Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Карпухин, Михаил Александрович

• Карпухин, Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Карпухин, Михаил Александрович

Глава 1. Введение..........................................................3

1.1. Постановка задачи....................................................3

1.2. Краткое содержание работы........................................8

1.3. Обозначения и сокращения.....................13

Глава 2. Предварительные сведения.................14

2.1. Оператор Лапласа-Бельтрами...................14

2.2. Минимальные подмногообразия..................16

2.3. Периодическая задача Штурма-Лиувилля............19

2.4. Эллиптические интегралы.....................23

Глава 3. Новые семейства экстремальных метрик на торе ... 24

3.1. Конструкция биполярных поверхностей к торам Оцуки .... 24

3.2. Спектральные свойства биполярных торов Оцуки........35

3.3. Конструкция торов Мт,п......................43

3.4. Спектральные свойства торов Мт,п................46

Глава 4. Немаксимальность известных экстремальных метрик

на торе ......................................................................53

4.1. Нижние оценки для supAn.....................54

4.2. Торы Оцуки.............................57

4.3. Поверхности Лоусона........................63

4.4. Биполярные поверхности к поверхностям Лоусона ..............65

4.5. Биполярные поверхности к торам Оцуки ..........................67

4.6. Торы Мт,п..............................68

4.7. Тор Клиффорда...........................69

Публикации по теме диссертации ........................................73

Список литературы ........................................................74

Глава 1 Введение

1.1. Постановка задачи

Данная работа посвящена исследованию минимальных поверхностей в сферах и их приложениям к спектральной теории оператора Лапласа-Бель-трами. Минимальные поверхности в сферах или, более общо, гармонические отображения римановых поверхностей в сферу, являются одним из наиболее интересных примеров интегрируемых систем, возникающих в дифференциальной геометрии. При их изучении применяются методы различных областей современной математики: от теории эллиптических уравнений в частных производных до алгебраической геометрии, см., например, [C, H, S]. В последние годы в этой области произошло несколько научных прорывов, в числе которых доказательство Нэвеса и Маркеса гипотезы Уилмора [MN], а также доказательство Брэндла гипотезы Лоусона [B]. Связь теории минимальных подмногообразий с задачей геометрической оптимизации собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами была впервые отмечена в работах Надирашвили [N1] и Эль Суфи, Илиаса [EI1].

Для произвольной замкнутой (то есть компактной и без границы) поверхности М, оснащенной римановой метрикой д, оператор Лапласа-Бель-трами имеет положительный дискретный спектр,

0 = Ао(М, д) < Х\(М, д) ^ Х2(М, д) ^ Х3(М,д) ^ ... S +ю, где собственные значения записаны с учетом кратности.

Определение 1.1.1. Пусть М является замкнутой гладкой поверхностью. Функционал ¿-го собственного значения Л¡(М, д) — функционал на пространстве всех римановых метрик на М, определяемый формулой

Лг(М,д) = Хг(М,д) Area,(М).

Ограниченность функционалов Л{(М, д) была доказана Янгом и Яу для i = 1 [YY], и позднее Коревааром в общем случае [K]. Главной задачей геометрической оптимизации является нахождение супремума и максимальных

метрик функционалов собственных значений на фиксированной поверхности. Эта задача оказывается крайне сложной и полный ответ известен только для нескольких первых номеров i на поверхностях неотрицательной эйлеровой характеристики. Полный список известных результатов приводится ниже.

• Ai(S2,g): Херш показал в работе [Her], что стандартная метрика на сфере является единственной максимальной метрикой для А1(§2,^).

• A1(RP2, д): Ли и Яу показали в работе [LY], что стандартная метрика на проективной плоскости является единственной максимальной метрикой для A1(RP2,^).

• A1(T2,^): Надирашвили показал в работе [N1], что единственной максимальной метрикой для Л1(Т2, д) является плоская метрика на равностороннем торе, то есть торе, соответствующем решетке из равносторонних треугольников.

• Л1(К,^): Для бутылки Клейна существует единственная максимальная метрика, соответствующая минимальному погружению т3д, определение которого можно найти в разделе 4.4. Экстремальность данной метрики была показана в [JNP], в то время как ее единственность доказана в [EGJ].

Для следующей группы примеров гладких максимальных метрик не существует (эквивалентно можно сказать, что максимальная метрика сингулярна).

• Л2(§2,д): Максимум достигается на сингулярной метрике, полученной склеиванием двух копий стандартной сферы по точке. Общая схема доказательства была предложена Надирашвили в работе [N2], а строгое доказательство дано Петридесом в работе [Pe].

• Л3(§2,д): Надирашвили и Сир доказали в работе [NS], что максимум достигается на сингулярной метрике, полученной склеиванием трех копий стандартной сферы.

• Л2(КР2,д): Надирашвили и Пенской доказали в работе [NP], что максимум достигается на сингулярной метрике, полученной склеиванием стандартной сферы со стандартной проективной плоскостью.

Промежуточным этапом на пути получения максимальных метрик является изучение экстремальных метрик для функционалов Л{(М,д). Согласно наблюдению Надирашвили [N1], формализованному Эль Суфи и Илиа-сом [EI1], метрики на минимальных поверхностях в евклидовых сферах S>n экстремальны для функционала Л{(М,д) для некоторого значения i, которое определяется спектральными свойствами индуцированной метрики. Нахождение этого значения является нетривиальной задачей, решение которой в общем случае неизвестно. В настоящее эта задача решена только для трех семейств минимальных торов и бутылок Клейна в S3 и S4, см. работы [Lap], [P1], [P2]. Более подробно эти результаты описаны в главе 4. В настоящей диссертации получены два новых семейства экстремальных метрик, индуцированных минимальными вложениями в S4 и S5 соответственно, вычислен соответствующий номер функционала, а также изучен вопрос максимальности всех известных примеров экстремальных метрик.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами»

Цель работы

Цель работы состоит в описании двух новых семейств экстремальных метрик на торе. Также целью работы является доказательство немаксимальности всех известных экстремальных метрик для функционалов Л{(М,д) с i > 1.

Методы исследования

В диссертации использованы методы математического анализа и дифференциальной геометрии - задача Штурма-Лиувилля, теория минимальных поверхностей. Для построения примеров экстремальных метрик используются конструкции Миронова и Сяна-Лоусона.

При нахождении номера функционала собственного значения, для которого найденные примеры экстремальны, используются теория уравнения Ламе, полиномы Лагранжа и эллиптические интегралы.

Основные результаты диссертации

Диссертация содержит следующие новые определения, результаты и методы:

• Получена описание биполярных торов Оцуки в терминах конструкции Сяна-Лоусона.

• Найдены номера функционалов собственных значений, для которых биполярные торы Оцуки Ор экстремальны.

• Найдены номера функционалов собственных значений, для которых торы Мт,п максимальны.

• Показано, что все известные на данный момент метрики, экстремальные для Aj с i > 1, не являются максимальными.

Научная новизна

Утверждения 3.1.8, 3.1.9, 3.2.1, 3.4.1, 4.0.2, 4.0.4 являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты могут быть полезны математикам, занимающимся теорией минимальных подмногообразий, спектральной теорией оператора Лапласа-Бельтрами и задачей Штурма-Лиувилля.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

- 2 октября 2012 г. доклад «Multiple eigenvalues of Laplace operator» на русско-японской мини-конференции в рамках семинара «Геометрия и Топология» кафедры Высшей Геометрии и Топологии МГУ.

- 9 октября 2012 г. доклад «Геометрическая оптимизация собственных значений оператора Лапласа на поверхностях» на семинаре добрушин-ской математической лаборатории ИППИ РАН.

- 20 марта 2013 г. доклад «Геометрическая оптимизация спектра оператора Лапласа на двумерных поверхностях» на Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика».

- 11 декабря 2013 г. доклад «Максимизация первого собственного значения Лапласиана на компактных поверхностях» на Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика».

- 21 февраля 2017г. доклад «Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами» на Семинаре ИППИ РАН «Дискретная и вычислительная геометрия».

- 1 марта 2017г. доклад «Метрики на поверхностях, экстремальные для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами» на Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика».

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Постерный доклад «Spectral properties of bipolar surfaces to Otsuki tori» на «Workshop on the geometry of eigenvalues and eigenfunctions» Монреаль, 4-8 июня 2012 г.

2. 6 июня 2013 г. доклад «Extremal metrics on torus and Klein bottle» на «Workshop on spectral theory and geometry» Нешатель, 4-8 июня 2013г.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах (3 в рецензируемых журналах), список которых приведен в конце диссертации.

Структура работы

Диссертация состоит из четырех глав и списка литературы. Первая глава - введение. В ней формулируются основные вопросы, изучаемые в этой работе, дается общий обзор хода доказательства, обозначаются перспективы дальнейших исследований, вводятся используемые обозначения. Во второй главе даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающих в работе, а также техники работы с ними. Третья глава диссертации посвящена описанию двух новых семейств экстремальных метрик. В четвертой главе мы изучаем немаксимальность известных семейств экстремальных метрик.

Полный объем диссертации - 75 страниц, список литературы состоит из 49 наименований.

1.2. Краткое содержание работы

Изучение экстремальных метрик возможно благодаря их тесной связи с минимальными подмногообразиями в сферах, о которой пойдет речь ниже. Пусть М ^ S>n — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы Sn С Rn+1. Обозначим за А оператор Лапласа-Бельтрами на М, ассоциированный с индуцированной метрикой д на М. Считающая функция Вейля определяется следующей формулой,

N(\) = #{г\\г(М,д) < X}.

Примеры экстремальных метрик могут быть построены с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.2.1 (Эль Суфи и Илиас, [EI2]). Пусть М ^ Sn — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы Sn С Rn+1. Тогда метрика, индуцированная на М этим погружением, является экстремальной для функционала A^(dim(M))(M,g).

Тот факт, что размерность многообразия М появляется в аргументе функции Вейля объясняется следующей классической теоремой, доказательство которой можно найти в книге [KN].

Теорема 1.2.2. Пусть М ^ Sn — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы Sn С Rn+1. Тогда ограничения х1\м,..., хп+1\ м координатных функций являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами на М с собственным значением dim М.

Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 верны для многообразий произвольной размерности, но вследствие неограниченности функционала Aj в размерностях больше двух (см. [CD]), они особенно интересны в случае поверхностей.

Таким образом, для нахождения экстремальной метрики достаточно рассмотреть минимальную поверхность М в сфере, затем вычислить N(2) и заключить, что метрика, индуцированная на М данным вложением максимальна для функционала A^(2)(М,д). В таком виде этот метод был впервые

сформулирован А. В. Пенским в работе [P1] и им же успешно применен в работах [P1, P2] в случае поверхностей Лоусона и торов Оцуки соответственно. Тем не менее, следует отметить, что некоторые из предложенных Пенским идей были впервые использованы Ляпуантом в работе [Lap] при изучении спектральных свойств биполярных поверхностей Лоусона. Его работа была, в свою очередь, основана на статье [JNP], в которой Д. Якобсон, И. Полте-рович и Н. Надирашвили показали, что метрика на биполярной поверхности Лоусона тзд экстремальна для Лх(К,д). Позднее, Эль Суфи, Джакомини и Жазар доказали единственность экстремальной метрики для Лх(К,д).

Глава 3 посвящена описанию двух новых примеров экстремальных метрик на торе. Первым результатом данной работы является изучение спектральных свойств биполярных торов Оцуки. Определения торов Оцуки и биполярных поверхностей даны в разделе 3.1. Торы Оцуки могут быть получены с помощью теоремы редукции Сяна-Лоусона для минимальных подмногообразий. На данном этапе, в целях формулировки результата, достаточно

р 1 отметить, что для любого рационального числа —, такого что (p,q) = 1, - <

q 2

Р / «4 ~

- < —, существует минимально погруженная поверхность в S4, в дальней-

Я. 2

шем обозначаемая Ор. Экстремальные свойства этих поверхностей собраны в следующей теореме.

Теорема 1.2.3. Биполярная поверхность Ор к тору Оцуки является тором. Если д нечетно, то метрика, на Ор, индуцированная погружением, экстремальна для функционала А2д+4р-2(Т2, д). Если же д четно, то эта метрика экстремальна для функционала Лч+2р-2 (Т2, д).

Эта теорема доказывается в разделе 3.2. Отметим, что в разделе 3.1 в процессе доказательства мы приводим альтернативную конструкцию биполярных торов Оцуки, используя теорему Сяна-Лоусона о редукции.

Вторым результатом настоящей работы является пример нового семейства экстремальных метрик, для которого минимальное погружение в сферу задается явными формулами. Для любой пары взаимно простых натуральных чисел (т,п), т ^ п рассмотрим погружение ^>то,п: Ж2/(2^1?) ^ §5,

заданное следующим образом,

¥т,п(Х,У) =

sin cos ^ ,

I V 2m + n V m + 2n ym + 2n 2m + n I

(1.2.1)

где S5 рассматривается как множество векторов единичной длины в C3. Обозначим за Мт^п образ отображения (fTO^n. Явная формула (1.2.1) была впервые упомянута во введении к статье [M1]. Это погружение может быть получено с помощью общей конструкции, описанной А. Е. Мироновым в работе [M2], см. также раздел 3.3 ниже. Следует отметить, что поверхности Мт^п были описаны в конформных координатах с помощью эллиптических функций в работах [Ha, J].

Спектральные свойства Мт^п собраны в следующей теореме.

Теорема 1.2.4. Для любой пары взаимно простых натуральных чисел т, п, т ^ п погружение минимально. Соответствующая поверхность

Мт,п является тором. Если тп четно, то метрика, индуцированная на Мт,п этим погружением экстремальна для функционала A4(TO+n)_3(T2, д). Если же тп нечетно, то метрика, индуцированная на MTO,n этим погружением экстремальна для функционала A2(TO+n)_3(T2, g).

Доказательство этой теоремы приводится в разделе 3.4 и местами следует работе А. В. Пенского [P1]. Тем не менее, наше изложение значительно упрощено, например, мы не используем теорию уравнений Магнуса-Уин-клера-Айнса. Также как и в работе [P1], основной идеей доказательства является применение теории уравнения Ламе. Кроме того, мы даем строгое доказательство Предложения 20 из работы [P1], которое было опущено в работе Пенского.

Глава 4 посвящена изучению максимальности экстремальных метрик. Список известных экстремальных метрик длиннее, чем список известных точных значений супремума функционалов A¡(M,g), однако до сих пор максимальность этих экстремальных метрик не была изучена. В данной работе мы

заполняем этот пробел и проверяем максимальность всех известных экстремальных метрик, а известны следующие:

(A) метрики на торах Оцуки Ор, которые были изучены в работе [P2];

(Б) метрики на Лоусоновых торах и бутылках Клейна , которые были изучены в работе [P1];

(B) метрики на биполярных Лоусоновых поверхностях , которые были изучены в работе [Lap];

(Г) метрики на биполярных поверхностях Ор, которые изучены в главе 3 данной работы;

(Д) метрики на поверхностях МШ;П, которые также изучены в главе 3 данной работы.

Определения поверхностей (Б) и (В) будут даны разделах 4.3 и 4.4 соответственно. Основной результат главы 4 настоящей работы — это следующая теорема.

Теорема 1.2.5. Среди метрик (А)-(Д) нет максимальных, за исключением тз,1 и М1Л.

Замечание 1.2.6. Метрика на т3д максимальна для функционала Ах(К,д), см. работы [БОЛ, ЖР], а Мхд является плоским тором с равносторонней решеткой, который максимален для функционала А\(Т2,д), см. работу [N1].

В разделе 4.7 мы также докажем следующее предложение.

Предложение 1.2.7. Метрика на клиффордовом торе экстремальна для бесконечного множества функционалов Л (М,д), но не максимальна ни для одного из них.

Благодарности

Автор выражает благодарность А. В. Пенскому за постановку задачи, плодотворные обсуждения и неоценимую помощь в подготовке данного текста. Также автор выражает благодарность А. П. Веселову и А. Е. Миронову за обсуждения результатов работы.

Работа выполнена при поддержке Лаборатории геометрических методов математической физики им. Н.Н. Боголюбова МГУ (грант № 2010-220-01-077 Правительства РФ, дог. № 11.034.31.0005). Работы выполнена при поддержке стипендии Добрушинского фонда (осень 2012 г.), стипендии Президента Российской Федерации (осень 2011 г., осень 2012 г. и весна 2013 г.), фонда Саймонса (2013 - 2014 гг.), а также фонда «Династия»(2014 г.).

1.3. Обозначения и сокращения

В этой работе мы будем использовать следующие обозначения: Бутылка Клейна - К, Сфера размерности п - §п, Двумерный тор - Т2,

Пространство гладких функций на многообразии М - СЖ(М), Касательное расслоение многообразия М - ТМ, Слой расслоения ТМ в точке р - ТрМ, Пространство гладких векторных полей на М - Г(ТМ), Нормальное расслоение подмногообразия М - ММ, Площадь поверхности М, оснащенной метрикой д - Аге&д(М).

Глава 2

Предварительные сведения

Эта глава носит подготовительный характер. В ней приведены необходимые определения и сведения о минимальных подмногообразиях, операторе Лапласа-Бельтрами, задаче Штурма-Лиувилля и эллиптических интегралах. В дальнейшем мы по умолчанию предполагаем все многообразия компактными, без края и гладкими, то есть класса СПод подмногообразием мы понимаем погруженное подмногообразие.

2.1. Оператор Лапласа-Бельтрами

Пусть (М, д) является римановым многообразием. Для набора локальных координат хг, г = 1,...,п выражения д^ и дгз обозначают )-компоненту матрицы метрического тензора и обратной к ней матрицы соответственно, а |д| обозначает определитель матрицы (дг^). Тогда в этих координатах, оператор Лапласа-Бельтрами А задается выражением

где мы следуем стандартному в дифференциальной геометрии соглашению, что если один и тот же индекс повторяется и сверху, и снизу, то по этому индексу подразумевается суммирование. Отметим, что для евклидового пространства определенный выше оператор А отличается знаком от стандартного оператора Лапласа, рассматриваемого в курсах уравнений в частных производных.

Предположим, что М замкнуто (то есть компактно и без края) и имеет размерность т. Тогда А, рассматриваемый как неограниченный оператор на Ь2(М) с областью определения СЖ(М), самосопряжен, его спектр неотрицателен, состоит только из собственных значений, каждое собственное значение имеет конечную кратность, и все собственные функции гладкие. Обозначим соответствующие собственные значения следующим образом,

0 = Хо(М, д) < \1(М, д) ^ Х2(М, д) ^ Х3(М,д) ^ ... ^

где собственные значения записаны с учетом кратности.

Определение 2.1.1. Пусть М является замкнутым многообразием размерности т. Функционал ¿-го собственного значения А^(М,д) — функционал на пространстве всех римановых метрик на М, определяемый формулой

2

Аг(М,д) = \>(М,д)(Шд (М)) ™.

Кольбуа и Додзюк в работе [ОЭ] показали, что если размерность многообразия т ^ 3, то все функционалы собственных значений неограничены, то есть в старших размерностях максимальных метрик не существует. Поэтому особый интерес представляет случай поверхностей т = 2. Тогда согласно работе Янга и Яу [УУ], для ориентированной поверхности М рода 7 имеет место неравенство

А1(М,д) ^ 8ф + 1).

Более того, Кореваар доказал в работе [К], что существует универсальная константа С, такая что для любого г > 0 и любой компактной поверхности М рода 7 имеет место неравенство

Аг(М,д) ^ С(1 + 1)..

Ограниченность функционалов собственных значений мотивирует следующий вопрос: «Для данной поверхности М и натурального числа г, чему равен супремум функционала А{(М, д) на пространстве римановых метрик на М и для каких метрик он достигается?» Эта задача оказалась крайне сложной и короткий список многообразий М и номеров ¿, для которых известен ответ, можно найти во введении к работе [КР] или во введении к настоящей диссертации.

Естественным шагом на пути нахождения максимальных точек любой достаточно гладкой функции является нахождение экстремальных точек. Функционал А{(М,д) непрерывен по метрике д, но не дифференцируем. Это никак не связано с бесконечномерностью пространства метрик, а скорее объясняется возможностью наличия кратных собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами. Модельным является пример семейства диагональных операторов в двумерном пространстве с собственными значениями £ и (-).

Первое собственное значение задается функцией (-|£|), которая недиффе-ренцируема в точке £ = 0. Тем не менее, для аналитического семейства метрик д1 существуют левые и правые производные по параметру £, см., например, [Ви, Бег, Е11]. Этот факт мотивирует следующее определение, см. работы [Е12, N1].

Определение 2.1.2. Риманова метрика д на замкнутой поверхности М называется экстремальной для функционала Лг(М, д), если для любой аналитической деформации такой что д0 = д имеет место неравенство,

^Лг(М,дг) ^ 0 ^ ^Лг(М,дг) аЪ ¿=0+ аЪ

¿=0-

Это определение особенно актуально вследствие его связи с минимальными поверхностями, которая была впервые замечена Надирашвили в работе [N1], а затем формализована Эль Суфи и Илиасом в работе [Е11]. Перед формулировкой этого важного результата необходимо дать определение минимального подмногообразия.

2.2. Минимальные подмногообразия

Определение

Минимальные подмногообразия определяются как локальные экстремали функционала объема и в этом смысле являются многомерными аналогами геодезических. Как и в случае геодезических, формальное определение дается в геометрических, а не в вариационных, терминах.

Пусть М является подмногообразием риманового многообразия (М,д), которое посредством погружения само наделяется римановой структурой. Обозначим за Vм, Vм соответствующие связности Леви-Чевиты, согласованные с римановой метрикой.

Определение 2.2.1. Вторая квадратичная форма 11м подмногообразия М - это билинейная форма на ТМ со значениями в нормальном расслоении ЫМ, определяемая следующей формулой,

11М (Х,¥ ) = V? У -VM У, 16

где X,Y е Г(ТМ).

Из свойств связности Леви-Чевиты следует, что II м (X,Y) симметрична, тензорна по X,Y и действительно принимает значения в нормальном расслоении.

Определение 2.2.2. Подмногообразие М минимально, если след второй квадратичной формы по отношению к метрике g равен нулю, то есть если для любой точки р е М

11м (ei,ei)(p) = 0,

i

для некоторого (а значит и любого) ортонормированного базиса в ТрМ.

Пример 2.2.3. Минимальные подмногообразия в Rn. Подмногообразие М С Rn минимально тогда и только тогда, когда ограничения координатных функций х11м,... ,хп1м гармоничны на М, то есть лежат в ядре оператора Ла-пласа-Бельтрами.

Минимальные подмногообразия в единичной сфере Sn

Доказательство следующей классической теоремы можно найти в книге [KN].

Теорема 2.2.4. Пусть М ^ Sn — минимально погруженное подмногообразие единичной сферы Sn С Rn+1. Тогда ограничения х11м,..., ^п+1|м координатных функций являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами на М с собственным значением dim М.

Обратное утверждение было доказано Такахаси в работе [T] и формулируется в терминах изометрических погружений.

Теорема 2.2.5 (Такахаси [Т]). Изометрическое погружение риманова многообразия /: М ^ Кп+1 размерности т, где / = (/1,... , /п+1), определенное собственными функциями /г оператора Лапласа-Бельтрами А с общим собственным числом т,

А/г = т^

обладает следующими свойствами:

(г) образ / (М) лежит на сфере Бп единичного радиуса, (гг) погружение /: М ^ §п минимально.

Метрики, экстремальные для функционалов Лг(М,д)

В следующей теореме устанавливается связь между экстремальными метриками и минимальными погружениями в сферу. Считающая функция Вейля N (А) определяется формулой

N(Х) = #{г1Хг(М,д) < X].

Теорема 2.2.6 (Эль Суфи, Илиас, [Е12]). Пусть М ^ §п — поверхность, минимально погруженная в единичную сферу §п С Кп+1. Тогда метрика, индуцированная на М этим погружением, является экстремальной для функционала Лм(2)(М,д).

Появление номера N(2) в формулировке теоремы неслучайно, так как это в точности номер собственного значения, соответствующего собственным функциям хг1м, см. Теорему 2.2.4.

Таким образом, для нахождения экстремальной метрики достаточно рассмотреть минимальную поверхность М в сфере, затем вычислить N(2) и заключить, что метрика, индуцированная на М данным вложением максимальна для функционала Лм(2)(М,д). В таком виде этот метод был впервые сформулирован А. В. Пенским в работе [Р1]. В общем случае задача нахождения N(2) крайне трудна. Во всех случаях, для которых эта задача была

решена, на многообразии (М, д) действует непрерывная группа изометрий, что позволяет понизить размерность и переформулировать задачу в терминах семейства периодических операторов Штурма-Лиувилля.

2.3. Периодическая задача Штурма-Лиувилля

Определение и спектральные свойства

Периодическая задача Штурма-Лиувилля записывается в виде

- £ {Р«]Ж^) + тт = ХГ{т{1], (2.3.1)

где р(Ь),г(1) > 0, и р(Ъ + ¿о) = + £о) = + ¿о) = Задача

состоит в нахождении значений А, для которых существует решение к(Ъ), удовлетворяющее тем или иным граничным условиям. Спектральная теория для таких уравнений описывается в следующем предложении, доказательство которого можно найти, например, в книге [ОЬ].

Предложение 2.3.1. Обозначим за Х^^ и (^ (г = 0,1, 2,...) собственные значения и собственные функции задачи (2.3.1) с периодическими граничными условиями

н(г + ¿о) = Кг). (2.3.2)

Обозначим также за X{ и Ы(г) (г = 1, 2,...) собственные значения и собственные функции задачи (2.3.1) с антипериодическими граничными условиями

+ ¿о) = ~Кг). (2.3.3)

Тогда имеют место следующие неравенства,

Ао < Х1 ^ Х2 < Ах ^ А2 < хз < Х4 < А3 ^ А4 < ...

Для X = Ао существует единственная (с точностью до умножения на константу) собственная функция ко(Ь). Для г ^ 0, если А2^+1 < А2^+2, то существует единственная (с точностью до умножения на константу) собственная функция к2{+1(1), соответствующая собственному значению

A2 i+i кратности 1, и существует единственная (с точностью до умножения на константу) собственная функция h2i+2(t), соответствующая собственному значению А2+1 кратности 1. Если X2l+1 = А2+2, то существует двухмерное собственное пространство, порожденное h2i+1(i) and h2i+2(t), соответствующее собственному значению X = A2+1 = X2i+2 кратности 2. Аналогичные утверждения верны, если А2+1 < А2+2 или X2i+1 = А2+2

Собственная функция h0(t) не имеет нулей на [0,£о). Каждая из собственных функций h2i+1(i) и h2i+2(i) имеет в точности 2i + 2 нулей на [0,£0). Каждая из собственных функций h2+1(i) и h2i+2(t) имеет в точности 2г + 1 нулей на [0,£0).

Вариационный принцип и отношение Рэлея

Одним из главных инструментов для получения оценок на собственные значения является отношение Рэлея, которое в случае задачи (2.3.1) имеет вид

Щу] =

/0° P(t)i)2 + q(t)v2dt JO0 r(t)v2dt ■

Доказательство следующего предложения можно найти, например, в книге [Hen].

Предложение 2.3.2 (Вариационный принцип). Для собственного значения Xk задачи (2.3.1) с граничными условиями (2.3.2) имеет место следующая формула,

Xk = inf sup R[v],

Ek veEk

где инфимум рассматривается среди всех (к + 1)-мерных подпространств в пространстве Соболева Н 1[R/(i0Z)] t0-периодических функций. Более того, инфимум достигается на пространстве Vk, порожденном первыми (к + 1) собственными функциями.

Для собственных значений Xk задачи (2.3.1) с граничными значениями (2.3.3) имеет место равенство

Xk = inf sup R[v],

F veFk

где инфимум рассматривается среди всех к-мерных подпространств в пространстве £о--антипериодических функций пространства Соболева. Более того, инфимум достигается на пространстве У^, порожденном первыми к собственными значениями.

Следствие 2.3.3. Для любой гладкой to-периодической функции f имеет место неравенство

Ао ^ R[f].

Для любой гладкой Ь0-антипериодической функции g имеет место неравенство

Ai ^ R[g].

Предложение 2.3.4. Предположим, что потенциал q(t) = q(t,l) зависит от параметра I и что q(t,l1) < q(t,l2) при l1 < 12. Тогда соответствующие собственные значения \i(l) задачи (2.3.1) строго возрастают как функции параметра I.

Доказательство. Обозначим за Ri[f] отношение Рэлея для задачи (2.3.1) с q(t) = q(t, 1) и обозначим за Vk(I) пространство, порожденное первыми (к + 1) собственными функциями. Отметим, что если 11 < 12, то Ri1 [f] < Ri2 [f].

Тогда, согласно вариационному принципу, Xk(h) ^ (¿2) Ri1 [f].

Этот супремум достигается для некоторой функции g е Vk(12). Тогда

Хк(h) < Rh[g] < Ri2[g] < sup = Xk(k),

f evk(h)

что и доказывает предложение. □

Симметрии

Предположим, что все коэффициенты p(t),q(t),r(t) имеют общий период меньше чем to. Тогда некоторые из собственных функций имеют тот же период.

Предложение 2.3.5. Предположим, что Кг(£) — собственная функция периодической задачи Штурма-Лиувилля (2.3.1,2.3.2) с -периодическими

коэффициентами. Тогда -антипериодические решения задачи (2.3.1) —

2/6

это в точности функции К2п(2 и К2п(2 к+1)^), где к €

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувилля,

- ®(г'й(г) = момо,

h{t) = -h (t).

Согласно предложению 2.3.1, соответствующие собственные значения Хг записываются в последовательность

А1 < А2 < А3 < А4 < ...

Заметим, что — -антипериодические собственные функции Кг(£) мо-2п

гут быть продолжены до ^-периодических собственных функций задачи (2.3.1,2.3.2). Так как собственные функции К2 ги К2г(¿) имеют ровно

2г — 1 нулей на интервале

нулей на интервале [0,£о). В то же время, все собственные функции задачи (2.3.1,2.3.2), имеющие такое количество нулей, могут быть найдены из предложения 2.3.1. Таким образом, К2 г—1(^) = К2п(2 г—1)—1(^) и К2 г(£) =

К2п(2 г—1)(£). □

Следующее предложение может быть доказано аналогичным образом.

0, — ), то их продолжения имеют 2п(2г + 1) 2п /

Предложение 2.3.6. Предположим, что Кг(£) является собственной функцией периодической задачи Штурма-Лиувилля (2.3.1,2.3.2) с

— -периодическими коэффициентами. Тогда — -периодические решения зада-п п

чи (2.3.1) — это функции К°, К2пк—1 и к2пк, где к € N.

2.4. Эллиптические интегралы

В данном разделе мы напоминаем определения и свойства полных эллиптических интегралов (см, например, книгу [Б]). В дальнейшем они являются важным техническим инструментом для получения оценок на отношение Рэ-лея возникающих операторов.

Интегралы первого, второго и третьего типа обозначаются К, Е и П соответственно и определяются следующими формулами,

К (к) =

1 <х, Е (к) =

П(п, к) =

л/1 — х2л/1 — к2х2

.- .-<>х,

(1 — пх2)л/1 — х2л/1 — к2х2

л/1 — к2х2

-- <х,

л/1—Х

где к е [0,1] и п е К.

Из многочисленных свойств эллиптических интегралов нам потребуются только формулы для их производных и соответствующие утверждения о монотонности,

<Е (к) = Е (к) — К (к) ^ 0 <К{к) = Е (к) К (к) * 0 (941) <к = к ^ , <к = к(1 — к2) к * ' ( )

Т = 2(к2 — п)(п — 1) (Е« + ^ — п)К« + П(п2 — к2)П('г, ») , ^ = п—2 (+ П(п.к))

(2.4.2)

Глава 3

Новые семейства экстремальных метрик на

торе

В настоящей главе мы приводим два новых примера экстремальных метрик. Для каждого примера рассуждение состоит из двух основных частей. Сначала мы указываем процесс построения соответствующего минимального погружения (разделы 3.1 и 3.3), а затем проводим анализ спектральных свойств индуцированной метрики (разделы 3.2 и 3.4). В обоих случаях анализ проводится посредством сведения к семейству одномерных периодических операторов Штурма-Лиувилля. Основные результаты сформулированы в теоремах 3.2.1 и 3.4.1 и опубликованы в [К2, К3].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Карпухин, Михаил Александрович, 2017 год

Список литературы

[BU] S. Bando, H. Urakawa, Generic properties of the eigenvalue of Laplacian for compact Riemannian manifolds. Tohoku Math. J. 35:2 (1983), 155 - 172.

[Ber] M. Berger, Sur les premieres valeurs propres des varetes Riemanniennes, Compositio Math. 26 (1973), 129-149.

[B] S. Brendle, Embedded minimal tori in S3 and the Lawson conjecture, Acta Mathematica 211 (2013) 177-190.

[F] P. Byrd, M. Friedman. Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists, Springer Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1971.

[C] E. Carberry, Minimal tori in S3, Pacific J. Math., 233:1 (2007), 41-69.

[Ca] B. Causley, Bipolar Lawson tau-surfaces and generalized Lawson tau-surfaces, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 12 (2016), paper No. 009. Preprint arXiv:1406.4652.

[CF] I. Chavel, E. A. Feldman, Spectra of manifolds with small handles, Comment. Math. Helvetia 56 (1981), 83-102.

[CL] E. A. Coddington, N. Levinson. Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955.

[CD] B. Colbois, J. Dodziuk, Riemannian metrics with large Ai, Proc. Amer. Math. Soc. 122:3 (1994), 905-906.

[CE] B. Colbois, A. El Soufi, Extremal eigenvalues of the Laplacian in a conformal class of metrics: the Conformal Spectrum, Ann. of Global Analysis and Geometry 24 2003, 337-349. Preprint arXiv:math/0409316.

[EGJ] A. El Soufi, H. Giacomini, M. Jazar, A unique extremal metric for the least eigenvalue of the Laplacian on the Klein bottle. Duke Math. J. 135:1 (2006), 181-202. Preprint arXiv:math/0701773.

[EI1] A. El Soufi, S. Ilias, Laplacian eigenvalues functionals and metric deformations on compact manifolds. J. Geom. Phys. 58:1 (2008), 89-104. Preprint arXiv:math/0701777.

[EI2] A. El Soufi, S. Ilias, Riemannian manifolds admitting isometric immersions by their first eigenfunctions. Pacific. J. Math. 195:1 (2000), 91-99.

[EMOT] A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. Tricomi. Higher transcendental functions, Vol. III. McGraw-Hill Book Company Inc., New York-Toronto-London, 1955.

[Ha] M. Haskins, Special Lagrangian cones. American J. of Math. 126:4 (2004), 845-871.

[Hen] A. Henrot. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2006.

[Her] J. Hersch, Quatre proprietes isoperimetriques de membranes spheriques homogenes. C. R. Acad. Sci. Paris S er A-B 270 (1970), A1645-A1648.

[H] N. J. Hitchin, Harmonic maps from a 2-torus to the 3-sphere, J. Differential Geom., 31:3 (1990), 627-710.

[HL] W.-Y. Hsiang, H. B. Lawson, Minimal submanifolds of low cohomogeneity. J. Diff. Geom. 5 (1971), 1-38.

[HS] Z. Hu, H. Song, On Otsuki tori and their Willmore energy. J. of Math. Anal. and Appl. 395:2 (2012), 465-473.

[JNP] D. Jakobson, N. Nadirashvili, I. Polterovich, Extremal metric for the first eigenvalue on a Klein bottle. Canad. J. Math. 58:2 (2006), 381-400. Preprint arXiv:math/0311484.

[J] D. Joyce, Special Lagrangian m-folds in Cm with symmetries. Duke Math. J. 115 (2002), 1-51. Preprint arXiv:math/0008021.

[Ken] K. Kenmotsu, A characterization of bipolar minimal surfaces in S4. Tohoku Math. J. 26 (1974), 587-598.

[KN] S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Vol. II, Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1969.

[K] N. Korevaar, Upper bounds for eigenvalues of conformal metrics. J. Differential Geom. 37:1 (1993), 79-93.

[Lap] H. Lapointe, Spectral properties of bipolar minimal surfaces in S4. Differential Geom. Appl. 26:1 (2008), 9-22. Preprint arXiv:math/0511443.

[L] H. B. Lawson, Complete minimal surfaces in S3. Ann. of Math. 92 (1970), 335-374.

[LY] P. Li, S.-T. Yau, A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces. Invent. Math. 69:2 (1982), 269-291.

[MN] F. C. Marques, A. Neves, Min-Max theory and the Willmore conjecture. Ann. of Math. 179 (2014), 683-782.

[M1] A. E. Mironov, Finite-gap minimal Lagrangian surfaces in CP2. OCAMI Studies Series 3 (2010), 185-196. Preprint arXiv:1005.3402.

[M2] А. Е. Миронов, О новых примерах гамильтоново-минимальных и минимальных лагранжевых подмногообразий в Cra и CP"". Матем. сборник, 195:1 (2004), 89-102

[MSY] D. Montgomery, H. Samelson, C. T. Yang, Exceptional orbits of highest dimension, Ann. of Math. 64 (1956), 131-141.

[N1] N. Nadirashvili, Berger's isoperimetric problem and minimal immersions of surfaces. Geom. Funct. Anal 6:5 (1996), 877-897.

[N2] N. Nadirashvili, Isoperimetric inequality for the second eigenvalue of a sphere. J. Differential Geom. 61:2 (2002), 335-340.

[NS] N. Nadirashvili, Y. Sire, Isoperimetric inequality for the third eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on S2. Preprint arXiv:1506.07017.

[NP] N. Nadirashvili, A. V. Penskoi, Isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the projective plane. Preprint arXiv:1608.07334.

[O] T. Otsuki, Minimal hypersurfaces in a Riemannian manifolds of constant curvature. Amer. J. Math. 92:1 (1970), 145-173.

[P1] A. V. Penskoi, Extremal spectral properties of Lawson tau-surfaces and the Lame equation. Moscow Math. J. 12:1 (2012), 173-192. Preprint arXiv:1009.0285.

[P2] A. V. Penskoi, Extremal spectral properties of Otsuki tori. Math. Nachr. 286:4 (2013), 379-391. Preprint arXiv:1108.5160.

[P3] A. V. Penskoi, Generalized Lawson tori and Klein bottles. J. Geom. Anal. 4:25 (2015), 2645-2666.

[P4] А. В. Пенской, Метрики, экстремальные для собственных чисел оператора Лапла-са-Бельтрами на поверхностях. УМН, 68:6 (2013), 107-168.

[Pe] R. Petrides, Maximization of the second conformal eigenvalue of spheres. Preprint arXiv:1206.0229.

[S] J. Simons, Minimal varieties in Riemannian manifolds. Ann. of Math. 88:2 (1968), 62-105.

[T] T. Takahashi, Minimal immersions of Riemannian manifolds. J. Math. Soc. Japan, 18:4 (1966), 380-385.

[V] H. Volkmer, Coexistence of periodic solutions of Ince's equation. Analysis 23 (2003), 97-105.

[YY] P. C. Yang, S.-T. Yau, Eigenvalues of the Laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 7:1 (1980), 55-63.