальных итераций по форме ударной волны (см. последний параграф главы 2). Ранее в работах [72, 73] были предприняты попытки сдвинуть точку отрыва ближе к миделю тела на основе метода двух приближений.

С этой же целью в третьей главе данной работы предлагается новая математическая модель течения - модель параболизованного вязкого ударного слоя (ПВУС). Основная идея предлагаемой модели состоит в том, чтобы, с одной стороны, использовать более точное (по сравнению с ТВУС) уравнение движения в проекции на нормаль к поверхности, служащее для определения давления, и тем самым существенно увеличить размер расчетной области по маршевой координате, а с другой стороны - сохранить достоинство модели ТВУС, состоящее в возможности прямого применения маршевых методов к решению исходных уравнений. На основе систематического исследования было определено, что область применимости модели ПВУС в асимптотическом смысле не отличается от области применимости модели ТВУС, но в рамках новой модели ПВУС существенно увеличивается расчетная область по маршевой координате (но сравнению с моделью ТВУС), что позволяет применять данную модель для расчетов практически на всей лобовой поверхности затупленных тел, вплоть до их миделя. Результаты, полученные при исследовании трехмерного ПВУС в однородном газе около тел, обтекаемых под углами атаки и скольжения, опубликованы в работах [142, 143, 144, 146, 150, 154 .

При движении тел в атмосфере с большими сверхзвуковыми скоростями нагрев газа в ударном слое инициирует протекание в нем различных физико-химических процессов, учет которых необходим для получения реальной картины течения. В частности, к таким явлениям относятся химические реакции, протекающие между составляющими газ компонентами. Из-за конечной скорости этих процессов характер протекания химических реакций является существенно неравновесным. Влияние химических процессов на основные характеристики течения в вязком слое в настоящей работе рассматривается на примере задачи о входе тела с аэродинамическим качеством в атмосферу Земли. В четвертой главе задача обтекания затупленных тел сложной формы с каталитической поверхностью гиперзвуковым потоком химически неравновесной смесью газов под углами атаки и скольжения решена в рамках моделей ТВУС и ИВУ С. Эти вполне самостоятельные задачи объединены в одной главе исключительно из экономии места.

Ранее задача о течении многокомпонентного химически реагирующего газа в ТВУС в окрестности критической точки была решена в [56, 82 . В ряде работ были рассмотрены частные случаи течения в вязком ударном слое, когда все три компоненты вектора скорости отличны от нуля, однако решение в силу той или иной симметрии задачи зависит лишь от двух переменных. К таким задачам, в частности, относятся задачи о течении в плоскости симметрии затупленного тела, об обтекании под углом атаки стреловидных крыльев бесконечного размаха и под нулевым углом атаки осесимметричных вращающихся тел (см. обзор [67]). Большое внимание уделено течениям с физико-химическими процеесса-ми в монографии [112]. Полностью данному вопросу посвящена работа 113.

Наряду с исследованием закономерностей течения в рамках обеих моделей в отдельных точках траектории и для различных моделей гетерогенных каталитических реакций на поверхности обтекаемых тел в этой же четвертой главе приводится решение задачи входа в атмосферу

Земли эллиптического параболоида по планирующей траектории, которая определяется не только высотой и скоростью, как функциями времени полета, но и изменяющимися со временем углами атаки и скольжения. Аналогичная траекторная задача при обтекании крыльев бесконечного размаха с затупленной передней кромкой и прямолинейной образующей рассматривалась в [104 .

Результаты, полученные при исследовании неравновесных течений в рамках моделей ТВУС и ПБУС около тел, обтекаемых под углами атаки и скольжения, опубликованы в работах [134, 132, 137, 138, 145, 148, 149, 158, 159 .

Стремление устранить перечисленные выше недостатки модели ТВУС привело к появлению модели полного вязкого ударного слоя (ВУС) [75 . Уравнения ВУС включают в себя все члены уравнений Эйлера и пограничного слоя. В отличие от модели ТВУС в уравнениях ВУС члены с кривизной учитываются, уравнение импульсов по нормали берется полным (за исключением вязких членов), а форма ударной волны - не эквидистантна поверхности тела, а определяется в процессе решения. Отсюда следует расширение границ применимости модели ВУС: возможность расчета обтекания тел при небольших сверхзвуковых скоростях, а также в тех случаях, когда ударный слой не является тонким. Отсутствие в системе ВУС вторых производных по продольным координатам причисляет ее к системам эволюционного типа, что в принципе предполагает применение к ее решению маршевых методов. Однако, как показывает анализ [114, 61, 65], поскольку уравнения ВУС включают в себя все члены уравнений Эйлера, то невязкий оператор является гиперболическим в сверхзвуковых областях и эллиптическим в дозвуковых (а это пристеночная область и окрестность линии торможения). Для подавления возмущений против потока необходим механизм регуляризации решения. В настоящее время для этих целей широкое распространение получили метод установления и метод глобальных итераций (ГИ). в качестве такого в настоящей работе (глава пятая) используется метод установления, в котором в качестве исходных уравнений используются нестационарные уравнения ВУС, а необходимое решение получается как предел установления по времени.

В методе ГИ используется итерационный процесс, в котором в качестве глобальных итерируемых функций выступают неизвестная заранее форма ударной волны и продольные составляющие градиента давления, передающие возмущение вверх по потоку в дозвуковых областях. Метод ГИ впервые был использован при гиперзвуковом осесимметричном обтекании лобовой поверхности гиперболоида вращения в работе [75] . Для первого приближения использовалась модель тонкого (гиперзвукового) вязкого слоя. Проведенные расчеты показали хорошую сходимость метода, однако, для тел другой формы (с "толстым" ударным слоем) описанный в работе итерационный процесс расходился. В связи с этим в ряде работ [60, 61, 64, 65] (см. также [67, 6] и цитируемую там литературу) впервые был развит сходящийся метод ГИ для двумерных задач с произвольным "толстым" ударным слоем. В работе [66] описывается итерационная процедура метода ГИ для трехмерного случая, но конкретные расчеты приведены для тел вращения. В настоящей работе во второй, третьей и четвертой главах предлагаются различные модификации метода ГИ, позволившие провести расчеты обтекания вязким однородным газом и многокомпонентной химически реагирующей смесью газов трехосных эллипсоидов под различными углами атаки и скольжения, т.е. в самом общем пространственном случае. Так, в параграфе 3.4 проведена оценка приближенного подхода к вычислению продольных составляющих градиента давления в ИВУ С. А в последнем параграфе четвертой главы исследуется влияние уточненной формы ударной волны и точных продольных составляющих градиента давления на результаты численных решений.

В пятой главе наряду с решением задачи обтекания тел, поверхность которых задана аналитической формулой, рассматривается интересный с практической точки зрения случай, когда эта поверхность задана таблично с некоторой точностью. Для вычисления производных вдоль этой поверхности, входящих в коэффициенты уравнений ВУС, применялась оригинальная методика сглаживания, основанная на кубических В-сплайнах. Особенности метода решения пространственных уравнений ВУС, результаты численных исследований в рамках этой модели опубликованы в работах [147, 153, 156 .

В задачах, рассмотренных в четвертой главе, предполагалось, что поверхность движущегося по траектории спуска тела - теплоизолированная. В реальности же происходит интенсивное тепловое взаимодействие нагретого газового потока с теплозащитным покрытием летательного аппарата. Теоретическое решение этой задачи в общем случае должно быть получено при совместном рассмотрении процессов в газовой и твердой фазах [121], т.е. должно основываться на решении дифференциальных уравнений внешней газодинамики в многокомпонентных реагирующих газовых смесях в сопряжении с уравнением теплопроводности в защитной оболочке движущегося тела [122]. В шестой главе настоящей работы решена задача спуска по планирующей траектории в атмосфере Земли гладкого затупленного тела, обладающего аэродинамическим качеством и теплопроводной поверхностью. Траектория спуска представлена не только высотой и скоростью, как функциями времени полета, но и изменяющимися во времени углами атаки и скольжения. Уравнения в газовой фазе, которыми являются пространственные уравнения ПВУС для многокомпонентной смеси газов, решаются совместно с трехмерным уравнением нестационарной теплопроводности в твердой фазе. Ранее учет сопряженного теплообмена для ряда задач теории вязкого ударного слоя проводился в окрестности критической точки в [123], для осесимметричных течений - в [124], при пространственном обтекании с фиксированным углом атаки (в течении присутствует плоскость симметрии) - в [110]. Во всех упомянутых работах: потоком тепла вдоль покрытия пренебрегал ось.

На основании многочисленных расчетов и представленных в данной работе результатов можно сделать вывод, что учет аэродинамического качества спускаемого аппарата и рассмотрение трехмерных процессов распространения тепла в его защитной оболочке существенно меняет представление о распределении тепловых нагрузок по защищаемой поверхности тела, которое должно учитываться при проектировании подобных аппаратов.

Результаты, полученные при исследовании неравновесных течений около тел с теплопроводной защитной оболочкой опубликованы в работах [157, 160;.

Данная диссертация была выполнена при поддержке грантов РФФИ 93-013-17957, 95-01-00832, 98-01-00298. Часть разработанных в диссертации методов, алгоритмов и программ внедрена в национальном институте информатики и автоматики INRIA (Франция).

Основные результаты по теме диссертации докладывались на семинаре в ЛФТИ АН СССР под руководством профессора Ю.П.Головачева, на семинаре в ТГУ под руководством профессора И.М.Васенина, на семинаре НИИ ПММ под руководством профессора И.Б.Богоряда.

Результаты исследований по теме диссертации докладывались на VI и VII Всесоюзных школах-семинарах по механике реагирующих сред (г.Междуреченск, 1986г., г.Красноярск, 1988 г., г.Кемерово, 1990 г.), на XI Всесоюзной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (г.Свердловск, 1988 г.), на II Всесоюзной школе-семинаре по термогазодинамике и макрокинетике (г.Томск, 1988 г.), на XII Всесоюзной конференции по вычислительной математике и математической физике (г.Одесса, 1987 г.), на IV и V Всесоюзных конференциях "Современные проблемы аэрогидродинамики" (г.Жданов, 1987 г., п.Рыбачье, 1989 г.), на III Всесоюзной школе-семинаре по макроскопической кинетике,

16 химической и магнитной газодинамике (г.Томск, 1991 г.), на конференции " Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (г.Томск, 1991, 1998, 2000 гг.), на II Japan-Soviet Unionjoint symposium on computational fluid dynamics (г.Цукуба, 1990 г.), на международных конференциях Computational Fluid Dynamics (г.Штутгардт, Германия, 1994 г., Г.Париж, Франция, 1996 г.).

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бородин, Александр Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны эффективные численные методы расчета обтекания затупленных тел с проницаемой поверхностью в рамках модели пространственного ламинарного пограничного слоя и модели гиперзвукового (тонкого) вязкого ударного слоя как для однородного газа , так и для химически реагируюш;ей неравновесной смеси газов. Предлагаемый алгоритм расчета имеет повыпхенный порядок аппроксимации по поперечной координате и не требует наличия в течении плоскостей симметрии.

2. В рамках этих моделей разработанными методами проведено систематическое численное исследование влияния на структуру течения и распределения компонент напряжения трения и теплового потока определяющих параметров задачи: формы тела, температуры его поверхности, параметра вдува, углов атаки и скольжения, числа Рейнольдса и т.д. Рассмотрен обширный класс тел с квадратичной поверхностью: трехосные эллипсоиды, двуполостные эллиптические гиперболоиды, эллиптические параболоиды. Показано, что абсолютные значения теплового потока и компонент напряжения трения сильно зависят от определяющих параметров задачи, тогда как эти распределения, отнесенные к своим значениям в критической точке, консервативны к изменению температуры поверхности, числа Рейнольдса и расходу вдуваемого газа с нее. Получено, что в зависимости от геометрии течения относительные распределения этих величин вдоль поверхности могут носить качественно различный характер. В частности, при нулевом угле атаки эти распределения для гиперболоидов и параболоидов всегда имеют в критической точке максимум, а для этих распределений вдоль эллипсоида в зависимости от соотношений между осями эллипсоида критическая точка является либо точкой локального экстремума либо седловой точкой. При нулевых углах скольжения все локальные экстремумы находятся в оставшейся плоскости симметрии, а в общем случае ненулевых углов атаки и скольжения всякая симметрия в течении нарушается, а на боковой поверхности тела возникает конечная область повышенных тепловых потоков и компонентов напряжения трения по сравнению с их значениями в критике. Вдув газа с поверхности усиливает немонотонность всех расчетных параметров по окружной координате.

3. Предложена новая газодинамическая модель течения - модель па-раболизованного вязкого ударного слоя. Достоинства новой модели заключаются в следующем: во-первых, для гладких тел она имеет хорошую точность в достаточно широкой и интересной для практических приложений окрестности затупления тела, где силовые и тепловые нагрузки значительны, а сам ударный слой остается тонким, во-вторых, для решения соответствуюш;ей начально-краевой задачи в рамках данной модели можно использовать быстрые и экономичные маршевые методы расчетов, что особенно важно для трехмерных течений, и, в-третьих, из всех известных модификаций уравнений вязкого ударного слоя, со-храняюш,их параболический тип, модель параболизованного вязкого ударного слоя позволяет суп1,ественно увеличить размер расчетной области по маршевой координате.

4. В рамках новой модели параболизованного вязкого ударного слоя, обобпденной на течение многокомпонентной химически неравновесной смеси газов, решена задача входа затупленного тела в плотные слои атмосферы Земли по планируюгцей траектории. Наличие в задаче ненулевых углов атаки и крена делает ее пространственной по суш,еству. Численное моделирование спуска позволило получить распределения температуры на поверхности движуш,егося тела на протяжении всего полета. Зона повышенных температур перемепдается вместе с критической точкой, хотя последняя и не является точкой максимума этих распределений. Точка максимума сдвигается в сторону максимальной средней кривизны поверхности тела. Распределение максимальной по времени температуры нагрева теплоизолированной поверхности обтекаемого те

231 ла носит сложный, существенно несимметричный характер.

5. Предложена и реализована модификация метода установления для решения пространственных уравнений полного вязкого ударного слоя. Наряду с исследованием течений вязкого газа около тел с поверхностью, заданной аналитической формулой, рассмотрен перспективный с практической точки зрения случай, когда поверхность задана таблично. Предложенная методика решения позволяет существенно расширить класс рассматриваемых тел.

6. Решена задача спуска по планирующей траектории входа в атмосферу Земли тела, не только обладающего аэродинамическим качеством, но и теплопроводной поверхностью. Показано, что учет продольного перетекания тепла вдоль поверхности защитной оболочки качественно изменяет распределение температуры в ней. Полученное с учетом аэродинамического качества спускаемого аппарата и трехмерных процессов распространения тепла в его защитной оболочке распределение тепловых нагрузок по защищаемой поверхности тела должно учитываться при проектировании подобных летательных аппаратов.

7. Создан уникальный пакет программ, позволяющих проводить численное исследование течений около затупленных тел как однородного газа, так и многокомнонентной химически неравновесной смеси газов, в рамках различных газодинамических моделей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бородин, Александр Иванович, 2001 год

1. Prandle L. Uber Flwssigheisbewegung bei Sehrkleiner Reibung Ver-hauldg // III Int.Mah.Kongr. Heidelberg. 1904. P.484-491.

2. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. М.:Наука. 1987. 256 с.

3. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.:Физматгиз. 1962. 479 с.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.:Наука. 1974. 711 с.

5. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М:Наука, 1977. 224 с.

6. Пейгин СВ., Тирский Г.А. Трехмерные задачи сверх- и гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер.МЖГ. 1988. Т.22. С.62-177.

7. Сооке J.C. An Axially Symmetric Analogue for General Three-Dimensional Boundary Layers / / Aeronautical Research Council RSM. 1959. N 3200. 12 p.

8. Lees L. Laminar heat transfer over blunt-nosed bodies at hypersonic flight speeds. // Jet Propulsion. 1956. N 26. P.259-269.

9. Башкин В.A. Ламинарный пограничный слой на бесконечно длинных эллиптичских цилиндрах при произвольном угле скольжения. // Изв. АН СССР МЖГ. 1967. N 5. С.76-82.

10. Лойцянский Л.Г. Универсальны уравнния и параметрические при-ближния в теории ламинарного пограничного слоя // Прикладная матем. и мех., 1965, Т.29, N 1, С.70-87.

11. И. Тирский Г.А. Метод последовательных приближений для интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя с химическими реакциями, включая реакцию ионизации // Ин-т мех. МГУ. 1970. Отчет N 1061.

12. Reshotko Е. Heat transfer to а general three-dimentional stagnation point // Jet Propulsion. 1958. V.28. P.58-60.

13. Ермак Ю.Н., Нейланд В.Я. К теории трехмерного ламинарного пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. N 5. С.950-954.

14. Тирский ГА. Определение тепловых потоков в окрестности критической точки двоякой кривизны при обтекании тела диссоциирую-1ЦИМ газом произвольного химического состава // ПМТФ. 1965. N 1. С.45-56.

15. Jeng D.R., Williams D.W. Transpiration cooling in three-dimensional boundary layer flow near a stagnation point // AIAA Journal. 1973. V . 11 . N 11. P.1560-1562.

16. Тирский ГА. Теплопередача в окрестности передней кромки наклонного к потоку бесконечно длинного цилиндра, обтекаемого диссоциированным воздухом // Изв. АН СССР. Мех. и машиностр. 1962. N 6. С. 125-130.

17. Reshotko Е., Beckwith I. Compressible laminar boundary layer over a jawed infinity cylinder with heat transfer and orbitrary Prandtl number // NASA. 1958. N 1379.

18. Cohen N., Beckwith I. Boundary-layer similar solution for dissociated air and application for calculation of laminar heat transfer distribution on blunt bodies in high speed flow // Int. Development in Heat Transfer. N.Y. 1961. P.406-414.

19. Селиверстов С.Н. Расчет ламинарного пограничного слоя на линии растекания лобовой поверхности сегментального тела в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. N 4. С. 109-114.

20. Введенская Н.Д. О трехмерном ламинарном пограничном слое на затупленном теле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. N 5. С.36-40.

21. Шевелев Ю.Д. Численное исследование пространственного пограничного слоя в сжимаемом газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. N 4. С. 171-177.

22. Морозов И.П. Ламинарный пограничный слой на линии растекания эллипсоидов врап];ения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. N 6. С.50-53.

23. Андреев ГН. Расчет трехмерного ламинарного пограничного слоя на телах, имеющих плоскость симметрии // Научн.труды. Ин-т мех. МГУ. 1970. N 5. С.50-60.

24. Андреев Г.Н., Шевелев Ю.Д. О пространственном пограничном слое на сегментальном теле при сверхзвуковых скоростях // Изв. АН СССР. МЖГ 1971. N 3. С.41-48.

25. Андреев ГН. Расчет ламинарного пограничного слоя на линии растекания тел вращения // Научн.труды. Ин-т мех. МГУ. 1972. N 19. С.95-103.

26. Андреев Г.Н., Бурдельный А.К., Миносцев В.В., Савинов И.Г. Исследование пространственного обтекания затупленных тел с учетом вязкости в рамках теории пограничного слоя // Научн.труды. Ин-т мех. МГУ. 1975. N 11. С.63-79.

27. Шевелев Ю.Д. Разностные методы расчета пространственного ламинарного пограничного слоя // Новые применения метода сеток в газовой динамике. М.:МГУ. 1971. N 1. С.100-195.

28. Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин СВ. Ламинарный пространственный пограничный слой на проницаемой поверхности в окрестности плоскости симметрии // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980, N 3, С.27-39.

29. Алексин В.А., Шевелев Ю.Д. Пространственные турбулентные пограничные слои на биэллиптических телах, обтекаемых потоком сжимаемого газа под углом атаки // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. N 2. С.39-47.

30. Алексин В.А., Казейкин С.Н., Шевелев Ю.Д. Расчет пространственного ламинарного и турбулентного пограничного слоя на телах сложной формы // Прикл. вопр. аэродин. летат. аппаратов. Киев. 1984. С.117-121.

31. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики // М.:Наука. 1986. 367 с.

32. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. М.-.Наука. 1984. 285 с.

33. Марков A.A. Исследование стационарного течения вязкого газа в тонком трехмерном ударном слое // Изв. АН СССР. МЖГ, 1980, N 5, С. 115-126.

34. Анкудинов A.B. Расчет вязкого ударного слоя в плоскости симметрии течения около эллиптического гиперболоида под углом атаки // Труды ЦАГИ. 1983. N 2203.

35. Анкудинов A.B. Расчет теплового потока в пространственной критической точке при сверхзвуковом обтекании тела // Уч.зап. ЦАГИ. 1989. Т.20. N 4. С.37-45.

36. Андреев Г.Н. Исследование трехмерного пограничного слоя. Институт механики МГУ, отчет 1642, 1974. 262 с.

37. Черный ГГ. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.:Физматгиз, 1959. 220 с.

38. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. M : Наука, 1978. 592 с.

39. Keller H.B. А new différence scheme for parabolic problems. Numerical solutions of partial differential equations. V.2, 1970. n.Y.: Academic.

40. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое// Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964. С.305-325.

41. Пейгин СВ., Тимченко СВ. Метод высокого порядка аппроксимации для решения уравнений пограничного слоя// Математ. моделирование. 1998. Т. 10. N 4. С.70-82.

42. Гершбейн Э.А., Пейгин СВ. Ламинарный пространственный пограничный слой в плоскостях симметрии затупленных тел при сильном вдуве // Теплофиз. высокиз темп. 1981. т. 19. N 3. С566-576.

43. Зинченко В.И., Путятина E.H., Федорова О.П. Численное исследование пространственного пограничного слоя при обтекании тел различной формы с учетом сопряженного теплообмена // Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск. 1985. С. 160-163.

44. Герпхбейн Э.А., Пейгин C.B. Асимптотическое и численное решения уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности // Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превраш;ений. Изд. МГУ, 1980.

45. Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А., Пейгин C.B. Исследование пространственного пограничного слоя на затупленных телах с проницаемой поверхностью // Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, N 3, С.49-58.

46. Tonnant X.S., Yang T. Turbulent boundary-layer flow from stationary to moving surfaces // AI A A Journal. V . 11. N 8.

47. Гершбейн Э.А., Пейгин C.B. Ламинарный пограничный слой на частично подвижной поверхности при наличии вдува или отсоса // Изв. АН СССР. МЖГ, 1979, N 5, С.28-36.

48. Гершбейн Э.А. Асимптотическое исследование задачи пространственного обтекания вязким газом затупленных тел с проницаемой поверхностью // Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превраш;ений. Изд. МГУ, 1981, С.29-51.

49. Седов Л.И., Михайлова М.П., Черный ГГ. О влиянии вязкости и теплопроводности на течение газа за сильно искривленной ударной волной // Вест. МГУ. Сер. физ.-мат. наук. 1953. N 3. С.95-100.

50. Стрит P.E. Изучение граничных условий в аэродинамике потока со скольжением // Газодинамика разреженных газов. М.: Изд-во иностр. лит. 1963. С.423-459.

51. Гершбейн Э.А., Юницкий СЛ. Исследование гиперзвукового пространственного ударного слоя в окрестности критической точки при наличии вдува или отсоса // Прикладная матем. и мех., 1979, Т.43, N 5, С.817-828.

52. Гершбейн Э.А., Щелин B.C., Юницкий С.А. Исследование пространственного обтекания тел с каталитической поверхностью при их движении по траектории входа в атмосферу Земли / / Космические исслед., 1985, Т.23, N 3, С.416-425.

53. Фей, Ридделл. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом // Газодинамика и теплообмен при наличии химических рееакций. М. 1962, С. 190-224.

54. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 607 с.

55. Srivastava B.N., Werlo M.J., Davis R.T. Numerical soluion of hypersonic viscous shock-layer equations // AIAA Journal. 1979. V.17. N 1. P.107-110.

56. Васильевский С.А., Тирский Г.А. О некоторых способах численного решения уравнений вязкого ударного слоя / / Азродинамикагиперзвуковых тчений при наличии вдува. М.: Изд-во МГУ, 1979. С.87-98.

57. Васильевский С.А., Тирский ГЛ., Утюжников СВ. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя // Докл.АН СССР. 1986. Т.290. N 5. С.1058-1061.

58. Бутов В.Г., Васенин И.М., Шелуха А.И. Применение методов нелинейного программирования для решения вариационных задач газовой динамики // Приклад, математ. и механика. 1977. Т.41. N 1. С.59-64.

59. Заварзина И.Ф. Экспериментальные исследования локальных тепловых потоков на сфере и сферическом притуплении осесимме-тричного тела // Изв. АН СССР. МЖГ 1970. N 4. С. 157-161.

60. Васильевский С.А., Тирский ГА. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя//Исследования по гиперзвуковой аэродинамике и теплообмену с учетом неравновесных химических реакций. М.:Изд-во МГУ, 1987. С.5-24.

61. Васильевский С.А., Тирский ГА., Утюжников СВ. Численный метод решения полных уравнений вязкого ударного слоя // ЖВМ и МФ. 1987. Т.27. N 5. С.741-750.

62. Гершбейн Э.А., Пейгин СВ., Тирский ГА. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер.МЖГ 1985. Т.19. С.3-185.

63. Черный Г.Г. Течение газа с большой сврхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз. 1959. 220 с.

64. Щербак В.Г. Расчет неравновесного обтекания затупленных тел в рамках упрош;енных моделей // Моделирование в механике. 1988. Т.2(19). N 4. С.143-153.

65. Тирский Г.А., Щелин B.C., Щербак В.Г. Моделирование химически и термодинамически неравновесных течений около тел, движуш,их-ся вдоль планируюп1 ;их траекторий // Математ. моделирование. 1990. Т.2. N 4. С.28-38.

66. Жлуктов СВ., Утюжников СВ ., Щелин B.C., Щербак В.Г. Сравнение газодинамических моделей при гиперзвуковом обтекании тел // Приклад, математ. и механика. 1992. Т.56. N 6. С. 1033-1038.

67. Гонор А.Л. Обтекание треугольного крыла гиперзвуковым потоком // Прик1гад. математ. и механика. 1970. Т.34. N 3. С.481-490.

68. Гонор А.Л., Остапенко H.A. Аналитическое исследование гиперзвукового обтекания затупленных тел // Некоторые вопросы современной механики. М.: Изд-во МГУ. 1974. С.109-121.

69. Davis R.T., Flugge-Lotz I. Second-order boundary layer effects in hypersonic flow past axisymmetric blunt bodies // J.Fluid Mech. 1964. V.20. N 4. P.593-623.

70. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock-layer equation // AIAA Journal. 1970. V.8. N 5. P.843-851.

71. Lin Т.е., Rubin S.G. Viscous flow over cone at moderate incidence. 1. Hypersonic tip region // Comp, and Fluids. 1973. V . l. N 1. P.37-57.

72. Карякин B.E., Попов Ф.Д. Расчет пространственного обтекания затупленных тел сверхзвуковым потоком вязкого и теплопроводного газа //ЖВМ и МФ. 1977. Т.17. N 6. С.1545-1555.

73. Головачев Ю.П., Леонтьева Н.В., Фурсенко А.А. Сверхзвуковое обтекание тел сложной формы вязким газом // Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1985. С.95-99.

74. Афонина Н.Е., Власов А.Ю., Громов В.Г. Численное исследование теплообмена на поверхности треугольного крыла, обтекаемого гиперзвуковым потоком воздуха под большими углами атаки // Изв. АН СССР. МЖГ, 1984, N 5, С.196-199.

75. Murray A.L., Lewis С.Н. Hypersonic three-dimensional viscous shock-layer flows over blunt bodies // AIAA J. 1978. V.16. N 12. P.1279-1286.

76. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Тирский ГА. // Отчет Ин-та механики МГУ. 1992. N 3.

77. Казаков В.Ю., Пейгин СВ. Пространственный многокомпонентный вязкий ударный слой на каталитической поверхности в окрестности критической точки // Теплофиз. высоких темп. 1988. т.26. N 5. С.901-908.

78. Щербак В.Г. Сравнение различных газодинамических приближений при численном моделировании гиперзвукового обтекания тел разреженным газом // Теплофиз. высоких темп. 1990. т.28. N 6. С. 1164-1170.

79. Rubin S.G. А review of marching procedyres for parabohzed Navier-Stokes equations // Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows. N.Y. Heidelberg. Berlin: Springer Verlag. 1981. P.171-185.

80. Андерсон A., Таннехил Дж., Плетчер P. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Т.2. М.: Мир. 1990. 726 с.

81. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. 4.1,2. М:Наука, 1970.

82. Гершбейн Э.А. К теории пространственного обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком вязкого газа при наличии вдува // Некоторые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд. МГУ, 1978, С.144-156.

83. Гершбейн Э.А. Ламинарный многокомпонентный пограничный слой при больших вдувах // Изв. АН СССР. МЖГ 1970. N 1. С.64-73.

84. Miner E.W., Lewis С.Н. Hypersonic ionizing air viscous shock-layer flows over nonanalytic blunt bodies // NASA. CR. 1975. N 2550. lOOp.

85. Wilke CR. A viscosity equation of gas mixtures // J.Chem. Phys. 1959. V.18. N4. P.517-519.

86. Mason E.A., Saxena S.C Approximate formula for the thermal conductivity of gas mixtures // Phys. Fluids. 1958. V . l. N 5. P.361-369.

87. Svehla R.A. Estimated viscosities and thermal conductivities of gases at high temperatures //NASA. Tr. 1962. N R-132. 120 p.

88. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: Изд-во иностр. лит. 1961. 929 с.

89. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веш,еств. Справ, изд. Т.1. Кн.2. М.: Наука. 1978. 327 с.

90. Анфимов Н.А. Ламинарный пограничный слой в многокомпонентной смеси газов // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. N 1. С.25-31.

91. Tong Н., Buckingham А. С, Curry D.M. Computational procedure for evalution of space shuttle TPS requirements // AIAA Paper. 1974. N 518. 13p.

92. Scott C D . Space shuttle laminar heating with finite-rate catalitic re-conbination // AIAA Paper. 1981. N 1184. 8p.

93. Гершбейн Э.А., Пейгин СВ. Гиперзвуковой вязкий ударный слой в закрученном потоке газа на проницаемой поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ 1986. N 6. С.27-37.

94. Сахаров В.И., Тирский Г.А. Расчет сверхзвукового обтекания методом установления по времени // Гиперзвуковые пространственные течения при наличии физико-химических превращений. М.: Изд-во МГУ. 1981. С.93-105.

95. Cheng Н.К. Hypersonic shock-layer theory of the stagnattion region at low Reynolds number // Proc. Heat Transfer and Fluid Mech. Institute. Sanford Press. 1961. P. 161-175.

96. Брыкина И.Г., Русаков В.В., Щербак В.Г Приближенные формулы для тепловых потоков к идеально каталитической поверхности в окрестности плоскости симметрии // Прикладная математ. и механика. 1989. Т.53. N 6. С.956-962.

97. Masek R.V., Hender D., Forney J.A. Evaluation of aerodynamic uncer-tanties for space shuttle // AIAA Paper. 1973. N 737. 14 p.

98. Герпгбейн Э.А., Юницкий С.A. К теории пространственного гиперзвукового вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии // Прикладная математ. и механика. 1984. Т.48. N 5. С.768-775.

99. Гершбейн Э.А., Щелин B.C., Юницкий С.А. Гиперзвуковой химически неравновесный вязкий ударный слой на крыльях с каталитической поверхностью // Изв. АН СССР. МЖГ 1984. N 6. С.127-135.

100. Eaton R.R., Karstner Р.С Viscous shock-layer flow in the windwardplane of cones at angles of attack // AIAA Journal. 1973. V.ll. N 9. P.1337-1339.

101. Eaton R.R., Larson D.E. Symmetry plane laminar and turbulent viscous flow on bodies at incidence // AIAA Journal. 1975. V.13. N 5. R559-560.

102. Гершбейн Э.А., Крупа В.Г., Щелин B.C. К исследованию пространственного гиперзвукового вязкого ударного слоя на затупленных телах, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Прикладная математ. и механика. 1986. Т.50. N 1. С. 110-118.

103. Экспресс-информация. Астронавтика и ракетодинамика. М.: Всесоюзный инс-т науч. и техн. информации. 1974. N 34. 42 с.

104. Шкадов Л.М., Буханова P.C., Илларионов В.Ф., Плохих В.П. Механика оптимального движения летательных аппаратов в атмосфере. М.: Машиностроение. 1972.

105. Гершбейн Э.А., Крупа В.Г., Щелин B.C. Пространственный химически неравновесный вязкий ударный слой на каталитической поверхности с учетом сопряженного теплообмена // Изв. АН СССР. МЖГ 1985. N 6. С. 140-146.

106. Белоцерковский СМ., Головачев Ю.П., Грудницкий В.Г. и др. Численное исследование современных задач газовой динамики. М.: Наука. 1974. 399 с.

107. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударном слое. М.: Наука. Физматлит. 1996. 375 с.

108. Щербак В.Г. Численное исследование обтекания тел термически и химически неравновесным вязким потоком воздуха. Диссертация на соискание уч.ст. д.ф.-м.н. МГУ. Инс-т механики МГУ. 1991. 576

109. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука. 1981. 303 с.

110. Hickman R.S.,Giedt W.H. Heat transfer to a hemisphere-cylinder at low Reynolds number //AIAA Joournal. 1963. V . l. N 3. R665-672.

111. Peigin S.V. Parabohc viscous shock layer theory for 3D hypersonic gas flow // Shock Wave I. Proc. 19th Intern. Symp. on Shock Waves, Marseille, 1993. Berlin: Springer, 1995. V.l. P.139-144.

112. Казаков В.Ю., Пейгин СВ., Тимченко СВ. Решение уравнений неравновесного вязкого ударного слоя для затупленных тел с каталитической поверхностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. N 5. С860-869.

113. Гребенников А.И. Метод сплайнов для решения некорректных задач теории приближений // М. Изд-во МГУ. 1983. 208с.

114. The Fourth European High-Velocity Database Workshop. Chapter 5. Hyperboloid flare. ESTEC // Noordwijk. the Netherlands. 1994.

115. The First US-European High-Velocity Database Workshop. T 12-95 OREX // Houston. USA. 1995.

116. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.:Энергия. 1976. 392 с.

117. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.:Высшая школа. 1967. 599 с.

118. Зинченко В.И., Пырх СИ. Неравновесный вязкий ударный слой в окрестности критической точки с учетом сопряженного теплообмена //Журнал прикладной механики и технической физики. 1979. N 3. С.108-114.

119. Зинченко В.И., Пырх СИ. Расчет неравновесного вязкого ударного слоя с учетом сопряженного теплообмена // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N 2. С.146-153.

120. Douglas J. Alternating direction methods for three space variables. // Numerische Math. 1962. B.4. p.41-63.

121. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.:Мир. 1980. 616 с.

122. Бородин А.И., Пейгин СВ. Ламинарный пространственный пограничный слой на частично проницаемой поверхности / / Газовая динамика. Томск. 1984. С. 112-119.

123. Бородин А.И., Пейгин СВ. Пространственный пограничный слой на затуплнных телах с проницаемой поверхностью, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Теплофиз. высоких темп. 1987. т.25. N 3. С.509-516.

124. Бородин А.И., Пейгин СВ. Влияние формы тела на характеристики пространственного пограничного слоя на проницамой поверхности // Инженерно-физич. журнал. 1987. Т.53. N 3. С.365-372.

125. Бородин А.И., Пейгин СВ. Ламинарный пространственный пограничный слой на проницаемой поверхности около тел с одной плоскостью симмтрии // Аэрогазодинамика. Томск. 1987. С.7-14. С. 112119.

126. Бородин А.И., Пейгин СВ. Гиперзвуковой пространственный вязкий ударный слой на затуплнных телах, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Теплофиз. высоких темп. 1988. т.26. N 4. С.751-758.

127. Бородин А.И. Численное решение некоторых трехмерных задач гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа. Диссертация на соиск. уч.ст. к.ф.-м.н. Томск. ТГУ. НИИ ПММ. 1989. 165 с.

128. Бородин А.И., Пейгин СВ. Пространственный тонкий вязкий ударный слой при отсутствии в течении плоскостей симметрии // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. N 2. С.150-158.

129. Бородин А.И., Казаков В.Ю., Пейгин СВ. Численное моделирование химически неравновесных течений в пространственном вязком ударном слое около тел с каталитической поверхностью // Мате-мат. моделирование. 1989. Т.1. N 8. С. 12-21.

130. Бородин А.И., Пейгин СВ., Тимченко СВ. Пространственный вязкий ударный слой в неравномерном потоке газа при отсутствии в течении плоскостей симметрии // Математ. моделирование. 1989. Т.1. N 11. С.51-57.

131. Бородин А.И., Пейгин СВ. Исследование закономерностей теплообмена в трехмерном вязком ударном слое около затупленных тел, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Инженерно-физич. журнал. 1990. Т.58. N 2. С.200-206.

132. Бородин А.И., Казаков В.Ю., Пейгин СВ. Многокомпонентный пространственный вязкий ударный слой на затупленных телах с каталитической поверхностью, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. N 1. С.143-150.

133. Бородин Л.И., Легостаев A.A., Пейгин СВ. Пространственный вязкий ударный слой на острых конусах, обтекаемых под углом атаки // Математ. моделирование. 1991. Т.З. N 1. С.3-10.

134. Бородин А.И., Пейгин СВ., Тимченко СВ. Пространственное обтекание затупленных тел неравномерным гипрзвуковым потоком вязкого газа // Теплофиз. высоких темп. 1992. т.ЗО. N 1. С.116-121.

135. Бородин А.И., Пейгин СВ. Метод глобальных итераций для решения трехмерных уравнений вязкого ударного слоя // Теплофиз. высоких темп. 1992. т.ЗО. N 6. С1124-1129.

136. Бородин А.И., Пейгин СВ. Пространственное обтекание затупленных тел в рамках модели параболизованного вязкого ударного слоя // Математ. моделирование. 1993. Т.5. N 1. С. 16-25.

137. Бородин А.И., Пейгин СВ. Модель параболизованного вязкого ударного слоя для исследования пространственного гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа // Теплофиз. высоких темп. 1993. Т.31. N 6. С.925-933.

138. Borodin A.I., Peigin S.V. New Mathematical Model for Numerical Simulation 3D Hypersonic Viscous Gas Flow over Complex Bodies // The Second European Computational Fluid Dynamics Conference. Stuttgart. Germany. 1994. P.776-781.

139. Бородин A.M., Пейгин СВ. Исследование пространственных течений вязкого газа в рамках параболических моделей течения // Теплофиз. высоких темп. 1996. т.34. N 3. С.429-435.

140. Бородин А.И., Иванов В.А., Пейгин СВ. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел в рамках модели вязкого ударного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. N 8. С.158-168.

141. Borodin A.I., Kazakov V. Yu., Peigin S.V. New Mathematical Model for Numerical Simulation 3D Hypersonic Nonequilibrium Multicompo-nent Viscous Gas Flow // The Third ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. Paris. France. 1996. P.229-235.

142. Бородин A.M., Казаков В.Ю., Пейгин СВ. Моделирование многокомпонентных химически неравновесных течений в рамках модели параболизованного пространственного вязкого ударного слоя // Математическое моделирование. 1996. Т.8. N 10. С.3-14.

143. Бородин A.M. О вычислении градиента давления в модели парабо-лизованного вязкого ударного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. N 6. С.1001-1007.

144. Бородин A.M., Пейгин СВ., Тимченко СВ. Расчеты трехмерного пограничного слоя методом высокого порядка аппроксимации // Математ. моделирование. 1998. Т. 10. N 10. С.79-87.

145. Бородин A.M., Пейгин СВ. Оптимизация формы затупления тела по конвективному тепловому потоку в рамках уравнений ламинарного пограничного слоя // Теплофиз. высоких темп. 1999. т.37. N 1. С.92-97.

146. Бородин A.M., Пейгин СВ. Численное решение уравнений пространственного вязкого ударного слоя вблизи затупленных тел, обтекаемых под углом атаки / / Ж . вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. N 7. С.1226-1235.

147. Бородин A.M., Пейгин СВ. Теплообмен в пространственном пара-болизованном вязком ударном слое около затупленных тел, обтекаемых под углами атаки и скольжения // Теплофиз. высоких темп. 1999. т.37. N 5. С.765-771.

148. Borodin A., Mantel В., Peigin S., Periaux J., Timchenko S. Application of the Genetic Algorithm for Heat Flux Optimization Problem // Syrveys on Mathematical for Industry. 2000. v.9. N 3.

149. Бородин A.M., Пейгин С.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел сложной формы под углами атаки и скольжения // Теплофиз. высоких темп. 2000. т.38. N 3. С.468-476.

150. Бородин A.M. Параболизованный вязкий ударный слой с учетом сопряженного теплообмена // Теплофиз. высоких темп. 2001. т.39. N 3. С.471-478.

151. Бородин A.M. Численное решение пространственного многокомпонентного вязкого ударного слоя методом глобальных итераций // Теплофиз. высоких темп. 2001. т.39. N4. С.599-608.

152. Бородин A.M. Вход в атмосферу Земли тел с аэродинамическим качеством //Журнал прикладной механики и технической физики. 2001. Т.42. N 4. С.3-10.

153. Бородин A.M. Вход в атмосферу Земли тела с аэродинамическим качеством и теплопроводной поверхностью //Журнал прикладной механики и технической физики. 2001. т.42. N 5. С. 1-11.