О монотонности интегральных функционалов при перестановках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Банкевич Сергей Викторович

• Банкевич Сергей Викторович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Банкевич Сергей Викторович

Введение

Глава 0. Обозначения и известные факты, используемые в

диссертации

0.1 Свойства меры и функций

0.2 Перестановки

Глава 1. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки в случае ограниченного роста

интегранта по производной

1.1 Обозначения

1.2 Условия, необходимые для выполнения неравенства (1.2)

1.3 Доказательство неравенства (1.2) для кусочно линейных функций

1.4 О расширении класса функций, для которых выполняется неравенство (1.2)

1.5 Переход к соболевским функциям

Глава 2. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки и симметризации в общем случае при

п =

2.1 Обозначения

2.2 Доказательство неравенства (1.2) для кусочно монотонных весов

2.3 Свойства весовой функции

2.4 Доказательство неравенства (1.2) для произвольных весов

2.5 Доказательство неравенства (1.2) для функций, закреплённых

на левом конце

2.6 Условия, необходимые для выполнения неравенства (2.1)

2.7 Доказательство неравенства (2.1)

Глава 3. О неравенстве Пойа-Сегё с переменным показателем

суммирования

Стр.

3.1 Обозначения

3.2 Необходимые условия

3.3 Доказательство неравенства X(и*) ^ X(и)

3.4 Некоторые достаточные условия

3.5 Численные оценки функции В

3.6 Многомерный аналог неравенства Х(и*) ^ X(и)

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в рецензируемых изданиях

Прочие публикации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О монотонности интегральных функционалов при перестановках»

Введение

Актуальность темы исследования. Перестановки играют значимую роль в вариационном исчислении. Впервые симметричная перестановка (симметризация) была введена Штейнером в 1836 году. Штейнер работал над доказательством изопериметрического неравенства (задачей Дидоны) о максимальной площади плоской фигуры с фиксированным периметром. Штейнер используя симметризацию доказал в [1], что если максимум существует, он достигается на круге. Только в 1879 году Вейерштрасс доказал существование максимума методами вариационного исчисления.

Примерно во время появления доказательства в своей книге [2] лорд Рэлей сформулировал гипотезу о том, что среди всех плоских мембран заданной площади, закреплённых по краю, наименьшей основной частотой обладает круг (а точнее, предположил, что выполняется некоторая оценка первого собственного числа через меру области). Математически эта задача сводится к нахождению минимума первого собственного числа задачи Дирихле для оператора Лапласа, которая имеет вариационную природу. Гипотеза Рэлея была доказана независимо Фабером ([3]) и Краном ([4]) с использованием симметризации и получила в дальнейшем название неравенства Крана-Фабера. Отметим, что другая гипотеза Рэлея о наименьшей основной частоте закреплённой пластины была доказана лишь в 1995 году Надирашвили [5] с использованием варианта симметризации, предложенного ранее Пойа и Сегё.

Впоследствии изучение свойств перестановок получило дальнейшее развитие в работах Пойа и Сегё, подытоженное в классическом труде [6]. «Изопериметрические неравенства в математической физике». В книге при помощи симметризации доказано множество соотношений между различными геометрическими и физическими характеристиками областей, такими как уже упомянутые периметр, площадь, основная частота мембраны, основная частота закреплённой пластины, а также моментом инерции, жёсткостью кручения, ёмкостью и другими. Эти соотношения позволяют не только сформулировать утверждения относительно наиболее выгодных форм области с точки зрения разнообразных величин, но и оценить сложные для вычисления величины через те, которые получить просто.

В частности, в книге [6] доказано так называемое неравенство Пойа-Сегё, состоящее в следующем. Пусть функция и : ^ (здесь и далее = [0, то)) гладкая и финитная, тогда выполнено неравенство

где и* — симметричная перестановка функции и. И даже более общее утверждение: для и ^ 0 и для любой выпуклой Г : ^ Г ^ 0 выполнено

Также, поскольку это неравенство может применяться для нахождения функций, доставляющих минимум функционала, особый интерес представляет вопрос, когда (2) превращается в равенство. Только в 1988 году Бразерс и Зимер ([7]) установили условия, при которых из равенства в (2) следует совпадение и и и* с точностью до параллельного переноса.

В течение 80-х годов вышло несколько публикаций об обобщении неравенства Пойа-Сегё на функционалы вида

Далее, в работе [8] неравенство Пойа-Сегё распространено при некоторых (необходимых, судя по всему) ограничениях на функционалы вида

где норма ||-|| — некоторая взвешенная норма с весами, зависящими от х'. Доказательство дано для гладких функций и. Также, аналогичные неравенства были получены для монотонной перестановки.

Отметим ещё связанное с перестановками понятие поляризации, которое исползьзуется для доказательства многих утверждений изопериметрического характера (см., например, [9—15]).

Степень разработанности темы исследования. Существенно сложнее оказалось распространить неравенство на более общую зависимость от функции и от переменной, по которой происходит перестановка. Значительную роль в решении этого вопроса сыграла работа [16]. В ней для липшицевых

(1)

(2)

1Р ^и^

функций при некоторых условиях на весовую функцию был получен аналог неравенства (2).

J F(х',и*(х), \\Vu*\\)dx F(х',и(х), \\Du\\)dx, (3)

Q Q

где — (^,..., ^) — (, ),

Т>и — (а\(х1 ,u(x))Diu, ..., ап-\(х',u(x))Dn-\u, a(x,u(x))Dnu).

Однако в переносе этого неравенства на общий случай содержится пробел. В [16] доказано, что если последовательность функций сходится в то

подпоследовательность из симметризаций этих функций сходится там же слабо (см. также [17—19] для более детального анализа сходимости перестановок сходящейся последовательности). Ввиду этого факта доказательство можно вести по следующей схеме.

— Неравенство доказывается для кусочно линейных функций и.

— Доказывается, что функционал слабо полунепрерывен снизу.

— Находится последовательность кусочно линейных функций ип, приближающих предельную функцию и в смысле пространств Соболева (ип ^ и в ^}(Rn)) и в смысле функционала (I(ип) ^ I(и)). После чего можно написать

I(и*) < lim I«) < lim I(ип) — I(и).

Автор работы [16] постулировал существование ип по существу без доказательства. Между тем, приближение функции в смысле функционала регулярными (в частности липшицевыми) функциями нельзя назвать простым вопросом. Известно множество примеров, когда даже инфимум функционала по естественной области определения функционала отличается от инфимума по множеству регулярных функций, в том числе и в одномерном случае. Для таких функционалов говорят о возникновении эффекта Лаврентьева.

В 1927 г. М. А. Лаврентьев обнаружил ([20]), что для интегрального функционала с выпуклым по производной и коэрцитивным интегрантом инфимум по абсолютно непрерывным функциям может быть строго меньше инфимума по липшицевым функциям. В [21] дан более простой пример, для которого возникает эффект Лаврентьева в одномерном случае.

В работе [22] получено знаменитое логарифмическое условие отсутствия эффекта Лаврентьева в многомерном случае, а также приведены простые примеры на плоскости, для которых эффект Лаврентьева имеет место. Дальнейшая литература по эффекту Лаврентьева весьма обширна, см. напр. [23; 24].

В статье [25] показано, что для функционалов вида

J Р(и(х),и'(х))йх

можно найти последовательность регулярных функций ип, приближающих и и в ^ 1[-1,1], и в смысле функционала. В частности, для таких функционалов эффект Лаврентьева отсутствует.

В статье [26] пробел в работе [16] частично закрыт для функционалов схожей структуры при помощи тонких результатов геометрической теории функций, полученных в работе [27], и приближения лагранжиана снизу.

Отметим ещё работу [28], в которой рассматривается неравенство Пойа-Сегё с весом для монотонных перестановок в двумерном случае при условии, что функция и закреплена на левом краю прямоугольника. Неравенство доказано при условии степенного роста интегранта по производной и убывания веса по у. Заметим, что условие на вес довольно ограничительны.

Цели и задачи. Целью диссертации является обобщение неравенства Пойа-Сегё как на более общие функционалы и формы зависимости от свободной переменной, функции и её производной, так и на случай монотонной перестановки, которая также представляет серьёзный интерес. Основной задачей является ввести зависимость от переменной, по которой происходит перестановка.

Научная новизна. Выносимые на защиту положения являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты представляют интерес для специалистов по вариационному исчислению и уравнениям в частных производных.

Методология и методы исследования. При доказательстве основных результатов диссертации были использованы классические методы вариационного исчисления, математического и функционального анализа, а также обобщение метода аппроксимации в смысле функционала, разработанного в [25]. В главе 2 использован разработанный автором оригинальный метод аппроксимации непрерывной функции многих переменных функциями с конечным числом монотонных участков при некоторых ограничениях.

Положения, выносимые на защиту.

— Получены необходимые условия на вес для выполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки.

— Доказано неравенство Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки в случае ограниченного (степенного) роста интегранта .

— Доказано неравенство Пойа-Сегё с весом в одномерном случае без ограничений, лишь при необходимых условиях.

— Доказана необходимость условий, налагаемых в работе [16] на вес для выполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для симметризации.

— В одномерном случае закрыт пробел в работе [16]: доказано неравенство Пойа-Сегё с весом для симметризации без дополнительных ограничений.

— Представлены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки на функциях, закреплённых на левом конце. Неравенство доказано в многомерном случае для интегрантов ограниченного роста по производной и в одномерном случае без дополнительных ограничений.

— Представлены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Пойа-Сегё с переменным показателем суммирования в одномерном случае. Показано, что прямое многомерное обобщение отсутствует.

Степень достоверности и апробация. Все результаты диссертации снабжены подробными доказательствами и опубликованы в ведущих научных изданиях. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

— Международная конференция «Теория приближений» (Санкт-Петербург, 2010).

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010).

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённая 110-летию И. Г. Петровского (Москва, 2011).

— Международная школа "Variational Analysis and Applications" (Эриче, Италия, 2012).

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016).

— Cеминар им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, рук: Н. Н. Уральцева, А. И. Назаров, Т. А. Суслина).

— Городской семинар по конструктивной теории функций (Санкт-Петербург, рук.: М. А. Скопина)

— Семинар по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (Семинар Никольского) (Москва, рук.: О. В. Бесов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [53—56], [57—61]. Работы [53; 56] опубликованы в журналах из перечня ВАК. Работы [54; 55] опубликованы в изданиях, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК — журнал «Calculus of Variations and Partial Differential Equations» и переводная версия журнала «Записки научных семинаров Ленинградского отделения математического института им. В.А. Стеклова АН СССР» («Journal of Mathematical Sciences») входят в систему цитирования Scopus.

Работы [53; 54] написаны в неразделимом соавторстве, за исключением оригинального метода аппроксимации, предложенного автором.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, содержащих 20 параграфов, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 73 страницы, включая 6 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 61 наименование.

Во введении описаны актуальность темы исследования и степень ее разработанности, поставлены цели и задачи, аргументирована научная новизна, достоверность, теоретическая и практическая значимость результатов, перечислены использованные методы, выносимые на защиту положения, публикации и доклады по теме диссертации, кратко изложена структура работы.

В главе 0 диссертации введены обозначения, используемые в работе, а также приведены используемые известные факты со ссылками на источники.

Напомним определения перестановок. Пусть Q = ш х (—1,1), где ш - ограниченная область в Rn-1 с липшицевой границей. Обозначим х = (xh .. .,хп-1, у) = (х',у).

Для измеримой неотрицательной функции и, заданной на О выполнена теорема о послойном представлении (см. [29, теорема 1.13]), состоящая в следующем. Пусть Лъ(х') := {у € [-1,1] : и(х',у) > Ь]. Тогда имеет место равенство

и(х',у) = Х{Аг(х' )](у Jo

где Х{А] — характеристическая функция множества А.

Определим симметричную перестановку измеримого множества Е С [—1,1] и симметричную перестановку (симметризацию по Штейнеру) неотрицательной функции и € Ж}(О).

с»

теая Е теая Я , Г ,

Е :=[--2—,—2—]' и(х,У)=1 Х{(Л (Х )) ](уЩ.

0

В тех же условиях определим монотонную перестановку множества Е и функции и € №}(О).

Е := [1 - meas Е, 1]; й(х',У) = J X[At(x')](y)dt.

о

В главе 1 диссертации изучается неравенство, аналогичное неравенству (3), с монотонной перестановкой вместо симметризации.

Определим множество F непрерывных функций F : ш х R+ х R+ ^ R+, выпуклых и строго возрастающих по третьему аргументу, удовлетворяющих

F{•, •, 0) = 0.

Рассмотрим функционал

J(„) = / F(¿МХ), \\Vu\\Xb, Ü

где F G F, |Н| — некоторая норма в Rn, симметричная по последней координате,

Vu = (а\(х' ,u(x))D\u, ..., ап—i (x',u(x))Dn—i и, a(x,u(x))Dnu)

- градиент и с весом (обратите внимание, что только вес при Dnu зависит от у), а(•, •) : Q х R+ ^ R+ и а^, •) : ш х R+ ^ R+ — непрерывные функции. Здесь и далее индекс i пробегает от 1 до п — 1. Рассмотрим неравенство

J(и) < J(и) (4)

В §1.1 вводятся необходимые обозначения.

В §1.2 устанавливаются условия, необходимые для выполнения неравенства (4).

Теорема 1. 1) Если неравенство (4) выполняется для некоторой Р Е $ и произвольной кусочно линейной и, то вес а четен по у, то есть а(х ,у,у) = а(х', —у, V).

11) Если неравенство (4) выполняется для произвольной Р Е $ и произвольной кусочно линейной и, то вес а удовлетворяет неравенству

а(х',в,у) +а(х'^ а(х', 1—1+8,у), х' Е ш, —1 ^ й ^ I ^ 1,у Е К+. (5)

Также получены необходимые условия в случае закреплённых на левом конце функций.

Теорема 2. Если неравенство (4) выполняется для произвольной Р Е $ и произвольной кусочно линейной и, закреплённой на левом конце: и(•, —1) = 0, то вес а удовлетворяет неравенству (5).

В §1.3 доказывается неравенство (4) для кусочно линейных и.

Лемма 1. Пусть функция а(х', •, и) чётна и удовлетворяет условию (5). Тогда, если и — неотрицательная кусочно линейная функция, то J(и) ^ 3(и).

Лемма 2. Пусть функция а(х', •, и) удовлетворяет условию (5). Тогда, если и — неотрицательная кусочно линейная функция, удовлетворяющая и(•, —1) = 0, то 3(и) ^ 3(и).

В §1.4 устанавливается слабая полунепрерывность функционала J и доказывается теорема, которая в дальнейшем является основой для предельных переходов.

Теорема 3. Пусть В С А С Предположим, что для каждого и Е А

найдётся последовательность щ Е В такая, что щ ^ и в и 3(щ) ^

J(и). Тогда

I) Если для любой функции у Е В выполнено J(у*) ^ J(у), то для любой функции и Е А будет выполнено J(и*) ^ J(и).

II) Если для любой функции у Е В выполнено J(у) ^ J(у), то для любой функции и Е А будет выполнено J(и) ^ J(и).

В §1.5 неравенство (4) доказывается для интегрантов с ограниченным ростом по производной.

Теорема 4. Пусть функция а(х', •, и) чётна и удовлетворяет условию (5). Тогда

I) Неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной и Е Ыр(О).

II) Предположим, что для любых х' Е ш,г Е Е К функция Р удовлетворяет неравенству

Р(х',г,р) < С(1 + ^ + 1р1ч),

где = 1 — ^, если д < п, либо д* любое в противном случае. Если д ^ п, то дополнительно предположим, что веса а и ограничены. Тогда неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной и Е W 1(&).

Теорема 5. Пусть функция а(х', •, и) удовлетворяет условию (5). Тогда

I) Неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной и Е Ыр(О), удовлетворяющей и(•, —1) = 0.

II) Предположим, что для любых х' Е ш,г Е Е К функция Р удовлетворяет неравенству

Р(х',г,р) < С(1 + ^ + 1р1я),

где = 1 — ^, если д < п, либо д* любое в противном случае. Если д ^ п, то дополнительно предположим, что веса а и ограничены. Тогда неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной и Е W 1(&), удовлетворяющей и(•, —1) = 0.

Глава 2 диссертации посвящена снятию условия ограниченного роста с интегранта. Это удаётся сделать только в одномерном случае, поэтому далее и Е W}[—1,1] и

1

3 (и)=!р (и(х)-а(х'и(х))\'и'(х)) <>*■ —1

В §2.1 формулируется одномерный вариант задачи.

В §2.2 удаётся распространить результат статьи [25] на случай функционала J и доказать отсутствие эффекта Лаврентьева в случае кусочной монотонности веса.

Лемма 3. Пусть а — непрерывная функция, а(;,и) возрастает на [—1,0] и убывает на [0,1] для всех и ^ 0. Тогда для любой функции и € W}[—1,1], и ^ 0, найдётся последовательность {ик] С Ыр[-1,1], удовлетворяющая

щ ^ и в W1í[—1,1] и 3(ик) ^ 3(и). (6)

Теорема 6. Пусть функция а непрерывна, чётна, убывает на [0,1] и удовлетворяет неравенству (5). Тогда для любой и € W}[—1,1] выполнено 3(и*) ^ 3 (и).

В §2.3 доказано несколько важных свойств весовых функций, удовлетворяющих необходимым условиям. В частности установлена структура множества нулей весовых функций.

В §2.4 с веса снимается требование монотонности и, тем самым, неравенство (4) доказано в наиболее общем виде.

Теорема 7. Пусть Р € 3, функция и € W} [—1,1] неотрицательна, и весовая функция а : [—1,1] х ^ непрерывна и допустима для и. Тогда справедливо неравенство (4).

В §2.5 завершается доказательство для функций, закреплённых на левом конце.

Теорема 8. Пусть Р € 3, функция и € W}[—1,1] неотрицательна, и(-1) = 0, весовая функция а : [-1,1] х ^ непрерывна и удовлетворяет неравенству (5). Тогда справедливо неравенство (4).

В §2.6 доказано, что условия, накладываемые на вес в работе [16], являются необходимыми в случае симметричной перестановки.

Теорема 9. Если неравенство (3) выполняется для произвольной Р € 3 и произвольной кусочно линейной и, то вес а — чётная и выпуклая по первому аргументу функция.

И наконец, в §2.7 закрывается пробел в работе [16] в одномерном случае.

Теорема 10. Пусть Р € 3, функция и € W} [—1,1] неотрицательна, и непрерывная весовая функция а : [—1,1] х ^ чётна и выпукла по первому аргументу. Тогда справедливо неравенство (3).

В главе 3 диссертации рассмотрено обобщение неравенства Пойа-Сегё на случай переменного показателя суммирования. А именно, рассматриваются два функционала:

1

'(e) = / к

-1 1

X(u) = У*(1 + \и'(х)\2) ^ dx. -1

Подобные функционалы возникают при моделировании электрореологических жидкостей (см., напр., [30; 31]). В частности, в настоящее время активно изучаются эллиптические уравнения с р(ж)-лапласианом в качестве главного члена. Литература в этой области обширна, см. напр. [32—47] и ссылки оттуда. В §3.1 ставится задача и вводятся обозначения.

В §3.2 получены условия, необходимые для выполнения неравенств J (и*) ^ J (и) и Х(и*) ^ Х(и).

Теорема 11. Пусть J (и*) ^ J (и) выполнено для любой кусочно линейной функции и ^ 0. Тогда р(х) = const.

То есть изучение аналога неравенства Пойа-Сегё для функционала X теряет смысл.

Теорема 12. Если неравенство X(и*) ^ X(и) выполняется для всех кусочно линейных и ^ 0, то р чётна и выпукла. Более того, выпукла следующая функция:

К(s,x) = s(1 + s-2)^, s > 0, х е [-1,1].

В §3.3 показано, что условия, необходимые для выполнения неравенства X(и*) ^ X(и), являются и достаточными.

Лемма 4. Пусть р чётна, а К выпукла по совокупности переменных. Тогда для любой кусочно линейной функции и [-1,1] выполнено X(и*) ^ X(и).

Теорема 13. Пусть р чётна, а К выпукла по совокупности переменных. Тогда для любой функции и [-1,1] выполнено X(и*) ^ X(и).

Условие выпуклости функции К есть на самом деле неявное условие на функцию р. В §3.4 приведены некоторые явные достаточные условия выполнения неравенства X(и*) ^ X(и).

Выпуклость функции К равносильна неотрицательности гессиана К (если есть выпуклость по какому-нибудь направлению: К всегда выпукла по й), которая в свою очередь сводится к условию

дд" ^ д'2В(и],д),

где -и] = 4, д(х) = р(х) — 1,

д(4w - (w + 3) ln(w + 1)) - ^ ln(w + 1) + 4- 4 q

В (w,g) =

2(дп) + 1) д + 1'

Теорема 14. Пусть р(х) ^ 1 — чётная непрерывная функция на [-1,1].

I) Если функция (р(х) — 1)°.37 выпукла, то неравенство Х(и*) ^ Х(и)

выполнено для любой неотрицательной и [—1,1].

II) Если р(х) ^ 2.36 для всех х Е [—1,1] и функция р(х) — 1 выпукла, то неравенство X(и*) ^ X(и) выполнено для произвольной неотрицательной

и [—1,1].

В §3.5 описаны численно-аналитические методы для получения оценок, на которых основаны выводы теоремы 14. Пусть B(g) = sup В(w,q). Тогда

w>0

sup В(д) = lim sup В(д) ^ 0.63; (7)

sup B(g) < 0.5. (8)

Наконец, в §3.6 показано, что прямое распространение неравенства X(и*) ^ X(и) на многомерный случай несодержательно.

Теорема 15. Если f(1 + lVu*(x)l2)eL2tdx ^ f(1 + lVu(x)l2)^dx для любой

Q Q

неотрицательной функции и EW{ (Q), то р(х',у) не зависит от у.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации. Работа поддержана грантом РФФИ 18-01-00472.

Глава 0. Обозначения и известные факты, используемые в

диссертации

Перечислим обозначения функциональных пространств, используемых в работе. Все перечисленные пространства состоят из функций, определённых на множестве Е С являющемся замыканием области в

С(Е) — множество непрерывных функций.

С 1(Е) — множество непрерывно дифференцируемых функций.

Ыр(Е) — множество липшицевых функций.

Ь1 (Е) — множество суммируемых функций.

W1 (Е) — множество дифференцируемых в соболевском смысле функций, суммируемых в степени д вместе с первыми производными.

W\ (Е) — замыкание множества гладких финитных функций в W\(E).

- пространство Орлича. Измеримая функция и € если

интеграл \ |и(ж)|р(хХ>б,х конечен. Норма в этом пространстве определяется как

Е

\\и\\ЬР{х) = т£ {а > 0 : | |^|р(х)^ ^ 1}.

Е

Мы используем обозначение /± = max(±/, 0).

0.1 Свойства меры и функций

Предложение 1 ([48, теорема 3.5], теорема Тонелли о полунепрерывности). Пусть I — ограниченный интервал на К и Е(х,и,р) — лагранжиан, удовлетворяющий следующим условиям:

I) Е и Ер непрерывны по (х,и,р),

II) Е неотрицательна,

III) Е выпукла по р.

Тогда функционал § Е(х,и(х),и'(х))йх секвенциально слабо полунепрерывен снизу в W} (I).

Предложение 2 ([49, теорема 3.13]). Пусть X — метрическое локально выпуклое пространство. Если {xk} — последовательность в X, слабо сходящаяся к некоторому х Е X, то найдётся последовательность {yk}, удовлетворяющая условиям:

• \ л t, s* о

i) каждый yk является выпуклой комбинацией конечного количества xk,

ii) yk сходятся сильно к х в пространстве X.

Предложение 3 ([50, §6.6, теорема 1]). Пусть f : Rn ^ R — липшицева функция. Тогда для любого £ найдётся непрерывно дифференцируемая функция f : Rn ^ R, удовлетворяющая

meas{^ : f (х) = f (х) или Vf (х) = Vf (ж)} < £.

Более того, для некоторой константы, зависящей только от п, выполнено

sup\Vf (ж)\ ^ CLip(f),

Rn

где Lip(f) — константа липшицевости функции f.

Предложение 4 ([25, лемма 2.7]). Пусть фи : [—1,1} ^ R — последовательность липшицевых функций, удовлетворяющих условиям: ф'и ^ 1 для почти всех х и всех h, фи(х) ^ х для почти каждого х. Тогда для любой f Е L1 (R) выполнено f (фи) ^ f в L1(R).

Предложение 5 ([29, теорема 6.19]). Для любой и Е ^1[—1,1} и произвольного множества А С R нулевой меры выполнено и'(х) = 0 для почти всех X Е и-1 (А).

Предложение 6 ([51, §2.1]). Пусть р(х) — измеримая функция на отрезке [—1,1}, удовлетворяющая 1 ^ р(х) ^ supр(х) < ю. Тогда ступенчатые функции плотны в пространстве Орлича LP^.

0.2 Перестановки

Пусть Q = и х (—1,1), где ш — ограниченная область в Rn—1 с липшицевой границей. Обозначим х = (х1,... ,хп—1,у) = (х',у).

Напомним теорему о послойном представлении измеримой неотрицательной функции и, заданной на ^ (см. [29, теорема 1.13]). Положим Аг(х') := {у €

[-1,1] : и(х', у) > £}. Тогда имеет место равенство

р»

и(х', у) = Х{Аг(х' )}(у)М, ио

где Х{А} — характеристическая функция множества А.

Определим симметричную перестановку измеримого множества Е С [—1,1] и симметричную перестановку (симметризацию по Штейнеру) неотрицательной функции и €

с»

Б' := [~1-§, ^]; и'(х\ у) = у Х{(А(х'))'}(У)А.

0

В тех же условиях определим монотонную перестановку множества Е и функции и €

с»

^:=[1 - теай Е, 1]; у) = 1 ХЩ^ШШ

0

Предложение 7 ([16, доказательство теоремы 1]). Пусть щ ^ и в Ж}(КП). Тогда найдётся подпоследовательность и^, для которой и*к ^ и* в Ж}(КП).

Глава 1. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки в случае ограниченного роста интегранта по

производной

1.1 Обозначения

Пусть О = ш х (—1,1), где ш — ограниченная область в Кп 1 с липшицевой

границей. Обозначим х = (х1,... ,хп—1,у) = (х',у).

Определим множество $ непрерывных функций Г : ш х х ^ (здесь и далее = [0, то)), выпуклых и строго возрастающих по третьему аргументу, удовлетворяющих Г(•, •, 0) = 0. Рассмотрим функционал:

п

где Г Е ||-|| — некоторая норма в Кп, симметричная по последней координате, то есть удовлетворяющая Ц(х',у)|| = Ц(х', —у)Ц,

- градиент и с весом (обратите внимание, что только вес при Ипи зависит от у), а(-, •) : О х ^ и а¡(-, •) : ш х ^ — непрерывные функции. Здесь и далее индекс г пробегает от 1 до п — 1.

В этой главе мы рассматриваем следующее неравенство:

(1.1)

Т>и = (а1(х>,и(х))01и, ..., ап—1(х',и(х))Вп—1и, а(х,и(х))Опи)

.](и) < 3(и)

(1.2)

Мы устанавливаем необходимые для выполнения неравенства условия на весовую функцию а. Также мы доказываем неравенство при необходимых условиях и дополнительном ограничении на рост интегранта по производной.

1.2 Условия, необходимые для выполнения неравенства (1.2)

Теорема 1.1. 1) Если неравенство (1.2) выполняется для некоторой Е Е $ и произвольной кусочно линейной и, то вес а четен по у, то есть а(х ,у, у) = а(х', —у, у).

11) Если неравенство (1.2) выполняется для произвольной Е Е $ и произвольной кусочно линейной и, то вес а удовлетворяет неравенству

а(х',в, у) + а(х'^, у) ^ а(х', 1 — I + <§, у), хХ Е ш, — 1 1, уЕ К+.

(1.3)

Доказательство. 1. Докажем утверждение теоремы в одномерном случае: и = и(у), а = а(у, и),

3(и) = ^ Е(и(У), \а(У,и(У))и'(у)\)(^у. —1

1) Предположим, что а(у, у) ^ а(—у, у). Тогда найдутся такие уо Е (—1,1) и уо Е , что

а(уо, Уо) < а(—уо, Уо). Поэтому существует £ > 0 такое, что

а(у, у) < а(—у, у) для всех у0 — £ ^ у ^ у0, у0 ^у ^ у0 + £,

и можно взять следующую функцию:

ЩЫ = Vо + £, УЕ [—1 Уо — £]

< щ (у)= Vо + Уо — y, уЕ (Уо — £, уо) щ (у) = Уо, УЕ [Уо, 1]

Тогда щ (у) = щ (—у) и 3 (щ ) — 3 (Щ)

Уо —У0+£

= J Е{Vо + Уо — у,а(у, Vо + Уо — У))dy — ! ЕЦ + Уо + У,а(У, Vо + Уо +у))(1у

Уо—£ —Уо

Уо

= J (Е Ы + Уо — у,а(у, Уо + Уо — у)) —Е Ц + Уо — у, а(—у, Щ + Уо — у)))3у< 0,

Уо—£

что противоречит предположениям теоремы. Утверждение (1) доказано.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Банкевич Сергей Викторович, 2018 год

/ Уо -

1 1

(а) График и2

Му)

vo

-1

(б) График и2 Рисунок 1.1: К доказательству теоремы 1.1

Рассмотрим теперь функцию Г (у, р) = ра. Очевидно, что при а =1 выполнено неравенство

Г ''р) + Г (1''9) -Г (V, + -) < 0. (1.5)

2 у 2 2У v 7

В нашем случае р,д могут принимать значения на компакте [0,М], где

М = шаха(у, V), (у, V) е [-1,1] х и2([-1,1]).

(у ^)

Значит найдётся и а > 1 такое, что неравенство (1.5) будет выполняться. Например, подходит любое 1 < а < (^2 )-1.

Тем самым, мы подобрали строго выпуклую по второму аргументу функцию Г, для которой А,1 < 0. Это противоречие доказывает утверждение (п).

1

2. Расммотрим теперь многомерный случай.

I) Предположим, что а(х',у, у) ^ а(х', -у, у). Тогда найдутся такие х0 е ш, у0 е (-1,1) и уо е , что

а(х0, Уо, V о) < а(х0, -уо, ^о). Поэтому существует £ > 0 такое, что

а(х' ,у, у) < а(х', -у, у) для всех 1х' -х'о1 ^ £, уо - £ ^у ^ уо, уо ^ у ^ уо + £,

и можно взять функцию

щ(х) = Уо + (ш1п(£ - 1х' - хо|, Уо - у))+.

У этой функции в почти каждой точке либо производная по у, либо все производные по х' равны нулю. Кроме того, участки с ненулевой производной по х' дают одинаковые вклады и в 3(щ), и в 3(щ). Тогда дальнейшие рассуждения из пункта 1 повторяются дословно.

II) Предположим, что условие (1.3) не выполняется. Тогда в силу непрерывности функции а найдутся такие хо е ш, -1 ^ в ^ £ ^ 1, £, - > 0 и уо е что для любых 1х'-х'о1 ^ £, 0 £ и у о уо + £ справедливо неравенство

а(в + у, у) + а(£ - у, у) + - < а(1 -1 + й + 2у, у).

Рассмотрим функцию

щ(х) = Уо + (шт(£ -1х' -х'о1,у - в, г - у))+.

Аналогично, вклад производных по х' в 3(и2) и 3(щ) одинаков, и дальнейшие рассуждения совпадают с рассуждениями в пункте 1. □

Замечание 1.1. Пусть а(х', •, у ) чётна. Тогда условие (1.3) эквивалентно субаддитивности функции а(х', 1 - •,у). В частности, если неотрицательная функция а чётна и вогнута по у, она удовлетворяет (1.3).

Теорема 1.2. Если неравенство (1.2) выполняется для произвольной Г е $ и произвольной кусочно линейной и, закреплённой на левом конце: и(-1) = 0, то вес а удовлетворяет неравенству (1.3).

Доказательство. Будем следовать схеме доказательства пункта 11) теоремы 1.1. Мы ставим дополнительное ограничение в > —1 (ввиду непрерывности весовой функции от этого требования легко потом избавиться). Также в качестве функции и3 берём функцию, возрастающую от нуля на отрезке [—1, <§}, а на отрезке [ й , 1} совпадающую с и2 из теоремы 1.1. Тогда функция и на отрезке [—1, <§} совпадает с и3, а на отрезке [<§, 1} совпадает с Щ. Тем самым, 3(и3) — 3(и2) = 3(из,) — 3(и), и рассуждения теоремы 1.1 начиная с вычисления А 3 полностью повторяются. □

1.3 Доказательство неравенства (1.2) для кусочно линейных

функций

Лемма 1.1. Пусть а удовлетворяет (1.3).

1) Для любых х' Е ш, —1 ^ ^ Ь2 ^ ... ^ ^ 1, V Е выполнены следующие неравенства

п п

У^ а(хХ, 1к, у) ^ а(хХ, 1 — ^^(—1)к ^, у), для чётных п,

к=г к=1

п п

^^ а(хХ, 1 к, у) ^ а(хХ, — ^^(—1)к1к, у), для нечётных п.

к=1 к=1

11) Предположим дополнительно, что функция а чётна. Тогда для всех х' Е ш, —1 ^ ^ ^ Ь2 ^ ... ^ ^ 1, V Е также выполнены следующие неравенства

п п

У^ а(хХ, 1к, у) ^ а(хХ, —1 + ^^(—1)к1к, у), для чётных п,

к=1 к=1

п п

^^ а(х', Ьк, у) ^ а(х',^2(—1)кЬк, у), для нечётных п.

Доказательство. 1) Будем доказывать по индукции. Для п = 1 утверждение тривиально. Пусть теперь п чётное. Тогда, по предположению индукции,

п—1 п—1

^ а(хХ, ^, у) ^ а(хХ, — ^(—1)Нк, у). к=1 к=1

Значит

п—1 п—1

а(Х, Ък, V) + а(х', ъп, V) ^ а(Х, — у (-1)кЬк, у) + а(Х, ъп, у,

У^ а(Х, Ьк, у) + а(Х, 1п, у) ^ а(Х, — ^^(—1)к£к, у) + а(х;, 1п, у)

^а(Х, 1 — 1)4, V).

к=1 к=1

п

а( Х , 1 — (—1) к к, )

к=

В случае нечётного п воспользуемся предположением индукции в следующем виде:

п п

^ а(х;, гк, у) ^ а(Х, 1 + ^(—1)Нк, у). к=2 к=2

Тогда

п п

а(Х,ь, у)+ у а(Х, , у) ^ а(Х,и, у) + а(Х, 1+ > (—1)ки ,у

(Х, ¿1, у) + ^^ а(Х, Ьк, у) ^ а(Х, г>) + а(х;, 1 + 1)к£к, у)

к=2 к=2

п п

^ а(Х,г 1 — 1)4, у) = а(Х, — 1)4, V).

к=2 к=

п) Доказательство этой части очевидно. □

Лемма 1.2. Пусть функция а(Х, ^и) чётна и удовлетворяет условию (1.3). Тогда, если и — неотрицательная кусочно линейная функция, то J(и) ^ J(и).

Доказательство. Обозначим через А множество точек Х £ на которых функция и имеет изломы, объединённое с дЭто множество замкнуто. Возьмём

и\ := {(Х,и(Х/, у)) : (Х, у) £ и2 := {(Х,и(Х/, у)) : (Х, у) £ А}

и := и \ и<2.

Множество и2 замкнуто. Поскольку функция и кусочно линейна, множество и открыто. Тем самым, множество и тоже открыто и может быть представлено в виде объединения конечного числа связных непересекающихся открытых множеств С. Обозначим т^ число решений уравнения и(Х, у) = и0 (это число постоянно для (Х;,и0) £ С, поскольку количество решений может меняться только при переходе через множество и2). Легко видеть, что эти прообразы являются линейными функциями аргумента (Х, и): у = ук(Х, и), к = 1,... , и ИпУк (Х ,и(Х, у)) = Впи\х,у). Мы будем считать, что у\(Х ,и) < у2 (Х ,и) < ••• < Ут(х , и).

Уравнение и(х', у) = и задаёт у как функцию (х',и) Е Сз. Её можно выразить через ук (в частности, у кусочно линейна):

и(хХ, —1) < и

и(хХ, —1) > и

т^ чётно

т^ нечётно

тз чётно

т^ нечётно

у = 1 — Е (—1Ы

к=1

У =

— Е (—1Ы к=1

у =

У =

(1.6)

—1 + Е(—1Ы к=1

тз

е (—1) Ч

к=1

Отсюда ясно, что

Впуу)) = — , ) = \Бпук(х,и(хх,у))|

Впи(х ,У) к=1

и —¡и(х', у) = ±Ет= 1(—1)к^^У'^к(хХ,и(х', у)), где знак перед правой частью зависит только от . Тогда

N

3(и) = / F(хХ,и(х), \\а{(х',и(х))В{и(х),а(х,и(х))Впи(х)\\)йх

з=1с.

= V / У^(V и \\аг(х',и)Вгук^^^^^ук(х',и),и)\\\

=1 =1

х \ Впук(хХ,и)\(1хХ(1и, (1.7)

N

3(и) = ^2 J ^(х',и, \\аг(х',и(х))Вги(х),а(х,и(х))Впи(х)\\)(х

3=1с. ^з

/ _ \\аг(х' ,и)В{у (х',и),а(х', у(х',и),и

^ У F[xX,и,

3=1 и(Сз)

т,,т^1\Впу'к(х',й)\ )

тз

хУ—й(хХ,и)\(х'(й. (1.8)

к=1

Зафиксируем ], х' и и и обозначим Ьк = \Впу3к \, с^ = —¡ук, с^ = В ¡у, ук = ук(х',и), у = у(х',и), т = тз. Тогда справедлива следующая цепочка неравенств:

т II ( \ 11 ^т^т и / МI т

^ькР(11'а(Ук^) £ Рттф^МУл)»

к=1 ^к Ьк к=1

Ь р /Е ккк=1^(-1)к^гСкг ,а(У к )У \ А, ^ р ( Е т=1((-1)кагСкг, а( Ук ))У ^ А,

= ^ Ёкл ^ ^ ^

к=1

^ р/Ет=1(-1)ка»скг, а(1/)|

¿-^к=1 °к к=1

т

« р(^Дь.^-1^,а(У)\\\р.А, ,10.

= ^-ЁкА-) Ь ^ТХТ^ ¿Т^

Здесь в переходе (а) применено неравенство Йенсена, в переходах (Ь) и (е) использована чётность нормы, в (с) использовано неравенство треугольника, в (^ — лемма 1.1 и чётность веса а по у.

Из (1.9) видно, что подынтегральное выражение в (1.7) не меньше подынтегрального выражения в (1.8). Тем самым, доказательство завершено. □

Лемма 1.3. Пусть функция а(хХ, •,и) удовлетворяет условию (1.3). Тогда, если и — неотрицательная кусочно линейная функция, удовлетворяющая и(^, -1) = 0, то 3(и) ^ 3(и).

Доказательство. Заметим, что в доказательстве леммы 1.2 мы используем чётность веса только в переходе (^ цепочки неравенств (1.9). Поскольку при и(-, -1) = 0 всегда выполнено и(хХ, -1) < и, с учётом соотношений (1.6) лемма 1.1 как раз обеспечивает требуемые для перехода (^ неравенства. □

1.4 О расширении класса функций, для которых выполняется

неравенство (1.2)

Следующее утверждение более или менее стандартно и близко к теореме Тонелли (предложение 1). Однако, в нашем случае множество {и : 3(и) < то} даже не является выпуклым подмножеством Ж1 (^). Поэтому здесь мы приводим полное доказательство для удобства читателя.

Лемма 1.4. Пусть функция а непрерывна. Тогда функционал J(и) слабо полунепрерывен снизу в ^}(Q).

Доказательство. Пусть ит ^ и в ^}(Q). Обозначим Jum = hmJ(ит) ^ 0. Наша задача — доказать J(и) ^ Jum. Если Jum = ж, то утверждение тривиально, поэтому можно считать Jum < ж. Переходя к подпоследовательности, добиваемся Jum = lim J(ит). Из слабой сходимости ит ^ и заключаем, что найдётся R0 такое, что ||ит||^í^ ^ R0. Более того, переходя к подпоследовательности, можно считать, что ит ^ и в L1 (Q) и ит(х) ^ и(х) почти всюду. Тогда по теореме Егорова для любого £ найдётся множество G\ такое, что meas G\ < £ и ит ^ и в Q \G\.

Из равномерной сходимости ит следует существование такого К, что для каждого т > К неравенство 1ит1 ^ 1и1 + £ выполнено для аргументов из Q\G\. Возьмём Gl = [х е Q \G\ : 1и(х)1 ^ }. Тогда

Ro ^ J 1и(х)1 dx ^ J 1и(х)1 dx ^ J R° + £ dx = measG2e • R° + £.

Q Gl Gl

То есть measG2 ^ £rR+£ < £. Тем самым, последовательность ит равномерно сходится и равномерно ограничена вне множества G£ := G\ U G2e.

Из непрерывности F, a¡ и а следует, что для произвольных £ и R найдётся такое N (£, R), что если х е Q \G, 1Мг1 < R, IM | < R ит> N (£, R), то

lF(xX, ит(х), Ца^х', ит(х))Мг,а(х, ит(х))М II)

— F(x',и(х), Цаг(х1 ,и(х))Мг,а(х,и(х))М||)| < £.

Рассмотрим множества

Ет,£ := [х е Q: max^D^m^l, 10пит(х)\} ^ R}.

Имеем

R0 ^J\^ит(х)^1х ^ J 1Уит(х)^х ^ J R dx = measEm£ • —.

Q F F

Поэтому measEm£ ^ £.

Теперь можно ввести Lm£ := Q \ (Em£ U G£). Тогда

meas Lm £ ^ meas Q — 3£.

Зафиксируем R := , N(e) := N(e, ^). Для любых e > 0, ж £ Lme и m > N(e) получим

F(x , Um(x) , , Um (ж)) DiUm (ж) , a(x, Um (ж)) DnUm (X)

< £,

— F(x', u(x), Hai(x', u(x))Dium(x),a(x, u(x))Dnum(x

откуда

/ F{x',Um(x), Hai(x',Um(x))DiUm(x),a(x,Um(x))DnUm(x

— f{x',u(x), Hai(x',u(x))Dium(x),a(x,u(x))Dnum(x)l\) dx < meas^ • e. (1.10)

Возьмём e j = (j ^ 1), mij = N(£■) + j ^ ж и L£ = f| Lmj,ч. Тогда ^ = e и, тем самым, meas(^ \ Le) < 3e. Поскольку из (1.10) следует

,Um(x), ||ai(x , Um(x))DiUm(x) , a(x, Um(x))DnUm(x

— f{x',u(x), !ai(xf,u(x))Dium(x), a(x,u(x))Dnum(x)Uj и,ж < meas^ • e3. мы получаем

Jlim = lim J(Umj )

= Um j' F(x',um.(ж), |ai(x/,Umi(x)DiUm.,a(x,um.(x))Dnu,mj(x

Q

^ lim у ^{l£}(x)f(x, u(x), ||ai(x/, u(x))Diumj(ж), a(x, u(x))Dnumj(ж)

Q

=: lim Je(Vumj).

Наш новый функционал

Jt(v) = J X{Lt\(x)F{x',u(x), \\di(x',u(x))vt(x),a(x,u(x))vn(x

Q

выпуклый. Вновь переходя к подпоследовательности uk, можно считать, что lim Jz(u'm ) = lim Je(u'k). Так как Vu'k ^ Vu' в L1, по предложению 2 можно подобрать последовательность выпуклых комбинаций Vuk, которые будут сходиться к Vu сильно. А именно: найдутся au ^ 0 для к £ N, I ^ к такие,

чт0 Еi=1 = 1 для каждого к и wk := Еi=i &-k,iVui ^ Vu в L1. Кроме того, очевидно, можно потребовать, чтобы минимальный индекс I ненулевого коэффициента &k,i стремился к бесконечности при к ^ +то. Тогда

k

lim J£ (Vuk) = lim^ Uk,lJe(Vui).

=

В силу выпуклости J£ имеем

k

ya,k,iJe(Vui) ^ J£(Wk).

=

Наконец, поскольку (wk) ^ Diu и (wk)n ^ Dnu в L (Q), переходя к подпоследовательности, можем считать, что Wk(х) ^ Vu(x) почти всюду. Кроме того, так как для х Е L£ выполнено \D;,uj (х)| < ^ и lDnuj(х)| < ^, то l(wk)г(х)| < f и l(wk)n(x)I < f. Значит,

X{LZ }(х)Е(х', ufa), \\аг (х'^х)^wk ^^^(х^х))^ )п(х)||)

^ max X{L£}(х)Г(ух'^(х), \\аг(х'^(х^М^а^^^х^М\\) < то,

(X, Mi, М)

где максимум берется по компактному множеству (х,М,иМ) Е Q х [—^,^т]п. Поэтому применима теорема Лебега, и мы получаем lim J£(wk) = J£(Vu). Таким образом,

k

JUm ^ limJe(Vuk) = lim^ Uk,iJe(Vui) ^ YimJe(wk) = J£(Vu).

=

Ввиду произвольности £ > 0 имеем .]цт ^ J(u). □

Теорема 1.3. Пусть В С А С ^1(Q). Предположим, что для каждого u Е А найдётся последовательность uk Е В такая, что uk ^ u в ^^Q) и J(uk) ^ J(u). Тогда

i) Если для любой функции v Е В выполнено J(v*) ^ J(v), то для любой функции u Е А будет выполнено J(u*) ^ J(u).

ii) Если для любой функции v Е В выполнено J(v) ^ J(v), то для любой функции u Е А будет выполнено J(u) ^ J(u).

Доказательство. i) Возьмём некоторую u Е А и для неё найдём приближающую последовательность {uk} С В. По условию J (uk) ^ J (uk) ^ J (u). По

предложению 7 найдётся подпоследовательность uk,, для которой

u*kl ^ u* in W 1(П).

Из леммы 1.4 получаем

J(u) ^ lim J(uk ) ^ lim J(ukl) = J(u).

ii) Поскольку Щ(x) = u*k() и u(x) = u*(), из сходимости uk ^ u в Wl (П) также следует сходимость uk, ^ u в W1 (П) для некоторой подпоследовательности uk,. Тем самым, рассуждения из доказательства предыдущего пункта могут быть дословно повторены. □

1.5 Переход к соболевским функциям

Теорема 1.4. Пусть функция а(хХ, •,и) чётна и удовлетворяет условию (1.3). Тогда

I) Неравенство (1.2) верно для произвольной неотрицательной и £ Ы р(П).

II) Предположим, что для любых х' £ £ £ К функция Р удовлетворяет неравенству

Р(х',г,р) < С(1 + |г|+ 1р1 я), где -1 = 1 — ^, если д <п, либо д* любое в противном случае. Если д ^ п, то

дополнительно предположим, что веса а и а{ ограничены. Тогда неравенство

(1.2) верно для произвольной неотрицательной и £ Wl(Q).

Доказательство. i) Из предложения 3 следует, что любая липшицева функция и может быть приближена последовательностью ик £ С 1(П) в следующем смысле:

ик ^ и, Vuk ^ Vu п.в., \Уик\ ^ const.

Тогда по теореме Лебега ик ^ и в Wl (П) и J (ик) ^ J (и). В свою очередь, ик могут быть аналогичным образом приближены кусочно линейными функциями. Применив лемму 1.2 и теорему 1.3, получаем требуемое.

п) Рассмотрим произвольную и Е W 1(О). Для неё можно построить последовательность кусочно линейных функций ик, приближающих её в W1(О). Действительно, поскольку дО Е Ыгр, и можно продолжить финитным образом на внутренность большого шара в и приблизить гладкими финитными функциями. Далее шар триангулируется, и значения функции линейно интерполируются. Очевидно, в процессе все функции остаются неотрицательными.

Тогда, ввиду теоремы 1.3, достаточно добиться 3(ик) ^ 3(и). Доказательство этой сходимости можно свести к теореме Красносельского о непрерывности оператора Немыцкого (см. [52, гл. 5, §17]). Однако для удобства читателя мы приводим здесь рассуждение целиком.

Покажем, что веса а^х' ,и(х)) и а(х,и(х)) ограничены. Если д ^ п, то это выполнено по предположению теоремы. Если же нет, то W 1(О) вкладывается в С (О), тем самым, ик (х) равномерно ограничены, а значит, и а^х' ,ик (х)) и а(х,ик(х)) равномерно ограничены. Поэтому \\Т>ик(х)|| ^ С\\Чик(х)|. То есть,

^(х',ик(х), \\Vuh(х)\) ^ С2(1 + и(х)1? + \Чик(х)1«).

Рассмотрим множества Ат, состоящие из х Е О, для которых при всех к ^ т выполнено 1 + 1ик(х)|+ \Чик(х)1ч ^ 2(1 + 1и(х)1+ 1Чи(х)1ч). Очевидно, что Ат С Ат+\. Переходя к подпоследовательности, можем считать, что щ ^ и и Чик ^ Чи почти всюду. А значит |Ат1 ^ |О|. Тогда

Х[Ак}Р(х',ик(х), \\Vuk(х)\) < 2(1 + 1и(х)1 ? + |Чи(х)|д),

и

Х{Ак}Г(х',ик(х), \\Т>ик(х)\\) ^ ^(х',и(х), \\Ри(х)\\)

почти всюду. По теореме вложения \\ик\\ч* ^ С3\\ик\\\¥\. Тем самым, мы нашли суммируемую мажоранту и получаем §А Х{Ак}Г(х',ик(х), Ц'Ощ(х)\\)(1х ^ 3(и) по теореме Лебега .

Теперь оценим остаток:

/ ^(х',щ(х), \\Оик(х)\\)((х ^ С2(1 + и(х)Iд* + \Чик(х)1 ч)(х

< С\( [ (1 + 1и(х)1+ 1Чи(х)1 ч)(х

+ (1 + 1и(х) -ик(х)I+ 1Ч(и -ик)(х)Iч)(х\

Первое слагаемое стремится к нулю по абсолютной непрерывности интеграла. Для второго слагаемого выполнено

/ (1 + |и(х) — ик (х)|+ |У(и — ик )(х))| Ч)(1х

*

^ (|П \ АкI + \\и — ик! + \\и — ик!) ^ 0. Тем самым, сходимость 3(ик) ^ 3(и) доказана. □

Теорема 1.5. Пусть функция а(х',-,и) удовлетворяет условию (1.3). Тогда

I) Неравенство (1.2) верно для произвольной неотрицательной и £ Ыгр(О), удовлетворяющей и(^, —1) = 0.

II) Предположим, что для любых х' £ £ £ К функция Р удовлетворяет неравенству

Р(х',г,р) < С(1 + |г|+ 1р1 я),

где = 1 — ^, если д <п, либо д* любое в противном случае. Если д ^ п, то дополнительно предположим, что веса а и а{ ограничены. Тогда неравенство (1.2) верно для произвольной неотрицательной и £ W1 (П), удовлетворяющей и(^ — 1) = 0.

Доказательство теоремы дословно повторяет доказательство теоремы 1.4.

Глава 2. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки и симметризации в общем случае при п = 1

2.1 Обозначения

В этой главе мы рассматриваем одномерный случай задачи из первой главы. Тем самым, пропадают весовые коэффициенты а^, вес а = а(х, у) : [-1,1] х ^ $ — множество непрерывных функций Г : х ^ выпуклых и строго возрастающих по второму аргументу, удовлетворяющих Г(•, 0) = 0. Рассматриваемый функционал имеет вид:

1

3 (а,и) = /Г а(х, и{х))\и'(х)\)(х.

-1

Также мы будем использовать обозначение

3 (В,ахи) = 1Г Ы^ а(хМхт.х)\) (х.

в

Мы снимаем требование ограничения роста, стоящее в теореме 1.4, и также доказываем аналогичный результат для симметричной перестановки, устанавливая необходимые и достаточные условия для выполнения неравенства

3(и*) < 3(и). (2.1)

Мы продолжаем ссылаться на условие (1.3), однако оно приобретает следующий вид:

а(в, у)+а(г, V) ^ а(1 -г + 8, у), : -1 1, V Е К+. (2.2)

2.2 Доказательство неравенства (1.2) для кусочно монотонных

весов

В этом параграфе мы получим неравенство (1.2) при дополнительном условии монотонности весовой функции при х Е [-1, 0] и при х Е [0,1].

Лемма 2.1. Пусть а — непрерывная функция, а(;,и) возрастает на [—1, 0] и убывает на [0,1] для всех и ^ 0. Тогда для любой функции и £ W}[—1,1], и ^ 0, найдётся последовательность {ик} С Ыгр[—1,1], удовлетворяющая

щ —у и вW{[—1,1] и 3(а,пи) — 3(а,и). (2.3)

Для доказательства мы модифицируем схему теоремы 2.4 из [25], в которой аналогичный факт доказывается для интегрантов, не зависящих от свободной переменной. Частично доказательство совпадает доказательством в [25], но для удобства читателя мы приводим здесь его полностью.

Доказательство леммы 2.1. Можно считать, что 3(а,и) < то. Мы докажем утверждение для функционала

3М = /Р(п(х),о(х,п(х))|п'(х)|) 4х.

о

Вторая часть с интегрированием по [—1,0] сводится к 3 заменой переменной.

Для Н £ N покроем множество {х £ [0,1] : |и'(х)| > Н} открытым множеством Аи. Не умаляя общности, можно считать, что Аи+г С Аи и \Аи\ — 0 при Н — то.

Обозначим Уи неотрицательную непрерывную функцию, заданную на [0,1], совпадающую си на множестве [0,1] \ Аи, и линейную на интервалах, составляющих Аи. Тогда Уи — и в W}[—1,1]. Теперь изменим Уи так, чтобы сделать их липшицевыми.

Представим Аи = икПи,к, где Пи,к = (Ь—к, Ь+к). Обозначим

аи,к := \Пи,кI $и,к := Ь+к) — V и(Ь~Кк) = и(Ь+к) — и(Ь—к).

Тогда у'и = в Пик. Заметим, что

и к

^\ви,кI < J 1и'1 <1х ^ Д] < то,

к а,

а значит, \вь,к| — 0 при Н — 0 по теореме Лебега.

Определим функцию фи £ Wг[0,1] следующим образом:

Фи(0) = 0

Фи = 1 в [0,1] \ Аи,

/ (\$и,к\ Л 0

Фи = шах(-, 1) в Пи,к.

V аик /

Заметим, что /о|ф'и| (х < 1 + 1вн,кI < Покажем, что фИ ^ 1 в Ы1(0,1):

i Wh - Mdx = yUaxiIM, l) - lW ^ I ^ 0.

J k ah,k ' ' ,

Отсюда следует, что фи удовлетворяет условиям предложения 4.

Рассмотрим теперь ф-1 : [0,1] ^ [0,1] — ограничение обратной к фи функции на [0,1]. Тогда 0 ^ (ф-1)' ^ 1 и

Ф--1(0) = 0

(ф-1)' = 1 в [0,1] \ фь(Аь),

(ф-1)' = min(, l) в [0,1] П Vh(Vh,k). 1 Ph,k 1 J

Возьмём uh = vh(y-1). Заметим, что uh(0) = u(0), и

u'h = v'h(ф-1) • (ф-1)' = и'(щ1) в [0,1] \ фh(Ah),

u'h = v'h(Ф-1) • (ф-1)' = sign eh,k • min(l, iM) в [0,1] П фh(Qhk).

\ ahk У

Тем самым, ии липшицева, поскольку и' ограничена в [0,1] \ Аи.

Покажем, что ии ^ и в W1[0,1]. Для этого достаточно оценить

К -u'\\Li ^ J и -u'I + J IUhI + j Iu'I =:Pl + Pl + P}

[0,1]\фЛ(АЛ) [0,1]Пфк(Ак) [0,1]Пфк(Ак)

Р1 = J \и'(ф-1) -и'| (х = J \и' -и'(фи)|dz^ J \и' -и'(фи)\(г. [0,1]\фЛ(АЛ) ф-1([0,1])\А^ [0,1]

В силу предложения 4, Р^ ^ 0. Далее,

Ри2 ^ \фи(Аи)| = ^\фи(Ои,к)| = ^тах(|ви,кI, аи,к) ^ ^ аи,к + Е^кИ 0.

к к к

Наконец, Р| ^ 0 по абсолютной непрерывности интеграла, и утверждение доказано.

Осталось показать, что 31(ии) ^ 31(и).

J1(uh) = j F(uh(x),a(x,uh(x))\u'h(x)\) dx [0,l]\vh(Ah)

+ J F(uh(x),a(x,uh(x))\u'h(x)\)rfx =: Ph + РЦ-

[0,l]C\Vh(Ah)

Поскольку u E 1], имеем u E LTO([0,1]). Обозначим \\и\\ж = г, тогда

||uh||TO < 2г при достаточно больших h. Кроме того, \u'h\ ^ 1 почти всюду в ). Тогда P2 < MF\yh(Ah)\ ^ 0, где

MF = max F; Ma = max a.

[-2 r,2r]x[-Ma,Ma] [0,1]x[-2r ,2r]

Далее,

Pi = J F(u(Ф-1(x)),a(x,u(Ф-1(x))\u/(Ф-1(x))(Ф-1)/\)) doc

[0,1]\Vh(Ah)

= J F(u(z), a(tyh(z),u(z))\u'(z)\) dz V-4[0,1])\Ah

= J F(u(z),a(^h(z),u(z))\u'(z)\)X{^^1([0,1])\Ah}dz.

m

Последнее равенство, вообще говоря, не имеет смысла, так как tyh(z) может принимать значения вне [0,1]. Определим a(z,u) = a(1,u) при z > 1, теперь выражение корректно. Заметим, что Я"{ф-1([0,1]) \ Ah} возрастают, так как множества ф-1([0,1]) возрастают и Ah убывают, то есть ф—1([0,1]) С ф—1([0,1]) и Ahl D Ah2 при h1 ^ h2. На отрезке [0,1] (и даже ф1([0, 1])) функция a убывает, а также ф1(^) убывает по h, значит a(yh(z)) будет расти по h. В таком случае можно применить теорему о монотонной сходимости и получить

Pi ^ J F(u(z), a(z,u(z))\uf(z)\)dz. [0,i]

Замечание 2.1. Очевидно, что те же рассуждения с закреплением функции и на левом конце можно провести на любом интервале [х0,хг], где вес

а убывает по х. То есть можно получить последовательность {ии}, удовлетворяющую

ии(хо) = и(хо); ии ^и вWl1[хо,Xl ];

Х1 Х1

/рЫх)Мх,ЫхШ,(х)1) ^¡Р(ф^ФШ^).

хо ХО

Аналогично, если а возрастает по х, можно аппроксимировать и с закреплением на правом конце.

Следствие 2.1. Пусть функция а непрерывна, чётна, убывает на [0,1} и удовлетворяет неравенству (1.3). Тогда для любой и Е Wl[—1,1] выполнено 3(а,и*) ^ 3(а,и).

Доказательство. Неравенство немедленно следует из теоремы 1.3 и леммы 2.1.

2.3 Свойства весовой функции

Здесь мы получаем несколько следствий из условия (1.3) на вес. Для удобства в пределах этого параграфа мы опускаем второй параметр веса: а(х, у) = а(х); очевидно, что все полученные свойства будут выполняться для любых .

Лемма 2.2. 1) Пусть функция а удовлетворяет условию (1.3). Если найдётся такое х0 Е [-1,1], что а(х0) = 0, то либо а = 0 на [х0,1], либо множество нулей функции а периодично на [х0,1], причем период нацело делит 1 - х0.

11) Пусть функция а удовлетворяет условию (1.3) и чётна. Если найдётся такое х0 Е [-1,1], что а(х0) = 0, то либо а = 0, либо функция а периодична на отрезке [-1,1], причем период нацело делит 1 - х0.

Доказательство. 1) Прежде всего, заметим, что если для некоторых й ^ Ь выполнено а(з) = а(р) = 0, то неравенство (1.3) влечёт

0 = а(в) + а(г) ^ а(1 - (г - в)) ^ 0,

то есть (1 - ( - )) = 0. Подставив = = х0, получаем а(1) = 0.

Точно так же, если я ^ 1 -I и а(в) = а(1 -1) = 0, то а(в + 1) = 0. Тем самым, множество нулей функции а симметрично на отрезке [х0,1], и если а(в) = а(в + А) = 0 (А ^ 0), то а(в + кА) = 0, для в + кА ^ 1. Отсюда следует, что множество корней либо периодично на отрезке [ х0,1], либо совпадает с ним.

11) Периодичность нулей функции а следует из её чётности и из первой части утверждения леммы. Обозначим расстояние между соседними нулями за А.

Тогда для -1 ^ х ^ 1 - А выполнено

а(х) = а(х) + а(1 - А) ^ а(х + А). С другой стороны, -1 ^ -(х + А) ^ 1 - А, и

а(х + А) = а(-(х + А)) + а(1 - А) ^ а(-х) = а(х). Тем самым, а(х) = а(х + А). □

Лемма 2.3. Пусть функции а1 и а2 удовлетворяют неравенству (1.3). Тогда функции тах(а1(х), а2(х)) и а1(х) + а2(х) тоже ему удовлетворяет.

Доказательство. Положим а(х) = тах(а1(х), а2(х)). Тогда

а(1 -I + <§) = тах(а1(1 -I + в),а2(1 -I + <§)) ^ шах(а1(й) + а1{Ъ),а2(в) + а2(¿))

^ тах(а1(й),а2(в)) + тах(а1 ^),а2^)) = а(в) + а(Ъ).

Утверждение для функции а(х) = а1(х) + а2(х) очевидно. □

Лемма 2.4. Пусть функция а удовлетворяет неравенству (1.3), к Е N. Тогда кусочно линейная функция а2, интерполирующая функцию а по узлам (-1 + 2), г = 0,1,..., к, тоже удовлетворяет неравенству (1.3).

Доказательство. 1. Пусть в = -1 + 2 , £ = -1 + Ц. Тогда неравенство выполняется для ац, потому что оно выполняется для а, а в этих точках они совпадают. 2. Пусть теперь з = -1 + |, и г Е [-1 + ^, -1 + Ц+11]. Рассмотрим линейную функцию 111(Ь) = а2(1 -Ь + 5) - а2(^ - а2(з). Из части 1 следует к1(-1 + Ц-) ^ 0 и к1(-1 + ) ^ 0. Значит, поскольку Н1

линейна, Нг(£) ^ 0. Тем самым, неравенство выполняется для любого й = — 1 + 2 и г £ [—1,1].

3. Пусть з и t удовлетворяют соотношению 1 — Ь + в = ^. Рассмотрим функцию Н2(у) = ак(у) — ак(в + у) — ак(£ + у). Если взять

у0 такое, что й + у0 — один из узлов, то Ь + у0 — тоже узел. Следовательно Н2(у0) = а(^)— а(в+у0) — а(£+у0) ^ 0. Поскольку Н2 линейна между подобными у0, получаем Н2(у) ^ 0 для всех допустимых у.

4. Наконец, для произвольного Ь £ [—1,1] рассмотрим Н3(з) = ак(1 —Ь + в) — ак(£) — ак(<§). Заметим, что если в или 1 — I + в являются узлами, то из частей 2 и 3 следует Н3( в) ^ 0. Поскольку Н3 линейна между такими в, имеем Н3(я) ^ 0 для всех допустимых в, что завершает доказательство. □

2.4 Доказательство неравенства (1.2) для произвольных весов

В этом параграфе мы избавимся от условия монотонности веса по х. Будем это делать в несколько этапов.

Для начала отметим, что все свойства функции а существенны лишь в окрестности графиков функций и, и. Более того, все рассуждения этого параграфа будет построены так, чтобы использовать свойства веса только в окрестности графика и.

Мы вводим несколько ограничений на весовую функцию. Каждое следующее, будучи добавленным к предыдущим, задаёт более узкий класс весов.

(Н1) а(х, v) чётна по х и удовлетворяет неравенству (1.3), а также J(а, и) < ж.

(Н2) На множестве v Е [minu(x), maxu(x)], для которых а(^, v) ф 0, количество нулей функций а(^, v) ограничено константой, не зависящей от v.

(Н3) Если а(х0,и(х0)) = 0 для некоторого х0, то а(^,и(х0)) ф 0. Кроме того, выполнено lim Dk(a,U(а)) = 0, где

к^ж

U(а) := {v Е [тти(х), тахи(х)] : а(^, v) ф 0},

max 'а(х\, v) — а(х2, v)'

Dk(a, U) := sup ^j .---,-. (2.4)

veu min а(х, v)

(Н4) Найдётся такое чётное к, что а(•, у) линейны для каждого V на участках

[-1 + ц,-1 + Щр ].

(Н5) Множество V Е К, для которых а(•, у) имеет участки постоянства, отличается от множества V Е К таких, что а(•, у) = 0, лишь на множество меры 0.

(Н6) Отрезок [-1,1] можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых в -и-окрестности графика и(х) вес а не меняет монотонности по х.

(Н7) Пусть х1 < х2 < х3, и на [х1,х2] вес а(•, V) в -и-окрестности графика функции и убывает, а на [х2,х3] возрастает. Тогда в некоторой окрестности точки и(х2) имеем а(•, у) = 0.

Вес, удовлетворяющий условию (Н1), мы будем называть допустимым для заданной функции и( х).

Теперь мы можем сформулировать основное утверждение главы.

Теорема 2.1. Пусть Р Е функция и Е Ж^-1,1} неотрицательна, и весовая функция а : [-1,1} х ^ непрерывна и допустима для и. Тогда справедливо неравенство (1.2).

Мы докажем неравенство (1.2) при условиях ( Н1) - (Н7), а затем будем постепенно избавляться от них.

Для доказательства нам потребуются следующая

Лемма 2.5. Пусть и Е Ж^-1,1} неотрицательна. И пусть замкнутое множество Ж С таково, что множество всех V Е Ж, для которых а(•, V) ^ 0, имеет меру ноль. Тогда найдётся возрастающая последовательность весов Ь£ такая, что

1) Ье(;, V) ^ а(•, V) для почти всех V;

2) Ье(•, V) = 0 для каждого V в некоторой (зависящей от I) окрестности

Ж;

3) 3(Ье,и) ^ 3(а, и) и 3(Ь£,й) ^ 3(а, и). Замечание 2.2. Если а допустимы для и, то и Ьц тоже. Доказательство. Возьмём р(^) := шт(1, тах(0,^)),

Ь^(х, V) := а(х, V) • р(1 ^^ ) - 1) ^ а(х, V).

Вес Ь^ равен нулю в -окрестности W. Кроме того, ЬI = а вне (|)-окрестности W, а также Ь£(х, у) возрастает по I. Тем самым , Ь^, у) ^ а(^, у) для почти всех у. По теореме о монотонной сходимости имеем 3(и—1(К+ \ W), Ье,и) 3 (и—1(К+ \W ),а,и).

Разобьем множество W на два: W1 := {у £ W : а(^, у) = 0} и W2 = W\W1. Тогда

3(и—1^), Ь£,и) = 3(и—1^),а,и),

«^т,= / Жх>,^^»км^

При этом, по предложению 5, почти всюду на и—1(\¥2) выполнено и'(х) = 0. То есть

3(и—1^), Ье,и)= ! Р(и(х), 0) Зх = 0.

Аналогично 3(и—1^2),а,и) = 0, откуда 3(Ьц,и) ^ 3(а,и). Вторая часть пункта 3) доказывается так же. □

Перейдем к доказательству теоремы 2.1.

Шаг 1. Пусть и £ W1[—1,1], и вес а удовлетворяет условиям (Н1) — (Н7). Тогда выполняется неравенство (1.2).

Разобьем отрезок [—1,1] на отрезки Дк = [хк, хк+1 ], состоящие из двух частей. В левой части каждого отрезка вес а будет возрастать по х в окрестности графика и(х), в правой же будет убывать. Согласно замечанию 2.1 на каждом таком отрезке можно повторить схему из леммы 2.1, приближая функцию и липшицевыми функциями ип. Это даёт 3(Дк,а,ип) ^ 3(Дк,а,и).

Однако при такой аппроксимации функции ип могут иметь разрывы в точках хк.

Заметим теперь, что согласно условию (Н7) можно выбрать точки хк так, что а = 0 в (х,-и)-окрестности точек (хк,и(хк)).

Изменим теперь функции ип в окрестности точек хк на линейные, сделав ип непрерывными на [—1,1]. В силу вышесказанного, интегралов 3(Дк,а,ип) это не изменит, и мы получаем 3(а,ип) ^ 3(а, и) и ип ^ и в W1[—1,1].

По теореме 1.3 получаем (1.2).

Шаг 2. Пусть вес а удовлетворяет условиям (Н1) — (Н6). Тогда выполняется неравенство (1.2).

Применим лемму 2.5. В качестве множества Ж возьмем множество всех у, при которых происходит переход графика и(х) из промежутка, в котором вес убывает по х, в промежуток, в котором вес возрастает. Очевидно, получившиеся функции Ь£ удовлетворяют (Н1) - (Н7). Из шага 1 имеем 3(Ье,и) ^ 3(Ье,и). Переходя к пределу, получаем требуемое неравенство (1.2).

Шаг 3. Пусть вес а удовлетворяет условиям (Н1) - ( Н5). Тогда выполняется неравенство (1.2).

Рассмотрим абсциссы точек излома функции а и ординаты, для которых а имеет участки постоянства. Эти абсциссы и ординаты определяют деление прямоугольника [-1,1] х [тти(х), тахи(х)] на более мелкие, внутри которых вес а не меняет монотонности. Однако, количество мелких прямоугольников может оказаться бесконечным. Кроме того, если функция пересекает горизонтальную границу прямоугольника, монотонность в -и-окрестности точки пересечения может меняться.

Возьмем множество Ж точек у, для которых вес а имеет участки постоянства по х. В соответствии с (Н5) множество у Е Ж, для которых а(•, у) ф 0, имеет нулевую меру.

Применив лемму 2.5, построим последовательность весов Ь^. У каждого из них количество участков монотонности конечно, поскольку между соседними по участками строгой монотонности присутствует полоса нулевых значений веса шириной по крайней мере Ц.

Тем самым, вес Ь(_ может менять монотонность вдоль графика и либо в точках х = -1 + 2, либо в тех местах, где график пересекает полосу нулевых значений веса. Ясно, что таких пересечений может быть лишь конечное число, поскольку / 1и'1 увеличивается как минимум на | во время такого перехода, а и' Е Ь1[-1,1].

Мы получили, что Ь£ удовлетворяют (Н1) - ( Н6). Из шага 2 имеем 3(Ь£,й) ^ 3(Ь£,и). Переходя к пределу, получаем (1.2).

Шаг 4. Пусть вес а удовлетворяет условиям (Н1) - (Н3). Тогда выполняется неравенство (1.2).

Предположим, что функция а удовлетворяет (Н1) - (Н3), в частности 3(а,и) < ж.

Зафиксируем произвольное четное к. По точкам а(-1 + 2, у) для каждого построим кусочно линейную по х интерполяцию. Получившаяся функция

ац(х, у) непрерывна, четна по х и по лемме 2.4 удовлетворяет неравенству (1.3). Кроме того, ац ^ а при к ^ ж, причем сходимость равномерная на компактах. Однако неравенство а2(х,и(х)) ^ а(х,и(х)) не обязано выполняться, и потому веса ац могут не быть допустимыми для и.

Возьмем с2 := (1 - (а2,и(а2)))а2, где определены в (2.4). Числа Иц(ац, и(ац)) положительны и стремятся к нулю, поэтому сц ^ а при к ^ ж. Покажем, что с2(х,и(х)) ^ а(х,и(х)). Возьмем некоторое число х Е [-1 + 2, -1 + ] =: [ххг,хг+1]. Тогда ск(х,и(х)) ^ тах(сц(хг,и(х)), ск(хг+1,и(х))), поскольку с кусочно линейны по х. Далее,

с к (хг, и(х)) = (1 - Ик (ак, и (а ц))) • а(хг,и(х))

(, ч ч а (х ^, (х)) а (х, (х)) , /\\ / /\\

хг,и(х))-----г-• а(хг,и(х)) = а(х,и(х)).

а(хг,и(х))

Аналогично, с2(хг+1,и(х)) ^ а(х,и(х)). Тем самым, с2(х,и(х)) ^ а(х,и(х)) для любого х, и сц являются допустимыми для и. То есть функции сц удовлетворяют (Н1) - (Н4).

При заданном к Е N будем приближать функцию с2 =: с весами, удовлетворяющими (Н1) - (Н5). Рассмотрим вспомогательную функцию А(х) = 1 - |х|, удовлетворяющую условию (1.3). Возьмем

г(у) := (с, и (с)) • тах{т ^ 0 : Ух Е и-1(у) тЛ(х) < с(х, и(х))}.