Асимптотические формулы и теоремы равносходимости для одного класса дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Швейкина, Ольга Александровна

• Швейкина, Ольга Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Швейкина, Ольга Александровна

Содержание

Введение

Глава 1. Асимптотика собственных значений

1. Предварительные сведения

2. Типы операторов

3. Асимптотические формулы для собственных значений

3.1. Случай граничных условий Дирихле-Неймана

3.2. Случай граничных условий Неймана-Дирихле

3.3. Случай граничных условий Неймана

3.4. Обобщающая теорема

Глава 2. Асимптотика собственных функций

1. Собственные и присоединенные функции

2. Асимптотические формулы для собственных и присоединенных функций

2.1. Случай граничных условий Дирихле-Неймана

2.2. Случай граничных условий Неймана-Дирихле

2.3. Случай граничных условий Неймана

2.4. Обобщающая теорема

Глава 3. Применение полученных асимптотик в решении задач равносходимости

1. Случай граничных условий Дирихле-Неймана

2. Случай граничных условий Неймана-Дирихле и Неймана

3. Обобщающая теорема

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические формулы и теоремы равносходимости для одного класса дифференциальных операторов»

Введение

Настоящая диссертация является исследованием спектральных свойств операторов Штурма-Лиувилля, порождаемых на конечном интервале (а, Ь) £ 1 дифференциальным выражением

1{у) = -у" + ч{х)у. (1)

В классической теории обычным условием на функцию д(х) является условие д(х) £ Ь1,10С(а,Ъ), т.е. функция предполагается суммируемой на любом отрезке, компактно вложенном в (а, 6), а сингулярные операторы Штурма-Лиувилля характеризуются тем, что либо функция д(х) не суммируема на отрезке [а, Ъ] (имеется неинтегрируемая особенность по крайней мере на одном из концов отрезка), либо интервал (а, 6) бесконечен. В диссертации изучаются операторы с потенциалами д £ И^-1^, Ь] из пространства Соболева с отрицательным «показателем гладкости». В частности, потенциал может иметь неинтегрируемые особенности внутри интервала. Например, в качестве д(х) можно взять функцию (х — с)а, где с 6 (а, Ъ), а > —3/2 или д{х) = 8{х — с). Такие функции мы будем понимать в смысле теории распределений.

Задачи об изучении оператора Штурма-Лиувилля и его многомерных аналогов —А+д(х) с потенциалами короткого взаимодействия (типа^-функции) возникли в физической литературе. Математические исследования соответствующих физических моделей были инициированы в начале 60-х годов в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддеева и Р. А. Минлоса [6], [24]. В этих работах основной идеей была подходящая регуляризация потенциала. Эта тематика интенсивно развивалась в последние четыре десятилетия. Имеются монографии С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона и X. Хольдена [49], В. Д. Кошманенко [15], С. Альбеверио и П. Курасова [50], где можно познакомиться с подробностями теории Березина-Минлоса-Фаддеева в ее современном состоянии и другими новыми направлениями, возникшими на основе этой теории. Там же можно познакомиться с обширной библиографией.

Другой подход к изучению операторов Штурма-Лиувилля с неклассическими потенциалами д(х), являющимися производными от функций ограниченной вариации (зарядами), был предпринят М. Г. Крейном [17], И. С. Кацем [14], Ф. Аткинсоном [1] и В. В. Жиковым [10]. На этом пути в работе В. А. Винокурова и В. А. Садовничего [7] получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций такого класса операторов. Из

потенциалов, не принадлежащих последнему классу, изучался кулоновский потенциал = 1/х на отрезке [—1,1] или на прямой Ж, например, в работах Я. Гунсона [65], П. Курасова [69], Ф. Аткинсона, В. Эверитта и А. Зеттла [51]. Вопросы базисности и асимптотические формулы для потенциалов подобного и более высоких порядков сингулярности изучались также в работах Л. В. Крицкова [18], И. С. Ломова [20], О. В. Белянцева [4].

В работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [33] (см. также работу М. И. Неймана-заде и А. А. Шкаликова [26]) было показано, что оператор Штурма-Лиувилля можно корректно определить для всех потенциалов являющихся сингулярными распределениями первого порядка. Затем в статьях [29], [30] и [34] было предпринято дальнейшее изучение операторов с такими потенциалами. Вскоре появились работы Р. Гринива и Я. Микитюка [60], [64], где этот подход получил существенное развитие, в особенности при решении обратной задачи Штурма-Лиувилля с неклассическими потенциалами.

В последнее время эти операторы активно изучаются. Так, в работах А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [70], [32] исследованы различные аспекты решения обратных задач для операторов с такими потенциалами. В работах Б. Митягина и П. Джакова [53], [55] рассмотрены вопросы равносходимости, базисности и т.п. для операторов с периодическими и антипериодическими краевыми условиями. Изучались потенциалы вида — на всей

оси и на полуоси (см., например, работу М. М. Маламуда и А. С. Костенко [68]). В работах К. А. Мирзоева и Н. Н. Конечной [66], [67] рассматривались вопросы об индексах дефекта операторов с сингулярными потенциалами на полуоси.

Задача равносходимости разложений по собственным функциям возмущенного и невозмущенного операторов хорошо известна в классической теории операторов Штурма-Лиувилля (в случае, когда потенциал д локально суммируем). Первые работы по ее решению принадлежат У. Дини [52], В. А. Стекло-ву [41], А. Хаару [59], М. Стоуну [71]. В монографии В. А. Марченко [23] доказана равномерная равносходимость в случае, если раскладываемая функция / € ¿2[0,7г], ад — комплекснозначная суммируемая функция. В. А. Ильин [12] показал, что равносходимость имеет место на любом компакте, лежащем внутри отрезка, в случае, когда / € 1а[0,7г], ц — комплекснозначная суммируемая функция. Вопрос о скорости равносходимости для классических потенциалов изучался в статьях В. А. Ильина [И], И. С. Ломова [21], [22],

А. М. Гомилко и Г. В. Радзиевского [9], В. С. Рыхлова [28], В. М. Курбанова [69]. Вопросы равносходимости для операторов с сингулярными потенциалами изучались в работах В. А. Винокурова и В. А. Садовничего [8], Б. Митя-гина и П. Джакова [54], И. В. Садовничей [39], [40].

Мы начнем изложение результатов с определения операторов с сингулярными потенциалами и описания их свойств. Здесь мы следуем статье А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [35], в которой даны несколько способов определения операторов Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением и рассказано об их взаимосвязи. Мы остановимся на результатах этой статьи в начале первой главы в разделе «Предварительные сведения». Методы и идеи этой работы будут нами использоваться во всей диссертации.

Изложим основные результаты диссертации.

В первой главе получены асимптотические формулы для собственных значений для различных видов граничных условий. Для формулировки результатов этой главы введем некоторые обозначения. Мы везде в диссертации предполагаем, что дифференциальное выражение (1) определено на отрезке [0,7г], д(х) £ 1У2-1[0,7г], и используем представление

< я,ф>= - [ и(х)ф'(х)с1х + ипф(7г) - и0ф(0), ф е И^2[0,7Г],

где функция и € ^[0,7г] (мы будем называть ее обобщенной первообразной функции д), а ио и иж — комплексные числа. Данное представление неоднозначно, так как тройки (и(х),и„, щ) и (и(х) + с, ип + с, щ + с) задают один и тот же функционал.

Заметим, что квадратичные формы операторов имеют вид

<ьпу,у>= Г\у[\х)\Чх- Ги2(х)\у(х)\Чх, ./о Jo

< ЬВху,у>=< Ьву,у> +ип\у(тг)|2,

< ьмпу,у>=< ЬЕ)у,у> -ио|у(0)|2,

< Ьыу,у>=< Ьву,у > +ип\у(тг)\2 - щ\у(0)\2

(функцию и здесь для простоты мы взяли вещественной). При этом первую форму мы рассматриваем на пространстве М/^О, 7г], вторую — на пространстве {у € \¥Ц у(0) = 0}, третью — на пространстве {у £ И^О, 7г]| у{п) = 0}, а четвертую — на всем пространстве И^О,^].

Отсюда видно, что, изучив операторы с краевыми условиями Дирихле, Неймана, Неймана-Дирихле и Дирихле-Неймана, мы тем самым изучим все операторы с разделенными краевыми условиями (условиями типа Штурма). Действительно, например квадратичная форма оператора с краевыми условиями у(0) = 0, рМ(7г) + Ьу(7г) = 0 имеет вид

Г \уМ(х)\2<Ь - Г и\х)\у{х)\Чх + %(тг)|2 + ^(тг)!2, и о ./о

то есть совпадает с формой оператора с условиями Дирихле-Неймана при выборе числа с = Н в определении функции и по функционалу д. Случай, когда на обоих концах отрезка заданы кравеые условия третьего типа, сводится к краевым условиям Неймана при помощи замены и(х) = и(х) + с\х + Со подходящим выбором чисел со и с\. При этом д(х) = д(х) + что соответствует сдвигу спектрального параметра Л.

Мы также будем постоянно использовать выражение у^{х) := у'{%) — и(х)у(х), которое, согласно работам А. М. Савчука и А. А. Шкаликова, будем называть первой квазипроизводной функции у. Во избежание путаницы, отметим, что это понятие отличается от классического понятия квазипроизводных, определяемых, например в монографии [25]. Основным результатом первой главы является

Теорема 1.4. Для собственных значений {Ап}^ оператора Ь — —сР^х2 — д{х), д{х) = и'{х), и{х) € Ь2, выполнено:

А*/2 = т - -у(с,тт,тп2) + р(Хп), ,neN,

7Г

где в случае граничных условий

• Дирихле (у(0) = 0, у{7г) = 0) : т = п, с = 0,

• Неймана (у[1](0) = 0, тг) = 0): га = п - 1, с = тг/2,

• Дирихле-Неймана {у(0) = 0, 7г) = 0): т = п — с = 0,

• Неймана-Дирихле — 0, у(тг) = 0): т = п — с — -к/2,

а|р(Ап)|<М72(с,7г,Ап). Здесь мы используем обозначения

/* X Л

у(с, X,

Л 2 Уо

+2 f í u(t)u(s) cos(2c + 2A1//2¿) sin(2c + 2X1^2s)dsdt— (2)

Jo Jo

--A~1/2 / w2(í) cos(2c + 2\l¡2t)dt, 2 Jo

/■X nX

/ w(í) sin(2c + 2\1/2t)dt + / u(¿) cos(2c + 2\1/2t)dt Jo Jo

nu(t)u(s) cos(2с + 2A1/2¿) sin(2c + 2Лl'2s)dtd.

A-1/2 Г u2{t)cos{2c + 2\l'2t)dt Jo

y(c,x,\) = +2

1 +2

+ |Ar1/2||u||L + |Kc,x,A)IU2.

Метод, позволяющий получить результат теоремы 1.4, основан на модифицированной замене Прюфера

у(х, А) = r(x, A) sin в(х, А), х, A) cosd(x, А)

(для определенности мы здесь приводим замену, используемую для случая краевых условий Дирихле и Дирихле—Неймана). Эта замена позволяет свести уравнение Ly = А у на собственные значения к решению системы

6'(х, А) = А1/2 + А~1/2и2(х) sin2 0( х, А) + и(х) sin 29{х, А),

г'(х, А) = —г(х, А)

и(х) cos26(x, А) + ]-\-1/2и2{х) sin20(ar, А)

¿л

(3)

(4)

Таким образом, для получения асимптотических формул для собственных значений, достаточно изучить первое уравнение системы. Здесь основной является

Лемма 1. Пусть а > 0 - произвольное фиксированное число, а Ра -область, ограниченная параболой | 1т \/А| < а. Тогда существует число ¡л, зависящее только от и(х) и а такое, что при любых А £ Рп, Ие А > ц, уравнение (3) имеет единственное решение в (с, х, А), определенное при всех О < х < 7г и удовлетворяющее начальному условию в(с, О, А) = с. Это решение допускает представление

9(с, х,Х) = с + \1!2х + и(с, х, А) + р(с, х, А),

где |/?(с, х, А)| < М72(с, гг,А), А £ Ра, Ие А > причем выбор постоянной М зависит от функции и и а, но не зависит от с, х, А.

Во второй главе рассматривается асимптотика собственных функций операторов Штурма-Лиувилля для различных видов краевых условий и с помощью результатов главы 1 в явном виде получены первые и вторые члены этих асимптотик.

Теорема 2.4. Рассмотрим оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением —у" + д(х)у, где д(х) = и'(х) в смысле распределений, а ком-плекснозначная функция и(х) 6 Ьг- Обозначим через {уп(х)}^= г систему собственных и присоединенных функций оператора Ь, через {^(ж)}^ — биортогоналъную систему (причем собственные функции мы нормируем условием | |Уп| = V- Тогда

1) Для граничных условий Дирихле (г/(0) = 0, у(тт) = 0): т = п, п € N и справедливы следующие формулы:

где вир \р(.хч < С'> иИ.(х) И щ{х) обозначают вещественную и

0<х<ж

мнимую части функции и(х) соответственно.

Соответствующие функции биортогоналъной системы имеют вид:

+ <

2га х 7Г Л

+тг / - + ^гип{Ь)щ{г)) зт(2га£)с^ + (6)

+ со8(тж)( / й(£) Б\п{2т1)(И + 2 / / г7(г)?7(з) соз(2га£) 8т(2тз)с^£— \Уо Уо Уо

а; Г __ 2х Г _ _ \

я"Уо к J0 J0 )

У гг2(£) сой(2т£)д,1—

"п х Г1* \

й2{г)(И + ~ J сов(2т£)^£ 1 + /?(гс, Лп);

^ Для граничных условий Дирихле-Неймана (у(0) = 0, ?/Ш(7г) = 0): т = п — п 6 N и выполнены равенства (5) и (6);

Для граничных условий Неймана (?/М(0) = 0, 7г) = 0): т = п-1,пбМ и верны формулы:

= соБ(тх) — — J (я — Ь)иц({) соз(2га£)й?г+

+ [ и(Ь) соз(2га£)сЙ) + —соз(тх) ( [ sin(2mí)cíí— Л ) 2т Ч-'О

(ла; рх

/ 8т(2ш£)^ — 2 / / соз(2га£) 8т(2газ)с^с£г—

Уо -/о Уо

[ и(£) 8т(2т£)с?£ + — [ [ и^)и(з)соз(2т1)8т(2тз)с1зсИ] +

Уо к Уо Уо )

— ат(тх)('- [ и2(Ь)сИ- [ и2(г) соз(2тг)сИ+ 1т \ J0 Уо

х

7г

+- [ и2{г)(И + - [ г¿2(¿)cos(2m£)cг£)+p(2;,Лn)•

7i" Уо ^ Уо /

При этом соответствующие функции биортогоналъной системы имеют вид:

У1 уп(х) = сое(тх) — ^ У (тг — + 2ш/(г)) сов(2т£)сЙ-|-

+ I й(£) со8(2т^)^ + соз(тх) ^У й2(£) 8т(2га£)(й—

— [ ]+ (8) ^ ./о /

+ 8т(та:)( / г!(£) 8т(2тг)<й — 2 / / соз(2тг) вт^шя^сй—

х Г _ 2х Г [г \

Уо 7Г 7о Л /

8т(7пя;) (- [ й2{1)(И- [ й2и)соз(2тг)(И+

2 т \ Л Л

ГЕ + -

7г

J й2{1)(И + ^ У й2(£) соэ(2т^)бг^ + /о(ж, А„).

^ Для граничных условий Неймана-Дирихле = 0, ;у(7г) = 0):

т = и имеют место равенства (7) гх (8).

В последней главе доказаны теоремы о равносходимости и оценки ее скорости.

Теорема 3.4. Рассмотрим оператор Ь, пороо/сденный дифференциальным выражением —у" + д(х)у, где д(а;) = и'(х) в смысле распределений, а комплекснозначная функция и(х) £ 1^2[0,7г]. Пусть {уп(х)}™=1 — система собственных и присоединенных функций оператора Ь, причем для собственных функций \\уп{%)\\ь2 = 1, я биортогональная к ней. Для произвольной функции / € ¿2[0,7г] обозначим через Сп = (/(х), уп(х)), с^о = а/2/7г(/(х), Р(тх)). Тогда имеет место равномерная на всем отрезке [0,7г] равносходимость разложения функции / в ряд по системе {Уп(х)}^=1 и по системе {Р(тх)}. При этом скорость равносходимости характеризу-

егпся следующим выражением

1 1 Í2 11 спуп(х) - У -cn,QF{mx) |\с <

п=1 п= i v (9)

n>ll/2~e

где г € (0,1/2) — произвольное малое положительное число, ll!2~e > Nu, а последовательность {vu(k)} определяется функцией и{х) и стремится к нулю при к —» +оо.

Здесь в случае граничных условий

• Дирихле (?/(0) = 0, у {-к) = 0) F{a) = sin(a), т = п,п Е N,

• Неймана (уШ(0) = 0, yW{ir) = 0) F(a) = eos (а), т = п — 1,п € N,

• Дирихле-Неймана (у{0) = 0, 7г) = 0) F(a) — sin(a), т = п — п Е N,

• Неймана-Дирихле (у^(0) = 0, у{-к) = 0) F(a) = cos(a),m = п — п е N.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [47] — [48], а также докладывались на конференциях в 2011-2013 годах (тезисы докладов см. в [44] - [46]).

Глава 1. Асимптотика собственных значений.

В настоящей главе получены асимптотические формулы для собственных значений оператора Штурма-Лиувилля, порожденного в пространстве 1/2 [0,7г] дифференциальным выражением

Цу) = -у" + ч{х)у (10)

и граничными условиями, которые мы введем ниже. Потенциал д(х) = и'(х), где и(х) 6 1/2 [0,7г] (производная понимается в смысле распределений) предполагается комплекснозначным.

1. Предварительные сведения.

Изложим необходимые нам определения и утверждения. Наше изложение следует результатам работы [35]. Мы начнем с определения оператора!/. 1. Метод регуляризации.

Обозначим через Б пространство тест-функций на интервале (0,7г) (т.е. бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на(0,7г)), а через И' — пространство распределений на -О. Через 7г] (сокращенно

И^-1) обозначим пространство, состоящее из функций д(ж) Е И', для которых первообразная и(х) = / (в смысле распределений) принадлежит Ьг[0,7г]. Норму в И^-1 определим равенством ||д||_1 = т£\\и(х) + с\\ь2, где инфимум берется по всем константам с. Нетрудно показать, что пространство И^-1 совпадает с дуальным к пространству И^О,^] по отношению к скалярному произведению в £г[0, тг]. Здесь

- {у\у е Н^[0,тг],у(0) = у(тг) = 0},

где через \¥р обозначается соболевское пространство с нормой Ы\к,р = Ы\ьр + \\у{к)\\ьр• Далее, если норма || • || пишется без индексов, предполагаем, что она берется в пространстве 1/2.

Пусть в дифференциальном выражении (1) д(х) € 1У2_1»а и(х) = I — первообразная из пространства ¿2- Введем квазипроизводную

уЩх)=у'-и(х)у(х). (11)

Теперь мы можем переписать (10) в виде

Ь(у) = -(У14)' - и(х)уЫ - и\х)у. (12)

Заметим, что для гладкой функции и{х) выражения (10) и (12) совпадают. Однако выражение (12) обладает тем преимуществом, что не содержит распределений, а потому с ним можно оперировать, по существу, так же, как в классической теории. Методы построения операторов на основе квазидифференциальных выражений можно найти в монографии М. А. Наймарка [25], статьях В. Эверитта, А. С. Маркуса и А. Зеттла [56], [57], [58]. Воспользуемся конструкцией, приведенной в работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [33] (ниже приведем основные шаги этого метода без доказательств, более подробно см. статьи [33], [35]).

Свяжем с выражением (12) максимальный оператор Ьм^ определенный системой

Ьму = Ь(у),

о(Ьм) = ы у,у[1] е \¥}{о,п],ь(у) € ыо,тг]},

и минимальный оператор Ьт, который является сужением максимального оператора на область

0(Ьт) = {у\уе -О(Ьм), у(0) = у(тг) = 2/[1,(0) = 3/14(7г) = 0}.

Так как функция и(х) в общем случае комплекснозначна, введем Ьм и Ьт — максимальный и минимальный операторы, порожденные сопряженным дифференциальным выражением Ь(у), в котором функция и{х) заменена на и(х). Для описанных операторов верно следующее утверждение

Теорема А (формула Лагранжа.) Для функций / £ Б(Ьм) и 9 € О(Ьм) справедливо тождество

(Ьм1,д) = и,Ьмд) + и,д}1

где \J.g\l = -

Отсюда видно, что операторы Ьм и Ьт взаимно сопряжены, то есть

(Ьм1,д) = / е 0{ЬМ),9 е о(ьт).

Далее перепишем уравнение

ЬмУ := ~У" + и\х)у = Ау + /, А € С, / Е Ь2

в виде системы

где у\ — у, у2 = При этом элементы матрицы А, образованной из коэффициентов системы (13)

л)

являются функциями из Li[0,7г], благодаря чему верна

Теорема Б. Пусть А(х) — матрица, размером п*п, элементы которой являются функциями пространства Li[0,7t], a f 6 [!q[0,7r]]n — вектор-функция. Тогда при любом с € [0,7г] уравнение

у' = А{х)у + /, у(с)=£еСп,

имеет единственное решение у(х), причем у(х) — абсолютно непрерывная на [0,7г] вектор-функция. Если последовательность матриц А£(х) с элементами из 1/1 [0,7г] такова, что ||^4£(#) — A(x)\\l1 —> 0 при е —> 0, то решения уравнений

у'е = Ае{х)Уе + f, Уе{с) = f, сходятся к у(х) равномерно на [0,7г]. Кроме того, справедлива оценка

II У(х) - Уе(х)\\wno,n] < C(\\f\\Ll + \\Z\\) || А(Х) - Mx)\\Ll,

где постоянная С не зависит от fue.

Напомним, что оператор F, действующий в гильбертовом (или банаховом) пространстве Q, называется фредгольмовым, если область его определения D(F) плотна в Í7, образ замкнут, а дефектные числа {а,(3}, равные размерностям ядра и коядра, конечны. Из теоремы Б следует:

Теорема В. Для любого А € С операторы Ьм~Х и Ьт — А фредгольмовы, являются сопряженными друг к другу, а их дефектные числа равны {0,2} и {2,0} соответственно. Также отметим следующий факт. Теорема Г. Пусть оператор L является суждением оператора Lm ни область

D(L) = {у\у е D(LM), U\{y) = U2(y) = 0},

где

Uj(y) = ajlV{0) + aj2yM(0) + bjlV(ir) + bi2yWM. j = 1,2. (15)

Обозначим через Jaß определитель, составленный из а-го и ß-го столбца матрицы

(«11 Ö12 Ьц bi2

\а21 «22 &21 Ъ>22

Тогда оператор L имеет непустое резольвентное множество и спектр его дискретен, если выполнено одно из следующих условий:

• h2 Ф О,

• J42 = О, Ji4 + J32 Ф О,

• J42 = Ju = Jz2 — о, J\2 + У34 = О, Ji3 ф О.

При изучении операторов с регулярными потенциалами, краевые условия, для которых выполняется одно из приведенных выше соотношений, называются регулярными по Биркгофу. Если и(х) — гладкая функция, то замена в краевых условиях переменных у'{0), у'{7г) на квазипроизводные сохраняет свойство регулярности краевых условий. Утверждение теоремы В сохраняется и в случае невырожденных краевых условий, в которых третий пункт заменяется на (см. [23])

Ja2 = 0, Ju + Jz2 = 0, Ji3 ф 0.

В дальнейшем нас будут интересовать именно регулярные краевые условия, так как для рассматриваемой задачи при и(х) 6 Ь2 операторы с регулярными краевыми условиями сохраняют классические асимптотики для собственных значений и собственных функций, причем система собственных и присоединенных функций образует базис Рисса (подробнее об этом будет сказано в главе 2).

В случае вещественности функции и(х) минимальный оператор Ьт симметричен с индексами дефекта (2, 2). Несложно описать все самосопряженные расширения Ьт.

Теорема Д. Если функция и{х) вещественна, то произвольное самосопряженное расширение L симметрического оператора Ьт является сужением оператора Ьм на область

D(L.) = {у\у е D(LM), UM = U2(y) = 0},

где линейные формы11\ и 112 имеют представление (15), для коэффициентов которых выполнены равенства

АЗА*-ВЗВ* = 0,А=(ап аА,В=(Ьи11 Н , 7 == ( ° Г)- (16)

\а21 а22; \р2\ ь22) о/

Наоборот, любые краевые условия вида (15), (16) определяют самосопряженный оператор Ь. Доказательства теорем А, В, Г приведены в работах [33], [35].

Краевые условия, определяющие самосопряженные расширения, можно записать также в форме (см. монографию Б. С. Рофе-Бекетова и А. М. Холь-кина [27])

«->058.) ♦«"♦»($)-»

где и — произвольная унитарная матрица второго порядка. Краевые условия, определяющие самосопряженный оператор, обязательно удовлетворяют одному из условий 1 — 3 теоремы Г, т.е. являются регулярными по Биркгофу.

2. Аппроксимация гладкими потенциалами.

Пусть ц(х) € И^1^, 7г], и{х) = / Пусть де(я) — семейство функций,

таких, что ||<7е(о;) — ц(х)\\цг-1 —>• 0 при е —У 0. Это условие эквивалентно тому, что и£(х) = /<7£(£)<й и(х) при £ —У 0 в пространстве Ь2.

Обозначим через Ье оператор, порожденный дифференциальным выражением Ь£(у) = — у" + я£(х)у и регулярными краевыми условиями (15), в которых переменные 2/^(0), определяются равенством

у[1](х) = у'(х) - ие(х)у(х).

В случае гладких функций и£(х) подстановка в краевые условия переменных у'1' (0), у^ (тг) вместо обычных производных сохраняет регулярность краевых условий. Поэтому (см. [13], Гл. 1)операторы Ь£ корректно определены и имеют дискретный спектр. Оказывается справедливым следующий результат:

Теорема Е. Существуют значения А £ С такие, что при всех достаточно малых е > 0 значение А принадлежит резольвентным мноэюествам операторов Ь£, а последовательность {Ь£ — А)-1 фундаментальна при£ —У 0 в равномерной операторной топологии, т.е.

|| (Ь£ - А)"1 - {и - А)"11| 0 при £,5 0.

Оператор Т являющийся пределом последовательности {Ь£ — Х)~1 не имеет ядра, а потому на области значений Т определен оператор Т-1. При этом оператор Т~1 + А совпадает с оператором Ь, определенном в теореме Д.

Доказательство этой теоремы можно найти в работе [35], §1.

3. Метод квадратичных форм.

Предположим сначала, что и(х) — вещественная функция. Выпишем квадратичную форму, отвечающую дифференциальному выражению (12). Имеем

(ад, у) = -((уИ)', у) - („фур], у) - (и2(х)у, у) =

= {у[1\у[1])-{и\х)у,у) + (у\у% 1 ;

/у(0)\ ( «МГтг) Л

где уу = ( у^ ) > УА ~ I у[^(тг) )' Пусть А — произвольная самосопряженная матрица размера 2x2. Положим

ж1и = {уе\¥1[0М\иуА = 0}, (18)

где и — произвольная матрица размера 2x2. И^г/ есть подпространство в 4^2 коразмерности < 2, в зависимости от ранга матрицы I/. При V = О имеем И^ц = УГ1 Определим на пространстве И^д квадратичную форму

ХУ.У) = (У111,?/111) - (и2(х)у,у) + (Ау\у*). (19)

Тогда для нее справедлилво следующее утверждение:

Теорема К. Квадратичная форма (19) определена при у € И^г/ и замкнута.

Замкнутая квадратичная форма (19) (зависит от выбора матриц А и [/), согласно первой теореме о представлении (см., например, [[13], Гл. 6.2]), определяет самосопряженный полуограниченный оператор Ь, причем область определения квадратного корня (Ь + а)1/2 (здесь а > 0 — достаточно большое число) совпадает с И7^- Таким образом могут быть получены все описанные ранее самосопряженные расширения минимального оператора Ьт. Например, если самосопряженное расширение Ь описывается краевыми условиями (11 — 1 )уу + г(и + 1 )уЛ — 0, где матрица II — 1 обратима (это соответствует условию в теореме Г ф 0), то этому расширению соответствует квадратичная форма (19), определенная на всем пространстве И^1, причем матрица А в (19) находится из условия А — —г(£/ — 1 )~1{и + 1), то есть является преобразованием Кэли от и.

Подход к определению оператора с помощью метода квадратичных форм позволяет нам получить дополнительную информацию об области оператора Ь. Например, верно следующее утверждение:

Теорема Л. Пусть Ь — самосопряженное расширение минимального оператора Ьт, а Ц^и — подпространство в И^1, состоящее из функций, которые удовлетворяет краевым условиям нулевого порядка (имеются в виду краевые условия вида (15), пороо/сдающие расширение Ь). Тогда

£>(£) = {У € \VlulЬ(у) в ¿2}, (20)

где равенство —у" + я(х)у = /(х) € Ь2 понимается в смысле теории распределений.

Доказательство теорем К и Л см. в [35].

Предложенный метод квадратичных форм может быть также использован и для определения операторов с комплексным потенциалом-распредлением д(ж). Однако этот метод не дает определения операторов с произвольными регулярными (или более общими) краевыми условиями, а только краевыми условиями, которые являются подчиненными возмущениями самосопряженных. В случае комплексной функции и(х) равенство (17) следует записать в виде

Ш,у) = {у',у') - Нх)у,у') - (и(х)у',у) + {у\уА).

Это равенство позволяет ассоциировать с дифференциальным выражением Ь(у) квадратичную форму

1(у,у) = Ы, У') ~ Мх)у,у') - (и(х)у',у) + (ЛуА,уА),

где А — произвольная комплексная матрица размера 2x2. Здесь предполагается, что форма Л (у, у) определена на пространстве Щ^д. Эта квадратичная форма не является вещественной, но она секторальна и является е-подчиненной форме {у', у') при любом е > 0. Следовательно (см. [[13], Гл. 6.2]), существует максимальный секториальный оператор Ь, порождающий эту форму. Произвольные расширения полученные в предыдущем пункте, не могут получаться на этом пути. Более точно, этим методом получаются те операторы Ь из теоремы Г, для которых равенства и ¿{у) = 0, ^ = 1,2, влекут возможность представления

{у\уА) = {Ау\у%

4. Метод мультипликаторов.

Пусть q(x) G .D', а у Е D. Тогда

2/) = + д(а;)2/, 2/) = (у', у') + (q{x)y, у). Если спрведлива оценка

\Шу,у)\ < £(у',у') + М(у,у),М = М(е), (21)

то квадратичная форма секториальна и замыкаема, причем область ее замыкания совпадает с пространством В этом случае с формой 3 можно ассоциировать оператор. Функцию q(x) Е D' назовем мультипликатором из пространства W2 в дуальное пространство W^1, если

Mx)y,y)\<C\\y\\l2,\fyeD, (22)

где постоянная С не зависит от у, а || • ||i;2 — норма в Wj. Мультипликаторы образуют линейное пространство с нормой ||g|| = inf С, где инфинум берется среди постоянных С в (22). Это простраство обозначим через М[ 1]. В статье [26] показано, что wf1 с м[ 1], а в статье [2] доказано равенство м[ 1] = w2l и эквивалентность норм в этих пространствах. Хотя в работах [26] и [2] рассматриваются операторы на всей прямой R (и их многомерные обращения в Rn), доказательства не меняются при переходе на конечный интервал. В нашем случае справедливость включения wf1 с м[ 1] следует из оценки

Iшу,у)\ < \ш>уу)I < IMMMh < IMI-i,2lMIÎ,2,y € d.

Далее, заметим, что гладкие функции ф £ D плотны в пространстве W2l = М[1], следовательно, для любого мультипликатора q из этого пространства выполнена оценка (21). Тем самым, для любой q Е W2l определен оператор L, ассоциированный с формой у). Этот оператор L совпадает с прежними определениями оператора L, отвечающего краевым условиям Дирихле

у{ 0) = у( тг) = 0.

Однако этот метод можно распространить для определения операторов с более общими краевыми условиями, хотя краевые условия либо не будут фигурировать вовсе, либо будет одно условие нулевого порядка.

Рассмотрим подпространство И^и ^2 коразмерности 1 или 0 (см. (18)). На этом подпространстве определим квадратичную форму

у) = (уу') + Ш, уу),уе \vlfj. (23)

Если УУ^ц = И^1, то условие у £ И^1^ влечет за собой у у £ И^1. Это свойство сохраняется для Иесли краевое условие, порождающее это пространство, имеет вид у(0) = 0 или у(7г) = 0, либо у(0) — ау{к) = 0 и а = ±1. При а ф ±1 функция уу £ гДе индекс V означает новое краевое

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Швейкина, Ольга Александровна, 2014 год

Список литературы

Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи // М.: Мир, 1968.

Бак Дж.-Г., Шкаликов А. А. Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шредингера с потециалами-распределениями // Матем. заметки, 2002, Т. 71, №5, С. 643-651.

Бари Н. К. Тригонометрические ряды // М.: Государственное издательство физ.-мат. литературы, 1961.

Белянцев О. В. Неравенство Бесселя и свойство базисности корневых функций сингулярного дифференциального оператора второго порядка// Дифф. уравнения, 2000, Т. 36, №8, С. 1011-1020.

5] Березин Ф. А. О модели Ли // Матем. сборник, 1963, Т. 60, Выпуск 4, С. 425-446.

6] Березин Ф. А., Фаддеев JL Д. Замечания об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР, 1961, Т. 137, №7, С. 1011-1014.

Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего дельта-функции // Дифф. уравнения, 2002, Т. 38, №6, С. 735-751.

Винокуров В. А., Садовничий В. А. Равномерная равносходимость ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи и тригонометрического ряда Фурье// Докл. АН, 2001, Т. 380, №6, С. 731-735.

[9] Гомилко А. М., Радзиевский Г. В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов // Докл. АН, 1991, Т. 316, №2, С. 265-269.

[10] Жиков В. В. Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Серия математика, 1967, Т. 31, №5, С. 965-976.

[11] Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциаль-ного оператора и в тригонометрический ряд Фурье // Докл. АН СССР, 1975, Т. 223, №3, С. 548-551.

[12] Ильин В. А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом класса Ь\ // Дифф. уравнения, 1991, Т. 27, №4, С. 577-597.

13] Като Т. Теория возмущений линейных операторов // М.: Мир, 1972.

141 Кац И. С. О существовании спектральных функций некоторых сингулярных дифференциальных систем второго порядка // ДАН СССР, 1956, Т. 106, №1, С. 15-18.

151 Кошманенко В. Д. Возмещение самосопряженных операторов сингулярными билинейными формами // Укр. Мат. Журнал, 1989, Т. 41, №1.

16] Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных операторов и ее приложения I, II // Матем. сб., 1947, Т. 20, №3, С. 431490; Т. 21, №, С. 365-404.

17] Крейн М. Г. Об одном обобщении исследований Стильтьеса // ДАН СССР, 1952, Т. 87, №6, С. 365-404.

181 Крицков Л. В. Некоторые спектральные свойства сингулярных обыкновенных операторов второго порядка // Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М. МГУ, ВМиК, 1990.

191 Курбанов В. М. О скорости равносходимости спектральных разложений // Докл. АН СССР, 1999, Т. 365, №4, С. 444-449.

201 Ломов И.С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифф. уравнения, 1991, Т. 27, №9, С. 1550-1563.

211 Ломов И. С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля в интегральной метрике// Дифф. уравнения, 1982, Т. 18, №9, С. 1480-1493.

22] Ломов И.С. О скорости сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами второго порядка// Дифф. уравнения, 1996, Т. 32, №1, С. 58-69.

[23] Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев.: Наукова Думка, 1977.

[24] Минлос Р. А., Фаддеев Л. Л. О точечном взаимодействии для систем из трех частиц в квантовой механике // ДАН СССР, 1961, Т. 141, №6, С. 1335-1338.

[25] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы // М.: Наука, 1969.

[26] Нейман-заде М. И., Шкаликов А. А. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов // Матем. заметки, Т. 66. №5, 1999.

[27] Рофе-Бекетов Ф. С., Холькин А. М. Спектральный анализ дифференциальных операторов. Связь спектральных и осцилляционных свойств // Мариуполь, 2001.

[28] Рыхлов В. С. Скорость равносходимости для дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1)-ой производной // Дифферент уравнения, 1990, Т. 26, №6, С. 975-989.

[29] Савчук А. М. О собственных функциях и собственных значениях операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, Т. 69. №2, 2001, С. 277-295.

[30] Савчук А. М. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Диссертация на соискание кандидата ученой степени физ.-мат. наук, Москва, 2001.

[31] Савчук А. М. Метод отображений в обратных задачахШтурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, 2008, Т. 261, 243-248.

[32] Савчук А. М. О собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева // агХгу 1003.3172, 2010.

[33] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, 1999, Т. 66. №6, С. 897-912.

[34] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Формула следа для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, 2000, Т. 68. №3, С. 427-442.

[35] Савчук A. M., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Труды Московского Мат. Общества, 2003, Т. 64, С. 159-219.

[36] Савчук А. М., Шкаликов А. А. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева // Матем. заметки, 2006, Т. 80, №6, С. 864-884.

[37] Савчук А. М., Шкаликов А. А. О свойствах отображений, связанных с обратной задачей Штурма-Лиувилля // Труды Московского Института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук, 2008, Т. 260, С. 227-247.

[38] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость. // Функц. анализ и его прил., 2010, Т. 44, №4, С. 34-53.

[39] Садовничая И. В. О скорости равносходимости разложений в ряды по тригонометрической системе и по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением // Дифф. уравнения, 2008, Т. 44, №5, С. 656-664.

[40] Садовничая И. В. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Матем. сборник, 2010, Т. 201, №9, С. 61-76.

[41] Стеклов В. A. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions definies par des équations différentielles lineaires du deuxieme ordre, et leurs applications au problème du développement d'une fonction arbitraire en sériés procédant suivant les dites fonctions // Сообщения матем. об-ва (2), 19071909, T. 10 (2-6), С. 97-199.

[42] Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства // М. : Государственное издательство иностранной литературы, 1948.

[43] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: Мир, 1970.

[44] Швейкина О. А. Об асимптотике собственных функций операторов Штурма-Лиувилля // Тезисы конференции «Ломоносовские чтения», Москва, 2011, С. 84-85.

[45] Швейкина О. А. Теоремы о равносходимости для операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами - распределениями // Тезисы международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2012, С. 181.

[46] Швейкина О. А. О равносходимости разложений в ряды по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Тезисы международной конференции, посвященной 90-летию Л.Д. Кудрявцева, Москва, 2012, С. 260.

[47] Швейкина О. А. Об асимптотике собственных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Дифф. уравнения, 2013, Т. 49, №8, С. 985-992.

[48] Швейкина О. А. Обобщенные теоремы об асимптотиках собственных функций операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами — распределениями // Дифф. уравнения, 2014, Т. 50, №5, С. 623-632.

[49] Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics // Springer-Verlag, 1988.

[50] Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators // London Math. Society Lecture Note Series, №271, Cambridge Univ. Press, 2001.

[51] Atkinson F., Everitt W., Zettl A. Regularization of a Sturm-Liouville problem with an interior singularity using quasi-derivatives // Diff. Integr. Eq., 1988, V. 1, №2, P. 213-221.

[52] Dini U. Fonamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali // Piza, 1878.

[53] Djakov P. В., Mityagin B. S. Instability zones of periodic 1-dimensional SchroEdinger and Dirac operators // Uspekhi Mat. Nauk, 2006, V. 61 №4(370), P. 77-182.

[54] Djakov P., Mityagin B. Spectral gaps of Schrodinger operators with periodic singular potentials // Dyn. Partial Differ. Equ., 2009, V. 6, No. 2, P. 95-165.

[55] Djakov P. В., Mityagin B. S. Equiconvergence of spectral decompositions of Hill operators // Doklady Mathematics July, 2012, V. 86, Iss. 1, P. 542-544.

[56] Everitt W. N. A note on linear ordinary quasi-differential equations // Proc. Math. Soc. Edinburg, Sect. A., 1985, V. 101, №1-2, P. 1-14.

Everitt W. N., Markus A. Controlability of [r]-matrix quasi-differential equations // J. Differential Equations, 1991, V.89, №, P. 95-109.

Everitt W. N., Zettl A. Differential operators generated by a countable number of quasi-differential expressions on the real line // Proc. London Math. Soc., Ser. 3, 1992, V. 64, №3, P. 524-544.

Haar A. Zur Teorie der orthogonalen Funktionesysteme // Math. Ann., V. 69, 1910, P. 331-371, 1911, V. 71, P. 38-53.

Hriniv R., Mykytyuk Ya. ID Shredinger operators with singular periodic potentials // Meth. Funct. Anal. Topol., 2001, V. 7, №4, P. 31-42.

Hriniv R., Mykytyuk Ya. ID Schredinger operators with singular Gordon potentials // Meth. Funct. Anal. Topol., 2002, V. 8, №1, P. 36-48.

Hriniv R., Mykytyuk Ya. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials // Inverse Problems, 2003, V. 19, P. 665684.

Hriniv R., Mykytyuk Ya. Transformation operators for Sturm-Liouville operators with singular potentials // Math. Phys. Anal. Geom., 2004, V. 7, P. 119-149.

Hriniv R., Mykytyuk Ya. Eigenvalue asymptotics for Sturm-Liouville operators with singular potentials // J. Funct. Anal., 2006, V. 238, №.1, P. 27-57.

Gunson J. Perturbation theory for a Sturm-Liouville problem with an interior singularity // Proc. R. Soc. London, A411, 1987.

Konechnaya N. N., Mirzoev K. A. On a class of operators related to second-order differential equations // Russian Journal of Mathematical Physics, 2006, V. 13, Iss. 1, P. 55-63.

Konechnaya N. N. The asymptotic behavior of solutions for a class of differential equations // Journal of Mathematical Sciences, 2007, V. 147, Iss. 1, P. 6430-6434.

[68] Kostenko A. S., Malamud M. M. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set // Journal of Differential Equations, 2010, V. 249, Iss. 2, P. 253-304.

[69] Kurasov P. On the Coulomb potentials in one dimension //J. Phys. A 29, 1996, №8, P. 1767-1771.

[70] Savchuk A. M., Shkalikov A. A. Inverse Problem for Sturm-Liouville Operators with Distribution Potentials: Reconstruction from Two Spectra // Russ. J. Math. Phys, 2005, V. 12, №4, P. 507-515.

[71] Stone M. H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc., 1926, V. 28, P. 659-761.