Периодические решения квазилинейных гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Рудаков, Игорь Алексеевич

• Рудаков, Игорь Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рудаков, Игорь Алексеевич

Содержание---------------------------------.

Введение

Глава 1. Квазилинейные уравнения с нелинейным слагаемым, удовлетворяющим условию нерезонансности

§ 1. Теоремы о существовании решений операторного уравнения в гильбертовом пространстве .—

§ 2. Периодические решения нелинейного волнового уравнения.

Вынужденные колебания —.-.

§ 3. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле

§ 4. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями 3-го рода

§ 5. Нелинейное волновое уравнение с непостоянными коэффициентами.-.

§ 6. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами и граничными условиями 3-го рода.—

§ 7. Периодические решения многомерного квазилинейного волнового уравнения в шаре. Радиально-симметричные решения —.—

§ 8. Квазилинейное эллиптическое уравнение-----------------------------—

Глава 2. Периодические решения волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост

§ 1. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями

3-го рода и Дирихле

§ 2. Вынужденные колебания неоднородной струны, с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост —.—

§ 3. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения —

Глава 3. Свободные колебания. Нетривиальные периодические решения

§ 1. Нетривиальное периодическое решение квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями

1-го и 3-го рода .

§ 2. Свободные колебания струны с закрепленными концами.

§ 3. Гиперболические уравнения четвертого порядка.

§ 4. Периодические колебания балки —.-.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические решения квазилинейных гиперболических уравнений»

Во многих физических задачах, связанных с процессами колебаний, возникают квазилинейные уравнения гиперболического типа. Приведём примеры некоторых одномерных гиперболических уравнений, исследующихся в диссертации: ии - ихх + д(х,г,и) = /(ж, г), х Е [0,7г], £ е К; (0.1) р(х)иа - {р(х)их)х + д(х^и) = /(М) , х е [0, тг], £ е И; (0.2) ии - ихххх + д(хЛ, и) = ¡(хЛ), х е [0,7г],£ Е и. (0.3)

Приведённые выше уравнения описывают процесс колебания струны ((0.1)), продольные ((0.1)) или поперечные ((0.3)) колебания стержня, распространение волн в неизотропной среде (сейсмические волны) ((0.2)) процесс распространения электромагнитных волн и другие. Процессы колебаний мембраны, плоской пластины, идеального газа в некотором объёме (уравнение акустики) описываются многомерными волновыми уравнениями, которые также рассмотрены в диссертации.

Если внешняя сила / и нелинейное слагаемое д периодичны по времени с периодом Т, то естественным образом возникает задача о доказательстве существования Т- периодических по времени решений. Работы 60-х годов прошлого века авторов О. Уе,]уос1а, Н. Ьоуюагоуа, Р. ЯаМшт^г [29],[30], [88]-[90] являются одними из первых, в которых исследуется задача о существовании периодического по времени решения слабо нелинейного волнового уравнения ии - ихх = ед(х,г) и,их,щ) (0.4) с нулевыми граничными условиями Дирихле на отрезке и(0,г) = и{тт,1) = 0. (0.5)

В этих работах исследуется в различных функциональных пространствах задача о периодических решениях линейного волнового уравнения иа - ихх = /(ж,£) с граничными условиями (0.5), а также доказывается существование периодического решения достаточно малой амплитуды нелинейного уравнения (0.4) при достаточно малом г.

В конце 70-х годов в работах Похожаева С.И., X. Брезиса, Л. Ни-ренберга, П. Рабиновича [77], [21]-[23], [25] получены первые результаты о существовании нетривиальных периодических решений сильно нелинейного гиперболического уравнения и периодического решения для квазилинейного волнового уравнения (0.1) с граничными условиями (0.5). В работах Т.И.Кигурадзе [47], [121]-[123] доказывается существование периодических по всем переменным решений квазилинейных уравнений и систем, содержащих члены с первыми производными. В монографии Н.Х.Розова и А.Ю.Колесова [121] приводятся алгоритмы построения инвариантных торов квазилинейных телеграфных уравнений, исследуется вопрос о существовании и устойчивости их периодических решений, бифурцирующих из нулевого положения равновесия. Отметим также работы [75], [94], [100], [115]—[118], в которых исследуется проблема о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений.

В первой главе диссертации получены теоремы о существовании периодических решений для неавтономного волнового уравнения для любой правой части, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет естественным алгебраическим условиям. В этой главе изучается одномерное и многомерное волновое уравнение с постоянными и переменными коэффициентами, с однородными граничными условиями Дирихле, Неймана и 3-го рода. Перечислим основные результаты главы

1, опубликованию в работах автора [1], [3],[8]-[11], [14], [16]-[20].

В первом параграфе главы 1 доказаны теоремы о существовании решений нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве Н, опубликованные в [18], [20] и составляющие основной аппарат при доказательстве результатов главы 1. Рассматривается уравнение

Аи + В(и)=/, иеН. (0.6)

Здесь А : Н —> Н есть линейный, самосопряжённый оператор с всюду плотной в Н областью определения. Оператор В : Н —> Н является нелинейным.

В приложениях А является дифференциальным оператором. При различных граничных условиях и коэффициентах могут представиться следующие случаи:

1) сИткегЛ < оо; оператор Л"1 : Я(А) -> Я{А) является вполне непрерывным;

2) сИткег А = сю; А^1 : Я(А) -» Я(А) вполне непрерывен;

3) сНткег А < оо; А~1 : Я(А) —> Я(А) не является вполне непрерывным.

В теоремах 1.1-1.4 доказаны достаточные условия существования решения уравнения (0.6). При этом теоремы 1.1, 1.2 относятся к случаям 1), 2) соответственно, а теоремы 1.3, 1.4 относятся к случаю 3). Доказательства теорем 1.1-1.4 используют конструкцию Ляпунова -Шмидта [108], теорию монотонных операторов, разработанную в [63]-[67], [76], [79], [80], [86], теорию степени отображения (принцип Лере -Шаудера)([80], [108]), метод компактности и метод малого параметра.

В §2-8 главы 1 перечисленные выше теоремы используются при решении одномерных и многомерных нелинейных гиперболических и эллиптических задач. Сформулируем основные из полученных здесь результатов.

В §2 рассматривается задача о вынужденных периодических колебаниях закреплённой на концах струны: ии ~ ихх + д{и) = 0 < х < еК; и(О^) = и(тг,1) = О, í Е Н; и(х, £ + 2-Л") = и(х, ¿), 0 < X < 7Г, £ Е И.

0.7) (0.8) (0.9)

Здесь / есть заданная 27г-периодическая по Ь функция. Для данной задачи оператор А представляет собой самосопряжённое расширение оператора Даламбера □, действующего на гладких функциях, удовлетворяющих (0.8), (0.9) (А = □*). В задачах, рассмотренных в последующих параграфах, также буквой А будем обозначать самосопряжённое расширение соответствующего дифференциального оператора.

Заметим, что оператор А в задаче (0.7)-(0.9) соответствует случаю 2). Спектр и {А) оператора А представляет собой дискретное не ограниченное ни снизу, ни сверху множество. В данном случае (т(А) состоит из всех нечётных целых чисел, кроме -1, и целых чисел, делящихся на 4, кроме - 4. Занумеруем сг(А) в порядке возрастания: а(А) = {Ап| п Е г} так, что До = 0. Основным результатом параграфа 2 является следующая теорема, опубликованная в работе [1].

Теорема 2.1. Пусть функция д(и) непрерывна, не убывает на Л и существуют числа п Е N и {0} и а, ¡3 Е К такие, что

0.10) (0.11)

-¡3, —а] С (Ап1, Ап); д(и т д{и) т-а < ит-< нт и->оо и и—>оо и

3.

Тогда для любой 27г— периодическом по I функции f Е =

0,7г] х [0, 27г]) задача (0.7) - (0.9) имеет обобщенное решение и Е 1/2 Если дополнительно к вышеприведенным условиям д(и) строго возрастает и д Е С00(К), / Е С00(О), то обобщенное решение и Е С°°(О) является классическим.

Обобщённое решение определяется стандартно с помощью интегрального тождества. Условия (0.10), (0.11) называют условиями не-резонансности и они означают, что при больших |п| график функции у = д (и) лежит между прямыми у = |Ап1|гг, у = |Ап|м и не пересекает прямых вида у = [Л-к\и, к 6 N и {0}.

В работах X. Брезиса, Л. Ниренберга [21], [22] данный результат был получен только для случая п = 0 (когда при больших \и\ график функции у = д(и) лежит между прямыми у — |Ао|и = 0 и у = [А1 ¡гг = 3и). В случае произвольного п Е N и {0} существование периодического решения задачи (0.7) - (0.9) ими было получено в [21] ( теорема 1.8) только для частного случая асимптотически линейных функций д(и) в том смысле, что существует

Теорема 1.8 из [21] является следствием нашей теоремы 2.1.

Если условие нерезонансности не выполнено, например, когда д(и) = |Аа;|и, или когда график функции у = д(и) при сколь угодно больших |и| пересекает прямую у = |Ад;|и, то задача (0.7)-(0.9) может не иметь решения. В §2 главы 1 приведены соответствующие примеры.

Полученное в теореме 2.1 решение, вообще говоря, не единственно. Это доказано в §2 главы 3, где помимо нулевого решения при д(0) = 0 доказано существование нетривиального решения. В §2 главы 1 приведены достаточные условия, при которых решение задачи (0.7)-(0.9) единственное. Кроме этого, в §2 главы 1 приведены обобщения теоремы 2.1. на случай произвольного периода Г, соизмеримого с длиной струны и на случай, когда д зависит от то есть на уравнение

В §3 исследуется квазилинейное волновое уравнение с граничными условиями Неймана и Дирихле: и

0.1). иы-ихх= д{и) + 0 < ж < 7г, £ е К; (0.12) и'{ 0, ¿) = и( тг, ¿) = 0, (0.13)

Сначала изучается случай, когда правая часть /(х,£) имеет период Т = 27г по времени. Соответствующий этой задаче линейный оператор А относится к случаю 1). Важные свойства оператора А доказаны в теореме 3.1.

Теорема 3.1([18]). Для любого к Е N и {0} и любой функции / Е Нк такой, что / Е Н/,. имеют место включения

Л-1/ € Нк+1 п С(П), Е Нк+1 п С(П1) и существует константа Ск такая, что

А~1 П\к+1 < Ск\\!\\к; \\А^7\\нк+1 < Ск Ц/11*, У/еЯ*.

Здесь П = [0,7г] х [0, 2тг], ^ = [—тг, тг] х [0, 2тг], Я* = Я* =

- пространства Соболева, / -есть чётным образом продолженная по х функция / на

Основной результат для нелинейного уравнения доказан в теореме 3.2. При этом на функцию д не накладывается условие монотонности.

Теорема 3.2([18]). Пусть функция д непрерывна на К и удовлетворяет (0.11), где [а,Р] П о {А) = 0. Тогда для любой функции / Е Ьг(^) задача (0.12), (0.13), (0.9) имеет обобщённое решение и € Н\ П С(О). Если дополнительно д Е С/:'(К) и / Е Нк, где к Е N. то и Е Нк+\. Если / Е Яз, р Е С3 (И) , то обобщённое решение является классическим.

Точно такой же результат получен для граничного условия ад(0,£) = и'(тг,г) - 0. 9

В заключительной части §3 рассматривается случай произвольного периода времени, соизмеримого с длиной струны:

Т = 2тг~, а,Ье 1М, (а,Ь) = 1. (0.14) сь

Условие (0.9) перепишем следующим образом: и(ж,£ + Т) = и(х,г) 0<х<тт,1еИ. (0.15)

Для нечётных значений Ь полученный результат полностью совпадает с теоремой 3.2. Если Ь является чётным числом, то соответствующий оператор Даламбера А относится к случаю 2) и для нелинейной задачи доказана теорема 3.4.

Теорема 3.4([18]). Пусть выполнено условие (0.14), Ь является чётным натуральным числом, функция д(и) непрерывна, не убывает и удовлетворяет (0.11), где а, Ре (0, +ос), [-/3, -а] П а (А) = 0. (0.16)

Тогда для любой Т— периодической функции f € ¿г(^) задача (0.7), (0.13), (0.15) Имеет обобщённое Т— ПерИОДИЧеСКОе решение и 6 1/2

Здесь О = [0,тг] х [0,Т].

В §4 исследуется волновое уравнение (0.7) с граничными условиями 3-го рода: и(0, £) - /г1?4(0, £) = 0, и(я-, £) + к2и'х(тт, £) = 0, £ € К. (0.17)

Ищется Т— периодическое решение, где для Т выполнено условие (0.14) Первый пункт §4 посвящён исследованию спектра оператора А. Для этого исследуется соответствующая задача Штурма-Лиувилля, для собственных значений которой доказана важная асимптотическая оценка (4.9). С помощью этой оценки показано, что оператор А относится к случаю 3). Опираясь на теорему 1.3 в §4, доказана следующая теорема, опубликованная в [9].

Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (0.14), функция g (и) непрерывна и удовлетворяет (0.11), (0.16). Если функция g (и) + щи не убывает на R, то для любой Т— периодической по t функции f G L^^ï) задача (0.7), (0.17), (0.15) имеет обобщенное решение u G £2 (fi)

Здесь гц есть положительная константа, связанная со спектром А, определенная в (4.12). Если в граничных условиях (0.17) либо h\ = 0, либо /¿2 = 0, то условие монотонности можно опустить. Рассмотрим следующие два типа граничных условий: w(0, t) - hux{ 0, t) = 0, м(тг, t) = 0, te R; (0.19) u(0,t)=0, u{n,t) +hu'x{n,t) = 0, t G R. (0.20)

Теорема 4.2, доказанная в параграфе 4 и связанная с этими граничными условиями, была опубликована в [14].

Теорема 4.2. Пусть b является нечетным числом, функция g(u) непрерывна и удовлетворяет (0.11), где [а. /3} Г) а (А) = 0. Тогда для любой Т— периодической функции f G 1/2(fi) задачи (0.12), (0.19), (0.15) и (0.12), (0.20), (0.15) имеют обобщенное решение u G C(fi).

При четных значениях b оператор А соответствует случаю 3). В заключительной части §4 доказана теорема 4.3.

Теорема 4.3. Пусть выполнено условие (0.14), функция g{u) непрерывна и удовлетворяет (0.11), (0.16). Если функция g (u) + Ь0и не убывает на R, то для любой Т— периодической функции f G ¿2 (fi) задачи (0.7), (0.19), (0.15) и (0.7), (0.20), (0.15) имеют обобщенное решение u G £2(0).

Положительная константа в условии теоремы 4.3 связана со спектром оператора А и определена в §4.

В §5 первой главы рассматривается нелинейное волновое уравнение с непостоянными коэффициентами и с однородными граничными условиями Дирихле р{х)ии-(р(х)их)х +д(и) = / (х,г) , 0 < ж < тг, Ь Е Я. (0.21) Заметим, что уравнение более общего вида р(г)ии ~ 0Ф)их)* + Цг, г, и) = ¡(г, *)

Одной из первых работ, в которой исследуется задача о периодических решениях волнового уравнения с непостоянными коэффициентами, является работа 1997 года V.Barby, N.H.Pavel [35]. В этой работе существование периодического решения доказано с помощью принципа сжимающих отображений. В нашей работе [8] уравнение (0.21) исследуется с использованием теории степени отображения вполне непрерывных операторов. Коэффициент р(х) в уравнении (0.21), как и в [35], удовлетворяет условиям (5.4), обеспечивающих дискретность и положительность собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Дифференциальный оператор А в уравнении (0.21) соответствует случаю 3). Обозначим а- модуль наибольшего отрицательного собственного значения А. Опираясь на теорему 1.4, в §5 доказана теорема 5.1, опубликованная в [8].

Теорема 5.1. Пусть выполнено (0.14), функция д(и) непрерывна, не убывает на R и где 6, С Є (0,+оо), 7 Є (0,о;). Тогда для любой Т— периодической по Ї функции / Є ¿2задача (0.21), (0.8), (0.15) имеет обобщенное решение и Є ¿2(0).

Заметим, что в работе [35] данный результат получен при более сильных условиях, когда функция д(и) дополнительно удовлетворяет глобальному условию Липшица с константой 7 Є (О.а). приводится к виду

5\и\ - С < \д(и)\ < ч\и\ + С Vm Є R,

Чтобы исследовать не изученный ранее случай произвольных соседних собственных значений оператора А, волновое уравнение в заключительной части §5 представлено в следующем виде: р(х) ии - (р{х) их)х +д(х,Ь,и) = / (ж, і), 0 < х < 7Г, £ Є Я. (0.22)

С помощью теоремы 1.3 доказана следующая теорема из нашей работы ([13]).

Теорема 5.2. Пусть выполнено (0.14), функция д(х,Ь,и) непрерывна по всем переменным и д(х,і,и) а <

Р(

X )и

Р V |и| > С, где а, (З Є (0, +оо), [-/?, -а] П а {А) = 0, С > 0.

Если функция + 26ом не убывает по и при всех (ж, I) Е О, то для любой Т— периодической по £ функции / € 1-2 задача (0.22), (0.8), (0.15) имеет обобщенное решение и Е -¿2(0).

Здесь 60 есть положительная константа, связанная со спектром оператора А (см.(5.7)).

В §6 рассматривается задача о периодических решениях уравнения колебаний ограниченной неоднородной струны с однородными граничными условиями 3-го рода: р(х)ик-(р(х)их)х± д(х,Ь,и) = f (х,Ь) , 0 < х < 7г, Ь Е И; (0.23) и (0, "£) - /^<(0, ¿) = 0;и(тг, ¿) + /г2<(тг,£) = О, Ь Е И; (0.24) и(ж, ;£+ Т) = и(ж, ¿) , 0 < ж < 7Г, г Е и. (0.25)

Здесь Л-1 >0, /г.2 > 0, /¿1 + /^2 > 0. Период времени Т удовлетворяет (0.14). Коэффициент р(х) удовлетворяет (5.4) и дополнительному условию на концах отрезка (6.12), или (6.21), или (6.22) (глава

1). В начале §6 доказываются важные асимптотические оценки для собственных значений Хп соответствующих задач Штурма-Лиувилля: с0 < п - (п - < С1 Уп € N5 (0.26) с0 < п (Ап - (п - 1)) < а УпЕ N. (0.27)

Здесь со, с\ некоторые положительные константы. При выводе оценок (0.26), (0.27) используется теорема Штурма о сравнении. Отметим здесь работы [68]-[72], [74] Кондратьева В.А., в которых исследутся проблема об ассимптотике собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Если в условиях (0.24) либо Н\ = 0, либо /12 = 0, то при нечётном Ъ дифференциальный оператор А соответствует случаю 1). Теорема 6.1 ([20]). Пусть либо = 0, либо /12 = 0, д(ж,£,-и) непрерывна на [0, тс] х К2, Т — периодична по £, (0.28) и , . £,и) -ГГ-,— д(ж,£,«) а(ж,£) < Ііт ——- < Ііт ——тр[х)и р(х)и

Р{х,і)

0.29) равномерно по (х,і) Є П, где а(х, £), ¡3(х, £) Є Ь°°(П), а < а(х,і) < /3(х,і) < /3 п. в. в О

0.30) и [а, ¡З] П сг[А) = 0. Тогда, если Ь является нечётным числом, то для любой Т- периодической по £ функции / Є £-2(0) задача (0.23) — (0.25) с "-" имеет обобщённое решение и Є С (О).

Если > 0, /12 > 0, или /11/12 = 0 и 6-чётное число, то оператор А соответствует случаю 3). С помощью оценок (0.26), (0.27) произведено исследование спектра оператора А и доказано существование инвариантных подпространств N2, N3 С ^(П) таких, что оператор А: N3 -» Щ вполне непрерывен и а(А\^2) С [771,772], где 771 > 0. С помощью теоремы 1.3 в §6 доказаны теоремы 6.2, 6.3([20]).

Теорема 6.2. Пусть > 0, /12 > 0 и выполнены условия (0.14), (0.29), а > 0, \—(3, —а] П сг(/1) = 0. Предположим дополнительно, что да(х. I, и) непрерывна в £1 х К и и) > -г]1р(х) У(ж, и) Е О х II. (0.31)

Тогда для любой Т— периодической по £ функции / Е Ь<2.{Щ задача (0.23) — (0.25) с "+" имеет обобщенное решение и Е Ьг(О).

Теорема 6.3. Пусть либо = 0, либо = 0, Ь является чётным числом и выполнены условия (0.14), (0.29), (0.30), (0.16). Предположим также, что ди(х^,и) непрерывна в О х И и выполнено условие (0.31). Тогда для любой Т— периодической по £ функции / Е 1/2 задача (0.23) — (0.25) с " + " имеет обобщённое решение и Е .¿^(П).

В заключительной части §6 рассмотрен случай наибольшего отрицательного собственного значения г/ оператора А, существование которого доказано в лемме 6.2. Волновое уравнение записано в виде р(х)ии - (р{х)их)х-\-д(и) = / (х^), 0 < х < 7Г, £ Е И. (0.32)

Опираясь на теорему 1.4, доказана теорема 6.4 из нашей работы [20].

Теорема 6.4. Пусть > 0, /¿2 > 0 и выполнены условия (0.14), (5.4), где с1 > 1. Предположим, что функция д(и) непрерывна, не убывает на Л и существуют константы С > 0,7 Е (0, \г]\) такие, что

- С < \д{и)\< 7Н + С \Jue~R.

Тогда для любой Т— периодической по I функции / Е задача

0.32), (0.24), (0.25) имеет обобщенное решение и Е 1^2

В случае, когда • /12 = 0 и Ь является нечётным числом, условие монотонности функции д можно опустить. Последней теоремой в §6 является теорема 6.5, доказательство которой приведено в §6 и не опирается на теоремы 1.1-1.4.

Теорема 6.5 ([20]). Пусть h\ ■ = 0, b-нечётное число и выполнены условия (0.14), (5.4) с d > 1. Предположим, что функция g(u) непрерывна и существует a £ (0, \т]\) такое, что

9{и)

О < Hm < Hm а. и—УОО XI и—>0С у

Тогда для любой Т— периодической по £ функции / £ -¿^(О) задача (0.32), (0.24), (0.25) имеет обобщенное решение и £ С(О).

В параграфе 7 рассматривается многомерное квазилинейное волновое уравнение в шаре: utt ~ Au = g (и) + / (|ж|, t) ; (ж, t) £ Ba х R;

0.33) и (ж, t) = 0 V (ж, *) £ 5а х R; (0.34) и(х, t + T) = и(х, t) V(x,t)eBaxR. (0.35) Здесь а > 0, Ba = {х £ Rn | \х\ < а} , 5а = {ж £ Rn ||ж| = а} , ; * " " 5 ^ Ii j rt n ffi i—l i—1

Период времени Т соизмерим с радиусом шара а. Для определенности положим а = Т = 2тт-, 6,с£К, (6,с) = 1. (0.36) С

Одна из трудностей, возникающих при изучении многомерного волнового уравнения, состоит в том, что линейная часть уравнения может иметь ненулевые собственные значения бесконечной кратности. Этого можно избежать, если рассматривать радиально симметричные решения. В §7 решение и задачи (0.33)-(0.35) ищется на множестве радиально симметричных функций.

Заметим, что работы [32], [34], [45], [46] являются одними из первых, в которых доказывается существование радиально симметричных периодических решений многомерного волнового уравнения в шаре. В работе [45] рассматривалось слабо нелинейное волновое уравнение вида ии - Аи = ед{\х\^и) . (0.37)

Периодические решения малой амплитуды для уравнения (0.37) с граничными условиями Дирихле (0.34) получены в [45] при достаточно малых значениях е.

В работах [32], [46] получены радиально симметричные периодические решения многомерного волнового уравнения в шаре в случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности, размерность п есть чётное число и Ь = с = 1. Если п - нечётное число, то обратный оператор Даламбера на дополнении к ядру не является вполне непрерывным. В этом случае в работе [46] доказано существование периодических по времени радиально симметричных решений не для всех правых частей /(|ж|,£), а для функций /(|ж|,£) из подпространства, имеющего бесконечную коразмерность. В работе [34] период времени Т и а несоизмеримы, а линейное слагаемое удовлетворяет глобальному условию Липшица.

В §7 диссертации рассматривается задача (0.33)-(0.35) с произвольным периодом Т , соизмеримым с а, нелинейное слагаемое д(и) удовлетворяет условию нерезонансности и доказывается существование периодического решения для любой правой части /(|ж|, из пространства интегрируемых с квадратом функций.

Обозначим Л+ = сг(Л) П (0,+оо), где сг(А) есть множество собственных значений многомерного волнового оператора, действующего на радиально симметричных функциях, удовлетворяющих условиям (0.34), (0.35). Множество сг(А) исследовано в §7. При исследовании волнового оператора А в §7 доказано, что если п > 4 и либо Ъ-чётное число, либо п = З(тосМ) и либо п = 1 (тос14) и с-нечетное число, то оператор А соответствует случаю 3). Для этого случая получена теорема 7.1.

Теорема 7.1 ([10]). Пусть п > 4 и либо Ъ является чётным числом, либоп = 3(то(!4), либоп = 1 (то(14) и с-нечетное число. Предположим, что выполнены условия (0.11), (0.36), где а > 0 и [а, /?] П Л+ = 0. Если функция д(и) + ^¡¡и непрерывна и не убывает, то для любой Т-периодической по времени функции / Е Н задача (0.33) — (0.35) имеет обобщенное решение и Е Н.

Здесь Н есть множество радиально симметричных функций из Ь2(Вах [0,Т]), а 7о есть положительная константа, связанная с оператором А и определенная в (7.15).

Если п > 4, Ь нечетное и либо п- четное число, либо п = 1(тос14) и с-четное число, то оператор А соответствует случаю 1). В §7 из теоремы 1.1 выводится теорема 7.2, в которой отсутствует условие монотонности.

Теорема 7.2 ([10]). Пусть п > 4, Ь- нечетное число и либо п-четное число, либо п = 1 (тпосМ) и с-четное число. Пусть функция д(и) непрерывна и удовлетворяет (0.11), где [а, /3] П <т(А) = 0. Тогда для любой Т - периодической функции / £ Н задача (0.33) — (0.35) имеет обобщенное решение и Е Н.

Случай п = 2 рассмотрен отдельно. Это связано с особенностями спектра волнового оператора на плоскости. Теоремы 7.3, 7.4, опубликованные в [10], являются аналогами теорем 7.1,7.2 для случая п = 2.

В трехмерном случае спектр волнового оператора обладает свойствами одномерного оператора Даламбера и оператор А соответствует случаю 2). Существование периодического решения волнового уравнения для случая п = 3 доказано в теореме 7.5, которая является аналогом теоремы 2.1.

В §8 методы, разработанные в §1, применяются для доказательства существования решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений. Нелинейное эллиптическое уравнение исследовалось в большом количестве работ (см., например [21], [36], [41], [108]). В пункте 1 §8 рассматривается одномерное эллиптическое уравнение, то есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка и" + д(и) = f(x), х Є (0, 7г); и(0) = и(тг) = 0.

0.38) (0.39)

В работе С. Фучика и А. Куфнера [36] существование решения задачи (0.38), (0.39) доказано с асимптотически линейными функциями д(и) в том смысле, что существует 1нп ^ = А ^ с (А), гДе

Аи d2 и Е і?і(0,7г). В нашей теореме 8.1, опубликованной в

16], от условия асимптотической линейности для д(и) удалось избавиться.

Теорема 8.1. Пусть функция д{и) непрерывна на R и либо

-оо < lim ^ < TST^ < 1 (0.40)

ТГЧж u ~ U-^CC и либо для некоторого n Е N п2 < lim ^ < < (n + I)2. (0.41)

U-4оо u ~ U

Тогда для любой функции /(ж) Е 7г) задача (0.38) — (0.39) имеет обобщенное решение и Е С1 (0,7г) П Щ(0,7г).

Доказательство теоремы 8.1 опирается на теорему 1.1. Во второй части параграфа 8 рассматривается эллиптическое уравнение в ограниченной области О С К", имеющей гладкую границу:

Lu — g(u) + f(x), х G íl;

0.42) и\дп = 0. (0.43)

Здесь Ь есть равномерно эллиптический оператор второго порядка с гладкими коэффициентами. Занумеруем спектр сг{Ь) оператора Ь в порядке возрастания cr(L) = {An| п Е N}.

Теорема 8.2([13]). Пусть функция д(и) непрерывна и либо a (u) ^—о (и) < lim и—5*00 и и—>сс ^ либо для некоторого п Е N

-оо < lim ^ < ЖГ^ < АЬ (0.44)

- «■ — и—» сс ' 47

Ап < lim-< lim —< An+i. и—>СС И—^00

Тогда для любой функции /(ж) Е задача (0.42) — (0.43) имеет обобщенное решение u е Я? (О) п Я2(П).

Доказательство теоремы 8.2 также опирается на теорему 1.1. В заключении §8 доказывается теорема 8.3, которая является обобщением теоремы 8.2 на случай, когда функция g зависит от ж и t.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной (суперлинейный) рост. Волновое уравнение с суперлинейной нелинейностью и с нулевыми граничными условиями Дирихле исследовано в работах X. Бре-зиса, JL Ниренберга, П. Рабиновича, Е. Файрайсла, П.И. Плотникова [25], [27], [28], [40], [43].

В первом параграфе второй главы рассматривается волновое уравнение с граничными условиями 3-го рода и Дирихле:

Щ% ~ uxx + g{x, t,u) = 0, 0 < х < 7г, t Е R; (0.45) u(0,t) -hu'x(0,t) =u(n,t) = 0, iE R; (0.46) u(x,t + T) = u(x,t), 0 < ж < ж, t E R. (0.47)

Здесь h > 0, функция g(x,t,u) удовлетворяет условию:

Аъ\и\р~1 - A4 < \g{x,t,u)\ < A^uf'1 + A2 V(x,t,u) E [0, тг] x R2,

0.48) где p > 2, a Ai, A2, A3, A4 есть положительные константы такие, что

Ф > ^ + (0.49)

2 р

Основным результатом §1 является доказательство теоремы 1.1.

Теорема 1.1 ([14]). Пусть функция g непрерывна на [0,7г] х R2, Т— периодична по /;, не убывает по и и выполнены условия (0.14), (0.48), (0.49). Предположим также, что выполнено одно из двух условий: или д не зависит от t, или д(х, t, —и) = —д(х, t, и) \/(ж, t, и) 6 [0, тг] х R2.

Тогда для любого d > 0 существует обобщенное решение u € LP(Q) задачи (0.45) — (0.47) такое, что ||«||р > d. При нечетном Ь обобщенное решение и £ С (О,).

Доказательство теоремы 1.1 проводится вариационным методом. Решение задачи ищется как критическая точка соответствующего функционала F(u), который не ограничен ни снизу, ни сверху. На конечномерных подпространствах топологическими методами (теорема Борсука) находятся критические точки F(u). Далее методом монотонности доказывается существование подпоследовательности, слабым пределом которой, при стремлении размерностей подпространств к бесконечности, является обобщенное решение задачи (0.45)-(0.47). Аналогичные результаты доказаны для случая граничного условия 3-го рода на правом конце и условия Дирихле на левом, а также для случая граничных условий 3-го рода на обоих концах (теорема 1.2).

В теоремах 1.3-1.6 существование периодических решений доказано для волнового уравнения с переменными коэффициентами с различными граничными условиями и нелинейностью, имеющей степенной рост.

Условиям теорем 1.1-1.6 удовлетворяют, например, функции д(х, t, и) вида д(х, t, и) = с(х)\и\р~2и — /(ж), д(х, t, и) = h(x: t)\u\p~2u, где функции f(x),c(x) G С[0,7г], функция h(x,t) -Т— периодична по времени, непрерывна в £7,

О < Л3 < h(x, t) <Ai, 0<AZ< c(x) < Аг и для констант Ai,Az выполнено неравенство (0.49).

Во втором параграфе второй главы рассматривается волновое уравнение со степенной нелинейностью и с правой частью, зависящей от х и t: р (х) utt — (р (х) их)х + д(х, t,u) = h(x,t), 0 < х < тг, t Е R\ (0.50) и (0, t) = и (тг, t) = 0, teR. (0.51)

Положительная функция р{х) удовлетворяет условиям из работы 13. Ищется периодическое решение с периодом Т, имеющем вид

Т= —, где ае N. (0.52) а

Используя вариационный метод , доказана теорема 2.1, опубликованная в нашей работе [11].

Теорема 2.1 Пусть выполнено (0.52), функция д(х, t, и) непрерывна на [0,7г] х R2, Т—периодична not и удовлетворяет условиям (0.48), (0.49). Тогда для любого положительного числа d\ существует ao — ao(d\,Ai, /Ь, j N такое, что при любом a £ [ao, оо) п N и любой Т - периодической по t и непрерывной на [0,7r]xR функции h(x,t) с \\h\\c < d\ задача (0.50),(0,51),(0.47) имеет обобщенное решение u Е LP(Q,).

Заметим, что соответствующий данной задаче функционал не является ограниченным ни сверху, ни снизу. Для поиска седловых критических точек этого функционала используется вариант леммы "горного перевала" из работы [56] (лемма 2.3, глава 2).

В теоремах 2.2, 2.3 аналогичный результат получен для случая граничных условий 3-го рода.

В третьем параграфе второй главы рассматривается нелинейное телеграфное уравнение

Зщ + jux + utt -uxx + g(x,u) = f{x,t), 0 < х < тг, t G R; (0.53) и(0,г) = и(тг,*) = о ш е и; и{х,Ь + Т) = и(х,г) Ух е (0,тг), V* е к.

0.54) (0.55)

Нелинейное слагаемое д удовлетворяет следующим условиям: существуют константы такие, что д{х: и)\ < а\и\р + 6, д(ж, и)и > —с\и\ - с? У(х, и) Е [0,7г] х К. (0.57)

Задача о периодических решениях квазилинейного телеграфного уравнения рассмотрена в работах [21], [59], [60], [61] и других. В работе [59] рассмотрено телеграфное уравнение с суперлинейной нелинейностью без слагаемого их. В связи с этим метод работы [59] не проходит для задачи (0.53)-(0.55). Основным результатом §3 главы 2 является теорема 3.1, опубликованная в [7].

Теорема 3.1. Пусть функция д непрерывна на [0,7г] х К и выполнены условия (0.14), (0.56), (0.57), Ъ— нечетное число и |7| < \j3\-Тогда для любой Т~ периодической по £ функции / Е Ьг(^) задача (0.53) — (0.55) имеет обобщенное решение и Е С(О) П

При доказательстве теоремы 3.1 на конечномерных подпространствах банахова пространства С(0)П1/1(П) с помощью теории степени отображения (принцип Лере-Шаудера) доказывается существование приближенных решений поставленной задачи. Точное решение получается при предельном переходе, когда размерность подпространств стремится к бесконечности.

Третья глава посвящена задаче о свободных нелинейных колебаниях струны, плоской пластины и балки, поставленной X. Брезисом в [23]. В первом параграфе рассматривается волновое уравнение с граничным условием 3-го рода на одном из концов а > 0,6 > 0,с > 0,6? > > 1

0.56) ии - ихх = д(х,1,и), 0 < х <7г, £ е К.

0.58)

Рассмотрим случай граничного условия 3-го рода на левом конце: и(0,і) - ки'х{0,і) = 0, и(тг,£) = 0, і ей. (0.59)

Случай условия 3-го рода на правом конце рассматривается аналогично. Функция д(х,Ь,и) непрерывна при Є [0, тг] х К2 и д(х, г, 0) = 0 У(х, г) Є [0, тг] х К. (0.60)

Из последнего условия следует, что и = 0 является решением задачи (0.58),(0.59),(0.55). Ищется не равное нулю почти всюду в О решение, которое мы будем называть нетривиальным.

Для наглядностии сформулируем основной результат §1 в случае, когда функция д не зависит от существует д'(0) и запишем уравнение (0.58) в виде ии - ихх = д(и), 0<ж<7г,геК. (0.61)

Теорема ([12]). Пусть функция д(и) непрерывна, д(0) = 0 и существуют Аі, Аг Є а(/1) такие, что (Аі, Аг) П ст(А) = 0, выполнены условия (0.11), (0.14) так, что Ъ— нечетное число и [а,(3] С (Аі, А2), д'(0)>\2, д'(0)£а(А). (0.62)

Предположим дополнительно, что

А УиєН/{0}, где (0.63) и

А Є <7(4), А></(0), (¿/(0), А) П сг(А) = 0. (0.64)

Тогда задача (0.61), (0.59), (0.55) имеет нетривиальное обобщенное решение и Є С(О).

Заметим, что из условий (0.14), (0.62),(0.63) следует, что график функции у = д(и) при больших \и\ лежит между прямыми у — Аіи, у = Х2и, где Аі, Аг € сг(-Л), а при малых значениях \и\ ф 0 график д(и) лежит вне сектора, ограниченного этими прямыми и, следовательно, пересекает линию у = Аг« (согласно (0.62)). В утверждении 1.1 главы 3 доказано, что если график функции у — д(и) не выходит из сектора, ограниченного линиями у = А1« и у = Аг^ (точнее У = (-^1 + £)и и У = (Аг — £)и, где £ сколь угодно мало), то задача (0.61),(0.59),(0.55) не имеет обобщенного решения.

Доказательство этой теоремы опубликовано в нашей работе [12]. Теорема 1.1 из первого параграфа главы 3 диссертации является обобщением только что приведенной теоремы на случай, когда д = д(х, и). Отметим, что приведенная теорема останется в силе, если график функции у — д(и) при и > 0 выходит из сектора А^ < у < \2и снизу, то есть условия (0.63), (0.64) можно заменить на условия

Доказывается теорема 1.1 вариационным методом. Решение задачи (0.58), (0.59), (0.55) ищется как критическая точка функционала

Функционал ^ не ограничен ни снизу, ни сверху. Поэтому критическую точку ^ нельзя получить, как точку минимума или максимума. Однако на конечномерных подпространствах с помощью леммы "горного перевала" из [38] получилось найти нетривиальную стационарную "седловую точку" функционала Г. Для этого удалось построить на конечномерных подпространствах "зацепляющиеся" поверхности, для которых выполнены условия леммы "горного перевала". Факт "зацепления" доказан в приложении к диссертации. Далее решение задачи (0.58),(0.59),(0.55) получается предельным переходом, когда размерность конечномерных подпространств стремится к бесконечности.

А Е а (А), А < ¿/(0), (А,</(О))Пег(А) = 0.

Во втором параграфе главы 3 рассматривается волновое уравнение (0.61) с граничными условиями Дирихле

При поиске нетривиального решения задачи (0.61), (0.65),(0.55) метод доказательства теоремы 1.1 явно не проходит, поскольку сНткег А = сю и предельный переход не получается. Чтобы преодолеть эту трудность, найдено инвариантное относительно Аид подпространство Я С 1/2(П) такое, что Н П кег А = {0}.

В теоремах 2.1, 2.2 из §2 главы 3, опубликованных нами в работе [2], для задачи (0.61), (0.65),(0.55) доказывается существование обобщенного или классического решения (при д Е С1 (И)) из подпространства Н. Условия и методы доказательств теорем 2.1, 2.2 аналогичны условиям и методу доказательства теоремы 1.1.

В утверждениях 2.1-2.4 доказываются достаточные условия, при выполнении которых нетривиальные решения задач (0.61), (0.65), (0.55) и (0.61), (0.59),(0.55) зависят от времени.

В качестве приложения полученных нами результатов рассмотрим уравнение синус-Гордона:

Уравнение синус-Гор дона (sin-Gordon), возникшее изначально в дифференциальной геометрии ([113]), играет важную роль во многих областях физики. Это уравнение является одной из моделей единой теории поля, применяется в теории дислокаций в металлах, в теории джозеф-соновских переходов, при описании нелинейных волновых свойств геофизической среды, имеющей блоковое (фрагментированное) строение [112]-[114]. В связи с приложениями в геофизике одной из важных особенностей сейсмичности, на которую исследователи достаточно давно обратили внимание, было свойство периодичности - повторяемости u(0, t) = u(tt, t) = 0, teR.

0.65)

Щг — uxx + sinu = 0, 0 < x < 7Г, t E R.

0.66) наиболее сильных землетрясений в одном месте через определенный интервал времени [112].

Задача о периодических решениях уравнения (0.66) поставлена в работе Л.Ниренберга [38]. В ней сказано, что в случае бесконечной струны для уравнения синус-Гордона доказано существование периодического решения и ничего не известно о существовании периодических по времени решений уравнения синус-Гордона для конечной струны. В пункте 4, §2 главы 3 получен положительный ответ на этот вопрос. В теореме 5.2 главы 3 уравнение sin-Гор дон рассмотрено с граничным условием 3-го рода. Здесь доказано, что при h > ~ задача (0.66), (0.59) имеет нетривиальное 2-7Г—периодическое по времени решение, зависящее от времени. Как следствие теоремы 2.2 из §2, доказано, что уравнение sin-Гордон (0.66) с граничными условиями Дирихле (0.65) имеет нетривиальное, Т = |7г-периодическое по t, бесконечно гладкое решение, которое зависит от времени. Отметим, что в случае однородных граничных условий Дирихле, данное утверждение является улучшением результата Ж.Корона [24], поскольку в [24] доказано существование периодического решения уравнения sin-Гордон с большим периодом времени Т таким, что Т > 8тт. Для уравнения sin-Гордон с граничным условием 3-го рода в ранних работах существование периодических решений доказано не было.

В третьем и четвертом параграфах главы 3 методы, разработанные нами в главах 1,3, применяются при решении двумерных и одномерных гиперболических уравнений четвертого порядка: уравнений колебаний плоской пластины и балки. В этих параграфах доказаны (теоремы 3.1-3.3, теоремы 4.1-4.3) теоремы о существовании решений уравнений вынужденных и свободных колебаний плоской пластины и балки. В технических леммах 3.1-3.3, 4.1, 4.2 доказаны свойства оператора А~г: необходимые при регуляризации обобщенных решений.

В данном введении сформулируем одну из перечисленных выше теорем, например, теорему 3.1 о свободных колебаниях прямоугольной плоской пластины: utt + А2и = д{и), (х,у) g II,t g Я, (0.67) и = Аи = 0, (х, у) g дД, £ g R; (0.68) u{x,y,t + T) = u{x,y,t), (х,у) g n,t g R. (0.69)

Здесь П = (0,7г) х (0,7г), Д = дхх + дуу. Обозначим также i) = [0,7г] х [0,7г] х [0, Т]. В §3 построено инвариантное подпространство Н относительно g и дифференциального оператора А такое, что ker А п Н — {0}. Спектр а(А\н) можно занумеровать в порядке возрастания: а{А\н) — {тц\ I g Z} так, что i < 0,% > !• Заметим, что при Т = 2тг:г/1 = -11, 770 = 9.

Теорема 3.1([15]). Пусть выполнены условия (0.11), (0.14), Ь— нечетно, функция g(u) непрерывна на R и существует д'(0) ^ ст(А|#). Предположим, что либо существуют m g Z, k g N такие, что a,f3] С (i7m,?7m+l)> ^'(0) > ^«г+Ь ^^ < tal Vti G R/{0}, L либо существуют m 6 Zi GNU {0} такие, что a,(3] с (r7m,77m+i), g'(0) < ^^ > Vm-k-i Vu g R/{0}.

Тогда задача (0.67) — (0.69) имеет нетривиальное обобщенное решение u g с5(п) п Hi(Q). Если дополнительно g g c^r), то и Е сх(п) п

Н2(П) п Ь2{{0, Т) : Я4(Я) П #?(#)•

Доказывается теорема 3.1 вариационным методом, таким же, что и теорема 1.1 из главы 3.

Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[20]. Смотрите также [127]-[137].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рудаков, Игорь Алексеевич, 2007 год

1. Н. Brezis, L. Nirenberg. Characteriations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.-1978.-V. 5, No 2.-P. 225-325.

2. H. Brezis, L.Nirenberg. Forced vibration for a nonlinear wave equa-tions//Comm. Pure Aple. Math-1978.- V. 31, No 1,- P. 1-30.

3. H. Brezis. Periodic solutions of nonlinear vibrating string and duality principles//Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.)-1983.- V. 8, No 3.- P. 409-426.

4. J.M. Coron. Periodic solutions of a nonlinear wave equations withaut assumption of monotonicity.-Math. Ann.-1983.- V 262, No 2. P. 273-285.

5. P. Rabinowitz. Free vibrations for a semilinear wave equation//Comm. Pure Aple. Math.- 1978.- V 31, No 3.- P. 31-68.

6. К. Tanaka. Infinitely many periodic solutions for the equations: uu — uxx ± |w|s1 = f(x,t)//Comm. in part. diff. equations.-1985.- V 10, No 11.

7. П.И. Плотников. Существование счетного множества периодических решении задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения// Мат. Сб.- 1988.- Т. 136(178), N4(8).- С. 546-560.

8. Е. Feireisl. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term//Chechosl. Math. J.- 1988.-V 38, No 1,- P.- 78-87.

9. H. Lovicarova. Periodic solutions of a weakly nonlinear wave equations in one dimension//Czechoslovak Math. J.- 1969. V. 19(94).- P. 324342.

10. P. Rabinowitz. Periodic Solutions of Nonlinear Hyperbolic Partial Differential Equations // Comm. Pure Aple. Math-1967.- V. 20.- P. 145-205.

11. P.J. McKenna. On solution of a nonlinear wave equation when the ratio of the period to the length of the interval is irrational//Proc. Amer. Math. Soc. -1985.- V. 93.- P. 59-64.

12. A.K. Ben-Naoum, J. Mawhin . Periodic solutions of some semilinear wave equatons on balls and on spheres//Top. Meth. Nonl.Analysis.-1993. V 1, No 1. - P. 113-137.

13. B.M. Бабич, H.C. Григорьева. Ортогональные разложения и метод Фурье. Л.:Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.

14. J. Berkovits, J. Mawhin. Diophantine approximation, Bessel functions and radially symmetric periodic solutions of semilinear wave equatonsin a ball//Trans. Amer. Math. Soc-2001 V. 353, No 12.- P. 50415055.

15. V. Barby, N.H.Pavel. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x dependent coefficients// Trans. Amer. Math. Soc.-1997. V.-349, No 5.- P. 2035-2048.

16. А. Куфнер. С. Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1988.

17. P. Rabinowitz. Multiple critical points of perturbed summetric functional// Trans. Amer. Math. Soc.-1982.-V. 272, No 2.

18. L. Nirenberg. Variational and topological methods in nonlinear problems// Bull. Amer. Math. Soc.(N.S-). -1981.- V 4. N 3,- P. 267-302.

19. M.A. Красносельский, П.П. Забрейко. Геометрические методы нелинейного анализа.- М.: Наука. 1975.

20. H. Brezis, J.M. Coron, L. Nirenberg. Free vibrations for a nonlinear wave equations and a theorem of P.Rabinowitz//Comm. Pure Aple. Math-1980.- V. 33.- P. 667-689.

21. С.И. Похожаев. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач//Тр. Матем. Ин-та АН СССР.- 1990.- Т. 192.- С. 146163.

22. Е. Feireisl. On the existence of multiplicity periodic solutions of equation of rectangle thin plate//Chechosl. Math. J.- 1987.- V 37, No 2.-P 334-341.

23. P. Rabinowitz. Large amplitude time periodic solutions of a semilinear wave equations// Comm. Pure Aple. Math-1984.- V. 37.- P. 189-206.

24. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. M.: УРСС, 2003.

25. M. Yamaguchi. Free and forced vibrations of nonlinear wave equations in ball// J. Diff. Eq.-2004- V. 203. P. 255-291

26. A.K. Ben-Naoum,J. Berkovits. On the existence of periodic solutions for semilinear wave equation on a ball in Rn with the space dimension n odd// Nonlinear Anal. TMA 1995.- V 24.- No 2.- P. 241-250.

27. T. Kiguradze. On periodic in the plane solutions of nonlinear hyperbolic equations//Nonlinear Anal. TMA.-2000.-V 39.-P. 173-185.

28. A. Bahri, H.Brezis. Periodic solutions of a nonlinear wave equation// Proceedings of the Royal Society of Edinburg. -1980.-V. 85A.-P.313-320.

29. E. Feireisl. Weakly damped quasilinear wave equation: existence of time-periodic solutions// Nonlinear Anal. TMA.- 1991.- V 17 No 8.- P. 711-723.

30. Q-H. Choi, T. Jung. Multiplicity results for nonlinear wave equations with nonlinearities crossing eigenvalues// Hokkaido Math. J.-1995.-V. 24.-P. 53-62.

31. J. Poschel. Quasi-periodic sjlutions for a nonlinear wave equa-tion//Comment. Math. Helvetici.-1996.-V.71.-P. 269-296.

32. Y. Ding, L.Shujie. Periodic Solutions of Symmetric Wave Equation/Journal of differential equations.-1998.-V.145.-P.217-241.

33. S. Yuming, L. Tat-tsien, Q. Tiehu. Periodic travelling wave solutions of nonlinear wave equations// Nonlinear Analysis.- 1999.- V 35.— P. 917-923.

34. M. Yamaguchi.Periodic Solutions of Nonlinear Equation of String mith Periodically Oscillating Boundaries//Funkcialaj Ekvacioj.-2002.-V.45.-P. 397-416.

35. J. Berkovits, H. Leinfelder, V.Mustonen. Existence and multiplicity results for wave equations with time-independent nonlinear-ity//Topological Methods in Nonlinear Analysis.-2003.-V. 22.-P. 273295.

36. E. Feireisl. Time periodic solutions to a semilinear beam equation// Nonlinear Anal. 1988.- V. 12. - P. 279-290.

37. E.R. Fadell, S.Y. Husseini, P.H. Rabinowitz . Borsuk-Ulam theorems for arbitrary S1 actions and applications// Trans. Amer. Math. Soc. 1982. - V. 274. - N 1,- P. 345-360.

38. Ж.-JI. Лионе. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач// "Едиториал УРСС", г. Москва, 2002 .

39. W.S. Kim. Boundary value problem for nonlinear telegraph equations with superlinear growth//Nonlinear Analysis. T.M.A. -1988.-V. 12.-P. 1371-1376.

40. S. Fucik, J.Mawhin. Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations// Nonlinear Analysis.-1978.-V. 2. P.- 609-617.

41. J. Mawhin . Periodic solutions of nonlinear telegraph equations in Dynamical Systems (Edited by Bednark and Cesari)-NewYork: Acadimic Press, 1977.

42. Ф.А. Березин, M.A. Шубин. Уравнение Шредингера- M., 1983.

43. М.М. Вайнберг. Вариационный метод и метод монотонных операторов-М.: "Наука", 1972.

44. М.И. Вишик. Краевые задачи для квазилинейных сильно эллиптических систем уравнений, имеющих диввергентную форму//ДАН.-1961.-Т. 138.-N З.-С. 518-521.

45. М.И. Вишик. Решение системы квазилинейных уравнений, имеющих диввергентную форму при периодических граничных условиях//ДАН.-1961.-Т. 137.^ З.-С. 502-505.

46. М.И. Вишик. О разрешимости краевых задач для квазилиней-ных параболических уравнений высших порядков// Математический сборник.-1962.-Т. 59(доп).-С. 289-325.

47. М.И. Вишик. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие диввергентную форму//Тр. Моск. мат. об-ва-1963.-Т. 12.-С. 125-184.

48. В.А. Кондратьев. Элементарный вывод необходимого и достаточного условия неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка//УМН-1957.-Т. 12.-К 3. С. 159160.

49. В.А. Кондратьев. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения у" + р(х)у — 0//ДАН СССР-1957.-Т. 113.^ 4. С. 742-745.

50. В.А. Кондратьев. О колеблемости решения линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядка//ДАН СССР-1957.-Т. 113-К 4. С. 742-745.

51. В.А. Кондратьев. О нулях решений уравнения у"+р(х)у = 0//ДАН СССР-1958.-Т. 120.-^т 6. С. 1180-1182.

52. В.А. Кондратьев. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядка//Труды ММО-1959.-Т. 8.-К 4. С. 259-281.

53. В.А. Кондратьев, О.А. Олейник. О периодических по времени решениях параболического уравнения второго порядка во внешних областях// Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех.-1985 N 4-С. 3847

54. В.А. Кондратьев, Ю.В. Егоров. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля// УМН-1996.-Т. 51.-N 3. С. 73-144.

55. А.П. Буслаев, В.А.Кондратьев, А.И. Назаров. О периодических решениях нелинейного уравнения //Дифференциальные уравнения-1997.-Т. 33.-N И. С. 1569.

56. Ю.А. Дубинский. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка//УМН-1968.-Т. 23.-вып. I.- С. 45-90.

57. С.И. Похожаев. О периодических решениях некоторых нелинейных гиперболических уравнений//ДАН.-1971.-Т. 198.-N 6.-С. 1274-1277.

58. С.И. Похожаев. О периодических решениях нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения-1980.-T. 16.-N 1.-С. 108-116.

59. И.В. Скрыпник. Применение топологических методов к уравнениям с монотонными операторами//Укр. Матем. ж.-1972 -T. 24.-N 1.-С. 69-79.

60. В.А. Треногин. Функциональнвй анализ-М.: "Наука", 1980.

61. H. Amann, E.Zehnder. Nontrivial solutions for a class of nonresonans problems and applications to nonlinear differential équations//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa- 1980.- V. 8.- P. 539-603.

62. H. Amann, E.Zehnder. Multiple periopdic solutions for a class of nonlinear autonomous wave equations//Houston Journal of Mathematics-1981.- V. 7.- N 2,- P. 147-173.

63. A. Bahri, H.Brezis. Periodic solutions of a nonlinear wave equa-tion//Proc. Roy Soc. Edinburg-1980.-V. 85A.-P.313-320.

64. H. Brezis, J.M. Coron. Periodic solutions of nonlinear wave equations and Hamiltonian systems//Amer. J. Math-1980.-V. I03.-No 3.-P. 559-570.

65. F.E. Browder. Nonlinear monotone operatos and convex sets in Ba-nach spaces//Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)-1965.- V. 71.-N 5.-P. 780-785.

66. G. Minty. Monotone (nonlinear) operators in Hilbert spase//Duke Math. J.-1962.-V. 29-N 3. P. 341-346.

67. J.Leray, I.L.Lions. Quelques résultats de Visik sur les problems ellip-tiquess non lineaires par les methods de Minty-Browder//Bull. Soc. Mhath. France-1965.-V. 93.-P. 97-107.

68. P. Rabinowitz. Time periodic solutions of a nonlinear wave equation// Manus, Math.-1971- V. 5.- P. 165-194.

69. К.С. Chang, L.Sanchez. Nontrivial periodic solution of a nonlinear beam equation// Math. Meh. in the Appl. Sci.- 1982.-V. 4.-P. 194205.

70. W.S. Hall. On the existence of periodic solution for the equation Dttu+ (-1 YDfu = <•/(., ■,«)//J. Diff. Eq.-19T0.-P.509-526.

71. И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: наука, 1970.

72. С.И. Похожаев, В.П. Пикулин. Практический курс по уравнениям математической физики.-М.:МЦНМО, 2004.

73. М.А. Шубин. Лекции об уравнениях математической физики.-М.: МЦНМО, 2003.

74. А.Н. Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.-М. :Наука, 1977.

75. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике.-М.:Физматлит, 2003.

76. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1981.

77. А.Ф. Филипов. Введение в теорию дифференциальных уравнений.-М.: УРСС, 2004.

78. X. Гаевский, К.Грегер, К. Захариас. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1978.

79. К. Tanaka. On the range of wave operators//Tokyo J. Math.-1985.-V. 8. N 2.-P. 377-387.

80. K. Tanaka. Density of the range of a wave operator with nonmonotone superlinear nonlinearity//Proc. Japan Acad.-1986.-V. 62. N 4.

81. К. Tanaka. Infinitely many periodic solutions for a superlinear forced wave eqation//Proc. Japan Acad.-1985.-V. 61 Ser. A.

82. K. Chang, C. Hong. Periodic solutions for the semilinear spherical wave eqation//Acta. Math. Sinica. N. S.-1985.-V. l.-N l.-P. 87-96.

83. A.I. Bobenko, S.B.Kuksin. The nonlinear Klein-Gordon equation on an interval as a perturbed sin-Gordon equation//Comm. Math. Helv.-1995.-V. 70.-P. 63-112.

84. J.K. Kim, N.H.Pavel. Existence and regularity of weak periodic solutions of the 2-D wave equation//Nonlinear Analysis. T.M.A. 1998.-V. 32.-N 7.-P. 861-870.

85. JI. Ниренберг. Лекции по нелинейному функциональному анализу.-М.: Мир, 1977.

86. V. Benci. Some critical point theorems and applications//Comm. Pure Appl. Math.-1980-V. 33.-P. 147-172.

87. M. Berty, P. Bolle. Multiplicity of periodic solutions of nonlinear wave equations// Nonlinear Analysis-2004 V. 56.-P. 1011-1046.

88. A. E. Мирошниченко, А.А. Васильев, С.В. Дмитриев. Солитоны. Столкновения и взаимодействия солитонов.

89. А.В. Викулин. Физика волнового физического процесса.

90. В.И. Санюк, Л.В.Хорунжая. Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гор дона// Вестник РУДН. Серия Физика. -2004.-N 12.-С. 27-40.

91. В.Ю. Новокшенов. Введение в теорию солитонов. М. 2002.

92. Т. Хаяси. Нелинейные колебания в физических системах.-М.: Мир, -1968.

93. S. Sedziwy. Nonlinear periodic boundary value problem for a second order ordinary differential equation//Nonlinear analysis, T.M.A.-1998.-V. 32.-N 7.-P. 881-890.

94. A. Ambrosetti, V. Coti Zelati. Closed orbits of fixed energy for a class of N-body problems// preprint S.N.S.-1990.-April.

95. A. Ambrosetti, U. Bessi. Multiple periodic trajectories in a relativis-tic gravitational field// preprint S.N.S.-1990.

96. P. Rabinowitz. Multiple critical points of perturbed symmetric func-tional//Trans. Amer. Math. Soc. -1982.-V. 272.-N 2.

97. JI. Бере, Ф. Джон, M. Шехтер. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Иностр. л-ра, 1964.

98. Т. Kiguradze. On periodic in the plane solutions of second order linear hyperbolic systems// Arhivum mathematicum (brno).-1997.~ V. 33.-P. 253-272.

99. T. Kiguradze. On unique solvability of the periodic problem in the plane for linear hyperbolic equations// Mem. Differetial Equations Math. Phys.-1997.-V. 10.-P. 129-131.

100. Т.И. Кигурадзе. О двоякопериодических решениях одного класса нелинейных гиперболическх уравнений// Дифференциальные уравнения. 1998.-Т. 34.-N 2.-С 238-245.

101. А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений.-М.: Физматлит,-2004.

102. Ю.О. Митропольский, С.Г. Хома-Могилска. Умови існування ро-звя'язків крайовоі періодичноі задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку//Укр. мат. журн. 2005.Т. 57.-N 7.-С 912-921.

103. Г.П. Хома, Н.Г. Хома, С.Г. Хома-Могилска. Про розвя'язки періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого по-рядку//ПІ Всеукр. наук. конф. "Нелінійні проблеми аналізу"(9-12 вересня 2003 p., Івано-Франківськ): Тези доп. С 108.

104. И.А. Рудаков. Свободные нелинейные колебания прямоугольной тонкой пластины и стержня// Материалы Воронежской зимней математической школы " Современный анализ и его приложения", посвященной М.А.Красносельскому.- 2000- С. 147-148.

105. И.А. Рудаков. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями// Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач"-Понтрягинские чтения-ХІ.- 2000.-С. 126.

106. И.А. Рудаков. Периодические по времени решения волнового уравнения с суперлинейной нелинейностью// Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач"-Понтрягинские чтения-XIV.- 2003.-С. 124-126.

107. И.А. Рудаков.Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями//Материалы международной конференции в МГУ памяти И.Г.Петровского "Differential Equations and Related Topics".-2004.-C. 180-181.

108. И.А. Рудаков. Решение нелинейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условию нерезонансности // Материалы Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Самара.-2005.-С. 67-69.

109. И.А. Рудаков. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами/ /Материалы международной конференции в МГУ "Тихонов и современная математика".-2006.-С. 221-222.

110. Е.Б. Гаврилова, И.А.Рудаков. О существовании периодического решения волнового уравнения с граничными условиями 3-го рода и Неймана//Вестник БГУ им. И.Г.Петровского.-2006-N 4, -С. 111-114.

111. И.А. Рудаков. О периодических решениях волнового уравнения с граничным условием 3-го рода// Вестник БГУ им. ИГ.Петровского.-2007-N 4, -С. 46-66.

112. И.А. Рудаков. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения//Материалы Международной конференции посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д.Кудрявцева в РУДН. Москва.-2008.-С. 309.