Задача Неймана для квазилинейных уравнений вариационной структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Щеглова, Александра Павловна

• Щеглова, Александра Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щеглова, Александра Павловна

Введение

1 Задача Неймана для уравнения, порожденного теоремой вложения Соболева

1.1. Постановка задачи.

1.2. Случай 1 < р < 2.

1.3. Случай р = 2.

1.4. Некоторые обобщения.

2 Задача Неймана в тонком цилиндре

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вспомогательные утверждения.

2.3. Априорные оценки решения.

2.4. Локальный и глобальный минимум

3 Множественность решений задачи Неймана с неоднородным граничным условием

3.1. Постановка задачи.

3.2. (ш, &)-радиальные решения в шаре.

3.3. Множественность решений при больших R.

3.4. Множественность решений при больших q

3.5. Некоторые обобщения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Неймана для квазилинейных уравнений вариационной структуры»

Краевые задачи для квазилинейных уравнений и качественные свойства их решений привлекают большое внимание в последние десятилетия. Исследованиями в этой области занимаются, в частности, такие известные математики, как С.И. Похожаев, В.А. Кондратьев, Ь. Уегоп, \V.-M. N1 и другие.

Одно из простейших уравнений такой структуры — уравнение Эйлера для функционала, порождаемого теоремой вложения. В диссертации рассматривается задача Неймана для некоторых уравнений такого типа.

В первой главе изучается вопрос о постоянстве решения с минимальной

Если рассмотреть в ограниченной области Г2 с Кп задачу о нахождении то минимайзер (после домножения на подходящую константу) является решением (0.1) с минимальной энергией £. Здесь и далее предполагается, что Я < Р*1 гДе Р* ~ предельный показатель вложения Соболева, то есть инфимум в (0.2) положителен. энергией £{и) = 1М1 р,а заДачи

0.1) точной константы в теореме вложения Ьд(П): = Ы , т иеи^п),«?^

0.2)

Введем нормировку области О, то есть замену —> вО,. Тогда можно считать, что теа8(0) = 1, и изучать зависимость от параметра г решения с минимальной энергией задачи

Очевидно, что при заданных ри д константа не даст глобального экстремума в (0.3) при больших в. Вводя вспомогательные функционалы можно переформулировать вопрос так: при каких в константа дает минимум функционалам 0,рл,е и

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть 1 <р<пиц = р*. Тогда существует £о = £о{р, п, такое, что для любого в < Во инфимум 0,р,р*,е достигается.

Вычисляя второй дифференциал функционала Ур1Ч,£ на константе, легко получить

Предложение 1.2. Пусть 2 < р < Тогда постоянная функция не дает функционалу минимума (даже локального). Следовательно, постоянная функция не является решением (0.3) с минимальной энергией.

Поэтому содержательным является случай 1 < р < 2. В §1.2 рассматриваются 1 < р < 2.

Теорема 1.2. При 1 < р < 2 и любых # е {р',р*], в > 0 постоянная функция доставляет локальный минимум функционалам ¿Грд,£ и Qp,q,e■

0.3) р

I р,П

Дальнейшие рассуждения показывают, что при заданном р на полуинтервале q G определена функция £ = ep(g), такая что при s > sр постоянная функция не является решением (0.3) с минимальной энергией, а при £ <£р является. Функция положительна и £~p(q) —оо при q J, p.

Теорема 1.3. Функция £v непрерывна на {р,р*} и строго убывает.

Наиболее интересным для исследования является случай р = 2, который рассмотрен в §1.3. Задача (0.3) тогда принимает вид

Г-Au + £2и = \u\q~2u в ft , ^ i = о н! an • (0'4)

Задача (0.4) встречается в различных областях прикладной науки. Например, она описывает систему реакции-диффузии при морфогенезе. Иследова-нию этой задачи посвящены работы W.-M. Ni, M. Grossi, I. Takagi и других. Здесь получены тонкие результаты о структуре непостоянных решений (в основном при £ —> оо). Хорошо известно также, что решение (0.4) с минимальной энергией заведомо непостоянная функция при е > £cr{o) = где Л^п - первое положительное собственное число задачи Неймана

Г —А и = Хи, в f1 \ Ц = 0 на diï.

Однако вопрос о постоянстве решения с минимальной энергией при £ < £сг исследован мало. Лишь в одномерном случае А.И. Назаровым доказано, что такое решение постоянно при всех £ <

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть q <2* и q < +оо; £ < £cr(.Q)• Тогда функция 1 дает функционалам J2,q,£ и Q/i,q,e локальный минимум.

Так же как в §1.2 доказывается, что на полуинтервале q G (2; 2*], q < +оо определена функция е = е(д), такая что при е > е постоянная функция не является решением (0.4) с минимальной энергией, а при е < е~р является. Функция £(д) положительна, —» сю при д р и справедлива

ТЕОРЕМА 1.5. Функция £ непрерывна на всей области определения и строго убывает.

Очевидно, что е~(д) < £сг(д) для всех д Е (2; 2*]. В диссертации показано, что если — асимметричная область общего положения, то £~(д) < £сг{я) для всех д € (2; 2*]. Кроме того, если П — единичный куб в пространстве К" (п > 3), то при д близких к 2* снизу е(д) < £сг(я)

В §1.4 рассматривается функционал, порожденный теоремой вложения в Здесь Г2 — плоское риманово многообразие со строго липшицевым краем, а норма в пространстве И^(!Г2) определена так: |М1и/2(П) =

В этом случае ключевым оказывается факт наличия/отсутствия на многообразии О линейных функций. Если на Г2 существует линейная функция, то при 1 < р < д < р** константа не дает соответствующему функционалу минимума, даже локального. Если линейные функции отсутствуют, то справедливы результаты, аналогичные полученным в §1.2 и §1.3.

Во второй главе задача (0.4) рассмотрена в тонком цилиндре Г^ = в^из х п > 3. Здесь ограниченная область ш строго липшицева и теаэа; = 1, с? € (0; 1). При достаточно малых с? вычисляем

После замены переменных уравнение (0.4) превращается в

0.5) где ш х (0; 1), у е (0; 1), хеш.

Решение задачи (0.5) с минимальной энергией является минимайзером функционала т£ Яъ«4{и) ее -^-= иф О 4,1 и при

7Г < = постоянная функция дает локальный экстремум функционалу .

Лемма 2.1. Пусть д = 2*. Существует = С1) такое, что для всех цилиндров д < с?о для любого £ < £„.(2*) инфимум 0,2,2',е достигается.

Введем вспомогательный "одномерный" функционал нормированный в Д?(0; 1) минимайзер которого обозначим V. Известно (см. [24]), что при к < Хс- V = 1.

Докажем, что для функционала ^{я) = £сг(я), Я £ (2; 2*]. Для этого нам понадобятся априорные оценки решения (0.5) при х — >Ссг{ч)-, равномерные по д и с!. В §2.2 вынесены вспомогательные предложения, а в §2.3 получены необходимые оценки. Доказано, что при д 6 (2; 2*] супремум и И^1-норма решения с минимальной энергией задачи (0.5) равномерно ограничены по д и и при д £ (2; 2 + 2/п] инфимум решения равномерно ограничен по д и б?.

Основной результат этой главы доказан в §2.4.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть д е (2; 2*], к > 0. Для любой пары (д, я) существует д, к) такое, что для всех (1 < д,10С минимайзер V "одномерного" функционала дает локальный минимум функционалу

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть п > 3. Тогда для любой строго липшицевой области и> существует ^(п,^) такое, что при (1 < с^ = £сг(ч), Я. 6 (2; 2*].

В третьей главе изучается эффект возникновения множественных положительных решений задачи

Ари + \и\р~2и = 0 в Вк

0.6)

Чи\Р-2{Чщп) = \и\9-2и на вп Здесь В л — шар радиуса В. в пространстве Мп, Бп = дВц. Поскольку при д < р задача (0.6) имеет единственное положительное решение (радиальное), то далее считаем д > р.

Положительные решения задачи (0.6) можно искать, минимизируя функционал

1М1и?(дд) на различных подпространствах \Ур(Вц).

Предложение 3.2. Пусть Н — замкнутая подгруппа в 0{п), и подпространство Ьц всех И.-инвариантных функций из У/р(Вл) компактно вкладывается Тогда функционал я достигает на Ьп ненулевого минимума и минимайзер после домножения на подходящую константу дает положительное в В л обобщенное решение задачи (0.6) (в дальнейшем будем говорить просто "решение").

Обозначим р* — предельный показа/гель вложения на границу.

Следуя [25], введем обозначения. Пусть пара чисел т 6 14, к £ N и {0} удовлетворяет условиям:

1) т -1 + к = п для некоторого I £ 14;

2) т > 2; (0.7)

3) к — 0 или к > т.

Тогда соответствующее разложение пространства К"

К'

К' е . © кт © к*

2 = {Х1

XI ; у) называется (га, /с)-разложением.

Функция и называется ш-радиальной, если и зависит только от |а-г|, г = 1,и (при к ф 0) от \у\. Если и инвариантна относительно всех перестановок векторов ., и (при к ф 0) зависит только от |у|, то и называется (га, /с)-симметричной функцией. Если функция и одновременно гтг-радиальна и (т, &)-симметрична, то такая функцию называется (га, к)-радиальной функцией.

Далее, в §3.2 решения задачи (0.6) получены в результате минимизации функционала на множестве (га, &)-радиальных функций пространства р{Вц) и доказано, что при достаточно больших Я найденные решения будут различны. предложение 3.3. Множество т-радиальных функций из \¥р(Вп) образует пространство, которое компактно вложено в Ьч(3л) при условии что при любом Я > Я для всех пар (га, к), удовлетворяющих условиям (0.7) и (0.8), существует (га, к)-радиальное решение задачи (0.6). Все решения с различными (га, к) неэквивалентны.

Очевидно, что (0.8) выполнено при всех д < схз для га = п. Это соответствует тому факту, что задача (0.6) имеет радиальное решение при любом

0.8)

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть 1 < р < д. Тогда существует В, = Я(р,д) такое, д < оо. Если р > [(« + 1)/2] + 1, то для всех д < оо найдется такое нетривиальное (то есть с т < п) (т, &)-разложение, что выполнено (0.8). Поэтому задача (0.6) при любом д < оо имеет нерадиальное решение для достаточно больших Я.

В §3.3 функционал 0,рлд минимизируется на подпространствах Ь(2,к,н^ всех (2, /с)-симметричных функций из И^}(Дд), ^-инвариантных По Х{, где Нь — подгруппа 0( 2), порождаемая поворотом на угол 27г/£, ¿ЕМ.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть п Ф 3, 1 < р < оо, р < д < р*. Для любого ¿0 £ N существует Я = Я(р, д,£о), такое, что при любом Я > Я для всех к, удовлетворяющих условию (0.7) ст~2, и для всех 2 < £ < ¿о существует (2, к)-симметричное, ТСь-инвариантное решение задачи (0.6). Все решения с различными (к, £) различны, если не выполнены равенства = 2, // = 4, 2А/ — к = п или = 2, £ = 4, 2к — к' = п.

Таким образом получена множественность решений задачи (0.6) при больших Я.

В §3.4 рассматривается "двойственный" случай, когда радиус шара Я зафиксирован и меняется показатель д.

Теорема 3.3. Пусть п — четное число, п < р < оо. Тогда для любого ¿о € N существует д = д(р, Я, ¿о) такое, что при любом д е (д; оо) для всеж £ < ¿о существует (2, 0)-симметричное Нгинвариантное решение задачи (0.6). Все решения с различными I неэквивалентны.

Теорема 3.4. Пусть + 1 < р < оо. Тогда существует д = д(р, Л) такое, что при любом д > д для всех т, удовлетворяющих условию тах{2;п — р-\-1} <т< п/2, существует (т,п — т)-радиальное решение задачи (0.6). Все решения с различным т неэквивалентны.

В §3.5 результаты §3.2 и §3.3 распространены на более общий случай задачи div a(Vw) + а\ир~1 = g{u) в Br (a(Vw);n) +a2up-x = f(u) на SR при подходящих условиях на функции а : Мп —> Шп и д, / : К+ —К.

Результаты работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 и 2006 год), на семинаре им. В.И. Смирнова по математической физике (ПО-МИ РАН, руководители Г.А. Серёгин и H.H. Уральцева)

Основное содержание диссертации изложено в работах [37]-[39]. В работе [37] научному руководителю принадлежит постановка задачи и общая идея метода решения; реализация метода проведена автором. Статья [38] опубликована в издании, включенном в "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации "(Бюллетень ВАК РФ No. 4 2005 г).

Параграфы имеют двойную нумерацию. Формулы, предложения и теоремы также имеют двойную нумерацию, сквозную в пределах главы. Список обозначений приведен перед первой главой.

Список обозначений п 15, 44, 74 \Нл 16 к, I, т 76 А р 15, 74 37 р* 17 А?,* 45 р** 37 Ир,д,я 74 р* 74 Ав>1М 45 р*т 77 27 д 15, 75 - Ал/->п 41 в, 44 Ал/> 45 ¿Г 47 е 16 с* 47

26 М 54 е 35 М) 52 сг 28 А^ 54 е 43 Ма 64 ер 41 то 56

41 т* 61 х 45 *(и,т) 51

45 «ь «2 99

Д 74 и 99

7 99

15 ^ъ Ю2 а;, г/, г 45, 76 <?о ЮЗ г, г{ 76 •д, 76 w¿ 15 n 15

37 Ap 15

L4 15 V2 37

L>n 75 ux 45

L(m,k,H) 86 n 75, 86

102 Ht 88

104 m,k) 108 u 21, 47 m,fc) 108 U(m,A:) 80

100 Щт,к,Н) 86

100 U(2 ,k,t) 88 e 103 108

111 n 15, 37 Û(2,fc,i) 111 dVL 15 V 46

44 С 22

Ol 45 h 21

2f 51 hi 21

U) 44 h2 66

Br 74 g 66

Sr 74 w 66

Bj(r), B¿i(r) 83 a, A 99

83 f 99

78 9 99

Ф 100

Л 100

21 100

15

15

99

Т 100

Ъ 100

С 99

100

5 100

21

38

45

46 а 100 а 100 д(е> и;) 67

16

37

Qq,x,d 45

Qq,>c 45

74 линейная функция 38 ш, ^-разложение 76 т-радиальная функция 76 т, &)-радиальная функция 77 т, А;)-симметричная функция 76

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щеглова, Александра Павловна, 2008 год

1. Adimurthi, G. Mancini, The Neumann problem for elliptic equations with critical nonlinearity // Nonlinear analysis, Quaderni, Scuola Norm. Sup., Pisa, 1991, p. 9-25.

2. O.B. Бесов, В.П. Ильин, С.M. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения. Изд. 2 // М., Наука, 1996.

3. H. Brezis, L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear equations involving critical Sobolev exponent // Comm. in Pure and Appl. Math. Vol. 36 (1983), p. 437-477.

4. C.V. Coffman, A non-linear boundary value problem with many positive solutions// Journal of Differential Equations, Vol. 54 (1984), p. 429-437.

5. A.B. Демьянов, А.И. Назаров О существовании экстремальной функции в теоремах вложения Соболева с предельным показателем // Алгебра и Анализ, Т. 17, No. 5 (2005), стр. 105-140.

6. J. Fernandez Bonder, Е. Lami Dozo, J.D. Rossi, Symmetry properties for the extremals of the Sobolev trace embedding // Ann. I. H. Poincare, Vol. 21 (2004), p. 794-806

7. J. Fernandez Bonder, J.D. Rossi, Existence results for the p-Laplacian with nonlinear boundary conditions // Journal Math. Anal. Appl. Vol. 263 (2001), p. 195-223.

8. J. Fernandez Bonder, J.D. Rossi, Asymptotic behavior of the best Sobolev trace constant in expanding and contracting domains // Comm. on Pure and Appl. Anal. Vol. 1, No. 3 (2002), p. 75-94.

9. J. Fernandez Bonder, J.D. Rossi, On the existence of extremals for the Sobolev trace embedding theorem with critical exponent // Bull. London Math. Soc. Vol. 37, No. 1 (2005), p. 119-125.

10. M. Grossi, Uniqueness of the least-energy solution for a semilinear Neumann problem // Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 128, No. 6 (2000), p. 1665-1672.

11. E. Hebey, M. Vaugon, Sobolev spaces in the presence of symmetries // Journal Math. Pures Appl. Vol. 76 (1997), p. 859-881.

12. C.B. Иванов, А.И. Назаров, О теоремах вложения Соболева с весом для функций с симметриями // Алгебра и Анализ. Т. 18, No. 1 (2006), стр. 108-123.

13. F. John, L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation // Comm. on Pure and Appl. Math., Vol. 14, No. 2 (1961), p. 415-426.

14. JI.B. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ. Изд. 3 // М., Наука, 1984.

15. В. Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE // Springer Lecture Notes in Math., Vol. 1150, 1985.

16. О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. второе // М.: Наука, 1973.

17. Е. Lami Dozo, О. Torne, Symmetry and symmetry breaking for minimizers in the trace inequality // Comm. in Contemporary Math., Vol. 7, Issue 6 (2005), p. 727-746.

18. Y.Y. Li, Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations 11 Journal of Differential Equations, Vol. 83 (1990), p. 348-367.

19. C.-S. Lin, W.-M. Ni, I. Takagi, Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis system // Journal Differential Equations, Vol. 72, No. 1 (1988), p. 1-27.

20. F.-H. Lin, W.-M. Ni, J.-C. Wei, On the number of interior peak solutions for a singularly perturbed Neumann problem // Vol. 60, Issue 2 (2007), p. 252-281.

21. P.L. Lions, F. Pacella, M. Tricarico, Best constant in Sobolev inequalities for functions vanishimg on some part of the boundary and related questions // Indiana University Mathematics Journal, Vol. 37, No. 2 (1998), p. 301-324.

22. S. Martinez, J.D. Rossi, Isolation and simplicity for the first eigenvalue of the p-Laplacian with a nonlinear boundary condition // Abstract and Appl. An., Vol. 7, No. 5 (2002), p. 287-293.

23. R. Molle, D. Passaseo, Positive solutions ■ of slightly supercritical elliptic equations in symmetry domains // Ann. I. H. Poincare, Vol. 21 (2004), p. 639656

24. А.И. Назаров, О точной константе в одномерной теореме вложения // Проблемы мат. анализа, Новосибирск, Научная книга, Вып. 19 (1999), стр. 149-163.

25. А.И. Назаров, О решениях задачи Дирихле для уравнения, включающего р-лапласиан, в сферическом слое // Труды СПб мат. общества, Т. 10 (2004), Новосибирск, Т. Рожковская, стр. 33-62.

26. А.И. Назаров, О точных константах в одномерных теоремах вложения произвольного порядка // Вопросы современной теории аппроксимации. Изд. СПбГУ, 2004, стр. 146-158.

27. Z. Nehari, On a class of nonlinear second-order differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 95 (1960), p. 101-123.

28. R.S. Palais, The principle of symmetric criticality // Comm. in Math. Phys. Vol. 69 (1979), p. 19-30.

29. A.L. Pereira, M.C. Pereira, A generic property for the eigenfunctions of the laplacian // Topological Metods in Nonlinear Analysis, Vol. 20 (1988), p. 283313.

30. M. del Pino, C. Flores, Asymptotic behavior of best constants and extremals for trace embedding in expanding domains // Comm. in Partial Diff. Eq. Vol. 26 (2001), p. 2189-2210.

31. D. Smets, M. Willem, Partial symmetry and asymptotic behavior for some elliptic variational problems // Calc. Var., Vol. 18 (2003), p. 57-75.

32. В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева, Пространства Соболева // В кн.: Избранные главы анализа и высшей алгебры. Уч. пособие. Ред. М.З. Со-ломяк. Л., ЛГУ, 1981.

33. J.-O. Stromberg, A. Torchinsky, Weighted Hardy Spaces // Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1381, Springer-Verlag, New York, 1989.

34. G. Talenti, Best constant in Sobolev inequality // Ann. Mat. Рига ed App., Ser. 4, Vol. 110 (1976), p. 353-372.

35. N. Trudinger, On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations // Comm. in Pure and Appl. Math. Vol. 20 (1967), p. 721-747.

36. X.J. Wang, Neumann problem of semilinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Journal Differential Equations, Vol. 93, No. 2 (1991), p. 283-310.

37. А.И. Назаров, А.П. Щеглова, О некоторых свойствах экстремали в вариационной задаче, порожденной теоремой вложения Соболева // Проблемы мат. анализа, Новосибирск, Т.Рожковская, выпуск 27 (2004), стр. 109-136.

38. А.П. Щеглова, Мноэюественностъ решений одной краевой задачи с нелинейным условием Неймана // Проблемы мат. анализа, Новосибирск, Т.Рожковская, выпуск 30 (2005), стр. 121-144.